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23/10/2011 CONJUNTOS DE NÚMEROS: NATURALES: 0,1,2,3,4… ENTEROS: …-2,-1,0,1,2… TEMA2 GRUPO 3A FRACCIONARIOS: ..-7/5..-1/2..3/4..15/7.. RACIONALES: .. -2..-7/5..0..3/4..1..15/7.. NÚMEROS REALES 1 2 RACIONALES Definición de número racional. − Un número racional es cualquier número que se puede escribir como cociente de dos números enteros 7 5 − 1 2 −3 −1 p ℚ = ; p ∈ ℤ, q ∈ ℤ, q ≠ 0 q 3 4 15 7 −2 ℚ ℤ ℕ 0 1 2 3 NÚMEROS FRACCIO FRACCIONARIOS NARIOS Y DECIMALES PARTES DE UN NÚMERO DECIMAL Un número fraccionario se puede escribir en forma decimal dividiendo el numerador por el denominador. 3 = 0, 75 4 7 = 2, 333333... 3 13 = 2,166666... 6 ⌢ 12,5666…= 1 2 , 5 6 ◦Parte entera: 12 ◦Anteperiodo: 5 ⌢ ◦Periodo: 6 5 6 1 23/10/2011 ALGUNOS TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES, PERO NO TODOS: Y viceversa: viceversa: Un número decimal que se obtiene de un número fraccionario puede ser de uno de estos tres tipos: ◦Exacto: 1,25 ◦Periódico puro: 3,5656565656… ◦Periódico mixto: 3,256565656…. TODO NÚMERO DECIMAL EXACTO O PERIÓDICO SE PUEDE ESCRIBIR EN FORMA DE FRACCIÓN. ¿CÓMO? 7 PASO DE DECIMAL EXACTO A FRACCIÓN Siguiendo el siguiente procedimiento: Directamente por el sistema decimal: N =1, 25 1, 25 = 100N = 125 DESPEJANDO N N= 8 PASO DE DECIMAL PERIODICO PURO A FRACCIÓN: BUSCAMOS DOS NÚMEROS CON LA MISMA PARTE DECIMAL N = 3, 56 100N = 356, 56 125 25 5 = = 100 20 4 100N = 356, 56 − N = − 3, 56 125 25 5 = = 100 20 4 99N = 353 ⇒ N = 99 = 32 ⋅ 11 9 BUSCAMOS DOS NÚMEROS CON LA MISMA PARTE DECIMAL TODO NÚMERO FRACCIONARIO SE PUEDE ESCRIBIR EN FORMA DECIMAL EXACTA O PERIÓDICA. N = 3, 256 10N = 32, 56 1000N = 3256, 56 TODO NÚMERO DECIMAL EXACTO O PERIÓDICO SE PUEDE ESCRIBIR EN FORMA DE FRACCIÓN. 1000N = 3256, 56 −10N = − 32, 56 495 = 32 ⋅ 5 ⋅ 11 10 CONCLUIMOS QUE: PASO DE DECIMAL PERIODICO MIXTO A FRACCIÓN:: FRACCIÓN 990N = 3224 ⇒ N = 353 99 3224 1612 = 990 495 11 12 2 23/10/2011 REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO RACIONAL: Ejercicios de la relación entre: fracciones y decimales. decimales. USAMOS EL TEOREMA DE THALES PARA DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES. PUEDES HACER: Pág. 27 Ej. Del 1 al 7. Del 9 al 11. Pág. 29 Ej. 15,16,17. Pág. 38 Ej. 56,57,58. Pág. 39 Ej. 67,68,69. En clase haremos: 1,2,4,5,6,9,11,68. 13 SITUAR FRACCIONES EN LA RECTA REAL: 14 SITUAR FRACCIONES EN LA RECTA REAL: FRACCIONES positivas MENORES QUE UNO FRACCIONES negativas mayores que MENOS UNO 2 5 − 0 -1 1 •FRACCIONES positivas MAYORES QUE UNO 8 5+3 5 3 3 = = + =1+ 5 5 5 5 5 1 − 8 5+3 3 5 3 3 =− = − + = − 1 + = −1 − 5 5 5 5 5 5 -2 2 -1 Ejercicios del libro sobre representación de fracciones: −12 −4 −3 − 1 3 1 1 = = = − − = −1 − 9 3 3 3 3 3 −1 0 •FRACCIONES negativas menores que MENOS UNO REPRESENTAMOS EN LA RECTA REAL: -12/9 y 9/12 −2 2 5 Pág. 33. Ej. 32,33,34,36,40. Pág.39. Ej.73. 0 En clase haremos: 32,34,36. 9 3 = 12 4 0 1 18 3 23/10/2011 ¿ A qué conjunto pertenecen estos números decimales? EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES: e=2,718281… π=3,141592… Ф=1,618033… Son números decimales ilimitados no periódicos. Son números decimales que no se pueden escribir en forma de fracción, por tanto no son números racionales. 2 = 1, 4142135... El conjunto de los números reales: NÚMEROS DECIMALES ◦Exacto: 1,25 No periódicos e ◦Periódico puro: ilimitados: 3,56565656… IRRACIONALES ◦Periódico 2 = 1, 4142135... mixto: 3,21565656…. e=2,718281… π=3,141592… Ф=1,618033… 21 Representamos números reales sobre la recta real. EJERCICIOS DEL LIBRO: Pág.29. Ej. 12,13,14 Pág.39. Ej. 70. NOS BASAREMOS EN: EL TEOREMA DE PITÁGORAS 23 4 23/10/2011 IRRACIONALES DEL TIPO: Representación por aproximaciones sucesivas: П 2 2 = 12 + 12 3 = 12 + ( 2) 2 26 Conjuntos sobre la recta real: EJERCICIOS DEL LIBRO: Intervalos: Son conjuntos determinados por dos números como extremos. (-2,4) [3,9] (6,10] [2,8) Pág.33. Ej 38,39. Pág.38. Ej 64. Pág.39. Ej 71. ◦ Cada uno de los extremos puede pertenecer o no al conjunto. Semirrectas: Son conjuntos determinados por un número como extremo. (-∞,4) [2,∞) En clase haremos: Ej 38, 71. ◦ El extremo puede pertenecer o no al conjunto. 27 Subconjuntos de números reales: Intervalos y semirectas en la recta real. EJERCICIOS DEL LIBRO: Pág.35. Ej. 44,45,46,47,48,50. Pág.39. Ej. 74,75,76. En clase haremos: 44,45,46,76. 30 5 23/10/2011 APROXIMACIONES : 5 = 2, 23606797... Aproximación por defecto de un número real es otro número real menor que el primero. 5 2; 2,1; 2,2 lo son de Aproximación por exceso de un número real es otro número real mayor que el primero. 5 2,3; 2,4; 2,5 lo son de ERRORES ERROR ABSOLUTO. EA= VALOR EXACTO − VALOR APROXIMADO ERROR RELATIVO. ER= VALOR EXACTO − VALOR APROXIMADO VALOR EXACTO PORCENTAJE DE ERROR : % = ER ⋅ 100 REDONDEO: REDONDEO ES LA APROXIMACIÓN CON MENOR ERROR ABSOLUTO. •COINCIDE CON LA APROXIMACIÓN POR DEFECTO SI LA PRIMERA CIFRA SUPRIMIDA ES MENOR QUE 5. •COINCIDE CON LA APROXIMACIÓN POR EXCESO SI LA PRIMERA CIFRA SUPRIMIDA ES MAYOR O IGUAL QUE 5. 5 = 2, 23606797... 5 ≃ 2, 2 5 ≃ 2, 24 EJERCICIOS DEL LIBRO: Pág.31. Ej. 23,24,25,26,27,28,29,31. Pág.38. Ej. 62,63. Pág.39. Ej. 72. En clase haremos: 23,26,31,72. 5 ≃ 2, 236 5 ≃ 2, 2361 34 6