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UNIDAD 3. DEFINICIÓN Y ELEMENTOS TRIÁNGULOS LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO Un triángulo es un polígono de tres vértices. Tiene tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Si los vértices son A, B y C lo denotamos ABC . CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS Un ESCALENO: desiguales. triángulo Si tiene es: sus tres lados ISÓSCELES: Si tiene por lo menos un par de lados congruentes. Si AB AC entonces se dice que el ABC es isósceles de base BC . EQUILÁTERO: congruentes. Si tiene sus tres lados CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS Un triángulo es: ACUTÁNGULO: agudos. Si tiene los tres ángulos ALTURA: Es la perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto o a su prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es la base relativa a dicha altura. BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de un ángulo interior, por ejemplo AD . BISECTRIZ EXTERIOR: RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los lados que lo forman son los catetos. OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso. EQUIÁNGULO: congruentes. MEDIANA: Es el segmento que une un vértice con el punto medio M de su lado opuesto, por ejemplo AM . Si tiene los tres ángulos Es la bisectriz de un ángulo exterior, por ejemplo AE . MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa por el punto medio M de un lado, por ejemplo suur MN . Todo triángulo tiene tres medianas, tres alturas, tres bisectrices interiores, tres bisectrices exteriores y tres mediatrices. TEOREMA: Todo triángulo equilátero es isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso. Unidad tres triángulos, Página 1 de 38 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes y sus tres ángulos respectivamente congruentes: AB DE ABC DEF BC EF AC DF A D B E C F Dos elementos respectivamente congruentes son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos). TEOREMA: La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia: 1. 2. 3. Reflexiva: ABCABC Simétrica: ABCDEF DEFABC Transitiva: ABCDEF DEFGHIABCGHI NOTA: La transitividad será muy útil para probar que dos triángulos son congruentes. CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S CRITERIO L.A.L. AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados respectivamente congruentes. COROLARIOS: 1. En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. 2. Todo triángulo equilátero es equiángulo. (Ejercicio) 3. En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base también es mediana, altura y mediatriz con respecto a la base. 4. Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a ella. 5. En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes. 6. Todo triángulo tiene por lo menos dos ángulos agudos. (Ejercicio) Dm: 1. Supongamos que el ABC es isósceles de base BC y tracemos la bisectriz AD del BAC, con B-D-C. AB AC hip. L : A : BAD CAD const. L : AD AD reflex. Tenemos: , luego por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos homólogos resulta B = C. 3. También por lados homólogos BD=DC entonces AD es mediana. Además por sHs ADB=ADC, pero BDC=180º (por B-D-C), entonces ADC=90º, luego AD es altura y como pasa por el punto medio de BC , también es su mediatriz. Unidad tres triángulos, Página 2 de 38 4. Debemos probar tanto la existencia como la unicidad de dicha perpendicular. 5. En el ABC consideremos el ángulo exterior DAC y veamos que DAC BCA . Existencia: Sea A un punto exterior a la recta L. Tomemos dos puntos B y C sobre L y Tracemos la mediana BM y prolonguémosla hasta F de modo que BM=MF. Tracemos AF . Por LAL resulta AMFCMB, luego FACBCA, (sHs). tracemos AB . Construyamos el CBD tal que BD=BA y CBDCBA, con D en el semiplano opuesto de A con respecto a L . Pero AF es interior al CAD, luego DAC FAC y por lo tanto DAC BCA . Tracemos AD que corta a L en el punto E. Por construcción el ABD es isósceles y BE es bisectriz del ABD, luego BE es altura sobre AD y en definitiva AD L. Unicidad: Supongamos que existe otro punto F sobre la recta L tal que AF L, luego AFB =90º. CRITERIO A.L.A. TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a ellos. Dm: Consideremos ABC y DEF tales que BE, BC=EF y CF. Tracemos FD . Por LAL, ABFDBF, luego AFBDFB, (sHs) y entonces también DFB = 90º. Sumando resulta AFD = 180º y por lo tanto A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden porque las rectas en común. AD y L sólo tienen un punto En la semirrecta BA tomemos el punto G tal que BG=ED y tracemos CG . Por el axioma LAL se obtiene GBCDEF, luego BCGEFD (sHs) y como EFDBCA entonces por transitividad BCGBCA. Por lo tanto G está sobre la semirrecta CA y debe coincidir con A y resulta BG=BA. Por transitividad BA=ED y por el axioma LAL se obtiene ABCDEF. Unidad tres triángulos, Página 3 de 38 COROLARIOS: CRITERIO A1 A2 L1 1. Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles. 2. Todo triángulo equiángulo es equilátero. (Ejercicio) TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado opuesto a uno de ellos congruente. Dm: 1. Consideremos el ABC tal que BC. Tracemos las bisectrices BD y CE , tales que A-D-C y A-E-B. Por el teorema ALA resulta BCDCBE luego BD=CE (LsHs), y BDCCEB (sHs), y por suplementos BDACEA. Por el teorema ALA se obtiene BDACEA luego AB=AC (LsHs). CRITERIO L.L.L. TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes. Dm: Consideremos ABC y DEF tales que AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos FEGCBA con G en el semiplano opuesto de D y EG=BA y tracemos DG . Por el axioma LAL se obtiene ABCGEF, luego AC=GF (LsHs) y BACEGF (sHs). Dm: Consideremos ABC y DEF tales que BE, CF y AB=DE. Tomemos sobre la semirrecta BC el punto G con BG=EF y tracemos AG . Por el axioma LAL se obtiene ABGDEF, luego AGBDFE (sHs), pero DFEACB entonces AGBACB (*). Debemos probar que G coincide con C. Si no coinciden entonces G precede a C ó C precede a G. Si G precede a C entonces en el AGC se tiene AGB ACB (exterior), lo que contradice (*). En forma similar se obtiene una contradicción cuando C precede a G. En definitiva G y C tienen que coincidir, luego BC=EF y por el axioma LAL se obtiene ABCDEF. CONGRUENCIA DE s RECTÁNGULOS TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son congruentes si satisfacen alguna de las siguientes condiciones: En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se forman los triángulos isósceles EDG y FDG, entonces EDGEGD y FDGFGD. Sumando EDFEGF y por transitividad BACEDF. En definitiva, por el axioma LAL se obtiene ABCDEF. 1. RCC: Si tienen respectivamente congruentes los dos catetos. 2. RCAady: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo adyacente a dicho cateto. Unidad tres triángulos, Página 4 de 38 3. 4. 5. RCAop: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto. RHA: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo. DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces al mayor de dichos lados se opone un ángulo mayor y recíprocamente. Dm: RHC: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto. (Ejercicio) [] Supongamos que en el ABC AC AB . Tomemos D sobre AC con AD=AB y tracemos BD . Dm: 1. 2. 3. 4. Por Por Por Por el el el el axioma LAL teorema ALA teorema A1 A2 L1 teorema A1 A2 L1 CONGRUENCIA DE LAS NOTABLES HOMÓLOGAS LÍNEAS TEOREMA: Si dos triángulos son congruentes entonces las medianas, las alturas y las bisectrices respectivamente homólogas son congruentes. (Ejercicio) PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES Resulta el ABD isósceles y ABDADB. Como BD es interior al ABC entonces ABC ABD luego ABC ADB . Además ADB DCB (por exterior en el DBC), y por transitividad ABC DCB , es decir, en el ABC se obtiene que B C . [] Supongamos que en el ABC B C (*) y probemos que AC AB . Supongamos que AC AB ó AC=AB. Si AC AB entonces por la primera implicación se obtiene B C lo que contradice (*). Si AC=AB entonces el ABC es isósceles y resulta B=C que también contradice (*). En definitiva se debe cumplir que AC AB . COROLARIOS: TEOREMA: 1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene dos ángulos congruentes. 2. En todo triángulo isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la bisectriz del ángulo opuesto, coinciden y recíprocamente. (Ejercicio) 3. Todo triángulo isósceles tiene respectivamente congruentes dos alturas, dos medianas y dos bisectrices. (Ejercicio) 1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. (Ejercicio) 2. En todo triángulo obtusángulo el lado mayor es el que se opone al ángulo obtuso. (Ejercicio) Unidad tres triángulos, Página 5 de 38 DESIGUALDAD TRIANGULAR TEOREMA: En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto la diferencia entre ellos. Dm: En el ABC tomemos D sobre la prolongación de BA tal que AD=AC y tracemos y DC obtenemos el ADC isósceles con ADC=ACD y como CA es interior al BCD resulta luego ACD BCD ADC BCD y en el DBC se obtiene D C , luego BC BD BA AC , es decir BC AB BC . De un modo similar se prueba que AC AB BC y que AB AC BC . De las dos últimas desigualdades se obtiene y BC AB AC entonces BC AC AB BC AB AC . COROLARIOS: 1. El camino más “corto” entre dos puntos es el segmento que los tiene por extremos. (Ejercicio) 2. Toda poligonal abierta convexa es menor que cualesquiera otra poligonal abierta envolvente que tenga sus mismos extremos. (Ejercicio) 3. Para que un triángulo exista dados sus tres lados, es suficiente que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos. (Ejercicio) TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido desigual entonces al mayor ángulo comprendido se opone un mayor tercer lado y recíprocamente. Dm: [] Consideremos ABC y DEF tales que AB=DE, AC=DF y A D y probemos que BC EF . Tracemos AG en el interior del BAC tal que BAGEDF y AG=DF; tracemos el segmento BG . Por el axioma LAL resulta BAGEDF, luego BG=EF (LsHs). Tracemos AR bisectriz del GAC con B–R-C y tracemos RG . Por el axioma LAL se obtiene GARCAR, luego RG=RC (LsHs). Además en el BRG se tiene BG BR RG , luego EF BR RG , por lo tanto EF BC . [] (Ejercicio) Unidad tres triángulos, Página 6 de 38 PERPENDICULARES Y OBLICUAS TEOREMA: Si desde un punto exterior a una recta se trazan el segmento perpendicular a la recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro extremo sobre la recta, entonces: DISTANCIA RECTA DE UN PUNTO A UNA Se llama “Distancia de un punto P a una recta L"”, y se denota por “d(P;L)”, a la medida del segmento PQ L, Q L. 1. El segmento perpendicular es menor que cualesquiera de los segmentos oblicuos. (Ejercicio) Si el punto P es interior a la recta L entonces la distancia es cero. 2. Dos segmentos oblicuos son congruentes sii sus pies equidistan del pie de la perpendicular. (Ejercicio) La distancia de un punto a una semirrecta o a un segmento es la distancia del punto a la recta que contiene a la semirrecta o al segmento. 3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que tenga su pie más cercano del pie de la perpendicular es menor y recíprocamente. LUGAR GEOMÉTRICO (LG) Dm: 3. [] Sean AH L, AB y AC oblicuas tales que HB HC y probemos que AB AC Si HB HC entonces existe un punto D, tal que D-H-C y HD HB . AD Tracemos y entonces los pies de las oblicuas AB y AD equidistan del pie de la perpendicular y por lo tanto AB=AD, luego el ABD es isósceles con ABD=ADB. Además el ADB ACD (ext. al ADC), luego ADB ACD , es decir, en el ABC se tiene que B C , luego AC AB . [] (Ejercicio) Una figura F es el lugar geométrico de una propiedad P si está formada por todos los puntos que cumplen la propiedad P y solamente por ellos, es decir, F es el lugar geométrico de P si se cumple que: 1. 2. (X) ( X F X cumple P) (X) ( X cumple P X F) LA MEDIATRIZ COMO LG TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Dm: [] Sea M la mediatriz de AB , entonces M es perpendicular a AB en su punto medio C. Sea XM, como AC=CB, los pies de las oblicuas XA y XB equidistan del perpendicular entonces XA=XB. [] (Ejercicio) Unidad tres triángulos, Página 7 de 38 pie de la COROLARIO: En un plano, si dos puntos equidistan de los extremos de un segmento entonces la recta que ellos determinan es la mediatriz del segmento. (Ejercicio) Luego por RHC resulta QOPROP y entonces AOP=BOP (sHs) y por lo tanto uur OP es la bisectriz del AOB. COROLARIO: Si un punto del interior de un ángulo, equidista de los lados del ángulo, entonces pertenece a la bisectriz del ángulo. CONSTRUCCIONES BÁSICAS 1. 2. ** Este corolario será muy útil para realizar la construcción de perpendiculares. LA BISECTRIZ COMO LG TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del interior del ángulo que equidistan de los lados del ángulo. Dm: [] Ejercicio [] Supongamos que un punto P en el interior uuur uuur del AOB equidista de los lados OA y OB , es decir PQ=PR con PQ OA Y PR OB . Trazar la mediatriz de un segmento. Trazar la perpendicular a una recta por un punto interior a ella. 3. Trazar la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella. 4. Construir un ángulo congruente con un ángulo dado. 5. Trazar la bisectriz de un ángulo con vértice dado. 6. Construir un triángulo dado dos lados y el ángulo formado por ellos. 7. Construir un triángulo dado dos ángulos y el lado adyacente a ambos. 8. Construir un triángulo dados sus tres lados. 9. Construir un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un ángulo agudo. 10. Construir un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un cateto. 11. Construir un triángulo dados dos de sus lados y la mediana relativa al tercer lado. 12. Construir un triángulo dados dos de sus lados y la altura relativa al tercer lado. Analizar todas las posibles soluciones. Unidad tres triángulos, Página 8 de 38 CRUCIGRAMA Triángulos (Elaboró:Carlos Alberto Ríos Villa) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 12 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 Unidad tres triángulos, Página 9 de 38 1/2 HORIZONTALES VERTICALES 1 3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 1 PUNTO DONDE UNA DE LAS RECTAS NOTABLES CORTA AL LADO ALA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 2 5 CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA CUANDO DOS TRIÁNGULOS TIENEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS, RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES ESTE SEGMENTO TRAZADO DESDE EL VÉRTICE RECTO, DIVIDE EL TRIÁNGULO EN DOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA TRIANGULOS RECTÁNGULOS QUE TIENEN UN CATETO Y LA HIPOTENUSA RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES LOS ÁNGULOS OPUESTOS A LOS LADOS IGUALES SON IGUALES AUNQUE NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA EN LOS DEMÁS TRIÁNGULOS EN EL RECTÁNGULO SÍ Y SE LLAMA........ EN UN TRIÁNGULO, SEGMENTO TRAZADO DE UN VÉRTICE PERPENDICULAR AL LADO OPUESTO O SU PROLONGACIÓN 6 7 8 13 ESTE PUNTO DEL LA HIPOTENUSA EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO LADOS O ÁNGULOS RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES DE DOS TRIÁNGULOS CONGRUENTES SEGMENTO QUE PASA POR EL PUNTO MEDIO DE UN LADO Y ADEMÁS ES PERPENDICULAR A ÉL EN UN TRIÁNGULO UN LADO ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS OTROS DOS Y MAYOR QUE EL VALOR ABSOLUTO DE SU DIFERENCIA 14 QUE TRIÁNGULO MAS DEFORME 10 12 16 17 CONCLUYE SOBRE LO QUE SUCEDE EN DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS LADOS RESPECTIVAMENTE IGUALES Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS DIFERENTE TRIÁNGULO QUE TIENE AL MENOS DOS ALTURAS, DOS MEDIANAS Y DOS BISECTRICES CONGRUENTES 18 19 20 22 MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 23 ES EL MISMO LADO PARA DOS O MAS TRIÁNGULOS 24 LÓGICO, SI LOS TRES LADOS SON RESPECTIVAMENTE IGUALES LOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES 26 LO MISMO QUE LAS PARTES CORRESPONDIENTES 27 28 EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES ES EL LADO DISTINTO, PERO SI NO ES ISO, SERÁ CUALQUIERA TODOS LOS PUNTOS INTERIORES AL ÁNGULO QUE EQUIDISTAN DE LOS LADOS DE ÉSTE 29 PROPIEDAD QUE PODRIAMOS RELACIONAR CON LOS TRILLIZOS 30 CONJUNTO DE PUNTOS QUE CUMPLEN UNA MISMA PROPIEDAD Y SOLAMENTE ELLOS LA CUMPLEN ÁNGULO FORMADO POR UN LADO DE UN POLÍGONO Y LA PROLONGACIÓN DE OTRO 32 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 45 46 47 TRIÁNGULO CON LOS TRES ÁNGULOS AGUDOS AQUI SE ENCUENTRAN LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO TODOS LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN DE LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO 3 4 9 11 15 POLIGONO DE TRES LADOS Y TRES ÁNGULOS TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO TAMBIÉN LO ES ESTE TRIÁNGULO TIENE UN ÁNGULO MUY RECTO 27 CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS ÁNGULOS Y EL LADO OPUESTO A UNO DE ELLOS RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES EN GENERAL NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA PERO UN DE LAS ESCEPCIONES EN EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y SE CONOCE COMO RHC PUNTO DONDE CONCURREN LAS MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO Y QUE TAMBIÉN ES SU CENTRO DE MASA 31 ÚNICO TRIÁNGULO EN EL QUE COINDIDEN TODOS LOS PUNTOS NOTABLES 32 EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES EL ÁNGULO DISTINTO 33 38 PROPIEDAD QUE SE REFIERE A QUE TODA FIGURA GEOMÉTRICA ES CONGRUENTE CON ELLA MISMA EN UN TRIÁNGULO SEGMENTO QUE DIVIDE UN ÁNGULO EN DOS PARTES IGUALES 42 AAL EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 21 25 EL MISMO ÁNGULO PARA DOS O MAS TRIÁNGULOS PUNTO DONDE CONCURREN LAS MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS ÁNGULOS Y EL LADO ADYACENTE A ELLOS RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES PUNTO DONDE CONCURREN LAS BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO TRIÁNGULOS QUE TIENEN RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS PROPIEDAD QUE ME PERMITE CAMBIAR EL ORDEN DEL NOMBRE EN UN TRIÁNGULO SEGMENTO TRAZADO DEL VÉRTICE AL PUNTO MEDIO DEL LADO OPUESTO CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS QUE TIENEN UN CATETO Y EL ÁNGULO OPUESTO A ÉL, RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES EN UN TRIÁNGULO SON LOS LADOS ADYACENTES AL ÁNGULO RECTO, SI LO TIENE LAL EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO TRIÁNGULO CON UN ÁNGULO OBTUSO AAAAAAH, NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO ES EL LADO OPUESTO AL ÁNGULO RECTO, SI LO TIENE Unidad tres triángulos, Página 10 de 38 2/2 UNIDAD 3 TRIANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA Para afrontar la solucion de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes tener presente la importancia de la gráfica con sus correspondientes datos de tal forma que puedas determinar fácilmente lo que es hipótesis y lo que es la tesis. En la solucion de los ejercicios es necesario recordar los siguientes aspecto: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos Líneas notables del triangulo Los criterios de congruencia de triángulos (LLL ,LAL ,ALA ,LAL, AAL, HC, CC) Corolarios sobre los triángulos equiláteros e isósceles Teoremas sobre congruencia de las líneas notables Propiedades del triángulo isósceles Teorema de desigualdad en el triangulo Teorema de desigualdad triangular Teorema de la bisagra Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema. Unidad tres triángulos, Página 11 de 38 1. En un ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero. GRÁFICA 17 AFIRMACION RAZON 1 2 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 3 4 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ´ ( ) ( ) 5 6 ( ) 7 2. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos B y C, las cuales se cortan en I. Probar que el BIC es isósceles. ̂ ̂ =* + GRAFICA 18 AFIRMACION 1 Unidad tres triángulos, Página 12 de 38 RAZON 2 = = 3 = = = = = ( ) ( ) 4 ( ) 3. En un ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y CA los puntos E y D con AE=AD: Probar que DAB=EAC. GRAFICA 19 AFIRMACION RAZON 1 2 3 4 4. En un ABC isósceles de base BC, se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y se trazan B'C y C'B que se cortan en O. Probar que BOB'=COC'. * + GRAFICA 20 AFIRMACION RAZON 1 2 3 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ ( ) ( ) 4 Unidad tres triángulos, Página 13 de 38 5 = 6 = 7 ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 9 ( ) ( ) 10 5. ( ) Sobre los lados AB y AC de un ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que EHA=FHA y EFH=FEH. GRAFICA 21 AFIRMACION RAZON 1 2 3 4 ( ) ( ) 5 6 ( ) 7 8 9 ( ) ( ),( ) ( ) 10 11 ( ), ( ) ( 12 ( ) 13 ( ) 14 ( ) 15 ( ) ) Unidad tres triángulos, Página 14 de 38 6. En un ABC rectángulo en A, se traza la bisectriz CD del C, con D sobre AB. Probar que DB > DA. GRAFICA 22 AFIRMACION ̅̅̅̅ 1 2 RAZON (̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ 3 4 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 5 6 7 ̅̅̅̅ 8 7. Sean a, b reales positivos, con a > b. ¿Cuál otra condición deben cumplir para que sean las medidas de los lados de un triángulo isósceles?. Determina la hipótesis y la tesis, argumenta cada una de las afirmaciones. GRAFICA 23 Unidad tres triángulos, 5 Página 15 de 38 AFIRMACION 1 Si los lados iguales miden a a 2 RAZON a+b Si los lados iguales miden b a+b 8. Dados una recta y dos puntos situados en el mismo semiplano con respecto a ella, encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por la recta dada. Determina la hipótesis y la tesis Para resolverlo busquemos en el semiplano opuesto el B’ talque BD=B’D si unimos A y B’ la distancia más corta entre ellos es AB’ que corta a la recta en el punto E, podemos demostrar fácilmente que EB’=EB luego la distancia más corta para llegar de A hasta B será: AE+EB’=AE+EB Realízalo por afirmación- razón GRAFICA 24 9. Dados dos puntos y una recta, encontrar sobre ella un punto que equidiste de los puntos dados. Intuitivamente analizar las posibles alternativas. Determina la hipótesis y la tesis, argumenta cada una de las afirmaciones. GRAFICA 25 Unidad tres triángulos, Página 16 de 38 AFIRMACION RAZON 1 2 3 10. En un XOY se toman A y B sobre OX y OY. Se trazan las bisectrices de los ángulos XAB y YBA que se cortan en R. Probar que ROA=ROB. Determina la hipótesis y la tesis. GRAFICA 26 AFIRMACION 1 RAZON Tracemos desde R 2 3 4 ( ) = ( ) 5 11. Sea OM la bisectriz del XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que OAC=OBC y AC=BC. : GRAFICA 27 Unidad tres triángulos, Página 17 de 38 AFIRMACION RAZON 1 2 ̂ =̂ 3 4 5 ( ) 6 ( ) 12. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que AB=A'B', BC=B'C' y las medianas AM=A'M', probar que los dos triángulos son congruentes. GRAFICA 28 AFIRMACION 1 RAZON , BC = B'C' 2 3 4 ̂ ( ) ( ) 5 13. ( ) Si dos triángulos isósceles tienen las bases y las alturas relativas a ellas respectivamente congruentes, probar que los triángulos son congruentes. , GRAFICA 29 Unidad tres triángulos, Página 18 de 38 AFIRMACION RAZON 1 2 3 ( ) 4 ( ), ( ) 5 6 ( )y 7 14. , ( ) Dado un ángulo agudo XOY. Por O y hacia el exterior se levantan OX'OX y OY'OY. Se toman A, B, C y D sobre OX, OX', OY y OY' tales que OA=OB y OC=OD. Se trazan AD y BC. Probar que OAD=OBC y AD=BC. GRAFICA 30 AFIRMACION RAZON 1 2 ( ) 3 4 ̅̅̅̅ 5 6 ( ) 7 ( ) Unidad tres triángulos, Página 19 de 38 15. En un ABC ( AB > AC), se traza la bisectriz AD. Se traza la semirrecta DE tal que ADE=ADC, con E sobre AB. Probar que: a. DE = DC y AE = AC. b. AD es la mediatriz de EC. GRAFICA 31 ( ) ̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅ AFIRMACION RAZON 1 2 3 AD = AD 4 5 ( ) 6 ( ) 7 Unidad tres triángulos, Página 20 de 38 EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIANGULOS 1. En un ABC equilátero, a partir de cada vértice en el mismo sentido, se prolongan los lados de modo que AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero. Grafica 20 1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. AFIRMACION 01 𝜶=β=θ 02 ∢A’AC’=∢B’BA’=C’CB’ 03 AA’=BB’=CC’ 04 AB=BC=CA 05 AA’-AB=BB’-BC=CC’-CA BA’ CB’ ΔB’BA’’ RAZON AC’ 06 Δ A’A’C’ ΔC’CB’ 07 A’C’=B’A’=C’B’ 08 Δ A’B’C’ es equilátero Unidad tres triángulos, Página 21 de 38 2. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las medianas relativas a los lados AB y AC, las cuales se cortan en G. Probar que el BGC es isósceles. Grafica 21 1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. AFIRMACION RAZON 01 02 03 ̂= ̂ 04 ∢ABC=∢ACB 05 ̅̅̅̅ 06 ΔNBC 07 ∢NCB=∢MBC 08 ΔBGC isósceles 09 BG=CG 10 ΔABG AGC 11 ∢BAG ∢ CAG 12 AP=AP 13 ΔBAP 14 BP=CP 15 P es punto medio ̅̅̅̅ ΔMCB Δ CAP Unidad tres triángulos, Página 22 de 38 3. Desde un punto A sobre el lado OX del XOY, se traza AB perpendicular a la bisectriz OZ, con B sobre OY. Probar que AB forma ángulos congruentes con los lados del XOY. Grafica 22 1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. AFIRMACION 01 ∢AOZ 02 ̅̅̅̅ O 03 ∢O B ∢O A 90° 04 ΔAO ΔBO 05 ∢ OA OBP RAZON ∢BOZ ̅̅̅̅ O 4. En un ABC isósceles de base BC, se traza la secante BD con D sobre AC. Probar que DC < BD. Grafica 23 1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. AFIRMACION 01 AB=AC 02 ̅̅̅̅ BD ̅̅̅̅ AD ̅̅̅̅ AB 03 ̅̅̅̅ BD ̅̅̅̅ AD ̅̅̅̅ AC 04 ̅̅̅̅ BD ̅̅̅̅ AD ̅̅̅̅ AD 05 ̅̅̅̅ BD ̅̅̅̅ DC RAZON ̅̅̅̅ DC Unidad tres triángulos, Página 23 de 38 5. Si dos lados de un triángulo miden 2 m y 9 m, hallar el mayor tercer lado posible cuya medida sea un número entero. Grafica 24 1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. AFIRMACION 9 01 RAZON 9 02 03 Por lo tanto el mayor lado 0 6. En un ABC se traza la mediana AM y se prolonga hasta D con AM=MD. a. Probar que BD=CA. b. Deducir que la mediana es menor AM que la semisuma de los lados que parten desde el mismo vértice que ella. Grafica 25 1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. AFIRMACION 01 CM=MB 02 AM=MD 03 ̂C A 04 ΔA C 05 ̅̅̅̅ AC 06 ̅̅̅̅ AD RAZON ̂B D ΔD B ̅̅̅̅ BD ̅̅̅̅̅ A Unidad tres triángulos, Página 24 de 38 07 ̅̅̅̅ AB+BD 08 AB+BD 2AM 09 AB BD AD A 7. Dados un ángulo y dos puntos en su interior, encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por los dos lados del ángulo. En el siguiente ejercicio te daremos las gráficas y la explicación del mismo, tu trabajo es realizarlo bajo la afirmación y su respectiva razón. Grafica 26 La distancia más corta desde un punto a una recta es el segmento perpendicular ̅̅̅̅ con p ⃗⃗⃗⃗⃗ O , Desde p trazamos ̅̅̅̅ ⊥ ⃗⃗⃗⃗ y por último ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Pero observemos el siguiente grafico (2) Grafica 27 Unidad tres triángulos, Página 25 de 38 Si trazamos la línea que une los dos puntos simétricos de camino más corto para unirlos Pero además ’S S ( ’, ’) dicho segmento es el ’ ’. Por lo tanto la trayectoria MS+SR+RN=M’N’ Ahora podemos demostrar que cualquier otra trayectoria es mayor a ̅̅̅̅̅S ̅̅̅ ̅̅̅̅ S S S ’ ’ ’ pero ’ ’ ’ ’ por ejemplo Observemos además : ’ ’ ’ ’ n ’ ’ S S 8. Probar que la semirrecta opuesta a la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano exteriores al ángulo, que equidistan de los lados del ángulo. Grafica 28 En el siguiente ejercicio te damos la gráfica y la explicación del mismo, tu trabajo es realizarlo bajo la afirmación y su respectiva razón. OBSERVEMOS Todo punto sobre la bisectriz ⃗⃗⃗⃗⃗ equidistante de los lados del ∢YOZ y si tomamos las prolongaciones podemos decir que P sobre la prolongación de la bisectriz equidista de las prolongaciones del ∢YOZ Unidad tres triángulos, Página 26 de 38 9. Encontrar un punto que a la vez equidiste de dos puntos dados y equidiste de dos rectas concurrentes dadas. Grafica 29 En este ejercicio debemos tener presente dos condiciones 1. Si un punto equidista de dos puntos Ay B entonces dicho punto está sobre la mediatriz de dicho segmento 2. Si un punto equidista de dos rectas concurrentes entonces esta sobre la bisectriz del ángulo formado Unamos los dos aspectos en una sola gráfica Grafica 30 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∧ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Esta es una de las muchas probabilidades Ahora trata de ordenarlo por pasos de tal forma que quede la afirmación y la razón. Unidad tres triángulos, Página 27 de 38 10. Dadas dos rectas X'OX y Y'OY, sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; sobre OX' y OY' se toman A' y B' con OA'=OB'. Probar que A'B=AB' y OA'B=OB'A. Grafica 31 1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. AFIRMACION 01 OA=OB 02 OA’ OB’ 03 ∢A’OB ∢B’OA 04 ΔA’OB 05 A’B B’A 06 ∢OA’B ∢OB’A RAZON ΔB’OA 11. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que B=B' , BC=B'C' y las bisectrices BE=B'E', probar que los dos triángulos son congruentes. Grafica 32 1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. Unidad tres triángulos, Página 28 de 38 AFIRMACION 01 BC=B’C’ 02 ̂ B 03 RAZON B̂ ̂ B B ∢ABE 04 BE B’E’ 05 ΔEBC ΔE’B’C’ 06 Ĉ 07 ΔABC ∢EBC ∢A B E ∢E B C C’ ΔA’B’C’ 12. Si dos triángulos isósceles tienen congruentes los ángulos opuestos a las bases y las alturas relativas a ellas, probar que los triángulos son congruentes. Grafica 33 1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada la información en cada paso debes determinar las afirmaciones y determina la razón de cada uno de ellos. 01 Tenemos que el ΔABC es isósceles con ̅C̅̅̅ altura implica que ̅̅̅ C ̅ también es bisectriz, por lo tanto ∢ ∢ ∢ 02 De igual forma si tomamos el Δ DEF obtenemos ∢ 03 Ahora, recordemos que si dos ángulos son iguales entonces sus mitades son iguales ∢ ∢ ∢ ∢ ∢ ∢ 04 Entonces por el criterio ALA 05 De lo anterior ̅̅̅̅ ΔABC ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y además ∢ACB ∢ ∢ Δ DEF Unidad tres triángulos, Página 29 de 38 ∢ por el criterio LAL 13. Dos triángulos ABC y A'BC están situados en distinto semiplano con respecto a la recta BC, la cual es bisectriz de los ángulos ABA' y ACA'. Probar que: a. ABC=A'BC. b. Para todo punto M de BC, se c. cumple que AM=A'M. AA'BC Grafica 34 1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. AFIRMACION 01 BC lado común 02 ΔABC 03 AB A’B 04 BM BM 05 ΔA’BM 06 A’M AM 07 ΔA’BA isósceles 08 BP bisectriz del ∢A’BA 09 BP altura 10 BC⊥ AA’ RAZON Δ A’BC por ALA ΔABN por LAL Unidad tres triángulos, Página 30 de 38 14. Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera. Desde A y B se trazan las perpendiculares AC y BD a la recta. Probar que AC=BD. ¿Cuál propiedad tienen los vértices A y B de un MAB con respecto a la mediana relativa al lado AB?. Grafica 35 1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso. 01 ̅̅̅̅ 02 ∢AOC=∢BOD 03 ∢ACD ∢BOD 90° 04 ΔAOC ΔBOD 05 ̅̅̅̅ Grafica 36 Podemos concluir con la primera parte que los vértices del triángulo equidistan en la mediana ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Unidad tres triángulos, Página 31 de 38 EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIÁNGULOS 1. En un ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero. 2. En un ABC equilátero, a partir de cada vértice en el mismo sentido, se prolongan los lados de modo que AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero. 3. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos B y C, las cuales se cortan en I. Probar que el BIC es isósceles. 4. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las medianas relativas a los lados AB y AC, las cuales se cortan en G. Probar que el BGC es isósceles. 5. En un ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y CA los puntos E y D con AE=AD: a. Probar que en O. BOB'=COC'. que c. Probar que la recta AO pasa por el punto medio de BC. 6. Desde un punto A sobre el lado OX del XOY, se traza AB perpendicular a la bisectriz OZ, con B sobre OY. Probar que AB forma ángulos congruentes con los lados del XOY. 7. Sobre los lados AB y AC de un ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que EHA=FHA y EFH=FEH. 8. En un ABC isósceles de base BC, se traza la secante BD con D sobre AC. Probar que DC < BD. 9. En un ABC rectángulo en A, se traza la bisectriz CD del C, con D sobre AB. Probar que DB > DA. 10. Si dos lados de un triángulo miden 2 m y 9 m, hallar el mayor tercer lado posible cuya medida sea un número entero. 11. Sean a, b reales positivos, con a > b. ¿Cuál otra condición deben cumplir para que sean DAB=EAC. b. Se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y se trazan B'C y C'B que se cortan Probar Unidad tres triángulos, Página 32 de 38 las medidas de los lados de un triángulo isósceles?. 12. 13. 17. En un XOY se toman A y B sobre OX y OY. Se trazan las bisectrices de los ángulos XAB y YBA que se cortan en R. Probar que ROA=ROB. a. Probar que BD=CA. 18. b. Deducir que la mediana es menor que la semisuma de los lados que parten desde el mismo vértice que ella. Encontrar un punto que a la vez equidiste de dos puntos dados y equidiste de dos rectas concurrentes dadas. 19. Sea OM la bisectriz del XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que OAC=OBC y AC=BC. En un ABC se traza la mediana AM y se prolonga hasta D con AM=MD. Dados una recta y dos puntos situados en el mismo semiplano con respecto a ella, encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por la recta dada. 20. Dadas dos rectas X'OX y Y'OY, sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; sobre OX' y OY' se toman A' y B' con OA'=OB'. Probar que A'B=AB' y OA'B=OB'A. 14. Dados un ángulo y dos puntos en su interior, encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por los dos lados del ángulo. 15. Dados dos puntos y una recta, encontrar sobre ella un punto que equidiste de los puntos dados. Intuitivamente analizar las posibles alternativas. 21. 16. Probar que la semirrecta opuesta a la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano exteriores al ángulo, que equidistan de los lados del ángulo. 22. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que B=B' , BC=B'C' y las bisectrices BE=B'E', probar que los dos triángulos son congruentes. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que AB=A'B', BC=B'C' y las medianas AM=A'M', probar que los dos triángulos son congruentes. 23. Si dos triángulos isósceles tienen las bases y las alturas relativas a ellas Unidad tres triángulos, Página 33 de 38 respectivamente congruentes, probar que los triángulos son congruentes. 24. Si dos triángulos isósceles tienen congruentes los ángulos opuestos a las bases y las alturas relativas a ellas, probar que los triángulos son congruentes. 25. Dado un ángulo agudo XOY. Por O y hacia el exterior se levantan OX'OX y OY'OY. Se toman A, B, C y D sobre OX, OX', OY y OY' tales que OA=OB y OC=OD. Se trazan AD y BC. Probar que OAD=OBC y AD=BC. b. AD es la mediatriz de EC. 28. Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera. Desde A y B se trazan las perpendiculares AC y BD a la recta. Probar que AC=BD. ¿Cuál propiedad tienen los vértices A y B de un MAB con respecto a la mediana relativa al lado AB?. 26. Dos triángulos ABC y A'BC están situados en distinto semiplano con respecto a la recta BC, la cual es bisectriz de los ángulos ABA' y ACA'. Probar que: a. ABC=A'BC. b. Para todo punto M de BC, se cumple que AM=A'M. c. AA'BC 27. En un ABC ( AB > AC), se traza la bisectriz AD. Se traza la semirrecta DE tal que ADE=ADC, con E sobre AB. Probar que: a. DE = DC y AE = AC. Unidad tres triángulos, Página 34 de 38 TALLER N°4- DESIGUALDAD TRIANGULAR 1. Dado un ABC con AB > AC y AM perteneciente a AM mediana relativa a BC , desde D se trazan BD y DC demostrar que BD > DC 2. Demostrar que en un triángulo cualquiera una altura es menor que la semisuma de los lados adyacentes. 3. Se tiene un triángulo ABC con el lado AB>AC. Desde el vértice C se traza el segmento CD, con D sobre AB y desde el vértice B se traza el segmento BF, con F sobre AC y siendo DB = CF. Demostrar que FB>CD 4. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo es menor que su perímetro. 5. En un triángulo ADB isósceles de base AB, DB es mayor que AB; se prolonga AD hasta C. Probar que el triángulo ABC es escaleno. 6. Demostrar que la suma de las distancias de un punto O dentro de un triángulo a sus tres vértices es mayor que el semiperímetro y menor que el perímetro del triángulo. 7. Se tiene el triángulo ABC cualquiera, se traza AE con E sobre BC, se traza BD con D sobre AE, demostrar que 8. En un triángulo cualquiera ABC, se trazan las bisectrices del <A y <B que se intersectan en el punto D. Si BC > AC, demostrar que DB > AD 9. Demuestre que para cualquier cuadrilátero convexo ABCD se cumple: 10. Se tienen los puntos colineales en dicho orden, desde un punto no colineal con dichos puntos se trazan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ tales que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Demostrar que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . 11. Dado un triángulo ABC obtusángulo en C, se traza la mediana AM y se toma un punto cualquiera D sobre ella. Demuestre que DB > CD Unidad tres triángulos, Página 35 de 38 ̅̅̅̅ con sobre ̅̅̅̅ tal que 12. En un isósceles de vértice A, se traza ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Demostrar que . 13. El perímetro de toda línea poligonal es mayor que el perímetro de cualquier línea poligonal interior (aplicación del teorema de la envolvente) 14. En revisión 15. En revisión 16. En revisión 17. Se tiene el triángulo ABC, se traza el segmento BE tal que A-E-C, se traza AD tal ) ( ) que E-D-B demostrar que ( 18. En un triángulo ABC se traza el segmento BE tal que A-E-C, se traza AD tal que E-D-B, demostrar que sabiendo que FC=DB y 19. En revisión 20. En revisión Unidad tres triángulos, Página 36 de 38 Taller adicional de desigualdades. Ejercicios elaborados por Carlos Alberto Ríos Villa (Excepto el 1 y el 12) 1. (Equivalente al teorema del ángulo exterior) Los segmentos RQ y PS se bisecan mutuamente, se traza PQ y se prolonga hasta un punto T Probar que ∢𝑅𝑄𝑇 > ∢𝑃𝑅𝑄 7. Demuestre que en la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es menor que la semisuma de los catetos. 2. En un ∆𝐴𝑃𝐵 isósceles de vértice ̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ A, se traza 𝑃𝐻 con H ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ sobre 𝐴𝐵 tal que 𝐴𝐻 > ̅̅̅̅ 𝐻𝐵 . Demostrar que ∢𝐵 > ∢𝐴 8. Demuestre que la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, divide a esta en segmentos distintos, siempre que el triángulo no sea iso 3. En un ∆𝐴𝑃𝐵 isósceles de vértice ̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ A, se traza 𝑃𝐻 con H ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ > ̅̅̅̅ sobre 𝐴𝐵 tal que 𝐴𝐻 𝐻𝐵 . Demostrar que ∢𝐴𝑃𝐻 > ∢𝐻𝑃𝐵 4. Dado un triángulo ABC Iso de base AC con ángulo vértice obtuso, se prolonga AB hasta D t.q AB = BD. Demuestre que AC es mayor Que CD. 5. Dado un triángulo ABC Iso de base AC con ángulo vértice agudo, se prolonga AB hasta D t.q AB = BD. Demuestre que AC es mayor Que CD 6. Dado un triángulo ABC Iso de base BC se prolonga la base hasta D. Demuestre que AD es mayor que AB. 9. Probar que en un triángulo, la suma de las distancias desde un punto cualquiera a los lados es menor que la suma de las distancia desde el mismo punto a los lados. 10. Probar que en un triángulo, la suma de las distancias desde un punto cualquiera a los lados es menor que el semiperímetro dl triángulo. 11. Demuestre que el perímetro de cualquier polígono es mayor que de un triángulo que se encuentre adentro de él. Unidad tres triángulos, Página 37 de 38 12. Sea AB el lado mayor del triángulo ABC escaleno. Si P es un punto interior a ese triángulo, entonces PA + PB > PC. 13. Un triángulo Isósceles tiene lados 5 y 11 ¿es posible determinar la medida del tercer lado de manera exacta de modo que sea un entero? Unidad tres triángulos, Página 38 de 38