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ALGEBRA DE MATRICES
El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación
de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos
utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias
sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las
matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por
supuesto, el álgebra.
álgebra.
Explicaciones generales
matriz 3 x 4
fila
columna
El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz.
El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.
Ejemplo:
1 2 3 4 
5 6 7 8 
3 filas


La matriz es 3 x 4
9 10 11 12




4 columnas
Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz
A.
Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz
B.
Ejemplos:
 a11
A  a 21
 a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23 
a33 
b11 b12
B  b21 b22
b31 b32
b13 
b23 
b33 
En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.
1 2 3 4
5 6 7 8

A
 9 10 11 12


13 14 15 16
Suma de matrices
2 __________
7 __________
9 __________
14 __________
Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben
tener el mismo número de filas y columnas.
Definición de suma:
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn
Ejemplo:
Suma las matrices A + B
A
1 3
5 7
B
entonces su suma es
A + B = (ai j + bi j) mxn.
1+5=6
5 7
1 3
4 8
5 7

5 7
4 8

6
Suma a1 1
+
b1 1
Suma a1 2
+
b1 2
Suma a2 1
+
b2 1
Suma a2 2
+
b2 2
3 + 7 = 10
1 3
5 7
1 3
5 7

5 7

5 7
4 8
4 8

6 10

6 10
9
5+4=9
1 3

5 7
5 7
4 8

6 10
9 15
7 + 8 = 15
Propiedades:
Ley asociativa
Ley conmutativa
A  B  C    A  B  C
A B  B  A
Elemento neutro
0 0
0 0

1 2
3 4

1 2
3 4
Producto de un escalar
Definición:
Si kA = k(ai j) mxn
Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.
Ejemplo:
Opera 2A
A
1 5
2A  2
3 4
1 5
3 4
2 10

6
8
Inverso aditivo (resta)
A
2 3
4 5
B
4 1
1 2
Opera A – B
2 3
A B 
4 1

4 5
1 2

6 8
El orden es igual que en la suma pero debes
5 3
fijarte muy bien en los signos.
HOJA DE TRABAJO
b) A – B c) 2 A + 3 B
En cada ejercicio realiza: a) A + B
1
1
2
1) A  3
4
B 2
6
1 0
0
4
2)
3)
A
5 2
3
B
8
6
4
3 9
2
5
6
A 4
7
1
3
4
2
3
0
1
2
1
2
5 2
B  3
A
5)
A  1 0 B  0 1
6)
A
2
3
4
7
8
2 9 7
4)
1
3
B
0
0
3
2
1
1
2
2
0
1
1  2 3
4
2 3 4 5
2
B
5 7 9
4
0 3
1
1
4 6 8
7
5 0
4
3
Multiplicación de matrices:
Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas
Si tenemos que una matriz es 3 x 5
Matriz A
y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si
Matriz B
El tamaño de la
respuesta es 3 x 2
3 x 5
5 x 2
Si los números centrales son
iguales entonces se puede
multiplicar y el tamaño de la
respuesta son los números de los
extremos 3 x 2
Debe ser igual entonces
si se puede multiplicar
Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño
de la matriz de la respuesta.
Matriz A
¿se puede multiplicar?
Matriz B
3x4
5x6
5x3
7x8
4x2
5x7
3x1
4x3
2x5
Tamaño de respuesta
4x5
6x2
4x6
8x2
3x4
7x2
1x4
4x3
5x4
Ejemplo:
0 1 2
3 4 5
6

7
8
33
10 11  
12 13 14 
9
1) Reviso el tamaño de la matriz
A= 2x3 B=3x3
Como son iguales se puede
multiplicar.
El tamaño de la matriz de la
respuesta es 2 x 3



Se opera asi:
0  6  1 9  2 12 
2)
Siempre se toma la primera matriz
con la fila 1 (horizontal) con la 1
columna (vertical) marcada en la
matriz.
0  9  24  33
0 1 2
3 4 5
6

8
33 36
10 11  
12 13 14 
9
0  7  110  2 13 
0  10  26  36
7



0 1 2
3 4 5
6
7
8
33 36 39
10 11  



12 13 14

9
0  8  111  2 14 
0  11  28  39
0 1 2
3 4 5
6
7
8
 33 36 39
10 11  

114


12 13 14

9
3  6  4  9  5  12 
18  36  60  114
0 1 2
3 4 5
6
7
8
 33 36 39
10 11  

114 126


12 13 14

9
3  7  4  10  5  13 
21  40  65  126
0 1 2
3 4 5
6

7
8
 33 36 39 
10 11  
114 126 138
12 13 14 
9
3  8  4  11  5  14 
24  44  70  138
Respuesta:
0 1 2
3 4 5

6
7
8
9
10 11 
12 13 14
33
36
39
114 126 138
EJERCICIOS
Encuentra AB y BA, si es posible.
1)
3 5 
A

 2  6
5  2
B

1 7 
2)
 4  3
A

 2 1 
2 1 
B

 4 2
3 0  1

3) A  0
4
2 

5  3 1 
1  5 0 
B  4 1  2
0  1 3 
5 0 0 


4) A  0  3 0


0 0 2
3 0 0 
B  0 4 0 
0 0  2
 4  3 1
5) A  

  5 2 2
 2 1
B   0 1
 4 7
1 2


6) A  3 4


5 6 
2
0

B   1  2
 3
4 
7)
A  1 1
1
B  2
3
8)
1 2 3
A

 4 5 0
1 5 7 
B

2 3 0
Resuelve el siguientes problema:
1) Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañota de muebles .Por
cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado
les pagan $100. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero
y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.
Producción
enero
A
Producción
febrero
B
Salario/
Unidad
X
Caoba Cedro Pino  Caoba Cedro Pino 
José 
Caoba 500



2
0
3  1
2
3 
Pedro 
Cedro 400
 1
1
4  2
0
3 
Arturo 

 Pino 100
2
3  2
1
4 
 1
Calcule las siguientes matrices y decida que representan.
a) AX
b) BX
c) A  B
D)
 A  B X
Evalúa la expresión matricial
3  3 7 
- 9 5 - 8


A  2 6  2 y B   3 - 7 1 
4 2
 - 1 2 6 
5 
Evalúa:
a)
A2  B 2
b)
3A BA
c) A  5 B
2
d)
A  A2  B  B 2