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UNIVERSIDADNACIONALAUTÓNOMADENICARAGUA-LEÓN
FACULTADDECIENCIASDELAEDUCACIÓNYHUMANIDADES
DEPARTAMENTODEMATEMÁTICA
“GUÍASDIDÁCTICASPARARESOLVERPROBLEMASCOMPLEJOSDELASMATEMÁTICASDE
SECUNDARIA”
MONOGRAFIA
Presentadapor:
“PROF.ERNESTORAMÓNBERRÍOSSALAZAR”
Previoparaoptaraltítulode:
“LICENCIADOENCIENCIASDELAEDUCACIÓN,MENCIÓNMATEMÁTICAEDUCATIVAY
COMPUTACIÓN”
TUTORES:MSC.MIGUELANGELCALDERATORRES
MSC.PABLOANTONIODUARTE
León,Nicaragua,C.A.
2011.
DEDICATORIA
MiTrabajoMonográficolodedicoa:
ADios,seromnipotentecreadordetodoconocimientoydetodafuentedesabiduría.
A mi mamá, Lic. Felicitas Amanda Salazar Pereira (q.e.p.d.) y hermano MSc. Antonio
Boanerge Berrios Salazar (q.e.p.d.), a quienes les otorgo el honor de ser mi fuente de
inspiración,ejemploaseguir;sincuyoamoryapoyonohubiesesidoposibleculminarmi
preparaciónyalcanzaresteproyecto.
Amihijo,esposaymishermanosporsuapoyoincondicional.
EspecialmenteaMayradel Socorro ReyesdeChávez,suesposoAlberto Francisco Chávez
ReyesyaRosaHaydeeReyesquesinsuapoyonohubiesellegadohastaaquí,queelSeñor
lesbendigayderramemuchasbendicionessobreellos.
AGRADECIMIENTO
Miagradecimientoa:
Dios,porpermitirmeculminarconlamonografíayregalarmelavoluntaddecontinuaren
miluchaporsercadadíamejor.
AlosProfesoresMiguelCalderayPabloDuarte,mistutores,porsuapoyoydedicaciónen
mitrabajo,porcontribuiraléxitodeestamonografía.
AMayradelSocorroReyesdeChávez,suesposoAlbertoFranciscoChávezReyesyaRosa
Haydee Reyes por los consejos y apoyo después del deceso de mi mamá y hermano, les
estoyinfinitamenteagradecidos,queel Señorlesbendigayderrame muchasbendiciones
sobreellos.
AmitíoFernandoRamónSalazarPereirayhermanoLenínRamónBerríosSalazarporsu
apoyoenlacapacitaciónadocentesdeMatemáticasenChinandega.
INDICE
Contenidos
I
II
III
IV
V
VI
6.1
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
6.2.6
6.2.7
6.2.8
6.2.9
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.4.
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.4.4
6.4.5
6.5
VII
VIII
IX
X
XI
Introducción________________________________________________________________________
Págs.
1
Antecedentes_______________________________________________________________________ 2
Justificación_________________________________________________________________________ 4
Objetivos__________________________________________________________________________ 5
MarcoTeórico______________________________________________________________________ 6
Propuestadeguíasdidácticas___________________________________________________
14
o
Guía N 1: Propiedades de exponentes y radicales, valor numérico y expresionesalgebraicasysusoperaciones_____________________________________
16
GuíaNo2:Métodosdefactorización_____________________________________________ 26
Factorcomún_____________________________________________________________________ 26
Métodosdeidentidades__________________________________________________________
28
MétododeAspas________________________________________________________________
28
Métodosdereducciónadiferenciadecuadrados______________________________
31
Métodosdesumasyrestas________________________________________________
32
Métodosdecambiosdevariable________________________________________________
32
Métodosdefactorizaciónrecíproca_____________________________________________
33
Métodosdefactorizaciónsimétricayalternada________________________________ 34
Métododefactorizaciónporevaluación________________________________________
36
GuíaNo3:EcuaciónCuadrática________________________________________
38
Casoparticulardelaecuacióncuadrática______________________________________
43
Ecuacionesbicuadráticas,diversas,usodecambiodevariable______________
44
FórmuladeVieta________________________________________________________________
46
GuíaNo4:Sistemasdeecuaciones______________________________________________
51
2
2
SistemasformadoporecuacionesdelaformaAX +BXY+CY =F_______
51
Sistemassimétricos______________________________________________________________ 53
Sistemasumayproductoderaíces,usodevariablesauxiliares______________
54
Casoenqueunaecuaciónsepuedefactorizarylaotraesunfactor_________
58
Sistemadeecuaciones,métodoscambiodevariable__________________________ 60
GuíaNo5:Ecuacionesirracionales_______________________________________________ 62
Reflexionesalaluzdeunapuestaenprácticadelasguías____________________ 66
Conclusiones_______________________________________________________________
67
Recomendaciones_______________________________________________________________
68
Bibliografía_______________________________________________________________
69
Anexos______________________________________________________________
71
I-INTRODUCCIÓN
Para iniciar a escribir una monografía es necesario estar consientes de la necesidad que
tendrá su contenido ante la resolución de un determinado problema. Después de largo
tiempodepreparación,presentoestematerialconunatemáticadegranimportanciaenla
enseñanza-aprendizajedealgunostemasypropiedadesdelamatemática.
Pongoensusmanoselpresentedocumentoconalgunasguíasdidácticasqueayudarána
resolver ejercicios complejos delas matemáticas de secundaria, en ella encontramos una
grangamadeejemplosyejerciciospropuestosquehacenreferenciaaalgunaspropiedades
elementales,porlamayoríaconocidas,aplicándolasdemaneracomplejayconmétodosde
resoluciónsencilla.
Cada guía presente en este documento está basada en libros de textos de gran seriedad,
entre ellos tenemos: álgebra manual de preparación pre-universitaria, álgebra editores
Arrayan, reconocidos por expertos en la materia, con muchos años de experiencia, que
llevanloscontenidosexpuestosaunnivelmásprofundo.
Estamos en presencia de un material que permite profundizar en algunos contenidos del
álgebra(ecuaciones,potenciaciónyradicales),sinolvidarqueestaráenmanos,nosólode
docentes, sinotambiéndealgunosdiscentesinteresadosyqueanteesasituación se vela
necesidaddeunaexplicaciónconlenguajematemáticoentendibleparaelinteresadoenla
materia.
Cadaguíaestádestinadaaserpartedelplandeclasedecualquierdocenteenelmomento
que desee utilizarlo como banco de ejercicios, tratando de llevar algo nuevo y de gran
utilidadparasusestudiantes.
GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA
MONOGRAFIA
PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR
1
II-ANTECEDENTES:
En nuestropaís,según elprogramadeestudiodel áreadematemática,losestudiantes se
introducen al estudio del álgebra en el octavo grado en educación secundaria,
comprendiendoduranteesteylosposterioresgradoslasiguientetemporalización:
Grado
Tiemposugerido(horasclase)
Séptimo
O/140
Octavo
42/140
Noveno
36/140
Décimo
44/140
undécimo
42/140
TOTAL
164/700
Estudiodeálgebraysustemasafineseneducaciónsecundaria
Como podemos observar en el cuadro anterior de un total de 700 horas clase,
implementadasparaeláreadematemáticadurantelaeducaciónsecundariasolamente164
de ese total se destinan al estudio del álgebra, es decir, nuestros conocimientos en este
campo del pensamiento numérico son limitados, no sólo por el tiempo dedicado a su
estudio sino también por la profundidad con la que se abarcan estos contenidos,
quedándose en operaciones sencillas, al producto notable, sistemas de ecuaciones, entre
otros;sinmencionarquegeneralmenteusamosmétodostradicionales,yaseaportemora
otrosmétodosmáscomplejosoporlasencillacausadenocontarconunmaterialdidáctico
quenosbrindediversidaddeejerciciosytécnicassimplesparasuresolución.
El programa de educación de secundaria abarca la siguiente temática en factorización:
Factor común, factorización de trinomios de la forma ax2 + bx +c, trinomios cuadrados
perfectos, diferencia de cuadrados y suma y diferencia de cubos; con respecto a las
ecuaciones:ecuacioneslineales,cuadráticasyconradicales;yenrelaciónalossistemasde
ecuacionesse abordansolamentelossistemaslinealescon2 y3 incógnitas,paraesto los
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métodosderesoluciónestudiadosson:sustitución,igualación,reducción,Kramer,Sarrus,
menoresycofactoresyGauss.
Siguiendoporloscamposuniversitarios,porejemploenlaUNAN-León,elálgebraaparece
con ecuaciones lineales, cuadráticas, entre otras; y a ser estudiada en un corto periodo
durante el curso de matemática básica en correspondencia con la carrera a la que el
estudiantehaaspirado,entodocasonomuchasvecesnosencontramosantelaresolución
deejerciciosmeramentecomplejos.
Hasta el momento en nuestra Facultad son muchos los proyectos de investigación
orientados al campo de las guías metodológicas, sin embargo ninguna en particular ha
hechomenciónaproblemascomplejosyaproponerloscomoopciónparalaenseñanzayel
aprendizajeennuestrasaulasdeclase.
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III-JUSTIFICACIÓN
Esbien sabidoquelaeducación denuestropaís,enrelaciónconpaísesdesarrollados,es
sumamente deficiente, sin embargo hacer el esfuerzo por cambiar esa situación debe ser
una tarea de todos. Además, como docentes de matemática debemos emprender la lucha
porlabúsquedadenuevasmetodologíaseducativasquefortalezcanlaeducación.
Mi visión de este documento radica en la mejora de la calidad de estudio de las
matemáticas en la educación media, implementando ejercicios que estimulen el
pensamiento, creatividad y razonamiento matemático, dejando atrás los métodos
tradicionales.
Medianteelusodeestematerialsepodránbeneficiartantoadocentesyestudiantes,dando
unagrangamadeejerciciosdematemáticasparalaprácticaeducativaennuestrasaulasde
clase,ytambiénquenuestropaíspuedaserrepresentadoanivelinternacional,dandouna
mejorperspectivadesucalidadeducativa.
Esta monografíaesunarecopilación deloscasosquenose abordanen el programade
secundaria del área de matemática en la educación media y que si lo abordan en la
EscueladeJóvenesTalentosdeNicaraguayotrospaíses,yademássetomanencuentaen
lasolimpiadasinternacionalesdematemática.
En vista de lo anteriormente expuesto, en las presentes “Guías didácticas para resolver
problemascomplejosdelasmatemáticasdesecundaria”,seproponenejerciciosresueltos
más complejos, tratando de llegar a los docentes para que transmitan este tipo de
ejerciciosasusestudiantes.
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IV-OBJETIVOS
OBJETIVOGENERAL:
Proponer guías didácticas que permitan resolver ejercicios complejos de matemática de
secundaria no abordados en los programas establecidos por el Ministerio de Educación
(MINED)conmétodosfácilesymuypocostradicionales.
OBJETIVOSESPECÍFICOS:

Presentar una gran variedad de ejercicios resueltos de valor numérico,
factorización,ecuaciones,sistemasdeecuaciones,potenciaciónyradicalesparala
práctica y el desarrollo de la enseñanza-aprendizaje de los temas que se
desarrollaran.

Brindar metodologías para resolver ejercicios con: valor numérico, factorización,
ecuaciones,sistemasdeecuaciones,potenciaciónyradicales.

Despertar el razonamiento lógico y creativo de los estudiantes a través de la
resolucióndeejerciciosmatemáticoscomplejosconprocedimientossencillos.
 Profundizar en el estudio de propiedades y teoremas fundamentales propios de
temasafinesalálgebraquesonevaluadosenolimpiadasanivelinternacionalysus
derivados.
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V-MARCOTEÓRICO
Álgebra:“esla ramadela matemáticaqueestudiala cantidadconsideradadel modo más
generalposible”,AurelioBaldor(álgebraA.Baldor,pág.5)
SegúnCarreñoC.X.,yCruzS.X.,(Álgebra,Pág.11)quienesnosdefinen:términoalgebraico,
expresiónalgebraica,binomio,trinomioypolinomioscomo:
“Sellamatérmino(algebraico)aunconjuntodenúmerosyletrasqueserelacionanentresí
pormediodelamultiplicacióny/odivisión.”
“SellamaEXPRESIÓNALGEBRAICAacualquiersumaorestadetérminosalgebraicos.Sila
expresión tiene dos términos, entonces es un BINOMIO; si tiene tres términos se llama
TRINOMIO; si tiene cuatroo más, hablamos de POLINOMIOS. (El término POLINOMIO se
puedeusarenformageneralparacualquierexpresiónalgebraica.)”
Sin embargo las expresiones algebraicas pueden estar dentro de signos radicales y tener
exponentes,asítambiénuntérminoalgebraicotienesuspartescomoloencontramosenel
libro Fórmulas Matemáticas pág. 55 y en el libro álgebra manual de preparación
preuniversitariapágs.14y15.
Además AurelioBaldor (Álgebra,Pág. 23) nosdefinevalor numérico:“Valornuméricode
una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores
numéricosdadosyefectuardespuéslasoperacionesindicadas.”
En las matemáticas no sólo existen medios didácticos con los métodos numéricos para
resolver un ejercicio, también encontramos material encausado a la forma adecuada de
transmitiralosestudiantesdichosprocedimientos;enellibroparaelmaestromatemáticas
secundaria,págs.12–14,secitanlosprópositosdelestudio,laenseñanzayelaprendizaje
delasmatemáticasenlaeducaciónsecundariaqueconcistenen:“Desarrollarhabilidades,
PromoveractitudespositivasyAdquirirconocimientosmatemáticos”
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Támbien hace una reflexión de la importancia del estudio y nos dice: ” Estos propósitos
forman untodo enrelacióndialéctica,esdecir,queel avanceo retroceso deunodeellos
repercute,dealgunamanera,enotro.”
“Enlaeduciónsecundariadebuscadesarrollas,entreotras:

La habilidad de calcular, que consiste en establecer relaciones entre las cifras o
términosdeunaoperaciónodeunaecuaciónparaproduciroverificarresultados.

Lahabilidadde inferir,queserefierealaposibilidaddeestablecerrelacionesentre
los datos explícitos e implícitos que aparecen en un texto, una figura geométrica,
unatabla,gráficaodiagrama,pararesolverunproblema.

La habilidad de comunicar, que implica utilizar la simbología y los conceptos
matemáticosparainterpretarytransmitirinformacióncualitativaycuantitativa.

Lahabilidadde medir,queserefiereaestablecerrelacionesentremagnitudespara
calcularlongitudes,superficies,volúmenes,masa,etcétera.

La habilidad de imaginar, que implica el trabajo mental de idear trazos, formas y
transformacionesgeométricasplanasyespaciales.

La habilidad de estimar, que se refiere a encontrar resultados aproximados de
ciertasmedidas,deoperaciones,ecuacionesyproblemas.

La habilidad de generalizar, que implica el descubrir regularidades, reconocer
patronesyformularprocedimientosyresultados.

La habilidad para deducir, que se refiere a establecer hipótesis y encadenar
razonamientosparademostrarteoremassencillos.”
Conrespectoapromoveractitudespositivasencontramos:
“Los valores de las personas se expresan de diversas maneras y por distintos medios; lo
que hacemos, decimos, sentimos y pensamos refleja de alguna manera los valores que
hemosasumidoenlavida,estasexpresionessemanifiestanpormediodelasactitudes.
Por actitud entendemos la conducta que se manifiesta de manera espontánea. En este
sentidonosinteresaquelosestudiantesmuestreninterésantelasmatemáticas,paraello,
enydesdelaclasedematemáticasesnecesariofomentaractitudescomo:
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
Lacolaboración,queimplicaasumirlaresponsabilidaddeuntrabajoenequipo.

Elrespetoalexpresarideasyescucharlasdelosdemás.

Lainvestigación,quesignificabuscaryverificardiferentesestrategiaspararesolver
problemas.

La perseverancia la entendemos como el llevar a buen término el trabajo aun
cuandolosresultadosnoseanlosóptimos.

La autonomía al asumir la responsabilidad de la validez de los procedimientos y
resultados.”
Yporúltimoenadquirirconocimientosmatemáticosencontramos:
“LostemasmatemáticosqueseestudianenlaeducaciónsecundariasepresentanenelPlan
yprogramasdeestudio.Educaciónbásica.Secundariaagrupadosencincoáreas:

Aritmética

Álgebra

Geometría(eneltercergradoseagregatrigonometría)

Presentaciónytratamientodelainformación

Nocionesdeprobabilidad”
Lo más importante en el estudio de las matemáticas es el papel que juega el resolver
problemas y esta la lucha por cambiar la forma tradicional en que se imparte, como lo
encotramosenellibroparaelmaestromatemáticassecundaria,págs.15-17.
“Con la propuestaactual seintentasuperar el estilo docentefuertementearraigado en el
quelosproblemassonellugardeaplicacióndelosprocedimientosytécnicasaprendidas
previamente,esdecir,unestilodocenteenelqueelprofesorresuelveproblemasfrentea
losalumnosyéstossólotratandereproducirloquehaceelprofesor.
Durante mucho tiempo imperó la idea que el aprendizaje de las matemáticas se logra
proporcionando a los alumnos primero definiciones y procedimientos de problemas
modelo explicados por el profesor, o tomados de un libro de texto, haciendo que
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posteriormente los alumnos ejerciten una y otra vez dichos procedimientos hasta lograr
quelospuedanrepetirconelmínimodeerrores.
Unaprendizajesignificativodelasmatemáticasnopuedereducirsealamemorizaciónde
hechos,definicionesyteoremas,nitampocoalaaplicaciónmecánicadeciertastécnicasy
procedimientos.
Conbaseenlapropuestacurricularactualsepretendearribaraunestilodocenteenelque
elprofesororganiceelprocesodeestudioanalizandoyeligiendosituacionesproblemáticas
paradejarlasenmanosdelosestudiantesyunavez queéstoshan encontrado formas de
resolverelproblema,favorezcalasocializaciónyconfrontaciónparaseguiravanzando”
Ymásaúnsugierequeparaalcanzareldesafioderealizarloscambiosesnecesarioquelos
problemasqueseproponganalosestudiantescontemplen:”

Sean para ellos un reto interesante y provoquen rápidamente una actitud de
búsqueda,orientadaaproponerconjeturasyposiblesestrategiasderesolución.

Les permita explorar las relaciones entre nociones conocidas y posibilite avanzar
hacialacomprensiónyasimilacióndenuevosconocimientos.

Contengan los elementos que permitan validar sus propias conjeturas,
procedimientosysoluciones,odesecharlascuandoseanincorrectas.
Enfrentaralosestudiantesaproblemaspropiciaque:

Construyan sus conocimientos al usar estrategias convencionales y no
convencionalesquelosresuelvan.

Apliquenyprofundicenlosconocimientosadquiridosanteriormente.“
Y es por tanto que el docente tradicionalista puede hacer cambios en sus métodos de
enseñanza y actualizarse continuamente, como se cita en acta Latinoaméricana de
matemáticaeducativa,pág.1138:
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“La educación continua para el profesorado es un proceso que trasciende la propia
disciplinadeldocenteparaorientarsehaciaunaformaciónintegral,quenoselimita aun
espacio o edad determinada; que debe ser accesible para todos y que debe estar
comprometidaconeladecuadodesarrollodecadaindividuo.”
Y enel libro escuela paramaestrosenciclopediadepedagogiapráctica ensu pág.829 se
aborda: “ La utilización de problemas en la enseñanza debe desarrollarse en la práctica
concretadeunmodotalquelosestudiantes:

Tengan un interés genuino por resolver las situaciones problemáticas que se les
presentan.

Las comprendan y analicen para formular soluciones viables, por tratarse
generalmentedesituacionescomplejasyconfusas.

Identifiquentanto loquesabencomo loqueno saben,paraformular una solución
viable.

Formulen soluciones alternativas, seleccionen aquella que sea la más apropieda y
luegolaexpongan.”
La participación del profesor es fundamental en esta propuesta didáctica y así evitar los
métodostradicionales;cambiandotambienlastareasdelprofesor.
Donde, “la actividad central del profesor de matemáticas comprende los siguientes
aspectos:

Le corresponde seleccionar y en su caso adecuar los problemas y actividades que
propondráalosalumnos.

Plantealosproblemas.

Organizaycoordinaeltrabajoenelaula.

Proponenuevosproblemasocontraejemplos,esdecir,problemasquecontradigan
lashipótesisdelosestudiantes,favoreciendola reflexión yla búsquedadenuevas
explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los
conocimientosmatemáticos.
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
Contribuyeaaclararconfusiones.

Promueveycoordinaladiscusiónsobrelasideasquetienenlosestudiantesacerca
delassituacionesqueseplantean,mediantepreguntasquelespermitanconocerel
porquédesusrespuestas.

Participa como fuente de información y para vincular los conceptos y
procedimientospropiosdelosestudiantesconellenguajeconvencionalyformal.”;
libroparaelmaestromatemáticassecundariapágs.25y26
EnunadelascapacitacionesrecibidaporelInstitutoNacionalTecnológico,INATEC,enel
módulo formativo II planificación del proceso de aprendizaje del año 2011, haciendo
referenciaalaprendizajeysusprincipiosqueson:“

La motivación. El estudiante aprende mejor cuando sabe que va a aprender. La
máximamotivaciónparaelaprendizajesealcanzacuandolatareanoesdemasiado
fácilnidemasiadodíficilparaelparticipante.

Actividaddelosestudiantes.Laparticipaciónalientaalparticipanteyposiblemente
permite que participen más sus sentidos, lo cual refuerza el proceso y se puede
recordarloaprendidodurantemástiempo.

Repetición. Aunque no sea considerada muy entretenida, es posible que la
repetición deje trazos más o menos permanente en la memoria. Cuanto más se
prácticayrepiteloaprendido,tantomássearraigaelcontenidodelaprendizaje.

Relevancia.Elaprendizajerecibeungranempujecuandosehacerealoalmenosen
unambientelomásparecidoalarealidad.

Efecto. Toda persona tiende a repetir las conducta sastisfactoria y a evitar las
desagradables

Cambios de técnicas. El aprendizaje se hace más fácil cuando hay variedad en las
técnicasdeaprendizaje.

Conocimiento empírico. El conocimiento nuevo se aprende de forma más eficaz
cuandosefundamentaenloqueyasabeelestudiante.”
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Es indispensable que cuando se lleva un aprendizaje nuevo a los estudiantes, el docente
debaconocerlaasimilacióndeésteduranteelproceso,esporellolanecesidaddeteneren
cuentaloquellamamos“evaluacióndelaprendizaje”,yesquealmomentodeevaluarnose
tratasolamentedeobtenerunanotacuantitativaparaelestudiante,sinotambiéndetener
información clave sobre las debilidades y fortalezas que se han adquirido con el nuevo
conocimiento.
Es por ello que una evaluación adecuada de los aprendizajes, debe cumplir con las
característicassiguentes:

Permanente: debe estar presente durante todo el proceso de aprendizaje, con el
propósito de detectar dificultades y causas para tomar las decisiones pertinentes
antesqueelmismoconcluya.

Integral: toma en cuenta todos los aspectos importantes del proceso; contenidos,
métodos,bibliografía,recursos,característicasdelosestudiantes;consideradosen
losobjetivosyenlaintegralidaddeldesarrollohumano.

Particiativa:involucraalacomunidadeducativayjuntoscompartenlaexperiencia
devalorarloslogrosydificultades,detomarcompromisosyresonsabilidadessobre
losresultadosobtenidosydelasmedidasquedebenaplicarse.

Criterial: esta orientada por criterios de evaluación que se convierten en puntos
críticos de referencia respecto al grado de adquisición o desarrollo de las
competenciasasimiladasporelparticipante.

Flexible:seadecuaalascaracterísticasdelosparticipantesycircunstanciasenque
sedesarrollaelprocesodeaprendizaje.

Ética: es la que pone en juego los valores, principios morales del docente y
participante.
Además de las características anteriores una evaluación correcta del aprendizaje, debe
cumplirconlascondicionessiguientes:

Validez:implicaquetantolacompetenciaycontenidosaevaluarseanclarosparael
docentecomoparaelparticiante.
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
Objetividad:requiereutilizarmétodosclarosyobjetivos.

Equidad:consisteenevitarcualquierprácticadiscriminatoria.

Flexibilidad:seadaptaalasnecesidadesdeevaluacióndelosparticipantes.

Confiabilidad: permite la obtención de resultados consistentes que demuestren
veracidad en el juicio de la evaluación, asegurando su calidad, mediante la
verificacióndelproceso.
Enrespuestaalapermanenciaenlaevaluacióndelaprendizaje,elMinisteriodeEducación,
ensuNormativadeEvaluacióndelosAprendizajesparalaEducaciónBásicayMediaenel
capítulo II, de las funciones, acciones y características generales de la evaluación del
aprendizaje,nosdice:
”Arto.6.–FuncionesdelaEvaluacióndelosAprendizajes
a. Función diagnóstica: el estado inicial de las y los estudiantes en las áreas del
desarrollo humano: cognoscitiva, socio afectiva y psicomotriz, a fin de facilitar la
aplicacióndeestrategiasmetodológicasypedagógicasadecuadas.
b. FunciónFormativa:brindainformaciónnecesariayoportunaparatomardecisiones
quereorientenlosprocesosdeaprendizajedelasylosestudiantesylasestrategias
didácticasutilizadas.
c. Función Sumativa: fundamenta la calificación y certificación de los aprendizajes
alcanzadosporlasylosestudiantes.”
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VI-PROPUESTADEGUÍASDIDÁCTICAS
GUÍAY
COMPETENCIAS
CONTENIDO
PROCEDIMIENTOS
TIEMPO
NOMBREDE
LAUNIDAD
- Interpreta y utiliza el Propiedadesdeexponentesy -Recordarlaspropiedadesdelosexponentes 12hrs.
lenguaje algebraico en radicales, valor numérico, yradicalesenlaunidaddeNúmerosReales.
N°1
situaciones de la vida expresionesalgebraicasysus -Resuelver
ejercicios
y
utilice
las
diaria
operaciones.
propiedadesdelosexponentesyradicales
-Observar y reforzar la participación,
Introducción
- Realiza operaciones con comunicación,sentidocríticoyrespetoenlas
alálgebra
radicales y expresiones
ylosestudiantesalemplearcorrectamenteel
algebraicas
valor numérico en actividades de la vida
cotidiana.
N°2
-
Aplica
procedimientos
factorización,
identificando
Factorización
los MétodosdeFactorización.
- Verificar que las y los estudiantes 24hrs.
de
establecen una relación coherente, entre los
tipos de factorización y su solución de
las
acuerdoasuspropiascaracterísticas
características de cada
Observar y estimular la participación antiva
caso.
de las y los estudiantes en cuanto al
reconocimiento
de
los
métodos
de
factorización
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GUÍAY
COMPETENCIAS
CONTENIDO
PROCEDIMIENTOS
TIEMPO
NOMBREDE
LAUNIDAD
-Analiza
las EcuaciónCuadrática
características
-Verificarelgradodeasimilacióndelasylos 10hrs.
y
estudiantes en la solución de ecuaciones
N°3
propiedades de los tipos
cuadráticas por los diferentes métodos de
deecuacionescuadráticas
solución y la fórmula de Vieta; así como el
y fórmula de Vieta al
establecimiento de relaciones democráticas,
formular
igualdadyfraternidad.
Ecuaciones
y
resolver
ejercicios.
-Constatar el grado de asimilación de las y
los estudiantes en la solución de ecuaciones
cuadráticas.
N°4
-Resuelve
ejercicios Sistemasdeecuaciones
-Comprobar que las y los estudiantes 10hrs.
Sistemasde
vinculados con sistemas
resuelvenejerciciosdelosdistintos tipos de
ecuaciones
de ecuaciones lineales y
sistemas
cuadráticas
cuadráticas.
de
dos
variables.
de
ecuaciones
lineales
y
-Verificar la práctica de responsabilidad,
disciplina, perseverancia, integración en las
clases,asícomoelrespetoyvaloraciónalas
ideasdelasylosdemás.
N°5
Ecuaciones
-Resuelveecuaciones
EcuacionesIrracionales
irracionales
conradicales
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-Comprobar que las y los estudiantes 5hrs.
resuelven ecuaciones irracionales mediante
losmétodosadecuados.
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15
GUÍAN°1PROPIEDADESDEEXPONENTESYRADICALES,VALORNUMÉRICO
YEXPRESIONESALGEBRAICASYSUSOPERACIONES
Introducción
Enestaguíaestudiaremosoperacionesconexponentesyradicales,expresionesalgebraicas
yvalornuméricodondeseplantearáejercicioshaciendoreferenciaalostemasexpuestos.
Indicadoresdelogros:
 Conocelaspropiedadesdelosexponentes,radicales,valornuméricoyexpresiones
algebraicas.
 Resuelveejercicioshaciendousodelaspropiedadesdelosexponentesyradicales,
asícomovalorelvalornuméricoyexpresionesalgebraicas.
 Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos
compañerosdeclasesylaguíaevaluativa.
PROPIEDADESDELOSEXPONENTESYDELOSRADICALES
1) a m a n  a m  n
2) a m b m   ab 
3)  a
m n

a
m
6) a
n
a
7)  
b
b
 
a
m
10) a  a
n
11)
a

n
b
12)
 
1
 n
a
n
n
9) n a n b  n a.b
mn
am
4) n  a m  n
a
5) a 0  1; a  0
n
an  a 
8) n   
b
b
n
13) n
a
b
n
m
m
n
 n am
n
a
m
a  nm a
14) n a n  a
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Términoalgebraico:Eslamínimaexpresiónalgebraicacuyaspartesnoestánseparadasni
porelsignomásniporelsignomenos.Laspartesdeuntérminoalgebraicoson:
Signo
3exponente
CoeficienteParteliteral
-4x
Expresiónalgebraica:Eselconjuntodenúmerosyletrasunidasentresíporlossignosde
operación:más,menos,poryentre.
Ejemplo:
a) 4x2+5y2
b)
2 +
Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas no son expresiones
algebraicas,sonfuncionestrascendentes.
VALORNUMÉRICO
E l val or num ér i co d eun aexpr esión al gebr aica, p ar a u n d et er m i n ad o val o r ,
es el n ú m er o qu e se o bt i en e al su st i t u i r en u n a exp r esi ó n al g ebr ai ca el val o r n um ér i co d ado yr eal i z ar l aso p er aci o n esi n d i cad as. Gradodelpolinomio:
GradoAbsoluto:Eslasumamayordelosexponentesdelasvariablesdelostérminosdeun
polinomio.
Ejemplo:P(x)=x4y7+3x3y5esdegradoabsoluto11vogrado
Grado Relativo: Es el de mayor exponente que presenta una misma variable de un
polinomio.Tambiénelgradorelativodeunmonomioeselgradodecadaletrademonomio.
Ejemplo
Expresión
signo
Coeficientenumérico
literales
Gradorelativo
GradoAbsoluto
3x3y5
+
3
xy
xesde3ergrado
3+5=8vogrado
yesde5togrado
-5x6y2z7
-
5
xyz
xesde6togrado 6+2+7=15vogrado
yesde2dogrado
zesde7grado
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OPERACIONESCONRADICALES
Índice de la raíz
√125
Signo radical
=5
raíz
cantidad subradical
Simplificar un radical: consiste en dejar la cantidad subradical con menor grado que el
índicedelaraíz.
Sumayrestaderadicales:consisteensimplificarlosradicalesdados;luegosereducenlos
radicalessemejantesescribiendoacontinuaciónlosradicalesnosemejantesconsupropio
signo
Mínimo común índice de los radicales: es encontrar el mínimo común múltiplo de los
índicesdelosradicales.
Multiplicación de radicales: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades
subradicalesentresí,todobajoelmismosignoradicalcomúnysesimplificaelresultado.
Si los radicales no poseen el mismo índice, se reduce al mínimo común índice y se
multiplicancomoradicalesdelmismoíndice
Divisiónderadicalesdelmismoíndice:sedividenloscoeficientesentresiylascantidades
subradicalesentresí,todobajoelmismosignoradicalcomúnysesimplificaelresultado.
Silosradicalesnoposeenelmismoíndice,sereducealmínimocomúníndiceysedividen
comoradicalesdelmismoíndice.
Racionalización:Consisteenconvertirunafracciónirracionalenunafracciónequivalente
racionalyaseaenelnumeradoroeneldenominador.
Paralaracionalizaciónesimportanterecordarque:
(x+y)(x–y)=x2–y2
(x+y)(x2–xy+y2)=x3+y3
(x–y)(x2+xy+y2)=x3–y3
(x+y+z)(x+y–z)=[(x+y)+z][(x+y)–z]=(x+y)2–z2
Dondelosfactoressellamanconjugados.Elconjugadode(x+y)es(x–y).
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EJEMPLONº1
Determinaelvalordelasiguienteexpresión
a)
b)
c)4 d)4e)NDLA
SOLUCION:
4
−4
=
15
4 4 −4
=
15
4 (4 − 1)
=
15
4 . 15
= √4 = 4
15
Queeslaalternativad
EJEMPLONº2
Sedefinea*b=ab+3baentonces2*3es:
a)35b)89c)26d)31e)29
SOLUCION:
Comoobservamosa=2yb=3luego2*3=23+3.32→2*3=8+27=35
Queeslaalternativab
EJEMPLONº3
Elresultadode 2 + √3. 2 − √3es:
a) √7b)1c)2d)2√3e)–1
SOLUCION:
2 + √3. 2 − √3 = 2 + √3 (2 − √3) = √4 − 3 = √1 = 1,queeslaclaveb
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EJEMPLONº4
HallarelvalornuméricodelaexpresiónE=xz–y+y2z–xsix=2,y=1z=3
SOLUCION:
Sustituyendolosvaloresdex,y,ztendremos
E=23–1+12(3)–2
E=22+14=4+1=5
EJEMPLONº5
Hallarelvalornuméricode:E=
2010)
SOLUCION:
;para
= ,ejerciciopropuesto(JTN-
Aplicandolapropiedadam+n=aman
.
=
( )
=
=
=
=
=
= 2 = 16
EJEMPLONº6
SiE= √
+
+
a)1 b)2 hallarelvalornuméricodeE,paraa=1,b=2,c=3
c)7 d)6 e)5
SOLUCION:
SustituyendolosvaloresnuméricosenE,obtenemos:
E= √1 + 2 + 3 = √1 + 4 + 27 = √32 = 2queeslaalternativab
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EJEMPLONº7
Hallarelvalornuméricodelaexpresión:E =
parax=3,y=2
SOLUCION:
SustituyendolosvaloresE =
=
= EJEMPLONº8
;paraab=5
HallarelvalornuméricodeM=
a)0.2 b)0.04
c)1.25
d)10
e)12
SOLUCION:
Aplicandolapropiedadamn=(am)n
M=
M=
sustituyendoab=5
( )
( )
( ) ( )
QueeslaalternativaC
=
.
=
=
.
=
= 12.5
EJEMPLONº9
Calcularelvalornuméricode:W=(3x)2y;para:x= √3
a)27 b)729
c)3 d)81 e)NDLA
SOLUCION:
x= √3
⟹xy=33-y⟹xy= ⟹3y.xy=27⟹(3x)y=27
W=(3x)2y⟹W=[(3x)y]2⟹W=[27]2⟹W=729queeslaalternativab
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EJEMPLONº10
Al racionalizar el denominador de la expresión
√ √ √
el resultado es:
a) √3 + √2
b) √3 − √2
c)
( √3 + √2)
SOLUCIÓN:
Elcasoesdelproductodelaforma
a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)yelconjugadodelaexpresión
d)
( √3 − √2)
e)
( √2 + √3)
√9 + √6 + √4 es(√3 − √2),luego
√ √ √
=
√
√
=
√ √ √
*
√
√
√
√
= √3 − √2queeslaalternativab
EJEMPLONº11
La expresión
a)
b)
c)
d)
−2
+4
−4
+2
e)
+2
+2
√ − √2
+ √4 es equivalente a:
SOLUCIÓN:
Multiplicandocadatérminodelaprimeraexpresiónconlostérminos
delasegundaexpresióntendremos
+2
√ − √2
− √2 √ + √4 √
+ √4 =
+ √2 √ − √4 √
+2
=
+ 2,queeslaalternativad
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EJEMPLONº12
Six=2+√2;elvalornuméricosdeE=x2+
a)1
b)3
c)7
es:
d)12 e)14
SOLUCIÓN:
Primerovamosacalcularelvalordex2yluegolosustituimosenlaecuacióndeE
x2=(2+√2)(2+√2)=4+2√2+2√2+2=6+4√2=2(3+2√2)
AhorasustituyendoenE
E=6+4√2+
6+4√2+
=6+4√2+
√ .
√ ,luegoracionalizandotendremos
√ √ =6+4√2+
( )
√ √ =6+4√2+
( √ ) √ E=6+4√2+6–4√2
E=12,queeslaalternativad
EJEMPLONº13
HallarelvalornuméricodeE=(xx–x–x)2+(xx+x–x)2–2(x2x–x–2x);parax=½
a)8b)4c)16d)2e)-4
SOLUCIÓN:
Seaa=xx,b=x–xsustituyendoenEyresolviendotendremos.
(a–b)2+(a+b)2–2(a2–b2)=a2–2ab+b2+a2+2ab+b2–2a2+2b2=4b2
Perob=x–xdevolviendoelvalortendremos
4(x–x)2=4(x–2x)=4(x–2(1/2))=4(x)–1=4(½)-1=4(2)=8queeslaalternativaa
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EJEMPLONº14
Alresolver
√
√
√
b)
a)
−
√
√
√
seobtiene:
√
√
√
√
c)
d) √ e)
SOLUCIÓN:
√
√
√
−
√
√
=
√
√ √
√
√ √ (√ √ )
( √ )
√ √
=
√
√
=
Queeslaalternativab
EJEMPLONº15
Laexpresiónequivalentea
a)
√
b)
√
√
√
es:
c)
√ √
√ √
d)
e)1 + √3
SOLUCIÓN:
Racionalizandoeldenominadorde
√
√
=
√
√
.
√
√
=
√
√
=
= 2 + √3
2 + √3 = (4 + 2√3) = (3 + 2√3 + 1) = (√3 + 1) 3 3
1

2
3 3


2
3 1 
1
2
2


3 1 
6 2
,queeslaalternativad
2
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EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°1
1- Hallarelvalornuméricode E
 16  x  1 x  1  x 2  1 x 4  1  1 ,
parax=25Rta.5
2- Six=
3- Si
a
b ,calcularelvalornuméricodeR=[xa+b–axa–bxb+2ab]88Rta.a88.b88
xx
x  4 ; x
y
1
 ,hallarelvalornuméricode E
2
x
x x y
Rta.2
x 1
x  1 , parax=0.1234Rta.1
4- Hallarelvalornuméricode F 
x  x  1
1
x 1
x
5- Siab=1,obtenerelvalornuméricode: Q  a
b2  1
a2  1

b
Rta.2
a2  1
b2 1
6- CalcularelvalornuméricodeE,six=2
E  32 1 3 x2 1 x4 1 x8 1 x16 1 x32 1 x64 1 Rta.16

7- Hallarelvalornuméricode E  m
8- Si x
3
3
 n 3 
1
, simn=2ym+n= 2 2 Rta. 2 2 1 3 2 1,Calcularelvalornuméricode E  x3  3x  1
9- SiA=
√
+
√
Rta.3
,elvalorde2Aes.Rta.
√
10- Calcularelvalordem,sielgradodelaexpresiónesde7mo.Grado
m m
M=
m m
1 m
m
x . x x
m

4 m
x . x
3 m3

m
,
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Rta.M=
1
m
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GUÍAN°2MÉTODOSDEFACTORIZACIÓN
Introducción
En esta guía estudiaremos los métodos de factorización donde se planteará ejercicios
haciendoreferenciaalostemasexpuestos.
Indicadoresdelogros:
 Distinguelostiposdefactorizaciónsegúnlosmétodosexpuestos.
 Resuelveejerciciosdefactorizaciónhaciendousodelosmétodosdefactorización
demanerasatisfactoria.
 Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos
compañerosdeclasesylaguíaevaluativa.
Factorización:
Eslaoperaciónquetieneporobjetotransformarunaexpresiónalgebraicaenelproducto
desusfactores.
PRINCIPALESMÉTODOSDEFACTORIZACIÓN
1. FACTORCOMÚN
Elfactorcomúndedosomásexpresionesalgebraicaseslapartenuméricay/oliteralque
estárepetidaencadaunadedichasexpresiones.Elfactorcomúnpuedeserdetrestipos:
 Factorcomúnmonomio
 Factorcomúnpolinomio
 Factorcomúnporagrupación
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FACTORCOMÚNMONOMIO
Cuandoelfactorcomúnentodoslostérminosesunmonomio.
EJEMPLONº1
Factorizar:E(x,y)=60xa+2yb+3+45xa-3y2b+5–15xay4b+6
SOLUCION:
Elfactorcomúnes15xayb+3,dondetendremos:
E(x,y)=15xayb+3(4x2+3x-3yb+2–y3b+3)
FACTORCOMÚNPOLINOMIO
Cuandoelfactorcomúnentodoslostérminosesunpolinomio.
EJEMPLONº2
Factorizar(x+y)10(x+y3)5+(x+y)15(x+y3)2
SOLUCION:
Elfactorcomúnes(x+y)10(x+y3)2,luegotendremos:
(x+y)10(x+y3)5+(x+y)15(x+y3)2
=(x+y)10(x+y3)2[(x+y3)3+(x+y)5]
FACTORCOMÚNPORAGRUPACIÓN
Seagrupanlostérminosbuscandogeneralmenteelmétododefactorcomúndepolinomios.
EJEMPLONº3
Factorizar3ax–2by–2bx–6a+3ay+4b
SOLUCION:
3ax–2by–2bx–6a+3ay+4b=(3ax–2bx)+(3ay–2by)–(6a–4b)
=x(3a–2b)+y(3a–2b)–2(3a–2b)=(3a–2b)(x+y–2)
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2. MÉTODOSDEIDENTIDADES
Nosreferimosaidentidadesmuyconocidascomo:
 Diferenciadecuadrados
x2a–y2b=(xa)2–(yb)2=(xa+yb)(xa–yb)
 SumaodiferenciadeCubos
x3a+y3b=(xa)3+(yb)3=(xa+yb)(x2a–xayb+y2b)
x3a-y3b=(xa)3–(yb)3=(xa–yb)(x2a+xayb+y2b)
 Trinomiocuadradoperfecto
a2x±2axby+b2y=(ax±by)2
3. MÉTODOSDEASPAS
ASPASIMPLE
Seusaparafactorizartrinomiosdelaforma:
ax2n±bxn±c
o,delaforma:
xnd
n
x2n±bxn±c,dondec=deyb=(d+e)x
xne
Sedescomponeendosfactoresalprimertérmino,ax2nox2n,segúnseaelcaso.Secolocan
estosfactoresenlaspuntasdelaizquierdadelaspa.Eltérminoindependiente,incluyendo
el signo, también se descompone en dos factores, los que se colocan en las puntas de la
derechadel aspa.Losfactoresdela expresión dadasonla sumahorizontal dearribayla
sumahorizontaldeabajo.Eltérminocentraldebeserigualalasumadelosproductosen
aspa.
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EJEMPLONº4
Factorizarx6a+7x3a+12
SOLUCION:
1) x6aendosfactores:x3ax3a
2) 12endosfactores:3y4
Secolocanlosfactoresenlapuntaizquierdayderechadelaspa:
x6a+7x3a+12
x3a+4
4x3a
x3a+3
+3x3a
3aeseltérminocentral
Donde7x
7x3a
Luego,x6a+7x3a+12=(x3a+4)(x3a+3)
ASPADOBLE
Seusaparafactorizarpolinomiosdelaforma:ax2n±bxnyn±cy2n±dxn±eyn±fytambién
paraalgunospolinomiosde4to.Grado.
Seordenaenformadecrecienteparaunadelasvariables;luego,setrazayseejecutaun
aspa simple para los tres primeros términos con trazo continuo. A continuación y,
pegadaalprimeraspa,setrazaotro,detalmodoqueelproductodeloselementosdel
extremo derecho de este aspa multiplicados verticalmente sea el término
independiente.
1er.Factor:sumadeloselementostomadoshorizontalesdelapartesuperior.
2do.Factor:sumadeloselementostomadoshorizontalmentedelaparteinferior.
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EJEMPLONº5
Factorizar6x2+7xy–3y2+11x–11y–10
SOLUCIÓN:
2
6x +7xy–3y2+11x–11y–10
3x-y-2
(7xy)(11x)(-11y)
2x+3y+5
Donde,6x2+7xy–3y2+11x–11y–10=(3x–y–2)(2x+3y+5)
ASPADOBLEESPECIAL
Seusaparafactorizarpolinomiosdecuartogradodelaformageneral:
.ax4±bx3±cx2±dx±e
Parafactorizarseprocedeasí:
1) Sedescomponenlostérminosextremos(primeroyquinto)ensusfactoresprimos
consignosadecuados.
2) Seefectúaelproductodelosfactoresprimosenaspaysereduce.Deestamanerase
obtieneuntérminodesegundogrado.
3) Aesteresultadoseledebesumaralgebraicamenteotrotérminodesegundogrado
paraqueseaigualaltercertérmino.
4) Con este término de 2° grado colocado como tercer término del polinomio, se
descomponeensusfactoresenformaconvenientetalquecumplalosrequisitosdel
aspadoble:
i. Aspa simple entre el primer término y el término de segundo grado
ubicadocomosustituto,paraverificarelsegundotérmino.
ii. Aspa simple auxiliar entre el sumando de segundo grado ubicado y el
quintotérminoparaverificarelcuartotérmino.
5) Losfactoressetomanenformahorizontal.
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30
EJEMPLONº6
Factorizarx4–4x3+11x2–14x+10
SOLUCION:
Comopodemosobservaresuncasodeaspadobleespecialprocediendotendremos
x4–4x3+11x2–14x+10
x2-2x5
(-4x3)(11x2)(-14x)
x2-2x2
Luegolarespuestaserá:x4–4x3+11x2–14x+10=(x2–2x+5)(x2-2x+2)
4. MÉTODODEREDUCCIÓNADIFERENCIADECUADRADOS
Elmétodoconsisteentransformarunaexpresión,trinomioengeneral,aunadiferenciade
cuadrados; sumando y restando una misma cantidad de tal manera que se complete el
trinomiocuadradoperfecto
EJEMPLONº7
Factorizarx4+2x2y2+9y4
SOLUCIÓN:
Extraemos la raíz al primer y último término,luego multiplicamos por 2 para conocer el
númeroquebuscaremos2(x2)(3y2)=6x2y2queseráeltérminoabuscar,luegosumandoy
restando4x2y2alaexpresióntendremos
(x4+6x2y2+9y4)–4x2y2=(x2+3y2)2–(2xy)2=(x2+3y2+2xy)(x2+3y2–2xy)
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31
5. MÉTODODESUMASYRESTAS
Consisteensumaryrestarunamismacantidadoexpresióndetalmaneraqueseformeuna
suma o diferencia de cubos al mismo tiempo que se presenta el factor x2 + x + 1 ó
x2–x+1Algunasvecestambiénsecompletaelpolinomio.
EJEMPLONº8EJERCICIOSRESUELTOS
Factorizarx5+x4+1
SOLUCIÓN:Resolveremosdedosmétodoslafactorización
2do.Método
1ermétodo
Sumandoyrestandox3+x2+x:
Sumandoyrestandox2:
x5+x4+x3+x2+x+1–x3–x2–x
x5–x2+x4+x2+1
x3(x2+x+1)+(x2+x+1)-x(x2+x+1)
=x2(x3–1)+(x4+x2+1)
=(x2+x+1)(x3-x+1)
Sumando y restando x2 al segundo
paréntesis,
factorizandoelprimerparéntesis.
=x2(x3–1)+(x2+x+1)(x2–x+1)
=(x2+x+1)(x3–x2+x2–x+1)
=(x2+x+1)(x3–x+1)
factorizando
y
también
6. MÉTODODECAMBIODEVARIABLE
Consisteenhaceruncambiodevariableadecuado,detalmaneraqueseobtengaunaforma
defactorizaciónconocida.
EJEMPLONº9
Factorizar(x+1)4+(x+2)3+(x+3)2–7x–12
SOLUCION:Seaa=x+1sustituyendoenlaexpresiónelcambiodevariabletendremos:
a4+(a+1)3+(a+2)2–7a–5,desarrollandolaspotenciasysimplificando,tendremos:
a4+(a+1)3+(a+2)2–7a–5=a4+a3+4a2
ahora factorizando, a4 + a3 + 4a2= a2(a2 + a + 4) y por último sustituyendo la variable
original(x+1)2(x2+3x+6)
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32
EJEMPLONº10
Factorizar1+x(x+1)(x+2)(x+3)
SOLUCION:
Enmuchasocasionestenemosquebuscarencambiodevariableagrupandofactores
1+x(x+1)(x+2)(x+3)=1+[x(x+3)][(x+1)(x+2)]
=1+(x2+3x)(x2+3x+2)
Haciendox2+3x=y
=1+y(y+2)
=1+2y+y2
=(1+y)2
sustituyendolavariable:
=(1+3x+x2)2
7. MÉTODODEFACTORIZACIÓNRECIPROCA
Polinomio recíproco: es aquel que se caracteriza porque los coeficientes de los términos
equidistantesdelcentrosonigualescomo:Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A
Procedimientoparafactorizarunpolinomiorecíproco:
a. Seextraecomofactorcomún,laparteliteraldeltérminocentral,quealfinalsedebe
eliminar.
b. Se realiza el siguiente cambio de variables: +
+
=
= ,
+
=
− 2,
−3 c. serealizanlasoperacionesysefactoriza
d. sesustituyenlosvaloresasignadosalasvariables.
EJEMPLONº11
Factorizar4x4+3x3+7x2+3x+4
SOLUCION:4x4+3x3+7x2+3x+4=x2(4x2+3x+7+ +
=x2(4(x2+
)
)+3(x+ )+7)
Sustituyendo +
= ,
+
=
− 2tendremos:
=x2(4(a2–2)+3a+7)
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33
=x2(4a2+3a–1)x2(4a–1)(a+1)
Sustituyendoelvalordea= + x2(4( + )–1)( + +1)=x2(
)(
)
=(4x2–x+4)(x2+x+1)
8. MÉTODOSDEFACTORIZACIÓNSIMÉTRICAYALTERNADA
Polinomio simétrico: Un polinomio es simétrico, con respecto a sus variables, cuando su
valornosealteraporelintercambiodecualquierpardeellas,esdecir,“x”por“y”,“y”por
“x”yademáseshomogéneo.
Ejemplo:P(x,y,z)=A(x2+y2+z2)+B(xy+xz+yz)
Notar que las operaciones con expresiones simétricas dan como resultado también
expresionessimétricasyademássoncíclicas.
z
x
y
Polinomioalterno:Unpolinomioesalterno,conrespectoasusvariables,cuandosusignose
altera,pero no su valor absoluto,alintercambiar un parcualquieradeellas,y además es
homogéneo.
Ejemplo:P(x,y,z)=y2(z–y)+x2(y–z)+z2(x–y)
Propiedadesfundamentalesdeunpolinomioalterno
1. Nohayexpresionesalternasquecontenganmásdedosvariablesyseandeprimer
grado.
2. Generalmente los polinomios alternos son circulares o cíclicos y están escritos en
formadediferencia.
3. El producto de una expresión simétrica por una alterna da como resultado una
expresiónalterna.
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34
Propiedadesdelospolinomiossimétricosyalternos.
1. Una expresión simétrica o alterna de variables x, y, z, si es divisible entre “x”,
entoncestambiénserádivisibleentre“y”yentre“z”.
2. Enunaexpresiónsimétricaoalterna,devariables,x,y,z,siesdivisibleentre(x±y),
entoncestambiénserádivisibleentre(x±z)(y±z).
EJEMPLONº12
Factorizar:P(x,y,z)=(x–y)3+(y-z)3+(z-x)3
SOLUCION:
1) Intercambiandoxpory,sevequelaexpresiónesalterna.
2) Cálculodelosfactoresx=y
P(y,y,z)=(y-y)3+(y-z)3+(z-y)3
P(y,y,z)=0+(y-z)3+[-(y-z)3]
P(y,y,z)=(y-z)3-(y-z)3=0
Luego el polinomio es divisible entre (x - y). Por ser polinomio alterno, también será
divisible entre los factores obtenidos en forma circular en el sentido
z
x
y
indicado:
x=y,y=z,z=x
Luegoelpolinomioesdivisibleentreelproducto:(x–y)(y–z)(z–x)seigualalaidentidad
(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = (x – y)(y – z)(z – x)K, dándoles valores arbitrarios a las
variablesparaencontrarelvalordeK,six=5,y=4,z=3,tendremos:
(5–4)(4–3)(3–5)K=(5-4)3+(4-3)3+(3-5)3
–2K=1+1–8
K=3
Luego,laexpresiónfactorizadaes:(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3(x–y)(y–z)(z–x)
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9. MÉTODODEFACTORIZACIÓNPOREVALUACIÓN
Para resolver por este método se busca los factores del término independiente del
polinomioysebuscaloscerosenelpolinomio,unavezencontradoserealizapordivisión
sintética, pueden existir varios ceros en el polinomio y el resultado se prueba con los
demásfactoresparaencontrarlososeusanotrosmétodosdefactorizaciónsiesreconocido
elresultado.
EJEMPLONº13
Factorizar6x3+23x2+9x–18
SOLUCION:
Descomponiendo18ensusdivisores±1,2,3,6,18yhaciendoP(x)=6x3+23x2+9x–18,
ahoraaplicamoselteoremadelrestoparabuscarloscerosdelpolinomiotendremos:
P(-1)=6(-1)3+23(-1)2+9(-1)–18=-10quenoes
P(1)=6(1)3+23(1)2+9(1)–18=20nodaceroseguimosprobando
P(-2)=6(-2)3+23(-2)2+9(-2)–18=8nada
P(2)=6(2)3+23(2)2+9(2)–18=140nada
P(-3)=6(-3)3+23(-3)2+9(-3)–18=0ahorasinosdioenx=-3,luegoP(x)esdivisible
porx+3,resolvamospordivisiónsintética
6239–18–3
6–18–1518
65–60
Luego6x3+23x2+9x–18=(x+3)(6x2+5x–6)dondeporaspasimpletendremos
6x3+23x2+9x–18=(x+3)(2x+3)(3x–2)
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EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°2


2
1- CalcularE=  x  1 x  2 x  4  x  3   x  2  x  3 x  5 x  4   2 x2  x  10 Rta.-56
2- Simplificar E
2

 a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c   4a 2b2  c 2 2
Rta. a  b 3- Factorizar
a) abcx 2   a 2b 2  c 2  x  abc
b)
a  d 
4
Rta.  abx  c  cx  ab  2
2
 2  b2  c 2   a  d    b2  c 2  Rta.(a+b+c+d)(a–b–c+d)(a+b–c+d)(a–b+c+d)
c) 15x 2  14 xy  3 y 2  23 y  41x  14 Rta.(5x+3y+2)(3x+y+7)
d)
x 4  10 x 3  9 x 2  18 x  9 Rta.(x2–9x+9)(x2–x+1)
e)
16 m 4  25m 2 n 2  9 n 4 Rta.(4m2+mn–3n2)(4m2–mn–3n2)
f)
81m8  2m 4  1 Rta.(9m4+4m2+1)(9m4–4m2+1)
g)
16  9c 4  c8
h)
i)
Rta.(4+c2–c4)(4–c2–c4)
x5  x  1 Rta.(x2–x+1)(x3+x2–1)
x 6  x 4  2    x  1 x  1 Rta.(x2+x+1)(x3–x2+1)(x3+x2–1)(x2–x+1)
j) (2x2–9x+1)2+24x(x-1)(2x-1)Rta.(2x+1)2(x+1)2
k) 6x4+5x3+6x2+5x+6Rta.(3x2–2x+3)(2x2+3x+2)
l) x6+15x5+78x4+155x3+78x2+15x+1Rta.(x2+5x+1)
m) (a+b)5–a5–b5Rta.5ab(a+b)(a2+ab+b2)
n) n3–7n+6Rta.(n–1)(n–2)(n+3)
o) a3+a2–13a–28Rta.(a–4)(a2+5a+7)
p) 8a4–18a3–75a2+46a+120Rta.(a+2)(a–4)(2a–3)(4a+5)
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37
GUÍAN°3ECUACIÓNCUADRÁTICA
Introducción.
En esta guía estudiaremos las ecuaciones cuadráticas desde su formación, conociendo
sus raíces, su resolución y el uso de métodos de variables auxiliares para ecuaciones de
orden superior cuadrático, de ecuaciones diversas y polinómicas haciendo uso de la
fórmuladeVieta.
Indicadoresdelogros:
 Conocelaspropiedadesdelasraícesdeunaecuacióncuadráticaylafórmulade
Vieta.
 Resuelveejercicioshaciendousodelaspropiedadesdelasraícesdeunaecuación
cuadrática,bicuadráticas,ecuacionesdiversasyfórmuladeVieta.
 Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos
compañerosdeclasesylaguíaevaluativa.
Definición:
Unaecuacióncuadráticaestodaecuacióndelaformaax2+bx+c=0,dondea≠0.
Dondea,byc∈R
Trabajaremoslaecuaciónax2+bx+c=0parapoderconocerlaspropiedadesdelas
raícesdelasecuacióncuadrática.
ax2+bx+c=0ecuacióndada
ax2+bx=-cserestac
+
= − sedividepora
+
+ ( ) = ( ) − secompletaelcuadrado
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38
( +
+
) =
ecuaciónequivalente
=±
seextraelaraíz
=−
±
±√
=
seresta simplificando
Laúltimaexpresión,conocidatambiéncomofórmulageneral,eslaquevamosatrabajar;es
de notar que la expresión
−
bajo el signo radical de la fórmula se llama
discriminantedelaecuacióncuadráticaysepuedeusareldiscriminanteparadeterminar
lanaturalezadelaecuación,asípues:
Valordeldiscriminante
−
Naturalezadelasraícesdeax2+bx+c=0
Valorpositivo
Dosraícesrealesydistintas
0
Unaraíz
Valornegativo
Dosraícesimaginarias(complejas)
Ahorasieldiscriminanteespositivoonegativotendremosdosraícesqueson:
=
√
y √
=
, luego operando la suma y producto de las
raícestendremos:
+
=
+
=
√
+
√
,sumadelasraíces
,reduciendotérminos
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39
+
Y
= − ,simplificando
=
=
√
∗
(− ) − (√
4
=

−4
√
productodelasraíces
)
= Donde podemos concluir que las propiedades de las
raícesson:
Lasumadelasraícesdeunaecuacióncuadráticaes:
+
=− Elproductodelasraícesdeunaecuacióncuadráticaes:
= EJEMPLONº1
Encuentrelaecuacióncuadráticasisusraícesson5y-4
SOLUCIÓN:
Comolasraícessonx = 5yx = −4,usaremoslaspropiedadesdelasumayproductode
lasraícescuadráticasdonde:x + x = − yx x = .Sihacemosa=1obtendremos
x + x = −byx x = c → = −1 = −20, sustituyendo los valores de las raíces
x = 5yx = −4en
x2+bx+c=0queeslaecuaciónatratar
x2–x–20=0queeslaecuaciónquebuscamos.
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40
EJEMPLONº2
Encuentrelaecuacióncuadráticasisusraícesson y SOLUCIÓN:
5
3
2
7
Comolasraícessonx = yx = ,usaremoslaspropiedadesdelasumayproductode
lasraícescuadráticasdonde:
x + x = − yx x = sihacemosa=1obtendremos
x + x = −byx x = c,donde = −(x + x )
= −
41
10
5
2
= ,sustituyendolosvaloresdelasraícesx = yx = en
21
21
3
7
x2+bx+c=0queeslaecuaciónatratar
x2−
41
10
x+ =0multiplicarcadaterminopor21
21
21
21x2−41x+10=0queeslaecuaciónquebuscamos
EJEMPLONº3
Six2+14x+k=0,hallarelvalordekdemaneraqueunaraízseax=−6
Solución.Paraesteejerciciotenemosdossoluciones
MÉTODO1:
Sustituirelvalordex=−6enlaecuaciónx2+14x+k=0ydespejark.
(−6)2+14(−6)+k=0
k=−36 + 84
k=48queeselvalorquebuscamos
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41
MÉTODO2:
Haciendousodelaspropiedadesdelasraíces.
x + x = − yx x = Delaecuaciónx2+14x+k=0obtenemosquea=1,b=14,c=kyx1=−6
x + x = −14yx x = k
x = −14 − x →x = −14 − (−6) → x = −8
Yporúltimox x = k → k =(−6)(−8) →
=
queeselvalorquebuscamos
EJEMPLONº4
Six2+18x+k=0,hallarelvalordekdemaneraqueunaraízseaeldobledelaotra
SOLUCIÓN:
Seanlasraícesx yx = 2x ,comob=18y−b=x + x x + 2x = −18 →3x = −18→x = −6yx = −12
EJEMPLONº5
Untriángulorectángulotieneunáreade5ysuhipotenusatienelongitud5.Determinela
longituddeloscatetosdeltriángulo.
SOLUCIÓN:
Seanayblaslongitudesdeloscatetosentonces
+
+
= 25
→ ( + ) = 25 + 2
=5
= 10
→ ( + ) = 25 + 20 →
= 10
= 3√5
= 10
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42
Ahorabien,deacuerdoconlaspropiedadesdelasraícesdeunaecuacióncuadrática,debe
existir una ecuación cuadrática cuyas raíces sean los catetos buscados. Se tiene que una
ecuaciónquesatisfacelascondicionesexplicitadascorrespondea
− 3√5 + 10 = 0, cuyas soluciones son 2√5 √5 así los catetos del triangulo
tienenlasmedidas2√5 √5
CASOPARTICULARDELAECUACIÓNCUADRÁTICA
Un caso muy particular de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, se da cuando el
coeficientebespar,dondepodemosmodificarlafórmulageneralquedandodelaforma:
=
±√
→
±
=
=
→ =
±
dondeb1=
± ( )
O
EJEMPLONº6
Resuelvalaecuación3x2–10x–8=0
SOLUCIÓN1:
Comopodemosobservarelvalordebesparusaremoslafórmula
=
± ( )
donde:a=3,b=–10yc=–8,sustituyendolosvaloresen
lafórmulanosqueda
=
±
→x
=
± (
)
( )(
)
→ =
±√
= − yx = 4
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43
SOLUCIÓN2:
Tambiénpodemosusarlasegundaformadonde:a=3,b1=–5yc=-8
±
=
=
±
=
→x
± (
) ( )(
)
=
±√
= − yx = 4
ECUACIONESBICUADRÁTICAS,DIVERSAS,USODECAMBIODEVARIABLE
Ecuación bicuadrática: Es toda ecuación de la forma ax2n ± bxn ± c = 0, y se resuelve
sustituyendoxnporunavariablequetrasformalaecuaciónenunacuadráticaconocida.
EJEMPLONº7
Resolverx
+ 10x
+ 21 = 0
SOLUCIÓN:
Seau=x u2=x Sustituyendolosvaloresdeuenlaecuaciónyresolviendotendremos:
u2+10u+21=0poraspasimple
(u+7)(u+3)=0igualandolosfactoresa0
u+7=0;u+3=0
u=–7;u=–3
Devolviendoelvalordeu=x = tendremos
= −7; = −3→x=− ;x=− GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA
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44
EJEMPLONº8
.
Resolverlaecuación
+ y = 1
SOLUCIÓN:
.
+ y = 1
Seav=
,v2=
(
)
(
+
)
= 1
,sustituyendoyresolviendotendremos:
6v2+v–1=0usandoaspasimple
(2v+1)(3v–1)=0→v=− ;v=
Devolviendolosvaloresdeenv=
yresolviendotendremos:
y2+2y+1=0; y2 – 3y +1=0 resolviendo por factorización y por la fórmula general
tendremos:y=–1;y=
±√
EJEMPLONº9
Resolverlaecuaciónx–3√x+2=0
Seau=√x
u2=xsustituyendotendremos
u2–3u+2=0→(u–2)(u–1)=0
u=2;u=1
√x=2√x=1
x=4;x=1
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45
EJEMPLONº10
Resolverlaecuación:
SOLUCIÓN:Seav=
−
=
sustituyendotendremos
v − = multiplicarpor8vyresolviendo
8v2–63v–1=0usandolafórmulageneralobtendremos
1
8
v=− v=8Sustituyendoelvalorv=
− =
;8=
yresolviendotendremos:
2(1–x)=–1(1+x);2(1+x)=1–x
1
3
Dedondelassolucionesson− y3respectivamente.
FÓRMULADEVIETA
LafórmuladeVietasepuedeenunciarasí,si
P(x)=xn−S1xn-1+S2xn-2−S3xn-3+....+(-1)nSndondelasraícesa1,a2,a3,....,an=0
es(x–a1)(x−a2)(x−a3)....(x−an)=0
Osea,xn−S1xn-1+S2xn-2−S3xn-3+....+(-1)nSn=0;siP(x)=0
dondeS1=Sumadelasraíces;
S2=Sumadelosproductosdelasraícestomadasdedosendos;
S3=Sumadelosproductosdelasraícestomadasdetresentres;
...................................................................
Sn=Productosdelasraíces.
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46
EJEMPLONº11
Desarrolleelpolinomio(x–3)(x–6)(x–4)(x+5)
SoluciónUsandolafórmuladeVietatendremos:
S1=–3–6–4+5=–8
S2=(−3)(−6)+(−3)(−4)+(−3)(5)+(−6)(−4)+(−6)(5)+(−4)(5)=–11
S3=(−3)(−6)(−4)+(−3)(−6)(5)+(−3)(−4)(5)+(−6)(−4)(5)=198
S4=(−3)(−6)(−4)(5)=−360
Luegotendremos:
(x–3)(x–6)(x–4)(x+5)=x4–8x3–11x2+198x–360queeselpolinomio
desarrollado.
EJEMPLONº12
Resuelvalaecuación:(
− 3 + 1) − 3(
− 3 + 1) + 1 = SOLUCIÓN1:UsaremoslafórmuladeVieta
Desarrollandolaexpresióndadaobtenemos
x4+9x2+1–6x3+2x2–6x–3x2+9x–3+1=x→x4–6x3+8x2+2x–1=0
HaciendousodelosproductosnotablesyfórmuladeVietatendremos
(x2+ax+1)(x2+bx–1)=x4+(a+b)x3+abx2+(b–a)x–1aplicandoidentidad
polinomialsetiene
a+b=–6
ab=8
b–a=2
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47
Alresolverelsistemadeecuacionesencontramosquea=–4yb=–2conloquela
ecuaciónaresolverserá:(x2–4x+1)(x2-2x–1)=0cuyassolucionessonx=2±√3
x=1±√3
SOLUCIÓN2:Reescribiendolaecuaciónoriginal
(
− 3 + 1) − 2(
− 3 + 1) + 1 − (
− 3 + 1) = (
− 3 + 1) − 2(
− 3 + 1) + 1 = (
− 3 + 1) + [(
(
− 3 + 1) − 1] = (
− 2 + 1)
− 3 ) = ( − 1) → (
− 3 ) − ( − 1) = 0 →(x2–4x+1)(x2-2x–1)=0
cuyassolucionessonx=2±√3yx=1±√3
Todaexpresióndelaforma
± 2√ = √ ± √ con m > n ,a=m+n,b=m.nparaello
procedemos así: buscamos dos números cuyoproducto sea b y que a la vez, la suma de
esosnúmerosseaigualaa.
EJEMPLONº13
Calcular 5 + 2√6
SOLUCIÓN:Podemostrabajar
5 + 2√6 = 5 + 2 (2)(3) = 5 + 2√2√3 = 2 + 2√2√3 + 3 = √2 + √3 ,luego
5 + 2√6 =
√2 + √3
= √2 + √3
EJEMPLONº14
Resolverlaecuación
7 − √48
+
7 + √48
= 14
Solucióncomo7 ± √48 = 7 ± 2√12 = 7 ± 2√4√3 = √4 ± √3 = 2 ± √3 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA
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48
La ecuación dada puede ser escrita como 2 − √3
+ 2 + √3 =14 (1) ahora si
realizamos la operación 2 − √3 2 + √3 = 1 y si multiplicamos (1) por 2 + √3 tendremos
1 + 2 + √3
2 + √3
=
= 14 2 + √3
±√
=
± √
→
2 + √3
− 14 2 + √3
+ 1 = 0 →
= 7 ± 4√3 = 2 ± √3 ,dondelasolucióndexes{-2,2}
EJEMPLONº15
Six= 12 + 12 + √12 + ⋯,calcular5E+6siE= x + 1 + 3x + 2√x
SOLUCIÓN:x2=12+ 12 + 12 + √12 + ⋯,perox= 12 + 12 + √12 + ⋯
x2–x–12=0→(x–4)(x+3)=0
x=4,sustituirelvalordexenE,tendremos:E= 4 + 1 + 3(4) + 2√4
E= 5 + √16=√5 + 4 = 3,donde5E+6=5(3)+6=21queserálasolución
EJEMPLONº16
Resuelvay2–5y–P=0,siP= [( + 2) − 50] − ( + 10)( + 8)( − 6)( − 4)
SOLUCIÓN:BuscaremosesvalordePyluegolosustituimosenlaecuaciónyresolvemos.
Ordenandoyefectuandolasoperacionestendremos:
P= [
+ 4 + 4 − 50] − ( + 10)( − 6)( + 8)( − 4)
P= [
+ 4 − 46] − [(
+ 4 − 60)(
+ 4 − 32)]seau=x2+4xtendremos
P= [u − 46] − [(u − 60)(u − 32)]= u − 92u + 2116 − (u − 92u + 1920)
P=√196 = 14sustituyendoyencontrandolosvaloresdey
y2–5y–P=0y2–5y–14=0(y–7)(y+2)=0y=7;y=–2
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49
EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°3
I-Resolverlassiguientesecuaciones
a) (x–5)(x–7)(x+6)(x+4)=504Rta.x=3,–2,8,–7
b) (x–7)(x–3)(x+5)(x+1)=1680
Rta.x= 9, 7,1  24i c) (x+9)(x–3)(x–7)(x+5)=385 Rta.x= 2, 4, 1  71 3 3  47i
d) x(2x+1)(x–2)(2x–3)=63Rta.x= 3,  ,
2
4
7 1  65
e) (2x–7)(x2–9)(2x+5)=91Rta.x= 4,  ,
2
4
f) 8 x
g)
3
2n
 8x

3
2n
 63
Rta.
x 2  2 x1  8
h) 9  x
4
 10 x 2 x  22 n ,
1 1
Rta.x= ,  4 2
1
Rta.x=  , 1 3
1
Rta.x= 4, 4
j) 6 x 4  7 x 4  2 x 4 4 1
Rta.x= , 9 4
i) 2 x  2 x
3

1
1
2
 5

1
1
22n
II-Determinekdetalmodoquelasraícesseaniguales:
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50
GUÍAN°4SISTEMASDEECUACIONES
Introducción.
En esta guía estudiaremos la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales y
cuadráticasusandovariablesauxiliaresasícomolosmétodosusadosessuresolución.
La ecuación Ax2 +Bxy +Cy 2 +Dx+Ey +F = 0 representaunaecuacióncuadrática
generaldedosvariablesxey,dondelostérminos:Ax2,Bxy,Cy 2 sondesegundogrado. Con A,
B,Cnotodos0.Lostérminos:Dx,Ey sondeprimergrado.Yel términoFes unaconstante.
Indicadoresdelogros
 Conocealgunoscasosespecialesdelossistemasdeecuacionesylosmétodospara
resolverlos.
 Resuelveejercicioshaciendousodevariablesauxiliaresylosmétodosdesolución
desistemasdeecuaciones.
 Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos
compañerosdeclasesylaguíaevaluativa.
SISTEMASFORMADOSPORECUACIONESDELAFORMAAX2+BXY+CY2=F
Ax2+Bxy+Cy 2= F
Ex2+Gxy+Hy 2= K
Sedacuandoambasecuacionescarecendelostérminosde1ergrado,existendosformas
deresolverlas
Método1:Amplificarparaeliminarlasconstantes(FyK).Resolverlaecuaciónconla
fórmulacuadráticaparaunadelasincógnitas.Secompletalasustitucióndelarelación
obtenidaparadeterminarlassolucionesdelsistema.
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51
Método2: Hacery=mx enambas ecuaciones, lasque quedancon incógnitasm ex;pero x2
factorizableconlocualseeliminadividiendotérminoatérminoambasecuaciones.Seobtiene
unaecuaciónenmquepuededespejarse.
Sehacensucesivamentelassustitucionesparaencontrarlassolucionesdelsistema.
EJEMPLONº1
Resolveressistema
−
+
+2 −
1ermétodo:eliminareltérmino
independiente(1)–3(2)
= 3(1)
= 1(2)
2dométodo:sustituiry=mxen(1)y(2)
x2–mx+m2x2=3∴ x =
x − xy + y = 3
–3x2–6xy+3y2=-3
−2x − 7xy + 4y = 0por(-1)
2x + 7xy − 4y = 0
(2x–y)(x+4y)=0
y=2x(4)y=− (5)
sustituir(4)en(1)
x − x(2x) + (2x) = 3
x2=1
x=±1y=±2
ahora(5)en(1)tendremos
x=± √7y=∓ √7
x2+2mx2–m2x2=1∴ x =
igualandox2,resulta
3
1
=
1−m+m
1 + 2m − m
ordenandoyreduciendotérminos
semejantestendremos
4m2–7m–2=0
Dondem=2ym=-1/4
Luegox=±1yx=± √7
dondey=mxnosda
y=±2yy=∓ √7
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52
SISTEMASSIMÉTRICOS
Las ecuaciones son simétricas cuandopodemosintercambiarxpor y y el sistemano se
altera
Ejemplox+y=5;x − xy + y = 3,ambassonsimétricos,pararesolverlousaremosel
métododesustituirx=u+vy=u–v
EJEMPLONº2
Resolveressistema
+
+
− − = 2(1)
+ = 5(2)
SOLUCIÓN:comolossistemassonsimétricosprocedemosx=u+vyy=u–v
(u+v)2+(u–v)2–(u+v)–(u–v)=2
(u+v)(u–v)+(u+v)+(u–v)=5despuésdesimplificarresulta
u2+v2–u=1(3)
u2–v2+2u=5(4)sumando(3)y(4)
2u2+u–6=0dondeu=-2y3/2sustituyendou=-2en(3)o(4),obtenemosv=±√5 y
parau=3/2obtenemosv=± ,luegolassolucionesson:
U
-2
-2
3/2
3/2
V
√5 −√5 1/2
-1/2
X=U+V
−2 + √5 −2 − √5 2
1
Y=U–V
−2 − √5 −2 + √5 1
2
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53
EJEMPLONº3
Sesabequeelsistemadadoacontinuacióntieneunacantidadfinitadesolucionesreales.
Mostrarquetalcantidadtienequeserpar.
(y2+6)(x–1)=y(x2+1)
(x2+6)(y–1)=x(y2+1)
SOLUCIÓN:
El sistema es simétrico respecto de las incógnitas x, y, esto es, si intercambiamos x e y
obtenemoslasmismasecuaciones.Comoconsecuencia,si(x,y)esunasolucióndelsistema,
tambiénloes(y,x),oseaque,silosvaloresdexeysondistintos,lassolucionesvienenpor
pares.Enelcasoenxseaigualay,lasecuacionessereducena(x2+6)(x–1)=x(x2+1),
quedalaecuacióndesegundogradox2-5x+6=0,cuyasraícesson2y3.Entonceshay
dossolucionesmásconvaloresigualesdexey,queson(2,2)y(3,3).
SISTEMASUMAYPRODUCTODERAICES,USODEVARIABLESAUXILIARES
Usaremos este método cuando el sistema se puede llevar a la forma x1 + x2 = -b/a y
x1x2=c/a, donde a=1 propiedades de las raíces cuadráticas donde x2+bx+c=0, en
ocasionesusaremosvariablesauxiliares.
EJEMPLONº4
Resolver
− = 5(1)
= −4(2)
SOLUCIÓN:Existen3métodospararesolverelsistema
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54
Método1:Representandoz=−ynos
queda
+
Método2:despejandoxen(1)y
sustituyendoen(2)nosqueda
= 5
dondeb=−(x+z)yc=xz
= 4
Formandolaecuacióncuadrática
tendremosx2−5x+4=0
x=y+5
(y+5)y=−4
y2+5y+4=0
(x–4)(x–1)=0
(y+4)(y+1)=0
x=4;x=1
y=−4;y=−1
z=1;z=4
x=4;x=1
y=−1;y=−4
Método3:completemoselcuadradode(1)
(x–y)2=52→x2–2xy+y2=25(3)
(3)+4(2)x2–2xy+y2=25
.4xy=−16
x2+2xy+y2=9→x+y=±3(4)con(1)y(4)formamos
− = 5
+ = 3
− = 5
Obteniendolassolucionesde(4,−1)y(1,−4)
+ = −3
EJEMPLONº5
Resolver
+ − ( + ) = 48(1)
+ +
= 31(2)
SOLUCIÓN:
Usandovariablesauxiliares
(3)z=x+y→z2=x2+2xy+y2(5)
(4)u=xy
Sustituyendo(4)en(5)tendremosz2=x2+2u+y2→z2–2u=x2+y2(6)
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55
Perode(1)y(2)tenemos
(7)x2+y2–z=48→sustituyendo(6)en(7)z2–2u–z=48(9)
(8)z+u=31→u=31–z(10)
Sustituimos(10)en(9)obtenemos
z2–2(31–z)–z=48→z2+z–110=0
z=10;z=-11
u=21;u=42sustituyendolosvaloresen(3)y(4)
+
= 10
= 21
+
= −11
= 42
Quenosdaránlossistemascuadráticosx2–10x+21=0(11)yx2+11x+42=0(12)
Resolviendo(11)tendremos(7,3)y(3,7)
Resolviendo(12)tendremos
±√
, 10 − (
±√
)
EJEMPLONº6
Resolver
+ = 5(1)
+ = 13(2)
SOLUCIÓN:
Elevemosalcuadrado(1)yrestamos(2)
x2+2xy+y2–x2–y2=25–13→2xy=12→xy=6(3)
usandolapropiedaddesumayproductosderaícescon(1)y(3)tendremos
x2–5x+6=0(x-3)(x-2)=0
x=3;x=2
y=2;y=3quesonlassoluciones.
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56
EJEMPLONº7
Resolver
+ = 25(1)
= 12(2)
SOLUCIÓN:
De(1)+2(2)tendremos
x2+y2+2xy=25+24
(x+y)2=49
x+y=±7deaquíobtenemos
+
=7
→x2–7x+12=0(3)
= 12
+
= −7
→x2+7x+12=0(4)
= 12
Resolviendo(3)y(4)lassolucionesson:(3,4),(4,3)y(-3,-4),(-4,-3)
EJEMPLONº8
Resolver
+ = (1)
+ = (2)
SOLUCIÓN:
Elevamosalcubo(1):x3+3x2y+3xy2+y3=a3(3)
Ahora(3)–(2):3x2y+3xy2=a3-b3→3xy(x+y)=a3-b3(4)
Sustituyendo(1)en(4):3xya=a3-b3→xy=
x2–ax+
donde,x=
(a≠0)
=0
a± a −
(
)
yy=
a∓ a −
(
)
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57
CASOENQUEUNAECUACIONSEPUEDEFACTORIZARYLAOTRAESUNFACTOR
Enestecasoelmétodoesfactorizarlaecuaciónysesustituyeelvalordelaotraecuación
EJEMPLONº9
Resolverx3+y 3 =
28
x+y
4
=
nosayudamosconlafactorizaciónx3+y 3=(x+y)(x2–xy+y2)quereemplazando
obtenemoselnuevosistemax2−xy+y 2=7yx+y
=
4
elcualresolvemoscomoenelejemplo5óporsustituciónynosdará(1,3)(3,1)
EJEMPLONº10
Sixeysonnúmerosrealestalesquex+y=1,x3+y3=4determine:
a)x2+y2
b)x5+y5
SOLUCIÓN.
a)Dex+y=1seobtieneelevándoloalcuadradox2+2xy+y2=1(1)pero
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=4→x2−xy+y2=4(2)dedonderestando(2)de(1)nos
queda3xy=−3→xy=−1conloquex2+1+y2=4→x2+y2=3
b)(x2+y2)(x3+y3)=3.4→x5+x2y3+x3y2+y5=12→x5+y5+x2y2(y+x)=12→
x5+y5+(-1)2(1)=12→x5+y5=11
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58
EJEMPLONº11
Six2+xy+x=14yy2+xy+y=28,determineentonceselvalornuméricodex+y.
SOLUCIÓN:
Sumandolasdosecuacionessetienex2+2xy+y2+x+y=42;donde
(x+y)2+(x+y)−42=0→(x+y−6)(x+y+7)=0
Así,x+y=6obienx+y=−7.
EJEMPLONº12
Dadoquex2+y2=14yxy=7,encuentreelvalordex2–y2
SOLUCIÓN:
 x 2  y 2  14
 x 2  y 2  14
→
,restandoambasecuacionesseobtiene


2xy  14
xy  7


x2−2xy+y2=0→(x–y)2=0→x–y=0→x=y→x2–y2=0
EJEMPLONº13
Cuantasternasx;y;zdenúmerosrealessatisfacenelsistema
x(x+y+z)=26
y(x+y+z)=27
z(x+y+z)=28
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) ninguna
SOLUCIÓN:Larespuestaes(b).
Sumandolastresecuacionestenemosque(x+y+z)2=81,loqueimplicaquex+y+z=9,
delcualsedesprendenlassolucionesx=26/9;y=27/9;z=28/9yx=26/9;y=27/9;
z=28/9
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59
SISTEMADEECUACIONES,MÉTODOCAMBIODEVARIABLE
Se usa para pasar un sistema de ecuaciones dado a un sistema de ecuaciones conocido
dondesehacemásfácilderesolver
EJEMPLONº14
+ = 7(1)
− = 4(2)
Resolver
SOLUCIÓN:
Seau= yv= sustituyendotendremoselnuevosistema
5u  4v  7 (3)

7u  6v  4 (4)
3(3)+2(4):15u+12v+14u–12v=21+8→29u=29→u=1
Sustituyendouen(3)→4v=7–5(1)→v= luegox=1;y=2queeslasolución.
EJEMPLONº15
Resolver
2
+
3
+ 3√ − 5 = 16(1)
+ − 4√ − 5 = 7(2)
SOLUCIÓN:
Seanu=
+ v=√ − 5sustituyendotendremoselnuevosistema
2u + 3v = 16(3)
4(3)+3(4):8u+12v+9u–12v=64+21→17u=85→u=5;
3u − 4v = 7(4)
v=2→x–5=4→x=9x+y=25→y=25–9→y=16solución(9,16).
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60
EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°4
I–Resuelvalossiguientessistemasdeecuaciones
3 x  2 y  7
1- 
xy  20

 x  y  7  xy
7- 
2
2
 x  y  133  xy
5 x  y  3
2-  2
2
 y  6 x  25
2
2
3 x  5 y  7
8- 
2
3 xy  4 y  2
4 x  3 y  1
3- 
2
12 xy  13 y  25
3 x 2  165  16 xy
9- 
2
7 xy  3 y  132
 x 4  x 2 y 2  y 4  931
4-  2
2
 x  xy  y  19
 x 4  y 4  272
10- 
x  y  2
 x 2  xy  y 2  84
5- 
 x  xy  y  6
 x 5  y 5  992
11- 
x  y  2
 x  xy  y  65
6- 
2
2
 x  xy  y  2275
Soluciones.
 8 15 
1-  5, 4  ,   ,  
 3 2
2-  2, 7  ,  
3- 1,1 ,  
4-  5, 3 ,  3, 5 
5-  8, 2  ,  2,8 
6-  45,5  ,  5, 45
7-  9,4  ,  4,9 
8-  2, 1 ,  3, 2 
9-  5, 3  ,  3, 4 

 8 97 
, 
 19 19 
10-  4, 2 ,  2, 4  , 1  15i, 1  15i

 53 25 
, 
 88 22 


11-  4, 2 ,  2, 4  , 1  11i, 1  11i GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA
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61
GUÍAN°5ECUACIONESIRRACIONALES
Introducción.
En estaguíaestudiaremoslasecuacionesirracionales,además,conoceremoslosmétodos
pararesolverecuacionesirracionalesyotrostiposdeejerciciosqueposeenraícesextrañas.
Indicadoresdelogros
 Conocelosmétodospararesolverecuacionesirracionales.
 Resuelveejerciciosdeecuacionesirracionales.
 Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos
compañerosdeclasesylaguíaevaluativa.
ECUACIONESIRRACIONALES
Pararesolverecuacionesirracionalesprocedemosconelsiguientemétodo:
1- Aislarelradical
2- Elevaralapotenciadelíndicedelaraíz
3- Resolverlaecuaciónresultante
4- Silacantidadsubradicaltiendealinfinito,seprocedeadesarrollardemaneraque
sebuscaelcomportamientodelaecuación,hastaencontrarlaraícesosoluciones.
EJEMPLONº1
Resolver√ + 2 −
= −4
SOLUCIÓN:
√ +2−
= −4→ √ + 2
= ( − 4) → + 2 = − 8 + 16
− 9 + 14 = 0 →(x–7)(x–2)=0→x=7;x=2
Dondealsustituirenlaecuación√ + 2 −
= −4observaremosquelaúnicasolución
esx=7,yaquex=2nocumpleconlaigualdad.
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62
EJEMPLONº2
Resolver
+ 4 + 16 + ⋯ + √4
+ 3 − √ = 1
SOLUCIÓN:
+ 4 + 16 + ⋯ + √4
+ 3 = 1 + √ +3
+ 4 + 16 + ⋯ + √4
=(1 + √ ) + 4 + 16 + ⋯ + √4
+ 3 = 1 + 2√ + 4 + 16 + ⋯ + √4
+ 3 = 1 + 2√ +3
4 + 16 + ⋯ + √4
4 + 16 + ⋯ + √4
= (1 + 2√ ) + 3 = 1 + 2 √ + 4 16 + ⋯ + √4
+ 3 = 1 + 2 √ ⋮=⋮
√4
√4
4
+ 3 = 1 + 2 √ +3
= 1+2 √
+ 3 = 1 + 22 √ + 4
2 √ = 1
=
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63
EJEMPLONº3
Resolver ( + 1) − 3 + 2√ = √ − 1
SOLUCIÓN:
( + 1) − 3 + 2√ = √ − 1 x+1– 3 + 2√ =
3 + 2√
− 2√ + 1
= 2√
3x+2√ =4x
(2√ )2=(x)2
4x–x2=0
x=0,x=4
Dondelasoluciónesx=4,yaquex=0nocumplelaigualdad.
EJEMPLONº4
Resolver
√
=x+3
SOLUCIÓN:
√x − 7x + 5x − x + 6=x2+3x
√x − 7x + 5x − x + 6 =(x2+3x)2
x − 7x + 5x − x + 6=x4+6x3+9x2
−x − 4x − x + 6 = 0(–1)
x + 4x + x − 6 = 0,pordivisión
sintética
P(1)=(1)3+4(1)2+1–6=0
queesunfactor
x + 4x + x − 6 = 0
(x–1)(x2+5x+6)=0
(x-1)(x+3)(x+2)=0
x=1,x=–3,x=–2
Dondealcomprobarenlaecuaciónlas
solucionesson:x=–3yx=–2
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64
EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°5
I-Resuelvalassiguientesecuacionesirracionales
x x  x x 
1)
3
x
2 x x
3
x
2
7
 22
x
3
3
2) 5
3) x 2  2 x2  6 x  24  6 x
4) 3 x 2  4 x  3 x 2  16 x  21  16 x
3x2  8 x  1  8


 x
5) 7 x 
x
 x

2
6) 2x2 9x 4 3 2x 1  2x2 21x 11
7)
2 x 2  5 x  7  3( x 2  7 x  6)  7 x 2  6 x  1  0 8)
x
1 x
1

2 1 x
x
6
Soluciones.
1.x=
25
16
2.x= 27,
7 8  415
5.x= 5,  ,
3
6
25
147
3.x= 2, 8, 3  3 5 1
6.x= 5, 2
7.x=1, 9, 
18
5
5 2  70
4.x= 3,  ,
3
3
8.x=
9 4
, 13 13
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65
VII-REFLEXIONESALALUZDEUNAPUESTAENPRÁCTICADELASGUÍAS
En los cursos que he impartido para preparar a jóvenes que presentarán el examen de
admisión de la UNI, he podido percibir que la temática abordada es la misma que los
programasdesecundaria,eneláreadematemática,sin embargoelniveldeexigenciadel
examencontieneunmayorgradodeprofundidaddelqueseabordaduranteelestudiode
secundaria;dondemehevistoobligadoadarpropiedades,teoremasyaxiomasquenose
encuentran en el currículum educativo de Nicaragua, por ejemplo: encontrar cualquier
términoeneldesarrollodelbinomiodeNewton.
Como docente he tratado de incluir algunos temas que no están en los programas de
matemáticasparaeducaciónbásicaymedia,ymisalumnosaliniciolovenextraño,yaque
algunoscomparansuscuadernosconsusamigosdeotroscentrosdeestudiosenelmismo
gradoydicenqueesonolohanvisto,siemprecumpliendoconelprograma.
Enelaño2010vinoamiAcademiadeMatemática,Lic.AmandaSalazarPereira(AMAS),un
estudiante de la Escuela Sabatina de Jóvenes Talento de Nicaragua con ejercicios que le
orientaron como tarea; eran de congruencia y teoría de números; lo curioso es que yo
acababaderecibircongruenciaenelquintoañodemicarreradeMatemática.Mellamóla
atención que un niño de 12 años estuviera recibiendo estos contenidos, y comencé a
impartirle clases y profundizar en su temática; ya que encontré en la clase de álgebra
ejerciciosquenuncahabíavistodurantemisestudiossecundariosyuniversitarios,esmás
me dió un ejercicio de álgebra que me llevó un año en poder resolverlo y encontrar
ejercicios similares, fue entonces que indagué y conocí más de las Olimpiadas de
MatemáticasdelCaribe,Mexicanas,Argentinas,Chilenas,Españolas,internacionales,etc.
HoyendíaélJovenseencuentraen3ernivelenlaEscuelaSabatinadeJóvenesTalentode
Nicaragua,son4niveles.Yestoyayudándolesa6niñosmásdedichaEscuela.
El30deseptiembredelaño2011sellevóacabounacapacitaciónadocentesdesecundaria
deChinandega,eneláreadeMatemática,porpartedelaAcademiadeMatemáticasAMAS,
implementando la Guía N° 2 de esta monografía y dejando un precedente de las
aplicaciones de estos contenidos y su importancia en las olimpiadas matemáticas
nacionaleseinternacionales.
Por esta razón en esta monografía incluimos parte de la temática que se aborda en el
álgebraparalasolimpiadasinternacionalesdematemáticas.
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VIII-CONCLUSIONES
Conlarealizacióndeestedocumentoyenreferenciaasutemáticaabordada:
1. Sedisponedeun conjuntodeguíasquepermitenresolver ejercicioscomplejosde
matemática de secundaria no abordados en el programa educativo de educación
básicaymediadeNicaragua.
2. Se trata de impulsar una nueva temática a evaluar a nivel de Nicaragua y sus
departamentos en las Olimpiadas de Matemática, como se hace en la Olimpiadas
delCaribeyLatinoamérica.
3. Se proponen métodos, no tradicionales, para la resolución de algunos ejercicios
matemáticos.
4. Se fortalece la enseñanza – aprendizaje de las matemáticas en el aula de clase de
educaciónmedia.
5. Se enriquece el conocimiento de los docentes que hagan uso de este tipo de
ejercicioscomplejos.
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IX-RECOMENDACIONES
1. Quelosdocentesdeeducaciónmedia,introduzcanensusclasesdematemáticaeste
tipodeejercicioscomplejos.
2. QuelasautoridadesdelMinisteriodeEducaciónadecuenelcurrículodeeducación,
aunnivelmásprofundodelconocimientomatemático.
3. Que los estudiantes practiquen este tipo de ejercicios y no se queden solo con los
métodosderesolucióntradicionalesimpartidosporsuprofesorenelauladeclase.
4. Que se implemente capacitaciones para docentes con el fin de llevar hasta sus
conocimientos nuevos métodos de resolución y mejorar la enseñanza de las
matemáticasaniveldesecundaria.
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XI-ANEXOS