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Números
Unidad 1: Números Decimales
Resumen
Un número decimal es un número escrito en un sistema de base 10 en que cada dígito, según su
posición, señala la cantidad de unidades, decenas, miles, décimas, centésimas, milésimas, etc.,
que contiene. Con una coma se separa la parte entera de la parte no entera del número. Por
ejemplo:
45,831  4 10  5 10 0  8 
1
1
1
 3
 1
10
100
1000
= 4 decenas + 5 unidades + 8 décimas + 3 centésimas + un milésimo
Desarrollo del concepto
Representación decimal de un número racional
Se llama fracción decimal a una fracción cuyo denominador es una potencia entera de 10
Ejemplo
1.
4
6 12421
,
,
son fracciones decimales.
10 1000 100
2. Todo número entero puede ser representado como fracción decimal, por ejemplo:
5
5
 0
1 10
k
k
k  10 n
k  0 
;n
1 10
10 n
5
3. El número racional
4. El número racional
5. El número racional
9
1125
se puede representar por la fracción decimal
ya que:
8
1000
9 9 125 1125


8 8 125 1000
3
6
puede ser representado por la fracción decimal
, ya que:
5
10
3 3 2 6


5 5  2 10
3
no puede ser representado por una fracción decimal, puesto que
5
ninguna potencia entera de 10 es divisible por 3.
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1
Números
El último ejemplo muestra que no todo número racional es representable como fracción
decimal.
Para poder representar un número racional como fracción decimal, su denominador debe ser un
factor de alguna potencia de 10. Veamos cuales son los factores primos de 10, 100, 1000.
10  2  5
100  2  5  2 2  52
2
1000  2  5  23  53
3

10  2  5  2 n  5n
n
n
n
Del cálculo anterior podemos deducir que los únicos factores primos de 10 son 2 y 5. Por lo
tanto, solamente los números racionales cuyos denominadores contienen sólo potencias enteras
de 2 y 5 pueden representarse como una fracción decimal.
Un número decimal finito es un número racional que puede ser representado por una fracción
decimal.
Ejemplo
9 3
, son números decimales finitos.
8 5
5
no es un número decimal finito.
3
¿Cómo reconocer si un número racional es un número decimal finito?
1º Escribirlo en su forma de fracción irreducible.
2º Si el denominador obtenido en el paso 1 contiene sólo potencias de de 2 y 5, entonces el
número se puede escribir como un número decimal finito.
Ejemplo
1. El número racional
33
puede ser escrito como decimal finito.
550
33
3 11
3
3
3




550 50 11 50 2  25 2  5 2
2. El número racional
.
42
no puede ser escrito como decimal finito, ya que su denominador
35
tiene factores distintos a potencias de 2 y 5,
35  5  7
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2
Números
Escritura decimal de un número decimal finito
Consideremos el número decimal
p
10 n
, donde p es un entero y
n es natural o cero.
Como p es un entero él se escribe mediante r dígitos:
p  p1 p 2  p r
Contando desde el último dígito hacia la izquierda
Entonces :
n lugares se escribe una coma.
p
p  p1 p 2  p r  n ,  p r ,
10 n
es la escritura decimal de
p
10 n
.
Ejemplo
2
 0,2; n  1, r  1
10
2
 0,02; n  2, r  1
100
21
 2,1; n  1, r  2
10
211
 21,1; n  1, r  1
10
Al efectuar la operación de división
2
, observamos que ésta contiene enteros por la cual el lugar
10
de la unidad está ocupado por cero.
decena
unidad
décimo
centésimo
milésima
10
1
1
10
1
100
1
1000
Los números racionales que no son decimales finitos
Hemos visto que solamente las fracciones irreductibles cuyo denominador contiene sólo potencias
de 2 ó 5 tienen una representación decimal finita.
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Es decir
1 1 1 1
, , , son números racionales que no tienen una representación decimal finita.
3 6 7 9
¿Qué sucede con ellos?
1
 1,000   6  0,166 
6
Explícitamente, la división es:
1,000   6  0,166 
10
40
40

Al dividir 1 por 6, vemos que en la tercera etapa del proceso de división la situación se torna
estacionaria, es decir, el residuo se repite una infinidad de veces. En estos casos el proceso de
división es infinito a diferencia del caso antes visto.
¿Qué es lo que hace un proceso de división de dos enteros sea finito o infinito?
Al dividir dos enteros p y q , los posibles restos son:
0,1,2,  , q  1
a) Si en alguna etapa aparece el resto cero, el proceso de división termina ahí y, por lo tanto,
es finito.
b) Si el resto cero no aparece, entonces el proceso se torna infinito y periódico. En este caso
las posibilidades de resto, son:
1,2, , q  1
Por ser una cantidad finita de posibilidades, en alguna etapa alguno de los números entre 1 y
q  1 se repite, en este instante el proceso se torna periódico.
Por lo tanto:


Todo número racional
p
puede ser representado por un número decimal finito o por un números
q
decimal periódico y recíprocamente: todo número decimal finito o decimal periódico representan un
número racional.
Notación: El período de un número decimal infinito se denota, escribiendo una vez el período con
una raya sobre él.
Ejemplo
0,166   0,16 .
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71,3912845684568456   71,39128456 .
Observación importante: Las representaciones no son excluyentes, es decir un número racional
puede ser escrito como número decimal finito o como número decimal periódico.
1. Todo número decimal periódico puede ser escrito como un número racional
Ejemplo
¿Qué número racional representa 2,62352 ?
x  2,62352
x 105  262352, 52
x 103  2623, 52
Sea
Restando miembro a miembro queda:
x 105  x 103  262352, 52  2623, 52


 259729
(un entero)
x 105  103  259729
x
259729 259.729

105  103 99.000
El cual representa un número racional.
2. Todo número entero puede ser escrito como un decimal periódico.
Ejemplo
3  2, 9
x  2, 9
10 x  29, 9
Restando:
10 x  x  29, 9  2, 9
x10  1  27
x
27
3
9
3. Todo número decimal finito puede ser representado por un decimal periódico.
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Ejemplo 1
La parte decimal puede ser escrita como:
0,2 
2 1, 9

 0,19
10 10
Entonces:
31,2  31  0,19
31,2  31,19
Ejemplo 2
57 56  1

100 100
0,57 

56  0, 9
100
56, 9
100
 0,569

4. La escritura decimal de un número racional cualquiera es periódica. Es consecuencia del
ejemplo anterior, o también en los casos de decimales finitos el cero puede ser
considerado el período.
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