Download ángulos y sistemas de medición ferrer

INSTITUCIÓN EDUCATIVA
“MANUEL E. MENDOZA”
El Carmen de Bolívar - Colombia
Prof. Lic. JORGE FERRER S.
Ferrermiprofe.worpress.com
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS Y SISTEMAS DE
MEDICIÓN
Concepto de ángulo
• Es la región del plano situada entre
dos semirrectas que tienen un origen
común.
B
O
C
• Las dos semirrectas se llaman LADOS
y el origen común se llama VERTICE.
• Un ángulo se genera (origina) por la
rotación de uno de sus lados.
B
Lado final
Vértice
A
Lado inicial
C
Formas de nombrar un ángulo
• Utilizando tres letras mayúsculas:
una en un punto de cada lado y la
otra en el vértice
Leemos “ ángulo A“
C
Se escribe < BAC
A
B
•Escribiendo una letra griega entre los
lados
Leemos: ángulo beta
β
Escribimos : < β
* Consultar las letras griegas con sus respectivos nombres
•Colocando una letra mayúscula en el
vértice
C
A
se escribe : < A
se lee: “ángulo A”
A
B
ángulo A
ángulo B
ángulo C
Ángulos trigonométricos
Ángulos positivos:
son aquellos que se generan haciendo la
rotación del lado inicial, en sentido
contrario a la rotación de las manecillas
de un reloj.
Lado final
45º
Lado inicial
Ángulos negativos:
son aquellos que se generan haciendo la
rotación del lado inicial, en el sentido de
la rotación de las manecillas de un reloj.
Lado inicial
- 45º
Lado final
Ángulos en Posición Normal
Un ángulo está en posición
normal si su vértice coincide
con el origen del plano
cartesiano y el lado inicial con el
semieje positivo de las x.
Pueden ser:
• Ángulos del primer (I) cuadrante
• Ángulos del segundo (II) cuadrante
• Ángulos del tercer (III) cuadrante
• Ángulos del cuarto (IV) cuadrante
II
I
III
IV
y
II
I
(x , y)
(- , +)
(x , y)
(+ , +)
x
III
IV
(x , y)
(- , -)
(x , y)
(+ , -)
Ángulos del Primer Cuadrante
Un ángulo θ es del primer (I)
cuadrante si es mayor que 0º y menor
que 90º, es decir, 0º < θ < 90º
I cuadrante
Ej. Θ = 60º
60º
Ángulos del segundo Cuadrante
Un ángulo θ es del segundo (II)
cuadrante si es mayor que 90º y menor
que 180º, es decir, 90º < θ < 180º
Ej. Θ = 130º
130º
II cuadrante
Ángulos del tercer Cuadrante
Un ángulo θ es del tercer (III)
cuadrante si es mayor que 180º y menor
que 270º, es decir, 180º < θ < 270º
Ej. Θ = 240º
240º
III cuadrante
Ángulos del cuarto Cuadrante
Un ángulo θ es del cuarto (IV)
cuadrante si es mayor que 270º y menor
que 360º, es decir, 270º < θ < 360º
Ej. Θ = 300º
300º
IV cuadrante
x
Ángulo Giro o Completo
Es aquel que se genera cuando el lado
inicial hace una rotación de una vuelta
o un solo giro. Su valor es de 360º.
Θ = 360º
Θ
x
Ángulos Complementarios
Dos ángulos A y B son complementarios,
si la suma de ellos es igual a 90º.
Es decir, Si A y B son complementarios,
A + B = 90º
Ej: 30º y 60º ; 20º y 70º
Ángulos Suplementarios
Dos ángulos A y B son suplementarios,
si la suma de ellos es igual a 180º.
Es decir, Si A y B son suplementarios,
A + B = 180º
Ej: 120º y 60º ; 30º y 150º
Ángulos Coterminales
Dos ángulos son coterminales si
sus lados iniciales y terminales
coinciden respectivamente.
100º y 460º
120º y - 240º
Ángulo Central
Es aquel cuyo vértice es el centro de un
círculo y los lados cortan a la
circunferencia en uno, o, en dos puntos
C
y
< BAC
con arco ByC
x
A
B
< BAC
con arco BxC
SISTEMAS DE MEDIDAS DE
ÁNGULOS
• Sistema Sexagesimal
• Sistema Cíclico
• Sistema Centesimal
Sistema Sexagesimal
Es aquel en el que las unidades varían de
60 en 60 unidades.
Unidades :
Su unidad principal es el GRADO (º), que
se define como la trescientos sesenta
ava parte del ángulo giro.
1º = (1/360) del ángulo giro
OBSERVEMOS:
1 vuelta completa Ξ 1 ángulo giro = 360º
90º
1 vuelta completa = 360º
1/2 Vuelta = 180º
180º
1/4 de vuelta = 90º
3/4 de vuelta = 270º
0º
360º
270º
OTRAS UNIDADES
El minuto (´) y el segundo (´´)
1º = 60´
1´ = 60´´
Medida de una Circunferencia = 360º
ACTIVIDADES
1. Expresar en grados, minutos y segundos
los siguientes ángulos:
A. 40,28º
B. 5259´´
C. 325,4´
D. 356´ 125´´
E. 36° 158´ 305´´
Sistema Cíclico
Llamado también Sistema
Circular; porque la medida de
los ángulos se hace con
referencia al círculo.
La unidad de medida utilizada en
éste sistema es el Radián.
Radián
Es la medida del ángulo central
que subtiende un arco de
longitud igual al radio de la
circunferencia.
B
r
0
r
Si AB = r, entonces,
r < O = 1 radián
A
Medida en radianes de una
Circunferencia
Longitud de la circunferencia
mC = -------------------------------------------radio
2πr
mC = ------------ = 2 π
r
mC = 2 π rad
Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico
360° = 2 π rad
Equivale a decir,
180° = π rad
Conversión de unidades
De Grados a Radianes
1. Expresar en radianes un ángulo de
30°.
Solución:
Formamos una regla de tres simple,
así :
180°
π rad
30°
x
Luego,
1
3 0° ( π rad)
3 π
x = ----------------------- = ----- rad
1 8 0°
18
6
π
Por lo tanto, 30° = ------- rad.
6
Conclusión:
Para expresar de grados a
Radianes, multiplicamos la
cantidad de grados , por el
factor de conversión,
π
------- y simplificar, si es posible.
180°
Usemos este factor de
conversión
2. Expresar en radianes, un ángulo de
150°.
Solución:
π
150° = 1 5 0° ------- rad
1 8 0°
15 π
5π
150° = -------- rad = ------- rad.
18
6
Ahora, vamos a practicar
Expresar en radianes los
siguientes ángulos
1. 45°
2. 60°
3. 120°
4. 210°
5. 330°
De Radianes a Grados
1. Expresar en grados un ángulo de
5π
---------- rad.
4
Solución: Planteamos una regla de
tres, similar a la anterior :
180°
π rad
x
5π/4
Entonces,
5 π
180° -------4
X = --------------------------π
Cancelamos los π , y simplificamos a 180°
con el 4 , nos queda,
45°
90° 5 π
180° -------4
2
1
X = ------------------------ = 45° x 5 = 225°
π
Por lo tanto, 5 π / 4 rad = 225°.
Conclusión:
Para expresar de radianes a
grados, multiplicamos la cantidad
de radianes, por el factor de
conversión,
180°
-------π
, y simplificar, si es
posible.
Usemos este factor de Conversión
2. Expresar en grados un ángulo de
2π
------ rad.
3
Solución:
60°
2π
180°
2 π / 3 rad = --------- ------- = 2x60° =120°
3
π
1
Ahora, vamos a practicar
Expresar en grados los siguientes
ángulos
1. π /3 rad
2. 4 π / 3 rad
3. 5 π /12 rad
4. 3 π / 2 rad
5. π / 4 rad