Download Disecciones de Figuras

Disecciones de Figuras
Construcciones con regla y compás
Actualmente se entiende por Matemáticas una amplia variedad de disciplinas: Álgebra, Cálculo
Infinitesimal, Cálculo de Probabilidades, Estadística, .... dentro de las cuales la Geometría ocupa un lugar
destacado aunque no principal. En un principio no era así y era usual identificar Matemáticas y
Geometría. En épocas como la griega, la demostración geométrica era la única posible y la única forma de
razonar sobre un problema era que los pasos que debían darse para su solución pudieran simularse
mediante la utilización de regla y compás.
A base de trazar líneas rectas y transportar distancias mediante un compás se pueden empezar a hacer
construcciones como: Recta paralela a una dada por un punto exterior, Recta perpendicular a una dada por
un punto exterior, División de un ángulo en dos partes iguales, Obtención de un cuadrado de área doble
de uno dado, ......
Cuando aparece el álgebra, siglos después, muchos de estos problemas simplifican su solución y se
resuelven otros que habían permanecido abiertos mucho tiempo. Duplicar el área de un cuadrado dado se
hace equivalente a resolver la ecuación x = 2 , esto es, hallar 2 , operación que puede hacerse de
forma sencilla con el número de decimales que se precise. De la misma forma, la duplicación del cubo
2
equivale a resolver la ecuación x = 2 , esto es hallar 3 2 que se opera de forma análoga. En el primer
caso la construcción puede hacerse con regla y compás. En el segundo no. Es más, hay que esperar al
siglo XIX para que los trabajos de Abel y Galois demuestren la irresolubilidad del problema de duplicar
el cubo con regla y compás.
3
Es claro que la introducción del álgebra que permite asociar las soluciones de un problema con las raíces
de un polinomio y los Métodos Numéricos que permiten hallar las raíces de cualquier polinomio con la
precisión que se desee quitan algo de interés a las construcciones con regla y compás o a los
razonamientos geométricos . Es evidente que se ha perdido el interés práctico pero a costa de perder la
belleza que una demostración geométrica tenía.
Veamos la elegancia de la resolución de los problemas de la disección del ángulo o la duplicación del
cuadrado utilizando exclusivamente regla y compás.
Bisección de un ángulo
Tracemos un círculo con centro O para obtener los puntos M, N. Después trazamos círculos iguales
centrados en M y N. El punto de corte P nos da la solución.
1
Duplicación de un cuadrado
Trazamos un círculo de centro D y radio la diagonal del cuadrado dado. El punto B’ obtenido a partir de
A’ y C’ da la solución.
Quizá se aprecie mejor la elegancia de una demostración geométrica dando dos pruebas de la conocida
igualdad Sin x + Cos x = 1
2
2
1)
-
La igualdad es cierta para x=0
Derivando la función f ( x) = Sen 2 x + Cos 2 x tenemos
f '( x) = 2 Sen x Cos x − 2Cos x Sen x = 0
La función f(x) es pues constante y como f(0)=1 la igualdad queda
demostrada
2
2 ) En el triángulo rectángulo ABC de hipotenusa 1 se tiene
a=1
B
c
x
C
b
A
c = Sen x ; b = Cos x y por el Teorema de Pitágoras sigue la igualdad
El interés práctico de problemas como la duplicación del cuadrado si pensamos en reparto de terrenos es
clara. Otro tipo de problemas como la duplicación del cubo tienen una componente mas lúdica. En un
principio imperaban mas bien consideraciones de tipo místico o religioso
El arquitecto romano Vitrubio ( Siglo I d.c.) cuenta en su obra la fascinación que sentía Platon (427-327)
por dos problemas de enunciados sencillos y que, sin embargo, rompieron las ideas sobre los números de
la escuela pitagórica. Uno de ellos era el siguiente: dado un cuadrado, ¿cómo construir otro cuadrado con
un área doble?
Se dice que Pericles (429 a.c) murió de la peste que se llevó también a una cuarta parte de la población
ateniense. Para conjurar el peligro se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos para preguntarle
cómo podría desaparecer la peste. El oráculo contestó que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado
a Apolo. Al parecer, los atenienses duplicaron diligentemente las dimensiones del altar, pero esto no
sirvió para detener la peste. El oráculo había exigido la duplicación del volumen del altar, y los
atenienses, al duplicar las tres dimensiones por separado, lo habían multiplicado por ocho.
En la respuesta a estos dos problemas puede considerarse que se encuentra el origen de los números
irracionales
Hoy sabemos que muchos de los problemas clásicos no son resolubles con regla y compás, su solución se
ha obtenido por otros métodos, quizá poco elegantes pero muy efectivos. En cualquier caso, los intentos
de resolución se han plasmado a lo largo de los siglos en la introducción de nuevos conceptos que tenían a
su vez su propia problemática. Es típico el estudio e introducción de curvas como herramientas de
solución del algún tipo de problemas y cuyas características y belleza les ha hecho tomar carta de
naturaleza y vida propia independiente del problema que las introdujo.
Veamos como ejemplo la ‘resolución’ de Arquímedes del problema de la trisección del ángulo mediante
el uso de la espiral
La Espiral de Arquímedes es la curva formada por los puntos del plano que giran alrededor del origen de
forma que se alejan del él una distancia proporcional al ángulo girado. Es la trayectoria que seguiría una
persona que avanza con velocidad uniforme desde el centro de un tiovivo hasta su periferia.
3
A
Trisección del ángulo mediante la Espiral de Arquimedes
- Se coloca el ángulo AOB a trisecar en unos ejes como los
indicados.
- Se dibuja una Espiral de Arquímedes partiendo del origen.
- Se divide el segmento OP en tres partes iguales
Espiral de
P
Arquímedes
- Los puntos M,N dan la trisección de AOB
P1
N
P2
M
O
B
Una serie de problemas de tipo geométrico y que, de momento, sólo tienen soluciones de tipo geométrico
son los problemas de disección de figuras. Estos problemas relacionados con las teselaciones y las
diferentes maneras de cubrir espacios planos tienen un interés al menos lúdico aunque, es claro, que no se
deben descartar sus posibles aplicaciones. Veamos alguno. Se trata de diseccionar un cuadrado y
reorganizar los trozos obtenidos para formar otra figura: Una cruz Griega, una cruz latina, un octógono,
....
4
Disección de un cuadrado en una T
La disección del cuadrado
MNFH da la te ABCDEFGH
M
A
H
G
D
B
C
N
F
E
Como vemos en el ejercicio anterior, la solución es puramente artesanal. Los ejemplos que siguen
sistematizan un poco más la búsqueda de solución a base de considerar cubriciones del plano
Disección de un cuadrado en un octógono regular
5
cuadrado en Disección
una cruz
griega
de un
cuadrado en una cruz griega
Disección de un cuadrado en una cruz latina
- El cuadrado equivalente a la cruz tiene área 6 y su lado será raiz de seis
A Q
M
B
N
P
C
A'
P'
Q'
B'
C'
M'
N'
6