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Material para Ayudantía No. 7, Relaciones de Demanda entre Bienes (Capítulo 6 Nicholson)
1.
Heidi obtiene utilidad de únicamente de dos bienes, leche de cabra (m) y pastelillos strudel (s), de acuerdo a
la siguiente función de utilidad:
a)
Muestre que un incremento en el precio de m no afectará la cantidad de s que Heidi compra (Es decir,
muestre que
)
b)
Demuestre también que
c)
Utilizando la ecuación de Slutsky y la simetría de los efectos sustitución netos demuestre que los
efectos ingreso tanto en el ítem a (demanda por pastelillos) como en b (demanda por leche) son
idénticos
Demuestre de nuevo lo requerido en el ítem (c), usando ahora explícitamente las funciones de
demanda Marshallianas para m y s
d)
2.
La señora Sarah Viajera no tiene auto y viaja sólo en bus (b), tren (t) o aeroplano (p) y su finción de utilidad
viene dada por:
Suponga que el cociente de precios (pt/pb) nunca cambia.
a) ¿Cómo podríamos definir un bien compuesto de transporte por tierra?
b) Escriba el problema de maximización de Sarah como uno de elección entre el bien compuesto del
ítem a (llámelo g, transporte por tierra) y p, transporte por aeroplano
c) Obtenga las funciones de demanda de Sarah por g y por p
d) Una vez que Sarah ha decidido cuánto gastar en g, ¿Cómo distribuirá esos gastos entre b y t?
3.
En general, los efectos precios cruzado no compensados o hicksianos no son iguales. Es decir:
Use la ecuación de Slutsky para demostrar que dichos efectos son iguales si el individuo gasta una fracción
constante de su ingreso en cada uno de los bienes independientemente de sus precios relativos. Un precio
relativo es simplemente un cociente de precios, por ejemplo
. INTUICIÓN: se trata de una
generalización del problema 1 a n bienes.
4.
Para la siguiente función de utilidad:
a)
b)
c)
Obtenga las demandas Marshallianas para cada uno de los bienes
Use la función de demanda por x encontrada en (a) para determinar si (x y y), y si (x y z) son sustitutos
brutos o complementos brutos
¿Cómo podría determinar si (x y y), y si (x y z) son sustitutos netos o complementos netos? PISTA:
Naturalmente podría hacerlo computando directamente la derivada
. No le niego el placer
intrínseco que tales cálculos le generarían, pero si decide evitarse hartas páginas de álgebra podría
pensar, ¿No habrá un camino más fácil usando alguna ley de demanda?
1
a.
As for all Cobb-Douglas applications, first-order conditions show that pm m
s
b.
0.5I ps and
s pm
ps s
0.5I . Hence
0.
Because indifference curves are rectangular hyperboles (ms = constant), own substitution and crosssubstitution effects are of the same proportional size, but in opposite directions. Because indifference
curves are homothetic, income elasticities are 1.0 for both goods, so income effects are also of same
proportionate size. Hence, substitution and income effects of changes in pm on s are precisely
balanced.
c.
s
pm
0
s
s
|U m
and
pm
I
m
ps
0
m
m
|U s
ps
I
But
2
s
|
pm U
m
s
|U so m
ps
I
s
I
0.5
ps
d.
From part a:
a.
Amount spent on ground transportation
m
m
= p bb + p t t = p b b +
b.
Maximize
This
Subject to
pp p
c.
Solution is
p
d.
Given pbg, choose pbb = pbg/2
is
Assume xi = aiI
Hence: x j
U(b,
m
0.5
pm m s
s
0.5
pm
s
m
.
I
pt
t.
pb
t,
p)
equivalent
pb g I .
I
3p p
m
.
I
pt
t
pb
= pb g where g = b +
3
s
g
subject
to
to
ppp
Max
2I
3 pb
ptt = pbg/2.
xj = ajI
xi
= ai a j I = xi
I
xj
I
so income effects (in addition to substitution effects) are symmetric.
+
pbb
U(g,
+
p)
p tt
=
=
I.
g2p
4
a.
Example 6.3 gives
x=
I
px + px p y + px pz
clearly
x / p y , x / p z 0 so these are
gross complements.
b.
Slutsky Equation shows
negative.
Because
x/ p y |U =U and
of
x/ p y = x/ p y |U
U
symmetry
and
x/ p z |U =U
of
0.
y
y
z
x
so x/ p y |U = U could be positive or
I
here,
Hick’s
second
law
suggests