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CAPITULO 2
ONDAS
ELECTROMAGNETICAS
Los campos eléctricos y magnéticos son fundamentalmente campos de fuerza
que se originan a partir de cargas eléctricas. Si a un campo de fuerza se le llama
eléctrico, magnético o electromagnético, se deberá al estado de movimiento de las
cargas que lo producen. Por ejemplo, si estas cargas están en reposo con respecto
a un punto de observación, darán lugar a un campo electrostático. El movimiento
relativo de las cargas a velocidad constante proporcionará un campo adicional
llamado magnético o magnetostático.
Si las cargas presentan movimientos
acelerados producidos por campos eléctricos y magnéticos variables con el tiempo,
estos campos se denominan campos electromagnéticos.
En esta unidad se estudiará el comportamiento de las ondas electromagnéticas
en medios con pérdidas, así como sus parámetros de propagación más importantes
en forma general, particularizándolos posteriormente para medios dieléctricos y
conductores.
Para el análisis es necesario recordar el sistema de ecuaciones de Maxwell,
derivado de las leyes de Ampere, Faraday y Poisson.
ˆ = Jˆ c + Jˆ d = Jˆ c +
∇xH
∇xEˆ = −
∂Bˆ
∂t
∇ • D̂ = ρ v
∇ • Bˆ = 0
ˆ
∂D
∂t
(2.1)
Ley de Faraday
Además
(2.2)
Ley de Ampere
ˆ
Bˆ = µH
(2.5)
ˆ = εE
ˆ
D
(2.6)
(2.3)
Ecs. de Poisson
(2.4)
19
Donde:
Ĥ :
B̂ :
Ê :
D̂ :
Ĵc
Jˆ d :
ρv :
µ, ε :
Es la intensidad de campo magnético en A/m
Es la densidad de flujo magnético en weber/m
2
Es la intensidad de campo eléctrico en V/m
Es la densidad de flujo eléctrico en coul/m
2
Es la densidad de corriente de conducción en A/m
2
Es la densidad de corriente de desplazamiento en V/m
Es la densidad de carga eléctrica en coul/m
2
2
Corresponden a la permeabilidad en farad/m y permitividad en henrio/m
Las ecuaciones anteriores están en forma diferencial y son generales para
cualquier medio, pero pueden particularizarse para medios conductores o
dieléctricos.
2.1 Solución de las ecuaciones de Maxwell para una onda plana.
Las ondas planas uniformes proporcionan las soluciones más simples de las
ecuaciones de Maxwell, caracterizadas por los campos uniformes sobre superficies
planas infinitas en instantes fijos.
Las ondas planas uniformes tienen la propiedad de presentar uniformidad en los
campos Ê y Ĥ sobre superficies planas. En lo que sigue se supone que estos
planos estan definidos por las superficies z=constante, lo que también equivale a
expresar que las variaciones espaciales de Ê y Ĥ son cero sobre los planos
z=constante. Es decir;
ˆ,H
ˆ)
∂ (E
∂x
ˆ ˆ
= ∂ (E , H )
La siguiente figura ilustra este comportamiento.
∂y
=0
(2.7)
20
Figura 2.1. Gráfico de la superficie equifásica de una onda plana
También se supone que la densidad de carga es cero en todas las partes de la
región, es decir que ρv=0.
Aunque de manera estricta una onda plana uniforme no existe en la practica, ya
que para crearla se requeriría una fuente de extensión infinita, es posible decir que a
una distancia lejana, se puede aproximar una porción del frente de onda esférico a
un frente de onda plano.
Las soluciones armónicas en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell son de
mucha importancia. Los campos Ê y Ĥ armónicos en el tiempo, se generan siempre
que sus fuentes de carga y corriente tengan densidades que varíen sinusoidalmente
con el tiempo.
Asumiendo que las fuentes sinusoidales hayan estado activas durante un tiempo
considerable, como para que las componentes de campo transitorios hayan decaído
hasta niveles despreciales, se puede hacer la suposición de que Ê y Ĥ hayan
21
alcanzado un estado sinusoidal estable. Entonces Ê y Ĥ varían con los factores
cos(ωt + θE) y cos(ωt + θΗ), donde ω es la frecuencia angular y θ es un angulo
arbitrario para cada campo en particular.
Se logra otra formulación equivalente y además mucho mas simplificada para los
cálculos, si se supone que los campos varían de acuerdo con el factor exponencial
complejo ejωt.
Esto es:
Eˆ = a Eˆ o e
jω t
(2.8)
ˆ = a Hˆ o e
H
jω t
(2.9)
Para este tipo de variación, el sistema de ecuaciones diferenciales de Maxwell se
reduce a:
ˆ = (σ + jϖε )E
ˆ
∇xH
(2.10)
ˆ =0
∇•E
(2.12)
ˆ = − jϖµH
ˆ
∇xE
(2.11)
ˆ =0
∇•H
(2.13)
Generalmente, en un problema de campo electromagnético variable en el tiempo
se tiene interés en obtener soluciones de campo Ê y Ĥ de las cuatro relaciones de
Maxwell.
Si se combinan las expresiones anteriores, es posible encontrar una
ecuación diferencial en términos de cada uno de los campos.
Para eliminar Ĥ se aplica rotacional en ambos miembros de la ecuación 2.11.
∇ x ( ∇ x Eˆ ) = − j ϖµ ( ∇ x Hˆ )
Por identidades vectoriales (ver apéndice B), se tiene que;
ˆ ) = −∇ 2 E
ˆ + ∇ • Eˆ = −∇ 2 E
ˆ
∇x(∇xE
Luego sustituyendo en la ecuación 2.10, se tiene;
− ∇ 2 Eˆ = − j ωµ (σ + j ωε ) Eˆ
(2.14)
22
así se encuentra la ecuación diferencial, parcial homogénea para cualquier medio
de la onda Eléctrica:
∇ 2 Eˆ − jωµ (σ + jωε )Eˆ = 0
(2.15)
Análogamente se obtiene la ecuación de Ĥ :
ˆ − jωµ (σ + jωε )H
ˆ =0
∇2H
(2.16)
Se debe tener presente que 2.15 y 2.16, no contienen información nueva que no
haya sido expresada en las ecuaciones diferenciales de Maxwell.
Para estudiar cómo se propagan las ondas planas, se desarrollará la ecuación
2.11.
ax
∂
ˆ =
∇xE
∂x
Ex
ay
∂
∂y
Ey
az
∂
= − jωµ (a x Hˆ x + a y Hˆ y + a z Hˆ z )
∂z
Ez
(2.17)
Desarrollando el rotacional (ver apéndice B) e igualando componentes
vectoriales, y tomando en cuenta la uniformidad de los campos en las superficies
equipotenciales sin variación en x o y de dichos campos, se puede establecer cuáles
son las componentes de campo Ê y Ĥ que prevalecen en la propagación de las
ondas planas en cualquier medio. Así,
∂Eˆ y
∂z
= jωµ Hˆ x
(2.18)
∂Eˆ x
= − jωµ Hˆ y
∂z
(2.19)
0 = Ĥ z
(2.21)
0 = Ê z
Análogamente, resolviendo el rotacional de Ĥ se obtiene;
∂Hˆ y
∂z
= −(σ + jωε ) Eˆ x
(2.20)
∂Hˆ x
= (σ + jωε ) Eˆ y
∂z
23
De lo anterior se puede ver que las ondas planas se propagan en forma tal que
no tienen componentes de campo Ê o Ĥ en la dirección de propagación, además de
no tener variaciones de dichos campos en las direcciones x o y. A este modo de
propagación se le conoce como TEM (modo Transverso ElectroMagnético), es decir;
las componentes de campo Ê y Ĥ son transversas o perpendiculares a la dirección
de propagación de la onda. Además para el sistema de coordenadas mostrado en
la figura 2.1, las componentes de campo que prevalecen son: Eˆ x y Hˆ y
Si se deriva con respecto a z la ecuación 2.19, se tiene;
∂ 2 Eˆ x
∂z 2
= − jωµ
∂Hˆ y
∂z
y sustituyendo la ecuación 2.20 en la anterior,
∂ 2 Eˆ x
∂z 2
= jωµ (σ + jωε ) Eˆ x
o también
∂ 2 Eˆ x
∂z 2
− jωµ (σ + jωε ) Eˆ x = 0
(2.22)
Análogamente para la onda magnética, se tiene:
∂ 2 Hˆ y
∂z 2
− jωµ (σ + jωε ) Hˆ y = 0
(2.23)
Una solución conocida para las ecuaciones anteriores corresponde a:
Eˆ x ( z ) = Eˆ m+ e −γz + Eˆ m− e + γz
(2.24)
Hˆ y ( z ) = Hˆ m+ e −γz + Hˆ m− e +γz
(2.25)
Donde:
Eˆ m+ , Hˆ m+ son las magnitudes de la onda eléctrica y magnética viajando en dirección de + z
Eˆ m− , Hˆ m− son las magnitudes de la onda eléctrica y magnética viajando en dirección de - z
y
γ 2 = jωµ (σ + jωε )
(2.26)
También se puede obtener una expresión de tiempo real y estado estable
sinusoidal de la componente de campo eléctrico y magnético dada por:
24
[
E x ( z , t ) = Re Eˆ x ( z )e − jωt
]
[(
(2.27)
)
E x ( z , t ) = Re Eˆ m+ e −γz + Eˆ m− e +γz × e − jωt
]
(2.28)
El factor γ es llamado factor de propagación, y se expresa como un factor
complejo, de la siguiente manera:
γ = α + jβ
(2.29)
Donde α es la parte real de la constante de propagación y corresponde a la
constante de atenuación, generalmente expresada en Neper/m o dB/m, la cual
indica que la onda electromagnética se va atenuando a través del factor e-αz y eαz,
conforme viajan en el sentido de las z positivas y z negativas.
El factor β
corresponde a la fase la de la onda, y está realcionado con el movimiento en las
direcciones de las z positivas y negativas y su unidad está dada en rad/m. De esta
manera la ecuación 2.28, queda de la forma:
E x ( z , t ) = E m+ e −αz cos(ωt − β + z + θ + ) + E m− eαz cos(ωt + β + z + θ − )
(2.30)
Donde θ- y θ+, indican las fases relativas al instante t=0 y la ubicación en z=0 en
el espacio, de las amplitudes complejas Eˆ m+ = E m+ e
jθ
+
y Eˆ m− = E m− e
jθ
−
.
Una
representación de la onda que viaja en el sentido de z+, vista en dos dimensiones
para cada instante de tiempo t y θ+,−=0, se puede ver en la figura 2.2.
Figura 2.2. Onda viajera en el sentido de las z+
25
2.2.
Determinación de las parámetros de propagación.
Estos factores corresponden a unos parámetros importantes para el fenómeno
de propagación de la onda y se pueden determinar en forma general o para cada
medio en particular.
2.2.1
Cálculo de las constantes (α y β .)
Una forma de obtener una expresión general de estas constantes α y β , es a
partir de las ecuaciones del factor de propagación γ 2.26 y 2.29.
Esto es,
expresando 2.26 en su parte real e imaginaria, e igualando los términos con la
ecuación 2.29, de la siguiente manera:
γ 2 = −ω 2 µε + jωµσ
, y elevando al cuadrado 2.29
γ 2 = α 2 − β 2 + j 2 βα
Igualando parte real e imaginaria de las ecuaciones anteriores:
α − β 2 = −ω 2 µε
2 βα = ωµσ
(2.31)
(2.32)
Luego, despejando β de 2.32 y sustituyéndolo en 2.31, se tiene:
 ωµσ 
2
 = −ω µε
 2α 
2
α2 −
(2.33)
Desarrollando la expresión anterior
 ωµσ 
 =0
 2 
2
α 4 + ω 2 µεα 2 − 
(2.34)
Resolviendo la ecuación de 4to grado, se obtiene:
2


µε 
σ 
α = ω  ×  1 +   − 1 
 2

 ωε 



1
2
[Np/m]
(2.35)
26
Luego con α se encuentra, a través de la ecuación 2.32, la expresión general de
β, la cual es como sigue:
2


µε 
σ 


× 1+ 
β =ω
 + 1 

 2

 ωε 



1
2
[rad/m]
(2.36)
Las expresiones anteriores indican una variación del factor de propagación en
términos de las propiedades intrínsecas del material (µ, ε, σ) y de la frecuencia de
operación.
Una relación de β , que se puede apreciar en la figura 2.2, es que la distancia z
que debe recorrer la onda, tal que ocurra 2π rad de corrimiento de fase y se conoce
como longitud onda λ, por lo tanto:
β=
2π
(2.37)
λ
2.2.2. Velocidad de la onda. Velocidad de fase y grupo vp y vg.
La velocidad de la onda puede ser definida como la velocidad de un punto de
fase constante, pues la magnitud y la fase son constantes para las ondas planas
uniformes, esto es:
ωt − βz = ctte
Si se deriva con respecto al tiempo, se tiene:
ω−β
dz
ω
=v=
dt
β
(2.38)
⇒
dz
=0
dt
2
 µε 

σ



vp =  × 1 + 
 + 1 

 2 
 ωε 



−1
2
[m/s]
(2.39)
27
La vp se define como la velocidad de un punto de fase constante para un
observador que viaja con la misma velocidad de la onda, es decir, la velocidad del
cambio del frente de onda. Esta velocidad depende de la dirección de interés. En el
gráfico siguiente (figura 2.3), se puede ver la dirección en que se propaga la onda, y
la dirección que realmente interesa que ésta se propague.
λo
θ
λg
vg = voCosθ
Dirección de
propagación de interés
vo
Dirección de propagación
de la onda TEM
Figura 2.3. Onda TEM observada en una dirección particular
Si la dirección de propagación de la onda TEM no coincide con la dirección en la
cual el observador está interesado, como se indica en la figura 2.3, aparecen otras
componentes de velocidades las cuales son: la velocidad intrínseca vo y la velocidad
de grupo vg.
La velocidad intrínseca vo depende solamente de los parámetros
intrínsecos del medio ε, µ y corresponde a la velocidad de propagación de la onda.
Si el medio es el espacio libre, vo es la velocidad de la luz. La velocidad de grupo vg
corresponde a la velocidad de la energía de la onda en la dirección de interés del
observador.
La relación entre estas velocidades se muestra en la figura 2.4,
θ
vp
vg
vo
Figura 2.4. Relación entre vp, vg y vo
28
De la figura anterior, se puede deducir que;
vp =
vo
cosθ
(2.40)
vg = voCosθ
y
(2.41)
además de la relación entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo,
Vo = Vp × Vg
(2.42)
Si el ángulo de fase entre la dirección de propagación y la fdirección de interés
es θ=0°, vg = vo, lo cual indica que se trata de la velocidad de la energía del frente de
onda en la dirección de interés. Además si es θ=0° vp tiende a infinito, indicando
que no se trata de la velocidad de la energía, sino de la velocidad con que cambia la
fase del frente de ondae en la dirección de interés.
De la ecuación 2.42 se deduce que la velocidad de la onda en la dirección de
propagación es la media geométrica entre la velocidad de fase vp y de grupo vg, por
lo tanto si vp crece, vg decrece y viceversa.
2.2.3. Profundidad de penetración (δ).
Este parámetro se deriva del efecto pelicular o efecto SKIN, el cual se observa
en los materiales conductores a través de la tendencia a concentrar corrientes sobre
la superficie más próximas a las fuentes que las producen.
El factor δ, se define como la distancia que viaja la onda al traspasar un medio
con pérdidas para reducir su valor en e-1 = 0.368 = 36.8%.
Para deducir una expresión de este factor, se debe recordar que
Eˆ = a Eˆ o e
jω t ± γ z
Si se toma en cuenta solamente el factor de variación en espacio γz,
29
Eˆ = a Eˆ o e − (α + j β ) z = a Eˆ o e − α z e − j β z
Luego la onda se atenúa exponencialmente con el factor eαz. Si la reducción es
del 36.8%, es decir el factor αz = 1, con lo cual:
δ =
1
α
(2.43)
[m]
Una representación de este factor, en un medio conductor, se puede ver en la
figura 2.5.
-1
Figura 2.5. Profundidad de penetración asociada con un factor e , para una onda uniforme
en una región conductora. Jx(z,t) es la densidad de corriente en dirección de x
2.2.4. Impedancia en cualquier medio (ZTEM ).
Si se hace una analogía de los campos eléctrico y magnético con el voltaje y la
corriente respectivamente, se puede obtener una expresión de impedancia derivada
de la ley de ohm. De la ecuación 2.19, en la cual se expresa la relación de las
componente de campo Êx y Hy, se tiene
30
∂Eˆ x
= − jωµHˆ y
∂z
Eˆ = a Eˆ o e
y como;
jω t − γz
Con lo cual, se concluye que
∂Eˆ x
= γEˆ x = − jωµHˆ y
∂z
De esta menera se puede determinar una expresión para la impedancia de la
onda ZTEM dada por
Z TEM = j
ωµ
γ
(2.44)
Ahora bien, de acuerdo a la ecuación 2.26


γ 2 = jωµ (σ + jωε ) = −ω 2 εµ 1 − j
σ 

ωε 
Por lo que ZTEM se puede expresar como
Z TEM = j
ωµ
=
γ
jωµ
σ 

jω εµ 1 − j

ωε 

1/ 2
µ
ε
=
1/ 2
σ 

1 − j

ωε 

[Ω]
(2.45)
También se puede expresar en magnitud y fase, quedando la expresión 2.44
como:
Z TEM =
µ
ε
 σ  
 
1 + 
  ωε  
2
1/ 4
×e
( )
(
j 12 *arctan σ ωε
)
[Ω]
(2.46)
Existe una gama de materiales que constituyen medios en los cuales la onda
electromagnética puede penetrar, y en los que se modifican los parámetros de
propagación mencionados con anterioridad. Entre estos medios se encuentran los
31
materiales dieléctricos o aisladores, los semiconductores y los conductores. En la
tabla 2.1 se muestran las constantes dieléctricas, conductividad y permeabilidad de
diferentes materiales.
Tabla 2.1 Constantes dieléctricas relativas (εr , µr) y conductividad (σ) de algunos
materiales
Material
Clase
Conductividad
σ(/m)
-15
≈ 10
Permitividad
Relativa εr
Permeabilidad
Relativa µr
1
Sulfuro
Aislante
Mica
Aislante
≈ 10
Parafina
Aislante
≈ 10
Porcelana
Aislante
≈ 10
Vidrio
Aislante
≈ 10
Bakelita
Aislante
≈ 10
Agua Destilada
Aislante
≈ 10
Ferrita
Semiconductor
≈ 1.3x10
12-16
1
Arsenuro de Galio
Semiconductor
≈ 8x10
13
1
Agua salada
Semiconductor
≈4
Telurio
Conductor
≈ 5x10
1
Carbón
Conductor
≈ 3x10
1
Grafito
Conductor
≈ 3x10
1
Mercurio
Conductor
10
Hierro
Niquel
Latón
Zinc
Conductor
-15
1
-15
2.1
-14
1
1
-12
1
-9
4.8
-4
1
1
-3
-3
1
2
4
4
6
1
7
1.3x10
5
7
Conductor
1.45x10
Conductor
7
1
1
7
Conductor
1.6x10
1.7x10
600
1
1
7
1
1
7
Tugsteno
Conductor
1.83x10
Aluminio
Conductor
3.96x10
1
1.00002
Conductor
7
Oro
Cobre
Plata
Conductor
Conductor
4.1x10
1
1
7
1
0.999991
7
1
0.99998
5.76x10
6.17x10
Nota: Para los materiales semiconductores las conductividades están estimadas
para una frecuencia alrededor de 10 GHz.
32
2.3. Comportamiento de la onda Electromagnética para diferentes medios.
2.3.1
Onda Plana en un Buen Conductor.
Dentro de las características de los buenos conductores, se encuentran:
- Alta conductividad
- Densidad de corriente de conducción mucho mayor que la de desplazamiento,
es decir
Jˆ c >> Jˆ d,
⇒
σEˆ >> jωεEˆ
σ
>> 1
ωε
⇒
Partiendo de la ecuación general (2.35) de α
2


µε 
σ 
α = ω  ×  1 +   − 1 
 2

 ωε 



1
2
y desarrollándola en expansión binomial, se tiene
 
1 σ
1 1
1 1
α = ω µε ×  
+
−
σ
2 ωε 2
8 σ
 
ωε
ωε
( ) ( )
3


+ ..... − 1


Pero como se está en presencia de un buen conductor
σ
>> 1
ωε
σ 

 >> 1
 ωε 
2
y por lo tanto
1
2
(2.47)
33
Despreciando, a partir del segundo término, la ecuación 2.46 se reduce a
α = ω µε ×
1 σ
2 ωε
α = πfµσ
(2.48)
[Np/m]
Análogamente para β, ecuación 2.36, se desarrolla por expansión binomial y se
desprecian los términos que se hacen muy pequeños, con lo cual se obtiene que
β = πfµσ
[rad/m]
(2.49)
De acuerdo con 2.43, la profundidad de penetración queda determinada por
δ =
1
π f µσ
[m]
(2.50)
2.3.2 Onda Plana en un Buen Dieléctrico.
Dentro de las caractrísticas de los buenos dieléctricos, se encuentran:
- Baja conductividad
- Densidad de corriente de conducción mucho menor que la de desplazamiento,
es decir
Jˆ c << Jˆ d
⇒
σEˆ << jωεEˆ
Partiendo de la ecuación general (2.35) de α
⇒
σ
<< 1
ωε
34
2


µε 
σ 
α = ω  ×  1 +   − 1
 2

 ωε 



1
2
y desarrollando la expansión binomial
 1  1  σ 2 1  σ 4

α = ω µε ×  1 +   −   + ..... − 1

8  ωε 
 2  2  ωε 

1
2
(2.51)
Pero como se está en presencia de un buen dieléctrico
σ
<< 1
ωε
σ 

 << 1
 ωε 
2
y por lo tanto
Si se desprecia a partir del tercer término, la ecuación 2.48 se reduce a
α = ω µε ×
2
1 1  σ  
 
 
2  2  ωε  
α=
σ
2
µ
ε
[Np/m]
(2.52)
Análogamente la ecuación 2.36 de β , se desarrolla en expansión binomial y
despreciando los términos que se hacen muy pequeños, se obtiene que
β = ω µε
[rad/m]
(2.53)
La profundidad de penetración queda determinada por
δ =
2
σ
ε
µ
[m]
(2.54)
35
Ejemplo 2.1. Supóngase que se tiene un conductor cilíndrico hueco de zinc, el cual tiene un
-6
espesor de 2 mm, y está recubierto internamente por una capa de cobre de 1x10 mm de
espesor. Si a través del mismo se hace pasar una señal a una frecuencia de 2 GHz. Indicar
si la señal sale del conductor. Asumir µr=1
σZINC= 1.7x107
σCOBRE= 5.8x107
SOLUCIÓN:
Para determinar si la señal sale del conductor, se debe determinar cuanto penetra la misma
dentro del material conductor.
Para ello se calcula la profundidad de penetración del
recubrimiento externo de cobre, la cual será:
δ cobre =
1
=
π f µσ
1
π × 2 × 10 × 1 × 5 . 8 × 10
9
7
= 1 . 65 × 10 − 9 m
-6
Luego la señal penetra 1.65x10 mm, es decir traspasa el recubrimiento interno de cobre y
llega hasta la capa de zinc.
Para saber si la señal sale del conductor, se calcula la
profundidad de penetración del zinc.
δ zinc =
1
=
π f µσ
1
π × 2 × 10 × 1 × 1 . 7 × 10
9
7
= 3 × 10 − 9 m
-6
Como la capa de zinc es de 2 mm de espesor y la onda solo puede penetrar 3x10 mm, esta
nunca saldría el conductor. Además la porción de onda que realmente entra al conductor de
zinc ya ha sido atenuada por el cobre, por lo tanto la señal es aún más débil.
j0°
Ejemplo 2.2.- Suponga una onda plana uniforme cuya amplitud es 100e
+
V/m, la cual se
propaga en la dirección z a una frecuencia de 1 GHz, en una región conductora cuyos
parámetros intrínsecos corresponden a µ=µ0 y ε=ε0 σ/ωε=1. Calcular:
36
a) α, β y ZTEM para la onda.
b) Profundidad de penetración, y velocidad de fase
SOLUCION:
a) Los factores de atenuación y fase en términos generales, están dados por 2.35 y 2.36
2
 µε

σ 

α =ω
×( 1+ 
 − 1)
 2

 ωε 


α = 6.73
1
2
µ ε

= ω  O O × ( 1 + 12 − 1)
 2

1
2
=
1
2π × 10 9
× [0.414] 2
8
2 × 3 × 10
[Nep/m]
2
 µε

σ 
β = ω  × ( 1 +   + 1)
 2

 ωε 


β = 16.27
1
2
µ ε

= ω  O O × ( 1 + 12 + 1)
 2

1
2
==
1
2π × 10 9
× [2.414] 2
8
2 × 3 × 10
[rad/m]
Luego ZTEM está dada por la expresión 2.43
Z TEM =
µ
ε
  σ 2 
1 + 
 
  ωε  
Z TEM = 316.79e
1/ 4
×e
( 8)
jπ
( )
(
j 1 *arctan σ
2
ωε
)
=
120π
[1 + 1 ]
2 1/ 4
×e
( )
j 1 *arctan (1)
2
=
120π j (π 8 )
e
1.19
[Ω]
Para la velocidad de fase y la profundidad de penetración, se emplean las expresiones
2.37 y 2.40
Vp =
δ =
ω 2π × 10 9
=
= 3.86 × 10 8
16.27
β
1
α
=
1
= 0 . 148
6 . 73
[m/seg]
[m]
37
PROBLEMAS PROPUESTOS
2.1.- Se tiene una onda electromagnética plana uniforme que entra a un medio, el
cual tiene las siguientes características: σ = 10-1 mhos/m, εr = 2, µr =1. Se asume
que el campo eléctrico en la superficie del medio nuevo es 2x 10-2 V/m, encontrar:
a-) ¿Qué distancia recorre la señal antes de alcanzar una magnitud de campo
eléctrico igual a 0.5 x 10-2 V/m?
b.-) ¿Cuál es la atenuación del Campo eléctrico sufrida en a?
c.-) Longitud de onda en el nuevo medio.
d,-) Impedancia en el nuevo medio.
2.2.-
En cierta base aérea se presentan problemas con una gama de aviones de
guerra, los mismos son siempre detectados por los radares del enemigo, los cuales
trabajan a una a frecuencia ubicada en la banda C. Se requiere cubrir la nave con
una película de cierto material que refleje lo menos posible la señal. Para ello se
dispone de una serie de materiales de los cuales debe escoger uno (el más
adecuado) y calcular el grosor de la película.
TABLA DE MATERIALES
MATERIAL
CONDUCTIVIDAD
MICA
≈ 10-15
FIBRA DE VIDRIO
≈ 10-12
BAKELITA
≈ 10-9
GRAFITO
≈ 3x104
2.3.- Una onda plana uniforme está viajando dentro de la tierra la cual se asume
como un dieléctrico perfecto y de una extensión infinita. Si la permitividad relativa
de la tierra εr es 9, encontrar a una frecuencia de 1 MHz, la impedancia intrínseca y
la longitud de onda dentro de la tierra.
38
2.4.-
Demostrar que la penetración de tres profundidades de penetración en una
región conductora produce una reducción de amplitud hasta del 5 % del valor de
referencia. Demostrar que seis profundidades superficiales dan 0.25%.
2.5.- Un vehículo ubicado a mucha altura sobre la superficie del mar, transmite una
señal a una frecuencia f. Al incidir en la interacción aire-mar, una onda transmitida
penetra al mar como lo sugiere la figura anexa.
FUENTE
AIRE
ONDA INCIDENTE
ONDA REFLEJADA
E x+
(x)
AGUA DE MAR
H y+
ONDA TRANSMITIDA
(z)
La onda en la figura está a bastante distancia de la fuente, para que al menos
localmente se puedan considerar ondas planas uniformes.
Suponiendo que la amplitud neta transmitida del campo eléctrico es Eo= 1V/m
¿cuánto penetrará la onda antes de alcanzar el 5% de su valor en la superficie?
Realizar este cálculo a dos radiofrecuencias muy bajas; 10 KHz a KHz, suponiendo
que las constantes del agua de mar a esas frecuencias son: εr=81 y σ=4 mhos/m.
Hacer comentarios sobre la efectividad de la comunicación bajo el agua, en base a
sus resultados.
2.6.- A partir de la ecuación general de γ, desarrollar una expresión de la misma
para los medios buenos conductores y buenos dieléctricos.
Además deduzca,
39
usando sus resultados, expresiones para cada caso de las constantes de fase y
atenuación.
2.7.- El agua salada es un medio importante de comunicación entre submarinos o
entre estaciones transmisoras ubicadas en la superficie del mar y los submarinos
sumergidos. Asumiendo que los parámetros eléctricos son σ = 4 mhos/m, εr = 81,
µr =1 y f= 104 Hz, encontrar;
a.-) γ, b.-) Vp, c.-) λ, d.-) α, e.- ) δ
2.8.- La intensidad de campo eléctrico de una onda plana uniforme, polarizada
linealmente que se propaga en el agua de mar, en la dirección +z es
E=âx100Cos(107πt) V/m en z=0. Los parámetros constitutivos del agua de mar son;
σ = 4 mhos/m, ε = 72 y µ =1.
r
r
Determine;
a.-) La constante de atenuación, la constante de fase, la impedancia intrínseca, la
velocidad de fase, la longitud de onda y la profundidad de penetración.
b.-) La distancia a la cual la amplitud de E es el 1 % de su valor en z=0.
C.-) Escriba las expresiones de E(z,t) y H(z,t) en z=0.8 m como funciones de t.
2.9.-
Si la profundidad de penetración del grafito a 100 MHz es de 0.16 mm,
determine; a.-) La conductividad del grafito y b.-) La distancia que se propaga una
onda de 1 GHz en el grafito, antes de que su intensidad de campo se reduzca en 30
dB.