Download Conocimientos básicos de trigonometría

TRIGONOMETRÍA BÁSICA
INTRODUCCIÓN
La trigonometría, como su palabra de raíz griega indica, significa medida de los triángulos. Es una herramienta
matemática que estudia la relación que existe entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo.
Recuerda que un triángulo rectángulo es aquel que posee un lado recto de 90º, tal como se muestra en la Figura.


b
90º
a
Recuerda también, que la suma de los lados de un triángulo es igual a180º, por lo que para un triángulo rectángulo se
cumple que:
    90º  180º
    90º
Lo que nos indica que los ángulos de un triángulo rectángulo son complementarios, es decir, entre los dos suman 90º.
Por otro lado, también conviene recordar el teorema de Pitágoras, que indica que la suma del área cuadrada formada por
el lado de la hipotenusa es igual a la suma del área de uno de los catetos mas la suma del área del otro cateto:
h2


90º
b
b2
h2  a2  b2
h  a2  b2
a
a2
© Paraninfo Cengage Learning
Pág.: 1
Funciones trigonométricas
Si relacionamos las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo se obtienen una serie de relaciones numéricas
que se mantienen constantes para cualquier triángulo rectángulo con los mismos ángulos y aunque el tamaño de sus
lados sea diferente.
De esta forma se establecen las siguientes funciones trigonométricas que relacionan los lados del triángulo. Para el
ángulo :
El seno (abreviado como sen) es la razón entre el cateto opuesto (b) y la hipotenusa (h).
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto contiguo (a) y la hipotenusa (h).
La tangente (abreviado como tan) es la razón entre el cateto opuesto (b) y el contiguo (b).
b
h
a
cosα 
h
b
tanα 
a
senα 


b
90º
a
El valor de una determinada función trigonométrica para un ángulo determinado se puede consultar en una tabla, o
mucho más fácilmente con una calculadora científica.
Actividad Resuelta
Calcular las funciones trigonométricas del triángulo rectángulo de la siguiente Figura.


5m
90º
10 m
Solución:
Primero calculamos la hipotenusa mediante el teorema de Pitágoras:
h  a 2  b 2  102  52  11,18 m
Ahora calculamos las funciones trigonométricas del ángulo :
5
 0,447
11,18
10
cos α 
 0,894
11,18
5
tg α   0,5
10
sen α 
© Paraninfo Cengage Learning
Pág.: 2
Si tuviéramos a disposición unas tablas trigonométricas podríamos comprobar como, para cualquiera de estas tres
relaciones trigonométricas el ángulo  es igual a 26,57º.
Con una calculadora científica es mucho más fácil averiguar el ángulo que le corresponde a cada una de las funciones
trigonométricas. A esta función se le conoce como arco de la función.
arc sen
arc cos
arc tg
Esta función aparece en las calculadoras como elevado a la menos uno.
Así, por ejemplo para averiguar el ángulo del triángulo hemos operado con la calculadora de la siguiente forma:
sen -1 (0,447)  26,57º
1
cos - (0,894)  26,57º
tg -1 (0,5)  26,57º
También es posible, una vez conocido el ángulo, averiguar su relación trigonométrica correspondiente. Así, por
ejemplo, para averiguar las funciones trigonométricas del ángulo 26,57º operaríamos así con nuestra calculadora
científica:
sen(26,57º )  0,447
cos(26,57º )  0,894
tg(26,57º )  0,5
Actividad Resuelta
Se desea calcular la hipotenusa y el lado opuesto del triángulo de la Figura., así como sus relaciones trigonométricas y
el ángulo desconocido.

25º
b
90º
50 m
Solución:
50
50
50
h

 55,19 m
h
cos 25º 0,906
b
sen 25º 
 b  55,19·sen 25º  23,32 m
55,19
23,32
tg α 
 0,47
50
β  90  α  90  25  65º
cos 25º 
© Paraninfo Cengage Learning
Pág.: 3
Actividad Propuesta
De un triángulo rectángulo averigua los datos que faltan en la siguiente Tabla:
Ejercicio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
100
200
b
50
20
h


sen 
cos 
tg 
300
100
100
50
10
45º
30º
20º
10
0,4
20
0,8
100
2
Relación trigonométrica de los ángulos más notables
Funciones trigonométricas en una circunferencia de radio unidad
Para ampliar la información sobre las funciones trigonométricas consulta en tus libros de matemáticas y, en su defecto,
busca información en Internet.
© Paraninfo Cengage Learning
Pág.: 4