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23/10/2011
CONJUNTOS DE NÚMEROS:
NATURALES: 0,1,2,3,4…
ENTEROS: …-2,-1,0,1,2…
TEMA2 GRUPO
3A
FRACCIONARIOS: ..-7/5..-1/2..3/4..15/7..
RACIONALES: .. -2..-7/5..0..3/4..1..15/7..
NÚMEROS REALES
1
2
RACIONALES
Definición de número racional.
−
Un número racional es cualquier número
que se puede escribir como cociente de
dos números enteros
7
5
−
1
2
−3
−1
p

ℚ =  ; p ∈ ℤ, q ∈ ℤ, q ≠ 0 
q

3
4
15
7
−2
ℚ
ℤ
ℕ
0 1
2 3
NÚMEROS FRACCIO
FRACCIONARIOS
NARIOS Y
DECIMALES
PARTES DE UN NÚMERO DECIMAL
Un número fraccionario se puede escribir en forma
decimal dividiendo el numerador por el
denominador. 3
= 0, 75
4
7
= 2, 333333...
3
13
= 2,166666...
6
⌢
12,5666…= 1 2 , 5 6
◦Parte entera: 12
◦Anteperiodo: 5
⌢
◦Periodo: 6
5
6
1
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ALGUNOS TIPOS DE NÚMEROS
DECIMALES, PERO NO TODOS:
Y viceversa:
viceversa:
Un número decimal que se obtiene
de un número fraccionario puede ser
de uno de estos tres tipos:
◦Exacto: 1,25
◦Periódico puro: 3,5656565656…
◦Periódico mixto: 3,256565656….
TODO NÚMERO DECIMAL EXACTO
O PERIÓDICO SE PUEDE
ESCRIBIR EN FORMA DE
FRACCIÓN.
¿CÓMO?
7
PASO DE DECIMAL EXACTO A
FRACCIÓN
Siguiendo el
siguiente
procedimiento:
Directamente por
el sistema decimal:
N =1, 25
1, 25 =
100N = 125
DESPEJANDO N
N=
8
PASO DE DECIMAL PERIODICO PURO A
FRACCIÓN:
BUSCAMOS DOS NÚMEROS CON LA MISMA
PARTE DECIMAL
N = 3, 56
100N = 356, 56
125 25 5
=
=
100 20 4
100N = 356, 56

− N = − 3, 56
125 25 5
=
=
100 20 4
99N = 353 ⇒ N =
99 = 32 ⋅ 11
9
BUSCAMOS DOS NÚMEROS CON LA
MISMA PARTE DECIMAL
TODO NÚMERO FRACCIONARIO SE PUEDE
ESCRIBIR EN FORMA DECIMAL EXACTA O
PERIÓDICA.
N = 3, 256
 10N = 32, 56

1000N = 3256, 56
TODO NÚMERO DECIMAL EXACTO O
PERIÓDICO SE PUEDE ESCRIBIR EN
FORMA DE FRACCIÓN.
1000N = 3256, 56
−10N = − 32, 56
495 = 32 ⋅ 5 ⋅ 11
10
CONCLUIMOS QUE:
PASO DE DECIMAL PERIODICO MIXTO A
FRACCIÓN::
FRACCIÓN
990N = 3224 ⇒ N =
353
99
3224 1612
=
990
495
11
12
2
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REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO
RACIONAL:
Ejercicios de la relación entre:
fracciones y decimales.
decimales.
USAMOS EL
TEOREMA DE
THALES PARA
DIVIDIR UN
SEGMENTO
EN PARTES
IGUALES.
PUEDES HACER:
Pág. 27 Ej. Del 1 al 7. Del 9 al 11.
Pág. 29 Ej. 15,16,17.
Pág. 38 Ej. 56,57,58.
Pág. 39 Ej. 67,68,69.
En clase haremos:
1,2,4,5,6,9,11,68.
13
SITUAR FRACCIONES EN LA RECTA
REAL:
14
SITUAR FRACCIONES EN LA RECTA
REAL:
FRACCIONES positivas MENORES QUE UNO
FRACCIONES negativas mayores que MENOS UNO
2
5
−
0
-1
1
•FRACCIONES positivas MAYORES QUE UNO
8 5+3 5 3
3
=
= + =1+
5
5
5 5
5
1
−
8
5+3
3
5 3
 3
=−
= −  +  = −  1 +  = −1 −
5
5
5
5 5
 5
-2
2
-1
Ejercicios del libro sobre
representación de fracciones:
−12 −4 −3 − 1
3 1
1
=
=
= − − = −1 −
9
3
3
3 3
3
−1
0
•FRACCIONES negativas menores que MENOS UNO
REPRESENTAMOS EN LA RECTA REAL:
-12/9 y 9/12
−2
2
5
Pág. 33. Ej. 32,33,34,36,40.
Pág.39. Ej.73.
0
En clase haremos:
32,34,36.
9 3
=
12 4
0
1
18
3
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¿ A qué conjunto pertenecen
estos números decimales?
EL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS IRRACIONALES:
e=2,718281…
π=3,141592…
Ф=1,618033…
Son números decimales
ilimitados no periódicos.
Son números decimales que
no se pueden escribir en
forma de fracción, por tanto no
son números racionales.
2 = 1, 4142135...
El conjunto de los números
reales:
NÚMEROS DECIMALES
◦Exacto: 1,25
No periódicos e
◦Periódico puro: ilimitados:
3,56565656… IRRACIONALES
◦Periódico
2 = 1, 4142135...
mixto:
3,21565656…. e=2,718281…
π=3,141592…
Ф=1,618033…
21
Representamos números
reales sobre la recta real.
EJERCICIOS DEL LIBRO:
Pág.29. Ej. 12,13,14
Pág.39. Ej. 70.
NOS BASAREMOS EN: EL
TEOREMA DE PITÁGORAS
23
4
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IRRACIONALES DEL TIPO:
Representación por
aproximaciones sucesivas: П
2
2 = 12 + 12
3 = 12 +
( 2)
2
26
Conjuntos sobre la recta real:
EJERCICIOS DEL LIBRO:
Intervalos: Son conjuntos
determinados por dos números como
extremos. (-2,4) [3,9] (6,10] [2,8)
Pág.33. Ej 38,39.
Pág.38. Ej 64.
Pág.39. Ej 71.
◦ Cada uno de los extremos puede pertenecer
o no al conjunto.
Semirrectas: Son conjuntos
determinados por un número como
extremo. (-∞,4) [2,∞)
En clase haremos: Ej 38, 71.
◦ El extremo puede pertenecer o no al
conjunto.
27
Subconjuntos de números reales:
Intervalos y semirectas en la
recta real.
EJERCICIOS DEL LIBRO:
Pág.35. Ej. 44,45,46,47,48,50.
Pág.39. Ej. 74,75,76.
En clase haremos:
44,45,46,76.
30
5
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APROXIMACIONES :
5 = 2, 23606797...
Aproximación por defecto de un número
real es otro número real menor que el
primero.
5
2; 2,1; 2,2 lo son de
Aproximación por exceso de un número
real es otro número real mayor que el
primero.
5
2,3; 2,4; 2,5 lo son de
ERRORES
ERROR ABSOLUTO.
EA= VALOR EXACTO − VALOR APROXIMADO
ERROR RELATIVO.
ER=
VALOR EXACTO − VALOR APROXIMADO
VALOR EXACTO
PORCENTAJE DE ERROR : % = ER ⋅ 100
REDONDEO:
REDONDEO ES LA APROXIMACIÓN CON MENOR
ERROR ABSOLUTO.
•COINCIDE CON LA
APROXIMACIÓN POR
DEFECTO SI LA PRIMERA
CIFRA SUPRIMIDA ES
MENOR QUE 5.
•COINCIDE CON LA
APROXIMACIÓN POR
EXCESO SI LA PRIMERA
CIFRA SUPRIMIDA ES
MAYOR O IGUAL QUE 5.
5 = 2, 23606797...
5 ≃ 2, 2
5 ≃ 2, 24
EJERCICIOS DEL LIBRO:
Pág.31. Ej. 23,24,25,26,27,28,29,31.
Pág.38. Ej. 62,63.
Pág.39. Ej. 72.
En clase haremos:
23,26,31,72.
5 ≃ 2, 236
5 ≃ 2, 2361
34
6