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Bolilla 4: Rotación de los
cuerpos rígidos.
Movimiento circular
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Bolilla 4: Rotación de los cuerpos rígidos. Movimiento circular
4.1 Variables Angulares
Las variables angulares sirven para representar en
forma mas simple e idónea al movimiento de rotación.
La posición angular θ se define en radianes de la
siguiente manera:
θ = s/r
Equivalencias: 1 giro = 2π rad = 360o
Definiciones:
Δθ θ f − θ i
1. Velocidad angular media: ωm =
=
Δt
tf − ti
dθ
2. Velocidad angular instantánea:
ω=
dt
ω es un vector cuya dirección es la del eje de
rotación y sentido (regla del tornillo) como el
indicado en la figura:
2
3. El desplazamiento de un punto situado a una distancia r
del eje de rotación es:
s = rθ
4. La variación de s respecto de t, es la celeridad o velocidad
tangencial. Se relaciona con la velocidad angular de la
siguiente manera:
ds
dθ
=r
⇒ v = rω
dt
dt
5. La aceleración angular media es:
r
Δω
αm =
Δt
r
6. La aceleración angular instantánea es:
dω
α=
dt
Fotografia de los Anillos de
Saturno (Voyager 1. en 1980)
7. La aceleración angular es un vector, cuya dirección y
sentido están dados por el cambio en la velocidad
angular.
3
8. La aceleración tangencial es la variación con
respecto al tiempo de la velocidad tangencial.
Es un vector tangente a la trayectoria cuyo
módulo verifica la relación:
dv
dω
v = rω →
=r
→ a = rα
dt
dt
4.2 Movimiento Circular Uniforme (MCU). Movimiento Circular Uniformemente
Variado (MCVU)
Un objeto tiene MCU cuando la
velocidad angular es constante:
ω = constante → α = 0
Un objeto tiene MCUV cuando la
aceleración angular es constante:
α = constante
Ecuaciones del MCUV
r
r r
ω = ωo + αt
1
θ = θo + ωot + αt 2
2
ω 2 = ωo 2 + 2α (θ − θo )
4
La velocidad tangencial (vt o v) en un
movimiento circular, cambia continuamente
de dirección. Este cambio de velocidad
respecto del tiempo,
se
denomina
aceleración centrípeta o radial, ar. Este
vector apunta radialmente hacia el centro de
la trayectoria.
Δv Δ r
=
v
r
1 Δv
1 Δr
Δt → 0
=
⎯⎯⎯
⎯→
v Δt
r Δt
1
1
ar = v
v
r
v2
ar =
r
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Aceleraciones en el Movimiento Circular
r
Δω
α =
( angular )
Δt
at = rα ( tangencial )
v2
ar =
( radial )
r
r
4.3 Momentos
El momento τ ejercido por una fuerza
F
alrededor de un punto O se define como el
producto vectorial del vector r, (cuyo origen se
encuentra en O y finaliza en el punto de
aplicación de la fuerza F ), y la fuerza F.
r r
τ = r×F
r
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Por su definicion, el módulo del momento es:
τ = r F sen θ
El momento es máximo cuando θ es un ángulo
recto. Es nulo cuando θ es igual a 0o o 180o.
Nota: PARES. Dos fuerzas iguales pero opuestas y cuyas
líneas de acción sean diferentes constituyen un par.
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4.4 Leyes de Newton del Movimiento de Rotación
Primera Ley (Segunda Condición de Equilibrio):
Si la sumatoria de los momentos actuantes sobre
un cuerpo en cero, el cuerpo se encuentra en
reposo o gira con Movimiento Circular Uniforme.
Momento de inercia: ‘resistencia’ de un cuerpo a girar, depende
de su masa y de cómo ésta está distribuida
Segunda Ley:
El momento total aplicado a un cuerpo es
igual al momento de inercia del cuerpo
multiplicado por su aceleración angular.
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Momentos de Inercia de
cuerpos uniformes
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4.5 Equilibrio de los Cuerpos Rígidos
r
Primera condición de equilibrio: ∑ Fi = 0
i
Segunda condición de equilibrio:
r
∑τ i = 0
(Traslación)
(Rotación)
i
4.6 Centro de Gravedad
Centro de gravedad: es el punto donde puede suponerse aplicado el peso de un objeto.
El peso de un objeto produce un momento nulo respecto de su centro de gravedad.
Cálculo del centro de gravedad para un conjunto de masas puntuales
n
p x + p 2 x 2 + ... + p n x n
=
x cg = 1 1
p1 + p 2 + ... + p n
∑p x
i =1
n
i
∑p
i =1
i
i
n
p y + p 2 y 2 + ... + p n y n
=
y cg = 1 1
p1 + p 2 + ... + p n
∑p y
i =1
n
i
∑p
i =1
i
i
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Centro de gravedad de cuerpos homogéneos
Se generalizan las ecuaciones anteriores subdividiendo
al cuerpo en masas pequeñas (diferenciales de masa) y
sumando (integrando) cada una de las contribuciones
según la defición.
Algunas propiedades del centro de gravedad (cg)
El cg no coincide
necesariamente con un punto
que pertenezca al cuerpo
Trayectoria del cg (mov. de
proyectiles)
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Propiedades del centro de gravedad
Equilibrio y centro de gravedad
Posición del cg: suspender
al cuerpo de puntos distintos
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Cuadro resumen: Comparación entre los movimientos de traslación y de rotación.
MAGNITUD
Posición
Velocidad
Aceleración
Aceleración
Radial
MUV
r
x, s
θ
r
x
Δ
r
v=
Δt
r
r Δv
a=
Δt
Δθ
Δt
r
r Δω
α =
Δt
r r r
v = vo + at
1r
r r r
x = xo + vot + at 2
v 2 = vo 2 + 2aΔx
Masa-Momento
de Inercia
Equilibrio
r
r
F = ma
r
ar = ω 2r
ω = ωo + αt
1
θ = θ o + ω ot + α t 2
ω2
=
ωo 2 +
r
2α Δθ
τ = Iα
I
r
∑τ
--------
2
r
m
r
∑F = 0
a =α r
v2
ar =
rr
r
---------
RELACIÓN
s = rθ
v=ωr
ω=
2
FuerzaMomento
ROTACIÓN
TRASLACIÓN
r r
τ = r×F
r
I=
=0
∑ mi ri 2
-----
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