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Modalidad Semiescolar del
Sistema de Bachillerato del
Gobierno del D. F.
Lenguaje
Simbólico
Números
Naturales
Números
Enteros
Geometría
Matemáticas
Autor: Gabriel Silva Ramírez
Álgebra
1
Matemáticas 1
Curso para el Bachillerato Semiescolar del Distrito Federal
 Instituto de Educación Media Superior
ÍNDICE
1 Introducción
Juegos y problemas lógicos
Lenguaje simbólico
Operaciones básicas
7
14
20
2 Naturales
Concepto de número natural
Operaciones con N
Sus propiedades
Representación de los N base 10; sistema decimal
Representación de los N Bases
Sistemas antiguos de numeración
Divisibilidad: múltiplos y divisores
Los números primos
Divisibilidad MCD mcm.
27
42
65
72
85
102
112
121
128
3 Enteros
Concepto de número entero
Operaciones con los enteros
Propiedades de los enteros
El valor absoluto
140
151
173
179
4 Álgebra
Uso de literales para expresar cantidades
Transcripción del lenguaje común al algebraico
Uso de formulas y evaluación de expresiones
algebraicas
Ecuaciones lineales
Operaciones con expresiones algebraicas
186
195
204
Nociones básicas
Construcciones básicas
Polígonos
Superficies
Volúmenes
236
246
259
273
299
5 Geometría
3
217
223
Matemáticas 1
Introducción y manejo del curso
Matemáticas I. Primer Semestre
Este programa de Matemáticas no se parece a los convencionales, a los típicos que se
enseñan en la mayoría de las preparatorias, ya que difiere tanto en el contenido como en la
manera de enseñar y evaluar.
Se pretende que tú construyas la Matemática, descubras, inventes, propongas y discutas
para que de esta manera formes un método de razonamiento y de análisis, desarrollando
creatividad y aprendiendo a explicar tus razonamientos.
El programa consta de cinco objetivos principales:
M a te m á tic a s I
L e n g u a je
S im b ó lic o
N ú m e ro s
N a tu ra le s
N ú m e ro s
E n te ro s
G e o m e tría
Á lg e b ra
Cada tema está compuesto por varios subtemas, el número en paréntesis indica la
cantidad de éstos, siendo en total 26.
12345-
Lenguaje simbólico (3)
Números naturales (9)
Números enteros (4)
Álgebra (5)
Geometría (5)
4
¿Para qué estudiar Matemáticas?
Una respuesta es “para poder terminar la prepa”, pero eso no convence a muchos.
Este primer curso empieza con curiosos acertijos, algunos de ellos muy antiguos como aquel
en que el inventor del ajedrez pretendía cobrar en especie por un préstamo un grano de trigo
por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así
sucesivamente, hasta llegar a la casilla numero 64. Lo increíble es tal cantidad de granos
resultó ser insólitamente grande.
Encontrarás interesantes anécdotas y entretenidos problemas a lo largo del curso, pero
principalmente en el primer objetivo: el lenguaje simbólico. Los objetivos 2 y 3 son acerca de
los números naturales y los números enteros, respectivamente, la estructura que forman, las
operaciones y propiedades que poseen y de los últimos, los positivos y los negativos. Tal vez
ya los conozcas, pero no está por demás que las recuerdes.
En el módulo cuatro hacemos una breve introducción al álgebra y, por último, en el módulo 5
nos internamos al estudio de la geometría, empleando unas primeras construcciones con
regla y compás. Estos temas se irán ampliando cada semestre hasta que llegues a dominar
lo que todo estudiante debe saber al terminar la prepa, y esperamos que un poco más de lo
necesario.
Abajo, en la sección Ligas externas aparece la dirección electrónica del artículo Pero, ¿para
qué sirven las matemáticas? publicado en el Congreso Mundial de Matemáticas en Madrid,
2006. Te va a gustar, te lo aseguro.
¿Cómo están integrados los módulos?
El primer bloque de la página se llama portada y contiene el título del objetivo y del tema,
después de la portada viene un resumen que explica brevemente la actividad que se va a
realizar; en el índice podrás identificar una lista que refiere la página donde se encuentra
cada tema del contenido, así como las secciones importantes mencionadas de cada módulo;
el apartado esquema instructivo es un modelo que te indica el contenido del módulo en el
orden de la presentación, pero no necesariamente; la introducción te ofrece elementos muy
puntuales de lo que se va a tratar en la sección correspondiente, condensa el contenido del
módulo para que puedas tener una idea rápida de lo que encontrarás más adelante.
Completan la información un glosario, ligas externas y ejercicios. Aparecen también,
algunas definiciones importantes vistas o mencionadas en el módulo. Es conveniente
investigar más acerca de tales definiciones.
Ligas externas
5
Aparecerán direcciones de sitios interesantes encontrados en la red. Esperamos que te
ayuden a aprender y a despertar tu interés y curiosidad sobre temas matemáticos o
cercanos a éstos.
Se te pedirá buscar alguna definición en el Diccionario de la Real Academia Española, es
bueno tener esta referencia que nos puede aportar para aclarar algunos conceptos.
* Pero, ¿para qué sirven las matemáticas? http://www.icm2006.org/prensa/dossier/#11
(Septiembre, 2007).
Ilustraciones
Se proporcionan datos y direcciones de las figuras utilizadas a lo largo del texto.
• La imagen de los objetos geométricos que aparece en la página uno proviene de :
http://www.daviddarling.info/images/mathematics.jpg (Septiembre, 2007).
6
Matemáticas 1
Introducción
1. Juegos y problemas lógicos
Aunque
la imagen que presentamos arriba a la
izquierda es de Sudoku, no hablaremos de este juego
en particular, pero sí de otros pasatiempos
intelectuales, son una serie de acertijos donde
razonando correctamente podrás resolverlos. El primero
es geométrico, el segundo numérico y el tercero
consiste en acomodar varios cerillos.
OBJETIVO 1
Desarrollarás tu capacidad de
razonamiento y uso del
lenguaje
Arreglos
de cerillos
El testamento
del Jeque
Juegos
Ejercicios lógicos
y Acertijos
Montones
de fichas
División
del terreno
1 - El testamento del Jeque
Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus tres hijos de la siguiente forma:
la mitad para el primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño.
Resulta que el jeque sólo tenía once camellos, con lo que el reparto se hizo realmente difícil, pues no
se trataba tampoco de cortar un animal de éstos. Los tres hermanos estaban discutiendo el asunto,
cuando de pronto ven llegar montado en su camello a un viejo beduino, famoso por su sabiduría. Le
pidieron consejo y éste les dijo:- Si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en vez de once no
habría problemas. -Cierto, pero sólo tenemos once- respondieron los hermanos, a lo que el beduino
contestó: - tomad mi camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en la
operación.
¿En qué se basó el beduino para afirmar tal cosa?
El testamento del Jeque. http://www.acertijos.net/cero/4.htm (consultada en julio 2007).
A continuación te presentamos una serie de acertijos en los que, para encontrar una respuesta, tienes
que hacer uso de tu ingenio e imaginación. ¿Estás listo? Empecemos.
7
2 - El terreno
Se tiene un terreno formado por tres cuadrados de igual superficie, o tres recortes de papel para que
sea más accesible, y se desea dividirlo en cuatro partes de manera que las cuatro superficies sean
iguales y que además tengan la misma forma, ¿De qué manera hay que dividir el terreno o los
recortes de papel para obtener el resultado deseado?
Este es el esquema original del
terreno, o de los recortes de papel:
Recordemos lo que nos dice el ejercicio:
Tres cuadrados, dividirlos en cuatro partes pero que tengan igual superficie.
Aquí hay un juego entre el 3 y el 4, o entre el 4 y el 3 tengan igual superficie.
Un arreglo de 3 convertirlo en uno de 4 u obtener uno de 4 partiendo de uno de 3.
3 y 4, 4 y 3.
3 por 4, 4 por 3, el resultado de este producto es 12.
¿Acaso se podrá dividir este terreno en 12 partes,
o sea dividir cada una de las tres partes originales
en 4 partes más pequeñas? Pues sí. Dividido el
terreno original en 12 partes, podemos formar las 3
partes originales hechas de 4 partes pequeñas,
veamos:
Primero separamos y de 3 grupos de 4 partes pequeñas formamos 4 grupos de 3 partes pequeñas,
luego reagrupamos y cambiamos el color de 3 partes pequeñas para que el efecto de nuestro
reacomodo sea más claro.
8
Y finalmente obtenemos:
3 - Montones de fichas
Se nos plantea el siguiente juego: con 48 fichas, divididas en 3 montones, se nos pide que pasemos
del primer montón al segundo tantas fichas como hay en el segundo, después pasemos del segundo
montón al tercero tantas fichas como hay en el tercero y, finalmente, pasemos del tercer montón al
primero tantas fichas como ahora hay en el primero (recordemos que ya se pasaron fichas de este
montón al segundo). Si en este momento del juego se tiene el mismo número de fichas en cada uno
de los tres montones ¿cuántas fichas hay en cada montón al final del juego? y ¿cuántas fichas había
en cada montón antes de iniciar el juego?
R1. Para esta respuesta dividimos el total de las fichas del juego que son 48 entre el número de
montones, o sea 3; esto es igual a 16. Ahora sabemos cuántas fichas debemos tener en cada montón
al terminar el juego.
R2. Para esta otra respuesta tendremos que hacer algo más que dividir. ¿Qué hacemos?, ¿qué
hacemos? Este reto es mayor que el anterior ¿no es cierto? ¿Qué tal si suponemos que hemos
realizado el juego de manera que se cumple lo que se nos pide para el final? ¡Pues ya está! Supuesto
que llegamos a la respuesta correcta, sólo nos falta instrumentar el procedimiento por el que
obtuvimos la solución. ¿Y cómo hacemos esto? ¡Claro!, yéndonos en el sentido inverso al desarrollo
del juego. Entonces partamos de la posición final y reconstruyamos el ejercicio.
Para esto pongamos nombre a cada montón, será más sencillo. Tomemos en cuenta que se hicieron
3 movimientos. Empleemos las primeras letras de nuestro alfabeto: A, B y C. Entonces, partamos:
Posición final con 16 fichas cada montón. O sea, después del último movimiento:
Posición final,
después del
tercer movimiento:
A
B
C
16
16
16
9
Posición antes del tercer movimiento, o sea después del segundo movimiento: ahora pensemos, si en
el tercer movimiento pasamos del tercer montón al primero tantas fichas como había en el primero,
quiere decir que el primer montón (A), contaba con la mitad de fichas que tiene en la posición final,
fichas que tenemos que quitarle para agregarlas al montón 3, (C). La tabla se mueve de la siguiente
manera:
Posición
antes del
tercer movimiento:
A
B
16 - 8 = 8
16
C
16 + 8 = 24
O sea 8 fichas en el montón A y 24 en el C.
Esto quiere decir que al segundo movimiento la posición era:
Posición
después del
segundo movimiento:
A
B
C
8
16
24
Si en el segundo movimiento pasamos del montón B al C, tantas fichas como había en el C y si
resulta que en el C hay 24 fichas, quiere decir que antes de este movimiento había sólo la mitad,
misma que habrá que regresarlas al B. La tabla quedará:
Posición
antes del
segundo movimiento:
A
B
8
16 + 12 = 28
C
24 - 12 = 12
Entonces la posición en el primer movimiento era:
Posición
después del
primer movimiento:
A
B
C
8
28
12
Haciendo el último movimiento, primero del acertijo, procedemos como en los pasos anteriores. Si en
el primer movimiento pasamos del montón A al B tantas fichas como había en el B, querrá decir que
había la mitad y que esa mitad la agregaremos al montón A. Lo que mueve nuestra tabla de la
siguiente forma:
Posición
antes del
primer movimiento:
B
A
8 + 14 = 22
28 - 14 = 14
10
C
12
Y ahora si, tenemos la posición original:
Posición original:
A
22
B
14
C
12
Tenemos 48 fichas en esta posición, lo que nos falta es probar que nuestra respuesta es correcta.
Repitamos el juego desde el principio:
A
22
B
14
C
12
Primer movimiento: de A a B tantas fichas como hay en B:
22 - 14 =
8
8
14 + 14 =
28
28
12
12
Segundo movimiento: de B a C tantas fichas como hay en C:
28 -12 =
16
8
8
16
12 + 12 =
24
24
24 + 8 =
16
16
Y tercer movimiento: de C a A tantas fichas como ahora hay en A:
8+8 =
16
16
16
16
Esto quiere decir que nuestro proceso nos dio la respuesta correcta, entonces la posición inicial es:
A
22
B
14
C
12
4 - Arreglos de cerillos. Un acertijo más. Construyendo con cerillos o palillos las siguientes
figuras, analízalas y responde lo que se te pide.
11
1. Arma las siguientes dos figuras.
2. ¿Cuántos cerillos necesitas para armar la séptima figura?
3. ¿Cuántos para armar la octava?
4. Construye una tabla que exprese los resultados anteriores (figura, número de cerillos) y cómo
va creciendo el número de cerillos al aumentar los cuadros de las figuras.
Ejercicios
1. En una mesa cuadrada se sientan 4 personas. Juntando 2 mesas, cuadradas por supuesto, se
sientan 6 personas, entonces:
a. ¿Cuántas personas pueden sentarse en 5 mesas juntas?
b. ¿Cuántas en 9 mesas juntas?
c. ¿Cuántas en 17 mesas juntas?
d. ¿Cuántas mesas deben juntarse para que puedan sentarse 28 personas?
e. ¿Cuántas para sentarse 42 personas?
f. ¿Cuántas para sentarse 55 personas?
Sugerencia: en tu cuaderno haz dibujos con las condiciones de cada paso y desarrolla una tabla en
que relaciones mesas con personas.
2. En un campeonato estudiantil de fútbol los equipos inscritos deben jugar todos contra todos.
¿Cuántos juegos se realizarán en el campeonato?, si:
a. se inscriben 4 equipos y juegan una sola vuelta.
b. se inscriben 7 equipos y juegan una sola vuelta.
c. se inscriben 5 equipos y juegan a dos vueltas.
d. se inscriben 10 equipos y juegan a dos vueltas.
3. En una nevería ofrecen 5 sabores de nieve: limón, sandía, guanábana, fresa y zapote. Si pides un
sorbete doble, ¿de cuántas maneras diferentes te lo pueden despachar?
Toma en cuenta dos cosas: primera, que puedes pedir las dos bolas del mismo sabor y segunda, que
si pides dos sabores diferentes no importa cuál pongan primero en el sorbete.
4. La cruz, construida aquí con 12 (doce) cerillos, ocupa una
superficie de 5 cuadritos hechos también con cerillos.
Utilizando esos mismos 12 cerillos construye una
superficie que tenga el equivalente a 4 (cuatro) cuadritos.
12
5. En un cuadrado formado por dieciséis pequeños cuadrados, o sea, dispuestos 4x4, escribe los
números del 1 al 16 (una vez cada uno) de manera que:
a. los cuatro números que componen cualquier renglón sumen lo mismo;
b. de igual manera los cuatro de cada columna, y
c. también los componentes de las dos diagonales.
6. Cuatro hermanos han decidido fincar un terreno, que es de forma cuadrada, de acuerdo a las
siguientes reglas:
a. una cuarta parte, que tendrá la misma forma que el terreno original, se destinará para áreas
comunes y
b. la superficie restante se dividirá en cuatro partes iguales que tengan la misma forma y
superficie.
¿Cómo quedará la división del terreno original?
7. ¿Cuántos cuadrados contiene el cuadrado grande? y ¿cuántos rectángulos?
8. Un ladrillo de construcción pesa 4 kilogramos. ¿Cuánto pesará un ladrillo hecho del mismo
material, cuyas dimensiones son 5 veces menores? Haz uno o varios dibujos.
Ligas externas
* El testamento del Jeque. http://www.acertijos.net/cero/4.htm (Consulta julio 2007).
* ¿Qué significa la palabra acertijo? ¿Viene de acertar? Consulta lo que dice de la palabra el
Diccionario de la Real Academia Española: http://www.rae.es
13
Matemáticas 1
Introducción
2. Lenguaje simbólico
Propósito:
El estudiante comprenderá y utilizará símbolos en el desarrollo de los
procedimientos para encontrar la solución de ejercicios. Intuirá la facilidad que
brinda el hacer uso de un lenguaje simbólico en procesos de pensamiento.
Continuemos con lo visto en el tema anterior, ejemplos y acertijos. Empecemos con la famosa
leyenda del ajedrez, para seguir con una serie de problemas típicos. En algunos se recomienda usar
una hoja de cálculo, especialmente para el último, llamado treinta días.
El árbol
genealógico
Agua,
electricidad
y gas
Las jarras
de agua
El garrafón
de agua
Acertijos y
Lenguaje Simbólico
El perro,
la gallina y
el maíz
¿30 días?
La leyenda
del Ajedrez
Cruces y
círculos
1. La leyenda del juego de ajedrez. Una leyenda muy antigua cuenta que en la India había un rey
llamado Dahir, el cual encargó la educación de su hijo, el príncipe real, a un profesor brahmán
llamado Sissa, quien para entretener al príncipe se propuso desarrollar un juego que, no obstante
ser el rey la figura principal, nada pudiera hacer sin la ayuda de sus súbditos: el ajedrez. El
príncipe quedó tan contento con el juego propuesto por Sissa, que en un rasgo de generosidad
ofreció a su autor que pidiera lo que quisiese. Sissa, deseoso de dar una nueva lección a su
discípulo, formuló esta modesta petición:
“Dadme un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la
cuarta y así sucesivamente por cada casilla el doble de la anterior”.
14
La petición fue concedida pero cuando se hicieron los cálculos, el número de granos de trigo era tan
grande que el tesoro real en su totalidad no alcanzaba para cubrir la promesa. El rey Dahir, como
muestra de reconocimiento conservó a Sissa como consejero para sí y como preceptor de su hijo.
¿Cuántos granos de trigo tenían que entregarle al inventor del ajedrez?
1
4
2
8
16
32
…
…
…
…
…
Como sabemos, el tablero de ajedrez consta de 64 casillas, 8 por lado. Entonces, de acuerdo al
arreglo anterior, ¿cuántos granos de trigo habría en cada una de las 64 casillas? (En el lenguaje del
ajedrez se les llama “escaques”).
Número de Cantidad de
escaque
granos de trigo
Total de granos
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
4
8
16
32
64
128
1
3
7
15
31
63
127
255
. . .
. . .
. . .
Encuentra alguna relación y
escríbela en estas columnas
Es claro, que con esta forma de desarrollo llegaríamos, aunque lentamente, a saber cuántos granos
de trigo hay en cada casilla desde la 1 a la 64. Sin embargo, podemos utilizar la secuencia para
analizar, comparar y deducir cuántos granos de trigo habría en cada casilla sin necesidad de ir
duplicando el número escaque por escaque (renglón por renglón). Veamos esto:
Escaque 1: 1 grano; esto puede escribirse como 20 = 1 (2 elevado a la 0)
Escaque 2: 2 granos; que puede escribirse como 21 = 2 (2 elevado a la 1)
Escaque 3: 4 granos; que puede escribirse como 22 = 4 (2 elevado a la 2)
. . .
Escaque 5: 16 granos; es decir 24 = 2 (2 elevado a la 4)
. . .
15
Escaque 14: ¿cuántos granos?; ¿qué potencia de dos le corresponde 2?
. . .
Escaque 64: ¿cuántos granos?; ¿qué potencia de dos le corresponde 2?
Realizada la suma de todos los granos, hagamos la conversión del total de granos en toneladas y
comparemos esa cantidad con la producción anual de México, para darnos una idea del tiempo
necesario para la producción de tal cantidad de trigo.
2. Cruces y círculos saltarines
X
Cruces y círculos saltarines
X
O
O
Considera el siguiente arreglo:
El juego consiste en pasar los círculos al lugar que
ocupan las cruces y las cruces al lugar que ocupan
los círculos.
Regla 1. Los objetos se mueven un cuadro en cada
paso o tirada.
Regla 2. Sólo pueden saltar un cuadro cuando tiene
enfrente un objeto del otro tipo.
Ejemplo: cruz salta círculo o círculo salta cruz.
¿Cuál es el número mínimo de pasos para terminar el juego?
¿Cuál es el número mínimo de pasos para terminar el juego, si ahora tenemos 5 cruces y 5 círculos?
¿Cuál es el número mínimo de pasos para terminar el juego, si ahora tenemos 200 cruces y 200
círculos?
¿Cuánto tiempo nos llevaría resolver el juego en la pregunta 3?
Sugerencia: realiza el juego con pocos objetos y anota en una tabla los resultados para analizarlos y
así poder deducir qué pasaría con un número mayor de cruces y círculos.
16
3. El perro, la gallina y el maíz. Lorenzo compró en el mercado un perro, una gallina y un costal
de maíz. Para regresar a su casa debe atravesar el río que se encuentra entre su casa y el
pueblo. Las lanchas que hay en el embarcadero son pequeñas, de manera que sólo pueden caber
en ellas un hombre y una de sus pertenencias por viaje. ¿Cómo debe pasar a salvo sus
pertenencias Lorenzo, pudiendo llevar una a la vez? Toma en cuenta que si en algún momento
quedaran en una misma orilla el perro y la gallina, el perro se la comería; y si este fuese el caso
de la gallina y el saco de maíz, la gallina se comería los granos.
Río
Posición original
L
P
G
M
Viaje inicial
Viaje de regreso
Viaje de ida
Viaje de regreso
...
...
Viaje final
Posición final
L
P
G
M
4. Las jarras de agua. ¿Cómo podríamos obtener de una fuente, exactamente 3 litros de agua, si
sólo disponemos de dos jarras, una de 9 litros y la otra de 5 litros? Las jarras no tienen
graduación, pero podemos llenar y vaciar los recipientes en la fuente cuantas veces lo deseemos.
Jarra de 5 litros
Jarra de 9 litros
9 litros
5 litros
5. Agua, electricidad y gas. Se tiene la necesidad de hacer el plano de abastecimiento de agua,
electricidad y gas a tres casas que se encuentran alineadas horizontalmente sin que las líneas de
distribución se crucen. ¿Dónde deben colocarse las unidades de distribución?
17
6. Árbol genealógico. ¿Cuántos padres tienes?, ¿cuántos bisabuelos y cuántos tatarabuelos? Si
te regresas una generación llegas a tus padres, si lo haces dos llegas a tus abuelos, etc.
¿Cuántas personas hay si te regresas 10 generaciones? y en general ¿cuántas personas hay si te
regresas “n” generaciones?
Eduardo
Papá
Abuelo
Bisabuelo
Bisabuela
Mamá
Abuela
Bisabuelo
Bisabuela
Abuelo
Bisabuelo
Bisabuela
Abuela
Bisabuelo
Bisabuela
7. Garrafón con agua. Esta botella de agua fue comprada en un mercado de la ciudad de Nueva
York.
La etiqueta dice “PESO NETO
1GAL”. ¿Notas algo raro?
Acertijo tomado de: http://www.seed.slb.com/es/scictr/lab/math/mar04.htm (Consulta julio 2007).
18
8. Treinta días. Imagina que un viejo conocido te dice lo siguiente:
Cada día, durante un mes te entregaré cien mil pesos. Claro que no voy a hacerlo gratis pero
el pago, como verás, es mínimo. El primer día tu me pagarás solamente un centavo.
-
Te parece muy sospechoso, además ni centavos hay ya, pero tienes interés en lo que te puedan
decir.
-
¿Un centavo?, contestas
Un centavo, sí. Sólo eso. Por los segundos cien mil, pagarás dos centavos.
Bueno, ¿y después? dices con curiosidad:
Después, por los terceros cien mil pesos pagarás cuatro centavos; por los cuartos cien mil
serán ocho centavos lo que pagarás; por los quintos cien mil me darás dieciséis centavos y
así sucesivamente durante todo un mes; es decir, cada día me pagarás el doble que el
anterior.
-
Y, ¿qué más? preguntas ansioso, para entender el objetivo de este personaje
Eso es todo, dijo el misterioso conocido. A los treinta días terminará nuestro convenio y habrá
sido un placer hacer negocios contigo, dijo. Lo único es que debemos mantener el trato como
caballeros que somos y no romperlo sino dejar que llegue a su término, o sea treinta días
después de iniciado.
“Me entregará cien mil pesos diariamente por treinta días, eso hace tres millones de pesos a
cambio de sólo unos centavos, este hombre debe estar loco”, piensas, “a no ser que tenga un
plan muy bien elaborado”.
Después de meditarlo un rato descubres lo funesto de su plan y le respondes:
Acepto, siempre y cuando modifiquemos el número de días en la transacción, ya que no
quiero que sean treinta sino ____ días.
-
El ejercicio consiste en:
a) investigar el arreglo y notar que, en caso de aceptar, perderías mucho dinero. ¿Cuánto?
b) notar que hay una manera de ganarle algunos millones de pesos, pero para esto hay que modificar
el número de días, es decir, que no sean treinta.
¿A cuantos días?
¿Cuánto ganarías?
Ayuda:
Día
1
2
3
4
Pago
diario
$0.01
$0.02
$0.04
$0.08
Recibo
diario
$100,000
$100,000
$100,000
$100,000
19
Ingreso
diario
$99,999.99
$99,999.98
$99,999.96
$99,999.92
Total
$99,999.99
$199,999.97
$299,999.93
$399,999.85
a + b
c − d
e× f
g ÷ h
Propósito:
=
=
=
=
c
e
g
a
Introducción
3. Operaciones básicas
El estudiante demostrará su conocimiento de las operaciones básicas, e identificará
sus elementos y buscará aquellos que hagan falta en ellas. Apoyado en su
pensamiento lógico obtendrá el elemento faltante en las operaciones.
En esta sección se trata de que practiques las cuatro operaciones básicas de la aritmética: suma,
resta, multiplicación y división.
Suma
Resta
Operaciones Básicas
Multiplicación
División
Para ayudarte en el adiestramiento y solución de lo solicitado, a continuación se presenta una serie
de ejercicios. No importa que, por el momento, no tengas la respuesta correcta a la mano. Sin
embargo, intenta resolver las operaciones y encontrar los nombres de los elementos que se solicitan.
En los primeros 8 ejercicios numéricos, se presentan operaciones básicas (suma, resta, multiplicación
y división). Realiza las operaciones y escribe a la derecha de cada elemento el nombre que le
corresponde.
En los siguientes 32 ejercicios numéricos realiza las operaciones que sean necesarias para encontrar
el elemento que hace falta. Posteriormente encontrarás 8 ejercicios numéricos, en los que puedes
reacomodar las cifras para mayor facilidad. Realiza las operaciones y encuentra el resultado.
Por último, aparecen siete ejercicios donde hay que encontrar el valor de las incógnitas, ya sea letras
o símbolos.
Todos los ejercicios de la forma 4k, es decir, los múltiplos de cuatro tienen respuesta incluida.
20
Operaciones básicas 1
Realiza las siguientes operaciones y escribe a la derecha de cada elemento el nombre que le
corresponde:
1)
2)
361
401
472
512
+ 289
+ 394
857
1107
3)
4)
4831
6042
_ 2978
_ 3467
2575
5)
6)
386
756
x 75
x 34
84.50
28 7465
59 4986
266
300
50
21
Operaciones básicas 2
Encuentra el elemento que hace falta en cada una de las siguientes operaciones:
1)
2)
+
3)
37
26
74
67
...
71
...
58
46
+
+
+
. . 21
18
43
196
178
213
189
6)
7)
38
9)
–
...
...
–
56
...
x
2438
37
x
0
7
12)
18
...
15)
29
x
...
1
16)
180
0
22
. . 49
882
36
...
. . 35
52
5427
14)
...
–
67
1073
35
71
11)
...
46
87
34
10)
13)
8)
94
47
x
25
...
...
4
39
95
5)
–
4)
68
8
. . 549
5
Operaciones básicas 3
Encuentra el elemento que hace falta en cada una de las siguientes operaciones:
1)
2)
+
3)
596
345
453
179
...
468
...
486
912
+
721
+
. . 243
129
527
1928
1827
1792
1435
7)
...
487
9)
_
...
...
_
834
...
36294
13)
11)
...
x
37
x
7
83
12)
...
15)
29
635
x
47
12
16)
...
9
23
. . 89
56515
36
...
. . 354
624
62815
14)
...
_
739
30562
74
864
978
397
10)
46
8)
1423
965
65
+
...
6)
x
672
137
5)
_
4)
68
52
.. 3557
21
Operaciones básicas 4
Realiza las siguientes operaciones:
1)
37.4
+
18.79
+
23.06
+
58.1
=
2)
18.023
+
47.69
+
7.531
+
32.9
=
3)
405
–
289.4
=
4)
341.2
–
163.35
= 177.85
5)
69.3
x
41.7
=
6)
32.18
x
5.76
=
7)
34.7
:
6.9
=
8)
567.02
:
21.3
= 26.62
Ejercicios con letras y símbolos
1) Encuentra el valor de A, B y C en la siguiente suma:
A B
+ B C
B C B
2) Encuentra el valor de H, S, y Z en la siguiente resta
–
S H H H
S
Z Z Z
24
3) Encuentra el valor de A y B en el siguiente producto:
A
x A
A
A 7
A B
7
A
7
7
1) ¿Cuánto vale cada asterisco en la siguiente multiplicación?
*
x 3
*
3 * 2
* 2 * 5
1 * 8 *
1 *
* 2
3 *
*
3 0
Respuesta:
415 x 382 = 158,530
5) El siguiente ejercicio tiene 2 posibles respuestas para A, B y C. ¿Cuáles son?
B
x A
B
B 7
B C
7
A
7
7
6) ¿Cuánto vale cada asterisco en la siguiente multiplicación?
*
x 1
2 *
1 3 *
* * *
4 * 7
* 5
* *
* 5
0
7 *
7) ¿Cómo resolver este tipo de ejercicio? Por ejemplo:
1
2
3
4
5
C O C A
+ C O L A
O A S I S
Suponiendo que cada letra distinta representa un número distinto, ¿cuánto vale cada letra?
25
Sugerencia:
i) la primera columna dice cuánto es O; sustituir por un mismo valor las O.
ii) la tercera columna dice que hay dos posibilidades para S, pero la quinta columna deshecha
una de ellas; sustituir S por esa otra opción.
iii) la quinta columna da dos opciones para A, pero una es imposible ya que habría dos letras
distintas con el mismo valor; sustituir A por su valor.
iv) la segunda columna dice cuanto es C; sustituir entonces por su valor.
v) la cuarta columna dice que hay dos opciones para L. Una es imposible ya que todas las letras
tienen valor diferente, de manera que se toma la otra opción.
vi) finalmente, es fácil encontrar el valor de I.
Glosario
Operaciones Básicas: las cuatro operaciones matemáticas básicas son: suma, resta, multiplicación,
división.
Suma: operación que combina o agrega dos números para formar un tercero. La operación se denota
con el signo + y los términos por sumar, sumandos.
Resta: operación inversa a sumar y se denota por una pequeña raya horizontal: – También llamada
diferencia. Los nombres tradicionales son minuendo – substraendo = diferencia
Multiplicación: la multiplicación de dos números naturales es una manera rápida de sumar varias
veces la misma cantidad; el resultado se llama producto. Los números por multiplicar se llaman
factores; individuamente uno es el multiplicando y el otro, multiplicador. La notación usada para
multiplicar a y b puede ser cualquiera de las siguientes: a x b, a · b, a b ó (a)(b); es decir, una cruz
entre los factores, un punto entre los factores, un factor a continuación del otro o ambos factores
entre paréntesis y a continuación uno del otro.
División: es la operación inversa a multiplicar; Siendo su significado más común el de repartir en
lotes iguales y la notación para dividir a entre b es: a / b ó a ÷ b ó
a
.
b
Nota: en la división anterior el número b debe ser distinto de cero.
Ilustraciones
Tablero de Sudoku. Tomado de http://www.logicgamesonline.com/images/sudoku-puzzle-256.png
(Consulta julio 2007).
Garrafón de agua: http://www.seed.slb.com/es/scictr/lab/math/mar04.htm
Disco mandado al espacio en naves Voyager. Tiene 115 imágenes, sonidos naturales y de animales,
90 minutos de música, Saludos en 55 idiomas e instrucciones en lenguaje simbólico, para escucharlo
http://www.astronomy.com/asy/objects/images/voyager_record_cover_700.jpg (Cons. julio 2007).
26
Matemáticas 1
66
99
Propósito:
Los números naturales
1. Concepto de número natural
El estudiante sabrá como es el conjunto de los números naturales en cuanto su
secuencia, paridades, subconjuntos y cardinalidad; tendrá la intuición de su
estructura como un sistema ordenado por unidades de magnitud.
Los números naturales, ¿qué son y dónde se usan?
Algunos subconjuntos interesantes son los pares y los
nones, además de la definición de cardinalidad, o sea el
número de objetos que hay en algún conjunto. ¿Qué hay
más, pares o naturales?, ¿por qué?
Se espera que al final de esta sección puedas contestar
tales preguntas; se recomienda que sigas con atención las
preguntas y los ejercicios.
OBJETIVO 2
Adquirirás nociones
básicas de la aritmética.
Los números naturales
Pares y
nones
La recta
numérica
Correspondencia
Uno a uno
Introducción: naturales, pares y nones
¿Te has dado cuenta cómo son los números que han aparecido hasta ahora en los ejercicios resueltos
en juegos, acertijos y textos?
Estos números son:
a) los que numeran los ejercicios: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . .
b) los que señalan la cantidad de cada objeto u objetos que se mencionan en los textos; 5 fichas, 3
partes, 15 líneas, etc. y desde luego,
27
c) los que has encontrado en los procedimientos que te han llevado a la solución de cada ejercicio: la
suma de las distancias recorridas en una semana o, sabiendo el precio de 4 elementos el encontrar
cuál es el de 3 docenas y media, etc.
Estos números son sencillos, simples, de fácil manejo, amigables, o sea, números “bien portados”.
Reciben el nombre de números naturales y es el conjunto1 de números más antiguo que se conoce.
Sus propiedades nos permiten:
1. Contar, asignando a cada elemento de un conjunto o grupo un número y así saber de manera
"natural", cuántos objetos contiene el conjunto.
2. Numerar los elementos de algún conjunto, del mismo modo que a cada uno de ellos se le va
asignando un número. Al término de esta asignación se tiene que al último elemento se le asigna el
número que resulta ser la cantidad total de elementos del conjunto.
3. construirlos, acomodarlos y definirlos como una secuencia. Siempre se les mencionan a partir del 1
siguiéndole el 2, 3, y así en sucesión.
El conjunto de los números naturales contiene, a su vez, conjuntos dentro de él llamados
subconjuntos2 de los números naturales, con características propias.
¿Conoces algunos de ellos?, ¿podrías describirlos?
1. Los números impares o números nones.
2. Los números pares.
¿Recuerdas alguna propiedad particular de estos números (o de estos conjuntos)?
R 1. Los números impares dejan residuo "1" al ser divididos por 2.
R 2. Los números pares dejan residuo "0" al ser dividido por 2, o dicho de otra manera, el "2" divide a
cualquier número par dejando residuo “0”.
Si escribimos la secuencia de los números naturales desde su inicio y ponemos atención,
descubriremos algunas propiedades:
Números Naturales :
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10 ,
11 ,
...
1
Conjunto. Grupo de elementos que cumplen con alguna o algunas características específicas.
2
Subconjunto. Parte de un conjunto. En matemáticas se considera que un mazo de elementos conforma un
subconjunto de un conjunto, que lo contiene de modo propio cuando todos los elementos del subconjunto
también lo son del conjunto que lo contiene, pero no de manera recíproca, o sea, que hay elementos del
conjunto que no se encuentran en el subconjunto.
28
La primera ola
¿Qué tal si hacemos una pequeña ola? (ya veremos lo que producen otras olas):
La ola de los
números naturales :
1
3
5
2
4
7
6
9
11
8
10
...
Esta ola hace que los naturales nos queden divididos en dos subconjuntos:
Números impares:
Números pares:
1
3
5
2
4
7
6
9
11
8
10
...
1. Tanto los números impares como los números pares saltan sobre los números naturales, tomando
uno y brincando el siguiente.
2. Todo número impar tiene a uno y otro de sus lados números pares, excepto el 1. Como también
todo número par tiene a uno y otro de sus lados números impares.
Esta última propiedad podemos rescribirla y entonces decimos que todo número natural, impar o par,
tiene distinta paridad3 a la de los dos números que se encuentran a sus lados, en tanto que éstos
poseen la misma. Desde luego, excepción hecha del 1. O sea, que los nones y los pares se van
alternando.
Números naturales:
1,
2,
3,
4,
par
impar
5,
6,
7,
impar
8,
par
9,
10 ,
impar
par
11 ,
...
Ahora bien, cada uno de estos subconjuntos de los números naturales, tomando en cuenta sus propias
características, podemos describirlos de manera simple. Nos ayudará el compararlos con los propios
números naturales.
Antes una pequeña nota: vamos a trabajar con el subconjunto de números naturales formado por los
números pares. Este nombre resulta demasiado largo, de modo que si este subconjunto conforma un
conjunto, que por sus características o propiedades está bien determinado, lo llamaremos el conjunto
de los números pares o el conjunto de los pares, o de manera concisa, simplemente los pares.
Comencemos escribiendo y desarrollando cómo discurren los pares a través de los números naturales,
será más fácil la comparación para describirlos:
Pares;
2,
4,
6,
8,
10 ,
12 ,
14 ,
16 ,
18 ,
...
Números naturales;
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
...
3
Paridad: propiedad o característica que es igual o comparten dos o más elementos.
29
Este arreglo, también podemos escribirlo como:
Tabla del 2 ;
Números naturales;
2x1 ,
2x2 ,
2x3 ,
2x4 ,
2x5 ,
...
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
...
Esto es, que nuestra comparación presenta por un lado a los números naturales y por el otro la “tabla
del 2”. De modo que en el arreglo anterior encontramos los naturales y los resultados de la “tabla del
2”, o sea los pares.
Para convencernos pongámosla de otra forma, además la apreciaremos mejor:
Naturales
Pares
Tabla del 2
1
2
3
4
5
6
7
8
...
2
4
6
8
10
12
14
16
...
2x1
2x2
2x3
2x4
2x5
2x6
2x7
2x8
...
A cualquier natural que se escoja le corresponderá su doble; dicho de otra manera, el término
correspondiente de la “tabla del 2”. ¿Cuál es ese natural al que le asignamos su término
correspondiente de la “tabla del 2”?, ¿cómo escoger un natural “cualquiera”?
De la tabla anterior tenemos:
Naturales
Pares
Tabla del 2
1
2
3
...
2
4
6
...
2x1
2x2
2x3
...
Después de los puntos suspensivos ¿cómo escogemos un número natural?, ¿qué tal…“n”?,
conviniendo que por la letra “n” entendemos que ese es el número natural que deseamos.
30
Nuestra tabla quedará entonces así:
Naturales
Pares
Tabla del 2
1
2
3
...
n
...
2
4
6
...
2n
...
2x1
2x2
2x3
...
2xn
...
Donde “n” es un número natural cualquiera.
En estas tablas observamos que la manera de relacionar a los naturales con los pares, resulta que es
en ambos sentidos. Esto es, a cada número natural le hemos asignado su “doble”, por medio de “su
correspondiente en la tabla del 2”. Y de forma recíproca, a cada número par le asignamos el natural
que corresponde al resultado de dividirlo por 2 (recordemos que los pares dejan residuo “0” al dividirlos
por 2).
Aquí tenemos entonces la forma de caracterizar a los números pares.
Nota: frecuentemente se usará la siguiente notación: {x | x cumple con P} y se lee como “el conjunto
de elementos x tales que x cumple con la propiedad P”.
Teniendo esto en cuenta, tenemos:
Pares = {2n | donde n es cualquier número natural}.
Después de haberlo hecho con los pares, intentemos hacerlo con los impares.
¿Qué hacer?, pues tratar un procedimiento como el que instrumentamos con los pares, sería algo
aconsejable. Hagámoslo.
Impares;
1,
3,
5,
7,
9,
11 ,
13 ,
15 ,
17 ,
...
Números naturales;
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
...
Ahora, para la siguiente tabla utilizaremos la tabla del 2 y la propiedad que nos dice que todo natural,
impar o par, tiene a sus lados números de distinta paridad a él “excepción hecha del 1”. En particular,
¿qué sucede a los lados de los pares?
31
Recuerda aquello que dice que todo número natural, impar o par, tiene distinta paridad a la de los dos
números que se encuentran a sus lados, en tanto que éstos poseen la misma, excepción hecha del 1.
Desarrollemos esto para darnos cuenta que a uno y otro lado de cualquier par, tenemos dos impares
en donde uno de ellos es el par menos 1 y el otro es el par más
1. Esto es:
Números naturales :
1,
1
2–1
2,
par
3,
4,
5,
3
2+1
6,
7,
8,
par
7
8–1
9,
10 , …
9
8+1
Ahora, construyamos una tabla en donde al resultado de la tabla del 2 le asignaremos dos columnas;
en una de ellas le restaremos 1 al resultado y en la otra le sumaremos 1.
Tabla del 2
Naturales
Impares
Tabla del 2
–1
+1
1
2
3
...
1
3
5
...
2x1
2x2
2x3
...
(2 x 1) – 1 = 1
(2 x 2) – 1 = 3
(2 x 3) – 1 = 5
...
(2 x 1) + 1 = 3
(2 x 2) + 1 = 5
(2 x 3) + 1 = 7
...
En esta construcción, observamos que las dos columnas de la extrema derecha nos dan dos formas
de caracterizar a los impares. También observamos que el desarrollo de la primera de ellas coincide
con la manera previa de relacionar a los naturales con los impares y la última no incluye al 1. Entonces
tomamos la caracterización de la columna que resta 1 a cada término de la tabla del 2.
La tabla, finalmente, toma la forma siguiente:
Naturales
1
Impares
1
Tabla del 2
2x1
2
3
...
3
5
...
2x2
2x3
...
32
Tabla del 2 – 1
(2 x 1) – 1 = 1
(2 x 2) – 1 = 3
(2 x 3) – 1 = 5
...
Igual que con los pares nos interesa saber qué impar le asignamos a un natural dado, cualquiera que
sea éste. Siendo consecuente con lo construido en nuestra tabla y replicando lo que se hizo con la
tabla de los pares, queda así:
Naturales
Impares
Tabla del 2
Tabla del 2 – 1
1
2
3
...
n
...
1
3
5
...
2n – 1
...
2x1
2x2
2x3
...
2xn
...
(2 x 1) – 1 = 1
(2 x 2) – 1 = 3
(2 x 3) – 1 = 5
...
(2 x n) – 1
...
Donde “n” es un natural cualquiera.
En estas tablas también observamos que la manera de relacionar a los naturales con los impares es
en ambos sentidos. Esto es, a cada número natural le hemos asignado su “doble” menos 1, por medio
de “su correspondiente en la tabla del 2”. De forma recíproca, a cada número impar le asignamos el
natural que corresponde al resultado de sumarle 1 (esto nos dará un número par), y a este resultado lo
dividimos por 2 (recordemos, nuevamente, que los pares dejan residuo “0” al dividirlos por 2).
La forma de caracterizar a los números impares es:
Impares = {2n – 1 | donde n es cualquier número natural}.
Dentro de nuestra cabeza han estado flotando y desplazándose como globo aerostático dos
preguntas: ¿hay más números naturales qué pares, o impares?, ¿de cuáles habrá más?... mmm…
buena pregunta. Una respuesta la tenemos en la manera en que hemos construido las tablas y de
éstas las caracterizaciones, de las cuales logramos exhibir un modo de relacionar a los naturales con
los pares y con los impares.
Estas dos asociaciones nos muestran que tanto con los pares como con los impares hemos
establecido una regla de correspondencia de cada uno de ellos con los naturales. Primero, entre los
naturales y los pares, y después entre los naturales y los impares. De manera que en cualquiera de los
dos casos no faltaron ni sobraron números en ninguno de estos conjuntos.
En el primer caso, al asignar a un natural un par o viceversa, no faltaron ni sobraron números en
ninguno de los dos conjuntos. En el segundo caso, al asignar a un natural un impar o viceversa,
tampoco sobraron ni faltaron números en ninguno de los dos conjuntos.
33
Naturales
Pares
Naturales
Impares
1
2
3
4
5
...
n
...
2
4
6
8
10
...
2n
...
1
2
3
4
5
...
n
...
1
3
5
7
9
...
2n – 1
...
Con esto, estamos mostrando una forma de poner en correspondencia 1 a 1 a todos los números
naturales con todos los números pares, o bien con todos los impares. Cuando se puede exponer,
como en este caso, una correspondencia entre los elementos de un conjunto y los elementos de un
subconjunto propio de éste, se trabaja con conjuntos con un número infinito de elementos o,
simplemente, con conjuntos infinitos.
Un conjunto tiene cardinalidad4 infinita cuando sus elementos se pueden poner en correspondencia 1 a
1 con los elementos de un subconjunto propio.
Entonces tenemos las siguientes conclusiones:
1. Pares = { 2n | donde n es un número Natural },
2. Impares = { 2n – 1 | donde n es un número Natural } y
3. Los números naturales tienen cardinalidad infinita. Y desde luego que los pares y los impares
también.
Correspondencia uno a uno
La forma de acomodar y asociar subconjuntos de los naturales con los naturales mismos nos resultará
muy útil, puesto que estamos comparando a los naturales con subconjuntos propios (contenidos en él
de manera total).
Veamos otros ejemplos de subconjuntos dentro de los naturales:
Los múltiplos de 5.
¿Recuerdas alguna característica de este conjunto?
4
Cardinalidad. Cantidad de elementos de un conjunto, grupo, mazo, etc.
34
Desarrollemos esto en una tabla:
Naturales
1
2
3
4
5
6
...
n
...
Múltiplos de 5
5
10
15
20
25
30
...
5n
...
Tabla del 5
5x1
5x2
5x3
5x4
5x5
5x6
...
5xn
...
Donde “n” es un natural cualquiera (y así lo consideraremos en las tablas subsecuentes).
Todos terminan en “5” o en “0”. Es cierto, pero ¿podríamos agrupar de alguna manera a los demás
naturales, o sea a los que no son múltiplos de 5?
¿Qué tal si hacemos una ola como la que produjimos para separar los impares de los pares? Bueno,
no tan pequeña, algo más grande,
Otra ola de los
naturales :
números 1
6
2
11
7
3
12
8
4
13
9
5
14
10
15
…
…
…
…
…
Tomando la experiencia de los impares, aunque habremos de construir más tablas, tenemos:
La tabla de los múltiplos ya está construida, ahora restemos y sumemos 1, 2, 3 y 4 a los
la tabla del 5 y veamos qué pasa.
Tabla restando y sumando 1:
Tabla del 5
Naturales
Múltiplos de 5
Tabla del 5
–1
1
5
5x1
4
2
10
5x2
9
3
15
5x3
14
4
20
5x4
19
5
25
5x5
24
6
30
5x6
29
7
35
5x7
34
...
...
...
...
n
5n
5xn
5n–1
...
...
...
...
35
resultados de
+1
6
11
16
21
26
31
36
...
5n+1
...
Tabla restando y sumando 2:
Tabla del 5
Naturales
1
2
3
4
5
6
7
...
n
...
Múltiplos de 5
5
10
15
20
25
30
35
...
5n
...
Tabla del 5
5x1
5x2
5x3
5x4
5x5
5x6
5x7
...
5xn
...
–2
3
8
13
18
23
28
33
...
5n–2
...
+2
7
12
17
22
27
32
37
...
5n+2
...
Tabla restando y sumando 3:
Tabla del 5
Naturales
1
2
3
4
5
6
7
...
n
...
Múltiplos de 5
5
10
15
20
25
30
35
...
5n
...
Tabla del 5
5x1
5x2
5x3
5x4
5x5
5x6
5x7
...
5xn
...
–3
2
7
12
17
22
27
32
...
5n–3
...
Tabla del 5
5x1
5x2
5x3
5x4
5x5
5x6
5x7
...
5xn
...
–4
1
6
11
16
21
26
31
...
5n–4
...
+3
8
13
18
23
28
33
38
...
5n+3
...
Tabla restando y sumando 4:
Tabla del 5
Naturales
1
2
3
4
5
6
7
...
n
...
Múltiplos de 5
5
10
15
20
25
30
35
...
5n
...
36
+4
9
14
19
24
29
34
39
...
5n+4
...
Fijándonos en las dos últimas columnas de las cuatro tablas previas, nos damos cuenta que es con la
primera de estas dos columnas, y en especial con el primer número de esta columna, que obtenemos,
si las acomodamos de forma adecuada, todos los números naturales. Esto es, que aparecen los
naturales desde el 1, 2, 3, y así en sucesión. Entonces caracterizaremos a los naturales de acuerdo a
los residuos que nos dejan al dividirlos por 5, tomando el arreglo de la primera de las dos últimas
columnas.
De las tablas, obtenemos el siguiente esquema:
Naturales que dejan residuo;
1 al dividirse por 5
2 al dividirse por 5
3 al dividirse por 5
4 al dividirse por 5
1
6
2
11
7
3
Múltiplos de 5 :
12
13
8
4
9
14
10
5
…
…
…
…
15
…
La caracterización es del modo siguiente:
1. Naturales que dejan residuo 1 al dividirse por 5 = {5n – 4 | donde n es un número natural},
2. Naturales que dejan residuo 2 al dividirse por 5 = {5n – 3 | donde n es natural},
3. Naturales que dejan residuo 3 al dividirse por 5 = {5n – 2 | donde n es natural},
4. Naturales que dejan residuo 4 al dividirse por 5 = { 5n – 1 | donde n es natural } y
5. Múltiplos de 5, dejan residuo 0 al dividirse por 5 = {5n | donde n es natural}.
Aquí tienes un ejercicio para pensar:
Otro subconjunto es el de los múltiplos de 10. ¿Qué los caracteriza?
Así podemos caracterizar cualquier subconjunto formado por los múltiplos de cualquier número natural.
Esta manera de comparar cualquier subconjunto de los naturales, a través de sus propiedades con los
naturales mismos, resulta ilustrativa puesto que podemos darnos cuenta del comportamiento que tiene
el desarrollo de los conjuntos que se comparan.
37
Veamos otro ejemplo:
El subconjunto formado por los cuadrados de los números naturales. Construyamos:
Números naturales;
1, 2,
3,
4,
8,
…
n
...
Cuadrados de los
números naturales;
1, 4,
9,
16 , 25 , 36 , 49 , 64 ,
…
n2
...
5,
6,
7,
Acomodándola de otra forma, tenemos:
Naturales
Cuadrados de los naturales
Tabla de los cuadrados
1
1
1x1
2
4
2x2
3
9
3x3
4
16
4x4
5
25
5x5
6
36
6x6
...
...
...
n
n2
nxn
...
...
...
En este ejemplo observamos que, a diferencia de los anteriores, los saltos entre dos elementos del
conjunto que se está comparando con los naturales, son diferentes uno de otro e irán creciendo
conforme sea mayor el natural al que le asignemos su cuadrado. Por cierto, los saltos también se
pueden caracterizar (haz el ejercicio en tu cabeza).
Ahora, un ejemplo más:
Los subconjuntos formados por: los múltiplos de 3 y los múltiplos de 7 más 1.
Múltiplos de 3:
3, 6,
9,
12 , 15 , 18 , 21 , 24 ,
…
3n
...
Múltiplos de 7 más 1:
8 , 15 , 22 , 29 , 36 , 43 , 50 , 57 ,
…
7n+1
…
Reacomodando nuestro desarrollo, tenemos:
Tabla del 3
Múltiplos de 3
Múltiplos de
7 más 1
3x1
3x2
3x3
3x4
3x5
3x6
...
3xn
...
3
6
9
12
15
18
...
3n
...
8
15
22
29
36
43
...
7n+1
...
38
Tabla de los Múltiplos
de
7 más 1
7x1+1
7x2+1
7x3+1
7x4+1
7x5+1
7x6+1
...
7xn+1
...
La recta numérica
Nota: retomando la idea de la secuencia de los números naturales, los representamos sobre una línea
con particiones iguales, en donde escribimos la o las secciones de números naturales que
necesitemos. A esta línea la llamamos recta numérica.
Recta numérica de los números naturales:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
…
n
n+1
…
Aquí es más sencillo observar la alternancia de los impares con los pares, los arreglos con cualquier
múltiplo de algún número natural, el orden que guardan o la caracterización de cualquier relación entre
naturales que nos propongan.
Resumiendo, los números naturales son de gran importancia, nos damos cuenta de ello a través de los
ejemplos construidos, de su formación, regularidad y formas de agrupación. Además, que tienen
consistencia y flexibilidad suficientes para instrumentar los procesos de solución de un sin fin de
ejercicios.
Ejercicios
1. Tenemos un número par, por ejemplo 2b (donde b es un natural cualquiera), ¿cómo escribes los
pares que se encuentran a sus lados?
2. Dado un número impar, por ejemplo 2p –1 (donde p es un natural cualquiera), ¿cómo escribes los
impares que se encuentran a sus lados? Piensa bien tu respuesta.
3. ¿Por qué el producto de dos números naturales consecutivos es siempre par? Da ejemplos y
argumenta tu respuesta.
4. ¿Por qué el producto de dos números naturales consecutivos deja residuo 0 al dividirse por 2? En
tu respuesta haz lo mismo que en el ejercicio anterior.
5. Encuentra una correspondencia entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los
múltiplos de 4, mediante la cual muestres que estos conjuntos tienen el mismo número de elementos.
6. En la secuencia que se desarrolló de los cuadrados de los números naturales, fíjate en las
distancias que se generan entre ellos (si lo crees necesario desarrolla una lista más larga de los
cuadrados). Si a este conjunto de números le agregas el “1”, ¿qué conjunto de números tienes?
7. Encuentra una correspondencia entre el conjunto de los números pares y el conjunto de los
múltiplos de 9, en la que muestres, como en el ejercicio 3, que estos conjuntos tienen el mismo
número de elementos.
39
8. ¿La suma de dos múltiplos de 4 será también múltiplo de 4? Desarrolla algunas sumas de éstas y
trata de generalizar. Justifica tu respuesta.
9. ¿Qué sucede si ahora en lugar de sumar dos múltiplos de 7 los multiplicamos? ¿Será también un
múltiplo de 7? Como en el ejercicio anterior, desarrolla y justifica.
10. Durante la exposición de este tema, se mencionó el conjunto de los múltiplos de 10 y se quedó una
pregunta: ¿Qué los caracteriza? Ahora debes de caracterizar este conjunto y además el de los
números naturales que dejan residuo 1, 2 y 5 al dividirse por 10. Recuerda cómo se hizo en el ejercicio
del 5.
Justificar todas las respuestas lo mejor que se pueda
11. ¿Qué es la cardinalidad de un conjunto?
12. ¿Da dos ejemplos conjuntos con cardinalidad igual a 100.
13. ¿Qué hay más: pares o nones?
14. ¿Qué es la recta numérica?
¿Cierto o falso? Justifica tu respuesta:
15. Cada conjunto es subconjunto de sí mismo.
16. El producto de impares es impar.
17. La suma de impares es impar.
18. Existe un natural más grande que todos los demás.
19. Hay más nones que pares: dado 2n está 2n+ 1.
20. El número cero es par.
21. Programa “Hoy No Circula 2”
A) Suponga que los días pares son {martes, jueves, sábado} y los días nones, o impares son
{ lunes, miércoles, viernes }.
El nuevo programa “Hoy No Circula 2” es así:
Los días pares sólo circulan los autos con placa par y los días nones sólo los de placa impar.
¿Cuándo habrá menos autos en la ciudad?, ¿por qué?
B) Idea un plan “Hoy No Circula” que mejore el anterior y el que se usa actualmente en la Ciudad de
México.
Glosario
Asociación, correspondencia: relación que se establece entre los elementos de distintos conjuntos.
Cardinalidad: cantidad de elementos de un conjunto, grupo, mazo, etc.
Conjunto infinito: conjunto con una infinidad de elementos.
Conjunto: grupo de elementos que cumplen con alguna o algunas características específicas.
Impar, número: número que deja residuo uno al dividir entre dos.
Magnitud: tamaño.
40
Natural, número: cualquier entero positivo.
Par, número: divisible entre dos.
Paridad: comparación de algo con otra cosa; Igualdad de las cosas entre sí.
Recta numérica: a partir de una recta, la recta numérica se construye de la manera siguiente: primero
se escoge un punto al que llamaremos origen, o cero. A la derecha del cero estarán los números
positivos y los negativos a la izquierda.
Residuo (o resto):
cociente
dividendo
residuo
divisor
3
2 7
1
Ejemplo:
(divisor x cociente) + residuo = dividendo
(2 x 3) + 1 = 7
Subconjunto: Parte de un conjunto
Tabla de multiplicar: antes de las calculadoras, mucha gente se ayudaba a multiplicar usando la
siguiente tabla, donde se muestra cómo encontrar el producto de 8 y 7:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ligas externas
* ¿Un hotel con una cantidad infinita de habitaciones? Leer sobre este enorme hotel
http://es.wikipedia.org/wiki/Hotel_infinito (Consultado agosto 2007).
* ¿La suma de qué números pares te da un número non? Piénsalo un rato.
Ver comentarios y respuesta en:
http://espanol.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AoYK4fKF0LUIUxOyBO0gLF0BEgx.?qid=20060
10085706AAoXCfU (Consultado julio 2007).
41
Matemáticas 1
Los números naturales
2. Operaciones con números naturales y
números decimales
Propósito:
El estudiante desarrollará su intuición para explicarse el uso y aplicación de las
propiedades de los números naturales en el sistema decimal.
¿Cómo operan los números naturales y el sistema decimal?
Las principales operaciones que se realizan con los números naturales son: suma, resta, multiplicación
y división. En este tema recordaremos las propiedades más importantes de tales operaciones.
Los Números Naturales
y las principales
operaciones en ellos
o
Las operaciones básicas
en los Números Naturales
Suma
Resta
Multiplicación
División
¿Cómo se realiza una suma? Para contestar esta pregunta empezamos con la
Suma
Recordando que si la cantidad de unidades de un orden de magnitud cualquiera excede a 10, se
tienen unidades en el siguiente orden de magnitud superior, y omitiendo escribir el orden de magnitud
de las unidades en cada paso para que sea más sencillo y fluido el desarrollo de nuestro proceso.
Empecemos:
1
3
;
uno
2
;
dos
+
; más ,
tres
+
7
; más ,
siete
=
; igual a ,
¿?
,
=
; igual a ,
¿?
¿Cómo resolver esto?, pues recordando como se construyó sobre la recta numérica la primera
decena: tomamos para cada dígito el mismo número de pequeños espacios y los ponemos uno a
42
continuación del otro. Este acumulado de unidades nos dará el número total de pequeños espacios
ocupados que será el dígito que nos dé el resultado de la suma en cuestión y así tenemos:
Decena
1
1
Unidades simples
de la 1ª decena
1
2
3
4
Espacios por dígito
1
1
2
Acumulado
1
2
3
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
1
2
1
2
3
4
5
6
7
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
De esta manera los resultados son: 4 y 9 respectivamente.
Otros ejercicios:
+
=
5
3
8
;
;
;
cinco
tres
ocho
más ,
igual a ,
1
Unidades simples
de la 1ª decena
1
2
3
4
5
6
7
8
Espacios por dígito
1
2
3
4
5
1
2
Acumulado
1
2
3
4
5
6
7
+
=
7
3
10
;
;
;
;
;
;
cuatro
tres
siete
más ,
igual a ,
1
9
1
2
3
4
5
6
7
3
1
2
3
4
1
2
3
8
1
2
3
4
5
6
7
siete
tres
diez (una decena)
más
igual a
+
=
,
Decena
4
3
7
10
4
9
+
=
,
;
;
;
8
9
10
cuatro
nueve
más de diez
más
igual a
¿Y ahora qué hacemos con esta suma?, pues extender la construcción de la primera decena sobre la
recta numérica y entonces tenemos:
Decenas
1
2
Unidades simples en
cada decena
1
2
3
4
Espacios por dígito
1
2
3
4
Acumulado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10 11 12 13
43
4
5
6
7
= trece.
8
9
10
En este ejercicio, el acumulado de unidades nos quedó en la segunda decena, al término del tercer
espacio pequeño. Por lo tanto, a esta suma le correspondió el número trece (13).
De esta manera podemos ya sumar cualesquiera dos dígitos y encontrar el resultado.
Ejemplos: 1.
7+8=
, y 2.
9+5=
.
Decenas
1
2
Unidades simples en
cada decena
1
2
3
4
5
6
7
Espacios por dígito
1
2
3
4
5
6
7
Acumulado
1
2
3
4
5
6
7
Decenas
1
Unidades simples en
cada decena
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Espacios por dígito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Acumulado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
9
10
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
8
9
10 11 12 13 14 15
6
7
8
9
10
= quince.
2
10
1
2
3
4
1
2
3
4
5
10 11 12 13 14
5
6
7
8
9
10
= catorce.
Ahora veamos que sucede al sumar tres cifras formadas por uno o dos dígitos,
+
=
4
5
2
11
;
;
;
;
+
=
7
9
6
22
;
;
;
;
más
más
igual a
cuatro
cinco
dos
once
más
más
igual a
siete
nueve
seis
veintidós
,
,
+
=
8
1
6
15
;
;
;
;
+
=
6
3
14
23
;
;
;
;
más
más
igual a
ocho
uno
seis
quince
más
más
igual a
seis
tres
catorce
veintitrés
Este último ejercicio tiene un sumando de dos dígitos, de manera que vamos a resolverlo por otro
camino. Desmenucemos y reacomodemos la suma.
+
6
3
10
4
;
;
;
;
más
más
más
seis
tres
diez
cuatro
,
,
,
,
+
6
3
4
10
44
;
;
;
;
seis
tres
cuatro
diez
Si ahora sumamos los tres primeros dígitos que luego los añadimos a la última cifra, tenemos:
+
=
6
3
4
13
;
;
;
;
seis
tres
cuatro
trece
,
,
,
+
=
13
10
23
;
;
;
trece
diez
veintitrés
Lo que hemos hecho en esta operación es lo siguiente:
1. Utilizamos la propiedad de separar una cifra en sus órdenes de magnitud correspondientes. Esto
es: el 14 (catorce) lo rescribimos como 10 (una decena) añadida con 4 (unidades simples).
2. Utilizamos la propiedad de conmutatividad de los naturales para sumar, primero las cifras
compuestas de un solo dígito y posteriormente, añadir a esta suma la cifra compuesta de dos
dígitos.
Hagamos más ejercicios para comprender mejor cómo opera la suma en estos sistemas.
+
6
25
18
;
;
;
seis
veinticinco
dieciocho
,
+
37
26
10
;
;
;
treinta y siete
veintiséis
diez
+
30
7
20
6
10
;
;
;
;
;
treinta
siete
veinte
seis
diez
Que transformamos en:
+
6
20
5
10
8
;
;
;
;
;
seis
veinte
cinco
diez
ocho
,
Si ahora operamos con las cifras de un solo dígito y con las de dos dígitos por separado:
+
+
6
5
8
19
;
;
;
;
seis
cinco
ocho
diecinueve
20
10
30
;
;
;
veinte
diez
treinta
+
7
6
13
;
;
;
siete
seis
trece
30
20
10
60
;
;
;
;
treinta
veinte
diez
sesenta
,
+
,
45
Para terminar sumamos los resultados de las dos sumas en que dividimos cada ejercicio.
+
19
30
49
;
;
;
diecinueve
treinta
cuarenta y nueve
+
,
13
60
73
;
;
;
trece
sesenta
setenta y tres
37
26
10
;
;
;
treinta y siete
veintiséis
diez
13
60
73
,
.
1º ; (7+6+0) = 13,
2º ; (30+20+10) = 60 .
Otra forma de realizar estas sumas es la siguiente:
+
6
25
18
;
;
;
seis
veinticinco
dieciocho
,
+
Sumandos por órdenes de magnitud.
+
19
30
49
,
,
1o ; (6+5+8) = 19 ,
2º ; (10+20) = 30 .
+
Otra más es haciendo uso de las potencias de 10 y de la propiedad distributiva.
Se convierten en:
+
6
25
18
,
,
,
seis
veinticinco
dieciocho
;
;
; +
2 x (10)
1 x (10)
+
+
(2 + 1) x (10)
3 x (10)
+
6 x (1)
5 x (1)
8 x (1)
(6 + 5 + 8) x (1)
19 x (1)
1 x (10) + 9 x (1)
Reordenando por acumulación:
3 x (10)
+
1 x (10)
+ (3 + 1) x (10)
4 x (10)
+
9 x (1)
+
9 x (1)
+
9 x (1)
{La propiedad distributiva del producto con respecto a la suma dice que si a, b y c son tres números,
entonces a x (b + c) = a x b + a x c; es decir x distribuye sobre +, por ejemplo, (2+3) x4 = 2x4 + 3x4 =
8 + 12 = 20 qué es lo mismo que (2+3) x4 = (5) x 4 = 20}.
46
Otro ejercicio con el mismo proceso.
Que convertimos en:
+
359
647
580
;
;
;
3 x (102)
6 x (102)
5 x (102)
+
+
+
5 x (10)
4 x (10)
8 x (10)
+
+
+
9 x (1)
7 x (1)
0 x (1)
(3+6+5) x (102)
+
(5+4+8) x (10)
+
(9+7+0) x (1)
(14) x (102)
+
(17) x (10)
+
(16) x (1)
(10+4) x (102)
(10+7) x (10)
(10+6) x (1)
Reordenando por acumulación:
1 x (103)
+
4 x (102)
1 x (102)
+
7 x (10)
1 x (10)
+
6 x (1)
1 x (103)
+
(4 +1) x (102)
+
(7 + 1) x (10)
+
6 x (1)
1 x (103)
+
5 x (102)
+
8 x (10)
+
6 x (1)
1000
+
500
+
80
+
6
=
1586
De esta manera es fácil escribir con palabras o dictar la cifra obtenida. El resultado de nuestra última
suma es mil quinientos ochenta y seis.
En este ejercicio hemos utilizado la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de dos
formas: una, sumando los dígitos de las unidades de igual orden de magnitud y la otra partiendo este
acumulado en decenas más el número de unidades simples.
Este mismo proceso presentado de manera más fluida, sin tanto andamiaje, es así:
738
;
7 x (102)
+
3 x (10)
+
8 x (1)
2
596
;
5 x (10 )
+
9 x (10)
+
6 x (1)
+
405
;
4 x (102)
+
0 x (10)
+
5 x (1)
(7+5+4) x (102)
2
16 x (10 )
+
(3+9+0) x (10)
+
(8+6+5) x (1)
+
12 x (10)
+
19 x (1)
17 x (102)
3
2
1 x (10 )
1000
7 x (10 )
+
700
13 x (10)
9 x (1)
3 x (10)
9 x (1)
3 x (10)
9 x (1)
+
30
47
+
9
=
1739
Y podemos leer nuestro resultado como cada acumulado de unidades simples en los diferentes
órdenes de magnitud. El resultado de nuestra suma es mil setecientos treinta y nueve.
Esta última forma de realizar la suma, si bien es minuciosa, al final deja en claro la cantidad de
unidades simples que tenemos en cada orden de magnitud.
Otro método más ágil y sencillo es el siguiente: en él iremos explicando lo que se hace conforme
vayamos realizando el proceso:
Sumemos por órdenes de magnitud, comenzando con el menor.
1 1
+
359
647
580
1586
;
La suma de unidades se encuentra entre la primera y segunda decenas,
escribimos en el orden de las unidades, el dígito que rebasa la primera
decena y añadimos 1 al orden de las decenas. Para ayudarnos podemos
escribir un pequeño 1 encima de la columna de las decenas. Y después
repetimos el proceso al hacer las sumas en los demás órdenes de magnitud.
En este método, no es necesario anotar el número pequeño arriba de la siguiente columna hacia la
izquierda de las unidades que estás sumando, siempre y cuando te acuerdes de qué número es.
A esto es lo que se llama “llevar”, es el número de unidades que se llevan para sumarlas al siguiente
orden de magnitud y que se guarda en la memoria.
Resumiendo esta manera de sumar, tenemos otro ejercicio.
2 3 2
+
4073
591
1968
789
7421
;
3+1+8+9 = 21
2 +7+9+6+8 = 32
3 +0+5+9+7 = 24
2 +4+1 = 7
, escribimos el 1 en las unidades y llevamos 2 decenas
, escribimos el 2 en las decenas y llevamos 3 centenas
, escribimos el 4 centenas y llevamos 2 millares y
, escribimos el 7 que nos resultó en los millares.
Realicemos otra suma:
2 2 2
+
5946
287
359
6473
;
6+7+9+3 = 25
2 +4+8+5+7 = 26
2 +9+2+3+4 = 20
2 +5+6 = 13
, 5 y (llevamos en la memoria) 2
,6y()2
,0y()2y
, 13 lo escribimos completo.
13065
Los métodos que aquí hemos instrumentado para resolver sumas se pueden extender para todo el
sistema decimal. Esto quiere decir que podemos utilizarlos para resolver operaciones en donde estén
involucradas cifras con potencias múltiplos de 10, positivas o negativas.
48
Pongamos manos a la obra. Comenzaremos por la suma.
Nos dan las siguientes cantidades:
1.
2.
3.
27. 85, 4. 09, 56 y 19.34
632.1, 47.59, 2568.3 y 719.43
81.6, 27.037, 0.845 y 5. 409
Para facilitarnos la operación, es conveniente escribir en una misma columna los dígitos con el mismo
orden de magnitud de cada cifra.
2
+
5
1
7
4
6
9
.
.
8
0
5
9
.
3
4
6
2
+
5
7
3
4
6
1
2
7
8
9
1
9
2
6
1
7
.
.
.
.
1
5
3
4
.
1
4
9
3
8
2
1
7
0
5
1
1
1
4
+
.
.
.
.
6
0
8
4
3
4
0
7
5
9
8
2
9
1
1
1
2
0
1
7
.
1
2
8
3
2
1
.
Ejercicios: suma
1. ¿Cuánto costó lo que al venderse en $12517 deja una pérdida de $1318?
2. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado $9309 para ganar $1315?
3. Después de vender una casa perdiendo $31840 presté $20060 y me quedé con $151840. ¿Cuánto
me había costado la casa?
4. El menor de 4 hermanos tiene 21 años y cada uno le lleva 2 años al que le sigue. ¿Cuál es la suma
de las edades?
5. Hallar la edad de un padre que tiene 15 años más que la suma de las edades de sus 4 hijos, los
cuales tienen: el 4° 3 años; el 3° 1 año más que el 4°; el 2° 3 años más que el 3°, y el 1° tantos
años como sus tres hermanos juntos.
6. Compré un libro que me costó $160; un pantalón de $350; una cámara fotográfica de $420 más
que el libro y el pantalón juntos; un reloj de $130 más que el libro, el pantalón y la cámara
fotográfica juntos; y una motocicleta de $12350 más que todo lo anterior. Si después de estas
compras todavía me quedan $2110. ¿Cuánto dinero tenía antes de hacer las compras?
7. Una casa de comercio ganó en 1991, $321840; en 1992, $141590 más que el año anterior; en
1993 tanto como los dos años anteriores juntos; en 1994 tanto como en los tres años anteriores y
en 1995, $121360 más que lo que ganó en 1994 y 1992 juntos. ¿Cuánto ganó en los cinco años?
8. Si ganara $560 menos al mes podría gastar $350 en alquiler, 400 en manutención, $180 en
transporte, $590 en otros gastos y podría ahorrar $320 al mes. ¿Cuánto gano al mes?
49
9. Para trasladarse de una ciudad a otra, una persona ha recorrido 38 millas en auto; a caballo 34
millas más que en auto; en ferrocarril 316 millas más que en auto y a caballo; y en avión 312 millas.
Si todavía le faltan 516 millas para llegar a su destino, ¿cuál es la distancia entre las dos ciudades?
10. La superficie de la provincia de Manzanares excede en 223 Km2 a la superficie de La Guaira; Los
Pinos tiene 5056 Km2 más que Manzanares; La Villa tiene 7911 Km2 más que Los Pinos; Cambray
4687 Km2 más que La Villa y Orientes 10752 Km2 más que Cambray. Si la superficie de la
provincia de La Guaira es de 8221 Km2. ¿Cuál es la superficie total del Batán?
11. ¿Cuál será la población total del Batán sabiendo que Los Pinos tiene 52642 habitantes más que
Manzanares; Cambray 169 834 habitantes más que Los Pinos; La Villa 411906 habitantes más que
Cambray; La Guaira 508641 más que La Villa; Manzanares tiene 395780 habitantes y Orientes
tiene 258803 habitantes más que La Guaira?
12. Un hombre que nació en 1911 se casó a los 25 años, 3 años después nació su primer hijo y fue
abuelo cuando su hijo tenía 27 años. ¿En qué año fue abuelo?
13. Roberto acabó el bachillerato a los 18 años, se graduó de abogado 6 años después; se casó 5
años más tarde; se embarcó hacia Colombia 7 años después de casarse y 12 años más tarde
obtuvo una cátedra. Si Roberto tuviera 12 años más habría nacido en 1909. ¿En qué año obtuvo
Roberto la cátedra?
14. Cada uno de 6 hermanos recibió por herencia $316 000 más que el anterior por orden de edad, y el
menor recibió $1 013 200. se pagó un legado de $56 140 y se separaron $41 500 para gastos. ¿A
cuánto ascendía la herencia?
15. En reparar un auto se gastaron $860 en ponerle gomas $620; en pintura $190 y al venderlo en
$1360 menos que el costo se recibieron $8540. ¿Cuánto ha costado en total el auto?
16. Un auto de toldo fijo costó $98400; uno convertible $19500 más que el de toldo fijo y un camión
tanto como los dos autos juntos. En chapas se gastaron $5600 y en bocinas $3500 más que en las
chapas. ¿En cuánto se vendieron los tres vehículos si se obtuvo una ganancia de $120 000?
Resta
Ahora veremos una operación llamada resta, cuyo signo es -, una pequeña línea horizontal puesta
entre las cifras que intervienen en la resta. La cifra que se anota antes de la pequeña línea, el
minuendo, es a la que se le restará la cifra que se anota después de la pequeña línea, el sustraendo.
La resta es la inversa de la suma, o sea, en lugar de añadir, agregar, adicionar, etc., lo que hay que
hacer es quitar, disminuir, sustraer, etc.
Así, minuendo – sustraendo = resta o diferencia
50
Ejemplo: 9 – 6 = 3, esto se lee; si a 9 quito 6, quedan 3 o 9 menos 6, es igual a 3.
–
=
9
6
3
–
=
12
5
7
;
;
;
nueve
seis
tres
menos ,
igual a ,
,
–
=
15
6
9
–
=
,
,
–
=
8
7
1
17
9
8
;
;
;
menos ,
igual a ,
,
–
=
ocho
siete
uno
14
8
6
Estos cuatro ejercicios están hechos para aprender a restar “sumando”, ¿cómo es esto?, pues de la
manera siguiente:
–
=
12
5
7
1) 12 menos 5 y
2) 5 más (?) =12
Ambos resultados 1) y 2) son 7
–
=
15
6
9
1) 15 menos 6 y
2) 6 más (?) =15
Ambos 1) y 2) son 9
Resolvamos restas con cifras más grandes pero intentémoslo sumando.
32
1) 5 más (?) igual a 12 (porque es el siguiente número que tiene 2 unidades
1
–
=
15
17
simples; (?) = 7. El 1 del 12 se lleva como en la suma.
2) el 1 del 12 más el 1 del 15 suman 2, este 2 más (?) = 3; (?) = 1
53
1) 8 más (?) igual a 13 (por la misma razón del ejercicio anterior) (?) = 5. El
1
–
=
28
25
1 se lleva al siguiente orden de magnitud.
2) el 1 que se lleva más el 2 del 28 suman 3, este 3 más (?) = 5; (?) = 2.
Ahora un ejercicio con cifras de más dígitos pero abreviando la escritura de la derecha.
527
1) 9 más 8 igual a 17, 8 y llevamos 1.
1 1
–
=
379
148
6432
2) 1 que llevamos más 7 igual a 8, 8 más 4 igual a 12, 4 y llevamos 1.
3) 1 que llevamos más 3 igual a 4, 4 más 1 igual a 5, 1.
1) 9 + 3 = 12, 3 y llevamos 1.
1 1 1
– 3789
= 2643
2) 1 + 8 = 9; 9 + 4 = 13, 4 y llevamos 1.
3) 1 + 7 = 8; 8 + 6 = 14, 6 y llevamos 1.
4) 1 + 3 = 4; 4 + 2 = 6, 2.
51
Si debemos realizar restas con números que involucren desarrollo decimal, procedemos de igual
manera que en estos ejercicios. Sólo hay que tener en cuenta el alinear el punto decimal para operar
sobre unidades de igual orden de magnitud.
1) 7 + 5 = 12, 5 y llevamos 1.
34.52
1
1
– 15.07
2) 1 + 0 = 1; 1 + 4 = 5, 4 y llevamos 0.
= 19.45
3) 0 + 5 = 5; 5 + 9= 14, 9 y llevamos 1.
4) 1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3.
Cuando las dos cifras tienen desarrollo decimal de distinto orden de magnitud, es aconsejable rellenar
con ceros la cifra con el menor desarrollo decimal.
1) 6 + 4 = 10, 4 y llevamos 1.
71.500
1 1
1 1
2) 1 + 8 = 9; 9 + 1 = 10, 1 y llevamos 1.
3) 1 + 5 = 6; 6 + 9 = 15, 9 y llevamos 1.
4) 1 + 4 = 5; 5 + 6 = 11, 6 y llevamos 1.
5) 1 + 2 = 3; 3 + 4 = 7, 4.
– 24.586
= 46.914
Vamos a escribir los nombres de los elementos que componen este arreglo. Esto nos servirá para
jugar con algunas de sus propiedades.
Minuendo
68.519
1) 0 + 9 = 9, 9 y no llevamos.
1
Sustraendo
Resto o diferencia
– 54.800
= 13.719
2) 0 + 1 = 1; 1.
3) 8 + 7 = 15, 7 y llevamos 1.
4) 1 + 4 = 5; 5 + 3 = 8, 3.
5) 5 + 1 = 6, 1.
Ejercicios: resta
1. ¿Qué se obtiene de la suma del sustraendo con el resto?
2. ¿Si al minuendo restamos el resto, qué obtenemos?
3. ¿Cómo es el resultado de la suma del minuendo, el sustraendo y el resto?
Multiplicación
Ahora vamos a reproducir el proceso de la multiplicación. Recordando, igual que se hizo en la suma,
que si la cantidad de unidades de un orden de magnitud cualquiera excede a 10, se tienen unidades
del siguiente orden de magnitud superior y omitiendo el estar repitiendo el orden de magnitud de las
unidades en cada paso de nuestro proceso, podemos empezar:
x
=
3
5
;
;
;
multiplicado por ,
igual a ,
tres
cinco
¿?
x
=
,
52
6
2
;
;
;
multiplicado por ,
igual a ,
seis
dos
¿?
Para obtener el resultado de estas multiplicaciones, consideremos que se tiene que entregar un
embarque de 3 cajas con 5 bolsas cada una y se desea saber cuántas bolsas se entregaron en total.
Utilicemos el arreglo de la recta numérica.
Decenas
1
2
Unidades simples en
cada decena
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
3 cajas de 5 bolsas
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Total de bolsas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6
10 11 12 13 14 15
7
8
9
10
= quince.
Juan tiene 6 pares de zapatos, ¿cuántos zapatos tiene en total?
Decenas
1
2
Unidades simples en
cada decena
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
6 pares de zapatos
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
3
4
5
6
7
8
9
10
= doce.
Tenemos el resultado de las multiplicaciones: 15 y 12, respectivamente.
Este esquema puede presentarse con las condiciones cambiadas, veamos cómo:
Se tiene que entregar un embarque de 5 cajas con 3 bolsas cada una y al final necesitamos saber
cuántas bolsas se entregaron.
Decenas
1
2
Unidades simples en
cada decena
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
5 cajas de 3 bolsas
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Total de bolsas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
6
7
8
9
10
= quince.
Como vemos, el resultado no cambia. Esto ya lo sabíamos pues es una consecuencia de la propiedad
conmutativa de la multiplicación.
53
Al representar la multiplicación de esta forma nos es fácil hacernos una idea de cómo desarrollarla con
utensilios o elementos de fabricación sencilla, por ejemplo: recortar un número determinado de
segmentos de la recta numérica (o tiras de 1cm, 2cm, etc., como si fuese cinta métrica, es facilísimo),
que tengan el mismo número de unidades y pegarlos uno a continuación de otro hasta agotar los
segmentos. Después sólo tienes que contar el número total de unidades o, lo que es igual, realizar la
multiplicación de los números que elegiste: el número de segmentos y el de unidades en cada
segmento.
Esta forma de presentación tiene una limitante de espacio, pues no sería fácil mostrar las particiones
suficientes de la multiplicación de 6 x 9. De manera que vamos a proponer un cambio en su acomodo.
Primero con un ejercicio ya resuelto, por ejemplo 3 x 5:
1
Decenas
Unidades simples
en cada decena
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
5
4
4
3
3
2
3 cajas de 5 bolsas
Total de bolsas
2
1
5
10
15
4
9
14
3
8
13
2
7
12
1
6
11
1
2
3
4
5
5 bolsas
1
3 cajas
Lo que hemos hecho es cortar tiras con el mismo número de cajones y acomodarlos de manera que
quepan más en nuestro espacio de dibujo. Ahora sí, mediante esta manera de arreglar el esquema de
la multiplicación volvamos al ejercicio de multiplicar 6 x 9. Estamos viendo 6 árboles con 9 ramas cada
uno o 9 árboles con 6 ramas cada uno. En cualquiera de los dos casos ¿cuántas ramas tienen los
árboles en total?
54
6 ramas
9 ramas
9 árboles
Total de bolsas = 54
6 árboles
Con este arreglo produjimos una cuadrícula o reja que por un lado tiene el número de conjuntos y por
el otro el número de elementos en cada conjunto. Y así, tenemos una representación de la operación
de multiplicar dos números naturales cualesquiera.
Vamos a multiplicar 17 x 32 utilizando el método de los órdenes de magnitud agilizado.
17
x
32
=
(10 + 7)
10 x (30 + 2)
300 + 20
x
+
+
(30 + 2)
7 x (30 + 2)
210 + 14
=
510 + 34
=
544
Primero, partimos las cifras en decenas y unidades, luego distribuimos la multiplicación y finalmente
desarrollamos los resultados parciales hasta encontrar la respuesta.
Ahora desarrollaremos la forma más conocida para resolver la multiplicación, en donde las cifras a
multiplicar podrán tener cualquier cantidad de dígitos. Esto es cierto, aunque nos limitaremos a cifras
con 2, 3 y hasta 4 dígitos, es suficiente para ilustrarlo y para que se comprenda que se puede
generalizar a cifras con más dígitos.
x
5
4
4
7
3
9
Multiplicamos primero las unidades simples: 9 x 3 = 27, escribimos el 7
abajo del 3 y del 9 y llevamos 2 que anotamos pequeñito abajo del 5 y
del 4; luego multiplicamos 9 x 5 = 45, a esto le agregamos el 2 que
llevábamos 45 + 2 = 47, y lo escribimos completo, el 7 abajo del 5 y del 4
7
y el 4 abajo del signo; Ahora multiplicamos 4 x 3 = 12, escribimos el 2 y
2
1
2
2
1
5
2
9
7
llevamos 1 que anotamos pequeñito abajo del signo y del 4; luego
multiplicamos 4 x 5 = 20, a esto le agregamos el 1 que llevábamos
20 + 1 = 21 y lo escribimos completo. Y finalmente, sumamos por
columnas.
55
3
x
6
5
4
5
8
x
5
8
5
0
5
3
3
Unidades
8
Decenas
Unidades
9
Centenas
Decenas
5
Millares
Centenas
Millares
Resolvamos un ejercicio de dos maneras diferentes, será muy ilustrativo.
6
Los dígitos que se llevaron en la
9
8
memoria en la primera operación,
4
4
8
son los mismos que aparecen
enmarcados en la segunda.
8
8
La primera forma es más sencilla y ocupa menos espacio, la segunda nos da la clave de la parte del
proceso que es el “llevar” una cierta cantidad.
En el caso de la multiplicación de cifras con desarrollo decimal, resolveremos varios ejercicios que nos
mostrarán con claridad el proceso completo.
1
x
0.9
=
0.9
,
0.8 x
0.9
=
0.72
Recordando la propiedad de la multiplicación por 1, el primer producto es 0.9 (casi 1), pero el segundo
producto tiene que ser menor que el primero, pues lo estamos multiplicando por un número menor a 1
(0.8). Por eso para poner el punto decimal al producto de 0.8 x 0.9, contamos cuántos dígitos después
del punto tienen las dos cifras, y al resultado le aplicamos el punto después de ese mismo número de
cifras contadas en sentido derecha a izquierda.
Realicemos las siguientes multiplicaciones y pongamos en práctica la regla del punto decimal de
contar los dígitos de órdenes de submúltiplos de potencias de 10.
x
4 .
2 .
5
3
3
3
9
1
1
9
7
8 5
7
3
x
3 . 0
5
0
2
1
2
8
1
1
6
8
9
5
1
9
7
4
x
8
6
1 . 6
7 . 0
2
1
1
2 . 1
5 . 9
5
1
1
8
2
3
5
3
6
0
8
1
2
1
9
6
1 . 0
3
1
1
4
7
1
4
4
2
0
6
4
8
3
5
8
56
9
8
4
8
1
1
5
4
9
6
6
9 .
8
Ejercicios: multiplicación
1. Si un lápiz cuesta $6 ¿cuánto costarán 7 docenas?
2. Enrique vende un terreno de 14 áreas a $5,000 el área y recibe en pago otro terreno de 800 m2 a
razón de $30 el m2. ¿Cuánto le adeudan?
3. Se compraron 8 libros a $200 cada uno, 5 lapiceros a $100 cada uno y 4 plumas fuentes a $300
cada una. Si se vende todo en $3,150 ¿cuánto se ganó o se perdió?
4. Se compran 216 docenas de lápices a $50 la docena. Si se venden a razón de de $10 cada 2
lápices ¿cuál es el beneficio obtenido?
5. Se compran 84 metros cuadrados de terreno a $300 el metro cuadrado y se venden a $6000 la
docena de metros cuadrados. ¿Cuánto se gana en la operación?
6. Se compran 40 lápices por $20. ¿Cuánto se ganará si se venden todos a razón de $7.20 la
docena?
7. Dos automóviles parten de la Ciudad de México, uno hacia Monterrey a una velocidad de 60
kilómetros por hora y otro hacia Acapulco a 70 Km. por hora. Si ambos salen a las 10 horas de la
mañana ¿a qué distancia se hallarán a la 1 de la tarde?
8. Dos automóviles salen de dos ciudades distantes entre sí 720 Km. uno hacia el otro. El primero a
una velocidad de 40 Km. por hora y el segundo a 30 Km. por hora. Si salen ambos a las 8 horas de
la mañana ¿a qué distancia se encontrarán a las 11 horas de la mañana?
9. Se compran 14 trajes a razón de $3,000; 22 sombreros, de $200 y 8 bastones, de $500. Vendiendo
los trajes por $56,000, cada sombrero en $100 y cada bastón en $300 ¿gano o pierdo y cuánto?
10. Germán compró 115 caballos a $7,000, 15 los regaló y el resto los vendió a $8,000. ¿Cuánto ganó
o perdió Germán en esta operación?
11. Un ebanista que coloca 6 metros cuadrados de duela en un día ha empleado 8 días en realizar un
trabajo. Si cobra a razón de $600 cada metro de duela ¿cuánto debe recibir como pago?
12. Juan gana $600 por día de trabajo y trabaja 5 días a la semana. Si gasta $2,100 a la semana
¿cuánto puede ahorrar en 8 semanas?
13. Se han vendido 14 sacos de harina a $180 cada uno con una pérdida de $20 por barril; 20 sacos
de arroz a $40 cada uno con una ganancia de $10 por saco y 7 sacos de frijol a $150 cada uno con
una pérdida de $30 por saco. ¿Cuál fue el costo de toda la mercancía que se vendió?
14. Pedro tiene $65, Santiago el doble de lo que tiene Pedro menos $16, y Juan tanto como los dos
juntos más $18. Si entre todos gastan $124 ¿cuál es el capital común que les queda?
15. Un ganadero compró 80 cabezas de ganado a $4000 cada una. Vendió 30 a $4,500 y 25 a $4,800.
¿Cuánto debe obtener de las restantes para que la ganancia total sea de $40,000?
57
División
Veamos por último la división. Operación que es inversa a la multiplicación. Hagamos una semejanza
entre la relación que guardan la suma y la resta.
Si
a+b =
c
, entonces:
c–a =
b
y
c-b =
a
y
c:b =
a
En las operaciones de multiplicación y división, obtenemos.
Si
axb =
c
c:a =
, entonces:
b
Para realizar la operación de división hay varios esquemas, por ejemplo:
Cuando el divisor es sólo de un dígito, esta es una forma.
Proponemos la división de 12 naranjas para 2 amigos. O la división de 12 jugos en 3 vasos. O la
división de 12 cuadros en 4 paredes. O la división de 12 platos para 6 comensales. Sabemos que 2 x 6
= 12, 3 x 4 = 12, 4 x 3 = 12 y 6 x 2 = 12, entonces:
1)
12
2
=
6,
2)
12
3
=
4,
3)
12
4
=
3,
4)
12
6
8)
102
6
=
2
Si el dividendo está formado por más dígitos, esta forma se generaliza así:
5)
26
2
=
13 ,
6)
39
3
=
13 ,
7)
52
4
=
13 ,
=
17
En la división, a diferencia de las tres operaciones anteriores, comenzamos dividiendo el dígito de
orden de magnitud mayor del dividendo por el divisor, si este no puede dividirse porque es menor que
el divisor, entonces se toman los dígitos de ese orden junto con el del siguiente inmediato menor
formando un dividendo parcial, y así hasta que se pueda efectuar la división; si quedó un resto de esta
operación se antepondrá al siguiente dígito formando el siguiente dividendo parcial que se dividirá por
el divisor, y así sucesivamente hasta agotar el orden de magnitud de las unidades simples del
dividendo. Ahora bien, hasta este momento hemos resuelto divisiones en las que al final no hay resto.
Ya veremos después cómo finaliza la división cuando esto pase, es fácil.
58
Vamos a resolver estos ejercicios poniendo en práctica lo anterior.
1
1)
1
38
2
=
2)
19 ,
3 : 2 = 1 y resta 1
18 : 2 = 9
69
3
=
23 ,
3)
6:3=2
9:3=3
2
56
4
=
4)
14 ,
5 : 4 = 1 y resta 1
16 : 4 = 4
204
6
1
51
3
=
6)
17 ,
5 : 3 = 1 y resta 2
21 : 3 = 7
60
6
=
10 ,
7)
6:6=1
0:6=0
71
7
=
8)
10 ,
7:7=1
1 : 7 = 0 y resta 1
104
9
1 1
1 1
5163948
2
1
=
2581974 ,
2)
5 : 2 = 2 y resta 1
11 : 2 = 5 y resta 1
16 : 2 = 8
3 : 2 = 1 y resta 1
19 : 2 = 9 y resta 1
14 : 2 = 7
8:2=4
1 2 1 1
4217538
3
=
1405846
4 : 3 = 1 y resta 1
12 : 3 = 4
1 : 3 = 0 y resta 1
17 : 3 = 5 y resta 2
25 : 3 = 8 y resta 1
13 : 3 = 4 y resta 1
18 : 3 = 6
Para dividir cifras con desarrollo decimal es igual.
1 2
3)
3 1
673.15
5
2
=
134.63
4)
6 : 5 = 1 y resta 1
17 : 5 = 3 y resta 2
23 : 5 = 4 y resta 3
31 : 5 = 6 y resta 1
15 : 5 = 3
3 1
983.65
7
=
9 : 7 = 1 y resta 2
28 : 7 = 4
3 : 7 = 0 y resta 3
36 : 7 = 5 y resta 1
15 : 7 = 2 y resta 1
59
=
11 .
10 : 9 = 1 y resta 1
14 : 9 = 1 y resta 5
Hagamos algunos ejercicios con dividendos de más dígitos y divisores de sólo uno.
1)
34
20 : 6 = 3 y resta 2
24 : 6 = 4
2
5)
=
140.52
Ahora vamos a ver el método más general para la realización de la división. Este método cuenta con
características muy importantes, una de ellas es que nos permite dividir entre sí dos cifras sin importar
cuántos dígitos tenga cada una de ellas; y otra es la destreza que requiere puesto que en él se utilizan
las tres operaciones que se han aprendido (suma, resta y multiplicación). Esta última característica lo
hace un método muy laborioso y minucioso, aunque el esfuerzo en su aprendizaje es ampliamente
satisfactorio. Lo desarrollaremos e iremos explicando qué hacemos paso a paso.
1 8 2
3 5 4 6
2 4
0 6
0
5 : 3 a 1 y resta 2; bajamos el 4 y entonces tenemos 24
24 : 3 a 8 y resta 0; bajamos el 6
6 : 3 a 2 y resta 0
8 3
7 5 8 1
2 1
0
5 : 7 no se puede, entonces 58 : 7 a 8 y resta 2; bajamos el
1 y entonces tenemos 21
21 : 7 a 3 y resta 0
67 : 39 a 1; y ahora multiplicamos ese 1 x 39 y se lo restamos
al 67; 1 X 9 = 9, 9 + 8 = 17,8 y llevamos 1; 1 x 3 = 3,
3 + 1 = 4, 4 + 2 = 6; bajamos el 8, y tenemos 288.
288 : 39 a 7; y ahora 7 x 9 = 63, 63 + 5 = 68, 5 y llevamos 6;
1 7 4
39 6 7 8 7
2 8 8
1 5 7
0 1
7 x 3 = 21, 21 + 6 = 27 + 1 = 28, bajamos el 7, y tenemos 157.
157 entre 39 a 4; y 4 x 9 = 36, 36 + 1 = 37, 1 y llevamos 3;
4 x 3 = 12, 12 + 3 = 15, 15 + 0 = 15, 0 y resta 1.
Para dividir cifras con desarrollo decimal se necesita de una pequeña justificación en el método, aquí
solamente la mostraremos con unos ejercicios.
1)
20
5
=
2
0.5
4,
2 : 5 = 0 y resta 2
20 : 5 = 4
=
cuatro
0.5 es la mitad de una unidad, de modo
que hay que dividir 2 entre una mitad
o, dicho de otro modo, entre un medio.
Si imaginamos un texto adecuado. Por
ejemplo; si partimos 2 naranjas por
mitad, ¿Cuántas mitades tendremos?
Pues 4. Misma respuesta que el
ejercicio anterior.
60
2)
36
4
=
3.6
0.4
9
36 : 4 = 9
=
9
3.6 x 10 = 36
0.4 x 10 = 4
Y entonces resolvemos como el ejercicio
Anterior
3)
69
3
=
0.69
0.03
23
69 : 3 = 23
=
23
0.69 x 100 = 69
0.03 x 100 = 3
2
4)
15600
13
=
156
0.13
1200
15 : 13 = 1 y resta 2
26 : 13 = 2 y resta 0
0 : 13 = 0
0 : 13 = 0
=
1200
156 x 100 = 15600
0.13 x 100 = 13
Que son las cifras del ejercicio anterior.
2 7
5)
68.97
11
=
6.27
6)
7
0.004
68 : 11 = 6 y resta 2
29 : 11 = 2 y resta 7
77 : 11 = 7
=
1750
7 x 1000 = 7000
0.004 x 1000 = 4
7 : 4 = 1 y resta 3
30 : 4 = 7 y resta 2
20 : 4 = 5 y resta 0
0:4=0
Las cantidades de los ejercicios de la derecha multiplicadas por alguna potencia de 10, nos resultan
iguales a las de los ejercicios de la izquierda. Salvo la última pareja.
Fijándonos, nos damos cuenta que sólo cuando el divisor tiene desarrollo decimal se hace necesario
“quitar” el punto decimal, multiplicándolo por la potencia de 10 que nos lo convierta en un número
natural. Desde luego, para no alterar los ingredientes de la división, el dividendo se multiplica por la
misma potencia de 10 que se multiplicó el divisor.
61
Así tenemos los siguientes ejemplos:
3.2 4 6 7
1 4 5
32 4 6 7 0
1 4 7
1 9
0
3 0
4.51 0 . 7
0 .1 5
451 7 0 . 0 0
2 4
9 0
2 3 5
Multiplicando el 3.2 por 10 le“quitamos” el punto decimal intermedio,
3.2 x 10 = 32,
467 x 10 = 4670 y entonces,
46 : 32 = 1; 1 x 2 = 2, 2 + 4 = 6 y 1 x 3 = 3, 3 + 1 = 4; bajamos el 7.
147 : 32 = 4; 4 x 2 = 8, 8 + 9 = 17, 9 y llevamos 1; 4 x 3 = 12,
12 + 1 = 13, 13 + 1 = 14; bajamos el 0.
190 : 32 = 5; 5 x 2 = 10, 10 + 0 = 10, 0 y llevamos 1; 5 x 3 = 15,
15 + 1 = 16, 16 + 3 = 19, y resta 30.
Multiplicando el 4.51 por 100 le “quitamos” el punto decimal,
4.51 x 100 = 451,
0.7 x 100 = 70 y entonces,
70 : 451, no se puede. Entonces, le ponemos punto decimal al 70
y le agregamos un 0; que es convertir las 70 unidades simples
en 700 décimas. Desde luego anotamos el 0 en el lugar de las
unidades simples del cociente y efectuamos la división como si
nada hubiera sucedido, tomando como dividendo el 700.
700 : 451 = 1; 1 x 1 = 1, 1 + 9 = 10, 9 y llevamos 1, 1 x 5 = 5,
5 + 1 = 6, 6 + 4 = 10, 4 y llevamos 1, 1 x 4 = 4, 4 + 1 = 5,
5 + 2 = 7.
Si queremos obtener las centésimas, aumentamos otro 0, que .
escribimos a continuación del resto (249 pasa a ser 2490). Este
0 no es necesario escribirlo en la cifra del dividendo.
Y seguimos. 2490 : 451 = 5; 5 x 1 = 5, 5 + 5 = 10, 5 y llevamos 1;
5 x 5 = 25, 25 + 1 = 26, 26 + 3 = 29, 3 y llevamos 2;
5 x 4 = 20, 20 + 2 = 22, 22 + 2 = 24, y resta 235.
Si se quieren o necesitan más decimales, basta con agregar más
0’s y realizar la división correspondiente.
62
Ejercicios: división
1. Si 14 libros cuestan $840 ¿cuánto costarán 9 libros?
2. Si 25 trajes cuestan $25,000 ¿cuánto costarán 63 trajes?
3. Si 19 sombreros cuestan $5,700 ¿cuántos sombreros se podrán comprar con $10,800?
4. Se cambia un terreno de 12 caballerías a $5,000 cada una por otro que vale a $1,500 la caballería.
¿Cuántas caballerías tiene el segundo terreno?
5. Se tenían $2,576, se compraron víveres por valor de $896 y con el resto se compraron cajas de
naranjas a $60 la caja. ¿Cuántas cajas de naranjas se compraron?
6. Se reparten 84 libras de envases de refrescos entre 3 familias compuestas de 7 personas cada
una. ¿Cuántas libras recibe cada familia y cuántas cada persona?
7. ¿Cuántos días se necesitarán para realizar una obra de 360 metros cuadrados si se trabajan 8
horas al día y se hacen 5 metros cuadrados en una hora?
8. Se compraron 42 libros por $1,260 y se vendieron cierto número de ellos por $950 a $50 cada uno.
¿Cuántos libros quedan por venderse y cuánto se ha ganado en cada uno de los que se
vendieron?
9. Choper compra cierto número de caballos por $212,000 a $4,000 cada uno. Vendió 40 caballos por
$168,000. ¿Cuántos caballos le quedan y cuánto ganó en cada uno de los caballos que vendió?
10. Manuel compra el mismo número de lápices que de plumas, todo esto por $84. Si cada lápiz
cuesta $5 y cada pluma $7. ¿Cuántos lápices y cuántas plumas compró?
11. Se compraron cierto número de sacos de azúcar por $675 y luego se vendieron por $1,080,
ganando así $3 por saco. ¿Cuántos sacos se compraron?
12. ¿Cuántos sacos tendrá una partida de víveres que se adquirieron por $1,440 si al vender 12 de
esos sacos por $720 se ganó $20 en cada uno?
Ligas externas
* En la red http://es.wikipedia.org/wiki/Portada puedes encontrar el origen de la palabra Aritmética.
¿Que quiere decir?, ¿por qué se dice que hay 7 operaciones aritméticas ¿Cuáles son?
63
Glosario
Base diez, o decimal: sistema de numeración posicional con base 10, donde el valor del dígito
depende de su posición dentro del número, por ejemplo 796 = 7x100 + 9x10 + 6x1
Conmutatividad: las cantidades a y b conmutan con respecto a la operación * si es cierto que
a*b = b*a
Distributiva (propiedad): La multiplicación distribuye sobre la suma (y sobre la resta):
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c), a x ( b - c ) = ( a x b ) - ( a x c)
Sistema decimal: ver base diez
Operaciones Básicas: las operaciones matemáticas son cuatro: suma, resta, multiplicación, división
Suma: operación que combina o agrega dos números para formar un tercero. La operación se denota
con el signo + y los términos por sumar, sumandos.
Resta: operación Inversa a sumar y se denota por una pequeña raya horizontal (–). También llamada
diferencia. Los nombres tradicionales son minuendo – sustraendo = diferencia
Multiplicación: es una manera rápida de sumar varias veces la misma cantidad; el resultado se llama
producto. Los números por multiplicar se llaman factores o coeficientes; individuamente uno es
el multiplicando y el otro, multiplicador. La notación usada para multiplicar a y b puede ser
cualquiera de las siguientes: a x b, a. b, a b; es decir, una cruz, un punto o nada.
División: es la operación inversa a multiplicar; Tal vez su significado más común es el de repartir y la
notación para dividir a entre b es: a / b ó a ÷ b. Nota: en la división anterior el número b debe
ser distinto de cero.
64
Matemáticas 1
Los números naturales
3. Sus propiedades
Propósito:
El estudiante comprenderá la necesidad de tener reglas claras para armar el sistema
numérico de los números naturales. Aprenderá las propiedades básicas que tiene
este sistema y desarrollará su intuición para el uso de éstos números.
En esta sección se mostrará que los números naturales forman un conjunto cerrado con respecto a la
suma y la multiplicación, es decir, si n y m son naturales entonces n + m y n x m también son números
naturales.
Sean n y m dos
Números Naturales
entonces . . .
n x m es un
Número Natural
n + m es un
Número Natural
Los números naturales nos han ayudado a resolver y obtener la solución de acertijos y ejercicios.
Sabemos algunas de las características que poseen, tales como: orden (inician con el 1 y le siguen en
sucesión el 2, 3, 4 y todos los demás…); alternancia de impares con pares y que son infinitos en
cantidad, o sea, no hay el natural más grande.
Características de los naturales
Describiremos a los números naturales de acuerdo a sus características más simples. Sabiéndolas,
sentirás que caminas por terreno firme cuando desarrollas los procesos de solución en los ejercicios
que se te proponen y aplicándolas. Desarrollarás habilidad para estructurar nuevos e ingeniosos
métodos que te ayuden a encontrar las soluciones a ejercicios y acertijos que se te requieran.
Los números naturales tienen las siguientes características:
1. El 1 es un número natural y
2. Si n es un número natural, entonces n + 1 también lo es.
¿Qué quieren decir o qué significan estas dos características, en términos más sencillos?
65
La primera es una petición; desde luego que esta petición debe tener aceptación, pues de lo contrario
no podríamos construir el conjunto de los números naturales. Dicho de otra forma, es un convenio, ya
que de este modo quedamos de común acuerdo en que el 1 es un número natural.
La segunda nos dice que al tener un número natural, al agregarle 1 obtendremos otro número natural.
Dicho de otra manera, todo número natural tiene sucesor que es también un número natural.
Nota ejemplificativa y constructiva:
El 1 es natural, entonces 1+1 también lo es, o sea que el 2 es un natural.
Si el 2 es natural, por el razonamiento anterior el 2+1 también lo es.
De manera que aplicando este razonamiento, seguida, seguida y seguidamente, obtendremos el
conjunto de los números naturales, además, en orden.
Ahora juguemos un poco con el álgebra (una introducción sencilla). ¿Cuáles son los sucesores de los
siguientes números naturales?:
Número
Número + 1
ó Sucesor
Sucesor
1.
2.
3.
5
18
245
5+1
18 + 1
245 + 1
6
19
246
4.
5.
n
k
n+1
k+1
n+1
k+1
6.
7.
2a
5b
2a + 1
5b + 1
2a + 1
5b + 1
8.
9.
6c + 3
7d - 2
6c + 3 + 1
7d - 2 + 1
6c + 4
7d - 1
10.
11.
n2
m3 + 1
n2 + 1
m3 + 1 + 1
n2 + 1
m3 + 2
Veamos el comportamiento de los números naturales con respecto a la operación de suma.
La primera de ellas: si tomamos dos números naturales cualesquiera y los sumamos, el resultado de la
suma de ellos es también un número natural.
Ejemplos:
3+6
7 + 19
23 + 14
56 + 7
8+a
=
=
=
=
=
9
26
37
63
8+a
1 + 23
45 + 30
13 + 6
3 + 12
2 + 7b
66
=
=
=
=
=
24
75
19
15
2+7b
La segunda: si tenemos dos números naturales y los sumamos, sin importar cuál de ellos tomemos
primero para sumarlo con el segundo, el resultado de la suma es el mismo.
Ejemplos:
4 + 13
9 + 25
36 + 8
2+7
5+p
=
=
=
=
=
17
34
42
9
5+p
13 + 4
25 + 9
8 + 36
7+2
p+5
=
=
=
=
=
17
34
42
9
5+p
Una más: si tenemos tres números naturales y los sumamos, sumaremos primero dos de ellos y al
resultado de esta suma le sumaremos el tercero. El resultado es el mismo, no importando cuáles dos
tomemos primero para sumar a este resultado el tercer natural.
Utilizaremos paréntesis para aclarar cuáles dos primeros números estamos agrupando para sumar y
posteriormente incluir en la suma el tercero, entonces nuestro esquema toma la forma siguiente:
Ejemplos:
(4 + 2) + 13
(3 + 12) + 9
(6 + 15) + 7
(9 + 5) + 8
(4 + n) + 7
=
=
=
=
=
6 + 13
15 + 9
21 + 7
14 + 8
4+n+7
=
=
=
=
19
24
28
22
4 + (2 + 13)
3 + (12 + 9)
6 + (15 + 7)
9 + (5 + 8)
4 + (n + 7)
=
=
=
=
=
4 + 15
3 + 21
6 + 22
9 + 13
4+n+7
=
=
=
=
19
24
28
22
En donde a, b, p y n son números naturales.
Con respecto a la suma, los naturales son cerrados conmutan y cumplen con la propiedad
asociativa
Estas tres propiedades que hemos ejemplificado, bajo la operación de suma, se escriben y señalan de
manera concisa y formal como:
1. Si a y b son números naturales, entonces a + b, también lo es. Propiedad de cerradura.
2. Si a y b son números naturales, entonces a + b = b + a. Propiedad conmutativa.
3. Si a, b y c son números naturales, entonces (a + b) + c = a + (b + c). Propiedad asociativa.
Veamos cómo se comportan los números naturales con respecto a la operación de multiplicación,
también llamado producto; de hecho las siguientes frases son equivalentes, todas significan lo mismo:
•
•
•
•
•
a por b
el producto de a y b
la multiplicación de a por b
a veces b
b veces a
67
La primera de ellas: si tomamos dos números naturales cualesquiera y los multiplicamos, el resultado
de la multiplicación de ellos es también un número natural.
Ejemplos:
2x7
13 x 4
67 x 5
8 x 19
4xa
=
=
=
=
=
14
52
335
152
4a
4x3
39 x 6
21 x 4
73 x 2
5 x 2b
=
=
=
=
=
12
234
84
146
10b
La segunda, como en la suma: si tenemos dos números naturales y los multiplicamos, sin importar cuál
de ellos tomemos primero para multiplicarlo por el segundo, el resultado de la multiplicación es el
mismo.
Ejemplos:
8 x 15
17 x 3
9x3
12 x 7
1xc
=
=
=
=
=
120
51
27
84
c
15 x 8
3 x 17
3x9
7 x 12
cx1
=
=
=
=
=
120
51
27
84
c
La tercera propiedad: al multiplicar el 1 por cualquier número natural, ese número natural queda igual.
Esto es, no le ocurre ningún cambio.
Ejemplos:
1 x 26
1 x 37
62 x 1
1 x 17
1xp
=
=
=
=
=
26
37
62
17
p
1x9
436 x 1
1 x 94
58 x 1
qx1
=
=
=
=
=
9
436
94
58
q
Si tenemos tres números naturales y los multiplicamos, el resultado será el mismo no importando con
cuál de los dos empecemos; al resultado lo multiplicamos por el tercero.
Igual que en la suma, usamos paréntesis para esclarecer como estamos agrupando los números para
multiplicarlos de manera parcial. Este esquema toma la forma siguiente:
Ejemplos:
(3 x 4) x 5
(2 x 13) x 7
(5 x 6) x 8
(9 x 7) x 6
(5 x n) x 3
=
=
=
=
=
12 x 5
26 x 7
30 x 8
63 x 6
5n x 3
=
=
=
=
=
60
182
240
378
15n
68
3 x (4 x 5)
2 x (13 x 7)
5 x (6 x 8)
9 x (7 x 6)
5 x (n x 3)
=
=
=
=
=
3 x 20
2 x 91
5 x 48
9 x 42
5 x 3n
=
=
=
=
=
60
182
240
378
15n
Si tenemos tres números naturales de modo tal que el primero de ellos multiplica a la suma de los
otros dos, obtendremos el mismo resultado si a la multiplicación del primero por el primero, de los que
componen la suma, le añadimos la multiplicación del primero por el segundo de los que componen la
suma; o sea a x (b + c) = a x b + a x c. En este caso se dice que la multiplicación distribuye sobre la
suma.
Ejemplos:
(7 + 2) x 4
(6 + 9) x 3
9 x (5 + 2)
6 x (1 + 8)
(8 + a) x 5
2 x (b + 2b)
=
=
=
=
=
=
28 + 8
18 + 27
45 + 18
6 + 48
40 + 5a
2b + 4b
=
=
=
=
36
45
63
54
=
6b
(7 + 2) x 4
(6 + 9) x 3
9 x (5 + 2)
6 x (1 + 8)
(8 + a) x 5
2 x (b + 2b)
=
=
=
=
=
=
9x4
15 x 3
9x7
6x9
40 + 5a
2 x 3b
=
=
=
=
36
45
63
54
=
6b
Donde las letras utilizadas en los ejercicios anteriores, a, b, c, n, p y q son números naturales.
Propiedades de los números naturales con respecto a la multiplicación
Las cuatro primeras propiedades, bajo la operación de multiplicación, se escriben y señalan de manera
concisa y formal como:
1. Si a y b son números naturales, entonces a x b, también lo es. Propiedad de cerradura.
2. Si a y b son números naturales, entonces a x b = b x a. Propiedad conmutativa.
3. Para todo número natural a, 1 x a = a. Propiedad del neutro (o idéntico) multiplicativo.
4. Si a, b y c son números naturales, entonces (a x b) x c = (b x c) x a. Propiedad asociativa.
Y la quinta que involucra a las dos operaciones, se escribe como:
5. Si a, b y c son números naturales, entonces a x (b + c) = a x b + a x c. Propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma.
Ejercicios
1. Escribe las siguientes sumas de manera diferente y resuélvelas.
4+7 =
83 + 9 =
4 + 2a =
21 + 8 =
65+ 73 =
c + 17 =
53 + 27 =
702 + 89 =
b + 2b =
69
2. Escribe las siguientes sumas de tres modos diferentes, utilizando paréntesis para agrupar dos cifras,
y resuélvelas.
8+3+2 =
5 + 7 + 14 =
9+6+a =
73 + 6 + 1 =
24 + 8 + 9 =
4 + b + 13 =
18 + 5 + 3 =
6 + 94 + c =
2 + 3c + c =
3. Escribe las siguientes multiplicaciones de forma diferente y resuélvelas.
3x6 =
4 x 21 =
5xb =
5 x 13 =
59 x 8 =
ax7 =
37 x 2 =
25 x 38 =
2c x 3c =
4. Escribe las siguientes multiplicaciones de tres modos diferentes, utilizando paréntesis para agrupar
dos cifras y resuélvelas.
4 x 8 x 12 =
37 x 9 x 5 =
3x4xb =
6 x 51 x 7 =
13 x 6 x 2 =
5xax3 =
62 x 3 x 1 =
8 x 2 x 75 =
cx1x9 =
5. Escribe las siguientes operaciones de dos formas diferentes y resuélvelas.
3 x (2 + 5)
7 x (21 + 4)
6 x (8 + 13)
2 x (a + a)
=
=
=
=
8 x (17 + 4)
31 x (5 + 12)
49 x (2 + 3)
7 x (b + 2)
=
=
=
=
5 x (1 + 2)
(3 + 59) x 16
(12 + 37) x 4
(3 + 2) x b
=
=
=
=
Explicar cada una de las respuestas.
6) ¿Son los números naturales cerrados con respecto a la operación resta?
7) ¿Cumplen los números naturales la asociatividad con la operación resta? Es decir, si a, b, c son tres
números naturales ¿es a – (b – c) = (a – b) – c?
8) ¿Es cierto que la resta es una operación conmutativa?
9) ¿Qué quiere decir que el producto distribuya sobre la resta?
10) Cierto o Falso: el producto distribuye sobre la resta.
11) Sea # la siguiente operación entre los naturales: a # b = b x a
por ejemplo, 3 # 7 = 7 x 3 = 21. Por favor justifica tu respuesta en las siguientes preguntas:
# es conmutativa
# es asociativa
70
Glosario
Asocia (asociativa): ver abajo propiedades cerradura
Cerradura: ver abajo propiedades cerradura
Conmuta (Conmutativa): ver abajo propiedades cerradura
Distributiva (propiedad): la multiplicación distribuye sobre la suma (y sobre la resta):
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c), a x ( b - c ) = ( a x b ) - ( a x c)
Idéntico multiplicativo: ver neutro multiplicativo.
Multiplicación (o producto): es una manera rápida de sumar varias veces la misma cantidad; el
resultado se llama producto. Los números por multiplicar se llaman factores o coeficientes;
individuamente uno es el multiplicando y el otro multiplicador. La notación usada para multiplicar a y b
puede ser cualquiera de las siguientes: a x b, a · b, a b; es decir, una cruz, un punto o nada.
Neutro multiplicativo (o Idéntico multiplicativo): aquel elemento u tal que a x u = u x a = a. En el
caso de los naturales el neutro multiplicativo es el número uno.
Propiedades cerradura, conmutativa y asociativa: si X es un conjunto, # una operación definida en
el conjunto y x, y, z son cualesquiera tres elementos del conjunto, entonces:
X es cerrado con respecto a # si x # y está en X.
X es conmutativo con respecto a # si x # z = z # x (se dice que x y z conmutan).
La operación # es asociativa si x # (y # z) = (x # y) # z.
71
Matemáticas 1
Los números naturales
1, 10, 100, 1000
en egipcio antiguo
Propósito:
4. Representación de los números naturales:
Base 10
Sistema decimal: concepto e interpretación;
representación en la recta numérica
El estudiante reproducirá la estructura del conjunto de los números naturales
partiendo del orden con que se construyen. Con esto, también aprenderá que un
sistema de numeración está compuesto de propiedades que regulan la manera de
escribir los números.
Empezando por los enteros positivos se
explicará el sistema decimal usado en la
mayor parte del mundo. Después se
introducirán los números decimales
como una natural generalización de la
base 10.
Sumerios:
Base 60
Egipcios:
Base 10
Mayas
Base 20
Números
Naturales
Sistema
Decimal
Otras
Bases
Desarrollo
Decimal
Empezando por las unidades, seguido por decenas, centenas, millares y así sucesivamente es como
contamos, es decir, usamos la base 10, tal vez debido a que tenemos diez dedos y entonces ese
número nos parezca más natural. Curiosamente no ha sido siempre el caso. Por ejemplo, los sumerios
usaban base 60, los mayas base 20 y los egipcios, igual que nosotros, base 10. Se recomienda ver los
sistemas de numeración a lo largo de la historia en las páginas sugeridas en la sección Ligas
externas: Tiempo Maya; Babilonia y Egipto.
72
Unidades, dígitos y base diez
Ya te habrás dado cuenta de que en algunos ejercicios resueltos te encontraste con números o cifras
de uno, dos, tres y, tal vez, hasta cuatro dígitos5 o guarismos6. En esas cifras recordarás tus
enseñanzas de primaria y secundaria, o aquellas en tu propia casa o en la preprimaria. Había el dígito
que llamabas de las unidades simples, otro de las decenas, de las centenas y demás, según cuantos
dígitos o guarismos tuviera.
Ejemplos:
3
3 unidades simples
47
4 decenas y 7 unidades simples
Nosotros utilizamos el sistema numérico llamado sistema decimal. Esto obedece a la estructura que
sostiene a este sistema de numeración. Un sistema de numeración necesita un conjunto de elementos
(dígitos o guarismos) para su operación. En el sistema decimal este conjunto está compuesto por diez
elementos, elementos que también conoces. El centro de este sistema es lo que llamamos base7.
Dígitos del Sistema Decimal = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9}.
El número que constituye la base que se esté utilizando debe representarse como la primera
combinación de dos elementos, los dos menores, del sistema. Esto se estudiará en una sección
posterior.
La relación entre unidades simples y decenas se llama cambio de orden, de igual manera al que hay
entre decenas y centenas y desde luego al de unidades simples y centenas. Este orden no es otro que
el emanado de la forma de agrupar elementos bajo cualquiera de estas “unidades”, ya sean unidades
simples, decenas o centenas.
Cambio de orden
Cambio de orden
Centenas
Cambio de orden
Decenas
Unidades simples
Este cambio de orden es la comparación entre cualesquiera dos “unidades” de distinto orden. Con
estos dos conceptos, el de base y el de cambio de orden, resulta que en cada “unidad” podemos
agrupar hasta 9 elementos de ese orden de modo que al tener 1 elemento más; se genera una
“unidad” del siguiente orden. Esto quiere decir que 10 “unidades” de cualquier orden equivalen a 1
5
Dígito. Número que puede expresarse con una sola cifra.
6
Guarismo. Número que puede expresarse con una sola cifra. O sea que dígito y guarismo son sinónimos.
7
Base. Número de unidades que se necesitan para formar una unidad del orden inmediato superior en un
sistema numérico.
73
“unidad” del orden inmediato superior. Y por consiguiente 1 “unidad” de cualquier orden equivale a 10
“unidades” del orden inmediato inferior. Excepción hecha de las unidades simples.
Ordenes inmediatos
Decenas
de millar
Ordenes inmediatos
Unidades
de millar
Ordenes inmediatos
Centenas
Ordenes inmediatos
Decenas
Unidades
simples
Esto quiere decir que 10 unidades simples constituyen 1 decena; 10 decenas, una centena; y así con
“unidades” de orden mayor.
Debemos de considerar que si bien cada centena está constituida por diez decenas, a su vez también,
cada decena de esta centena posee diez unidades simples.
Consecuentes con lo que es el cambio de orden inmediato, desarrollemos una tabla:
Unidades de millar o Millares
Centenas
1
=
10
1
=
Decenas
Unidades simples
10
1
10
=
Habíamos mencionado que entre las unidades simples y las centenas también tenemos un cambio de
orden, aunque no es un cambio de orden al inmediato superior. En este caso y utilizando el orden de
las decenas como intermedio, podemos completar la tabla extendiendo el concepto para cualesquiera
dos “unidades”. Tabla, tablita:
Unidades de millar o Millares
1
=
Centenas
Decenas
Unidades simples
10
1
100
10
1
1000
100
10
=
=
=
=
=
El sistema decimal, sistema con 10 elementos o un sistema de base 10, en donde los cambios de
orden son por la acumulación de 10 elementos, podemos armar el orden de sus “unidades” con base
en los múltiplos de 10, que son a su vez diez veces cada múltiplo, o de otra manera, en las potencias
de 10. Tres órdenes de magnitud consecutivos, comenzando por las unidades simples, forman una
clase.
Múltiplos de 10 (en diez) ;
Potencias de 10 ;
1000 000
100 000
10 000
1000
100
10
1
106
105
104
103
102
10
1
74
Los nombres de estas “unidades” son:
Múltiplo de 10 (en 10)
Potencia de 10
8
Unidad
Clase
100 000 000
10 000 000
1000 000
10
7
10
6
10
Centenas de millón
Decenas de millón
Unidades de millón
Millones
100 000
10 000
1000
10
4
10
3
10
5
Centenas de millar
Decenas de millar
Unidades de millar
Millares
100
10
1
10
10
1
Centenas
Decenas
Unidades simples
Unidades
2
Por esto en la lectura de cantidades, a cada dígito, según su colocación en la cifra de nuestro interés,
le damos el nombre de la “unidad” que corresponde al múltiplo de 10 o la potencia de que se trate.
Ejemplos nos sobran:
Unidades
Potencias de 10
Cifras
1
2
3
4
5
6
7
8
381
27
495
106
7352
8003
30
549
Millares
103
Centenas
102
tres centenas
siete millares
ocho millares
cuatro centenas
una centena
tres centenas
cero centenas
cinco centenas
Decenas
10
ocho decenas
dos decenas
nueve decenas
cero decenas
cinco decenas
cero decenas
tres decenas
cuatro decenas
Unidades simples
1
una unidad
siete unidades
cinco unidades
seis unidades
dos unidades
tres unidades
cero unidades
nueve unidades
Cifras que por facilidad y costumbre leemos como:
1. Tres cientos, ocho decenas (decimos: ochenta) y uno; trescientos ochenta y uno.
2. Dos decenas (veinte) y siete; veintisiete.
3. Cuatro cientos, nueve decenas (noventa) y cinco; cuatrocientos noventa y cinco.
4. Un ciento (decimos: cien), cero decenas (decimos: nada, lo pasamos por alto) y seis; ciento seis.
5. Siete miles, tres cientos, 5 decenas (cincuenta) y dos; siete mil trescientos cincuenta y dos
6. Ocho miles y tres unidades; ocho mil tres.
7. Tres decenas; treinta.
8. Cinco centenas (quinientos), cuatro decenas (cuarenta) y nueve; quinientos cuarenta y nueve.
75
Observaciones
1. En la última escritura de cada cifra hemos omitido el nombrar cada dígito con el nombre de las
“unidades” que posee. Esto porque se nombran sólo las unidades simples como el acumulado de
todas las “unidades” anteriores, y así se hace más fácil la escritura y la lectura de cantidades.
2. De esta manera nombramos cualquier número o cifra que se nos pregunte. Desde luego, tomando
en cuenta los pequeños o grandes cambios que sufren los dígitos según la “unidad” que
representen.
3. Tenemos que la segunda decena presenta cambios curiosos pues los nombres son en secuencia:
once, doce, trece, catorce y quince para las cifras 11, 12, 13, 14 y 15, respectivamente. Los
siguientes números no presentan cambios mayores: todos inician con dieci… en lugar de “una
decena” o simplemente “decena” o bien “deci”. Tomamos como inicio la palabra que denota la
primera decena, tal palabra es diez.
4. Nos fijamos y damos cuenta que en donde aparecen “0” cero “unidades” no hacemos mención de
las unidades que tienen al “0” cero como dígito. Esto es importantísimo, el “cero” es el elemento
que nos permite separar los sistemas numéricos en sistemas de numeración con cero y sistemas
de numeración sin cero. Si bien esta última afirmación es por demás clara, veremos más adelante
la importancia de tener o no al cero en un sistema numérico.
Unas preguntas como cualquier otra: ¿una unidad simple es diez veces mayor qué…? ¿Habrá alguna
“unidad” que cumpla con esta propiedad?
Los cambios de orden nos dicen que éstos van variando de 10 en 10 hacia arriba (órdenes de
magnitud mayor) o hacia abajo (órdenes de magnitud menor), excepción hecha del orden de las
unidades simples, hasta ahora.
Al partir una centena en diez partes iguales tenemos diez decenas, pero más importante que esto es
que cada decena es una décima parte de la centena. Si esto lo repetimos partiendo una decena en
diez partes iguales, obtenemos diez unidades simples y, al igual que la propuesta anterior, cada una
de estas unidades simples es la décima parte de una decena. Esto lo podemos extender hacia todos
lados. En todo cambio de orden entre dos órdenes inmediatos el mayor es diez veces más grande que
el menor y consecuentemente, el menor es la décima parte del mayor. Así respondemos a la pregunta
de si es posible que una unidad simple sea mayor que alguna unidad.
Ahora necesitamos organizar nuestra respuesta de manera que sea homogénea con la estructura que
tiene la escritura de cifras, de cualquier cantidad de dígitos, desde las unidades simples hasta las que
se tengan.
76
Tenemos que hacer uso de algo que se llama El punto decimal. El cual es sólo un separador entre las
unidades simples y “unidades” más grandes y aquellas que llamaremos “fracciones de la unidad
simple”. ¿Cómo escribiremos las fracciones de la unidad simple? y ¿cómo utilizaremos el punto
decimal?
Si la unidad simple es la décima parte de una decena y una decena es la décima parte de una
centena, por consiguiente una unidad simple es una centésima parte de una centena. Entonces,
intuimos que la unidad simple se puede dividir en diez partes iguales o en cien partes iguales, ¿cierto?,
y así también se puede dividir en mil partes iguales.
Décimas
Si los órdenes de magnitud inmediatos van de 1 a 10 hacia arriba, y de 10 a 1 hacia abajo, y el punto
decimal es un separador entre la unidad simple y “unidades” de orden de magnitud más pequeñas que
ella, desarrollemos una tabla que refleje esto. Antes es necesario darle nombre a las “unidades” que
agrupadas en diez forman una unidad simple; se les conoce como décimas. Si se agrupan cien de
ellas forman una unidad simple, centésimas.
Punto Decimal
Centenas
Decenas
Unidades simples
Décimas
Centésimas
1
10
1
100
10
1
1000
100
10
10000
1000
100
En una tabla anterior, habíamos propuesto los órdenes de magnitud como: múltiplos de 10, potencias
de 10 y unidades. ¿Cómo rescribiremos esa tabla? Si los múltiplos de 10 son más grandes que él, las
particiones que obtenemos de la unidad simple son submúltiplos. Además, si estamos dividiendo la
unidad simple en diez, cien o cualquier otro múltiplo de 10, las potencias las escribiremos dividiendo la
unidad simple por el múltiplo de 10 que corresponda. No olvidemos el punto decimal, y así tenemos:
Múltiplo de 10 (en 10)
Potencia de 10
Unidad
10 000
1000
100
10
1
0.1
0.01
0.001
104
103
102
10
1
1/10
1/102
1/103
Decenas de millar
Unidades de millar o Millares
Centenas
Decenas
Unidades simples
Décimas
Centésimas
Milésimas
77
Habíamos trazado una recta que llamamos recta numérica. Tomando la idea de aquel dibujo, ¿Cómo
acomodaríamos el concepto de los órdenes de magnitud mayores y menores en este sistema?
Primera decena:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Si esto lo hacemos para la primera centena, la recta toma la forma:
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
500
600
700
800
900
1000
Si lo repetimos para el primer millar:
100
200
300
400
A nivel de dibujo lo que hacemos es cambiar los valores de las distancias entre las rayas verticales,
que nos han separado de manera homogénea las unidades simples, las decenas y las centenas,
respectivamente.
Se entiende que, por ejemplo, en el caso de la ilustración de las decenas cada una de ellas está
dividida en diez partes iguales, que nos dan las unidades simples en cada una de las decenas.
Ejemplo:
Decenas
1
Unidades
simples
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
10
en cada
decena
Que en el acumulado de unidades y con sus diferentes nombres tenemos:
Unidades
simples
10
20
30
Diez
Veinte
Treinta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
78
5
6
7
8
9
10
1
2
3
Notas y ejemplos
1. Al escribir cualquier cifra numérica comenzamos con el primer dígito distinto de cero, los ceros que
contenga esta cifra después de este dígito, ceros intermedios, sí se escriben.
2. Si una cifra no tiene “unidades” menores a la unidad simple no es necesario escribir ni el punto ni
los ceros en los submúltiplos de la unidad simple.
3. Cuando una cifra sólo tiene dígitos distintos de cero después del punto decimal, es correcto escribir
en el lugar de las unidades simples, antes del punto decimal, el cero.
4. Después del último dígito distinto de cero en los submúltiplos de la unidad simple, tampoco es
necesario escribir los ceros.
En el caso de los órdenes de magnitud de potencias de 10 submúltiplos, tenemos:
Unidades
simples
1
Décimas
en cada
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
unidad
simple
El modo de leer estas cifras es: para las unidades antes del punto decimal, se menciona cuantas
unidades simples se han acumulado, tomando en cuenta las variantes de nombre en la segunda
decena y siguientes, así como en las centenas y órdenes mayores; y para las unidades después del
punto decimal, se menciona cuantas unidades de orden menor se han acumulado.
Ejemplo, que trataremos en dos pasos:
1)
Cifras
Unidades
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
3
12
78
43
2
1
34
6
53
7
. 5
.
.
.
.
.
.
.
.
6
2
17
03
27
34
82
56
Décimas
tres unidades
doce unidades
setenta y ocho unidades
cuarenta y tres unidades
dos unidades
una unidad
treinta y cuatro unidades
seis unidades
cincuenta y tres unidades
siete unidades
79
Centésimas
cinco décimas
seis décimas
dos décimas
una décimas
cero décimas
dos décimas
tres décimas
ocho décimas
cinco décimas
siete centésimas
tres centésimas
siete centésimas
cuatro centésimas
dos centésimas
seis centésimas
2)
Cifras
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
3
12
78
43
2
1
34
6
53
7
. 5
.
.
.
.
.
.
.
.
6
2
17
03
27
34
82
56
Unidades
Décimas
tres punto
doce
setenta y ocho punto
cuarenta y tres punto
dos punto
uno punto
treinta y cuatro punto
seis punto
cincuenta y tres punto
siete punto
cinco décimas
Centésimas
seis décimas
dos décimas
diecisiete centésimas
tres centésimas
veintisiete centésimas
treinta y cuatro centésimas
ochenta y dos centésimas
cincuenta y seis centésimas
La manera común de leer estas cifras, igual que lo hicimos con cifras sin submúltiplos de 10 (cifras sin
punto decimal), es la siguiente:
En la escritura vamos a omitir el nombre de unidades simples, sólo escribiremos unidades que
podemos intercambiar por la palabra “punto”, sabiendo que se trata del punto decimal. En el siguiente
ejercicio escribiremos ambas formas.
1. Tres unidades, cinco décimas; tres punto cinco décimas.
2. Doce unidades; doce.
3. Setenta y ocho unidades, seis décimas; setenta y ocho punto seis décimas.
4. Cuarenta y tres unidades, dos décimas; cuarenta y tres punto dos décimas.
5. Dos unidades, diecisiete centésimas; dos punto diecisiete centésimas.
6. Una unidad, tres centésimas; uno punto tres centésimas.
7. Treinta y cuatro unidades, veintisiete centésimas; treinta y cuatro punto veintisiete centésimas.
8. Seis unidades, treinta y cuatro centésimas; seis punto treinta y cuatro centésimas.
9. Cincuenta y tres unidades, ochenta y dos centésimas; cincuenta y tres punto ochenta y dos
centésimas.
10. Siete unidades, cincuenta y seis centésimas; siete punto cincuenta y seis centésimas.
Observamos a lo largo de este desarrollo que en la escritura en palabras y en la lectura de cifras con
potencias de 10, múltiplos y submúltiplos, se inicia, en el caso de los múltiplos, con el nombre que
corresponde del primer dígito distinto de cero, y sus acumulados sucesivos; y en el caso de los
submúltiplos, con el nombre que corresponde al último dígito distinto de cero, en donde se acumulan
todas las unidades de submúltiplos anteriores.
80
Hagamos un repaso.
Cifras
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
14
42
70
132
301
729
0
57
1006
.
.
.
.
.
23
09
006
5
92
. 203
. 042
. 8
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Catorce punto veintitrés centésimas.
Cuarenta y dos unidades nueve centésimas.
Setenta unidades seis milésimas.
Ciento treinta y dos punto cinco décimas.
Trescientos uno punto noventa y dos centésimas.
Setecientos veintinueve.
Cero unidades doscientos tres milésimas.
Cincuenta y siete unidades cuarenta y dos milésimas.
Mil seis punto ocho décimas.
El cuadro completo de potencias de 10, base del sistema decimal, a partir de los órdenes de magnitud
presenta la siguiente estructura:
Ordenes de Magnitud de las potencias de 10
Potencias Múltiplos
Potencias Submúltiplos
Punto Decimal
4º orden
3er orden
2º orden
1er orden 1er orden
103
102
10
1
millares
centenas
decenas
unidades
2º orden
3er orden
4º orden
1/102
1/103
1/104
milésimas
diezmilésimas
1/10
décimas centésimas
Ejercicios
1. ¿Qué unidades obtienes con diez decenas; diez centenas; diez millares?
2. ¿Qué unidades obtienes con cien decenas; cien centenas; mil millares?
3. ¿Qué unidades obtienes con diez décimas; diez centésimas; diez milésimas?
4. ¿Qué unidades obtienes con cien décimas; cien milésimas?
5. ¿Cuántas unidades hay en dos decenas; tres centenas?
6. ¿Cuántas decenas hay en cuatro centenas; en setenta y dos centenas?
81
7. ¿Cuántas unidades hay en doscientas décimas; tres mil centésimas?
8. ¿Cuántas décimas hay en cuatro decenas; ocho unidades?
9. ¿Qué unidades son las del segundo y tercer orden de magnitud de las potencias múltiplos?
10. ¿Qué unidades son las del primero, tercero y quinto orden de magnitud de las potencias
submúltiplas?
En los siguientes ejercicios, escribe con palabras las cifras que se te presentan, primero nombrando
las unidades que corresponden a cada dígito según su orden de magnitud y, segundo, (la forma
sencilla) nombrando los acumulados uno antes del punto decimal y el otro después del punto decimal:
11.
12.
13.
14.
15.
4729
602
841
556
1101
. 016
. 59
. 0032
. 101
. 0203
;
;
;
;
;
Escribe en cifras las cantidades que se te dan:
16. Ochenta y tres unidades cuatro décimas.
17. Trescientos cincuenta y siete punto novecientas doce milésimas.
18. Un mil seiscientos dos unidades diecisiete diezmilésimas
19. Catorce mil sesenta y ocho unidades tres milésimas.
20. Siete mil cinco punto dos mil nueve diezmilésimas.
21. Un billón NO ES 109. Averigua cuánto es consultando el Diccionario de la Real Academia Española
(DRAE) http://rae.es
22. 109 tiene un nombre. Encuéntralo en el DRAE:
http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=millardo
23. Actividad extra: imágenes y fotografías de nuestro mundo, desde un quark, de tamaño 10-16 hasta
la longitud del universo conocido, 1026 metros, que es lo mismo que diez mil millones de años luz.
No dejen de ver este interesante enlace:
http://www.elinformadordegalicia.com/jms/potenciasdiez/centro.htm
82
24. Año Luz
a) Sergio dice que su hija cumplió su primer año luz. ¿Hay algo malo en su afirmación?
b) ¿Qué es un año luz? Explicar.
c) Un año luz es igual a:
Metros
Kilómetros
Millones de kms
Millardos de kms
Billones de kms
d) Llena la siguiente tabla para relacionar distancias luz contra kilómetros:
1 año luz
1 mes luz
1 día luz
1 hora luz
1 min. luz
1 seg. luz
Km. =
Ligas externas
* El tiempo en los mayas:
http://mx.geocities.com/astronomiamex/arqueoastronomia/page9.html (Consulta julio 2007).
* Babilonia y Egipto:
http://platea.pntic.mec.es/aperez4/html/babiegipt/babiegipto.html (Consulta julio 2007).
* Los sistemas de numeración a lo largo de la historia:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html#E (Consulta julio 2007).
* Un Billón NO ES 109. Averigua cuanto es consultando el Diccionario de la Real Academia Española
(DRAE) http://rae.es (Consulta julio 2007).
* 109 tiene un nombre. Encuéntralo en el DRAE:
http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=millardo (Consulta julio 2007).
* Potencias de diez:
http://www.elinformadordegalicia.com/jms/potenciasdiez/centro.htm (Consulta julio 2007).
Glosario
Base: número de unidades que se necesitan para formar una unidad del orden inmediato superior en
un sistema numérico.
Base diez o decimal: sistema de numeración posicional con base 10, donde el valor del dígito
depende de su posición dentro del número, por ejemplo 796 = 7x100 + 9x10 + 6x1
Billón: 10 a la 12: 1012 = 1, 000, 000, 000,000
Dígito (o guarismo): número que puede expresarse con una sola cifra
83
Guarismo (o dígito): número que puede expresarse con una sola cifra
Millardo: 10 a la 9: 10 9 = 1, 000, 000,000
Punto decimal: separador de la parte entera con la fraccionaria.
Sistema decimal (o con base diez): sistema de numeración posicional con base 10, donde el valor del
dígito depende de su posición dentro del número, por ejemplo:
796 = 7x100 + 9x10 + 6x1
84
Matemáticas 1
Los números naturales
5. Representación de los naturales: bases
Números en griego
Propósito:
El estudiante entenderá el concepto y la estructura de otras bases de numeración.
Desarrollará su ingenio y habilidad para transformar cifras o números de una base
numérica en otra, así como la forma de realizar en éstas las operaciones básicas.
Sistema decimal, binario y hexadecimal, estos dos últimos son muy usados tanto en calculadoras
como en computadoras. ¿Cómo funcionan?
Sistemas
Numéricos
Decimal
123
Binario
1111011
Hexadecimal
7B
En el sistema decimal vimos que los cambios de orden de magnitud son por acumulación de 10
elementos. Nos interesa esta parte de la estructura, además del concepto de base. La estructura para
reproducirla y la base en tanto que, una base posee el número de elementos o dígitos que ella misma
indica para escribir cualquier cifra numérica.
Múltiplos de 10 (en diez) :
Potencias de 10 :
1 000 000
10
6
100 000
10
5
10 000
10
4
1000
10
3
100
10
1
2
10
1
10
Sistema binario
En los tiempos actuales se habla del sistema binario. Esto, nos dicen, es porque este sistema es el
lenguaje de las máquinas calculadoras, desde las pequeñas de bolsillo hasta las grandes que s
ocupan en la investigación científica y tecnológica, manejo de bancos de datos, etc. Lo que vamos a
exponer aquí, es el cómo se desarrollan éste y otros sistemas de numeración.
El sistema binario o sistema en base 2, como su nombre lo indica, tiene dos elementos dígitos
diferentes para la escritura de cifras numéricas, sólo dos dígitos. Los números en esta base deben
85
escribirse solamente con los dígitos 0 y 1, por ser los de menor cuantía (tomados del sistema decimal
y no hay para que inventar otros); el cero que nos dice que no se tiene cantidad en la o las posiciones
que ocupa, y el uno que nos dice que hay la cantidad mínima en la o las posiciones que ocupa.
Dígitos del sistema binario = 0 y 1
Tenemos dos dígitos para cualquier cifra. Tecnología moderna: hay vía o no hay, blanco o negro.
encendido o apagado, abajo o arriba. 0 ó 1. Con esto contamos.
Tomando como estructura la desarrollada en la base 10 o heredada de ella, que puede ir de una a
otra, la estructura resiste esta polémica y más, pero la base 10 nos es más cercana y la hemos
aplicado mucho más que cualquiera otra, así es que hagámoslo fácil. Heredada de la base 10 y ya.
Esta estructura la desarrollaremos con base en múltiplos de 2, que sean a su vez potencias de 2.
Entonces tenemos:
Múltiplos de 2 (en dos) :
Potencias de 2 :
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
En donde debajo de cada posición sólo se puede escribir 0 ó 1.
En base 2, los nombres de las potencias serían tal vez: unidades; dosenas (no es falta de ortografía,
está referido al dos) o doses (mismo argumento) o binéas; cuatrenas o cuatros; octenas u ochos;
dieciseisenas, y así sucesivamente. Esto se complica, de modo que optaremos por los nombres más
simples, los que ya se emplean de manera común, los menos polémicos y los que no necesitan toda
una argumentación. Además de quitar los plurales, puesto que sólo tenemos una opción 0 ó 1.
Entonces nos quedamos con: dos; cuatro; ocho; dieciséis; treinta y dos, etc.
¿Cómo escribir la secuencia de los números naturales en base 2?, en otros términos ¿cómo es la
transformación de números de base 10 a base 2?
Recordemos que en base 10, a partir del mayor orden de magnitud con dígito distinto de 0, se
acumulaban o añadían las cantidades de los demás órdenes de magnitud menores.
El 2 debe ser la primera combinación de dígitos de la base. Además, por estructura debe empezar a
escribirse en la columna del orden de magnitud inmediato superior al de las unidades y hasta nos da el
nombre de en qué columna hacerlo. Para el acumulado la receta es fácil: como sólo hay 0 ó 1, se
suman las cifras que indican los encabezados de las columnas de las potencias de dos en donde haya
1’s.
Así tenemos:
86
Múltiplos de 2 (en dos) :
32
16
8
4
2
Potencias de 2 :
Los acumulados :
25
24
23
22
2
1
1
0
=
0
1
=
1
1
2+
0
0
=
2
1
2+
1
1
=
3
1
4+
0
0+
0
0
=
4
1
4+
0
0+
1
1
=
5
1
4+
1
2+
0
0
=
6
1
4+
1
2+
1
1
=
7
1
8+
0
0+
0
0+
0
0+
=
8
1
8+
0
0+
0
0+
1
1
=
9
1
8+
0
0+
1
2+
0
0
=
10
1
8+
0
0+
1
2+
1
1+
=
11
y así sucesivamente…
Ya sabemos cómo transformar y escribir los números de base 10 a base 2, si los tenemos en
secuencia. Ahora veamos el modo de escribirlos de manera directa, sin gastar tanto lápiz,
construyendo la secuencia hasta llegar al número que nos interesa.
Necesitamos una receta:
87
1. Ubicar el número, que se quiere transformar a base 2, entre dos potencias de 2.
2. Escribir un 1 en la potencia menor de entre estas dos.
3. Restar el valor de la potencia al número dado.
4. Al resto le aplicamos los pasos anteriores hasta que todo el número lo hayamos “descargado” en
potencias de 2.
5. No olvidar que después del primer 1, hay que escribir 0’s en los órdenes de magnitud en donde no
se hayan “descargado” 1’s
Ejemplos:
25
24
23
22
2
1
Cifras en base 10
32
16
8
4
2
1
1.
15
15 – 8 = 7
:
1
7–4=3
1
3–2=1
1
1–1=0
1
En claro,
En corto,
:
:
2.
25
25 – 16 = 9
:
1
1
1
1111
1
9–8=1
1
1–1=0
1
En claro, 25
En corto,
:
:
3.
58
58 – 32 = 26
:
1
1
0
0
1
11001
1
26 – 16 = 10
1
10 – 8 = 2
1
2–2=0
En claro, 58
En corto,
1
1
:
:
1
1
1
0
1
0
111010
La manera de indicar la igualdad entre dos números en diferente base, es escribiendo en cada uno de
ellos la base en que están escritos como subíndice, y así:
88
1.
2.
3.
1510 =
2510 =
5810 =
11112
110012
1110102
Cabe preguntarse ¿cómo hacer el camino inverso? Vayamos a él.
Convertir los siguientes números a base 10: 1001012 , 1110112 , 111002 , 1001102 .
Dibujemos una estructura que posea tantas potencias de 2 como dígitos tiene la cifra con más de ellos,
esto a partir de las unidades y hacia la izquierda hasta agotar las cifras; escribimos los 1’s en las
columnas correspondientes; los 1’s los convertimos de potencias de 2 en su equivalente en base 10 y;
sumamos esos resultados parciales para obtener el número final, en base 10 por supuesto.
Convertir:
1.
2.
3.
4.
1001012
1110112
111002
1010112
:
:
25
24
23
22
2
1
32
16
8
4
2
1
1
32 +
0
0+
0
0+
1
4+
0
0+
1
1
=
3710
1
32 +
1
16 +
1
8+
0
0+
1
2+
1
1
=
5910
1
16 +
1
8+
1
4+
0
0+
0
0
=
2810
0
0+
1
8+
0
0+
1
2+
1
1
=
4310
:
:
1
32 +
Es interesante saber cómo se comporta la base 2 o sistema binario, porque es el modo de transmisión
de impulsos electrónicos de las computadoras; árboles interminables de 0’s y 1’s, impulsos que corren
en caminos que se bifurcan y lo vuelven a hacer.
Un ejemplo de estos bosques de 0’s y 1’s es el siguiente: persigamos una cadena de 0’s y 1’s,
anotando el 0 ó 1 al momento de escoger una bifurcación y veamos lo que obtenemos.
89
Estructura de la base 2
Inicio del camino
23 = 8
0
22 = 4
1
0
2
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
¿Cómo se suma en base 2?
Igual que en base 10, sumando y llevando.
1)
1 0 1 1 1
2)
1
+ 1 1 0 1 0
+
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
3)
+
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
+
1
2
1
1
5
3
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
¿Qué números hemos sumado en el ejercicio anterior?
1)
+
2
2
3
6
2)
+
2
1
7
5
3)
1
4 9
4 2
3 2 8
Ahora, vamos a realizar sumas con más de dos sumandos. Recuerda, cada que tengamos dos 1’s,
como suma en un mismo orden de magnitud, anotamos un cero y llevamos un 1 a la orden de
magnitud inmediata superior.
4)
5)
1
1
1
0
1
1
1
0
1
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
6)
1
+
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
Transforma las cifras de estos ejercicios y resuelve las sumas para convencernos que el método, que
usamos en el sistema decimal, funciona en otras bases (al menos en base 2).
90
La entrada a la computadora se hace a través de signos y símbolos que conocemos: las letras del
alfabeto, los números, los signos de puntuación y de las operaciones, etc. Lo que escribimos y vemos
en la pantalla, es transformado y operado en código binario y al tener la respuesta (en el caso de
operaciones), es nuevamente transformado a las letras y números que conocemos.
Esto sucede en el interior de las computadoras pero en grande. ¿En el exterior cómo se representan
esas cadenas tan grandes de 0’s y 1’s. Una representación es la que mencionamos arriba, la otra, que
es la que interesa a los expertos en la construcción de estas máquinas, está en base 16 o sistema
hexadecimal. Expliquemos de qué se trata.
Sistema hexadecimal
Cuando los expertos analizan la operación de la máquina les es más fácil revisar un código que en
cada posición puede tener hasta 16 valores diferentes que uno que tenga sólo 2. Recordemos la
transformación entre base 10 y base 2, en donde las cifras en base 10 son más cortas que sus
equivalentes en base 2. La base 16 tiene esa misma ventaja sobre la base 10 como veremos.
Ya mencionada la base 16 y recordando que una base tiene tantos dígitos diferentes como su nombre
indica, esta base tendrá 16 dígitos con los que se podrá escribir cualquier cifra.
Dígitos de la Base 16 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,… y ahora tomaremos letras del alfabeto para
completar hasta los 16 dígitos que necesitamos. Empezando por la A nuestra base 16 quedará
completa con:
Dígitos de la Base 16 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F}.
La estructura, heredada de las anteriores o en concordancia con ellas, y la escritura de cifras será la
siguiente:
91
Múltiplos de 16 (en dieciséis) :
Equivalente en base 10 :
1048576
65536
4096
256
16
1
165
164
163
162
16
1
1
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Ahora queremos saber cómo transformar de base 10 a base 16 y viceversa. Procedamos como
hicimos entre base 10 y base 2, descargando (que aquí será laborioso porque se pueden descargar
hasta 15 unidades en cada orden de magnitud) y acumulando. Podríamos instrumentar una receta
como lo hicimos con base 2. Aquí está:
1. Ubicar el número que se quiere transformar a base 16, entre dos potencias de 16.
2. En la potencia menor, de entre estas dos, descargar esta potencia las veces que se pueda; esto es,
dividir el número entre esa potencia y escribir el cociente en esa posición.
3. Restar el valor de la potencia multiplicado por el dígito de esa posición al número dado, y
4. Al resto, que resulta ser el residuo de la división del número entre la potencia señalada, le aplicamos
los pasos anteriores hasta que todo el número lo hayamos “descargado” en potencias de 16.
5. No olvidar que después del primer dígito distinto de 0 hay que escribir 0’s en los órdenes de
magnitud, en donde no se hayan “descargado” dígitos.
Ejemplos:
Cifras en base 10
92
163
162
16
1
4096
256
16
1
1.
2.
3.
4.
5.
32
32 – 2 x (16) = 0
:
37
37 – 2 x (16) = 5
:
47
47 – 2 x (16) = 15
:
91
91 – 5 x (16) = 11
:
425
425 – 1 x (256) = 169
:
169 – 10 x (16) = 9
6.
972
972 – 3 x (256) = 204
2934
2934 – 11 x (256) = 118
2
5
2
F
5
B
1
A
9
3
C
C
B
7
6
E
7
A
:
118 – 7 x (16) = 6
8.
0
:
204 – 12 x (16) = 12
7.
2
3706
3706 – 14 x (16) = 122
122 – 7 x (16) = 10
¿Cómo convertir cifras de base 16 en cifras de base 10?
Convirtamos los siguientes números a base 10: 7616, D516 , FA16 , ABC16 .
Dibujemos una estructura con tantas potencias de 16 como dígitos tiene la cifra con más de ellos, esto
a partir de las unidades y hacia la izquierda hasta agotar las cifras; escribamos los dígitos en las
columnas correspondientes; los dígitos los multiplicamos por las potencias de 16 que corresponden en
su equivalente en base 10 y; sumamos los resultados parciales para obtener el número final, en base
10 por supuesto.
93
Convertir:
1.
2.
3.
4.
163
162
16
1
4096
256
16
1
7
112 +
6
6
=
11810
D
208 +
5
5
=
21310
F
240 +
A
10
=
25010
B
176 +
C
12
=
274810
7616
D516
FA16
ABC16
A
2560 +
Los expertos utilizan el sistema binario para la operación interna de la máquina y el hexadecimal para
revisión externa de esa operación. Nos preguntamos por qué estos dos sistemas. Uno está inmerso en
el otro. ¿Cómo?, ¿el sistema binario en el hexadecimal o al revés?
Vamos a reproducir los encabezados de las conversiones de base 2 o 16 a base 10.
Múltiplos de 2 (en dos) ;
Potencias de 2 :
Múltiplos de 16 (en dieciséis) :
Potencias de 16 :
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
210
29
28
27
26
25
24
23
22
2
1
1 048 576
65 536
4096
256
16
1
165
164
163
162
16
1
Nos fijamos que ambos arreglos tienen 1’s (unidades), 16’s (dieciseisenas), 256’s (doscientos
cincuenta y seisenas), etc. Etc. que se repetirá por cada cuatro órdenes de magnitud en base 2 sólo
uno en base 168. Veamos esto con más claridad:
Si llenamos con 1’s los 4 órdenes de magnitud menores en base 2, lo que obtenemos es un 11112
equivalente al F16, que es el primer orden de magnitud, con el máximo de unidades en base 16. Ambos
representan al 15 en base 10.
Si llenamos con 1’s los 8 órdenes de magnitud menores en base 2, obtenemos un 111111112 que
equivale al FF16, con que se saturan de unidades las dos órdenes de magnitud menores en base 16; y
ambas cifras equivalen con el 25510.
8
Tengamos en cuenta que los nombres dados a los distintos órdenes de magnitud en base 16, al igual que los
que se dieron para base 2, están heredados del sistema decimal.
94
Nos damos cuenta que las potencias de 2 y las potencias de 16, se encuentran en un ciclo dispuesto
de la manera siguiente: por cada 4 órdenes de magnitud en las potencias de 2 tendremos un orden de
magnitud en las potencias de 16. La base 16 es una compresión de la base 2, cada potencia del 16
encierra cuatro potencias del 2.
Esto nos facilita la transformación de cifras entre estas dos bases. ¿Cómo?, como lo hemos hecho
antes. ¡Lo construiremos en una tabla!
32 768
16384
8192
4096
2048
1024
512
256
128
64
32
16
215
214
213
212
211
210
29
28
27
26
25
24
2
1
23 22 2
1
8
4
163
162
16
1
Pongamos esta tabla en vertical para apreciar el cambio de base al escribir cifras numéricas. En la
primera columna escribimos el equivalente de las bases 2 y 16 en base 10.Cambiemos de base 2 a
base 16 los números:
1) 11010112 ,
2) 100111110011102 ,
3) 1001011011112 ,
4) 1010011111000002
y
5) 10110011011111012 .
Base 10 ; Base 2
Ejercicios:
Base 16
1)
2)
32768
16384
8192
4096
215
214
213
212
1
0
2048
1024
512
256
211
210
29
28
0
1
1
1
128
64
32
16
27
26
25
24
8
4
2
1
23
22
2
1
3)
4)
5)
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1)
2)
3)
2
4)
5)
5
B
163
7
9
3
3
162
6
C
6
E
7
16
B
E
F
0
D
1
Hemos cambiado de base sin saber qué números representan estos arreglos. Para convencernos que
esto funciona, resolvamos uno de los ejercicios con las tablas anteriores. Desarrollaremos la
conversión de base 2 a base 10 “desdoblándola” hacia abajo; la conversión de base 16 a base 10 la
“desdoblaremos” hacia arriba y ambas se encontrarán en medio, en la base 10, para convencernos de
95
que estos desarrollos son consistentes. Tomemos el: 10110011011111012 y el B37D16. Deben
representar el mismo número.
16384
8192
4096
2048
1024
512
256
128
64
32
16
214
213
212
211
210
29
28
27
26
25
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
32768
0
8192
4096
0
0
512
256
0
64
32768
215
Sumas parciales,
45056
768
Equivalente en base 10:
2
1
24
23 22 2
1
1
1
1
1 0
1
32
16
8
4 0
1
8
4
112
13
45949
45056
768
112
13
11 x (4096)
3 x (256)
7 x (16)
13 x (1)
B
3
7
D
163
162
16
1
¿Cómo se suma en base 16?
4
7
A
3
9
2
2)
9
8
D
7
B
3)
6
7
8
9
A B 5
1)
+
+
4
1
8
0
C
D
5
6
1
1
E
4
+
2
F
4
1
1
B 1
D 7
D
¿Qué números hemos sumado en el ejercicio anterior?
1)
1
+
1
9
4
1
0
6
1
2
6
4
1
2)
+
3
1
9
7
1
7
2
7
7
1
6
8
9
8
3)
+
7
2
0
7
2
1
0
5
6
1
5
9
0
4
5
0
4
4
5
1
8
Y ahora sumas con más de dos sumandos. Recuerda que debemos llegar hasta el 10 (uno cero) en
base 16 para llevar una unidad al orden de magnitud inmediato mayor. O hasta sumar 16 (en el
sistema en que estamos acostumbrados). Anotar las unidades que se rebasan del 16 y llevar una
unidad al orden de magnitud inmediato superior.
96
4)
5)
+
1
5
3
D
6
B
7
1
1
6
9
A
9
8
B
+
9
C
F
4
A
7
8
5
2
2
2
2
A
0
B
6
E
7
6)
+
6
B 7
8
A 5
D 9 F
6
F
A
4
2
2
2
1
F
0
5
4
A
D
5
3
F
Igual que en el ejercicio de las sumas en base 2, transforma estas cifras y resuelve las sumas para
convencernos que el método que usamos, de sumar y llevar, también funciona en esta base.
Ejercicios
1. Desarrolla las tablas correspondientes a la base 3 y a la base 9.
a. ¿Qué similitudes encuentras entre estas bases y el arreglo de sus tablas?
b. ¿Se puede transformar de una base en la otra sin pasar por base 10? ¿Por qué si o por qué
no? Argumenta tu respuesta.
2. Convierte los siguientes números como se indica:
a. Base 10 a base 3:
b. Base 10 a base 9:
c. Base 3 a base 9:
d. Base 9 a base 3:
3810 =
7410 =
4510 =
32110 =
2013 =
2213 =
179 =
869 =
3
3
9
9
9
9
3
3
,
,
9710 =
28710 =
,
,
8210 =
59410 =
,
,
123 =
12213 =
,
,
529 =
1049 =
3
3
9
9
9
9
3
3
,
,
15610 =
56710 =
,
,
10710 =
73210 =
,
,
1123 =
21023 =
,
,
739 =
2359 =
3
3
9
9
9
9
3
3
Con lo que ya tenemos hasta ahora, vamos a construir el esquema (por qué no la tabla, estamos más
acostumbrados a ese nombre) de la base 5 y a transformar algunos números de base 5 a base 10 y
viceversa. Recordemos que los dígitos que podemos usar son:
Dígitos de la Base 5 = {0, 1, 2, 3 y 4} y esquema o tabla para transformar a base 10.
97
Ejemplo: 1) 43425 , 2) 301235 , 3) 234405 , 4) 420135 y 5) 334245 .
Múltiplos de 5 (en cinco) :
Potencias de 5 :
625
54
125
53
25
52
5
5
1
1
Base 10
4
4 x (125)
500 +
3
3 x (25)
75 +
4
4 x (5)
20 +
2
2 x (1)
2
=
597
3
3 x (625)
1875 +
0
0 x (125)
0+
1
1 x (25)
25 +
2
2 x (5)
10 +
3
3 x (1)
3
=
1913
2
2 x (625)
1250 +
3
3 x (125)
375 +
4
4 x (25)
100 +
4
4 x (5)
20 +
0
0 x (1)
0
=
1745
4
4 x (625)
2500 +
2
2 x (125)
250 +
0
0 x (25)
0+
1
1 x (5)
5+
3
3 x (1)
3
=
2758
3
3 x (625)
1875 +
3
3 x (125)
375 +
4
4 x (25)
100 +
2
2 x (5)
10 +
4
4 x (1)
4
=
2364
Para de base 10 a base 5 procederemos como lo hicimos antes, descargando cantidades en base 10
a dígitos en base 5 y acumulando.
La receta sólo cambia por ser ahora base 5. Repetimos:
1. Ubicar el número que se quiere transformar a base 5 entre dos potencias de 5.
2. En la potencia menor, de entre estas dos, descargar esta potencia las veces que se pueda; esto es,
dividir el número entre esa potencia y escribir el cociente en esa posición.
3. Restar el valor de la potencia multiplicado por el dígito de esa posición, al número dado, y
4. Al resto, que resulta ser el residuo de la división del número entre la potencia señalada, le aplicamos
los pasos anteriores hasta que todo el número lo hayamos “descargado” en potencias de 5.
5. No olvidar que después del primer dígito distinto de 0 hay que escribir 0’s en los órdenes de
magnitud, en donde no se hayan “descargado” dígitos.
98
Ejemplos:
Cifras en base 10
1.
82
82 – 3 x (25) = 7
55
54
53
52
5
1
3125
625
125
25
5
1
3
1
2
:
7 – 1 x (5) = 2
2.
3.
103
103 – 4 x (25) = 3
:
294
294 – 2 x (125) = 44
:
4
0
3
2
1
3
4
1
1
3
4
1
3
4
2
1
0
3
3
0
3
0
44 – 1 x (25) = 19
19 – 3 x (5) = 4
4.
846
846 – 1 x (625) = 221
:
221 – 1 x (125) = 96
96 – 3 x (25) = 21
21 – 4 x (5) = 1
5.
2430
2430 – 3 x (625) = 555
:
555 – 4 x (125) = 55
55 – 2 x (25) = 5
5 – 1 x (5) = 0
5.
14765
14765 – 4 x (3125) = 2265
:
2265 – 3 x (625) = 390
390 – 3 x (125) = 15
15 – 3 x (5) = 0
4
99
Cambia de base en los siguientes ejercicios:
1. Base 10 a base 2;
4310 =
5610 =
2. Base 10 a base 16:
6310 =
25810 =
3. Base 2 a base 10:
4. Base 2 a base 16:
5. Base 16 a base 10:
6. Base 16 a base 2:
7. Base 3 a base 10:
8. Base 5 a base 10:
111012 =
110012 =
2
2
16
16
10
10
101010102 = 16
11011012 = 16
A716 =
BB16 =
7116 =
A416 =
22113 =
12123 =
432105 =
123405 =
10
10
2
2
10
10
10
10
,
,
8210 =
7510 =
,
,
9710 =
64810 =
,
,
100102 =
110112 =
,
,
100100102 =
111011102 =
,
,
8F16 =
FD16 =
,
,
5B16 =
7C16 =
,
,
201013 =
212123 =
,
,
13245 =
203415 =
2
2
16
16
10
10
16
16
10
10
2
2
10
10
10
10
,
,
9110 =
10210 =
,
,
87610 =
93610 =
,
,
111102 =
101012 =
,
,
2
2
16
16
10
10
11112 = 16
101111112 = 16
,
,
C116 =
E916 =
,
,
DA16 =
F916 =
,
,
112203 =
201203 =
,
,
122335 =
332115 =
10
10
2
2
10
10
10
10
Resumen y algunas preguntas
La mayoría de los sistemas numéricos se basan en el concepto de un sistema posicional.
Un valor en un sistema decimal se representa de la siguiente manera: .. s2 s1 s0. s-1 s-2 .. Donde
cada si tiene algún valor cuantitativo. Los términos a la izquierda del punto se llaman unidades y a la
derecha fracciones. Es LA BASE la que nos dice cuánto valen las unidades y las fracciones. Por
ejemplo, el número 1100 puede significar valores distintos si no se nos dice la base que estamos
usando, ya que no es lo mismo 110010 11002 110016.
1) En el sistema decimal ¿cuánto representa cada uno de 110010, 11002 , 110016 ?
2) Llena los espacios:
“Cuando tenga ____________ 2 años” es una vieja canción de los Beatles, y menciona lo que harían
cuando cumplieran los _________ 16 años.
3) ¿Quién es mayor? ¿Mi abuelo que tiene 5116 años o el tuyo de 10011112 años?
4) Microsoft Excel 2003 tiene 65,536 renglones y no es casualidad ni es un número extraño. Date
cuenta de esto escribiéndolo en base dos y en base 16.
100
5) Escribe 2008 en binario y en hexadecimal.
6) Dispara proyectiles convirtiendo binario a decimal; aprende aritmética binaria y averigua una manera
de escribir números binarios negativos si usar el signo menos.
Glosario
Base 2 o Sistema Binario: sistema de numeración posicional donde los números se representan
usando sólo las cifras cero y uno.
Binario, Sistema: ver base 2.
Hexadecimal, Sistema: sistema de numeración posicional basado en potencias de 16 empleando
como símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
El docente resaltará los conceptos clave a aprender por los estudiantes. En miras de un
autoaprendizaje y autogestión en la adquisición del conocimiento, el estudiante será el encargado de
investigar la definición de las palabras o expresiones indicadas por el profesor.
Ligas externas
* Juego binario: Dispara un cañón:
http://es.geocities.com/jeeesusmeeerino/sistnum/binario/binario.html (Consulta julio 2007).
* Reloj Binario construido con lenguaje Java:
http://users.california.com/~binard/java/Binclock.html (Consulta julio 2007).
101
Matemáticas 1
Los números naturales
6. Sistemas antiguos de numeración
Propósito:
En la antigüedad hubo sistemas de numeración diferentes al que usamos hoy en día.
Se comentará el sistema posicional notando que es el atributo más sobresaliente de
cualquier sistema numérico. Desplazó a los otros por ser una estructura sólida y de
fácil comprensión.
Se estudiará la numeración usada en la antigüedad principalmente por los egipcios, romanos y mayas.
C u n e ifo rm e
E g ip c io
S is te m a s
N u m é ric o s
A n tig u o s
M aya
Rom ano
Los indios Pirahas en la selva de Brasil no tienen números, pronombres, colores ni tiempos verbales,
simplemente no los necesitan. Tampoco tienen términos relacionados con contar, no hay palabras
para ‘todo’, ‘cada’, mayoría’ o ‘algunos’. Por meses se trató de enseñar a contar y pasar del tres; nadie
podía decir cuánto es 3 más 1.
Tomado de: http://pepascientificas.blogspot.com/2007/05/no-tienen-nmeros-colores-ni-tiempos.html
(Consulta julio 2007).
Escritura cuneiforme
El sistema numérico creado y utilizado por los pueblos de Babilonia, consistía de sólo dos símbolos,
dígitos o cuñas. Recordemos que esta civilización fue la primera en dejar testimonio escrito de su
existencia a través de tablas de barro, en las que hendían pequeñas marcas o cuñas que después
eran cocidas. A esta forma de escritura se le llamó desde entonces escritura cuneiforme. Volviendo al
sistema numérico, los símbolos o cuñas son: v, que equivale a una unidad simple y <, que equivale a
10 unidades simples.
El modo de escribir cifras en este sistema, es el siguiente:
102
6
;
vvvvvv
,
vvv
vvv
23
;
<<vvv
,
<vv
<v
47
;
<<<<vvvvvvv
,
<<vvvv
<<vvv
51
;
<<<<<v
,
<<<
<<v
,
vvvv
vv
,
<vv
<vv
<vv
<v
Esta manera de escritura obedecía más a cuestiones de cupo en las tablillas de barro y a cuestiones
estéticas que a una forma ordenada de su valor. Sólo era necesario que se encontraran agrupadas,
cercanas unas de otras.
Sin embargo, el sistema babilónico contaba con “espacios” (dejados lateralmente) entre órdenes de
magnitud. Dependiendo del lugar que ocupen los grupos de cuñas es el valor que se le asigna a cada
uno de ellos. Estos grupos, que compartían las mismas dos cuñas, separados por pequeños
“espacios”, representaban 60 unidades de valor inmediato inferior. Estos “espacios” ordenaban las
unidades de 60 en 60. Veamos cómo:
61
;
84 ;
v v
v <<vvvv
,
v <vv
<vv
148
;
vv <<vvvvvvvv
,
v <vvvv
v <vvvv
256
;
vvvv <vvvvvv
,
vv <vvv
vv vvv
La cuestión es cómo escribir el 60, 120 o 180. ¿En dónde se deja el “espacio”? Esta es la limitante de
los sistemas que no tienen el cero “0”.
103
60
;
v
,
¿En dónde colocamos el espacio? ¿antes o después?
120
;
vv
,
v
v
180
;
vvv
,
vv
v
Aquí si hay espacios.
182
;
vvv vv
,
vv v
v v
Como notación posicional, el orden de las unidades está agrupado de la siguiente forma:
604
603
602
60
1
12 960 000
216 000
3600
60
1
En estas posiciones se hacían las cuñas (< y v) para cualquier cifra. La dificultad, como anotamos
arriba, estriba en no tener la cuña que designe que no se tienen unidades en el agrupamiento de las
unidades más pequeñas cuando se trata de números que son múltiplos de 60. O cuando no se tienen
unidades en algún orden de magnitud intermedio. Veamos.
3600
;
v
,
7200
;
vv
,
v
v
10800
;
vvv
,
vv
v
3661
;
v v v
3601
;
v
v
¿En dónde colocamos el espacio? ¿Antes o después?
Aquí si hay espacios.
Serán suficientes el o los espacios.
El sistema babilónico, si bien presenta posiciones, es cierto que al no tener una cuña que represente al
“0”, se hace difícil la secuencia de “espacios” entre órdenes de magnitud. Para sumar en el sistema
babilónico, basta con acumular de 10 en 10 para cambiar una v por una < y acumular de 60 en 60 para
cambiar de un orden de magnitud al inmediato mayor. Para restar, multiplicar y dividir es más lío que
perderse en un zarzal de noche, así es que lo dejaremos para aquellos que tengan interés real en
saber cómo se realizan.
104
Sistema egipcio
Asomémonos ahora al sistema egipcio, si bien este sistema presenta una estructura decimal, la forma
de escribir las cifras es de acuerdo al espacio con que cuenta el escriba sobre los papiros o el
ornamento que desea pintar el artista.
Pictogramas de la
numeración egipcia
Equivalencia
Equivalencia
al
sistema decimal
1
=1
10 x
= 10
10 x
= 100
10 x
= 1 000
10 x
= 10 000
10 x
= 100 000
También carece de “0”, lo que lo hace un sistema acumulativo y por lo tanto, engorroso al escribir
cifras muy grandes. Ahora bien, para escribir o pintar las cifras, sólo es necesario dibujar los símbolos
que la representan, y así, por ejemplo, el número mil trescientos cuarenta y dos (1,342) se escribe:
=1
= 10
= 100
= 1,000
= 10,000
105
= 100,000
= 1,000,000
Sistema romano
Ahora vamos a sondear al sistema romano.
Símbolos
numéricos
romanos
Equivalencia
al sistema
decimal
Equivalencia
I
V
X
L
C
M
I
1 I
1
V
5 I
1 V
X
10 I
2 V
1 X
L
50 I
10 V
5 X
1 L
C
100 I
20 V
10 X
2 L
1 C
D
500 I
100 V
50 X
10 L
5 C
1 D
500
M
1000 I
200 V
100 X
20 L
10 C
2 D
1000
5
10
50
100
Como vemos en la tabla, a cada orden de magnitud (unidades simples, decenas y centenas) le
corresponden dos dígitos o símbolos (unidades simples I y V; decenas X y L; centenas C y D). Esto
hace que el paso de una a otra, en orden ascendente, sea de 5 o de 2 veces la unidad menor en la
mayor (véase la diagonal que parte de 5 I para terminar en 2 D). Indicio de una fuerza un poco mayor
de los símbolos I, X, C y M sobre los V, L y D.
Para la escritura de cifras en el sistema romano, tomando en cuenta la diferencia de fuerzas de los
símbolos I, X, C y M y los V, L y d, y que es un sistema de adiciones y sustracciones, las reglas son las
siguientes:
1. Una cifra podrá contener hasta tres veces, en forma contigua, alguno o algunos de los símbolos
I, X, C o M; los símbolos V, L y D sólo aparecerán una vez. Por ejemplo, 39 = XXXIX, o 333 =
CCCXXXIII
2. Todos los símbolos son susceptibles de sustracción, esta sustracción será del múltiplo de 10
inmediato inferior a él (incluyendo el I para sustracción al V y al X) y se escribirá a su izquierda.
3. Las cifras se escribirán de izquierda a derecha, asentándolas de unidades mayores a menores.
106
Escribamos algunas:
Sistema romano
Sistema decimal
III
IV
X II
XXX VIII
LX
XC IX
C LXX
CCC
CD L VI
CM XL
3
4
12
38
60
99
170
300
456
940
Es importante saber o conocer cómo se escriben en el sistema de numeración romano los números
que van del 1 (uno) al 100(cien). En la edición de libros algunos autores utilizan los números romanos
para numerar los capítulos de sus obras; si por ejemplo, nos encontrarnos leyendo el capítulo XVII y
nos preguntan ¿qué capítulo leemos? no vamos a responder: equis ve chica dos i. Se recomienda,
saber por lo menos hasta el número romano C, es muy probable que no haya libros con más de C
capítulos.
El sistema romano tampoco tiene un símbolo para indicar que no se cuenta con unidades de algún
orden de magnitud. Imagínate el realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los sistemas
de numeración babilónico, egipcio y romano. Para la realización de tales operaciones eran necesarios
estudios especializados. ¿Cómo se hacían los cálculos para la compra y venta de artículos?, ¿cómo
para el cálculo de impuestos a cobrar?, ¿cómo la partición de bienes contables?, etc., ¡Que lío!
El “0” y la posición de los dígitos son de gran importancia en los sistemas de numeración. Es más, son
lo que da sentido y vertebración a un sistema de numeración.
Sistema maya
Veamos ahora un sistema con “0”. Antiguo, si muy antiguo. El sistema de numeración maya.
El sistema de numeración maya posee “0” y además es posicional en vertical, iniciando con las
unidades menores a los pies y ascendiendo conforme se tengan unidades mayores. Es un sistema
vigesimal9 y sus símbolos o dígitos son un punto ( ) para indicar un 1; una barra (
) para
indicar un 5; y una concha hueca (
) (o un pan) para el “cero”.
Por cierto, las unidades en el sistema de numeración maya tienen nombre propio. Hagamos un
esquema y pongamos en él los órdenes de magnitud y los nombres de cada uno de ellos.
9
Esto quiere decir que sus órdenes de magnitud se agrupan de 20 en 20. Aunque tiene una variación.
107
Numeración maya
Nombre de las uUnidades
20 calabtunes
20 piktunes
20 baktunes
20 katunes
20 tunes
18 huinales
20 kines
1 kin
Equivalente en días
1 kinchiltún
1 calabtún
1 piktún
1 baktún
1 katún
1 tun
1 huinal
Potencias de 20*
18 x 206
18 x 205
18 x 204
18 x 203
18 x 202
18 x 20
20
1
1 152 000 000
57 600 000
2 880 000
144 000
7 200
360
20
1
Este sistema presenta una irregularidad al considerar 18 huinales y no 20* (esta es la variación que
habíamos anunciado en la nota de pie de página). Esto obedece a que este sistema fue utilizado para
cálculos astronómicos y el calendario se compone de 360 días.
Las reglas para escribir las cifras en el sistema de numeración maya son las siguientes:
1. Cuando las unidades sean de 1 a 4, se escribirán tantos puntos como unidades; estos se dibujarán
uno tras otro en horizontal,
2. Cuando las unidades sean 5 o más se escribirán: por tantos múltiplos de 5 como se tengan, igual
número de barras y el resto en puntos, las barras se apilarán una sobre otra y los puntos siempre
irán encima de la o las barras,
3. Cuando haya puntos sobre puntos, barras sobre puntos o más de tres barras, querrá decir que esos
puntos o barras que se encuentran por encima de los puntos o esas barras después de tres, son
unidades de orden de magnitud mayor.
4. Cuando no haya unidades en algún orden de magnitud se escribirá un cero (
).
Escribiremos del 1 al 30 en numerales mayas y decimales.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
108
Ahora escribamos o transformemos cifras del sistema de numeración maya al sistema decimal y
viceversa. Hagámoslo con números no muy grandes.
Potencias de 20*
Sistema Maya
1)
2)
Sistema Decimal
Equivalente decimal
1)
2)
1)
2)
18 x 20
8 x 360
11 x 360
2880
3960
20
0 x 20
4 x 20
+0
+ 80
1
12 x 1
17 x 1
+ 12
+ 17
2892
4057
En el sistema maya, las operaciones básicas son laboriosas pero claras por la inclusión del cero
La suma, resta, multiplicación y división se realizan igual que en el sistema decimal, aunque con
pequeñas variante: 1) para “llevar” unidades al siguiente orden de magnitud, debe de contarse con 20,
salvo cuando se juntan 20’s, allí sólo hay que juntar 18, antes y después siempre es de 20 en 20; y
2) para multiplicar el trabajo es muy laborioso por el acomodo de las unidades resultantes en sus
correspondientes órdenes de magnitud.
La realización de las operaciones básicas en los sistemas babilónico, egipcio, romano y maya, las
dejaremos para quienes tengan un interés mayor por saber cómo se realizan.
Ejercicios
De los 40 (cuarenta) números o cifras que se te dan a continuación en sistema decimal, transforma 10
(diez) al sistema babilónico, 10 (diez) al egipcio, 10 (diez) al romano y 10 (diez) al maya. Tu selecciona
cuáles 10 (diez) de los 40 (cuarenta) cambias a cada sistema.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
7
15
24
34
45
58
72
87
104
122
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
799
846
894
943
993
1045
1098
1152
1208
1265
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
109
2761
2847
2934
3022
3111
3202
3294
3387
3482
3578
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
4719
4831
4944
5058
5173
5290
5408
5527
5648
5770
41. Construye una forma de realizar alguna de las operaciones básicas en dos de los sistemas
numéricos que se expusieron, explicando, argumentando, desarrollando mediante tablas o del
modo lógico y consecuente que idees.
42. Los números romanos escritos de mayor a menor son M D C L X V I. Si lo consideramos como un
número fijo y le restamos mil, obtenemos un bíblico e interesante número. ¿Cuál es?
43. El cuatro tiene otra historia. Originalmente “cuatro” se escribía
como IIII ya que IV representa al dios romano Júpiter, cuyo
nombre latino es IVUPITER (empieza con IV). Sin embargo el
uso de IV en vez de IIII se ha convertido en lo común. Algunos
relojes antiguos aún escriben el cuatro como antes. Ver, la
ilustración.
44. ¿Romano a decimal o decimal a romano? En la página siguiente se puede hacer la conversión
inmediata de números menores que MMMCM, o sea menores o iguales que MMMDCCCXCIX:
http://www.mscperu.org/utiles/utilidades/num_roman.htm
45. Algo de historia sobre los números romanos ver en:
http://sauce.pntic.mec.es/~ebac0003/descartes/romanos/historia.htm
46. Contando en Babilonia ver en:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/lectures/Contando_en_Babilonia.htm
47. Antes de Sadam Hussein: Mapas de sumeria, El antepasado del cuneiforme sumerio, Acadia,
Gilgamesh, El código de Hammurabi, ver en:
http://www.proel.org/alfabetos/sumerio.html
Glosario
Sumeria y Babilonia: localizados en el Irak de hoy, fueron probablemente los primeros pueblos en
contar con lenguaje escrito, lo que inició en Sumeria aproximadamente en 3100 AC.
Escritura Cuneiforme: sistema gráfico aparecido en Mesopotamia y cuyo principio consiste en
imprimir los signos con una cuña sobre arcilla.
Sistema Egipcio: desde el tercer milenio AC los egipcios usaron un sistema de escribir los números
en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.
110
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda
a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Sistema maya, usa la base 20 con la ventaja de que conocían el cero. Así su numeración fue
posicional.
Ligas externas
* Los sistemas de numeración a lo largo de la historia:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html#SNH (Consulta julio 2007).
* Los indios Pirahas de Brasil no tienen números:
http://pepascientificas.blogspot.com/2007/05/no-tienen-nmeros-colores-ni-tiempos.html
(Consulta julio 2007).
111
Matemáticas 1
Los números naturales
7. Divisibilidad
Múltiplos y divisores
Propósito:
El estudiante aprenderá la relación que hay entre los múltiplos y los submúltiplos de un
número y el uso y aplicaciones que se hacen en la solución de ejercicios y acertijos.
Los enteros y sus múltiplos; los enteros y sus submúltiplos
Los múltiplos de n son 2n, 3n, etcétera y los submúltiplos de un entero son sus divisores. Cada entero
n tiene al menos dos divisores: 1 y n; sin embargo, éstos no son muy interesantes. Por ejemplo, 60 es
un número interesante, entre otras cosas por la cantidad de submúltiplos que tiene: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,
12, 15, 20, 30, 60. El cercano 61 no lo es pues sus únicos divisores son 1 y 61.
M ú ltip lo s
D iv is o re s
N ú m e ro s
N a tu ra le s
60, 120, 180,
240, . . .
1, 2, 3, 4, 5,
6, 10, 12, 15,
20, 30, 60.
E je m p lo : 6 0
Múltiplos y submúltiplos
Fíjate en las siguientes secuencias de números:
1)
2
4
6
8
10
12
14
2)
3
6
9
12
15
18
21
3)
7
14
21
28
35
42
49
16
24
56
1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, …
2) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39,…
3) 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91…
112
18
27
63
20
30
70
22
33
77
24
36
84
26
39
91
…
…
…
¿Te parece bien que las representemos de otra manera? He aquí la primera.
.
.
.
Los pequeños rectángulos de cada arreglo (grupo de pequeños rectángulos) nos dan los números que
componen la primera secuencia: 2, 4, 6, 8, 10,… Observamos que la base de cada grupo de pequeños
rectángulo es de 2, igual en todos. ¿Podríamos representarla de alguna otra forma? La respuesta es:
2x1
,
2x2
,
2x3
,
2x4
,
2x5
,
2x6
,
2x7
,
2x8
,
…
Vayamos con la segunda secuencia,
.
.
.
Los pequeños rectángulos de cada arreglo nos dan los números que componen la primera secuencia:
3, 6, 9, 12, 15,… La base de cada grupo de pequeños rectángulo es de 3, igual en todos. La podemos
representar de esta otra forma:
3x1
,
3x2
,
3x3
,
3x4
,
3x5
,
3x6
,
3x7
,
3x8
,
…
Ahora la tercera,
.
.
.
Los pequeños rectángulos de cada arreglo nos dan los números que componen la segunda secuencia:
7, 14, 21, 28, 35,… La altura de cada grupo de pequeños rectángulo es de 7, igual para todos.
113
Entonces, también la podemos representar así:
7x1
, 7x2
,
7x3
,
7x4
,
7x5
,
7x6
,
7x7
, …
Las presentaremos de este otro modo:
Primera secuencia
2
4
6
8
10
12
14
...
=
=
=
=
=
=
=
Segunda secuencia
2x1
2x2
2x3
2x4
2x5
2x6
2x7
3
6
9
12
15
18
21
...
...
=
=
=
=
=
=
=
Tercera secuencia
3x1
3x2
3x3
3x4
3x5
3x6
3x7
7
14
21
28
35
42
49
...
...
=
=
=
=
=
=
=
7x1
7x2
7x3
7x4
7x5
7x6
7x7
...
Los números de la primera secuencia son múltiplos de 2, puesto que se obtienen multiplicando el 2 por
cualquiera otro número natural (eso indican los puntos suspensivos; el suspenso por conocer cuál
número natural seguirá en la lista)
De igual manera los números de la segunda secuencia son múltiplos de 3, pues se obtienen
multiplicando el 3 por cualquiera otro número natural. Repetimos aquí los argumentos del párrafo
anterior.
En la tercera secuencia, tenemos que son múltiplos de 7. Y, desde luego, añadimos los argumentos
del párrafo primero. Con lo que hemos desarrollado, nos damos cuenta de lo siguiente:
1. Para todo número natural podemos construir una secuencia de múltiplos.
2. La cantidad de múltiplos de un número natural cualquiera es infinita, pues hay tantos como números
naturales. Basta con construir una tabla que lo muestre.
3. La construcción de una secuencia o una tabla de múltiplos de un número natural cualquiera, se
realiza multiplicando ese número por los números naturales. Ya sea que se multipliquen en
sucesión (el número natural por 1, 2, 3, 4,…), en cuyo caso se tendrán los múltiplos en sucesión,
ya sea que se multipliquen al azar, se tendrán… salteados.
Surge una pregunta ¿cómo saber si un número dado es múltiplo de otro? Ejemplos:
¿El 36 es múltiplo del 2?, ¿el 51 lo es del 3?, ¿el 60 lo es del 4?, ¿el 40 lo es del 7?
Como los múltiplos de un número los construimos como productos de ese número por algunos
números naturales, es procedente que nos preguntemos si hay un número natural que multiplicado por
ese número en cuestión nos dé como resultado el número que queremos saber, si es múltiplo de él.
Hagamos los ejercicios propuestos.
Habrá algún natural qué multiplicado por 2 sea igual a 36. ¿Cuál? El 18.
114
¿Cómo lo obtuvimos?
Una forma fue siguiendo la secuencia de los múltiplos del 2 hasta encontrar el 36.
Y otra, dividiendo el 36 por el 2, en esta última observa que la división deja residuo “0”.
El 3 multiplicado por cuál natural nos da 51. Recorriendo la secuencia, multiplicado por17.
De la otra forma: el 51 dividido por 3 nos da 17 dejando residuo “0”.
El 4 multiplicado por cuál natural nos da 60. Multiplicado por 15.
El 60 dividido por 4 nos da 15 dejando residuo “0”.
El 7 multiplicado por cuál natural nos da 40. No hay número natural que lo cumpla.
El 40 dividido por 7 nos da 5 dejando residuo “5”.
Entonces el 40 no es múltiplo del 7.
Tenemos dos formas de saber si un número es múltiplo de otro, estas son:
1. Construir la secuencia de sus múltiplos hasta encontrar dicho múltiplo o
2. Dividiendo el múltiplo por el número en cuestión (el residuo debe ser “0”).
Ejercicios
1. Escribe la secuencia de los 15 primeros múltiplos de 4.
2. Escribe la secuencia de los 15 primeros múltiplos de 6.
3. Escribe la secuencia de los 15 primeros múltiplos de 11.
4. Escribe los múltiplos de 9 que son mayores que 10 pero menores que 130.
5. Escribe los múltiplos de 13 que son mayores que 30 pero menores que 200.
6. Completa los números que hacen falta en las siguientes secuencias:
a.
b.
c.
d.
e.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5,
9,
…,
…,
…,
10,
18,
…,
…,
…,
15,
27,
21,
…,
…,
…,
36,
…,
…,
…,
25,
…,
…,
…,
85,
30,
…,
…,
…,
…,
…,
…,
…,
91,
…,
…,
72,
56,
...,
136,
45,
…,
…,
…,
…,
50,
…,
…,
…,
…,
…,
…,
…,
143,
…,
…,
…,
84,
…,
…,
115
13
14
15
16
65, …, …, … .
….
…, …, … .
…,
….
221.
Jugando con múltiplos
Juguemos con los múltiplos de los números naturales.
1. Veamos qué sucede si sumamos dos o más múltiplos de un número natural cualquiera.
¿El resultado será o no será múltiplo del número dado?
Número
Múltiplos
Suma de los múltiplos
4
7
11
19
23
2
20 y 12
28 y 49
11, 55 y 99
76, 171 y 209
92, 161 y 46
2n y 2m
20 + 12 = 32
28 + 49 = 77
11 + 55 + 99 = 165
76 + 171 + 209 = 456
92 + 161 + 46 = 299
2n + 2m = 2 x (n + m)
La suma es múltiplo
32 = 4 x 8
77 = 7 x 11
165 = 11 x 15
456 = 19 x 24
299 = 23 x 13
2 x (n+m)
Si
Si
Si
Si
Si
Si
2. Si tomamos dos múltiplos de algún número que escojamos y restamos el menor al mayor, ¿cómo
será el resultado. ¿Será múltiplo o no del número que escogimos?
Número
Múltiplos
Resta de los múltiplos
La resta es múltiplo
33 = 3 x 11
3
15 y 48
48 - 15 = 33
Si
48 = 8 x 6
8
56 y 104
104 - 56 = 48
Si
135 = 15 x 9
15
45 y 180
180 - 45 = 135
Si
147 = 21 x 7
21
84 y 231
231 - 84 = 147
Si
111 = 37 x 3
37
111 y 222
222 - 111 = 111
Si
5 x (p-q)
5
5p y 5q
5p – 5q = 5 x (p – q)
Si
3. Dado un número natural cualquiera, si a un múltiplo de él lo multiplicamos por algún otro natural
¿cómo será el resultado?
Número dado
Múltiplo
Multiplicador
Múltiplo x multiplicador
3
5
18
24
51
4
18
10
54
96
255
4s
2
7
6
11
3
t
18 x 2 = 36
10 x 7 = 70
54 x 6 = 324
96 x 11 = 1056
255 x 3 = 765
4s x t = 4st
116
El producto es múltiplo
Si
Si
Si
Si
Si
Si
36 = 3 x 12
70 = 5 x 14
324 = 18 x 18
1056 = 24 x 44
765 = 51 x 15
4 x st
Ejercicios
Utilizando las propiedades: asociativa de la suma y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación
para con la suma podrías argumentar y probar que:
7. La suma de dos o más múltiplos de un número dado es también un múltiplo de él.
8. Dados dos múltiplos de un número, la resta del menor al mayor es un múltiplo de él.
9. El producto de un múltiplo de un número dado por otro número cualquiera es un múltiplo del número
dado.
Traigamos a este espacio las secuencias de números con que empezamos esta historia:
1.
2.
3.
2,
3,
7,
4,
6,
14,
6,
9,
21,
8,
12,
28,
10,
15,
35,
12,
18,
42,
14,
21,
49,
16,
24,
56,
18,
27,
63,
20,
30,
70,
22,
33,
77,
24,
36,
84,
26,
39,
91,
…
…
…
La primera secuencia es de múltiplos de 2; la segunda, de múltiplos de 3; y la tercera, de 7.
Fíjate bien que en las secuencias de los múltiplos de 2, 3 y 7 encuentras algunos números que
pertenecen a más de una secuencia. Por ejemplo el 6, se encuentra en la secuencia del 2 y del 3; el
12 igual; el 14 en las del 2 y del 7; el 21 en las del 3 y del 7; el 42 en las tres secuencias. En fin, resulta
que hay números que encontramos como múltiplos de dos o más números.
Un número es un múltiplo común a dos o más números si es divisible por cada uno de ellos. Dicho de
otra forma, dos o más números tienen un múltiplo común si esos dos o más números dividen a ese
múltiplo dejando, desde luego, residuo “0”.
Si las secuencias son múltiplos de 2, 3 y 7, ¿qué son el 2, 3 y 7 para los números de las secuencias
correspondientes? Pues submúltiplos o bien, divisores. O sea:
Divisor
2
3
7
Múltiplos
2,
3,
7,
4,
6,
14,
6,
9,
21,
8,
12,
28,
10,
15,
35,
12,
18,
42,
14,
21,
49,
16,
24,
56,
18,
27,
63,
20,
30,
70,
Entonces, el 2, 3 y 7 dividen a sus propios múltiplos dejando residuo “0”.
117
22,
33,
77,
24,
36,
…
…
39,
…
10. Escribe las secuencias de los primeros 25 múltiplos de los siguientes arreglos de números y
encierra en círculos los múltiplos comunes:
a. 2 y 3
b. 3 y 5
c. 2, 3 y 5
d. 5 y 7
e. 7 y 11
11. Construye la lista de los primeros 10 múltiplos comunes de:
a. 4 y 5
b. 5 y 8
c. 7 y 9
d. 2, 3 y 4
e. 2 y 6
12. ¿Cuál es el múltiplo más pequeño y cuál es el más grande de?:
a. 5 y 9
b. 10 y 12
c. 1 y 3
d. 3 y 12
e. 4, 5 y 6
Ahora veamos algo de esto en los esquemas de los pequeños rectángulos.
Los cuatro primeros arreglos tienen cada uno 12 rectángulos, acomodados de diferente manera. El
primero tiene 2 de base y 6 de altura, el segundo 3 de base y 4 de altura, el siguiente 4 de base y 3 de
altura y el último, de estos cuatro, 6 de base y 2 de altura.
Fijémonos que el producto de estas parejas 2 x 6, 3 x 4, 4 x 3 y 6 x 2 es 12. Esto quiere decir que el 12
es múltiplo del 2, 3, 4 y 6. Pero también que el 2, 3, 4 y 6 son submúltiplos del 12. O que el 2, 3, 4 y 6
dividen al 12, o que son divisores del 12 dejando residuo “0”.
Los tres últimos arreglos tienen 16 rectángulos cada uno. El primero 2 de base y 8 de altura, el
segundo 4 de base y 4 de altura y el último 8 de base y 2 de altura.
El producto de las parejas 2 x 8, 4 x 4 y 8 x 2 es 16. O sea que el 16 es múltiplo del 2,4 y 8 y que el 2,
4 y 8 son submúltiplos, dividen o son divisores del 16, dejando residuo “0”.
Decimos entonces que: Un número divide a otro, o es divisor de otro, si al dividir el segundo por el
primero dicha división deja residuo “0”.
Hay algunos criterios de divisibilidad de fácil aplicación, por ejemplo:
1. Si un número es par (basta con ver el dígito de las unidades simples) es divisible por 2.
2. Si el último dígito de un número es 0 o 5, el número es divisible por 5.
118
3. Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, el número también lo es.
4. Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 9, el número también lo es.
Para darnos cuenta de si estos criterios son ciertos, basta con desarrollar las tablas correspondientes.
Ahora, fíjate en todos los productos cuyo resultado es 36.
Tenemos, 2 x 18, 3 x 12, 4 x 9, 6 x 6 y 1 x 36. Los números 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 son divisores o
dividen al 36.
De igual manera tenemos que el 36 es un múltiplo común de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Ejercicios
13. Escribe todas las parejas de números naturales cuyo producto dé:
a. 24
b. 18
c. 54
d. 30
14. Escribe las listas de los divisores de los números del ejercicio anterior.
119
e. 19
15. Divide los números 38, 135, 232, 329 y 426, de manera simultanea por los números 2, 3, 5, 9, 11 y
13. En el rectángulo que corresponde escribe el cociente antes de la diagonal y el residuo después
de ella.
38
135
232
329
426
2
/
/
/
/
/
3
/
/
/
/
/
5
/
/
/
/
/
9
/
/
/
/
/
11
/
/
/
/
/
13
/
/
/
/
/
16. Escribe las listas de los divisores comunes de cada arreglo de números:
a. 36 y 48
b. 24 y 72
c. 36, 72 y 108
d. 17 y 23
e. 1, 5 y 12
17. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. Por ejemplo: 234234. Divide
este número entre 7; después el cociente entre 11 y, por último, el nuevo cociente entre 13. Obtienes
divisiones parciales exactas y al final tu número inicial. ¿Por qué?
Por ser conmutativa la multiplicación, no importa por cuál número empecemos dividiendo, de 13, 11, ó
7.
18. Cierto o falso: demostrar o dar contraejemplo:
* El cero es múltiplo de cualquier número.
* Todo número es múltiplo de sí mismo.
* Todo número es múltiplo del número uno.
Ligas externas
* Escoge un número de la forma abcabc:
http://platea.pntic.mec.es/jescuder/numeros.htm (Consulta julio 2007).
120
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
2
7
12
17
22
27
32
37
42
47
3
8
13
18
23
28
33
38
43
48
4
9
14
19
24
29
34
39
44
49
Matemáticas 1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Los números naturales
8. Los números primos
Primos sin tachar:
Propósito:
El estudiante sabrá que los números naturales se pueden expresar como
producto de números primos. Este producto de números primos le hará concebir
a los números naturales como dos subconjuntos: el de los números primos y el de
los números compuestos
Existen diferentes tipos de números, al revisar este tema conocerás los famosos números primos y sus
relaciones con otro tipo de números con los que normalmente estamos en contacto y serás capaz de
distinguir unos de otros, podrás trabajar con ellos y establecer relaciones que te facilitarán hacer
diferentes operaciones y llegar a mejores resultados cuando sea necesario.
Gracias a esta información, podrás manejar algunos trucos que te van a ser muy útiles en el futuro
para realizar operaciones y resolver situaciones que relacionadas con valores numéricos.
Te invitamos a que pongas especial atención en la forma en que podemos descomponer los números,
también en la forma de distinguir entre los números primos y los compuestos.
Tendrás la oportunidad de hacer algunos ejercicios y al finalizar podrás mostrar tu destreza para
distinguir entre los diferentes tipos de números y utilizarlos para facilitar las operaciones.
Prim os
C om pu estos
N ú m eros
N aturales
4, 6, 8, 9, 10
12, 14, 15, 16,
18, 20, . . .
2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, . . .
Desde muy pequeños aprendemos los números y poco a poco vamos entendiendo su significado, por
ejemplo, sabemos que si nos darán un juguete recibiremos poco, pero si nos dan 15 habrá mucho más
de donde escoger.
121
Conforme vamos avanzando en la vida, los números vienen acompañados de más información y
tenemos que utilizarlos en muchas más cosas, que a veces nos pueden parecer complicadas o
alejadas de nuestra realidad.
Para este tema usaremos los conocimientos anteriores sobre los números, sus propiedades y las
operaciones que con ellos podemos hacer; además veremos una forma de descomponer los números,
lo que nos será de gran utilidad en el futuro para encontrar resultados de diferentes operaciones.
Descomposición de los enteros
Encuentra las parejas de números cuyo producto∗ sea igual a 12.
Estas parejas son:
1, 12
2, 6
3, 4
De los números anotados en las parejas, podrías encontrar otras parejas que sus productos sean esos
números, intentémoslo:
Parejas :
1x
1x
12
(2 x 6)
(2 x (2 x 3))
2x
2x
6
(2 x 3)
y
3x
3x
4
(2 x 2)
Resulta que en los productos encerrados en cuadro tenemos:
1. A esos números ya no se les puede encontrar parejas de números que los tengan como
producto;
2. Son iguales en los tres casos (dos veces el 2 y una vez el 3) y;
3. Los tres tríos tienen, desde luego, el 12 como producto, recuerda que de allí partimos.
¿Cuántos de los números de la tabla anterior dividen al 12?
Poniendo atención nos damos cuenta que en este cuadro tenemos todos los divisores del 12. Así, la
construimos, buscando las parejas cuyo producto es 12. Entonces, enumeremos los divisores de 12,
estos son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Desarrollemos otros productos, ¿qué tal para el 36?:
Parejas :
1 x 36
1 x (2 x 18)
1 x (2 x (2 x 9))
(2 x (2 x (3 x 3)))
2 x 18
2 x (2 x 9)
2 x (2 x (3 x 3))
3 x 12
3 x (2 x 6)
3 x (2 x (2 x 3))
4x 9
(2 x 2) x (3 x 3)
Haciendo el mismo recuento que en el ejercicio anterior tenemos: uno, a esos números ya no se les
puede encontrar parejas de números que los tengan como producto; dos, son iguales en los cuatro
casos (dos veces el 2 y dos veces el 3); y tres, las cuatro cuartetas tienen el 36 como producto.
∗
Recuerda que se llama “producto” al resultado de multiplicar varios números.
122
Divisores del 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Productos del 11:
Parejas :
1 x 11 ,
y no hay más.
Entonces los divisores del 11 son: 1 y 11.
Si hacemos los productos del 17:
Parejas :
1 x 17 ,
y tampoco hay más.
Aquí también sólo tenemos como divisores del 17: 1 y 17.
¿Resulta entonces que hay números que podemos expresar como producto de números más
pequeños siempre y otros que no podemos expresarlos así?
La respuesta es afirmativa. Entonces bajo esta característica, tenemos dos subconjuntos de los
números naturales:
Uno, en el que los números los expresamos como producto de dos y sólo dos naturales que son la
unidad y él mismo, y por lo tanto tienen sólo esos dos divisores; y dos, los que podemos expresar
como producto de más de dos naturales, por lo tanto tienen como divisores la unidad, él mismo y por lo
menos algún otro que tampoco se podrá expresar como producto de una pareja de números, y que es
más grande que la unidad pero más pequeño que él.
Números primos y números compuestos
A los números que sólo tienen dos divisores, la unidad y ellos mismos, los llamamos números primos.
Primo en el sentido de simple, primitivo, primario, etc.
Y los números que tienen más de dos divisores los llamamos números compuestos.
El 1 (uno) no es primo porque él y la unidad son el mismo número o sea, sólo tiene un divisor.
Al procedimiento de escritura de un número con base en el producto de los números primos que lo
componen se le llama expresión, desarrollo o descomposición en sus factores primos.
¿Cómo saber si un número es primo o es compuesto?
Pues buscando, como en los ejercicios desarrollados, parejas de números cuyo producto sea el
número en cuestión (proceso laborioso con números grandes). Averiguando si tiene divisores.
Hay una forma sencilla de hacer esto: dado un número, lo dividimos por el 2, 3, como constatamos
arriba no tenemos una pareja de números que al multiplicarla nos dé 2 ó 3. Y entonces, decimos que 2
y 3 son primos pero, ¿habrá otros que nos faciliten la revisión?
123
Escribamos los números del 1 al 100. Recordemos que si un número es múltiplo de otro, de manera
automática ese número lo consideraremos número compuesto. Dicho esto y empezando por el 1,
tachémoslo y tomemos el siguiente número, lo enmarcamos y tachamos todos sus múltiplos y así
sucesivamente, tenemos entonces que:
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
De manera que los números que no están tachados, y que hemos inscrito en un círculo, son los
números primos entre 1 y 100.
Los colores obedecen a la siguiente regla: (Los colores puedes apreciarlos en la versión en línea).
1. El 2 es azul, lo encerramos en un círculo y los múltiplos de 2 los escribimos en azul y los tachamos.
2. El 3 es verde, lo encerramos y sus múltiplos en verde y los tachamos. Como te habrás dado cuenta
ya hay algunos en azul y tachados, señal inequívoca que son múltiplos de 2 y de 3, de manera
simultánea. Haz la prueba.
3. El 5 es rojo, encerrado y múltiplos en rojo y tache para ellos. También ya hay números en azul y en
verde tachados. … Si, así es, son múltiplos de 2, de 3 y de 5 a la vez.
4. El 7 es naranja, igual y múltiplos en naranja y tache para ellos. Ya hay números en azul, verde y
rojo. ¿Sabes por qué?
5. Del 11 en adelante, los que no fueron tachados no son múltiplos de los que hasta este momento
hemos encerrado en círculos. Por lo tanto, son primos y los encerramos en círculos.
Este método utilizado para encontrar primos, tomando los números en sucesión y tachando los
múltiplos, es el ingeniado por Eratóstenes, matemático griego que vivió en el siglo III antes de nuestra
era. Por eso es llamado la Criba de Eratóstenes10. Entonces, con la criba estamos cribando o colando
los números y así, los separamos en primos y compuestos.
Ahora, traigamos el primer ejercicio que desarrollamos; encontrar las parejas de números cuyo
producto sea igual a 12. Aquí, además de exhibir que el 12 tiene seis divisores a saber, 1, 2, 3, 4, 6 y
12, también tenemos a los primos que componen, como producto, el 12. Esto es, el 12 lo escribimos
como 2 x 2 x 3. Lo que los convierte en los factores primos del 12.
10
Una criba es un instrumento semejante a un filtro que sirve para colar, cernir o desgranar granos o minerales.
124
De estos divisores, los números 2 y 3 son divisores y además son primos. Los números 4, 6 y 12 son
divisores compuestos; 4 = 2 x 2; 6 = 2 x 3; 12 = 2 x 2 x 3. Desde luego también es un divisor el 1, que
lo es de cualquier número. En la lista de divisores de cualquier número tenemos dos que no pueden
faltar en la lista de sus divisores, estos son: el 1 (uno) y el número mismo, en tanto que un número se
divide a sí mismo. Un número cualquiera, con las debidas acotaciones para el 1 y los primos, tiene
divisores primos o simples y divisores compuestos.
Ejercicios
1. Enlista los primos menores a 250. Utiliza el método de Eratóstenes.
2. ¿Cómo son los números compuestos que en su desarrollo, en producto de primos, sólo aparece un
primo? Por ejemplo 4 = 2 x 2.
3. Enlista los números compuestos menores a 250 que en su desarrollo, en producto de primos, sólo
aparece un primo.
4. Enlista los números menores a 250 en cuyo desarrollo aparecen dos primos distintos. Ejemplo, 6 = 2
x 3.
5. Enlista los números menores a 250 en cuyo desarrollo aparecen tres primos distintos. Ejemplo:
30 = 2 x 3 x 5.
6. Para este ejercicio, se te aconseja desarrollar alguna tabla;
a. Si un número es divisible por 4, lo será por 2, ¿por qué?
b. Si un número es divisible por 6, lo será por 2 o por 3, ¿por qué?
7. Encuentra los factores primos de los siguientes números:
a. 28
g. 121
n. 306
b. 39
h. 135
p. 273
c. 45
i. 149
q. 390
d. 52
j. 169
r. 408
e. 68
k. 180
s. 527
f. 93
m. 289
t. 546
Con esto de los divisores simples y compuestos nos preguntamos ¿cómo encontrar el desarrollo en
productos de primos?, que son los divisores simples y luego ¿cómo encontrar los divisores
compuestos?
Divisores simples
Los divisores simples son los números primos que componen al número, y están tomados de 1 en 1, y
los divisores compuestos son los productos de los divisores simples tomados de 2 en 2, de 3 en 3, y
125
así sucesivamente, hasta que lleguemos al producto de n en n, de los divisores simples que componen
el número en cuestión.
Una forma de encontrar los divisores simples y compuestos es la siguiente:
• Dibujar una línea vertical a la derecha del número en cuestión.
• Escribir a la derecha de la línea el primo por el cual vamos a dividir a nuestro número y
• Escribir debajo de él el resultado de la división.
• Proceder así hasta que el número que escribamos debajo de nuestro número sea 1(uno).
Los números que anotemos a la derecha serán los factores primos que componen a nuestro número.
Claro, hay que tener cuidado al dividir, de otra forma quién sabe qué, cuáles y cuántos factores primos
obtendremos.
Ejemplo:
24 2
39 3
42 2
54 2
57 3
12 2
13 13
21 3
27 3
19 19
6 2
1
7 7
9 3
1
3 3
1
3 3
1
1
Y así tenemos que,
Los divisores del 24 son:
1 en 1
2 en 2
3 en 3
4 en 4
añadimos el uno
Los del 39 son:
añadimos el uno
Los del 42 son:
añadimos el uno
Los del 54 son:
añadimos el uno
Los del 57 son:
añadimos el uno
1
2
3
4
6
8
12
24
1 en 1
2 en 2
1
3
13
39
1 en 1
2 en 2
3 en 3
1
2
3
7
6
14
21
42
1 en 1
2 en 2
3 en 3
4 en 4
1
2
3
6
9
18
27
54
1 en 1
2 en 2
1
57
Total = 8 divisores
Total = 4 divisores
Total = 8 divisores
Total = 8 divisores
126
3
19
Total = 4 divisores
¿Alguno de los números anteriores es primo?, ¿Por qué?
Ejercicios
Lee con atención las siguientes preguntas y contesta de la mejor forma posible:
8. ¿Cuáles son los números primos que se encuentran al descomponer el año en el que estamos?
9. ¿El 235 es un número…?
_____ Primo
_____ Compuesto
10. ¿Para qué sirve descomponer en número en divisores?
11. Enlista los divisores simples y compuestos de los siguientes números:
a) 64 , b) 84 , c) 91 , d) 96 , e) 108 , f) 204
12. El número 1001 se puede escribir de dos maneras distintas: 11 x 91 y 7 x 143. ¿Contradice lo
mencionado en la liga siguiente? Explicar el porqué.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_Aritm%C3%A9tica
Glosario
Criba de Eratóstenes: algoritmo o método para encontrar los números primos.
Número Primo: número que sólo tienen dos divisores: la unidad y el mismo número.
Número Compuesto: número que tienen más de dos divisores.
Teorema Fundamental de la Aritmética: cualquier entero se puede escribir de manera única como
producto de factores primos.
Ligas externas
1) Seguramente se te habrá ocurrido la siguiente pregunta. ¿Hay distintas descomposiciones de un
número en factores primos?, es decir, dado un número primo, ¿se puede escribir de distintas maneras
como producto de números primos?
Ver: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_Aritm%C3%A9tica
(Consulta julio 2007).
2) ¿Quieres ver TODOS los números primos menores que 40,000? Asómate a la página:
http://mondragon.angeltowns.net/paradiso/CribaEratostenes.html (Consulta julio 2007).
127
Matemáticas 1
Los números naturales
9. Divisibilidad; máximo común divisor y
mínimo común múltiplo
Primos relativos
Propósito:
El estudiante sabrá cómo encontrar los divisores comunes a dos o más números;
también localizar los múltiplos comunes a dos o más números. Con esto, podrá
resolver ejercicios de ciclos y frecuencias, entre otras cosas.
Inicialmente se estudiará el Máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos de números
para llegar a la importante relación entre dos enteros a y b: el producto de los números es igual al
producto de su MCD con el mcm. A continuación se generalizan las definiciones para más de dos
números y por último se define el concepto de primos relativos.
mínimo
común
múltiplo
Máximo
Común
Divisor
Números Naturales
Ejemplo:
20 , 36
4 divide a 20 y a 36
y es el número mayor
con esa propiedad
180 es múltiplo de 20 y
de 36 y es el número menor
con esa propiedad
Sabemos lo que son los múltiplos de cualquier número y cómo desarrollar una lista de ellos, sabemos
también lo que son los divisores de un número cualquiera y cómo encontrarlos. Ahora vamos a ampliar
estos dos conceptos en tanto que desarrollaremos una forma de encontrar los múltiplos comunes a
dos o más números y de igual manera los divisores comunes a dos o más números. Ya teniendo
éstos, los múltiplos y los divisores, escoger entre ellos los que cumplan con alguna o algunas
características.
MCD y mcm de dos números
Dados los números 12 y 20, encontrar su máximo común divisor (MCD) y su mínimo común múltiplo
(mcm). ¿Cómo atacamos este ejercicio?
Primero, para encontrar el máximo común divisor enlistemos los divisores de cada número, de allí
tomaremos el mayor y segundo, hagamos las listas de sus múltiplos, de ellas tomaremos el menor.
Desarrollo en factores primos,
128
Divisores simples y compuestos; los divisores comunes los encerraremos en círculos,
Múltiplos; los múltiplos comunes los encerraremos en elipses:
12 2
6 2
3 3
1
20 2
10 2
5 5
1
12 = 2 x 2 x 3 ,
20 = 2 x 2 x 5 .
1, 2, 3, 4, 6 y 12
1, 2, 4, 5, 10 y 20
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108,
20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160,
120, 132, 144, 156, 168, 180, 192,
180, 200, 220, 240, 260, 280, 300,
204, 216, 228, 240, 252, 264, 276,
320, 340, 360, 380, 400, 420, 440,
288, 300, 312, 324, … , 12 x n, …
460, 480, 500, 520, … , 20 x n, …
Entonces, el máximo común divisor de 12 y 20, es 4 y el mínimo común múltiplo 60.
¿Habrá alguna forma de encontrar el MCD y el mcm sin desarrollar estas tablas?
Si, si la hay y es la siguiente:
Fijémonos en el MCD de 12 y 20, ¿cómo es su desarrollo en factores primos?
4 2
2 2
1
.
O sea que 4 = 2 x 2 .
En la descomposición en factores primos de 12 y 20, encontramos que
ambos tienen dos veces el 2 como sus factores. Esto, ¿nos querrá decir
algo?,… de los desarrollos de los primos que componen el 12 y el 20, los
que a su vez componen el 4 son los primos comunes a ambos, al 12 y
al 20.
Hagamos lo mismo con el mcm de 12 y 20.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
.
O sea que 60 = 2 x 2 x 3 x 5.
En la descomposición en factores primos de 12 y 20, encontramos que
ambos tienen dos veces el 2 como sus factores, pero sólo el 12 tiene
un 3 y sólo el 20 tiene un 5. Esto también, ¿nos querrá decir algo?...
de los desarrollos de los primos que componen el 12 y el 20, los que a
su vez componen el 60 son los primos comunes a ambos, al 12 y al
20 aunados a los primos que no son comunes a ambos.
129
Resolvamos más ejercicios para aclarar los conceptos y para resolver las preguntas a dudas que
vayan surgiendo. ¿Cuáles son el MCD y el mcm de las siguientes parejas de números?
1.
18 y 24
18 2
9 3
3 3
1
18=2x3x3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
2.
21 y 28
21 3
7 7
1
21=3x7
28 2
14 2
7 7
1
28=2x2x7
24=2x2x2x3
3.
48 y 72
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
4.
13 y 39
13 13
1
13=13
39 3
13 13
1
39=3x13
48=2x2x2x2x3
72=2x2x2x3x3
Los MCD, multiplicando los primos comunes, de estas parejas de números son:
2x3 = 6
7
2x2x2x3 = 24
13
Ahora los mcm, tomados de los primos comunes y los primos no comunes son:
2x2x2x3x3 = 72
2x2x3x7 = 84
2x2x2x2x3x3 = 114
3x13 = 39
Como podemos ver, los números encerrados en círculos son los primos comunes, en cada caso, a las
parejas de los ejercicios.
Aquí hay algo interesante. Enlistemos, por pareja, todos los primos que los componen.
18 = 2x3 x3
24 = 2x2x2x3
Al tomar los primos necesarios para construir el MCD, un 2 y un 3,
“dejamos” para el mcm los primos “restantes” 2, 2, 2, 3 y 3 ¿¿…??
MCD = primos comunes
mcm = primos “restantes” o
primos comunes y no comunes
2x3 = 6
2x2x2x3x3 = 72
21 = 3x 7
28 = 2x2x7
7
2x2x3x7 = 84
48 = 2x2x2 x2x 3
72 = 2x2x2x3x3
2x2x2x3 = 24
2x2x2x2x3x3 = 144
13
39
13
3x13 = 39
=
=
13
3x13
130
Parece que hay una relación entre los números que escogemos o se nos dan y su MCD y mcm. Si
descomponemos los números en sus factores primos, unos de ellos conforman el MCD y otros el mcm.
Sin faltar ni sobrar alguno.
Ejercicios MCD y mcm de dos cifras
Encuentra el MCD y el mcm de las siguientes parejas de números.
1.
252 y 450
2.
350 y 375
3.
245 y 455
4.
360 y 540
Ejemplos
Ahora tomemos dos números, 60 y 84, y hagamos un ejercicio:
60
30
15
5
1
2
2
3
5
84
42
21
7
1
60
2
2
3
7
= 2x2x3x5
Primos comunes:
2, 2 y 3 .
84
MCD
= 2x2x3x7
= 2x2x3
= 6
Para el MCD, hemos tomado cada uno de los primos comunes sólo una vez
para el mcm, tomamos los primos “restantes”, comunes
y no comunes.
. Entonces,
Primos comunes y no comunes
o los primos “restantes”:
2, 2, 3, 5 y 7 .
mcm
= 2x2x3x5x7
=
420
Ya descompusimos en factores primos el 60 y el 84, ya construimos su MCD y su mcm, ahora
hagamos otra comparación:
60
2
84
x
2
x
3
x
2
x
2
x
3
5
MCD
2
x
2
x
3
x
2
x
2
x
3
x
mcm
131
7
5
x
7
Entonces, podemos decir que si A y B son dos números cualesquiera, su producto es igual al producto
de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo.
O sea, si A y B son dos números naturales se cumple que: A x B = MCD(A,B) x mcm(A,B)
Esta igualdad servirá cuando sólo tengamos uno de los números de la pareja, por ejemplo:
El máximo común divisor (MCD) de dos números es 8, el mínimo común múltiplo (mcm) es 504 y uno
de los números es 56. Hallar el otro número.
Si sabemos que A x B = MCD x mcm.
Sea A = 56
Si
8 x 504 = 4032 ,
y tenemos
entonces
56 x B = 8 x 504
4032/ 56 = B ,
el otro número, B, es 72 .
MDC y mcm de más de dos números
Cuando buscamos el MCD y el mcm de tres, cuatro o más números, procedemos de la misma manera
que al buscar los de dos números. Aquí una guía para facilidad:
1. Descomponemos los números del arreglo en sus factores primos,
2. Tomamos, para el MCD, los primos comunes a los números del arreglo y
3. Tomamos, para el mcm, los primos comunes y no comunes a los números del arreglo.
Ahora, encontrar el MCD y el mcm de los siguientes arreglos.
1.
8 y 32
2.
8 2
4 2
2 2
1
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
MCD = 2x2x2 = 8
mcm = 2x2x2x2x2 = 32
7 y 33
3.
9 y 11
4.
12 y 35
7 7
1
9 3
3 3
1
12 2
6 2
3 3
1
33 3
11 11
1
11 11
1
35 5
7 7
1
MCD = 1
mcm = 3x7x11 = 231
MCD = 1
mcm = 2x2x3x5x7 =
= 420
MCD = 1
mcm = 3x3x11 = 99
En estos ejemplos hay de todo, números primos y números compuestos. Vayamos por partes, veamos
lo que sucede ejercicio por ejercicio.
132
En el primero, dado que ambos números están construidos por el mismo primo, el 2, resulta que el
MCD es uno de ellos y el mcm es el otro. Además uno de ellos es múltiplo del otro o, dicho de otra
forma uno es submúltiplo del otro. Qué sucede en el segundo, uno de los números es primo, el 7, y el
otro, el 33, no es múltiplo del 7. Entonces no hay otro divisor común que el 1, que es el MCD, y el mcm
es el producto de los dos.
Ahora el tercero. Como en el anterior, uno de ellos es primo y el otro no es algún múltiplo de él.
Entonces el MCD es el 1 y el mcm el producto de ellos dos. Y en el cuarto, ninguno de los dos es
primo sin embargo el MCD es el 1 y el mcm es el producto de ambos.
O sea que, al buscar el MCD y el mcm de dos o más números nos encontramos con resultados de
todo tipo: múltiplos, primos y otros ¿…? ¿y qué son esos otros?
Primos relativos
Pues resulta que esos otros son primos relativos. Y entonces decimos que; Dos números son
Primos relativos cuando en su desarrollo o descomposición en factores primos no tiene números
primos en común.
Una observación. Para que dos o más números sean primos relativos no es necesario que alguno,
varios o todos sean números primos.
Ejercicios MCD y mcm de tres cifras
Encuentra el MCD y el mcm de los siguientes arreglos:
1.
16, 24 y 40
2.
28, 42 y 56
Ejemplos resueltos
Vamos resolviendo los siguientes ejercicios:
1. 160, 312 y 336 ,
2.
60, 90 y 150 ,
3.
594, 180 y 252 ,
4.
150, 175 y 225 ,
5.
7.
76, 153 y 455 ,
8.
2090 y 4641.
23, 34 y 53 ,
6.
3675 y 13475 .
Primero factorizamos y luego hacemos los arreglos para el MCD y el mcm.
1.
160
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
2
5
312
156
78
39
13
1
2
2
2
3
13
336
168
84
42
21
7
1
2
2
2
2
3
7
133
MCD = 2 x 2 x 2 = 23 = 8.
mcm = 2x2x2x2x2x3x5x7x13 =
= 25 x 3 x 5 x 7 x 13 = 43680.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
90
45
15
5
1
2
3
3
5
150
75
25
5
1
2
3
5
5
MCD = 2 x 3 x 5 = 30.
594
297
99
33
11
1
2
3
3
3
11
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
252
126
63
21
7
1
2
2
3
3
7
MCD = 2 x 3 x 3 = 2 x 32 = 18.
150
75
25
5
1
2
3
5
5
175 5
35 5
7 7
1
225
75
25
5
1
3
3
5
5
MCD = 5 x 5 = 52 = 25.
23 23
1
3675
1225
245
49
7
1
3
5
5
7
7
76 2
38 2
19 19
1
2090
1045
209
19
1
2
5
11
19
34 2
17 17
1
13475
2695
539
77
11
1
5
5
7
7
11
153 3
51 3
17 17
1
4641
1547
221
17
1
3
7
13
17
53 53
1
mcm = 2x2x3x3x5x5 =
= 22 x 32 x 52 = 900.
mcm = 2x2x3x3x5x7x11=
= 22 x 32 x 5 x 7 x 11 =
= 13860.
mcm = 2x3x3x5x5x7= 2x32x52x7=
= 3150.
MCD = 1.
mcm = 2 x 17 x 23 x 53 = 41446 .
MCD = 5 x 5 x 7 x 7 = 52 x 72 = 1225.
mcm = 3 x 5 x 5 x 7 x 7 x 11 = 3x52x72x11 =
= 40425.
455 5
91 7
13 13
1
MCD = 1.
mcm = 2x2x3x3x5x7x13x17x19 =
= 5290740.
MCD = 1.
mcm = 2x3x5x7x11x13x17x19 =
= 9699690.
134
Fíjate en el ejercicio 5. ¿Qué tiene de particular?, pues que dos de los tres números son primos; el 23
y el 53, con esto es suficiente para que el máximo común divisor de los tres sea el 1 (uno), recuerda
que los números primos tienen sólo dos divisores; el 1 y ellos mismos.
¿Qué sucede con los ejercicios 7 y 8?, ninguno de los números es primo. Bueno, es que en estos
ejercicios, añadiendo el 5, los números de cada arreglo resultan ser primos relativos. Después de
haber realizado ejercicios desarrollando la descomposición en factores primos de diversos números y
arreglos de números, fijarnos en algunos resultados interesantes y hacer acotaciones que nos fueron y
serán útiles podemos decir que:
Resumen
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números, es el producto de sus factores primos
comunes elevados a la menor potencia a la que aparecen en ellos.
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números, es el producto de sus factores primos
comunes y no comunes elevados a la mayor potencia a la que aparecen en ellos.
Ahora, resolvamos el siguiente ejemplo:
Se tienen tres varillas de 60 cm, 80 cm y 100 cm, de longitud respectivamente. Se desea cortarlas en
tramos de la misma longitud sin que sobre ni falte un pedazo. ¿Cuál es la longitud mayor en que se
deben de cortar las varillas? Encontrar otras dos longitudes en que se pueden cortar las varillas.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
60 =
MCD =
80
40
20
10
5
1
2x2x3x5
2x2x5 = 20.
Las otras longitudes son :
2
2
2
2
5
80 =
100
50
25
5
1
2x2x2x2x5
2
2
5
5
100 =
Los tramos deben cortarse de 20 cm.
1, 2, 4, 5 y 10 . De aquí escogemos dos.
135
2x2x5x5
Ejercicios sobre aplicaciones
1.
En una aerolínea salen aviones cada 3, 6, 9 y 12 horas respectivamente, a cuatro destinos
diferentes. Si a las 10:00 horas, coincidieron las cuatro salidas, ¿En cuánto tiempo volverán a
coincidir?
2.
Un foco enciende, de manera automática, cada 36 minutos, otro cada 144 y un tercero cada 9. Si
acaban de encenderse los tres, ¿En cuántos tiempo volverán a encender los tres,
simultáneamente?
Tres lanchas con itinerarios fijos, dan servicio a tres islas. Si la primera hace la vuelta completa en
40 minutos, la segunda en 60 y la tercera en 80. Partiendo las tres a las 5:30 horas, a qué hora
volverán a coincidir en el puerto. Y tomando en cuenta que trabajan hasta las 19:30 horas,
¿Cuántas veces coinciden durante el día en el puerto?
3.
4.
Tres corredores entrenan en una pista. El primero emplea 3 minutos en dar una vuelta, el segundo
6 y el tercero 5. Suponiendo una velocidad constante y el mismo punto de partida, para los tres,
en cuánto tiempo volverán a coincidir. Suponiendo que la pista tiene 1 km de longitud, ¿Cuántos
kms habrá recorrido cada corredor al momento de su reencuentro?
5.
Una motocicleta recorre 12 km por litro, otra 16 y otra más 24. ¿Cuál es la menor cantidad en litros
de gasolina para que las tres recorran la misma distancia? y ¿Cuántos litros necesita cada
motocicleta para hacer ese recorrido?
6.
Una válvula se abre y cierra cada 12 segundos, otra cada 10 y una tercera cada 6. Si acaban de
abrirse y cerrarse las tres a un mismo tiempo, ¿en cuánto tiempo coincidirán en abrirse y cerrarse
nuevamente? Además, ¿cuántas veces se abre y cierra cada válvula en una hora y cuántas veces
coinciden en esa hora?
7.
Un reloj suena cada 6000 segundos, otro cada 4200 y otro cada 6600. Si en este momento
suenan los tres, ¿Dentro de cuánto tiempo volverán a sonar al unísono? y ¿Cuántas veces habrá
sonado cada reloj?
8.
Manuel tiene 3 troncos de madera de 9, 15 y 21 metros, los cuales deben cortarse en vigas de
igual tamaño, pero de la mayor longitud posible y sin desperdiciar ningún fragmento. ¿Qué
longitud tendrán las vigas? y ¿Cuántas vigas se obtendrán?
9.
En una huerta se cosecharon 160 peras, 310 manzanas y 420 mandarinas. Si se desea colocarlas
en cajas que contengan igual número de frutos y que este número sea el mayor posible sin
revolverlas y sin que sobre ninguna. ¿Cuántos frutos debe contener cada caja y cuántas cajas se
necesitan para acomodarlas?
10. Pedro tiene 3 cuerdas de 26, 39 y 52 metros de longitud. Si desea obtener, de las tres cuerdas, la
mayor cantidad posible de trozos, de la mayor longitud posible, en tamaños iguales y sin
desperdiciar cuerda, ¿De qué longitud deberá cortar cada trozo? y ¿Cuántos trozos obtendrá en
total?
136
11. Se desea fraccionar dos terrenos, uno de 4500 metros cuadrados y otro de 5100 m2. La condición
es que todas las parcelas tengan el mismo tamaño y no se desaproveche terreno. ¿Cuántos
metros cuadrados como máximo debe medir cada lote? y ¿Cuántos lotes se tendrá en total?
12. Se requiere cubrir el piso de un salón de clases con loseta cuadrada de la mayor dimensión
posible. Si el piso mide 12.6 metros de largo por 6.3 metros de ancho. ¿Cuál es la medida máxima
de las losetas?, ¿Cuántas losetas se necesitan por lado? y ¿Cuántas se necesitan en total?
13. En un expendio de pintura se tienen 3 recipientes con pintura; la capacidad de estos es de 8400
mililitros, 6000 y 4800; si se desea repartir la pintura en botes de igual medida y que ésta sea la
máxima posible, ¿Qué capacidad deben de tener los botes? y ¿Cuántos botes serán necesarios?
14. Del problema anterior; ¿Cuál será la capacidad de los botes si se considera un recipiente más de
pintura con 10000 mililitros? y ¿Cuántos botes serían necesarios?
15. Es necesario guardar 350 platos de cristal, 450 de porcelana y 280 de barro, todos de iguales
dimensiones, en el menor número de cajas de igual capacidad y que éstas contengan la mayor
cantidad posible de platos, además se debe colocar un solo tipo de platos en cada caja. ¿Cuántos
platos debe haber en cada caja? y ¿Cuántas cajas habrá de cada tipo de plato?
16. Moisés va a preparar hot dogs para la fiesta y quiere comprar el mismo número de salchichas que
de media-noches. Las salchichas vienen en paquetes de 8 unidades y las media-noches en
paquetes de 6. ¿Cuál es el menor número de paquetes que tiene que comprar de cada
componente para aparear salchichas y media-noches?
17. Asistirán 50 personas a la fiesta de Moisés; los hombres comen 3 hot dogs y las mujeres 2. Son
30 hombres y 20 mujeres. ¿Cuál es el menor número de paquetes que tiene que comprar de cada
componente para que no falten ni sobren de alguno de los dos?
18. Una cadena de televisión emite noticieros cada 6 horas y otra cadena los emite cada 4 horas.
Habiendo un horario en el que aparecen simultáneamente, ¿cada cuántas horas coinciden los
noticieros de las dos cadenas?
19. Define los siguientes términos: múltiplo, submúltiplo, múltiplos comunes, mínimo común múltiplo.
20. A los números que se obtienen al multiplicar un número por los números naturales, se les
denominan ____________ de ese número.
137
Glosario
Máximo común divisor (MCD): El MCD de un conjunto de números es el mayor divisor posible entre
todos ellos.
Mínimo común múltiplo (mcm): El mcm de un conjunto de números es el menor entero que es
múltiplo de todos ellos.
Primos relativos. Un conjunto de números son primos relativos si su único factor en común es la
unidad.
Ligas externas
* Comentarios sobre los números primos:
http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/Numeros_primos/numeros_primos.htm (Consulta agosto 2007).
* La criptografía y los números primos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa_asim%C3%A9trica (Consulta agosto 2007).
Ilustraciones
*Página - 1 Calculadora TI-84, tomada de: http://mtl.math.uiuc.edu/noncredit/basic84plus/ti84plus-tutorial/ti84-tutorial2.html (Consultado julio, 2007).
* Figura Página 1, tomada de:
http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.typography.com/catalog/numbers/images/Over
view_Numbers1.gif&imgrefurl=http://www.typography.com/catalog/numbers/index.html&h=720&w=384
&sz=45&hl=es&start=3&tbnid=6ScEGypMFFzQLM:&tbnh=140&tbnw=75&prev=/images%3Fq%3Dnum
bers%26gbv%3D2%26svnum%3D10%26hl%3Des%26sa%3DG (Julio 2007).
Página 67: 1, 10, 100 y 1000 escritos en egipcio antiguo:
http://www.cnba.uba.ar/gabinetes/informatica/guias/Introduccion/LinksIntroduccion/SISTEMAS%20DE%20NUMERACION_archivos/E1.jpg (Julio 2007).
Página 1: http://www.cnba.uba.ar/gabinetes/informatica/guias/Introduccion/LinksIntroduccion/SISTEMAS%20DE%20NUMERACION.htm (Julio 2007).
Página 1: Escritura sumeria: http://www.proel.org/alfabetos/cunesum1.jpg (Julio 2007).
138
Página 1: mínimo común múltiplo de 24 y 32
http://www.edufuturo.com/getIm.php?s=29537.m-6-04-006.jpg&x=150&y=150
(Consulta julio 2007).
Página 1: Primos relativos: http://homepages.mty.itesm.mx/leonardo.leal/ (Consulta julio 2007).
Fig. 1 - tomada de: http://www.unrc.edu.ar/estudiantes/becas_documentacion.htm (Mayo 2007).
139
Matemáticas 1
Los números enteros
1. Concepto de número entero y su representación
en la recta numérica
Propósito:
El estudiante ampliará su acervo numérico con el conjunto de los números enteros.
Conjunto que le dará espacios más amplios en la búsqueda de solución a ejercicios y
acertijos; además comprenderá la importancia de los signos en los números.
Una vez comentados los números naturales, la extensión o
generalización obvia es el estudio de los números enteros donde la
novedad es la aparición de los negativos. Se empieza con tres
ejemplos donde se intenta introducirlos de una manera natural
como ejemplos de la vida real. Después se muestra dónde están
colocados dentro de la recta numérica y por último se comparan
entre sí los números introduciendo la noción de orden; se
menciona la ley de la tricotomía que menciona sólo tres
posibilidades para cualesquiera dos números.
ro
ne an
i
d u
El e J
d
des
igu
Deber y Haber
de Fray
Lucca Paccioli
1- El dinero de Juan
alda
des
Tirar de
la cuerda
de
s sa
t o re
as p
G em
la
Cuando resolvemos acertijos o ejercicios
numéricos, la respuesta es, en términos
generales, en números positivos o números
que entregamos como solución sin más, en
apariencia, sin signo; es decir, un número es
positivo si es mayor que cero. Veremos
cómo es esto.
OBJETIVO 2
Adquirirás nociones
básicas de la aritmética.
Al salir de casa, Juan llevaba $400. Compró una camisa que le costó $140, un pantalón de $210 y en
el transporte gastó $20 de ida y $25 de vuelta. ¿Cuánto dinero le quedó a Juan después de las
compras y los pasajes?
Lo primero que hacemos es sumar todos los gastos. Estos suman $395. Luego restamos los gastos a
la cantidad que se tenía antes de las compras y el pago del peaje y de esta forma obtenemos la
respuesta: $400 menos $395 nos da como resultado $5. No decimos $5 positivos, lo dejamos en $5,
aunque hay que tomar en cuenta que Juan todavía tiene $5.
140
Sobre este mismo ejemplo, si en el camino a su casa Juan se compra un helado que le cuesta $5,
entonces sus compras igualan a la cantidad con que ya contaba, y lo que ahora tiene es $0, no le
quedó peso alguno.
Si Juan desea llevar medio litro de helado a casa que cuesta $20, y el dependiente que lo conoce
desde hace muchos años, se lo fía, Juan queda a deber $20.
De manera que tenemos dos cajones (así lo hacen los contadores con el dinero que entra y el que
sale, en cualquier negocio): el del haber y el de débito. Cuando estos cajones están en total equilibrio
ni se tiene ni se debe. Hagamos esto de manera esquemática.
Juan gasta:
en
$20
$140
$210
$25
pasaje
camisa
pantalón
pasaje
$5
un helado
tiene
debe
$400
$380
$240
$30
$5
$0
Posición de equilibrio
$20
½ litro de helado
$20
2- Tirar de la cuerda
Varios chicos forman dos equipos y se disponen a jugar “tirar de la cuerda”, para esto han marcado
en el piso una posición de arranque (4 pasos) de igual longitud hacia cada lado y atado un pañuelo
amarillo a la mitad de la cuerda.
4
3
2
1
1
2
3
4
0
Hay dos formas de realizar el juego:
1. A un solo embate, el equipo que llegue a alguna marca prefijada sin límite de tiempo, gana.
2. A varios embates, con límite de tiempo cada uno, sumando las marcas de uno y otro equipo y el
que haya hecho más marcas es el equipo ganador.
141
Tomemos el caso 1. Un solo embate, la marca era el 2 y lo ganó el equipo azul.
4
3
2
1
1
2
3
4
0
Desde nuestro punto de observación el equipo azul ocupa el sitio a nuestra izquierda, pero ¿qué nos
dirán los observadores justo enfrente de nosotros?, pues que el ganador es el equipo que se
encuentra a su derecha. Y para los espectadores de los extremos de nuestra posición, sólo se
alejaron o se acercaron. La apreciación es que ganó el equipo que se ubica en el extremo en que los
observadores se encuentran. Esto se resuelve nombrando un árbitro, imparcial a toda prueba, y que
desde su posición define las direcciones y las marcas. Para el caso fabricamos una línea con marcas
que llamaremos recta numérica.
Caso 2. En 7 embates que se disputaron estos fueron los resultados:
Embates
4
3
2
1
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
6
7
Equipo azul
ganó 3 embates
Equipo rojo
un empate
ganó 3 embates
con 3, 2 y 1 marcas,
con 2, 2 y 3 marcas,
3 +2 + 1 = 6 marcas
2 + 2 + 3 = 7 marcas
El ganador es el equipo rojo con 7 marcas a favor y 6 en contra.
Este juego lo puedes reproducir en una hoja de papel, ya sea cuadriculado, a rayas o en blanco,
dibujando en éste una raya que sirva de carril por el que se desplace la “cuerda” y con las marcas
que indiquen el 1, 2, 3, etc., a igual distancia y hacia ambos lados; utiliza dos fichas y un dado. Los
embates son la tirada del dado según se convenga, una tirada de cada contendiente es un embate o
varias tiradas de cada jugador, siendo éstas seguidas o alternadas, y sumando los resultados. Las
fichas te sirven para fijar la posición según los puntos que marque el dado. En fin, puedes inventar tus
propias reglas.
142
3- Gastos de la empresa
En una empresa, así como en una casa, es importante saber cuánto dinero entra y cuánto sale, o
dicho de otro modo, cuánto efectivo se tiene para enfrentar los gastos.
En la siguiente situación, encuentra las cantidades que corresponden a la ganancia o pérdida de cada
compañía.
El estado de cuenta anual de las siguientes compañías, en pesos, es:
Compañía
Vidrios
Maderas
Cemento
Jardines
Toldos y Sillas
Cuadernos
Ingresos
Egresos
Ganancia
90 000
120 000
50 000
78 000
20 000
32 000
53 500
115 000
65 000
55 000
25 000
32 000
Pérdida
Esta es una forma de presentar los resultados. Otra podría ser anteponiendo un símbolo antes de la
cantidad, según sea ganancia o pérdida.
Los signos y la recta numérica
En la Edad Media se utilizó el anteponer a estas cifras, según fuera ganancia o pérdida, las letras p
(inicial de plus; más en latín) para las ganancias y m (minus; menos de igual origen) para las
pérdidas. Con posterioridad, estas letras fueron sustituidas por los símbolos que ahora conocemos
como + y - para ganancias y pérdidas respectivamente.
Esto hace que se rescriba la recta numérica de la siguiente forma:
…
-p
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
n
…
Otros tramos, trozos o segmentos de la recta numérica:
…
-42
-41
-40
-39
-38
-37
-36
-35
-34
-33
-32
-31
-30
-29
-28
…
…
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
…
143
Tenemos números positivos (plus; a partir del “cero” y desplazándose hacia la derecha) y números
negativos (minus; a partir del “cero” y hacia la izquierda). Si este concepto lo integramos en el estado
de ganancias y pérdidas; las ganancias las anotamos con un signo de más (+), que por acuerdo no
se escribe, las cantidades positivas no llevan signo, con lo que se indica de manera intrínseca que
son positivas; las pérdidas las anotamos con un signo de menos (-), que por acuerdo éste sí se
escribe.
Ejercicio: escribe de menor a mayor
Diremos que a es menor que b si b – a es mayor que cero.
Dibuja una recta numérica y localiza los siguientes valores en ella:
1,
5,
-2 ,
8,
-7 ,
-3 ,
0,
9
y
-4
Ya que los localizaste en la recta, ahora enlístalos de menor a mayor.
Desigualdades
Los siguientes conceptos, son algunos ejemplos de escalas que utilizan los números positivos y
negativos:
1. La medición de la temperatura de los cuerpos y elementos físicos.
2. La altitud de los macizos montañosos contra las depresiones oceánicas.
3. La balanza comercial de los países, exportación contra importación, etc.
El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado. Es decir, que si nos dan dos números
enteros sabremos si son iguales o cuál es el mayor y cuál el menor.
Ésta es una propiedad importante de los números y se llama “tricotomía”, su representación en
símbolos es así:
Dados a y b, dos números enteros, se cumple una y solo una de las siguientes tres proposiciones:
1.
a es igual a b
2.
a es menor que b
3.
a es mayor que b
3.
a>b.
Esto se puede escribir de modo más conciso de esta forma:
1.
a=b ,
2.
a<b ,
Los símbolos < > nos dicen al comparar dos números, cuál de ellos es el mayor y cuál el menor.
Para su uso correcto hay que anotar el número menor del lado donde se juntan las dos pequeñas
líneas que forman el símbolo, en tanto que el mayor queda anotado del lado de la parte abierta del
símbolo. Algo ronda por nuestra cabeza. ¿Son dos símbolos o sólo uno?
144
Si a es menor que b, podemos escribir, según decimos en el párrafo anterior: a < b o b > a.
La a se encuentra del lado donde se juntan las dos pequeñas líneas que forman el símbolo,
dibujando éste para un lado o para otro. La b se encuentra, en ambos casos, del lado abierto del
símbolo. Que curioso, esto lo podemos leer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.
Debemos fijarnos en qué lado del símbolo anotamos cada número.
¿De cuántas formas se pueden leer las siguientes proposiciones?
1.
2.
3 < 7 ; Tres es menor que siete o siete es mayor que tres.
-2 < 5 ; Menos dos es menor que cinco o cinco es mayor que menos dos.
Si además de poder leer este símbolo de derecha a izquierda ahora le damos vuelta, tenemos que:
1.
2.
3<7 o
-2 < 5 o
7>3
5 > -2
,
y en ambos casos la lectura es igual a las anteriores.
Este símbolo o símbolos (< >) nos permiten establecer qué número es mayor que otro u otros y por
tanto establecer un orden, de acuerdo al tamaño o magnitud de los números en el conjunto de los
números enteros. En otras palabras:
“a es menor que b si (y sólo si) b – a es mayor que cero”.
O sea: “a < b cuando b - a > 0 “.
Ejercicios: ordena los números
Para cada uno de los arreglos que se te dan a continuación, ordena las parejas de números
dibujando en cada cuadrado, según el o los símbolos < >, y represéntalos en la recta numérica (una
recta para cada ejercicio).
1.
3
5,
-1
-3 ,
7
4,
6
-2 ,
-5
-3 ,
-7
0
2.
-1
-6 ,
-4
9,
3
-3 ,
11
9,
1
-1 ,
-5
5
3.
-9
9,
0
-2 ,
5
6,
3
-2 ,
-5
-6
8
7
Enlista los siguientes arreglos de mayor a menor o de menor a mayor, y represéntalos en la recta
numérica (una recta para cada ejercicio).
1.
3,
-4 ,
-7 ,
1,
8,
-1 ,
2,
3
2.
7,
11 ,
-9 ,
-3 ,
-6 ,
10 ,
-2 ,
4
3.
3,
5,
2,
-7 ,
-5 ,
-3 ,
7,
2
145
Los enteros y los naturales
Por allí anda suelta y rondando por nuestra cabeza una pregunta: ¿tendrá algo que ver el conjunto de
los números enteros con el conjunto de los números naturales? ¿Verdad que sí nos hacíamos esa
pregunta? Veamos:
Conjunto de los números naturales
Conjunto de los números enteros
Es un conjunto ordenado.
Es un conjunto ordenado.
Se componen a partir del 1 (uno) y
sucesivamente con el 2, 3, 4,..., n,… A partir del 1
(uno) todos tienen sucesor. Y salvo el 1 (uno)
todos tienen antecesor.
Todos tienen sucesor y todos tienen antecesor.
A partir del 1 (uno) se alternan los impares y los A partir de cualquier número se alternan los
pares.
impares y los pares hacia ambos sentidos
(números mayores y números menores). Esto
hace del 0 un número par.
Todo natural tiene múltiplos en cantidad infinita.
Todo entero tiene múltiplos en cantidad infinita y
estos son tanto positivos como negativos.
Todos sus elementos están en los enteros.
No todos sus elementos son naturales.
Si los enteros tienen múltiplos en cantidad infinita, entonces ¿tendrán también cardinalidad1 infinita?
Podemos observar en la recta numérica que los naturales son una parte de los enteros, la parte
positiva de ellos.
…
-p
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
n
…
1
2
3
4
5
…
n
…
Entonces, tendríamos que exhibir una correspondencia de los enteros con los naturales, pues de
estos últimos sabemos que tienen esa cardinalidad.
Recta numérica de los números naturales:
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14 …
Cardinalidad. Cantidad de elementos de un conjunto, grupo, mazo, etc.
146
n
n+1
…
Recta numérica de los números enteros:
…
-p
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
n
…
En los números naturales tenemos impares y pares, nos pueden servir. ¡Claro! Hagamos una tabla en
la que desarrollemos por un lado los números impares naturales apareados con los enteros positivos,
y por otro los pares naturales con los enteros negativos.
Conjunto de los números naturales
…
q
…
10
8
6
4
2
¿…?
1
3
5
7
9
…
p
…
…
-m
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
n
…
Conjunto de los números enteros
Pero nos faltó el 0. Recorramos los impares una posición hacia el 0 y listo. (No olvidemos relacionar
de forma debida las literales usadas en las tablas comparativas).
Conjunto de los números naturales
…
q
…
10
8
6
4
2
1
3
5
7
9
11
…
p
…
…
-m
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
n
…
Conjunto de los números enteros
De manera que hemos asociado los elementos del conjunto de los números naturales con los
elementos del conjunto de los números enteros.
147
Relación entre enteros y naturales
Veamos qué relación guardan los valores numéricos de los naturales con los valores numéricos de
los enteros, lo que significa que las literales de arriba no están indicadas de manera adecuada.
Números naturales
n=1
n=2
n=3
n=4
n=7
n+1 = 8
n=p
Correspondencia
2(1)-1
2(1)
2(2)-1
2(2)
2(3)-1
2(3)
2(4)-1
2(4)
1
2
3
4
5
6
7
8
…
2(7)-1
2(7)
2(8)-1
2(8)
13
14
15
16
…
Números enteros
-(n-1)
n
-(1-1)
-(2-1)
-(3-1)
-(4-1)
-(7-1)
-(8-1)
2(p)-1
2(p)
…
0
1
-1
2
-2
3
-3
4
…
-6
7
-7
8
…
-(p-1)
p
…
Los enteros tienen cardinalidad infinita. Con lo que hemos desarrollado desde el principio obtenemos
varias respuestas, a saber:
1. Los naturales están contenidos en los enteros. Todo natural es entero pero no todo entero es
natural.
2. Los enteros tiene cardinalidad infinita e igual a la de los naturales. (Ver ejercicio 9, abajo).
3. El conjunto de los enteros nos proporciona mayores posibilidades en la solución de ejercicios.
148
Ejercicios diversos
1. ¿Qué conjunto tiene más elementos, el de los pares o el de los enteros? Justifica tu respuesta. Haz
una tabla de estos dos conjuntos sobre la recta numérica.
2. ¿Cuántos múltiplos tiene el número 5 en los naturales? y ¿cuántos tiene en los enteros?
3. Exhibe 5 números enteros que sean naturales.
4. Exhibe 5 números naturales que sean enteros.
5. ¿Cuál de los dos ejercicios anteriores te fue más fácil de responder? y ¿por qué? Justifica tu
respuesta desarrollando tablas, esquemas, dibujos, etc.
6. Exhibe 5 números enteros que no sean naturales.
7. Exhibe 5 números naturales que no sean enteros.
8. ¿Cuál de los dos ejercicios anteriores te fue más fácil de responder? y ¿por qué? Justifica tu
respuesta desarrollando tablas, esquemas, dibujos, etc.
9. Comenta el siguiente argumento: “Cada número natural es un entero, es decir, los naturales son
un subconjunto de los enteros. Por lo tanto, hay menos naturales que enteros. De hecho la
cardinalidad de los enteros es dos veces la de los naturales”
10. Fray Lucca da Borgo Paccioli, padre de la contabilidad moderna, decía que la suma entre lo que
tienes y lo que gastas es cero; si te gastas 100 pesos tienes 100 pesos menos y si te los dan
ganas 100 pesos. Hoy día, se enuncia diciendo que la suma entre el deber y el haber es cero, y si
no es que alguien ha metido la pata en los libros.
Leer las cuentas y la teoría del cargo y abono
http://www.scribd.com/word/download/28214?extension=doc (Julio 2007).
11. Breve Biografía de Fray Lucca Paccioli en http://www.hicoa.com.mx/luca.htm (Julio 2007).
12. ¿Qué quiere decir que un conjunto sea ordenado?
13. ¿Conoces algún conjunto “desordenado”? Busca alguno.
149
Glosario
Cardinalidad: cantidad de elementos de un conjunto, grupo, mazo, etc.
Conjunto ordenado: x es un conjunto ordenado, si dados dos elementos de x cualesquiera podemos
saber si uno es mayor que el otro.
Menor: a es menor que b si b – a es mayor que cero.
Número negativo: un número es negativo si es menor que cero.
Número positivo: un número es positivo si es mayor que cero.
Tricotomía: Propiedad de los enteros que garantiza que cualesquiera dos números a y b cumplen
exactamente con una sola de las siguientes propiedades: a < b, a > b, a = b.
Ligas externas
*Lucca Paccioli o el Deber y el Haber
http://www.scribd.com/word/download/28214?extension=doc (Julio 2007).
* Breve biografía de Lucca Paccioli: http://www.hicoa.com.mx/luca.htm (Julio 2007).
Ilustraciones
•
Pág. 1: Fray Luca Paccioli, padre de la mercadotecnia http://www.hicoa.com.mx/luca.htm
150
Matemáticas 1
Los números enteros
2.Operaciones con los enteros
El estudiante entenderá y reforzará el concepto y forma en que operan los números
enteros, además desarrollará estrategias, geométricas y algebraicas que le
esclarezcan el uso y aplicación de las propiedades de los números enteros.
Propósito:
Se recuerdan las cuatro operaciones básicas de la aritmética y sus propiedades, haciendo especial
énfasis cuando existen signos negativos entre los términos.
Suma
Resta
Números
Enteros;
Cero
signo +
signo Multiplicación
División
Ahora, queremos saber cómo se realizan las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y
división) en el conjunto de los números enteros.
Suma
Comenzaremos por la suma. Dibujemos una línea recta y cortémosla con pequeñas líneas a igual
distancia una de otra. Esta será nuestra recta numérica. Hela aquí:
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
Para sumar dos números enteros procedemos de la siguiente manera:
1. Dibujamos nuestra recta numérica.
2. Dibujamos para cada número entero una línea que partiendo del 0 tenga de longitud tantas
marcas, pequeñas líneas o secciones de nuestra recta numérica como indica el número,
151
3. Los números positivos tendrán una línea, que llamaremos vector, que inicie en el 0 y se desplace
hacia la derecha de nuestra recta numérica (hacia allá hemos determinado el sentido de los
valores positivos y ascendentes2).
4. Los números negativos tendrán una línea que inicie en el 0 y se desplace hacia la izquierda de
nuestra recta numérica (hacia allá hemos determinado el sentido de los valores negativos y
descendentes3).
5.
Al final de la línea vector que representa a cada entero pondremos una cabeza de flecha,
indicando el sentido hacia donde apunta el número: el sentido positivo o negativo.
6. Por último, para obtener el resultado de la suma:
a. tomaremos el primer sumando (el vector flecha que lo define) y dibujamos una línea de esa
longitud partiendo del 0 y en la dirección que indica su signo (+ positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda, según nuestra recta numérica).
b. en su extremo final (a partir de su cabeza de flecha) hacemos coincidir el inicio del segundo
sumando y dibujamos una línea de esa longitud, partiendo del extremo del primer sumando
y en la dirección que indica su signo (+ positivo hacia la derecha y - negativo hacia la
izquierda, según nuestra recta numérica).
c. el valor que indica la cabeza de flecha del segundo sumando es el resultado que asentamos
como el de nuestra suma.
Ejemplos:
Sumar. 5 + 2 ,
-4 + 4 ,
3 + (-7) ,
-6 + (-1) ,
-4 + 5 ,
5 + (-8) ,
-2 + (-3) ,
7+1 .
Hemos puesto paréntesis a los números negativos o con signo negativo para indicar entre los dos
números sólo la operación de suma y no confundirnos con la operación de resta. Ya habrá
oportunidad de desarrollarla y analizarla más adelante.
2
Ascendente. Que va en aumento su valor, que crece, “que asciende”.
3
Descendente. Que va en disminución su valor, que decrece “que desciende”.
152
Primer ejemplo (5 +2 = 7):
2
5
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
5
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
7
8
…
2
3
4
5
6
7
8
…
3
4
5
6
7
8
…
3
4
5
6
7
8
…
Segundo ejemplo (3 + (-7) = -5):
-7
3
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-7
…
-8
-7
-6
-5
-4
3
-3
-2
-1
0
1
2
Tercer ejemplo (-4 + 5 = 1):
5
-4
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-4
…
-8
-7
-6
-5
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
…
1
2
3
4
5
6
7
8
…
5
-3
-2
-1
0
153
Cuarto ejemplo (-2 +(-3) = -5):
-3
-2
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-3
…
-8
-7
-5
-6
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
-2
-4
-3
-2
Quinto ejemplo (-4 + 4 = 0; de aquí en adelante los desarrollaremos de manera concisa):
-4
…
-8
-7
-6
-5
-4
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
5
6
7
8
…
8
…
Sexto ejemplo (-6 + (-1) = -7):
-1
…
-8
-7
-6
-6
-5
-4
Séptimo ejemplo (5 + (-8) = -3):
-8
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
5
-2
-1
0
1
2
3
4
Octavo ejemplo (7 + 1 = 8):
7
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
154
1
2
3
4
5
6
1
7
Dos señalamientos con respecto a la suma de enteros y que podemos analizar en los ejemplos
resueltos, en los que vamos a hacer, en los que propondremos para que tú los hagas y en los que
puedes inventar:
1. Cuando sumamos dos números enteros que tienen igual signo, sumamos los valores de los
números y al resultado le asignamos el signo de ambos números.
2. Cuando sumamos dos números enteros que tienen distinto signo, restamos el de menor valor al de
mayor valor y al resultado le asignamos el signo del número de mayor valor.
Suma de números con signo
Ejemplos:
Números con igual signo
Números con distinto signo
Fíjate en los signos de los números
Se suman los valores y el
resultado lleva el signo de los
números
Se resta el valor menor al mayor
y el resultado lleva el signo del
número de mayor valor
4 +
3
=
7
7 +
5 +
8
=
13
-18 +
-3
+ (-6)
=
-9
5 +
12
+ 9
=
21
-31
+ (-7)
=
16
+ 29
-14
17
(-4)
=
3
3
=
-15
(-11)
=
-6
-8 +
19
=
11
-38
-23 +
9
=
-14
=
45
-31 +
29
=
-2
+ (-6)
=
-22
14 +
(-23)
=
-9
+ 36
=
53
26 +
(-21)
=
5
-32
+ (-47)
=
-79
-13 +
36
=
23
-1
+ (-11)
=
-12
6 +
(-53)
=
-47
Ejercicios
Suma
-34 +
31
=
-6 +
(-51)
=
37 +
12
=
29 +
(-45)
=
57 +
(-41)
=
36 +
(-31)
=
54 +
17
=
-39 +
24
=
-15 +
(-12)
=
(-19)
=
-5 +
18
=
-9 +
(-3)
=
-43 +
155
Resta
Toca el turno a la operación resta. Igual que en la suma y para facilitar su comprensión,
presentamos los números como líneas vectores sobre la recta numérica.
Para restar dos números enteros, procederemos de la siguiente manera: las consideraciones 1, 2, 3,
4 y 5 que hicimos para la recta son las mismas para la resta. Antes de obtener el resultado de una
resta recordemos que minuendo – sustraendo = resto o diferencia, así que para obtener el resultado
de una resta:
a. tomaremos el minuendo y dibujamos una línea de esa longitud partiendo del 0 y en la
dirección que indica su signo.
b. el sustraendo también lo dibujaremos, pero como debemos de restarlo lo giraremos hacia el
otro sentido; si es positivo con el giro lo convertiremos en negativo y viceversa; si es
negativo con el giro lo convertiremos en positivo.
c. teniendo listos el minuendo y el sustraendo dibujamos el minuendo y en el extremo final (a
partir de su cabeza de flecha) hacemos coincidir el inicio del sustraendo y dibujamos una
línea vector de esa longitud, partiendo del extremo del minuendo y en la dirección que ahora
indica su signo (recordemos que por el inciso b hemos girado el sentido del sustraendo).
d. el valor que indica la cabeza de flecha del sustraendo es el resultado que asentamos como el
de nuestra resta.
Ejemplos:
Restar. 7 - 3 ,
-2 - 5 ,
8 - (-1) ,
-7 - (-5) ,
-4 - 3 ,
3 - (-1) ,
-4 - (-5) ,
6-2 .
Hemos puesto paréntesis a los sustraendos que tienen valor negativo o con signo negativo para
indicar, entre los dos números, sólo la operación de resta.
Primer ejemplo (7 – 3 = 4):
-3
3
7
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
156
1
2
3
4
7
8
…
7
8
…
7
5
6
Segundo ejemplo (8 – (-1) = 9):
-1
1
8
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
1
3
4
5
6
7
8
9…
Tercer ejemplo (-4 – 3 = -7):
-3
3
-4
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
…
-8
-7
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
-4
-6
-5
-4
157
Cuarto ejemplo (-4 – (-5) = 1):
-5
5
-4
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-4
…
-8
-7
-6
-5
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
…
1
2
3
4
5
6
7
8
…
5
-3
-2
-1
0
Quinto ejemplo (-2 – 5 = -7):
-5
5
-2
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-5
…
-8
-7
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
-2
-6
-5
-4
-3
-2
158
Sexto ejemplo (-7 – (-5) = -2):
-5
-2
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-7
…
-8
-7
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
3
4
5
6
7
8
…
4
5
6
7
8
…
5
-6
-5
-4
-3
Séptimo ejemplo (3 – (-1) = 4):
-1
1
3
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
159
1
2
1
3
Octavo ejemplo (6 – 2 = 4):
-2
2
6
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2
…
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
7
8
…
6
7
8
…
6
5
Importante. El error de ponerle a un número entero el signo contrario al que le corresponde provoca
varias faltas en cascada: uno, introducimos en el ejercicio el doble del valor del número en cuestión
(de –4 a 4, hay 8 unidades; de 17 a –17, hay 34 unidades y esto cambia totalmente la secuencia del
ejercicio); dos, con este cambio hemos aumentado o disminuido, según el caso, los valores del
ejercicio; y tres (por el momento), con cambio de signos y cambio de valores quién sabe qué ejercicio
estaremos resolviendo, porque el que nos propusieron originalmente desde luego que no. Pongamos
mucha atención en los signos de los números y en cómo se desarrollan a través de las operaciones
que realizamos.
Enseguida apuntamos algunos señalamientos con respecto a la resta de enteros y que podemos
analizar, como en la suma, en los ejercicios resueltos, en los que vamos a hacer, en los que
propondremos para que tú hagas y en los que puedes inventar:
1. Cuando tenemos dos enteros en la operación de resta, cambiamos el signo del sustraendo y
procedemos como ya hicimos en la suma (repitiendo).
2. Si después de haber cambiado el signo del sustraendo los dos números enteros tienen igual signo,
sumamos los valores de los números y al resultado le asignamos el signo de ambos números.
3. Si después de haber cambiado el signo del sustraendo, los dos números enteros tienen distinto
signo, restamos el de menor valor al de mayor valor y al resultado le asignamos el signo del
número de mayor valor.
160
Ejemplos:
Resta de números con signo
Números con igual signo después de haber
cambiado el del sustraendo.
Números con distinto signo después de
haber cambiado el del sustraendo.
Fíjate en los signos de los números
Se suman los valores y el resultado lleva el
signo de los números.
Se resta el valor menor al mayor y el
resultado lleva el signo del número de mayor
valor.
Cambio de signo
5 –
Cambio de signo
(-2)
;
5 +
2
=
7
4 –
5
;
4 –
5
=
-1
3
;
-8 –
3
=
-11
11 –
2)
;
11 –
2
=
9
9 –
(-5)
;
9 +
5
=
14
-31 –
(-21)
;
-31 +
21
=
-9
12 –
(-7)
;
12 +
7
=
17
-7 –
(-3)
;
-7 +
3
=
-4
-3 –
9
;
-3 –
9
=
-12
8 –
5
;
8 –
5
=
3
-6 –
1
;
-6 –
1
=
-7
-4 –
(-2)
;
-4 +
2
=
-2
-25 –
6
;
-25 –
6
=
-31
5 –
1
;
5 –
1
=
4
16 –
(-9)
;
16 +
9
=
25
16 –
3
;
16 –
3
=
13
19 –
(-7)
;
19 +
7
=
26
-9 –
(-1)
;
-9 +
1
=
-8
1 –
(-8)
;
1 +
8
=
9
0 –
7
;
0 –
7
=
-7
-8 –
Ejercicios
Resta
-12 –
4
=
11 –
(-6)
=
29 –
-3 –
(-9)
=
-4 –
(-5)
=
17 –
6
=
-7 –
6
-5 –
(-10)
=
9 –
9
16
=
-42 –
(-29)
=
=
-6 –
(-3)
=
=
-18 –
(-12)
=
Multiplicación
Ahora abordaremos la operación multiplicación. Como hicimos con la suma y la resta, facilitaremos
su comprensión representando los números como líneas vectores y las veces que habremos de
reproducirlos sobre la recta numérica. Resolveremos algunos ejercicios.
161
Para multiplicar dos números enteros procederemos de la siguiente manera:
1. Dibujamos nuestra recta numérica.
2. Escogemos uno de los dos números y dibujamos una línea que partiendo del 0 tenga de longitud
tantas marcas, pequeñas líneas o secciones de nuestra recta numérica, como indica el valor del
número escogido.
a. si es positivo se desplazará hacia la derecha de nuestra recta numérica.
b. si es negativo se desplazará hacia la izquierda de nuestra recta numérica.
3. El otro número nos dirá cuántas veces debemos de reproducir el vector que representa al
número que escogimos en primer lugar.
a. si es positivo reproducirá al primer número en el sentido en que éste se encuentra, tantas
veces como este segundo número indica, y lo iremos añadiendo una y otra vez hasta agotar
las reproducciones.
b. si es negativo girará de sentido al primer número y lo reproducirá, tantas veces como este
segundo número indica, y lo iremos añadiendo una y otra vez hasta agotar las
reproducciones.
4. Finalmente, para obtener el resultado de la multiplicación: el valor que indica la cabeza de flecha
de la última reproducción es el que asentamos como el de nuestra multiplicación.
¿Cómo interpretar el producto de 2 por 5?
como el 2, 5 veces
2
…
-3
-2
-1
0
1
2
2
3
2
4
5
2
6
7
2
10
8
9
10
11
12
13
…
10
11
12
13
…
o como el 5, 2 veces
5
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
10
5
162
6
7
8
9
Deseamos comprar libros. En una tienda encontramos algunos que son de nuestro agrado, cada uno
cuesta $30. Queremos llevarnos 4, ¿cuánto debemos de pagar? Simple, multiplicamos el precio de
un libro por el número de éstos que deseamos llevarnos y ya está, lo que resulta igual a multiplicar el
número de libros que deseamos llevarnos por el precio de uno.
Libro
Cantidad
Pago
o bien,
$30
4
$30 x 4 = $120
;
Cantidad
Libro
Pago
4
$30
4 x $30 = $120
Tenemos que hacer un cambio de escala en nuestra recta numérica.
$30, 4 veces
30
30
30
30
120
…
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
…
Para una comida informal 6 amigos compraron tortas y refrescos. Por cada 2 tortas y 1 refresco
pagaron $25. ¿Cuánto pagaron en total?
Torta y
refresco Cantidad
Pago total
o bien,
$25
6
$25 x 6 = $150
Otro cambio de escala.
;
Cantidad
Torta y
refresco Pago total
6
$25
6 x $25 = $150
25
25
$25, 6 veces
25
25
25
25
150
…
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
…
Luis compró un aparato de sonido en $1200, lo pagará en 12 plazos a razón de $100 quincenales.
Hizo un arreglo para pagar mensualmente. ¿Cómo irá pagando su adeudo? Hagamos un esquema
de cómo ira descendiendo su deuda.
Número de plazo
1y2
3y4
5y6
7y8
9 y 10
11 y 12
Pago mensual
Deducción mensual
deuda – pago
200
200
200
200
200
200
1200 - 200
1000 - 200
800 - 200
600 - 200
400 – 200
200 - 200
163
Deuda
1200
1000
800
600
400
200
0
Otra manera de hacerlo es tomar el pago quincenal como número negativo, pues sale del
presupuesto de Luis, multiplicarlo por los dos pagos que debe hacer mensualmente y esta cantidad
sumarla al adeudo total.
Número de plazo Pago quincenal
en pesos
1y2
3y4
5y6
7y8
9 y 10
11 y 12
Pago mensual
en pesos
-100
-100
-100
-100
-100
-100
Deducción
deuda – pago
2 x (-100) = -200
2 x (-100) = -200
2 x (-100) = -200
2 x (-100) = -200
2 x (-100) = -200
2 x (-100) = -200
Adeudo total
en pesos
1200
1000
800
600
400
200
0
1200 + (-200)
1000 + (-200)
800 + (-200)
600 + (-200)
400 + (-200)
200 + (-200)
Y una más: tomar los dos pagos que debe hacer mensualmente como número negativo, lo cual sale
del presupuesto de Luis, multiplicarlo por el pago quincenal y esta cantidad sumarla al adeudo total.
Número de plazo
1y2
3y4
5y6
7y8
9 y 10
11 y 12
Pago quincenal
en pesos
-2
-2
-2
-2
-2
-2
Pago mensual
en pesos
100
100
100
100
100
100
Deducción
deuda – pago
(-2) x 100 = -200
(-2) x 100 = -200
(-2) x 100 = -200
(-2) x 100 = -200
(-2) x 100 = -200
(-2) x 100 = -200
Adeudo total
en pesos
1200
1000
800
600
400
200
0
1200 + (-200)
1000 + (-200)
800 + (-200)
600 + (-200)
400 + (-200)
200 + (-200)
¿Cómo podemos interpretar geométricamente estos esquemas?
-$200, 6 veces
-200
-1200
…
-1300
-1200
-1100
-200
-200
-200
-200
-200
-1000
-800
-600
-400
-200
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
200
-100
0
100
200
300
…
Cambiamos el sentido de cada uno de los vectores con valor 200 y los vamos quitando del adeudo de
Luis. De otra forma, añadimos uno tras otro los pagos mensuales que quedan hasta igualar su deuda.
164
Ahora multipliquemos dos números negativos.
1.
(-3) x (-2)
y
2.
(-6) x (-4)
Sabemos multiplicar e interpretar el producto de:
• dos números positivos (a x b = ab) y
• uno positivo y otro negativo (a x (-b) = -ab y (-a) x b = -ab).
Basándonos en el producto de un número positivo y uno negativo construyamos una tabla.
Si, a x (-b) = -ab y (-a) x b = -ab ,
entonces (-a) x (-b) = -(-ab)
Ya que a x (-b) = -ab, entonces (-a) x (-b) = -(-a)b = -(-a x b) = -(-ab)
O pudimos decir, como (-a) x b = -ab, entonces (-a) x (-b) = -a(-b) = -(a x (-b)) = -(-ab)
Ejercicio 1. Entonces, (-3) x (-2) = -(3 x (-2)) = -(-6)
Primera parte: 3 x (-2) , sólo un signo.
3 veces el -2
-2
-6
…
-8
-7
-6
-2
-5
-4
-2
-3
-2
2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
6
7
8
…
Segunda parte: - (-6), el segundo signo.
Y tenemos: (-3) x (-2) = 6.
Girar el -6 al otro sentido
-6
…
-8
-7
-6
6
-5
-4
-3
-2
-1
0
165
1
2
3
4
5
Ejercicio 2. (-4) x (-6) = -(4 x (-6)) = -(-24)
Primera parte: 4 x (-6) , sólo un signo.
4 veces el -6
-6
-6
-6
-6
6
-24
…
-24
-21
-18
-15
-12
-9
-6
-3
0
3
6
Segunda parte: - (-24), el segundo signo.
9
12
15
18
21
24
…
Y obtenemos: (-4) x (-6) = 24.
Girar el -24 al otro sentido
24
-24
…
-24
-21
-18
-15
-12
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
…
Dos señalamientos con respecto a la multiplicación de enteros y que podemos analizar en los
ejercicios resueltos, en los que vamos a hacer, en los que propondremos para que hagas y en los que
puedes inventar:
1. Cuando multiplicamos dos números enteros que tienen igual signo, multiplicamos los valores de
los números y al resultado le asignamos el signo positivo.
2. Cuando multiplicamos dos números enteros que tienen distinto signo, multiplicamos los valores
de los números y al resultado le asignamos el signo negativo.
166
Producto de números con signo
Ejemplos:
Números con igual signo
Números con distinto signo
Fíjate en los signos de los números
Se multiplican los valores y el
resultado lleva signo positivo.
Se multiplican los valores y el
resultado lleva signo negativo.
7
x 2
=
14
3 x
4
x 13
=
52
-3
x (-5)
=
8
x 11
-21
(-7)
=
-21
-8 x
3
=
-24
15
-17 x
6
=
-102
=
88
-29 x
2
=
-58
x (-4)
=
84
4 x
(-31)
=
-124
-6
x (-12)
=
72
7 x
(-23)
=
-161
-9
x (-53)
=
477
15 x
(-11)
=
-165
x 37
=
185
-5 x
13
=
-65
81
=
243
-9 x
4
=
-36
(-1)
=
47
9 x
(-4)
=
-36
5
3 x
-47 x
Ejercicios
Multipicación
-3 x
4
=
-6 x
(-7)
=
7 x
15
=
9 x
(-5)
=
43 x
(-2)
=
5 x
(-47)
=
5 x
19
=
-12 x
5
=
-25 x
(-7)
=
-4 x
(-9)
=
-6 x
23
=
-19 x
(-13)
=
División
Por último desarrollemos la operación división. Como hicimos con la suma, la resta y la
multiplicación, facilitaremos su comprensión representando los números como líneas vectores sobre
la recta numérica y resolveremos algunos ejercicios.
Para dividir dos números enteros procederemos de la siguiente manera:
1. Dibujamos nuestra recta numérica,
2. Tomamos el dividendo y dibujamos una línea que partiendo del 0 tenga de longitud tantas marcas,
pequeñas líneas o secciones de nuestra recta numérica como indica el valor del número.
167
a. si es positivo se desplazará hacia la derecha de nuestra recta numérica.
b. si es negativo se desplazará hacia la izquierda de nuestra recta numérica.
3. El divisor nos dirá la longitud de las partes en que debemos dividir el vector que representa al
dividendo.
a. si es positivo partirá al dividendo, en el sentido en que éste se encuentra, en el número de
partes posibles con esta longitud; este es el cociente.
b. si es negativo girará de sentido del dividendo y lo partirá en el número de partes posible con
esta longitud; este es el cociente.
4. Finalmente, para obtener el resultado de la división el número de flechas o líneas vectores en que
se partió el dividendo es el cociente, y por tanto el resultado que asentamos como el de nuestra
división.
5. Si hay algún remanente éste se anotará en el resultado como el residuo de la división.
6. El signo en el resultado estará dado por la dirección final que tenga el dividendo, según se haya
tenido que girar en algún paso de nuestro desarrollo.
Ejemplo 1. ¿Cómo dividir 12 entre 3 para encontrar el cociente?
12 entre 3
3
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
3
4
5
12
3
3
6
7
8
9
10
11
12
13
…
13
14
…
Realizando la operación: 12 : 3 = 4 .
Ejemplo 2. Dividir 13 entre 4.
13 entre 4
12
4
4
4
1
…
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Realizando la operación: 13 : 4 = 3 y queda 1. Tenemos residuo 1.
168
10
11
12
Ejemplo 3.
Dividir -10 entre 5.
-10 entre 5
-10
5
…
-12
-11
-10
5
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
Realizando la operación: -10 : 5 = -2 .
Ejemplo 4. Dividir 15 entre -4 . Se gira el sentido del dividendo.
15 entre -4
15
…
-1
0
1
2
3
4
5
Cambiamos de segmento en
15 entre -4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
…
-3
-2
-1
0
…
la recta numérica.
-15
4
4
4
3
…
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
Realizando la operación: 15 : -4 = -3 y quedan 3. Tenemos residuo 3.
169
-4
Ejemplo 5. Dividir -9 entre -3 . Se gira el sentido del dividendo.
-9 entre -3
-9
…
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
Cambiamos de segmento en la recta numérica.
-9 entre -3
3
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
9
3
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
…
16
…
Realizando la operación: -9 : -3 = 3.
Ejemplo 6. Dividir -16 entre -7 . Se gira el sentido del dividendo.
-16 entre -7
-9
…
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
Cambiamos de segmento en la recta numérica.
-16 entre -7
16
7
7
2
…
0
1
2
3
4
5
6
7
8
170
9
10
11
12
13
14
15
Realizando la operación: -16 : -7 = 2 y quedan 2. Residuo 2.
Dos señalamientos con respecto a la división de enteros y que podemos analizar en los ejemplos
resueltos, en los que vamos a hacer, en los que propondremos para que resuelvas y en los que
puedes inventar:
1. Cuando dividimos dos números enteros que tienen igual signo, partimos el valor del dividendo por
el del divisor y al resultado le asignamos el signo positivo.
2. Cuando dividimos dos números enteros que tienen distinto signo, partimos el valor del dividendo
por el del divisor y al resultado le asignamos el signo negativo.
División de números con signo
Ejemplos:
Números con igual signo
Números con distinto signo
Fíjate en los signos de los números
Se divide el valor del
dividendo entre el del
divisor y el resultado lleva
signo positivo.
Se divide el valor del
dividendo entre el del
divisor y el resultado lleva
signo negativo.
residuo
residuo
15 :
3
=
5
; 0
14 :
-9 :
(-2)
=
4
; 1
-21 :
(-7)
=
3
-42 :
(-6)
=
-27 :
(-4)
(-2)
=
-7
; 0
-16 :
6
=
-2
; 4
; 0
-24 :
3
=
-8
; 0
7
; 0
-28 :
4
=
-7
; 0
=
6
; 3
42 :
(-7)
=
-6
; 0
3
=
17
; 0
32 :
(-9)
=
-3
; 5
-53 :
(-9)
=
5
; 8
25 :
(-12)
=
-2
; 1
12 :
12
=
1
; 0
-39 :
3
=
-13 ; 0
78 :
3
=
26
; 0
-20 :
4
=
-5
; 0
(-1)
=
47
; 0
9 :
(-4)
=
-2
; 1
51 :
-47 :
171
Ejercicios
División
32 :
4
=
-56 :
(-7)
=
14 :
19 :
(-3)
=
43 :
(-2)
=
24 :
8
=
-12 :
5
-(9)
=
-64 :
9
-45 :
-7
=
-36 :
(-6)
=
=
-26 :
(-13)
=
=
-49 :
8
=
División entre cero
Uno de los errores más comunes en muchas áreas donde se usan los números consiste en dividir
entre cero. La búsqueda “división entre cero” proporcionó 1,980,000 respuestas con el buscador
Google, (consultado en julio 2007). Entre tantas curiosidades se recomienda el argumento que
demuestra que 1 = 2. Ver:
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_por_cero#Paradoja_cl.C3.A1sica_usando_Divisi.C3.B3n_
por_Cero (Julio 2007).
Glosario
Operaciones Básicas: las operaciones matemáticas son cuatro: suma, resta, multiplicación, división
Suma: operación que combina o agrega dos números para formar un tercero. La operación se denota
con el signo + y los términos por sumar, sumandos.
Resta: operación Inversa a sumar y se denota por una raya: -. También llamada diferencia
Los nombres tradicionales son minuendo – sustraendo = diferencia.
Multiplicación: es una manera rápida de sumar varias veces la misma cantidad; el resultado se llama
producto. Los números por multiplicar se llaman factores o coeficientes; individuamente uno es el
multiplicando y el otro, multiplicador. La notación usada para multiplicar a y b puede ser cualquiera de
las siguientes: a x b, a. b, a b; es decir, una cruz, un punto o nada.
División: es la operación inversa a multiplicar; Tal vez su significados más común es el de repartir y
la notación para dividir a entre b es a / b o a ÷ b.
Nota: en la división anterior el número b debe ser distinto de cero.
Minuendo, Minuendo – Sustraendo = resto o diferencia.
Recta numérica: a partir de una recta, la recta numérica se construye de la manera siguiente:
primero se escoge un punto al que llamaremos origen, o cero. A la derecha del cero estarán los
números positivos y los negativos a la izquierda.
Residuo (o resto): (divisor x cociente) + residuo = dividendo
Ejemplo:
3
2 7
1
(2x3)+1=7
(Tomado de 2.1)
Ilustraciones
* Ábaco, página 1:
http://mirror-au-nsw1.gallery.hd.org/_c/mechanoids/abacus-1-AJHD.jpg.html
172
Matemáticas 1
Los números enteros
3. Propiedades de los enteros
Propósito:
El estudiante entenderá y reforzará el concepto de las propiedades algebraicas de
los números enteros. Aprenderá el porqué operan de este modo y desarrollará
estrategias para facilitarse el uso y aplicación de estas propiedades.
Se estudiarán propiedades importantes de los números enteros como lo son:
Cerradura que dice que si a y b son dos enteros también a + b lo es. Es decir, la suma de dos
enteros no se sale de los enteros, por eso se dice que es un conjunto cerrado.
Asociatividad. Esta propiedad dice que da igual sumar a con b más c que a más b con c, o sea
a + (b + c) = (a + b) + c.
Conmutativa. Es lo mismo sumar a con b que b con a.
Distributividad. Da igual multiplicar a por b más c que sumas ab con ac.
Suma
Propiedades de
los Enteros
Multiplicación
Cerradura
Cerradura
Conmutatividad
Conmutatividad
Asociatividad
Asociatividad
Existe el Cero
Existe el Uno
Existe Inverso
Existe Inverso
Distributividad
Vamos a internarnos en las características más sencillas de los números enteros, de esta manera
empezarás el camino para desarrollar los procesos de solución en los ejercicios que se te propongan,
y aplicándolos desarrollarás tu creatividad y habilidad para nuevos e ingeniosos métodos, los cuales
te ayudarán a encontrar las soluciones a ejercicios y acertijos.
173
Propiedades con respecto a la suma
¿Cómo es el comportamiento de los números enteros con respecto a la operación de suma?
La primera característica es: tomamos dos números enteros cualesquiera y los sumamos. El
resultado de la suma de ellos es también un número entero.
Ejemplos:
5+7
-2 + (-13)
-15 + 9
8 + (-21)
6+b
=
=
=
=
=
12
-15
-6
-13
6+b
,
,
,
,
,
-3 + 7
31 + (-30)
4 + (-12)
7 + (-23)
5 + (-3a)
=
=
=
=
=
4
1
-8
-16
5 - 3a
,
,
,
,
.
Segunda: tenemos dos números enteros y los sumamos, sin importar cuál de ellos tomemos primero
para sumarlo con el segundo. El resultado de la suma es el mismo.
Ejemplos:
(-7) + 12
8 + (-23)
27 + (-9)
(-1) + 5
3 + (-q)
=
=
=
=
=
5
-15
18
4
3-q
,
,
,
,
,
12 + (-7)
(-23) + 8
(-9) + 27
5 + (-1)
(-q) + 3
=
=
=
=
=
5
-15
18
4
3-q
,
,
,
,
.
Tercera: el 0 sumado a cualquier número entero lo deja igual, no lo altera.
Ejemplos:
-5 + 0
8+0
0 + (-9)
=
=
=
-5
8
-9
,
,
,
67 + 0
0 + (-37)
-19 + 0
=
=
=
67
-37
-19
,
,
,
Cuarta: todo número entero tiene un inverso aditivo (el mismo valor numérico pero con signo
diferente), que al sumar ambos nos dan como resultado el 0.
Ejemplos:
5 + (-5)
8 + (-8)
(-13) + 13
(-1) + 1
q + (-q)
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
23 + (-23)
(-35) + 35
(-219) + 219
11 + (-11)
(-3p) + 3p
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
,
,
,
,
.
Quinta: tenemos tres números enteros y los sumamos, sumaremos primero dos de ellos y al resultado
de esta suma le sumaremos el tercero. El resultado es el mismo no importando cuáles dos tomemos
primero para sumar a este resultado el tercer entero.
Utilizaremos paréntesis para aclarar cuáles son los dos primeros números que estamos agrupando
para sumar y posteriormente incluir en la suma el tercero, entonces nuestro esquema toma la forma
siguiente:
174
Ejemplos:
(5 + 3) + (-7)
(4 + (-11)) + (-2)
(3 + 8) + (-15)
((-6) + 3) + (-8)
(n + (-2)) + 4
=
8 + (-7)
=
-7 + (-2)
= 11 + (-15)
=
-3 + (-8)
= n + (-2) + 4
=
=
=
=
=
1
-9
-4
-11
2+n
,
,
,
,
,
5 + (3 + (-7))
4 + ((-11) + (-2))
3 + (8 + (-15))
(-6) + (3 + (-8))
n + ((-2) + 4)
=
=
=
=
=
5 + (-4)
4 + (-13)
3 + (-7)
(-6) + (-5)
n+2
=
=
=
=
=
1
-9
-4
-11
2+n
,
,
,
,
.
En donde, desde luego, a, b, q y n, son números enteros.
Estas cinco propiedades que hemos ejemplificado, bajo la operación de suma, se escriben y señalan
de manera concisa y formal como:
1. Si a y b son números enteros, entonces: a + b, también lo es. Propiedad de cerradura.
2. Si a y b son números enteros, entonces: a + b = b + a. Propiedad conmutativa.
3. El 0 es un número entero tal que, para todo entero a, resulta que: a + 0 = 0 + a = a. Propiedad, del
neutro aditivo.
4. Para todo número entero a, se tiene –a, también número entero, y tal que: a + (-a) = 0. Propiedad
del inverso aditivo.
5. Si a, b y c son números enteros, entonces (a + b) + c = a + (b + c). Propiedad asociativa.
Propiedades con respecto a la multiplicación
Veamos cómo se comportan los números enteros con respecto a la operación de multiplicación.
Primera característica: tomamos dos números enteros cualesquiera y los multiplicamos. El resultado
de la multiplicación de ellos es también un número entero.
Ejemplos:
9x4
13 x (-2)
7 x (-3)
(-6) x 13
5xa
=
=
=
=
=
36
-26
-21
-78
5a
,
,
,
,
,
(-4) x (-3)
(-3) x 9
23 x 3
(-7) x (-4)
(-5) x 3b
=
=
=
=
=
12
-27
69
28
-15b
,
,
,
,
.
Segunda: tenemos dos números enteros y los multiplicamos, sin importar cuál de ellos tomemos
primero para multiplicarlo por el segundo el resultado de la multiplicación es el mismo.
Ejemplos:
(-6) x 12
19 x 5
(-7) x (-5)
8 x (-6)
(-a) x 2
3xc
=
=
=
=
=
=
-72
95
35
-48
-2a
3c
,
,
,
,
,
12 x (-6)
5 x 19
(-5) x (-7)
(-6) x 8
2 x (-a)
cx3
175
=
=
=
=
=
=
-72
95
35
-48
-2a
3c
,
,
,
,
,
.
Tercera: al multiplicar el 1 por cualquier número entero ese número entero queda igual. Esto es, no
sufre alteración alguna.
Ejemplos:
1x7
1 x (-4)
(-53) x 1
1 x 19
1 x 2p
=
=
=
=
=
7
-4
-53
19
2p
,
,
,
,
,
1 x (-9)
43 x 1
1 x (-79)
47 x 1
(-3q) x 1
=
=
=
=
=
-9
43
-79
47
-3q
,
,
,
,
.
Cuarta: tenemos tres números enteros y los multiplicamos, el resultado será el mismo no importa cuál
de los dos multipliquemos primero; al resultado de esta multiplicación la multiplicamos por el tercero.
Igual que en la suma, usamos paréntesis para dejar en claro cómo estamos agrupando los números
para multiplicarlos de manera parcial. Y así:
Ejemplos:
(2 x 4) x (-3)
(3 x 7) x (-5)
((-3) x 5) x 2
((-6) x 3) x (-8)
(2 x (-3)) x n
=
=
=
=
=
8 x (-3)
21 x (-5)
-15 x 2
-18 x (-8)
(-6) x n
=
=
=
=
=
-24
-105
-30
144
-6n
,
,
,
,
,
2 x (4 x (-3))
3 x (7 x (-5))
(-3) x (5 x 2)
(-6) x (3 x (-8))
2 x ((-3) x n)
=
=
=
=
=
2 x (-12)
3 x (-35)
(-3) x 10
(-6) + (-24)
2 x (-3n)
=
=
=
=
=
-24
-105
-30
144
-6n
,
,
,
,
.
Quinta: tenemos tres números enteros, de modo que el primero de ellos multiplica a la suma de los
otros dos. Obtendremos el mismo resultado si a la multiplicación del primero por el primero de los que
componen la suma, le sumamos la multiplicación del primero por el segundo de los que componen la
suma.
Ejemplos:
((-3) + 4) x 5
(7 + 2) x 4
8 x (3 + (-5))
7 x ((-9) + 8)
((-2) + 5) x a
(-3) x ((-b) + 2b)
=
=
=
=
=
=
(-15) + 20
28 + 8
24 + (-40)
-63 + 56
-2a + 5a
3b + (-6b)
=
=
=
=
=
=
5
36
-16
-7
3a
-3b
,
,
,
,
,
,
((-3) + 4) x 5
(7 + 2) x 4
8 x (3 + (-5))
7 x ((-9) + 8)
((-2) + 5) x a
(-3) x ((-b) + 2b)
=
=
=
=
=
=
(-1) x 5
9x4
8 x (-2)
7 x (-1)
3xa
(-3) x b
=
=
=
=
=
=
5
36
-16
-7
3a
-3b
,
,
,
,
,
.
Donde las literales de los ejercicios anteriores, a, b, c, n, p y q son números enteros.
Las cuatro primeras propiedades, bajo la operación de multiplicación, se escriben y señalan de
manera concisa y formal como:
1. Si a y b son números enteros, entonces a x b, también lo es. Propiedad de cerradura.
2. Si a y b son números enteros, entonces a x b = b x a. Propiedad conmutativa.
3. Para todo número entero a, al multiplicarlo por el uno “1”, se obtiene: 1 x a = a x 1 = a. Propiedad
del neutro multiplicativo.
4. Si a, b y c son números enteros, entonces (a x b) x c = a x (b x c). Propiedad asociativa.
176
Y la quinta que involucra a las dos operaciones, se escribe como:
5. Si a, b y c son números enteros, entonces a x(b + c) = a x b + a x c. Propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma.
Ejercicios
1. Escribe las siguientes sumas de manera diferente y resuélvelas.
5+8
48 + (-13)
(-5) + 3a
=
=
=
,
,
,
(-23) + 18
(-51)+ (-7)
(-c) + 19
=
=
=
,
,
,
47 + (-35) =
52 + 23 =
6b + (-2b) =
,
,
.
2. Escribe las siguientes sumas de tres modos diferentes, utilizando paréntesis para agrupar dos
cifras y resuélvelas.
9+1+7
4 + (-7) + (-1)
(-8) + (-5) + a
=
=
=
,
,
,
3 + (-6) + 5
(-27) + 6 + 5
7 + (-b) + 9
=
=
=
,
,
,
8 + (-5) + 7
8 + (-7) + a
5 + 3c + (-c)
;
;
;
;
89
3b
5c
(-2a)
=
=
=
,
,
.
,
,
,
,
.
3. Encuentra el inverso aditivo de los siguientes números enteros.
18
43
(-37)
(-15)
,
,
,
,
;
;
;
;
61
(-56)
123
(-19)
,
,
,
,
4. Escribe las siguientes multiplicaciones de forma diferente y resuélvelas.
5 x (-6)
3 x 27
5xb
=
=
=
,
,
,
7 x 17
35 x (-6)
a x (-7)
=
=
=
,
,
,
(-23) x 9 =
(-12) x (7) =
(-2c) x (-3c) =
,
,
.
5. Escribe las siguientes multiplicaciones de tres modos diferentes, utilizando paréntesis para agrupar
dos cifras y resuélvelas.
3 x (-7) x 9 =
6x8x5 =
4 x (-2) x b =
,
,
,
5 x (-3) x (-7) =
12 x 7 x (-3) =
6 x (-a) x 3 =
,
,
,
62 x 3 x 1 =
(-8) x (-3) x (-2) =
c x (-1) x 9 =
,
,
.
6. Escribe las siguientes operaciones de dos formas diferentes y resuélvelas.
3 x (4 + (-5))
6 x ((-3) + 7)
9 x (8 + (-2))
2 x (a + (-a))
=
=
=
=
,
,
,
,
3 x ((-2) + 5)
(-7) x (3 + 8)
((-2) + 3) x (-5)
6 x (b + (-3))
177
=
=
=
=
,
,
,
,
(-4) x ((-2) + (-3))
(6 + (-4)) x 21
(9 + (-13)) x (-4)
(15 + (-12)) x b
=
=
=
=
,
,
,
.
7. ¿Cuáles son las cinco propiedades que cumplen los enteros junto con la operación suma?
Considera ahora a los enteros pero con la operación resta, es decir, substracción. Decide cuáles de
las cinco propiedades son correctas para a, b, c enteros:
8. Cerradura: si a y b son enteros entonces a – b también es entero.
9. Conmutativa: a – b = b – a.
10. Idéntico: a – 0 = 0 – a.
11. Inverso: Para todo entero a existe b tal que a – b = 0
12. Asociativa: a – (b – c) = (a - b) – c
¿Y que sucede si usamos división en vez de multiplicación? ¿Cuales son válidas y por qué?
13. Cerradura: si a y b son enteros entonces a / b también es entero.
14. Conmutativa: a / b = b / a.
15. Idéntico: a / 1 = 1 / a = a.
16. Asociativa: a / (b / c) = (a / b) / c.
17. La división distribuye sobre la suma: a / (b + c) = a /b + a / c.
Glosario
Sea # es una operación definida en un conjunto X.
1) X es cerrado si x # y está en X para cualesquiera x, y en X
2) # conmuta en X si x # y = y # x para cualesquiera x, y en X
3) u en X es idéntico si u # x = x # u = x para cualquier x en X
4) y en X es inverso de x en X si y # x = x # y = al idéntico en X, y cualesquiera x, y en X
La operación # distribuye sobre la operación * si
5) x # ( y * z) = x # y * x # z para cualesquiera x, y, z en X
Ligas externas
Siempre es interesante ver cómo otros autores abordan algún tema estudiado, me refiero en
particular al de esta lección que habla de las propiedades de los enteros. Una rápida búsqueda de
la frase “propiedades de los enteros” en Google.com regaló 676,000 aciertos. Ver, por ejemplo:
http://bertomorales.tripod.com/id5.html (Julio 2007).
Ilustraciones
* Página 1: Manuscrito de propiedad.
http://www.lva.lib.va.us/whatwedo/archweek/2006/img/williamsburg/Finnie-House-manuscript.jpg
(Julio 2007).
178
Matemáticas 1
Los números enteros
4. El valor absoluto
Propósito:
El estudiante aprenderá el concepto de orden y el de valor absoluto de los números
enteros. Comprenderá el concepto de simetría y aplicará estas propiedades la
resolución de ejercicios y acertijos.
Continúa el estudio y aplicaciones de los números negativos con ejemplos comunes, como el de un
edificio con varios sótanos o la distancia entre ciudades. Más adelante se define la importante función
valor absoluto y se mencionan sus propiedades esenciales, termina la sección especificándose
cuándo dos puntos en la recta real son simétricos.
Números Enteros
Valor Absoluto
Ejem plos
Edificio de
varios niveles
Distancia
entre ciudades
El edificio de 12 niveles
Imaginémonos y dibujemos un edificio de departamentos. Dibujémoslo de manera que los
departamentos cuenten con estacionamiento para vehículos en varios sótanos.
El edificio tiene 12 niveles:
• 7 de departamentos,
7
• 1 de acceso y
6
• 4 de sótanos
5
4
3
Ö
Pedro, vive en el piso 3
2
Pisos
1
Acceso
Sótanos
1
2
-O=ÓÉl estaciona su automóvil en el sótano 2
3
4
179
Sobre este dibujo nos hacemos varias preguntas que habrás de contestar.
1. Desde el acceso:
•
•
•
•
¿Cuántos niveles asciende Pedro para llegar a su departamento?
¿Cuántos desciende para tomar su automóvil?
¿Cuántos asciende para llegar al piso más alto?
¿Cuántos asciende para llegar a la azotea del edificio?
2. Desde su departamento:
• ¿Cuántos asciende Pedro para llegar al piso más alto?
• ¿cuántos niveles desciende para salir por el acceso?
• ¿cuántos niveles desciende para tomar su automóvil?
• ¿cuántos niveles desciende para llegar al sótano más bajo?
• ¿cuántos niveles asciende para llegar a la azotea del edificio?
3. Desde el sótano donde estaciona su automóvil:
• ¿Cuántos niveles desciende Pedro para llegar al sótano más bajo?
• ¿Cuántos asciende para llegar al piso más alto?
• ¿Cuántos asciende para llegar a su departamento?
• ¿Cuántos asciende para salir por el acceso?
• ¿Cuántos asciende para llegar a la azotea del edificio?
¿Cómo es visto por los viajeros el recorrido de la distancia entre dos ciudades?
A
140
10
...
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
...
10
140
B
Distancia en kilómetros
Un viajero que parte de A hacia B y luego regresa a A, recorre en total 280km. Los 140 de A a B y los
140 (de regreso) de B a A. Y no decimos que como fue de A a B recorrió 140 km y de regreso de B a
A -140km, o sea que el recorrido fue de 0km.
¿Cómo es visto por los viajeros el recorrido de la distancia hacia una misma ciudad?
A
70
60
50
40
30
B
20
10
0
0
180
10
C
20
30
40
D
50
60
E
70
Las distancias de las ciudades A, B, C, D, y E, a la ciudad “0” son fáciles de encontrar. Como que ya
están dadas, pero ahora queremos saber las distancias entre otras de estas ciudades. ¿Cómo
procedemos?
Ejercicios:
distancia entre
las ciudades
distancia en kilómetros
AyB
AyC
ByD
CyE
;
;
;
;
a 70 restamos 20
a 70 sumamos 10
a 20 sumamos 40
a 10 restamos 60
,
,
,
,
Entonces
DyA
,
,
a 60 restamos 10
a 40 sumamos 70
,
,
50
80
60
-50 ¿¿ ??, cómo es recorrer
una distancia de
-50 kilómetros.
50, ahora sí
110
Contesta las siguientes preguntas:
Encuentra las distancias entre:
EyB
DyA
DyB
CyA
ByE
Cuidado con obtener distancias negativas.
Encontrar las distancias de este modo es un lío. Si las ciudades están en lados opuestos de la ciudad
“0” se suman los valores, pero si están del mismo lado de la ciudad “0” se restan, siempre y cuando el
minuendo sea el valor de la distancia más alejada de la ciudad “0”, pues no queremos obtener un
valor negativo para ésta.
¿Habrá alguna forma única de obtener la distancia entre dos ciudades estén en cualquiera de las dos
direcciones de la ciudad “0”? Recordemos que la distancia sólo se mide en unidades positivas. Sí la
hay. Hagámoslo por pasos.
1. Reproduzcamos la recta numérica.
2. Pongamos en ella algunas ciudades (puntos en nuestra recta).
3. Restemos la menor de estas dos distancias a la mayor (recordemos que el punto que se encuentre
a la derecha del otro, en nuestra recta numérica, es el mayor).
4. Esa es la distancia entre las dos ciudades (o entre esos dos puntos).
C
…
-8
A
-7
-6
-5
-4
E
-3
-2
B
-1
“0”
181
1
2
3
D
4
5
6
7
8
…
Ejercicios:
Distancia entre
las ciudades
Mayor
valor
DyB
EyB
AyD
CyE
,
,
,
,
D=5
B=3
D=5
E = (-2)
Menor
valor
,
,
,
,
B=3
E = (-2)
A = (-4)
C = -8
Distancia en kilómetros
,
,
,
,
5–3=2
3 – (-2) = 3 + 2 = 5
5 – (-4) = 5 + 4 = 9
(-2) – (-8) = -2 + 8 = 6
Contesta las siguientes preguntas:
Encuentra las distancias entre:
ByA
EyD
CyB
De modo que si las distancias se dan siempre en valor positivo, entonces la distancia de cualquier
punto al “0” debe ser un valor positivo. Veamos esto con detenimiento.
F
…
-8
-7
A
-6
-5
-4
E
-3
-2
-1
G
“0”
1
B
2
3
4
C
5
6
7
8
…
En este ejemplo, los puntos A y B se encuentran ambos a la misma distancia del “0”; los puntos F y C
también se encuentran ambos a la misma distancia del “0”; y los puntos E y G se hallan ambos a la
misma distancia del “0”. Construyamos una con las distancias.
Distancia al “0”:
A
B
, 4
, 4
F , 7
C , 7
E , 1
G , 1
En esta medición de las distancias hemos tomado sólo el valor positivo de la distancia. Esto podemos
hacerlo siempre pero explicando nuestro proceder. La forma de hacerlo es:
El valor absoluto
Para todo número entero su valor absoluto es su distancia al cero en la recta numérica.
Esta proposición la escribimos “ a ” (dos pequeñas líneas verticales una antes y la otra
después del número del que deseamos saber la distancia al “0”, o sea su valor absoluto y la leemos
como: el valor absoluto de a.
Si el valor absoluto es la distancia de cualquier número al “0” ¿podríamos utilizarlo para encontrar la
distancia entre cualesquiera dos puntos? sin estar apelando a si están de uno u otro lado del “0”, o si
sabemos cuál es el mayor y cuál el menor. Sí podemos.
182
Volvamos a un ejercicio trabajado líneas arriba.
C
…
-8
A
-7
-6
-5
-4
E
-3
B
-2
-1
“0”
1
2
D
3
4
5
6
7
8
…
Y para cada par de puntos encontremos la distancia alternando su posición en la construcción de la
diferencia y luego apliquemos el valor absoluto a esa distancia.
Ejercicios:
Distancia entre
las ciudades
DyB
EyB
AyD
CyE
Diferencia de
valores
,
,
,
,
Valor absoluto
de la diferencia
Distancia en
kilómetros
5-3
,
2
=2
, 2
3-5
,
-2
=2
, 2
(-2) – 3 = - 2 - 3
,
-5
=5
, 5
3 – (-2) = 3 + 2
,
5
=5
, 5
(-4) – 5 = - 4 - 5
,
-9
=9
, 9
5 – (-4) = 5 + 4
,
9
=9
, 9
(-8) – (-2) = -8 + 2
,
-6
=6
, 6
(-2) – (-8) = -2 + 8
,
6
=6
6
Contesta las siguientes preguntas:
Encuentra las distancias entre:
ByA
EyD
CyB
AyE
CyD
Vamos a fijarnos en la última tabla que desarrollamos. Tomemos por parejas los valores de las
distancias entre cada par de puntos. Estos son los resultados de la operación realizada en la columna
“diferencia de valores”, y que se encuentran en la columna del “valor absoluto de la diferencia” (entre
las dos pequeñas líneas que lo definen). Tomémoslos por parejas.
183
Ejercicios:
distancia entre
las ciudades
diferencia de
valores
DyB
,
EyB
,
AyD
,
CyE
Distancias entre:
-9
…
-8
-7
,
DyB
EyB
AyD
CyE
-6
-5
-6
-5
valor absoluto de
la diferencia
5–3
,
2
=2
,
2
3–5
,
-2
=2
,
2
(-2) – 3 = - 2 – 3
,
-5
=5
,
5
3 – (-2) = 3 + 2
,
5
=5
,
5
(-4) – 5 = - 4 - 5
,
-9
=9
,
9
5 – (-4) = 5 + 4
,
9
=9
,
9
(-8) – (-2) = -8 + 2
,
-6
=6
,
6
(-2) – (-8) = -2 + 8
,
6
=6
,
,
,
,
2 ,
-5 ,
-9 ,
-6 ,
-2
5
9
6
,
,
,
,
-3
-2
2
-1
“0”
6
primer par de valores
segundo
tercero
cuarto
-2
-4
distancia en
kilómetros
1
2
3
4
5
6
5
6
9
7
8
…
Estas parejas de valores que representan, en valor absoluto, la distancia de los pares de puntos en
cuestión son simétricos. Esto quiere decir que tienen ambos la misma distancia al “0”.
Dos puntos son simétricos si estando en lados opuestos de la recta numérica, con respecto al cero,
tienen la misma distancia al cero.
Para todo número entero a se tiene que –a es su simétrico.
Ejercicios
1) Representa los siguientes números en la recta numérica y encuentra su valor absoluto.
a.
f.
k.
11
-1
5
b. 7
g. -6
m. 14
c. -9
h. -3
n. -8
d. 15
i. 13
p. -12
e.
j.
q.
18
9
12
d. -12
i. -45
p. -3
e. -5
j. 16
q. 100
2) Encuentra los simétricos de los siguientes números.
a. 4
f. 0
k. -2
b. -7
g. 17
m. 6
c. 8
h. -23
n. 13
184
3) ¿Cuánto es el valor absoluto del valor absoluto de un número? Es decir
||a||=?
4) Cierto o falso: | a | < | | a | |
5) ¿Qué dice la red del valor absoluto? Ver:
http://www.geocities.com/CollegePark/Campus/5534/valores.htm
6) Ejercicios interactivos de valor absoluto:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/enterosdesp/valor%20absoluto.htm
7) Otra manera de obtener el valor absoluto de a es la siguiente:
| a | = raíz cuadrada no negativa de a2, o sea І a І= +
Por ejemplo: І – 7 І = +
49
a2
= 7 y, por supuesto, І 7 І = +
49
=7
Glosario
a si a ≥ 0
Valor absoluto del número a: І a І =
– a si a < 0
Simétrico: dos puntos son simétricos si estando en lados opuestos de la recta numérica con respecto
al cero, tienen la misma distancia al cero.
Ligas externas
* Google arroja 2, 410,000 lugares donde aparece la frase “valor absoluto”. Tomando uno al azar:
http://www.geocities.com/CollegePark/Campus/5534/valores.htm (Julio 2007).
* Otra página, pero con ejercicios interactivos de valor absoluto:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/enterosdesp/valor%20absoluto.htm
Ilustraciones
* Gráfica de la función Valor absoluto, página 1:
http://www.math.rutgers.edu/~greenfie/mill_courses/math135/gifstuff/abs.gif
(Julio 2007).
185
Matemáticas 1
Álgebra
1. Uso de literales para expresar
cantidades, incógnitas y variables
Álgebra de Baldor
Propósito:
El estudiante aprenderá a usar las literales como una herramienta en el desarrollo de
procesos de solución de acertijos, enigmas, pasatiempos, arcanos y ejercicios. Así
incrementará su habilidad tanto en las estrategias como en el manejo de los recursos
de la matemática
OBJETIVO 5
Comprenderás la necesidad de usar literales
para expresar cantidades, propiedades y
relaciones numéricas y manejaras
expresiones algebraicas sencillas.
Usando situaciones de la vida real se hace
notar cómo es que usamos el álgebra
constantemente, aún sin darnos cuenta.
Artículos escolares
Cuántos sombreros
Si 14 cuestan $840
Lápices por docena
Flujo de efectivo
Álgebra:
El uso de las
Literales
Compra de libros
Las compras de Luis
Cuánto tiene Pedro
El duplo de dos números
Diferencia de dos números
El triplo de la suma
186
Cómo resolver acertijos utilizando el álgebra
1. Gastos en artículos escolares. Compré dos cuadernos que me costaron $16; una agenda $22 más
que los cuadernos; una pluma $25 más que los cuadernos y la agenda juntos; un diccionario que
me costó $78 más que los cuadernos y la pluma juntos; y una mochila $210 más que todo lo
anterior. Si después de estas compras todavía me quedan $38. ¿Cuánto dinero tenía antes de las
compras?
Proceso de solución, anotando los nombres completos de los objetos:
Dos cuadernos =
$16
Agenda = $22 + dos cuadernos
$22 + $16
= $38
Pluma = $25 + dos cuadernos + agenda
$25 + $16 + $38
= $79
Diccionario = $78 + dos cuadernos + pluma
$78 + $16 + 79
= $173
Mochila = $210 + dos cuadernos + agenda + pluma + diccionario
$210 + $16 + $38 + 79 + 173
Gasto = dos cuadernos + agenda + pluma + diccionario + mochila
$16 + $38 + 79 + 173 + $516
= $516
= $822
Me quedan = $38
Cuánto tenía = gasto + lo que me queda
$822 + $38
= $860
Mismo proceso anotando para operaciones posteriores sólo las iniciales de los objetos:
2(c) = $16 ;
( c = $8 )
a = $22 + 2(c)
$22 + $16
;
a = $38
p = $25 + 2(c) + a
$25 + $16 + $38
;
p = $79
d = $78 + 2(c) + p
$78 + $16 + 79
;
d = $173
187
m = $210 + 2(c) + a + p + d
$210 + $16 + $38 + 79 + 173
;
m = $516
g = 2(c) + a + p + d + m
$16 + $38 + 79 + 173 + $516
q = $38
;
;
g = $822
q = $38
t = g+q
$822 + $38
;
t = $860
En este ejemplo hemos utilizado literales (las iniciales), primero para referirnos a los objetos que se
mencionan y después para identificar cada literal con el precio de cada objeto representado con ellas.
2. Flujo de efectivo de una papelería. Una papelería ganó en un primer año, $256,400; al siguiente,
$94,900 más que el año anterior; el tercer año, tanto como los dos años anteriores juntos; en el
cuarto año, tanto como en los tres años anteriores y en el quinto, $121,360 más que lo que ganó
en el primero y el cuarto años juntos. ¿Cuánto ganó en los cinco años?
Procedimiento de nombres largos:
Primer año = $256,400
Segundo año = $94,900 + primer año
$94,900 + 256,400
= $351,300
Tercer año = primer año + segundo año
$256,400 + $351,300
= $607,700
Cuarto año = primer año + segundo año + tercer año
$256,400 + $351,300 + $607,700
= $1’215,400
Quinto año = $121,360 + primer año + cuarto año
$121,360 + $256,400 + $1’215,400
= $1’593,160
Ganancia total = primer año + segundo año + tercer año + cuarto año + quinto año
$256,400 + $351,300 + $607,700 + $1’215,400 + $1’593,160 =
= $4’123,960
188
Procedimiento de nombres cortos:
a1 = $256,400
a2 = $94,900 + a1
$94,900 + 256,400
a3 = a1 + a2
$256,400 + $351,300
a4 = a1 + a2 + a3
$256,400 + $351,300 + $607,700
a5 = $121,360 + a1 + a4
$121,360 + $256,400 + $1’215,400
;
a2 = $351,300
;
a3 = $607,700
;
a4 = $1’215,400
;
a5 = $1’593,160
t = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
$256,400 + $351,300 + $607,700 + $1’215,400 + $1’593,160
;
t = = $4’123,960
Si bien en este ejemplo se utilizó la misma literal (las iniciales de los “años” es la misma), la diferencia
según la secuencia de los años, está en escribirle a cada año un subíndice a partir del primero de
funcionamiento de la papelería y siguiendo en orden cronológico.
3. Compras de Luis. Luis tenía $2,300. Compró un saco y le quedaron $850. ¿Cuánto le costó el
saco?
Luis tenía = $2,300 ;
$2,300 = Saco + $850 ;
Saco = $2,300 – $850 = $1,450
L = $2,300 ;
$2,300 = S + $850 ;
S = $2,300 – $850 = $1,450
Ejemplo sencillo en donde es claro y simple el uso de las literales.
4. ¿Cuánto dinero tiene Pedro? Si Pedro tuviera $47 más de los que tiene, tendría $190. ¿Cuántos
pesos tiene su hermano Alberto si Pedro tiene $65 más que Alberto?
Primero utilizaremos los nombres completos:
Pedro + $47 = $190 ;
Alberto + $65 = Pedro ;
Pedro = $190 – $47 = $143
Alberto + $65 = $143 ;
Alberto = $143 – $65 = $88
Ahora, sólo con las iniciales:
P + $47 = $190 ;
A + $65 = P ;
P = $190 – $47 = $143
A + $65 = $143 ;
189
A = $143 – $65 = $88
5- El duplo de dos números. El duplo del menor de dos números es 618 y la suma de ambos 673.
Hallar el número mayor.
Nombres completos:
Duplo del menor = 618 ;
Suma de ambos =
Dos veces el menor = 618 ;
Mayor + menor = 673 ;
El menor = 618 / 2 = 309
Mayor = 673 – menor = 673 – 309 =
Mayor = 364
Iniciales:
2 (m) = 618 ;
S = M + m = 673 ;
m = 618 / 2 = 309
M = 673 – m = 673 – 309 = 364
6. El triplo de la suma de dos números es 63 y el duplo del menor es 20. Hallar el mayor.
Completos los nombres:
Triplo de la suma = 63 ;
Tres veces la suma = 63 ;
La suma = 63 / 3 = 21
Duplo del menor = 20 ;
Dos veces el menor = 20 ;
El menor = 20 / 2 = 10
Mayor + menor = 21 ;
Mayor = 21 – menor = 21 – 10 = 11
Sólo sus iniciales:
3 (s) = 63 ;
s = 63 / 3 = 21
2 (m) = 20 ;
m = 20 / 2 = 10
M + m = 21 ;
M = 21 – m = 21 – 10 = 11
En este ejemplo se utilizó la misma literal (M y m), la diferencia es que una es mayúscula para el
número mayor, y la otra minúscula para el menor.
190
7. La diferencia de dos números es 8 y el mayor excede a la diferencia en 12. Hallar los números, el
menor y el mayor.
Nombres completos:
Mayor – menor = diferencia ;
Mayor – menor = 8 ;
Mayor = diferencia + 12 ;
Mayor = 8 + 12 = 20 ;
Mayor – menor = 8 ;
Sólo iniciales, para abreviar:
menor = Mayor – 8 = 20 – 8 = 12
M – m = d ;
M – m = 8 ;
M = d + 12 ;
M = 8 + 12 = 20 ;
M – m = 8 ;
m = M – 8 = 20 – 8 = 12
8. Se compraron 8 libros a $200 cada uno, 5 lapiceros a $100 cada uno y 4 plumas fuentes a $300
cada una. Si se vende todo en $3150 ¿ cuánto se ganó o se perdió?
Procedimiento largo:
1 libro = $200 ;
8 libros = 8 ($200) =
$1,600
1 lapicero = $100 ;
5 lapiceros = 5 ($100) =
1 pluma = $300 ;
4 plumas = 4 ($300) =
$500
$1,200
Total de compra =
Venta – compra =
$3,300
$3,150 – $3,300 = – $150 ;
Se perdió $150
Procedimiento corto, usando literales:
b = $200 ;
8 (b) = 8 ($200) =
$1,600
a = $100 ;
5 (a) = 5 ($100) =
$500
p = $300 ;
4 (p) = 4 ($300) =
$1,200
c=
$3,300
V–c=
$3,150 – $3,300 = – $150 ;
Se perdió $150
191
9. Lápices por docena. Se compran 216 docenas de lápices a $50 la docena. Si se venden a razón de
de $10 cada 2 lápices ¿cuál es el beneficio obtenido?
Nombres completos:
1 docena = $50 ;
216 docenas = 216 ($50) =
2 lápices = $10 ;
216 docenas de lápices = 216 (12) =
Pares de lápices =
2592 / 2 = 1296
Venta = pares de lápices x $10 = 1296 x $10 =
Venta – compra =
$10,800 = compra
2592 lápices
$12,960
$12,960 – $10,800 = $2,160 ;
Se ganó $2,160
Literales de los elementos:
d = $50 ;
216 (d) = 216 ($50) =
$10,800 = c
2 a = $10 ;
216 (d) = 216 (12) =
2592 a
a/2=p ;
p = 2592 / 2 = 1296
V = p x $10 = 1296 x $10 =
V–c=
$12,960
$12,960 – $10,800 = $2,160 ;
Se ganó $2,160
10- Si 14 libros cuestan $840. ¿cuánto costarán 9 libros?
En largo:
14 libros = $840 ;
1 libro = $840 / 14 = $60 ;
9 libros = 9 ($60) = $540
b = $840 / 14 = $60 ;
9 (b) = 9 ($60) = $540
En corto:
14 (b) = $840 ;
192
11- ¿Cuántos sombreros? Si 19 sombreros cuestan $5,700 ¿cuántos sombreros se podrán comprar
con $10,800?
Con los nombres:
19 sombreros = $5,700 ;
1 sombrero = $5,700 / 19 = $300 ;
$10,800 = número de sombreros (precio sombrero) ;
$10,800 = número de sombreros ($300) ;
número de sombreros = $10,800 / $300 = 36
Con las literales:
19 s = $5,700 ;
s = $5,700 / 19 = $300 ;
$10,800 = n (s) ;
$10,800 = n ($300) ;
n = $10,800 / $300 = 36
Ejercicios
1. Tenía $928. Compré dos camisas y me quedaron $496 ¿cuánto me costaron las camisas?
2. Si 5 libros cuestan $35 ¿cuánto costarán 2 docenas?
3. Pagué por un pantalón $256 y por el trasporte $15. Si me quedaron $319 ¿cuánto tenía al
principio?
4. Salí de casa a realizar algunas compras para la escuela. Llevaba $205, compré un cuaderno de
$18; un libro $19 más que el cuaderno; un portafolios $42 más que el cuaderno y el libro juntos. Si
al volver a casa tenía $32:
a) ¿Cuánto gasté en los útiles escolares?; y b) ¿cuánto pagué por pasajes?
5. En el traslado de una ciudad a otra una persona recorre: en automóvil 83 kilómetros; en ferrocarril
147 km más que en automóvil; a caballo 26 km menos que en automóvil y ferrocarril juntos. Si
todavía le faltan 59 km para llegar a su destino ¿cuál es la distancia entre estas dos ciudades?
6. Hallar la edad de un padre que tiene 19 años más que la suma de las edades de sus tres hijos
sabiendo que el menor tiene 3 años; el de en medio 2 años más que el menor, y el mayor tantos
años como sus dos hermanos menores juntos.
7. Si Pedro tuviera 12 años menos tendría 48, y si Javier tuviera 13 años menos tendría 23 ¿cuántos
años es menor Javier que Pedro?
193
8. La suma de un número con su duplo (dos veces) es igual a 51. Hallar el número.
9. Si sumamos un número con su triplo (tres veces) es igual a 68. Hallar el número.
10. La suma de dos números es 423 y uno de ellos es 197. Hallar el otro.
11. El menor de 4 hermanos tiene 18 años y entre cada uno hay tres años de diferencia, ¿cuál es la
suma de las edades de los 4?
12. Pedro tiene el doble de la edad de Juan. Si la suma de sus edades es igual a 54 ¿cuántos años
tiene cada uno de ellos?
13. La suma de las edades de Enrique y su padre es igual a 90. Si Enrique nació cuando su padre
tenía 34 años ¿qué edades tienen hoy día Enrique y su padre?
14. Un hotel de dos pisos tiene 46 habitaciones, y en el segundo piso hay 8 habitaciones más que en
el primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada piso?
15. Hoy la edad de Juan es cuatro veces la de Bruno, y cuando Bruno nació Juan tenía 12 años.
Hallar sus edades actuales.
16. La edad de Carlos es tres veces la de Mauricio, y si sus edades se suman el resultado es 52.
¿qué edades tienen Carlos y Mauricio?
Ligas externas
•
El Álgebra de Baldor es uno de los libros más conocidos en Latinoamérica; se dice que se lee
más que el Quijote. En la página siguiente se puede acceder al contenido, procedimiento y
solución de cualquiera de sus ejercicios.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm (Agosto 2005).
* Ejercicios elementales de álgebra: http://www.phy6.org/stargaze/Malgeb1A.htm (Agosto 2007).
Ilustraciones
•
Página 1: Portada del libro Álgebra, de Baldor, con una imagen de Al-Juarismi.
http://www.cordoba.gov.co/monteria/imagenes/algebra_baldor_portada.jpg
(Julio 2007).
194
Matemáticas 1
Álgebra
2. Transcripción del lenguaje común al algebraico
Propósito:
El estudiante aprenderá a transcribir los ejercicios de texto o de cualquier modelo de
la realidad al lenguaje del álgebra. Lenguaje que le ayudará a construir, desarrollar
y resolver ejercicios de variada índole.
Introducción al lenguaje algebraico: cómo traducir frases a literales, afirmaciones a igualdades.
Siguen tres ejemplos donde se realiza esta conversión y se contestan las preguntas.
Traducción
Le
alg ngu
eb aje
rai
co
Aplicación
Desarrollo
ión
luc ica
So bra
e
alg
,
ci o ,
i
c
r
o
Eje ertij ia o
c
a en c a
urr blem
c
o ro
p
Traducción
So
luc
rea ión
l
Iniciaremos por transcribir expresiones sencillas y poco a poco iremos resolviendo enunciados más
elaborados.
Transcribamos las siguientes frases numéricas al lenguaje algebraico, pensando en la forma de
representar de manera más compacta lo que se pide. Imaginando y escribiéndolo nos será más fácil
habilitarnos y ejercitarnos en las reglas de operación del álgebra:
195
1. Un número cualquiera
:
n
2. La suma de dos números
:
a+b
3. La suma de tres números
:
d+f+h
4. La diferencia de dos números
:
p–q
5. La suma de dos números menos otro número
:
(a+b)–c
6. El cociente de dos números
:
r/s
7. El cociente de la diferencia de dos números entre el minuendo
:
(c–d)/c
8. El doble del cubo de un número
:
2g3
9. La quinta parte del producto de dos números
:
xy / 5
10. El triple de la suma de dos números
:
3( g + h )
11. El producto de dos números entre su diferencia
:
ab / ( a – b )
12. El producto de dos números disminuido en cinco unidades
:
fg – 5
Ahora, hagamos el ejercicio inverso:
1. a + b
:
la suma de dos números
2. xyz
:
el producto de tres números
3. 3( f – g )
:
el triple de la diferencia de dos números
4. dh / k
:
el cociente del producto de dos números entre otro
5. bc / 2
:
la mitad del producto de dos números
6. a2 – b3
:
la diferencia del cuadrado de un número menos el cubo de otro
7. 2( x + y )
:
el doble de la suma de dos números
8. a2 / 3
:
un tercio del cuadrado de un número
9. ( g + h ) / gh
:
el cociente de la suma de dos números entre su producto
196
10.
3d2 / 5
:
tres quintos del cuadrado de un número
11.
( m + n )2 / 3
:
un tercio del cuadrado de la suma de dos números
12.
2n – 1
:
un número impar
Ejercicios iniciales
Transcribe las siguientes frases numéricas al lenguaje algebraico:
1. El cuadrado de un número cualquiera :
2. El doble de un número más otro número :
3. La diferencia del cuádruplo de un número menos otro número :
4. El triple de la diferencia de dos números :
5. La suma de dos números menos la diferencia de ellos mismos :
6. El producto de tres números entre la suma de ellos :
7. El cociente del triple de la diferencia de dos números entre el doble de su producto :
8. El cociente de la unidad entre cinco veces la suma de tres números :
9. Dos tercios de la suma de tres números más uno de ellos al cuadrado :
10.
El cubo de un número entre la suma de otros dos números :
Transcribe las siguientes expresiones algebraicas a frases numéricas:
1.
c + 2d
:
2.
3ab – 2a
:
3.
3( x – y ) + z
:
4.
( m – n ) / 2q
:
5.
pq / 2( p + q )
:
6.
( m2 – n 2 ) / 3
:
7.
( a – b )2 / 2
:
197
8.
c2d2 / ( c + d )
:
9.
(y+z)(y–z)
:
πd
:
10.
¿Qué tipo de problemas podemos resolver con el álgebra?
1. Las 48 fichas
Se nos plantea el siguiente acertijo: con 48 fichas, divididas en 3 montones, se nos pide que pasemos
del primer montón al segundo tantas fichas como hay en el segundo, después pasemos del segundo
montón al tercero tantas fichas como hay en el tercero y, finalmente, pasemos del tercer montón al
primero tantas fichas como ahora hay en el primero (recordemos que ya se pasaron fichas de este
montón al segundo). Si en este momento tenemos el mismo número de fichas en los 3 montones
¿Cuántas fichas hay en cada montón al final del juego? y ¿cuántas fichas había en cada montón
antes de iniciar el juego?
Propongamos los tres montones como A, B y C. Para la primera respuesta nos basta con dividir el
total de las fichas (48 en total) entre el número de montones (3). Esto es: 48/3 = 16.
Al final del juego en cada montón habrá 16 fichas.
Para encontrar el número de fichas en la posición inicial recurriremos al álgebra.
Primero debemos aclarar la posición inicial, aquí está:
Montón :
A
tiene
A fichas, ni una más pero ni una menos, sólo A
B
tiene
B fichas, mm… B fichas
C
tiene
C fichas , sí C
Aclarada tal posición, iniciaremos el juego del álgebra:
1er movimiento:
montones:
del montón A al B tantas fichas como hay en B:
A
B
C
A–B
2B
C
A–B
2B – C
2C
2(A – B)
2B – C
2C – (A – B)
16
16
16
2o movimiento:
del montón B al C tantas fichas como hay en C:
3er movimiento y posición final:
del montón C al A tantas fichas como hay en A:
Número de fichas por montón:
198
Hemos seguido al pie de la letra cada uno de los movimientos o los pasos del acertijo; restando aquí
y añadiendo allá tantas fichas como se nos ha indicado, de modo que las letras nos señalan la
relación que guardan los valores que representan (sí, la relación de sus valores). Y este es
precisamente el gran juego del álgebra.
Tenemos entonces, tres expresiones para buscar nuestra respuesta:
2(A – B) = 16
;
2B – C = 16
(A – B) = 8
,
sustituyendo por el valor de (A – B)
2C – (A – B) = 16
;
,
2C – (8) = 16
2C = 16 + 8 = 24
C = 12
Sustituyendo el valor de C ,
2B – 12 = 16
2B = 16 + 12 = 28
B = 14
Sustituyendo el valor de B
(A – 14) = 8
A = 8 + 14
A = 22
Dando respuesta a las preguntas del acertijo, tenemos:
Posición Inicial:
A = 22 fichas ,
B = 14 f ,
C = 12 f
Posición Final:
A = 16 f ,
B = 16 f ,
C = 16 f
Comprueba con el arreglo de la posición inicial encontrada y siguiendo los movimientos, como marca
el acertijo, que se obtiene el resultado pedido.
En el álgebra las literales representan números y éstos son la representación de literales, aunque a
veces dichos valores estén un poco escondidos. También hay casos en que el valor de las literales no
está tan oculto, por ejemplo, en la expresión: πd (con la que encontramos el perímetro del círculo).
Sabemos cuál es el valor de π (= 3.1416), no así el del diámetro (representado por la d); por otro lado,
sabemos que π es la relación guardada entre el diámetro y la circunferencia de todo círculo. En fin, el
álgebra nos permite transcribir a su lenguaje expresiones en lenguaje llano y mediante sus reglas de
operación llevar esos acertijos, modelos y ejercicios a su correcta relación y posterior solución
numérica.
199
2. La suma de tres números consecutivos es 171
Siguiente acertijo. Encontrar tres números naturales consecutivos cuya suma es igual a 171.
Proponemos
m , m+1 , m+2
, entonces
m + (m+1) + (m+2) = 171
m + m+1 + m+2 = 171
3m + 3 = 171
3m = 171 – 3 = 168
Tales números son:
m = 56
m+1 = 57
,
y
m = 56
m+2 = 58
El álgebra es tan consistente que aún cambiando la referencia de las literales, siempre y cuando la
relación que guardan esté sólidamente establecida, nos llevará al mismo resultado.
Cambiemos la referencia de las literales del ejercicio anterior.
Ahora tenemos
n-1 , n , n+1
(n-1) + n + (n+1) = 171
,
n-1 + n + n+1 = 171
3n = 171
n = 57
Tales números son:
n-1 = 56
n = 57
,
y
n+1 = 58
Aún más, un último arreglo:
Ahora tenemos
p-2 , p-1 , p
(p-2) + (p-1) + p = 171
,
p-2 + p-1 + p = 171
3p – 3 = 171
3p = 171 + 3 = 174
p = 58
Tales números son:
p-2 = 56
,
p-1 = 57
y
p = 58
Las tres formas de relacionar la propuesta del acertijo son consistentes, como nos damos cuenta en
el resultado. Esto hay que analizarlo. Aquí el examen:
En la primera propuesta privilegiamos al número menos, los otros dos están después de él;
En la segunda el número privilegiado es el de en medio, los otros dos lo escoltan y;
200
En la tercera el privilegio es para el número mayor, los otros dos son los dos anteriores.
De manera que si la relación que construimos es consistente y aplicamos y desarrollamos
adecuadamente las reglas del álgebra, nuestros resultados serán correctos.
3. Último ejemplo ¿complicado?
Un último ejercicio muy complicado. Un número es multiplicado por seis, después se le añaden
quince unidades al producto, a continuación se restan cuarenta unidades a esa suma y, finalmente,
toda esa diferencia es dividida entre 25 obteniéndose 71 como cociente. ¿De qué número se trata?
En verdad, complicado ¿Tú lo crees? Si ya estamos practicando el álgebra no lo será tanto.
Comencemos:
Un número, ¿cuál escogemos?, ¿qué tal m, el número misterioso? Apliquémosle lo que nos dice el
acertijo en el orden en que se nos propone.
a) lo multiplicamos por 6, tenemos entonces 6m;
b) añadimos 15 al producto, 6m + 15;
c) a esta suma le restamos 40, (6m + 15) – 40;
d) y a esta diferencia la dividimos entre 25 y obtenemos 71,
((6m + 15) – 40)
25
= 71. ¿Cuál es el valor de m?
… m… m… pues ni tan complicado.
Despejemos la m, es el único camino. Recorramos el camino en sentido inverso:
Paso inverso de d) multiplicamos por 25, (6m + 15) – 40 = 71 x 25 = 1775;
Paso inverso de c) sumamos 40, 6m + 15 = 1775 + 40 = 1815;
Paso inverso de b) restamos 15, 6m = 1815 – 15 = 1800;
Paso inverso de a) dividimos entre 6 , m = 300
¡Número mmisterioso, te atrapamos,
estás descubierto!
Sólo álgebra. Transcripción a su lenguaje y aplicación correcta de sus operaciones.
Así es el álgebra: consistente, certera, eficaz, contundente, firme, sólida, acertada, segura,
indefectible, contundente, rotunda, oportuna, precisa, etc. Podemos decir que el panorama de las
Matemáticas, se consolida y se expande con el álgebra como una de sus herramientas.
201
Ejercicios
1. El triple de un número añadido en cinco unidades da como resultado 56, ¿cuál es ese número?
2. El cuádruplo de un número disminuido en siete unidades da como resultado 321. Hallar ese
número.
3. Dividiendo por tres el resultado de la suma del doble de un número aumentado en once unidades
arroja como valor 113. ¿De qué número se trata?
4. El resultado de restarle cuarenta unidades a un número y de este resto tomar tres quintas partes,
es 36, encuentra ese número.
5. Con 128 fichas, divididas en 4 montones, se nos pide que pasemos del primer montón al segundo,
tantas fichas como hay en el segundo, después pasemos del segundo montón al tercero tantas
fichas como hay en el tercero, posteriormente del tercer montón al cuarto tantas fichas como hay
en el cuarto y, finalmente, pasemos del cuarto montón al primero tantas fichas como ahora hay en
el primero (recordemos que ya se pasaron fichas de este montón al segundo). Si en este
momento tenemos el mismo número de fichas en los 4 montones, ¿cuántas fichas hay en cada
montón al final del juego? y ¿cuántas había en cada montón antes de iniciar el juego?
Este último ejercicio tiene el mismo desarrollo que uno de los que resolvimos líneas arriba con las
variaciones de un montón más, y desde luego el aumento de fichas.
6. Intenta el mismo desarrollo con 5 montones y 320 fichas.
Glosario
Álgebra: parte de las Matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas
empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra
entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama
incógnita. (www.rae.es).
Ligas externas
* Lenguaje algebraico: breve introducción:
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/ale1.htm (Agosto 2007).
* En junio del 2007, Google proporcionó más de 43 millones de lugares donde aparece la palabra
álgebra. El primero es de Wikipedia. Copió algunos que pueden ser interesantes:
http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra.htm
202
“El término álgebra viene del título de la obra del matemático árabe Mahommed ibn Musa al-Kharizmi,
que significa Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm, al-jebr w'al-muqabalah, que quiere decir
transposición y eliminación”
* Otra opción es
http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/algebra.html
Aquí encontrarás todos los ejercicios y recursos para el estudio del álgebra con los que contamos
hasta el momento. Los ejercicios están en formato .xls por lo que necesitas el programa Excel para
utilizarlos.
Ilustraciones
•
Algunas lenguas: http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Brain-and-Cognitive-Sciences/9-402Languageand-ThoughtFall2002/CourseHome/index.htm (Agosto 2007).
203
Matemáticas 1
Álgebra
3. Uso de fórmulas y evaluación de expresiones algebraicas
Propósito:
El estudiante aprenderá a construir modelos a través de expresiones algebraicas
que le faciliten el proceso de obtención de soluciones a ejercicios y acertijos.
¿Qué es un modelo matemático? Dada una situación o un problema, real o imaginario,
frecuentemente es posible traducirlo al lenguaje de las Matemáticas usando instrumentos
algebraicos, y resolver el problema. Una vez resuelto, la solución se sustituye en el problema inicial.
Un modelo matemático es la traducción de un problema al lenguaje algebraico. En esta sección se
verán varios ejemplos de modelos matemáticos.
Ejemplo sencillo de un modelo matemático: ¿Cuál es el perímetro de la mesa? Sigue las flechas y
date cuenta del proceso.
b
a
mesa
rectángulo
a
70cm
¿Cuál es el perímetro?
Traducción
b
120cm
Aplicación
Desarrollo
Traducción
2(70) + 2(120) =
= 140 + 240 =
a+b+a+b=
= 2a + 2b
perímetro = 380cm
Cuando pensamos en modelos tenemos la creencia, en general, de estructuras complicadas. Las hay
de gran elaboración, desde luego, pero también de sólida simplicidad. Por ejemplo:
¿Sabes de un modelo con el cual obtengamos el perímetro de un rectángulo?
¿Sería ese un modelo? Claro que sí. Recuerda cómo es.
204
Se asemeja
Mejora
Así está bien
lad
oc
ort
o
De sus cuatro lados son iguales por parejas. Dos son iguales entre sí y diferentes de los otros dos
que a su vez son iguales entre ellos. Señalemos esto sobre un rectángulo.
lad
o la
rgo
Los lados largos son iguales entre sí,
mientras que los lados cortos cumplen con
lo mismo.
lad
oc
ort
o
Un lado largo y un lado corto son
diferentes en sus longitudes.
lad
o la
rgo
El modelo que nos da cuenta del perímetro es: 2 lados largos + 2 lados cortos.
Este modelo lo conocemos como “la fórmula del perímetro del rectángulo” y lo (a) hemos, según sea
el modelo o la fórmula, visto escrita de forma más compacta como:
Perímetro del rectángulo = 2L + 2l = 2(L + l), donde L = lado largo y l = lado corto.
¿Por qué modelo? Porque se está “modelando” en él a todos los posibles rectángulos, puesto que
todos cumplen con las características señaladas líneas arriba.
Desmenucemos este ejemplo.
El modelo o fórmula:
2L + 2l
Los parámetros:
L y l
o
2(L + l)
205
Sabemos que con este modelo encontraremos el perímetro del rectángulo. El modelo es sólido.
o
lad
do
La
o
lad
Ejemplo 1
do
La
Sólo necesitamos las longitudes de los
lados para aplicar la fórmula y como
consecuencia obtener el resultado de ese
rectángulo en particular.
Un rectángulo tiene las siguientes longitudes en sus lados, 4cm y 7cm, ¿cuál es su perímetro?
Sustituimos en la fórmula:
o:
2L + 2l =
2(7cm) + 2(4cm) = 14cm + 8cm = 22 cm.
2(L + l) =
2(7cm + 4cm) = 2( 11cm ) = 22 cm.
Ejemplo 2
Las longitudes de los lados de un rectángulo son las siguientes: el lado largo 18cm y el lado corto 2/3
del lado largo, ¿cuál es su perímetro?
Sustituimos en la fórmula:
o:
2L + 2l =
2(18cm.) + 2(2/3(18)cm.) = 36cm. + 2(12cm.) =
= 36cm. + 24cm. = 60cm.
2(L + l) =
2(18cm. + (2/3(18)cm.) = 2(18cm. + 12cm.) =
2(30cm.) = 60cm.
=
Perímetros
Los lados, también son llamados “base”, el lado horizontal o por extensión los lados horizontales, y
“altura”, el lado o lados verticales. Pero ¿qué tal si el rectángulo no tiene ninguno de sus lados en
horizontal o vertical (uno conlleva al otro)? ¿Cómo los nombraríamos? Dejémoslos para generalizar
en lado “A” y lado “B”.
altura
B
Rectángulos
como estos:
do
La
oA
la d
base
206
Si tenemos la fórmula (modelo) del perímetro del rectángulo, podemos construir una tabla
aumentando una unidad, sucesivamente, a cada uno de los lados del rectángulo. Hagámoslo:
Lados
B
1
2
3
4
5
6
7
A
2A
Perímetro
2B
2
4
6
8
10
12
14
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
7
14
8
16
9
18
4
6
8
10
12
14
16
6
8
10
12
14
16
18
8
10
12
14
16
18
20
10
12
14
16
18
20
22
12
14
16
18
20
22
24
14
16
18
20
22
24
26
16
18
20
22
24
26
28
18
20
22
24
26
28
30
20
22
24
26
28
30
32
(Las referencias a los colores acordarlas con tu profesor(a)).
Algunas notas sobre esta tabla, tomando al lado A como el lado largo:
1. El triángulo de los números en color negro (enmarcados por un triángulo en color verde oscuro), es
suficiente para la obtención de los perímetros. El triángulo de los números en color verde claro es
igual al de los números enmarcados (obsérvalo, es de fácil comparación).
2. La diagonal, en números color verde oscuro, está conformada por los perímetros de rectángulos
cuyos lados son iguales, o sea, por cuadrados. Esto nos dará otra fórmula;
Aquí la revisamos: Perímetro del rectángulo = 2(A + B), si A = B, entonces tenemos un cuadrado
y su Perímetro = 4A, o bien 4B, según el lado que escojamos.
Recordemos cómo se obtiene el perímetro de los rectángulos.
40m
33
m
33
m
40m
40m
40m
33
m
33
m
146 m
207
Superficie del rectángulo
Con esta idea, ahora utilizando la fórmula (modelo) para obtener la superficie (o área) del rectángulo,
podemos también construir la tabla de las superficies:
Lados
B
1
2
3
4
5
6
7
A
1
Superficie
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
6
8
10
12
14
3
6
9
12
15
18
21
4
8
12
16
20
24
28
5
10
15
20
25
30
35
6
12
18
24
30
36
42
7
14
21
28
37
42
49
8
16
24
32
40
48
56
9
18
27
36
45
56
63
(Las referencias a los colores acordarlas con tu profesor(a)).
Igual que líneas arriba: Algunas notas, tomando al lado A como el lado largo:
1. El triángulo de los números en color negro (enmarcados por un triángulo en color morado oscuro),
es suficiente para la obtención de los perímetros. El triángulo de los números en color morado
claro es igual al de los números enmarcados (es de fácil comparación).
2. La diagonal, en números color morado oscuro, está conformada por los perímetros de rectángulos
cuyos lados son iguales, o sea, por cuadrados. Esto nos dará otra fórmula;
Superficie del rectángulo = A x B, si A = B, entonces tenemos un cuadrado y su
superficie = A2, o bien B2, según el lado que escojamos.
¿Cómo se obtiene la superficie de los rectángulos?
5m
m2
35m2
7m
208
Superficie y volumen del prisma rectangular
Otro modelo. Desarrollemos la tabla de las superficies y los volúmenes de un prisma triangular. ¿Cuál
es su modelo?
Dibujemos un prisma triangular y descompongámoslo en sus elementos:
Parte 1. Superficie del prisma triangular = superficie de las dos caras triangulares más las superficies
de las tres caras rectangulares.
Cara rectangular
lateral izquierda
Cara
trian
supe gular
rior
Cara
recta
post ngular
erior
Cara
trian
inferio gular
r
Prisma Triangular
Cara r
ngula
recta ral
late
ha
derec
En este ejemplo iremos aumentando paulatinamente la altura del prisma en una unidad, dejando fijas
las medidas de los triángulos extremos (dos lados = 5 y el otro lado = 6).
Medidas fijas
Triángulos extremos
Base
Altura
b
a
Superficies (2)
Caras
Triangulares
(b.a)/2 (dos veces)
Rectángulos
laterales (2)
Base
Altura
u2
B
H
Rectángulo
posterior
Base
Altura
B.H(2)
L
H
u2
6
4
12 + 12
5
1
10
6
1
2
u
6
4
12 + 12
5
2
20
6
2
2
u
6
4
12 + 12
5
3
30
6
3
6
4
12 + 12
u2
5
4
40
6
4
2
u
6
4
12 + 12
5
5
50
6
5
2
u
6
4
12 + 12
5
6
60
6
6
u2
6
4
12 + 12
5
7
70
6
7
2
u
6
4
12 + 12
5
8
80
6
8
2
u
6
4
12 + 12
5
9
90
6
9
2
u
6
4
12 + 12
5
10
100
6
10
u2
6
4
12 + 12
5
11
110
6
11
(Para simplificar la notación, frecuentemente escribiremos a.b en vez de a x b: a por b).
209
L.H u2
6
12
18
24
30
36
42
48
56
60
66
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
Desarrollada esta tabla, sólo hace falta sumar las cantidades que se encuentran en las siguientes
columnas:
(b.a)/2 (dos veces)
+
Las dos caras
triangulares
B.H(2)
+
L.H
Las dos caras
rectangulares laterales
Caras
Triangulares (2)
y que corresponden a
La cara rectangular
posterior
Rectángulos
laterales (2)
Rectángulo
posterior
Superficie total
del Prisma Triangular
(b.a)/2 (dos veces)
u2
B.H(2)
L.H
u2
(b.a)/2 (2) + B.H(2) + L.H
u2
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
40
56
72
88
104
120
136
152
168
184
200
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
Altura del prisma
Parte 2. Volumen del prisma triangular = superficie de la base triangular por la altura del prisma.
Bas
Prisma Triangular
210
r
ngula
e tria
or
inferi
Medidas fijas
Triángulo base
Base
Altura
b
a
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Superficie
Triángulo base
(b.a)/2
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
u
2
Medida variable
Altura del prisma
H
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Volumen del prisma
(b.a.H)/2
u3
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
Superficie y volumen de la esfera
Un penúltimo modelo con su tabla respectiva. La superficie y el volumen de la esfera.
¿Cómo obtenerlos? Mmm… a través de las fórmulas:
“Superficie de la esfera” = 4πr2 y “Volumen de la esfera” = 4/3 πr3.
Ejemplo 3. Desarrollemos una tabla para la superficie y el volumen de la esfera, aumentando, de
manera sucesiva, su radio en una unidad.
211
Superficie
πr
2
Radio
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
4πr
2
3.1416
12.5664
28.2743
50.2655
78.5398
113.0973
153.9380
201.0619
254.4690
314.1593
380.1327
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
Volumen
2
12.566
50.265
113.097
201.062
314.159
452.389
615.752
804.248
1017.876
1256.637
1520.531
r
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
u2
πr
3
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
4/3 πr3
3
3.141
25.132
84. 823
201.061
392.699
678.584
1077.566
1608.495
2290.221
3141.592
4181.459
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
4.189
33.510
113.097
268.083
523.599
904.779
1436.755
2144.661
3053.628
4188.790
5575.280
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
u3
Ahora sí, el último modelo. ¡Y qué modelo!
¿Cómo convertir Grados Celsius a Grados Fahrenheit y viceversa?
Buscando en algún libro de física, encontramos que estas conversiones son así:
Grados Fahrenheit = 9/5 Grados Celsius + 32.
Grados Celsius = 5/9 (Grados Fahrenheit – 32).
Sabiendo cómo convertir grados de temperatura de una escala a otra, construyamos tablas que nos
sirvan para compararlas y que tengan utilidad práctica: el punto de congelación del agua simple, la
temperatura del medio ambiente, la temperatura corporal y el punto de ebullición del agua. Como la
escala que nos es familiar es la Celsius, haremos nuestras tablas partiendo de ésta.
Punto de Congelación del Agua
9/5 °C
°C
Temperatura del Medio Ambiente
9/5 °C + 32
°F
°C
9/5 °C
9/5 °C + 32
°F
–5
–4
–3
–2
–1
– 9.0
– 7.2
– 5.4
– 3.6
– 1.8
23.0
24.8
26.6
28.4
30.2
15
16
17
18
19
27.0
28.8
30.6
32.4
34.2
59.0
60.8
62.6
64.4
66.2
0
0
32.0
20
36.0
68.0
1
2
3
4
5
1.8
3.6
5.4
7.2
9.0
33.8
35.6
37.4
39.2
41.0
21
22
23
24
25
37.8
39.6
41.4
43.2
45.0
69.8
71.6
73.4
75.2
77.0
212
Punto de Congelación del Agua
Grados Celsius
0
-5
-4
-3
-2
-1
23.0
24.8
26.6
28.4
30.2
1
32.0 33.8
2
3
4
5
6
35.6
37.4
39.2
41.0
42.8
22
23
24
25
26
71.6
73.4
75.2
77.0
78.8
Grados Fahrenheit
Temperatura del Medio Ambiente
Grados Celsius
20
15
16
17
18
19
59.0
60.8
62.6
64.4
66.2
21
68.0 69.8
Grados Fahrenheit
Temperatura Corporal
9/5 °C
°C
Punto de Ebullición del Agua
9/5 °C + 32
°F
°C
9/5 °C
9/5 °C + 32
°F
35.0
35.5
36.0
36.5
37.0
63.0
63.9
64.8
65.7
66.6
95.0
95.9
96.8
97.7
98.6
95
96
97
98
99
171.0
172.8
174.6
176.4
178.2
203.0
204.8
206.6
208.4
210.2
37.5
67.5
99.5
100
180.0
212.0
38.0
38.5
39.0
39.5
40.0
68.4
69.3
70.2
71.1
72.0
100.4
101.3
102.2
103.1
104.0
101
102
103
104
105
181.8
183.6
185.4
187.2
189.0
213.8
215.6
217.4
219.2
221.0
213
Temperatura Corporal
Grados Celsius
35
35.5
36
36.5
95.0
95.9
96.8
97.7
37
37.5
38
38.5
39
39.5
40
40.5
98.6 99.5 100.4 101.3 102.2 103.1 104.0 104.9
Grados Fahrenheit
Punto de Ebullición del Agua
Grados Celsius
95
96
97
98
99
203.0
204.8
206.6
208.4
210.2
100
101
102
103
104
105
106
212.0 213.8 215.6 217.4 219.2 221.0 222.8
Grados Fahrenheit
Resumen
Finalmente, analicemos algunos detalles de nuestros modelos:
Modelo para el perímetro del rectángulo, de donde abarcamos también el modelo para la superficie
del rectángulo:
1. La obtención del perímetro tiene una fórmula o “modelo” simple. Sustituyendo de forma
adecuada los valores en la formula, la obtención del resultado es sencillo.
2. Para la confección de la superficie, de modo similar al del perímetro, el “modelo” es accesible y
de fácil comprensión y manejo.
Modelo para la superficie y volumen del prisma triangular (recuerda que en este modelo, los
triángulos extremos se mantuvieron fijos):
1. Para el logro de la superficie la fórmula es laboriosa, por lo que requiere de mucha atención
durante el desarrollo de las operaciones.
2. En la búsqueda del volumen la fórmula o “modelo” es de aplicación simple.
214
Modelo para la superficie y volumen de la esfera:
1. Para la fabricación de la superficie y el volumen las dos fórmulas son sencillas, pues sólo
dependen de una medida “el radio de la esfera”. Hay que tener presentes las dos fórmulas o
modelos y aplicarlos con atingencia.
Finalmente, el modelo para la conversión o transformación de escalas de grados de temperatura
(Celsius y Fahrenheit):
1. Para la conversión es necesario despejar de una fórmula a otra, según la escala de la que se
parte y hacia la que se desea arribar. Las fórmulas o modelos para cualquiera de las
transformaciones están dadas, sólo resta aplicarlas de forma correcta.
Como te das cuenta, las fórmulas o modelos nos ayudan en la solución de acertijos y ejemplos, son
tan sencillas o elaboradas, según sea el patrón que se trata de reproducir en ellos. Las fórmulas o
modelos ya estructurados son también una herramienta que nos permite acceder a soluciones de
manera más segura, claro, siempre que tengamos puesta nuestra atención en el desarrollo de las
fórmulas.
Las fórmulas son el resultado de la generalización de ejercicios, por lo tanto más que aprenderlas de
memoria hay que recrear con imaginación y creatividad modelos que nos faciliten la obtención de
resultados. Es cierto que hay fórmulas que debemos memorizar, pero si éstas las aplicamos de
manera atinada, seguro llegaremos a construir modelos muy ingeniosos y elaborados.
Ejercicios
1. Construye las tablas necesarias para convertir en ambos sentido las siguientes unidades:
a. Centímetros y pulgadas
b. Kilogramos y libras
c. Litros y galones
d. Hectáreas y acres
e. Kilómetros y millas
f. Metros y yardas
Nota. La segunda unidad de cada ejercicio pertenece al Sistema Métrico Inglés, busca su
equivalencia con el Sistema Métrico Decimal.
2. Fabrica las tablas de las fórmulas o modelos para la obtención de:
a. La Superficie de los cubos
b. El Volumen de los cubos
c. La Superficie y el volumen del cilindro, manteniendo la altura igual a 5cm. y aumentando el
radio, de un cilindro al siguiente, en 1cm.
d. La Distancia recorrida por un auto a una velocidad de 45 km/h, en un tiempo de 15 horas.
215
3. Busca en el diccionario de la RAE la definición matemática de Fórmula. http://www.rae.es
Glosario
Modelo matemático: una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o
fenómeno del mundo real
Fórmula, modelo: buscar en http://rae.es
Ligas externas
* La gravitación fue la primera de las fuerzas de la naturaleza que se reconoció y la primera en tener
un modelo matemático que la describía: La fuerza gravitatoria actúa universalmente entre cualquier
par de cuerpos materiales. (Isaac Newton, 1687).
http://www.utm.mx/~temas/temas-docs/n0266.pdf (Agosto 2007).
* Modelo matemático Lotka-Volterra
El matemático italiano Volterra, después de interesarse por la ecología matemática y haber sido
motivado por su amigo zoólogo Humberto D' Ancona, estudio los registros de las pesquerías del Mar
Adriático Superior y observó que, durante y después de la Segunda Guerra Mundial, cuando la pesca
había disminuido drásticamente, la proporción de los depredadores había aumentado.Este hecho lo
llevo a estudiar ese problema de una manera más general, logrando construir la primera teoría
determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones.
http://html.rincondelvago.com/modelo-matematico-de-lotka-volterra.html (Agosto 2007).
* Modelos matemáticos de optimización:
http://www.gams.com/docs/contributed/modelado_en_gams.pdf (Agosto 2007).
216
Matemáticas 1
Álgebra
4. Ecuaciones lineales
Propósito:
El estudiante se ejercitará en la propuesta y uso de ecuaciones para resolver
ejercicios y acertijos. Se enseñará a maniobrar las ecuaciones, buscando a través
de ellas el valor de incógnitas inmersas en ejercicios y que tendrá que identificar y
despejar.
Un día común en la vida de cualquier estudiante visto a través de ecuaciones algebraicas: desde
levantarse de la cama a las 6.30 hrs., baño, desayuno, salida a la escuela y distintas actividades
hasta la hora de comer: viaje a la tintorería, regreso a casa y la realización de las actividades
escolares. Todo visto desde el punto de vista del álgebra, en particular, de las ecuaciones lineales.
Actividades de un día en
la vida de un estudiante:
6:30
Levantarse
de la cama
16:00
Tintorería
8:00
Entrada
a la escuela
14:00
Comida
en casa
20:00
Terminar tareas
escolares
22:30
Apagar la luz
Te has preguntado ¿cuántas ecuaciones resuelves durante un día?
Las ecuaciones forman parte de nuestro haber y hacer cotidiano, las construimos, desarrollamos y
resolvemos todos los días, lo hacemos tan automáticamente que ni siquiera nos damos cuenta.
Veamos cuáles son sólo algunas de las ecuaciones del día;
1. El despertador dice: 6:30 horas
a. ¿de cuánto tiempo disponemos para arreglarnos, desayunar e ir a la escuela, si la hora de
entrada es a las 8:00 horas?
La ecuación 1. a.: 6:30 horas + ¿Cuánto tiempo? = 8:00 horas
¿Cuánto tiempo? = 8:00 horas – 6:30 horas
Respuesta = ¿Cuánto tiempo? = 1:30 horas
217
b. tiempo para nuestro arreglo:
b. 1. baño; desde salir de la cama hasta bañarnos y vestirnos: 35 minutos.
b. 2. desayuno; hasta lavarnos la boca: 30 minutos.
b. 3. tomar nuestros útiles y despedirnos de la familia: 3 a 5 minutos.
Nota. Aquí no faltan los buenos deseos de nuestros padres y el humor de los hermanos,
emitiendo algún comentario jocoso.
b. 4. ¿cuánto tiempo tenemos para llegar a la escuela?
La ecuación b.:
35 min. + 30 min. + ¿Cuánto tiempo? = 1:30 horas
(3 min. para despedirnos) 68 min. + ¿Cuánto tiempo? = 1:30 h,
1:08 h + ¿Cuánto tiempo? = 1:30 h,
¿Cuánto tiempo? = 1:30 h – 1:08 h,
Respuesta (desde 3 min.) = ¿Cuánto tiempo? = 22 min.
(5 min. para despedirnos) 70 min. + ¿Cuánto tiempo? = 1:30 horas
1:10 h + ¿Cuánto tiempo? = 1:30 h,
¿Cuánto tiempo? = 1:30 h – 1:10 h,
Respuesta (hasta 5 min.) = ¿Cuánto tiempo? = 20 min.
2. Nuestro horario de clases para el día de hoy es:
a. “lite” 1:30 h, “mate” 1:30h, media hora libre y ejercicios de química 1:00h.
b. ¿cuánto tiempo debemos de permanecer en el plantel? y
c. ¿a qué hora terminaremos nuestras labores escolares en el plantel?
Ecuación 2. b. : 1:30 h + 1:30 h + 30 min.+ 1:00 h = 4:30 horas = Respuesta
Ecuación 2. c. : hora de entrada + tiempo de permanencia
8:00 h
+
4:30 h
= 12:30 horas = Respuesta
Un rato de charla con los compañeros y de regreso a casa.
Llegada a casa a las 14:00 h. más o menos.
218
A las 14:30 h. con un margen de 15 min. y con las manos lavadas, comenzamos la comida.
Generalmente coincidimos en ella todos los miembros de la familia, es un espacio para compartir y
comentar las incidencias del día. Espacio también para planear las actividades vespertinas generales
y particulares como la compra de alimentos para la semana, de una refacción o utensilio, cuadernos;
recoger de la tintorería el traje, la falda, etc. Más tarde nos aplicaremos en labores escolares,
trabajos, tareas, consultas, resúmenes, ensayos, búsquedas, investigaciones, etc. según lo pertinente
por materia y, desde luego, teniendo un fondo musical de nuestro gusto. Más tarde escucharemos o
veremos algún noticiario, después cenaremos comentando con la familia las noticias y finalmente nos
dispondremos a descansar.
Terminamos la comida a las 15:30 h. poco más, poco menos. Nos lavamos las manos, los dientes y
nos disponemos a cumplir con nuestras asignaciones. El reloj marca 15:37 h.
3. Nos tocó recoger la ropa de la tintorería y comprar dos focos. Tomamos $50.00.
En la tintorería pagamos $52.00 en total; $35.00 por el traje y $17.00 por la falda. Calculamos mal,
creímos que con $50.00 alcanzaría hasta para los focos, eso nos pasa por no ver la nota de la
tintorería, lo bueno es que traíamos más dinero en la cartera. Pagamos en la tintorería y hacemos
una parada en la ferretería. Compramos los focos, $14.00, los pagamos, nos alcanza aunque, como
ya sabemos, el dinero que tomamos para estos desembolsos se nos acabó desde la tintorería, y nos
dirigimos a casa. Hagamos cuentas.
¿Cuánto gastamos? Más de lo que habíamos calculado, o mejor dicho, más de lo que habíamos
considerado. En adelante haremos un pequeño calculo antes de nuestras “consideraciones a la
ligera”.
Traje
$35.00
Falda
+
Tomamos
$50.00
$17.00
Focos
+
Pagamos
–
$66.00
$14.00
Total
=
$66.00
=
Respuesta
nos Resta
=
– $16.00
Ahora sí, como dicen los economistas,
estamos en números rojos, salimos
perdiendo.
Qué bueno que teníamos más dinero.
Nos ahorramos una vuelta.
Colgadas las prendas y cambiado el foco, dejando el otro de repuesto, comenzamos nuestras labores
escolares. Son las 16:10 horas.
¿Cuánto tiempo empleamos en pagos, compras, cambio de foco y lavarnos las manos?
219
Inicio de
Actividades Escolares
16:10 horas
–
Inicio de
Actividades Generales
15:37 horas
=
33 minutos
=
Respuesta
Volteamos a ver el reloj, ya hemos terminado los asuntos escolares, marca las 19:35 h. Preparamos
la mochila, saco, morral o como le llamemos a la bolsa en que transportamos nuestros útiles
escolares. Son ahora las 19:55 h.
¿Cuánto tiempo dedicamos a las labores escolares?
Término de
Actividades Escolares
19:35 horas
–
Inicio de
Actividades Escolares
16:10 horas
=
3 h 25 m
=
Respuesta
Con pequeños descansos para estirar
los músculos, tomar un poco de agua,
hacer o recibir una llamada por teléfono,
etc. Recordemos, sólo pequeños
descansos.
¿En cuánto tiempo preparamos la valija?
Término de
Preparación de Valija
Término de
Actividades Escolares
19:55 horas
19:35 horas
–
20 minutos
=
=
Respuesta
El resto de las actividades de nuestro día, el noticiero, la cena, los comentarios sobre las noticias, el
dejar lista la ropa que nos pondremos al día siguiente, etc., dejémoslas en este ejercicio sin más
ecuaciones que resolver.
4. Resumiendo
Esta sencilla narración se hizo con la intención de mostrar de manera simple cómo en las actividades
cotidianas que desempeñamos intervienen ecuaciones numéricas. Aquí sólo expusimos ecuaciones
muy elementales y naturales, en tiempo y dinero, de esas actividades de nuestro “día a día”.
220
Más ejemplos
1. El ir a un mercado a comprar frutas, dos kilos y medio de manzanas, y verduras, cuatro kilos de
zanahorias:
- Preguntamos en el puesto de fruta: ¿cuánto cuesta el kilo de manzanas?
- El tendero nos responde: $18.50.
En ese momento sabemos cuánto nos cuestan 2 kilos y medio de manzanas, ¿cómo lo sabemos?, tal
vez nuestro razonamiento hizo el siguiente juego: el precio de un kilo lo tomamos dos veces y a esto
le añadimos la mitad del precio de un kilo. El resultado aproximado (19 + 19 + 9; pensado en
números enteros para que sea fácil) es de unos $47.00. Eso que hicimos aparentemente “en
automático”, es la construcción de una ecuación simple. Veamos esto a la luz del álgebra:
Un kilo de manzanas
$18.50
Dos kilos
Medio kilo
2 ( $18.50 ) = $37.00
(1/2) ( $18.50 ) = $9.25
Total
$46.25
- Preguntamos en el puesto de verduras: ¿Cuánto cuesta el kilo de zanahorias?
- La tendera nos responde: $7.75.
Casi de inmediato sabemos que serán (7 + 7 + 7 + 7 + 4; este valor lo tomamos de cuatro veces un
poco más que los centavos del kilo de zanahorias; en números enteros) $32.00, aproximadamente.
Nuestro cálculo fue tan solo tomar el precio de las zanahorias y sumarlo tantas veces como kilos
necesitamos (o bien, multiplicarlo por el número de kilos requerimos).
Un kilo de zanahorias
$7.75
Cuatro kilos
4 ( $7.75 ) = $31.00
2. El ir al cine con los primos o con los amigos alguien se encarga de las cuentas para:
a. los pasajes de ida al cine a menos que el punto de reunión sea el cine.
b. los boletos.
c. las palomitas, refrescos, gaznates, etc.
d. los pasajes de regreso.
3. Comprar un aparato de sonido a plazos.
a. ¿cuánto habrá que pagar mensualmente?
4. Un viaje en automóvil.
a. las casetas.
b. los kilómetros.
c. la gasolina.
d. el hospedaje.
e. etcétera. Cualquier otra historia tiene ecuaciones simples.
221
Ejercicios
1. Narra un paseo por el Zoológico de Chapultepec con tres de tus primos.
Hora de salida.
Llegada al abrir las puertas del Zoológico.
Tiempo en cada uno de los caminos, según las especies de animales.
Almuerzo en la zona de restaurantes. ¿Cuántos refrescos, tortas, helados, etc.?
Término del paseo en el Zoológico.
Regreso a casa. (Horarios y comidas, todo lo que puedas escribir en ecuaciones).
2. Narra una visita a un museo con cinco de tus compañeros, con horarios y comidas como en el
ejercicio anterior.
Glosario
Ecuación: una igualdad entre dos expresiones
Ecuación Lineal: una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera
potencia.
Ligas externas
* ¿Qué dice la Wikipedia de las ecuaciones lineales?
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal (Agosto 2007).
* ¿Cómo se resuelve una ecuación lineal?
1. Se hace la transposición de términos, los que contengan la incógnita se ubican en el lado
izquierdo de la igualdad, y los que carezcan de ella en el derecho.
2. Se simplifican los términos semejantes.
3. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la
incógnita, y se simplifica.
Adaptado del Baldor de álgebra.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id104.htm (Agosto 2007).
* Los ejercicios 79 al 88 del Baldor de álgebra son sobre ecuaciones lineales. Conviene practicar con
ellos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal (Agosto 2007).
222
Matemáticas 1
Álgebra
5. Operaciones con expresiones algebraicas
Propósito:
El estudiante aprenderá las reglas de operación cuando se manejan términos
algebraicos. Reglas simples que son la base para la formación en cualquier materia
en la que se necesiten las Matemáticas.
Usando una balanza se trata de ensayar el concepto de igualdad entre dos términos: si se encuentra
equilibrada, entonces indica que los pesos de ambos lados son iguales. Se verán además algunas
propiedades de las balanzas y por ende de las igualdades.
Algoritmo para resolver un problema con ecuaciones lineales:
1.
Escribir la ecuación que involucre a las constantes y
la ingógnita
ax + b = cx + d
Separar de un lado la incógnita del otro las
constantes
(a – c)x = d – b
3.
Simplificar ambos lados de la ecuación
ex = f
4.
Despejar la incógnita dividiendo
x=f/e=g
2.
En Matemáticas, el signo de igualdad (=) podemos pensarlo como una balanza o báscula de cruz en
la que los platos que penden de los extremos de su brazo sostienen la misma medida, peso, tara,
cantidad, importe, monto, caudal, cuenta, cuantía, tanteo, etc.
F ie l
Imaginemos una balanza en la que
el fiel señale que la medida de lo
que se encuentra en cada uno de los
platos es igual.
Ahora, cambiemos el fiel por el signo
de igualdad.
P la to 1
223
P la to 2
=
=
=
=
=
=
=
=
Si el fiel de la balanza señala igualdad
entre los elementos que se encuentran
en sus dos platos, sólo hace falta que
identifiquemos de forma minuciosa los
componentes.
Si a los platos de la balanza se están añadiendo, sustrayendo, reproduciendo o seccionando piezas y
necesitamos que el fiel siga señalando que se tiene igualdad entre lo que se encuentra en los platos,
debemos seguir las siguientes reglas:
Reglas para la balanza
Partimos de la igualdad entre los contenidos de los platos.
Regla 1. Si a ambos platos se añade un
mismo número de piezas iguales,
la igualdad se conserva.
=
Se añade lo mismo en ambos platos.
La igualdad se conserva.
=
=
Regla 2. Si a ambos platos se sustrae un
mismo número de piezas iguales,
la igualdad se conserva.
=
224
Se sustrae lo mismo en ambos platos.
La igualdad se conserva.
=
=
=
Regla 3. Si en ambos platos se reproduce un
mismo número de veces las
piezas que poseen, la igualdad se
conserva.
Se reproducen las piezas que posee cada
plato, el mismo número de veces.
La igualdad se conserva.
=
=
Regla 4. Si a ambos platos se secciona un
mismo número de veces las
piezas que poseen, la igualdad se
conserva.
=
Se seccionan las piezas que posee cada
plato, el mismo número de veces.
La igualdad se conserva.
=
=
225
Acotación 1. Habrás notado que al añadir piezas en ambos platos (Regla 1) éstas fueron iguales
para cada uno de ellos y lo mismo al sustraer (Regla 2) piezas iguales de cada plato.
Acotación 2. Al reproducir las piezas (Regla 3) se reprodujeron para cada plato, las que cada uno de
ellos tenía.
Acotación 3. Al seccionar los contenidos de los platos (Regla 4) se separó de cada plato una de
cada dos piezas iguales.
En Matemáticas estas reglas, expresadas en lenguaje algebraico, norman la operación entre las
partes de una ecuación o dicho de otra forma entre los componentes de una igualdad.
Parte A de la ecuación
Parte B de la ecuación
y
ó
Parte B de la ecuación
y
Parte A de la ecuación
=
Componente A de la igualdad
y
Componente B de la igualdad
ó
Componente B de la igualdad
y
Componente A de la igualdad
Axiomas
Axioma 1. Si a ambas partes de una igualdad se suma o resta cantidades iguales, la igualdad se
conserva; dicho de otra manera, la igualdad permanece inalterada.
Axioma 2. Si a ambas partes de una igualdad se multiplica o divide por cantidades iguales, la
igualdad se conserva; o sea, la igualdad permanece inalterada.
Ejemplos
1. Si de un montón de fichas extraemos siete de ellas quedan en el montón once fichas, ¿cuántas
fichas tenía originalmente el montón?
Escribamos el texto en lenguaje algebraico:
montón – 7
=
Recordemos ahora las reglas de nuestra balanza:
1. Sumar o restar la misma cantidad en ambos lados de la igualdad.
2. Multiplicar o dividir por el mismo factor ambos lados de la igualdad.
226
11
montón – 7 = 11
=
=
=
=
=
=
=
=
Para saber cuántas fichas tenía el montón originalmente, necesitamos dejarlo solo (aislado) en
alguno de los componentes de la igualdad.
De modo que el elemento –7, nos está
velando la visión directa del número de
fichas del montón original. ¿Qué hacer?
=
11
=
11
montón – 7 + 7
=
11 + 7
montón + 0
=
18
montón
=
18
montón – 7
Para eliminar (prescindir o quitar) el –7, del
lado de la igualdad en que se encuentra y
dejar solo el “montón”, añadimos en
ambos lados de la igualdad el número de
fichas que se extrajo. El inverso aditivo de
–7; este es el 7.
+7
montón – 7
Y realizamos las operaciones.
Respuesta :
227
+7
2. Si Luis recibiera $145 podría comprarse una chamarra de $560. ¿Cuánto tiene?
Texto escrito en lenguaje algebraico:
Los $145, nos están nublando la cantidad
de dinero que tiene Luis. ¿Qué hacer?
Para quitar los $145, del lado de la igualdad
en que se encuentra y dejar sola la
“chamarra”, sustraemos en ambos
lados de la igualdad la cantidad que debe
Recibir Luis para comprar la chamarra. El
inverso aditivo de 145; esto es –145.
chamarra + $145
=
$560
chamarra + $145
=
$560
=
$560
=
$560 – $145
=
$415
– $145
chamarra + $145
chamarra + $145 – $145
Y realizamos las operaciones.
chamarra + 0
– $145
Respuesta :
chamarra = $415
3. En el estante de un librero, al inicio del día, había cierto número de libros. Se tomaron 5 para
lectura o consulta y horas más tarde al término se regresaron 8. Si ahora hay 21 libros en el estante,
¿cuántos había en el estante al inicio del día?
=
21
=
21
+8–8
=
13
E–5+0
=
13
E–5
=
13
=
13
–5+5
=
13 + 5
E + 0
E
=
=
18
18
El texto en lenguaje algebraico es:
Primero buscaremos cuántos libros había
antes de que se terminara la lectura o
consulta. Para esto necesitamos sustraer
en ambos lados de la igualdad el mismo
el número de libros que se regresaron al
final del día. El inverso aditivo de 8 es –8.
E–5+8
E–5+8
Realizamos las operaciones.
E–5
–8
Ahora averiguaremos cuántos libros había
al inicio del día, añadiendo en ambos
lados de la igualdad el número de libros
que se retiraron para lectura o consulta. El
Inverso aditivo de –5, o sea 5.
E–5
Y realizamos las operaciones.
E
–8
+5
Respuesta:
228
+5
4. Si un lápiz cuesta $6, ¿cuánto costarán 7 docenas?
Trascripción al lenguaje algebraico:
1 lápiz
7 docenas de lápices
=
=
$6
L
7 docenas son 7x12; en nuestro ejercicio,
7 docenas de lápices
=
84 lápices
Para saber cuánto cuestan las 7 docenas, o
de otra forma, los 84 lápices, debemos
multiplicar ambos lados de la primera
ecuación por un mismo factor. En este
caso por el número de lápices que
componen las 7 docenas (84).
1 lápiz
=
$6
Y realizamos las operaciones.
1 lápiz x 84
=
$6 x 84
84 lápices
=
$504
14 libros
1 libro
=
=
$840
B
x 84
Respuesta :
x 84
5. Si 14 libros cuestan $840, ¿cuánto costará 1 libro?
En lenguaje algebraico:
Para encontrar el precio de 1 libro debemos
dividir ambos lados de la primera
Ecuación por un mismo factor. En este
caso por 14, el número de libros. El inverso
multiplicativo de 14 es 1/14, ó :14.
: 14
=
$840
14 libros : 14
=
$840 : 14
1 libro
=
$60
14 libros
Y realizamos las operaciones.
Respuesta :
229
: 14
6. Si 25 trajes cuestan $30,750, ¿cuánto costarán 63 trajes?
Trascripción del texto:
25 trajes
63 trajes
=
=
$30,750
T
1 traje
=
t
=
$30,750
25 trajes : 25
=
$30,750 : 25
1 traje
=
$1,230
1 traje
=
$1,230
1 traje x 63
=
$1,230 x 63
63 trajes
=
$77,490
Necesitamos saber cuánto cuesta un traje
dividimos ambos lados de la primera
ecuación por un mismo factor (25). El
Inverso multiplicativo de 25 es 1/25 ó : 25.
: 25
25 trajes
Y realizamos las operaciones.
Para obtener el precio de los 63 trajes,
ahora necesitamos multiplicar ambos lados
de la última ecuación por el factor 63.
: 25
x 63
Respuesta :
x 63
En el desarrollo de los 6 (seis) ejercicios anteriores, y después de
hacer la transcripción del texto al lenguaje algebraico, hemos
tenido que utilizar y aplicar las reglas, que más que reglas son
propiedades, de suma, resta, multiplicación y división que operan
sobre las igualdades en nuestro deseo de encontrar la solución o
= de esos procesos,
respuesta a cada =
uno de=ellos.=
A través
tuvimos presente la idea de la balanza, razón que nos mantuvo
alerta para aplicar la propiedad correspondiente y así conservar
=
=
=
=
la igualdad de nuestras ecuaciones.
Para practicar las propiedades, escritas y aplicadas líneas arriba, ahora resolveremos ejercicios
aunque éstos no tengan texto. Encontrar el valor de las literales (o incógnitas).
230
Ejemplos adicionales
7.
2x + 3 =
inverso aditivo de 3; –3
inverso multiplicativo de 2; 1/2 ó :2
Respuesta:
8.
2x + 3 – 3
=
13 – 3
2x
=
10
2x : 2
=
10 : 2
x
=
5
5y + 1 =
inverso aditivo de 1; –1
inverso aditivo de 3y; –3y
inverso multiplicativo de 2; 1/2 ó :2
Respuesta:
9.
3y + 7
5y + 1 – 1
=
3y + 7 – 1
5y
=
3y + 6
5y – 3y
=
3y – 3y + 6
2y
=
6
2y : 2
=
6:2
y
=
3
8z – 15 =
inverso aditivo de –15; 15
13
5z + 3
8z – 15 + 15
=
5z + 3 +15
8z
=
5z +18
8z – 5z
=
5z – 5z +18
3z
=
18
3z : 3
=
18 : 3
z
=
6
inverso aditivo de 5z; –5z
inverso multiplicativo de 3; 1/3 ó :3
Respuesta:
231
10.
2a + 5 =
inverso aditivo de 5; –5
3a + 1
2a + 5 – 5
=
3a + 1 – 5
2a
=
3a – 4
2a – 3a
=
3a – 3a – 4
–a
=
–4
(– 1) (– a)
=
(– 1) (– 4)
a
=
4
inverso aditivo de 3a; –3a
multiplicando por –1;
ambos lados de la ecuación
Respuesta:
11.
3(x – 1) =
7 – 2x
desarrollar el paréntesis
3x – 3
=
7 – 2x
inverso aditivo de –3 ; 3
3x – 3 + 3
=
7 – 2x + 3
3x
=
10 – 2x
3x + 2x
=
10 – 2x + 2x
5x
=
10
5x : 5
=
10 : 5
x
=
2
inverso aditivo de –2x; 2x
inverso multiplicativo de 5; 1/5 ó :5
Respuesta:
12.
4z + 7 =
inverso aditivo de 7; –7
inverso aditivo de z; –z
inverso multiplicativo de 3; 1/3 ó :3
Respuesta:
232
z+2
4z + 7 – 7
=
z+2–7
4z
=
z–5
4z – z
=
z–z–5
3z
=
–5
3z : 3
z
=
=
–5:3
– 5/3
13.
8a – 3 =
inverso aditivo de –3; 3
6a – 4
8a – 3 + 3
=
6a – 4 + 3
8a
=
6a – 1
8a – 6a
=
6a – 6a – 1
2a
=
–1
2a : 2
=
–1:2
a
=
– 1 /2
inverso aditivo de 6a; –6a
inverso multiplicativo de 2; 1/2 ó :2
Respuesta:
14.
3x – 2 =
inverso aditivo de –2; 2
5
3x – 2 + 2
=
5+2
3x
=
7
3x : 3
=
10 : 3
x
=
10/3
inverso multiplicativo de 3; 1/3 ó :3
Respuesta:
Ejercicios
1.
x–3 = 7
2.
y+4 = 1
3.
4z + 1 = 2
4.
8a – 27 = 6a – 21
5.
2b – 14 = 3(2 – b)
6.
4 – 2(3 – c) = 12 – 5c
7.
2(d – 10) + 3(2d – 5) = 5
8.
7x – 2(x – 3) = 12
9. La suma de dos números es 97 y el mayor excede al menor en 9 unidades. ¿Cuáles son estos
números?
10. El perímetro de un triángulo escaleno es de 46 cm. El lado b es 9 cm. más largo que el lado a, y el
lado c es 7 cm. más largo que el lado a. ¿Cuánto mide cada lado?
11. La edad de María es el doble de la de Cristina y la suma de sus edades es 42. ¿Cuántos años
tiene María y cuántos Cristina?
12 La suma de dos números es 221 y su diferencia 27. Hallar los números.
233
13. Ejercicio resuelto.
Fíjate bien en la siguiente ilustración.
(Para apreciar los colores puedes acudir a la versión en línea).
¿Cuántos triángulos serán
necesarios para equilibrar la
cuarta balanza?
1
2
3
4
Solución:
Sea C = círculo, T = triángulo, R = cuadrado rojo, N = Cuadrado negro.
La pregunta es ¿cómo escribir C en términos de T únicamente?
Las balanzas dicen lo siguiente:
C + T = R, C = T + N, 2R = 3N
Llamaremos rj al renglón número j y usaremos una hoja de cálculo para facilitar el manejo de las
operaciones. Ver hoja abajo. La idea de esta demostración (no es la única) es obtener dos
ecuaciones, una que involucre sólo a C y N y la otra a T y N. Si se logra ese objetivo, simplemente se
despeja la N para así relacionar a C con T.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Renglones 1,2,3: lo que indican las tres balanzas
r4 = r1 + r2, para eliminar T
r5 = r2 – r1, para eliminar C
r6 es r3, queda igual, por el momento
r7 = 2r4 + r6, para eliminar R
r8 = -2r5 + r6, para eliminar R
r9 es r6, queda igual
r10 = 5r8, para tener la misma N en r9 y r10
r11 = r9 – r10, para tener únicamente a C y T
r12 = r11 / 4
Pero esto dice que C - 5T = 0
O sea Círculo = 5 Triángulos
234
Cuadrados
Rojo
Negro
Renglón
Círculo
Triángulo
1
2
3
1
1
0
1
-1
0
-1
0
2
0
-1
-3
4
5
6
2
0
0
0
-2
0
-1
1
2
-1
-1
-3
7
8
4
0
0
4
0
0
-5
-1
9
10
4
0
0
20
0
0
-5
-5
11
4
-20
0
0
12
1
-5
0
0
1 Círculo
=
5 Triángulos
Ejercicio “vuelven los enigmas” tomado de http://213.98.76.12/pasatiem.htm (Agosto 2007).
Ligas externas
* Nuevamente, se sugiere realizar algunos ejercicios del libro Baldor:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm (Agosto 2007).
* Muchos ejercicios, pasatiempos y aplicaciones:
http://213.98.76.12/pasatiem.htm (Agosto 2007).
235
Matemáticas 1
Geometría
1. Nociones básicas
Propósito:
En este tema, el estudiante se introducirá en el estudio de las figuras y las formas.
Aprenderá a realizar construcciones básicas, material que le ayudará a plantear y
resolver montajes más elaborados para dibujar figuras y superficies geométricas.
Inicialmente se pide que busques en un diccionario o en la
misma red una serie de definiciones de objetos
geométricos para que te familiarices con ellos.
Posteriormente aparecerán ilustraciones de tales objetos
y en particular las definiciones de distintos tipos de
ángulos. Esta sección es introductoria al tema Geometría.
OBJETIVO 4
Comprenderás las nociones
básicas de la Geometría,
utilizándolas para estudiar y
caracterizar figuras
geométricas.
Geometría
Construcciones
con regla
y compás
Longitudes
Ángulos
Figuras
Comenzaremos por buscar la significación de algunos elementos geométricos y así podernos
entender cuando nos refiramos a ellos. Estos elementos son los que aparte de ser los más simples en
el estudio de la geometría, utilizaremos de aquí en adelante en nuestros cursos de matemáticas.
236
Definiciones
Tarea: busca las siguientes definiciones en cualquier diccionario de la lengua española. Te será tal
vez algo laborioso pero las encontrarás. Escríbelas y dibuja lo que estás entendiendo para cada una
de ellas. Entrégalas al tutor para poder seguir adelante
1.
Geometría
2.
Dimensiones
3.
Punto
4.
Línea
5.
Superficie
6.
Figura geométrica
7.
Igualdad en las figuras geométricas
8.
Línea recta
9.
Línea curva
10.
Segmento de recta
11.
Figura rectilínea
12.
Ángulo
13.
Lados del ángulo
14.
Vértice del ángulo
15.
Magnitud de ángulo
16.
Igualdad de ángulos
17.
Bisectriz
18.
Ángulos:
• Adyacentes
• Agudos
• Rectos
• Obtusos
• Colineales
• Perigonal o Perígono
• Complementarios
• Suplementarios
• Conjugados
• Opuestos por el vértice
• Positivos
• Negativos
237
19.
Círculo
20.
Circunferencia
• Centro
• Radio
• Diámetro
• Secante
• Arco
• Tangente
21.
Compás
22.
Regla no graduada
23.
Hojas blancas
Dibujos geométricos
Compara las definiciones que encontraste con las que aquí te ofrecemos. Habrá pequeñas
diferencias. Estas serán en las palabras que se han utilizado para definirlas más no en la parte
conceptual.
1.
Geometría: es la ciencia que estudia, trata y describe de las figuras y las formas.
2.
Dimensiones: cada una de las direcciones en que se extiende un cuerpo geométrico. En
particular las propiedades llamadas longitud, superficie (o área) y volumen
3.
Punto: elemento geométrico que sólo tiene posición y carece de dimensiones.
4.
Línea: la extensión considerada en la dimensión de la longitud.
5.
Superficie: extensión en que se consideran sólo dos dimensiones.
6.
Figura geométrica: conjunto de puntos, líneas o superficies.
7.
Igualdad en las figuras geométricas: figuras con formas correspondientes iguales
8.
Línea recta: la línea tal que, si una parte cualquiera de ella se coloca de cualquier modo
sobre otra parte cualquiera, las dos partes coinciden en todos sus puntos.
9.
Línea curva: la línea que no es recta.
10.
Segmento de recta: parte o corte que se hace de una recta.
11.
Figura rectilínea: figura compuesta de líneas rectas.
12.
Ángulo: la abertura entre dos rectas que se encuentran.
13.
Lados del ángulo: son las dos rectas que se encuentran y que forman el ángulo.
14.
Vértice del ángulo: el punto donde se encuentran las dos rectas que lo forman.
15.
Magnitud de ángulo: es la medida del movimiento necesario para llevar un lado, haciéndolo
girar sobre el vértice, a la posición del otro.
238
16.
Igualdad de ángulos: ángulos con la misma medida.
17.
Bisectriz: línea que divide un ángulo en dos partes iguales.
18.
Ángulos:
• Adyacentes: cuando dos ángulos tienen un mismo vértice y un lado común.
• Agudos: aquellos que miden menos que uno recto.
• Rectos: cuando una recta encuentra a otra formando con ella ángulos adyacentes
iguales. Los ángulos formados son ángulos rectos.
• Obtusos: los que miden más que un recto y menos que uno colineal.
• Colineales: el que sus dos lados forman parte de la misma recta.
• Perigonal o Perígono: es un ángulo que mide 360 grados, o sea una vuelta completa.
• Complementarios: los que siendo adyacentes, son iguales a uno recto. Si dos ángulos
son complementarios, se dice que uno es el COMPLEMENTO del otro
• Suplementarios: los que siendo adyacentes, son iguales a uno colineal.
• Conjugados: los que siendo adyacentes son iguales a un perígono.
• Opuestos por el vértice: cuando los lados de uno son las prolongaciones del otro.
• Positivos: si su medida se toma en dirección opuesta al camino seguido por las
manecillas del reloj
• Negativos: cuando su medida se toma en la misma dirección que la seguida por las
manecillas del reloj.
19.
Círculo: superficie plana con un centro y limitada por una circunferencia.
20.
Circunferencia: línea curva cerrada cuyos puntos están todos a igual distancia de un punto
fijo interior llamado centro.
• Centro: punto fijo interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia.
• Radio: distancia entre el centro del círculo y cualquier punto de la circunferencia.
• Diámetro: distancia entre dos puntos de la circunferencia unidos por una recta que pasa
por el centro del círculo.
• Secante: recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
• Arco: segmento de una línea curva. Segmento de una circunferencia.
• Tangente: recta que tiene sólo un punto en común con la circunferencia.
21.
Compás: instrumento de dos brazos o piernas articuladas, que sirve para trazar
circunferencias o arcos de circunferencias y transportar medidas.
22.
Regla no graduada: instrumento recto, plano y largo que sirve para trazar líneas.
23.
Hojas blancas: superficies de pulpa vegetal sin rayas y sin cuadros, que sirven para trazar
en ella letras, garabatos y dibujos para aclararnos las ideas. Y que una vez editadas,
son factibles de leerse.
239
Geometría
1. Si la geometría es la ciencia que estudia, trata y describe de las figuras y las formas, iniciemos
dibujando algunas de ellas.
2. Dimensiones
3. Pun
4. Línea.
5. Superficie.
6. Figura geométrica.
7. Igualdad en las figuras geométricas.
240
to .
8. Línea recta.
9. Línea curva.
10. Segmento de recta.
11. Figura rectilínea.
12. Ángulo.
13. Lados del ángulo.
14. Vértice del án
15. Magnitud de ángulo
241
gulo
16. Igualdad de ángulos
17. Bisectriz
Ángulos
18. Ángulos:
•
Adyacentes
•
Agudos. Menores a un recto.
•
Rectos
Nota. Con una línea curva, por el lado interno del ángulo señalamos su magnitud. Cuando el ángulo
es recto, entonces la línea es la esquina de un cuadrado.
242
•
Obtusos. Mayores a un recto y menores a un colineal.
•
Colineales
•
Perigonal o Perígono
•
Complementarios
•
Suplementarios
•
Conjugados
•
Opuestos por el vértice
243
El círculo y elementos que lo componen
Ar
Sec
co
ante
Centro
etr
m
á
Di
Radio
o
19. Círculo
Tan
gen
te
21. Compás
22. Regla no graduada
23. Hojas blancas
Y antes de que se nos olvide: ¡lápices! bien afiladitos.
Ahora sí, ya estamos completos.
Ejercicios
Traza una recta y señala en ella un segmento que será tu unidad, entonces dibuja.
1. Segmentos con longitud igual a:
•
3 (tres) unidades,
•
7 (siete) unidades,
• -2 (menos dos) unidades,
•
5 (cinco) unidades.
244
2. Círculos de radio igual a:
• 2 (dos) unidades,
• 3 (tres) unidades,
• 6 (seis) unidades,
• 0 (cero) unidades.
3. Círculos de diámetro igual a:
•
6 (seis) unidades,
• 10 (diez) unidades.
4. La primera columna menciona el nombres de algún ángulo y en la segunda sus definiciones o
propiedades, aunque no necesariamente en el mismo renglón. Relaciona las columnas:
Ángulo
1) Agudo
2) Negativo
3) Obtuso
4) Perigonal
5) Recto
Propiedad
A) Mide una vuelta completa
B) Mide más que un recto
C) Ángulo formado cuando una recta encuentra a otra generando ángulos
adyacentes iguales
D) Mide menos que un recto
E) Sigue la dirección de las manecillas del reloj
Respuesta: 1D, 5E, 3B, 4A, 5C
5. La primera columna menciona nombres de ángulos y la segunda sus definiciones, aunque no
necesariamente en el mismo renglón. Relaciona las columnas:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ángulos
Adyacentes
Colineales
Complementarios
Suplementarios
Conjugados
Opuestos por el vértice
Propiedades
A) Tales que los lados de uno son las prolongaciones del otro
B) Adyacentes, que juntos son iguales a un perígono
C) Adyacentes, que juntos son colineales
D) Adyacentes, que juntos son iguales a un recto
E) Sus lados forman parte de una misma recta
F) Con un mismo vértice y un lado en común
6. Dibuja un ángulo de - 45° y otro de 720°
Ligas externas
* Hay más de 6 millones de lugares en la red donde la palabra Geometría es el tema principal, desde
monografías hasta software interactivo para hacer figuras planas y de tres dimensiones. Una de
tantas páginas es: http://www.monografias.com/trabajos10/geom/geom.shtml (Julio 2007). Donde
aparecen interesantes lecturas, o *¿Aburrido con la geometría?
http://www.geocentral.net/geometria/spanish/index.html (Julio 2007).
Ilustraciones
* Sistema orbital. Página 1, de http://iambitter.org/static/images/orbital-ss-aftermath.png (Jul. 2007).
245
Matemáticas 1
Geometría
2. Construcciones básicas
Euclides
Propósito:
El estudiante aprenderá cómo construir formas y figuras geométricas con
condiciones dadas. Entenderá qué hacer para dibujar formas y figuras
predeterminadas. Desarrollará su destreza aplicándose a la construcción de figuras
geométricas que se le pidan y que se le ocurran.
Empezamos con una serie de postulados o conceptos básicos que admitiremos sin comprobar, por
ejemplo, por un punto pueden pasar una infinidad de rectas. Continuamos con una serie de
construcciones, entre éstas: ¿cómo se bisecta un ángulo? Al final de cada construcción se te pide
que divagues acerca del trabajo hecho, por ejemplo, si ciertos ángulos son o no son iguales, si
algunas longitudes se parecen o no, consideraciones generales. Se termina el tema con una serie de
ejercicios. Se recomienda que veas en la sección ligas externas el artículo que habla sobre los
Postulados de Euclides.
Reproducir
un ángulo
Bisectar
un ángulo
Trazo de
perpendiculares
Trazo de
paralelas
Acerca de los
Ángulos opuestos
Conceptos básicos
Acerca de las
líneas paralelas
1. Por un punto dado pueden hacerse pasar una infinidad de rectas.
2. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una y sólo una recta.
3. Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos.
4. La distancia más corta entre dos puntos cualesquiera es la longitud o tamaño del segmento de
recta que los une.
5. Dados el centro y la longitud de un segmento siempre se puede dibujar una circunferencia con ese
centro y ese radio.
6. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma y dimensiones.
246
2.
1.
P1
P2
3.
P
6.
4.
P1
P2
5.
P
Construcciones iniciales
Empezaremos por construir estructuras geométricas simples y aprender sus características.
1. ¿Cómo reproducir un ángulo sobre una recta dada?
2. ¿Cómo encontrar la bisectriz de un ángulo dado?
3. ¿Cómo trazar líneas perpendiculares?
4. ¿Cómo trazar líneas paralelas?
5. Acerca de los ángulos opuestos por el vértice
6. Acerca de las líneas paralelas cortadas por una secante
Nota. La medida de los ángulos se da en “grados” y se consideran de la siguiente forma, recordando
que un círculo se divide en 360 grados.
A. Ángulos agudos. Son aquellos cuya medida es menor a 90 grados (90°).
B. Rectos. Miden 90°
C. Complementarios. Aquellos cuya suma es igual a 90°
D. Obtusos. Miden más de 90° pero menos de 180°
247
E. Suplementarios. Aquellos cuya suma es igual a 180°
F. Entrante. Miden más de 180° pero menos de 360°
G. Conjugados. Aquellos cuya suma es igual a 360°
1. ¿Cómo reproducir un ángulo sobre una recta dada?
a. Haciendo centro en el vértice V, del ángulo dado, abrir el compás y trazar un arco que corte a
los dos lados del ángulo en los puntos A y B.
b. Dibujar una recta, escoger un punto que será el nuevo vértice V’.
c. Con la misma medida del trazo anterior, trazar también aquí un arco amplio que corte a la recta,
a ese punto le llamaremos A’.
d. Con el compás medir la distancia que hay entre A y B.
e. Con centro en A’ trazar un arco que corte al arco trazado desde V’, a ese punto le llamaremos
B’, y
f. Trazar una línea a través de los puntos V’ y B’, y el ángulo ha sido reproducido.
B
B’
V
A
A’
V’
Algunas consideraciones sobre esta construcción.
1.1 Las longitudes VA, VB, del ángulo original y las, V’A’, V’B’, del ángulo construido son iguales,
así fueron construidas.
1.2 Las longitudes AB, del ángulo original y A’B’, del ángulo construido son iguales por
construcción.
1.3 Tenemos en cada caso tres longitudes. Esto quiere decir que estamos construyendo figuras
geométricas con base en triángulos.
2. ¿Cómo encontrar la bisectriz de un ángulo dado?
a. Haciendo centro en el vértice V, abrir el compás y trazar un arco que corte a los dos lados del
ángulo en los puntos A y B.
b. Desde cada uno de estos puntos A y B, como centros de circunferencias, trazar arcos con la
misma medida y de amplitud suficiente para que se corten en un punto P.
c. Trazar la recta a través de los puntos V y P, esa es la bisectriz del ángulo dado.
248
Algunas consideraciones sobre esta construcción.
B
P
2.1 Los ángulos AVP y BVP son iguales por haber
bisectado el ángulo AVB.
2.2 Las longitudes VA, VB, del ángulo AVB, son
iguales por construcción.
2.3 Las longitudes AP y BP son iguales por
construcción.
V
A
2.4 Tenemos una construcción de triángulos con las
siguientes características:
a. Los triángulos son, AVP y BVP,
b. Los lados son iguales por parejas, así tenemos:
AV y BV; AP y BP; y el lado VP es el mismo para
ambos.
2.5 Si tomamos el punto P como vértice del ángulo AVB, entonces la bisectriz del ángulo AVB
también resulta bisectriz del ángulo APB.
2.6 Los ángulos APV y BPV son iguales.
Ahora vamos a utilizar los elementos geométricos construidos antes para construcciones más
laboriosas.
3. ¿Cómo trazar líneas perpendiculares?
Decimos que dos rectas son perpendiculares cuando una de ellas intersecta a la otra formando entre
ambas cuatro ángulos iguales. Los ángulos así formados son ángulos rectos.
En esta construcción los 4
(cuatro) ángulos son rectos.
Nos preguntamos si es posible construir un sistema de líneas perpendiculares. Tenemos una línea
recta y hay cuatro posibilidades:
3. 1. Levantar una línea perpendicular a una recta dada.
3. 2. En un punto dado de una recta levantar una línea perpendicular a ella.
3. 3. En el extremo de un segmento de recta levantar una línea perpendicular a ella.
3. 4. Desde un punto fuera de ella trazar una línea que sea perpendicular a ella.
249
Decimos que dos líneas son paralelas cuando:
i Nunca se tocan ni se intersectan.
ii. Al ser cortarlas con una línea perpendicular a una de ellas, también es perpendicular a la otra línea.
...
...
3.1 Levantar una línea perpendicular a una recta dada (considerar la recta como un ángulo colineal):
a. Dibujamos una recta.
b. Escogemos dos puntos en ella: A y B.
c. Desde cada uno de estos dos puntos y con una abertura de más o menos la distancia entre
ellos, trazamos dos arcos que se corten por uno y otro espacio de la recta: a1, a2 y b1, b2, o
trazamos las dos circunferencias: a’ y b’.
d. Unimos los dos puntos definidos por los cortes de los arcos a1, b1 y a2, b2, y,
e. Esta recta es perpendicular a la original.
recta perpendicular
a’
a1
recta
b’
C
b1
A
B
P
a2
D
b2
Consideraciones:
3.1.1. Los ángulos APC y BPC son iguales y rectos.
3.1.2. La distancia AP es igual a la distancia BP por construcción.
3.1.3. Las distancias AC y BC son iguales por construcción.
3. 2. En un punto dado de una recta levantar una línea perpendicular a ella:
250
a. dibujamos una recta.
b. escogemos un punto P en ella y como centro de una circunferencia, abrimos nuestro compás y
trazamos sólo dos arcos que corten a la recta a uno y otro lado del centro de la circunferencia
A y B, o trazamos toda la circunferencia p’.
c. desde cada uno de estos cortes A y B sobre la recta y con una abertura mayor a la que
utilizamos para los trazos anteriores, trazamos dos arcos que se corten por uno y otro espacio
de la recta a1, a2 y b1, b2, o trazamos las dos circunferencias a’ y b’.
d. trazamos una recta a través de los dos puntos definidos por los cortes de los arcos a1,b1 y a2,
b2, y
e. esta recta es perpendicular a la original.
recta perpendicular
a’
b’
a1
b1
p’
recta
A
P
B
a2
b2
¿Qué consideraciones puedes hacer sobre esta construcción?
3. 3. En el extremo de un segmento de recta, levantar una línea perpendicular a ella:
a. dibujamos una recta.
b. en uno de los puntos extremos de ella P y como centro de circunferencia, abrimos nuestro
compás y trazamos un arco p’ que corte a la recta en un punto A, o trazamos toda la
circunferencia.
c. en el punto A y con la misma medida en el compás, trazamos un arco a’ que corte al arco p’ en
el punto B.
d. en el punto B y con la misma medida en el compás trazamos un arco amplio b’.
251
e. trazamos una recta auxiliar a través de los puntos A y B y que corte al arco b’ en el punto C.
f. trazamos una recta a través de los puntos P y C, y
g. esta recta es perpendicular a la original.
C
b’
B
p’
a’
A
P
¿Qué consideraciones puedes hacer sobre esta construcción?
3. 4. Desde un punto fuera de ella trazar una línea que sea perpendicular a ella:
a. dibujamos una recta.
b. desde el punto P como centro de una circunferencia, abrimos nuestro compás lo suficiente y
trazamos dos arcos que corten a la recta en los puntos A y B, o trazamos toda la
circunferencia p’.
c. desde cada uno de estos cortes A y B sobre la recta y con una abertura mayor a la que
utilizamos para los trazos anteriores, trazamos dos arcos que se corten por uno y otro espacio
de la recta a1, a2 y b1, b2, o trazamos las dos circunferencias a’ y b’.
d. trazamos una recta a través de los dos puntos definidos por los cortes de los arcos a1,b1 y a2,
b2, que también pasará a través del punto P, y
e. esta recta es perpendicular a la original.
252
recta perpendicular
b1
a1
p’
P
b’
recta
a’
B
A
a2
b2
¿Qué consideraciones puedes hacer sobre esta construcción?
4. ¿Cómo trazar líneas paralelas?
4. 1. Dada una recta y un punto fuera de ella, trazar una línea paralela a la recta que pase por el
punto.
a. trazamos una recta.
b. desde un punto A en la recta como centro de una circunferencia y tomando como radio de
esta, la distancia AP, trazamos un arco que corte a la recta en dos puntos. Estos puntos serán
B y C.
c. con el compás medimos la distancia BP y con ella, haciendo centro en C, trazamos un arco
que corte al primero en el punto D.
d. trazamos una línea a través de los puntos P y D.
253
e. esta línea es paralela a la recta dada.
D
P
C
A
B
recta
4. 2. Otra manera de trazar una línea paralela a una recta dada y que pase por el punto fuera de ella,
es la siguiente:
a. trazamos una recta perpendicular a la recta dada y que pase por el punto dado fuera de ella
(construcción 3. 4), y acto seguido
b. trazamos otra perpendicular, a la perpendicular trazada, y que pase por el punto en ella
(construcción 3. 2).
c. esta última perpendicular es paralela a la primera recta.
¿Qué consideraciones puedes hacer sobre esta construcción?
5. Acerca de los ángulos opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos por el vértice, son los que se construyen sobre las prolongaciones de los lados
del ángulo original y tienen la propiedad de ser iguales.
B
A
C
D
254
Los ángulos opuestos por el vértice son: A con C, y B con D, entonces procedemos a probar que las
parejas que hemos propuesto tienen la misma magnitud.
5. 1. a. los ángulos A y B son suplementarios;
A + B = 180°
b. los ángulos B y C son suplementarios;
B + C = 180°
c. si a ambas igualdades resto B,
A = 180° - B = C , entonces A = C.
5. 2. a. los ángulos B y C son suplementarios;
B + C = 180°
b. los ángulos C y D son suplementarios;
C + D = 180°
c. si a ambas igualdades resto C,
B = 180° - C = D , entonces B = D.
6. Acerca de las líneas paralelas cortadas por una secante
En dos líneas paralelas, o sistema de líneas paralelas, cortadas por una secante ¿qué relación o
relaciones tienen los ángulos que allí se forman?
A
B
D
C
E
F
H
G
6. 1. Los ángulos A y C tienen igual magnitud ;
por ser opuestos por el vértice.
2. Los ángulos B y D tienen igual magnitud ;
por ser opuestos por el vértice.
3. Los ángulos E y G tienen igual magnitud ;
por ser opuestos por el vértice.
4. Los ángulos E y G tienen igual magnitud ;
por ser opuestos por el vértice.
5. Los ángulos A y E tienen igual magnitud ;
por ser correspondientes. Esto es, están
situados del mismo lado tanto de cada una de
las paralelas como de la secante.
6. Los ángulos D y H tienen igual magnitud ;
por ser correspondientes.
7. Los ángulos B y F tienen igual magnitud ;
por ser correspondientes.
8. Los ángulos C y G tienen igual magnitud ;
por ser correspondientes.
255
9. Los ángulos A y G tienen igual magnitud ;
por ser alternos externos. Esto es, están
situados a uno y otro lado de la secante y por el
exterior del sistema de las paralelas.
10. Los ángulos B y H tienen igual magnitud ;
por ser alternos externos.
11. Los ángulos D y F tienen igual magnitud ;
por ser alternos internos. Esto es, están situados
a uno y otro lado de la secante y por el interior
del sistema de las paralelas.
12. Los ángulos C y E tienen igual magnitud ;
por ser alternos internos.
Ejercicios
1. Encuentra, en el sistema de paralelas cortado por una secante dibujado anteriormente, las parejas
de ángulos que son suplementarios y da las razones de por qué lo son.
2.
En el siguiente sistema de paralelas cortado por una secante, encuentra los valores de las
magnitudes de todos los ángulos.
A
D
E
H
3. Igual que el ejercicio anterior.
A
B = 2A
D
C
F
E
H
G
256
F
G
75°
C
4. Dibuja en hojas de papel, ayudado por el transportador, los siguientes ángulos:
a. 40°
b. 75°
c. 27°
d. 110°
e. 136°
f. 170°
g. 190°
h. 155°
i. 180°
j. 240°
Ahora reprodúcelos sólo con regla no graduada y compás.
5. Dibuja los siguientes ángulos, ayudado por el transportador, y traza sus bisectrices:
a. 180°
c. 45°
e. 30°
g. 140°
b. 90°
d. 60°
f. 56°
h. 210°
6. Dibuja los siguientes ángulos, ayudado por el transportador:
a. 20°
b. 37°
c. 68°
d. 95°
e. 100°
f. 130°
y traza lo que se te pide, utilizando sólo regla no graduada y compás:
a. un ángulo que tenga el doble de medida del ángulo a.
b. un ángulo que tenga el triple de medida del ángulo b.
c. un ángulo que tenga el doble más media medida del ángulo c.
d. un ángulo que tenga la medida de los ángulos a y c juntos.
e. un ángulo que tenga la mitad de medida del ángulo d.
f. un ángulo que tenga la cuarta parte de medida del ángulo e.
g. un ángulo que tenga el triple de medida del ángulo f.
h. un ángulo que tenga la medida de los ángulos d y la mitad de e juntos.
7. Divide un segmento de recta en dos partes iguales.
257
i. 168°
j. 320°
8. Dibuja las siguientes figuras empleando sólo regla no graduada y compás.
9. ¿Cuáles son los postulados de Euclides? Busca en la red. Una dirección puede ser:
http://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides
Ligas externas
* Biografía de Euclides: http://es.geocities.com/eucliteam/bibliografia_de_Euclides.html (Agosto 2007).
* Postulados de Euclides: Ver http://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides (Julio 2007).
* Elementos de Geometría: http://es.geocities.com/eucliteam/Elementos_de_geometria.html
(Agosto 2007).
Ilustraciones
* Página 1: Euclides. http://www.nndb.com/people/724/000087463/euclid-1-sized.jpg
(Julio 2007).
258
Matemáticas 1
Geometría
3. Polígonos
Decágono
Cu
O
no
Rectán
no
Pa
ral
e
l og
bo
G
Rom
Comenzaremos por la figura plana más simple
“el triángulo”, y recordamos que un triángulo es
un polígono formado por tres lados y tres
ángulos.
ram
o
Í
Rom
boi
d
e
io
gulo
L
ec
O
go
T
rap
do
xá
Pentág
o
¿Cómo construir un triángulo? Es el primer
objetivo del tema, para después construir un
cuadrado, un rectángulo, y varias figuras
geométricas hasta llegar al hexágono.
P
ad
ra
He
S
Triángulo
El estudiante aprenderá el manejo de figuras geométricas para la identificación,
tratamiento y construcción de cuerpos geométricos como son las superficies planas.
Propósito:
O
1. ¿Cómo podemos construir un triángulo?
Hay varias opciones, comencemos por la más sencilla.
A
1.1 Teniendo una y sólo una medida.
1. a. trazamos una línea recta mayor que el
segmento A,
A’
A’
A
1. b. marcamos en ella la longitud A,
1. c. con estos puntos como centros de circunferencia, trazamos arcos con radio igual a la longitud A
y
259
1. d. desde el punto en que estos arcos se intersectan, trazamos dos líneas (A’) a los extremos de A.
1. e. se ha terminado la construcción de nuestro triángulo.
El triángulo que se construye con sus tres lados iguales se llama “Equilátero” (lados iguales y también
sus ángulos son iguales).
1.2. Teniendo dos medidas.
Aquí se presentan dos casos.
1.2.1. Caso número 1
A
B
1.2. 1. a. el lado B lo tomaremos dos veces,
1.2.1. b. trazamos una línea recta mayor
que el segmento A,
B
B
1.2. 1. c. marcamos en ella la longitud A,
A
1.2. 1. d. con estos puntos como centros de circunferencia, trazamos arcos con radio igual a la
longitud B y
1.2. 1. e. desde el punto en que estos arcos se intersectan, trazamos dos líneas (B) a los extremos
de A.
1.2.2. Caso número 2
1.2.2. a. el lado A lo tomaremos dos
veces,
A
A
1.2.2. b. trazamos una línea recta mayor que el
segmento B,
1.2.2. c. marcamos en ella la longitud B,
B
1.2.2. d. cCon estos puntos como centros de circunferencia, trazamos arcos con radio igual a la
longitud B y
1.2.2. e. desde el punto en que estos arcos se intersectan, trazamos dos líneas (B) a los extremos de
A.
1.2.1. f. y 1.2.2. f. para ahorrar espacio hemos trazado los triángulos.
Los triángulos que se construyen con dos lados iguales o de la misma longitud y el otro de longitud
distinta a la de estos dos, se llaman “isósceles” (dos piernas y también tiene dos de sus ángulos
iguales; los ángulos opuestos a sus lados iguales).
260
1.2.3. Caso sorpresa. Teniendo dos medidas
A
1.2.3. a. el lado B lo tomaremos
dos veces,
B
1.2.3. b. trazamos una línea recta
mayor que el segmento A,
1.2.3. c. marcamos en ella la
A
longitud A,
1.2.3. d. con estos puntos como centros de
B
B
circunferencia, trazamos arcos con radio
igual a la longitud B y…
1.2.3. e. los arcos NO se intersectan, entonces NO se puede trazar un triángulo con estas dos
medidas.
Intenta construirlo tomando dos veces el lado A. Llamémoslo 2. 3. Bis. Caso sorpresa 2.
¿Qué conclusiones obtienes de este ejercicio?
1.3. Teniendo tres medidas
A
1.3.a. trazamos una línea recta mayor
que el segmento A,
1.3.b. marcamos en ella la longitud A,
1.3.c. con estos puntos como centros de
circunferencia, trazamos arcos; uno
con radio igual a la longitud B y el
otro con longitud C,
1.3.d. desde el punto en que estos arcos se
intersectan, trazamos dos líneas (B y C) a
los extremos de A y
1.3.e. terminado nuestro triángulo.
B
C
B
C
A
Los triángulos que se construyen con lados de tres distintas longitudes, se llaman “escalenos” (cojo,
deforme; o sea que son los malos y eso que de estos hay más y también sus ángulos son diferentes).
261
1.3.1. Caso sorpresa. Teniendo tres medidas
A
1.3. 1. a. trazamos una línea recta
B
mayor que A,
1.3.1. b. marcamos en ella la longitud A,
C
1.3.1. c. con estos puntos como centros
B
de circunferencia, trazamos
C
arcos con radio igual a la
longitud B y C…
A
1.3.1. d. los arcos de longitud B y C, NO se
intersectan, entonces NO se puede
trazar un triángulo con estas tres
medidas.
Intenta construirlo tomando primero cualquiera de las medidas B y C. Y llamémoslos 3. 2. Caso
sorpresa 3; y 3. 2. Bis. Caso sorpresa 4.
¿Qué conclusiones obtienes de estos ejercicios?
1.4. Entre los triángulos, hemos notado la importancia que tienen sus lados y sus ángulos pero hay un
grupo de ellos de singular interés, estos son los “Triángulos Rectángulos”. En estos triángulos, es
forzoso que uno de sus ángulos sea un ángulo recto.
El cómo trazarlos, presenta ciertas
facilidades pues ya tenemos un ángulo, lo
de más es simple, por ejemplo:
A
a. sabiendo cuanto miden los
lados que lo forman.
B
b. sabiendo cuanto mide uno de
los otros ángulos y el lado que
tienen en común.
α
B
Antes de salir de los triángulos, al menos por el momento, necesitamos jugar un poco con algo sobre
líneas paralelas cortadas por una secante. Que nos servirá para probar que: la suma de las
magnitudes de los ángulos internos de todo triángulo es igual a 180°, también se puede decir que
suman dos ángulos rectos, o que son iguales a un ángulo suplementario, o a un ángulo colineal o a
uno llano. ¡Uff!
262
Esto es simple, ya verás.
¡Qué susto¡ ¿Eh? Ni tanto, vamos por partes.
γ1
β2
α1
γ
α2
C’
β1
B
A
α
A’
C
β
B’
En este juego, tratamos de construir un dibujo lo bastante grande para que fuera fácil localizar los
elementos que queremos comparar. Empecemos.
1. El triángulo, está compuesto por los lados A, B y C.
2. Prolongando cada uno de los tres lados y construyendo en cada uno de los tres vértices, líneas
paralelas a los lados opuestos, nuestro dibujo está completo.
3. Los ángulos internos son, α, β y γ. Las letras que aparecen son del alfabeto griego; con letras de
este alfabeto se acostumbra nombrar los ángulos en geometría. Además, si te fijas observarás
que a los lados del triángulo se oponen los ángulos con igual letra y así tenemos: A – α, B – β y C
– γ (C – γ, no es la misma letra pero sucede que g sí es la tercera letra del alfabeto griego). Sin
más aclaraciones, seguimos.
4. Tomando las paralelas C y C’ y la secante B, los ángulos α y α1 son iguales por ser alternos
internos.
5. Si ahora lo hacemos con las mismas paralelas C y C’ y la secante A, los ángulos β y β1 son iguales
por ser alternos internos.
6. Para completar tomemos por parejas los ángulos α1, α2; β1, β2; y γ, γ1. Son iguales, las parejas
armadas, por ser opuestos por el vértice.
7. Y ya está, tomando cualesquiera tres de ellos que sean adyacentes, porque así representarán a los
tres internos, forman un ángulo colineal, o 180°, o todo lo que habíamos anotado arriba.
263
8. Además, los ángulos externos, formados por la prolongación de los lados del triángulo, son, en
magnitud, igual a la suma de los dos ángulos internos opuestos. Fíjate en el ángulo externo
formado por las prolongaciones de A y B; (β1 y α2) o bien (β2 y α1).
Haciendo uso de estos últimos 8 (ocho) incisos,
Ejercicios: 8 figuras
Con los datos proporcionados en las siguientes figuras, encuentra los que se pide.
A
s
c
t
a
50°
d
w 80°
u v
Las líneas A y B son paralelas. B
Encontrar el valor de los ángulos:
Encontrar el valor de los ángulos: s, t, u, v, w.
a, b, c, d, e.
A
X
c
u
v
e
d
60°
50°
b 130°
e = a+10°
50°
a
b
30°
120° w
Y
t
s
B
Las líneas X y Y son paralelas y ∠a = ∠b.
Las líneas A y B son paralelas.
Encontrar el valor de los ángulos: a, b, c, d, e.
Encontrar la magnitud de los ángulos:
s, t, u, v, w.
A
v
s
s
80°
d
c
72°
t
a
u
b = a+10
B
264
a
b = a+10
Las líneas A y B son paralelas.
Encontrar la magnitud de los ángulos:
Encontrar el valor de los ángulos: s, t, u, v.
a, b, c, d.
y
a
z
s
w
A
v x
u
P
Q
50°
t
70°
80° b
40°
c
B
Las líneas A y B, P y Q son paralelas.
Encontrar la magnitud de los ángulos:
Encontrar el valor de los ángulos:
a, b, c.
s, t, u, v, w, x, y, z.
2. Ahora, vamos a construir un cuadrado
A
1. Trazamos una línea recta
mayor que A.
2. Marcamos en ella la longitud A.
3. En uno de estos puntos levantamos
una perpendicular al segmento A.
4. Sobre esta perpendicular, y desde el
punto sobre el que la levantamos,
marcamos la longitud A.
5. Tomando como centros de circunferencia este
último punto y el marcado como extremo de
A, que no se ha utilizado, trazamos arcos
desde cada uno de ellos con radio igual a la
A
longitud A.
6. Desde el punto en donde estos arcos se intersectan, trazamos dos líneas a los puntos que nos
sirvieron como centros de circunferencia para trazar estos arcos y
7. Nuestro cuadrado ha sido trazado.
265
3. ¿Cómo construir un rectángulo?
A
1. Trazamos una línea recta
B
mayor que A.
2. Marcamos en ella la
longitud A.
3. En uno de estos puntos levantamos una
perpendicular al segmento A.
4. Sobre esta perpendicular, y desde el
punto sobre el que la levantamos,
B
marcamos la longitud B.
5.
Tomando
como
centros
de
circunferencia; desde este último
A
punto y con radio igual a la longitud A,
trazamos un arco; y desde el marcado
como extremo de A que no se ha utilizado y con radio igual a la longitud B, trazamos otro arco.
6. Desde el punto en donde estos arcos se intersectan, trazamos dos líneas a los puntos que nos
sirvieron como centros de circunferencia para trazar estos arcos.
7. Hemos trazado nuestro rectángulo.
4. Construyamos un paralelogramo
Junto con las longitudes de los dos segmentos que formarán sus lados, es necesario que nos den
uno de los ángulos.
A
1. Trazamos una línea recta
B
mayor que A.
2. Marcamos en ella la longitud A,
3. Uno de estos puntos lo
α
utilizamos como vértice y en
el construimos el ángulo
A
dado.
4. Sobre este lado del ángulo,
marcamos la longitud B.
5. Tomando como centros de
B
B
circunferencia; desde este último
α
punto y con radio igual a la
longitud A, trazamos un arco; y
A
desde el marcado como extremo
de A, que no se ha utilizado, y con radio igual a la longitud B, trazamos otro arco.
6. Desde el punto en donde estos arcos se intersectan, trazamos dos líneas a estos puntos que nos
sirvieron como centros de circunferencia para trazar estos arcos.
7. Quedó trazado nuestro paralelogramo.
266
5. ¿Cómo trazar un rombo?¿Cómo caracterizar al rombo?
En el rombo, las medidas que en general nos dan, son las diagonales.
A
1. Trazamos una línea recta mayor a B.
2. En un punto de ella levantamos una
B
perpendicular y la continuamos en
ambos espacios de la primera línea.
3. Desde el punto de intersección trazamos, sobre la
primera recta y con longitud igual a la mitad del
segmento B, dos arcos de circunferencia que la
corten por ambos espacios.
4. Y desde ese mismo punto trazamos, sobre la
perpendicular construida y con longitud igual a la
mitad del segmento A, dos arcos de circunferencia
que la corten, también por ambos espacios.
5. Trazamos líneas desde las marcas en cada segmento, de
manera alternativa.
6. Hemos construido el rombo.
A
B
6. Trazar un romboide. ¿Cómo caracterizar al romboide?
Como en el rombo, aquí nos dan las medidas de las diagonales. Además de la relación de en dónde
se intersectan éstas.
A
Las diagonales se intersectan
a un cuarto de la longitud del
segmento A.
B
1. Trazamos una línea recta mayor a B.
2. En un punto de ella levantamos una perpendicular y la
continuamos en ambos espacios de la primera línea,
3. Desde el punto de intersección trazamos, sobre la
primera recta y con longitud igual a la mitad del
segmento B, dos arcos de circunferencia que la corten
por ambos espacios.
4. Y desde ese mismo punto trazamos, sobre la
perpendicular construida y con longitud igual a un
cuarto del segmento A, un arco de circunferencia que
la corte en uno de los espacios y con longitud igual a
tres cuartos del segmento A, un arco de circunferencia
que la corte en el otro de los espacios.
267
A
B
5. Trazamos líneas desde las marcas en cada segmento,
de manera alternativa.
6. Tenemos construido nuestro romboide.
7. Trazar un trapecio. ¿Cómo caracterizar al trapecio?
C es la altura del trapecio.
A
B
1. Trazamos una línea recta mayor
C
Al segmento A.
2. En un punto de ella levantamos
una perpendicular.
3. Desde el punto en donde se levantó la
B
perpendicular, trazamos dos arcos de
circunferencia, sobre A y a cada lado del
punto de perpendicularidad, con longitud
C
igual a la mitad del segmento A. Esto nos
da, dos puntos sobre A.
4. Sobre la perpendicular y desde el punto de
A
intersección, trazamos un arco de longitud
C que la corte, C es la altura del trapecio,
5. Desde este punto de intersección, la perpendicular y el arco de longitud C, trazamos otra
perpendicular. Ésta será paralela a la recta A.
6. Sobre esta segunda perpendicular, trazamos dos arcos de circunferencia con longitud igual a la
mitad del segmento B que lo corten en ambos espacios. Esto nos da dos puntos sobre B.
7. Trazamos líneas desde los puntos en A y B que se encuentran en el mismo espacio.
8. Tenemos nuestra construcción del trapecio.
Los cuadriláteros
La lista de figuras geométricas que se construyen con cuatro lados rectos es muy amplia. Los
nombres obedecen, según el caso, a elementos de su propia caracterización.
El nombre que abarca a todas estas
figuras es el de “cuadriláteros” (cuatro
lados).
Aquí te presentamos sólo
algunos. Fíjate que todos ellos
se pueden dividir o componer
con base en “triángulos”, razón
que no es trivial. Tendremos
que seguir construyendo con
ellos.
268
8. ¿Cómo construir un pentágono regular?
Se entiende por polígono regular aquel
que tiene sus lados iguales entre sí.
R
C
360°
360°
5
Radio de la circunferencia en que se
inscribe el pentágono.
= 72°
Tr ansp
ortado
r
1. Trazamos una línea recta mayor que el
segmento R.
2. Marcamos en ella la longitud R.
3. Con centro en uno de estos puntos y radio
igual a R, trazamos una circunferencia.
72°
4. Como la circunferencia tiene ángulo central
R
igual a 360°, dividimos estos grados entre
5 (los lados del pentágono) y tomando
como vértice el centro de la circunferencia
y uno de sus lados el radio ya trazado,
aplicamos nuestro transportador para
construir el ángulo resultante.
5. Con el compás, tomamos la longitud que hay entre las intersecciones de los lados del ángulo con
la circunferencia y trazamos arcos con esta longitud que corten la circunferencia teniendo centro
en estos puntos de intersección con ella.
6. Trazando líneas entre puntos de intersección consecutivos, sobre la circunferencia, obtenemos el
pentágono.
9. Construir un hexágono regular
Radio de la circunferencia en que se inscribe el hexágono.
A
1. Trazamos una línea recta mayor a dos
veces el segmento A.
2. Tomamos un punto en ella y trazamos una
circunferencia de radio igual a A, que
intersectará a la recta en dos puntos.
3. Haciendo centro en cada uno de estos
puntos, trazamos arcos que intersecten
dos veces cada uno a la circunferencia.
4. Si ahora trazamos las líneas entre puntos
de intersección consecutivos, sobre la
circunferencia, obtenemos el hexágono.
A
269
Ejercicios
1. Construye el hexágono, siguiendo el procedimiento empleado en la construcción del pentágono.
2. Divide por la mitad un segmento de recta dado.
3. Dados dos segmentos de recta, trázalas de manera que sean perpendiculares y que se dividan
mutuamente por la mitad.
4. En los triángulos hay líneas que son de sumo interés, así es que a construirlas:
a. Bisectrices. Las líneas que parten por mitad los ángulos internos del triángulo.
b. Medianas. Líneas que unen cada vértice al punto medio del lado opuesto.
c. Alturas. Líneas perpendiculares que unen cada vértice al lado opuesto o su prolongación.
d. Mediatrices. Líneas perpendiculares levantadas en los puntos medios de cada lado.
Además de saber trazarlas, busca el nombre del punto en que se intersectan cada grupo de ellas y
que propiedades tiene.
5. Trazando la bisectriz de un ángulo central, en el caso del hexágono, construye un dodecágono
regular (doce lados).
6. Construye los siguientes polígonos regulares con el método que desees; ya sea el empleado en la
construcción del pentágono regular, bisectando un ángulo central, etc.
a. Diez lados
b. Dieciocho lados
c. Veinticuatro lados
d. Ocho lados
e. Diez lados
f. Nueve lados
7. Relaciona número con definición:
1. Cuadrado
2. Equilátero, Triángulo
3. Escaleno, Triángulo
Polígono en el que uno de sus tres ángulos es recto
4. Hexágono
Paralelogramo, que posee cuatro lados iguales en longitud y lados
opuestos paralelos.
5. Romboide
6. Paralelogramo
7. Triángulo
Polígono cuyos tres lados y tres ángulos son distintos
Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos
Paralelogramo cuyos lados adyacentes y ángulos consecutivos son de
distinta medida
Polígono de cinco lados iguales
Polígono de cuatro lados
270
8. Pentágono
9. Isósceles, Triángulo
Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos
Polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son
de 90 grados cada uno
10. Rombo
11. Trapecio
Polígono de seis lados
12. Cuadrilátero
13. Triángulo rectángulo
14. Rectángulo
Polígono formado por sólo tres lados y tres ángulos
Polígono de tres lados con la misma longitud y los ángulos de sus
vértices miden lo mismo
Polígono regular de cuatro lados iguales
Polígono tal que dos de sus tres lados y dos de sus tres ángulos son
iguales
Glosario
Cuadrado: polígono regular de cuatro lados iguales
Cuadrilátero: polígono de cuatro lados
Equilátero, triángulo: que tiene sus lados iguales entre sí.
Escaleno, triángulo: el que tiene los tres lados desiguales
Hexágono: polígono de seis ángulos y seis lados
Isósceles, triángulo: que tiene iguales solamente dos ángulos y dos lados
Paralelogramo: cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos entre sí.
Pentágono: polígono de cinco ángulos y cinco lados
Rectángulo, triángulo: que tiene un ángulo recto
Rectángulo: paralelogramo que tiene cuatro ángulos rectos lados contiguos desiguales
Rombo: paralelogramo que tiene los lados iguales y dos de sus ángulos mayores que los otros dos.
Romboide: paralelogramo cuyos lados contiguos son desiguales y dos de sus ángulos mayores que
los otros dos.
Trapecio: cuadrilátero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados.
Triángulo: un triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos
Ligas externas
* Construcción de polígonos regulares dada la circunferencia circunscrita
http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/poligonos/poredalacc.asp
(Agosto 2007).
* No todo polígono regular se puede dibujar con regla y compás. ¿Por qué?
* Geometría interactiva con software Cabri:
http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=cuadrado (Agosto 2007).
* Origami: polígonos con papel: http://www.uaq.mx/matematicas/origami/taller1.html (Agosto 2007).
271
Ilustraciones
* Decágono:
http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://mathworld.wolfram.com/images/epsgif/PolygonInternalAngles_700.gif&imgrefurl=http://mathworld.wolfram.com/Polygon.html&h=319&
w=408&sz=145&hl=es&start=27&tbnid=HKVOrmQVPS0LsM:&tbnh=98&tbnw=125&prev=/images
%3Fq%3Dpolygon%26start%3D20%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26svnum%3D10%26hl%3Des
%26sa%3DN (Agosto 2007).
272
Matemáticas 1
Geometría
4. Superficies
Suma de Riemann
Propósito:
El estudiante desarrollará su habilidad para medir los elementos geométricos (líneas
y área de superficies). Sabrá qué medir y cómo realizarlo.
En esta sección se hablará de medidas, desde la longitud para objetos de una dimensión pasando
por la superficie (dos dimensiones) y volúmenes para los objetos tridimensionales. Después de
comentar la longitud o distancia o tamaño, se contesta cuánto miden distintos objetos planos,
empezando por cuadrados, rectángulos y paralelogramos. Terminados los objetos con cuatro lados y
usando algunos de estos se puede encontrar el tamaño de un triángulo y diversas figuras que se
pueden dividir en triángulos, como los rombos, trapecios y otros polígonos, hasta por último llegar al
círculo.
La Geometría de dos
dimensiones estudia
las formas y medidas
de las superficies
Triángulos
Paralelogramos
Rombos
Trapecios
Polígonos
Primera, segunda y tercera llamadas. Las tres llamadas juntas para ahorrar tiempo.
enz
Com
s
amo
za
en
m
Co
s
mo
os
za m
n
e
Co m
amos
Comenz
Comenzamos
Comen
zamos
Come
nza m
os
Comenzamos
273
En geometría es importante saber cómo construir líneas, figuras y cuerpos geométricos. Es necesario
también saber cómo medir sus atributos: longitud, anchura, profundidad, etc.
Por eso, empezaremos por aclararnos a qué espacio o dimensión pertenecen los elementos
geométricos que dibujaremos y estudiaremos.
La medición de los elementos se considerará de la siguiente manera, de acuerdo al grupo al que
pertenezcan:
La longitud de un segmento de línea plana es la magnitud (o tamaño o medida) del espacio de una
dimensión, que se encuentra dentro de las marcas que lo componen.
La superficie (o área) de una figura geométrica plana es la magnitud del espacio de dos
dimensiones, que se encuentra dentro de las líneas que lo componen.
El volumen de un cuerpo geométrico es la magnitud o del espacio de tres dimensiones, que se
encuentra dentro de las superficies (o caras) que lo componen.
Nota- Frecuentemente se usan las palabras área y superficie para referirse al mismo concepto: la
medida o magnitud de un objeto plano. Por “superficie” entendemos la magnitud de un cuerpo de dos
dimensiones, aunque en ocasiones será el espacio ocupado por el cuerpo geométrico.
Como repaso y haciendo una presentación simple observamos que los elementos que se nos
presentan, se encuentran en los espacios que corresponden a:
Una dimensión
Dos dimensiones
Tres dimensiones
Longitud
Comenzaremos la medición de elementos geométricos por los de una dimensión. O sea, mediremos
longitudes y sólo longitudes de elementos geométricos y algo más.
274
Ejemplos
1. ¿Qué distancia hay entre la ciudad de Querétaro y la ciudad de Zacatecas?
R: 450 km
2. ¿Cuál es la altura de la Torre Latinoamericana?
R: 117 m
3. ¿Qué medida es la que se da del la pantalla de un televisor?
R: La longitud de la diagonal de la pantalla (dada generalmente en pulgadas).
4. ¿Cómo están dispuestas las tallas de los pantalones?
R: Por la medida de la cintura y dada en pulgadas. Como medida longitudinal, recordemos que
hay que llevar cinturón (bueno, si el pantalón tiene trabillas y si deseamos usarlo).
Estos son algunos ejemplos de medición de longitudes de objetos a nuestro alrededor. Las unidades
varían; tenemos metros, centímetros, pulgadas, kilómetros, etc., según la costumbre (que en algún
momento fue un primer acuerdo), la necesidad u otras razones.
Volvamos a nuestros ejemplos. Dijimos que mediríamos elementos de una dimensión y algo más. ¿A
qué nos referíamos con algo más? Veamos los ejemplos.
1. Medimos la distancia de la cinta asfáltica que comunica las ciudades de Querétaro y Zacatecas, sin
importarnos el atravesar por arriba de un puente o de una zona boscosa, las subidas y bajadas de
algunos cerros en fin, todo el medio que se encuentra cabe la cinta asfáltica.
2. Anotamos la altura da la Torre Latinoamericana, sin preocuparnos de su estructura como edificio;
cuántos pisos tiene o cuánto espacio ocupa su volumen.
3. Sabemos la medida de la diagonal de las pantallas de los televisores y no nos detuvimos a medir la
caja en que está insertada.
4. Sabemos la medida de cintura para pantalones sin conocer si son para una persona delgada,
robusta, gruesa, obesa, de corta estatura, estatura media o gran estatura. Si hay que entregar un
pantalón talla 32 no podemos saber por ese solo dato si es una persona de corta estatura y
complexión gruesa, o una persona de regular estatura y complexión mediana o una persona de
gran estatura y complexión delgada, y menos su edad, ¿ya sería mucho, no? Que por cierto,
también es una medida longitudinal en el tiempo.
Superficie
Y después de esto, pasemos a las superficies y su medición.
Como hemos hecho al abordar un nuevo tema, comencemos por medir la superficie de las figuras
geométricas más sencillas. Estas son: los cuadrados y los rectángulos (aunque los cuadrados son
rectángulos; todos sus ángulos son rectos, aunque así se acostumbra nombrarlos).
275
Cuadrados y rectángulos
¿Has visto las rejas de refrescos cuando los camiones repartidores o distribuidores los están
entregando en las misceláneas?, ¿Sabes cuántos refrescos contiene una reja?
La reja está construida con 4 hileras de 6
casillas cada una o bien, con 6 hileras de
4 casillas cada una.
Ahora veámosla con los refrescos para ser comprada o cambiada.
Lulú
¿Cuántos refrescos hay
en la reja?
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Lulú
Cuéntalos bien.
La reja contiene 25 refrescos.
Pero si la reja tiene 4 hileras de 6 casillas cada una o 6 hileras de 4 casillas cada una, que equivalen
a 4 x 6 = 6 x 4 = 24, ¿de dónde salen los 25 refrescos?
Muy fácil, porque así ha sido convenido. Es más sencillo conforme se aumentan rejas, hacer la
secuencia de múltiplos de 25 que hacer la de múltiplos de 24. Hagamos una tabla.
Número de rejas
Reja completa
(múltiplos de 24)
Otra forma
de hacerlo
Reja completa + 1 refresco
(múltiplos de 25)
1
2
3
4
5
6
7
8
…
Número de rejas
24
48
73
96
120
144
168
192
…
Múltiplos de 24
25 – 1
50 – 2
75 – 3
100 – 4
125 – 5
150 – 6
175 – 7
200 – 8
…
25 por el número de
rejas menos el
número de rejas
25
50
75
100
125
150
175
200
…
Múltiplos de 25
Número de rejas
Solución no fácil
Solución menos fácil
Solución fácil
276
Respuesta: Bravo por el ingenio de los repartidores. La respuesta es doble, sí doble.
1. En la reja se pueden acomodar, de acuerdo a las casillas, 24 refrescos y
2. La reja contiene, por ser más práctico, 25 refrescos.
1 unidad
La reja tiene forma rectangular. Si
consideramos que cada casilla ocupa,
en la plantilla de la reja, un espacio de
una unidad por cada uno de sus lados,
entonces ocupa una unidad cuadrada,
que dibujando todo esto se ve de esta
forma:
4 unidades
Volviendo a las rejas, la capacidad de instalación de refrescos en ella es de 24. Cifra dada por el
número de hileras multiplicado por el de casillas en cada hilera.
1 unidad
6 unidades
4 unidades
Si ahora consideramos sólo la plantilla, sin los orificios para los refrescos, tenemos:
1 unidad
una unidad CUADRADA. Por
convención se escribe 1u2 , o
simplemente u2 .
Entonces nuestra plantilla tiene:
24 u2.
1 unidad
1 unidad
6 unidades
1 unidad
277
9 unidades ; 9 u
¿Cuántas unidades, cuadradas por supuesto,
tiene una plantilla de 7 unidades por el lado
corto y 9 unidades por el lado largo?
7 unidades ; 7 u
¿Ya te fijaste? ¡La plantilla tiene forma rectangular!
Plantilla de 63 unidades cuadradas ; 63 u2
Y en corto, se lee así:
La superficie del rectángulo es
igual a base por altura.
Veamos un dibujo.
Altura del Rectángulo
De manera que la superficie de un rectángulo está dada por la longitud de su lado corto por la
longitud de su lado largo o lo que es lo mismo, y así lo has leído: la superficie de un rectángulo se
obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.
Rectángulo
Base del Rectángulo
¿Qué mediciones podemos hacer del rectángulo?
Su orilla y su superficie. Por cierto, la longitud de la orilla se llama perímetro.
El perímetro estará dado en unidades lineales y se calculará de la siguiente forma: 2 veces la altura
más 2 veces la base, o sea 2a + 2b ó 2(a + b).
La superficie estará dada por unidades cuadradas calculándose como: base por altura ó b x a.
Calculemos ahora, el perímetro y la superficie de un cuadrado.
278
Altura del Cuadrado
Esto es más fácil. La base y la
altura tienen la misma medida.
Entonces:
Perímetro = 4 x base ó 4 x altura
Más sencillo: 4 x lado.
Superficie = base x altura
Más simple: lado al cuadrado = lado2
Cuadrado
Base del Cuadrado
Altura
La
do
Calculemos ahora la superficie de un paralelogramo.
Paralelogramo
Base
Para calcularla es necesario convertir nuestra figura en una más simple. En un rectángulo. ¿Se
podrá? Intentémoslo.
Si al paralelogramo le quitamos la sección iluminada en azul más intenso y la llevamos hasta el otro
extremo.
279
Altura
Obtenemos finalmente ¡un rectángulo!
Paralelogramo
convertido en
Rectángulo
Base
Y para encontrar la superficie se multiplica, igual que en el rectángulo, la longitud de la base por la
longitud de la altura. En corto: la superficie del paralelogramo es igual a base por altura (en unidades
cuadradas).
El perímetro está dado por 2 veces la base más 2 veces el lado (no la altura, ten cuidado).
Altura
Otros ejemplos
Base
Para construir con este paralelogramo un rectángulo, cortémoslo como hicimos en el ejercicio
anterior, en perpendicular al extremo a la derecha de la longitud de la base, esto es:
Obtenemos,
280
Ahora, si la figura en tono claro la colocamos hasta el extremo del vértice izquierdo del triángulo en
tono oscuro, nuestro recorte toma la siguiente forma:
Si cortamos de nueva cuenta en perpendicular al extremo a la derecha de la longitud de la base,
marcamos,
cortamos
y obtenemos:
Otro
Paralelogramo
convertido en
Rectángulo
Altura
Ejercicio sobre la superficie de los paralelogramos
Base
281
Altura
Los pasos a seguir para construir con este paralelogramo un rectángulo serán similares a los de los
anteriores ejercicios. Comenzamos:
Base
Trazamos una perpendicular al extremo a la
derecha de la longitud de la base.
Cortamos y colocamos la figura en tono
claro hasta el extremo del vértice izquierdo
del triángulo en tono oscuro.
Trazamos y cortamos como en el ejercicio
anterior y obteneos:
282
Reacomodamos y
Paralelogramo
convertido en
Rectángulo
Altura
¿Cómo calculamos la superficie de un triángulo?
Triángulo
Base
Utilizando parte de lo que hicimos con el paralelogramo, tenemos:
Altura
Sabemos que la superficie del paralelogramo se calcula como base por altura y es lo que tenemos
después de nuestra última construcción. Pero de este último número, sólo necesitamos “la mitad”.
¿Qué hacemos?, pues muy fácil, al producto de la base por la altura lo dividimos por dos y tendremos
la superficie del triángulo.
Base
283
bxa
2
La superficie del Triángulo es igual a base por altura sobre dos =
El perímetro del triángulo es la suma de las longitudes de sus lados.
Superficie de rombos y romboides
Como el caso de los rombos y los romboides es similar, los trataremos juntos.
Romboide
Rombo
En los rombos y romboides las longitudes que se nos dan, generalmente, son las diagonales (líneas
en rojo) que son perpendiculares una a la otra, y que suelen ser de diferente medida. Por eso
llamadas diagonal mayor y diagonal menor.
Para obtener la superficie de los rombos y romboides, construyamos rectángulos que los contengan.
Utilizando las medidas de las diagonales como base y altura respectivamente.
Romboide
Rombo
284
Las diagonales son ahora la base y la altura de los rectángulos construidos, verde para el rombo y
ocre para el romboide. Su superficie sabemos como encontrarla pero sólo nos interesa la superficie
en azul, tanto en el caso del rombo como en el del romboide.
Construidos los rectángulos, las superficies de ambas figuras están dadas por el producto de las
longitudes de la base y de la altura. Que en este caso son las diagonales. El producto que tenemos
es: diagonal mayor (escribiremos = D) por diagonal menor (será = d).
Y escribiremos: la superficie de los rectángulos construidos con las diagonales = D x d.
Nos falta establecer ¿qué relación hay entre estos rectángulos y las figuras originales?
Si seccionamos las figuras en los triángulos que las componen: los triángulos azules corresponden a
los que seccionamos de las figuras originales, y los triángulos verdes y ocres a los que aumentamos
para tener los rectángulos construidos con las diagonales.
Si nos fijamos, en cada una de las figuras: triángulos azules, verdes y ocres de cada una de ellas, por
cada triángulo azul hay un triángulo verde de la misma medida en el rombo, y por cada triángulo azul
hay un triángulo ocre en el romboide de la misma medida. ¿Si o no?
R o m b o ide
R om bo
La superficie del rombo, y la del romboide, es igual a base (diagonal menor) por altura
(diagonal mayor) sobre dos (sólo los triángulos azules) =
dxD
2
El perímetro es: para el rombo igual a 4 veces el lado. Perímetro = 4 x lado, y para el romboide: igual
a 2 veces el lado mayor más 2 veces el lado menor.
285
Los trapecios
Figura curiosa. Las aristas horizontales son de diferente medida. Las aristas laterales tienen la misma
longitud y además la misma inclinación, respecto de las aristas horizontales.
(Recuerda que esta figura
podría estar en diferente
posición).
b
b
a
a
Procedamos como en el caso de los paralelogramos. Con una pequeña diferencia. Ya verás.
Trapecio
convertido en
Rectángulo
Pudimos convertirlo en un rectángulo,
pero ¿en cuánto es más grande la arista
horizontal mayor (llamada base mayor),
que la arista horizontal menor (llamada
base menor)?
¿?
286
Podemos
intentar
otro
camino. ¿ Qué tal con
triángulos
cuyo
lado
horizontal sea de medida
igual a la mitad de la
diferencia entre las aristas
horizontales?
Trapecio
convertido en
Rectángulo
Lados horizontales, de los
triángulos, que cambiamos
de posición sustrayéndolos
de la arista mayor para
añadirlos a la menor
Observando la figura de los
triángulos
pequeños
(dos
arriba), haz el seguimiento y
comprueba que hemos hecho
lo siguiente:
Arista horizontal menor
Arista horizontal mayor
Diferencia de las aristas
Mitad de la diferencia que le
añadimos a la arista menor
287
Mitad de la diferencia que le
sustraemos a la arista mayor
De manera que al final nos quedó el promedio de las dos aristas horizontales o bases.
Si a la arista horizontal mayor la llamamos base mayor y la escribimos como B, y a la arista horizontal
menor, base menor y la escribimos como b, entonces
B+b
2
Superficie del trapecio =
xa =
(B+b)xa
2
El perímetro está dado por: base mayor más base menor más 2 veces el lado inclinado.
Así arribamos a las figuras más divertidas: los polígonos regulares (con más de 4 lados).
Ejercicio
¿Por qué la aclaración del paréntesis? Contesta argumentando tu respuesta.
Polígonos regulares
Son polígonos regulares aquellas figuras planas que se pueden inscribir en un círculo y que sus lados
tienen la misma longitud o también, que subtienden en mismo ángulo central.
Y así tenemos:
Pentágono
Hexágono
Eptágono
Octágono
Y así podemos seguir construyendo polígonos regulares.
288
Altura
¿Cómo encontrar la superficie de un polígono?
Tomemos un pentágono. En él tenemos 5 triángulos iguales con un vértice común.
Base
Tomemos de él un triángulo. Sabemos que la superficie de un triángulo está dada por el producto de
la longitud de la base (lado del pentágono) por la de la altura dividido por 2.
De modo que, teniendo 5 triángulos, multiplicamos el resultado del párrafo anterior por 5 y
obtendremos la superficie del pentágono.
¿Qué hicimos para encontrar la superficie del pentágono?
Tomamos un triángulo en él y obtuvimos su superficie, o sea su tamaño, y después lo multiplicamos
por el número de triángulos en que lo dividimos. Esto lo escribimos como:
Superficie del pentágono =
base x altura
2
x5 =
altura x lado
2
x5
En los polígonos regulares la altura se llama apotema (perpendicular trazada desde el centro de un
polígono regular a uno cualquiera de sus lados).
Ahora, pon atención en lo siguiente: multiplicar la longitud del lado por el número de lados (en este
caso 5), es el perímetro del pentágono.
289
El perímetro del pentágono es igual a longitud del lado x 5, y la
superficie del pentágono =
apotema x lado
2
x5 =
apotema x perímetro
2
¿Qué haremos con el hexágono? El tratamiento y construcción serán los mismos. Sin asustarnos
abordemos, como avezados marinos, el caso.
Y tenemos, el perímetro del hexágono es igual a longitud del lado x 6, y la
superficie del hexágono =
apotema x lado
2
x6 =
¿Te fijas como coinciden los términos? Apotema por perímetro sobre dos.
Igual será para todos los polígonos regulares.
Perímetro = lado x número de lados y
Superficie = perímetro por apotema sobre dos.
290
apotema x perímetro
2
Mientras más lados tenga un polígono regular, las medidas del radio del círculo en que está inscrito y
las del apotema irán siendo casi las mismas.
Imagina más y más lados en un polígono. Dibújalo.
apotema x lado
2
Superficie de ese polígono (con muchos lados) =
x (muchos lados)
Y como el producto de la longitud del lado por la cantidad de lados es el perímetro, tenemos:
perímetro x apotema
2
Superficie de ese polígono (con muchos lados) =
El círculo y la circunferencia
radio
lado del polígono
apotema
Centro
Cuando tengamos un polígono con un número infinito de lados (figura difícil de dibujar), estaremos
frente a un círculo (fácil de dibujar), entonces nuestro cálculo para encontrar la superficie quedará
como:
superficie del círculo =
perímetro (del círculo) x apotema (radio del círculo)
2
,y
aquí la pregunta es ¿cómo obtener el perímetro del círculo (o sea la circunferencia).
291
Analizando los polígonos nos damos cuenta que hay una relación estrecha entre el radio del círculo
en que está inscrito el polígono y la longitud del apotema, y desde luego del radio con el perímetro del
polígono. Si extendemos esto, cuando tenemos un polígono que se nos ha transformado en círculo,
podemos proponer lo siguiente:
Dado el radio de un círculo, éste se encuentra en una relación fija con su circunferencia.
Y ¿si dibujamos un círculo?, ¿si el radio lo vamos empalmando en la circunferencia como un arco de
ella?, pues dibujémoslo.
radios transformados
en arcos sobre la
circunferencia
radio
arco
restante
Radio
De modo que el radio cabe en la circunferencia 6 veces y resta un pequeño arco. Ese pequeño arco
equivale aproximadamente a 3 décimas partes del radio y entonces,
Perímetro del círculo =
radio del círculo x 6.3
superficie del círculo =
radio del círculo x 6.3 x radio del círculo
2
292
, y sustituyendo
Si la longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio, sustituimos, duplicando el radio (2r = d)
y tomando sólo la mitad del número que representa la relación con él y tenemos,
Perímetro del círculo =
diámetro del círculo x 3.14
,y
superficie del círculo =
2 x radio del círculo x 3.14 x radio del círculo
2
,
cancelamos el 2 en el numerador y en el denominador,
superficie del círculo =
radio del círculo x 3.14 x radio del círculo
Multiplicando el radio por sí mismo nos da radio al cuadrado, o sea r2, y el número que nos da la
relación entre el diámetro y la circunferencia, el 3.14, lo llamamos “Pi”, nombre griego de la letra del
mismo valor fonético que el nuestro y que escribimos en mayúscula Π y en minúscula π.
Veamos como luce la circunferencia con los diámetros.
diámetros transformados
en arcos sobre la
circunferencia
diámetro
arco
restante
293
Y nuestras relaciones toman la siguiente forma:
Perímetro del círculo =
3.14 x diámetro del círculo = π x d
superficie del círculo =
3. 14 x radio x radio = π . r2
,y
Esta formula para encontrar la superficie del círculo es afín con la formula para calcular la de
cualquier polígono. ¿Cómo es esto? .Desarrollémosla.
perímetro x apotema
2
superficie de un polígono =
perímetro x radio (apotema )
superficie del círculo =
=
2
=
π x 2r x r
2
πxrxr
=
=
πxdxr
2
=
π x r2
Breve historia del número π
Los babilonios y los hebreos consideraban que la razón del diámetro de un círculo a su
circunferencia, era de 3 (tres) a 1 (uno). En el Antiguo Testamento encontramos la siguiente alusión a
ella: … “También hizo un mar de fundición, el cual tenía diez codos de un borde a otro, enteramente
redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía alrededor”.
22
7
Los egipcios tenían a ésta razón por el valor de
Arquímedes, de Siracusa, Sicilia (S. III, ane), imaginó la circunferencia como la figura obtenida por
exhaución de polígonos regulares inscritos y circunscritos; es decir, por duplicación del número de
lados de tales polígonos.
De esta manera, la longitud de la circunferencia quedará atrapada entre los perímetros de éstos
polígonos. Arquímedes realizó la construcción para los polígonos de hasta 96 (noventa y seis) lados,
lo que permitió una buena aproximación a la razón del diámetro a la circunferencia, o aproximación al
número llamado π.
Método de exhaución de polígonos.
Número de lados
6
12
24
48
96
Perímetro del polígono inscrito
3
3.105828
3.132628
3.139350
3.141031
294
Perímetro del polígono circunscrito
3.464101
3.215390
3.159660
3.146086
3.142714
Ejercicios
1. Hallar el perímetro o las longitudes de los lados, según el caso, de los siguientes triángulos:
Equiláteros.
a. lado igual a 3.18 cm.
b. longitud de la mitad del lado igual a 2.4 cm.
c. el triplo del lado es igual a 6 cm.
d. perímetro igual a 14.52 cm.
e. perímetro, la quinta parte de 80 m
Isósceles.
a. longitud de cada uno de los lados iguales, 7.5 cm. y el otro lado, 3 cm.
b. longitud del lado único, 5 m; los lados iguales, tres quintos del otro lado.
c. longitud del lado único, 3 m; los lados iguales, 2.1 m más que el otro.
Escalenos.
a. lados igual a 3.4 m, 4.7 m y 7.1 m
b. primer lado, 2.6 m; segundo, 1.75 más que el primero y tercero, lo que el primero
y segundo juntos.
c. primer lado, 7.5 cm.; segundo, dos tercios del primero y tercero, el doble del
segundo.
2. Hallar la superficie de los siguientes triángulos:
a. base igual a 5.5 cm. y altura igual a 4.3 cm.
b. base igual a 6.9 m y altura igual a dos terceras partes de la base.
c. altura igual a 7 cm. y base igual a la mitad de la altura más 1.5 cm.
3. Hallar el perímetro y la superficie de las siguientes figuras geométricas (dibújalas):
Rectángulos.
a. lado menor igual a 3.4 cm. y lado mayor igual a tres veces el menor.
b. lado mayor igual a 7.8 m y lado menor igual a dos tercios del mayor.
c. base igual a 15 y altura igual a tres veces la mitad de la base.
4. Hallar la longitud de los lados y la superficie de las siguientes figuras geométricas:
Rectángulos.
a. perímetro = 48 m y el lado mayor igual a tres veces el menor.
b. lado mayor = 2.5 cm. más que el lado menor y perímetro = 33 cm
c. perímetro = 30 m y lado menor igual a dos tercios del lado mayor.
5. Hallar la superficie de las siguientes figuras geométricas (dibújalas):
Rombos
a. diagonal menor = 5 m y diagonal mayor igual a tres medios de la diagonal menor.
b. diagonal mayor = 7 cm. y diagonal menor igual a tres cuartos de la diagonal mayor.
c. la suma de las diagonales es 12 cm. y la diagonal mayor es 4 cm. más larga que la
diagonal menor.
295
6. Hallar el perímetro y la superficie de los siguientes polígonos (dibújalos):
Pentágonos.
a. lado = 28 m y apotema = 19.27 m
b. lado = 12 cm. y apotema = 8.26 cm.
Hexágonos.
a. lado = 16 mm. y apotema = 13.86 mm.
b. lado = 46 m y apotema = 39.84 m
Decágonos.
a. lado = 2 m y apotema = 3.08 m
b. lado = 7.15 mm. y apotema = 11 mm.
Dodecágonos.
a. lado = 18.76 cm. y apotema = 35 cm.
b. lado = 4.82 Dm. y apotema = 9 Dm.
Pentadecágonos.
a. lado = 1.7 m y apotema = 4 m
b. lado = 4.25 Hm. y apotema = 10 Hm.
7. Hallar el perímetro y el lado o el apotema, según el caso, si sabemos el valor de la superficie:
Pentágonos
Hexágonos
Dodecágonos.
a. superficie = 440.4 cm2, y apotema = 11.01 cm.
b. superficie = 678 m2, y lado = 19.85 m
a. superficie = 23.7 m2, y lado = 3.02 m
b. superficie = 781 dm2, y apotema = 15.02 dm.
a. superficie = 267 m2, y apotema = 9.11 m
b. superficie = 5672 cm2, y lado = 22.51 cm.
8. Hallar la circunferencia y la superficie de los siguientes círculos:
a.
b.
c.
radio = 5.75 cm.
diámetro = 17 m
diámetro + radio = 21.3 dm.
9. Hallar el radio, el diámetro y la circunferencia de los siguientes círculos:
a.
b.
c.
superficie = 3.1416 m2.
superficie = 28.6 cm2.
superficie = 345.75 m2.
10. ¿Cómo se mide la altura sobre el nivel del mar? Puedes buscar en la red.
296
11. Encuentra la altura sobre el nivel del mar de las siguientes ciudades y luego ordena desde la más
baja hasta la más alta.
Ciudad
Chihuahua, Chihuahua
Guadalajara, Jalisco
México, DF
Monterrey, NL
Pachuca, Hidalgo
Puebla, Puebla
Querétaro, Querétaro
Toluca, EdoMx.
Altura (metros)
De menor a mayor
Ciudad
Bogotá, Colombia
Buenos Aires, Argentina
Caracas, Venezuela
Cochabamba, Bolivia
Cuzco, Perú
Brasilia, Brasil
Iquique, Chile
La Paz, Bolivia
Lahasa, Nepal
Lima, Perú
Oruro, Bolivia
Quito, Ecuador
Santiago de Chile
Sucre, Bolivia
Altura (metros)
De menor a mayor
12. En mayo de 2007 el comité ejecutivo de la FIFA prohibió la disputa de partidos internacionales de
fútbol a más de 2500 metros. De las ciudades anteriores encuentra aquellas donde no se podrán
disputar tales juegos.
Glosario
Apotema: perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular a uno de sus lados
Circunferencia: el conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma
Longitud, magnitud o tamaño: longitud es la distancia recta entre dos puntos
Perímetro: longitud del lado
Superficie o área: es la magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones
Volumen: cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.
297
Ligas externas
* ¿Qué dice el teorema de Pitágoras? ¿Cómo se demuestra? Una sencilla demostración geométrica y
claro, el enunciado se encuentran en:
http://es.geocities.com/elianayhidalgog/index.html (Agosto 2007).
* Zenón, Eudoxio, Arquímedes: Tres matemáticos de la antigüedad iniciaron el cálculo del tamaño de
distintos objetos. Una breve introducción a esto.
http://www.geocities.com/grandesmatematicos/cap02.html (Agosto 2007).
* Bernard Riemann definió el concepto hoy conocido como la Integral de Riemann. En la página que
se cita aparecen varias animaciones calculado la medida de figuras planas.
http://www.vc.ehu.es/campus/centros/farmacia/deptosf/depme/apuntes/gracia/animadas/animadas2.htm (Agosto 2007).
Ilustraciones
* Página 1: suma de Riemann: http://www.vc.ehu.es/campus/centros/farmacia/deptosf/depme/apuntes/gracia/animadas/animadas2.htm (Agosto 2007).
298
Matemáticas 1
Geometría
5. Volúmenes
Propósito:
El estudiante aprenderá a hacer mediciones de los elementos de los cuerpos
geométricos. Desarrollará su habilidad para medir todos sus elementos: la longitud
de sus aristas, la superficie de sus caras y el volumen de cuerpos regulares.
A partir del volumen de un cubo de tamaño uno se obtiene la generalización para los paralelepípedos.
Después se analizan los casos de prismas, pirámides y conos.
La Geometría de tres
dimensiones estudia
las figuras y las formas
de los volúmenes
Poliedros
Prismas
Pirámides
Cilindros
Conos
Esferoides
Unica llamada.
Los cuerpos geométricos se encuentran en el espacio de tres dimensiones; por esto, se les puede
medir su longitud, anchura y profundidad.
1. De longitud, cuando se miden sus aristas. Magnitud en el espacio en una dimensión.
2. De superficie, al medir sus caras. Magnitud del espacio en dos dimensiones.
3. Y de volumen, al medirlo como un cuerpo geométrico. Magnitud del espacio en tres dimensiones.
Recordamos que por “superficie” entendemos la magnitud de un cuerpo de dos dimensiones, aunque
en ocasiones será el espacio ocupado por el cuerpo geométrico. (Sólo trataremos cuerpos regulares)
299
Comenzamos, pero antes un interesante ejercicio de calentamiento.
Relaciona las siguientes columnas:
Objeto
1. Arista
2. Cara
3. Vértice
Definición
Punto en que concurren tres o más planos.
Segmento común que tienen dos caras vecinas de un cuerpo geométrico.
Cada uno de los polígonos que forman o limitan un cuerpo geométrico.
Paralelepípedo rectangular
4 unidades
de alto
Un cuerpo que podemos medir es el siguiente.
es
ad
d
i
n
go
8u
lar
e
d
7 unidades
de ancho
¿Cuántas aristas tiene el siguiente cuerpo geométrico?, ¿cuántos vértices?, ¿cuántas caras? y ¿qué
forma tienen éstas?
En la medición de los elementos anteriores podemos encontrar:
1. La longitud de sus aristas y la suma de ellas;
Unidades lineales
2. La superficie de sus caras y el total de ellas;
Unidades cuadradas
3. El volumen del paralelepípedo rectangular, ¿ ?
Así se llama este cuerpo geométrico.
También se llama prisma.
Unidades en tres dimensiones
Examinemos el dibujo anterior señalando las unidades unitarias en cada dimensión.
300
1 unidad
4 unidades
de alto
1 unidad 1 u
nid
ad
s
de
i da o
n
g
8u
lar
de
1 unidad
7 unidades
de ancho
1 unidad
1u
a
nid
d
La manera de encontrar el volumen de un cuerpo geométrico es, como en las superficies, multiplicar
las longitudes en cada una de sus tres dimensiones. En el caso que nos ocupa: el pequeño cuerpo,
con medidas de 1 unidad en cada dirección, tiene 1u x 1u x 1u = 1u3.
Ese pequeño cuerpo, te habrás dado cuenta, es un cubo (hexaedro regular; cuerpo de seis caras
iguales). Por eso a las unidades de volumen se les llama “unidades cúbicas”.
De modo que para encontrar el volumen del paralelepípedo rectangular (o el amigo del nombre raro)
que tenemos, es necesario multiplicar sus longitudes en las tres direcciones.
Volumen del paralelepípedo rectangular = 7 unidades x 8 unidades x 4 unidades =
= 56 unidades2 x 4 unidades =
= 224 unidades3
Interpretemos esto mediante varios dibujos.
Dibujo 1
1 unidad
de alto
es
ad
d
i
n
go
8u
lar
e
d
7 unidades
de ancho
301
después, poner 4 de
estas bases, una sobre
otra.
4 unidades
de alto
En este caso sería primero
tener la base de 7u de ancho
por 8u de largo y
4 unidades
de alto
Dibujo 2
ad
nid o
u
g
1
lar
de
7 unidades
de ancho
Aquí tenemos primero la
base de 7u de ancho por 4u
de alto y
luego, poner 8 de estas
bases, una tras de otra.
302
Ejercicio intermedio
1. ¿Cuál es la longitud total de sus aristas?
2. ¿Cuál es la superficie total de sus caras?
Dibujo 3
4 unidades
de alto
En este dibujo tenemos primero la
base de 8u de largo por 4u de alto y
es
ad
d
i
n
go
8u
lar
e
d
entonces, poner 7 de estas
bases, una al lado de otra.
1 unidad
de ancho
Dibujo 4, final
El producto de las
longitudes en las tres
dimensiones, del amigo
del nombre raro, es igual
a 224u3.
En este dibujo se pueden
contar los 224 cubos de
1u por lado, ¿quieres
contarlos?
303
id
la ade
rg
s
o
de
4.
5
un
4.5 unidades
de alto
Encontremos todas las
medidas de un hexaedro
regular (cuerpo geométrico
de seis caras de iguales
dimensiones: cubo) que
tienen por longitud de aristas
4.5 centímetros.
4.5 unidades
de ancho
Respuestas
1. Longitud total de las aristas = 4.5 cm. multiplicado por en número de aristas. ¿Cuántas aristas tiene
el hexaedro?
R: 4.5 cm. x 12 aristas = 54 cm. (acuérdate, estas son unidades lineales).
2. Superficie total de las caras = 4.5 cm. por 4.5 cm. por el número de caras. ¿Cuántas caras tiene el
hexaedro?, pues seis como dice su nombre.
R: 4.5 cm. x 4.5 cm. x 6 caras = 20.25 cm2 x 6 = 121.5 cm2 (unidades cuadradas).
3. Volumen total del hexaedro = 4.5 cm. x 4.5 cm. x 4.5 cm. (x un sólo cuerpo geométrico).
R: 4.5 cm. x 4.5 cm. x 4.5 cm. = 20.25 cm2 x 4.5 cm. = 91.125 cm3 (unidades cúbicas).
Tenemos que, en un paralelepípedo podemos calcular la longitud total de sus aristas, la superficie
total de sus caras y el volumen de cualquiera de los miembros de esta familia. Los pParalelepípedos
son cuerpos geométricos con caras paralelas dos a dos y apellidados, según sus caras extremas,
como: cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc. Por cierto, a los paralelepípedos también se les
llama “prismas”, y se les apellida igual que como se hace con el amigo del nombre raro.
304
Prismas y pirámides
Cuadrangular
Pentagonal
Hexagonal
Cilindro
Otros cuerpos geométricos que nos encontraremos en este estudio son las pirámides. Las pirámides
son cuerpos geométricos que tienen una base poligonal, que es lo que les da el apellido, en donde
cada lado del polígono es base de sus caras, que son triangulares, y tienen un vértice común. Este
vértice es el opuesto a la base que es poligonal.
Familia de las pirámides.
… y desde luego hay muchos más, prismas y pirámides.
305
¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo de la familia de los prismas?
Prisma
Cuadrangular
Superficie
de la cara
cuadrangular
del prisma
Base sobre la
cara del prisma
y de altura
1 unidad
Primer paso: obtener el área de la superficie de una de las caras que le dieron apellido al prisma
(usaremos este nombre por ser más fácil triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., y
Segundo paso:
multiplicar esa
superficie por la
altura del
prisma; la
longitud de las
caras
rectangulares.
Una sobre otra, tantas bases como unidades
tiene de altura (o unidades de longitud) las
caras rectangulares del prisma.
306
Las bases acomodadas
de manera ordenada.
Prisma Pentagonal
Superficie
de la cara
pentagonal
del prisma
Bases, una al lado de la otra, tantas
como unidades tienen de longitud las
caras rectangulares del prisma.
Base sobre la
cara del prisma
y de altura
1 unidad
Las bases acomodadas de
manera ordenada.
Prisma Hexagonal
Superficie
de la cara
hexagonal
del prisma
307
Base sobre la
cara del prisma
y de altura
1 unidad
Bases, una al lado de la otra, tantas
como unidades tienen de longitud las
caras rectangulares del prisma.
Las bases acomodadas de
manera ordenada.
Cilindro
Superficie
del círculo
Bases, tantas como unidades tiene la altura
del cilindro.
Base sobre el círculo
y de altura 1 unidad
Las bases acomodadas de manera ordenada.
308
Esta es la forma de encontrar el volumen de un prisma o un cilindro.
¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo de la familia de las pirámides?
Habíamos comentado, líneas arriba, que el apellido de las pirámides es igual que el de los prismas. Si
los prismas son cuerpos geométricos que nos acercan a las pirámides, intentemos obtener el
volumen de una de ellas (pirámide cuadrangular) a partir de la descomposición del prisma
cuadrangular. ¿Cuántas veces cabe una pirámide en el prisma del mismo apellido, si ambos tienen la
misma superficie en la cara extrema y la misma altura?
Prisma cuadrangular
Pirámide cuadrangular inmersa
en el prisma del mismo apellido
Pirámide cuadrangular
B
A
D
1
C
309
Del dibujo anterior tomamos del prisma una pirámide, numerada con el 1, y el volumen restante lo
cortamos en cuatro partes A, B, C y D.
B
A
Unimos las partes B y A, y a este bloque le seccionamos dos partes como se indica en el dibujo.
F
E
Aquí tenemos ya una segunda pirámide y las partes E y F las juntaremos con las C y D.
Esta segunda pirámide también la hemos construido del material del prisma.
E
2
D
C
310
F
Juntando, por un lado las partes E y F y por otro las C y D, obtenemos los bloques G y H.
C
E
D
G
F
H
Si ahora giramos 180° (ciento ochenta grados) el bl oque H y ensamblamos G y H, el bloque
resultante es un doble tetraedro (cuerpo geométrico construido con cuatro triángulos). Por la manera
en que fueron ensamblados estos bloques, se produjo un hueco igual al de la pirámide cuadrangular
(por eso el 3 del ensamble G y H, lo escribimos en “negativo”). Esto nos da una idea de cómo
comparar los bloques G y H con la pirámide.
G
H
3
I
J
Cortamos la pirámide por la
diagonal de la base y hasta
el vértice de los triángulos.
311
Obtenemos las partes I y J.
G
H
Encaramos ahora, G
con I y H con J.
J
I
Considerando de estos tetraedros las caras G, I, H y J que tienen la misma superficie y teniendo los
cuatro tetraedros la misma altura (línea roja cerca de la arista que nos da la altura), entonces G tiene
el mismo volumen que I y H, el mismo que J. Como I y J formaban una pirámide, concluimos que: Los
volúmenes de G y H, equivalen al volumen de la misma pirámide.
j
g
h
i
Y así resulta que el volumen del prisma cuadrangular, equivale al volumen de tres pirámides
cuadrangulares siempre y cuando tengan la misma base y la misma altura.
2
I
1
312
3
Resumiendo:
El volumen de los prismas está dado por el producto de la superficie de una de las caras poligonales
y la longitud de las caras rectangulares. En el caso de los cilindros, por el producto de la superficie de
uno de los círculos y la altura del cilindro.
El volumen de las pirámides está dado por el producto de la superficie de la cara poligonal y la altura
de la pirámide dividido por 3 (tres). En los conos, por el producto de la superficie del círculo y la altura
del cono dividido por 3 (tres).
Volumen de los prismas:
perímetro x apotema
2
Superficie de la cara poligonal x altura =
x altura
Volumen de los cilindros:
π x r2 x altura
Superficie de la cara circular x altura =
Volumen de las pirámides:
Superficie de la cara poligonal x altura
3
=
perímetro x apotema
2
=
perímetro x apotema x altura
6
=
4 x r2 x altura
3
Volumen de los conos:
Superficie de la cara circular x altura
3
313
x
altura
3
=
En la geometría hay otros cuerpos cuyos procesos para obtener su volumen, es diferente a lo que
hemos visto. Estos cuerpos son los poliedros regulares; cuerpos geométricos que sus caras son
polígonos regulares. De estos sólo tenemos 5 que son: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e
icosaedro. Veamos el método para calcular sus volúmenes.
Vamos a explicarlo con el tetraedro y con el octaedro.
d
C
c
B
V
D
a
b
A
B
E
F
V
b
H
a
A
d
C
c
h
D
g
e
f
G
El tetraedro: cada una de sus caras está
identificada con una letra mayúscula y las
minúsculas son los puntos, en esa cara, en
donde pone pie perpendicular la recta trazada
desde el centro, punto V, del tetraedro; esta
línea es el apotema.
El Octaedro: las caras y los puntos en pie
perpendicular, se identifican fácilmente. La
línea trazada desde el punto V, es la apotema.
Y ahora: ¿cómo obtenemos la longitud total de las aristas de estos cuerpos geométricos?
¿Cómo obtenemos la superficie total de las caras?
¿Cómo calculamos el volumen de estos cuerpos geométricos?
Longitud de la arista
R 1. La longitud total de las aristas de un poliedro regular =
x
número de aristas
R 2. a. La superficie total de las caras de un poliedro regular
314
=
Superficie de la cara
x
número de caras
=
Base x Altura
x número de caras
2
=
R 2. b. Para el dodecaedro, tenemos que, es
R 3. a. El volumen de un poliedro regular
=
Perímetro x Apotema
2
x número de caras
= Superficie de la cara x Altura x número de caras
=
= Superficie de la cara x Apotema x número de caras
=
Base x Altura x Apotema (al centro) x número de caras
2 x 3
R 3. b. Para el dodecaedro, tenemos que
=
=
=
=
Perímetro x Apotema (de la cara) x Altura x número de caras
2 x 3
=
Perímetro x Apotema (de la cara) x Apotema (al centro) x número de caras
2 x 3
La esfera es un cuerpo muy especial. Como te habrás dado cuenta a lo largo de tu vida, la esfera no
tiene aristas tiene sólo una superficie, así es que por ahora tendremos que aceptar que tanto su
superficie como su volumen están dados por las siguientes expresiones:
La superficie de una esfera =
4 x π x r2
y
cerramos este tema con el volumen de una esfera =
4 x π x r3
3
.
Resuelve el siguiente acertijo
¿Por qué nuestro método cambia cuando queremos obtener las superficies y los volúmenes del
hexaedro y el dodecaedro? (sugerencia: dibuja, ilumina, recorta, juega con los métodos y formulas
que tienes líneas arriba).
Para obtener los volúmenes de los prismas y cilindros, construimos un cuerpo geométrico que tenía la
superficie del polígono o del círculo (caras extremas) y altura, anchura o profundidad igual a una
unidad.
315
Entonces, hay una idea que toma forma de pregunta y que es natural que nos hagamos. Es muy
simple, hela aquí:
¿Se podrán calcular los volúmenes de las pirámides y los conos como se calcularon los prismas?, es
decir, con la superficie de la cara poligonal o del círculo como plantilla y haciendo con ésta una base
de una unidad de altura, y la cara paralela a la cara poligonal o al círculo plantilla, menor en superficie
y así subsecuentemente e ir superponiéndolas hasta obtener el volumen total de las pirámides o los
conos.
Mm.… piensa… piensa. Sí se puede, pero este asunto debemos dejarlo para un curso más adelante.
Ahora, tenemos ya un método de cómo encontrar los volúmenes de estos cuerpos geométricos. Lo
que podemos hacer es dibujar cómo serían las bases que superpondríamos. Y desde luego, imaginar
y aceptar el reto, proponer algún método y perseguir la solución.
Así sería, ayudados del dibujo, una idea para hacerlo con las pirámides.
Y así, para los conos:
¡Auch!
316
Ejercicios
(Sugerencia: dibuja los cuerpos geométricos que se mencionan en los ejercicios).
1. Se tiene un prisma rectangular con las siguientes dimensiones: 8, 12 y 16 cm. Hallar la longitud
total de sus aristas, la superficie total de sus caras y su volumen (dibújalo y no olvides en cada
respuesta el tipo de unidades).
2. En un cubo de 9 m. de arista, ¿cuál es la longitud total de sus aristas, la superficie total de sus
caras y su volumen? (cuida las unidades en cada respuesta)
3. Una caja de zapatos mide 35 cm. de largo, 18 cm. de ancho y 15 cm. de alto. Obtener la longitud
total de sus aristas, la superficie total de sus caras y el volumen de la caja en cm3 y en dm3.
4. ¿Cuántos metros cúbicos contiene una habitación que mide 8m. de largo, 3.5 m. de alto y 50 dm.
de ancho?, ¿cuántos metros cuadrados tiene la superficie total de sus caras? y ¿cuál es la
longitud total de sus aristas?
5. Hallar la superficie total y el volumen de un prisma cuya altura es 15 m y la base es un rombo
cuyas diagonales miden 700 cm. y 5 m
6. Sabiendo que 1 dm3 es igual a un litro, ¿cuántos litros de agua caben en una lata de base
cuadrada de 20 cm. de lado y 30 cm. de altura?, ¿cuál es la superficie total de la lata? y ¿cuál es
la longitud total de sus aristas?
7. En un almacén de 4 m. de alto, 7 m. de ancho y 9 m. de largo, ¿cuántas cajas cúbicas de 50 cm.
de arista se pueden almacenar? y ¿cuántas cajas, de iguales dimensiones que las anteriores, si
se deja a lo largo del almacén un pasillo de 1 m. de ancho?
8. Un envase de aceite tiene base circular de 5 cm. de radio y 20 cm. de altura, ¿qué cantidad de
aceite le cabe?, ¿cuál es su superficie total? y ¿cuál es la longitud total de sus aristas?
9. Hallar la capacidad volumétrica de un depósito cilíndrico que tiene de base circular 28 cm2 y de
altura 7 cm. ¿cuál es su superficie total? y ¿cuánto mide su radio?
10. En una tienda de regalos tienen una caja en forma de prisma pentagonal con las siguientes
medidas: cara poligonal; 8 cm. de lado y 5.5 cm. de apotema y una altura de 20 cm., ¿qué
volumen de regalos cabe en la caja?, ¿cuál es la superficie total? y ¿cuánto miden sus aristas
sumadas sus longitudes?
11. Hallar la capacidad de un depósito que tiene 150 cm. de altura y cuya base es un triángulo que
tiene 60 cm. de base y 50 cm. de altura. Obtener la superficie total de sus caras y la longitud total
de sus aristas.
317
12. Cuál es el volumen de una pirámide regular pentagonal, si el lado de la base es igual a 90 cm., el
apotema 62 cm. y la altura 2 m. 30 cm., también obtener la longitud total de sus aristas y la
superficie total de sus caras.
13. Una pirámide cuadrangular tiene 10 m. de altura y 5 m de arista en la base, ¿cuál es su
volumen?, ¿cuál su superficie total? y ¿cuál la longitud de sus aristas?
14. Hallar el volumen, la superficie y el total de las aristas de un tetraedro con una altura de 2m. 15
cm. y cuyo triángulo de apoyo tiene 40 cm. de base y 36 cm. de altura.
15. Dadas dos pirámides hexagonales, iguales en sus dimensiones, que tienen 5 m. de altura y el
hexágono, base de las pirámides tiene 6 m. de lado y 5.20 m. de apotema, ¿cuál es la longitud
total de las aristas de las dos pirámides?, ¿cuál la superficie total de las caras de las dos
pirámides? y ¿cuál el volumen de las dos pirámides?
16. Un barquillo (o sorbete) de galleta para helado, de forma cónica, tiene 4 cm. de diámetro en la
boca (o base del cono) y 12 cm. de altura, ¿cuántos cm3 nos despachan en el barquillo, si
además de llenarlo sobresale de él una semiesfera de helado con igual diámetro que el barquillo?
17. Los balones de básquetbol tienen 24 cm. de diámetro. Cuando se infla para jugar con él, ¿qué
cantidad de aire contiene? y ¿cuál es su superficie?
18. De una pirámide hexagonal que tiene 25 cm. de altura y su base tiene 20 cm. de lado y 17.32 cm.
de apotema, ¿cuál es la longitud total de sus aristas)?, ¿cuál la superficie total de sus caras? y
¿cuál su volumen?
19. El carro tanque de los bomberos tiene, como depósito de agua, un cilindro con las siguientes
medidas: 1.20 m. de diámetro y 10 m. de largo. Si un dm3 (decímetro cúbico) de agua equivale a
un litro y un litro equivale, de modo aproximado, a un kilogramo de peso, ¿qué cantidad de dm3 de
agua puede transportar el carro tanque?, ¿cuántos litros? y ¿cuánto es en kilogramos esa
cantidad de agua? (convierte de metros a decímetros las medidas del cilindro, te será más fácil).
20. Una pirámide rectangular, tiene 42 m. de altura y los lados del rectángulo que tiene por base
están en relación 2 a 3 (dos tercios) y su perímetro mide 90 m. ¿Cuál es la longitud total de sus
aristas?, ¿cuál la superficie total de sus caras? y ¿cuál su volumen?
21. Relaciona las siguientes columnas:
a- Paralelepípedo
1- Porción del plano limitada por líneas rectas
b- Prisma
2- Sólido limitado por seis paralelogramos cuyas caras opuestas son
iguales y paralelas
c- Polígono
3- Cuerpo limitado por dos polígonos planos, paralelos e iguales que se
llaman bases, y por tanto paralelogramos cuantos lados tenga cada
base
318
Glosario
Arista: es la línea de intersección de dos planos.
Vértice: es el punto común entre los lados consecutivos de una figura geométrica
Cara: cuerpo geométrico: cualquiera de los lados planos de un cuerpo geométrico
Poliedro: cuerpo limitado por polígonos planos
Paralelepípedo: poliedro de seis caras, todas paralelogramos, siendo las caras opuestas iguales y
paralelas dos a dos.
Prisma: es un sólido terminado por dos polígonos paralelos e iguales que se denominan bases, y por
tantos paralelogramos como lados tengan las bases, que se denominan lados.
Polígono: figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados
lados
Ligas externas
* Un barquillo de nieve es un cono junto con una bola de helado en la parte superior. Si suponemos
que el helado llena todo el cono y sobresale media esfera, ¿cual es su volumen?
* ¿Que capacidad tiene un bebedero semicircular?
Ambas preguntas (y respuestas) aparecen en:
http://www.keypress.com/documents/dg4/GP_Spanish/DG4GP_SPN_10.pdf
(Agosto 2007).
* En http://www.nissantsuru.com.mx/catalogo.pdf dice que la capacidad de la cajuela del Tsuru de
Nissan es 338 dm3. ¿Cuántos litros de agua le caben?
Ilustraciones
•
Pirámide, página 1:
http://www.tea.state.tx.us/student.assessment/resources/online/2006/spgrade4/math/images/2
7graphicaa.gif (Julio 2007).
319
Bibliografía
Números naturales y números enteros; álgebra
1. Acevedo, Valadez, Sánchez. Aritmética y Álgebra; Capítulo 1 Ed. McGraw Hill
2. Baldor, Aurelio Aritmética teórico práctica Ed. Publicaciones Cultural
3. Briseño, Verdugo, Martínez, Struck. Matemática I Descubre y aprende Ed Prentice
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4. Britton, Jack R., Bello, Ignacio Matemáticas Contemporáneas
Ed. Oxford
5. Clawson, Calvin “Magia y belleza de los números” en Misterios Matemáticos
Diana
Ed.
6. Flores García, Conrado. “Bloque 1. Álgebra, estructuras y operaciones” Módulos de
Matemáticas; Aprendizaje paso a paso. Ed. Trillas
7. Fuenlabrada Aritmética y Álgebra
Ed. McGraw Hill
8. Meserve, Bruce E., Sobel, Max A. Introducción a las Matemáticas Ed. Reverté
9. National Council of Teachers of Mathematics Temas de Matemáticas
10. Palmer, Bibb, Jarvis, Mrachek
11. Peterson
Matemáticas Prácticas Ed. Reverté
Teoría de la Aritmética
Ed. Limusa
12. Thompson Aritmética Capítulos: I, II, V
13. Torres Torija, Manuel
Ed. Trillas
Ed. Limusa
Planteo y resolución de problemas
Ed. Limusa
Geometría
1. Baldor, Aurelio Geometría plana y del espacio y Trigonometría Ed. Publicaciones
Cultural
2. Clemens, et al. Geometría Ed. Prentice Hall
3. Flores García, Conrado. “Bloque 4: Geometría euclidiana” Módulos de Matemáticas
Ed. Trillas
4. Hemmerling, Edwin M Geometría Elemental Ed. Limusa
5. Palmer, Bibb, Jarvis, Mrachek Matemáticas Prácticas
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Ed. Reverte
6. Peter B. Geltner, Darrel J. Peterson
Geometría Ed. International Thomson
7. Peterson. Teoría de la Aritmética Ed. Limusa
8. Rivaud Morayta, Juan José Geometría intuitiva 2, Áreas, volúmenes y centros de
gravedad Ed. Limusa
9. Salazar, Pedro, Sánchez, Sergio, Jiménez, Amalia Isabel Matemáticas II Colección
Bachiller Ed. Compañía Editorial Nueva Imagen
10. Thompson Aritmética Capítulos: XII, XIII, XIV, XVI, XVII, XXI
Ed. Limusa
11. Wenworth, Jorge, Smith, David Eugenio Geometría plana y del espacio Ed. Porrúa
Gobierno del Distrito Federal
Secretaría de Educación
Instituto de Educación Media Superior
Material de Apoyo al estudio
de la Modalidad Semiescolar
Matemáticas I
Autor: Gabriel Silva Ramírez.
Corrección de estilo: René Chargoy Guajardo
México, D.F. Julio de 2009
I
.
321