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TEMA 12
COMBINATORIA
4º ESO – CURSO 16-17
Introducción. Factorial de un Nº
1! = 1
2! = 2·1
3! = 3·2·1
4! = 4·3·2·1
5! = 5·4·3·2·1
Cuidado  0! = 1
…
n! = n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…·2·1
El número n·(n−1)·(n−2)·…·3·2·1 se llama factorial de n, y
se representa por n!, donde n es un número natural.
Introducción. Factorial de un Nº
Ahora toca practicar… OPERACIONES CON FACTORIALES
3! + 2! = 8
4! – 2! = 22
3! · 0! = 6
5!
3!
8!
3! · 4!
= 20
= 280
Introducción. Números combinatorios
Dados dos números naturales m y n tales que m ≥ n, se define el
número combinatorio
, que se lee m sobre n, como:
Veamos un ejemplo:
Introducción. Números combinatorios
Ahora toca practicar… NÚMEROS COMBINATORIOS
7
3
= 35
9
4
= 126
6
4
= 15
Aplicaciones. Triángulo de Pascal
El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido
a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de
números enteros, infinito y simétrico.
Aplicaciones. Binomio de Newton
Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Pero… ¿Cómo calcularías: (a + b)3 ?
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton. Los coeficientes son los números
combinatorios que corresponden a la fila “n” del triángulo de Pascal.
Principios fundamentales de conteo
3 aviones
ADICIÓN
A
2 trenes
5 buses
MULTIPLICACIÓN
A
B
C
Número de maneras de llegar desde A hasta B
B
avión O tren O bus No suceden simultáneamente
3 + 2 + 5 = 10
Número de maneras de llegar desde A hasta C
AB y BC Sí suceden simultáneamente
3 x 2 = 6
Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación
¿Qué me pongo?
Me levanto por la mañana y al abrir
mi armario me doy cuenta que tengo:
 2 pantalones:
 4 camisas:
 2 pares de zapatos:
¿De cuantas formas me podría vestir hoy?
Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación
16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos
 Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama
Diagrama de árbol.
 Principio de multiplicación: si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2
opciones para elegir un segundo objeto, así hasta nm. El nº total de
maneras de elegir los m objetos es: N = n1 ·n2 ·…·nm
Esquema
m = número de elementos
n = de cuánto en cuánto se toman
=
=
Esquema
COMBINACIONES
-NO influye el orden en que colocas los MISMOS elementos
VARIACIONES
Sin repetición
o con repetición
- SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos
PERMUTACIONES
Sin repetición
o con repetición
- SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos
- Intervienen todos los elementos m = n
- En el caso de que se repitan los elementos, siempre se
repiten las mismas veces
NOTA: Hay casos en los que m = n y es una Combinación o una Variación
Con una baraja española que consta de 40 cartas,
¿de cuántas maneras diferentes podemos repartir 4 cartas?

¿Influye el orden de colocación? NO

¿Intervienen todos los elementos? NO

¿Se pueden repetir los elementos? NO
COMBINACIÓN
=
=
¿Cuántos elementos tengo? m = 40
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4
40!
40!
C40,4= 4! (40-4)! = 4! 36! =
40·39·38·37
4·3·2·1
= 91390
Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6
¿Cuántos números distintos de 4 cifras puedo formar sin repetir?

¿Influye el orden de colocación? SI

¿Intervienen todos los elementos? NO

¿Se pueden repetir los elementos? NO
1
2
3
4
4
3
2
1
VARIACIÓN
SIN REPETICIÓN
¿Cuántos elementos tengo? m = 6
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4
V 6, 4 =
6!
= 360
2!
¿Cuántas quinielas de fútbol distintas se pueden rellenar?

¿Influye el orden de colocación? SI

¿Intervienen todos los elementos? NO

¿Se pueden repetir los elementos? SI
Las
variaciones
con
repetición,
únicamente difieren de las anteriores en
que
ahora
sí
se
pueden
repetir
VARIACIÓN
CON REPETICIÓN
elementos.
¿Cuántos elementos tengo? m = 3
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 15
Se trata de variar 3 elementos que se
repiten (1,X,2) tomados de 15 en 15:
VR3,15 = 315 = 14.348.907
Con la palabra AMOR
¿Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse?

¿Influye el orden de colocación? SI

¿Intervienen todos los elementos? SI

¿Se pueden repetir los elementos? NO
AMOR
AMRO
AOMR
AORM
ARMO
AROM
MAOR
MARO
MOAR
MORA
MRAO
MROA
OAMR
OARM
OMAR
OMRA
ORAM
ORMA
RAMO
RAOM
RMAO
RMOA
ROMA
ROAM
¿Cuántas saldrían con la palabra
LOVE?
PERMUTACIÓN
SIN REPETICIÓN
¿Cuántos elementos tengo? m = 4
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4
P4 = 4!= 4·3·2·1 = 24
¿Cuántas palabras, con o sin sentido,
puedo formar con las letras de la palabra ARMELAR?

¿Influye el orden de colocación? SI

¿Intervienen todos los elementos? SI

¿Se pueden repetir los elementos? SI
Las permutaciones con
repetición de n elementos
son en las que un primer
elemento se repite n1 veces,
un segundo elemento n2
veces, y así hasta el último,
que se repite nk veces, con
n1+n2+…+nk = n.
PERMUTACIÓN
CON REPETICIÓN
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 7
¿Qué elementos se repiten a, b, c….? a=2
Son 7 letras, repitiéndose la “A” y la “R”, por tanto:
FIN
4º ESO – CURSO 16-17