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Matemáticas
I.E.S. “HERMANOS AMORÓS” - VILLENA
Preparado por:
Profesor SIMÓN J. ROVIRA
Profesor del Ámbito Científico.
Programa de Adaptación Curricular en Grupo P.A.C.G.
Dto. Ciencias Naturales. I.E.S. “HERMANOS AMORÓS” – VILLENA.
1. SERIES LÓGICAS Y SERIES DE NÚMEROS
- Series lógicas
Busca los elementos que faltan en cada cuadrado.-
A
B
1
C
2
n
a
5
3
10
6
ê
c
n
g
ab
a
abcd
1
2
3
4
2
1
4
2
5
1
3
5
A
B
C
2
2
10
ú
c
ae
m
aeio
3
1
2
úú
%
%
úúúú
%
p
jp
m
lp
jp
5
5
6
7
7
8
Completa el cuadrado en blanco:
8
8
4
9
2
10
8
8
7
16
6
32
2
3
4
4
8
5
1
7
1
6
1
5
2
3
3
4
4
5
1
7
2
5
3
3
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
2
3
2
4
2
5
5
6
8
5
11
4
2
- Series de números
Serie natural de números enteros:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, ...
Completa las series siguientes (al menos tres elementos):
1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 –
Razón de la serie:
1 – 2 – 5 – 8 – 11 – 14 – 17 – 20 – 23 –
Razón de la serie:
1 – 5 – 25 – 125 –
Razón de la serie:
..., 7, 4, 1, -2, -5, -8,
Razón de la serie:
- La Serie de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...
La llamada serie de Fibonacci parte de un curioso problema de matemáticas
recreativas que dice algo así:
“Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese
momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles
engendrarán cada mes una pareja de conejos.¿Cuántos conejos habrá al cabo de seis
meses?”
Leonardo de Pisa “Fibonacci” (1180-1250) era hijo de
Bonaccio, responsable de aduanas en la ciudad argelina de
Bugía (delegación de la República de Pisa). Su educación en el
mundo árabe le llevó a conocer e introducir en Europa las cifras
arábigas y el signo del cero. Viajó por el Mediterráneo, Egipto,
Siria, Grecia, etc. Publicó en 1202 el libro “Liber abaci”, donde
indica cómo operar con fracciones, reglas de tres, raíces
cuadradas y ecuaciones de diverso grado.
Ejercicios:
1. ¿Cuál es la razón u operación para obtener la serie de Fibonacci?
2. Responde al problema de Fibonacci sobre la cría de conejos.
3. Desarrolla la serie de Fibonacci hasta el elemento vigésimo segundo de la serie.
3
2. OPERACIONES BÁSICAS Y FORMA DE HACERLAS
2.1. La suma o adición
La suma o adición consiste en añadir a un número el valor de otro (u otros), a
todos ellos les llamamos sumandos. La operación consiste en sumar los valores de las
unidades primero, las decenas después, etc., recordando siempre si llevamos algún
valor. La suma mantiene la propiedad conmutativa.
Signo que
indica la
operación
Sumando
345
+ 218
563
Sumando
Resultado
2.2. La resta o sustracción
La resta o sustracción consiste en quitar el valor de un número (sustraendo) a
otro número (minuendo). La operación se construye colocando arriba al minuendo y
debajo al sustraendo. La resta no mantiene la propiedad conmutativa.
Signo que
indica la
operación
3567
- 1245
2322
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
2.3. La multiplicación o producto
Consiste en repetir un número el valor de otro indicado, o también en sumar un
número tantas veces como indique el otro. A cada número se le llama multiplicando.
La multiplicación mantiene la propiedad conmutativa.
2x3=2+2+2=6
3x2=3+3=6
236
x 7
1652
Suma de los
resultados
parciales
4567
x 67
31969
+ 27402
305989
Resultado de las unidades
Resultado de las
decenas
Resultado
4
2.4. La división o cociente
La división consiste en repartir un número en tantas partes como indica otro. Al
número que repartimos le llamamos dividendo, al que indica en cuantas partes le
llamamos divisor, al resultado obtenido se le llama cociente y, en caso de que lo
hubiese, a lo que nos queda como aproximación se le llama resto.
Dividendo
Divisor
3 6, 5, 4, 2
6
0 5 4
6090,33
0 2
30
30
3
Cociente
Resto
2.5. Potencias, raíces y logaritmos.
La potencia se compone de dos valores, la base y el exponente. Es equivalente
a multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.
Exponente
Resultado
Base
n
a = a x a x ...x a = g
Producto n
veces
32 = 3 x 3 = 9
23 = 2 x 2 x 2 = 8
Algunas propiedades básicas de las potencias:
a0 = 1
a-n = 1/an
Cualquier número elevado a cero da uno
Cualquier número elevado a un exponente negativo es igual al inverso
de esa potencia.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
La operación exponencial o potenciación posee dos operaciones inversas, una
es la radicación y la otra es el logaritmo. Para la raíz de orden n, buscaremos el valor
de una base que elevada a ese orden n nos de como resultado el radicando o número
problema.
9 = 3, ya que 32 = 9
3
5
8 = 2, ya que 23 = 8
La forma más simple de realizar las raíces cuadradas es seguir el método:
1º Se descompone el número en grupos de dos de derecha a izquierda.
2567
2º Se calcula la raíz del primer número (que es de una o dos cifras). Ese es el primer
número de la solución.
25,67
5
25
0
3º Si no es exacto el cuadrado, se le resta al número original y se bajan junto a este
resto el siguiente grupo de dos cifras.
25,67
5
25
0 67
4º Se calcula el doble de la primera solución y se coloca debajo de las soluciones. Se
separan las unidades del resto que hemos obtenido.
25,67
5
25
0 6,7
10
5º Lo que nos queda, después de separar las unidades (en este caso el 06), se divide
por el doble de la solución obtenida hasta el momento (5 x 2 = 10). Se divide el 6 por
el 10, resultando 0,6. De ahí tomamos el valor de las unidades, que es cero, y se pone
a continuación de la solución, además se pone detrás del doble (anotado debajo) y se
multiplica por él. El valor obtenido se resta al resto de la raíz, obteniéndose otra vez el
67.
25,67
25
0 6,7
0
67
50
100 x 0 = 0
6º Si hubiese más números, se bajarían junto al 67 obtenido y se procedería como en
el punto 3. En caso de no haber más números, puede ponerse una coma en la
solución y añadirse dos ceros en resto.
25,67
25
0 6,7
0
6 7 0,0
6036
664
50,6
100 x 0 = 0
1006 x 6 = 6036
6
Si queremos más exactitud en el resultado, deberemos seguir hasta obtener un
resto de cero o lo más pequeño posible.
Para comprobar que está bien hecha la raíz cuadrada, la realizamos con la
calculadora y nos da que
2567 = 50,6655701636.
El logaritmo es la otra operación inversa de la potenciación, donde:
logb S = p
Esto significa logaritmo base b de S es igual a p. Es decir, que en este caso la
solución al logaritmo en base b del número S (la solución de la potenciación) es igual
al exponente (p) al que habría que elevar a b para que diese como resultado el
número S.
bp = S
logb S = p
Logaritmos en base 10:
Para los logaritmos en base 10, no hace falta poner más que las siglas “log”,
sin indicar la base, representado en ocasiones como “lg”.
Valores de x
1
2
3
4
5
log (x)
0,000
0,301
0,477
0,602
0,699
6
7
8
9
10
0,778
0,845
0,903
0,954
1,000
Logaritmos naturales o en base e:
El número irracional e equivale a 2,71828182846, que puede escribirse con
infinitas cifras decimales. En realidad el número e es el límite de la sucesión (1+1/n)n.
Si vamos sustituyendo n por valores cada vez más grandes, nos iremos aproximando
al valor dado anteriormente. Por ejemplo:
Para n = 1
Para n = 2
Para n = 7
Para n = 8593
2
2,25
2,54649969704
2,71812367644
Los logaritmos neperianos (por Neper, primero en utilizarlos) o naturales o en
base e, se representan habitualmente por “ln”. Equivale a la siguiente operación:
ln a = p , si e p = a
- ¿Sabrías calcular el valor de la sucesión para un valor de e con 6 cifras
decimales correctas?
- Demuestra, usando los números que quieras, lo siguiente:
log (a · b) = log a + log b
log a / b = log a – log b
7
3. REPASO DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES BÁSICAS
Realiza las siguientes operaciones:
1.- 34578 + 98278
2.- 0,7587+ 89, 98
3.- 90949+ 546,983
4.- 869 – 345
5.- 94893872 – 857420
6.- 9584 – 172834
7.- 367 x 3
8.- 7685 x 35
9.- 0,968 x 75
10.- 7388 x 2,87
11.- 6270 / 5
12.- 1364118 / 21
13.- 6453 / 7
14.- 2001516 / 354
15.- 232
16.- 42+780+121
17.- (34+25)2
18.- (43 – 32)3
19.- √25
20.- √1296
21.- √45796
22.- √1329
8
4. LOS CUADRADOS MÁGICOS Y SUS PROPIEDADES
Los cuadrados mágicos consisten en tablas de nxn
casillas, que pueden ser pares o impares, con n siempre
mayor o igual a 3. En estos cuadrados se ordenan cifras
que cumplen la propiedad de sumar siempre lo mismo sus
columnas, sus filas y sus diagonales, siendo igual a un
número conocido como razón del cuadrado.
Uno de los primeros cuadrados mágicos conocidos
es el dibujado por Alberto Durero (1471 – 1528) en su
grabado “Melancolía”.
Autorretrato de Durero
Copia del grabado de Durero “Melancolía”, se puede
observar un cuadrado mágico en la esquina superior
derecha, justo por encima del ángel.
- Cómo resolver cuadrados mágicos de orden impar.
Para resolver los cuadrados mágicos de orden impar, debe procederse del
siguiente modo:
1.- Situaremos la serie natural comenzando por la casilla superior izquierda hasta
ocupar todo el cuadrado. La suma de los números situados en la diagonal del
cuadrado nos dará siempre la razón del mismo.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
La RAZÓN DEL CUADRADO es 1+5+9 = 15
2.- Distribuiremos una serie de casillas accesorias en los lados, siempre dejando las
esquinas del cuadrado libres. En el cuadrado de 3x3 pondremos una sola casilla
accesoria, en el de 5x5 pondremos dos niveles de casillas accesorias, el primero con
tres y el segundo con una.
9
3.- Hecho esto, comenzaremos colocando la serie natural en diagonal, comenzando
por el ángulo superior derecho y desplazándonos hacia la izquierda.
1
4
7
2
3
5
8
6
9
4.- Una vez terminado este paso, las casillas vacías se rellenan con los números del
otro lado del cuadrado moviéndolas de manera especular respecto a la columna o fila
central.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
10
5.- Comprobar siempre que, una vez finalizado el cuadrado mágico, sus filas,
columnas y diagonales suman lo mismo e igual a la razón obtenida al principio.
4+9+2 = 15
3+5+7 = 15
8+1+6 = 15
4+5+6 = 15
2+5+8 = 15
15 es la razón del cuadrado mágico de 3x3
- Cómo resolver cuadrados mágicos de orden par:
Comenzaremos por las instrucciones para un cuadrado de 4x4 elementos:
1.- Primero se construye la cuadrícula de 4x4.
2.- Anotamos la serie natural comenzando por el uno en la casilla superior izquierda y
siempre de izquierda a derecha.
3.- Una vez completado el cuadrado, dejamos sin tocar los números que han quedado
en las diagonales del cuadrado. La suma de las diagonales debe ser la misma y es la
razón del cuadrado.
4.- Cambiaremos de lugar las cifras siguiendo las “diagonales interiores”, tal como
indica el esquema siguiente:
5.- Comprobaremos si el método ha funcionado bien.
Para el cuadrado de 6x6 elementos:
1.- Primero construiremos la cuadrícula de 6x6 elementos.
2.- Anotamos la serie natural comenzando por el uno en la casilla superior izquierda y
siempre de izquierda a derecha.
3.- Una vez completado el cuadrado, dejamos sin tocar los números que han quedado
en las diagonales del cuadrado. La suma de las diagonales debe ser la misma y es la
razón del cuadrado.
4.- Ahora, comenzando por la esquina inferior derecha, iremos completando del
siguiente modo:
Pondremos los números que nos quedan sin fijar en su orden natural
Rellenamos los extremos de la 1ª fila, yendo de derecha a izquierda
Rellenamos los dos huecos de la 2ª fila, yendo de izquierda a derecha
Rellenamos los extremos de la 3ª fila, yendo de derecha a izquierda y lo mismo de la
4ª fila pero de izquierda a derecha.
La quinta fila se hace igual que la segunda y la sexta igual que la primera.
5.- Una vez hecho esto, ya quedan menos números por poner. Ahora, comenzando
por la esquina superior derecha vamos colocando sólo los números pares que nos
queden en su orden natural (seguimos todo el cuadrado de derecha a izquierda).
11
6.- Por último, comenzando por la esquina inferior derecha colocamos los números
impares que nos hayan quedado (seguimos todo el cuadrado de derecha a izquierda).
7.- Si lo has hecho bien, no se repetirá ningún número ni quedará ninguna casilla
vacía.
8.- Para acabar queda comprobar si todo ha salido bien.
Ejercicios:
1. Construye el cuadrado de 4x4 y responde:
¿Cuántas casillas tiene?
¿Cuál es la razón del cuadrado?
2. Construye el cuadrado de 5x5 y responde:
¿Hay 25 casillas?
¿Cuántas casillas suplementarias has añadido?
¿Cuál es la razón del cuadrado?
3. Construye el cuadrado de 6x6 y comprueba si te ha salido bien.
4. ¿Puedes construir al menos tres cuadrados mágicos de 3x3 diferentes?
5. Construye un cuadrado de 9x9 elementos. Comprueba si está bien.
12
5. EL TRIÁNGULO DE PASCAL Y SUS PROPIEDADES
A este triángulo se le conoce también como triángulo aritmético o triángulo de
Tartaglia. La primera cita impresa del triángulo que se conoce se debe al matemático
Petrus Apianus, en su publicación sobre aritmética (Ingolstadt 1527). Blaise Pascal
dedujo una serie de propiedades del triángulo y se cree que Sierpinski se basó en el
mismo para adelantar ideas sobre fractales.
Cronología de autores:
- Petrus Apianus
(1495 – 1552) Matemático y astrónomo alemán. En 1520 publicó el mapa del mundo
donde por vez primera aparece el nombre de “América”, y en 1527 una aritmética
comercial en cuya portada aparece el triángulo aritmético.
- Niccolo Fontana “Tartaglia”
(Brescia 1505 – Venecia 1557) Matemático italiano, su nombre se debe a que sufría
ciertos problemas al hablar, fruto de una herida recibida durante la guerra en 1512. En
1530 fue profesor en Verona, llegando a ser catedrático en Venecia desde 1534 hasta
su fallecimiento.
- Blaise Pascal
(Clermont-Ferrand 1623 – Port Royal 1662) Matemático,
científico y filósofo francés. Fue educado por su padre
Etienne Pascal (gran conocedor de las matemáticas y
estudioso de la curva que en su honor se denomina “caracol
de Pascal”). Blaise Pascal publicó su primer estudio de las
cónicas a los 16 años. Con 18 años comenzó a diseñar una
máquina calculadora (la “pascalina”) que se considera una
de las primeras realmente operativas. Desarrolló diversos
experimentos y teoremas a lo largo de su vida.
- Waclaw Sierpinski
(Varsovia 1882 – 1969) Matemático polaco. Estudió la teoría de los números, la
topología y la teoría de conjuntos. Fue uno de los fundadores de la prestigiosa revista
Fundamenta Mathematicae. Varios autores atribuyen a Sierpinski la idea de un fractal
que nos recuerda al triángulo aritmético, enlazando la matemática moderna con el
triángulo de 500 años antes.
En realidad se trata de un triángulo compuesto en su vértice superior y lados
por una sucesión de unos, las segundas diagonales forman una sucesión natural y el
contenido se obtiene de ir sumando las dos cifras anteriores/superiores de cada uno.
Evidentemente el triángulo no tiene fin, tendiendo el lado de abajo al infinito e
incrementándose los valores numéricos cada vez más.
1
1
1
8
1
7
1
6
28
1
5
21
1
4
15
56
1
3
10
35
1
2
6
20
70
13
1
3
10
35
1
4
15
56
1
5
21
1
6
28
1
7
1
8
1
1
Las propiedades.1) La suma de cada fila es igual al doble de la suma de la fila anterior.
2) La suma de cada fila es igual a 2 elevado al orden de la fila (la que lleva un 1
es la llamada fila de orden cero, 20=1, 21=2, etc).
3) Cada fila expresa aproximadamente potencias del número 11.
4) Aparecen triángulos invertidos al unir los múltiplos de la fila de inicio (filas
impares)
5) Cada fila determina los coeficientes que se obtienen al desarrollar el binomio
(a+b)n (Binomio de Newton).
6) Cada número del triángulo representa el valor de un número combinatorio. Si n
es la columna y m es la fila, el valor corresponde a las combinaciones de m
elementos tomados de n en n.
Al presentar el triángulo aritmético como una tabla rectangular, Pascal dedujo otra
serie de propiedades:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
6
10
15
21
28
36
1
4
10
20
35
56
84
120
1
5
15
35
70
126
210
330
1
6
21
56
126
252
462
792
1
7
28
84
210
462
924
1716
1
8
36
120
330
792
1716
3432
1) La primera fila después de los unos corresponde a la serie natural. La segunda
fila a la serie triangular, la tercera a la serie tetraédrica, etc.
2) La suma de una fila desde la columna del 1 hasta la columna n corresponde
con el número de la columna n de la fila inmediata inferior
3) La suma de una columna desde la fila 1 hasta la fila n corresponde con el
número de la fila n inmediato a la derecha
4) La suma de todos los números de un cuadrado o rectángulo desde el origen es
igual al valor de la casilla siguiente al vértice inferior derecho menos uno.
Ejercicios.1.- Construye un triángulo hasta la fila de orden 12.
2.- Comprueba, indicando los resultados, que la suma de cada fila es igual a 2 elevado
al orden de la fila.
3.- Comprueba que para (a+b)2 , los coeficientes del desarrollo corresponden a los
números de la fila de orden 2.
4.- Construye el cuadrado hasta el orden 16.
5.- Comprueba que la suma de los números incluidos en el cuadrado de orden 8 dan la
cifra de la casilla 9-9 menos la unidad. Haz lo mismo para el cuadrado de orden 12.
14
6. EL CUADRADO DE PITÁGORAS.
Se denomina así a la tabla de doble entrada compuesta por la serie natural de
números del uno al diez, donde en cada casilla debes escribir el resultado de sumar al
anterior el índice de la columna o de la fila. Completa la taba.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Teniendo esta tabla a mano es fácil aprenderse los resultados más simples del
producto (tablas de multiplicar), pero también posee otras utilidades:
1.- La diagonal nos ofrece el resultado de los cuadrados para los números de 1 a 10.
2.- Podemos buscar en la tabla los números para hacer divisiones.
3.- La tabla puede convertirse (lo veremos más adelante) en un sistema para
multiplicar cualquier cifra por grande que sea con una simple suma (método de Neper
o rabdológico).
Pitágoras.(592 AC-470 AC) Filósofo y matemático de la Grecia
Clásica. Creó una escuela donde enseñaba las
matemáticas. Se deben a él importantes bases de la
matemática como la tabla de Pitágoras, el Teorema de
Pitágoras o el Triángulo de Pitágoras.
15
7. MÉTODOS Y MÁQUINAS DE CALCULAR.
7.1. TIPOS DE CALCULADORAS
Los instrumentos de cálculo pueden clasificarse en dos grupos, los llamados
analógicos y los llamados digitales.
Un instrumento analógico presenta los números con los que trabaja en forma
de magnitudes físicas, es decir longitudes, fuerza, masa, intensidad, etc. Así, la
operación matemática se convierte en una serie de movimientos por engranajes,
palancas, o desplazamiento de piezas, cuyo movimiento final ofrece el resultado que
se precisa.
Un instrumento digital presenta los números como cifras, aunque sus
operaciones dependan de variaciones sutiles de maquinaria o corriente eléctrica. Así,
la operación matemática se desarrolla por una serie de mecanismos prefijados que
ofrecen como resultado el número buscado.
El ejemplo más característico de un instrumento de cálculo analógico es la
regla de cálculo. El más antiguo de los instrumentos de cálculo digitales es el ábaco
(datado hacia el 3.000 a.C.) originario de Asia (Japón y China), siendo los actuales
ordenadores el ejemplo más moderno de estos instrumentos.
7.2. REGLAS DE NEPER Y RABDOLOGÍA
John Napier, barón de Merchiston (1550-1617) (llamado
Neper o Nepero al latinizar su nombre) era un matemático
escocés.
Napier fue uno de los descubridores de los
logaritmos, junto a Jost Bürgi (1552-1632), en especial de
aquellos que toman como base el número irracional e,
llamados logaritmos naturales o neperianos en honor de su
descubridor. Napier publicó sus resultados en la obra
“Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”, el año 1614.
Posteriormente el cálculo de logaritmos fue simplificado y completado gracias a Henry
Briggs (1556-1630).
Napier inventó un sistema de pequeñas reglillas con el fin de simplificar las
multiplicaciones y divisiones. Este sistema fue anterior incluso a la primera regla de
cálculo que se conoce en Europa, construida por el profesor Gunter (1581-1626) de
Londres y basada ya en los logaritmos.
Para fabricar unas tablas de Napier o reglillas de
Napier, basta con construir una tabla de nueve columnas y
nueve filas. La primera fila contiene los números del uno al
nueve, mientras que las filas siguientes son el producto del
número indicado por uno, dos, tres, sucesivamente hasta el
nueve.
El resultado es similar a una tabla de Pitágoras, pero
en el caso de que el número obtenido en esta multiplicación
sea de dos cifras, se procederá a separar decenas de
unidades mediante una diagonal que divida a la celdilla.
Finalmente se recortan las columnas de la tabla y se pegan
sobre un soporte de cartón, madera o cualquier material
resistente y manejable. Cuantas más reglillas de cada número
se encuentren disponibles, más combinaciones de números se
podrán utilizar en las operaciones.
Para multiplicar, basta con elegir las reglillas
correspondientes a las cifras del número indicado (columnas).
16
A continuación se busca en las filas bajo el número uno el multiplicador, sumándose
entonces en diagonal hacia la izquierda las cifras que aparecen en las celdillas. Si el
número multiplicador es de dos o más cifras, basta con descomponerlo, operar y
sumar finalmente todos los resultados parciales.
RESUELVE LAS OPERACIONES CON LAS REGLILLAS DE NEPER:
MULTIPLICAR:
1) 325 x 12
2) 3250 x 0,12
3) 1897 x 142
4) 2897 x 210
5) 3841 x 111
6) 7997 x 548
7) 0,318 x 0,12
8) 495 x 1045
9) 312 x 312
10)1525 x 111
DIVISIONES DE RESTO CERO:
1) 9135:63
2) 743316:28
3) 547341:148
4) 7528793968,8:48
5) 38149,9872:147,32
6) 861192:324
7) 1281550:475
8) 679926:69
9) 83325:25
10) 2311110,88:52
7.3. LOGARITMOS Y REGLAS DE CÁLCULO
Algunos autores indican como origen de la regla de cálculo el lejano oriente
(China). La primera regla de cálculo de la que se tiene noticia en Europa fue
construida por el profesor Gunter (1581-1626) de Londres; parece ser que consistía en
una única regla logarítmica cuyas operaciones se realizaban usando un compás como
transportador de las longitudes.
Desde el principio, la regla de cálculo se basó en trasladar a longitudes los
valores de una escala logarítmica. Los logaritmos fueron inventados por Jost Bürgi
(1552-1632) y Lord John Napier (Neper) barón de Merchiston (1550-1617). De hecho,
Neper inventó un sistema de pequeñas reglillas con el fin de simplificar las
multiplicaciones y divisiones. Posteriormente el cálculo de logaritmos fue simplificado y
completado gracias al profesor de la Universidad de Oxford Henry Briggs (1556-1630).
17
Edmund Gunter (1581-1626).- En 1619 fue nombrado profesor de astronomía en el Gresham
College. Colaboró en las tablas de logaritmos de Briggs e inventó muchos instrumentos
geométricos, siendo el principal la escala logarítmica que lleva su nombre. Fue el primero en
comprobar la variación anual de la declinación magnética.
La regla o escala de Gunter consiste en una regla con varias rayas marcadas, útil para resolver
los problemas más frecuentes en navegación. Tenía dos pies de largo por pulgada y media de
ancho, llevando marcadas las líneas trigonométricas naturales en una de sus caras y en la otra
las líneas artificiales o logarítmicas.
También se conoce la cadena de Gunter, usada en la medición de terrenos. Consiste en una
cadena de 100 eslabones, de 7,92 pulgadas cada uno y una longitud total de 22 varas inglesas.
Las primeras reglas de cálculo totalmente operativas fueron construidas por
Winsgate en 1627 ó 1628 y William Ougthret (1574-1660) en 1630. Estas reglas ya
estaban compuestas por dos regletas deslizantes canto con canto al estilo de las
posteriores, sin necesidad del uso de un compás para trasladar longitudes.
William Ougthret (1574-1660).- Ministro de la Iglesia Anglicana. Se
le atribuye la colocación de dos reglas de Gunter simétricas, lo cual le
permitía realizar multiplicaciones y divisiones sin necesidad de usar
un compás. Parece ser que también estudió el desarrollo de la regla
de cálculo circular. Existe una Sociedad Internacional que lleva su
nombre dedicada al estudio y divulgación de las reglas de cálculo.
Al final del siglo XVIII, James Watt (1736-1819) -prolífico
inventor escocés- defendió la utilidad de las reglas de cálculo,
dando lugar a la producción en serie de las mismas por parte de diversos fabricantes
de aparatos de medida y precisión.
La forma actual de las reglas de cálculo se debe principalmente a los trabajos
de los matemáticos franceses Mouzin, hacia 1837 y Mannheim, hacia 1851. Otras
mejoras reconocidas se deben a Dennert (1886), Cox (1897), Beghin (1899), Fürle
(1899), Schwetz (1901), Rietz (1902) y Walther (1934).
Victor Mayer Amadeo Mannheim (1831-1906).- Profesor de geometría en la Escuela
Politécnica de París. Coronel de artillería, con diversas publicaciones y artículos en el Journal
de l’Ecole polytechnique y en el Bulletin de la Société mathématique de France entre otras.
Mejoró la regla de cálculo introduciendo entre otras novedades el cursor móvil con ventana
transparente.
Desde 1850 aproximadamente, las reglas de cálculo se convirtieron en
elementos indispensables para los científicos, técnicos, arquitectos, ingenieros, etc.
Durante el siglo XX se crearon infinidad de modelos, con tamaños de bolsillo de
apenas 12 cm de longitud hasta tamaños de sobremesa. Las hubo con indicaciones
especiales para cálculos eléctricos, de construcción, para aviación, para topografía,
etc.
En España se utilizaron las reglas de cálculo para todo tipo de profesiones,
desde la matemática pura hasta las aplicaciones técnicas de ingenieros, arquitectos,
físicos, químicos, etc. La casa alemana Faber-Castell (de Nuremberg) ofrecía en los
años 70 hasta medio centenar de reglas diferentes según su aplicación para diferentes
cálculos y profesiones.
Con la llegada y difusión de las calculadoras electrónicas (finales de los años
60 y principios de los años 70), las reglas de cálculo dejaron de utilizarse (así como de
fabricarse).
Sin embargo, tenemos referencias de que, a pesar de sus resultados
aproximados, aún se usan reglas de cálculo. Algunos autores afirman que la regla de
cálculo permite un desarrollo de los conceptos matemáticos y lógicos en los alumnos
nada desdeñables, reivindicando su redescubrimiento y su uso en la enseñanza.
18
Reglas de la casa Faber-Castell y tablas de logaritmos de los años 1970.
Cuerpo de la
regla
Cursor
deslizante
Reglilla
deslizante
Ejercicios.1) Siguiendo las indicaciones de tu profesor, construye una regla de Gunter.
2) De la misma forma, intenta construir una regla de cálculo operativa con la plantilla
que te proporcionará tu profesor.
3) ¿Se te ocurre construir algún tipo de aparato de cálculo basándote en las reglas de
cálculo?
7.4. CONTÓSTILOS Y ADIÁTORES
Contóstilos fabricados en
Japón en los años 1960.
Dos adiátores fabricados
por la marca Sterling de
USA en los años 1960.
Se trata de dos tipos de calculadoras mecánicas.
Los llamados contóstilos proliferaron desde finales
del siglo XIX hasta la generalización de las calculadoras de
bolsillo en los años 70 del siglo XX. Resultaban unos
aparatos muy cómodos porque cabían en un bolsillo y
podían realizar con relativa rapidez operaciones de suma,
resta y multiplicaciones (descompuestas en forma de sumas
sucesivas).
Los contóstilos son aparatos mecánicos con unas
cremalleras que se accionan mediante un punzón. Si una
columna supera la decena, mediante una operación sencilla
se mueve una unidad la columna siguiente.
Los adiátores proceden casi directamente de la idea
de la calculadora de Pascal. Consisten en una serie de
diales que interactúan mecánicamente para afectar al dial
siguiente o anterior, con lo cual son más cómodos de usar
que los contóstilos. Los hubo de sobremesa y de bolsillo,
para cifras mayores o menores, pero todos hacían las
mismas operaciones, suma, resta y multiplicación (por
descomposición en sumas).
19
Ejercicios.1) ¿Se te ocurre cómo se podría construir un contóstilo sencillo?
2) Los contóstilos ¿Son instrumentos digitales o analógicos? Explica tu respuesta.
3) Los adiátores ¿Qué tipo de instrumento de cálculo son?
4) ¿Se pueden hacer divisiones con este tipo de aparatos?
8. CALCULADORAS MODERNAS
La primera máquina mecánica
calculadora de la que se tiene
constancia fue la construida por Pascal
en
1641
(máquina
sumadora);
posteriormente en 1675 Leibniz ideó una
máquina de multiplicar pero no llegó a
construirla completamente.
Máquina de Pascal
La primera calculadora comercial de funcionamiento satisfactorio fue la creada
por Xavier Thomas de Colmar en 1820.
Durante el siglo XIX y XX surgen diversas máquinas sumadoras y calculadoras
comerciales y de bolsillo. En la primera mitad del siglo XX se siguieron usando
calculadoras mecánicas y reglas de cálculo. A partir de los años 70, en España, se
difunden muy rápidamente las calculadoras electrónicas, cuyo funcionamiento es ya
plenamente digital.
A la izquierda, una calculadora de bolsillo de los primeros años del siglo XX. A la
derecha, una calculadora de sobremesa para contabilidad empresarial (años 70 del
siglo XX).
Diferentes tipos de calculadoras modernas. A la izquierda, una Canon de los años 1970, en el
centro una Casio y una Texas Instruments de los años 1980, a la derecha una calculadora
Texas Instruments de los años 1990.
20
Con la llegada de los circuitos, baterías de pequeño tamaño y demás tecnología, cada
vez las calculadoras de bolsillo realizan más operaciones y con mayor exactitud.
Desde las más sencillas hasta las científicas, organizadores y calculadoras gráficas
que pueden incluso conectarse a los ordenadores para transmitir los datos.
Al fin y al cabo, los primeros ordenadores no eran más que calculadoras
digitales electrónicas con capacidades añadidas, como son uso de textos o gráficos
(pero que siempre se basan en cálculos matemáticos).
9. OPERACIONES CON LAS CALCULADORAS
Realiza, usando tu calculadora, las siguientes operaciones:
1.- 34578 + 98278
2.- 0,7587+ 89, 98
3.- 90949+ 546,983
4.- 869 – 345
5.- 94893872 – 857420
6.- 9584 – 172834
7.- 367 x 3
8.- 7685 x 35
9.- 0,968 x 75
10.- 7388 x 2,87
11.- 6270 / 5
12.- 1364118 / 21
13.- 6453 / 7
14.- 2001516 / 354
15.- (8495 + 748) x 278
16.- 8495 + (748 x 278)
17.- ((748 – 56) x 87) + (89 x (53 +758))
10. FRACCIONES Y OPERACIONES CON FRACCIONES
Con una “fracción” representamos una parte de un total. Se representa con dos
números separados por una línea. Al número superior se le llama numerador y al
inferior denominador. El denominador indica en cuantas partes dividimos un total,
mientras el numerador indica cuantas partes de esas debemos contar.
2
se lee “dos tercios”, indica que de un total de tres partes debemos tomar dos.
3
2 : 3 = 0,666 esta sería la equivalencia decimal de la fracción.
Operaciones básicas con fracciones:
- Suma:
2
3
(2 x 4) + ( 3x3) 8 + 9 17
+
=
=
=
3
4
3x 4
12
12
- Resta:
3
2
(3x 3) − ( 2 x 4) 9 − 8
1
=
=
=
4
3
4 x3
12
12
21
- Multiplicación:
2 7
2 x7
14
7
x
=
=
=
3 8
3 x8
24 12
- División:
2 7
2 x8 16
:
=
=
3 8
3 x7
21
PRÁCTICA DE LAS OPERACIONES CON FRACCIONES.1)
3 4
+
8 7
2)
25
1
+
17
5
3)
1 2 4
+ +
5 3 7
4)
1 5
+
12 3
5)
1
1
5 12
6)
4 2
7 3
7)
1
2
X
5
3
8)
2
X8
3
9)
(2
10)
3
(
- 5)2
1 5 3
+ )
12 3
11) Una vez realizados los ejercicios, pasa los resultados a decimales.
12) Sin ver las soluciones, intenta repetir los mismos ejercicios realizándolos con tu
calculadora. Comprueba si has operado correctamente.
22
Colección de Problemas Variados
1.- El circuito de Calabria tiene un recorrido de 3621 m. Si un vehículo de GP2 ha
realizado su vuelta rápida en 46,89 segundos. ¿A qué velocidad (en km/h) media
circulaba el vehículo?
2.- Sabemos que un automóvil consume 12 litros de gasolina cada 100 kilómetros.
Cada vez que atraviesa una rotonda consume 0,15 litros extra en reducción y
aceleración. ¿Cuánto consume en un recorrido de 18 km con 6 rotondas?
3.- Para calcular el gasto de un Servicio Técnico, nos dicen que la reparación asciende
a 47,80 €, las piezas sustituidas cuestan 25,30 €, el desplazamiento tiene un precio fijo
de 20 € más 0,30 € por kilómetro (y han sido 82 km). Calcula el total de la factura
añadiéndole un 16 % de IVA.
4.- Un CD musical de los “Pet Shop Boys” costaba 23 € con un IVA del 16 %. Si el IVA
ha sido rebajado a un 4 %, calcula cuánto costará ahora el CD.
5.- Un camión de suministros puede traer a la obra 5 palets de bloque cerámico. Cada
palet contiene 40 bloques a 40 cents. cada uno. Calcula el precio total de la carga
añadiéndole un 8 % de IVA.
6.- La empresa de suministros cobra por cada viaje de camión 35 € como precio fijo. El
día 1º trajo a la obra cinco palets de ladrillos y el día 2º trajo tres palets sólo. Calcula
cuánto cuesta de más el palet el segundo día respecto al primero.
7.- Hemos comprado un libro antiguo en una tienda de internet. El libro vale 12 €, pero
el vendedor cobra un 12 % por gastos de embalaje y el correo certificado cuesta 3,86
€. ¿Cuánto debemos pagarle al vendedor?
8.- Una plataforma de internet cobra como derechos fijos 0,30 € por artículo, y una
comisión del 10 % sobre el precio del artículo vendido. Calcula cuánto debemos
pagarle a la plataforma si hemos vendido un artículo por 123 €.
9.- Un concesionario vende una motocicleta por 3500 €. Debe añadirse un 16 % de
IVA, el gasto de transporte de 100 €, la matriculación vale 150 €, el seguro obligatorio
es de 200 €, y el casco cuesta 80 €. Calcula cuánto hay que pagar para irse con la
motocicleta.
10.- Un automóvil vale 15380 €, a lo cual debe añadirse un impuesto de lujo del 12 %,
y a todo ello un 16 % de IVA. La matriculación cuesta 385 €. Si una vez matriculado, el
automóvil ya pierde un 20 % del valor de nuevo. ¿Por cuánto se puede vender el
coche unos días después de la matriculación?
11.- La densidad de una aleación metálica es de 3,8 g/cm3. Para realizar una pieza
prismática de 7 cm de lado y 25 cm de longitud. ¿Cuánto material hará falta?
12.- El habitáculo de una cápsula espacial es un cilindro de diámetro 3 m y longitud 4
m. Si un astronauta consume 0,36 m 3/hora de aire, indica cuánto tiempo puede
sobrevivir con el aire contenido en dicho habitáculo.
13.- Una olla mide 25 cm de diámetro interior y una altura interna de 38 cm. Calcula la
capacidad de la olla en cm3. ¿Cuántos litros caben?
23
14.- Se ha pesado una muestra de mineral, obteniéndose 35 g de peso. Al sumergirla
en una probeta graduada desaloja 125 ml de agua destilada. ¿Cuál es la densidad del
mineral?
15.- Tenemos una barra de sección redonda de 1 m. Nos dicen que debemos fabricar
un tubo cuya luz tenga un radio de 28 cm. Calcula el grosor de la pared del tubo.
16.- Un plástico tiene una densidad de 2,1 g/cm3. Nos piden fabricar un tubo de
diámetro 30 cm, longitud de 50 cm y grosor de la pared de 2 cm. ¿Cuánto material (en
peso) se utilizará?
17.- Una caja de madera mide en el exterior 30 cm de lado, 20 cm de fondo y 17 cm
de alto. Su hueco interior mide 25 cm de lado, 16 cm de fondo y 12 cm de alto. Calcula
el volumen de la madera.
18.- La densidad de un metal es de 12,8 g/cm3, mientras que la densidad de un
plástico es de 1,8 g/cm3. Si dejamos caer 1 kg de metal y 1 kg de plástico al mismo
tiempo. ¿Cuál llega antes al suelo?
19.- Un problema clásico ha sido conocer la altura del campanario de Castellón
usando un barómetro. ¿De cuántas formas puedes conocer la altura? A pensar.
20.- Un aula del Instituto mide 6 metros de ancho, 8 metros de largo y 3 m de alto. Si
hay 14 alumnos y un profesor, calcula cuánta superficie le corresponde a cada uno.
¿Cuánto espacio le corresponde a cada uno?
21.- Un tejado inclinado mide en su hueco interior 1,5 m de alto, 3 m de ancho y 7 m
de largo. ¿Qué volumen de aire cabe en el hueco?
22.- A las 10:30 horas de la mañana, la sombra desde los pies de Manolo hasta la
punta de la misma mide 3,12 metros. Si a la misma hora la sombra de un ciprés mide
8,60 metros, sabiendo que la altura de Manolo es de 1,75 metros. Descubre la altura
del ciprés.
23.- La Brigada Geográfica del Ejército midió los puntos de la figura. Averigua la
distancia entre los puntos A y B.
A
B
500m
7,1 m
5m
Ángulo de 90º
24.- En otra medición, la Brigada tomó las siguientes mediciones. Averigua la distancia
entre los puntos P y P’.
P
300 m
8m
Ángulo de 90º
4m
P’
24
25.- En la siguiente figura nos interesa conocer la distancia entre los puntos A y B,
conociendo las medidas indicadas.
A
50 m
10 m
B
26.- Hallar la altitud de las montañas:
Y
Distancia J-X = 900 m
Distancia X-Y = 1200 m
X
J
20 m
75 m
150 m
Cota 0
ATENCIÓN: En los siguientes problemas deben dibujarse las figuras e indicar las
medidas y datos pertinentes.
27.- Una baldosa cuadrada tiene 40 cm de lado. Hallar su superficie en centímetros
cuadrados y en metros cuadrados.
28.- Una baldosa tiene 36 cm de lado mayor por 27 cm de lado menor. ¿Cuántas
baldosas hacen falta para cubrir 25 m 2 de suelo?
29.- Un campo de deportes tiene 36 metros de ancho por 123 metros de largo. ¿Cuál
es su área?¿Cuál es su perímetro?
30.- Si una pieza cuadrada tiene 25 m de lado y se corta en dos mitades por su
diagonal, hallar el área de cada mitad.
31.- Una tarta de 50 cm de largo por 25 cm de ancho se cortó en dos mitades
triangulares por su diagonal. ¿Cuál es el área de cada mitad?
32.- Un triángulo tiene por base 25 cm y por altura 46 cm. Hallar el área del triángulo.
33.- Un trapecio regular tiene por base mayor una longitud de 50 cm, por base menor
una longitud de 30 cm y su altura vertical es de 20 cm. Hallar su área.
34.- En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 10 cm, el cateto menor mide 12
cm. Hallar la longitud de la hipotenusa.
25
35.- Para disponer un tendido eléctrico sabemos que la punta de una torre está a 20
metros de altura. El punto de enganche se sitúa a 18 metros de distancia sobre el
suelo de la base de la torre. ¿Cuánto deberá medir el cable desde el enganche a la
punta de la torre?
36.- La base mayor de un trapecio mide 50 cm, su base menor 20 cm y su altura es de
32 cm. Hallar su perímetro total.
37.- Un triángulo mide 10 cm de base y 32 cm de altura. Hallar su perímetro.
38.- Una finca tiene 2000 m 2, 200 m 2 están ocupados por una casa de 365 m 2 útiles. Si
cada metro útil vale a 320 € y cada metro sin edificar vale 200 €. Hallar el valor de la
finca con la casa.
39.- Una parcela tiene 3200 m2. El 20 % son colindantes con calle y valen un 25 %
más que el resto. Si el metro cuadrado interior vale 100 €, calcular el valor total de la
parcela.
40.- Al urbanizar un solar de 5320 m2, se destinan un 18 % a viales peatonales, que
deben cubrirse con unas losas cuadradas de 25 cm de lado. Calcula cuántas losas
deben usarse.
41.- Nos situamos a 100 metros de distancia de la base de una chimenea. Con un
telémetro medimos que el extremo de la misma está a 283 metros de distancia de
nuestros ojos. Calcular la altura de la chimenea si consideramos los ojos a una altura
de 1,7 metros.
26
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Ed. Alianza. Madrid.
CIESA, Enciclopedia Temática. c.1970. Volumen VII. “Ciencia: Física y química”.
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28