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Análisis sísmico de edificios por computadora
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Introducción
Que es el sismo?
Es el movimiento horizontal del suelo. Existe también un movimiento vertical del suelo
pero es secundario en el cálculo de edificios.
Porqué el sismo es una carga dinámica?
Porque la aceleración de suelo es rápida comparada con el movimiento del edificio.
El edificio se mueve lentamente (en relación al sismo) porque las masas son grandes y las
rigideces son pequeñas.
Por ejemplo, si tengo una columna con varias masas, resulta que:
La columna es rígida, las masas son pequeñas, y el movimiento de la base es lento,
entonces la columna acompaña a la base, y no se produce esfuerzo alguno.
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En cambio, si la columna es poco rígida, la masa grande, y el movimiento de la base es
súbito, solamente se deformará la primera columna y las otras masas tenderán a quedar
quietas, lo que ocasionará un gran esfuerzo en la columna inferior.
Eso en un instante inicial. Luego, si la aceleración persiste, la columna tomará la
siguiente forma:
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Fuerzas horizontales equivalentes:
Si la aceleración fuera constante, para calcular la estructura, no se requeriría un análisis
dinámico.
Sería equivalente poner fuerzas horizontales que sean iguales a:
Fuerza = masa * aceleración.
Lo que daría exactamente el mismo resultado que un análisis dinámico.
Movimiento alternativo:
Sin embargo, el problema del sismo es que la aceleración del sismo es variable.
Por ejemplo las aceleraciones son típicamente como se muestran en la figura.
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Eso hace que el movimiento de la base "regresa" cuando ya las masas han empezado a
moverse en una dirección
Entonces, el problema es más complejo que simplemente poner cargas horizontales que
sean iguales a la masa por la aceleración.
Este movimiento se puede representar matemáticamente con la siguiente ecuación:
F=m*a (fuerza = masa * aceleración)
Y en un sistema de varios grados de libertad. Es decir, en un sistema que tiene varias
masas conectadas entre si por elementos rigidizadores, la misma ecuación viene a ser:
[M]*[A] + [K]*[d] = [F]
Dónde
[M] es la matriz de masa de la estructura. Para simplificar el problema, puede
considerarse una matriz diagonal.
[A] es el vector de aceleraciones en cada grado de libertad
[K] es la matriz de rigidez de la estructura y está formada por la aportación de rigidez de
cada elemento en la estructura
[d] es el vector de desplazamientos
[F] es la fuerza externa aplicada sobre la estructura
En esta ecuación, si [F] es cero, entonces la fórmula reproduce la vibración libre de la
estructura.
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Time Step
Entonces, lo ideal sería realizar un análisis paso a paso, que en inglés se llama Time-Step.
Este análisis paso a paso consiste (a grandes rasgos) en lo siguiente:
El método Time-Step consiste en aplicar aceleraciones constantes por un breve período
de tiempo, y calcular la deformación del edificio al final de este período.
Por ejemplo, en el dibujo que sigue, se ha aplicado una aceleración constante durante
(digamos) un 0.01 segundo, y al final de la misma, se ha encontrado que la deformación
del edificio es como se ilustra. La aceleración que se ha aplicado es la que ha ocurrido
durante el sismo en ese lapso, y se obtiene de un acelerograma conocido.
(esta deformación se encuentra resolviendo la fórmula de aceleración planteada
anteriormente).
Entonces, las deformaciones nos dan también las tensiones sobre los elementos. Por
tanto, hemos logrado calcular los esfuerzos que ocurren al final de 0.01 segundo.
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Entonces, volvemos a aplicar una aceleración diferente a la anterior pero constante
durante el lapso de 0.01 segundo y volvemos a encontrar la deformación y esfuerzos de la
estructura al cabo de 0.02 segundos.
De la misma forma se continúa el proceso hasta que se termina el sismo.
Desventaja:
La desventaja de este método es que el cálculo ha sido realizado específicamente una
curva de aceleraciones conocida de un terremoto pasado. Por tanto, se tiene la esperanza
que el siguiente sismo sea igual o parecido.
Diseño Time-Step
Entonces, en cada intervalo de tiempo se tienen los esfuerzos de la estructura. Con cual
de estos esfuerzos se debe diseñarla?.
Lo correcto es que en cada intervalo también se realice el diseño y, por tanto, al final se
tomen las armaduras más críticas obtenidas durante todo el proceso.
Como ustedes comprenderán, esto significa un gran esfuerzo ya que una estructura
requeriría ser diseñada digamos una 100 veces.
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Alternativa de diseño
Una alternativa sería la de encontrar solamente los valores máximos de esfuerzos en todo
el movimiento de la estructura y luego diseñar para la combinación de esos máximos
esfuerzos.
Aunque esto a veces da resultados conservadores, es suficientemente válido para ser
aplicable. (Porque a veces da resultados conservadores?. Porque por ejemplo, el momento
máximo puede ocurrir en el instante 0.01, con poco esfuerzo axial. Y luego, en el instante
0.25 el esfuerzo axial es máximo y tiene un valor alto. En el diseño riguroso, debería
diseñarse el momento en el instante 0.01 con el axial en 0.01 y luego diseñarse el
elemento con el momento y axial en el instante 0.25).
Entonces, en la práctica se utilizan solamente los máximos esfuerzos para el diseño de los
elementos.
Esta precisión es razonable si se piensa que en realidad el sismo que hemos utilizado es
solamente una aproximación (probablemente burda) del que vendrá en la realidad.
Superposición modal
Entonces, si de encontrar valores máximos durante el sismo se trata, existe un método
más simple que permite hallar solamente los valores máximos durante toda la vibración
del edificio.
Este método se llama método de Superposición Modal o Espectro de Respuesta.
En este método dos conceptos se diferencian claramente:
La vibración libre: que depende únicamente de las características del edificio y no del
sismo. Es decir, haya o no haya sismo, un edificio tiene formas o modos de vibrar
características.
El espectro de respuesta: Este depende exclusivamente del sismo y nada tiene que ver con
la estructura. Es decir, es la carga sísmica.
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Vibración libre.
La vibración libre es dependiente solamente del edificio. Esto es, de las masas, y la
rigidez de los elementos.
Esta vibración es llamada también modo de vibrar y representa la deformación relativa
del edificio.
Por ejemplo, un edificio podría vibrar de una de las siguientes formas:
Estos son los modos o formas de vibrar. Las deformaciones que se obtienen en cada
modo son relativas, es decir normalizadas.
Por que son relativas, porque si bien esta es la FORMA en que va a vibrar el edificio,
todavía es desconocida la magnitud de la deformación. Esta magnitud solo se conocerá
cuando se aplique la carga.
Así, por ejemplo, si un edificio tiene el siguiente modo de vibrar:
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Un sismo puede producir las siguientes deformaciones reales:
Donde el valor máximo de la deformación es 2 centímetros.
En cambio, otro sismo, podrá producir las siguientes deformaciones:
Donde el valor máximo de deformación es 4 centímetros pero sigue siendo la misma
forma de vibrar (o modo de vibrar). Es decir, las magnitudes han cambiado pero en forma
proporcional al modo de vibrar.
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Periodos de vibración
En una estructura cada modo de vibrar tiene un periodo o frecuencia propio.
Espectro de respuesta:
Como hemos dicho, el espectro de respuesta representa el efecto del sismo sobre
cualquier estructura.
Un espectro de respuesta es una curva donde en la ordenada se tiene la respuesta máxima
de una estructura y en la abscisa el período o frecuencia del sistema. La respuesta
máxima puede ser cualquier cosa de interés: aceleración, desplazamiento, velocidad, etc.
Máximos de una estructura.
Entonces, si tenemos un espectro de respuesta que represente las deformaciones máximas
creadas por una carga, podemos obtener la deformación de la estructura conociendo
únicamente su periodo.
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En el caso de sismos, los espectros representan la aceleración del sismo versus el periodo
de la estructura.
Estas aceleraciones pueden ser convertidas a desplazamientos multiplicando las
deformaciones de los modos de vibrar por la frecuencia.
Entonces, el desplazamiento real de un nudo, para un modo de vibrar, y ocasionado por el
sismo, puede ser calculado de la siguiente forma:
Dreal = Dmodal * Acel/G / w2
Donde:
Dreal es el desplazamiento real de ese nudo y para ese modo de vibrar.
Dmodal es el desplazamiento modal (relativo) del nudo
Acel/G es la aceleración del sismo sobre la gravedad, obtenida del espectro de respuesta
para el período del modo actual
W es 2*pi/Período
Esfuerzos en cada modo de vibrar
Una vez que la deformación real de un modo de vibrar ha sido encontrada, ya se pueden
hallar los esfuerzos sobre los elementos.
Número de modos de vibrar
En los edificios no existe un solo modo de vibrar, sino tantos modos de vibrar como
masas existan.
Entonces, cada modo de vibrar dará diferentes esfuerzos.
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La pregunta entonces es, que esfuerzos finales debo tomar para el diseño de la
estructura?.
Lo que plantean los métodos, es superponer las soluciones. Es decir, sumar de alguna
forma las soluciones de cada modo de vibrar.
Algunos métodos plantean, por ejemplo:
La suma de los valores absolutos de los esfuerzos.
El cuadrado de la suma de esfuerzos al cuadrado.
El método CQC que usa una matriz que toma en cuenta la interpelación entre modos de
vibrar y amortiguamiento del edificio.
Así, por ejemplo, si deseo obtener el esfuerzo axial máximo en una columna, debo
obtener el máximo esfuerzo axial para cada modo de vibrar y luego superponer de
acuerdo a uno de los anteriores métodos.
Resumen
Entonces, el procedimiento básico para el análisis sísmico podría ser el siguiente:
Obtener un espectro de respuesta para la zona. Este espectro viene incluido en Todas las
normas sísmicas.
Encontrar los modos de vibrar y periodos de cada estructura (unos 10 a 15 son
suficientes)
Para cada modo de vibrar, hallar la aceleración del sismo del espectro de respuesta , y
multiplicar por los desplazamientos modales para obtener la deformación real de ese
modo.
Hallar los esfuerzos en los elementos para cada modo de vibrar
Superponer los esfuerzos.
Diseñar con los esfuerzos superpuestos.
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Análisis a través de programas de computadoras
Es claro que el procedimiento es sumamente moroso para realizarlo a mano. Por tanto, el
uso de la computadora se hace más necesario aún que en el análisis estático de edificios.
Sin embargo, cuando un programa es usado para el análisis dinámico, el análisis y diseño
de un edificio es casi igual al de un edificio sin sismo.
El procedimiento para analizar un edificio al sismo, puede resumirse en los siguientes
pasos:
Introducción de los datos de la estructura, como cualquier otra estructura, incluyendo
cargas estáticas
Introducción de masas
Introducción del espectro de respuesta sísmica
Crear condiciones de carga sísmicas en ambos sentidos
Crear combinaciones de carga incluyendo las de sismo.
Una vez hecho esto, el programa obtendrá los momentos máximos para todas las
combinaciones de carga, en forma idéntica a un análisis estático. Con los esfuerzos, la
estructura ya puede ser diseñada.
Diafragma rígido.
En rigor, cada nudo en una estructura tiene una masa. Sin embargo, gracias a la existencia
de losas en el edificio se pueden introducir solamente un nudo por piso con sus
respectivas masas.
Las losas crean un efecto de diafragma rígido horizontal que hace que todos los nudos de
un mismo piso se muevan horizontalmente como un sólido.
Verticalmente, cada nudo tiene su propia deformación.
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Entonces, basta calcular el desplazamiento de un solo nudo (en un piso), para saber el
desplazamiento horizontal de todos los nudos del mismo piso.
Esto permite concentrar todas las masas de un piso en un solo nudo: el del centro de
gravedad.
Entonces, al realizar un análisis dinámico, en cada piso, debe crearse un nudo en el centro
de masas del piso. Y a ese nudo se le deben asignar las masas de todo el piso.
Tres masas son necesarias suponiendo que el edificio se eleva en Y:
La masa traslacional en X y la masa traslacional en Z, que son las mismas, y la masa
rotacional alrededor de Y.
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Dirección del sismo
En el análisis, se deben considerar dos posibles direcciones del sismo, en X y en Z.
Por tanto, debe crearse una condición de cargas para sismo en X, y otra condición de
cargas para sismo en Z.
En los programas, la dirección del sismo se asigna a través del ángulo del sismo. Si el
ángulo es 0, el sismo va en la dirección X.
Si el ángulo del sismo es 90 grados, el sismo es en Z. 45 grados es intermedio.
Combinaciones de cargas
Una vez que las condiciones de carga con sismo han sido creadas, deben crearse las
respectivas combinaciones de carga tanto con sentido positivo como con sentido
negativo.
Las combinaciones a usar deben ser las sugeridas por la norma de diseño que se esta
utilizando.
Ejemplo:
Se introducirá un edificio de 5 plantas, de hormigón armado. El edificio a calcular es el
que se ilustra:
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Los datos a usar en el calculo son:
Fck (resistencia del hormigón): 210 Kg/cm2
Fy (resistencia del acero): 5100 Kg/cm2
Presión de viento amplificada por su coeficiente eólico Viento: 100Kg/m2
Norma de diseño: EH-91
Espectro de respuesta que se muestra en el dibujo.
La introducción de datos de una planta:
Introduciendo las vigas
Asignando cargas de muros a las vigas
Asignando nombres de ejes a las vigas
Introduciendo columnas
Asignando números a cada columna
Introduciendo losas con carga muerta y viva
Asignando armaduras
Exportando a AVwin
Para fines de comparación, analizar la estructura y ver la armadura requerida en una
columna.
En AVwin, introduciendo masas en los centros de masa
Introduciendo el espectro de respuesta
Creando un estado de carga para sismo en X
Introduciendo la aceleración del sismo en X
Creando un estado de carga para sismo en Z
Introduciendo la aceleración del sismo en Z
Creando combinación de cargas 1.44pp+1.44sx
Creando combinación de cargas 1.44pp-1.44sx
Debería crearse las mismas combinaciones para sismo en Z
Luego, se realiza el análisis
Se ven los modos de vibrar de la estructura
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Se ven los esfuerzos para el sismo en x
Se ven los esfuerzos para una combinación
Se diseñan los elementos
Se comparan los valores de las armaduras para el diseño sísmico
Se crean los dibujos
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