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Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
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PRIMARIA
1º ESO
2º ESO
3º ESO aplicadas
3º ESO académicas
4º ESO aplicadas
4º ESO académicas
CALCULADORA
Se recomienda que todos los alumnos adquieran una calculadora de similares prestaciones y manejo que facilite las explicaciones en clase y que les valga para todo su paso
por la Enseñanza Secundaria. La propuesta es que, al pulsar la tecla MODE, aparezcan las opciones: COMP, STAT, EQN, TABLE (VECTOR y MATRIX para Bachillerato).
1
Traducciones al inglés hechas por: Gema Bargueño Alonso (para 1º ESO) y Clara Polo Benito (para 2º ESO).
1
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
ÍNDICE:
I.
LENGUAJE ALGEBRAICO. POLINOMIOS. ....................................................................................................................................................................................................................... 4
TRADUCCIÓN A LENGUAJE ALGEBRAICO .......................................................................................................................................................................................................................... 4
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ...................................................................................................................................................................................................... 9
OPERACIONES CON POLINOMIOS..................................................................................................................................................................................................................................... 9
POTENCIA DE UN BINOMIO ............................................................................................................................................................................................................................................ 17
DIVISIÓN Y FACTORIZACIÓN ........................................................................................................................................................................................................................................... 21
mcm Y MCD .................................................................................................................................................................................................................................................................... 31
SIMPLIFICACIÓN .............................................................................................................................................................................................................................................................. 31
II.
FRACCIONES ALGEBRAICAS ............................................................................................................................................................................................................................................ 33
ECUACIONES E INECUACIONES .................................................................................................................................................................................................................................. 35
ECUACIONES DE 1º GRADO SIN PARÉNTESIS NI FRACCIONES ........................................................................................................................................................................................ 35
ECUACIONES DE 1º GRADO CON PARÉNTESIS Y SIN FRACCIONES ................................................................................................................................................................................. 39
ECUACIONES DE 1º GRADO CON FRACCIONES ............................................................................................................................................................................................................... 41
ECUACIONES DE 1º GRADO CON FRACCIONES Y PARÉNTESIS........................................................................................................................................................................................ 44
ECUACIONES DE 2º GRADO ............................................................................................................................................................................................................................................ 45
ECUACIONES DE 2º GRADO CON PARÉNTESIS ................................................................................................................................................................................................................ 49
ECUACIONES DE 2º GRADO CON DENOMINADORES Y PARÉNTESIS .............................................................................................................................................................................. 49
GRÁFICAS Y PROBLEMAS DE PARÁBOLAS (análisis) ....................................................................................................................................................................................................... 50
ECUACIONES BICUADRADAS ........................................................................................................................................................................................................................................... 54
ECUACIONES RACIONALES Y GRADOS DISTINTOS .......................................................................................................................................................................................................... 56
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ECUACIONES IRRACIONALES ........................................................................................................................................................................................................................................... 57
INECUACIONES DE 1º GRADO ......................................................................................................................................................................................................................................... 60
INECUACIONES DE 2º GRADO ......................................................................................................................................................................................................................................... 60
PROBLEMAS DE ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA ....................................................................................................................................................................................................... 61
III.
SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES ....................................................................................................................................................................................................... 69
SISTEMAS DE 1º GRADO CON 2 INCÓGNITAS SENCILLOS .............................................................................................................................................................................................. 69
SISTEMAS DE 1º GRADO CON 2 INCÓGNITAS Y PARÉNTESIS .......................................................................................................................................................................................... 75
SISTEMAS DE 1º GRADO CON 2 INCÓGNITAS Y DENOMINADORES ............................................................................................................................................................................... 76
SISTEMAS DE 1º GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES ................................................................................................................................................................................... 79
SISTEMAS DE 2º GRADO CON UNA RECTA Y UNA CÓNICA ............................................................................................................................................................................................. 81
SISTEMAS DE 2º GRADO CON DOS CÓNICAS .................................................................................................................................................................................................................. 84
PROBLEMAS DE SISTEMAS ............................................................................................................................................................................................................................................. 87
IV.
SUCESIONES Y FINANCIERA ........................................................................................................................................................................................................................................ 99
SUCESIONES .................................................................................................................................................................................................................................................................... 99
MATEMÁTICA FINANCIERA ........................................................................................................................................................................................................................................... 108
3
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
I. LENGUAJE ALGEBRAICO. POLINOMIOS.
TRADUCCIÓN A LENGUAJE ALGEBRAICO
9. Dado un número x, expresa el opuesto de su cuadrado.
Given a number x, express the opposite of its square number.
10. Dado un número x, expresa el inverso de su cubo.
Given a number x, express the inverse of its cube number.
11. Dado un número x, expresa la suma de su cuadrado y su cubo.
Given a number x, add it its square number and its cube number.
12. Dado un número x, expresa la suma de su inverso y su cuadrado.
Given a number x, add it its inverse number and its square number.
13. Dado un número x, expresa la suma de su cubo y su opuesto.
Given a number x, add its cube number and its opposite.
1. Dado un número x, expresa un número dos unidades mayor.
Given a number x, express a number two units bigger.
2. Dado un número x, expresa un número cinco unidades menor.
Given a number x, express a number five units smaller.
3. Dado un número x, expresa el resultado de restar ese número a cinco.
Given a number x, subtract that number from 5.
4. Dado un número x, expresa su opuesto.
Given a number x, express its opposite.
5. Dado un número x, expresa su inverso.
Given a number x, express its inverse.
6. Dado un número x, expresa su cuadrado.
Given a number x, express its square number.
7. Dado un número x, expresa su cubo.
Given a number x, express its cube number.
8. Dado un número x, expresa su raíz cuadrada.
Given a number x, express its square root.
4
14. Dados dos números x e y, expresa su suma.
Given two numbers x and y, add them.
15. Dados dos números x e y, expresa la suma de sus opuestos.
Given two numbers x and y, add their opposite numbers.
16. Dados dos números x e y, expresa la suma de sus inversos.
Given two numbers x and y, add their inverse numbers.
17. Expresa cuánto valen cinco móviles de x€ más dos tablets de y€.
Express how much five mobile phones of €x plus two tables of €y cost.
18. Expresa lo que cuesta llenar el depósito de gasolina de 45 litros que
tiene mi coche si el precio del combustible es de x€/l.
Express the cost of filling up the 45 litres petrol tank of my car if the price
of the petrol is x euros per litre.
Consecutivos
19. Dado un número entero x, expresa los números consecutivos anterior
y posterior.
Given a whole number x, express the following and preceding numbers.
20. Dado un número entero x, expresa los siguientes tres números
consecutivos.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
Given a whole number x, express the following three numbers.
21. Dado un número entero par x, expresa el siguiente número par (por
Given a whole number x, add that number to the triple of the following
number.
22. Dado un número entero impar x, expresa el siguiente número impar
Given an even whole number x, subtract the preceding even number and
the following even number.
23. Dado un número entero par x, expresa los siguientes dos números
Given the triple of a number x, express the two following consecutives
numbers.
24. Dado un número entero impar x, expresa los siguientes tres números
Given a whole number x, express a number which is seven units bigger
and the two following preceding numbers to this one.
tanto el par consecutivo).
Given an even whole number x, express the following even number (the
consecutive even number).
(por tanto el impar consecutivo).
Given an odd whole number x, express the following odd number (the
consecutive odd number).
pares (por tanto los siguientes pares consecutivos).
Given an even whole number x, express the following two even numbers
(the following consecutive even numbers).
impares (por tanto los siguientes impares consecutivos).
Given an odd whole number x, express the following three odd numbers
(the following consecutive odd numbers).
25. Dado un número entero par x, expresa el siguiente y el anterior
número par (tendrás tres pares consecutivos).
Given an even whole number x, express the preceding even number and
the following even number. (you will get three consecutive even
numbers).
26. Dado un número entero impar x, expresa el siguiente y el anterior
número impar (tendrás tres impares consecutivos).
Given an odd whole number x, express the preceding odd number and the
following odd number. (You will get three consecutive odd numbers).
27. Dado un número entero x, expresa el número anterior y el posterior
al doble del número dado.
Given a whole number x, express the preceding and following numbers of
the double of the given number.
28. Dado un número entero x, expresa la suma de ese número con el
tripe de su siguiente.
5
29. Dado un número entero par x, expresa la diferencia del número par
anterior y el número par posterior.
30. Expresa los siguientes dos números consecutivos del triple de un
número x.
31. Dado un número entero x, expresa un número 7 unidades más
grande y los dos números consecutivos anteriores a este.
32. Dado un número entero x, expresa la suma de los tres números
consecutivos.
Given a whole number x, add the following three consecutive numbers.
33. Dado un número entero x, expresa la diferencia del número posterior
y el número anterior.
Given a whole number x, subtract the following number and the
preceding number.
34. Dado un número entero x, expresa la raíz cuadrada de su siguiente.
Given a whole number x, calculate the square root of the following
number.
35. Dado un número entero x, expresa la suma de las raíces cuadradas de
su siguiente y su anterior.
Given a whole number x, add the square roots of the following and
preceding numbers.
36. Dado un número entero cualquiera x, expresa lo que seguro es un
número par.
Given any whole number x, express its even number.
37. Dado un número entero cualquiera x, expresa lo que seguro es un
número impar.
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Given any whole number x, express its odd number.
Multiplicativos
38. De un número x, expresa su doble.
Given a number x, express its double.
39. De un número x, expresa su quíntuple.
Given a number x, express its quintuple.
40. De un número x, expresa su óctuplo.
Given a number x, express its eightuple.
41. De un número x, expresa su triple.
Given a number x, express its triple.
42. De un número x, expresa su séxtuplo.
Given a number x, express its sixtuple.
43. De un número x, expresa su cuádruple.
Given a number x, express its quadruple.
44. Dado un número x, expresa la mitad de su raíz cuadrada.
Given a number x, express the half of its square root.
45. Dado un número x, expresa su quíntuple más 6 unidades.
Given a number x, express its quíntuple plus 6 units.
46. Dado un número x, expresa su mitad aumentado en tres unidades.
Given a number x, calculate its half and then add three units.
47. Dado un número x, expresa el doble del número siguiente.
Given a number x, double its following number.
48. Dado un número x, expresa la mitad del número anterior.
Given a number x, express the half of its preceding number.
49. Dado un número entero x, expresa la suma del doble del número y la
tercera parte del siguiente.
Given a whole number x, add the double of this number and the third part
of its following number.
50. Dado un número entero x, expresa la diferencia del quíntuplo del
número y la mitad del siguiente.
Given a whole number x, subtract the quintuple of this number and the
half of its following number.
6
51. De dos números x e y, expresa el doble del primero más el triple del
segundo.
Given two numbers x and y, add the double of the first one to the triple of
the second one.
52. De dos números x e y, expresa el séxtuplo del primero más el opuesto
del segundo.
Given two numbers x and y, add the sixtuple of the first one to the
opposite of the second one.
Partitivos
53. De un número x, expresa su mitad.
Given a number x, express its half.
54. De un número x, expresa su décima parte.
Given a number x, calculate a tenth.
55. De un número x, expresa su cuarta parte.
Given a number x, calculate a quarter.
56. De un número x, expresa su octava parte.
Given a number x, calculate an eighth.
57. De un número x, expresa su tercera parte.
Given a number x, calculate a third.
58. De un número x, expresa el opuesto de su quinta parte.
Given a number x, calculate the opposite of a fifth.
59. De un número x, expresa el doble de su séptima parte.
Given a number x, calculate the double of a seventh.
Combinados
60. De un número x, expresa su doble más su mitad.
Given a number x, add its double to its half.
61. De un número x, expresa su triple más su cuarta parte.
Given a number x, add its triple to a fourth of this number.
62. De un número x, expresa su quinta parte más su quíntuplo.
Given a number x, add a fifth of this number to its quintuple.
63. De un número x, expresa su séxtuplo más su tercera parte.
Given a number x, add its sixtuple to a third of this number.
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64. Dados un número impar x, expresa la diferencia del anterior número
impar y el triple del siguiente número impar.
65. Dados dos números x e y, expresa la suma de la sexta parte del
primero con el doble del segundo.
Given two numbers x and y, add a sixth of the first number to the double
of the second one.
66. Dados dos números x e y, expresa la suma del cuádruplo del primero
con el opuesto de la tercera parte del segundo.
Given two numbers x and y, add the quadruple of the first one to a third
of the opposite number of the second one.
67. Dados dos números x e y, expresa el opuesto de la mitad del primero
sumado al opuesto del óctuplo del segundo.
Given two numbers x and y, add the half of the opposite number of x to
the eightuple of the opposite of y.
68. Dados dos números x e y, expresa el inverso del doble del primero
sumado al opuesto del séxtuplo del segundo.
Given two numbers x and y, add the inverse number of the double of x to
the opposite number of the sixtuple of y.
69. Dados dos números x e y, expresa el opuesto de la tercera parte del
primero restado al inverso del cuádruplo del segundo.
Given two numbers x and y, subtract the opposite of a third of x and the
inverse of the quadruple of y.
70. Expresa la suma de las edades de tres hermanos sabiendo que dos de
ellos son gemelos y el tercero tiene la mitad de años que los otros
dos.
Given that two brothers are twins and the third one is half the age of his
two brothers, add their ages.
Porcentajes
71. Dada una cantidad x, expresa su 75%.
Given a quantity x, calculate its 75%.
72. Dada una cantidad x, expresa su 125%.
Given a quantity x, calculate its 125%.
7
73. Dada una cantidad x, expresa su 20%.
Given a quantity x, calculate its 20%.
74. Dada una cantidad x, expresa su 250%.
Given a quantity x, calculate its 250%.
75. Dada una cantidad x, expresa su 8%.
Given a quantity x, calculate its 8%.
76. Dada una cantidad x, expresa su 102%.
Given a quantity x, calculate its 102%.
77. Dada una cantidad x, expresa su 7,5%.
Given a quantity x, calculate its 7.5%.
78. Dada una cantidad x, expresa su 15%.
Given a quantity x, calculate its 15%.
79. Dada una cantidad x, expresa su 325%.
Given a quantity x, calculate its 325%.
80. Dado un artículo de x€, expresa lo que cuesta si se le tiene que sumar
el 21% de IVA.
81. Dada una cantidad x, expresa la suma de esa cantidad con su 35%.
Given a quantity x, add that quantity to its 35%.
82. Dada una cantidad x, expresa la diferencia de esa cantidad con su
210%.
Given a quantity x, subtract its 210% from that quantity.
83. Dada una cantidad x, expresa su 80% menos su 9%.
Given a quantity x, subtract its 9% from its 80%.
84. Dado un artículo de x€, expresa lo que cuesta si lo rebajan un 10%.
Given an article of €x, calculate how much does it cost if it has a discount
of 10%.
85. Dado un artículo en fábrica de x€, expresa lo que cuesta en tienda si
le tienen que subir el 21% de IVA.
Given an article of €x, calculate how much it will cost in a shop if its price
has been increased 21%.
86. Dado un sueldo de x€, expresa en cuánto se queda si lo suben un 5%.
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Given a salary of €x, calculate how much it will cost if its price has been
increased 5%.
87. Dado un sueldo de x€, expresa en cuánto se queda si lo bajan un 5%.
Given a salary of €x, calculate how much it will cost if the price has been
reduced 5%.
88. Expresa lo que cuesta llenar el depósito de gasoil de 90 litros que
tiene un tractor si el precio del combustible es de x€/l pero el
agricultor tiene una rebaja del 4%.
If a tractor has a 90 litre petrol tank and the price of the petrol is x€/l, but
the farmer has a 4% discount, how much does it cost to fill the petrol
trank?
Geométricos
89. Dado un cuadrado de lado x, expresa su perímetro y su área.
Calculate the perimeter and the area of a square with a side x.
90. Dado un rectángulo con lados x e y, expresa su perímetro y su área.
Calculate the perimeter and the area of a rectangle with two sides x and y.
91. Dado un triángulo equilátero de lado x, expresa su perímetro.
Calculate the perimeter of an equilateral triangle with a side x.
92. Dado un rectángulo con base la mitad de la altura, expresa su
perímetro y su área.
Calculate the perimeter and the area of a rectangle whose base is half its
height.
93. Dado un rectángulo de altura triple que la base x, expresa su
perímetro y su área.
Calculate the perimeter and the area of a rectangle whose height is three
times its base x.
94. Expresa el perímetro de un triángulo isósceles en el que los lados
iguales miden el doble que el lado desigual x.
Calculate the perimeter of an isosceles triangle whose equal sides
measure the double of its remaining side x.
95. Dado el ángulo desigual x de un triángulo isósceles, expresa la
medida de uno de los otros dos ángulos.
8
Calculate the measure of one of the equal angles of an isosceles triangle
taking into account its remaining side x.
96. Dado un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio x,
expresa su perímetro.
Calculate the perimeter of a regular hexagon inscribed in a circumference
with a radius x.
97. Dado un cuadrado de lado x, expresa el perímetro y el área de un
nuevo cuadrado de lado el doble que el primero.
Given a square with a side x, calculate the perimeter and the area of a
new square whose side measures the double of the first one.
98. Dado un cuadrado de lado x, expresa el perímetro y el área de un
rectángulo resultado de aumentar la base en 3 unidades y la altura en
5 unidades.
Given a square with a side x, calculate the perimeter and the area of a
rectangle that is the result of increasing the base in 3 units and the height
in 5 units.
99. Dado un cuadrado de lado x, expresa el perímetro y el área de un
rectángulo resultado de disminuir la base en 2 unidades y aumentar
la altura en 6 unidades.
Given a square with a side x, calculate the perimeter and the area of a
rectangle that is the result of decreasing the base in 2 units and
increasing the height in 6 units.
100.
Dado un rectángulo de lados x e y, expresa el perímetro y el
área de un nuevo rectángulo con base el doble del anterior y altura
aumentada en 10 unidades.
Given a rectangle with sides x and y, calculate the perimeter and the area
of a new rectangle whose base is the double of the previous one and its
height is increased by 10 units.
101.
102.
Dada un solar cuadrado de perímetro x metros, expresa su área.
Dado un rectángulo de lados x e y, expresa el perímetro y el
área de un nuevo rectángulo con base disminuida en 7 unidades y
altura aumentada en 4 unidades.
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Given a rectangle with sides x and y, calculate the perimeter and the area
of a new rectangle whose base is decreased by 7 units and its height is
increased by 4 units.
114.
115.
( , ) = −5 − 7
( , )=4 ·
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
117.
( , )=−
116.
F (a, b) 
120.
121.
I (b , c )  b  c
( , )=−
2
+
·
para
para
para
−2
RECUERDA: 2x significa 2·x
( )= +2
=1
( )=− +3
=5
( )=2 +5
= −3
( )=
+3 −1
=2
( )=
−5 +2
= −1
( ) = 4−6 −
=0
123.
U (a, b, c) 
P  x   5 x  3x  1
OPERACIONES CON POLINOMIOS
112.
S x  
2
4 2 1
x  x7
3
2
( , )=
9
4
−2
para x  1
para
= 1,
x6
= −4
124.
125.
= −3
= 10
a  5, b  3
a  10 , c  8
b  9, c  12
·
 b  b2  4ac
2a
H (a, b, c) 
110.
113.
K (a, c)  a 2  c 2
= −7,
122.
R x  3x 3  6x  5 para x  2
Q x   6 x 3  8x 2  4 x  2 para x  0
111.
a2  b2
2
= 6,
·
118.
119.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
−
( , )=
= 3, = −1
= −3, = 2
= −6,
= −1
para a  1, b  2, c  0
 b  b2  4ac
para a  2, b  2, c  1
2a
a  an  ·n para a  1, a  35, n  10
Z (a0 , an , n)  0
0
n
2
W (a0 , r, n) 

a0 · 1  r n1
1 r

para a0  3, r  2, n  5
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RECUERDA
MONOMIO
−
COEFICIENTE
3
1
2
−
5
4
4
PARTE LITERAL
= ·
= · ·
–
GRADO
2
3
1
0
RECUERDA
Los monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal.
126.
Clasifica los componentes de los siguientes monomios y di
cuáles son semejantes: 5yx2,
x4, –6x2, –8x2y2, 3xy,
2
127.
Clasifica los componentes de los siguientes monomios y di
cuáles son semejantes: 7,
3yx3,
x3, –2yx3,
–x,
7x
128.
Clasifica los componentes de los siguientes monomios y di
cuáles son semejantes: 9x6,
zx5,
–4x4y2,
10x3z
129.
Clasifica los componentes de los siguientes monomios y di
cuáles son semejantes: –x5/3,
–9x3,
–6/5,
0
130.
Clasifica los componentes de los siguientes monomios y di
cuáles son semejantes:
z 4,
–11zy3,
–28y2x2,
3x,
2z
Operaciones con monomios
10
Suma/resta
RECUERDA: solo se pueden sumar y/o restar monomios semejantes.
131.
2x3–5x3=
132.
8x2–2x2=
133.
–3x4–7x4=
134.
6x2–5x2=
135.
11x5–3x5=
136.
–23x7–9x7=
137.
20x3–8x3–15x3=
138.
–9x6+4x6–18x6=
139.
–28x9–31x9–x9=
140.
5x6+x6–1+4=
141.
x5–2x4+12x4–5x5=
142.
4x7+x5–2x5+10x5=
143.
9x6+x5–2x6+32x5–5x6=
144.
x–7x4+x3–x4+x–x=
145.
–x4+x6+x4–6x4+9x4–3x6=
146.
147.
148.
−
−
−6
+
−
−
+
+
=
+
+2
=
=
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149.
150.
151.
152.
153.
154.
−2
+
−
−
+
−2
−
−
−
−4
+
−
−
−
−
−
=
+
+
=
=
=
=
−5 +
−
+
=
Producto/cociente
RECUERDA: se puede multiplicar y/o dividir cualquier monomio, no se
necesita ser monomio semejante.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
5x  7 x 
3
7
2x3 · (–5x4)=
2x3 y· (–5x4 y2)=
6x6 · x5=
zx5 · 6x6 z=
–2x4 · 3x2=
4x5 · (–2x4)=
–8x3 y · (–7x2)=
– ·
−
· −
·
· −
=
=
24x6 : (–8x4)=
32x8 : 16x5=
–15x7 : 3x7=
–16x5 : (–2x4)=
−2 : −
11
172.
173.
174.
175.
176.
177.
Jerarquía
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
=
·
(–2x) =
–7x · x3 · (–5x2) · 2=
–x4 · 5x4 · (–2x3) · (–1)=
x · (–2x3) · x5 · (–6x2) · (–4x2)=
x2 ·
xy 2  3x3t  5xy 2t 4 
2 xy  6x2 y 2  3x3 y5 
5 xy  (3) x 2  2 xy 4 
179.
180.
181.
: −
9x6
178.
182.
183.
=
4
·
−
·
· −
· −
· −
−5 · (−
=
·
)· −
· −
=
·
=
=
–2x7 · (–3x5) + 4x12 –5x12=
–3x9 –x7 · (–7x2) + 6x3 =
x4 +8x3 · (–5x3) + 9x6 =
–21x8 : (–3x5) + 12x3 ·(–3) =
[3x6 · (–4x3)] : (–2x2) =
[2x8 · x2 · (–5x4)] : (–10x14)=
3x · [8x3 : (–4x2)] · (–7x4) =
[24x4 : (–6x2)] : (–2x) =
24x4 : [(–6x2) : (–2x)] =
[–12x5 : 3x3] : (–x2) =
–12x5 : [3x3 : (–x2)] =
–18x6 : [(–3x4) : (–3x)] =
[–18x6 : (–3x4)] : (–3x) =
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
197.
198.
199.
200.
201.
[–2x6 · (–3x3)] : (–6x2) – 8x7=
[
–18x4
:
(–3x4)
]·
(–x3)
–
5x3
=
–36x8 : [(–27x3) : (–3x)] – [(–12x4) : (–3x)] ·8x3=
[–x3 · 4x2 · (–3x4)] : (–6x5) + (–24x6) : [16x3 : (–2x)] + x =
[–6x7 : 2x4] : (–x3) – [–14x5 : 7x3] : (–x2) + 5x2 =

Cuando se saca factor común a un –, dentro del paréntesis se pone un
+ en su lugar.
 Cuando se saca factor común a todo un monomio, dentro del
paréntesis se pone un 1 en su lugar.
Sacar factor común
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.

RECUERDA
Al sacar factor común, dentro del paréntesis queda el mismo número
de monomios que se tenía al principio.
12
219.
220.
221.
3x  x 2 
 2x5  2x4 
 5 x 4  10 x 3 
3x5  6 x 4 
6 x 3  12 x 2 
2 x4  6 x3 
14 x  7 x 2 
2 y 2  7 xy 2 
7xy  14x2 y3 
12x 2 y  8x3 y 
6 xy3  14xy2 
15abc2  3a2bc3 
 15 b 2  6 ab 2 c 
5 a  25 a 3b 4 
 3ab15a2b4 
42 a 2  30 a 3b 3 
6 x 2  18xy  12xy 2 =
15a2b3  5ab 20ab4 =
2 xy  8 x 2 y 3  14 x 2 y =
21xyz  35 x 2 z  15 yz 3 =
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
ab  5a 2b  3ab2 =
4 x 2 y 3  24 xyz  16 xy 2 =
25ab2  5a  20a 3b =
7ab3  49ab  14a 4 b 2 =
4 y 3  14 xy 3  49 x 2 y 3 
2 xy  8 x 2 y 3  14 x 2 y 
18 xy 3  42 x 2 y 3  98 x 2 y 4 
2 3 1
4
ab  ab  a4b2 =
3
3
3
1
1
1
 x 2 y  xy  x 2 y 2 =
4
4
4
2
3
xz zx
z
 
 =
7
7
7
1
3
5
 x 2  x  x3 =
2
2
2
4
2
8
 x 2 y  xy  x 2 y 3 =
3
3
3
2
3
3 x z 2 xz
xz

 =
10
25
5
3 4 1
7
x  x  x3 =
4
8
12
5
35
25
xy  x 2 y 3  x 2 y 2 =
6
12
18
13
237.

238.

239.
240.
241.
242.
x 5 yx 2 xz 3
=


14
28
21
81 2
9
27
x y  y 3 x  x3 y 2 =
40
10
20
2
2
3
x
5zx
xz


=
2
9 y 18y
6y
ab 2 3ab 2 ab 3
=
 2 
2c 3
c
8c
5b 4
c2
7b 3 c
=



6 a 12 ab 2 24 a

14 xy3 49 yx 2 7 xy


=
45
30
15
A(x) = 10x3 – 5x2 + x – 1
B(x) = –6x2 + 3x
C(x) = –5x5 – 9x3 – 6
D(x) = –3x4 – 2x2 + 4
E(x) = –7x3 – 3x + 14
F(x) = –x4 – 8x2 + 2
G(x) = –3x5 – 6x2 – 9
H(x) = –x5 – 2x4 – x2
I(x) = –4x5 + x3 – 3x
J(x) = –5x5 + 7x – 5
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
RECUERDA
El grado de un polinomio es el mayor grado de entre sus monomios.
Multiplicación polinomio–monomio
¿De qué grado son los polinomios resultantes?
243.
2·A(x)=
244.
–3·B(x)=
245.
–5·C(x)=
246.
6·D(x)=
247.
–E(x)=
248.
4·F(x)=
249.
–10x·G(x)=
250.
–2x·H(x)=
251.
7x2·I(x)=
252.
–8x3·J(x)=
253.
I(x):( –2x)=
254.
G(x):( –3)=
255.
I(x):( –2x)=
256.
F(x) : 2=
Suma y resta de polinomios
257.
A(x) – B(x) =
258.
–A(x) + B(x)=
259.
–A(x) – B(x)=
14
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
A(x) – D(x)=
B(x)+C(x)=
B(x) –C(x)=
–B(x)+C(x)=
–B(x) –C(x)=
A(x)+B(x)+C(x)=
A(x)–B(x)+C(x)=
–A(x)+B(x)+C(x)=
B(x) –C(x)+D(x)=
C(x)+D(x)–E(x)=
C(x)–D(x)–E(x)=
B(x)+D(x)+E(x)=
B(x)–D(x)+E(x)=
A(x)+D(x)–E(x)=
F(x)+G(x)–H(x)=
–F(x)–H(x)+I(x)=
F(x)+H(x)+I(x)=
G(x)+H(x)–I(x)=
G(x)+I(x)+J(x)=
F(x)–H(x)+J(x)=
F(x)+I(x)–J(x)=
G(x)–I(x)+J(x)=
–F(x)+G(x)–H(x)=
Operaciones con polinomios
3·B(x) + A(x) – 3·C(x)=
A(x)+2·F(x)+3x·I(x)=
x·B(x)+G(x)–2·J(x)=
C(x)–x·G(x)+5·H(x)=
2·B(x)+E(x)+x·I(x)=
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
297.
298.
299.
300.
301.
302.
303.
304.
305.
306.
307.
308.
309.
310.
311.
312.
313.
314.
315.
3·B(x)+x2·D(x)+0·J(x)=
x·B(x)–E(x)–x3·G(x)=
x3·C(x)– x2·D(x)+ 3·J(x)=
2·C(x)–E(x)– 4·I(x)=
3·D(x)+ x2·E(x)–H(x)=
C(x)+ 5·F(x)– x3·H(x)=
D(x)+ x4·G(x)–I(x)=
x2·E(x)– 3·H(x)–J(x)=
F(x)+ 2·G(x)+ x3·H(x)+I(x)=
6·F(x)– x2·G(x)+H(x)–I(x)=
F(x)–2x·H(x)+I(x)–4·J(x)=
3·B(x)+D(x)+ 5x·H(x)+J(x)=
A(x)+ 3·C(x)–E(x)–2x4·I(x)=
A(x)+ 3x·E(x)– 3·G(x)–J(x)=
2·C(x)–E(x)+ x2·I(x)–J(x)=
x5·D(x)+E(x)– 3·G(x)+ x3·J(x)=
A(x)+ x3·E(x)+ x2·G(x)+4·I(x)=
x3·A(x)+D(x)+ 5·F(x)+I(x)=
–B(x)– x3·C(x)+ 2·G(x)+ x4·I(x)=
3·A(x)+E(x)+ x5·D(x)+E(x)=
–2·A(x)– x2·B(x)+C(x)– 3·E(x)=
–A(x)–B(x)+ x3·C(x)+ 4·D(x)=
2x3·E(x)+ x4·G(x)+ x3·I(x)– 3·J(x)=
½·F(x)– ¼ x3·G(x)+H(x)–I(x)=
–A(x)– ½·B(x)+ x2·C(x)+ ¼ ·D(x)=
–½ x4·E(x)+ x4·I(x)– ¼ x·J(x)=
− · ( )+
· ( )− ( )=
· ( )−
· ( )− · ( )=
Operaciones con polinomios y paréntesis
15
316.
317.
318.
319.
320.
321.
322.
323.
324.
325.
326.
327.
328.
329.
330.
4· [ 2·C(x) – 3x·B(x) ]=
x2 · [ –4·D(x) + E(x) ]=
7x· [ F(x) – 0·D(x) ]=
–2· [ 6·J(x) – 2x3·G(x) ]=
A(x) – [ B(x) + C(x) ]=
H(x)+3x4· [ I(x) – A(x) ]=
– [ J(x) – 2·C(x) ] –3x2·B(x)=
–5x3 · [ B(x) – G(x) ] –2·C(x)=
3 · [ –2x· D(x) + F(x) ] –3x·E(x)=
–3x· C(x) +½·[ J(x) –3x·E(x)]=
x4· E(x) –[ H(x) –¼ x·B(x) ]=
¼ · [ –x· A(x) +½ F(x) ] –2x·G(x)=
331.
332.
333.
334.
(–5x5+4x3+2x2–7x+2)·(3x3+4x–3)
1
2
− x2· B(x) –[
−
−
( )+
( )+
·A(x) − ·C(x) ]=
· [ ( ) − ( )] =
· ( ) −
· ( )=
Multiplicación de polinomio–polinomio
=
(–x4+5x3–8x2–7x+3)·(4x2–3x–5) =
(–3x4+5x3–8x2–7x+3)·(2x2+x–3) =
(6x3–7x2–6x+3)·(x2+2x–4) =
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
335.
336.
337.
338.
339.
340.
341.
342.
(x3–4x2–6x+9)·(x3+5x–4) =
(–6x4–x2–3x–4)·(5x2+x–7) =
(7x3+3x2+4x+5)·(7x2+x–3) =
(–5x4+3x5+2x2+3x+6)·(x3+2x–3) =
(x3+1)· (3x+2) =
(x4 – x)· (2x – 4) =
(2x2 – x + 2)· (x2 – x + 1) =
(3xy + x2)·(x – 2y) =
Sin fracciones
A(x) = –2x4 – 5x2 + 7x
B(x) = –x3 – 6x2 + 5
C(x) = 9x3 + x2 – 6
D(x) = –4x4 – 5x2 + x
E(x) = 7x6 + 6x2 – 9
F(x) = –4x5 + 5x3 – 7x
G(x) = 3x3 + 2x2
H(x) = 6x4 + 2x – 4
I(x) = –2x3 + 5x – 6
J(x) = −x2 – 4x −3
K(x) = – 2x3 – 5x2 +7x – 3
343.
344.
345.
346.
347.
348.
349.
350.
351.
A(x)·J(x)=
B(x)·J(x)=
A(x)·G(x)=
C(x)·G(x)=
B(x)·H(x)=
D(x)·H(x)=
E(x)·I(x)=
F(x)·I(x)=
D(x)·K(x)=
16
352.
353.
354.
355.
356.
357.
358.
359.
360.
361.
362.
C(x)·K(x)=
A(x)·H(x)=
E(x)·H(x)=
A(x)·J(x) –3·B(x)·J(x)+2·A(x) ·G(x)=
–C(x)·G(x)+5·B(x)·H(x) –D(x)·H(x)=
–4·E(x)·I(x) – [F(x)·I(x) –2·D(x)·K(x)]=
− · ( ) · ( ) − [ ( ) · ( ) − ( ) · ( )] =
· ( )· ( )− ( )· ( )−
· ( ) =
· − ( )· ( )+ · ( ) −2 · ( ) =
−
· [ ( ) − ( )] − · ( ) · ( ) =
− ( )· ( )− · − ( )+
Con fracciones
A(x) = − x2 – 4x −
B(x) = – x3 – 5x2 − x – 3
C(x)= −
+
−2
5
2
D(x) = –x – ½x + x
E(x) = − – 6x2 + 5
F(x) = ½x3 + x2 – ½x
G(x) = − x4 – 3x2 +
H(x) = x6 +
− 2x2 −
· ( ) =
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
363.
364.
365.
366.
367.
368.
369.
370.
371.
372.
( )· ( )=
− ( )· ( )=
( )·
( )=
− · ( )· ( )=
· ( )· ( )=
( )· ( )−
· ( )=
· ( )· ( )+ =
· − ( )· ( )+ · ( ) =
· [ ( ) − ( )] − · ( ) =
−
− ( )− · − ( )·
· ( )+1 =
POTENCIA DE UN BINOMIO
Sin fracciones
SPECIAL BINOMIAL PRODUCTS
RECUERDA
El cuadrado de la suma es igual al cuadrado del primero más el doble del
primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
El cuadrado de la resta es igual al cuadrado del primero menos el doble del
primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
La suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados.
373.
374.
375.
17
 x  y 
2
 x  y 
2
( x – 3 )2 =
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
 4 x  3 4 x  3 
 4x  2
2

x  2 y 2 =
5x  3 y  5x  3 y  =
4 x  6 y 2 =
6 x  52 =
 2x  y
2

 x  3 y · x  3 y  
(6 x  2 xy ) 
2
( x  2 y)2 
x
x
2
2
=
 y  x  y  =
 y2
2
2
(3 x 4  2 y ) 2 
( 3x4 – 2x2 )2 =
( 6x5 + 12x )2 =
( 2x7 – x3 )2 =
( 5x4 – 3x5 ) · ( 5x4 + 3x5 ) =
( 6x7 – 4x3 )2 =
( x5 – 7x2 ) · ( x5 + 7x2 ) =
( 4x3 + 8x )2 =
( 2x3 + 4x5 )2 =
( x3 – 13x4 ) · ( x3 + 13x4 ) =
( 9x6 – 3x3 )2 =
18
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.
411.
412.
413.
414.
415.
( 3x3 + 5x6 ) · ( 3x3 – 5x6 ) =
 5t
x
x
3
2
4
 x6  
2
 x x2  x 
 y2    x4  y2  
 2x  3y 
2
 3x  4y 
x  3y 
2
2
2
 2 x  5 y · 2 x  5 y  
 3x  y  
 3x  y  
x  2y  
2
3 2
2 2
x
2
2
3 2
 y3 · x2  y3  
 z  4t  
 4w  k  
4z  4x  
2
3 2
5
7 2
2
 4q  p · 4q  p  
2
2
5
3x  2 x 
2
2

2
5
RECUERDA
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
– (a + b )2 = – a2 – 2ab – b2
– (a – b )2 = – a2 + 2ab – b2
(– a + b )2 = ( b – a )2 = b2 – 2ba + a2
(– a – b )2 = [–(a + b )]2 = (–1)2 ·(a + b )2= (a + b )2
416.
– ( x7 – 7xy3 )2 =
417.
– ( 2 + y4 )2 =
418.
(– 3y2 – 4x5 )2 =
419.
– (5x2y – 6xy )2 =
420.
–(– 8 – 3x3 )2 =
421.
(– 9 – x2 )2 =
RECUERDA
(a + b )· (– a + b ) = ( b + a )· ( b – a ) = b2 – a2
(– a + b )·(– a – b )=[– ( a – b )]·[– ( a + b )]=(a – b )·(a + b )= a2 – b2
(2 + 4 ) · (−2 + 4 ) =
422.
(−
423.
+5 )·(
+5 )=
(−9 + 7 ) · (−9 − 7 ) =
424.
(−5
) · (−5
)=
425.
−6
+6
Con fracciones
426.
427.
2
 2 3
y   =
4

2
 5x

 x2  

 3

2
428.
19
2
429.
430.
431.
−
432.
433.
−
434.
+
435.
=
−
=
=
+
=
·
−
=
RECUERDA
– (a + b )2 = – a2 – 2ab – b2
– (a – b )2 = – a2 + 2ab – b2
(– a + b )2 = ( b – a )2 = b2 – 2ba + a2
(– a – b )2 = [–(a + b )]2 = (–1)2 ·(a + b )2 = (a + b )2
436.
1

  x =
2

1
2
  3x  
2

2
2  2
2
 3  2 x  3  2 x  



437.
438.
439.
440.
441.
−
−
−
−
−
− −
+
−
−
+
−
=
=
=
=
+
=
=
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
442.
443.
444.
− −
− −
−
−
=
−
=
=
RECUERDA
(a + b )· (– a + b ) = ( b + a )· ( b – a ) = b2 – a2
(– a + b )·(– a – b )=[– ( a – b )]·[– ( a + b )]=(a – b )·(a + b )= a2 – b2
445.
+
· −
+
=
446.
−
448.
−
447.
+
−
+
−
·
· −
+
· −
−
=
+
=
=
RECUERDA:
En (a–b)n, los signos son alternados empezando en +.
Ejemplo: (x–y)4=1·x4·y0–4·x3·y1+6·x2·y2–4·x1·y3+1·x0·y4
RECUERDA:
20
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
(–a+b)n = (b–a)n
[ –(a+b) ]n = (– 1)n·(a+b) n
(–a–b)n =
449.
450.
451.
452.
453.
454.
455.
456.
457.
458.
459.
460.
461.
462.
463.
464.
465.
466.
467.
468.
469.
470.
471.
( x + y )4 =
( x2 + y )5 =
( x2 + 2y )3 =
( x – y )3 =
( x + 3 )4 =
( x – 2 )3 =
( 3x + 2y )5 =
( 2x – 5y )4 =
( x2 – y )7 =
( xy – 2 )3 =
–(1–2xy)5 =
( 3xy2 – 2y )4 =
–( x2y3 + 3y )3 =
–( x5 – y3 )8 =
–( 3x5 + 2x )3 =
–( 5x7 – x3 )4 =
( 4x4 – 3x6 )5 =
(– 2x7 + x2 )6 =
–(x5 – 3x2 )4 =
( 4x3 + 8x )3 =
( 4x6 + y3 )3 =
( –x2y – 3y2 )4 =
(–2x3 + 3x )3 =
473.
−
472.
−
−
21
=
=
474.
475.
476.
−
− −
−
+
=
=
3
5 
 xy  2  
y 
2
3
DIVISIÓN Y FACTORIZACIÓN
Sin fracciones
FACTORIZACIÓN CON IDENTIDAD NOTABLE
FACTORISING WITH SPECIAL BINOMIAL PRODUCTS
477.
478.
479.
480.
481.
482.
483.
9 x 2  12 xy  4 y 2 
16t 2  49 
25 x 2  10 xy 2  y 4 
36q10  p16 
− =
4 − 25 =
25 + 10
+
=
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
484.
485.
486.
487.
488.
489.
4
− 12 + 9 =
− 36 =
x2 –2 x+1=
1–6 x +9x2=
121x2 – 49y4 =
y8 – 12x3y4 + 36x6 =
FACTORIZACIÓN CON CARDANO
FACTORISING WITH CARDANO
RECUERDA: (x + a)·(x + b) = x2 + (a+b)·x + a·b
+ 7x +10= (x + 2)·(x + 5)
x2 – 3x – 10= (x + 2)· (x – 5)
2
x + 3x – 10= (x – 2)· (x + 5)
x2 – 7x + 10= (x – 2)· (x – 5)
x2
490.
491.
492.
493.
494.
495.
496.
497.
498.
499.
500.
501.
502.
503.
504.
505.
506.
507.
+ 5 + 6=
− 5 + 6=
+ − 6=
− − 6=
+ 3 + 2=
+ − 2=
− − 2=
− 3 + 2=
+ 10 + 24=
− 2 − 24=
− 10 + 24=
+ 3 − 4=
+ 9 + 18=
+ 6 + 8=
+ 8 − 33=
− 8 + 12=
− 7 + 12=
+ 4 − 12=
22
508.
− 11 + 10=
Con fracciones
FACTORIZACIÓN CON IDENTIDAD NOTABLE
509.
−
510.
−
511.
−
513.
516.
−
517.
521.
522.
+
+
+1=
=
+
+
−
+
=
+
−
515.
520.
=
36 + 30
514.
519.
+
+
512.
518.
=
+
=
=
=
=
FACTORIZACIÓN CON CARDANO
RECUERDA: (x + a)·(x + b) = x2 + (a+b)·x + a·b
+ =
+ ·( + )
+
− =
− ·( + )
+ =
+
−
+
−
+
−
·( − )
+ =
+ =
− =
− =
+ =
−
− =
+
·( − )
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
523.
−
+ =
525.
+
− =
524.
−
− =
DIVISIONES
Divide los siguientes polinomios, expresando el resultado como:
Dividendo = divisor · cociente + resto
D(x) = d(x) · c(x) + r(x)
RECUERDA
grado del polinomio cociente c (x) < grado del polinomio dividendo D(x)
grado del polinomio resto r(x) < grado del polinomio divisor d(x)
grado del cociente c(x) + grado del divisor d(x)= grado del dividendo D(x)
RESTO CERO => d(x) es divisor de D(x)
526.
( 6x7+9x6–2x5–3x4–28x3+14x2–10x+12 ) : ( 3x3+2x–6 )
527.
( 12x5+10x4+25x3–8x2+22x–6 ) : ( 4x2–2x+3 )
528.
( 24x7–12x5–32x4+24x3+8x2–12x+4 ) : ( 4x2–2 )
529.
( 24x6–6 x5–59x4+14x3–9x2+4x+2 ) : ( 3x4–7x2–2 )
530.
( 10x5–16x4–15x3+34x2–25x+15 ) : ( 2x2–5 )
531.
( 15x6–51x5+8x4+19x3–51x2+8x+4 ) : ( 3x2–9x–2 )
23
532.
533.
534.
535.
536.
537.
538.
539.
540.
541.
542.
543.
544.
545.
546.
( 2x7–20x6+25x5+30x4–7x3+17x2–15x–6 ) : ( x2–9x+6 )
( 10x5+43x4+41x3–15x2–19x+4 ) : ( 5x2+4x–1 )
( 42x7+67x5+2x4–21x3–8x2–22x+12 ) : ( 7x3+3x–2 )
( 36x6+24x5+51x4–13x3–39x2–40x+21 ) : ( 4x3+7x–3 )
( 4x6–16x5+29x4–39x3+39x2–26x+8 ) : ( 2x2–3x+2 )
( 12x6+30x5+9x4+19x3+37x2–31x+15 ) : ( 4x2–2x+5 )
( 15x5–4x4–76x3–34x2+21x–2 ) : ( 5x2+7x–2 )
( 18x5–36x4–17x3–x2+53x–8 ) : ( 3x2–7x+1 )
( –12x5+40x4–42x3+14x2–8x-6 ) : ( 6x2–2x+3 )
( 42x5–26x4–20x3+62x2–34x+24 ) : ( 7x2–2x+3 )
( 20x5-x4+10x3+13x2+15x+6 ) : ( 4x2+3x+2 )
( 12x5+x4–22x3+21x2+5x–42 ) : ( 4x2–5x+6 )
( 42x7–27x6+50x5–18x4–38x3+33x2–18x+8 ) : ( 7x2–x+2 )
( 4 x 5  20 x 4  18 x 3  28 x 2  28 x  6) : ( x 2  5 x  3)
( 45 x 5  120 x 3  80 x ) : (3 x 2  4)
RESTO DISTINTO DE CERO => d(x) no es divisor de D(x)
547.
(18x6–27x5+27x4–57x3+43x2–32x+12):(6x2–3x+4)
548.
549.
550.
551.
552.
553.
554.
555.
( x 5  7 x 4  x 3  8) : ( x 2  3 x  1)
( 6 x 4  3 x 3  2 x ) : (3 x 2  2 )
3x
x
4
(−6
4
 2x3  x 1 :  x2 1
– 2x3  x2 – 2x  2 :  x2 – 2x 1
+ 32
− 42
+9
− 27
+ 14 + 5): (−3x 2 + 7x)
(9 − 17 + 70 + 5 + 7 − 25 + 5): (x2 − 2x + 8)
(−9 − 21 + 15 + 9 − 14 + 14): (3x2 − 2x + 1)
(−2x 4 − 4x 3 + x + 1): (x2 + − 1)
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
Cuando en la división de polinomios el divisor es de la forma (x+a), la
división se puede hacer de una forma más rápida y fácil por el…
MÉTODO DE RUFFINI
−
556.
557.
558.
559.
560.
561.
562.
563.
 2x 5x  30x 11 :  x  3
 2x  3x  5 :  x 1
−
3
+
−
2
=
+
+
+
4
( 6 x 4  4 x 3  51x 2  3 x  9) : ( x  3)
 2x
5
– x3  2x2 – x 1 :  x 1
(5 x 4  6 x 2  11x  13) : ( x  2)
(6 x 5  3 x 4  2 x ) : ( x  1)
(3 x 4  5 x 3  7 x 2  2 x  13) : ( x  4)
x
4
– 3x3  x2  2x  2 :  x 1
+
·( − )+
 2x
564.
4
565.
 5x3  kx2 12 :  x  2
Averigua k para que la siguiente división sea exacta:
Averigua k para que la división siguiente dé resto –5:
−
− 3 · + 4): ( − 1).
566.
Averigua k para que la división siguiente dé resto 30:
(3 −
+
+ 2): ( − 2).
567.
Averigua k para que la división siguiente dé resto 19:
(−5 +
− 4 − ): ( + 3).
568.
Averigua k para que la división siguiente dé resto -14:
(− +
− 3 − ): ( − 2)
569.
Averigua k para que la siguiente división sea exacta:
( + 2 − 3 ): ( + 1)
570.
Averigua k para que la siguiente división sea exacta:
(2
−
 x  4x  kx  6 :  x 3
3
2
Ejemplo: si ( ) =
Ruffini que ( ) =
( ) = (… ) · ( − ) +
571.
572.
24
TEOREMA DEL RESTO
−
=
+
−
+
+
=
+
− , sabemos por el método de
+
+
·( − )+
=>
=> ¡El resto de la división por Ruffini!
Si p ( x )   x  3 x 4  2 x , halla su valor en x = –2.
5
Si q ( x )  2 x 4  5 x 3  2 , halla q(3).
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
573.
574.
575.
576.
577.
Si m ( x )   3 x 5  x 4  x 2 , halla su valor en x = –1.
Si
1
n( x)   x3  2 x 2  x , halla n(–4).
2
Si r(x)= x5 – 4x4 – 6x3 + 36x2 – 27x, halla r(4).
Si s(x)= 2x5 – 15x4 + 9x3 + 53x2 + 9x – 18, halla s(2).
Calcula el resto resultante de dividir x  3 x  5 x  7
entre (x – 2) sin realizar ninguna división.
578.
Calcula el resto resultante de dividir el polinomio
12x5+10x4–7x3+3x2–2x+9 entre (x+1) sin realizar la división.
4
2
FACTORIZACIÓN CON RUFFINI
RECUERDA
Los candidatos a ser raíces enteras son los divisores del término
independiente.
RECUERDA
Las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica de la función
asociada con el eje OX (y las soluciones de su ecuación).
25
En cada ejercicio, da las soluciones de la ecuación asociada y dibuja la
gráfica asociada con software matemático.
579.
− − 10 − 8 =
580.
+4 + −6=
581.
−4 + 16 + 28 − 40 =
582.
−2 + 6 + 2 − 6 =
583.
− 36 =
584.
− 2 − 9 + 18 =
585.
−3 + 3 + 12 − 12 =
586.
− 8 + 15 =
587.
+ 4 − 12 =
588.
−3 − 12 + 15 =
589.
− − 4 + 12 =
590.
−3 − 9 − 6 =
591.
5 − 30 − 35 =
592.
x4 + 5x3 + 2x2 – 20x – 24 =
593.
x5 – 4x4 – 6x3 + 36x2 – 27x =
594.
x5 + 4x4 + 4x3 – 2x2 – 5x – 2 =
595.
x5 + 7x4 + 14x3 + 2x2 – 15x – 9 =
596.
x4 – 8x3 + 23x2 – 28x + 12 =
597.
x4 + 7x3 + 12x2 – 4x – 16 =
598.
2x4 – 18x2 + 8x + 24 =
599.
x5 – 2x4 – 13x3 + 26x2 + 36x – 72 =
600.
x5 – 5x4 – 17x3 + 85x2 + 16x – 80 =
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
601.
602.
603.
604.
605.
606.
607.
608.
609.
610.
611.
x4 – 5 x2 + 4 =
x4 – 2x3 – 15x2 – 4x + 20 =
x4 – 7x3 + 13x2 + 3x – 18 =
x5 – 10x4 + 22x3 – 4x2 – 23x + 14 =
x5 + x4 – 13x3 – x2 + 48x – 36 =
x5 – 2x4 – 18x3 + 36x2 + 81x – 162 =
5 x 2  15 x  10 =
x3  4 x 2  x  6 =
619.
620.
621.
622.
623.
624.
625.
626.
2 x3  8x  2 x2  8 =
 x3  2 x2  5 x  6
=
x 4  3 x 3  3 x 2  11x  6 =
−
40
10
15
−
+
=
+ 120 + 120 + 40 =
− 50 + 100 − 100 + 50 − 10 =
− 8 + 24 − 32 + 16 =
−
+ 60
−
+ 45
+
+ 90
+
+ 90
−
+ 60
−
+
=
=
+ 15 =
+ 60 =
FACTORIZACIÓN DESDE GRÁFICA
FACTORIZACIÓN
PASOS : 1º SACAR FACTOR COMÚN; 2º IDENTIDADES NOTABLES; 3º
MÉTODO DE RUFFINI.
Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos,
agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra y nos dará tiempo a
hacer más cosas.
RECUERDA: las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica
de la función asociada con el eje OX (y las soluciones de su ecuación).
2 x 3 – 10 x 2 – 12 x =
x 4 – 3x3  3x 2 – x =
612.
613.
614.
615.
616.
x 4 – 2 x3  x 2 =
3x6 – 12x4 =
+
−
−
618.
−
617.
+
26
+
+
−
=
=
+
=
RECUERDA
Las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica de la función
asociada con el eje OX (y las soluciones de su ecuación).
RECUERDA
Las raíces con multiplicidad par, forman valles/montañas en las gráficas;
las raíces con multiplidad impar (>1), producen cambios en la curvatura
de la gráfica.
627.
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 3, halla sus expresiones. Nota: observa que la
primera gráfica pasa por el punto (2, 4) y corta en x igual a –2, 1 y 3;
la segunda pasa por (2, 2) y corta en x igual a –2 y 3.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
a)
b)
628.
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 3, halla sus expresiones genéricas. Nota:
observa que la primera gráfica corta en x igual a –6 y 3; la segunda
corta en x igual a –1, 1 y 5.
a)
b)
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 4, halla sus expresiones. Nota: observa que la
primera gráfica pasa por el punto (0, 5) y corta en x igual a –1, 1 y 4;
la segunda pasa por (3, –5) y corta en x igual a –5, –2, 2 y 5.
629.
27
a)
b)
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 4, halla sus expresiones. Nota: observa que la
primera gráfica pasa por el punto (–3, 6) y corta en x igual a –5 y –1;
la segunda pasa por (5, –3) y corta en x igual a –1, 0, y 6.
a)
b)
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 5, halla sus expresiones. Nota: observa que la
630.
631.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
primera gráfica pasa por el punto (–1, 3) y corta en x igual a –3, 0, 3 y
5; la segunda pasa por (0, 1) y corta en x igual a –1 y 4.
a)
b)
FACTORIZACIÓN
(no todas las raíces enteras)
PASOS : 1º SACAR FACTOR COMÚN ; 2º IDENTIDADES NOTABLES ; 3º
MÉTODO DE RUFFINI ; 4º ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos,
agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra y nos dará tiempo a
hacer más cosas.
RECUERDA: las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica
de la función asociada con el eje OX (y las soluciones de su ecuación).
28
RECUERDA: los polinomios irreducibles son de primer grado => (ax+b)
y de segundo grado => (ax2+bx+c) con b2–4ac<0
En cada ejercicio, da las soluciones de la ecuación asociada y dibuja la
gráfica de la función asociada con software matemático.
Todas las raíces racionales:
632.
2x4 – 5x3 – 11x 2 +20x + 12 =
633.
3x5 – 20x4 + 15x3 + 70x2 – 32 =
634.
9x5 – 18x4 – 19x3 + 72x2 – 60x + 16 =
635.
2x5 – 15x4 + 9x3 + 53x2 + 9x – 18 =
636.
16x5 – 88x4 + 81x3 + 153x2 – 81x – 81 =
637.
4x5 – 12x4 – 3x3 + 28x2 – 3x – 18 =
638.
2x6 + 7x5 + x4 – 7x3 – 3x2 =
639.
3x4 – 16x3 + 21x2 + 4x – 12 =
640.
3x4 – 19x3 + 44x2 – 44x + 16 =
Raíces irracionales:
641.
642.
643.
644.
645.
3x3  9 x  3x2  9 =
x − 9x + 20 =
x − 4x + 3x =
−2 =0
x − 7x =
Raíces imaginarias (polinomio irreducible de grado dos):
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
646.
647.
648.
649.
650.
651.
652.
653.
654.
655.
primera gráfica pasa por el punto (0, 6) y corta en x igual a −√3, √3 y
5; la segunda pasa por (0, 2) y corta en x igual a –6 y 1/2.
x5 – 6x4 + 10x3 – 3x2 + 4x – 12 =
x5  4 x 4  5 x3  x 2  4 x  5 =
x6  x3 =
x 7  16 x 3 =
x 3  4 x 2  8 x  15 =
2 x3  5 x  6 =
x + − 20x =
x + 2x + x − 4 =
x + 6x + 10x + 6x + 9 =
−x − 10x − 10x − 9 =
FACTORIZACIÓN DESDE GRÁFICA
RECUERDA
Las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica de la función
asociada con el eje OX (y las soluciones de su ecuación).
RECUERDA
Las raíces con multiplicidad par producen puntos extremos (máximos/
mínimos) en las gráficas; las raíces con multiplidad impar (>1) producen
puntos de inflexión.
656.
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 3, halla sus expresiones. Nota: observa que la
29
a)
b)
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 4, halla sus expresiones. Nota: observa que la
primera gráfica pasa por el punto (2, 7) y corta en x igual a −√11, 0 y
√11; la segunda pasa por (–2, 1) y corta en x igual a –3, −√5, 1 y
√5.
657.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
659.
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 5, halla sus expresiones. Nota: observa que la
primera gráfica pasa por el punto (0, 1) y corta en x igual a –7, −√13,
–1 y √13; la segunda pasa por (0, –10) y corta en x igual a −√5,
−√2, √2, √5 y 4
a)
b)
658.
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 4, halla sus expresiones. Nota: observa que la
primera gráfica pasa por el punto (2, –9) y corta en x igual a −√10, –
1 y √10; la segunda pasa por (0, 2) y corta en x igual a −√6 y √6.
a)
b)
30
a)
b)
Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones
polinómicas de grado 5, halla sus expresiones. Nota: observa que la
primera gráfica pasa por el punto (0, 6) y corta en x igual a –3/4, 3/4,
y 4; la segunda pasa por (–4, 8) y corta en x igual a –13/2 y 0.
660.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
665.
666.
667.
668.
669.
a)
b)
mcm Y MCD
661.
662.
663.
664.
670.
671.
672.
673.
674.
675.
676.
mcm y MCD de (
− 10 + 33 − 36,
+ − 12).
3
6
3
4
3
2
mcm y MCD de ( x  16 x , x  x , x – 2 x  x ).
mcm y MCD de ( 5 x  15 x  10 ,  2 x – 10 x – 12 x ).
mcm y MCD de ( x
mcm y MCD de (
+ 4 + 3 − 4x − 4).
mcm y MCD de (
mcm y MCD de (
mcm y MCD de (
mcm y MCD de (
mcm y MCD de (
mcm y MCD de (
mcm y MCD de (
SIMPLIFICACIÓN
mcm y MCD de [(
mcm y MCD de [(
mcm y MCD de [(
mcm y MCD de (
31
− 3) · ( + 2), ( + 2) · ( + 5)].
+ 1) · ( − 1) , ( + 4) · ( − 4)].
− 2) · ( + 9), 7 · ( + 2) · ( − 2)].
+ 9 + 15 − 25, + 3 − 9 + 5).
677.
7
45 xy 2
=
60 x 2 y
2
4
3
– 2 x 3  x 2 , x2 − 1, x + 1).
−3
−
− 2,
−2
−9
+3
−
+ 3, 7
− 42
2
+ 63
,
− 6 + 9).
− 8, + − 4 − 4 ).
+ 24 − 16, − 3 − 4 ).
+ 3 + 1,
− 21
+4
+ 45 ,
+6
−2
−
+ 4 + 1).
− + 2 − 2,
2 + 4x).
+ 6 + 12 + 8 ,
− ,
−6
).
+ 1).
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
678.
679.
−
=
689.
−
3a  6a3
=
5b 10a2b
691.
−
7xy 14x2 y3
=
14x  7x2
15abc2  3a 2bc3
=
15b 2  3ab2 c
5a  25a3b4
=
10ab2  10a2b
3ab 15a2b4
=
6a2  30a3b3
692.
−
=
Sacando factor común en numerador y denominador
680.
681.
682.
683.
684.
685.
686.
687.
688.
3x 5  6 x 4
=
6 x 3  12 x 2
4 y3  14 xy3  49x2 y3

2 y 2  7 xy2
2 xy  8x y  14x y
=
12x 2 y  8x 3 y
2
3
2
18 xy 3  42 x 3 y 3  98 x 2 y 3

6 xy 2  14 xy 3
32
690.
−
=
=
=
Aplicando además identidades notables
RECUERDA:
PASOS para factorizar numerador y denominador: 1º saca factor común; 2º
usa identidades notables.
693.
x 3  9x
=
x 3  3x 2
2x 4  6 x3
=
x 2  2 x  36
694.
−
695.
2x4  6x3
=
x2  x  6
697.
=
696.
698.
699.
700.
=
=
x 3
=
x  6x2  9x
3
=
=
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
=
701.
702.
=
703.
704.
705.
706.
=
x 1
x3  x
4
713.
714.
=
=
716.
717.
+
−
−
:
−
=
=
=
=
=
CUALQUIER mcm
=
=
FRACCIONES ALGEBRAICAS
709.
712.
·
−
−
=
708.
711.
−
SIMPLIFICACIÓN CON MCD
707.
710.
715.
+
mcm DEL TIPO k·xn
−
=
+
−
·(
+
−
)
33
− =
−
− =
−
=
719.
2
x


x 1 x 1
x
1
2



2
x 9 x3 x 3
721.
x
1
x 1
 3
 2

x 1 x  x x  x
718.
720.
x
2x
5x  4

 2
=
x 3 x  2 x  x 6
2
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722.
x 1
x6
x
 2


x  2 x  4 x 1
723.
x3  2 3x2 3x 1



x 1 x2 1 x 1
725.
x2
x 1
2x  3

 2

x 3 x 2 x  x 6
724.
726.
727.
728.
729.
730.
731.
x4
x2 1
5



x  4 ( x  4) 2 x  1
732.
733.
x 1
3
x2

 2
=
x 1 x 1 x 1
734.
x2
2x  3

3=
2
x  2x  1 x 1
2x  3 x  1 x  2


=
x2  9 x  3 x  3
−
34
−
735.
=
1 x
5 x  2
1
 2
 3
=
2
x  9 x  4 x  4 x  9 x  2 x 2  18
x2  2x  4 x  2


x2  4 x  2

1 
1 
 x  x  :  x  x    x  1 
 


 2 a  b 2a  b   a b 


   
 2a  b 2a  b   b 4a 
−
−
=
=
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
II.
ECUACIONES E INECUACIONES
ECUACIONES DE 1º GRADO SIN PARÉNTESIS NI FRACCIONES
INTRODUCCIÓN. Dentro de la web www.estenmaticas.es, entra en la
sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA y busca => ¿Cuál es la mezcla
correcta para hacer un tinto de verano?
BALANZAS
Resuelve los ejemplos de ecuaciones empleando el equilibrio entre
balanzas :
3x+5=x+13
RECUERDA
PASOS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES : 1º aislar los términos con x
en el primer miembro y los términos sin x en el segundo miembro de la
ecuación; 2º reducir ambos miembros; 3º despejar la x (siempre en
positivo).
Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos,
agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra y nos dará tiempo a
hacer más cosas.
RECUERDA
ECUACIÓN => una única solución x=a
IDENTIDAD => infinitas soluciones 0x=0
EXPRESIÓN IMPOSIBLE => ninguna solución 0x=b (se supone b0)
Resuelve las siguientes ecuaciones, haciendo después la prueba de la
solución.
2x –4=2+x
35
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
Posible solución entera
736.
737.
738.
739.
740.
741.
742.
743.
744.
745.
746.
747.
748.
749.
750.
751.
752.
753.
754.
755.
756.
757.
758.
759.
2x  8
7  3x  1
2  5x  12
4  3x  4
6  20  7x
8  3x 1
4x 1  7
5x  3  3
6 + 8 = 3x + 4x
6x – 9 = 9 + 3x
3x = 10 – x
1 + x + 7 = –x + 8 + 2x
7 x  2x  2 x  1  6 x
6x – 8 = 2x
7 x  4  3x  2
3x – 15 = 6x + 3
–2x + 8 = 14 – 4x
4 – x + 1 = 5 + 2x
6 – 9x = –16 + 2x
–x + 5 – 2x = 1 –3x + 4
20 – 5x = 4 – 2
7 + 3x = 8x – 13
23 + 9x = 3x – 7
–9 – 12x = 7 – x
36
760.
761.
762.
763.
764.
765.
766.
4x – 9 + 5x – 3 = 5x + 6
3x – 6x + 9 – 8x = 0
5x + 3 – 2x – 5 = 4x – 3
2x – 12 = 3x + 1
–2x – 4x+5 = –7x+9
–x – x +3 = –3x–2
x – 1 = 4x + 5
Posible solución no entera
767.
768.
769.
770.
771.
772.
773.
774.
775.
776.
777.
778.
779.
780.
781.
782.
783.
11  5  4x
0  21  7x
13x  5  6x  9
6  x  3  4x
7x + 5x = 6 – 8x – 4x
2x  5  x  1  3x  6
1  8x  5  11  3x
2x  8  9x  7  2x  2
10  15x  2  10x  5  11x
x  4x  2  6
4  2x 16  5x
6 x  4  5x  1
2  x  3  2x
–x + 1 + 8x = 7x + 1 – 2
2  4x  16  3x
3x  2  3x  4  5 x
5x  3  8x  2  6 x
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
784.
785.
786.
787.
788.
789.
790.
791.
792.
793.
794.
795.
796.
797.
798.
799.
800.
801.
802.
803.
804.
805.
806.
2  5x  x  7 11x
9  9 x  117  3x
5x  8  8x  2
2x + 3 = 8 – 3x
–3x + 4 = x + 2 + 2x
3x – 6 = 8 + 2x
4 – 3x = 12 + 3
3  4  5x
–6x – 16 = –2x+2
x – 5x = –7x+8
–3x–2 = – x +3
8x – 2 – 2x – 8 = 3x+1
4x – 10 = –3x + 2x –6
–2x + 5x – 1 = –2x + 11
3 – x + x – 5 = –2
–1 – x – 5 = –x + 6
9x – 12 – 4 = x – 3x – 30
24x – 18 = 4x + 12 – x
1 + 42x – 75 = –3x + 1
2x – 4 + 4x = 6x + 7
–5x – 2 + x = 3x + 7
2x – 4 = – 5x + 11
–6x + 2x – 8 = 9x + 1 –x
Comprobar solución
37
807.
808.
809.
810.
811.
812.
813.
814.
815.
¿Es x=–2 solución de la ecuación –x + 3x = –5x?
¿Es x=1 solución de la ecuación –6x + 2 = –x?
¿Es x=–3 solución de la ecuación –7 + x = –2x+1?
¿Es x=5 solución de la ecuación –2x + 1 = –9?
¿Es x=–1/2 solución de la ecuación 8 – 4x = 10?
¿Es x=2/3 solución de la ecuación –x + x = 5+x?
¿Es x=–1 solución de la ecuación 4 + 3x +1=0?
¿Es x=0 solución de la ecuación –x + 3 = –3?
¿Es x=7 solución de la ecuación –2 + x = 12 – x?
Escribir ecuación a partir de su solución
816.
Escribe una ecuación de cinco términos que tenga a x=4
como solución.
817.
Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a x=–3
como solución.
818.
Escribe una ecuación de cinco términos que tenga a x=0
como solución.
819.
Escribe una ecuación de seis términos que tenga a x=3/2
como solución.
820.
Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a x=–7
como solución.
821.
Escribe una ecuación de seis términos que tenga a x=9 como
solución.
822.
Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a x=–2/5
como solución.
823.
Escribe una ecuación de seis términos que tenga a x=13
como solución.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
824.
Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a x=–1/4
como solución.
825.
Escribe una ecuación de seis términos que tenga a x=1/3
como solución.
826.
Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a x=–24
como solución.
837.
838.
839.
Escribe una ecuación equivalente a –1 + 5x = 2 + 7x.
Despejar
b en función de a:
Escribe una ecuación equivalente a la ecuación –8x = 24.
Escribe una ecuación equivalente a 4x –6 + x = 2 + 6x.
DESPEJE DE UNA INCÓGNITA
827.
Escribe una ecuación de tres términos que NO tenga a x=–6
como solución.
828.
Escribe una ecuación de cinco términos que NO tenga
solución (expresión imposible).
829.
Escribe una ecuación de tres términos que NO tenga solución
(expresión imposible).
830.
Escribe una ecuación de cuatro términos que NO tenga
solución (expresión imposible).
831.
Escribe una ecuación de seis términos que NO tenga solución
(expresión imposible).
832.
Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga infinitas
soluciones (identidad).
833.
Escribe una ecuación de cinco términos que tenga infinitas
soluciones (identidad).
834.
Escribe una ecuación de tres términos que tenga infinitas
soluciones (identidad).
RECUERDA
Una ecuación equivalente a una dada es aquella ecuación que tiene la
misma solución que la ecuación dada.
Escribir ecuación equivalente a una dada
835.
836.
Escribe una ecuación equivalente a la ecuación –6 + 3x = 2.
Escribe una ecuación equivalente a la ecuación –x + 4 = x.
38
840.
841.
842.
843.
844.
845.
846.
847.
848.
849.
850.
851.
852.
b–2=0
b+4=0
6b = –a
a + 2b = 0
3b –a = 0
2b –3a = 3
5a + 4b = 6
3b – a = 7
a–b=8
6b + a = 0
4b – a = 3
7b – 5a = –1
a + 2b = – 3
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
853.
854.
855.
856.
857.
858.
859.
860.
861.
862.
a–b+5=5
8b – 8a = 8
– 4b = a – 3
2a + ba = – 2ab
4ba + a = – 2ab + 5
Sacando factor común a la b
ab = 1
878.
879.
880.
881.
882.
883.
884.
885.
886.
4ab = 12
ECUACIONES DE 1º GRADO CON PARÉNTESIS Y SIN FRACCIONES
– 8 + a = –6b
– 4b – a = 5b
–3b – 4a = 9b
5b – 8 = 8b + a
7b – 6a = b – 3
9 + b = –b + a
– 3a + 2b = b +1
Añadiendo productos
863.
864.
865.
866.
867.
868.
869.
870.
871.
872.
873.
874.
875.
876.
877.
3ba = 8
– 5ba = 10
– 3b + ab = 6
ab + 3 = – 2b
– 7 + 7ab = 8b
6ba – 3a = b + a
– 4b – a = – 5ba + 1
ab – 1 = –9b + 2
– 10 – ab = 3 – b
– b + a = 4a – 6ab
2ab – 7b = 3ab – 2a
– 2ab = – 3
3ab = – 6
– 2ab = 4
2a + ba = – 5
3 + a = ba – 3
– 3ba = ab + 1
5 – ba = 2ab + 8
– 4ba = – ab – 3
1 + 6ba = – ab + 7
39
RECUERDA
PASOS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES : 1º quitar los paréntesis ; 2º
aislar los términos con x en el primer miembro y los términos sin x en el
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
segundo miembro de la ecuación; 3º reducir ambos miembros; 4º despejar
la x (siempre en positivo).
Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos,
agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra y nos dará tiempo a
hacer más cosas.
RECUERDA
ECUACIÓN => una única solución x=a
IDENTIDAD => infinitas soluciones 0x=0
EXPRESIÓN IMPOSIBLE => ninguna solución 0x=b
Haz la prueba siempre que lo permita el ejercicio:
Posible solución entera
887.
888.
3x  100  5(200 3x)
7( x  18)  3( x  14)
890.
3  x  1  4 x  5   x  7 
889.
891.
892.
893.
894.
3  1  6 x   2  4 x
1  3  2 x  1  16
5  32  x  3  x
6 x  3  1  4  x  4 
2 x  2  x  1  5  4  3  x  1
895.
5  2 x  3   8 x  14 x  3  4 x  5 
897.
898.
x  2( x  1)  4
896.
899.
900.
5 x  2  3 x  4   25  3  5 x  1
3  4 x  1  2  5 x  3   11  2 x
2x –6 = 3·(x–2)
3x – (4 – 2x) = 6
40
(se supone b≠0)
901.
3x – (2x+5)=3x – 7
903.
11x + 9x – 5x+7 = 14 – (2x+7)
902.
904.
905.
906.
3x+2 – (4x+6) = –2·(x+4)
3·(6 – x) – 2x = – (2+x)
3·(x+4) = 2·(3x – 4 ) –1
3·(x+3) = 2·(2x+3)
907.
2·(x+4) – 3·(x – 3) = 5x + 5
909.
6·(4 – 2x) – (3x+6) = x+2
908.
– 4·(3x – 6) + (3x – 2) = x+2
910.
7·(x+3) – 3·(x – 6) = 3 – 8x
912.
3·(x+2) –5·(2x–3) + 4·(x –2) = –2·(1–x) + (3x–1)
911.
9x –2·(3 –x) = –4·(x –2) – 2·(x+7)
913.
2x – 3·(–10–2x) + 5·(x+3) = 4·(2x + 6) + 3· (3+x)
915.
2·(x+3) – (8–3x) + 2·(1–3x) = –5x –4·(x+2)
917.
3·(x –10) –6·(25 –2x) = 2·(6–x) + x
919.
–2·(x+1) + 3·(–2–3x) –10 = 3·(3 + x) + 1
921.
x– (3–2x) + 3·(x–2) = 4·(2x–1) – (8+x)
914.
916.
918.
920.
4·(x–5) – 2·(2x–14) + 3x – 2·(x+1) + 13·(6–x) = 0
7x –3·(2x+2) + 4·(1–3x) + 4·(1+3x) = 2x–2
4·(x –2) –3·(6–x) = 2x + 4
3·(2x+4) –6·(2–3x) + 4 = 4·(3x+1) –6x
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
922.
–2·(1–x) + 6·(x + 3) + 5·(2x–7) = 3x –4·(3x–2)
923.
8·(2x + 8) – 4·(9 + 3x) – 2x = 5·(3–2x) + 11x–8
928.
4·(x+2) – (8–3x) + 2·(1–3x) = –5x –(2x+6)
−2(−1 + 3 ) − (−2 + 3) = −(1 − 4 )
924.
925.
926.
927.
– (3x –15) – 4·(x – 6) – (x + 3) = 7·(x + 3)
3 · ( − 3) − 4 · (2 − 3 ) = 2 · (1 − 2 )
6 · ( − 5) − 4 = 8 − 2 · ( + 6) − 2
Posible solución no entera
929.
930.
931.
932.
933.
934.
935.
936.
937.
938.
939.
2 · (2 + 1) = 5 − 2
3 · (2 + 1) = 3 · (2 − )
4 − 2 · ( + 1) = 2 −
2 − 2 − 3 · (4 + 1) = 3 · (1 − )
3 · ( − 2) − 5 · (2 − 1) − 2 · (3 + 4) + 10 = 0
4 · ( + 2) − 2 · (2 − 5) = 7 · (3 + ) − 1
−5 · ( − 5) + 4 · ( + 2) = 6 + 2 · (4 − 1)
9 − (3 + 2) = 4 · ( − 3) + 5
7 · ( − 2) + 4 = 5 · ( − 3) − (2 − )
11 · ( + 3) + 2 · ( − 1) = 4 + 7
– x – 3·(x –5) – 2·(x + 3) = 5·(x + 3) – 3 + 2·(2x – 12)
ECUACIONES DE 1º GRADO CON FRACCIONES
RECUERDA
PASOS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES : 1º quitar los
denominadores reduciendo ambos miembros a común denominador;
2º quitar, aplicando la propiedad distributiva, los posibles paréntesis
surgidos en el paso anterior; 3º aislar los términos con x en el primer
miembro y los términos sin x en el segundo miembro de la ecuación; 4º
reducir ambos miembros; 5º despejar la x (siempre en positivo).
Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos,
agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra y nos dará tiempo a
hacer más cosas.
RECUERDA
ECUACIÓN => una única solución x=a
IDENTIDAD => infinitas soluciones 0x=0
EXPRESIÓN IMPOSIBLE => ninguna solución 0x=b
Haz la prueba siempre que lo permita el ejercicio:
Posible solución entera
Producto en cruz
940.
=4
942.
=
941.
41
=
(se supone b≠0)
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
943.
944.
945.
946.
=
−
−
959.
=
960.
961.
= −10 − 4
962.
Numeradores con monomios
947.
−3=1
949.
+
948.
950.
951.
952.
953.
954.
+ =7
−
−
=
+
= +
=
+
957.
− +1=
958.
−6
=
−
=
−5
+
42
= 11
+4
− 10
1+
− 16
=−
=2−
−
− +
966.
−
967.
−6
+ + + = 20
+
=
− + 1 = 2 − 10
964.
965.
+ 49
+
955.
956.
963.
= 15
− =
+
Numeradores con binomios
= 3−
−
−
968.
969.
970.
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
= −1
−
−
−
−
=0
=−
=−
=
= −1
971.
− −
973.
x 1 x 1 x  3


2
8
6
5
972.
−
−
= −5 −
=
−
=
−
−
−
−
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
974.
975.
976.
977.
978.
979.
980.
981.
982.
983.
984.
985.
986.
5  x 5 x  1 3x  5


1
3
6
4
4  x 1  2 x 3x  3 2 x  8



6
3
5
2
3x  1 5 x  1 5  7 x


3
2
4
8
x  2 3x 3x  2 7 x  2



3
6
2
4
5x  2 8x  4 3x  8 4  13x



9
3
2
4
15  x x 2 x  6 5x  18
 

15
5
3
6
x  5 3x  1 4 x  2 6 x  6



12
2
6
8
x  2 4 x  10 7 x  5 x  1



3
6
8
4
x  1 5x  9 x  6
x  12


5
2
28
21
3
x  3 x 1 x  4


5
6
3
2x  9 x  4 x


5
6
4
2x  3
7  0
5
x 1 x  2 x  3


0
2
3
4
43
987.
988.
989.
990.
991.
992.
993.
994.
x x2 x3


3
3
4
9
x 1 x 1 x  3


2
8
6
5
3 x  5 7 x  9 8 x  19 69



0
4
16
8
8
x  7 x  11 x  10


2
5
6
7
x  2 x 1

 1
9
3
x x2 x3


3
3
4
9
−
−
− =−
2
1
x
x
3
2

x
3
2
2
3
4
6
12
x
Posible solución no entera
995.
−
997.
1+
999.
2+
996.
998.
=−
+2 =
−1
− =−
− =
−
+1
=
+
+
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1000.
1001.
1002.
1003.
1004.
1005.
−
−
−
−
−
−
− −
+
−
=
−
+
+
= −4
−
=0
=0
=
−
= −1 −
+1
ECUACIONES DE 1º GRADO CON FRACCIONES Y PARÉNTESIS
RECUERDA
PASOS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES : 1º quitar los paréntesis
aplicando la propiedad distributiva; 2º quitar los
denominadores reduciendo ambos miembros a común denominador;
3º quitar los posibles paréntesis surgidos en el paso anterior aplicando la
propiedad distributiva; 4º aislar los términos con x en el primer miembro
y los términos sin x en el segundo miembro de la ecuación; 5º reducir
ambos miembros; 6º despejar la x (siempre en positivo).
Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos,
agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra y nos dará tiempo a
hacer más cosas.
RECUERDA
ECUACIÓN => una única solución x=a
IDENTIDAD => infinitas soluciones 0x=0
44
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
EXPRESIÓN IMPOSIBLE => ninguna solución 0x=b
1006.
1007.
1008.
1009.
1010.
1011.
1012.
1013.
1014.
1015.
1016.
1017.
1018.
=9−
−
−
(
)
·(
−
·(
·(
)
)
=−
)
− 2( − 6) −
= −( + 1) +
· ( − 4) − · (2 − 9) = · ( − 1) − 2
·(
5−
−
−
−
− =−
=− −
(5 − 1) − (5 − 13) + 8
)
(
− · (1 − ) = 2 −
−
+
= ·
−
− ( − 3) −
·(
−
)
− =
−2 =
−2 =
)
)
·(
45
−
=
−
−3
·(
= −7
=0
)
·(
)
)
1032.
·(
)
·(
)
1034.
1036.
·(
1035.
+
−
−
·(
−
−
(
)
·(
)
)
·(
)
·(
·(
)
=
(
)
−
−
·(
+
=
)
·(
)
=
)
−
)
)
(
−
·(
=
+
)
·(
)
·(
=
−
+
·(
=
=
·(
·(
)
)
−
)
(
+
+
)
·(
=
)
·(
)
·(
=
(
)
·(
−
ECUACIONES DE 2º GRADO
(
)
)
= 3 · ( − 3)
ECUACIONES COMPLETAS
=
)
− 1 = 5 · ( − 1) −
−3 +
)
)
)
·(
+
)
·(
−
)
·(
=
− · 1−
· ( + 10) +
1023.
)
)
· (6 − 5 ) − · ( + 4)
·(
(
− (1 − 6 )
)
1030.
1033.
·(
1021.
1025.
1029.
( + 4) − (20 − ) =
= 2−
·(
1024.
·(
( + 4) − ( − 3) = (3 − 5) − ( − 6) − ( − 2)
(3 − 8 ) − (7 − 2 ) +
·(
1027.
1031.
· ( − 2) − · ( + 6) +
1022.
1026.
1028.
= −4 +
1019.
1020.
(se supone b≠0)
)
·(
)
·(
−
)
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
RECUERDA:
+
+
=
=>
=
±
=> ∆=
−
POSIBILIDADES: cero soluciones si ∆< ; una solución doble si ∆= ; dos
soluciones distintas si ∆> 0.
Gráficamente, las soluciones de estas ecuaciones son los puntos de corte
con el eje OX de las funciones asociadas (parábolas).
En cada ejercicio, haz la PRUEBA (a mano y con calculadora). Intenta
dibujar grosso modo la parábola asociada y dar la factorización del
polinomio asociado.
Posibles soluciones enteras
1037.
2x2 –10x–12 =0
1038.
x2 –5x+6 =0
1039.
3x2–7x+2 =0
1040.
x2 –10x+21=0
1041.
x2 –6x+9 =0
1042.
–5x2 –20x –20 =0
1043.
–3x2 –2x–5 =0
1044.
x2 +7x+10 =0
1045.
x2 +2x+3 =0
1046.
x2 –12x+36 =0
1047.
x2 –34x+288 =0
1048.
x2 –x–6 =0
1049.
x2 +2x–3 =0
1050.
x2 –10x+16 =0
1051.
x2 –6x+13 =0
1052.
–4x2 –24x –36 =0
1053.
x2 –16x–225 =0
1054.
x2 –3x+2 =0
1055.
x2 +2x–15 =0
1056.
x2 –7x+12 =0
46
1057.
1058.
1059.
1060.
1061.
1062.
1063.
1064.
1065.
1066.
–x2 –x+2 =0
x2 –2x–3 =0
x2 +4x–5 =0
x2 –2x–8 =0
x2 –2x–3 =0
x2 +x–6 =0
x2 +3x–4 =0
x2 +2x–3 =0
x2 –x–6 =0
x2 –4x–5 =0
ECUACIONES COMPLETAS
RECUERDA:
+
+
=
=>
=
±
=> ∆=
−
POSIBILIDADES: cero soluciones si ∆< ; una solución doble si ∆= ; dos
soluciones distintas si ∆> 0.
Gráficamente, las soluciones de estas ecuaciones son los puntos de corte
con el eje OX de las funciones asociadas (parábolas).
En cada ejercicio, haz la PRUEBA (a mano y con calculadora). Intenta
dibujar grosso modo la parábola asociada y da la factorización del
polinomio asociado.
Posibles soluciones racionales
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1067.
1068.
1069.
1070.
1071.
1072.
1073.
1074.
1075.
1076.
1077.
1078.
1079.
1080.
1081.
1082.
1091.
1092.
1093.
1094.
1095.
1096.
1097.
1098.
1099.
2x2 –11x+5 =0
2x2 –3x+1=0
6x2 +5x+1=0
2x2 –5x+2=0
2x2 –3x–2 =0
2x2 –7x+3 =0
5x2 +6x+1=0
3x2 –10x+3=0
4x2 +3x–7=0
5x2 –9x–2=0
4x2 +4x+1=0
9x2 +6x+1=0
4x2 –11x–3=0
2x2 –9x+4=0
4x2 +17x+4 =0
2x2 +5x–3 =0
Posibles soluciones irracionales
1083.
+2 −1=0
1084.
+ 10 + 22 = 0
1085.
2 +3 +4 =0
1086.
x2 − 2x − 4 = 0
ECUACIONES INCOMPLETAS I
RECUERDA:
=
=>
+
POSIBILIDADES: cero soluciones si
1087.
1088.
1089.
1090.
3x2
–48=0
x2–4=0
3x2 –147=0
4x2 +4 =0
47
=
=>
=±
< ; dos opuestas si
2x2 –18=0
3x2 –27 =0
9x2 –16=0
2x2 +8=0
9x2 –1=0
6x2 –12=0
5x2 –75=0
x2–3=0
13x2 +13=0
ECUACIONES INCOMPLETAS II
RECUERDA:
= =>
+
= => · ( + ) =
siempre tiene dos soluciones =>
1100.
1101.
1102.
1103.
1104.
1105.
1106.
1107.
1108.
> .
=
;
(
+ )=
8x2 +16x =0
2x2 –6x =0
3x2 +15x =0
2x2 +14x =0
7x2 –7x =0
2x2 +12x =0
2x2 –14x =0
6x2 –3x =0
3x2 –2x=0
ECUACIONES INCOMPLETAS III
RECUERDA:
=
= =>
= =>
ó => = 0
.
1109.
2x2 =0
1110.
4x2 =0
1111.
6x2 =0
ECUACIONES DESDE GRÁFICA
la ecuación
=>
ó
=
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
RECUERDA: los puntos de corte de la gráfica con el eje OX son las
soluciones de la ecuación (y las raíces del polinomio) => k·(x–x1)·(x–x2)
1112.
Da las expresiones genéricas de las ecuaciones de segundo
grado que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la
primera gráfica corta en x=–4 y x=–3; la segunda gráfica corta en
x=–3 y x=2.
a)
b)
1114.
Da las expresiones genéricas de las ecuaciones de segundo
grado que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la
primera gráfica corta en x=–6 y x=1; la segunda gráfica corta en –7.
a)
b)
Da las expresiones genéricas de las ecuaciones de segundo
grado que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la
primera gráfica corta en x=–2 y x=2; la segunda gráfica corta en x=5.
1113.
a)
48
b)
EJERCICIOS DE ECUACIONES DE 2º GRADO
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
RECUERDA: la gráfica de k·(x–x1)·(x–x2) puede abrir hacia arriba o hacia
abajo dependiendo del signo de k.
1115.
Da la expresión genérica de las ecuaciones que tienen a x=9
como solución (doble). Dibuja grosso modo su gráfica asociada
cuando k=–1.
1116.
Da la expresión genérica de las ecuaciones que tienen las
siguientes soluciones: x=+4. Dibuja grosso modo su gráfica asociada
cuando k=1.
1117.
Da la expresión genérica de las ecuaciones que tienen las
siguientes soluciones: x=0 y x=–8. Dibuja grosso modo su gráfica
asociada cuando k=–1.
1118.
Da la expresión genérica de las ecuaciones que tienen las
siguientes soluciones: x=–3 y x=6. Dibuja grosso modo su gráfica
asociada cuando k=1.
1119.
Da la expresión genérica de las ecuaciones que tienen las
siguientes soluciones: x=0 y x=n. Dibuja grosso modo su gráfica
asociada dependiendo del signo de k y suponiendo que n es un
número positivo.
1120.
Da la expresión genérica de las ecuaciones que tienen las
siguientes soluciones: x=+m. Dibuja grosso modo su gráfica asociada
cuando k=–1.
1121.
Da la expresión genérica de las ecuaciones que tienen las
siguientes soluciones: x=p y x=2p. Dibuja grosso modo su gráfica
asociada cuando k=1.
1122.
Dada la ecuación x2+6x+5=0, escribe la expresión genérica
de una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones el
doble de las soluciones de la ecuación dada. Dibuja grosso modo su
gráfica asociada cuando k=–1.
1123.
Dada la ecuación x2+4x+4=0, escribe la expresión genérica
de la ecuación de segundo grado que tenga el doble de soluciones que
la ecuación dada. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando
k=1.
49
ECUACIONES DE 2º GRADO CON PARÉNTESIS
1124.
1125.
1126.
1127.
1128.
1129.
1130.
1131.
1132.
1133.
1134.
1135.
· ( − 3) = 10
· (3 − 2) + 5 = 0
2 · ( − 3) = 6
2 · ( − 5) = 8
− + 5( − 3) = −9
· ( + 7) = 18
(2 − 3) · (4 + 3) = ( − 1) · (7 − 3)
· (2 − 5) = 3
3 · ( − 2) = 0
3 · ( − 2) − 2 · (2 − 3) = 3
2 · ( + 2) − ( + 12) = 8
( − 3) · (5 − 6) = (2 − 1) · (10 − 2 )
ECUACIONES DE 2º GRADO CON DENOMINADORES Y PARÉNTESIS
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1136.
1137.
(
)
(
)·(
−
1138.
·
·(
)
1140.
·(
)
1139.
(
)
+
−
−
)
=
+1
− = ( + 1)
·
·
(
=
=−
)
=
(
·
)
GRÁFICAS Y PROBLEMAS DE PARÁBOLAS (análisis)
RECUERDA
PASOS: 1º => a>0 abre hacia arriba, a<0 abre hacia abajo;
2º => corte con el eje OY haciendo x=0, cortes con el eje OX haciendo y=0;
3º => vértice en coordenadas vx=–b/2a, vy= f(vx).
En cada ejercicio, factoriza el polinomio asociado y calcula sus raíces.
Corte y vértices son números enteros:
1141.
=
−4 +3
1142.
= −2 + 4
1143.
=
+2 −3
50
1144.
1145.
1146.
1147.
1148.
1149.
1150.
1151.
1152.
1153.
1154.
1155.
1156.
= − + 8 − 16
= 2 − 12 + 10
= −3 − 6 − 3
=5 −5
= − + 8 − 12
= 2 − 50
= 2 + 12 + 18
= 3 − 6 − 24
=− −4
−2 · ( + 2) = − 6
y − · ( + 6) = 8
y−
= −4 − 5
2 · (− + 4 + 5) − = 0
Corte y vértices son números racionales:
1157.
=3 +9 +6
1158.
=− − +6
1159.
= 3 + 15 + 12
1160.
= − + 3 + 10
1161.
= 4 · ( − 1) + 2 − 2
1162.
+ 6 = −2 · (8 + 4)
PROBLEMAS DE PARÁBOLAS
INTRODUCCIÓN. Dentro de la web www.estenmaticas.es, entra en la
sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA y busca => ¿Qué tienen en
común, matemáticamente hablando, las fuentes, los policías y los
futbolistas?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
Tiro parabólico (MRUA <>MRU) 2 => la trayectoria y=ax2+bx +c
representa distancia (en metros): x la horizontal; y la vertical.
RECUERDA3
Desde el codo a la punta de la mano hay una quinta parte de la estatura,
por lo tanto, un hombre con los brazos extendidos lanza un objeto desde
una altura igual a su estatura x 6/5.
FÚTBOL 11: la portería mide 7,32m x 2,44m; el punto de penalti está a
11m de la portería; el área es un rectángulo de 40,32m x 16,5m; la barrera
en un tiro libre debe estar a 9,15m del balón.
BALONCESTO: el aro de la canasta de baloncesto está a 3,05m del suelo; el
punto de tiro libre está a 4,60m de la canasta; la línea de tiro de tres se
sitúa a 7,24m de la canasta (NBA)4.
…por si quieres saber un poco de Física que estudiarás en el futuro => El tiro
parabólico ideal es una combinación de MRUA en vertical (movimiento
rectilíneo uniformemente celerado por la gravedad –decelerado en realidad–) y
MRU en horizontal (movimiento rectilíneo uniforme).
3
En el examen se te darán los datos que necesites. ¡No los tienes que memorizar!
4
El alumno que quiera atreverse con un plus de dificultad, puede
voluntariamente tener en cuenta, además, las siguientes dimensiones: el aro
está sujeto al tablero por un brazo de 15cm; el tablero tiene aproximadamente
un metro de alto; el diámetro del aro es 45,7cm y el diámetro del balón es 23–
24cm (hay holgura para encestar).
2
51
TENIS INDIVIDUAL: la cancha mide 23,78m x 8,23m; la altura de la red en
los postes es 1,06m y en el centro 0,914m; cada uno de los cuatro
rectángulos de saque mide 6,40m x 4,115m.
1163.
Un cañón dispara una bala según la trayectoria parabólica
dada por = −
+ . Se pide calcular el alcance horizontal y
vertical máximos.
1164.
Un cañón hace dos disparos, siguiendo cada bala la
trayectoria dada por = −
+
la primera = −
+
la segunda respectivamente. ¿Cuál de los dos disparos tiene mayor
alcance (horizontal)? ¿Y cuál alcanza mayor altura?
1165.
Una fuente circular de diámetro 5m tienen en su centro unos
chorritos que lanzan agua según la trayectoria = −3 + 6 . Un
transeúnte ha denunciado al ayuntamiento porque asegura que la
fuente moja a todo el que la bordea (haga viento o esté en calma). ¿Es
cierto lo que dice el ciudadano?
1166.
En un torneo de fútbol de colegio, un niño tira un penalti que
describe la trayectoria dada por la siguiente parábola: = −
+ .
Dibuja la gráfica que sigue la pelota. ¿Es posible que haya metido gol?
1167.
Iván saca a pasear a su perro Erastóstenes con un palo y una
pelota de golf. A Erastóstenes le encanta correr a buscar la pelota y,
para lanzarla más lejos, Iván se ayuda del palo de golf. En el último
golpe, la pelota describe la trayectoria dada en metros por
y=−
+ . ¿Qué distancia tiene que correr Erastóstenes para
conseguir la pelota? ¿Cuánto sube la pelota antes de empezar a bajar?
¿A qué altura está la pelota cuando se separa de Iván 50 metros en
horizontal? ¿A cuántos metros en horizontal de Iván está la pelota
cuando su altura alcanza los 15 metros?
1168.
Un futbolista tira un penalti que describe la trayectoria dada
por la siguiente parábola: = −
+ . Dibuja la gráfica que
sigue la pelota y la situación de la portería. ¿Es posible que haya
metido gol?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
pelota y la situación del aro. ¿Ha metido el tiro limpiamente? ¿Cuánto
mide el salto que da el jugador?
1174.
Un jugador de baloncesto lanza un tiro libre que describe la
trayectoria dada por la siguiente parábola: y= − + 4 + 2,34.
Dibuja la gráfica que sigue la pelota y la situación del aro. Reflexiona
si ha conseguido meter canasta. ¿Cuánto mide el jugador? Nota: el
jugador no salta para lanzar un tiro libre.
1175.
Un jugador de balonceso pega un salto de 40cm y lanza el
balón con una trayectoria dada por la parábola = −0,1 +
0,75 + 2,5. A 1,5m aparece un rival de 2,15m saltando para hacerle
un tapón. Dibuja la gráfica que sigue la pelota y la situación del rival.
¿Cuánto ha tenido que saltar el rival para ponerle el tapón? ¿Cuánto
mide el primer jugador? Nota: no te olvides de computar el brazo
extendido.
1176.
Un jugador de baloncesto lanza un tiro libre que describe la
trayectoria dada por la siguiente parábola: y= −0,1x + 0,6x + 2,46.
Dibuja la gráfica que sigue la pelota y la situación del aro. ¿Qué
distancia máxima en horizontal recorrería la pelota si no hubiese
canasta? Reflexiona si ha conseguido meter canasta. ¿Cuánto sube la
pelota antes de empezar a bajar? ¿Cuánto mide el jugador?
Tiro vertical (MRUA)5 => la trayectoria h=at2+bt representa altura
en función del tiempo: t segundos; h altura en metros.
1169.
Se contrata a un futbolista para hacer un anuncio de
zapatillas deportivas que consiste en lanzar un balón entre las
azoteas de dos rascacielos separados 39 metros (ambas con una
barandilla de 1,5m de alto. Tras muchos ensayos, el futbolista tira el
balón a 3m de la barandilla del primer rascacielos, con una
trayectoria dada por la siguiente parábola: = −
+ . Dibuja
la gráfica que sigue la pelota y la situación de los dos rascacielos con
sus barandillas. ¿Consigue el futbolista poner la pelota en la azotea
del segundo rascacielos? Si lo consigue, ¿cuánto entra en la segunda
azotea? ¿A qué altura pasa por cada barandilla?
1170.
Un futbolista pica el balón con una trayectoria dada por la
parábola = −
+
con la intención de hacerle una vaselina al
portero que mide 1,95m y se encuentra a 2m de él. Dibuja la gráfica
que sigue la pelota y la situación del portero. ¿Es posible que le haya
hecho la vaselina? Si el portero ha salido 2,5m de los palos, ¿habrá
metido gol nuestro jugador?
1171.
Un futbolista remata de cabeza solo ante la portería a 5
metros de esta. El balón describe la trayectoria dada por la siguiente
parábola: = −0,1 + 0,7 + 1,8. Dibuja la gráfica que sigue la
pelota y la situación de la portería. ¿Es posible que haya metido gol?
¿Cuánto mide el jugador? Nota: el futbolista ni salta ni se agacha para
hacer el remate.
1172.
Un futbolista saca de banda consiguiendo que el balón dibuje
la trayectoria dada por la siguiente parábola: = −
+
+ .A
13 metros se encuentra un compañero de 1,80m recibiendo el balón.
Dibuja la gráfica que sigue la pelota y la situación del compañero. ¿Ha
podido recibir el pase con el pie, con el pecho o con la cabeza?
¿Cuánto mide el jugador de la banda? ¿De cuántos metros hubiese
sido el saque como máximo?
1173.
Un jugador de baloncesto de 2,00m pega un salto y lanza un
tiro en la línea de tres con una trayectoria dada por la siguiente
parábola: = −0,05 + 0,4 + 3,4. Dibuja la gráfica que sigue la
52
…por si quieres saber un poco de Física que estudiarás en el futuro => El tiro
vertical ideal (descartando rozamientos y condiciones meteorológicas) es un
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (decelerado por la gravedad)
cuya fórmula es: =
· −
· .
La velocidad de las armas depende de la longitud de sus cañones. Así, la bala de
un revólver no supera la velocidad del sonido (340m/s en el aire), mientras que
las balas de los fusiles y las ametralladoras pueden ser lanzadas entre 600m/s y
1000m/s.
5
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1177.
Un antidisturbios dispara en vertical al aire su pistola de
bolas. La altura que alcanza la bola de goma en función del tiempo
sigue la siguiente función (parabólica): ℎ = −4,9 + 49 . ¿Cuántos
segundos tarda la bola en llegar a su altura máxima? ¿Qué altura es
esa? ¿Cuánto tarda en bajar? ¿A qué altura se encuentra la bola
transcurridos 3 segundos? ¿Se alcanza esa misma altura en otro
momento?
1178.
La altura que alcanza la bala de un revólver disparado en
vertical sigue la función (parabólica): ℎ = −4,9 + 298,9 . ¿Cuántos
segundos tarda la bala en llegar a su altura máxima? ¿Qué altura es
esa? ¿Cuánto tarda en bajar? ¿A qué altura se encuentra la bala
transcurridos 20 segundos? ¿En qué momento alcanza la bala los
3,381km de altura?
1179.
La altura que alcanza la bala de un fusil disparado en vertical
sigue la función (parabólica): ℎ = −4,9 + 980 . ¿Cuántos minutos
tarda la bala en llegar a su altura máxima? ¿Qué altura es esa?
¿Cuántos minutos tarda en bajar? ¿A qué altura se encuentra la bala
transcurrido un minuto? ¿En qué momento alcanza la bala los
17,640km de altura?
1180.
La altura que alcanza la bala de una ametralladora disparada
en vertical sigue la función (parabólica): ℎ = −4,9 + 931 .
¿Cuántos minutos tarda la bala en llegar a su altura máxima? ¿Qué
altura es esa? ¿Cuántos minutos tarda en bajar? ¿A qué altura se
encuentra la bala transcurrido medio minuto? ¿En qué momento
alcanza la bala los 41,160km de altura? Nota: la altura “y” está en
metros, el tiempo “t” está en segundos.
Actividad empresarial => la función f(t)=at2+bt +c representa
dinero: t años; f(t) miles de euros.
1181.
La actividad empresarial de una compañía ha reportado unos
beneficios que se ajustan estadísticamente a la siguiente función
( ) = −10 + 120 , donde t es el tiempo en años y f(t) miles de
euros. Dibuja esta función y contesta razonadamente las preguntas:
¿cuál ha sido el máximo beneficio que ha conseguido en estos años?
53
¿En qué año se produjo ese beneficio? Según la previsión ajustada,
¿estará alguna vez en números rojos?
1182.
La actividad empresarial de una compañía ha reportado unos
beneficios que se ajustan estadísticamente a la siguiente función
( ) = −4 + 20 + 200, donde t es el tiempo en años y f(t) miles de
euros. Dibuja esta función y contesta razonadamente las preguntas:
¿qué inversión de capital inicial tuvo la empresa en su creación?
¿Cuál ha sido el máximo beneficio que ha conseguido en estos años?
¿En qué año se produjo ese beneficio? ¿En qué año la empresa
comenzó a perder dinero respecto a la inversión inicial de capital?
¿Cuándo empezará a estar en números rojos?
1183.
La actividad empresarial de una compañía que ha operado
durante 10 años ha reportado unos beneficios que se ajustan
estadísticamente a la siguiente función ( ) = 5 − 45 + 90, donde
t es el tiempo en años y f(t) miles de euros. Dibuja esta función y
contesta razonadamente las preguntas: ¿qué inversión de capital
inicial tuvo la empresa en su creación? ¿Cuál ha sido el máximo
beneficio que ha conseguido en estos años? ¿Ha estado alguna vez en
números rojos? ¿Durante cuánto tiempo? ¿Cuál ha sido el mayor
descubierto que ha tenido? ¿En qué año se recuperó?
1184.
La actividad empresarial de una pequeña compañía que ha
operado durante 12 años ha reportado un capital anual que se ajusta
estadísticamente a la siguiente función f(t) = −2t + 18t + 20,
donde t es el tiempo en años y f(t) miles de euros. Dibuja esta función
y contesta razonadamente las preguntas: ¿qué inversión de capital
inicial tuvo la empresa en su creación? ¿Cuándo ha conseguido el
mayor capital de su historia? ¿Cuál ha sido este capital? ¿Ha estado
alguna vez en números rojos? ¿Qué capital reportó la empresa
cuando cesó su actividad económica?
ECUACIONES BICUADRADAS
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
RECUERDA:
Las ecuaciones bicuadradas pueden tener: cero soluciones; una única
solución (obligatoriamente x=0 doble o cuádruple); dos soluciones
opuestas (simples o dobles); tres soluciones (obligatoriamente x=0 doble
y otras dos opuestas simples); cuatro soluciones (simples y opuestas dos a
dos).
En cada ejercicio, da la factorización del polinomio asociado e intenta
dibujar grosso modo la gráfica asociada (no podrás en todos los casos) =>
comprueba los resultados con software matemático.
Soluciones racionales:
1185.
1186.
1187.
1188.
1189.
1190.
1191.
1192.
1193.
1194.
1195.
1196.
1197.
1198.
1199.
1200.
1201.
1202.
−5 +4=0
− 61 + 900 = 0
− 17 + 16 = 0
2 −2 =0
2 − 32 = 0
−1=0
− + 10 − 9 = 0
4
−9
=0
x  x 2  0
4
2
2
+5 +6=0
−5 +4 = 0
x4 +16 x2 –225 =0
x4 –4 x2 =0
x4 –81 =0
2x4 –32 x2 =0
2x4 –18 x2 =0
x4 –15 x2 –16 =0
2x4 –10 x2 –72 =0
54
1203.
1204.
1205.
1206.
1207.
1208.
1209.
1210.
1211.
1212.
1213.
1214.
1215.
1216.
1217.
1218.
1219.
1220.
x4 –10 x2 +9 =0
x4 –13 x2 +36 =0
x4 –15 x2 –16 =0
x4 –29 x2 +100 =0
x4 –16 x2 =0
3x4 –243 =0
x4 –7x2 –18 =0
2x4 +18 x2 =0
=0
+
−
+1=0
+1=0
− −
=0
− =0
−8 −9 = 0
−2 +1 = 0
−
=0
−
+ 5 − 36 = 0
+7 =0
Soluciones irracionales:
1221.
1222.
1223.
1224.
1225.
1226.
3
− 27
−6
+ 60 = 0
+ 27 = 0
− 12 + 27 = 0
3 + 18 − 15 = 0
5
+
−4=0
− 20
+ 20 = 0
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1227.
1228.
1229.
1230.
1231.
1232.
1233.
5
3
3
1235.
− 35 + 50 = 0
− 24 + 36 = 0
−6 =0
+ −6=0
− 25 = 0
+ − 12 = 0
−4
+4
Da las expresiones genéricas de las ecuaciones bicuadradas
que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la primera
gráfica corta en +4; la segunda gráfica corta en +6 y +2.
=0
ECUACIÓN DESDE GRÁFICA
RECUERDA
Las soluciones de la ecuación son los puntos de corte de la gráfica de la
función asociada con el eje OX (y las raíces del polinomio).
RECUERDA
Las soluciones con multiplicidad par producen puntos extremos
(máximos/ mínimos) en las gráficas; las soluciones con multiplidad impar
(>1) producen puntos de inflexión.
1234.
Da las expresiones genéricas de las ecuaciones bicuadradas
que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la primera
gráfica corta en +5 y +1; la segunda gráfica corta en +3 y 0.
a)
b)
55
a)
b)
EJERCICIOS DE ECUACIONES BICUADRADAS
RECUERDA: la gráfica de k·(x–x1)·(x–x2) ·(x–x3) ·(x–x4) puede abrir hacia
arriba o hacia abajo dependiendo del signo de k.
1236.
Da la expresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que
tienen las siguientes soluciones: x=+1 (dobles). Dibuja grosso modo
su gráfica asociada cuando k=–1.
1237.
Da la expresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que
tienen las siguientes soluciones: x=0 doble y x=+7. Dibuja grosso
modo su gráfica asociada cuando k=1.
1238.
Da la expresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que
tienen las siguientes soluciones: x=+2 y x=+5. Dibuja grosso modo
su gráfica asociada cuando k=–1.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1239.
Da la expresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que
tienen las siguientes soluciones: x=0 doble y =+n. Dibuja grosso
modo su gráfica asociada cuando k=1.
1240.
Da la expresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que
tienen las siguientes soluciones: x=+m dobles. Dibuja grosso modo
su gráfica asociada cuando k=–1.
1241.
Da la expresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que
tienen las siguientes soluciones: x=+p y x=+q. Dibuja grosso modo
su gráfica asociada cuando k=1.
1242.
Dada la ecuación x2–x–2=0, escribe la expresión genérica de
la ecuación bicuadrada que tenga las soluciones de la ecuación dada.
Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k=–1. Nota: puede
tener más soluciones que la ecuación se segundo grado.
1243.
Dada la ecuación 2x2–8=0, escribe la expresión genérica de
una ecuación bicuadrada que tenga las mismas soluciones que la
ecuación dada. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k=–1.
1245.
1246.
1247.
1248.
1249.
1250.
2 x  1 11x  5

4x  7 6x  3
4 x  6 6 ( 2 x  5)

x 1
8  2x
3(7 x  3) 4(4 x  11)

4x
3x
3x  6 x 2  2x  4

6
3x
−
=
=
(
)
ECUACIONES RACIONALES Y GRADOS DISTINTOS
1251.
1252.
1244.
x  11 3 x  17

2
x8
56
1253.
4  3x 5x  8 10x  20


2x
12
3x
5x  3 5(3  x) 8x  3


3x
6
x
3x  4 3(5  x)  (2  2x) 2


x
9
5x
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1254.
1255.
1256.
1257.
1258.
1259.
1260.
1261.
1262.
5( 4 x  5) 11x  5 4(9  6 x )


3x
x
12
1263.
1264.
3(5x  3) 6(2  x)  (4x  6) 2


2x
5
x
 4(2x  5) 5(3x  6) 7(6  7x)


7
x
3x
ECUACIONES IRRACIONALES
5(3x  7) 3( x  1) x  3


2x
3
4
6(6 x  5) 7(5  5 x) 6(3x  5)


7
x2
4x
2x
7 ( 2 x  4) 3( 4  3 x )  5(5 x  4)


x
4x
8
+4=
(
=
)
−2
PASOS: 1º aislar la raíz en un miembro de la ecuación; 2º elevar al
cuadrado ambos miembros; 3º quitar la raíz y reducir la ecuación; 4º
resolver la ecuación resultante; 5º comprobar si la solución o soluciones de
esta ecuación lo son o no de la ecuación irracional; 6º descartar las
soluciones erróneas.
 6(4 x  4) 4( x  4)
15x  2


2x
3
x
2x  3
5
 2
2
x2
x 4
+
=
57
1265.
1266.
1267.
1268.
1269.
1270.
1271.
x5  2
5  2x  x  1
3 3x  16  12  x
2x  3x  1  5x  2x  3
 3x  2  1
4  4x  2  3x
2x  5  2x  3
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1272.
1273.
1274.
1275.
1276.
1277.
1278.
1279.
1280.
1281.
2 5x  1  2x  3  1  4x
8x  9  5
x  1  6  2x  0
3 5x  6  6  5x  0
2 2x  3  x  2  4  5x
2x  5  x  1
x  2x  2  1
x  x 1  3  0
4 x 2  15  2 x  1
x x 6  0
1282.
x 6 x  4
1284.
x2 6 x 9
1286.
x 3 8 x  2
1283.
1285.
1287.
1288.
1289.
1290.
3x 
x  1  3
2x  4x  5  5
x  2 x  16   8
x  2x  2  5
3 + √2 + 3 = −15
13  6 x  2 x  9
58
1291.
6 x  14 x  2  2
1293.
3 2x  1  2x  1
1295.
x
1297.
3 x  2 4 x  3  31
1299.
2x  2  2 3  x
1292.
1294.
1296.
1298.
1300.
1301.
1302.
1303.
1304.
1305.
1306.
1307.
1308.
1309.
1310.
4 7  6x  4x  8
x  3 2 x  11  8
x3 9
2 x  3 x  7  21
x  2  3  1 x
3x  9 x  2  2
x  1  8  2x
3+ = √ +1
3− = √ +1
− √25 −
=1
5 − 2√ + 2 = −1
+
· (2x − 7) + 3 − 1 =
3−
· (5x + 6) + 1=3
√7 − 3x= − 2
2·
· (x + 1)=1 +
x
4
 x2  6 

−1

2x  5  x 1   x2  9  0
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Con dos raíces
1311.
1312.
1313.
1314.
2x2  x  2  2x  3
5 + 3 · (x2 + 1)=√10 + 5
· (−9 + 5x) + − √2 + =0
1 + 2 · (x2 + 2) − √3 = 1
PASOS: 1º aislar una raíz en uno de los miembros de la ecuación; 2º elevar
al cuadrado ambos miembros; 3º quitar la raíz de un miembro y
desarrollar el posible binomio de Newton del otro miembro; 4º reducir la
ecuación resultante; 5º aislar la raíz que queda en un miembro de la
ecuación; 6º elevar al cuadrado ambos miembros; 7º quitar la raíz de un
miembro y resolver la ecuación resultante; 8º comprobar si la solución o
soluciones de esta ecuación lo son o no de la ecuación irracional; 9º
descartar las soluciones erróneas.
El procedimiento de resolución de estos ejercicios volverás a emplearlo en
el ejercicio 38 de examen (3ª evaluación => lugares geométricos)
1318.
1319.
1320.
2x  4  x  5  5
x 1  5  x  6
12 + √ + 7 = √25 −
1321.
x  5  x 2  10 x  5 5( x 2  4)
1323.
2x  1
3  0
x
1322.
1
1
4 x 3  5x 2  x 3  x 2  0
2
2
1324.
1325.
5 − 2√ + 2 − √9 − 4 = 0
3 · (3x + 2) − 1=√ − 2
1327.
1328.
1329.
7 · (x2 + 3) + 1=4 · √
2 − √5 + 1=√ + 1
· (2 + 5) − 3 =√1 −
1326.
2x − 3 · (x − 1)=√3 + 4 + 1
INECUACIONES DE 1º GRADO
1315.
1316.
1317.
x3 
x5  4
x  2  x 1  3
2x  x  7  1  0
59
1330.
1331.
1332.
1333.
1334.
1335.
1336.
1337.
3 +5<0
−2 + 3 > 0
−5 − 6 ≤ 0
7−4 ≥ 0
3(4 − 1) + 3 − 6 < 0
−5(− + 3) − 3 − 7 ≥ 0
−(2 − 7) − 5 ≤ 0
− 2(4 − 3 ) ≤ 2 − 3
−1
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1338.
1339.
1340.
1341.
(
)
− 2(2 − 3 ) >
− 3( + 1) −
x4
x4
1 
4
8
2( x  1) x  1

 x2
3
2
INECUACIONES DE 2º GRADO
1342.
1343.
1344.
1345.
1346.
1347.
1348.
1349.
1350.
1351.
1352.
1353.
1354.
x2  x  2  0
x2  x  6  0
7 x2  14 x  0
x2  2x 15  0
2 x 2  4x  6  0
9 x 2  12x  4  0
x 2  4x  3  0
x 2  12x  0
 2x 2  26x  24  0
9x 2  18  0
x2  10x  25  0
x 2  3x  10  0
x2  4  0
60
− 2 − 2( + 3)
≥ −2( + 1) −
−5
1355.
1356.
1357.
1358.
1359.
1360.
1361.
1362.
1363.
1364.
3x 2  6 x  0
8x 2  2  0
x 2  9 x  14  0
 4x 2  4x  24  0
6 x 2  3x  0
3x 2  14x  8  0
x2  x  3  0
x2  6  0
3x 2  6 x  0
 x 2  10x  24  0
1366.
1367.
1368.
1369.
1370.
1371.
1372.
· (6 −
(6 − )
( + 4)
( + 4)
( + 4)
( + 4)
( − 2)
1365.
1373.
6x 2  18x  0
)−5<0
<0
<0
≤0
>0
≥0
− 2 ≥ −1
( x  1) 2 ( x  2) 2

 x 1
3
2
PROBLEMAS DE ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA
Resueltos con ecuaciones de 1º grado
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RECUERDA LOS PASOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
1.- Anota los datos y haz un dibujo, esquema o tabla con ellos; 2.- Haz
ejemplos con datos cercanos que te ayuden a deducir el procedimiento
adecuado de resolución; 3.- Escribe una frase elocuente con la pista que te
da el problema; 4.- Traduce esa frase a lenguaje algebraico, es decir,
plantea la ecuación a partir de ella; 5.- Resuelve la ecuación de primer
grado; 6.- Interpreta la solución obtenida; 7.- Comprueba la solución y
reflexiona sobre su idoneidad.
Dentro de la web www.estenmaticas.es, entra en la sección de LA
PREGUNTA MATEMÁTICA y busca => 1ª ¿Qué matemáticas tienen en
común las rebajas, los bancos y algunas señales de tráfico? 2ª ¿Qué tienen
en común las placas fotovoltaicas, las vueltas ciclistas y los zapatos de
tacón?
1374.
¿Cuál era el precio de un pantalón si lo compro rebajado un
15%, tengo 35€ en el bolsillo y aún me hacen falta 7,5€ para pagarlo?
How much did a pair of trousers cost if I have € 35 and I still need € 7.5,
keeping in mind that it has a reduction of 15%?
1375.
¿Cuánto cuesta un artículo si después de aplicarle el 21% de
IVA, pago con un billete de 50€ y me devuelven 11,28€? ¿Cuánto
representa el IVA?
How much does an item cost if I am charged 21% VAT, I pay with a € 50
note and I am returned € 11.28? How much does VAT represent?
1376.
He comprado el 88% de los metros de un rollo de cable
industrial y lo he vendido por metros sacando un beneficio de 6€/m.
Si me he embolsado 3.300€ de ganancia total, ¿qué longitud tenía el
rollo? ¿Cuántos metros compré yo?
1377.
He escrito un libro por el que me pagan el 3,5% de su precio
en tienda. Si este año he vendido 110 ejemplares y he recibido
80,85€, ¿cuánto me pagan por cada libro? ¿Cuál es el precio del libro
en tienda?
1378.
Un padre reparte 390€ entre sus tres hijos. El primer hijo
recibe tres veces más que el segundo y el segundo el 50% de lo que
recibe el tercer hijo. ¿Cuánto dinero recibe cada hijo?
PORCENTAJES %
61
A father gives €390 to his three sons. The first one receives three times
more than the second one and the second one receives 50% of what the
third one receives. How much money do they get?
Porcentajes enlazados
1379.
¿Cuál era el precio de un producto si después de añadido el
16% de IVA se rebaja un 35% y necesito dos billetes de 50€ para
pagarlo (sobrándome 5,75€)? ¿A cuánto ascienden los impuestos? ¿A
cuánto asciende la rebaja posterior?
1380.
Tenía un dinero en el banco por el que me abonaron un 8%
de intereses. Si al sacarlo me penalizaron con un 5% de comisiones
por permanencia, ¿cuánto dinero tenía en el banco si finalmente se
me quedó en 20.520€?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1381.
¿Cuál es el precio inicial de un inmueble si el precio de venta
asciende a 203.940€, después de haberle aplicado primero una
comisión del 3% y después a ese resultado un 10% de impuestos? ¿A
cuánto ascienden los impuestos? ¿A cuánto asciende la comisión
anterior?
1382.
¿Cuánto dinero metí en el banco si saqué 19.400€ y esa
cantidad fue el resultado de abonarle primero un 15% de intereses
más un premio de fidelización de 1.000€ después?
1383.
¿Cuánto dinero metí en un plan de pensiones si ahora tengo
30.389,20€ después de haberse reducido la cantidad inicial por 18%
de impuestos y, posteriormente, haber aumentado por un 9% de
intereses?
Comparaciones
1384.
En dos vasijas hay la misma cantidad de agua. Sacando el
20% de la primera y 220 litros de la otra, queda en la primera vasija
el triple número de litros que en la segunda. ¿Cuántos litros había al
principio en cada vasija? ¿Cuántos litros se sacaron de la primera
vasija?
a una fuga. Al final del día, el primer tanque tiene la mitad de gasoil
que el segundo tanque. ¿Cuántos litros tiene de capacidad el depósito
de este tipo de tanques? ¿Cuántos litros de gasoil gastó el primer
tanque en esta jornada de patrulla?
1387.
Una agencia inmobiliaria oferta dos dúplex de lujo nuevos
con los mismos metros cuadrados. El primer dúplex tiene una cocina
americana de 12m2. ¿Cuánto miden los dúplex si se sabe que el salón
del segundo es el 32% de su superficie total y eso equivale a la
tercera parte de la superficie total del primero descontándole la
cocina? ¿Cuánto mide el salón del segundo dúplex?
1388.
Dos gusanitos andan en la misma dirección y sentido: el
primero recorre 8m al día y el segundo recorre el 75% de lo que
recorre el primero. Si el más lento empezó con una ventaja de 14m
respecto al más rápido, ¿al cabo de cuantos días el gusanito rápido se
topa con el gusanito lento? ¿A cuántos metros estaba cada uno, en el
momento del encuentro, de su respectiva posición de salida?
EDADES
There is the same amount of water in two vessels. Taking out 20% of one
and 220 l of the other, it is left three times more the number of liters in
the first one than in the second one. How many liters were there in each
vessel at the beginning? How many liters were there taking out from the
first one?
1385.
Una constructora vende una urbanización de casas
unifamiliares en una sola planta. Todas están construidas sobre los
mismos metros cuadrados de parcela, sin embargo, hay dos tipos de
casas. El modelo A tiene construida el 70% de la parcela, resultando
una casa el doble de grande que en el modelo B, que tiene un jardín
de 390m2. ¿Cuántos metros construidos de casa tiene cada modelo?
¿Cuántos metros de jardín tiene cada tipo?
1386.
Dos tanques militares iguales llenan sus depósitos de gasoil
completamente. El primer tanque gasta el 60% de su depósito en una
larga jornada de patrulla. El segundo tanque pierde 100 litros debido
62
RECUERDA: haz una tabla con los datos.
1389.
Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto 13 y su padre 43.
¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen
la edad del padre? ¿Cuántos años tendrá cada uno entonces?
Antonio is 15, his brother Roberto 13 and his father 43. In how many
years will the two children´s age together match the father's? How old
will each of them be?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1390.
Lucía tiene 35 años y su sobrina Elena 11. ¿Hace cuántos
años la edad de Lucía era el cuádruple de la edad de Elena? ¿Cuántos
años tenía cada una entonces?
1391.
¿Cuántos años tiene Enrique hoy si su hermana Sofía tiene
ahora 26 años y hace ocho años Enrique le doblaba la edad?
1392.
Un padre tiene 40 años y tres hijos cuyas edades suman 10
años. ¿Dentro de cuántos años la suma de las edades de los tres hijos
será igual a la edad del padre?
A father is 40 and has three children whose ages total 10. In how many
years the sum of the ages of three children will be equal to the father's
age?
1393.
Julián y su hermana Sandra suman ahora 22 años. Hace cinco
años su padre tenía el triple de la edad que tenían entonces los
hermanos juntos. ¿Cuántos años tiene el padre hoy?
1394.
Una madre tiene 60 años y su hijo la mitad. ¿Cuántos años
hace que la edad de la madre era cuatro veces la del hijo?
A mother is 60 years old and her son half as old. How long ago the
mother´s age was four times that of her son?
1395.
Un hombre tiene 42 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de
pasar para que la edad del padre sea el triple de la del hijo?
A man is 42 years old and his son 10. How many years must pass before
the father's age is three times that of his son?
1396.
Dos hermanos suman 18 años y el padre tiene el triple de esa
cantidad. ¿Cuántos años deben pasar para que los hermanos igualen
al padre? ¿Cuántos años tendrá entonces el padre?
1397.
Las edades de dos hermanos hoy suman 12 años. ¿Cuántos
años tiene ahora su padre, si dentro de 17 años igualará la edad de
sus hijos juntos?
1398.
Una persona le pregunta a un padre por la edad de su hijo. El
padre, con ganas de enredar contesta: si al doble de la edad que tiene
ahora se le quita el triple de los que tenía hace seis años, obtendrás
su edad actual. ¿Cuál es la edad del hijo?
63
A person asks a father for his child's age. The father, being enigmatic,
answers: Twice the age he is now minus three times the age he was six
years ago is his current age. What is his son´s age?
1399.
Antonio tiene cuarenta años y su vecino Luisito diez años.
¿Dentro de cuánto tiempo la edad de Antonio será triple que la de
Luisito? Nota: observa la diferencia de este problema con uno
anterior.
1400.
La edad de Juan dentro de cuatro años será cinco veces la de
hoy. ¿Cuántos años tiene Juan actualmente?
1401.
La edad de Jesús es 35 años y la de su hijo Raúl 11 años.
¿Cuántos años hace que la edad de Jesús era el cuádruple de la edad
de Raúl?
1402.
Rafael tiene 37 años y cuenta con dos hijos cuyas edades
suman 10 años. ¿Dentro de cuántos años Rafael tendrá los mismos
años que la suma de las edades de sus hijos? ¿Cuántos años tendrá él
y cuántos la suma de sus hijos?
Rafael is 37 and has two children whose ages total 10. In how many years
will Rafael be as old as the sum of his children´s ages? How old will Rafeal
and his children together be?
1403.
Fabiola tiene 50 años y sus hijos Gustavo y Laura suman
entre los dos la mitad de su edad. ¿Hace cuántos años Gustavo y
Laura sumaban la tercera parte de la edad de su madre?
GEOMÉTRICOS
RECUERDA: haz con los datos un dibujo, una tabla…
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1404.
¿Cuál es el polígono regular en el que la suma de sus ángulos
interiores vale 1.440º? ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? nota:
recuerda que la suma de los ángulos de un polígono regular es
180·(n–2), donde n es el número de lados.
1405.
Determina el valor de los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo sabiendo que uno es la mitad del otro.
Determine the value of the acute angles of a rectangle triangle knowing
that one is half the other.
1406.
Determina el valor de los ángulos de un triángulo isósceles
sabiendo que el ángulo desigual es la cuarta parte de los otros.
1407.
El perímetro de un rectángulo es 54dm y la altura mide los
4/5 de la base. ¿Cuál es su área?
The perimeter of a rectangle is 54 dm and the height is 4/5 of the base.
What is the area?
1408.
Si se aumenta la base de un cuadrado en 10 unidades y la
altura se disminuye en 5 unidades, resulta un rectángulo de igual
área que el cuadrado original. Calcula el lado del cuadrado y los lados
del rectángulo resultante.
1409.
¿En cuántos centímetros hay que aumentar el radio de una
circunferencia para que aumente su longitud en 15,7m? Nota1:
aproxima π a 3,14. Nota2: no necesitas saber el valor del radio.
1410.
La base de un rectángulo es 16cm. Su altura se desconoce. Se
sabe, no obstante, que si la base se disminuye en 4 unidades y la
altura aumenta hasta su doble, el área del nuevo rectángulo es ocho
unidades cuadradas mayor que el área del rectángulo original.
¿Cuáles son las dimensiones de cada rectángulo?
1411.
Si se disminuye la base de un cuadrado en 6 unidades y la
altura se aumenta en 8 unidades, resulta un rectángulo de igual área
que el cuadrado original. Calcula el lado del cuadrado y los lados del
rectángulo resultante.
64
1412.
Si el radio de un círculo crece 3m, su área aumenta 75π m2.
Halla los radios de los dos círculos y las longitudes de sus
circunferencias.
1413.
Si se aumenta la base de un cuadrado en 4m y la altura en
1,5m, resulta un rectángulo cuya área es 28m2 mayor que la del
cuadrado. ¿Qué lado tenía el cuadrado?
1414.
Halla el radio de una circunferencia sabiendo que la suma de
su longitud y su diámetro es 36,4cm. Nota: aproxima π a 3,14.
1415.
Si aumentamos cada lado de un cuadrado 2cm, el área
aumenta 16cm2. Halla el lado del cuadrado.
1416.
Si el radio de un círculo decrece 2m, su área disminuye en
12π m2. Halla los radios de los dos círculos. Halla también las
longitudes de las circunferencias.
1417.
Un chalet está construido en una parcela rectangular con un
lateral midiendo los 3/2 de otro. Si el perímetro del terreno es 100m,
¿cuál es el área de la parcela? ¿Cuánto miden sus laterales?
1418.
Cristian el granjero tiene 60m de malla para vallar un corral
de avestruces rectangular que aprovecha la pared de un granero para
uno de los lados largos (la base del rectángulo). Si esta base mide el
tripe que la altura del rectángulo, ¿qué dimensiones tiene el corral?
¿Cuál es su área?
BÚSQUEDA DE NÚMEROS
1419.
Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 11.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
Find two consecutive numbers whose sum is 11.
1420.
Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 33.
Find three consecutive numbers whose sum is 33.
1421.
Hallar dos números pares consecutivos cuya suma sea 34.
Nota: recuerda que un número par se puede escribir como 2n.
Find two consecutive even numbers whose sum is 34. Note: remember 2n
is the formula for an even number.
1422.
Hallar tres números impares consecutivos cuya suma sea 21.
Nota: recuerda que un número par se puede escribir como 2n+1.
1429.
La suma de tres múltiplos consecutivos de 3 es 90. Calcula
dichos números. Nota: recuerda que un múltiplo de tres se puede
escribir como 3n.
The addition of three consecutive multiples of 3 is 90. Calculate those
numbers. Note: remember 3n is the formula for a multiple of three.
1430.
Halla dos números consecutivos de modo que la mitad y la
quinta parte del primero sumen lo mismo que el tercio y la cuarta
parte del segundo.
Find three consecutive odd numbers whose sum is 21. Note: remember
2n+1 is the formula for an odd number.
Find two consecutive numbers so that the addition of half and one fifth of
the first number is the same as one third and one fourth of the second
one.
Find two consecutive numbers knowing that twice the first one plus three
times the second one is 33.
The addition of four consecutive numbers is 1002. What are these
numbers?
Twice one number plus its half is 15. What number is it?
The addition of four consecutive multiples of seven is 350. Calculate
those numbers.
1423.
Hallar dos números consecutivos sabiendo que el doble del
primero más el triple del segundo nos da 33.
1424.
El doble de un número más su mitad es 15. ¿Cuál es ese
número?
1425.
El triple de un número más su cuarta parte es 26. ¿Cuál es
ese número?
Three times one number plus one forth of it is 26. What number is it?
1426.
La mitad de un número aumentado en tres unidades nos da
igual resultado que si a dicho número le restamos dos. ¿Cuál es ese
número?
1431.
La suma de cuatro números consecutivos es 1.002. ¿Cuáles
son esos números?
1432.
La suma de cuatro múltiplos consecutivos de siete es 350.
Calcula esos números.
1433.
Calcula el número tal que su tercera parte sumada con su
triple sea 70.
Calculate the number so that one third of it added to its triple is 70.
1434.
Halla un número cuya tercera parte más su cuarta parte sea
igual a doce veces su novena parte menos 12.
Half of one number, increased by three units, gives the same result as
that number subtracting two units to it. What number is it?
Find a number whose third part added to its fourth is equal to twelve
times its ninth minus 12.
Translate.
1436.
1427.
Un número más el doble de su siguiente es igual a 332.
Calcula el número.
1428.
La suma de un número más su mitad es igual a 45. Calcula el
número.
The addition of a number plus its half equals 45. Calculate the number.
65
1435.
Halla un número cuyo tercio y cuya mitad sumen 10.
Find a number whose third and its half add up 10.
¿Qué número más su cuarto, más los tres quintos de la suma
de ambos, menos cinco es igual al mismo número?
What is the number which plus its forth, plus three-fifths of the sum of
both, minus five is equal to the initial number?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1437.
1445.
1438.
Find three consecutive odd numbers so that 1/3 of the first plus 2/5 of
the third total six units less than the second.
Halla 3 números consecutivos tales que sus divisiones entre
10, 17 y 26, respectivamente, suman 10.
Find 3 consecutive numbers, so that their divisions by 10, 17 and 26,
respectively, total 10.
Halla tres números consecutivos tales que sus divisiones
entre 18, 12 y 6, respectivamente, suman 5.
1439.
Halla cuatro números naturales que sean múltiplos
consecutivos de 3, tales que su suma sea 1.218.
Find four integers that are consecutive multiples of 3, so that their
addition is 1218.
1440.
Un número se multiplica por 3. El resultado se divide por 4 y
luego se le resta 5. Este nuevo resultado se multiplica por 10,
obteniéndose así la cuarta parte del número aumentada en 37. ¿Cuál
es el número?
A number is multiplied by 3. The result is divided by 4 and then 5 is
subtracted to it. This new result is multiplied by 10, obtaining as a result
one the fourth of the number increased by 37. What number is it?
1441.
Obtén tres números consecutivos tales que tres veces el
primero, mas cuatro veces el segundo excede en 26 a cinco veces el
último.
1442.
Obtén tres números impares consecutivos tales que tres
veces el primero, mas cuatro veces el segundo excede en 26 a cinco
veces el último.
Find three consecutive odd numbers, so that three times the first one,
plus four times the second one exceeds in 26 five times the last one.
1443.
¿Cuál es el número natural que aumentado en la mitad del
precedente y en la tercera parte del siguiente da 20?
What is the natural number which increased by half of the preceding one
and by one third of the following one totals 20?
1444.
Halla 3 números consecutivos sabiendo que 1/5 del mayor es
la cuarta parte del resultado de restar 1 al menor.
Find 3 consecutive numbers knowing that 1/5 of the largest is one fourth
of the result of the lowest minus one.
66
Halla 4 números consecutivos sabiendo que 1/5 del mayor es
la cuarta parte del resultado de restar 1 al menor.
1446.
Halla tres números consecutivos impares tales que 1/3 del
primero más 2/5 del tercero da seis unidades menos que el segundo.
1447.
¿Hay algún número cuyo doble sea igual a la mitad del mismo
número aumentado en tres unidades?
Is there a number whose double is equal to half the same number
increased by three units?
1448.
La suma de cuatro múltiplos consecutivos de cinco es 1.210.
Calcula esos números.
1449.
¿Cuál es el número natural que aumentado en el doble del
número precedente da 91?
Producto en cruz (resuelve la ecuación resultante haciendo el producto en
cruz)
1450.
¿Qué número añadido a los dos términos de la fracción 5/8 la
hacen equivalente a 3/4? Nota: resuelve la ecuación resultante
haciendo el producto en cruz.
What number added to both elements of the fraction 5/8 make it
equivalent to 3/4? Note: solve the equation with cross produc
1451.
¿Qué número hay que añadir a los dos términos de la
fracción 41/65 para que resulte una fracción equivalente a 7/10?
Nota: resuelve la ecuación resultante haciendo el producto en cruz.
What number should be added to both elements in the fraction 41/65 to
make it equivalent to 7 / 10? Note: solve the equation with cross product.
1452.
¿Qué número hay que añadir a los dos términos de la
fracción 1/5 para que resulte una fracción equivalente a 2/3? Nota:
resuelve la ecuación resultante haciendo el producto en cruz.
1453.
Si el doble más uno de cierto número se divide entre dicho
número más tres resulta 3/2. Nota: resuelve la ecuación resultante
haciendo el producto en cruz.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
If twice a number plus one is divided by that number plus three, it totals
3 / 2. Note: solve the equation with cross product.
Reducida a primer grado (las ecuaciones resultantes son en realidad de
primer grado)
1454.
Halla dos números consecutivos que elevados al cuadrado
presenten una diferencia igual a 13.
1455.
Halla dos números consecutivos que elevados al cuadrado
presenten una diferencia igual a 25.
1456.
Halla dos números impares consecutivos que elevados al
cuadrado presenten una diferencia igual a 16.
1457.
Halla dos números pares consecutivos que elevados al
cuadrado presenten una diferencia igual a 36.
1458.
Halla dos múltiplos de tres consecutivos que elevados al
cuadrado presenten una diferencia igual a 81.
1459.
Halla dos números impares consecutivos que elevados al
cuadrado presenten una diferencia igual a 88. ¿Sería posible
encontrar estos números si la diferencia fuese igual a 52?
Ecuaciones algebraicas racionales enteras
PROBLEMAS DE NÚMEROS
El dividendo de una división es 1.081. El cociente y el resto
son iguales, y el divisor es doble del cociente. ¿Cuál es el divisor?
1461.
El producto de dos números consecutivos es 552. Halla tales
números.
1462.
El producto de dos números impares consecutivos es 255.
Halla tales números.
1463.
Un número multiplicado por el doble de su siguiente es 924.
Halla tales números.
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
1460.
67
1464.
Una caja tiene de ancho cinco unidades más que de largo. Si
la altura mide 5cm y su volumen es de 1.500cm3, ¿cuáles son sus
dimensiones?
1465.
Halla los tres lados de un triángulo rectángulo sabiendo que
son tres números enteros consecutivos.
1466.
La superficie de una corona circular es 5ᴨ m2 y el radio del
círculo interior es 2m. ¿Cuál es el radio del círculo exterior?
1467.
Uno de los lados de un rectángulo es 30cm más largo que el
otro. La diagonal es, a su vez, 60cm mayor que el lado más pequeño.
Halla el área del rectángulo.
1468.
Si a un rectángulo de altura el doble que su base se le
aumenta la altura en 8 unidades y se le reduce la base a la mitad, su
área disminuye en 5 unidades cuadradas. Halla los lados de los dos
rectángulos que se forman y las áreas correspondientes.
Soluciones no enteras
1469.
Calcula la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 30m
menos que dicha diagonal. ¿Cuánto mide el lado?
1470.
Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles cuyos
catetos son 20cm más cortos que la hipotenusa.
1471.
Calcula el lado y el área de un hexágono regular cuya
apotema mide 3cm.
1472.
Halla el área de un triángulo isósceles de altura 6cm
sabiendo que la base mide la mitad que los lados iguales. ¿Cuánto
miden sus lados?
Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias
(producto en cruz o mcm del tipo k·xn)
PROBLEMAS DE NÚMEROS
La diferencia entre el doble del inverso de un número y el
inverso de su cuadrado es 9/25. Halla los números.
1473.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1474.
¿Existen dos números naturales consecutivos que cumplan la
condición de que su división sea igual a 1/2?
1475.
La diferencia entre el triple del inverso de un número y el
inverso del doble de su cuadrado es 47/128. Halla los números.
Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias (CON mcm difícil)
PROBLEMAS DE NÚMEROS
1476.
La suma de los inversos de dos números naturales
consecutivos es 15/56. Halla los números.
1477.
La suma de los inversos de dos números pares naturales
consecutivos es 13/84. Halla los números.
68
1478.
La diferencia de los inversos de dos números consecutivos y
múltiplos de tres es 1/396. Halla los números.
1479.
¿Existen dos números enteros consecutivos que cumplan la
condición de que el doble del inverso del primero menos el triple del
inverso del cuadrado del segundo sea igual a 107/448?
1480.
La diferencia entre el opuesto del inverso de un número y el
doble de su siguiente al cuadrado es –2.421/10. Halla los números.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
III.
SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES
SISTEMAS DE 1º GRADO CON 2 INCÓGNITAS SENCILLOS
DESPEJE DE UNA INCÓGNITA
ISOLATION OF AN UNKNOWN
1492.
1493.
1494.
1495.
1496.
1497.
Despejar
B en función del resto de incógnitas que aparecen:
Isolate
B as a function of the rest unknowns:
1481.
1482.
1483.
1484.
1485.
1486.
1487.
1488.
1489.
1490.
1491.
–
(
(
2
·
·
=1
=3
· −3 =2
· − 7 = 10
· −3=5
− 3) · = 1
· ( + 4) = 1
· +6=5
+ 7) · = 1
· ( − 5) = 1
· − +4=0
69
1498.
1499.
1500.
1501.
2 · ( + ) = −2
−3 · ( − ) = 6
5
C  ·B  3
7
9
F  ·B  3
2
3
 G  1  ·B  2
5
3
3H  2  ·B  2
11
6
·B  2  3P  4
5
3
1  T  ·B  5
5
B 1
 4Q 
5
1  2B
M N 
5
Sacando factor común
Extract common factor
1502.
1503.
2  B  K   L  A·B
 3  W  B  5J·B  1
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1504.
1505.
1506.
1507.
1508.
7B
 Z·B  3 X
2
6
B
 4  3B·S
2
2B  1
D7 
 F·B
3
=
−
=
B en denominador
B in denominator
1509.
1510.
1511.
1512.
1513.
1514.
1515.
1516.
1517.
1518.
1519.
−
=2
=−
=
+9
− +5=− −7
=
=
70
+2
−1=
−
1525.
−
1524.
1526.
1527.
+9
−5 =
3−
4
=−
+4
−2=
=−
7 =−
+8
−6
2 =−
−2=−
6−2 =−
1532.
−
1533.
−7
+3=−
1530.
−
=
−7=
−1=−
1534.
−8
=−
1536.
0=
−
1535.
−3=−
Ñ=
1523.
1531.
− +2=
=
1522.
1529.
+1= −3
−2 +
1521.
1528.
+4
− =−
1520.
5 =−
− 43
+9
+2
−4
+1
−3
INTRODUCCIÓN. Dentro de la web www.estenmaticas.es, entra en la
sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA y busca => ¿Cuál es la mezcla
correcta para hacer un tinto de verano?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
BALANZAS
Resuelve los ejemplos de sistemas de ecuaciones empleando el equilibrio
entre balanzas :
=
+
+
=
+
=
Para resolver con balanzas.
4 =3 +7
1537.
3 =2 +1
3 + 2 = 12
1538.
10 = 2 + 2
= 2+3
1539.
+2 =4
4 = 4+
1540.
3 + 2 = 14
+2 =7
1541.
3 =2
+2 =7
1542.
Pista: dobla los objetos en la primera balanza.
2 =3
=
+
71
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
RECUERDA
Puede haber cero soluciones (SI: sistema incompatible), un punto solución
(SCD: sistema compatible determinado) o infinitas soluciones (SCI:
sistema compatible indeterminado).
REMEMBER
There may be no solution (inconsistent system), a point solution
(consistent and independent system) or infinite solutions (consistent and
dependent system).
72
RECUERDA LOS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
REDUCCIÓN => 1) elige una incógnita; 2) transforma el sistema en un
sistema equivalente de manera que la incógnita que has elegido tenga
coeficientes opuestos en sendas ecuaciones; 3) suma las ecuaciones para
conseguir una única ecuación en la otra incógnita; 4) resuelve la ecuación;
5) sustituyendo el valor de la incógnita que acabas de obtener en
cualquiera de las expresiones iniciales, calcula el valor de la incógnita que
te falta.
SUSTITUCIÓN => 1) elige una incógnita en una de las dos ecuaciones; 2)
despéjala ; 3) sustitúyela en la otra ecuación; 4) obtén el valor de la otra
incógnita resolviendo la ecuación resultante; 5) sustituyendo el valor de la
incógnita que recién has sacado en la expresión despejada del principio,
calcula el valor de la incógnita que te falta.
IGUALACIÓN =>1) elige una incógnita; 2) despéjala en las dos ecuaciones;
3) iguala las dos expresiones recién despejadas; 4) resuelve la ecuación
resultante; 5) sustituyendo el valor de la incógnita que acabas de obtener
en cualquiera de las expresiones iniciales, calcula el valor de la incógnita
del principio.
Antes de resolver el sistema, reflexiona sobre su tipo (SI, SCD o SCI):
Think about the type of system before solving it (SI, SCD o SCI):
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1543.
1544.
1545.
1546.
1547.
1548.
1549.
1550.
1551.
1552.
1553.
2x  y  0

x  y  3
2 − =3
+3 =5
1554.
2 x  3 y  4

x  2 y  5
1555.
3x  4 y  7

6 x  8 y  14
1557.
2x  3 y  0

3x  9 y  27
1559.
3x  2 y  3

2 x  y  1
1561.
7 x  2 y  1

 14 x  4 y  5
1563.
5x  3 y  1

 x  2 y  10
1556.
4 x  3 y  7

 2 x  4 y  4
1558.
2 x  5 y  1

3x  4 y  5
1560.
 3x  4 y  2

4x  2 y  10
1562.
73
4x  3 y  2

2x  y  2
2x  3y  6

4x  5 y  12
3x  5 y  10

6 x  10 y  5
3x  4 y  9

2 x  3 y  11
3x  7 y  5

6 x  5 y  19
4 x  3 y  30

5x  2 y  26
3x  7 y  4

9 x  21y  12
3x  2 y  3

4 x  2 y  10
2x  3 y  0

3x  9 y  27
2 x  3 y  5

4 y  4
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1564.
1565.
1566.
1567.
1568.
1569.
1570.
1571.
1572.
1573.
3x  4 y  1

2 x  5 y  16

x5

x  2y  2  y 
4 x  5 y  10

3x  7 y  1
5x  y  12

3x  4 y  2
x  2 y  4

 2x  3 y  13
2x  y  7

4x  2 y  5
x  3 y  1

 3x  9 y  3
x  3 y  1

3x  4 y  2
3 x  y 

2 y  3x  46
2x  y  1

x y 5
74
1574.
1575.
1576.
1577.
1578.
1579.
1580.
1581.
1582.
1583.


3x  8  2 y 
x y 5 

2y  8  x 
y  2x  8 

2x  y  0 

y  2

x  2y  4 
3x  2 y  0 

2x  3y  5 
5x  4 y  2

7 x  6 y  32
2x  y  3
2x  y  7

 x  3 y  7
3 −8 =6
2 +5 =4
−2 + 3 = 7
− =3
−2 + 3 = −1
−3 + = −5
Posibles soluciones no enteras
1584.
2x  3 y  1 

3x  2 y  2 
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1585.
1586.
1587.
1588.


6x  3y  5 
−5 − 3 = 8
4 + 2 = −7
4x  3 y  3

8x  3 y  3
− + 3 = −2
−3 + = 0
2x  y  4
SISTEMAS DE 1º GRADO CON 2 INCÓGNITAS Y PARÉNTESIS
1589.
1590.
1591.
1592.
RECUERDA:
Puede haber cero soluciones (SI: sistema incompatible), un punto solución
(SCD: sistema compatible determinado) o infinitas soluciones (SCI:
sistema compatible indeterminado).
1593.
x  3  y  3

2( x  3)  6  y
x  ( y  1)  3 

y  ( x  3)  4 
10( x  2)  y  1 

x  3( x  y )  5 
− (3 + 2 ) = −( − 1)
−2 = −(1 − ) +
Posibles soluciones no enteras
1594.
1595.
1596.
75


2 y  4  3( x  2) 
3( x  2)  2( x  y)

5x  3 y  4
x  2(11  y )
5+ =2 +4 −8
3(4 + 3) − (3 − 2 ) + 1 = 0
2(6 + 4 ) − 5(9 + 1) − 10 = 0
4(8 − 3 ) = 20 − 15(3 + 1)
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1597.
4 − 4( − 2 ) = 2 − 9
−(3 − 2 ) = 3(−3 − 4 )
1602.
SISTEMAS DE 1º GRADO CON 2 INCÓGNITAS Y DENOMINADORES
1603.
1604.
RECUERDA
Puede haber cero soluciones (SI: sistema incompatible), un punto solución
(SCD: sistema compatible determinado) o infinitas soluciones (SCI:
sistema compatible indeterminado).
=1
1598.
1599.
1600.
1601.
+
=2
1606.
− =1
=−
= −2
+
= −5
4 x  3 y  24
x y

5 4
76
1605.





1607.
1608.
=2 −4
=2
x y 1

 
3 6 6 

5x y
  4 

2 5
x y 3

 
8 4 2 
x y 7 
 

3 6 3 
2
3
1

x y 
5
5
5 

x
 y 1


2
x y

 1 
2 3

x 2y

 8
4 3

x y
1

 
9 6
2 

2x
 5y  3 

3
x y

  2
4 4

x y
  2
6 3

Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1609.
1610.
1611.
1612.
1613.
1614.
4y
3
 2 x  3  7

6 x  2y  9
 4
5x 5 y
 2  6  15

 6x  2 y  2
 4
3
 2x y
 3  4  8

 2 x  7 y  31
 6
2
y
3
14 x  4  3

 2 x  2y  8
12
3
 3x 4 y 22
 2  5  4

 x  2 y   26
 3 4
12
 5x 6 y
 2  5  12

 2 x  4 y  14
 3 10
77
1615.
1616.
1617.
1618.
1619.
1620.
y 29
3
 x 
5 20
4
3 x  5 y  11
3 y  21
2

 x
2
9
3
4 x  5 y  14
 3x 2 y
 4  3  12

 x  y  69
10 6 30
 4 x y  52
 3  2  8

 x  5y   5
 2 6 10
 y x 29
 4  7  28

x  y  1
 4 7 4
x y  2
 3  2  6

 2x  3y  5
 5
4
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1621.
1622.
1623.
1624.
1625.
3y

 x  2  5

 3 x  y  3
 4
 2x 2 y
 6  4  2

 3x  6 y  2
 9
4
5x 3 y

2 

6
7

x y
 2 

2 7
1629.
1630.
−1=
+
=5
x y
x y
 9
3
2
x
x y
5  
2
9
+
1626.
1627.
1628.
−
−
78
=5
=3
−
−
1631.





=1
= −2
1632.
1633.
2 −
−
=2
= −3
x y x y

5
2
3
x y
 y3
7
=





6 + 5 = −14
x  2y 3


2
 3
2 y  3  x
 4x  2 y
 6  3  0

 3x  2  2 y  2
 5
6
x y
x  y
 3  9  2

x 5   x  y
 2
9
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1634.
1635.
1636.
 3x  y y
 4  3  3

 6x  y  x  y  1
 8
2
 2x  y 2x
 5  3  y

 x  2 y  2 y  3
 5
x  y x  y
 2  4  3

 3x  y  x  3 y  5
 4
2
−
1637.
=2
+
=4
Posibles soluciones no enteras
1638.
1639.
+
1640.
+
+
1641.
1642.
1643.
=
=
=2
=1+
−
−
−
−
−
−
−
=0
=− +
=− +1
= −6
SISTEMAS DE 1º GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES
=
+
=1
+
=
=
+
RECUERDA:
79
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
Puede haber cero soluciones (SI: sistema incompatible), un punto solución
(SCD: sistema compatible determinado) o infinitas soluciones (SCI:
sistema compatible indeterminado).
Halla la forma general de los sistemas. Resuélvelos también el método
gráfico, dando previamente las fórmulas explícitas y general–implícita de
las rectas.
1644.
1645.
1646.
1647.
1648.
2  x  1  y  1

x y 2
  
2 3 3
 2x  y 5  5x


4
 3
6( y  2)  11(1  x)  0
2( x  3) 3( y  2)

1 

3
6

x2
 2(3  y )  0 

2
5( x  3)  2( y  7)  36

x y 1
 2  3  6
 x 3 y  2x 3  x

 2 
4
8

 x  2  2( x  y )  y  1  4 x
 3
5
15
80
1649.
1650.
1651.
1652.
1653.
1654.
1655.
1656.
1657.
1658.
1659.
 x  2 2( y  1) x
 1
 3 
5
2
 2x  y y  3


 y4
2
 3
x  2( x  y )  3 y  2 

x y
 ¿Es (–1, 1) solución del sistema?
 3

3 2
3( y  2 x  2) 4 x  y  1 


4
3
1
1
y  1

( x  y)  ( x  y) 
3
6
6 

8
x  1  ( y  1)  ¿Es (5, 5) solución del sistema?

3
x  5  3( y  5) 

−
·(
−3 −
)
·(
=2−
)
=−
·(
)
·(
)
Nota: solución Q.
Formula un sistema que tenga a A(2, –6) como solución.
Formula un sistema que tenga a B(–1, 4) como solución.
Formula un sistema que tenga a C(0, –5) como solución.
Formula un sistema que tenga a D(–3, 1) como solución.
Formula un sistema que tenga a E(0, 0) como solución.
Formula un sistema que tenga infinitas soluciones. ¿Cómo se
llaman estos sistemas?
1660.
Formula un sistema SIN solución. ¿Cómo se llaman estos
sistemas?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1661.
1662.
1663.
1664.
Formula un sistema que NO tenga a P(7, 1) como solución.
Formula un sistema que NO tenga a Q(–2, 2) como solución.
−3x + 2y = 8
Formula un sistema equivalente a
.
+ = 10
–x − y = 0
Formula un sistema equivalente a
.
3 =−
SISTEMAS DE 2º GRADO CON UNA RECTA Y UNA CÓNICA
RECUERDA:
81
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
Puede haber cero soluciones, un punto solución o dos puntos solución que
son los cortes de la recta y la cónica (circunferencia, elipse, parábola o
hipérbola).
Dibuja las rectas adecuadamente (dando sus fórmulas explícitas y general–
implícita). Intenta dibujar las cónicas grosso modo o ayudándote de
software matemático.
Soluciones enteras
+ · +
= 21
1665.
+ =1
82
+
= 58
+ = 10
+ =2
1667.
+3=
+
= 34
1668.
+ =8
−
=8
1669.
− =2
+
=5
1670.
− =1
· = 100
1671.
− = 15
−
=3
1672.
− +2=3
2 + · = −4
1673.
2 + =2
+ · +
= 21
1674.
− =3
− + =2
1675.
+2 =1
+ =6
1676.
· =8
+ =7
1677.
+
= 25
2 − = −5
1678.
2 + 2 = 50
+
+ · =3
1679.
− =3
2 + 3 = 16
1680.
2 −
+ 3 · = 16
Soluciones racionales
3 + = −4
1681.
· =1
1666.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1682.
1683.
1684.
1685.
1686.
1687.
1688.
1689.
1690.
1691.
1692.
1693.
1694.
1695.
· +2 +9 =0
2 + +1=0
3 +2 =2
· = −8
+ · =3
2 −3 =4
5 + =2
3 +
=4
4( − 1) + 3( + 1) = 9
2 − 3 = −4
−2 =0
· + − − 36 = 0
− · = 15
¿Es (1, 0) solución del sistema?
+ =1
2 +
= 76
¿Es (6, 2) solución del sistema? ¿Y (2, 0)?
−2 =2
+ · = 10
¿Es (1, 9) solución del sistema?
4 −2 =2
+
=( + ) −2
¿Es (0, 0) solución del sistema?
2 − 3 = −4
+
=2
¿Es (1, 1) solución del sistema?
2 − =3
2 + · −
= −10
¿Es (0, 1) solución del sistema?
−3 =1
6 +
= 22
¿Es (2, 1) solución del sistema?
5 − =9
· + = 27
¿Es (0, 27) solución del sistema? Nota:
=7
opera la seguna ecuación con el producto en cruz.
1696.
Dibuja un sistema recta-cónica que tenga una única solución.
¿Qué cónica has dibujado?
83
1697.
Dibuja un sistema recta-cónica que tenga dos soluciones.
¿Qué cónica has dibujado?
1698.
Dibuja un sistema recta-cónica sin solución. ¿Qué cónica has
dibujado?
1699.
Dibuja un sistema recta-cónica sin solución en el que
intervenga una hipérbola.
1700.
Dibuja un sistema recta-cónica con dos soluciones en el que
intervenga una circunferencia.
1701.
Dibuja un sistema recta-cónica con un punto solución en el
que intervenga una elipse.
1702.
Dibuja un sistema recta-cónica con dos soluciones en el que
intervenga una hipérbola.
1703.
Dibuja un sistema recta-cónica con una solución en el que
intervenga una parábola.
1704.
Dibuja un sistema recta-cónica con dos soluciones en el que
intervenga una elipse.
1705.
Dibuja un sistema recta-cónica sin solución en el que
intervenga una circunferencia.
1706.
Da las fórmulas de un sistema de recta-cónica sin solución en
el que intervenga una parábola.
1707.
Da las fórmulas de un sistema de recta-cónica con una
solución en el que intervenga una parábola.
1708.
Da las fórmulas de un sistema de recta-cónica con dos
soluciones en el que intervenga una parábola.
1709.
Formula un sistema de recta-cónica que tenga a P(–1, –3)
como solución. ¿Qué cónica has empleado? Atrévete a encontrar la
otra solución (si la hay).
1710.
Formula un sistema de recta-hipérbola que tenga a Q(2, –4)
como solución. Atrévete a encontrar la otra solución (si la hay).
1711.
Formula un sistema de recta-parábola que tenga a B(–3, 3)
como solución. Atrévete a encontrar la otra solución (si la hay).
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1712.
Formula un sistema de recta-elipse que tenga a A(–5, 1)
como solución. Atrévete a encontrar la otra solución (si la hay).
1713.
1714.
1715.
1716.
 x y5

x  y  7
2 x  3 y  1

3 x  y  13
2 x  y  7

2 x  3 y  1
2 x  y  6

 x y5
SISTEMAS DE 2º GRADO CON DOS CÓNICAS
RECUERDA:
Puede haber cero soluciones, un punto solución, dos puntos solución, tres
puntos solución, cuatro puntos solución o infinitos puntos solución como
84
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
cortes posibles entre las dos cónicas (circunferencias, elipses, parábolas o
hipérbolas).
1717.
1718.
1719.
1720.
1721.
1722.
1723.
1724.
1725.
1726.
1727.
1728.
1729.
1730.
Soluciones enteras
85
1731.
+
= 26
· =5
+
= 16
2 +
= 16
−2 =6
+
=4
+ =0
· =1
+
+ · =1
2 · = −2
+
= 58
−
= 40
+ · =5
+ · = 20
· =6
+
= 13
2 +
= 34
+
= 25
· =6
+ =
· =3
+
= 10
+
= 40
−
= 32
+
= 25
5 +
= 25
−
= 16
+
= 34
+ 3 = 48
+
= 40
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
−
= −7
+
= 34
· = 10
1733.
+
= 29
+
= ( + ) − 24
1734.
−
=7
+
+ 2 = 39
1735.
+
− 2 = 25
−
= 40
1736.
+ ( − 3) = 9
−
= 36
1737.
( + 3) +
=9
−
=1
1738.
( − 2) +
=1
2 −
=0
1739.
2 + 3 = 20
− = 13
1740.
· = −12
Otras soluciones
−
=1
1741.
4 + =1
2 +
=9
1742.
· = −6
2 +
=3
1743.
· =1
3 −
=4
1744.
¿Es (0, 2) solución de este sistema?
−9 + 3 = −12
+
−4 +2 =5
1745.
¿Es (1, 3) solución de este sistema?
+
− = 10
+ = 21
1746.
¿Es (3, 12) solución de este sistema?
−
+ 4 = 11
1732.
2
86
−
=4
¿Es (4, 0) solución de este sistema?
+ ( + 2) = 16
2 −
=4
1748.
¿Es (0, 2) solución de este sistema?
6 + 3 = 12
1749.
Formula un sistema que tenga a P(–5, 3) como solución. ¿Qué
cónicas has empleado? Atrévete a buscar las otras soluciones (si las
hay).
1750.
Formula un sistema de hipérbola y elipse que tenga a P(0, 4)
como solución. Atrévete a buscar las otras soluciones (si las hay).
1751.
Formula un sistema que tenga infinitas soluciones. ¿Qué
cónicas has empleado?
1752.
Formula un sistema de dos parábolas que tenga a Q(4, –1)
como solución. Atrévete a buscar las otras soluciones (si las hay).
1753.
Dibuja un sistema de dos cónicas distintas que tenga una
única solución. ¿Qué cónicas has dibujado?
1754.
Dibuja un sistema de dos cónicas sin solución. ¿Qué cónicas
has dibujado?
1755.
Dibuja un sistema de dos cónicas distintas que tenga dos
soluciones. ¿Qué cónicas has dibujado?
1756.
Dibuja un sistema de dos cónicas distintas que tenga tres
soluciones. ¿Qué cónicas has dibujado?
1757.
Dibuja un sistema de dos cónicas que tenga tres soluciones.
¿Qué cónicas has dibujado?
1758.
Dibuja un sistema dos cónicas distintas que tenga cuatro
soluciones. ¿Qué cónicas has dibujado?
1759.
Dibuja un sistema de dos cónicas que tenga infinitas
soluciones. ¿Qué cónicas has dibujado?
1760.
Dibuja un sistema de dos cónicas sin solución en el que
intervenga una hipérbola.
1761.
Dibuja un sistema de dos cónicas distintas con dos soluciones
en el que intervenga una circunferencia.
1747.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1762.
Dibuja un sistema de dos cónicas distintas con un punto
solución en el que intervenga una elipse.
1763.
Dibuja un sistema de dos cónicas con tres soluciones en el
que intervenga una hipérbola.
1764.
Dibuja un sistema de dos cónicas con una solución en el que
intervenga una parábola.
1765.
Dibuja un sistema de dos cónicas distintas con cuatro
soluciones en el que intervenga una elipse.
1766.
Dibuja un sistema de dos cónicas con tres soluciones en el
que intervengan dos parábolas.
1767.
Dibuja un sistema de dos cónicas sin solución en el que
intervenga una circunferencia.
1768.
Dibuja un sistema de dos cónicas distintas con cuatro
soluciones en el que intervenga una parábola.
1769.
Dibuja un sistema de dos cónicas con dos soluciones en el
que intervengan cónicas con asíntotas.
PROBLEMAS DE SISTEMAS
GEOMÉTRICOS
87
1770.
En una caja de material geométrico tenemos hexágonos y
triángulos. Si tenemos 11 figuras y 45 vértices, ¿cuántos hexágonos y
triángulos hay?
1771.
Una caja de material geométrico contiene objetos
triangulares y pentagonales. En total hay 18 figuras y se pueden
contar hasta 68 lados. ¿Cuántos objetos hay de cada clase?
1772.
Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que si
aumentáramos la base 2 metros, el área aumentaría 4m2; pero que si
en el rectángulo primero disminuyéramos la base 2m y
aumentáramos la altura 3m, entonces el área disminuiría 1m2
respecto al original. ¿Cuál es el área del rectángulo original? ¿Qué
dimensiones tendrían los dos rectángulos resultantes? ¿Y sus áreas?
1773.
Si a un rectángulo se le aumenta 2cm la base y 3cm la altura,
el área aumenta 32cm2 respecto al original. Si, en cambio, se le quita
1cm a la base y 2cm a la altura, el área disminuye 14cm2 respecto al
original. Calcula la base y la altura del rectángulo primero. ¿Qué
dimensiones tendrían los otros dos rectángulos? ¿Cuánto medirían
las tres áreas?
1774.
Conociendo que el perímetro de un rectángulo es 22m, halla
sus dimensiones sabiendo que si la base disminuye en 1m y la altura
aumenta en esa misma longitud, el área se agranda en 2m2. ¿Cuáles
son las dimensiones del segundo rectángulo? Calcula las dos áreas.
1775.
¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, sabiendo que es 3cm
mayor que el radio de una circunferencia y que el perímetro del
cuadrado es 0,6cm mayor que la longitud de la circunferencia?
Calcula las dos áreas y los dos perímetros. Nota: toma π ≈ 3,14.
1776.
¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, sabiendo que es
2,85cm mayor que el radio de una circunferencia y que sus
perímetros respectivos son iguales? Calcula las dos áreas y los dos
perímetros. Nota1: toma ≈ 3,14. Nota2: da solución decimal.
1777.
Un granjero tiene 42m de malla de alambre con el que quiere
construir un gallinero rectangular aprovechando la pared de un
granero. Si el largo del gallinero debe ser tres veces mayor que su
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
anchura, ¿cuáles serán sus dimensiones? ¿Cuánto mide el lateral del
granero? Nota: el lateral del granero coincide con la anchura del
gallinero y, obviamente, no necesita malla.
1778.
Calcula la longitud de los lados de un rectángulo sabiendo
que su base es 5/2 su altura y que su perímetro es igual al perímetro
de un cuadrado de lado 7dm. ¿Cuántos cm2 mide su área?
1779.
El perímetro de un rectángulo es 54dm. Si la altura mide los
4/5 de la base, ¿cuál es su área y cuánto mide cada lado?
1780.
La longitud de uno de los lados de un rectángulo excede a la
del otro en 3cm. Si cada lado aumenta 1cm, la superficie total
aumenta 22cm2. Halla las dimensiones y las áreas de los dos
rectángulos.
Dentro de la web www.estenmaticas.es, entra en la sección de LA
PREGUNTA MATEMÁTICA y busca => 1ª ¿Qué matemáticas tienen en
común las rebajas, los bancos y algunas señales de tráfico? 2ª ¿Qué tienen
en común las placas fotovoltaicas, las vueltas ciclistas y los zapatos de
tacón?
88
PORCENTAJES %
Un niño compra un libro y un juguete por 9 €. Al día
siguiente el valor de la compra habría sido de 9,8 € porque el
comerciante aumentó el precio del libro en un 10% y el precio del
juguete en el 8%. ¿Cuánto le costó cada cosa? ¿Cuánto costarían
después del aumento de precio? ¿Podría ser la siguiente solución del
problema: el libro cuesta 3€ y el juguete 6€ (razona la respuesta)?
1782.
Un comerciante compra un pañuelo y una bufanda por 12€ y
los vende por 13,6€. ¿Cuánto le costó cada objeto sabiendo que en la
venta del pañuelo ganó el 10% y en la venta de la bufanda ganó el
15%? ¿Cuánto tuvo que pagar por el pañuelo y por la bufanda el
cliente del comerciante que lo compró después?
1783.
En un colegio, entre chicos y chicas hay 300 alumnos. Del
total asisten a una excursión 155 alumnos. Se sabe que a la excursión
han ido el 60% de los chicos y el 40% de las chicas. ¿Cuántos chicos
fueron de cada sexo a la excursión? ¿Podría ser solución del
problema la siguiente: hay 210 chicos y 90 chicas en ese colegio
(razona la respuesta)? ¿Y esta otra: han ido a la excursión 100 chicos
y 55 chicas (razona la respuesta)?
1784.
Un comerciante compra manzanas golden y reineta por 57€.
El precio de las golden es de 0,60€/kg en tanto que las reineta valen
0,50€/Kg. Si los kilos de manzanas golden coinciden con el 75% de
los kilos de manzanas reineta, ¿cuántos Kg de cada clase se han
comprado? ¿Cuánto se ha gastado en cada variedad?
1781.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1785.
Jorge y Ana tienen 24 € entre los dos. Si Jorge tuviera el 50%
de los euros que tiene ahora y Ana tuviera el 300% que tiene ahora,
entre los dos tendrían 37€. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
1786.
Dos facturas tienen un importe conjunto de 12€. Al pagarlas
un comerciante al contado, ha conseguido un descuento del 10% en
la primera y un 5% en la segunda, con lo que al final solo paga 11€.
¿Cuál era el valor de cada factura? ¿En cuánto se ha quedado cada
una después de aplicarle el descuento?
1787.
El taller de Irene hace dos modelos de camisetas: una
bordada más cara y otra sencilla más barata. Averigua a cuánto vende
Irene cada modelo en temporada sabiendo que: Silvia pagó al
principio de las rebajas 54€ por las dos camisetas (la bordada
todavía sin rebaja y la sencilla rebajada un 10%), mientras que
Beatriz dos semanas más tarde pagó 42€ por las dos camisetas
(rebajadas ambas un 25% repecto al precio original).
1788.
Un pintor va dos veces a un almacén que vende a granel
porque neceesita comprar concentrado de color rojo y color azul.
Estos concentrados se extraen de unos tanques y se pagan por litros.
El concetrado rojo vale 2€/l mientras que el concentrado azul cuesta
2,5€/l. La primera vez el pintor paga 31€ por llevarse el 3% del
tanque rojo y el 5% del tanque azul. La segunda vez el pintor paga
15,50€ por llevarse el 4% del tanque rojo y el 1,5% del tanque azul.
¿Cuántos litros hay en cada tanque? ¿Cuántos litros se lleva cada vez?
1789.
Noelia compra un móvil y una camisa por 412€ y los vende
por 448,6€. ¿Cuánto le costó cada cosa si ganó un 9% en el móvil y un
5% en la camisa?
1790.
Agustín compra por catálogo una sudadera y unas zapatillas
por 100€ pero, al recibirlos en su casa y probárselos, se da cuenta de
que los artículos le están pequeños. Al devolverlos, le cobran una
comisión del 5% en la sudadera y del 10% en las zapatillas. ¿Qué
precio tenían la sudadera y las zapatillas si le cobraron una comisión
de 8€?
89
1791.
Marisa gasta en el almacén 244€ en doce prendas, de las
cuales, siete son pantalones chinos de colores imposibles (rosa chicle,
amarillo chillón…). El resto de prensas son camisas blancas. Al
revenderlos en su tienda, a las camisas les casa el 25% de beneficio,
mientras que con los pantalones pierde el 5% de lo invertido. Si al
final consigue una ganancia total de 34€, ¿cuánto pagó Marisa por
cada una de las camisas y pantalones? ¿Cuánto perdió/ganó con cada
una de las prendas? Nota: todos los pantalones cuestan igual; todas
las camisas cuestan igual.
1792.
Un alcalde compra un toro y una vaca brava para un encierro
en las fiestas de su pueblo. Con el IVA incluido (21%), la operación le
sale a 25.410€ y le han dicho que el toro cuesta tres veces una vaca.
¿Cuál es el precio de cada animal antes de aplicarles los impuestos?
EDADES
1793.
Entre Rodrigo y David tienen hoy 21 años. Dentro de tres
años Rodrigo tendrá el doble de edad que David. ¿Qué edad tiene
cada uno ahora? ¿Y dentro de tres años?
1794.
Héctor tiene el triple de edad que Ana y dentro de dos años
tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?
1795.
El doble de la edad de Paula más el triple de la edad de Lola
nos da 46 años. Si hace dos años Lola tenía la edad que tiene Paula
ahora, ¿qué edad tiene cada una?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1796.
La suma de las edades de Rosa y Antonio hace 6 años era de
45 años. Dentro de dos años Rosa tendrá la edad que tenía Antonio
hace tres años. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?
1797.
Hace 8 años la edad de Javier era triple que la de Carmen y
dentro de 4 años la edad de Carmen será solo la mitad de la de Javier,
¿qué edades tienen actualmente? ¿Qué edad tenían hace 8 años? ¿Qué
edad tendrán dentro de 4 años?
1798.
Andrés tiene 30 años menos que David. Si la edad de David
es cuatro veces la edad de Andrés. ¿Cuántos años tiene cada uno?
1799.
Eva tiene 18 años más que Pedro. Hace 18 años la edad de
Eva era 5/2 de la edad de Pedro. Halla las edades actuales de los dos
jóvenes.
1800.
Fernando le dijo a su hijo: “Hace un año tenía el triple de tu
edad y dentro de 13 años no tendré más que el doble”. ¿Cuál es la
edad de ambos ahora?
1801.
La edad de Alicia es tres veces la edad de Jorge. Dentro de 8
años la suma de sus edades será 28 años. ¿Cuáles son sus edades
actuales?
1802.
José tiene seis años más que Sara y hace 10 años José tenía el
doble de la edad que ella. ¿Cuántos años tienen José?
1803.
Un niño tiene siete años. Queremos averiguar la edad actual
de su padre. Cuando el niño alcance la edad que hoy tiene su padre, la
suma de sus edades será 104 años. ¿Cuántos años tiene ahora su
padre?
1804.
En la actualidad la edad de un padre es triple que la de su
hijo y dentro de 15 años será el doble. ¿Qué edad tiene actualmente
cada uno?
1805.
Miguel tiene en la actualidad cinco veces la edad de Luis,
pero dentro de cuatro años su edad será solamente cuatro veces
mayor que la edad que tendrá Luis. ¿Cuáles son las edades de cada
uno?
90
1806.
Hace dos años la edad de Isabel era cuatro veces la edad de
Begoña y dentro de 18 años disminuirá al doble. ¿Cuál es la edad
actual de ambas?
1807.
Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. Dentro de 6
años solo tendrá el triple. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno?
1808.
Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si el padre
tuviera 30 años menos y el hijo 8 años más los dos tendrán igual
edad. ¿Qué edad tiene cada uno?
1809.
La edad de Belén es el triple que la de su hermana Alba. En
total suman 20 años. ¿Qué edad tiene cada una?
1810.
Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace cinco
años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene?
1811.
La edad de un padre es hoy 3 veces la del hijo y hace 6 años
era 5 veces la edad del hijo ¿Cuántos años tiene cada uno?
1812.
Lara tiene 6 años más que Daniel. Si al triple de la edad de
Daniel le sumas el doble de la edad de Lara nos da 72 años. ¿Cuántos
años tiene cada uno?
1813.
Laura tiene 16 años menos que Óscar y dentro de 4 años
tendrá la mitad. ¿Cuántos años tiene cada uno ahora?
1814.
Hace dos años un padre tenía el triple de la edad de su hijo,
pero dentro de 11 solo tendrá el doble. Halla la edad que tienen
ahora.
1815.
Calcula las edades de un padre y su hija, sabiendo que entre
los dos suman 43 años y que el padre es 31 años mayor que su hija.
1816.
Elena tiene 10 años menos que Javier y dentro de 2 años será
la tercera parte. ¿Qué edad tiene cada uno?
1817.
El doble de la edad de Edudardo más el triple de su hermano
menor, que tiene tres años menos, nos da 81 años. ¿Cuántos años
tiene cada uno?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1818.
Si a Rubén se le doblara la edad, aún le faltarían 5 años para
igualar la edad de su padre. Sabiendo que Rubén nació cuando su
padre tenía 25 años ¿cuál es la edad de cada uno?
1819.
Calcula las edades actuales de un padre y su hijo sabiendo
que hace 10 años la edad del padre era el triple que la del hijo y que
dentro de 5 años, a la edad del padre la faltará 5 años para ser el
doble que la de su hijo.
1820.
Calcula las edades de un padre y un hijo sabiendo que hace
20 años uno tenía seis medios de lo que tenía el otro y dentro de 10
años uno tendrá cuatro sextos de lo que tenía el otro.
1821.
El doble de la edad de Jahel más la edad de su hermana Ruth
dan los 44 años que tiene su padre. Si dentro de dos años la edad de
Jahel será el doble de la edad que tendrá Ruth, ¿cuántos años tiene
cada una ahora?
1822.
Marta tiene seis veces la edad de Sandra. Si dentro de dos
años solo tendrá cuatro veces su edad, ¿qué edad tiene cada una?
1823.
La edad de Ángel más la de José suman 36 años. Si hace tres
años la edad de Ángel era doble que la de José, ¿qué edad tiene cada
uno?
1824.
Hace doce años Lidia tenía el triple de la edad que tenía Irene
entonces. Sin embargo, dentro de cinco años Lidia solo tendrá el
doble de edad que tendrá Irene. ¿Qué edad tienen Lidia e Irene hoy?
¿Cuántos años tenían hace doce años? ¿Cuántos años tendrán dentro
de cinco años?
1825.
Rafael tiene 36 años y cuenta con dos hijos, Sara y Manuel,
cuyas edades suman 20 años. Si se sabe que la edad de Sara es la
tercera parte de la suma de las edades de su padre y de su hermano,
¿cuántos años tienen los hijos de Rafael?
1826.
Vicente tiene 39 años. Hace unos años la edad de su hijo
Fernando era la quinta parte que la suya. Dentro de esos mismos
años, Fernando tendrá la mitad que su padre. ¿Cuántos años tiene
91
hoy Fernando? ¿Qué número de años hace que ocurra la situación
reflejada?
MEZCLAS
1827.
Un joyero tiene dos clases de oro de distinta pureza y, por lo
tanto, de distinto precio. Se le ocurre hacer una cadena mezclando 40
gramos del oro barato con 20 gramos del oro caro, obteniendo una
cadena de 36€/g. Si se sabe que el precio de la aleación barata es 6€
menos por gramo que el precio de la aleación de oro cara. ¿Cuál es el
precio de cada tipo de aleación? ¿Cuánto dinero ha gastado en cada
clase de oro?
INTRODUCCIÓN. Dentro de la web www.estenmaticas.es, entra en la
sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA y busca => ¿Cuál es la mezcla
correcta para hacer un tinto de verano?
RECUERDA
La primera ecuación del sistema es para las cantidades.
La segunda ecuación del sistema es para el dinero.
+
=
· +
· =
·
1828.
Un comerciante tiene dos clases de caramelos de 0,7€/kg y
1€/Kg respectivamente. ¿Cuántos kilogramos de cada clase debe
tomar para hacer una mezcla de 69 kg a 0,9€/kg? ¿Cuánto dinero
gastará en la clase de caramelos baratos? ¿Y en la de los caros?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1829.
Se mezclan dos clases de aceitunas de 3,6€/kg y 4,1€/kg
¿Cuántos kg de cada clase debo mezclar para obtener 250kg a
3,9€/kg? ¿Cuánto dinero gastará en la clase de aceitunas baratas? ¿Y
en la de las caras?
1830.
Se mezcla té de la clase A a 7,2€/kg con té de la clase B a
5,2€/kg y se obtiene 20kg de mezcla. El kilogramo de té mezclado es
de 6,1€/kg ¿Cuántos kilogramos de té se han mezclado de cada clase?
¿Cuánto dinero gastará en cada clase de té?
1831.
Débora tiene una tienda de encurtidos y quiere ofrecer
200kg de berenjenas a 6,25€/kg mezclando dos variedades de
6,1€/kg y 7,3€/kg, ¿cuánta cantidad de cada variedad tiene que
mezclar? ¿Cuánto dinero gastará en la clase de berenjenas baratas?
¿Y en la de las caras?
1832.
Para hacer tinto de verano, se mezcla casera de 50cént/litro
con vino de 90cént/litro. Si se usan 20 litros de casera con el
propósito de conseguir un tinto de verano a 70cént/litro, ¿cuántos
litros de vino se han de mezclar? ¿Cuántos litros de tinto de verano se
obtienen?
1833.
En una tienda de animales se vende pienso de perros de
varias calidades. Al dueño se le ocurre mezclar un pienso barato con
uno más caro para ofrecer a sus clientes una gama intermedia. El
saco de pienso barato vale 10€ y el de pienso caro vale 17€. Si al final
quiere conseguir el equivalente a 28 sacos a un precio de 13€ el saco,
¿cuántos sacos de cada pienso debe mezclar para lograr su objetivo?
Sabiendo que los sacos son de 15kg, ¿cuánto cuesta el kilogramo de
cada una de las tres gamas vistas?
1834.
En una perfumería se venden perfumes artesanales
mezclando concentrado de flores a 35€/litro con colonia barata a
14€/litro. Si se mezclan 2 litros de colonia barata con el propósito de
conseguir un perfume a 21€/litro, ¿qué cantidad de concentrado de
flores se ha de mezclar? ¿Cuántos litros de perfume se obtendrán?
MISCELÁNEA
92
Números
1835.
1836.
Halla dos números cuya suma es 20 y su diferencia es 6.
Halla dos números cuya suma sea 40 y cuya diferencia sea
2/3 del mayor.
1837.
La suma de dos números da 62. Si los 5/9 del mayor es igual
a la mitad del menor más 7 unidades, ¿cuáles son esos dos números?
1838.
Halla dos números tales que su diferencia sea 20 y el doble
del primero sumado con el cuádruple del segundo sea 130.
1839.
La suma de dos números es 32, el menor es igual a la séptima
parte del mayor. ¿Cuáles son esos números?
The addition of two numbers is 32, the lowest is equal to the seventh part
of the highest, what are those numbers?
1840.
La suma de dos números es 160 y la división de uno de ellos
entre el otro da 21 de cociente y 6 de resto. ¿Cuáles son esos
números?
1841.
Descompón en dos sumandos el número 60, de modo que la
división del primero entre 8 más el segundo entre 5 sea igual a 9.
1842.
Descompón el número 48 en dos sumando tales que dividido
uno por otro se obtenga de cociente 3 y de resto 4.
1843.
La suma de las tres cifras de un número capicúa es 8. La
suma de la cifra de las unidades y la de las centenas es igual a la cifra
de las decenas. Halla ese número.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1844.
Hallar dos números sabiendo que el primero es 28 unidades
mayor que el segundo y que si al primero le restas 3 y al segundo le
sumas 5, este será la mitad que el primero. ¿Cuáles son esos
números?
1845.
Halla dos números tal que la tercera parte del mayor sea el
doble del número anterior al menor y que la diferencia entre el
mayor y el cuádruplo del menor sea dos.
1846.
Dos números difieren en 28 unidades y uno de ellos es los
ocho novenos del otro ¿Cuáles son esos números?
1847.
Un número es tres unidades menor que el doble de otro
número. Su suma es 51. ¿Cuáles son esos números?
1848.
Un número equivale a la mitad del otro. Si a cada uno le
agregamos 40 unidades, el primero equivaldría a 5/8 del segundo.
Halla los dos números.
1849.
Halla un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las
decenas es igual a la cifra de las unidades más 4 y el doble de la cifra
de las unidades es igual a la cifra de las decenas menos 1. ¿Qué
número es?
1850.
La suma de las dos cifras de un número es igual a 11. Si se
invierten las cifras, el número obtenido es igual al primero más 27.
¿Cuál es el número? Nota: requiere del sistema posicional.
1851.
Halla un número de dos cifras sabiendo que la suma de
ambas es 6 y que la diferencia entre dicho número y el que resulta al
invertir el orden de sus cifras es 18. Nota: requiere del sistema
posicional.
1852.
La suma de las cifras de un número es 9. La diferencia entre
este número y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 27.
¿Cuál es ese número? Nota: requiere del sistema posicional.
1853.
La suma de las dos cifras de un número es 12. Calcúlalo
sabiendo que si invertimos estas cifras, se consigue un segundo
número cuya diferencia con el primero es 18. Nota: requiere del
sistema posicional.
93
1854.
Al dividir un número de dos cifras por el que resulta
invirtiendo el orden de estas, se obtiene 2 de cociente y 7 de resto. Al
dividir el número invertido por la cifra de las unidades se obtiene 4
de cociente y 6 de resto. Halla el número. Nota: requiere del sistema
posicional.
1855.
La diferencia entre dos números es 565. Dividiendo el mayor
entre el menor, resulta 5 de cociente y 85 de resto. Calcula esos
números.
1856.
Halla dos números cuya suma sea 50 y tales que, restando 5
unidades al mayor y añadiéndoselas al menor, los resultados son
iguales.
Find two numbers whose sum is 50, so that, subtracting 5 units to the
highest and adding them to the lowest, the results are the same.
1857.
Halla una fracción sabiendo que si sumamos 2 unidades al
numerador, la fracción es equivalente a 1 y si restamos 1 unidad al
denominador la fracción sería equivalente a 1/2. Nota: haz el
producto en cruz.
1858.
El triple del numerador de una fracción es igual al doble de
su denominador. Si añadimos 1 a sus dos términos la fracción
resultante es equivalente a 5/7. ¿Cuál es la fracción? Nota: haz el
producto en cruz.
1859.
Si el numerador de una fracción se duplica y el denominador
aumenta en 5 unidades, la fracción vale 1; pero si el denominador se
triplica y el numerador aumenta en 3, la fracción es igual a 5/4. Halla
la fracción original y las dos resultantes. Nota: haz el producto en
cruz.
1860.
Calcula los términos de una fracción sabiendo que es
equivalente a 1/3 y que si al denominador le añadiéramos una
unidad, la fracción resultante sería equivalente a 1/4. Nota: haz el
producto en cruz.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1861.
Determina una fracción sabiendo que si se suma 3 al
numerador se convierte en 2 y si se suma 6 al denominador se reduce
a 1/2. Nota: haz el producto en cruz.
1862.
El denominador de una fracción es 9 unidades más que el
numerador. Si el numerador aumenta en 1 y el denominador
disminuyen en 4, la fracción resultante es 7/8. ¿Cuál es la fracción?
Nota: haz el producto en cruz.
Picos, patas, ruedas…
1863.
En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 79 animales
y 242 patas. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay? ¿Podría la
siguiente ser solución del problema: 51 conejos y 28 gallinas (razona
la respuesta)?
1864.
Sonia tiene 8 animales entre perros y pájaros. Entre todos
tienen 28 patas. ¿Cuántos perros y pájaros hay?
1865.
En una granja hay cerdos y gallinas, sumando en total 4280
patas. Si disminuimos en mil el número de cerdos, el número de
gallinas será el triple que estos. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay?
¿Podría la siguiente ser solución del problema: 1.020 cerdos y 60
gallinas (razona la respuesta)?
1866.
En un taller hay vehículos de 4 y 6 ruedas. Si disminuyera en
dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de
estos que de cuatro ruedas, ¿cuántos vehículos hay de cada clase si en
total hay 156 ruedas?
1867.
En un garaje hay 7 vehículos entre motos y coches. Si en total
hay 18 ruedas, ¿Cuántos vehículos hay de cada clase?
Aciertos y fallos
1868.
Ricardo propone a su hijo el siguiente negocio: cada día te
plantearé cinco problemas; por cada problema que resuelvas te daré
3€, pero te quitaré 5€ por cada uno que no resuelvas. Al cabo de 10
días el hijo recibe 70€, ¿cuántos problemas resolvió? ¿Cuántos falló?
1869.
En un tiro al blanco se hace el siguiente convenio: el jugador,
que dispone de 32 balines recibe 3€ por cada acierto y paga 1,25€
94
por cada fallo. Después de tirar los 32 balines el jugador recibe 36,5€.
¿Cuántos disparos acertó y cuántos falló?
1870.
Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de
que por cada problema que resuelva recibirá 12€ y por cada
problema que no resuelva perderá 5€. Después de proponer
soluciones a los 16 problemas, el muchacho recibió 73€. ¿Cuántos
problemas resolvió? ¿Cuánto dinero tuvo que devolver a su padre?
1871.
Al comenzar los estudios de bachillerato se les hace un test a
los estudiantes con 30 cuestiones sobre matemáticas. Por cada
cuestión contestada correctamente se les da 5 puntos y por cada
cuestión incorrecta o no contestada se les quita 2 puntos. Un alumno
obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió
correctamente?
1872.
En un concurso cada pareja debe contestar 10 preguntas. Por
cada acierto gana 5 puntos y por cada fallo pierde 3 puntos. Si al
terminar el concurso una pareja tenía 18 puntos, ¿cuántas respuestas
acertaron? ¿Cuántos puntos perdieron?
Intercambios
1873.
Un niño dice a su amigo: “dame 3 céntimos y los dos
tendremos la misma cantidad”. Y el amigo responde: “dame 6
céntimos tú a mí y yo tendré el doble que tú”. ¿Qué dinero tiene cada
uno?
1874.
Ernesto tiene el triple de libros que su amigo Alfonso. Si
Ernesto le presta 6 libros tendrían los mismos. ¿Cuántos libros tiene
cada uno?
1875.
Ana tiene 44€ más que Raúl. Si Ana le da 8€, Raúl tendrá
exactamente la mitad que Ana. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
1876.
Alex tiene el triple de euros que Francisco. Si Alex gasta 16€
y Francisco 2€, este tendría la mitad de dinero que Alex. ¿Cuánto
dinero tiene cada uno ahora?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1877.
En clase hay 9 personas más estudiando que hablando. Si un
alumno que estudia se pusiera a hablar, habría el doble de personas
estudiando que hablando. ¿Cuántos alumnos hay en clase?
1878.
Andrea tiene 4€ más que Luisa. Si Andrea le da 8€, Luisa
tendrá cuatro veces el dinero que tiene Andrea. ¿Cuánto dinero tenía
cada uno?
1879.
Antonio tiene la tercera parte de dinero que Hugo. Si este le
da 20€, los dos tendrían el mismo dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada
uno?
1880.
Roberto tiene el triple de dinero que Víctor. Si Víctor le da
10€ a Roberto, este tendrá siete veces más que Víctor. ¿Cuánto
dinero tiene cada uno?
1881.
En un salón A hay 18 personas más que en el B. Si pasan dos
personas de A a B en este salón habrá la mitad de personas que en el
A. ¿Cuántas personas más hay en cada salón?
1882.
En un bar hay tres veces más clientes en la barra que
bailando. Si dos personas de la barra se ponen a bailar solo habrá el
doble. ¿Cuánta gente hay ahora bailando y cuantas en la barra?
1883.
En un colegio de 300 alumnos se debe elegir cursar francés o
italiano. Si se pasaran dos de francés a italiano habría el doble de
estos que de francés. ¿Cuántos han elegido cada idioma?
1884.
En un avión hay 200 pasajeros sentados en pasillo o ventana.
Si de los que están sentados en el pasillo se sienta uno en la ventana y
dos de los que están en la ventana se ponen en el pasillo, de estos
habría triple que de los que están en ventana. ¿Cuántos pasajeros
están sentados en el pasillo y cuántos en la ventana en este
momento?
1885.
Un mulo dice a un caballo: “si yo te tomara un saco, mi carga
sería doble que la tuya; en cambio si yo te diera un saco, tu carga
sería igual a la mía”. ¿Cuántos sacos lleva cada uno?
95
1886.
Dice Leticia a Patricia: ”si me das 0,24€, tendré lo que a ti te
quede multiplicado por 28” y dice Patricia a Leticia:”dame 0,57€ y
tendremos igual las dos”.
1887.
Noelia tiene 38 coleteros más que Tamara. Si Noelia le diera
cuatro coleteros a Tamara, esta tendría la tercera parte de coleteros
que Noelia. ¿Cuántos coleteros tienen entre las dos?
Varios
1888.
En una biblioteca hay 5 alumnas más que alumnos. Si
hubiera el doble de alumnas y el triple de alumnos tendríamos 60
personas. ¿Cuántas alumnas hay en la biblioteca?
1889.
Un jugador de baloncesto ha metido 26 puntos entre
canastas de dos y triples. Si ha metido tres triples menos que
canastas de dos, ¿cuántos puntos de triples ha conseguido?
1890.
Tengo 9 billetes de 20€ y 5€. Si en total tengo 120€, ¿cuántos
billetes de cada tipo tengo?
1891.
En un avión de 44 plazas hay asientos de 1ª y 2ª clase. Si
sabemos que se ha recaudado 6900€ en un vuelo en el que se han
quedado sin ocupar 3 asientos en 2ª y conocemos que el precio del
billete de 1ª es de 200€ y el de 2ª 150€, ¿cuántos asientos de
segunda hay?
1892.
Sabiendo que dos refrescos y dos bocadillos cuesta 8€ y
cuatro refrescos y un bocadillo 7€, ¿cuánto costará un refresco y dos
bocadillos?
1893.
En un teatro las entradas de patio cuestan 20€ y las de
anfiteatro 15€. Si se han vendido 110 entradas y se han recaudado
2050€, ¿cuántas entradas de cada clase se han vendido?
1894.
Juan tiene la mitad de dinero que Pedro. Si entre los dos
tienen 39€, ¿Cuánto tiene cada uno?
1895.
En un hotel hay 50 habitaciones entre triples y dobles. Hay
120 camas en total. ¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1896.
Pablo tiene 4€ menos que Borja. Si a este le dan 20€ y Pablo
se gasta 16€, Pablo tendría la tercera parte que Borja. ¿Cuántos €
tiene cada uno ahora?
1897.
Un grupo de 16 amigos entra en un bar que tiene bocadillos
de dos tipos, de jamón o de calamares. Los de calamares valen 1, 75€
y los de jamón 2, 25€. Piden 16 bocadillos y en total pagan 31€.
¿Cuántos bocadillos se pidieron de cada clase?
1898.
En un hotel hay 15 habitaciones entre dobles y triples.
Sabiendo que en total hay 35 camas, ¿Cuántas habitaciones hay de
cada tipo?
1899.
En un local cobran 6€ a las chicas y 9€ a los chicos. Si hay 32
personas y han recaudado 228€ en entradas; ¿Cuántas chicas y
chicos han entrado al local?
1900.
Al comprar dos kilos de aguacates y tres de manzanas nos
cobran 12€; si compramos uno de aguacates y dos de manzanas nos
cobran 7€. ¿Cuánto nos costarían 4 kilos de manzanas?
1901.
Tenemos 5 billetes de 20€ y 50€. Si en total tenemos 130€,
¿Cuántos billetes tenemos de cada clase?
1902.
En una tienda hay dos clases de tintes A, B. Si compro uno de
cada me cuesta 6€ y si compro dos del A y tres del B pago 14€.
¿Cuánto cuesta cada uno?
1903.
En una carrera participan 32 corredores de dos equipos A y
B. Si se retiraran dos corredores del equipo A, el equipo B tendría el
doble de corredores. ¿Cuántos corredores hay en cada equipo?
1904.
En un cajero se dan billetes de 50€ y de 20€. Al rellenar los
cajetines, el operario confundió los billetes y los intercambió.
¿Cuántos billetes me dio de cada si yo quería sacar 190€ y el cajero
me dio 160€?
1905.
Para comprar una caja de rotuladores me faltan 1,80€. Si
costase las 2/3 partes del precio a que se vende, podría comprarla y
me sobrarían 3€. Calcula el precio de la caja y el dinero que tengo.
96
To purchase a box of markers I am € 1.80 short. If it cost the 2 / 3 of its
price, I could buy it and I would have 3 spare Euros. Calculate the price of
the box and the money I have.
1906.
Halla el peso de Iván y Lourdes sabiendo que si inviertes las
cifras del peso de uno de ellos, los dos pesarían lo mismo, que una de
las cifras del peso es el doble que la otra y que Iván pesa 36kg más
que Lourdes. Nota: requiere del sistema posicional.
1907.
360.
1908.
NÚMEROS
Halla dos números cuya suma sea 49 y cuyo producto sea
Dos números suman 12. ¿Cuáles son esos números si la suma
de sus cuadrados es 74?
1909.
Halla dos números que sumados den 6 y multiplicados den 8.
1910.
¿Existen dos números que cumplan estas dos condiciones:
restados den 2, mientras que el cuadrado del primero más el doble
del cuadrado del segundo dé 1?
1911.
¿Existen dos números tales que su producto sea 100 y su
diferencia sea 15?
1912.
¿Pueden existir dos números cumpliendo que su diferencia
sea 1 mientras que la diferencia de sus cuadrados sea 3?
1913.
¿Existen dos números tales que el grande exceda en tres
unidades al pequeño y que el grande más el cuadrado del pequeño
sumen 2?
GEOMÉTRICOS
1914.
Un cuadrado rojo tiene 76m2 menos de área que otro azul y,
además, su lado mide 2m menos que el lado del azul. Halla la longitud
de los lados de los dos cuadrados.
1915.
Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su
perímetro es 28m y su área 48m2.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1916.
El perímetro de un rectángulo es 64cm y su superficie
Halla las dimensiones del rectángulo.
1917.
¿Puede existir un rectángulo de perímetro 40m cuya área sea
igual al área de otro rectángulo con la mitad de altura y con dos
metros más de base? Da las dimensiones de los dos rectángulos o
razona la respuesta negativa.
1918.
La longitud de una circunferencia excede en 4π metros a la
de otra circunferencia más pequeña. Halla el radio de cada una
sabiendo que el doble del área de la circunferencia pequeña excede
en π metros al área de la circunferencia grande. ¿Cuánto miden sus
longitudes y áreas?
240cm2.
NÚMEROS
1919.
Descompón el número 10 en dos partes, de manera que la
suma de los inversos de estas sea igual a 5/12.
1920.
La razón entre dos números es 5/3. Restando 10 al primero y
añadiendo 10 al segundo la razón se invierte. ¿Cuáles son esos
números?
1921.
Halla dos números sabiendo que su producto es 3 y la suma
de sus cuadrados es 10.
97
1922.
¿Existen dos números cumpliendo que la suma de sus
cuadrados sea 34 mientras que la diferencia de esos cuadrados sea
16?
1923.
¿Existen dos números naturales cumpliendo que el cuadrado
de su diferencia sea igual a 121 y, en cambio, el cuadrado de su suma
sea igual a 9? Da las parejas de números o razona la respuesta
negativa. Nota1: las cónicas que aparecen están degeneradas (son
rectas). Nota2: resuelve el sistema tomando en ambos miembros la
raíz cuadrada, obtendrás cuatro sistemas de rectas.
1924.
¿Puede haber dos números enteros tales que el triple del
primero por el segundo sea igual al segundo al cuadrado y, además, la
suma de los cuadrados de los dos números sea igual a diez? Nota:
observa que hay una cónica degenerada (rectas).
GEOMÉTRICOS
¿Pueden existir dos cuadrados tales que el área del grande
exceda en 9m2 al pequeño pero que, si le quitamos 2m al lado del
grande, la diferencia de sus áreas se quede en 1m2? Da las
dimensiones de los cuadrados o razona la respuesta negativa.
1926.
Dos circunferencias concéntricas dejan una corona de área
3π m2. Averigua el radio de la corona sabiendo que si el radio de la
circunferencia mayor aumentara en uno, el área de la corona
resultante sería 8π m2. ¿Cuánto miden las áreas de las dos coronas
del problema?
1925.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1927.
Una caja (ortoedro) tiene una altura de 1cm y un volumen de
120cm3. Si se le dobla la altura, se disminuye en tres centímetros un
lateral de la base y el otro lateral se reduce a la mitad, resulta otra
caja de volumen la mitad que la caja original. Da las dimensiones de
las dos cajas.
98
Solución no entera
1928.
¿Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo
rectángulo de área 92cm2 si su hipotenusa tiene 30cms? Nota: da el
resultado con cuatro cifras significativas (y la última redondeada).
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
IV.
SUCESIONES Y FINANCIERA
SUCESIONES
TESTs
Halla el siguiente término de estas sucesiones de figuras:
1929.
1930.
INTRODUCCIÓN. Dentro de la web www.estenmaticas.es, entra en la
sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA y busca => ¿Qué dimensión tiene
un copo de nieve? ¿Cómo se construyen los trastes de una guitarra? ¿Qué
tienen en común, matemáticamente hablando, las hipotecas, la música
occidental y las copas de los árboles?
99
1931.
1932.
FRACTALES
Sucesiones de transformaciones geométricas
1933.
El triángulo de Sierpinski => Describe la sucesión de
iteraciones, es decir, las transformaciones geométricas empleadas.
Emula las cuatro primeras iteraciones en tu cuaderno.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1934.
El copo de nieve de Koch => El copo de nieve de Koch.
Describe la sucesión de iteraciones, es decir, las transformaciones
geométricas empleadas. Emula las tres primeras iteraciones en tu
cuaderno.
SUCESIONES NUMÉRICAS Y PROGRESIONES
1935.
Curva de Peano (de dimensión 2) => Describe la sucesión de
iteraciones (falta la primera iteración), es decir, las transformaciones
geométricas empleadas. Emula las tres primeras iteraciones en tu
cuaderno.
1936.
¿Falta la primera iteración en el dibujo siguiente? Describe la
sucesión de iteraciones, es decir, las transformaciones geométricas
empleadas. Intenta imaginar la siguiente iteración y haz un esquema
grosso modo en tu cuaderno.
100
Desde término general (se empieza en n=1)
1937.
Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=n+3. Resta los elementos
consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), ¿obtienes algo
especial?
1938.
Escribe los 5 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=–6n. Resta los elementos
consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), ¿obtienes algo
especial?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1939.
Escribe los 8 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=3n–1. Resta los elementos
consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), ¿obtienes algo
especial?
1940.
Escribe los 7 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=n2+1. Resta los elementos
consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), ¿obtienes algo
especial? Resta los elementos de la segunda sucesión recién formada
(diferencias de orden 2), ¿obtienes algo especial ahora?
1941.
Escribe los 5 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=4n2–3. Resta los elementos
consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), ¿obtienes algo
especial? Resta los elementos consecutivos de la segunda sucesión
recién formada (diferencias de orden 2), ¿obtienes algo especial
ahora?
1942.
Escribe los 5 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=n3–2. Resta los elementos
consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), ¿obtienes algo
especial? Resta los elementos consecutivos de la segunda sucesión
recién formada (diferencias de orden 2), ¿obtienes algo especial
ahora? Resta los elementos consecutivos de la tercera sucesión
formada (diferencias de orden 3), ¿obtienes algo especial ahora?
1943.
Escribe los 5 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=–n3+n. Obtén las diferencias de
orden 1, de orden 2 y de orden 3, ¿observas algo especial?
1944.
Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=2n. Obtén las diferencias de
orden 1 y las diferencias de orden 2, ¿notas algo especial?
1945.
Escribe los 5 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=3n. Obtén las diferencias orden 1
y las diferencias de orden 2, ¿notas algo especial?
101
1946.
Escribe los 12 primeros términos de la sucesión que tiene
por fórmula para el término general an=(–1)n. Obtén las diferencias
de orden 1, ¿notas algo especial? ¿Es creciente o decreciente esta
sucesión?
1947.
Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=(–5)n–1. Obtén las diferencias de
orden 1, ¿notas algo especial?
1948.
Escribe los 8 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an= −
. ¿Es creciente o
decreciente esta sucesión?
1949.
Escribe los 10 primeros términos de la sucesión que tiene
por fórmula para el término general an=
. ¿Es creciente o
decreciente esta sucesión?
Escribe los 4 primeros términos de la sucesión que tiene por
1950.
fórmula para el término general an=
. ¿Es creciente o decreciente
esta sucesión?
1951.
Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=
. ¿Es creciente o decreciente
esta sucesión?
Escribe los 5 primeros términos de la sucesión que tiene por
1952.
fórmula para el término general an=
. ¿Es creciente o decreciente
esta sucesión?
1953.
Escribe los 4 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula para el término general an=
. ¿Es creciente o decreciente
esta sucesión?
Factorial => Escribe los 7 primeros términos de la sucesión
que tiene por fórmula para el término general an=n! Nota: recuerda
1954.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
de combinatoria que el factorial de un número natural se calcula
multiplicando n!=n·(n–1)·(n–2)·(n–3)·…·2·1.
1955.
Doble Factorial => Escribe los 10 primeros términos de la
sucesión que tiene por fórmula para el término general an=n!! Nota:
el doble factorial de un número natural se define por recursividad
como n!!= (n–2)!!·n. Observa, por ejemplo, que 8!!=2·4·6·8=384 y
recuerda que por convenio 0!=0!!=(–1)!!=1.
Desde fórmula de recurrencia
1956.
Escribe los 7 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula de recurrencia an= an–1+2 con a1=0. Obtén las diferencias de
orden 1, ¿notas algo especial?
1957.
Escribe los 8 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula de recurrencia an= 2·an–1 con a1=1. Obtén las diferencias de
orden 1, ¿notas algo especial?
1958.
Escribe los 4 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula de recurrencia an= 5·an–1 con a1=–1. Obtén las diferencias de
orden 1, ¿notas algo especial?
1959.
Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula de recurrencia an= an–1–3 con a1=–4. Obtén las diferencias
de orden 1, ¿notas algo especial?
1960.
Escribe los 4 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula de recurrencia an= 3·an–1 con a1=–2. Obtén las diferencias de
orden 1, ¿notas algo especial?
1961.
Escribe los 10 primeros términos de la sucesión que tiene
por fórmula de recurrencia an= 8·an–1 con a1=0. Obtén las diferencias
de orden 1, ¿notas algo especial?
1962.
Escribe los 5 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula de recurrencia an= –3·an–1 con a1=–1. Obtén las diferencias
de orden 1, ¿notas algo especial?
1963.
Sucesión de Fibonacci => Escribe los 10 primeros términos
de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an–1+ an–2
con a1=1 y a2=1. ¿Sabías que esta sucesión sale del problema del
“apareamiento de dos conejos” y que es la más usada por la
102
Naturaleza: pétalos de flores, semillas de girasoles…? Obtén las
diferencias de orden 1 y las diferencias de orden 2, ¿notas algo
especial?
1964.
Escribe los 5 primeros términos de la sucesión que tiene por
fórmula de recurrencia an= 2an–1–3 an–2 con a1=–1 y a2=2. Obtén
las diferencias de orden 1, ¿notas algo especial?
RECUERDA
El orden de una progresión aritmética coincide con el orden de sus
diferencias constantes (y con el grado del polinomio que representa el
término general).
PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE ORDEN 1
d = an – an–1
Término general => an=a1+(n–1)·d
Fórmula de recurrencia => an=an–1 + d
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
r = an / an–1
Término general => an=a1·rn–1
Fórmula de recurrencia => an=an–1 ·r
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1971.
Búsqueda de fórmula de recurrencia y término general
1965.
Sigue la sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… Calcula el término que
ocupa la posición 98. Halla la fórmula de recurrencia de esta
sucesión. Halla también la fórmula del término general de esta
sucesión.
1966.
Sigue la sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12… Calcula el término que
ocupa la posición 25. Halla la fórmula de recurrencia de esta
sucesión. Halla también la fórmula del término general de esta
sucesión.
1967.
Halla el término general, la fórmula de recurrencia y los
siguientes 5 elementos de la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9… ¿Es una
progresión aritmética? ¿De qué orden?
1968.
Halla el término general, la fórmula de recurrencia y los
siguientes siete términos de la sucesión: –30, –25, –20, –15… ¿Es una
progresión aritmética? ¿De qué orden?
1969.
Halla el término general y los siguientes 5 elementos de la
sucesión: 1, 4, 9, 16, 25,… ¿Es una progresión aritmética? ¿De qué
orden? Halla la fórmula de recurrencia.
1970.
Halla el término general y los siguientes cuatro términos de
la sucesión: –2, –5, –10, –17, –26… ¿Es una progresión aritmética?
¿De qué orden? Halla la fórmula de recurrencia si es aritmética de
orden 1.
103
Halla el término general y los siguientes 7 elementos de la
sucesión: –6, –1, 4, 9, 14… ¿Es una progresión aritmética? ¿De qué
orden? Halla la fórmula de recurrencia si es aritmética de orden 1.
1972.
Halla el término general y los siguientes 4 términos de la
sucesión: 81, 27, 9, 3… ¿Es una progresión aritmética o geométrica?
Nota: si es aritmética, indica el orden y, si este es 1, halla también la
fórmula de recurrencia.
1973.
Halla el término general y los siguientes 5 términos de la
sucesión: 0, 3, 8, 15, 24… ¿Es una progresión aritmética o
geométrica? Nota: si es aritmética, indica el orden y, si este es 1, halla
también la fórmula de recurrencia.
1974.
Halla el término general y los siguientes cuatro términos de
la sucesión: –3, 3, –3, 3… ¿Es una progresión aritmética o geométrica?
Nota: si es aritmética, indica el orden y, si este es 1, halla también la
fórmula de recurrencia.
1975.
Halla el término general y los siguientes cinco términos de la
sucesión: 4, 7, 10, 13, 16, 19… ¿Es una progresión aritmética o
geométrica? Nota: si es aritmética, indica el orden y, si este es 1, halla
también la fórmula de recurrencia.
Con fracciones
1976.
Halla el término general y los siguientes seis términos de la
sucesión: , , , , … ¿Es una progresión aritmética o geométrica?
1977.
Halla el término general y los siguientes siete términos de la
sucesión:
,
,
,
, … ¿Es una progresión aritmética o
geométrica?
1978.
Halla el término general y los siguientes seis términos de la
sucesión:
,
,
,
,
, … ¿Es una progresión aritmética o
geométrica?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1979.
Halla el término general y los siguientes siete términos de la
sucesión:
, 0, ,
,
,
, … ¿Es una progresión aritmética o
geométrica?
1980.
Halla el término general y los siguientes seis términos de la
sucesión: −4, − , − , − , − , − , … ¿Es una progresión
aritmética o geométrica?
Dando término intercalado
1981.
En una progresión aritmética de orden uno con d=6, se sabe
que el término a8=14. Escribe los 12 primeros términos de la tal
progresión.
1982.
En una progresión aritmética de orden uno con d=4, se sabe
que el término a6=–9. Escribe los 10 primeros términos de la tal
progresión.
1983.
En una progresión aritmética de orden uno con d=–5, se
sabe que el término a7=1. Escribe los 9 primeros términos de la tal
progresión.
1984.
En una progresión geométrica de razón r=3, se sabe que el
término a7=81. Escribe los 10 primeros términos de la tal
progresión.
1985.
En una progresión geométrica de razón r=–2, se sabe que el
término a5=12. Escribe los 10 primeros términos de la tal
progresión.
1986.
En una progresión geométrica de razón r=–5, se sabe que el
término a4=–15. Escribe los 7 primeros términos de la tal progresión.
INTRODUCCIÓN. Dentro de la web www.estenmaticas.es, entra en la
sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA y busca => ¿Qué comparten la
primera fase del mundial de fútbol, los brindis y la confidencialidad en
internet?
104
SERIE => SUMA DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS
PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE ORDEN 1
Suma de los N primeros términos=>
=
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Suma de los N primeros términos =>
=
(
− ·
=>
−
Si –1 < r < 1, la suma de TODOS los términos será
1987.
)·
=
=
−
· −
−
Suma los 10 primeros términos de la progresión aritmética
de fórmula de recurrencia an=an–1+6 con a1=3. ¿Cuál es la fórmula
para el término general?
1988.
Suma los 9 primeros términos de la progresión aritmética de
fórmula para el término general an=4n–1. ¿Cuál es la fórmula de
recurrencia?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
1989.
Suma los 7 primeros términos de la progresión aritmética de
fórmula de recurrencia an=an–1–4 con a1=8. ¿Cuál es la fórmula para
el término general?
1990.
Suma los 8 primeros términos de la progresión aritmética de
fórmula de recurrencia an=an–1+7 con a1=–30. ¿Cuál es la fórmula
para el término general?
1991.
Suma los 11 primeros términos de la progresión aritmética
de fórmula para el término general an=3n+2. ¿Cuál es la fórmula de
recurrencia?
1992.
En una progresión aritmética con a1=14 y d=4, calcula la
suma de sus 15 primeros términos, ¿cuál es la fórmula para el
término general? ¿Y la fórmula de recurrencia?
1993.
En una progresión aritmética con a1=6 y d=–3, calcula la
suma de sus 10 primeros términos, ¿cuál es la fórmula para el
término general? ¿Y la fórmula de recurrencia?
1994.
En una progresión aritmética con a1=–18 y d=5, calcula la
suma de sus 8 primeros términos, ¿cuál es la fórmula para el término
general? ¿Y la fórmula de recurrencia?
1995.
En una progresión aritmética con a1=–20 y d=–8, calcula
la suma de sus 12 primeros términos, ¿cuál es la fórmula para el
término general? ¿Y la fórmula de recurrencia?
1996.
En una progresión aritmética con a1=0 y d=–6, calcula la
suma de sus 9 primeros términos, ¿cuál es la fórmula para el término
general? ¿Y la fórmula de recurrencia?
1997.
Escribe los 5 primeros términos de la progresión geométrica
con a1=3 y razón r=2. Suma los 7 primeros términos. ¿Cuál es la
fórmula de recurrencia? ¿Y la fórmula para el término general?
1998.
Escribe los 7 primeros términos de la progresión geométrica
con a1=–1 y an =3· an–1. Suma los 6 primeros términos. ¿Cuál es la
razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula de recurrencia? ¿Y la
fórmula para el término general?
105
1999.
Escribe los 8 primeros términos de la progresión geométrica
con a1=5 y an =–2· an–1 . Suma los 9 primeros términos. ¿Cuál es la
razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula para el término general?
2000.
Escribe los 7 primeros términos de la progresión geométrica
con a1=–400 y razón r=1/2. Suma los 5 primeros términos. ¿Cuál es
la razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula de recurrencia? ¿Y la
fórmula para el término general?
2001.
Escribe los 5 primeros términos de la progresión geométrica
con a1=75 y razón r=–2/3. Suma los 6 primeros términos. ¿Cuál es
la razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula de recurrencia? ¿Y la
fórmula para el término general?
2002.
En una progresión geométrica con a1=–1 y razón r=–3, se
pide calcular: a) la fórmula del término general; b) los cuatro
primeros términos; c) la suma de los cinco primeros términos.
2003.
En una progresión geométrica con a1=–81 y razón r=–1/3,
se pide calcular: a) la fórmula del término general; b) los cinco
primeros términos; c) la suma de los siete primeros términos.
2004.
Escribe los 6 primeros términos de la progresión geométrica
de término general an=5n–1. Suma los 8 primeros términos. ¿Cuál es
la razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula de recurrencia?
2005.
Escribe los 6 primeros términos de la progresión geométrica
de término general an=3·(–2)n–1 . Suma los 8 primeros términos.
¿Cuál es la razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula de
recurrencia?
2006.
Escribe los 7 primeros términos de la progresión geométrica
de término general an=(–1/2)n. Suma los 5 primeros términos. ¿Cuál
es la razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula de recurrencia?
2007.
Escribe los 5 primeros términos de la progresión geométrica
de término general an=(2/3)n. Suma los 6 primeros términos. ¿Cuál
es la razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula de recurrencia?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
2008.
Suma todos los términos de la progresión geométrica de
término general an=32·(1/2)n–1. ¿Cuál es la razón de la progresión?
¿Cuál es la fórmula de recurrencia?
2009.
Escribe los 4 primeros términos de la progresión geométrica
de término general an=1.000·(1/5)n–1. Suma todos términos de la
progresión. ¿Cuál es la razón de la progresión? ¿Cuál es la fórmula de
recurrencia?
2010.
Sea la progresión geométrica: 8, 4, 2, 1, 0’5… ¿Cuál es la
razón? Calcula la fórmula recurrente y la fórmula del término
general. Razona cuál será la suma de todos sus términos.
2011.
Sea la progresión geométrica: –27, –9, –3, –1, –1/3, –1/9…
¿Cuál es la razón? Calcula la fórmula recurrente y la fórmula del
término general. Razona cuál será la suma de todos sus términos.
2012.
Sea la progresión geométrica: 125, –25, 5, –1, 0’20… ¿Cuál es
la razón? Calcula la fórmula recurrente y la fórmula del término
general. Razona cuál será la suma de todos sus términos.
2013.
Halla el término general, la fórmula de recurrencia y los
siguientes cinco elementos de la sucesión: 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4… Suma los
70 primeros términos. Nota: desdobla esta sucesión en dos
sucesiones.
2014.
Halla el término general, la fórmula de recurrencia y los
siguientes tres elementos de la sucesión: 1, –2, 3, –4, 5, –6, 7… Suma
los cien primeros términos. Nota: desdobla esta sucesión en dos
sucesiones.
PROBLEMAS
106
2015.
Una progresión aritmética de a1=3 y d=6 tiene por suma
2.700, ¿cuántos términos se están sumando?
2016.
¿De qué tipo es la sucesión que tiene fórmula de recurrencia
an = 3 + an–1, con a1 = –15? ¿Cuál es la fórmula para el término
general? Calcula la suma de los 100 primeros términos. ¿Cuántos
términos se habrán sumado si se ha conseguido 8.280?
2017.
Marta gana un concurso con el siguiente premio aplazado:
cinco céntimos el primer mes, diez céntimos el segundo mes, veinte
céntimos el tercer mes, cuarenta céntimos el cuarto mes… y así
durante doce meses. ¿A cuánto asciende en realidad el premio?
2018.
Halla una progresión geométrica de la que sabemos a2=–4
y que a3+a4=–8.
2019.
Halla una progresión geométrica de la que sabemos a2=24
y que a4–a3=144.
2020.
Este primer año de actividad, la diseñadora Sol Portero ha
obtenido unos beneficios de 20 mil euros. Suponiendo que cada año
sus beneficios aumentarán un 10% respecto el año anterior, ¿cuántos
beneficios le reportará su séptimo año de actividad? ¿Qué fortuna
habrá amasado al cabo de veinte años?
2021.
La bacteria de la salmonela es un organismo unicelular que
se divide (en condiciones adecuadas de temperatura y humedad) por
fisión binaria (mitosis) cada media hora. Esto significa que, llegado el
momento, cada individuo se convierte en dos ejemplares
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
exactamente iguales. Imagina que ingieres una tortilla española
colonizada por una sola bacteria de salmonela hoy a las 15:00.
¿Cuántas bacterias nuevas “nacerán” a las 19:00? ¿A qué hora tu
organismo sobrepasará el millón de salmonelas. Nota1: se supone
que las condiciones hoy son ideales para la reproducción de la
salmonela y que tú no haces nada para impedirlo. Nota2: si quieres
saber más sobre la salmonela, consulta en la web la pregunta
matemática: ¿qué matemáticas tienen en común los champiñones, la
salmonela y los fósiles?
2022.
Este año se han extraído del lecho de un río 1.000m3 de
gravas y, cada año, se prevé extraer un 10% más que el año anterior.
Sabiendo que el volumen aproximado de gravas localizado en el río
es de 7.000m3, a ese ritmo de extracción, ¿al cabo de cuántos años se
agotarán las gravas?
2023.
Star Wars (La Guerra De Las Galaxias). Según la medición que
hizo Obi–Wan Kenobi, Anakin Skywalker tenía 20.000 midiclorianos
por célula, lo cual representaba una cantidad mayor que el recuento
del Maestro Yoda. Teniendo en cuenta que los midiclorianos se
desintegran una vez muerto el jedi y sabiendo que cada día lo hacen
cinco midiclorianos, ¿en qué año murió Darth Vader si su cadáver
hoy demuestra tener 1.010 midiclorianos por célula? ¿De qué tipo es
la sucesión? Da la fórmula para el término general. Spoiler: Darth
Vader es Anakin de adulto.
2024.
Este año se han extraído de una cantera 3.000m3 de rocas y,
cada año, se prevé extraer un 20% más que el año anterior. Sabiendo
que el volumen aproximado de rocas localizado en la cantera es de
15.000m3, a ese ritmo de extracción, ¿al cabo de cuántos años se
agotará la cantera?
2025.
Este año se ha registrado una subida del nivel del mar de
4mm. Suponiendo que, por el cambio climático, cada año el nivel del
mar aumentará un 5% respecto el año anterior, ¿cuántos años
tardará en anegarse una región que inicialmente se encontraba a
medio metro por encima del nivel del mar? Nota: necesitarás tantear.
107
2026.
Dejamos caer un balón desde 7m de altura. Si sabemos que
en cada bote alcanzará 2/3 de la altura anterior, ¿qué altura subirá
después del tercer bote (ayúdate de un dibujo)? ¿Qué distancia
recorre entre subidas y bajadas en los cinco primeros botes (ayúdate
de un dibujo)? ¿Qué distancia total recorrería si botase
indefinidamente?
2027.
¿Cuántos triángulos hay en la octava iteración del triángulo
de Sierpinski? Si el triángulo equilátero inicial tuviese un área de
12m2, calcula la sucesión de áreas sombreadas de las ocho primeras
iteraciones.
2028.
Si el lado del triángulo equilátero inicial del copo de nieve de
Koch midiese 3m, ¿cuánto mediría la línea que bordea el copo en la
quinta iteración? Reflexiona sobre lo que mediría el perímetro del
copo de nieve después de un número muy grande de iteraciones.
Nota: el crecimiento fractal de la Naturaleza consigue encerrar un
espacio limitado por superficies casi ilimitadas (tal es así el caso de
las vellosidades intestinales, las fibras nerviosas del corazón, las
líneas de costas…).
2029.
En Navahermosa hay un barbero llamado Javier que es un
excelente profesional por el día y un simpático mago por las noches.
La especialidad de Javier es hacer reír a sus amigos multiplicando las
monedas que tienen en los bolsillos, pues triplica la cantidad que
cada uno tiene. Esto es: si tienes una moneda en el bolsillo,
mágicamente encontrarás tres; si tienes dos monedas, encontrarás
seis; si tienes tres monedas, encontrarás nueve… Su amigo Iván
empezó con 4 monedas y hoy ya tiene más de ¡¡cien mil!! ¿Cuántas
noches ha alternado Iván con Javier? ¿Cuántas monedas se encontró
Iván en el bolsillo la última noche que alternó con Javier? Nota:
necesitarás tantear.
2030.
Cuántos cuadrados hay en la séptima iteración de este
fractal? Si el lado del cuadrado inicial midiese 5dm, calcula la
sucesión de áreas sombreadas de las siete primeras iteraciones.
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
2039.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 8,3971.
Fracción generatriz
MATEMÁTICA FINANCIERA
RECUERDA EL INTERÉS SIMPLE DE 1º ESO
2040.
2031.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 0, 3.
2032.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 1, 2.
2033.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 2,05.
2034.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 1, 36.
2035.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 50, 7.
2036.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 3,251.
2037.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 0, 0423.
2038.
Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para
hallar la fracción generatriz del número decimal 51,706.
108
ñ
%
=> =
· ·
Ana coloca 450€ en un producto financiero que le va a dar el
1,7% de interés anual en un solo abono de intereses si deja el dinero
durante los próximos 5 años. ¿Cuánto dinero recogerá pasado ese
tiempo?
2041.
Guillermo invierte 3.070€ en unos bonos que rentan el 5,5%
de interés anual durante 8 años (con un solo abono de intereses al
final del plazo). ¿Cuánto dinero recogerá pasado ese tiempo?
2042.
Nuria firma un plan de pensiones por valor de 40.000€ a un
ventajoso 8% de interés anual con la condición de mantener el
dinero en la entidad los próximos 15 años. Finalizado ese tiempo,
Nuria percibirá el abono de intereses en un solo pago. ¿Cuánto dinero
recogerá pasados los 15 años?
INTERÉS COMPUESTO
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
Capitalización I (aportación inicial única => capital inicial)
2043.
A Esther le han tocado 20.000€ en la lotería de Navidad y, en
lugar de gastárselo, decide meterlo en el banco. ¿Cuánto dinero
recogerá tres años más tarde si la entidad le abona el 7,2% de interés
anual en pago anual de intereses? ¿Cuánto capital tendría si durante
109
esos tres años el pago de intereses se hubiese efectuado
trimestralmente? ¿Y si se hubiese efectuado mensualmente?
2044.
Paola mete a plazo fijo 15.000€ que acaba de heredar de su
madrina recientemente fallecida. ¿Qué capital tendrá transcurridos
cinco años si ha firmado al 4,8% de interés anual en pago anual de
intereses? ¿Cuánto recogería si durante esos años el pago de
intereses se efectuara trimestralmente? ¿Y si se efectuara
mensualmente?
2045.
Por el buen trabajo hecho, la empresa de Andrea le otorga
una paga de beneficio de 12.000€ que ella prefiere ahorrar dos años
para pagar un crucero alrededor del mundo. ¿Cuánto podrá gastarse
en el crucero si mete el dinero a un 3,6% de interés anual y el banco
le abona los intereses anualmente? ¿Cuánto capital tendrá si durante
esos dos años el pago de intereses se hace trimestralmente? ¿Y si se
hace mensualmente?
2046.
Alfonso y María quieren vender su piso con el propósito de
invertir el dinero en una casa más grande. Mientras encuentran la
vivienda de sus sueños, piensan meter los 125.000€ que saquen de la
venta del piso en una cuenta de ahorro de un banco que les ofrece el
6% de interés anual. Sin embargo, tienen que decidir cómo desean el
pago de intereses: anual, trimestral o mensual. ¿Qué es lo más
beneficioso? ¿Cuánto capital obtendrían en cada una de estas
modalidades después de cuatro años? ¿Qué cambios habría que hacer
en las fórmulas si el pago de intereses fuese semestral?
2047.
Antonio ganó los 7.000€ del primer premio de un concurso
de pianistas y, aunque sus amigos le aconsejaron invertir el dinero en
una galería de coleccionistas de sellos que le garantizaba el 13,2% de
interés anual (muy por encima del mercado), él decidió comprarse
un piano nuevo. Escribe la sucesión de capitales anuales que hubiese
conseguido en los cuatro primeros años. ¿Crees que esta inversión es
segura?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
2048.
¿A cuánto ascendería un capital de 1.800€ colocado al 6% de
interés anual durante 12 años si el banco abona los intereses
trimestralmente?
2049.
Si Sergio mete 4.000€ en el banco a un 3% de interés anual
con pago mensual de intereses, ¿Cuánto dinero tiene al cabo de
medio año? Escribe la sucesión de capitales mensuales que consigue.
2050.
¿Cuánto dinero metió Iván en un cuenta de ahorro al 3,6% de
interés anual si al cabo de 2 años tiene acumulados 3.008,72€ y sabe
que el pago de intereses se hace mensualmente? ¿Cuántos intereses
ha ganado con esta operación hasta ahora?
Los siguientes ejercicios necesitan tanteo o el uso de logaritmos
=
2051.
·
=>
=
¿Cuántos años habrán de pasar para que un capital de
8.000€ alcance los 9.000€ si se encuentra en un plazo fijo del 5%
anual (con pago de intereses anual)?
2052.
¿Cuántos años necesita un capital de 500€ para convertirse
en 1.000€ si se ingresa en una cuenta ahorro al 4% anual (con pago
trimestral de intereses)?
2053.
¿Cuántos años habrán de pasar para que un capital de
3.500€ supere los 5.000€ si está colocado en el banco a un 2,4%
anual (con pago de intereses mensual)?
2054.
Ruth tiene invertidos 40.000€ en un depósito al 8,4% de
interés anual con pago trimestral de intereses por parte de la
entidad. ¿Cuántos años habrán de pasar para que sus ahorros
superen la barrera de los 100.000€?
2055.
Si metes 12.000€ en un banco y 15 años después recoges
17.193,77€, ¿a qué interés anual lo has tenido si sabes que te han
hecho un pago mensual de intereses?
Capitalización II (aportación periódica de capital)
110
2056.
Raúl percibe cada año una beca de 1.000€ que ingresa en el
banco a un 7% de interés anual. ¿Cuánto dinero recogerá al cabo de 8
años si la entidad le paga los intereses anualmente?
2057.
Marisa reserva en una caja secreta de su apartamento 375€
cada trimestre para conseguir comprar algún día un coche nuevo. Si
el coche que quiere cuesta 13.500€, ¿cuántos años tardará en poder
afrontarlo? ¿Cuánto capital conseguiría si metiese el dinero en un
plazo al 8,4% durante esos años en lugar de dejarlo en la caja
secreta? Nota: tomar el abono de intereses como trimestral.
2058.
Alex ahorra 900€ cada año en una cuenta al 3% de interés
anual. Escribe la sucesión de capitales anuales que consigue en los
cinco primeros años. ¿Cuánto habrá acumulado pasados catorce
años?
2059.
Soledad ingresa cada mes 100€ en su plan de pensiones al
1,2% de interés anual (con pago mensual de intereses). Escribe la
sucesión de capitales mensuales que genera la operación a lo largo
del primer semestre. ¿Cuánto habrá acumulado pasados once años?
2060.
La empresa “Dulces artesanos de Esther” invierte una parte
de sus beneficios anuales en un producto financiero al 5% de interés
anual con pago anual de intereses. Si lo lleva haciendo 10 años a
razón de 7.000€ anuales, ¿qué capital tendrá acumulado actualmente
en ese producto financiero?
2061.
La empresa familiar de Javier tiene la costumbre de guardar
en una cuenta reservada los 3.000€ que les devuelve Hacienda del
IVA declarado trimestralmente. Escribe la sucesión de capitales
trimestrales que se obtienen en los dos primeros años. ¿Cuánto habrá
acumulado pasados cinco años?
2062.
¿Cuánto dinero mete Carmen trimestralmente en un cuenta
de ahorro al 4% de interés anual si al cabo de siete años tiene
acumulados 6.490,08€ y sabe que el pago de intereses se hace
trimestralmente? ¿Cuántos intereses ha ganado con esta operación
hasta ahora?
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
2063.
Adela tiene un plan de pensiones que funciona de la siguiente
manera: ella ingresa semestralmente 500€ y el banco le abona
semestralmente los intereses correspondientes. ¿Cuánto dinero
recogerá pasados los 20 años que le quedan para jubilarse? Nota: el
tipo del plan contratado es del 5,2% de interés anual.
Los siguientes ejercicios necesitan tanteo o el uso de logaritmos
2064.
=
ó
·
=>
=
ó
·( − )+
−
Merche ahorra cada año 450€ que mete en una cuenta al
2,5% anual. ¿Cuántos años habrán de pasar hasta tener 2.000€?
Nota: tomar el pago de intereses anual.
2065.
¿Cuántos años necesita una aportación mensual de 30€ para
convertirse en 1.000€ si se ingresa al 3,6% anual (con pago mensual
de intereses)?
2066.
Sergio mete 175€ cada tres meses en un producto financiero
que le da el 2% anual (con pago de intereses trimestral). ¿En cuánto
tiempo conseguirá Sergio superar los 3.000€?
2067.
Ernesto cobra 1.800€ mensuales, aunque solo se gasta 500€
porque vive con sus padres. Si el resto lo mete en una cuenta al 2,4%
de interés anual, ¿cuánto habrá ahorrado en los próximos seis años si
el banco le paga los intereses mensualmente? ¿Cuántos años lleva
ahorrando ya si ha alcanzado 48.572,71€?
Amortizaciones
111
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
2068.
Rocío ha firmado un préstamo personal para comprarse un
coche. Si lo va a devolver en un único pago dentro de 10 meses y el
banco le va a cobrar un 6% de interés mensual, ¿Cuánto tendrá que
pagar si cada mes se va incrementando la deuda?
2069.
Alex ha pedido al banco un préstamo de 36.000€ al 7,2% de
interés anual que tiene que devolver en 9 años pagando plazos
mensuales, ¿cuál será la letra del préstamo?
2070.
Calcula la letra mensual de un préstamo hipotecario
correspondiente a una deuda de 35.000€, si el interés es del 6%
anual y la vida de la hipoteca se alarga por 10 años. ¿Cuántos
intereses se pagarán al final del préstamo por la deuda inicial?
2071.
Calcula la letra mensual de un préstamo hipotecario
correspondiente a una deuda de 85.000€, si el interés es del 7,2%
anual y la vida de la hipoteca se alarga por 15 años. ¿Cuántos
intereses se pagarán al final del préstamo por la deuda inicial?
2072.
Calcula la letra mensual de un préstamo hipotecario
correspondiente a una deuda de 240.000€, si el interés es del 3,6%
anual y la vida de la hipoteca se alarga por 25 años. ¿Cuántos
intereses se pagarán al final del préstamo por la deuda inicial?
2073.
María Luisa ha firmado con su entidad financiera una
hipoteca de 110.000€ al 3,3% de interés anual. Si la vida de la
hipoteca se alargará por 22 años y va a devolverla en cuotas anuales,
¿cuál será la letra a pagar? Transcurridos los veintidós años, ¿cuántos
intereses en total habrá pagado María Luisa por la deuda inicial
contraída?
Los siguientes ejercicios necesitan tanteo o el uso de logaritmos
2074.
=
·
·(
)
=>
=
·(
)
¿Por cuántos años se alargará un préstamo hipotecario
correspondiente a una deuda de 14.000€, si el interés es del 5%
anual y se quiere pagar una letra anual de 800€. ¿Cuántos intereses
se pagarán al final del préstamo por la deuda inicial?
112
TAEs
2075.
Al comienzo de cada trimestre Andrés deposita 300€ en un
depósito al 3,2% anual. ¿De qué tipo de capitalización se trata?
¿Cuánto dinero recogerá transcurridos 7 años? ¿Cuál es la TAE?
2076.
¿Cuánto tiempo tendrá que estar un capital de 2.000 €
colocado al 7,2% anual para convertirse en 4.100,04€ en pago
mensual de intereses? ¿Cuánto dinero en forma de intereses he
ganado en la operación? ¿Cuál es la TAE?
2077.
Al comienzo de cada mes depositamos 500€ en un depósito
al 1,44% anual. ¿Cuánto recogeremos transcurridos 4 años? ¿Cuál es
la TAE?
2078.
¿Cuánto tiempo tendrá que estar un capital de 2.000€
colocado al 5,4% anual para llegar a 40.000 € en pago trimestral de
intereses? ¿Cuánto dinero en forma de intereses he ganado en la
operación? ¿Cuál es la TAE?
2079.
¿Qué TAE tiene un préstamo hipotecario correspondiente a
una deuda de 90.000€ amortizada mensualmente, si el interés es del
2,4% anual y la vida de la hipoteca se alarga por 20 años? ¿Cuál es la
letra mensual?
2080.
¿En cuánto se transforma un capital de 250.000€ al 3% anual
durante 6 años si se pagan los intereses: a) anualmente, b)
trimestralmente, c) mensualmente? Calcula sus respectivas TAEs.
2081.
Al comienzo de cada mes depositamos 200€ en un depósito
al 4,2% anual. ¿En cuánto se transformará transcurridos 5 años?
¿Cuál es la TAE?
2082.
¿Cuántos años tendrá que estar un capital de1.500€ colocado
al 9% anual para convertirse en 1.959,08€ en pago trimestral de
intereses (nota: hazlo por tanteo o por logaritmos si ya estás
familiarizado con ellos)? ¿Cuánto dinero en forma de intereses se ha
ganado en la operación? ¿Cuál es la TAE?
2083.
Mónica quiere invertir un capital de 40.000€ en un depósito
al 2,88% de interés anual. El banco la obliga a mantener el dinero
Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.
durante los próximos tres años pero, a cambio, le da a elegir cómo
quiere que se le paguen los intereses: anualmente, trimestralmente o
mensualmente. ¿Qué opción sería más beneficiosa para Mónica?
Razónalo con las TAEs. Calcula los beneficios que obtendrá con esa
opción (la más rentable).
2084.
A Berta le ofrecen telefónicamente un préstamo de 50.000€
al 6% de interés anual con pago de letras mensuales y una vida de 10
113
años. Halla la TAE de este producto. Casualmente, Berta recibe una
propaganda escrita de otro préstamo por la misma deuda y una TAE
del 5,8%. ¿Cuál de estas dos opciones (banca telefónica o propaganda
escrita) es más ventajosa para ella?