Download tema 2. introducción a la física de los sólidos.

TEMA 2. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DE LOS SÓLIDOS.
1. Estructura de los sólidos. Grabación y lectura en CD-RW y DVD-RW.
2. Modelo clásico del electrón libre.
3. Modelo cuántico del electrón libre; pozo de potencial tridimensional; estadística de
Fermi-Dirac.
4. Modelo de bandas de energía: conductores, aislantes y semiconductores; masa
efectiva y hueco.
BIBLIOGRAFÍA para el Tema 2:
• Física, Volumen 2C, Tipler-Mosca, (5ª edición)
• Physics for Computer Science Students, (2ª Edición), Springer. Narciso García,
Arthur Damask y Steven Schwarz.
• Fundamentos Físicos de la Informática y las Comunicaciones, Luís
Montoto San Miguel, Editorial Thomson.
• Recursos de la Web
• Diapositivas de clase.
1
1. La estructura de los sólidos.
La Física del estado sólido constituye una parte importante de la Física cuántica. Con
su ayuda podemos comprender las propiedades mecánicas, térmicas, eléctricas, magnéticas y ópticas de la materia en sus tres estados conocidos. Aquí estudiamos algunas
propiedades de las sustancias sólidas.
LIQUIDOS
MATERIA
CONDENSADA
monocristales
policristales
SÓLIDOS:
amorfos.
2
La existencia de un estado u otro de la materia depende de las
condiciones de presión (P), y temperatura (T) en las que se formaron.
fus
ión
El gráfico muestra un diagrama de fases P-T a Volumen constante.
-En los estados sobre las
P
Sólido, S
(a)
ión
c
ma
i
l
b
su
líneas coexisten ambas
fases.
Liquido, L
ci
a
riz
o
p
va
-Si se calienta una sustancia a P
constante, se puede pasar por una
secuencia de estados (cambios de
fases). La doble flecha a trazos (a)
indica que podemos pasar del estado
S al L si calentamos en torno al punto
de fusión y del estado L al S si enfriamos. Mientras el sólido funde su temperatura se mantiene constante.
ón
Gas, G
T
La grabación y lectura en CD y DVD que veremos está relacionada
3
con el de cambio de fase y otras propiedades de los sólidos.
En el diagrama P-T se observa que a altas presiones y bajas
temperaturas predomina el estado sólido, mientras que a bajas
presiones y altas temperaturas el estado gaseoso.
En un modelo de sólido en el que los átomos están conectados
entre sí mediante muelles, la energía interna del sólido se compone de energía potencial elástica de sus átomos y energía
cinética. La presión es una medida del grado de compresión de
sus átomos y la temperatura una medida de su energía cinética
interna.
4
ESTRUCTURA CRISTALINA
Los sólidos se clasifican según se estructura cristalina que
está caracterizada microscópicamente por la agrupación de
iones, átomos o moléculas según un modelo de repetición
periódica.
El concepto de periodicidad es sencillo de entender si
pensamos en los motivos de una alfombra oriental, dibujos
de la Alhambra, una formación de tipo militar ...
5
Red cristalina y celdilla unidad.
Si nos fijamos con detenimiento, en estos dibujos hay
siempre una fracción de los mismos que se repite. Pues
bien, en los cristales, los átomos, los iones o las moléculas
se empaquetan dando lugar a motivos que se repiten desde
cada 5 Å hasta las centenas de Å (1 Ángstrom, Å = 10-10 m),
y a esa repetitividad, en tres dimensiones, la denominamos
red cristalina. El conjunto que se repite, por traslación
ordenada, genera toda la red (todo el cristal) y lo denominamos celdilla elemental o unidad
red : conjunto de puntos con repetición periódica.
motivo: átomos, iones o moléculas asociados a los nudos de la
red. el motivo que se repite, puede describirse por
un punto (el punto reticular) que representa a todos
y cada uno de los constituyentes del motivo. Por
ejemplo en el dibujo anterior cada soldado repre6
senta un punto reticular.
estructura cristalina: distribución real de los átomos en el espacio.
Red + motivo
Estructura cristalina
celda unidad: la unidad mas pequeña que se repite para formar la
red
Importancia de la celda unidad: A partir de ella podemos encontrar las propiedades del cristal en su conjunto. Por ejemplo,
distancia entre átomos más próximos, número de átomos por
metro cúbico, fuerzas que mantienen la red junta, propiedades
mecánicas y eléctricas, etc.
Redes de Bravais.
Existen 14 tipos de redes cristalinas y se conocen con el nombre
de redes de Bravais. Sólo veremos las redes cúbicas.
P
I
bcc
F
fcc
7
bcc
fcc
b
En realidad los átomos no están tan
separados sino lo más próximo
posible, como se observa en la
estructura fcc. Obsérvese que las
tres bolas indicadas por la recta ab
son tangentes.
a
8
p: primitiva o cúbica simple, de forma que a cada punto reticular
de la misma se le asocia un átomo. Por tanto, hay un átomo en
cada vértice. El polonio presenta esta estructura.
bcc: red espacial cúbica centrada en el cuerpo, de forma que
a cada punto reticular de la misma se le asocia un átomo. Por
tanto, hay un átomo en cada vértice de la celdilla cúbica y otro
en el centro de dicha celdilla. Como ejemplo de metales que
adoptan esta estructura se pueden citar el Na, K, Cr, Mo, W y
Fe-α
fcc: Cúbica centrada en las caras. Asocia un átomo por cada
punto reticular de la misma. Por tanto, hay átomos en los
vértices y en los centros de las caras de dicha celdilla cúbica.
El Al, Cu, Au, Ag y Ni son ejemplos de metales que adoptan
esta estructura.
Redes de Bravais
9
Estructura tipo Silicio: dos redes ffc desplazada una de otra en
la dirección de la diagonal principal (a/4, a/4, a/4), siendo a la
arista del cubo.
a
a/4
a/4
a/4
Simulación para el Si y otros.
10
Representación planar
de la estructura del Si.
Obsérvese que es la
estructura real vista, por
ejemplo, desde arriba.
11
Número de átomos que contiene una celda unidad, nC:
nV
nF
nC =
+ nI +
8
2
nV, nº de átomos en vértices. A cada celda corresponde 1/8.
nI, nº de átomos en el interior.
nF, nº de átomos en las caras. A cada celda corresponde 1/2
Así, la P contiene 8 átomos en cada vértice x 1/8 = 1 átomo,
equivale a tener un átomo completo en su interior.
La bcc, posee 8 x 1/8 + 1 = 2 átomos en su interior.
La fcc, posee 8 x 1/8 + 6 x ½ = 4 átomos en su interior.
Silicio, posee 4 átomos por cada fcc, en total 8 átomos.
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Determinación del nº de átomos por metro cúbico de las estructuras estudiadas.
a) estructura cúbica simple.
El número de átomos de la celda unidad es nC = 1. Visto desde
un lateral se observa que la distancia interatómica, d, separación
entre átomos más próxima es d = 2R = a siendo R el radio atómico
y a la arista del cubo.
La vista desde un lateral sería equivalente a la de la figura.
R
El número de átomos por metro cúbico se obtiene
dividiendo nC entre la arista del cubo elevada al cubo.
Si la arista a se expresa en Å, resulta:
d = 2R =a
n=
nC
(a ×10 )
−10 3
1
1030
= 3
= 3
−30
a ×10
a
átomos/m3
13
b) Estructura cúbica centrada en el centro (bcc).
En este caso nC = 2. El átomo interior estaría tangente a los
8 átomos de los vértices. La distancia interatómica, es d = 2D y se
relaciona con la arista del cubo teniendo en cuenta que las 3 esferas son tangentes en la dirección de la diagonal principal del cubo
D, de manera que a partir del teorema de Pitágoras resulta:
D = 2d
R
D
d
D 2 = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2
D 2d
a=
=
3
3
2
el nº de átomos n =
por m3,n, vale:
a × 10 −10
(
a (Å)
)
3
2 ×1030
=
a3
Obsérvese ahora que los
átomos visto desde un plano
lateral no se tocan.
a
14
c) Estructura cúbica centrada en las caras.
En este caso nC = 4. La vista lateral de la estructura sería la de la
figura. La distancia interatómica es d y su relación con a es:
( 2 d ) 2 = 2a 2
2d
a=
2
d
a
Los centros de los 5 átomos están sobre el mismo plano. El nº de
átomos por m3 es:
4
4 ×10
n=
=
−10 3
3
(a ×10 )
a
30
15
d) Estructura tipo Si, Ge, diamante.
En este caso, nC = 8. La relación entre
la distancia interatómica, d, y la arista
del cubo es:
d = 3(a / 4)
2
d
a
a/4
2
El nº de átomos por m3, vale:
8
8 ×10
n=
=
−10 3
(a ×10 )
a3
30
16
ANISOTROPIA.
Es la dependencia que presentan ciertas propiedades físicas de
una sustancia con respecto a la dirección espacial. La causa de
ello es la disposición ordenada de los átomos. Por eso la anisotropía es característica de los cristales. Sólo muy pocas propiedades físicas, en los cristales, no depende de la dirección, como
le ocurre a la densidad y al calor especifico. En estos casos se
dice que presentan isotropía. Desde un punto de vista matemático las propiedades anisótropas se caracterizan mediante vectores y otras magnitudes mas complejas.
Una de las propiedades que más nos interesa es la anisotropía
óptica. Ello supone una manifestación de distintas propiedades
ópticas del medio dependiendo del sentido de propagación de la
luz en su interior. Por ejemplo, el índice de refracción de un medio
va a depender de la dirección espacial del cristal y de que ese
medio pueda convertirse mediante un cambio de fase en un
sólido amorfo. Este hecho juega un papel fundamental en la
17
grabación y lectura en CD y DVD regrabables.
CD-RW y DVD-RW
CD-RW son las siglas de CD ReWritable. Los discos CD-RW
están construidos de tal forma que es posible grabar encima de
datos viejos.
Estos discos están basados en una tecnología de regrabación
por cambio de fase.
Los fundamentos físicos de la grabación y lectura en DVD son los
mismos que en CD pero con más pistas y más pits por pistas.
18
Aspecto de un corte transversal de un disco regrabable:
(hendidura)
19
Funcionamiento.
Originalmente la capa de grabación de un CD y de DVD regrabables es policristalina.
Grabación: Durante la grabación un láser de alta potencia
(8-14 mW) lleva al material del disco, (recording layer) a su temperatura de fusión (500 -700 ºC) en una región extremadamente
pequeña. Los cristales fundidos pasan a la fase amorfa porque
el disco gira más rápido de lo normal provocando que el material
solidifique como amorfo. Si antes de que ocurra este proceso el
material de registro era amorfo, continua en ese mismo estado.
La reflectividad de la región amorfa (5 %) es mucho más
pequeña que la de una región cristalina (20 %) lo que da lugar a
un modelo de LANDS (crestas) y PITS (valles) de los CD- ROM.
20
Borrado: Las zonas amorfas que interesen de la pista son
devueltas a la fase cristalina calentando con un láser de menor
potencia (4 a 8 mW) de manera que pone esa zona a una temperatura del orden de los 200 ºC (temperatura de cristalización) y
dejándola enfriar más lentamente pasa a fase policristalina. Si ya
estaba en esta fase continua igual.
Lectura: El láser es de potencia 10 veces menor y va leyendo el
disco de manera que las zonas policristalinas reflejan mucho comparadas con las zonas amorfas. Esa transición de reflectividad
es la que determina los “1”, junto a la longitud del período entre
las transiciones, de manera análoga a como en los CD-ROM los
determinaban las transiciones entre los lands y los pits.
21
La potencia del láser para cada acción se refleja en el
siguiente gráfico:
22
Aspecto original de la publicación realizada por Phillips
23
• Igual que los CDs, los DVDs utilizan una pista
de pits conteniendo información binaria en el
disco, la cual es leída por un dispositivo
óptico. El DVD tiene las mismas dimensiones
que un CD, pero mucha mayor capacidad y
razón de transferencia de datos.
• Las diferencias entre DVD y CD
– Separación entre pistas: DVD = 0.74µm v. CD = 1.6µm
– Longitud mínima de un Pit: DVD = 0.4µm v. CD = 0.84µm
24
DVD-ROM y CD-ROM
25
Diferencias CD-ROM / DVD
26
Todos los formatos de grabación se basan en el mismo principio: la tecnología de
cambio de fase. Sólo los DVD-RAM, además del sustrato del disco, utiliza
zonas magnéticas para guardar parte de la estructura de los datos.
De momento el sistema más aventajado es el DVD+RW, ya que permite realizar grabaciones de video domestico compatibles con la mayoría de los lectores DVD-ROM
domésticos.
Otro factor importante que influye en la grabación y en la posterior lectura es el sistema
de rotación del motor de giro del disco, que es el que determina finalmente de qué
forma pasa el láser sobre la superficie del disco. Existen tres modos de operación
distintos:
•CLV (DVD-RW): Constant Linear Velocity. Mantiene constante la velocidad de
transferencia de datos independientemente de la zona del DVD. Ello supone
aumentar la velocidad de giro cuando disminuye el radio del DVD.
• Z-CLV (DVD-RAM): Zone Constant Linear Velocity, Velocidad Lineal
Constante por Zonas, nuevo sistema basado en CLV pero que, en este caso, la
velocidad de transferencia constante se realiza a través de 4 zonas
diferenciadas, permitiendo grabar a mayor velocidad que con CLV. La velocidad
es constante en cada una de las zonas pero diferente entre cualquier par de
ellas.
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• CAV (DVD+RW): Constant Angular Velocity, Velocidad Angular Constante,
sistema de rotación que mantiene el giro del motor a velocidad constante, por lo
que la velocidad de transferencia es mayor en los extremos del CD que en el
interior, ya que recorre mayor cantidad de espacio –y por tanto datos- en el
mismo tiempo.
Hoy en día el único formato de DVD regrabable compatible con los lectores de
DVD-Vídeo de salón es el DVD+RW
DVD-RAM: su mayor desventaja es que los discos utilizados no son compatibles
con los lectores DVD-ROM tradicionales.
28
¿Qué sistema de grabación elegir de los que existen en el
mercado?
Cualquiera de ellos le va a ofrecer una solución de almacenamiento de alta
capacidad con discos regrabables, pero adquirir una tecnología que pueda quedar en
desuso en poco tiempo no parece buen negocio. El formato DVD-RAM no parece
que vaya a imponerse sobre sus competidores. Su futuro está más orientado a
convertirse en una solución profesional de almacenamiento masivo. Sobre los otros
dos sistemas DVD-RW y DVD+RW no se puede realizar un pronóstico fiable. Ambos
tienen ventajas e inconvenientes propios, pero ninguno de ellos es tan definitivo o
excluyente como para decantarse por alguno de estos formatos.
Sus tecnologías de grabación son fácilmente incorporables en los futuros lectores, y
los soportes en los dos casos disponen de la capacidad estándar de 4,7 GB para
DVD-Vídeo, con discos que no requieren protección externa, como en el caso del
DVD-RAM.
Lo ideal para el usuario sería que hubiese un nuevo consenso entre empresas como
ocurrió en su día con el DVD, aunque tampoco parece probable, ya que lo que está
en juego es la propiedad de un sistema que, además de las enormes ventas que
puede tener en el sector informático, está llamado a convertirse en el heredero de los
sistemas de grabación de vídeo doméstico VHS.
Si puede esperar un año hágalo, se habrá aclarado la situación porque habrá habido
un vencedor. A lo mejor no sale elegido el mejor sistema pero si el que es
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comercialmente mas fuerte, como ocurrió con el sistema BETA y VHS.
2. Modelo clásico del electrón libre. Gas de electrones.
Un modelo que explica la conducción en metales desde la perspectiva de la Física
clásica es el modelo de Drude (1900). Debido a que los electrones de conducción
son los que provienen de las órbitas más externas de los átomos que forman el
metal y están distribuidos en el espacio que existe entre los átomos, se les conoce
como nube o gas de electrones.
Hipótesis del modelo:
(a) El metal está formado por una red de iones con electrones de valencia moviéndose
libremente a su través con la única condición de que no escapen. Están inmerso
en un pozo de potencial finito.
(b) Los electrones de valencia (conducción) no interaccionan entre ellos, son por ello
independientes. Además se considera que la energía potencial de la red de iones
es constante en cualquier punto que se considere, por lo que el fondo del pozo
de potencial es plano.
(c) En ausencia de campo eléctrico aplicado los electrones se mueven al azar debido
a la agitación térmica con velocidades que dependen de la temperatura.
(d) Al aplicar un campo eléctrico E, los electrones adquieren una velocidad opuesta al
campo, va, generándose una densidad de corriente J.
E ≠0
E = 0, va = 0, J = 0
va ≠ 0, J ≠ 0
-
30
E>0
dN/dE
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
φe
EP <0
EC
E
La figura representa la red de iones positivos que están en posiciones fijas del cristal.
Los electrones se mueven libremente entre los iones y colisionan con ellos. Debido a
la agitación térmica se mueven al azar mientras no exista campo E aplicado. Tampoco
pueden escapar libremente porque el conductor quedaría cargado positivamente atrayéndolos de nuevo. Se dice que están en un pozo de energía. Estos electrones poseen
energía cinética, EC. Algunos de ellos poseen energías elevadas, otros más pequeñas.
Los que poseen más energía son los que lo tienen más fácil para salir del pozo. La
energía mínima necesaria para que un electrón libre salte la barrera de potencial se
denomina energía de extracción o función de trabajo del metal, φe, y se mide en eV.
Suele valer entre 1 y 10 eV. Se suele medir mediante el efecto fotoeléctrico.
La figura también nos muestra como se distribuyen las energías de los electrones por
intervalos de energía. Vemos que existen muchos electrones con poca energía y muy
pocos con mucha energía. Esta forma de distribución siguen la estadística clásica de
31 no
Maxwell- Boltzmann. Cuando se tengan en cuenta hipótesis cuánticas veremos que
siguen este tipo de distribución energética, sino la estadística de Fermi-Dirac.
La densidad de corriente se determina fácilmente teniendo en cuenta que al aplicar
el campo E los electrones adquieren una fuerza F = -eE = mea y por tanto poseen
una velocidad de arrastre debido al campo, va = a τ, siendo τ el tiempo medio que tarda
el electrón entre colisión y colisión con los iones de la red. Por todo ello tenemos:
− eE
e 2 nτ
J = −env a = −en
τ=
E = σE
me
me
que es la conocida ley de Ohm.
siendo
e 2 nτ
σ=
me
(Ω-m)-1
La conductividad, σ, es una de las magnitudes que varían más ampliamente en los materiales, de tal forma que la conductividad del Cu en relación a la del diamante llega a
ser del orden de 1028. Algunos valores de la conductividad a temperatura ambiente en
unidades de (Ω-m)-1 son:
Metales: Ag = 6,7×107, Cu = 6×107, Al = 3×107, Fe = 1×107
Semiconductores: Si = 4×10-4, Ge = 2×10-2
Aislantes: Vidrio = 2×10-11, Teflón = 10-14, Poliestireno = 10-20
Diamante = 10-21
32
Un parámetro importante que se relaciona con la conductividad es la movilidad, µ.
Representa la facilidad con que se puede mover un electrón en presencia de un
campo eléctrico, E, en el interior de un material y se define por la relación:
va
µ=
E
(m2/V·s) de manera que:
v a = µE
así la densidad de corriente J para portadores de carga, q, es:
J = qnv a = qnµE = σE
de forma que la conductividad se puede expresar como:
σ = qnµ
o bien recordando que el coeficiente Hall, RH = 1/qn, resulta: σ = µ/RH
En materiales semiconductores los portadores de carga son de dos tipos, electrones
que son negativos, cuya concentración se expresa por n (m-3) y huecos que son positivos, cuya concentración se expresa por p (m-3). La movilidad para ambos tipos de por
tadores son diferentes aunque la carga en valor absoluta es la misma. Por esta razón la
conductividad en semiconductores se expresa como:
σ = q ( nµ n + pµ p )
33
3. Modelo cuántico del electrón libre; pozo de potencial tridimensional; estadística
de Fermi-Dirac.
El modelo de Drude fue capaz de explicar la ley de Ohm y otras leyes, pero falló al
intentar explicar la variación que la conductividad experimenta con la temperatura. Este
modelo predice que la conductividad es proporcional al inverso de la raíz cuadrada de
la temperatura absoluta, σ ∝ 1 / T , cuando la experiencia demuestra que σ ∝ 1 / T .
El fallo de esta predicción y de otras encontradas tiene su origen en que los electrones
son partículas cuánticas y no obedecen la distribución estadística de Maxwell-Boltzmann.
Sommerfeld (1928) desarrolla el modelo cuántico del electrón teniendo en cuenta los
principios de la mecánica cuántica. Añadió al modelo clásico de Drude dos hipótesis fundamentales:
(a) Los electrones deben ser tratados según la mecánica cuántica. Se rigen por la Ecua.
de Schrödinger tridimensional y verifican la estadística de Fermi-Dirac.
(b) Obedecen los principios de Pauli y de Heisenberg.
Además de estos principios cuánticos, se considera que los electrones, como en el
modelo clásico son libres, esto es, no interaccionan entre sí. También se consideró que
el potencial electrostático en el interior de la red de iones era independiente de la posición elegida. Por ello es como si los electrones estuviesen en un pozo de potencial de
fondo plano pero con una distribución de energías muy diferentes a las consideradas
por el modelo de Drude.
34
Las energías de los electrones en un pozo tridimensional deben seguir siendo análogas a las del pozo monodimensional, de forma que si se considera un pozo cúbico
de lado L, la energía vale:
En1 ,n2 ,n3
h 2π 2 2
2
2
=
(
n
+
n
+
n
1
2
3)
2
2me L
El estado fundamental se caracteriza por valer 1 los tres números cuánticos correspondientes a las tres direcciones espaciales. Así E1,1,1 = 3 E0, donde E0 vale:
h 2π 2
E0 =
2me L2
Por el principio de Pauli en ese estado de energía sólo puede haber como máximo
dos electrones, uno con espín 1/2 y otro con espín -1/2. El siguiente electrón, debe
estar en otro estado de energía superior. Ese otro estado puede ser: (1,1,2), ó (1,2,1),
ó (2,1,1), ya que para todos ellos la energía vale lo mismo, es decir, 6E0. Son estados
degenerados pues les corresponde la misma energía pero se representan por funciones
de onda de materia distintas. De esta forma se van rellenando de electrones los estados
de energía en un sólido, de acuerdo con los principios cuánticos.
35
Energía de Fermi: Representa la energía cinética más alta ocupada por los electrones
a cero grados kelvin. Es relativamente fácil demostrar a partir de todo lo expuesto que
la energía de Fermi a cero Kelvin vale:
h  3n 
EF =
 
8me  π 
2
2
3
(
)
2
h2
3nπ 2 3
esta expresión es equivalente a estas otras: E F =
2me
2
2
h  3n  3
EF =
 
2me  8π 
Como puede observarse la energía de Fermi es proporcional a la concentración de
electrones que posee el material elevado a dos tercios. En la figura se observa como
se van rellenando los niveles de energías discretos con 9 electrones a diferencia de cómo
era en el modelo clásico.
E>0
φe
EP <0
EF
En esta figura podemos ver que la función de
trabajo del metal la podemos determinar por
diferencia entre la energía potencial del fondo
del pozo y la energía de Fermi:
φ = |EP| – EF. A efectos prácticos la energía del
fondo del pozo coincide con el trabajo necesario
para alejar un electrón del metal que ocupa un
nivel de energía en la banda de energía más
externa o banda de conducción como ya veremos.
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Densidad de estados: La densidad de estados nos proporciona el número de estados
de energías por unidad de energía comprendidos entre dos niveles energéticos próximos
entre sí, E y E+dE. Estos estados pueden estar ocupados por electrones o estar
vacantes. Se representa por la función g(E) = dN/dE y se demuestra que la función densidad de estados g(E) varia proporcionalmente con la raíz cuadrada de la energía:
g(E)
g(E) = C E1/2 donde la constante C vale:
CE1/2
3/ 2
(
2me )
C =V
2h π
3
E E+dE
E
2
= 1,06 ×1056 J −3 / 2 = 6,8 ×10 27 eV −3 / 2
siendo V = a3 = 1 m3, el volumen del conductor.
El número de estados entre dos niveles de energía próximos se determina por el
producto de g(E) por el intervalo de energía ∆E ≈ dE, esto es determinando el área
del rectángulo señalado. Naturalmente el número de estados de energía entre el
origen de energías y un valor cualquiera de la energía, E, se determina integrando
la función g(E) entre cero y E. Como es deducible para altas energías hay más estados
disponibles.
37
¿Qué ocurre para temperaturas superiores a cero Kelvin?
En este caso el número de electrones, dn(E), disponibles con energías comprendidas
entre E y E+dE va a depender de dos factores:
(a) del número de estados posibles entre E y E+dE, esto es: dN(E) = g(E)dE
(b) de la probabilidad de que esos estados de energía estén ocupados. Esta función
de probabilidad viene determinada por la estadística de Fermi-Dirac, fF (E), de forma
que el número de electrones que hay en un nivel de energía dE vale:
dn(E) = g(E)·fF(E)dE
Función de probabilidad de estados ocupados de Fermi-Dirac.
Fue deducida para tener en cuenta que los electrones son partículas cuánticas indistinguibles con espín ±1/2 que verifican el principio de exclusión de Pauli. A este tipo de
partículas con espín semientero se les llamó fermiones. La función de Fermi-Dirac es:
1
fF =
e
E − EF
k BT
+1
Nos da la probabilidad de que un estado de energía E este ocupado, kB es la constante de Boltzmann y vale 8,62×10-5 eV/K y T la temperatura absoluta. Naturalmente
como la suma de que un estado de energía E esté ocupado con la probabilidad de que
esté vacante debe ser la unidad, también sirve para determinar la probabilidad de que
los estados estén vacantes: focupados + fvacantes = 1.
38
La probabilidad de encontrar un electrón con energía E = EF independientemente de
la temperatura es 1/2, ya que el exponente E – EF de la exponencial se anula. Por esta
razón otra definición de energía de Fermi es que representa aquella energía para la
cual la probabilidad de que el estado esté ocupado es 1/2 independiente de la temperatura del material. La energía de Fermi juega un papel importante en la caracterización
de materiales.
Estudiemos los valores que puede tomar la función de distribución de Fermi a T = 0 K.
(a) para E > EF
1
fF =
e
(b) para E < EF
E − EF
k BT
+1
1
= ∞
=0
e +1
1
fF =
e
E − EF
k BT
+1
1
= −∞
=1
e +1
Esto significa que para T = 0 K, los estados de energía por debajo del nivel de Fermi
están ocupados por electrones, y por encima de éste nivel están vacantes.
Para valores de T > 0 K, si el sólido posee una energía térmica definida por la expresión:
U = kB T
39
y el nivel del estado energético que estamos analizando vale E = EF – 2kBT, la probabilidad de que ese estado esté ocupado vale:
1
fF =
e
E − EF
k BT
=
+1
1
= 0,88
−2
e +1
Si la energía del estado es E = EF + 2kBT, la probabilidad de ocupación vale:
1
fF =
e
E − EF
k BT
+1
1
= 2
= 0,12
e +1
Todos estos resultados obtenidos se pueden expresar gráficamente:
fF(E)
E = EF – 2kBT
T=0K
1
T>0K
1/2
EF
E = EF + 2kBT
E
40
Como puede observarse en la gráfica sólo aquellos electrones con energías próximas
a la de Fermi tienen probabilidad de pasar a estados de energía superiores EF pero
con poca probabilidad.
En resumen el producto de la función densidad de estado g(E) por la función de distribución de Fermi nos proporciona el número de electrones por unidad de energía. Graficamente se representa así:
fF(E)
dn(E)/dE
g(E)
T=0K
T=0K
1
1
CE1/2
×
T>0K
T>0K
1/2
= 1/2
E
EF
E
E
EF
Según este nuevo modelo, cuando se aplica un campo eléctrico, E, todos los electrones
reciben energía externa del campo. Los electrones adquieren una velocidad de arrastre
de sentido opuesto al del campo. Esto da lugar a un incremento de energía que será
positivo o negativo dependiendo del sentido de movimiento del electrón en el interior del
campo porque éste podría acelerarlos o frenarlos. Los electrones que ganan energía
colisionan con los iones de la red. En este momento se dispersan y sólo los estados
próximos al nivel de Fermi poseen estados vacantes para poder ser ocupados por estos
electrones. Los electrones de energía inferior a EF continúan ganando energía hasta que
41
de nuevo se dispersan por colisión con la red y vuelven a ocupar estados de energías
que fueron desocupados previamente por otros de manera que nunca se viole el
principio de exclusión e Pauli. De esta forma todos los electrones de valencia intervienen
en el proceso de conducción cuando se aplica un campo eléctrico. El asunto es muy
diferente si de lo que se trata es de activar los electrones mediante calentamiento. En
ese caso sólo los electrones de valencia con energías próximas a las del nivel de Fermi
son los que se ven afectados y podrán ocupar estados de energías vacantes por encima
de EF. Los electrones alejados del nivel de Fermi no se verán afectados fácilmente.
Recuérdese también por lo comentado anteriormente que la energía de los
electrones es cinética, ya que como dijimos EF representaba la energía cinética máxima. Por esto la velocidad de Fermi que corresponde a los electrones que colisionan y
se dispersan puede obtenerse a partir de la expresión:
vF =
2 EF
me
Este modelo sí proporciona una buena predicción para la variación de la conductividad
con la temperatura, obteniendo que σ ∝ 1 / T como debe ser.
42
Sin embargo el modelo es incapaz de explicar porqué los materiales se comportan como
conductores, aislantes y semiconductores. Por ello hizo falta un modelo conocido como
modelo de bandas de energías que en esencia es el que utilizamos actualmente para
poder explicar la conducción en los sólidos habituales y que también explica el comportamiento de las uniones entre los mismos. Esto es esencial porque sino no podríamos
explicar el funcionamiento de los dispositivos de unión PN, como diodos, transistores,
dispositivos láser, etc.
4. Modelo de bandas de energía: conductores, aislantes y semiconductores.
Masa efectiva y hueco.
Para poder comprender porqué algunos materiales conducen y otros no lo hacen, ha
habido necesidad de refinar el modelo cuántico del electrón libre y considerar el efecto
de la red de iones sobre los niveles de energía de los electrones. Existen dos aproximaciones para determinar los niveles energéticos de los electrones en un cristal:
(a) Modelo de Bloch: Considera al electrón moviéndose en un pozo de potencial periódico, en lugar de un pozo de fondo plano, y determina las energías posibles resolviendo la ecuación de Schrödinger.
(b) Modelo de enlace fuerte: Consiste en hallar los niveles de energía de los electrones
en un sólido siguiendo el comportamiento de los átomos individuales cuando se
aproximan suficientemente para formar el sólido.
43
Ambos modelos conducen al resultado de que los niveles energéticos se agrupan
en bandas permitidas de energías y bandas prohibidas.
Abordamos brevemente el modelo de enlace fuerte. Cuando se aproximan varios
átomos para formar un sólido hay que tener en cuenta que cada átomo tiene sus
propios niveles de energía. Así si se trata de aproximar dos átomos iguales, los
electrones de un átomo podrán ocupar los mismos niveles de energía que los del
otro átomo pareciendo que se contradice el principio de exclusión de Pauli. Pero esto
no es así porque al aproximar dos átomos iguales cada nivel de energía original de
uno de los átomos aislados, se divide en dos subniveles diferentes que tienen valores
casi iguales al original. Esto puede observarse en la figura donde se muestran las
funciones de onda de dos átomos separados en el estado de energía fundamental y
qué ocurre cuando se aproximan si los electrones en átomos se representan por pozos
de potencial finitos.
(a) dos átomos muy separados.
B
A
ψA
ψB
La función de ondas del conjunto
puede venir dada por una función
suma (simétrica) o diferencia (antisimétrica) pues ambas son soluciones de la ecuación de onda
de materia de Schrödinger..
44
Solución simétrica ψs = ψA+ ψB.. Representa un electrón que puede encontrarse con
igual probabilidad en uno de los pozos en el estado fundamental de energía. Se
obtiene la misma densidad de probabilidad para ambos pozos como se muestra en la
figura.
ψs = ψA+ ψB
ψs2
Solución antisimétrica ψa = ψA- ψB. También representa un electrón que puede
encontrarse con igual probabilidad en uno de los pozos en el estado fundamental de
energía. Se obtiene la misma densidad de probabilidad para ambos pozos como se
muestra en la figura. En conclusión, sólo existe un nivel de energía.
ψa = ψA- ψB
ψa2
45
(b) Dos átomos muy próximos. ¿Qué ocurre cuando se aproximan?
Los dos pozos de potencial que los representan se aproximan y las dos soluciones de
la ecuación de onda de materia, simétrica y antisimétrica en el estado fundamental
toman la forma representada en la figura.
ψA
ψB
ψs = ψA+ ψB
ψA
ψB
ψa = ψA- ψB
Ahora la función antisimétrica se parece al primer estado excitado de un pozo finito
pero de longitud doble. Si ahora determinamos las densidades de probabilidad para
ambas situaciones, la densidad |ψs |2 es distinta que la |ψa |2. Esto significa que en
el primer caso la probabilidad de encontrar al electrón entre los dos átomos es alta,
mientras que en el segundo caso es mínima. Esto da lugar a dos situaciones
energéticas distintas. Por tanto ahora con dos átomos obtenemos dos niveles de 46
energías diferentes..
Bandas de energía permitidas y prohibidas en los sólidos.
Como hemos estudiado, si los átomos están muy separados la energía de un nivel
particular es la misma en cada átomo. Cuando los átomos se aproximan entre sí, el
nivel de energía en cada átomo cambia debido a la influencia del otro átomo. Lo que
se ha mostrado para dos átomos se podría haber hecho para tres, cuatro, o N átomos.
En la siguiente figura se muestra un esquema del desdoblamiento de niveles para el
caso de seis átomos en función de la separación de los mismos.
47
Si tenemos N átomos idénticos, un nivel determinado de un átomo aislado se divide
en N niveles energéticos distintos, pero muy próximos, cuando los átomos se aproximan
para formar un cristal. En un sólido, N es un número muy grande, del orden de 1022
átomos por cm3, de modo que cada nivel energético se divide en un número muy grande
de niveles llamado banda de energía. Por ello los niveles dentro de una banda están
tan próximos que la energía varia de forma casi continua.
El conjunto de N átomos que forma el sólido se puede caracterizar desde el punto de
vista energético por los mismos niveles de los átomos aislados Ea que es función de n, ℓ
y m ℓ, además de s y el número del átomo referenciado de 1 a N. En cada nivel de energía del átomo E1a, E2a, etc. puede haber 2N electrones debido al espín. Esto es cierto
siempre que los átomos estén lo suficientemente separados para que no exista solapamiento de sus orbitales respectivos. Pero si existe superposición, los nuevos orbitales
son compartidos por varios átomos y pierde sentido la especificación de los electrones
de acuerdo con el átomo al que pertenecían.
Hay necesidad de buscar otros parámetros para representar estados de los electrones
en un cristal, distintos a los números cuánticos n, ℓ y m ℓ, que son adecuados para los
electrones ligados a átomos aislados.
48
En la figura se muestra un esquema del desdoblamiento de niveles de energía de un
conjunto de N átomos que forman un cristal, en función de la separación r entre
átomos próximos. La zona de la derecha corresponde a átomos muy separados entre
sí, prácticamente aislados. Esta situación se mantiene hasta que la distancia entre
átomos es del orden del diámetro de las órbitas externas que corresponden a los
niveles de mayor energía. Al ir aproximando más y más los átomos podremos decir
que los electrones comienzan a pertenecer al conjunto de átomos y la especificación
de su estado deberá hacerse en función de un parámetro que tenga en cuenta la
estructura cristalina. En la figura a representa la separación en la estructura cristalina
estable.
E
Banda 3
E3a
Banda 2
E2a
E1a
Banda 1
a
r
Obsérvese en el esquema que las bandas de mas baja energía correspondiente a los
niveles de menor energía del átomo en la red, son mas estrechas y están llenas de
electrones ligadas al átomo y por eso se desdoblan menos que las bandas de energía
mas altas donde los electrones de los orbitales atómicos más externos se solapan y
49
forman una banda más ancha.
Desde el punto de vista de la conducción sólo nos interesa las dos últimas bandas.
Estas se conocen como banda de valencia, (BV), y banda de conducción, (BC),
separadas por un intervalo de valores de energías no permitidos para los electrones
del sólido, que se llama banda prohibida, (BP).
Es habitual representar esta situación en un diagrama de bandas.
BC
Anchura de la BP, Eg
BP
BV
El ancho de la BP, Eg, (Energy gap) se suele expresar en eV y es una característica
muy importante de los materiales.
La BV es la banda de energía más alta que contiene electrones. Puede estar
completamente o parcialmente llena de electrones dependiendo del tipo de átomo y el
tipo de enlace del sólido. Por debajo de la BV todas las bandas están ocupadas por
electrones ligados a los átomos y no participan en procesos de conducción. La BC es
aquella que posee estados libres de energía y por tanto pueden ser ocupados por
electrones.
50
Ahora podemos explicar porqué algunos sólidos conducen y otros son aislantes. En el
siguiente esquema podemos ver el diagrama de bandas de conductores, aislantes y
semiconductores y explicar sobre el mismo los procesos de conducción.
BC
BC
BP
BC
Eg
BP
Eg
BV
BV
BP
Eg
BV
BV
(3)
(2)
(1)
BC
(4)
(1) Conductor típico. La BV está sólo está parcialmente llena, de modo que los electrones pueden fácilmente excitarse a estados energéticos próximos por la acción del campo eléctrico externo, E, debido a que existen muchos estados vacíos. Puede decirse
en este caso que la BV es de hecho un banda de conducción. Ejemplos: Cu, Na, etc.
1s2 2s2p6 3s1
en el caso del Na, Z = 11, su configuración electrónica sería:
Un esquema de ocupación de sus bandas por los electrones en un cristal de Na formado
por N átomos sería:
EF
La banda superior 3s, está semillena,
3s
N
por ello el Na es monovalente. La banda
6N
3s es la banda de conducción del Na.
E 2p
2s
2N
1s
2N
51
(2) Conductor con su BV saturada, pero solapada con la BC. Las dos bandas forman
una banda de conducción-valencia que está sólo parcialmente llena. Ejemplo: el Mg,
de número atómico Z = 12. Veamos su configuración electrónica y su estructura de
banda:.
1s2 2s2p6 3s2
3p
E
3s
EF
2N
2p
6N
2s
2N
1s
2N
Al tener la banda 3s completa, el Mg debería ser un
aislante, pero al solaparse los orbitales 3s y 3p se
generan orbitales vacantes y de esta forma se hace
conductor. Tanto en (1) como en (2) los electrones
pueden ser acelerados por el campo eléctrico y no
tienen que superar una banda prohibida, BP.
(3) Aislante, en ellos la BV que está completamente llena a T = 0 K está separada por
una BP muy grande de la BC que posee estados energéticos vacíos. A temperaturas
ordinarias muy pocos electrones pueden excitarse y pasar a la BC. La mayoría no puede
hacerlo porque la energía que poseen por excitación térmica es insuficiente para poder
saltar la gran anchura energética de la BP, Eg. Al mismo tiempo si se aplica un campo E
de valores normales los electrones no pueden acelerarse, ya que no hay estados de
energía disponibles en la BV y la energía que podría suministrar un campo E .normal es
insuficiente para superar Eg. Si se observa una pequeñísima conductividad es debida
a los pocos electrones que saltaron la barrera Eg por excitación térmica. De otro lado
si
52
el campo E es suficientemente intenso como para que un electrón supere la BP hasta
alcanzar la BC, entonces es que se ha producido la ruptura dieléctrica.
(4) Semiconductor, en ellos la BV y la BC están separadas por un intervalo de energía
prohibido, Eg, que es pequeño comparado con el del aislante. A temperatura T = 0 K,
la BV está llena y la BC vacía, y el semiconductor se comporta como un aislante. A
temperaturas ordinarias, existe un número importante de electrones que por excitación
térmica han superado la pequeña BP del material semiconductor. La BP para el Si y
el Ge, semiconductores típicos es del orden de 1 eV. En presencia de un campo E, los
electrones de la BC, que ya están en ella por excitación térmica, pueden acelerarse
ya que existen estados energéticos vacantes próximos. Estos materiales son semiconductores intrínsecos. En ellos por cada electrón que existe en la BC es porque se ha
producido la rotura de un enlace en la BV próxima, produciéndose un enlace incompleto al haber superado el electrón la BP. En ese caso se dice que se ha generado un
hueco en la BV. Esto hace que al haber quedado en la BV un hueco si se aplica un
campo eléctrico, otro electrón en la BV pueda ocupar el hueco y así se genera otro
hueco en el lugar donde estaba el electrón. Todo ello ocurre en la BV. De manera que
ahora la corriente es doble, por un lado la de electrones en la BC y la electrones que
también ahora se pueden excitar en la BV. Ambas corrientes contribuyen a la corriente eléctrica. Sin embargo la corriente de electrones en la BV se describe más fácilmente como el movimiento de huecos en la dirección del campo, esto es, opuesto al
movimiento de los electrones. El hueco actúa así como una carga positiva.
.
53
Podemos visualizar la conducción por huecos si imaginamos una calle de una sola
dirección con dos carriles, uno llenos de coches aparcados y el otro vacío. Si un
coche pasa del carril lleno al vacío, se mueve libremente hacía adelante y el del
espacio vacío hacia atrás en sentido opuesto al sentido del movimiento de los coches.
Ambos movimientos, el del coche en el carril vacío hacia delante y el del espacio
vacío hacia atrás contribuyen a la propagación neta de los coches hacia delante.
BC
BV
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
(a)
(3)
(h)
(4)
(1)
(2)
(h)
(5)
(b)
BC
BV
(2)
(3)
(4)
(5)
(c)
(a) Toda la fila del carril inferior está ocupada.
(1)
(h)
(2)
(3)
(5)
(d)
(b) Se genera un hueco, un coche sale hacia adelante.
(c) El coche (3) pasa a ocupar el hueco y se desplaza el hueco hacia atrás.
(d) El coche (2) se traslada hacia adelante y el hueco continúa hacia atrás.
54
Puede deducirse de las figuras anteriores que los coches de la fila superior se mueven
libremente mientras que los de la fila inferior se mueven más lentamente. Tienen que
esperar que se produzca una vacante para poder moverse. Podemos decir que unos
se mueven en la BC y los de abajo en la BV. Por ello la movilidad de los electrones en
la BC es más elevada que la de huecos en la BV. Por supuesto que la movilidad de los
electrones y la de huecos en la BV es la misma. Pero en los cálculos de corrientes en
semiconductores las movilidades usadas son la de electrones en la BC y la de huecos
en la BV.
La representación figurada que se ha realizado puede servir para hacer un esquema
en función de las bandas
BC
Eg
BV
electrón
hueco
A la temperatura de 0 K la BV
estaría completamente llena y
la BC vacía. Sin embargo a
T ordinarias muchos electrones
pasan a la BC y se genera el
mismo número de huecos en
la BV.
55
Corriente por huecos.
En cuanto a la corriente debemos observar que a T = 0 K la BV al estar completa
no puede generarse traslados de electrones por lo que la densidad de corriente, JT,
debe ser nula: JT = 0. Si la temperatura es distinta de cero y aplicamos un campo
eléctrico entonces aparte de la corriente generada en la BC debida a los electrones
que saltaron la BP por efecto térmico, está la corriente de electrones en la BV debida
a los huecos generados. Si imaginamos que salta un electrón i de la BV a la BC
entonces el campo E puede ya generar movimiento de carga en la BV. Pero en lugar de
fijarnos en el movimiento de la mayoría de electrones de la BV nos fijaremos en el
hueco que ha dejado el electrón i al marcharse porque va a ser equivalente:
Sea JR la densidad de corriente de los electrones que permanecen en la BV. Ésta será
la JT total menos la contribución de la densidad de corriente del electrón i que ya paso a
la BC, Ji y está ausente en la BV. Podemos escribir: JR = JT – Ji. Pero JT era cero, por
tanto JR = - Ji = - (-e)vi = +evi donde vi es la velocidad de arrastre del electrón i dentro
del campo aplicado. Esto equivale a considerar, en lugar del movimiento de todos los
electrones menos uno en la BV, el movimiento de una carga positiva, hueco, en la BV.
Desde ahora tendremos en cuenta que la conductividad del sólido está formada por la
contribución de la conductividad de los electrones o portadores negativos y cuya concentración es n, que están en la BC y de los huecos que se comportan como portadores
positivos y de concentración p huecos por unidad de volumen que están en la BV. Por
ello se tiene:
J = J n + J p = (σ n + σ p ) E = q (nµ n + pµ p ) E
56
Algunas propiedades interesantes a considerar en los
materiales semiconductores.
Una característica importante de los materiales semiconductores es que la conductividad
aumenta con la temperatura en lugar de disminuir como le ocurre a los conductores. Ello
es debido a dos efectos en el que uno de ellos es predominante:
(a) De un lado se producen más choques debido a la temperatura y por tanto debería
disminuir la conducción a consecuencia de la mayor dispersión de los electrones
por parte de los iones de la red debido a las mayores vibraciones térmicas.
(b) De otro lado a consecuencia del aumento de energía térmica se liberan más
electrones hacia la BC aumentando la concentración de portadores, electrones en la BC
y huecos en la BV.
De los dos efectos señalados, el (b) es superior al (a) y de aquí lo indicado al principio..
Otra propiedad muy interesante es que suelen ser fotoconductores. Esto significa que
por efecto de la luz visible (también ocurre con otros fotones del espectro EM) la energía
de los fotones hυ es suficiente como para romper un enlace y hacer saltar un electrón de
la BV a la BC, generándose un par electrón-hueco. Para ello debe cumplirse la condición:
hυ ≥ E g
λ≤
hc 1240 (eV ·nm)
=
Eg
E g (eV )
de esta manera el material al absorber la luz y no transmitirla se ve opaco.
Si hυ es inferior a Eg el material es transparente a la luz visible.
57
Conductividad en el carbono, el diamante, el silicio y el germanio.
En algunos materiales cristalinos no se puede analizar la conductividad mediante un
estudio cualitativo de las bandas de energía sin más. En ellos hay que tener en cuenta
que es posible el solapamiento de las bandas si queremos explicar porqué en un estado
cristalino conducen y en otro son aislantes excelentes, como le ocurre al carbono, que
cuando cristaliza como grafito es un conductor y cuando lo hace como diamante es un
aislante.
El carbono, C, de Z = 6 tiene como configuración electrónica: 1s2 2s2p2. Si se unen N
átomos para formar carbono, en total hay 6N electrones. El orbital 1s se llena con 2N
electrones, el 2s también con 2N y el 2p que podría haber hasta 6N sólo tiene 2N, esto
nos dice que el carbono al tener muchos estados de energía vacantes debería ser un
conductor. Sin embargo, los niveles 2s y 2p se solapan cuando el C forma enlaces covalentes (donde cada átomo de carbono comparte un electrón por cada enlace con los 4
átomos vecinos). A este solapamiento de orbitales atómicos se le llama hibridación sp3.
Por todo ello, en la BV de los 8 estados posibles sólo 4 están ocupados quedando vacíos
otros 4 y están separados por una BP del orden de 1 eV.
Energía
2p
2N electrones
6N estados
BC
0 electrones
4N estados
BV
4N electrones
4N estados
BP
2s
2N electrones
2N estados
átomos muy separados
Cristal
58
En el siguiente esquema podemos ver el solapamiento de las bandas de energía.
vacío
7 eV
Desdoblamiento de los estados 2s y 2p
para el carbono, o los estados 3s y 3p
para el silicio, en función de la
3 estados por átomo separación de los átomos. El intervalo
vacío de energía entre los 4 estados
2p o 2p
llenos en la BV y los estados vacíos de
la BC es de Eg = 7 eV para la
3 estados por átomo separación correspondiente a la red del
diamante, 1,54 Å. En el caso de la red
1 estado por átomo
del Si, Eg = 1,09 eV. El desdoblamiento
es semejante en el caso de los niveles
2s o 3p
4s y 4p del germanio, que tiene una
separación entre átomos de 2,43 Å,
dando un Eg = 0,7 eV.
1 estado por átomo
Eg = 1,09 eV
2
Lleno
4
6
8
distancia interatómica (Å)
RD = 1,54 Å
Si: 1s2 2s2p6 3s2p2
Ge:1s2 2s2p6 3s2p6d10 4s2p2
RSi = 2,35 Å
El diamante que es carbono puro tendría que ser conductor y sin embargo es aislante,
con Eg del orden de 7 eV. También aparece el solapamiento en el Si y el Ge pero en
estos casos los cristales son semiconductores porque Eg es del orden de 1 eV. 59
Concepto de masa efectiva.
Cuando se aplica un campo eléctrico a un sólido cristalino las fuerzas que actúan sobre
el electrón son de dos tipos: (a) fuerzas externas procedente del campo eléctrico, Fe, (b)
fuerzas internas debida a la red de iones positivos y que procede de un potencial
periódico de la red, Fred.
Si aplicamos la segunda ley e Newton al movimiento del electrón resulta:
Fe + Fred = ma
donde m es la masa del electrón y a la aceleración que adquiere.
Debido a que el conocimiento de las fuerzas de la red sobre el electrón es muy difícil, se
opta por eliminarla de la ecuación y para compensar este efecto sustituir la masa del
electrón libre m por una masa efectiva m* de manera que se siga obteniendo la misma
aceleración a en la ecuación. Por ello la masa efectiva sería:
Fe
m =
a
*
Se demuestra que esta masa depende esencialmente del tipo de estructura del sólido
y también, dentro de cada sólido, de la dirección de aplicación de la Fe.. Por ello,
la masa efectiva es una magnitud compleja que va a depender de las direcciones
60
espaciales elegidas.
La masa efectiva puede tomar valores: (a) mayores que la masa del electrón libre, incluso
aproximarse a un valor infinito y (b) menores que la masa del electrón libre e incluso
valores negativos.
Para entender de manera intuitiva porqué toman estos valores debemos tener en cuenta
la superposición de las dos fuerzas señaladas anteriormente. Así si la fuerza externa que
actúa sobre el electrón tiene la misma intensidad que la fuerza de la red pero esta actúa
en sentido opuesto la resultante de ambas es nula y por ello la aceleración también lo es.
En este caso la masa efectiva del electrón es infinita, porque así la fuerza externa no
podría acelerarlo.
De otro lado si la fuerza de la red es mayor que la fuerza externa del campo eléctrico
entonces el electrón se movería en el mismo sentido del campo. Esto equivaldría a tener
una masa negativa. Si las fuerzas del campo eléctrico y las de la red son opuestas pero
la externa es mayor que la de la red, entonces la masa efectiva sería positiva pero inferior a la del electrón libre. Por último si la fuerza eléctrica externa y la de la red son del
mismo sentido entonces la masa efectiva es mayor que la del electrón libre.
Las masas efectivas se determinan experimentalmente por varios métodos. Uno de ellos
se conoce como resonancia ciclotrónica.
Valores de masa efectivas para electrones y huecos usados habitualmente en materiales
semiconductores a 300 K con relación a la masa del electrón libre m0 son:
Material
Si
Ge
AsGa
mn* / m0
1,15
0,55
0,066
m*p / m0
0,81
0,36
0,52
61