Download 1. Conjuntos numéricos

Clase
Números
Aprendizajes esperados
• Identificar pertenencia de números a los conjuntos numéricos.
• Reconocer los números a través de sus características.
• Comparar distintos tipos de números.
• Aplicar conceptos aritméticos (números primos, pares, impares,
múltiplos y divisores).
• Transformar decimales a fracciones y viceversa.
• Aplicar características numéricas en la resolución de problemas.
Pregunta oficial PSU
14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre
I) divisible por 3.
II) divisible por 6.
III) divisible por 9.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010.
1. Conjuntos numéricos
2. Definiciones
3. Orden
4. Transformaciones
5. Propiedades
1. Conjuntos numéricos
• Naturales:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}
• Cardinales:
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
• Enteros:
Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
• Racionales:
Q=
a
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
b
Todo número entero es racional
a: numerador y b: denominador
IN  IN0  Z  Q
• Irracionales:
Q* =
.....  3,  2,  ,
Son aquellos números que NO se
pueden escribir como una fracción
,....
Q  Q* = 
Q  Q* = IR
1. Conjuntos numéricos
Los números racionales pueden expresarse
como fracciones o como números decimales:
15 NO es racional.
0
Racional
Fracción
Decimal
numerador
menor que el
denominador
Propia
Finito
numerador
mayor que el
denominador
Impropia
Periódico
número
entero más
fracción
Número mixto
Semiperiódico
Ej: 0,04
Ej: 0,444…
Ej: 0,244…
1. Conjuntos numéricos
IN
IN0
Z
Q
Q*
R
IN  IN0  Z  Q  IR  C
II
C
2. Definiciones
Consecutividad numérica
• Sucesor
Todo número entero tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número,
es decir:
Si n pertenece a ℤ, su sucesor será (n + 1).
• Antecesor
Todo número entero tiene un antecesor y se obtiene al restar 1 al número,
es decir:
Si n pertenece a ℤ, su antecesor será (n – 1).
Enteros consecutivos
(n – 1)
antecesor
n
(n + 1)
sucesor
2. Definiciones
Paridad e imparidad
• Números pares
{.., – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…}
• Números impares {.., – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5,…}
Múltiplos
Los múltiplos de un número natural son aquellos que se obtienen al
multiplicarlo por algún otro número natural.
Por ejemplo:
Múltiplos de 4: {4, 8, 12, 16, 20, …}
Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, …}
2. Definiciones
Divisores
Los divisores de un número natural son aquellos números naturales
que lo dividen exactamente (división con resto cero).
Por ejemplo:
Divisores de 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Divisores de 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Números primos
Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí
mismos (solo tienen 2 divisores).
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…}.
El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor.
2. Definiciones
Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales,
corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común.
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método:
Se divide cada número por
números primos hasta que en
cada columna quede 1. El
producto de ellos corresponde al
m.c.m. entre 3, 6 y 15.
3 6 15 3
1 2 5
2
1 5
5
1
m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 = 30
2. Definiciones
Máximo común divisor (M.C.D.)
El máximo común divisor de dos o más números, corresponde al mayor
de los divisores que tienen en común.
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente
método:
Se divide por números primos que sean
divisores de cada número, hasta que
ya no se pueda dividir a todos en forma
simultánea. La multiplicación de estos
primos es el M.C.D.
36 18 24
2
18
9
12
3
6
3
4
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6
3. Orden
Comparación de fracciones
Igualar denominadores
Multiplicación cruzada
Se amplifican las fracciones hasta
igualar denominadores. Luego se
comparan los numeradores.
Se
multiplican
cruzados
numeradores y denominadores,
y luego se comparan estos
productos.
Ejemplo:
Al comparar
13
15
y
7
12
13∙4
15∙4
y
7∙5
12∙5
52
60
y
35
60
Como 52 > 35,
13
7
>
15
12
Ejemplo:
13
7
y
15
12
13 ∙ 12 y 15 ∙ 7
Al comparar
156
y 105
Como 156 >105 , 13 > 7
15
12
4. Transformaciones
• De número mixto a fracción impropia
Se debe multiplicar el número entero por el denominador, luego a este
producto se le suma el numerador. Este resultado pasa a ser el nuevo
numerador y el denominador se mantiene.
Ejemplo:
8
3
8· 5  3


5
5
43
5
• De fracción a decimal
Se debe dividir el numerador por el denominador.
Ejemplo:
7 1,75

4
4. Transformaciones
• De decimal finito a fracción
El numerador, de la nueva fracción, corresponde al decimal pero sin coma.
El denominador es una potencia de 10 con tantos ceros como decimales
tuviera el racional a transformar.
Ejemplo:
1,75  175  25·7  7
100
25·4
4
• De decimal periódico a fracción
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal
completo, sin la coma, y la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga
el período.
Ejemplos: 2, 35 
235  2 233

99
99
Se llama período al conjunto
de dígitos que se repite
indefinidamente.
4. Transformaciones
• De decimal semiperiódico a fracción
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número
decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras
del anteperiodo.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras
tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el anteperiodo.
Ejemplo:
3,214 = 3.214 – 32 = 3.182
990
990
Se llama anteperiodo a los
números que hay entre la
coma decimal y el período.
5. Propiedades
Valor absoluto
El valor absoluto de un número representa la distancia del número al cero
en la recta numérica.
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la
distancia del (– 5) al origen. La notación es: |5| = 5 y |– 5| = 5
0
-5
Ejemplo:
5 unidades
|– 20| = 20
5
5 unidades
|34| = 34
|– 12| = 12
5. Propiedades
Si a, b y c son números reales, entonces se cumplen las siguientes
propiedades:
Conmutatividad
a+b=b+a
a∙b=b∙a
Asociatividad
a + (b + c) = (a + b) + c
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
Distributividad
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
Elemento neutro aditivo
a+0=0+a=a
a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c
5. Propiedades
Elemento neutro multiplicativo
a∙1=1∙a=a
Elemento absorbente de la multiplicación
a∙0=0∙a=0
Inverso aditivo (opuesto)
El inverso aditivo (opuesto) de a es (– a)
Inverso multiplicativo (recíproco)
1
Si a ≠ 0, el inverso multiplicativo (recíproco) de a es
a
Pregunta oficial PSU
14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre
I) divisible por 3.
II) divisible por 6.
III) divisible por 9.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
ALTERNATIVA
CORRECTA
A
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010.
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Unidad temática
Habilidad
1
D
Conjuntos numéricos
Análisis
2
C
Conjuntos numéricos
Análisis
3
B
Conjuntos numéricos
Análisis
4
C
Conjuntos numéricos
Análisis
5
E
Conjuntos numéricos
Análisis
6
E
Conjuntos numéricos
Análisis
7
A
Conjuntos numéricos
Comprensión
8
E
Conjuntos numéricos
Aplicación
9
B
Conjuntos numéricos
Aplicación
10
C
Conjuntos numéricos
Aplicación
11
D
Conjuntos numéricos
Aplicación
12
D
Conjuntos numéricos
Aplicación
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Unidad temática
Habilidad
13
C
Conjuntos numéricos
Análisis
14
D
Conjuntos numéricos
Análisis
15
E
Conjuntos numéricos
Análisis
16
B
Conjuntos numéricos
Análisis
17
D
Conjuntos numéricos
Comprensión
18
B
Conjuntos numéricos
Conocimiento
19
E
Conjuntos numéricos
Análisis
20
D
Conjuntos numéricos
Análisis
21
C
Conjuntos numéricos
Análisis
22
C
Conjuntos numéricos
Análisis
23
E
Conjuntos numéricos
Análisis
24
B
Conjuntos numéricos
Evaluación
25
A
Conjuntos numéricos
Evaluación
Síntesis de la clase
NÚMEROS
Conjuntos
numéricos
Definiciones
número impar
Q
Q*
9
R
II C
múltiplos {9, 18, 27,…}
Orden
(n – 1) n (n + 1)
divisores {1, 3, 9}
número par
múltiplos {2, 4, 6,…}
IN IN0 Z Q
2
divisores {1, 2}
número primo
3
5
7
2
6  35
Síntesis de la clase
NÚMEROS
Transformaciones
135
100
50
0, 5 
9
531  53
5,31 
90
1 6·5  1 31


5
5
5
Propiedades
1,35 
6
Elemento neutro aditivo y
elemento absorbente
multiplicativo en N0
Inverso aditivo (opuesto) en Z
Inverso multiplicativo (recíproco) en Q
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