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Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
UNIDAD DIDÁCTICA VI: Geometría 3D (III)
1 ÍNDICE
Página:
2 SUPERFICIES PRISMÁTICAS…………………………………………….. 2
2.1 PRISMAS…………………………………………………………… 2
3 SUPERFICIES PIRAMIDALES…………………………………………….. 3
3.1 PIRÁMIDES………………………………………………………… 4
4 SECCIONES PLANAS………………………………………………………. 5
5 DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS…………………………….......... 6
6 SOLUCIÓN A EJERCICIOS DE LAS UNIDADES ANTERIORES……… 8
7 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS…………………………... 11
UNIDAD DIDÁCTICA VI Geometría 3D (III)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
1
Francisco Irles Mas.
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2 SUPERFICIES PRISMÁTICAS.
Se definen como superficies prismáticas
aquellas que están formadas exclusivamente
por caras planas delimitadas por aristas
paralelas entre sí todas ellas. Son por tanto
superficies infinitas en una dirección, la de las
aristas, y en sus dos sentidos. En sistema
diédrico
se
representan
mediante
las
proyecciones de sus aristas vistas y ocultas por
sí misma. Las posiciones relativas respecto al
diedro son las mismas que las de una recta
(frontal, horizontal, genérica...), si bien también
se puede hablar de superficies proyectantes
Figura 1: Superficie prismática.
verticales u horizontales, así como de
sus trazas sobre los PPV y PPH, que
serán formas poligonales.
2.1 PRISMAS.
Son
poliedros
irregulares
formados por el volumen que encierra
una superficie prismática y dos planos
secantes a ella, de forma que sobre
esos planos se definen dos caras
(bases del prisma) que limitan
longitudinalmente
la
superficie
prismática cerrando el volumen del
prisma. Las aristas de las bases se
denominan aristas básicas, siendo las
demás laterales.
Figura 2: Prisma.
Se pueden clasificar los prismas en rectos u oblicuos, según el ángulo
que formen las aristas laterales (de la superficie prismática) con los planos de
las bases (si es 90º son rectos).
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Figura
3: Prisma regular,
truncado
y oblicuo.
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Llamamos prisma regular a aquel que tiene por base un polígono regular
y todas sus caras laterales iguales, por lo que han de ser rectos respecto los
dos planos secantes de las bases.
Llamamos prisma truncado a aquel cuyas bases están en dos planos no
paralelos.
Figura 4: Prisma truncado de punta con base sobre plano frontal, prisma regular apoyado en
plano horizontal y con una cara frontal, prisma horizontal oblicuo al PPV, prisma en posición
genérica.
Las proyecciones diédricas se obtienen de forma similar a los poliedros,
existiendo de igual forma posiciones particulares y genéricas resolviéndose los
problemas que se plantean por medio de desabatimientos que permiten situar
caras o aristas, perpendicularidades y paralelismos.
3 SUPERFICIES PIRAMIDALES.
Están formadas por caras planas
delimitadas por rectas convergentes todas
ellas sobre un único punto, su vértice. Son
también infinitas en los dos sentidos y
simétricas respecto del vértice. En sistema
diédrico se representan mediante las
proyecciones del vértice y de sus aristas
vistas y ocultas por sí misma. También se
pueden obtener las trazas de esta
superficie sobre los planos de proyección.
Figura 5: Superficie piramidal.
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3.1 PIRÁMIDES.
Son poliedros formados por el
volumen que encierra una superficie
piramidal entre su vértice y un plano
secante a todas sus aristas. Sobre este
plano define la base de la pirámide,
formada por las aristas básicas y sus
vértices. El vértice de la superficie
piramidal pasa ahora a llamarse vértice
principal y las caras definidas sobre la
superficie piramidal caras laterales, así
como las aristas laterales.
Figura 6: Pirámide.
Figura 7: Pirámides oblicua , regular y regular truncada.
Las pirámides regulares tienen por base un polígono regular y son
rectas, es decir, el vértice principal esta sobre la perpendicular al plano de la
base por el centro del polígono que constituye la base. En este caso todas las
caras laterales son iguales y son triángulos isósceles.
Son oblicuas cuando los ángulos de las caras con la base son distintos
entre sí.
Hablamos de regular truncada cuando todos los ángulos entre caras
laterales contiguas son iguales y la base forma distintos ángulos con ellas. La
formas oblicuas y truncadas en general se confunden salvo en el caso de
regular truncada.
Las proyecciones diédricas se obtienen de forma similar a los poliedros o
prismas, mediante desabatimientos y perpendicularidades, tomando un menor
protagonismo el paralelismo, que sólo se da en algunos casos entre aristas
básicas.
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Figura 8: Pirámides: Regular truncada, regular, oblicua, irregular oblicua y/o truncada, regular
en posición genérica.
4 SECCIONES PLANAS.
Como ya se definió con los poliedros, la
sección plana de un sólido es la intersección que
sobre él produce un plano. Cuando el sólido es
poliédrico de caras planas siempre obtenemos
un polígono regular o irregular. Por tanto se va
abordar la resolución de la sección plana
mediante un único método válido para todas las
formas poliédricas abordadas hasta ahora:
poliedros, prismas y pirámides.
El caso más simple se produce cuando el
plano de corte se sitúa proyectante respecto de
uno de los planos de proyección diédrica. Figura 9: Sección plana con
Puesto que en la proyección donde todo el plano plano proyectante vertical.
se ve como un filo, la sección contenida en él
también, bastará con pasar los puntos de esa proyección a la otra y unirlos
convenientemente contorneando el sólido, sin abandonar su superficie,
discriminando partes vistas y ocultas.
Cuando el plano de corte es genérico lo más conveniente es realizar un
cambio de plano. No obstante, esta vía queda excluída en el programa del
DOGV, por lo que pasamos a ver otra algo más tediosa pero conceptualmente
más simple y sistemática. Los puntos de la poligonal intersección son la
intersección de algunas aristas del poliedro con el plano de corte, por lo que
podremos obtenerlos mediante intersecciones de las rectas que contienen a los
segmentos arista con el plano de corte, auxiliándonos de un plano que pase
por cada arista, por comodidad, proyectante.
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Figura 10: Se da la base de una pirámide sobre el plano vertical ABCDE y su vértice
principal V, determina la sección plana que produce el plano α que se da. En la figura se ha
mostrado la resolución en proyecciones diédricas, mediante planos proyectantes que pasan
por las aristas, así como sus abatimientos para obtener las VM necesarias para construir el
desarrollo con transformada que se muestra en las figuras 11 y 12.
5 DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS
Permitiéndonos un lenguaje poco técnico podemos decir que el
desarrollo de un poliedro es el “recortable” de su superficie. Es decir la
extensión de todas sus caras en VM concatenadas entre sí por una de sus
aristas sobre un plano. Para obtener la VM de cada arista o cara utilizaremos
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abatimientos de los planos que las contienen, bien los de las propias caras o
bien auxiliares que pasen por las aristas.
Cuando las caras son triangulares
(tetraedros, octaedros, icosaedros, caras
laterales de pirámides, etc) bastará con
saber las VM de sus aristas para conocidos
los tres lados reproducir los triángulos en VM
para formar el desarrollo. Sin embargo si las
caras son polígonos de más lados es
conveniente abatir la cara entera para tener
su geometría en VM, trasladarla y girarla
para adaptarla al desarrollo. A poco que
trabajemos este tema nos damos cuenta la
ingente
laboriosidad
de
obtener
la
intersección línea a línea y sus respectivos
abatimientos, por lo que es conveniente tener
claros algunos conceptos: identificar caras y
aristas que ya se ven en VM en alguna de las
proyecciones, cuando el plano secante
interseca caras que son paralelas las rectas
intersección también lo han de ser, si hay
caras que son polígonos regulares bastará
con conocer su
lado en VM, si
una cara tiene
en su contorno
un punto de
intersección
siempre a de
tener otro punto
sobre otro lado
o pasar por la
propia
arista,
etc.
Llamamos
transformada de
una sección a la
huella que deja
sobre
la
superficie
desarrollada la
intersección del
plano de corte
sobre las caras
del poliedro. Se
Figura 11: Desarrollo lateral con
transformada correspondiente a la
figura 10.
Figura 12: Desarrollo total con transformada correspondiente a la figura 10
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obtiene uniendo en el desarrollo de forma correcta los puntos de intersección
de las diferentes aristas con el plano de corte, para lo que debemos situar
dichos puntos en la VM de cada arista abatiendo con ella su punto de
intersección.
En ocasiones podemos diferenciar distintos tipos de desarrollos,
laterales, o totales, pudiéndose dar mixtos. Hay poliedros irregulares que
debido a su concavidad requieren de desarrollos parciales inconexos, pues no
se pueden extender todas sus caras sobre un único plano.
6 SOLUCIÓN A EJERCICIOS DE LAS UNIDADES ANTERIORES.
1/ Situar los puntos dados por coordenadas: A(-40,13,20); B(-30,19,12); C(20,0,18); D(0,-15,-18); E(-10,-15,-14); F(10,15,-15); G(20,-10,5); H(30,-17,17);
J(50,0,0); K(40,12,-22); M(60,-18,0).
2/ Obtén las rectas que pasan por: “r” por A(0,-7,14) y B(17,8,7); “t” A(0,22,8) y
B(13,4,-4); “w” A(0,10,15) y B(0,15, 10).
3/ Determina las trazas del plano “β” formado por la recta “r” (0,0,0);
(28,33,13); y el punto “A” (28,18,8) ayudándote de la recta frontal “s” de “β” que
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pasa por “A” y sabiendo que las rectas “r” y “s” con del plano y se cortan en un
punto.
4/ Dibuja una recta que corta a LT en (10,0,0), sus proyecciones “r1” y
“r2” son coincidentes formando 75º con LT y quedan ocultas en toda su
longitud por el diedro de referencia. Determina las trazas de un plano “α”
sabiendo que la recta “r” es una recta de
máxima pendiente del plano “α”.
5/ Obtén la intersección de los planos
“α” y “β”, definidos por los puntos:
“α” (30,0,0); (45,15,0); (45,0,15)
y “β”
(0,15,0); (15,0,0); (30,0,15).
6/ Obtén la intersección del plano “α” y la
recta “r” definida por los puntos A(30,10,30) y B(60,-13,5). El plano “α” pasa por
(8,0,0); (50,0,31) y (50,28,0).
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7/ Dada la recta r definida por (20,11,8) y (40,19,23), trazar el plano “α”
de modo que sea perpendicular a la recta r y pase por el punto A(60,-30,15).
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7 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS.
1/ Dibuja un prisma hexagonal regular apoyado por su base en el plano PPH.
Su lado mide 30 mm., su altura 70 mm., tiene dos aristas básicas frontales,
siendo el alejamiento de la más próxima a LT 10 mm. Obtén la sección plana
que produce un plano que pase por el punto medio de esa arista más próxima
a LT, por el vértice de la izquierda de la otra arista básica frontal y por el punto
medio de la arista lateral de más a la derecha. Obtén el desarrollo lateral del
prisma y transformada sobre una cartulina y construye el recortable del tronco
inferior del prisma.
2/ Dibuja un hexaedro de forma que una de sus secciones planas hexágono
regular quede frontal en VM. Obtén el desarrollo total del trozo de cubo que
queda entre el plano secante y el PPV.
Las lecturas de esta unidad se realizarán sobre cualquier libro que
aborde en sistema diédrico los prismas y pirámides (p.e. “Geometría
Descriptiva” de Izquierdo Asensi. Ed.: Dossat.)
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