Download atemáticas - Secundaria SM

MATEMÁTICAS :
ATEMÁTICAS :
Cuaderno de trabajo : SECUNDARIA
1
Cuaderno de trabajo
1
Silvia García Peña • Armando Solares Rojas • Jesús Rodríguez Viorato
ASESOR PEDAGÓGICO :
David Block Sevilla
SECUNDARIA
BASADO EN EL PROGRAMA OFICIAL
3/1/10 5:13:39 PM
Dirección de contenidos y servicios educativos
Elisa Bonilla Rius
Gerencia editorial
Hilda Victoria Infante Cosío
Edición
César Jiménez Espinosa,
Uriel Jiménez Herrera
Asesor pedagógico
David Block Sevilla
Autores
Silvia García Peña
Armando Solares Rojas
Jesús Rodríguez Viorato
Corrección
Abdel López Cruz,
Mauricio Del Río Martínez
Dirección de Arte
Quetzatl León Calixto
Diseño Gráfico
Factor 02
Diseño de portada
Claudia Adriana García,
Quetzatl León
Ilustración
Eliud Reyes Reyes
Diagramación
María Elena Amaro Guzmán,
César Leyva Acosta
Fotografía
© 2010 Thinkstock, Archivo SM,
Yina Garza, Elia Pérez, Ricardo Tapia
Producción
Carlos Olvera, Teresa Amaya

Cuaderno de trabajo. Matemáticas 1.
SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZO
Primera edición, 2010
D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010
Magdalena 211, Colonia del Valle,
03100, México, D.F.
Tel.: (55) 1087 8400
www.ediciones-sm.com.mx
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria
Editorial Mexicana
Registro número 2830
No está permitida la reproducción total o parcial
de este libro, ni su tratamiento informático, ni la
transmisión de ninguna forma o por cualquier
medio, ya sea electrónico, mecánico, por
fotocopia, por registro u otros métodos, sin el
permiso previo y por escrito de los titulares del
copyright.
Impreso en México/Printed in Mexico

PRESENTACIÓN :
Este cuaderno de trabajo se diseñó como un complemento de tus clases y de
tu libro de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las
técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos problemas, enfrentarte a más
desafíos y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para
que puedas aprender más.
Algunos ejercicios y actividades tal vez te parezcan fáciles mientras que en
otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no
logras resolver una actividad, te recomendamos que sigas con las demás y en
otro momento vuelvas a intentarlo.
Igual que tu libro, este cuaderno de trabajo se ha dividido en cinco bloques.
En cada bloque hay varias lecciones, conformadas por grupos de ejercicios y
actividades sobre algún contenido del programa. A su vez, dichas lecciones están
divididas en diferentes partes:
• “Repasemos”. Aquí encontrarás ejercicios sencillos con los que podrás practicar
las técnicas estudiadas en la lección o repasar las nociones aprendidas. Esta
sección sólo se incluye en los contenidos que así lo requieren.
• “Problemas y ejercicios”. Aquí podrás resolver situaciones diferentes a las de
tu libro, que te permitirán seguir aplicando los conocimientos aprendidos.
Estos ejercicios y problemas están ordenados del más sencillo al más difícil;
sin embargo hay que tener en cuenta que este orden es relativo, pues a veces
lo que para alguien es sencillo para otro no lo es. Los problemas marcados
con un icono son aquellos que consideramos más difíciles. Esta sección es
la única que está en todas las lecciones del cuaderno.
• “Y algo más...” Esta parte es como un cajón de sastre: hay de todo. En ella
hallarás acertijos, nuevos retos y desafíos, propiedades interesantes o datos
históricos relacionados con las matemáticas.
Por cada contenido de tu libro de texto hay un grupo de actividades en
el cuaderno de trabajo; excepto para los de “Justificación de fórmulas”, pues
los ejercicios y problemas sobre este tema se concentraron en el apartado de
“Aplicación de fórmulas”.
Esperamos que disfrutes este material, que lo vivas como una oportunidad
más para practicar, avanzar y profundizar en tus habilidades y conocimientos
matemáticos.
LOS AUTORES
3


LA QUÍMICA, LA
TECNOLOGÍA
BLOQUE
GUÍA DE USO:
Y TÚ
2
Entrada de bloque
En esta página se indican los aprendizajes
que esperamos que adquieras a lo largo
del bloque.
dos
era
Aprendizajes esp
Se espera que los
alumnos…
s y divisiones
s, multiplicacione
uar sumas, resta
s que implican efect
lema
1. Resuelvan prob
con fracciones.
ales.
números decim
iplicaciones con
can efectuar mult
perímetro
lemas que impli
an al calcular el
2. Resuelvan prob
étricas que se utiliz
o de fórmulas geom
.
ficad
lares
signi
regu
el
n
onos
ros y políg
3. Justifique
gulos, cuadriláte
nte, con factor de
y el área de trián
del tipo valor falta
nalidad directa
orcional.
lemas de proporcio
s de reparto prop
4. Resuelvan prob entero o fraccionario y problema
proporcionalidad
4.3
Analizar en situac
iones
problemáticas la
presencia de cantid
ades
relacionadas y
representar esta
relación
mediante una tabla
y una
expresión algeb
raica. En
particular la expre
sión
de la relación de
proporcionalidad
y â kx,
asociando los signifi
cados
de las variables
con
las cantidades que
intervienen en dicha
relación.
LECCIÓN 4.3
REGLAS DE CORRES
PONDENCIA
REPASEMOS
35
1. En un entrenam
iento, una atlet
a corre 200 metr
os cada minuto.
 Completa la
tabla.
Velocidad con
stante
Tiempo
Distancia
(min)
recorrida
(m)
0
1
2
3
4
60
 Denota con
d
la corredora en la distancia que recorre
metros y con
t, el tiempo
transcurrido en
segu
de correspondenc ndos. Escribe la regla
ia que permite
el valor de d a
encontrar
partir de t.
Recuadro de conocimientos y habilidades
2. De las regla
s de correspon
dencia del lado
para llenar la
derecho,
tabla.
x
0
1
2
5
10
y
6
8
10
16
26
subraya la que
fue usada
t y â 6x
Aquí se enuncia el conocimiento y habilidad que
ejercitarás.
t y â 2x
t y â x à 6
t y â 2x à 6
¿Cuál es el valo
90
r de y para x
= 100? y =
3. En cada tabla
se muestra una
relación entre
Calcula las cant
dos conjuntos
idades faltantes
de cantidades.
y subraya la regla
de correspondenc
ia correcta.
Tabla A
Perímetro del
Tabl
aB
cuadrado
Lado (L)
Tabla C
Edades
Perímetro (P)
(cm)
José
Áre
(J)
a del cuadrado
(cm)
Laura (L)
(años)
0.5
Lado (L)
(años)
Área (A)
2
(cm)
5
1
(cm2)
0.5
1.5
4
0.25
10
2.5
1
2
2
2.5
2
3
1
7
tP â L à 1.5
4
tL â 2J à 2
tP â 4L
tA â L à 0.2
tL â 7J
tP â L à 4
tA â L 2
tL â J à 6
tA â 2L
D
PORCIONALIDA
NTES DE PRO
A DE CONSTA
LECCIÓN 2.8
2.8
APLICACIÓN SUCESIV
orcionalidad.
factores de prop
la
en los óvalos los
ecto a las de
tabla y escribe
orcionales resp
1. Completa la
A deben ser prop
en la columna
es
C.
idad
mna
cant
Las
de la colu
las de B a las
y
B,
mna
colu
REPASEMOS
Columna A
5
10
15
Columna B
2
de
Interpretar el efecto
va
la aplicación sucesi
ntes
de factores consta
en
lidad
de proporciona
.
situaciones dadas
Columna C
1
ICIOS
PROBLEMAS Y EJERC
B
.
figura y contesta
engranes de la
2. Observa los
ane B da
vuelta, el engr
ane A da una
Cuando el engr
ta, el
vuel
una
da
ane B
cuando el engr
tres vueltas; y
1 de vuelta.
engrane C da 4
el
ta, ¿cuántas dará
A da una vuel
 Si el engrane
engrane C?
C
A
dará
tas, ¿cuántas
A da ocho vuel
 Si el engrane
el engrane C?
A tiene 10 dien
ra, el engrane
C?
o la de la figu
ta, ¿cuántas dará
iguración com
A da una vuel
 En una conf
ce. Si el engrane
quin
C,
y
ocho
tes; B,
Repasemos
4

En esta sección practicarás las técnicas
aprendidas, que utilizarás en las
actividades de la siguiente sección.
ra giran de tal
la figu
ctados como en
: A, B y C cone
 Tres engranes
da tres y C, dos.
una vuelta, B
cuando A da
i) Si B da una
ii)
vuelta, ¿cuántas
dará C?
ntas dará C?
tas, ¿cuá
Si B da cinco vuel
forma que
51

LECCIÓN 3.8
GRÁFICAS DE
PROBLEMAS Y EJERC BARRAS Y CIRCULARES
ICIOS
1. Marca con
Problemas y ejercicios
Aquí resolverás situaciones diferentes a las de tu libro de
texto y seguirás aplicando los conocimientos aprendidos.
Estos problemas y ejercicios están ordenados del más
sencillo al más difícil.
una ✔ la resp
3.8
uesta correcta.
Interpretar inform
ación
representada en
gráficas
de barras y circula
res
de frecuencia absolu
ta
y relativa, prove
nientes
de diarios o revista
s y de
otras fuentes. Comu
nicar
información prove
niente
de estudios sencil
los,
eligiendo la forma
de
representación más
adecuada.
 En Michoacá
n se llevó a cabo
un estudio con
entre 12 y 17
138 estudiantes
años
de secundaria
B y 46 de la escu de edad. De ellos, 46 son de
la escuela A, 46
(Fuente: http: ela C. ¿Cuál de las gráficas
de la escuela
//www.medici
correspon
na.umich.mx/
fisio_h/memori de a estos datos?
as/obesidad.pd
f)
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
C
5%
0%
A
B
C
A
Los problemas marcados con el icono
mayor grado de dificultad.
tienen
0
33.33%
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
A
33.33%
46%
A
46%
B
B
33.33%
C
46%
C
Y ALGO MÁS…
o de Johann Carl
referente al geni máticas, y niño
ria muy famosa
mate
Hay una histo
príncipe de las
, tratando de
(1777-1855), el
aria, su profesor aran en su
Friedrich Gauss
prim
la
en
ta que
sum
prodigio. Se cuen a los alumnos, les pidió que , en cuestión
ados
su sorpresa
Para
mantener ocup
100.
a
1
eros de
uesta (5 050).
cuaderno los núm levantó la mano y dio la resp
Gauss
de segundos,
pidió que
o trampa y le
hech
a
r
habí
ó que Gauss
bastaba con pone
El maestro crey
nn aclaró que
:
edimiento. Joha
enientemente
explicara su proc en una lista y sumarlos conv
eros
todos los núm
77
1 + 100 â 101
2 + 99 â 101
3 + 98 â 101
4 + 97 â 101
…
h Gauss
Johann Carl Friedric
18
a, la suma ori101. De esta form a multiplicar
r a 50 à 51 â
lo cual equivale
ente hasta llega
s de cifra 101,
Y así sucesivam
a en 50 sumando
ginal se transform
ar a la
50 ñ 101.
a como “sum
(conocido ahor
o.
do de Gauss
o se muestra abaj
de ver el méto
Otra manera
las parejas, com
ar cada una de
andos)
Gauss”) es aline
sum
(100
à100
… à 98 à 99
sumandos)
2 à 3à 4 à
à 2 à 1 (100
suma â 1 à
andos)
97 à … à 3
à101 (100 sum
à 99 à 98 à
à … à101à101
à suma â 100
à101 à101à101
a
2 ñ suma â101
aquí que la sum
De
ñ 101 â 10 100.
100
a
l
igua
s la suma es
Es decir, 2 vece
5 050.
de 1 a 100 es
calcular la
de los números
para
ula
ne una fórm
de Gauss se obtie
do de sumar
Con este méto
eros de 1 a n:
suma de los núm
n(n à 1)
â
n
à
…
à
2
3
1à2à
14. Contesta. 1 a n para
suma de
para obtener la
sirve
ula
fórm
En 4 à … à 10.
erno que esta
1 à 2 à 3 à una tienda hay una balanza
Verifica en tu cuad n. Por ejemplo, la suma de
como la que mue
jeto, éste se colo
de
stra
ca
res
valo
nos
algu
en el platillo izqu sobre el platillo derecho y desp la figura. Para pesar un obierdo hasta equi
ués se quitan
o ponen pesa
de las pesas colo
librar la balanza.
s
cadas.
El peso del obje
to es la suma
En la tienda sólo
hay cuatro pesa
s para la balanza,
ellas pesa todo
s los objetos de
pero el dueño
asegura que con
1 kg, 2 kg, 3 kg,
4 kg…,14 kg y
hasta 15 kg.
¿Cuál es el peso
de cada pesa
en esta tienda?
1, 2, 4
y 8 kg
Y ALGO MÁS…
Trucos de magia
Un mago hizo
un truco de núm
eros en una ocas
público que pens
ión. Le dijo a
ara en un núm
una persona del
ero entero de
sona las cuatro
1 a 15. Después
tarjetas con núm
mostró a la pereros que aparecen
en qué tarjetas
esta
abajo y le indic
número pensado. ba el número pensado. Inme
ó que señalara
diatamente, el
mago adivinó
el


3
6
7

10

6
11
14
15

12
4
5

2
1 9
3 11
5 13
7 15
7
8
9
12
12
13
14
15
Este apartado es como un cajón de sastre: hay
de todo. Hallarás acertijos, nuevos desafíos,
propiedades interesantes o datos históricos
relacionados con las matemáticas.


Y algo más...
13
10 14
11 15
El truco está en
sumar el prim
er número de
Por ejemplo, si
cada carta que
pensó en el 13,
señaló la pers
debió de seña
al sumar 1, 4 y
ona.
lar las cartas a),
8 obtenemos
el número 13.
b) y d). Entonces
,
 Utiliza las tarje
tas dibujadas
arriba y presenta
compañeros.
este truco de
magia a algunos
 ¿Por qué func
iona el truco?
(Pista:
sistema de num
eración “palito-b representa los números de
1 a 15 en el
olita”.)
5


ÍNDICE:
Bloque 1
Lección 1.1
Lección 1.2
Lección 1.3
Lección 1.4
Lección 1.5
Lección 1.6
Lección 1.7
Lección 1.8
7
Sistemas de numeración ....................................................................................... 8
Representación de fracciones y decimales en la recta ........................................... 13
Secuencias ........................................................................................................... 15
Significado de algunas fórmulas geométricas ....................................................... 19
Simetría respecto a un eje ..................................................................................... 21
Proporcionalidad .................................................................................................. 25
Reparto proporcional ........................................................................................... 29
¿De cuántas formas? ............................................................................................ 32
Bloque 2
Lección 2.1
Lección 2.2
Lección 2.3
Lección 2.4
Lección 2.5
Lección 2.7
Lección 2.8
35
Problemas aditivos con fracciones y decimales ...................................................... 36
Multiplicación y división de fracciones ................................................................... 38
Multiplicación de decimales .................................................................................. 40
Mediatriz y bisectriz .............................................................................................. 42
Polígonos regulares ............................................................................................... 46
Más problemas de proporcionalidad ..................................................................... 49
Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad ..........................................51
Bloque 3
Lección 3.1
Lección 3.2
Lección 3.3
Lección 3.4
Lección 3.5
Lección 3.6
Lección 3.7
Lección 3.8
Lección 3.9
53
División con números decimales ............................................................................ 54
Ecuaciones de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c .............................................. 58
Trazo de triángulos y cuadriláteros .........................................................................61
Perímetros y áreas ................................................................................................. 64
Proporcionalidad y regla de tres ............................................................................ 67
Porcentajes ........................................................................................................... 70
Frecuencia absoluta y relativa ................................................................................ 74
Gráficas de barras y circulares ............................................................................... 77
Espacio muestral y comparación de probabilidades ............................................... 82
Bloque 4
Lección 4.1
Lección 4.2
Lección 4.3
Lección 4.4
Lección 4.6
Lección 4.7
85
Problemas de números positivos y negativos ......................................................... 86
Potenciación y raíz cuadrada ................................................................................. 88
Reglas de correspondencia .................................................................................... 90
Con regla y compás .............................................................................................. 94
Área y perímetro del círculo .................................................................................. 98
Gráficas de relaciones funcionales I ......................................................................101
Bloque 5
Lección 5.1
Lección 5.2
Lección 5.3
Lección 5.4
Lección 5.5
Lección 5.6
107
Adición y sustracción de números con signo ....................................................... 108
Relaciones funcionales .........................................................................................112
Cálculo de áreas................................................................................................... 117
Resultados equiprobables y no equiprobables ..................................................... 120
Proporcionalidad inversa ......................................................................................122
Media, mediana y moda ..................................................................................... 125
6


BLOQUE
LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ
1
Aprendizajes esperados
Se espera que los alumnos…
1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición,
número de símbolos) y establezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas
posicionales y no posicionales.
2. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos.
3. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa.
4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifiquen cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan.
5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.
7


LECCIÓN 1.1
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
1.1
Identificar las
propiedades del sistema
de numeración decimal y
contrastarlas con las de
otros sistemas numéricos
posicionales y no
posicionales
REPASEMOS
1. Escribe los números en sistema egipcio.
 13 =
 15 =
 51 =
 102 =
 123 =
 321 =
 1 010 =
 10 131 =
 2 310 =
 111 111 =
2. Escribe qué números representan los símbolos egipcios.


=


=

=
=
=
3. Escribe los números en sistema chino.
 20 =
 123 =
 321 =
1 230 =
 90 009 =
 11 111 =
8


4. Escribe en las líneas qué números representan los símbolos chinos.








5. Escribe los números en sistema maya.
 12 =
 21 =
 40 =
 80 =
 421 =
 1 111 =
6. Escribe qué valores representan los símbolos mayas.






9


PROBLEMAS Y EJERCICIOS
7. Subraya el número egipcio escrito de manera correcta.
 


 

8. Resuelve las operaciones directamente. No transformes los números en
notación indoarábiga.

+



−


−
+
9. Marca con una ✔ el número chino escrito correctamente.
 



10. Marca con una ✔ el número maya escrito de modo correcto.




11. Contesta con números indoarábigos.
¿Cuál es el número menor que se forma utilizando exactamente
25 símbolos egipcios (con repeticiones)?
10


12. Lee el texto y contesta.
En cierto idioma, cuando se empieza a contar los números se escucha así:
“LLoa”, “Moa”, “La”, “Va”, “Le”,
El conteo prosigue así:
“Ay”, “Lob”, “Viu”, “Bey”, “Bi”
¿Cuál es el resultado de las operaciones?
 “Lob” + “Lloa” =
 “Bi” − “Ay” =
13. Considera el sistema de numeración palito-bolita mostrado en la tabla.
|
|O
||
|OO
|O|
||O
|||
|OOO
|OO|
|O|O
|O||
||OO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 Escribe cada número en el sistema “palito-bolita”.
16 =
13 =
41 =
Anota qué números representan estos símbolos del sistema “palito-bolita”.
|O|O|O =
|||| =
|OOO| =
Efectúa las operaciones. Escribe tu respuesta con el sistema de numeración
“palito-bolita”.
| | | |
|
+
| | OO
| |
+
| O | O | | |
+
| OOOO |
| O | OO |
| O | | O
+
| | | |
–
| O |
| O | | |
–
| | O |
Contesta.
¿Cuál es la base del sistema “palito-bolita”?
¿Cuántos números pueden formarse con cuatro símbolos en el sistema “palito-bolita” (con repeticiones)?
11


14. Contesta.
En una tienda hay una balanza como la que muestra la figura. Para pesar un objeto, éste se coloca sobre el platillo derecho y después se quitan o ponen pesas
en el platillo izquierdo hasta equilibrar la balanza. El peso del objeto es la suma
de las pesas colocadas.
En la tienda sólo hay cuatro pesas para la balanza, pero el dueño asegura que con
ellas pesa todos los objetos de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg…,14 kg y hasta 15 kg.
¿Cuál es el peso de cada pesa en esta tienda?
Y ALGO MÁS…
Trucos de magia
Un mago hizo un truco de números en una ocasión. Le dijo a una persona del
público que pensara en un número entero de 1 a 15. Después mostró a la persona las cuatro tarjetas con números que aparecen abajo y le indicó que señalara
en qué tarjetas estaba el número pensado. Inmediatamente, el mago adivinó el
número pensado.

9

4
12
11
13
5
13
6
15
7
14
15

1
3
5
7
2
10
3
6
11
8
9
14
15
10 14
11 15
7


12


13

El truco está en sumar el primer número de cada carta que señaló la persona.
Por ejemplo, si pensó en el 13, debió de señalar las cartas a), b) y d). Entonces,
al sumar 1, 4 y 8 obtenemos el número 13.
 Utiliza las tarjetas dibujadas arriba y presenta este truco de magia a algunos
compañeros.
 ¿Por qué funciona el truco? (Pista: representa los números de 1 a 15 en el
sistema de numeración “palito-bolita”.)
12


LECCIÓN 1.2
REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES Y DECIMALES EN LA RECTA
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1.2
1. Anota los números que corresponden a los puntos indicados en cada recta.
75
114
2 412
Representar números
fraccionarios y decimales
en la recta numérica
a partir de distintas
informaciones, analizando
las convenciones de esta
representación.
6 900
0
5
4
2
5
3
5
1.2
1.3
1.25
1.26
2. Representa los números que se indican en cada recta. En algunos casos hay
más de una respuesta correcta.
12, 15 y 24
6
18
8, 14, 18 y 28
6
356, 368 y 378
360
13


1 1
1, 1 , 2 y 3
2 2
2
1 1 1 3
, , y
2 3 6 4
1
8
2 2 2 6
, ,
y
4 6 12 8
1
4
3 3 3
, ,y
8 4 2
1
4
1.5, 2.5 y 3.5
2
3. Un autobús salió de la Ciudad de México a las 10 h de la mañana y llegó a
Chilpancingo a la hora que marca el reloj, ¿cuánto tiempo transcurrió? Tacha
la cantidad que NO expresa el tiempo transcurrido.
 3:45 h
 3
1
h
4
 3.75 h
 225 min
Y ALGO MÁS…
Anota los números de 1 a 8 en cada casilla sin
que se toquen con su antecesor o sucesor en
ningún sentido, ni lateral ni diagonal.
14


LECCIÓN 1.3
SECUENCIAS
REPASEMOS
1.3
1. Relaciona con una línea cada regla con la secuencia que genera.
2, 5, 8, 11, …
 2n + 1
3, 5, 7, 9, …
 3n − 1
Construir sucesiones de
números a partir de una
regla dada. Determinar
expresiones generales
que definen las reglas de
sucesiones numéricas
y figurativas.
4, 6, 8, 10, …
2, 7, 12, 17, …
 n2 + 1
3, 7, 16, 32, …
2, 5, 10, 17, …
 5n − 2
3, 8, 13, 18, …
4, 7, 10, 13, …
2. Subraya la regla que genera la secuencia 1, 3, 7, 13, 21…
 2n – 1
 n2 – n + 1
 2n2 + 1
 3n + 7
3. En cada caso, completa la regla que genera la secuencia de la izquierda.
Recuerda que 0 también es un número, por lo que puedes ponerlo en los
recuadros.
 5, 10, 15, 20, … regla:
n+
 5, 9, 13, 17, …
regla:
n+
 2, 5, 8, 11, …
regla:
n–
 11, 18, 25, 32, … regla:
n+
 5, 12, 19, 26, … regla:
n–
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
4. Observa las secuencias de figuras y contesta.
 Secuencia Cruces
…
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
15


¿Cuántos puntos verdes tendrá la figura 5?
¿Cuántos habrá en la figura 10?
¿Y en la figura 2 000?
¿Cuántos habrá en la figura n?
¿Qué número de figura tendrá 2 008 puntos verdes?
 Secuencia Triángulos
…
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
¿Cuántos puntos verdes tendrá la figura 6?
¿Cuántos habrá en la figura 11?
¿Y en la figura 2 009?
¿Cuántos tendrá la figura n?
¿Cuál será la primera figura con más de 2 000 puntos verdes?
 Secuencia Palillos de dientes
…
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
¿Cuántos palillos se necesitan para formar la figura 5?
¿Cuántos se necesitan para formar la figura 10?
¿Y para formar la figura n?
16


 Secuencia Torres
…
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
¿Cuántos bloques tiene en su base la figura n?
De las siguientes opciones, ¿cuál expresión representa el número de bloques
de la figura n?
n–1–2–3…–n
1+2+3+…+n
1+n
n2
¿Cuántos bloques se necesitan para formar la figura 20?
5. Subraya la respuesta correcta.
 La regla de una secuencia es 5n + 3, ¿qué número es un término de dicha
secuencia?
125
126
127
128
 De las siguientes reglas, ¿cuál describe una secuencia en la que 2 000 aparece como término?
7n + 3
7n + 4
7n + 5
7n + 6
6. Contesta.
En la figura se presenta una serie numérica acomodada en espiral. Un lugar a
la derecha y un lugar abajo del uno, está el tres; dos lugares a la derecha y dos
lugares abajo del uno, está el trece.
7
8
9
10
6
1
2
11
5
4
3
12
…0 14
13
¿Qué número debe aparecer ocho lugares a la derecha y ocho lugares hacia abajo
del uno?
17


Y ALGO MÁS…
Hay una historia muy famosa referente al genio de Johann Carl
Friedrich Gauss (1777-1855), el príncipe de las matemáticas, y niño
prodigio. Se cuenta que en la primaria, su profesor, tratando de
mantener ocupados a los alumnos, les pidió que sumaran en su
cuaderno los números de 1 a 100. Para su sorpresa, en cuestión
de segundos, Gauss levantó la mano y dio la respuesta (5 050).
El maestro creyó que Gauss había hecho trampa y le pidió que
explicara su procedimiento. Johann aclaró que bastaba con poner
todos los números en una lista y sumarlos convenientemente:
1
2
3
4
+ 100 =
+ 99 =
+ 98 =
+ 97 =
…
101
101
101
101
Johann Carl Friedrich Gauss
Y así sucesivamente hasta llegar a 50 + 51 = 101. De esta forma, la suma original se transforma en 50 sumandos de cifra 101, lo cual equivale a multiplicar
50 × 101.
Otra manera de ver el método de Gauss (conocido ahora como “sumar a la
Gauss”) es alinear cada una de las parejas, como se muestra abajo.
suma = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 +100 (100 sumandos)
+ suma = 100 + 99 + 98 + 97 + … + 3 + 2 + 1 (100 sumandos)
2 × suma =101 +101 +101+101+ … +101+101+101 (100 sumandos)
Es decir, 2 veces la suma es igual a 100 × 101 = 10 100. De aquí que la suma
de los números de 1 a 100 es 5 050.
Con este método de sumar de Gauss se obtiene una fórmula para calcular la
suma de los números de 1 a n:
1+2+3+…+n=
n(n + 1)
2
Verifica en tu cuaderno que esta fórmula sirve para obtener la suma de 1 a n para
algunos valores de n. Por ejemplo, la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10.
18


LECCIÓN 1.4
SIGNIFICADO DE ALGUNAS FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1.4
1. Con base en la siguiente figura, anota las áreas que se piden en términos de
a, b y h.
 Área del rectángulo ABCD:
 Área del triángulo BCS:
Explicar en lenguaje
natural el significado
de algunas fórmulas
geométricas,
interpretando las literales
como números generales
con los que es posible
operar.
S
D
C
 Área del triángulo ADS:
h
 Área del triángulo ABS:
 Si a = 4 cm, b = 9 cm y h = 7 cm, ¿cuál es el área del A
a
P
b
B
triángulo ABS?
 Si consideramos las medidas de a, b y h mencionadas en el inciso anterior,
¿cuál es el área del rectángulo ABCD?
2. La imagen de la derecha muestra un espejo cuadrado enmarcado con
12 rectángulos de aluminio. Calcula las medidas que se indican.
 Perímetro del marco:
 Área del espejo:
 Ancho de un rectángulo de aluminio:
b
 Largo de un rectángulo de aluminio:
 Área de un rectángulo de aluminio:
 Área del marco:
a
 Ahora calcula estas medidas suponiendo que a = 50 cm y b = 40 cm.
Perímetro del marco:
Área del espejo:
Ancho de un rectángulo:
Largo de un rectángulo:
Área de un rectángulo:
Área del marco:
19


3. Éste es el croquis del patio de una escuela, está formado por cuatro
rectángulos iguales entre sí y cuatro triángulos también iguales.
 ¿Cuál es el área del patio?
b
 Si a = 16 m, b = 12 m y el perímetro del patio mide 136 m, ¿cuánto mide
el lado más largo de cada triángulo?
a
4. La estrella se formó con cinco triángulos como el que aparece dibujado.
 ¿Cuál es el perímetro de la estrella?
 ¿Cuál es el área de la estrella?
c
 Si el área de la estrella es 120 cm2, ¿cuánto pueden medir a y b? (Hay muchas respuestas, menciona tres posibilidades.)
b
a
Y ALGO MÁS…
Un padre heredó a sus cinco hijos un terreno de forma cuadrada, bajo las siguientes condiciones: Al mayor le tocaría la
cuarta parte del terreno, el resto (tres cuartas partes) sería repartido entre los demás hijos pero, para evitar problemas, las
cuatro partes deberían tener la misma forma y la misma área.
Muestra, en la figura, cómo quedará dividido el terreno.
20


LECCIÓN 1.5
SIMETRÍA RESPECTO A UN EJE
REPASEMOS
1.5
1. Identifica la figura simétrica al triángulo ABC y anota A’, B’ y C’ en los
vértices que corresponda.
B
Construir figuras
simétricas respecto de un
eje, analizarlas y explicitar
las propiedades que se
conservan en figuras tales
como: triángulos isósceles
y equiláteros, rombos,
cuadrados y rectángulos.
C
A
2. Escribe si cada afirmación es falsa o verdadera.
Afirmación
a) Si dos segmentos son paralelos, sus simétricos respecto a
un eje también lo son.
¿Falsa o
verdadera?
b) Si dos segmentos son perpendiculares, sus simétricos
respecto a un eje también lo son.
c) Si un ángulo mide 45°, su simétrico respecto a un eje tiene
una medida diferente.
d) Si un segmento mide tres unidades, su simétrico respecto
a un eje mide tres unidades.
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
3. Encuentra los puntos simétricos a P, Q, R y S respecto a la recta azul
y denótalos con P’, Q’, R’ y S’, respectivamente.
R
P
Q
S
21


4. Traza el eje de simetría de cada pareja de triángulos simétricos.
5. Traza las figuras simétricas respecto al eje vertical.
Eje
6. Efectúa lo que se pide en el dibujo de la izquierda y contesta.
y
Traza la simétrica de la figura 1 respecto al eje x y llámala figura
2. Después, traza la simétrica de la figura 2 respecto al eje y,
nómbrala figura 3. Finalmente, traza la figura 4, simétrica de la
figura 3 respecto al eje x.
¿Qué relación guardan las figuras 1 y 4?
x
Figura 1
22


7. Traza con rojo el simétrico de cada segmento respecto a la recta verde.
8. En cada caso, traza la figura simétrica respecto al eje.
M
N
R
P
Q
B
C
D
E
A
23


9. Completa las dos figuras. En cada caso todas las líneas verdes son ejes de
simetría de la figura.
10. La recta roja es perpendicular a la recta numérica y pasa por el punto que
corresponde al número 3.5. El punto A corresponde al número 6.25.
3.5
A
¿A qué número corresponde el simétrico al punto A respecto a la recta roja?
6.25
Y ALGO MÁS…
En los mosaicos se usa la simetría. ¿Qué figuras simétricas encuentras en los
siguientes mosaicos?
24


LECCIÓN 1.6
PROPORCIONALIDAD
REPASEMOS
1.6
1. Marca con una ✔ la respuesta correcta y contesta.
 ¿En cuál de las tablas se presenta una relación de proporcionalidad directa
entre las cantidades?
Edades de un padre y su hijo
Edad del padre
(años)
Edad del hijo
(años)
23
46
69
0
23
46
Cobro por servicio de telefonía
celular de una compañía
Número de
llamadas
Monto a pagar
(pesos)
10
20
30
115
130
145
Identificar y resolver
situaciones de
proporcionalidad
directa del tipo “valor
faltante” en diversos
contextos, utilizando de
manera flexible diversos
procedimientos.
Receta para hacer chocolate
Cantidad de azúcar
(g)
Cantidad de cacao
(kg)
200
400
600
500
1 000
1 500
Porción chica
Porción mediana
Porción grande
¿Por qué la relación que elegiste es de proporcionalidad directa?
 La tablas corresponden a la conversión de unidades para medir distancia,
temperatura y peso. ¿En cuál de ellas la conversión NO es una relación de
proporcionalidad directa?
Conversión de unidades
de distancia
Conversión de unidades
de temperatura
Conversión de unidades
de peso
Pulgadas
Centímetros
Grados
celsius
Grados
Fahrenheit
Onzas
Gramos
1
2.54
1
33.8
1
28.35
5
6
12.70
15.24
5
6
41.0
42.8
5
6
141.75
170.10
¿En qué te fijaste para saber que la relación NO es de proporcionalidad directa?
25


 Un automóvil viaja a una velocidad constante de 85 km/h, ¿qué tabla corresponde a la relación entre la distancia y el tiempo del recorrido de este
automovil?
Tabla 1
Tiempo
(horas)
Tabla 2
Distancia
(km)
Tabla 3
Tiempo
(horas)
Distancia
(km)
Tiempo
(horas)
Distancia
(km)
0
3
8
0
0
3
4
0
255
340
2
9
10
 ¿En cuál tabla no se representa una velocidad constante?
 ¿Qué velocidad en kilómetros por hora corresponde a la tabla 1?
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
2. A continuación se presentan algunas medidas del plano de una casa.
Medida del plano (cm)
Ancho de la sala-comedor
Largo de la sala-comedor
Ancho del terreno
Largo del terreno
Ancho del garaje
Ancho del pasillo
Largo del pasillo
1.5
3.0
4.5
9
2
1
3.75
 Completa la tabla con algunas de las medidas reales de la casa.
Medida real (cm)
Ancho de la sala-comedor
Largo de la sala-comedor
Ancho del terreno
Largo del terreno
Ancho del garaje
Ancho del pasillo
Largo del pasillo
300
900
 ¿Cuál es el factor de escala o constante de proporcionalidad que permite
encontrar las medidas reales a partir de las medidas del plano?
26


 Una de estas afirmaciones es falsa, ¿cuál?
Entre más grande es una distancia en el plano, más grande es la distancia
real que le corresponde.
A la suma de dos distancias del plano de la casa corresponde la suma de
dos distancias reales.
Si en el plano una distancia x es n veces más grande que una distancia y,
las distancias reales correspondientes (x y y respectivamente) cumplirán con
que x será n veces menor que y.
 ¿Cuál es el error de la afirmación? .
3. El dibujo da las medidas de la reproducción a escala de un barco de vela.
Profundidad del casco
Largo del barco
Altura del mástil mayor
Altura del mástil menor
Medida de la
reproducción (cm)
2
15
14
10.5
 La reproducción está hecha a una escala de 2 a 200. Completa la tabla con
las medidas reales que debe tener el barco.
Medida real (cm)
Profundidad del casco
Largo del barco
Altura del mástil mayor
Altura del mástil menor
 ¿Cuál es el factor de escala o constante de proporcionalidad para convertir
las medidas de la reproducción en las medidas reales?
 A escala 2 a 200, ¿cuánto debe medir el ancho de la parte trasera del barco (popa)
en la reproducción si su ancho real es de 500 cm?
 Si se hiciera una segunda reproducción a escala 3 a 450, ¿cuál reproducción
y para convertir
sería más grande, la primera o la segunda?
las medidas de la reproducción en medidas reales, ¿cuál sería el factor de
escala?
27


4. Al hacer pruebas de laboratorio, un automóvil modelo X tiene la siguiente
especificación de consumo de gasolina: con su tanque lleno (50 ) recorre 50
kilómetros.
  Completa la tabla, que relaciona las distancias recorridas y la cantidad de
gasolina consumida por éste automóvil, suponiendo que las cantidades son
proporcionales.
Consumo de gasolina del automóvil modelo X
Cantidad de gasolina
Distancia recorrida
()
(km)
50
650
25
10
100
1
 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
Esta constante de proporcionalidad se llama “rendimiento del automóvil” e indica la cantidad de kilómetros que recorre con un litro de gasolina.
La versión de este automóvil equipado con motor híbrido (que emplea tanto
gasolina como electricidad) tiene la siguiente especificación de consumo de gasolina: con su tanque lleno (50 ) recorre 1 100 km.
 Completa la tabla. para calcular algunas distancias y cantidades de gasolina
consumida por el automóvil híbrido.
Consumo de gasolina del automóvil
Modelo con motor híbrido
Cantidad de gasolina
()
Distancia recorrida
(km)
50
1 100
550
10
100
 ¿Cuál es el rendimiento del automóvil híbrido?
En la Ciudad de México, un taxi recorre 300 kilómetros diarios, en promedio.
 ¿Cuánta gasolina gastaría en un día un taxi modelo X?
 ¿Y cuánta gastaría en un día un taxi con motor híbrido?
28


LECCIÓN 1.7
REPARTO PROPORCIONAL
REPASEMOS
1.7
1. En un equipo de futbol los tres mejores goleadores se repartirán un premio
de $18 000.00 de manera proporcional, al número de goles que cada quien
anotó en la temporada.
Elaborar y utilizar
procedimientos para
resolver problemas de
reparto proporcional.
• El mejor goleador anotó doce goles.
• El segundo mejor anotó ocho goles.
• El tercero anotó cuatro goles.
¿Cuánto le toca a cada jugador? Subraya la
opción correcta.
 $12 000.00 al mejor, $8 000.00 al segundo y $4 000.00 al tercero.
 $10 000.00 al mejor, $5 000.00 al segundo y 3 000.00 al tercero.
 $9 000.00 al mejor, $6 000.00 al segundo
y $3,000.00 al tercero.
Explica por qué el reparto que escogiste es proporcional al número de goles
anotados.
2. Cuatro personas efectuaron un trabajo en 90 días y se repartieron el dinero
ganado proporcionalmente al tiempo que trabajó cada uno. El dinero quedó
repartido como se muestra en la siguiente tabla.
 Completa la tabla para saber cuantos días trabajó cada quien.
Persona
A
B
C
D
Dinero recibido
($)
5 000.00
4 000.00
3 000.00
6 000.00
Tiempo trabajado
(días)
 ¿Cuánto les pagaron en total a las cuatro personas por los 90 días de trabajo?
29


3. Los habitantes de tres comunidades harán una obra de drenaje que beneficiará
a todos. El costo de los materiales es de $3 500 000.00. En la comunidad A hay
700 habitantes; en la comunidad B hay 400 habitantes; y en la comunidad C
hay 30 habitantes.
 ¿Cuál de las siguientes tablas consideras que corresponde a un reparto justo
de los gastos? Márcala con una ✔.
Comunidad
A
B
C
Número de Cooperación
habitantes
($)
700
2 000 000.00
400
1 000 000.00
300
500 000.00
Comunidad
A
B
C
Comunidad
A
B
C
Número de
habitantes
700
400
300
Número de
habitantes
700
400
300
Cooperación
($)
1 750 000.00
1 000 000.00
750 000.00
Cooperación
($)
700 000.00
400 000.00
300 000.00
 Si el reparto del costo se hiciera de manera proporcional a la cantidad de habitantes de cada una de las comunidades, ¿cuánto pagaría
cada habitante?
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
4. Dos inversionistas aportaron $45 000.00 y $55 000.00 para un negocio,
pero hubo una pérdida de $20 000.00. Si decidieron absorber la pérdida de
manera proporcional al dinero invertido, ¿cuánto dinero le quedó a cada uno?
Les quedó
Cuadrilla
Número de
obreros
Días
trabajados
A
B
C
5. Tres cuadrillas de obreros efectuaron un trabajo por el que
se pagó $24,000.00. Las cuadrillas cubrieron los días de
trabajo como se indica en la tabla.
El dinero del pago se repartirá de manera que cada obrero reciba la misma cantidad de dinero por cada día trabajado.
 ¿Cuánto dinero le corresponde a cada cuadrilla?
Cuadrilla A: $
Cuadrilla B: $
Cuadrilla C: $
 ¿Cuánto dinero le corresponde por día a cada obrero? $
30


6. Gaby, Marina y Pati hicieron un trabajo y decidieron repartir el dinero que
ganaron de manera proporcional a la cantidad de horas que cada una dedicó.
En la tabla se muestra cuántas horas trabajó cada una.
Cantidad de horas
trabajadas
Gaby
2
Marina
3
Pati
4
 Si la diferencia entre lo que recibieron Pati y Gaby es $400.00, ¿cuánto dinero
ganaron en total? $
 ¿Cuánto percibió cada una?
Marina: $
Gaby: $
Pati: $
7. Una empresa otorgará un bono de puntualidad a sus empleados. El bono
es de $5 600.00 y se repartirá de manera proporcional a la puntualidad. Las
reglas para participar en el reparto son:
• Si algún empleado cuenta con más de cinco retardos no participa en el
reparto del bono.
• Si hay un empleado sin retardos, éste recibe la mitad del bono y el resto
se reparte de manera proporcional entre los demás empleados con
derecho a participar.
• Si hay más de un empleado sin retardos, el bono se reparte sólo entre los
empleados sin retardos.
A continuación se muestra la lista de retardos. Completa la tabla para saber
cuánto dinero del bono corresponde a cada empleado.
Empleado
A
B
C
D
E
F
Número de
retardos
4
6
2
0
7
1
Cantidad de dinero que le corresponde
($)
31


LECCIÓN 1.8
1.8
Resolver problemas
de conteo utilizando
diversos recursos,
tales como tablas,
diagramas de árbol y
otros procedimientos
personales.
¿DE CUÁNTAS FORMAS?
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1. Contesta.
 Una imprenta ofrece el servicio de impresión de invitaciones para quinceañeras. La empresa ofrece lo siguiente:
• Dos tipos de materiales: cartulina perilizada y papel albanene.
• Tres colores: verde, rojo y azul.
• Tres diseños: floreado, con mariposas y con corazones.
¿Cuántas invitaciones distintas ofrece esta imprenta?
 Una biblioteca tiene cuatro salas, en cada una hay doce libreros, en cada librero hay seis estantes, y en cada estante hay 20 libros.
¿Cuántos libros hay en la biblioteca?
 Una escuela permite estas prendas para el uniforme escolar femenino.
Manga corta
con cuello
Blusa azul
Manga larga
con cuello
Manga larga
sin cuello
Falda
Cuadriculada con guinda
Guinda plana con un
y blanco
contorno blanco
Más la posibilidad de usar estos accesorios.
Accesorios
Bufanda con el logo escolar
Suéter guinda con el logo escolar
¿De cuántas formas distintas puede vestirse una estudiante para ir a la escuela?
32


 El mapa de la derecha muestra las diferentes carreteras que se extienden entre la ciudad A y la ciudad B.
¿Cuántas maneras hay de viajar de A a B avanz a n d o s i e m p re d e i z q u i e rd a a d e re c h a ?
A
B
A
B
Recientemente se construyó la carretera roja que se
muestra en el mapa, ¿de cuántas formas puede viajarse ahora?
 En un sorteo deben escogerse cuatro números de
un total de 10. ¿Cuántas maneras hay de hacer la
elección?
 En la ciudad de México, las placas de los automovilistas particulares llevan
primero tres dígitos y luego tres letras. Las letras posibles para las placas son
26, ya que no está permitida la ñ, ¿cuántas placas distintas puede haber?
 En un restaurante es posible pedir una hamburguesa con los siguientes ingredientes: jitomate, lechuga, cebolla, mayonesa, mostaza y kétchup. Por
ejemplo, puede pedirse una hamburguesa con ningún ingrediente o una con
sólo jitomate o una con solamente mayonesa y lechuga o una con todos los
ingredientes, etc. ¿Cuántas maneras distintas hay de pedir la hamburguesa?
 En un torneo de futbol participaron siete equipos. Si cada
equipo jugó cuatro partidos, ¿cuántos partidos hubo en
total?
 En ajedrez, la torre es una pieza que en cada movimiento se desplaza horizontal o verticalmente cuantas casillas
quiera y, a diferencia de la reina, no puede moverse en
diagonal. Diremos que una pieza es atacada por la torre
si dicha pieza se encuentra en una casilla que la torre alcanza en un movimiento. En el tablero de ajedrez se muestran ocho torres de manera que ninguna ataca a otra.
¿De cuántas maneras pueden acomodarse ocho torres sin
que se ataquen?
33


 El telégrafo era un dispositivo de comunicación muy popular que funcionaba
mediante pulsaciones. Para enviar mensajes se usaba la siguiente notación:
un sonido “bip” se representaba con un punto (•), y un “biiiip” más prolongado, con un guión (—).
Todos los caracteres del alfabeto y los nueve dígitos se codificaron con esa notación. Por ejemplo, •— es la “A” y —••• es la “B”. Esta codificación se conoce
como clave Morse. Para separar una letra de otra se usa una pausa sin sonido
con duración de aproximadamente cinco “bips” normales.
Cabe notar que en clave Morse no todas las letras tienen la misma cantidad de
símbolos; por ejemplo, “A” tiene dos (un punto y una raya) y “B” usa cuatro
(una raya y tres puntos).
¿Cuántos caracteres podrían codificarse con tres símbolos o menos (puntos,
guiones o ambos)?
¿Y con cuatro símbolos o menos?
¿Cuántos, con cinco símbolos?
Y ALGO MÁS…
El primer telégrafo se construyó en 1774, pero era muy poco práctico, pues usaba 26 cables, uno por cada letra del abecedario. Por esa época dos alemanes lo
mejoraron para que sólo usara cinco cables. Pero F. B. Morse estaba convencido
de que era posible construir un telégrafo de un solo cable.
Morse unió sus fuerzas con Leonard Gale y Alfred Vail para construir un prototipo de telégrafo de un solo cable. Su éxito se debió en gran medida al diseño
del código Morse, el cual permitió codificar todas las letras del abecedario para
transmitir con un solo cable.
En 1842, Morse obtuvo un apoyo de 30 000 dólares del Congreso de Estados
Unidos de América para llevar a cabo su plan de cablear a ese país. Más tarde,
en 1844, Morse envió su primer mensaje entre ciudades. Y en 1854, diez años
después de ese primer mensaje, el telégrafo se esparció por todo el territorio
estadounidense: ya había 23 000 millas de cableado de telégrafo.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
•—
—•••
—•—•
—••
•
• •—•
——•
••••
••
•———
—•—
•—••
——
N —•
O ———
P •——•
Q ——•—
R •—•
S
•••
T
—
U ••—
V •••—
W •——
X —••—
Y —•——
Z ——••
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
•—— — —
••—— —
•••— —
•••••
•••••
—••••
——•••
——— ••
——— — •
——— — —
a) Descifra el mensaje del recuadro con la clave Morse presentada a la izquierda.
• •— • • •••
— — ••— — •— —
•— •• •• ••• — — — —
El mensaje dice:
34

