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UNIVERSIDADNACIONALAUTÓNOMADENICARAGUA-LEÓN FACULTADDECIENCIASDELAEDUCACIÓNYHUMANIDADES DEPARTAMENTODEMATEMÁTICA “GUÍASDIDÁCTICASPARARESOLVERPROBLEMASCOMPLEJOSDELASMATEMÁTICASDE SECUNDARIA” MONOGRAFIA Presentadapor: “PROF.ERNESTORAMÓNBERRÍOSSALAZAR” Previoparaoptaraltítulode: “LICENCIADOENCIENCIASDELAEDUCACIÓN,MENCIÓNMATEMÁTICAEDUCATIVAY COMPUTACIÓN” TUTORES:MSC.MIGUELANGELCALDERATORRES MSC.PABLOANTONIODUARTE León,Nicaragua,C.A. 2011. DEDICATORIA MiTrabajoMonográficolodedicoa: ADios,seromnipotentecreadordetodoconocimientoydetodafuentedesabiduría. A mi mamá, Lic. Felicitas Amanda Salazar Pereira (q.e.p.d.) y hermano MSc. Antonio Boanerge Berrios Salazar (q.e.p.d.), a quienes les otorgo el honor de ser mi fuente de inspiración,ejemploaseguir;sincuyoamoryapoyonohubiesesidoposibleculminarmi preparaciónyalcanzaresteproyecto. Amihijo,esposaymishermanosporsuapoyoincondicional. EspecialmenteaMayradel Socorro ReyesdeChávez,suesposoAlberto Francisco Chávez ReyesyaRosaHaydeeReyesquesinsuapoyonohubiesellegadohastaaquí,queelSeñor lesbendigayderramemuchasbendicionessobreellos. AGRADECIMIENTO Miagradecimientoa: Dios,porpermitirmeculminarconlamonografíayregalarmelavoluntaddecontinuaren miluchaporsercadadíamejor. AlosProfesoresMiguelCalderayPabloDuarte,mistutores,porsuapoyoydedicaciónen mitrabajo,porcontribuiraléxitodeestamonografía. AMayradelSocorroReyesdeChávez,suesposoAlbertoFranciscoChávezReyesyaRosa Haydee Reyes por los consejos y apoyo después del deceso de mi mamá y hermano, les estoyinfinitamenteagradecidos,queel Señorlesbendigayderrame muchasbendiciones sobreellos. AmitíoFernandoRamónSalazarPereirayhermanoLenínRamónBerríosSalazarporsu apoyoenlacapacitaciónadocentesdeMatemáticasenChinandega. INDICE Contenidos I II III IV V VI 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8 6.2.9 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.4. 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.5 VII VIII IX X XI Introducción________________________________________________________________________ Págs. 1 Antecedentes_______________________________________________________________________ 2 Justificación_________________________________________________________________________ 4 Objetivos__________________________________________________________________________ 5 MarcoTeórico______________________________________________________________________ 6 Propuestadeguíasdidácticas___________________________________________________ 14 o Guía N 1: Propiedades de exponentes y radicales, valor numérico y expresionesalgebraicasysusoperaciones_____________________________________ 16 GuíaNo2:Métodosdefactorización_____________________________________________ 26 Factorcomún_____________________________________________________________________ 26 Métodosdeidentidades__________________________________________________________ 28 MétododeAspas________________________________________________________________ 28 Métodosdereducciónadiferenciadecuadrados______________________________ 31 Métodosdesumasyrestas________________________________________________ 32 Métodosdecambiosdevariable________________________________________________ 32 Métodosdefactorizaciónrecíproca_____________________________________________ 33 Métodosdefactorizaciónsimétricayalternada________________________________ 34 Métododefactorizaciónporevaluación________________________________________ 36 GuíaNo3:EcuaciónCuadrática________________________________________ 38 Casoparticulardelaecuacióncuadrática______________________________________ 43 Ecuacionesbicuadráticas,diversas,usodecambiodevariable______________ 44 FórmuladeVieta________________________________________________________________ 46 GuíaNo4:Sistemasdeecuaciones______________________________________________ 51 2 2 SistemasformadoporecuacionesdelaformaAX +BXY+CY =F_______ 51 Sistemassimétricos______________________________________________________________ 53 Sistemasumayproductoderaíces,usodevariablesauxiliares______________ 54 Casoenqueunaecuaciónsepuedefactorizarylaotraesunfactor_________ 58 Sistemadeecuaciones,métodoscambiodevariable__________________________ 60 GuíaNo5:Ecuacionesirracionales_______________________________________________ 62 Reflexionesalaluzdeunapuestaenprácticadelasguías____________________ 66 Conclusiones_______________________________________________________________ 67 Recomendaciones_______________________________________________________________ 68 Bibliografía_______________________________________________________________ 69 Anexos______________________________________________________________ 71 I-INTRODUCCIÓN Para iniciar a escribir una monografía es necesario estar consientes de la necesidad que tendrá su contenido ante la resolución de un determinado problema. Después de largo tiempodepreparación,presentoestematerialconunatemáticadegranimportanciaenla enseñanza-aprendizajedealgunostemasypropiedadesdelamatemática. Pongoensusmanoselpresentedocumentoconalgunasguíasdidácticasqueayudarána resolver ejercicios complejos delas matemáticas de secundaria, en ella encontramos una grangamadeejemplosyejerciciospropuestosquehacenreferenciaaalgunaspropiedades elementales,porlamayoríaconocidas,aplicándolasdemaneracomplejayconmétodosde resoluciónsencilla. Cada guía presente en este documento está basada en libros de textos de gran seriedad, entre ellos tenemos: álgebra manual de preparación pre-universitaria, álgebra editores Arrayan, reconocidos por expertos en la materia, con muchos años de experiencia, que llevanloscontenidosexpuestosaunnivelmásprofundo. Estamos en presencia de un material que permite profundizar en algunos contenidos del álgebra(ecuaciones,potenciaciónyradicales),sinolvidarqueestaráenmanos,nosólode docentes, sinotambiéndealgunosdiscentesinteresadosyqueanteesasituación se vela necesidaddeunaexplicaciónconlenguajematemáticoentendibleparaelinteresadoenla materia. Cadaguíaestádestinadaaserpartedelplandeclasedecualquierdocenteenelmomento que desee utilizarlo como banco de ejercicios, tratando de llevar algo nuevo y de gran utilidadparasusestudiantes. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 1 II-ANTECEDENTES: En nuestropaís,según elprogramadeestudiodel áreadematemática,losestudiantes se introducen al estudio del álgebra en el octavo grado en educación secundaria, comprendiendoduranteesteylosposterioresgradoslasiguientetemporalización: Grado Tiemposugerido(horasclase) Séptimo O/140 Octavo 42/140 Noveno 36/140 Décimo 44/140 undécimo 42/140 TOTAL 164/700 Estudiodeálgebraysustemasafineseneducaciónsecundaria Como podemos observar en el cuadro anterior de un total de 700 horas clase, implementadasparaeláreadematemáticadurantelaeducaciónsecundariasolamente164 de ese total se destinan al estudio del álgebra, es decir, nuestros conocimientos en este campo del pensamiento numérico son limitados, no sólo por el tiempo dedicado a su estudio sino también por la profundidad con la que se abarcan estos contenidos, quedándose en operaciones sencillas, al producto notable, sistemas de ecuaciones, entre otros;sinmencionarquegeneralmenteusamosmétodostradicionales,yaseaportemora otrosmétodosmáscomplejosoporlasencillacausadenocontarconunmaterialdidáctico quenosbrindediversidaddeejerciciosytécnicassimplesparasuresolución. El programa de educación de secundaria abarca la siguiente temática en factorización: Factor común, factorización de trinomios de la forma ax2 + bx +c, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y suma y diferencia de cubos; con respecto a las ecuaciones:ecuacioneslineales,cuadráticasyconradicales;yenrelaciónalossistemasde ecuacionesse abordansolamentelossistemaslinealescon2 y3 incógnitas,paraesto los GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 2 métodosderesoluciónestudiadosson:sustitución,igualación,reducción,Kramer,Sarrus, menoresycofactoresyGauss. Siguiendoporloscamposuniversitarios,porejemploenlaUNAN-León,elálgebraaparece con ecuaciones lineales, cuadráticas, entre otras; y a ser estudiada en un corto periodo durante el curso de matemática básica en correspondencia con la carrera a la que el estudiantehaaspirado,entodocasonomuchasvecesnosencontramosantelaresolución deejerciciosmeramentecomplejos. Hasta el momento en nuestra Facultad son muchos los proyectos de investigación orientados al campo de las guías metodológicas, sin embargo ninguna en particular ha hechomenciónaproblemascomplejosyaproponerloscomoopciónparalaenseñanzayel aprendizajeennuestrasaulasdeclase. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 3 III-JUSTIFICACIÓN Esbien sabidoquelaeducación denuestropaís,enrelaciónconpaísesdesarrollados,es sumamente deficiente, sin embargo hacer el esfuerzo por cambiar esa situación debe ser una tarea de todos. Además, como docentes de matemática debemos emprender la lucha porlabúsquedadenuevasmetodologíaseducativasquefortalezcanlaeducación. Mi visión de este documento radica en la mejora de la calidad de estudio de las matemáticas en la educación media, implementando ejercicios que estimulen el pensamiento, creatividad y razonamiento matemático, dejando atrás los métodos tradicionales. Medianteelusodeestematerialsepodránbeneficiartantoadocentesyestudiantes,dando unagrangamadeejerciciosdematemáticasparalaprácticaeducativaennuestrasaulasde clase,ytambiénquenuestropaíspuedaserrepresentadoanivelinternacional,dandouna mejorperspectivadesucalidadeducativa. Esta monografíaesunarecopilación deloscasosquenose abordanen el programade secundaria del área de matemática en la educación media y que si lo abordan en la EscueladeJóvenesTalentosdeNicaraguayotrospaíses,yademássetomanencuentaen lasolimpiadasinternacionalesdematemática. En vista de lo anteriormente expuesto, en las presentes “Guías didácticas para resolver problemascomplejosdelasmatemáticasdesecundaria”,seproponenejerciciosresueltos más complejos, tratando de llegar a los docentes para que transmitan este tipo de ejerciciosasusestudiantes. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 4 IV-OBJETIVOS OBJETIVOGENERAL: Proponer guías didácticas que permitan resolver ejercicios complejos de matemática de secundaria no abordados en los programas establecidos por el Ministerio de Educación (MINED)conmétodosfácilesymuypocostradicionales. OBJETIVOSESPECÍFICOS: Presentar una gran variedad de ejercicios resueltos de valor numérico, factorización,ecuaciones,sistemasdeecuaciones,potenciaciónyradicalesparala práctica y el desarrollo de la enseñanza-aprendizaje de los temas que se desarrollaran. Brindar metodologías para resolver ejercicios con: valor numérico, factorización, ecuaciones,sistemasdeecuaciones,potenciaciónyradicales. Despertar el razonamiento lógico y creativo de los estudiantes a través de la resolucióndeejerciciosmatemáticoscomplejosconprocedimientossencillos. Profundizar en el estudio de propiedades y teoremas fundamentales propios de temasafinesalálgebraquesonevaluadosenolimpiadasanivelinternacionalysus derivados. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 5 V-MARCOTEÓRICO Álgebra:“esla ramadela matemáticaqueestudiala cantidadconsideradadel modo más generalposible”,AurelioBaldor(álgebraA.Baldor,pág.5) SegúnCarreñoC.X.,yCruzS.X.,(Álgebra,Pág.11)quienesnosdefinen:términoalgebraico, expresiónalgebraica,binomio,trinomioypolinomioscomo: “Sellamatérmino(algebraico)aunconjuntodenúmerosyletrasqueserelacionanentresí pormediodelamultiplicacióny/odivisión.” “SellamaEXPRESIÓNALGEBRAICAacualquiersumaorestadetérminosalgebraicos.Sila expresión tiene dos términos, entonces es un BINOMIO; si tiene tres términos se llama TRINOMIO; si tiene cuatroo más, hablamos de POLINOMIOS. (El término POLINOMIO se puedeusarenformageneralparacualquierexpresiónalgebraica.)” Sin embargo las expresiones algebraicas pueden estar dentro de signos radicales y tener exponentes,asítambiénuntérminoalgebraicotienesuspartescomoloencontramosenel libro Fórmulas Matemáticas pág. 55 y en el libro álgebra manual de preparación preuniversitariapágs.14y15. Además AurelioBaldor (Álgebra,Pág. 23) nosdefinevalor numérico:“Valornuméricode una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricosdadosyefectuardespuéslasoperacionesindicadas.” En las matemáticas no sólo existen medios didácticos con los métodos numéricos para resolver un ejercicio, también encontramos material encausado a la forma adecuada de transmitiralosestudiantesdichosprocedimientos;enellibroparaelmaestromatemáticas secundaria,págs.12–14,secitanlosprópositosdelestudio,laenseñanzayelaprendizaje delasmatemáticasenlaeducaciónsecundariaqueconcistenen:“Desarrollarhabilidades, PromoveractitudespositivasyAdquirirconocimientosmatemáticos” GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 6 Támbien hace una reflexión de la importancia del estudio y nos dice: ” Estos propósitos forman untodo enrelacióndialéctica,esdecir,queel avanceo retroceso deunodeellos repercute,dealgunamanera,enotro.” “Enlaeduciónsecundariadebuscadesarrollas,entreotras: La habilidad de calcular, que consiste en establecer relaciones entre las cifras o términosdeunaoperaciónodeunaecuaciónparaproduciroverificarresultados. Lahabilidadde inferir,queserefierealaposibilidaddeestablecerrelacionesentre los datos explícitos e implícitos que aparecen en un texto, una figura geométrica, unatabla,gráficaodiagrama,pararesolverunproblema. La habilidad de comunicar, que implica utilizar la simbología y los conceptos matemáticosparainterpretarytransmitirinformacióncualitativaycuantitativa. Lahabilidadde medir,queserefiereaestablecerrelacionesentremagnitudespara calcularlongitudes,superficies,volúmenes,masa,etcétera. La habilidad de imaginar, que implica el trabajo mental de idear trazos, formas y transformacionesgeométricasplanasyespaciales. La habilidad de estimar, que se refiere a encontrar resultados aproximados de ciertasmedidas,deoperaciones,ecuacionesyproblemas. La habilidad de generalizar, que implica el descubrir regularidades, reconocer patronesyformularprocedimientosyresultados. La habilidad para deducir, que se refiere a establecer hipótesis y encadenar razonamientosparademostrarteoremassencillos.” Conrespectoapromoveractitudespositivasencontramos: “Los valores de las personas se expresan de diversas maneras y por distintos medios; lo que hacemos, decimos, sentimos y pensamos refleja de alguna manera los valores que hemosasumidoenlavida,estasexpresionessemanifiestanpormediodelasactitudes. Por actitud entendemos la conducta que se manifiesta de manera espontánea. En este sentidonosinteresaquelosestudiantesmuestreninterésantelasmatemáticas,paraello, enydesdelaclasedematemáticasesnecesariofomentaractitudescomo: GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 7 Lacolaboración,queimplicaasumirlaresponsabilidaddeuntrabajoenequipo. Elrespetoalexpresarideasyescucharlasdelosdemás. Lainvestigación,quesignificabuscaryverificardiferentesestrategiaspararesolver problemas. La perseverancia la entendemos como el llevar a buen término el trabajo aun cuandolosresultadosnoseanlosóptimos. La autonomía al asumir la responsabilidad de la validez de los procedimientos y resultados.” Yporúltimoenadquirirconocimientosmatemáticosencontramos: “LostemasmatemáticosqueseestudianenlaeducaciónsecundariasepresentanenelPlan yprogramasdeestudio.Educaciónbásica.Secundariaagrupadosencincoáreas: Aritmética Álgebra Geometría(eneltercergradoseagregatrigonometría) Presentaciónytratamientodelainformación Nocionesdeprobabilidad” Lo más importante en el estudio de las matemáticas es el papel que juega el resolver problemas y esta la lucha por cambiar la forma tradicional en que se imparte, como lo encotramosenellibroparaelmaestromatemáticassecundaria,págs.15-17. “Con la propuestaactual seintentasuperar el estilo docentefuertementearraigado en el quelosproblemassonellugardeaplicacióndelosprocedimientosytécnicasaprendidas previamente,esdecir,unestilodocenteenelqueelprofesorresuelveproblemasfrentea losalumnosyéstossólotratandereproducirloquehaceelprofesor. Durante mucho tiempo imperó la idea que el aprendizaje de las matemáticas se logra proporcionando a los alumnos primero definiciones y procedimientos de problemas modelo explicados por el profesor, o tomados de un libro de texto, haciendo que GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 8 posteriormente los alumnos ejerciten una y otra vez dichos procedimientos hasta lograr quelospuedanrepetirconelmínimodeerrores. Unaprendizajesignificativodelasmatemáticasnopuedereducirsealamemorizaciónde hechos,definicionesyteoremas,nitampocoalaaplicaciónmecánicadeciertastécnicasy procedimientos. Conbaseenlapropuestacurricularactualsepretendearribaraunestilodocenteenelque elprofesororganiceelprocesodeestudioanalizandoyeligiendosituacionesproblemáticas paradejarlasenmanosdelosestudiantesyunavez queéstoshan encontrado formas de resolverelproblema,favorezcalasocializaciónyconfrontaciónparaseguiravanzando” Ymásaúnsugierequeparaalcanzareldesafioderealizarloscambiosesnecesarioquelos problemasqueseproponganalosestudiantescontemplen:” Sean para ellos un reto interesante y provoquen rápidamente una actitud de búsqueda,orientadaaproponerconjeturasyposiblesestrategiasderesolución. Les permita explorar las relaciones entre nociones conocidas y posibilite avanzar hacialacomprensiónyasimilacióndenuevosconocimientos. Contengan los elementos que permitan validar sus propias conjeturas, procedimientosysoluciones,odesecharlascuandoseanincorrectas. Enfrentaralosestudiantesaproblemaspropiciaque: Construyan sus conocimientos al usar estrategias convencionales y no convencionalesquelosresuelvan. Apliquenyprofundicenlosconocimientosadquiridosanteriormente.“ Y es por tanto que el docente tradicionalista puede hacer cambios en sus métodos de enseñanza y actualizarse continuamente, como se cita en acta Latinoaméricana de matemáticaeducativa,pág.1138: GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 9 “La educación continua para el profesorado es un proceso que trasciende la propia disciplinadeldocenteparaorientarsehaciaunaformaciónintegral,quenoselimita aun espacio o edad determinada; que debe ser accesible para todos y que debe estar comprometidaconeladecuadodesarrollodecadaindividuo.” Y enel libro escuela paramaestrosenciclopediadepedagogiapráctica ensu pág.829 se aborda: “ La utilización de problemas en la enseñanza debe desarrollarse en la práctica concretadeunmodotalquelosestudiantes: Tengan un interés genuino por resolver las situaciones problemáticas que se les presentan. Las comprendan y analicen para formular soluciones viables, por tratarse generalmentedesituacionescomplejasyconfusas. Identifiquentanto loquesabencomo loqueno saben,paraformular una solución viable. Formulen soluciones alternativas, seleccionen aquella que sea la más apropieda y luegolaexpongan.” La participación del profesor es fundamental en esta propuesta didáctica y así evitar los métodostradicionales;cambiandotambienlastareasdelprofesor. Donde, “la actividad central del profesor de matemáticas comprende los siguientes aspectos: Le corresponde seleccionar y en su caso adecuar los problemas y actividades que propondráalosalumnos. Plantealosproblemas. Organizaycoordinaeltrabajoenelaula. Proponenuevosproblemasocontraejemplos,esdecir,problemasquecontradigan lashipótesisdelosestudiantes,favoreciendola reflexión yla búsquedadenuevas explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los conocimientosmatemáticos. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 10 Contribuyeaaclararconfusiones. Promueveycoordinaladiscusiónsobrelasideasquetienenlosestudiantesacerca delassituacionesqueseplantean,mediantepreguntasquelespermitanconocerel porquédesusrespuestas. Participa como fuente de información y para vincular los conceptos y procedimientospropiosdelosestudiantesconellenguajeconvencionalyformal.”; libroparaelmaestromatemáticassecundariapágs.25y26 EnunadelascapacitacionesrecibidaporelInstitutoNacionalTecnológico,INATEC,enel módulo formativo II planificación del proceso de aprendizaje del año 2011, haciendo referenciaalaprendizajeysusprincipiosqueson:“ La motivación. El estudiante aprende mejor cuando sabe que va a aprender. La máximamotivaciónparaelaprendizajesealcanzacuandolatareanoesdemasiado fácilnidemasiadodíficilparaelparticipante. Actividaddelosestudiantes.Laparticipaciónalientaalparticipanteyposiblemente permite que participen más sus sentidos, lo cual refuerza el proceso y se puede recordarloaprendidodurantemástiempo. Repetición. Aunque no sea considerada muy entretenida, es posible que la repetición deje trazos más o menos permanente en la memoria. Cuanto más se prácticayrepiteloaprendido,tantomássearraigaelcontenidodelaprendizaje. Relevancia.Elaprendizajerecibeungranempujecuandosehacerealoalmenosen unambientelomásparecidoalarealidad. Efecto. Toda persona tiende a repetir las conducta sastisfactoria y a evitar las desagradables Cambios de técnicas. El aprendizaje se hace más fácil cuando hay variedad en las técnicasdeaprendizaje. Conocimiento empírico. El conocimiento nuevo se aprende de forma más eficaz cuandosefundamentaenloqueyasabeelestudiante.” GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 11 Es indispensable que cuando se lleva un aprendizaje nuevo a los estudiantes, el docente debaconocerlaasimilacióndeésteduranteelproceso,esporellolanecesidaddeteneren cuentaloquellamamos“evaluacióndelaprendizaje”,yesquealmomentodeevaluarnose tratasolamentedeobtenerunanotacuantitativaparaelestudiante,sinotambiéndetener información clave sobre las debilidades y fortalezas que se han adquirido con el nuevo conocimiento. Es por ello que una evaluación adecuada de los aprendizajes, debe cumplir con las característicassiguentes: Permanente: debe estar presente durante todo el proceso de aprendizaje, con el propósito de detectar dificultades y causas para tomar las decisiones pertinentes antesqueelmismoconcluya. Integral: toma en cuenta todos los aspectos importantes del proceso; contenidos, métodos,bibliografía,recursos,característicasdelosestudiantes;consideradosen losobjetivosyenlaintegralidaddeldesarrollohumano. Particiativa:involucraalacomunidadeducativayjuntoscompartenlaexperiencia devalorarloslogrosydificultades,detomarcompromisosyresonsabilidadessobre losresultadosobtenidosydelasmedidasquedebenaplicarse. Criterial: esta orientada por criterios de evaluación que se convierten en puntos críticos de referencia respecto al grado de adquisición o desarrollo de las competenciasasimiladasporelparticipante. Flexible:seadecuaalascaracterísticasdelosparticipantesycircunstanciasenque sedesarrollaelprocesodeaprendizaje. Ética: es la que pone en juego los valores, principios morales del docente y participante. Además de las características anteriores una evaluación correcta del aprendizaje, debe cumplirconlascondicionessiguientes: Validez:implicaquetantolacompetenciaycontenidosaevaluarseanclarosparael docentecomoparaelparticiante. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 12 Objetividad:requiereutilizarmétodosclarosyobjetivos. Equidad:consisteenevitarcualquierprácticadiscriminatoria. Flexibilidad:seadaptaalasnecesidadesdeevaluacióndelosparticipantes. Confiabilidad: permite la obtención de resultados consistentes que demuestren veracidad en el juicio de la evaluación, asegurando su calidad, mediante la verificacióndelproceso. Enrespuestaalapermanenciaenlaevaluacióndelaprendizaje,elMinisteriodeEducación, ensuNormativadeEvaluacióndelosAprendizajesparalaEducaciónBásicayMediaenel capítulo II, de las funciones, acciones y características generales de la evaluación del aprendizaje,nosdice: ”Arto.6.–FuncionesdelaEvaluacióndelosAprendizajes a. Función diagnóstica: el estado inicial de las y los estudiantes en las áreas del desarrollo humano: cognoscitiva, socio afectiva y psicomotriz, a fin de facilitar la aplicacióndeestrategiasmetodológicasypedagógicasadecuadas. b. FunciónFormativa:brindainformaciónnecesariayoportunaparatomardecisiones quereorientenlosprocesosdeaprendizajedelasylosestudiantesylasestrategias didácticasutilizadas. c. Función Sumativa: fundamenta la calificación y certificación de los aprendizajes alcanzadosporlasylosestudiantes.” GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 13 VI-PROPUESTADEGUÍASDIDÁCTICAS GUÍAY COMPETENCIAS CONTENIDO PROCEDIMIENTOS TIEMPO NOMBREDE LAUNIDAD - Interpreta y utiliza el Propiedadesdeexponentesy -Recordarlaspropiedadesdelosexponentes 12hrs. lenguaje algebraico en radicales, valor numérico, yradicalesenlaunidaddeNúmerosReales. N°1 situaciones de la vida expresionesalgebraicasysus -Resuelver ejercicios y utilice las diaria operaciones. propiedadesdelosexponentesyradicales -Observar y reforzar la participación, Introducción - Realiza operaciones con comunicación,sentidocríticoyrespetoenlas alálgebra radicales y expresiones ylosestudiantesalemplearcorrectamenteel algebraicas valor numérico en actividades de la vida cotidiana. N°2 - Aplica procedimientos factorización, identificando Factorización los MétodosdeFactorización. - Verificar que las y los estudiantes 24hrs. de establecen una relación coherente, entre los tipos de factorización y su solución de las acuerdoasuspropiascaracterísticas características de cada Observar y estimular la participación antiva caso. de las y los estudiantes en cuanto al reconocimiento de los métodos de factorización GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 14 GUÍAY COMPETENCIAS CONTENIDO PROCEDIMIENTOS TIEMPO NOMBREDE LAUNIDAD -Analiza las EcuaciónCuadrática características -Verificarelgradodeasimilacióndelasylos 10hrs. y estudiantes en la solución de ecuaciones N°3 propiedades de los tipos cuadráticas por los diferentes métodos de deecuacionescuadráticas solución y la fórmula de Vieta; así como el y fórmula de Vieta al establecimiento de relaciones democráticas, formular igualdadyfraternidad. Ecuaciones y resolver ejercicios. -Constatar el grado de asimilación de las y los estudiantes en la solución de ecuaciones cuadráticas. N°4 -Resuelve ejercicios Sistemasdeecuaciones -Comprobar que las y los estudiantes 10hrs. Sistemasde vinculados con sistemas resuelvenejerciciosdelosdistintos tipos de ecuaciones de ecuaciones lineales y sistemas cuadráticas cuadráticas. de dos variables. de ecuaciones lineales y -Verificar la práctica de responsabilidad, disciplina, perseverancia, integración en las clases,asícomoelrespetoyvaloraciónalas ideasdelasylosdemás. N°5 Ecuaciones -Resuelveecuaciones EcuacionesIrracionales irracionales conradicales GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA -Comprobar que las y los estudiantes 5hrs. resuelven ecuaciones irracionales mediante losmétodosadecuados. MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 15 GUÍAN°1PROPIEDADESDEEXPONENTESYRADICALES,VALORNUMÉRICO YEXPRESIONESALGEBRAICASYSUSOPERACIONES Introducción Enestaguíaestudiaremosoperacionesconexponentesyradicales,expresionesalgebraicas yvalornuméricodondeseplantearáejercicioshaciendoreferenciaalostemasexpuestos. Indicadoresdelogros: Conocelaspropiedadesdelosexponentes,radicales,valornuméricoyexpresiones algebraicas. Resuelveejercicioshaciendousodelaspropiedadesdelosexponentesyradicales, asícomovalorelvalornuméricoyexpresionesalgebraicas. Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos compañerosdeclasesylaguíaevaluativa. PROPIEDADESDELOSEXPONENTESYDELOSRADICALES 1) a m a n a m n 2) a m b m ab 3) a m n a m 6) a n a 7) b b a m 10) a a n 11) a n b 12) 1 n a n n 9) n a n b n a.b mn am 4) n a m n a 5) a 0 1; a 0 n an a 8) n b b n 13) n a b n m m n n am n a m a nm a 14) n a n a GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 16 Términoalgebraico:Eslamínimaexpresiónalgebraicacuyaspartesnoestánseparadasni porelsignomásniporelsignomenos.Laspartesdeuntérminoalgebraicoson: Signo 3exponente CoeficienteParteliteral -4x Expresiónalgebraica:Eselconjuntodenúmerosyletrasunidasentresíporlossignosde operación:más,menos,poryentre. Ejemplo: a) 4x2+5y2 b) 2 + Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas no son expresiones algebraicas,sonfuncionestrascendentes. VALORNUMÉRICO E l val or num ér i co d eun aexpr esión al gebr aica, p ar a u n d et er m i n ad o val o r , es el n ú m er o qu e se o bt i en e al su st i t u i r en u n a exp r esi ó n al g ebr ai ca el val o r n um ér i co d ado yr eal i z ar l aso p er aci o n esi n d i cad as. Gradodelpolinomio: GradoAbsoluto:Eslasumamayordelosexponentesdelasvariablesdelostérminosdeun polinomio. Ejemplo:P(x)=x4y7+3x3y5esdegradoabsoluto11vogrado Grado Relativo: Es el de mayor exponente que presenta una misma variable de un polinomio.Tambiénelgradorelativodeunmonomioeselgradodecadaletrademonomio. Ejemplo Expresión signo Coeficientenumérico literales Gradorelativo GradoAbsoluto 3x3y5 + 3 xy xesde3ergrado 3+5=8vogrado yesde5togrado -5x6y2z7 - 5 xyz xesde6togrado 6+2+7=15vogrado yesde2dogrado zesde7grado GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 17 OPERACIONESCONRADICALES Índice de la raíz √125 Signo radical =5 raíz cantidad subradical Simplificar un radical: consiste en dejar la cantidad subradical con menor grado que el índicedelaraíz. Sumayrestaderadicales:consisteensimplificarlosradicalesdados;luegosereducenlos radicalessemejantesescribiendoacontinuaciónlosradicalesnosemejantesconsupropio signo Mínimo común índice de los radicales: es encontrar el mínimo común múltiplo de los índicesdelosradicales. Multiplicación de radicales: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicalesentresí,todobajoelmismosignoradicalcomúnysesimplificaelresultado. Si los radicales no poseen el mismo índice, se reduce al mínimo común índice y se multiplicancomoradicalesdelmismoíndice Divisiónderadicalesdelmismoíndice:sedividenloscoeficientesentresiylascantidades subradicalesentresí,todobajoelmismosignoradicalcomúnysesimplificaelresultado. Silosradicalesnoposeenelmismoíndice,sereducealmínimocomúníndiceysedividen comoradicalesdelmismoíndice. Racionalización:Consisteenconvertirunafracciónirracionalenunafracciónequivalente racionalyaseaenelnumeradoroeneldenominador. Paralaracionalizaciónesimportanterecordarque: (x+y)(x–y)=x2–y2 (x+y)(x2–xy+y2)=x3+y3 (x–y)(x2+xy+y2)=x3–y3 (x+y+z)(x+y–z)=[(x+y)+z][(x+y)–z]=(x+y)2–z2 Dondelosfactoressellamanconjugados.Elconjugadode(x+y)es(x–y). GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 18 EJEMPLONº1 Determinaelvalordelasiguienteexpresión a) b) c)4 d)4e)NDLA SOLUCION: 4 −4 = 15 4 4 −4 = 15 4 (4 − 1) = 15 4 . 15 = √4 = 4 15 Queeslaalternativad EJEMPLONº2 Sedefinea*b=ab+3baentonces2*3es: a)35b)89c)26d)31e)29 SOLUCION: Comoobservamosa=2yb=3luego2*3=23+3.32→2*3=8+27=35 Queeslaalternativab EJEMPLONº3 Elresultadode 2 + √3. 2 − √3es: a) √7b)1c)2d)2√3e)–1 SOLUCION: 2 + √3. 2 − √3 = 2 + √3 (2 − √3) = √4 − 3 = √1 = 1,queeslaclaveb GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 19 EJEMPLONº4 HallarelvalornuméricodelaexpresiónE=xz–y+y2z–xsix=2,y=1z=3 SOLUCION: Sustituyendolosvaloresdex,y,ztendremos E=23–1+12(3)–2 E=22+14=4+1=5 EJEMPLONº5 Hallarelvalornuméricode:E= 2010) SOLUCION: ;para = ,ejerciciopropuesto(JTN- Aplicandolapropiedadam+n=aman . = ( ) = = = = = = 2 = 16 EJEMPLONº6 SiE= √ + + a)1 b)2 hallarelvalornuméricodeE,paraa=1,b=2,c=3 c)7 d)6 e)5 SOLUCION: SustituyendolosvaloresnuméricosenE,obtenemos: E= √1 + 2 + 3 = √1 + 4 + 27 = √32 = 2queeslaalternativab GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 20 EJEMPLONº7 Hallarelvalornuméricodelaexpresión:E = parax=3,y=2 SOLUCION: SustituyendolosvaloresE = = = EJEMPLONº8 ;paraab=5 HallarelvalornuméricodeM= a)0.2 b)0.04 c)1.25 d)10 e)12 SOLUCION: Aplicandolapropiedadamn=(am)n M= M= sustituyendoab=5 ( ) ( ) ( ) ( ) QueeslaalternativaC = . = = . = = 12.5 EJEMPLONº9 Calcularelvalornuméricode:W=(3x)2y;para:x= √3 a)27 b)729 c)3 d)81 e)NDLA SOLUCION: x= √3 ⟹xy=33-y⟹xy= ⟹3y.xy=27⟹(3x)y=27 W=(3x)2y⟹W=[(3x)y]2⟹W=[27]2⟹W=729queeslaalternativab GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 21 EJEMPLONº10 Al racionalizar el denominador de la expresión √ √ √ el resultado es: a) √3 + √2 b) √3 − √2 c) ( √3 + √2) SOLUCIÓN: Elcasoesdelproductodelaforma a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)yelconjugadodelaexpresión d) ( √3 − √2) e) ( √2 + √3) √9 + √6 + √4 es(√3 − √2),luego √ √ √ = √ √ = √ √ √ * √ √ √ √ = √3 − √2queeslaalternativab EJEMPLONº11 La expresión a) b) c) d) −2 +4 −4 +2 e) +2 +2 √ − √2 + √4 es equivalente a: SOLUCIÓN: Multiplicandocadatérminodelaprimeraexpresiónconlostérminos delasegundaexpresióntendremos +2 √ − √2 − √2 √ + √4 √ + √4 = + √2 √ − √4 √ +2 = + 2,queeslaalternativad GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 22 EJEMPLONº12 Six=2+√2;elvalornuméricosdeE=x2+ a)1 b)3 c)7 es: d)12 e)14 SOLUCIÓN: Primerovamosacalcularelvalordex2yluegolosustituimosenlaecuacióndeE x2=(2+√2)(2+√2)=4+2√2+2√2+2=6+4√2=2(3+2√2) AhorasustituyendoenE E=6+4√2+ 6+4√2+ =6+4√2+ √ . √ ,luegoracionalizandotendremos √ √ =6+4√2+ ( ) √ √ =6+4√2+ ( √ ) √ E=6+4√2+6–4√2 E=12,queeslaalternativad EJEMPLONº13 HallarelvalornuméricodeE=(xx–x–x)2+(xx+x–x)2–2(x2x–x–2x);parax=½ a)8b)4c)16d)2e)-4 SOLUCIÓN: Seaa=xx,b=x–xsustituyendoenEyresolviendotendremos. (a–b)2+(a+b)2–2(a2–b2)=a2–2ab+b2+a2+2ab+b2–2a2+2b2=4b2 Perob=x–xdevolviendoelvalortendremos 4(x–x)2=4(x–2x)=4(x–2(1/2))=4(x)–1=4(½)-1=4(2)=8queeslaalternativaa GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 23 EJEMPLONº14 Alresolver √ √ √ b) a) − √ √ √ seobtiene: √ √ √ √ c) d) √ e) SOLUCIÓN: √ √ √ − √ √ = √ √ √ √ √ √ (√ √ ) ( √ ) √ √ = √ √ = Queeslaalternativab EJEMPLONº15 Laexpresiónequivalentea a) √ b) √ √ √ es: c) √ √ √ √ d) e)1 + √3 SOLUCIÓN: Racionalizandoeldenominadorde √ √ = √ √ . √ √ = √ √ = = 2 + √3 2 + √3 = (4 + 2√3) = (3 + 2√3 + 1) = (√3 + 1) 3 3 1 2 3 3 2 3 1 1 2 2 3 1 6 2 ,queeslaalternativad 2 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 24 EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°1 1- Hallarelvalornuméricode E 16 x 1 x 1 x 2 1 x 4 1 1 , parax=25Rta.5 2- Six= 3- Si a b ,calcularelvalornuméricodeR=[xa+b–axa–bxb+2ab]88Rta.a88.b88 xx x 4 ; x y 1 ,hallarelvalornuméricode E 2 x x x y Rta.2 x 1 x 1 , parax=0.1234Rta.1 4- Hallarelvalornuméricode F x x 1 1 x 1 x 5- Siab=1,obtenerelvalornuméricode: Q a b2 1 a2 1 b Rta.2 a2 1 b2 1 6- CalcularelvalornuméricodeE,six=2 E 32 1 3 x2 1 x4 1 x8 1 x16 1 x32 1 x64 1 Rta.16 7- Hallarelvalornuméricode E m 8- Si x 3 3 n 3 1 , simn=2ym+n= 2 2 Rta. 2 2 1 3 2 1,Calcularelvalornuméricode E x3 3x 1 9- SiA= √ + √ Rta.3 ,elvalorde2Aes.Rta. √ 10- Calcularelvalordem,sielgradodelaexpresiónesde7mo.Grado m m M= m m 1 m m x . x x m 4 m x . x 3 m3 m , GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR Rta.M= 1 m 25 GUÍAN°2MÉTODOSDEFACTORIZACIÓN Introducción En esta guía estudiaremos los métodos de factorización donde se planteará ejercicios haciendoreferenciaalostemasexpuestos. Indicadoresdelogros: Distinguelostiposdefactorizaciónsegúnlosmétodosexpuestos. Resuelveejerciciosdefactorizaciónhaciendousodelosmétodosdefactorización demanerasatisfactoria. Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos compañerosdeclasesylaguíaevaluativa. Factorización: Eslaoperaciónquetieneporobjetotransformarunaexpresiónalgebraicaenelproducto desusfactores. PRINCIPALESMÉTODOSDEFACTORIZACIÓN 1. FACTORCOMÚN Elfactorcomúndedosomásexpresionesalgebraicaseslapartenuméricay/oliteralque estárepetidaencadaunadedichasexpresiones.Elfactorcomúnpuedeserdetrestipos: Factorcomúnmonomio Factorcomúnpolinomio Factorcomúnporagrupación GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 26 FACTORCOMÚNMONOMIO Cuandoelfactorcomúnentodoslostérminosesunmonomio. EJEMPLONº1 Factorizar:E(x,y)=60xa+2yb+3+45xa-3y2b+5–15xay4b+6 SOLUCION: Elfactorcomúnes15xayb+3,dondetendremos: E(x,y)=15xayb+3(4x2+3x-3yb+2–y3b+3) FACTORCOMÚNPOLINOMIO Cuandoelfactorcomúnentodoslostérminosesunpolinomio. EJEMPLONº2 Factorizar(x+y)10(x+y3)5+(x+y)15(x+y3)2 SOLUCION: Elfactorcomúnes(x+y)10(x+y3)2,luegotendremos: (x+y)10(x+y3)5+(x+y)15(x+y3)2 =(x+y)10(x+y3)2[(x+y3)3+(x+y)5] FACTORCOMÚNPORAGRUPACIÓN Seagrupanlostérminosbuscandogeneralmenteelmétododefactorcomúndepolinomios. EJEMPLONº3 Factorizar3ax–2by–2bx–6a+3ay+4b SOLUCION: 3ax–2by–2bx–6a+3ay+4b=(3ax–2bx)+(3ay–2by)–(6a–4b) =x(3a–2b)+y(3a–2b)–2(3a–2b)=(3a–2b)(x+y–2) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 27 2. MÉTODOSDEIDENTIDADES Nosreferimosaidentidadesmuyconocidascomo: Diferenciadecuadrados x2a–y2b=(xa)2–(yb)2=(xa+yb)(xa–yb) SumaodiferenciadeCubos x3a+y3b=(xa)3+(yb)3=(xa+yb)(x2a–xayb+y2b) x3a-y3b=(xa)3–(yb)3=(xa–yb)(x2a+xayb+y2b) Trinomiocuadradoperfecto a2x±2axby+b2y=(ax±by)2 3. MÉTODOSDEASPAS ASPASIMPLE Seusaparafactorizartrinomiosdelaforma: ax2n±bxn±c o,delaforma: xnd n x2n±bxn±c,dondec=deyb=(d+e)x xne Sedescomponeendosfactoresalprimertérmino,ax2nox2n,segúnseaelcaso.Secolocan estosfactoresenlaspuntasdelaizquierdadelaspa.Eltérminoindependiente,incluyendo el signo, también se descompone en dos factores, los que se colocan en las puntas de la derechadel aspa.Losfactoresdela expresión dadasonla sumahorizontal dearribayla sumahorizontaldeabajo.Eltérminocentraldebeserigualalasumadelosproductosen aspa. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 28 EJEMPLONº4 Factorizarx6a+7x3a+12 SOLUCION: 1) x6aendosfactores:x3ax3a 2) 12endosfactores:3y4 Secolocanlosfactoresenlapuntaizquierdayderechadelaspa: x6a+7x3a+12 x3a+4 4x3a x3a+3 +3x3a 3aeseltérminocentral Donde7x 7x3a Luego,x6a+7x3a+12=(x3a+4)(x3a+3) ASPADOBLE Seusaparafactorizarpolinomiosdelaforma:ax2n±bxnyn±cy2n±dxn±eyn±fytambién paraalgunospolinomiosde4to.Grado. Seordenaenformadecrecienteparaunadelasvariables;luego,setrazayseejecutaun aspa simple para los tres primeros términos con trazo continuo. A continuación y, pegadaalprimeraspa,setrazaotro,detalmodoqueelproductodeloselementosdel extremo derecho de este aspa multiplicados verticalmente sea el término independiente. 1er.Factor:sumadeloselementostomadoshorizontalesdelapartesuperior. 2do.Factor:sumadeloselementostomadoshorizontalmentedelaparteinferior. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 29 EJEMPLONº5 Factorizar6x2+7xy–3y2+11x–11y–10 SOLUCIÓN: 2 6x +7xy–3y2+11x–11y–10 3x-y-2 (7xy)(11x)(-11y) 2x+3y+5 Donde,6x2+7xy–3y2+11x–11y–10=(3x–y–2)(2x+3y+5) ASPADOBLEESPECIAL Seusaparafactorizarpolinomiosdecuartogradodelaformageneral: .ax4±bx3±cx2±dx±e Parafactorizarseprocedeasí: 1) Sedescomponenlostérminosextremos(primeroyquinto)ensusfactoresprimos consignosadecuados. 2) Seefectúaelproductodelosfactoresprimosenaspaysereduce.Deestamanerase obtieneuntérminodesegundogrado. 3) Aesteresultadoseledebesumaralgebraicamenteotrotérminodesegundogrado paraqueseaigualaltercertérmino. 4) Con este término de 2° grado colocado como tercer término del polinomio, se descomponeensusfactoresenformaconvenientetalquecumplalosrequisitosdel aspadoble: i. Aspa simple entre el primer término y el término de segundo grado ubicadocomosustituto,paraverificarelsegundotérmino. ii. Aspa simple auxiliar entre el sumando de segundo grado ubicado y el quintotérminoparaverificarelcuartotérmino. 5) Losfactoressetomanenformahorizontal. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 30 EJEMPLONº6 Factorizarx4–4x3+11x2–14x+10 SOLUCION: Comopodemosobservaresuncasodeaspadobleespecialprocediendotendremos x4–4x3+11x2–14x+10 x2-2x5 (-4x3)(11x2)(-14x) x2-2x2 Luegolarespuestaserá:x4–4x3+11x2–14x+10=(x2–2x+5)(x2-2x+2) 4. MÉTODODEREDUCCIÓNADIFERENCIADECUADRADOS Elmétodoconsisteentransformarunaexpresión,trinomioengeneral,aunadiferenciade cuadrados; sumando y restando una misma cantidad de tal manera que se complete el trinomiocuadradoperfecto EJEMPLONº7 Factorizarx4+2x2y2+9y4 SOLUCIÓN: Extraemos la raíz al primer y último término,luego multiplicamos por 2 para conocer el númeroquebuscaremos2(x2)(3y2)=6x2y2queseráeltérminoabuscar,luegosumandoy restando4x2y2alaexpresióntendremos (x4+6x2y2+9y4)–4x2y2=(x2+3y2)2–(2xy)2=(x2+3y2+2xy)(x2+3y2–2xy) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 31 5. MÉTODODESUMASYRESTAS Consisteensumaryrestarunamismacantidadoexpresióndetalmaneraqueseformeuna suma o diferencia de cubos al mismo tiempo que se presenta el factor x2 + x + 1 ó x2–x+1Algunasvecestambiénsecompletaelpolinomio. EJEMPLONº8EJERCICIOSRESUELTOS Factorizarx5+x4+1 SOLUCIÓN:Resolveremosdedosmétodoslafactorización 2do.Método 1ermétodo Sumandoyrestandox3+x2+x: Sumandoyrestandox2: x5+x4+x3+x2+x+1–x3–x2–x x5–x2+x4+x2+1 x3(x2+x+1)+(x2+x+1)-x(x2+x+1) =x2(x3–1)+(x4+x2+1) =(x2+x+1)(x3-x+1) Sumando y restando x2 al segundo paréntesis, factorizandoelprimerparéntesis. =x2(x3–1)+(x2+x+1)(x2–x+1) =(x2+x+1)(x3–x2+x2–x+1) =(x2+x+1)(x3–x+1) factorizando y también 6. MÉTODODECAMBIODEVARIABLE Consisteenhaceruncambiodevariableadecuado,detalmaneraqueseobtengaunaforma defactorizaciónconocida. EJEMPLONº9 Factorizar(x+1)4+(x+2)3+(x+3)2–7x–12 SOLUCION:Seaa=x+1sustituyendoenlaexpresiónelcambiodevariabletendremos: a4+(a+1)3+(a+2)2–7a–5,desarrollandolaspotenciasysimplificando,tendremos: a4+(a+1)3+(a+2)2–7a–5=a4+a3+4a2 ahora factorizando, a4 + a3 + 4a2= a2(a2 + a + 4) y por último sustituyendo la variable original(x+1)2(x2+3x+6) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 32 EJEMPLONº10 Factorizar1+x(x+1)(x+2)(x+3) SOLUCION: Enmuchasocasionestenemosquebuscarencambiodevariableagrupandofactores 1+x(x+1)(x+2)(x+3)=1+[x(x+3)][(x+1)(x+2)] =1+(x2+3x)(x2+3x+2) Haciendox2+3x=y =1+y(y+2) =1+2y+y2 =(1+y)2 sustituyendolavariable: =(1+3x+x2)2 7. MÉTODODEFACTORIZACIÓNRECIPROCA Polinomio recíproco: es aquel que se caracteriza porque los coeficientes de los términos equidistantesdelcentrosonigualescomo:Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A Procedimientoparafactorizarunpolinomiorecíproco: a. Seextraecomofactorcomún,laparteliteraldeltérminocentral,quealfinalsedebe eliminar. b. Se realiza el siguiente cambio de variables: + + = = , + = − 2, −3 c. serealizanlasoperacionesysefactoriza d. sesustituyenlosvaloresasignadosalasvariables. EJEMPLONº11 Factorizar4x4+3x3+7x2+3x+4 SOLUCION:4x4+3x3+7x2+3x+4=x2(4x2+3x+7+ + =x2(4(x2+ ) )+3(x+ )+7) Sustituyendo + = , + = − 2tendremos: =x2(4(a2–2)+3a+7) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 33 =x2(4a2+3a–1)x2(4a–1)(a+1) Sustituyendoelvalordea= + x2(4( + )–1)( + +1)=x2( )( ) =(4x2–x+4)(x2+x+1) 8. MÉTODOSDEFACTORIZACIÓNSIMÉTRICAYALTERNADA Polinomio simétrico: Un polinomio es simétrico, con respecto a sus variables, cuando su valornosealteraporelintercambiodecualquierpardeellas,esdecir,“x”por“y”,“y”por “x”yademáseshomogéneo. Ejemplo:P(x,y,z)=A(x2+y2+z2)+B(xy+xz+yz) Notar que las operaciones con expresiones simétricas dan como resultado también expresionessimétricasyademássoncíclicas. z x y Polinomioalterno:Unpolinomioesalterno,conrespectoasusvariables,cuandosusignose altera,pero no su valor absoluto,alintercambiar un parcualquieradeellas,y además es homogéneo. Ejemplo:P(x,y,z)=y2(z–y)+x2(y–z)+z2(x–y) Propiedadesfundamentalesdeunpolinomioalterno 1. Nohayexpresionesalternasquecontenganmásdedosvariablesyseandeprimer grado. 2. Generalmente los polinomios alternos son circulares o cíclicos y están escritos en formadediferencia. 3. El producto de una expresión simétrica por una alterna da como resultado una expresiónalterna. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 34 Propiedadesdelospolinomiossimétricosyalternos. 1. Una expresión simétrica o alterna de variables x, y, z, si es divisible entre “x”, entoncestambiénserádivisibleentre“y”yentre“z”. 2. Enunaexpresiónsimétricaoalterna,devariables,x,y,z,siesdivisibleentre(x±y), entoncestambiénserádivisibleentre(x±z)(y±z). EJEMPLONº12 Factorizar:P(x,y,z)=(x–y)3+(y-z)3+(z-x)3 SOLUCION: 1) Intercambiandoxpory,sevequelaexpresiónesalterna. 2) Cálculodelosfactoresx=y P(y,y,z)=(y-y)3+(y-z)3+(z-y)3 P(y,y,z)=0+(y-z)3+[-(y-z)3] P(y,y,z)=(y-z)3-(y-z)3=0 Luego el polinomio es divisible entre (x - y). Por ser polinomio alterno, también será divisible entre los factores obtenidos en forma circular en el sentido z x y indicado: x=y,y=z,z=x Luegoelpolinomioesdivisibleentreelproducto:(x–y)(y–z)(z–x)seigualalaidentidad (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = (x – y)(y – z)(z – x)K, dándoles valores arbitrarios a las variablesparaencontrarelvalordeK,six=5,y=4,z=3,tendremos: (5–4)(4–3)(3–5)K=(5-4)3+(4-3)3+(3-5)3 –2K=1+1–8 K=3 Luego,laexpresiónfactorizadaes:(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3(x–y)(y–z)(z–x) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 35 9. MÉTODODEFACTORIZACIÓNPOREVALUACIÓN Para resolver por este método se busca los factores del término independiente del polinomioysebuscaloscerosenelpolinomio,unavezencontradoserealizapordivisión sintética, pueden existir varios ceros en el polinomio y el resultado se prueba con los demásfactoresparaencontrarlososeusanotrosmétodosdefactorizaciónsiesreconocido elresultado. EJEMPLONº13 Factorizar6x3+23x2+9x–18 SOLUCION: Descomponiendo18ensusdivisores±1,2,3,6,18yhaciendoP(x)=6x3+23x2+9x–18, ahoraaplicamoselteoremadelrestoparabuscarloscerosdelpolinomiotendremos: P(-1)=6(-1)3+23(-1)2+9(-1)–18=-10quenoes P(1)=6(1)3+23(1)2+9(1)–18=20nodaceroseguimosprobando P(-2)=6(-2)3+23(-2)2+9(-2)–18=8nada P(2)=6(2)3+23(2)2+9(2)–18=140nada P(-3)=6(-3)3+23(-3)2+9(-3)–18=0ahorasinosdioenx=-3,luegoP(x)esdivisible porx+3,resolvamospordivisiónsintética 6239–18–3 6–18–1518 65–60 Luego6x3+23x2+9x–18=(x+3)(6x2+5x–6)dondeporaspasimpletendremos 6x3+23x2+9x–18=(x+3)(2x+3)(3x–2) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 36 EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°2 2 1- CalcularE= x 1 x 2 x 4 x 3 x 2 x 3 x 5 x 4 2 x2 x 10 Rta.-56 2- Simplificar E 2 a b c a b c a b c a b c 4a 2b2 c 2 2 Rta. a b 3- Factorizar a) abcx 2 a 2b 2 c 2 x abc b) a d 4 Rta. abx c cx ab 2 2 2 b2 c 2 a d b2 c 2 Rta.(a+b+c+d)(a–b–c+d)(a+b–c+d)(a–b+c+d) c) 15x 2 14 xy 3 y 2 23 y 41x 14 Rta.(5x+3y+2)(3x+y+7) d) x 4 10 x 3 9 x 2 18 x 9 Rta.(x2–9x+9)(x2–x+1) e) 16 m 4 25m 2 n 2 9 n 4 Rta.(4m2+mn–3n2)(4m2–mn–3n2) f) 81m8 2m 4 1 Rta.(9m4+4m2+1)(9m4–4m2+1) g) 16 9c 4 c8 h) i) Rta.(4+c2–c4)(4–c2–c4) x5 x 1 Rta.(x2–x+1)(x3+x2–1) x 6 x 4 2 x 1 x 1 Rta.(x2+x+1)(x3–x2+1)(x3+x2–1)(x2–x+1) j) (2x2–9x+1)2+24x(x-1)(2x-1)Rta.(2x+1)2(x+1)2 k) 6x4+5x3+6x2+5x+6Rta.(3x2–2x+3)(2x2+3x+2) l) x6+15x5+78x4+155x3+78x2+15x+1Rta.(x2+5x+1) m) (a+b)5–a5–b5Rta.5ab(a+b)(a2+ab+b2) n) n3–7n+6Rta.(n–1)(n–2)(n+3) o) a3+a2–13a–28Rta.(a–4)(a2+5a+7) p) 8a4–18a3–75a2+46a+120Rta.(a+2)(a–4)(2a–3)(4a+5) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 37 GUÍAN°3ECUACIÓNCUADRÁTICA Introducción. En esta guía estudiaremos las ecuaciones cuadráticas desde su formación, conociendo sus raíces, su resolución y el uso de métodos de variables auxiliares para ecuaciones de orden superior cuadrático, de ecuaciones diversas y polinómicas haciendo uso de la fórmuladeVieta. Indicadoresdelogros: Conocelaspropiedadesdelasraícesdeunaecuacióncuadráticaylafórmulade Vieta. Resuelveejercicioshaciendousodelaspropiedadesdelasraícesdeunaecuación cuadrática,bicuadráticas,ecuacionesdiversasyfórmuladeVieta. Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos compañerosdeclasesylaguíaevaluativa. Definición: Unaecuacióncuadráticaestodaecuacióndelaformaax2+bx+c=0,dondea≠0. Dondea,byc∈R Trabajaremoslaecuaciónax2+bx+c=0parapoderconocerlaspropiedadesdelas raícesdelasecuacióncuadrática. ax2+bx+c=0ecuacióndada ax2+bx=-cserestac + = − sedividepora + + ( ) = ( ) − secompletaelcuadrado GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 38 ( + + ) = ecuaciónequivalente =± seextraelaraíz =− ± ±√ = seresta simplificando Laúltimaexpresión,conocidatambiéncomofórmulageneral,eslaquevamosatrabajar;es de notar que la expresión − bajo el signo radical de la fórmula se llama discriminantedelaecuacióncuadráticaysepuedeusareldiscriminanteparadeterminar lanaturalezadelaecuación,asípues: Valordeldiscriminante − Naturalezadelasraícesdeax2+bx+c=0 Valorpositivo Dosraícesrealesydistintas 0 Unaraíz Valornegativo Dosraícesimaginarias(complejas) Ahorasieldiscriminanteespositivoonegativotendremosdosraícesqueson: = √ y √ = , luego operando la suma y producto de las raícestendremos: + = + = √ + √ ,sumadelasraíces ,reduciendotérminos GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 39 + Y = − ,simplificando = = √ ∗ (− ) − (√ 4 = −4 √ productodelasraíces ) = Donde podemos concluir que las propiedades de las raícesson: Lasumadelasraícesdeunaecuacióncuadráticaes: + =− Elproductodelasraícesdeunaecuacióncuadráticaes: = EJEMPLONº1 Encuentrelaecuacióncuadráticasisusraícesson5y-4 SOLUCIÓN: Comolasraícessonx = 5yx = −4,usaremoslaspropiedadesdelasumayproductode lasraícescuadráticasdonde:x + x = − yx x = .Sihacemosa=1obtendremos x + x = −byx x = c → = −1 = −20, sustituyendo los valores de las raíces x = 5yx = −4en x2+bx+c=0queeslaecuaciónatratar x2–x–20=0queeslaecuaciónquebuscamos. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 40 EJEMPLONº2 Encuentrelaecuacióncuadráticasisusraícesson y SOLUCIÓN: 5 3 2 7 Comolasraícessonx = yx = ,usaremoslaspropiedadesdelasumayproductode lasraícescuadráticasdonde: x + x = − yx x = sihacemosa=1obtendremos x + x = −byx x = c,donde = −(x + x ) = − 41 10 5 2 = ,sustituyendolosvaloresdelasraícesx = yx = en 21 21 3 7 x2+bx+c=0queeslaecuaciónatratar x2− 41 10 x+ =0multiplicarcadaterminopor21 21 21 21x2−41x+10=0queeslaecuaciónquebuscamos EJEMPLONº3 Six2+14x+k=0,hallarelvalordekdemaneraqueunaraízseax=−6 Solución.Paraesteejerciciotenemosdossoluciones MÉTODO1: Sustituirelvalordex=−6enlaecuaciónx2+14x+k=0ydespejark. (−6)2+14(−6)+k=0 k=−36 + 84 k=48queeselvalorquebuscamos GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 41 MÉTODO2: Haciendousodelaspropiedadesdelasraíces. x + x = − yx x = Delaecuaciónx2+14x+k=0obtenemosquea=1,b=14,c=kyx1=−6 x + x = −14yx x = k x = −14 − x →x = −14 − (−6) → x = −8 Yporúltimox x = k → k =(−6)(−8) → = queeselvalorquebuscamos EJEMPLONº4 Six2+18x+k=0,hallarelvalordekdemaneraqueunaraízseaeldobledelaotra SOLUCIÓN: Seanlasraícesx yx = 2x ,comob=18y−b=x + x x + 2x = −18 →3x = −18→x = −6yx = −12 EJEMPLONº5 Untriángulorectángulotieneunáreade5ysuhipotenusatienelongitud5.Determinela longituddeloscatetosdeltriángulo. SOLUCIÓN: Seanayblaslongitudesdeloscatetosentonces + + = 25 → ( + ) = 25 + 2 =5 = 10 → ( + ) = 25 + 20 → = 10 = 3√5 = 10 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 42 Ahorabien,deacuerdoconlaspropiedadesdelasraícesdeunaecuacióncuadrática,debe existir una ecuación cuadrática cuyas raíces sean los catetos buscados. Se tiene que una ecuaciónquesatisfacelascondicionesexplicitadascorrespondea − 3√5 + 10 = 0, cuyas soluciones son 2√5 √5 así los catetos del triangulo tienenlasmedidas2√5 √5 CASOPARTICULARDELAECUACIÓNCUADRÁTICA Un caso muy particular de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, se da cuando el coeficientebespar,dondepodemosmodificarlafórmulageneralquedandodelaforma: = ±√ → ± = = → = ± dondeb1= ± ( ) O EJEMPLONº6 Resuelvalaecuación3x2–10x–8=0 SOLUCIÓN1: Comopodemosobservarelvalordebesparusaremoslafórmula = ± ( ) donde:a=3,b=–10yc=–8,sustituyendolosvaloresen lafórmulanosqueda = ± →x = ± ( ) ( )( ) → = ±√ = − yx = 4 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 43 SOLUCIÓN2: Tambiénpodemosusarlasegundaformadonde:a=3,b1=–5yc=-8 ± = = ± = →x ± ( ) ( )( ) = ±√ = − yx = 4 ECUACIONESBICUADRÁTICAS,DIVERSAS,USODECAMBIODEVARIABLE Ecuación bicuadrática: Es toda ecuación de la forma ax2n ± bxn ± c = 0, y se resuelve sustituyendoxnporunavariablequetrasformalaecuaciónenunacuadráticaconocida. EJEMPLONº7 Resolverx + 10x + 21 = 0 SOLUCIÓN: Seau=x u2=x Sustituyendolosvaloresdeuenlaecuaciónyresolviendotendremos: u2+10u+21=0poraspasimple (u+7)(u+3)=0igualandolosfactoresa0 u+7=0;u+3=0 u=–7;u=–3 Devolviendoelvalordeu=x = tendremos = −7; = −3→x=− ;x=− GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 44 EJEMPLONº8 . Resolverlaecuación + y = 1 SOLUCIÓN: . + y = 1 Seav= ,v2= ( ) ( + ) = 1 ,sustituyendoyresolviendotendremos: 6v2+v–1=0usandoaspasimple (2v+1)(3v–1)=0→v=− ;v= Devolviendolosvaloresdeenv= yresolviendotendremos: y2+2y+1=0; y2 – 3y +1=0 resolviendo por factorización y por la fórmula general tendremos:y=–1;y= ±√ EJEMPLONº9 Resolverlaecuaciónx–3√x+2=0 Seau=√x u2=xsustituyendotendremos u2–3u+2=0→(u–2)(u–1)=0 u=2;u=1 √x=2√x=1 x=4;x=1 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 45 EJEMPLONº10 Resolverlaecuación: SOLUCIÓN:Seav= − = sustituyendotendremos v − = multiplicarpor8vyresolviendo 8v2–63v–1=0usandolafórmulageneralobtendremos 1 8 v=− v=8Sustituyendoelvalorv= − = ;8= yresolviendotendremos: 2(1–x)=–1(1+x);2(1+x)=1–x 1 3 Dedondelassolucionesson− y3respectivamente. FÓRMULADEVIETA LafórmuladeVietasepuedeenunciarasí,si P(x)=xn−S1xn-1+S2xn-2−S3xn-3+....+(-1)nSndondelasraícesa1,a2,a3,....,an=0 es(x–a1)(x−a2)(x−a3)....(x−an)=0 Osea,xn−S1xn-1+S2xn-2−S3xn-3+....+(-1)nSn=0;siP(x)=0 dondeS1=Sumadelasraíces; S2=Sumadelosproductosdelasraícestomadasdedosendos; S3=Sumadelosproductosdelasraícestomadasdetresentres; ................................................................... Sn=Productosdelasraíces. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 46 EJEMPLONº11 Desarrolleelpolinomio(x–3)(x–6)(x–4)(x+5) SoluciónUsandolafórmuladeVietatendremos: S1=–3–6–4+5=–8 S2=(−3)(−6)+(−3)(−4)+(−3)(5)+(−6)(−4)+(−6)(5)+(−4)(5)=–11 S3=(−3)(−6)(−4)+(−3)(−6)(5)+(−3)(−4)(5)+(−6)(−4)(5)=198 S4=(−3)(−6)(−4)(5)=−360 Luegotendremos: (x–3)(x–6)(x–4)(x+5)=x4–8x3–11x2+198x–360queeselpolinomio desarrollado. EJEMPLONº12 Resuelvalaecuación:( − 3 + 1) − 3( − 3 + 1) + 1 = SOLUCIÓN1:UsaremoslafórmuladeVieta Desarrollandolaexpresióndadaobtenemos x4+9x2+1–6x3+2x2–6x–3x2+9x–3+1=x→x4–6x3+8x2+2x–1=0 HaciendousodelosproductosnotablesyfórmuladeVietatendremos (x2+ax+1)(x2+bx–1)=x4+(a+b)x3+abx2+(b–a)x–1aplicandoidentidad polinomialsetiene a+b=–6 ab=8 b–a=2 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 47 Alresolverelsistemadeecuacionesencontramosquea=–4yb=–2conloquela ecuaciónaresolverserá:(x2–4x+1)(x2-2x–1)=0cuyassolucionessonx=2±√3 x=1±√3 SOLUCIÓN2:Reescribiendolaecuaciónoriginal ( − 3 + 1) − 2( − 3 + 1) + 1 − ( − 3 + 1) = ( − 3 + 1) − 2( − 3 + 1) + 1 = ( − 3 + 1) + [( ( − 3 + 1) − 1] = ( − 2 + 1) − 3 ) = ( − 1) → ( − 3 ) − ( − 1) = 0 →(x2–4x+1)(x2-2x–1)=0 cuyassolucionessonx=2±√3yx=1±√3 Todaexpresióndelaforma ± 2√ = √ ± √ con m > n ,a=m+n,b=m.nparaello procedemos así: buscamos dos números cuyoproducto sea b y que a la vez, la suma de esosnúmerosseaigualaa. EJEMPLONº13 Calcular 5 + 2√6 SOLUCIÓN:Podemostrabajar 5 + 2√6 = 5 + 2 (2)(3) = 5 + 2√2√3 = 2 + 2√2√3 + 3 = √2 + √3 ,luego 5 + 2√6 = √2 + √3 = √2 + √3 EJEMPLONº14 Resolverlaecuación 7 − √48 + 7 + √48 = 14 Solucióncomo7 ± √48 = 7 ± 2√12 = 7 ± 2√4√3 = √4 ± √3 = 2 ± √3 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 48 La ecuación dada puede ser escrita como 2 − √3 + 2 + √3 =14 (1) ahora si realizamos la operación 2 − √3 2 + √3 = 1 y si multiplicamos (1) por 2 + √3 tendremos 1 + 2 + √3 2 + √3 = = 14 2 + √3 ±√ = ± √ → 2 + √3 − 14 2 + √3 + 1 = 0 → = 7 ± 4√3 = 2 ± √3 ,dondelasolucióndexes{-2,2} EJEMPLONº15 Six= 12 + 12 + √12 + ⋯,calcular5E+6siE= x + 1 + 3x + 2√x SOLUCIÓN:x2=12+ 12 + 12 + √12 + ⋯,perox= 12 + 12 + √12 + ⋯ x2–x–12=0→(x–4)(x+3)=0 x=4,sustituirelvalordexenE,tendremos:E= 4 + 1 + 3(4) + 2√4 E= 5 + √16=√5 + 4 = 3,donde5E+6=5(3)+6=21queserálasolución EJEMPLONº16 Resuelvay2–5y–P=0,siP= [( + 2) − 50] − ( + 10)( + 8)( − 6)( − 4) SOLUCIÓN:BuscaremosesvalordePyluegolosustituimosenlaecuaciónyresolvemos. Ordenandoyefectuandolasoperacionestendremos: P= [ + 4 + 4 − 50] − ( + 10)( − 6)( + 8)( − 4) P= [ + 4 − 46] − [( + 4 − 60)( + 4 − 32)]seau=x2+4xtendremos P= [u − 46] − [(u − 60)(u − 32)]= u − 92u + 2116 − (u − 92u + 1920) P=√196 = 14sustituyendoyencontrandolosvaloresdey y2–5y–P=0y2–5y–14=0(y–7)(y+2)=0y=7;y=–2 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 49 EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°3 I-Resolverlassiguientesecuaciones a) (x–5)(x–7)(x+6)(x+4)=504Rta.x=3,–2,8,–7 b) (x–7)(x–3)(x+5)(x+1)=1680 Rta.x= 9, 7,1 24i c) (x+9)(x–3)(x–7)(x+5)=385 Rta.x= 2, 4, 1 71 3 3 47i d) x(2x+1)(x–2)(2x–3)=63Rta.x= 3, , 2 4 7 1 65 e) (2x–7)(x2–9)(2x+5)=91Rta.x= 4, , 2 4 f) 8 x g) 3 2n 8x 3 2n 63 Rta. x 2 2 x1 8 h) 9 x 4 10 x 2 x 22 n , 1 1 Rta.x= , 4 2 1 Rta.x= , 1 3 1 Rta.x= 4, 4 j) 6 x 4 7 x 4 2 x 4 4 1 Rta.x= , 9 4 i) 2 x 2 x 3 1 1 2 5 1 1 22n II-Determinekdetalmodoquelasraícesseaniguales: GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 50 GUÍAN°4SISTEMASDEECUACIONES Introducción. En esta guía estudiaremos la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticasusandovariablesauxiliaresasícomolosmétodosusadosessuresolución. La ecuación Ax2 +Bxy +Cy 2 +Dx+Ey +F = 0 representaunaecuacióncuadrática generaldedosvariablesxey,dondelostérminos:Ax2,Bxy,Cy 2 sondesegundogrado. Con A, B,Cnotodos0.Lostérminos:Dx,Ey sondeprimergrado.Yel términoFes unaconstante. Indicadoresdelogros Conocealgunoscasosespecialesdelossistemasdeecuacionesylosmétodospara resolverlos. Resuelveejercicioshaciendousodevariablesauxiliaresylosmétodosdesolución desistemasdeecuaciones. Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos compañerosdeclasesylaguíaevaluativa. SISTEMASFORMADOSPORECUACIONESDELAFORMAAX2+BXY+CY2=F Ax2+Bxy+Cy 2= F Ex2+Gxy+Hy 2= K Sedacuandoambasecuacionescarecendelostérminosde1ergrado,existendosformas deresolverlas Método1:Amplificarparaeliminarlasconstantes(FyK).Resolverlaecuaciónconla fórmulacuadráticaparaunadelasincógnitas.Secompletalasustitucióndelarelación obtenidaparadeterminarlassolucionesdelsistema. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 51 Método2: Hacery=mx enambas ecuaciones, lasque quedancon incógnitasm ex;pero x2 factorizableconlocualseeliminadividiendotérminoatérminoambasecuaciones.Seobtiene unaecuaciónenmquepuededespejarse. Sehacensucesivamentelassustitucionesparaencontrarlassolucionesdelsistema. EJEMPLONº1 Resolveressistema − + +2 − 1ermétodo:eliminareltérmino independiente(1)–3(2) = 3(1) = 1(2) 2dométodo:sustituiry=mxen(1)y(2) x2–mx+m2x2=3∴ x = x − xy + y = 3 –3x2–6xy+3y2=-3 −2x − 7xy + 4y = 0por(-1) 2x + 7xy − 4y = 0 (2x–y)(x+4y)=0 y=2x(4)y=− (5) sustituir(4)en(1) x − x(2x) + (2x) = 3 x2=1 x=±1y=±2 ahora(5)en(1)tendremos x=± √7y=∓ √7 x2+2mx2–m2x2=1∴ x = igualandox2,resulta 3 1 = 1−m+m 1 + 2m − m ordenandoyreduciendotérminos semejantestendremos 4m2–7m–2=0 Dondem=2ym=-1/4 Luegox=±1yx=± √7 dondey=mxnosda y=±2yy=∓ √7 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 52 SISTEMASSIMÉTRICOS Las ecuaciones son simétricas cuandopodemosintercambiarxpor y y el sistemano se altera Ejemplox+y=5;x − xy + y = 3,ambassonsimétricos,pararesolverlousaremosel métododesustituirx=u+vy=u–v EJEMPLONº2 Resolveressistema + + − − = 2(1) + = 5(2) SOLUCIÓN:comolossistemassonsimétricosprocedemosx=u+vyy=u–v (u+v)2+(u–v)2–(u+v)–(u–v)=2 (u+v)(u–v)+(u+v)+(u–v)=5despuésdesimplificarresulta u2+v2–u=1(3) u2–v2+2u=5(4)sumando(3)y(4) 2u2+u–6=0dondeu=-2y3/2sustituyendou=-2en(3)o(4),obtenemosv=±√5 y parau=3/2obtenemosv=± ,luegolassolucionesson: U -2 -2 3/2 3/2 V √5 −√5 1/2 -1/2 X=U+V −2 + √5 −2 − √5 2 1 Y=U–V −2 − √5 −2 + √5 1 2 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 53 EJEMPLONº3 Sesabequeelsistemadadoacontinuacióntieneunacantidadfinitadesolucionesreales. Mostrarquetalcantidadtienequeserpar. (y2+6)(x–1)=y(x2+1) (x2+6)(y–1)=x(y2+1) SOLUCIÓN: El sistema es simétrico respecto de las incógnitas x, y, esto es, si intercambiamos x e y obtenemoslasmismasecuaciones.Comoconsecuencia,si(x,y)esunasolucióndelsistema, tambiénloes(y,x),oseaque,silosvaloresdexeysondistintos,lassolucionesvienenpor pares.Enelcasoenxseaigualay,lasecuacionessereducena(x2+6)(x–1)=x(x2+1), quedalaecuacióndesegundogradox2-5x+6=0,cuyasraícesson2y3.Entonceshay dossolucionesmásconvaloresigualesdexey,queson(2,2)y(3,3). SISTEMASUMAYPRODUCTODERAICES,USODEVARIABLESAUXILIARES Usaremos este método cuando el sistema se puede llevar a la forma x1 + x2 = -b/a y x1x2=c/a, donde a=1 propiedades de las raíces cuadráticas donde x2+bx+c=0, en ocasionesusaremosvariablesauxiliares. EJEMPLONº4 Resolver − = 5(1) = −4(2) SOLUCIÓN:Existen3métodospararesolverelsistema GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 54 Método1:Representandoz=−ynos queda + Método2:despejandoxen(1)y sustituyendoen(2)nosqueda = 5 dondeb=−(x+z)yc=xz = 4 Formandolaecuacióncuadrática tendremosx2−5x+4=0 x=y+5 (y+5)y=−4 y2+5y+4=0 (x–4)(x–1)=0 (y+4)(y+1)=0 x=4;x=1 y=−4;y=−1 z=1;z=4 x=4;x=1 y=−1;y=−4 Método3:completemoselcuadradode(1) (x–y)2=52→x2–2xy+y2=25(3) (3)+4(2)x2–2xy+y2=25 .4xy=−16 x2+2xy+y2=9→x+y=±3(4)con(1)y(4)formamos − = 5 + = 3 − = 5 Obteniendolassolucionesde(4,−1)y(1,−4) + = −3 EJEMPLONº5 Resolver + − ( + ) = 48(1) + + = 31(2) SOLUCIÓN: Usandovariablesauxiliares (3)z=x+y→z2=x2+2xy+y2(5) (4)u=xy Sustituyendo(4)en(5)tendremosz2=x2+2u+y2→z2–2u=x2+y2(6) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 55 Perode(1)y(2)tenemos (7)x2+y2–z=48→sustituyendo(6)en(7)z2–2u–z=48(9) (8)z+u=31→u=31–z(10) Sustituimos(10)en(9)obtenemos z2–2(31–z)–z=48→z2+z–110=0 z=10;z=-11 u=21;u=42sustituyendolosvaloresen(3)y(4) + = 10 = 21 + = −11 = 42 Quenosdaránlossistemascuadráticosx2–10x+21=0(11)yx2+11x+42=0(12) Resolviendo(11)tendremos(7,3)y(3,7) Resolviendo(12)tendremos ±√ , 10 − ( ±√ ) EJEMPLONº6 Resolver + = 5(1) + = 13(2) SOLUCIÓN: Elevemosalcuadrado(1)yrestamos(2) x2+2xy+y2–x2–y2=25–13→2xy=12→xy=6(3) usandolapropiedaddesumayproductosderaícescon(1)y(3)tendremos x2–5x+6=0(x-3)(x-2)=0 x=3;x=2 y=2;y=3quesonlassoluciones. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 56 EJEMPLONº7 Resolver + = 25(1) = 12(2) SOLUCIÓN: De(1)+2(2)tendremos x2+y2+2xy=25+24 (x+y)2=49 x+y=±7deaquíobtenemos + =7 →x2–7x+12=0(3) = 12 + = −7 →x2+7x+12=0(4) = 12 Resolviendo(3)y(4)lassolucionesson:(3,4),(4,3)y(-3,-4),(-4,-3) EJEMPLONº8 Resolver + = (1) + = (2) SOLUCIÓN: Elevamosalcubo(1):x3+3x2y+3xy2+y3=a3(3) Ahora(3)–(2):3x2y+3xy2=a3-b3→3xy(x+y)=a3-b3(4) Sustituyendo(1)en(4):3xya=a3-b3→xy= x2–ax+ donde,x= (a≠0) =0 a± a − ( ) yy= a∓ a − ( ) GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 57 CASOENQUEUNAECUACIONSEPUEDEFACTORIZARYLAOTRAESUNFACTOR Enestecasoelmétodoesfactorizarlaecuaciónysesustituyeelvalordelaotraecuación EJEMPLONº9 Resolverx3+y 3 = 28 x+y 4 = nosayudamosconlafactorizaciónx3+y 3=(x+y)(x2–xy+y2)quereemplazando obtenemoselnuevosistemax2−xy+y 2=7yx+y = 4 elcualresolvemoscomoenelejemplo5óporsustituciónynosdará(1,3)(3,1) EJEMPLONº10 Sixeysonnúmerosrealestalesquex+y=1,x3+y3=4determine: a)x2+y2 b)x5+y5 SOLUCIÓN. a)Dex+y=1seobtieneelevándoloalcuadradox2+2xy+y2=1(1)pero x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=4→x2−xy+y2=4(2)dedonderestando(2)de(1)nos queda3xy=−3→xy=−1conloquex2+1+y2=4→x2+y2=3 b)(x2+y2)(x3+y3)=3.4→x5+x2y3+x3y2+y5=12→x5+y5+x2y2(y+x)=12→ x5+y5+(-1)2(1)=12→x5+y5=11 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 58 EJEMPLONº11 Six2+xy+x=14yy2+xy+y=28,determineentonceselvalornuméricodex+y. SOLUCIÓN: Sumandolasdosecuacionessetienex2+2xy+y2+x+y=42;donde (x+y)2+(x+y)−42=0→(x+y−6)(x+y+7)=0 Así,x+y=6obienx+y=−7. EJEMPLONº12 Dadoquex2+y2=14yxy=7,encuentreelvalordex2–y2 SOLUCIÓN: x 2 y 2 14 x 2 y 2 14 → ,restandoambasecuacionesseobtiene 2xy 14 xy 7 x2−2xy+y2=0→(x–y)2=0→x–y=0→x=y→x2–y2=0 EJEMPLONº13 Cuantasternasx;y;zdenúmerosrealessatisfacenelsistema x(x+y+z)=26 y(x+y+z)=27 z(x+y+z)=28 (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) ninguna SOLUCIÓN:Larespuestaes(b). Sumandolastresecuacionestenemosque(x+y+z)2=81,loqueimplicaquex+y+z=9, delcualsedesprendenlassolucionesx=26/9;y=27/9;z=28/9yx=26/9;y=27/9; z=28/9 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 59 SISTEMADEECUACIONES,MÉTODOCAMBIODEVARIABLE Se usa para pasar un sistema de ecuaciones dado a un sistema de ecuaciones conocido dondesehacemásfácilderesolver EJEMPLONº14 + = 7(1) − = 4(2) Resolver SOLUCIÓN: Seau= yv= sustituyendotendremoselnuevosistema 5u 4v 7 (3) 7u 6v 4 (4) 3(3)+2(4):15u+12v+14u–12v=21+8→29u=29→u=1 Sustituyendouen(3)→4v=7–5(1)→v= luegox=1;y=2queeslasolución. EJEMPLONº15 Resolver 2 + 3 + 3√ − 5 = 16(1) + − 4√ − 5 = 7(2) SOLUCIÓN: Seanu= + v=√ − 5sustituyendotendremoselnuevosistema 2u + 3v = 16(3) 4(3)+3(4):8u+12v+9u–12v=64+21→17u=85→u=5; 3u − 4v = 7(4) v=2→x–5=4→x=9x+y=25→y=25–9→y=16solución(9,16). GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 60 EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°4 I–Resuelvalossiguientessistemasdeecuaciones 3 x 2 y 7 1- xy 20 x y 7 xy 7- 2 2 x y 133 xy 5 x y 3 2- 2 2 y 6 x 25 2 2 3 x 5 y 7 8- 2 3 xy 4 y 2 4 x 3 y 1 3- 2 12 xy 13 y 25 3 x 2 165 16 xy 9- 2 7 xy 3 y 132 x 4 x 2 y 2 y 4 931 4- 2 2 x xy y 19 x 4 y 4 272 10- x y 2 x 2 xy y 2 84 5- x xy y 6 x 5 y 5 992 11- x y 2 x xy y 65 6- 2 2 x xy y 2275 Soluciones. 8 15 1- 5, 4 , , 3 2 2- 2, 7 , 3- 1,1 , 4- 5, 3 , 3, 5 5- 8, 2 , 2,8 6- 45,5 , 5, 45 7- 9,4 , 4,9 8- 2, 1 , 3, 2 9- 5, 3 , 3, 4 8 97 , 19 19 10- 4, 2 , 2, 4 , 1 15i, 1 15i 53 25 , 88 22 11- 4, 2 , 2, 4 , 1 11i, 1 11i GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 61 GUÍAN°5ECUACIONESIRRACIONALES Introducción. En estaguíaestudiaremoslasecuacionesirracionales,además,conoceremoslosmétodos pararesolverecuacionesirracionalesyotrostiposdeejerciciosqueposeenraícesextrañas. Indicadoresdelogros Conocelosmétodospararesolverecuacionesirracionales. Resuelveejerciciosdeecuacionesirracionales. Socializalosconocimientosadquiridosmediantelarealizacióndeejerciciosconlos compañerosdeclasesylaguíaevaluativa. ECUACIONESIRRACIONALES Pararesolverecuacionesirracionalesprocedemosconelsiguientemétodo: 1- Aislarelradical 2- Elevaralapotenciadelíndicedelaraíz 3- Resolverlaecuaciónresultante 4- Silacantidadsubradicaltiendealinfinito,seprocedeadesarrollardemaneraque sebuscaelcomportamientodelaecuación,hastaencontrarlaraícesosoluciones. EJEMPLONº1 Resolver√ + 2 − = −4 SOLUCIÓN: √ +2− = −4→ √ + 2 = ( − 4) → + 2 = − 8 + 16 − 9 + 14 = 0 →(x–7)(x–2)=0→x=7;x=2 Dondealsustituirenlaecuación√ + 2 − = −4observaremosquelaúnicasolución esx=7,yaquex=2nocumpleconlaigualdad. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 62 EJEMPLONº2 Resolver + 4 + 16 + ⋯ + √4 + 3 − √ = 1 SOLUCIÓN: + 4 + 16 + ⋯ + √4 + 3 = 1 + √ +3 + 4 + 16 + ⋯ + √4 =(1 + √ ) + 4 + 16 + ⋯ + √4 + 3 = 1 + 2√ + 4 + 16 + ⋯ + √4 + 3 = 1 + 2√ +3 4 + 16 + ⋯ + √4 4 + 16 + ⋯ + √4 = (1 + 2√ ) + 3 = 1 + 2 √ + 4 16 + ⋯ + √4 + 3 = 1 + 2 √ ⋮=⋮ √4 √4 4 + 3 = 1 + 2 √ +3 = 1+2 √ + 3 = 1 + 22 √ + 4 2 √ = 1 = GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 63 EJEMPLONº3 Resolver ( + 1) − 3 + 2√ = √ − 1 SOLUCIÓN: ( + 1) − 3 + 2√ = √ − 1 x+1– 3 + 2√ = 3 + 2√ − 2√ + 1 = 2√ 3x+2√ =4x (2√ )2=(x)2 4x–x2=0 x=0,x=4 Dondelasoluciónesx=4,yaquex=0nocumplelaigualdad. EJEMPLONº4 Resolver √ =x+3 SOLUCIÓN: √x − 7x + 5x − x + 6=x2+3x √x − 7x + 5x − x + 6 =(x2+3x)2 x − 7x + 5x − x + 6=x4+6x3+9x2 −x − 4x − x + 6 = 0(–1) x + 4x + x − 6 = 0,pordivisión sintética P(1)=(1)3+4(1)2+1–6=0 queesunfactor x + 4x + x − 6 = 0 (x–1)(x2+5x+6)=0 (x-1)(x+3)(x+2)=0 x=1,x=–3,x=–2 Dondealcomprobarenlaecuaciónlas solucionesson:x=–3yx=–2 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 64 EJERCICIOSPROPUESTOSGUÍAN°5 I-Resuelvalassiguientesecuacionesirracionales x x x x 1) 3 x 2 x x 3 x 2 7 22 x 3 3 2) 5 3) x 2 2 x2 6 x 24 6 x 4) 3 x 2 4 x 3 x 2 16 x 21 16 x 3x2 8 x 1 8 x 5) 7 x x x 2 6) 2x2 9x 4 3 2x 1 2x2 21x 11 7) 2 x 2 5 x 7 3( x 2 7 x 6) 7 x 2 6 x 1 0 8) x 1 x 1 2 1 x x 6 Soluciones. 1.x= 25 16 2.x= 27, 7 8 415 5.x= 5, , 3 6 25 147 3.x= 2, 8, 3 3 5 1 6.x= 5, 2 7.x=1, 9, 18 5 5 2 70 4.x= 3, , 3 3 8.x= 9 4 , 13 13 GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 65 VII-REFLEXIONESALALUZDEUNAPUESTAENPRÁCTICADELASGUÍAS En los cursos que he impartido para preparar a jóvenes que presentarán el examen de admisión de la UNI, he podido percibir que la temática abordada es la misma que los programasdesecundaria,eneláreadematemática,sin embargoelniveldeexigenciadel examencontieneunmayorgradodeprofundidaddelqueseabordaduranteelestudiode secundaria;dondemehevistoobligadoadarpropiedades,teoremasyaxiomasquenose encuentran en el currículum educativo de Nicaragua, por ejemplo: encontrar cualquier términoeneldesarrollodelbinomiodeNewton. Como docente he tratado de incluir algunos temas que no están en los programas de matemáticasparaeducaciónbásicaymedia,ymisalumnosaliniciolovenextraño,yaque algunoscomparansuscuadernosconsusamigosdeotroscentrosdeestudiosenelmismo gradoydicenqueesonolohanvisto,siemprecumpliendoconelprograma. Enelaño2010vinoamiAcademiadeMatemática,Lic.AmandaSalazarPereira(AMAS),un estudiante de la Escuela Sabatina de Jóvenes Talento de Nicaragua con ejercicios que le orientaron como tarea; eran de congruencia y teoría de números; lo curioso es que yo acababaderecibircongruenciaenelquintoañodemicarreradeMatemática.Mellamóla atención que un niño de 12 años estuviera recibiendo estos contenidos, y comencé a impartirle clases y profundizar en su temática; ya que encontré en la clase de álgebra ejerciciosquenuncahabíavistodurantemisestudiossecundariosyuniversitarios,esmás me dió un ejercicio de álgebra que me llevó un año en poder resolverlo y encontrar ejercicios similares, fue entonces que indagué y conocí más de las Olimpiadas de MatemáticasdelCaribe,Mexicanas,Argentinas,Chilenas,Españolas,internacionales,etc. HoyendíaélJovenseencuentraen3ernivelenlaEscuelaSabatinadeJóvenesTalentode Nicaragua,son4niveles.Yestoyayudándolesa6niñosmásdedichaEscuela. El30deseptiembredelaño2011sellevóacabounacapacitaciónadocentesdesecundaria deChinandega,eneláreadeMatemática,porpartedelaAcademiadeMatemáticasAMAS, implementando la Guía N° 2 de esta monografía y dejando un precedente de las aplicaciones de estos contenidos y su importancia en las olimpiadas matemáticas nacionaleseinternacionales. Por esta razón en esta monografía incluimos parte de la temática que se aborda en el álgebraparalasolimpiadasinternacionalesdematemáticas. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 66 VIII-CONCLUSIONES Conlarealizacióndeestedocumentoyenreferenciaasutemáticaabordada: 1. Sedisponedeun conjuntodeguíasquepermitenresolver ejercicioscomplejosde matemática de secundaria no abordados en el programa educativo de educación básicaymediadeNicaragua. 2. Se trata de impulsar una nueva temática a evaluar a nivel de Nicaragua y sus departamentos en las Olimpiadas de Matemática, como se hace en la Olimpiadas delCaribeyLatinoamérica. 3. Se proponen métodos, no tradicionales, para la resolución de algunos ejercicios matemáticos. 4. Se fortalece la enseñanza – aprendizaje de las matemáticas en el aula de clase de educaciónmedia. 5. Se enriquece el conocimiento de los docentes que hagan uso de este tipo de ejercicioscomplejos. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 67 IX-RECOMENDACIONES 1. Quelosdocentesdeeducaciónmedia,introduzcanensusclasesdematemáticaeste tipodeejercicioscomplejos. 2. QuelasautoridadesdelMinisteriodeEducaciónadecuenelcurrículodeeducación, aunnivelmásprofundodelconocimientomatemático. 3. Que los estudiantes practiquen este tipo de ejercicios y no se queden solo con los métodosderesolucióntradicionalesimpartidosporsuprofesorenelauladeclase. 4. Que se implemente capacitaciones para docentes con el fin de llevar hasta sus conocimientos nuevos métodos de resolución y mejorar la enseñanza de las matemáticasaniveldesecundaria. GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 68 X-BIBLIOGRAFÍA 1. ActaLatinoaméricanadeMatemáticaEducativa,Vol.23,año2010 2. AnfossiAgustín,CursodeAlgebra,7maed.,1959,EditorialProgreso,S.A.,México, D.F. 3. CapacitaciónparaInstructores.(OficinadeasistenciaparadesastresOFDA,Programa deAsistenciaTécnicayCapacitación).2010 4. CarreñoC.X.,yCruzS.X.(2002).Álgebra.(2ªed.)SantiagodeChile.ARRAYAN EDITORESS.A. 5. CharlesH.Lehmam,Álgebra,1raed.,1984,EditorialLimusadeS.A.deC.V. 6. 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Swokowski,EarlW&,Cole,Jeffery.Álgebraytrigonometríacongeometríaanalítica. ,3ra.Ed.,1992,GrupoEditorialIberoamérica,S.A.deC.V.,MéxicoD.F. 27. Thebeginningsandevolutionofalgebra,[enlínea],consultadoeldía22dejuniodel 2011.DelaWorldWideWeb: http://books.google.com/books?id=eBefKDTfmO8C&lpg=PP1&ots=P7iG9EMsJ8& dq=the%20beginnings%20and%20evolution%20of%20algebra&pg=PP1#v=onep age&q&f=true 28. V.Lidskiyotros.,Problemasdematemáticaselementales,1972,EditorialMIR-Moscú 29. Valornumérico,[enlínea],consultadoeldía5demayodel2011.DelaWorldWide Web:http://profe-alexz.blogspot.com/2011/02/valor-numerico-de-unaexpresion.html 30. Videostutorialesdelmatemáticaparaelbachillerato,[enlínea],consultadoeldía22 dejuniodel2011.DelaWorldWideWeb:http://www.matematicasbachiller.com/ GUÍAS DIDÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COMPLEJOS DE LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA MONOGRAFIA PROF. ERNESTO RAMÓN BERRÍOS SALAZAR 70 XI-ANEXOS