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Bloque II. Álgebra. Tema 8: Ecuaciones
MATEMÁTICAS 2º ESO
TEORÍA
1. E CUACIONES : SIGNIFICADO Y UTILIDAD
Una ecuación expresa, mediante una igualdad algebraica, una relación o condición entre cantidades cuyo valor, de
momento, no conocemos.
Las cantidades desconocidas se llaman incógnitas y se representa con la letra "x" (o cualquier otra letra).
Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que deben tomar las letras (incógnitas) para que la igualdad sea
cierta.
Ejemplo 1: La mitad de un número es igual a su quinta parte más seis unidades. ¿Cuál es el número?
x="número pedido"
Ecuación:
x x
 6
2 5
Solución:
x  20
Ejemplo 2: La edad de Teresa coincide con la quinta parte de la que tendrá dentro de 28 años.
¿Qué edad tiene actualmente Teresa?
x="Edad actual de Teresa"
Ecuación:
x
x  28
5
Solución:
x  7 años
Ejemplo 3: Una habitación rectangular es tres metros más larga que ancha y su superficie es de 28 m2.
¿Cuánto mide de ancha?
x="metros de ancho"
Ecuación: x  ( x  3)  28
Solución: 4 m
2. E CUACIONES : ELEMENTOS Y NOMENCLATURA .
Miembros de una ecuación: Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo de igualdad.
Términos: Son los sumandos que forman los miembros.
Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación.
Soluciones: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
Grado de una ecuación: Es el mayor de los grados de los monomios que forman los miembros, una vez reducida la
ecuación.
Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones.
Ejemplo: La ecuación 3 x  1  9  x es una ecuación de primer
grado con una incógnita.
Ecuaciones equivalentes a 3 x  1  9  x son:
también x  2 (ver imagen).
La solución de la ecuación
4x  8 y
3x  1  9  x es x  2
ERV 1 y 2
–1–
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TEORÍA
3. T RANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS
La transposición de términos es una técnica básica que permite transformar las ecuaciones en otras equivalentes más
sencillas, llevando los términos de un miembro a otro de la igualdad.
La transposición de términos se basa en el siguiente principio:
Al sumar, restar, multiplicar o dividir el mismo número en los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra
ecuación equivalente.
Primer caso: x  a  b

xba
Segundo caso: x  a  b
Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro
miembro:
Ejemplo: x  3  4  x  4  3
Tercer caso: a  x  b

x
b
a
xba
Lo que está restando en un miembro pasa sumando al otro
miembro:
Ejemplo: x  2  5  x  5  2
Cuarto caso:
Lo que está multiplicando en un miembro pasa dividiendo
al otro miembro:
6
Ejemplo: 2 x  6  x 
2

x
b
a

x  ba
Lo que está dividiendo en un miembro pasa multiplicando
al otro miembro:
x
Ejemplo:
 4  x  43
3
4. R ESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS
El método para resolver una ecuación consiste en ir transformándola, mediante sucesivos pasos, en otras equivalentes más
sencillas hasta despejar la incógnita.
Para transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla, utilizaremos dos recursos:

Reducir sus miembros.

Transponer los términos.
–2–
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Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 4:
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TEORÍA
Ejemplo 3:
Ejemplo 5:
ERV 3 y 4
5. E CUACIONES CON DENOMINADORES
Cuando en los términos de una ecuación aparecen denominadores, la transformaremos en otra equivalente que no los
tenga. Para ello, multiplicaremos los dos miembros de la ecuación por un número que sea múltiplo de todos los
denominadores.
El múltiplo más adecuado es el más pequeño; es decir, el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ejemplo:
Una estrategia similar:
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TEORÍA
6. P ROCEDIMIENTO GENERAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para resolver ecuaciones de primer grado, conviene organizar el trabajo según las fases que se exponen en el siguiente
ejemplo:
Ejemplo:
ERV 5 al 12
7. E CUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación es de segundo grado con una incógnita si, tras reducirla, se puede expresar de la siguiente forma general:
ax 2  bx  c  0 , donde a  0 , b y c son conocidos aunque pueden ser cero.
Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una o ninguna.
Si en la ecuación de segundo grado ax 2  bx  c  0 es b  0 y c  0 se dice que la ecuación de segundo grado es
completa y para resolverla se utiliza una fórmula que se demostrará en cursos superiores. Las soluciones son:
x
b  b2  4ac
 b  b2  4  a  c
y x
2a
2a
o abreviadamente x 
 b  b2  4  a  c
2a
Ejemplos:
Se llama discriminante al radicando de la fórmula y se denota   b 2  4  a  c .
Observa que si el discriminante es mayor que cero, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones; si es igual a cero,
tiene una sola solución y si es menor que cero, no tiene solución.
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TEORÍA
Una ecuación de segundo grado se dice que es incompleta cuando b  0 ó c  0 y se resuelve así:
Primer caso:
x2  b

Ejemplos del primer caso:
x b
Si b es un número positivo, hay dos soluciones
opuestas; si b es negativo, no hay solución
Segundo caso:
a  x2  b  0
Ejemplos del segundo caso:

x2 
b

a
x
b
a
Si el radicando es positivo, hay dos soluciones; si es
negativo, la ecuación no tiene solución.
Tercer caso:
Ejemplos del tercer caso:
x  0

ax 2  bx  0  x  (ax  b)  0  
b
ax  b  0  x  a
Recuerda que si un producto es igual a cero,
necesariamente uno de los factores ha de ser cero.
ERV 13 al 16
8. R ESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES
En la información que aporta el enunciado de un problema, encontramos elementos conocidos (datos) y elementos
desconocidos (incógnitas).
Si conseguimos codificar algebraicamente todos esos elementos, y relacionarlos mediante una igualdad, habremos
construido una ecuación.
Resolviendo la ecuación e interpretando las soluciones en el contexto del enunciado, habremos resuelto el problema.
ERV 17 al 104
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EJERCICIOS
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TEORÍA Y EJERCICIOS
Definición de ecuación. Ecuaciones semejantes.
1. (1º ESO) ¿Qué es una ecuación?¿Qué es resolver una ecuación?. Propón distintos tipos de ecuaciones.
Dadas las siguientes ecuaciones, comprueba cuál de los valores dados es la raíz o solución y di cuáles son de
primer grado con una incógnita:
x  1, x  3
a) 2 x  8 ,
b) –2x + 7 = 5, x= 1, x = – 5
3
2
c) x  2 x  x  3  x , x  1, x  1
d) 2 x  2  x  1 , x  3, x  2
e) 2x + 3 = 15, x = 4, x = 6
f) 3x+y=3, (x,y)=(–1, 6) , (x,y)=(0, 6)
2. (1º ESO) ¿Cuándo dos ecuaciones son equivalentes?. De las siguientes ecuaciones, ¿cuáles son equivalentes?
a) 2 x  7  17
b)  4 x  9  1
c) 3x  1  5
d)  x  5  0
Resolución de ecuaciones sencillas.
3. (1º ESO) Explica la regla de la suma, de la resta, del producto y de la división que nos permite transponer
términos de una ecuación. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba que la solución obtenida verifica
la ecuación:
x
a) x  2  6
b) x  2  6
c) 2 x  6
d)  6
2
2x  1  x  5
2x  3
e) 3x  4  6  x
f) 2(2 x  3)  6
g)
h)
5

3
4
3
i) 2(2 x  3)  6  x
j) 4( x  10)  6(2  x)  6 x
k) 2( x  1)  3( x  2)  x  6
4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba que la solución obtenida verifica la ecuación:
a) 3x  4(2  3 x)  16  5 x  2(4 x  3)
b) 3(2  4 x)  8 x  ( x  2)  15  2( x  1)
c) x  7(2 x  1)  2(6  5 x)  13
d) 2[ x  (2 x  3)5  2]  8 x
e)  3 x  2  x  3[5(2  x)  3]
f) (2 x  3) 2  2  (2 x  1)(2 x  1)
Ecuaciones con denominadores
5.
(1º ESO) Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba que la solución obtenida verifica la ecuación:
x 1 x  5 x  5


4
36
9
2x  3
4x  7
c)
 2x 
 4
5
3
a)
3x  1 2  4 x  5 x  4 7 x



7
3
14
6
x  3 x 1
d)

 1
2
6
b)
6. (1º ESO) Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba que la solución obtenida verifica la ecuación:
1 2 x  5 5x
1 2 x  5 5x
a) 
b) 


2
4
4
2
4
4
7. (1º ESO) Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba que la solución obtenida verifica la ecuación:
x7 x2
5
3
a)
b)


5
3
x7 x2
4
5
3
c) (2 x  4)  x  19
d)

x3 x2
4
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EJERCICIOS
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8. (1º ESO) Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba que la solución obtenida verifica la ecuación:
1 3
x  3  2 x 5x  3
 x  1 2x  3   3



 3x
a) 6
b) 2    2 x  1 
  3 x    3x  2

16   4
4 8
2  3
2
 8

9. (1º ESO) Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba que la solución obtenida verifica la ecuación:
2   x  2 
1
 x x  2 
a)  x  1 
b)   x  2 
   1  x
  x 1
2
2  
3 
3 
3
10. (1º ESO) Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 3  8  4y  1
8y  3
5  
a)

2 4 4  5
4
b)
4  25  2 z  
1

  z   3z
3
3
2

11. (1º ESO) Escribe una ecuación con tres términos en cada miembro que tenga como solución x  1
12. Resuelve las siguientes ecuaciones:
5 x
1  x 2( x  1)
2

2
2
3
2
3( x  1) 5
 (1  x)
c) (1  3x) 
3
4
12
2
2x  3
5
5
3  x 1 
3
2
d) 
 1  x   x  
5 3
4
3


b) 2  ( x  1)  x 
a)
 x
 2
6 x 1 
 x 0
5 3 
1
5
f) x 4 
e) 10  
x4 
  1  x  1x  2 
4  
Ecuaciones de segundo grado
13. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
b) x 2  20
c) 5 x 2  45
d) 6 x 2  0
a) x 2  100
g) x 2  x
h) 3x 2  6 x  0
i) x( x  5)  0
j) 3x(5 x  2)  0
e) 12 x 2  3
k) 5 x 2  x 2  2 x
f) x 2  3 x  0
l) x  12  1
14. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x 2  10 x  21  0
e) 6 x 2  x  5
b) x 2  9 x  40  0
f) 9 x 2  6 x  1  0
c) 15 x 2  16 x  4  0
g) 6 x 2  1  7 x
d) x 2  10 x  25  0
h) x 2  x  1  0
15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) ( x  1)( x  1)  2( x  5)  4
d) 2 x 2 
4 x 10
 0
3
3
b) 2 x( x  3)  (8  6 x)  ( x  2)( x  3)
e)
c) x 2 
x 2  2 x 2  x 3x  1


5
2
10
5x 1
 0
12 6
f) x( x  1)  12
16. Resuelve las siguientes ecuaciones:
1
4
1 x
5 4


a) x 2     1
d)
x2
2x2  5
x
1
2
3
b)
x
1  x
2
x   x 
2
30  3 
5
e) x 2  x  12  5
c)
1  x2 1 
1
x
  2x  
x 
3
20  2 15 
2
f) ( x  3)( x  3)  55
Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita
17. (1º ESO) Resuelve mentalmente por tanteo los siguientes problemas:
a) Oscar tiene 2 € más que su hermana Sonia. Si entre los dos tienen 16 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
b) Si Alba tiene 3 € más que su primo Carlos y entre los dos tienen 13 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
c) Marta tiene el doble de dinero que su hermano Luis y entre los dos tienen 15 €. ¿Cuánto dinero tiene cada
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EJERCICIOS
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uno?
d) Julia tiene el triple de dinero que su prima María. Si entre las dos tienen 16 €, ¿cuánto dinero tiene cada
una?
18. (1º ESO) Calcula dos números enteros consecutivos cuya suma sea 27.
19. (1º ESO) Calcula un número sabiendo que dicho número más su mitad es igual a 39.
20. (1º ESO) Susana tiene el doble de dinero que su primo Tomás. Si entre los dos tienen 70,2 €, ¿cuánto dinero
tiene cada uno?
21. (1º ESO) En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide 6 m más que el desigual. Si el
perímetro mide 36 m, ¿cuánto mide cada lado?
22. (1º ESO) Calcula las dimensiones de un campo de fútbol, sabiendo que el largo es el doble del ancho y que el
perímetro mide 294 m.
23. (1º ESO) Calcula un número sabiendo que dicho número más su mitad, más su tercera parte es igual a 22.
24. (1º ESO) Silvia gasta la mitad de su paga en el cine y un sexto en golosinas. Si aún le quedan 4 €, ¿cuánto le
han dado de paga?
25. (1º ESO) En un jardín, entre sauces, palmeras y pinos hay 91 árboles. Si el número de palmeras es el doble
que el de sauces y el de pinos el doble que el de palmeras, ¿cuántos árboles hay de cada clase?
26. (1º ESO) Calcula tres números enteros consecutivos sabiendo que su suma es 45.
27. (1º ESO) Cada lado de un triángulo mide 5 m más que el anterior. Si el perímetro mide 37,5 m, ¿cuánto mide
cada uno de los lados?
28. (1º ESO) El perímetro de un rectángulo mide 26 m. El lado mayor mide 3 m más que el menor. ¿Cuánto mide
cada lado?
29. (1º ESO) El triple de un número menos 7 es igual a 38. ¿Cuál es el número?
30. (1º ESO) Halla dos números sabiendo que uno es 5 veces mayor que el otro y que entre los dos suman 42.
31. (1º ESO) Halla un número sabiendo que la mitad de dicho número más su tercera parte, más su cuarta parte
es igual a 26.
32. (1º ESO) Halla un número sabiendo que el cuádruple de dicho número más su cuarta parte es igual a 34.
33. (1º ESO) Compré una camisa y una chaqueta por 72 €. La chaqueta costó 12 € más que la camisa. ¿Cuánto
costó cada prenda?
34. (1º ESO) Reparte 800 € entre María y Juan, de forma que María reciba 200 € más que Juan.
35. (1º ESO) Un número más el doble de dicho número, más la mitad del mismo número suman 112. Calcula el
número.
36. (1º ESO) Los lados de un romboide se diferencian en 7,5 m. Si el perímetro mide 115 m, ¿cuánto mide cada
lado?
37. (1º ESO) Un número entero más el doble del siguiente es igual a 71. Calcula el número.
38. (1º ESO) En un centro escolar hay 17 chicas más que chicos, y en total hay 1087 alumnos. ¿Cuántos alumnos
son chicos y cuántos son chicas?
39. (1º ESO) Antonio, Santiago y Paloma son guardias de seguridad que han cobrado 1057 € por hacer un
trabajo. Santiago ha trabajado la mitad de días que Antonio, y Paloma el doble de días que Antonio. ¿Cuánto
ha cobrado cada uno?
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EJERCICIOS
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40. (1º ESO) En un corral, entre conejos y gallinas, hay 55 cabezas y 160 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay
en el corral?
41. (1º ESO) Calcula tres números pares consecutivos cuya suma sea 42.
42. (1º ESO) Los tres ángulos de un triángulo son números enteros consecutivos. ¿Cuánto mide cada uno?
43. (1º ESO) Un autobús transporta 10 veces más personas que un coche. Si entre los dos llevan 55 personas,
¿cuántas personas lleva cada uno?
44. (1º ESO) Compré un pantalón, unos zapatos y una corbata por 72 €. Los zapatos costaron el doble que la
corbata, y el pantalón igual que los zapatos más la corbata. ¿Cuánto costó cada cosa?
45. (1º ESO) Reparte 574 € entre Óscar, Sonia y Alba, de forma que Sonia reciba el doble que Oscar y Alba el
doble que Sonia.
46. (1º ESO) Un número más el triple de dicho número menos la tercera parte del mismo número hacen 33.
Calcula dicho número.
47. (1º ESO) En un aparcamiento, entre coches y motos, hay 65 vehículos y 190 ruedas sin contar las de repuesto.
¿Cuántos coches y motos hay?
48. (1º ESO) Pablo leyó en un día la cuarta parte de las páginas de un libro, y al día siguiente, una tercera parte.
Si aún le quedan por leer 75 páginas, ¿cuántas páginas tiene el libro?
49. (1º ESO) Álvaro escala una montaña en 4 días. El primer día asciende un tercio del total, el segundo otro
tercio, el tercero asciende la mitad de lo que le queda, y el cuarto sube 300 m. ¿Qué altura tiene la montaña?
50. (1º ESO) Verónica tiene hoy 10 € más que José. Su padre les da al día siguiente 5 € a cada uno y resulta que
Verónica tiene el doble de dinero que José. ¿Cuánto dinero tiene hoy cada uno?
51. (1º ESO) Pilar tiene 23 años más que su hijo Juan. Dentro de 7 años la edad de Pilar será el doble que la del
hijo. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno?
52. (1º ESO) La suma del perímetro de un cuadrado y un triángulo equilátero es 56 cm. Sabiendo que el lado del
triángulo y el del cuadrado son iguales, ¿cuánto mide el lado?
53. (1º ESO) Roberto tiene el triple de años que su hijo Julio; David, el hijo pequeño, tiene la mitad de años que
Julio, y entre los tres suman 63 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
54. (1º ESO) Con el dinero que tengo más la mitad de lo que tengo, más la mitad de la mitad de lo que tengo, más
un euro, tendría 64 €. ¿De cuánto dinero dispongo?
55. (1º ESO) Cristina compró bulbos de nardos. Al crecer, se partieron en dos y obtuvo el doble de bulbos. El
otoño siguiente volvió a plantarlos, y de nuevo todos los bulbos se partieron en dos. ¿Cuántos bulbos
compró, si ese otoño tuvo en su jardín 100 nardos?
56. (1º ESO) Un kilo de cerezas cuesta dos euros más que uno de peras. Amelia ha pagado 8 € por tres kilos de
peras y uno de cerezas. ¿A cómo están las unas y las otras?
57. (1º ESO) Un rotulador cuesta medio euro más que un bolígrafo. Tres bolígrafos y dos rotuladores me han
costado 5 € ¿Cuánto cuesta un bolígrafo? ¿Y un rotulador?
58. (1º ESO) La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 48 cm. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo?
59. (1º ESO) El precio de las naranjas ha subido 0,20 € por Kilo. Cinco kilos costaban ayer lo mismo que hoy
cuatro. ¿A cómo están hoy las naranjas?
60. (1º ESO) Si a un cántaro le añadieras 13 litros de agua tendría el triple que si le sacaras dos. ¿Cuántos litros
de agua hay en el cántaro?
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Bloque II. Álgebra. Tema 8: Ecuaciones.
EJERCICIOS
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61. (1º ESO) Sabiendo que un yogur de frutas es 5 céntimos más caro que uno natural, y que seis de frutas y
cuatro naturales me han costado 4,80 €, ¿cuánto cuesta un yogur natural? ¿Y uno de frutas?
62. (1º ESO) Roberta tiene un año menos que su hermana Marta, y ya tenía cinco cuando nació Antonio, el más
pequeño. ¿Cuál es la edad de cada uno, sabiendo que entre los tres, ahora, suman 35 años?
63. (1º ESO) En una ferretería se venden clavos en cajas de tres tamaños diferentes. La caja grande contiene el
doble de unidades que la mediana, y esta, el doble que la pequeña. Si compras una caja de cada tamaño, te
llevas 500 unidades. ¿Cuántos clavos tiene cada caja?
64. (1º ESO) Un kilo de chirimoyas cuesta el doble que uno de naranjas. Por tres kilos de chirimoyas y cuatro de
naranjas se han pagado 11 €. ¿A cómo están las unas y las otras?
65. (1º ESO) Una bolsa de kilo de alubias cuesta lo mismo que tres bolsas de kilo de lentejas. Por dos bolsas, una
de cada producto, he pagado 6 €. ¿Cuánto costaba cada bolsa?
66. (1º ESO) En una cafetería, entre sillas (de 4 patas) y taburetes (de 3 patas) hemos contado 44 asientos con
164 patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?
67. (1º ESO) Irene ha sacado de la hucha 14 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 10 céntimos. Entre todas
valen dos euros. ¿Cuántas ha sacado de cada clase?
68. (1º ESO) En un concurso de 50 preguntas, dan tres puntos por cada acierto y quitan dos por cada fallo.
¿Cuántas preguntas ha acertado un concursante que ha obtenido 85 puntos?
69. (1º ESO) Pedro tiene 8 años más que su hermana Rosa. Dentro de 5 años, la edad de Pedro será doble que la
de Rosa. ¿Cuántos años tiene hoy cada uno?
70. (1º ESO) Mónica tiene 12 € más que Javier y esperan que mañana les den 5 € de paga a cada uno. En ese
caso, Mónica tendrá mañana el doble que Javier. ¿Cuánto tiene hoy cada uno?
71. (1º ESO) Victoria tiene 50 sellos más que Aurora, y si le diera 8 sellos, aún tendría el triple. ¿Cuántos sellos
tiene cada una?
72. Tres agricultores reciben una indemnización de 100 000 € por la expropiación de terrenos para la
construcción de una autopista. ¿Cómo han de repartirse el dinero, sabiendo que el primero ha perdido el
doble de terreno que el segundo, y este, el triple de terreno que el tercero?
73. En la caja de un supermercado hay 1 140 euros repartidos en billetes de 5, 10, 20 y 50 euros. Sabiendo que:
- Hay el doble de billetes de 5 € que de 10 €.
- De 10 € hay la misma cantidad que de 20 €.
- De 20 € hay seis billetes más que de 50 €.
¿Cuántos billetes de cada clase tiene la caja?
74. Un hortelano siembra la mitad de su huerta de pimientos; la tercera parte, de tomates, y el resto, que son 200
m2, de patatas. ¿Qué superficie tiene la huerta?
75. Joaquín tiene 14 años; su hermana, 16, y su madre, 42. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre
ambos hijos igualen la edad de la madre?
76. Un padre tiene 38 años, y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que el padre tenga solo el doble
de edad que el hijo?
77. La edad de doña Adela es seis veces la de su nieto Fernando, pero dentro de 8 años solo será el cuádruple.
¿Qué edad tiene cada uno?
78. Un ciclista sube un puerto a 15 km/h y, después, desciende por el mismo camino a 35 km/h. Si el paseo ha
durado 30 minutos.
a) ¿Cuánto tiempo ha invertido en la subida y cuánto tiempo en la bajada?
b) ¿Cuántos kilómetros tiene el puerto?
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Bloque II. Álgebra. Tema 8: Ecuaciones.
EJERCICIOS
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79. Se han pagado 66 € por una prenda que estaba rebajada un 12%. ¿Cuál era el precio sin rebaja?
80. Laura ha comprado una falda y una blusa por 66 €. Ambas tenían el mismo precio, pero en la falda le han
hecho un 20% de rebaja, y en la blusa, solo un 15%. ¿Cuánto costaba cada prenda?
81. Para delimitar en una playa una zona rectangular, el doble de larga que de ancha, se han necesitado 84 m de
cinta. ¿Cuáles son las dimensiones del sector delimitado?
82. De un número de dos cifras sabemos que:
a) Es múltiplo de 5 pero no de 10.
b) Si se invierte el orden de sus cifras, disminuye en 27 unidades.
¿De qué número se trata?
83. Por tres kilos de peras y dos de manzanas, Ramón ha pagado 7,80 €. Averigua el precio de unas y otras,
sabiendo que un kilo de peras cuesta vez y media lo que un kilo de manzanas.
84. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide la cuarta parte del valor de los ángulos iguales. Calcula el
valor de los tres ángulos.
Problemas de mezclas
85. Se tienen 20 kg de cacao del tipo A a un precio de 3 € el kilo, y 30 kg de cacao del tipo B a un precio de 5 €
el kilo. Si se mezclan, ¿qué precio tendrá el kilo de mezcla?
86. Un fabricante de queso ha mezclado cierta cantidad de leche de vaca, a 0,5 €/L, con otra cantidad de leche de
oveja, a 0,80 €/L, obteniendo 300 litros de mezcla a un precio medio de 0,70 €/L. ¿Cuántos litros de cada
tipo de leche empleó?
87. Se tienen 300 gramos de una aleación de plata del tipo A con una ley 0,7 y 100 gramos de otra aleación de
plata del tipo B con una ley 0,9. Si se funden las dos aleaciones, ¿cuál es la ley de la nueva aleación?
Problemas de móviles en sentido contrario o en el mismo sentido
88. Desde la ciudad A sale un coche hacia B con una velocidad de 90 km/h. En el mismo instante sale de B
hacia A una moto a 70 km/h. Si la distancia entre las dos ciudades es de 240 km.
a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido cada uno?
b) ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse el coche y la moto?
89. Dos ciclistas parten simultáneamente; uno, de A hacia B, a la velocidad de 24 km/h, y el otro, de B hacia A,
a 16 km/h. Si la distancia entre A y B es de 30 km.
a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido cada uno?
b) ¿Cuánto tardarán en encontrarse?
90. Desde la ciudad A sale un coche hacia C con una velocidad de 90 km/h. En la misma carretera y en el mismo
instante sale de B, que está a 20 km de A, una moto hacia C, con una velocidad de 80 km/h.
a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido cada uno hasta alcanzar el coche a la moto?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar el coche a la moto?
91. Un ciclista sale de cierta población, por carretera, a la velocidad de 22 km/h. Hora y media después, sale en
su búsqueda un motorista a 55 km/h. ¿Cuánto tardará en darle alcance?
Problemas de grifos
92. Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h, y otro grifo B, en 3 h. ¿Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en
llenar a la vez el depósito?
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93. Un grifo A llena un depósito de agua en 4 h, y otro grifo B, en 6 h. El depósito tiene un desagüe que lo vacía
en 12 h estando los grifos cerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en llenar a la vez el depósito
estando el desagüe abierto?
94. Un depósito dispone de dos grifos, A y B. Abriendo solamente A, el depósito se llena en 3 horas. Abriendo
ambos, se llena en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si se abre solamente B?
Problemas de repartos proporcionales
95. La madre de Belén, Rocío y Antonio ha decidido repartir 450 € en partes directamente proporcionales al
número de horas que sus tres hijos le han ayudado. Belén le ha ayudado durante 3 h; Rocío, durante 5 h, y
Antonio, durante 7 h. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?
Resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado con una incógnita
96. Si el doble de un número positivo se multiplica por ese mismo número disminuido en 5 unidades, da 12.
¿Qué número es?
97. El triple del cuadrado de un número natural es el doble del número más 645. Calcula dicho número.
98. Encuentra dos números enteros cuya diferencia sea 7 y la suma de sus cuadrados sea 569.
99. Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que es 7 cm más largo que ancho y que su área es de
120 cm2.
100. Las medidas, en centímetros, de los tres lados de un triángulo rectángulo son tres números naturales
consecutivos. Calcula el perímetro del triángulo.
101. En una cartulina rectangular de 0,1 m2 de superficie, recortamos dos cuadrados, de forma que uno tiene 2
cm de lado más que el otro. Si sobran 116 cm2 de cartulina, calcula la longitud de los lados de los
cuadrados recortados.
102. El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m2. Calcula sus dimensiones.
103. Halla el lado de un cuadrado sabiendo que si se aumentan en 5 cm dos de sus lados paralelos, se obtiene un
rectángulo de 24 cm2.
104. Halla el lado de un cuadrado sabiendo que si aumenta en 1 cm su lado, su área aumenta en 5 cm2.
Otros problemas de ampliación propuestos por alumnos
105. Un frutero compra una caja de plátanos a 0,8 €/kg. Se le estropean 3 kg, que tira a la basura, y el resto lo vende a
1,2 €/kg. Si gana 18 €, ¿cuántos kilogramos de plátanos contenía la caja inicialmente?
Sol: 54 Kg.
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SOLUCIONES
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SOLUCIONES:
1. (Ver vídeo)
2. (Ver vídeo)
3. a) 4; b) 8; c) 3; d) 12; e) 5; f) 3; g) 9; h) 19/11; i) 4; j) 7;
k) 1 (Ver vídeo)
4. a) 1; b) 1; c) –2; d) 1; e) –1; f) 1 (Ver vídeo)
5. a) 6; b) 1/4; c) –1 d) –7 (Ver vídeo)
6. a) 1; b) –5/8 (Ver vídeo)
7. a) –11/2; b) –11/2; c) 32; d) 7 (Ver vídeo)
8. a) 5/3; b) –3/4 (Ver vídeo)
9. a) –1; b) 0 (Ver vídeo)
10. a) 159/25; b) –71/4 (Ver vídeo)
11. (Ver vídeo)
12. a) –1; b) 15; c) –3/5; d)– 2; e) 2; f) –1 (Ver vídeo)
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
13. a) 10 y –10; b) 20 y  20 ; c) No tiene soluciones;
d) 0; e) 1/2 y –1/2; f) 0 y 3; g) 0 y 1; h) 0 y –2; i) 0 y –5;
j) 0 y 2/5; k) 0 y –1/2 l) 0 y 2 (Ver vídeo)
14. a) 7 y 3; b) No tiene soluciones; c) 2/5 y 2/3; d) 5; e) 1
1 5
y –5/6; f) –1/3; g) –1 y –1/6; h)
   1,618 y
2
1 5
(Ver vídeo)
2
15. a) 5 y –3; b) –2 y 1; c) 1/4 y –2/3; d) 5/3 y –1; e) –3 y
1/3; f) –4 y 3 (Ver vídeo)
16. a) –1/5 y 1/4; b) 0 y 7/10; c) No tiene solución; d) –8 y
2; e) –2 y 1; f) –8 y 8 (Ver vídeo)
17. a) 7€ y 9€; b) 5€ y 8€; c) 5e y 10€; d) 4€ y 12€ (Ver
vídeo)
18. 13 y 14 (Ver vídeo)
19. 26 (Ver vídeo)
20. Susana: 46,8 € y Tomás: 23,4 € (Ver vídeo)
21. Lado desigual: 8 m. Lados iguales 14 m (Ver vídeo)
22. Ancho: 49 m, Largo: 98 m (Ver vídeo)
23. 12 (Ver vídeo)
24. 12 € (Ver vídeo)
25. 13 sauces, 26 palmeras y 52 pinos (Ver vídeo).
26. 14, 15 y 16 (Ver vídeo)
27. Lado pequeño: 7,5 m; lado mediano: 12,5 m; lado
mayor: 17,5 m (Ver vídeo)
28. Lado menor: 5 m; lado mayor: 8 m (Ver vídeo)
29. 15 (Ver vídeo)
30. 7 y 35 (Ver vídeo)
31. 24 (Ver vídeo)
32. 8 (Ver vídeo)
33. Camisa: 30 €; chaqueta: 42 € (Ver vídeo)
–13–
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
Juan recibe 300 € y María 500 € (Ver vídeo)
32 (Ver vídeo)
Lado menor: 25 m; lado mayor: 32,5 m (Ver vídeo)
23 (Ver vídeo)
535 chicos y 552 chicas (Ver vídeo)
Antonio: 302 €; Santiago: 151 €; Paloma: 604 € (Ver
vídeo)
25 conejos y 30 gallinas. (Ver vídeo)
12, 14 y 16 (Ver vídeo)
59º, 60º y 61º (Ver vídeo)
El coche lleva 5 personas y el autobús 50 personas (Ver
vídeo)
Corbata: 12 €, zapatos: 24 €, pantalón: 36 € (Ver vídeo)
Oscar: 82 €; Sonia: 164 €; Alba: 328 € (Ver vídeo)
9 (Ver vídeo)
30 coches y 35 motos (Ver vídeo)
180 páginas (Ver vídeo)
1800 m (Ver vídeo)
José tiene hoy 5 € y Verónica 15 € (Ver vídeo)
Juan tiene actualmente 16 años y la de su madre Pilar
39 años. (Ver vídeo)
8 cm (Ver vídeo)
David: 7 años; Julio: 14 años; El padre Roberto: 42
años. (Ver vídeo)
36 € (Ver vídeo)
Compró 25 bulbos. (Ver vídeo)
Peras: 1,50 €/Kg; Cerezas: 3,50 €/Kg (Ver vídeo)
Bolígrafo: 0,80 €/u; Rotulador: 1,30 €/u (Ver vídeo)
Base: 16 cm; altura: 8 cm (Ver vídeo)
1 €/Kg (Ver vídeo)
9,5 litros (Ver vídeo)
Yogur natural: 0,45 €/u; yogur frutas: 0,50 €/u (Ver
vídeo)
Roberta: 13 años; Marta: 14 años; Antonio: 8 años (Ver
vídeo)
Caja pequeña: 72 clavos; mediana: 144 clavos y caja
grande: 288 clavos. (Ver vídeo)
Naranjas: 1,10 €/Kg; chirimoyas: 2,20 €/Kg (Ver vídeo)
Lentejas: 1,50 €/bolsa; alubias: 4,50 €/bolsa (Ver vídeo)
32 sillas y 12 taburetes. (Ver vídeo)
6 monedas de 20 céntimos y 8 monedas de 10 céntimos
(Ver vídeo)
Ha contestado correctamente 37 preguntas. (Ver vídeo)
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69. Rosa tiene actualmente 3 años y Pedro 11 años. (Ver
vídeo)
70. Mónica tiene hoy 19 € y Javier 7 € (Ver vídeo)
71. Aurora tiene 9 sellos y Victoria 59 sellos. (Ver vídeo)
72. El primero: 60000€, el segundo 30000€ y el tercero
10000€ (Ver vídeo)
73. 32 de 5€, 16 de 10€, 16 de 20€ y 10 de 50€ (Ver vídeo)
74. 1200 m2. (Ver vídeo)
75. 12 años (Ver vídeo)
76. 16 años (Ver vídeo)
77. Adela 72 años y Fernando 12 años. (Ver vídeo)
78. a) 21 minutos y 9 minutos. b) 5,25 Km; (Ver vídeo)
79. 75 € (Ver vídeo)
80. Costaba 40 € cada prenda (Ver vídeo)
81. 28 m de larga y 14 m de ancha (Ver vídeo)
82. El 85 (Ver vídeo)
83. Peras a 1,80 €/Kg y manzanas a 1,20 €/Kg (Ver vídeo)
84. 80º, 80º y 20º (Ver vídeo)
85. 4,20 €/Kg (Ver vídeo)
86. 100 L de leche a 0,5 €/L y 200 L de leche a 0,70 €/L
(Ver vídeo)
87. Ley: 0,75 (Ver vídeo)
88. a) El coche 135 Km y la moto 105 Km.; b) 1,5 horas
(Ver vídeo)
89. a) Uno 18 Km y el otro 12 Km; b) 45 minutos; (Ver
vídeo)
90. a) La moto recorre 160 Km y el coche 180 Km; b) 2
horas (Ver vídeo)
91. 1 hora (Ver vídeo)
92. 1,2 horas = 1h 12 min (Ver vídeo)
93. 3 horas (Ver vídeo)
94. 6 horas (Ver vídeo)
95. Belén: 90 €; Rocío: 150 € y Antonio: 210 € (Ver vídeo)
96. El 6 (Ver vídeo)
97. El 15 (Ver vídeo)
98. El 20 y 13 o el –20 y –13 (Ver vídeo)
99. Largo 22 cm y ancho 15 cm (Ver vídeo)
100. 3, 4 y 5 cm. Perímetro = 12 cm (Ver vídeo)
101. Un cuadrado de 20 cm de lado y el otro de 22 cm (Ver
vídeo)
102. Un lado 30 m y el otro 20 m (Ver vídeo)
103. 3 cm (Ver vídeo)
104. 2 cm (Ver vídeo)
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