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UNIDAD 3.
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS
TRIÁNGULOS
LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
Un triángulo es un polígono de tres vértices.
Tiene tres lados, tres ángulos interiores y
tres ángulos exteriores. Si los vértices son A,
B y C lo denotamos ABC .
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS
Un
ESCALENO:
desiguales.
triángulo
Si
tiene
es:
sus
tres
lados
ISÓSCELES: Si tiene por lo menos un par de
lados congruentes. Si AB  AC entonces se
dice que el ABC es isósceles de base BC .
EQUILÁTERO:
congruentes.
Si tiene sus tres lados
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS
Un triángulo es:
ACUTÁNGULO:
agudos.
Si tiene los tres ángulos
ALTURA: Es la perpendicular trazada desde
un vértice a su lado opuesto o a su
prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es
la base relativa a dicha altura.
BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de
un ángulo interior, por ejemplo AD .
BISECTRIZ EXTERIOR:
RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El
lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa
y los lados que lo forman son los catetos.
OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso.
EQUIÁNGULO:
congruentes.
MEDIANA:
Es el segmento que une un
vértice con el punto medio M de su lado
opuesto, por ejemplo AM .
Si tiene los tres ángulos
Es la bisectriz de
un ángulo exterior, por ejemplo
AE .
MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa
por el punto medio M de un lado, por ejemplo
suur
MN .
Todo triángulo tiene tres medianas, tres
alturas, tres bisectrices interiores, tres
bisectrices exteriores y tres mediatrices.
TEOREMA: Todo triángulo equilátero es
isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.
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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN:
Dos
triángulos
son
congruentes si tienen sus tres lados
respectivamente congruentes y sus tres
ángulos respectivamente congruentes:
AB  DE 


 ABC   DEF  BC  EF  


AC  DF 
A  D


B  E 
C  F 


Dos elementos respectivamente congruentes
son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados
Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos).
TEOREMA: La congruencia de triángulos es
una relación de equivalencia:
1.
2.
3.
Reflexiva: ABCABC
Simétrica: ABCDEF  DEFABC
Transitiva:
ABCDEF DEFGHIABCGHI
NOTA: La transitividad será muy útil para
probar que dos triángulos son congruentes.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S
CRITERIO L.A.L.
AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen un ángulo congruente formado por lados
respectivamente congruentes.
COROLARIOS:
1.
En todo triángulo isósceles los ángulos
opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
2.
Todo triángulo equilátero es equiángulo.
(Ejercicio)
3.
En todo triángulo isósceles, la bisectriz
del ángulo opuesto a la base también es
mediana, altura y mediatriz con respecto
a la base.
4.
Por un punto exterior a una recta pasa
una y sólo una perpendicular a ella.
5.
En todo triángulo, cada ángulo exterior es
mayor que cualquiera de los dos ángulos
interiores no adyacentes.
6.
Todo triángulo tiene por lo menos dos
ángulos agudos. (Ejercicio)
Dm:
1.
Supongamos que el
ABC es isósceles de
base BC y tracemos la
bisectriz AD del BAC,
con B-D-C.
AB  AC
hip.
L :

A : BAD  CAD const.
 L : AD  AD reflex.



Tenemos:
 , luego


por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos
homólogos resulta B = C.
3. También por lados homólogos BD=DC
entonces AD es mediana. Además por sHs
ADB=ADC, pero BDC=180º (por B-D-C),
entonces ADC=90º, luego AD es altura y
como pasa por el punto medio de BC , también
es su mediatriz.
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4.
Debemos probar tanto la existencia
como la unicidad de dicha perpendicular.
5.
En el ABC consideremos el ángulo
exterior DAC y veamos que DAC  BCA .
Existencia:
Sea A
un punto exterior a la
recta L. Tomemos dos
puntos B y C sobre L y
Tracemos la mediana
BM y prolonguémosla
hasta F de modo que
BM=MF. Tracemos AF .
Por
LAL
resulta
AMFCMB,
luego
FACBCA, (sHs).
tracemos
AB .
Construyamos el CBD
tal
que
BD=BA
y
CBDCBA, con D en
el semiplano opuesto de
A con respecto a L .
Pero AF es interior al
CAD,
luego
DAC  FAC y por lo tanto DAC  BCA .
Tracemos AD que corta a L en el punto E. Por
construcción el ABD es isósceles y BE es
bisectriz del ABD, luego BE es altura sobre
AD y en definitiva
AD L.
Unicidad: Supongamos
que existe otro punto
F sobre la recta L tal
que
AF  L, luego
AFB =90º.
CRITERIO A.L.A.
TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen respectivamente congruentes dos
ángulos y el lado común a ellos.
Dm: Consideremos ABC y DEF tales que
BE, BC=EF y CF.
Tracemos FD .
Por
LAL,
ABFDBF,
luego
AFBDFB,
(sHs)
y
entonces
también DFB = 90º.
Sumando resulta AFD = 180º y por lo tanto
A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden
porque las rectas
en común.
AD y L sólo tienen un punto
En la semirrecta BA tomemos el punto G tal
que BG=ED y tracemos CG . Por el axioma LAL
se obtiene GBCDEF, luego BCGEFD
(sHs) y como EFDBCA entonces por
transitividad BCGBCA. Por lo tanto G
está sobre la semirrecta CA y debe coincidir
con A y resulta BG=BA. Por transitividad
BA=ED y por el axioma LAL se obtiene
ABCDEF.
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COROLARIOS:
CRITERIO A1 A2 L1
1.
Si un triángulo tiene dos ángulos
congruentes entonces es isósceles.
2.
Todo triángulo equiángulo es equilátero.
(Ejercicio)
TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen
dos
ángulos
respectivamente
congruentes y el lado opuesto a uno de ellos
congruente.
Dm: 1. Consideremos el
ABC tal que BC.
Tracemos las bisectrices
BD y CE , tales que A-D-C
y A-E-B. Por el teorema
ALA resulta BCDCBE
luego BD=CE (LsHs), y
BDCCEB (sHs), y por
suplementos BDACEA.
Por el teorema ALA se obtiene BDACEA
luego AB=AC (LsHs).
CRITERIO L.L.L.
TEOREMA: Dos triángulos son congruentes
si tienen sus tres lados respectivamente
congruentes.
Dm: Consideremos ABC y DEF tales que
AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos
FEGCBA con G en el semiplano opuesto de
D y EG=BA y tracemos DG . Por el axioma LAL
se obtiene ABCGEF, luego AC=GF (LsHs) y
BACEGF (sHs).
Dm: Consideremos ABC y DEF tales que
BE, CF y AB=DE. Tomemos sobre la
semirrecta BC el punto G con BG=EF y
tracemos AG . Por el axioma LAL se obtiene
ABGDEF, luego AGBDFE (sHs), pero
DFEACB entonces AGBACB (*).
Debemos probar que G coincide con C. Si no
coinciden entonces G precede a C ó C precede
a G. Si G precede a C entonces en el AGC se
tiene AGB  ACB (exterior), lo que
contradice (*). En forma similar se obtiene
una contradicción cuando C precede a G. En
definitiva G y C tienen que coincidir, luego
BC=EF y por el axioma LAL se obtiene
ABCDEF.
CONGRUENCIA DE s RECTÁNGULOS
TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son
congruentes si satisfacen alguna de las
siguientes condiciones:
En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se
forman los triángulos isósceles EDG y FDG,
entonces
EDGEGD
y
FDGFGD.
Sumando EDFEGF y por transitividad
BACEDF. En definitiva, por el axioma LAL
se obtiene ABCDEF.
1.
RCC:
Si
tienen
respectivamente
congruentes los dos catetos.
2.
RCAady: Si tienen respectivamente
congruentes un cateto y el ángulo agudo
adyacente a dicho cateto.
Unidad tres triángulos, Página 4 de 38
3.
4.
5.
RCAop:
Si tienen respectivamente
congruentes un cateto y el ángulo agudo
opuesto a dicho cateto.
RHA:
Si
tienen
respectivamente
congruentes la hipotenusa y un ángulo
agudo.
DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO
TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no
congruentes entonces al mayor de dichos lados
se opone un ángulo mayor y recíprocamente.
Dm:
RHC:
Si
tienen
respectivamente
congruentes la hipotenusa y un cateto.
(Ejercicio)
[] Supongamos que en el
ABC AC  AB . Tomemos
D sobre AC con AD=AB y
tracemos BD .
Dm:
1.
2.
3.
4.
Por
Por
Por
Por
el
el
el
el
axioma LAL
teorema ALA
teorema A1 A2 L1
teorema A1 A2 L1
CONGRUENCIA
DE
LAS
NOTABLES HOMÓLOGAS
LÍNEAS
TEOREMA:
Si
dos triángulos son
congruentes entonces las medianas, las alturas
y las bisectrices respectivamente homólogas
son congruentes. (Ejercicio)
PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
ISÓSCELES
Resulta el ABD isósceles
y ABDADB. Como BD es interior al ABC
entonces ABC  ABD luego ABC  ADB
. Además ADB  DCB (por exterior en el
DBC), y por transitividad ABC  DCB , es
decir, en el ABC se obtiene que B  C .
[] Supongamos que en el ABC B  C (*)
y probemos que AC  AB . Supongamos que
AC  AB ó AC=AB. Si AC  AB entonces por
la primera implicación se obtiene B  C lo
que contradice (*). Si AC=AB entonces el
ABC es isósceles y
resulta B=C que
también contradice (*). En definitiva se debe
cumplir que AC  AB .
COROLARIOS:
TEOREMA:
1.
Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene
dos ángulos congruentes.
2.
En todo triángulo isósceles la mediana, la
altura, la mediatriz (con respecto a su
base) y la bisectriz del ángulo opuesto,
coinciden y recíprocamente. (Ejercicio)
3.
Todo
triángulo
isósceles
tiene
respectivamente congruentes dos alturas,
dos
medianas
y
dos
bisectrices.
(Ejercicio)
1.
En todo triángulo rectángulo la hipotenusa
es mayor que cada uno de los catetos.
(Ejercicio)
2.
En todo triángulo obtusángulo el lado
mayor es el que se opone al ángulo obtuso.
(Ejercicio)
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DESIGUALDAD TRIANGULAR
TEOREMA: En todo triángulo cada lado es
menor que la suma de los otros dos y mayor
que el valor absoluto la diferencia entre ellos.
Dm:
En el ABC
tomemos D sobre la
prolongación de BA
tal que AD=AC y
tracemos
y
DC
obtenemos el ADC
isósceles
con
ADC=ACD y como
CA es interior al
BCD
resulta
luego
ACD  BCD
ADC  BCD y en el DBC se obtiene
D  C , luego BC  BD  BA  AC , es decir
BC  AB  BC . De un modo similar se prueba
que AC  AB  BC y que AB  AC  BC .
De las dos últimas desigualdades se obtiene
y BC  AB  AC entonces
BC  AC  AB
BC  AB  AC .
COROLARIOS:
1.
El camino más “corto” entre dos puntos es
el segmento que los tiene por extremos.
(Ejercicio)
2.
Toda poligonal abierta convexa es menor
que cualesquiera otra poligonal abierta
envolvente
que tenga sus mismos
extremos. (Ejercicio)
3.
Para que un triángulo exista dados sus
tres lados, es suficiente que el lado mayor
sea menor que la suma de los otros dos.
(Ejercicio)
TEOREMA DE LA BISAGRA:
Si dos
triángulos tienen dos lados respectivamente
congruentes y el ángulo comprendido desigual
entonces al mayor ángulo comprendido se
opone un mayor tercer lado y recíprocamente.
Dm:
[]
Consideremos ABC y DEF tales que
AB=DE, AC=DF y A  D y probemos que
BC  EF .
Tracemos AG en el interior del BAC tal que
BAGEDF y AG=DF; tracemos el segmento
BG . Por el axioma LAL resulta BAGEDF,
luego BG=EF (LsHs). Tracemos AR bisectriz
del GAC con B–R-C y tracemos RG . Por el
axioma LAL se obtiene GARCAR, luego
RG=RC (LsHs). Además en el BRG se tiene
BG  BR  RG , luego EF  BR  RG , por lo
tanto EF  BC .
[]
(Ejercicio)
Unidad tres triángulos, Página 6 de 38
PERPENDICULARES Y OBLICUAS
TEOREMA: Si desde un punto exterior a una
recta se trazan el segmento perpendicular a la
recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro
extremo sobre la recta, entonces:
DISTANCIA
RECTA
DE
UN
PUNTO
A
UNA
Se llama “Distancia de un punto P a una
recta L"”, y se denota por “d(P;L)”, a la
medida del segmento PQ  L, Q L.
1.
El segmento perpendicular es menor que
cualesquiera de los segmentos oblicuos.
(Ejercicio)
Si el punto P es interior a la recta L entonces
la distancia es cero.
2.
Dos segmentos oblicuos son congruentes
sii sus pies equidistan del pie de la
perpendicular. (Ejercicio)
La distancia de un punto a una semirrecta o a
un segmento es la distancia del punto a la
recta que contiene a la semirrecta o al
segmento.
3.
Entre dos segmentos oblicuos aquel que
tenga su pie más cercano del pie de la
perpendicular es menor y recíprocamente.
LUGAR GEOMÉTRICO (LG)
Dm:
3. []
Sean AH  L, AB y AC oblicuas
tales que HB  HC y probemos que AB  AC
Si HB  HC entonces
existe un punto D, tal
que D-H-C y HD  HB .
AD
Tracemos
y
entonces los pies de
las oblicuas AB y AD
equidistan del pie de la
perpendicular y por lo
tanto AB=AD, luego el
ABD es isósceles con
ABD=ADB.
Además el ADB  ACD (ext. al ADC),
luego ADB  ACD , es decir, en el ABC se
tiene que B  C , luego AC  AB .
[] (Ejercicio)
Una figura F es el lugar geométrico de una
propiedad P si está formada por todos los
puntos que cumplen la propiedad P y solamente
por ellos, es decir, F es el lugar geométrico
de P si se cumple que:
1.
2.
(X) ( X  F  X cumple P)
(X) ( X cumple P  X  F)
LA MEDIATRIZ COMO LG
TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un
segmento es el lugar geométrico de todos los
puntos del plano que equidistan de los
extremos del segmento.
Dm: [] Sea M la mediatriz de AB , entonces
M es perpendicular a AB en su punto medio C.
Sea XM, como AC=CB, los pies de las oblicuas
XA y XB equidistan del
perpendicular entonces XA=XB.
[] (Ejercicio)
Unidad tres triángulos, Página 7 de 38
pie
de
la
COROLARIO: En un plano, si dos puntos
equidistan de los extremos de un segmento
entonces la recta que ellos determinan es la
mediatriz del segmento. (Ejercicio)
Luego por RHC resulta QOPROP y
entonces AOP=BOP (sHs) y por lo tanto
uur
OP es la bisectriz del AOB.
COROLARIO: Si un punto del interior de un
ángulo, equidista de los lados del ángulo,
entonces pertenece a la bisectriz del ángulo.
CONSTRUCCIONES BÁSICAS
1.
2.
**
Este corolario será muy útil para
realizar la construcción de perpendiculares.
LA BISECTRIZ COMO LG
TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un
ángulo es el lugar geométrico de los puntos del
interior del ángulo que equidistan de los lados
del ángulo.
Dm:
[] Ejercicio
[] Supongamos que un punto P en el interior
uuur
uuur
del AOB equidista de los lados OA y OB , es
decir PQ=PR con PQ  OA Y PR  OB .
Trazar la mediatriz de un segmento.
Trazar la perpendicular a una recta por
un punto interior a ella.
3. Trazar la perpendicular a una recta por
un punto exterior a ella.
4. Construir un ángulo congruente con un
ángulo dado.
5. Trazar la bisectriz de un ángulo con
vértice dado.
6. Construir un triángulo dado dos lados y el
ángulo formado por ellos.
7. Construir un triángulo dado dos ángulos y
el lado adyacente a ambos.
8. Construir un triángulo dados sus tres
lados.
9. Construir un triángulo rectángulo dados la
hipotenusa y un ángulo agudo.
10. Construir un triángulo rectángulo dados la
hipotenusa y un cateto.
11. Construir un triángulo dados dos de sus
lados y la mediana relativa al tercer lado.
12. Construir un triángulo dados dos de sus
lados y la altura relativa al tercer lado.
Analizar todas las posibles soluciones.
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CRUCIGRAMA
Triángulos
(Elaboró:Carlos Alberto Ríos Villa)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
12
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16
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21
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43
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45
46
47
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1/2
HORIZONTALES
VERTICALES
1
3
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
1
PUNTO DONDE UNA DE LAS RECTAS NOTABLES CORTA AL LADO
ALA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
2
5
CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA CUANDO DOS TRIÁNGULOS TIENEN DOS
LADOS Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS, RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES
ESTE SEGMENTO TRAZADO DESDE EL VÉRTICE RECTO, DIVIDE EL
TRIÁNGULO EN DOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES
CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA TRIANGULOS RECTÁNGULOS QUE
TIENEN UN CATETO Y LA HIPOTENUSA RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES
EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES LOS ÁNGULOS OPUESTOS A LOS LADOS
IGUALES SON IGUALES
AUNQUE NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA EN LOS DEMÁS
TRIÁNGULOS EN EL RECTÁNGULO SÍ Y SE LLAMA........
EN UN TRIÁNGULO, SEGMENTO TRAZADO DE UN VÉRTICE
PERPENDICULAR AL LADO OPUESTO O SU PROLONGACIÓN
6
7
8
13
ESTE PUNTO DEL LA HIPOTENUSA EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES
DEL TRIÁNGULO LADOS O ÁNGULOS RESPECTIVAMENTE
CONGRUENTES DE DOS TRIÁNGULOS CONGRUENTES
SEGMENTO QUE PASA POR EL PUNTO MEDIO DE UN LADO Y ADEMÁS ES
PERPENDICULAR A ÉL
EN UN TRIÁNGULO UN LADO ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS OTROS DOS
Y MAYOR QUE EL VALOR ABSOLUTO DE SU DIFERENCIA
14
QUE TRIÁNGULO MAS DEFORME
10
12
16
17
CONCLUYE SOBRE LO QUE SUCEDE EN DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS
LADOS RESPECTIVAMENTE IGUALES Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS
DIFERENTE
TRIÁNGULO QUE TIENE AL MENOS DOS ALTURAS, DOS MEDIANAS Y DOS
BISECTRICES CONGRUENTES
18
19
20
22
MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
23
ES EL MISMO LADO PARA DOS O MAS TRIÁNGULOS
24
LÓGICO, SI LOS TRES LADOS SON RESPECTIVAMENTE IGUALES LOS
TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES
26
LO MISMO QUE LAS PARTES CORRESPONDIENTES
27
28
EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES ES EL LADO DISTINTO, PERO SI NO ES ISO,
SERÁ CUALQUIERA
TODOS LOS PUNTOS INTERIORES AL ÁNGULO QUE EQUIDISTAN DE LOS
LADOS DE ÉSTE
29
PROPIEDAD QUE PODRIAMOS RELACIONAR CON LOS TRILLIZOS
30
CONJUNTO DE PUNTOS QUE CUMPLEN UNA MISMA PROPIEDAD Y
SOLAMENTE ELLOS LA CUMPLEN
ÁNGULO FORMADO POR UN LADO DE UN POLÍGONO Y LA PROLONGACIÓN
DE OTRO
32
34
35
36
37
39
40
41
42
43
44
45
46
47
TRIÁNGULO CON LOS TRES ÁNGULOS AGUDOS
AQUI SE ENCUENTRAN LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO
TODOS LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN DE LOS EXTREMOS DE
UN SEGMENTO
3
4
9
11
15
POLIGONO DE TRES LADOS Y TRES ÁNGULOS
TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO TAMBIÉN LO ES
ESTE TRIÁNGULO TIENE UN ÁNGULO MUY RECTO
27
CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS
ÁNGULOS Y EL LADO OPUESTO A UNO DE ELLOS RESPECTIVAMENTE
CONGRUENTES
EN GENERAL NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA PERO UN DE LAS
ESCEPCIONES EN EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y SE CONOCE
COMO RHC
PUNTO DONDE CONCURREN LAS MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO Y QUE
TAMBIÉN ES SU CENTRO DE MASA
31
ÚNICO TRIÁNGULO EN EL QUE COINDIDEN TODOS LOS PUNTOS
NOTABLES
32
EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES EL ÁNGULO DISTINTO
33
38
PROPIEDAD QUE SE REFIERE A QUE TODA FIGURA GEOMÉTRICA ES
CONGRUENTE CON ELLA MISMA
EN UN TRIÁNGULO SEGMENTO QUE DIVIDE UN ÁNGULO EN DOS PARTES
IGUALES
42
AAL EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
21
25
EL MISMO ÁNGULO PARA DOS O MAS TRIÁNGULOS
PUNTO DONDE CONCURREN LAS MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO
CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS
ÁNGULOS Y EL LADO ADYACENTE A ELLOS RESPECTIVAMENTE
CONGRUENTES
PUNTO DONDE CONCURREN LAS BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO
TRIÁNGULOS QUE TIENEN RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES SUS LADOS
Y SUS ÁNGULOS
PROPIEDAD QUE ME PERMITE CAMBIAR EL ORDEN DEL NOMBRE
EN UN TRIÁNGULO SEGMENTO TRAZADO DEL VÉRTICE AL PUNTO MEDIO
DEL LADO OPUESTO
CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS QUE
TIENEN UN CATETO Y EL ÁNGULO OPUESTO A ÉL, RESPECTIVAMENTE
CONGRUENTES
EN UN TRIÁNGULO SON LOS LADOS ADYACENTES AL ÁNGULO RECTO, SI LO
TIENE
LAL EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TRIÁNGULO CON UN ÁNGULO OBTUSO
AAAAAAH, NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
EN UN TRIÁNGULO ES EL LADO OPUESTO AL ÁNGULO RECTO, SI LO TIENE
Unidad tres triángulos, Página 10 de 38
2/2
UNIDAD 3
TRIANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA
Para afrontar la solucion de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes tener
presente la importancia de la gráfica con sus correspondientes datos de tal forma que
puedas determinar fácilmente lo que es hipótesis y lo que es la tesis. En la solucion de los
ejercicios es necesario recordar los siguientes aspecto:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos
Líneas notables del triangulo
Los criterios de congruencia de triángulos (LLL ,LAL ,ALA ,LAL, AAL, HC, CC)
Corolarios sobre los triángulos equiláteros e isósceles
Teoremas sobre congruencia de las líneas notables
Propiedades del triángulo isósceles
Teorema de desigualdad en el triangulo
Teorema de desigualdad triangular
Teorema de la bisagra
Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.
Unidad tres triángulos, Página 11 de 38
1.
En un ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se
toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero.
GRÁFICA 17
AFIRMACION
RAZON
1
2
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
3
4
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ´
( )
( )
5
6
( )
7
2.
En un ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos B y C, las
cuales se cortan en I. Probar que el BIC es isósceles.
̂
̂
=* +
GRAFICA 18
AFIRMACION
1
Unidad tres triángulos, Página 12 de 38
RAZON
2
=
=
3
=
=
=
=
=
( )
( )
4
( )
3.
En un ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y
CA los puntos E y D con AE=AD:
Probar que
DAB=EAC.
GRAFICA 19
AFIRMACION
RAZON
1
2
3
4
4.
En un ABC isósceles de base BC, se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y
se trazan B'C y C'B que se cortan en O. Probar que BOB'=COC'.
* +
GRAFICA 20
AFIRMACION
RAZON
1
2
3
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ =
̅̅̅̅̅
( )
( )
4
Unidad tres triángulos, Página 13 de 38
5
=
6
=
7
( ) ( ) ( )
8
( )
9
( ) ( )
10
5.
( )
Sobre los lados AB y AC de un ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F
tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que
EHA=FHA y EFH=FEH.
GRAFICA 21
AFIRMACION
RAZON
1
2
3
4
( )
( )
5
6
( )
7
8
9
( ) ( ),( )
( )
10
11
( ), ( ) (
12
(
)
13
(
)
14
(
)
15
(
)
)
Unidad tres triángulos, Página 14 de 38
6.
En un ABC rectángulo en A, se traza la bisectriz CD del C, con D sobre AB. Probar
que DB > DA.
GRAFICA 22
AFIRMACION
̅̅̅̅
1
2
RAZON
(̅̅̅̅
̅̅̅̅ )
̅̅̅̅
3
4
̅̅̅̅
̅̅̅̅
5
6
7
̅̅̅̅
8
7.
Sean a, b reales positivos, con a > b. ¿Cuál otra condición deben cumplir para que sean
las medidas de los lados de un triángulo isósceles?.
Determina la hipótesis y la tesis, argumenta
cada una de las afirmaciones.
GRAFICA 23
Unidad tres triángulos,
5 Página 15 de 38
AFIRMACION
1
Si los lados iguales miden a
a
2
RAZON
a+b
Si los lados iguales miden b
a+b
8.
Dados una recta y dos puntos situados en el mismo semiplano con respecto a ella,
encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por la recta dada.
Determina la hipótesis y la tesis
Para resolverlo busquemos en el semiplano
opuesto el B’ talque BD=B’D si unimos A y B’ la
distancia más corta entre ellos es AB’ que corta
a la recta en el punto E, podemos demostrar
fácilmente que EB’=EB luego la distancia más
corta para llegar de A hasta B será:
AE+EB’=AE+EB
Realízalo por afirmación- razón
GRAFICA 24
9.
Dados dos puntos y una recta, encontrar sobre ella un punto que equidiste de los puntos
dados. Intuitivamente analizar las posibles alternativas.
Determina la hipótesis y la tesis, argumenta
cada una de las afirmaciones.
GRAFICA 25
Unidad tres triángulos, Página 16 de 38
AFIRMACION
RAZON
1
2
3
10.
En un XOY se toman A y B sobre OX y OY. Se trazan las bisectrices de los ángulos
XAB y YBA que se cortan en R. Probar que ROA=ROB.
Determina la hipótesis y la tesis.
GRAFICA 26
AFIRMACION
1
RAZON
Tracemos desde R
2
3
4
( )
=
( )
5
11.
Sea OM la bisectriz del XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen
A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que OAC=OBC y AC=BC.
:
GRAFICA 27
Unidad tres triángulos, Página 17 de 38
AFIRMACION
RAZON
1
2
̂ =̂
3
4
5
( )
6
( )
12.
Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que AB=A'B', BC=B'C' y las medianas
AM=A'M', probar que los dos triángulos son congruentes.
GRAFICA 28
AFIRMACION
1
RAZON
, BC = B'C'
2
3
4
̂
( )
( )
5
13.
( )
Si dos triángulos isósceles tienen las bases y las alturas relativas a ellas
respectivamente congruentes, probar que los triángulos son congruentes.
,
GRAFICA 29
Unidad tres triángulos, Página 18 de 38
AFIRMACION
RAZON
1
2
3
( )
4
( ),
( )
5
6
( )y
7
14.
,
( )
Dado un ángulo agudo XOY. Por O y hacia el exterior se levantan OX'OX y
OY'OY. Se toman A, B, C y D sobre OX, OX', OY y OY' tales que OA=OB y OC=OD.
Se trazan AD y BC. Probar que OAD=OBC y AD=BC.
GRAFICA 30
AFIRMACION
RAZON
1
2
( )
3
4
̅̅̅̅
5
6
( )
7
( )
Unidad tres triángulos, Página 19 de 38
15.
En un  ABC ( AB > AC), se traza la bisectriz AD. Se traza la semirrecta DE tal que
ADE=ADC, con E sobre AB. Probar que:
a. DE = DC y AE = AC.
b. AD es la mediatriz de EC.
GRAFICA 31
( ) ̅̅̅̅
( )
̅̅̅̅
AFIRMACION
RAZON
1
2
3
AD = AD
4
5
( )
6
( )
7
Unidad tres triángulos, Página 20 de 38
EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIANGULOS
1.
En un  ABC equilátero, a partir de cada vértice en el mismo sentido, se prolongan
los lados de modo que AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero.
Grafica 20
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina
la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina
la razón de cada paso.
AFIRMACION
01
𝜶=β=θ
02
∢A’AC’=∢B’BA’=C’CB’
03
AA’=BB’=CC’
04
AB=BC=CA
05
AA’-AB=BB’-BC=CC’-CA
BA’
CB’
ΔB’BA’’
RAZON
AC’
06
Δ A’A’C’
ΔC’CB’
07
A’C’=B’A’=C’B’
08
Δ A’B’C’ es equilátero
Unidad tres triángulos, Página 21 de 38
2.
En un ABC isósceles de base BC, se trazan las medianas relativas a los lados AB y
AC, las cuales se cortan en G. Probar que el BGC es isósceles.
Grafica 21
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado
del
problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones determina
la razón de cada paso.
AFIRMACION
RAZON
01
02
03
̂= ̂
04
∢ABC=∢ACB
05
̅̅̅̅
06
ΔNBC
07
∢NCB=∢MBC
08
ΔBGC isósceles
09
BG=CG
10
ΔABG
AGC
11
∢BAG
∢ CAG
12
AP=AP
13
ΔBAP
14
BP=CP
15
P es punto medio
̅̅̅̅
ΔMCB
Δ CAP
Unidad tres triángulos, Página 22 de 38
3.
Desde un punto A sobre el lado OX del XOY, se traza AB perpendicular a la
bisectriz OZ, con B sobre OY. Probar que AB forma ángulos congruentes con los lados
del XOY.
Grafica 22
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION
01
∢AOZ
02
̅̅̅̅
O
03
∢O B ∢O A 90°
04
ΔAO
ΔBO
05
∢ OA
OBP
RAZON
∢BOZ
̅̅̅̅
O
4. En un ABC isósceles de base BC, se traza la secante BD con D sobre AC. Probar que DC < BD.
Grafica 23
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón de
cada paso.
AFIRMACION
01
AB=AC
02
̅̅̅̅
BD
̅̅̅̅
AD
̅̅̅̅
AB
03
̅̅̅̅
BD
̅̅̅̅
AD
̅̅̅̅
AC
04
̅̅̅̅
BD
̅̅̅̅
AD
̅̅̅̅
AD
05
̅̅̅̅
BD
̅̅̅̅
DC
RAZON
̅̅̅̅
DC
Unidad tres triángulos, Página 23 de 38
5. Si dos lados de un triángulo miden 2 m y 9 m, hallar el mayor tercer lado posible cuya medida sea
un número entero.
Grafica 24
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón de
cada paso.
AFIRMACION
9
01
RAZON
9
02
03
Por lo tanto el mayor lado
0
6. En un ABC se traza la mediana AM y se prolonga hasta D con AM=MD.
a. Probar que BD=CA.
b. Deducir que la mediana es menor AM que la semisuma de los lados que
parten desde el
mismo vértice que ella.
Grafica 25
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón de
cada paso.
AFIRMACION
01
CM=MB
02
AM=MD
03
̂C
A
04
ΔA C
05
̅̅̅̅
AC
06
̅̅̅̅
AD
RAZON
̂B
D
ΔD B
̅̅̅̅
BD
̅̅̅̅̅
A
Unidad tres triángulos, Página 24 de 38
07
̅̅̅̅
AB+BD
08
AB+BD 2AM
09
AB
BD
AD
A
7. Dados un ángulo y dos puntos en su interior, encontrar el camino más corto entre los dos puntos y
que pase por los dos lados del ángulo.
En el siguiente ejercicio te daremos las gráficas y la explicación del mismo, tu trabajo es
realizarlo bajo la afirmación y su respectiva razón.
Grafica 26
La distancia más corta desde un punto a una recta es el segmento perpendicular ̅̅̅̅ con p
⃗⃗⃗⃗⃗
O , Desde p trazamos ̅̅̅̅ ⊥ ⃗⃗⃗⃗ y por último ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Pero observemos el siguiente grafico (2)
Grafica 27
Unidad tres triángulos, Página 25 de 38
Si trazamos la línea que une los dos puntos simétricos de
camino más corto para unirlos
Pero además
’S S
( ’, ’) dicho segmento es el
’ ’.
Por lo tanto la trayectoria MS+SR+RN=M’N’
Ahora podemos demostrar que cualquier otra trayectoria es mayor a
̅̅̅̅̅S ̅̅̅
̅̅̅̅
S
S S
’
’
’ pero ’
’
’ ’ por ejemplo
Observemos además :
’
’
’
’
n
’
’
S
S
8. Probar que la semirrecta opuesta a la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos
del plano exteriores al ángulo, que equidistan de los lados del ángulo.
Grafica 28
En el siguiente ejercicio te damos la
gráfica y la explicación del mismo, tu
trabajo es realizarlo bajo la afirmación
y su respectiva razón.
OBSERVEMOS
Todo punto sobre la bisectriz ⃗⃗⃗⃗⃗
equidistante de los lados del ∢YOZ y si
tomamos las prolongaciones podemos
decir que P sobre la prolongación de la
bisectriz
equidista
de
las
prolongaciones del ∢YOZ
Unidad tres triángulos, Página 26 de 38
9.
Encontrar un punto que a la vez equidiste de dos puntos dados y equidiste de dos
rectas concurrentes dadas.
Grafica 29
En este ejercicio debemos tener presente dos condiciones
1. Si un punto equidista de dos puntos Ay B entonces dicho punto está sobre la
mediatriz de dicho segmento
2. Si un punto equidista de dos rectas concurrentes entonces esta sobre la bisectriz
del ángulo formado
Unamos los dos aspectos en una sola gráfica
Grafica 30
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∧ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
Esta es una de las muchas probabilidades
Ahora trata de ordenarlo por pasos de tal forma que quede la afirmación y la razón.
Unidad tres triángulos, Página 27 de 38
10. Dadas dos rectas X'OX y Y'OY, sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; sobre OX' y OY' se
toman A' y B' con OA'=OB'. Probar que A'B=AB' y OA'B=OB'A.
Grafica 31
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón de
cada paso.
AFIRMACION
01
OA=OB
02
OA’ OB’
03
∢A’OB ∢B’OA
04
ΔA’OB
05
A’B B’A
06
∢OA’B ∢OB’A
RAZON
ΔB’OA
11. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que B=B' , BC=B'C' y las bisectrices BE=B'E',
probar que los dos triángulos son congruentes.
Grafica 32
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso.
Unidad tres triángulos, Página 28 de 38
AFIRMACION
01
BC=B’C’
02
̂
B
03
RAZON
B̂
̂
B
B
∢ABE
04
BE B’E’
05
ΔEBC ΔE’B’C’
06
Ĉ
07
ΔABC
∢EBC
∢A B E
∢E B C
C’
ΔA’B’C’
12. Si dos triángulos isósceles tienen congruentes los ángulos opuestos a las bases y las alturas
relativas a ellas, probar que los triángulos son congruentes.
Grafica 33
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada la información en cada paso
debes determinar las afirmaciones y
determina la razón de cada uno de ellos.
01
Tenemos que el ΔABC es isósceles con ̅C̅̅̅ altura implica que ̅̅̅
C ̅ también es
bisectriz, por lo tanto ∢
∢
∢
02
De igual forma si tomamos el Δ DEF obtenemos ∢
03
Ahora, recordemos que si dos ángulos son iguales entonces sus mitades son
iguales ∢
∢
∢
∢
∢
∢
04
Entonces por el criterio ALA
05
De lo anterior ̅̅̅̅
ΔABC
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ y además ∢ACB
∢
∢
Δ DEF
Unidad tres triángulos, Página 29 de 38
∢
por el criterio LAL
13. Dos triángulos ABC y A'BC están situados en distinto semiplano con respecto a la recta BC, la
cual es bisectriz de los ángulos ABA' y ACA'. Probar que:
a.
ABC=A'BC.
b.
Para todo punto M de BC, se
c.
cumple que AM=A'M.
AA'BC
Grafica 34
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y
la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION
01
BC lado común
02
ΔABC
03
AB A’B
04
BM BM
05
ΔA’BM
06
A’M AM
07
ΔA’BA isósceles
08
BP bisectriz del ∢A’BA
09
BP altura
10
BC⊥ AA’
RAZON
Δ A’BC por ALA
ΔABN por LAL
Unidad tres triángulos, Página 30 de 38
14. Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera. Desde A y B se trazan las
perpendiculares AC y BD a la recta. Probar que AC=BD. ¿Cuál propiedad tienen los vértices A y
B de un MAB con respecto a la mediana relativa al lado AB?.
Grafica 35
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón de
cada paso.
01
̅̅̅̅
02
∢AOC=∢BOD
03
∢ACD ∢BOD 90°
04
ΔAOC ΔBOD
05
̅̅̅̅
Grafica 36
Podemos concluir con la primera parte que los
vértices del triángulo equidistan en la
mediana ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Unidad tres triángulos, Página 31 de 38
EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIÁNGULOS
1.
En un ABC equilátero, sobre
cada lado a partir del vértice y
en el mismo sentido, se toman
A', B' y C' con AA'=BB'=CC'.
Probar que el A'B'C' es
equilátero.
2.
En un
 ABC equilátero, a
partir de cada vértice en el
mismo sentido, se prolongan los
lados
de
modo
que
AA'=BB'=CC'. Probar que el
A'B'C' es equilátero.
3.
En un ABC isósceles de base
BC, se trazan las bisectrices
de los ángulos B y C, las
cuales se cortan en I. Probar
que el BIC es isósceles.
4.
En un ABC isósceles de base
BC, se trazan las medianas
relativas a los lados AB y AC,
las cuales se cortan en G.
Probar que el BGC es
isósceles.
5.
En un ABC isósceles de base
BC, se toman sobre las
prolongaciones de los lados BA
y CA los puntos E y D con
AE=AD:
a. Probar que
en
O.
BOB'=COC'.
que
c. Probar que la recta AO pasa
por el punto medio de BC.
6.
Desde un punto A sobre el lado
OX del XOY, se traza AB
perpendicular a la bisectriz
OZ, con B sobre OY. Probar
que
AB
forma
ángulos
congruentes con los lados del
XOY.
7.
Sobre los lados AB y AC de un
ABC isósceles de base BC, se
toman los puntos E y F tales
que AE = AF y se unen con el
pie H de la altura relativa a la
base.
Demostrar
que
EHA=FHA y EFH=FEH.
8.
En un ABC isósceles de base
BC, se traza la secante BD con
D sobre AC. Probar que DC <
BD.
9.
En un ABC rectángulo en A,
se traza la bisectriz CD del
C, con D sobre AB. Probar
que DB > DA.
10.
Si dos lados de un triángulo
miden 2 m y 9 m, hallar el
mayor tercer lado posible cuya
medida sea un número entero.
11.
Sean a, b reales positivos, con
a > b. ¿Cuál otra condición
deben cumplir para que sean
DAB=EAC.
b. Se toman B' y C' sobre AB
y AC tales que AB'=AC' y se
trazan B'C y C'B que se cortan
Probar
Unidad tres triángulos, Página 32 de 38
las medidas de los lados de un
triángulo isósceles?.
12.
13.
17.
En un XOY se toman A y B
sobre OX y OY. Se trazan las
bisectrices de los ángulos
XAB y YBA que se cortan
en
R.
Probar
que
ROA=ROB.
a. Probar que BD=CA.
18.
b. Deducir que la mediana es
menor que la semisuma de los
lados que
parten desde el
mismo vértice que ella.
Encontrar un punto que a la vez
equidiste de dos puntos dados
y equidiste de dos rectas
concurrentes dadas.
19.
Sea OM la bisectriz del
XOY. Sobre OX y OY se
toman A y B con OA=OB; se
unen A y B con un punto
cualquiera C de la bisectriz.
Probar que OAC=OBC y
AC=BC.
En un
ABC se traza la
mediana AM y se prolonga
hasta D con AM=MD.
Dados una recta y dos puntos
situados en el mismo semiplano
con respecto a ella, encontrar
el camino más corto entre los
dos puntos y que pase por la
recta dada.
20. Dadas dos rectas X'OX y
Y'OY, sobre OX y OY se toman
A y B con OA=OB; sobre OX' y
OY' se toman A' y B' con
OA'=OB'.
Probar
que
A'B=AB' y OA'B=OB'A.
14.
Dados un ángulo y dos puntos
en su interior, encontrar el
camino más corto entre los dos
puntos y que pase por los dos
lados del ángulo.
15.
Dados dos puntos y una recta,
encontrar sobre ella un punto
que equidiste de los puntos
dados. Intuitivamente analizar
las posibles alternativas.
21.
16.
Probar que la semirrecta
opuesta a la bisectriz de un
ángulo es el lugar geométrico
de los puntos del plano
exteriores al ángulo, que
equidistan de los lados del
ángulo.
22. Dados dos triángulos ABC y
A'B'C' tales que B=B' ,
BC=B'C' y las bisectrices
BE=B'E', probar que los dos
triángulos son congruentes.
Dados dos triángulos ABC y
A'B'C' tales que AB=A'B',
BC=B'C'
y
las
medianas
AM=A'M', probar que los dos
triángulos son congruentes.
23. Si dos triángulos isósceles
tienen las bases y las alturas
relativas
a
ellas
Unidad tres triángulos, Página 33 de 38
respectivamente congruentes,
probar que los triángulos son
congruentes.
24. Si dos triángulos isósceles
tienen congruentes los ángulos
opuestos a las bases y las
alturas relativas a ellas, probar
que
los
triángulos
son
congruentes.
25. Dado un ángulo agudo XOY.
Por O y hacia el exterior se
levantan OX'OX y OY'OY.
Se toman A, B, C y D sobre
OX, OX', OY y OY' tales que
OA=OB y OC=OD. Se trazan
AD
y
BC.
Probar
que
OAD=OBC y AD=BC.
b. AD es la mediatriz de EC.
28. Por el punto medio O de un
segmento AB se traza una
recta cualquiera. Desde A y B
se trazan las perpendiculares
AC y BD a la recta. Probar que
AC=BD.
¿Cuál
propiedad
tienen los vértices A y B de un
MAB con respecto a la
mediana relativa al lado AB?.
26. Dos triángulos ABC y A'BC
están situados en distinto
semiplano con respecto a la
recta BC, la cual es bisectriz
de los ángulos ABA' y ACA'.
Probar que:
a.
ABC=A'BC.
b. Para todo punto M de BC, se
cumple que AM=A'M.
c.
AA'BC
27. En un  ABC ( AB > AC), se
traza la bisectriz AD.
Se
traza la semirrecta DE tal que
ADE=ADC, con E sobre AB.
Probar que:
a. DE = DC y AE = AC.
Unidad tres triángulos, Página 34 de 38
TALLER N°4- DESIGUALDAD TRIANGULAR
1.
Dado un
ABC con AB > AC y AM
perteneciente a AM
mediana relativa a BC , desde D
se trazan BD y DC demostrar que BD > DC
2.
Demostrar que en un triángulo cualquiera una altura es menor que la semisuma de
los lados adyacentes.
3.
Se tiene un triángulo ABC con el lado AB>AC. Desde el vértice C se traza el
segmento CD, con D sobre AB y desde el vértice B se traza el segmento BF, con F
sobre AC y siendo DB = CF. Demostrar que FB>CD
4.
Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo es menor que
su perímetro.
5.
En un triángulo ADB isósceles de base AB, DB es mayor que AB; se prolonga AD
hasta C. Probar que el triángulo ABC es escaleno.
6.
Demostrar que la suma de las distancias de un punto O dentro de un triángulo a
sus tres vértices es mayor que el semiperímetro y menor que el perímetro del
triángulo.
7.
Se tiene el triángulo ABC cualquiera, se traza AE con E sobre BC, se traza BD con
D sobre AE, demostrar que
8.
En un triángulo cualquiera ABC, se trazan las bisectrices del <A y <B que se
intersectan en el punto D. Si BC > AC, demostrar que DB > AD
9.
Demuestre que para cualquier cuadrilátero convexo ABCD se cumple:
10.
Se tienen los puntos
colineales en dicho orden, desde un punto no
colineal con dichos puntos se trazan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ tales que ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Demostrar que:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .
11.
Dado un triángulo ABC obtusángulo en C, se traza la mediana AM y se toma un
punto cualquiera D sobre ella. Demuestre que DB > CD
Unidad tres triángulos, Página 35 de 38
̅̅̅̅ con
sobre ̅̅̅̅ tal que
12.
En un
isósceles de vértice A, se traza ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Demostrar que
.
13.
El perímetro de toda línea poligonal es mayor que el perímetro de cualquier línea
poligonal interior (aplicación del teorema de la envolvente)
14.
En revisión
15.
En revisión
16.
En revisión
17.
Se tiene el triángulo ABC, se traza el segmento BE tal que A-E-C, se traza AD tal
) (
)
que E-D-B demostrar que (
18.
En un triángulo ABC se traza el segmento BE tal que A-E-C, se traza AD tal que
E-D-B, demostrar que
sabiendo que FC=DB y
19.
En revisión
20.
En revisión
Unidad tres triángulos, Página 36 de 38
Taller adicional de desigualdades.
Ejercicios elaborados por Carlos Alberto Ríos Villa (Excepto el 1 y el 12)
1. (Equivalente al teorema del
ángulo exterior) Los segmentos
RQ
y
PS se bisecan
mutuamente, se traza PQ y se
prolonga hasta un punto T Probar
que ∢𝑅𝑄𝑇 > ∢𝑃𝑅𝑄
7. Demuestre que en la altura
relativa a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es menor
que la semisuma de los catetos.
2. En un ∆𝐴𝑃𝐵 isósceles de vértice
̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵
̅̅̅̅
A, se traza 𝑃𝐻
con H
̅̅̅̅
̅̅̅̅
sobre 𝐴𝐵
tal que 𝐴𝐻 > ̅̅̅̅
𝐻𝐵 .
Demostrar que ∢𝐵 > ∢𝐴
8. Demuestre que la altura relativa
a la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, divide a esta en
segmentos distintos, siempre que
el triángulo no sea iso
3. En un ∆𝐴𝑃𝐵 isósceles de vértice
̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵
̅̅̅̅
A, se traza 𝑃𝐻
con H
̅̅̅̅
̅̅̅̅ > ̅̅̅̅
sobre 𝐴𝐵
tal que 𝐴𝐻
𝐻𝐵 .
Demostrar que ∢𝐴𝑃𝐻 > ∢𝐻𝑃𝐵
4. Dado un triángulo ABC Iso de
base AC
con ángulo vértice
obtuso, se prolonga AB hasta D
t.q AB = BD. Demuestre que AC
es mayor Que CD.
5. Dado un triángulo ABC Iso de
base AC
con ángulo vértice
agudo, se prolonga AB hasta D t.q
AB = BD. Demuestre que AC es
mayor Que CD
6. Dado un triángulo ABC Iso de
base BC se prolonga la base
hasta D. Demuestre que AD es
mayor que AB.
9. Probar que en un triángulo, la
suma de las distancias desde un
punto cualquiera a los lados es
menor que la suma de las
distancia desde el mismo punto a
los lados.
10.
Probar
que
en
un
triángulo, la suma de las
distancias desde un punto
cualquiera a los lados es menor
que
el
semiperímetro
dl
triángulo.
11.
Demuestre
que
el
perímetro de cualquier polígono
es mayor que de un triángulo que
se encuentre adentro de él.
Unidad tres triángulos, Página 37 de 38
12.
Sea AB el lado mayor del
triángulo ABC escaleno. Si P es un
punto interior a ese triángulo,
entonces PA + PB > PC.
13.
Un triángulo Isósceles
tiene lados 5 y 11 ¿es posible
determinar la medida del tercer
lado de manera exacta de modo
que sea un entero?
Unidad tres triángulos, Página 38 de 38