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FUNCIÓN RACIONAL
Lucas Picos
ASINTOTA
Una de las formas de estudiar el comportamiento de una función cuando sus valores
tienden a infinito o en aquellos puntos en los que la función no está definida (puntos
aislado) es comparar la función con una recta, así diremos que una recta es una asíntota de
una función cuando la gráfica de la función y la recta permanecen muy próximas.
Dependiendo
de
como
sea
la
recta
tenemos
tres
tipos
de
asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas.
Pero cual es la definición de una función Racional?
Es la función de la forma
p( x )
R( x ) 
q( x)
donde p(x) y q(x) son
funciones polinómicas y
q(x) es distinto de cero.
Pero que es Función?
Es el término usado para indicar la relación
o correspondencia entre dos o más
cantidades.
El dominio consiste de todos los
números reales excepto aquellos para
los cuales el denominador, q(x) es 0.
Polinomio: Es la suma de varios monomios
Codominio: De una función f
en esa función.
: X Y
Y que participa
es el conjunto
Dominio: Es el conjunto de valores para los que una función está definida
Monomio: expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos
Ejemplo:
Encuentra el dominio de las siguientes funciones racionales:
Números Reales: incluyen a los números
racionales (como: 31, 37) como a los números
irracionales aquellos que no se pueden
expresar de manera fraccionaria y tienen
infinitas cifras decimales.
Definición
Si x tiende a  (x   ) ó x  -, y el valor de R(x) se acerca a un número fijo L, entonces la
línea y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de R.
Asíntota horizontal
y = R(x)
y=L
x
Asíntota Horizontal: Se llama asíntota
horizontal. El valor (número Real) al que
tiende F(x) al crecer (o decrecer)
indefinidamente la x.
Asíntota: Es una función cuya
representación gráfica es en forma de
línea recta o parábola y que su
trayectoria es de aproximación a una
curva.
y
y = R(x)
y=L
x
x
y
y=L
x
y = R(x)
Si x se acerca a un número real c, y el valor de |R(x)|  , “se acerca a infinito”, entonces la
línea x = c es una asíntota vertical de la gráfica de R.
y
Infinito: Da referencia a una cantidad
sin límite o final, contrapuesto al
concepto de finitud.
Finito: Es un grupo con un número
finito de elementos.
x
Asíntota Vertical
Asíntotas Vertical: son rectas
verticales a las cuales la función se va
acercando indefinidamente sin llegar
nunca a cortarlas.
x=c
x
Definición
Si una asíntota no es ni horizontal ni vertical se se llama asíntota oblicua.
y
x
Asíntota Oblicua
Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación:
Y  mx  n
f ( x)
x  x
m  lim
Para valores de x cada vez
mayores (en valor
absoluto), los puntos de la
recta y los de la gráfica de
la función están cada vez
más próximos.
El Teorema de las Asíntotas Verticales
Una función racional, , en forma reducida, tiene una asíntota vertical en x = r, si
x – r es un factor del denominador q(x); o sea, q(r )= 0 .
OJO: Para que x = r sea una asíntota
vertical q(r) = 0 pero p(r) ≠ 0.
La recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = inf olimx->a- f(x) = inf.
Asíntota : Se le dice a una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva
tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.
Ejemplo
Encuentra las asíntotas verticales de la gráfica de cada función racional, si existen.
3
3
(a) R( x)  2

x  1 ( x  1)( x  1)
La gráfica tiene asíntotas verticales en : x = - 1 y en x = 1
1
x 3
x 3


(b) R( x)  2
x  x  12 ( x  3)( x  4) x  4
La gráfica tiene una asíntota vertical en x = - 4
x5
(b) R ( x)  2
x 1
x 2  1  0 x  i  R
La gráfica tiene no tiene asíntotas verticales
(c) R( x) 
1
x4
x4


2
x  x  12 ( x  3)( x  4) x  3
La gráfica tiene tiene una asíntota vertical en x = 3
Teorema de las asíntotas horizontales y oblicuas - Considere la función racional
p( x ) an x  an 1 x  a1 x  a0
R( x ) 

m
m 1
q( x)
bm x  bm1 x b1 x  b0
n
n 1
en donde el grado del numerador es n y el grado del denominador es m.
1. Si n < m, entonces la línea y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de R.
2. Si n = m, entonces la línea y = an / bm es una asíntota horizontal de la gráfica de R.
3. Si n = m + 1, entonces la línea y = ax + b es una asíntota oblícua de la gráfica de R,
donde ax + b es el cociente de la división entre p (x) y q (x).
4. Si n > m + 1, la gráfica de R no tiene asíntotas lineales ni horizontales ni oblícuas.
Asíntotas Horizontales : Nos indica a que tiende la
función cuando la x es mus grande o muy pequeña,
además son rectas paralelas al eje OX. Se escriben
y= valor de la asíntota.
Asíntotas Oblicuas: Una función racional tiene
asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador
es una unidad mayor que el grado del
denominador.
Ejemplo
Encuentra la asíntota horizontal u oblicua de la gráfica de la función, si existe.
3x 2  4 x  15
(a) R( x)  3
x  4x2  7 x  1
2x2  4 x 1
(b) R( x)  2
3x  x  5
x2  4 x  1
(c) R( x) 
x2
La asíntota horizontal es: y = 0
La asíntota horizontal es; y = 2/3
La asíntota oblicua es; y = x + 6
x6
x  2 x2  4x  1
-  x 2  2x 
6x 1
-  6 x  12 
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