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SISTEMA DE
NUMERACIÓN
Y CÓDIGOS
CAPITULO II
SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS
CÓDIGO
Un código es un grupo de símbolos que representan algún tipo de información reconocible.
En los sistemas digitales, los códigos se emplean para manipular datos y representar números,
letras, signos y otros caracteres en forma binaria, es decir como una combinación equivalente de
niveles altos (1’s) y bajos (0’s).
SISTEMA DECIMAL
El sistema decimal tiene la base 10, debido a que usa diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9) y que los coeficientes son multiplicados por potencias de diez.
1) El número decimal 645810 se puede representar de la siguiente manera:
645810 = (6x103) + (4x102) + (5x101) +(8x100)
645810 = (6x1000) + (4x100) + (5x10) + (8x1)
645810 = 6000 + 400 + 50 + 8
645810 = 645810
2) El número decimal 9452310 se representa de la siguiente manera:
9452310 = (9x104) + (4x103) + (5x102) + (2x101) + (3x100)
9452310 = (9x10000) + (4x1000) + (5x100) + (2x10) + (3x1)
9452310 = 90000 + 4000 + 500 + 20 + 3
9452310 = 9452310
3) El número decimal 0.35610 se representa de la siguiente manera:
0.35610 = (3x10-1) + (5x10-2) + (6x10-3)
0.35610 = (3x0.1) + (5x0.01) + (6x0.001)
0.35610 = 0.3 + 0.05 + 0.006
0.35610 = 0.35610
4) El número decimal 345.7110 queda de la siguiente manera:
345.7910 = (3x102) + (4x101) + (5x100) + (7x10-1) + (9x10-2)
345.7910 = (3x100) + (4x10) + (5x1) + (7x0.1) + (9x0.01)
345.7910 = 300 + 40 + 5 + 0.7 + 0.09
345.7910 = 345.7910
SISTEMA BINARIO.
El sistema binario es un sistema que solamente emplea dos dígitos que son el “1” y el “0”.
1) El equivalente decimal del número binario 110102 es:
110102 = (1x24) + (1x23) + (0x22) + (1x21) + (0x20)
110102 = (1x16) + (1x8) + (0x4) + (1x2) + (0x1)
110102 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0
110102 = 2610
9
2) El equivalente del siguiente número binario es:
10002 = (1x23)
10002 = (1x8)
10002 = 810
Observar que al convertir el número a decimal, los números ceros ya no los representamos
puesto que cualquier cantidad multiplicada por cero es igual a cero, pero si hay que tomarlos en
cuenta en lo que a posiciones se refiere.
3) El equivalente decimal del número binario 0.112 es:
0.112 = (1x2-1) + (1x2-2)
0.112 = (1x0.5) + (1x0.25)
0.112 = 0.5 + 0.25
0.112 = 0.7510
4) El equivalente decimal del número binario 1111.0112 es:
1111.0112 = (1X23) + (1X22) + (1X21) + (1X20) + (1X2-2) + (1X2-3)
1111.0112 = (1x8) + (1x4) + (1x2) + (1x1) + (1x0.25) + (1x0.125)
1111.0112 = 8 + 4 + 2 + 1 + 0.25 + 0.125
1111.0112 = 15.37510
SISTEMA OCTAL.
El sistema octal tiene la base o raíz 8. Solamente se emplean los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7.
1) El equivalente decimal del número octal 5678 es:
5678 = (5x82) + (6x81) + (7x80)
5678 = (5x64) + (6x8) + (7x1)
5678 = 320 + 48 + 7
5678 = 37510
2) El equivalente decimal del número octal 73158 es:
73158 = (7x83) + (3x82) + (1x81) + (5x80)
73158 = (7x512) + (3x64) + (1x8) + (5x1)
73158 = 3584 + 192 + 8 + 5
5678 = 378910
SISTEMA HEXADECIMAL.
Este sistema tiene base 16, y emplea el 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Las letras
representan los siguientes números: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
1) El equivalente decimal del número hexadecimal FE7H es:
FE7H = (Fx162) + (Ex161) + (7X160)
FE7H = (15x162) + (14x161) + (7X160)
FE7H = (15x256) + (14x16) + (7x1)
10
FE7H = 3840 + 224 + 7
FE7H = 407110
2) El equivalente decimal del número hexadecimal A3B7H es:
A3B7H = (Ax163) + (3x162) + (Bx161) + (7x160)
A3B7H = (10x163) + (3x162) + (11x161) + (7x160)
A3B7H = (10x4096) + (3x256) + (11x16) + (7x1)
A3B7H = 40960 + 768 + 176 + 7
A3B7H = 4191110
3) El equivalente decimal del número hexadecimal DEAH es:
DEAH = (Dx162) + (Ex161) + (Ax160)
DEAH = (13x162) + (14x161) + (10x160)
DEAH = (13x256) + (14x16) + (10x1)
DEAH = 3328 + 224 + 10
DEAH = 356210
SISTEMA BCD.
En los instrumentos electrónicos digitales, en las calculadores modernas, en los juegos
electrónicos y en muchos equipos digitales similares, se emplea para la entrada y salida de
información la notación decimal. Los circuitos digitales como contadores, decodificadores y demás
implementan este tipo de entrada y salida con la ayuda de un código binario especial llamado BCD.
En el código BCD (Binary Coded Decimal: decimal codificado en binario), cada dígito decimal se
convierte en su correspondiente número binario de cuatro bits. Estos bits toman su valor o peso
según la columna o posición que ocupan. El bit LSB toma el valor de 1, los dos siguientes hacia la
izquierda, toman los valores de 2 y 4 respectivamente y el bit MSB el valor de 8.
Por la razón anterior, al código BCD se le llama código 8-4-2-1.
DECIMAL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
BCD
4 2 1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0 0 0
0 0 1
Tabla 2.1 Equivalencia entre el sistema decimal y BCD.
1) El equivalente en BCD del número decimal 4657 es:
465710 = 0100 0110 0101 0111BCD
2) El equivalente en BCD del número decimal 5148 es:
514810 = 0101 0001 0100 1000BCD
11
CONVERSIÓN ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS NUMERICOS.
Entre los diferentes sistemas numéricos se pueden realizar conversiones, es decir,
podemos representar un número de cierto sistema en otro sistema. Algunas conversiones se
pueden realizar de manera directa y otras no.
DECIMAL A BINARIO
El procedimiento para convertir un número decimal entero a binario es:
1. Dividir el número decimal entre dos, y el residuo será el número binario menos
significativo.
2. El cociente obtenido se divide nuevamente entre dos, y el residuo será el siguiente
número binario.
3. Se repite el paso dos, hasta que el cociente tenga valor de cero.
4. Los números binarios se acomodan a partir del menos significativo hacia la izquierda.
1) Representar el número 2410 en sistema binario.
procedimiento:
24
12
6
3
1
0
2
2
2
2
2
RESIDUO
0
0
0
1
1
2410 = 110002
Se puede ver que del residuo tomando los números de abajo hacia arriba obtenemos el
número binario.
El procedimiento para convertir un número decimal fraccionario es el siguiente:
1. Se multiplica la parte fraccionaria por dos.
2. El producto obtenido, la parte entera obtenida (1 ó 0) es la que forma el número
binario, y la parte fraccionaria se vuelve a multiplicar por dos.
3. Se repite el paso dos hasta que la parte fraccionaria sea cero o cuando uno crea
conveniente.
4. El número binario se va tomando tal y como se obtiene la parte entera y se acomodan
de izquierda a derecha.
1) Representar el número 0.87510 en binario.
procedimiento:
.875
.750
.500
X
X
X
2
2
2
1.750
1.500
1.000
12
El número binario se obtiene tomando directamente la parte entera del producto.
0.87510 = 0.1112
2) Obtener el equivalente en binario del número 0.32510
procedimiento:
.325
.65
.3
.6
.2
.4
.8
X
X
X
X
X
X
X
2
2
2
2
2
2
2
0.65
1.3
0.6
1.2
0.4
0.8
1.6
0.32510 = 0.01010012
DECIMAL A OCTAL
El procedimiento para convertir un número decimal a octal, es el mismo que para el
sistema binario, con la excepción que se divide el número decimal entre ocho.
1) Convertir el número 573410 al sistema octal.
procedimiento:
5734
716
89
11
1
0
8
8
8
8
8
RESIDUO
6
4
1
3
1
El resultado de la conversión es:
573410 = 131468
DECIMAL A HEXADECIMAL
El procedimiento para convertir un número decimal a hexadecimal, es el mismo que para el
binario y octal, solo que ahora se divide entre 16, es muy importante recordar que: A=10, B=11,
C=12, D=13, E=14, F=15.
1) Convertir el número 5761510 a sistema hexadecimal.
procedimiento:
57615
3600
225
14
16
16
16
16
RESIDUO
15
0
1
14
13
0
Recordar que 15=F y 14=E.
El número en hexadecimal es: E10FH
5761510 = E10FH
BINARIO A OCTAL
Para convertir de binario a octal, solo basta agrupar al número binario en grupos de tres
dígitos empezando del bit menos significativo hacia el bit más significativo.
En la siguiente tabla, se muestra la equivalencia entre el binario y el octal.
BINARIO
000
001
010
011
100
101
110
111
OCTAL
0
1
2
3
4
5
6
7
Tabla 2.2 Equivalencia entre el sistema binario y octal.
1) Convertir el siguiente número binario a octal.
1100101012
procedimiento:
110 010 101
6 2 5
1100101012 = 6258
2) Convertir el siguiente número binario a octal.
11010101112
procedimiento:
1 101 010 111
Se observa que al agrupar los números, queda el primer número solo, solo basta agregarle
dos ceros (001 = 1) o simplemente ya con la práctica sabemos que su equivalente octal es 1.
001 101 010 111
1
5
2
7
11010101112 = 15278
14
BINARIO A HEXADECIMAL
Para convertir de binario a hexadecimal solo basta agrupar a los dígitos del número binario
de cuatro en cuatro del menos significativo al más significativo.
La siguiente tabla muestra la equivalencia entre el sistema binario y el hexadecimal.
BINARIO
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
HEXADECIMAL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
A
B
C
D
E
F
Tabla 2.3 Equivalencia entre el sistema binario y el hexadecimal.
1) Convertir el siguiente número binario a hexadecimal.
111010001010102
procedimiento:
11 1010 0010 1010
se agregan dos ceros para completar los cuatro dígitos.
0011 1010 0010 1010
3
A
2
A
11 1010 0010 10102 = 3A2AH
OCTAL A BINARIO
Para realizar la conversión solo hay que representar cada número octal en su equivalente
binario de acuerdo a la tabla de equivalencia entre el sistema binario y octal. (ver tabla 2.2 ).
1) Convertir el siguiente número octal a binario.
5028
procedimiento:
101 000 010
1010000102
5028 = 1010000102
15
OCTAL A HEXADECIMAL
Los pasos para realizar la conversión son:
1. Convertir el número octal a binario.
2. Convertir el número binario a hexadecimal.
1) Convertir el siguiente número octal a hexadecimal.
16548
procedimiento:
001 110 101 100 = 11101011002
0011 1010 1100
3
A
C
16548 = 3ACH
HEXADECIMAL A BINARIO
Para convertir un número hexadecimal a binario solo basta representar de manera directa
cada dígito hexadecimal en binario (ver tabla 2.3).
1) Representar el siguiente número hexadecimal a binario.
9A4CH
procedimiento:
9
A
4
C
1001 1010 0100 1100
9A4CH = 10011010010011002
HEXADECIMAL A OCTAL
Para realizar la conversión hay que seguir los siguientes pasos:
1. Convertir el número hexadecimal a binario de manera directa.
2. Convertir el número binario a octal.
1) Representar el número hexadecimal en octal.
F0CAH
procedimiento:
F
0
C
A
1111 0000 1100 1010
001 111 000 011 001 010
1 7 0 3 1 2
F0CAH = 1703128
16
EJERCICIOS PROPUESTOS
Convertir los siguientes números a sistema decimal.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1100101012
56908
10BAH
101010111111012
65448
0001 0111 1000 0101BCD
1100000101112
FO10H
77158
1001 1000 0000BCD
Convertir los siguientes números a sistema binario.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
568310
67BDH
54328
1001 0011 0100 0101BCD
BACOH
1001110
12368
0011 0010 1001 0001BCD
200010
99ABCH
Convertir los siguientes números a sistema octal.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
345710
8743H
110101110112
0001 0111 0010BCD
FFFFH
989710
110101011001110112
0010 0000 000 0000BCD
200010
101011111001112
Convertir los siguientes números a sistema hexadecimal.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
101010101010111112
2637410
23468
0011 0111 0110BCD
110101010111112
3478110
365128
1111111000112
9876510
0010 1000 0110 0101BCD
17
Convertir los siguientes números al código BCD.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
123410
1010111010101012
23FBH
66528
100101010101112
789110
4675H
72138
10000000100012
543610
18