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MODELOS ATOMICOS
1. Calcular el valor del radio de la órbita que recorre el electrón del hidrogeno en su estado normal.
Datos. h = 6’63×10−27 erg·s, m(e−) = 9’1×10−28 g, q(e− ) = 4’8×10-10 u.e.e.
Solución.
El radio de la órbita que describe el electrón en el átomo de hidrógeno en estado fundamental según
el modelo de Böhr se obtiene teniendo en cuenta la cuantificación de las órbitas y la igualdad entre la fuerza
de atracción del núcleo sobre el electrón y la fuerza centrípeta a la que esta sometido el electrón:
h
e2
m·v·r = n·
m·v 2 =
2π
r
despejando entre las dos ecuaciones el radio de la órbita, se llega a una expresión para el radio en función de
una serie de constantes:
r = n2
h2
4π 2 me 2
Donde m es la masa del electrón, e es la carga y n es el número cuántico principal, que para el hidrógeno en
estado fundamental vale 1.
Sustituyendo por sus valores numéricos:
r = 12
(6'63 ×10 )
⋅ 9'1× 10 ⋅ (4'8 × 10 )
−27 2
4π
2
−10 2
− 28
0'531 ⋅10 −8 cm = 0'531Å
2. En el estudio del átomo de hidrogeno se desea saber:
La energía que posee un átomo de hidrógeno en su estado normal.
La energía que será necesaria para trasladar el electrón hasta la órbita n = 5.
La frecuencia y longitud de onda de la radiación emitida al volver el electrón a su órbita n = 1.
La energía necesaria para que todos los electrones de un átomo-gramo de hidrógeno se trasladen a la
órbita de n = 5.
Datos: NA = 6,023×1023 átomos · mol−1; h = 6’63×10−27 erg·s, m(e−) = 9’1×10−28 g, q(e− ) = 4’8×10-10 u.e.e., c
= 3×108 m/s
Solución.
a.
Combinando las ecuaciones de la energía y del radio de una órbita, se obtiene la energía de una
órbita en función de n, sustituyendo por sus valores en el sistema uee y CGS, y teniendo en cuenta que el
electrón en el átomo de hidrógeno en estado fundamental esta situado en el nivel 1:
a)
b)
c)
d)
E=−
2π 2 me 4
n 2h 2
=−
(
2π 2 ⋅ 9'1× 10 −28 ⋅ 4'8 × 10 −10
2
(
1 ⋅ 6'63 × 10
)
− 27 2
)
4
= −2'17 × 10 −11 erg = −2'17 × 10 −18 J
El signo negativo indica el sentido de la energía, en este caso el electrón desprende esta cantidad.
b.
La energía asociada a las transiciones de electrones entre distintos niveles viene expresada por
 1
1 
E = R H ⋅ 2 − 2 
n

 1 n2 
donde RH es la constante de Rydberg que según sea utilizada para calcular energía o longitud de onda puede
expresarse en distintas unidades (2’18×10-18 J, 109740cm−1 longitud de onda), n1 y n2 son los números
cuánticos principales de los niveles de salida y llegada.
 1
1 
E = 2'18 × 10 −18 ⋅  2 − 2  = 2'09 × 10 −18 J
1

 1 52 
-1-
c.
Al regresar a la órbita de partida el electrón se desprenderá de la misma cantidad de energía que
absorbió para llegar a ella ya que las órbitas están cuántizadas, y en ellas el contenido energético del electrón
es constante.
Conocida la energía, la frecuencia de la radiación se calcula mediante la ley de Planck que establece
que la energía de cada cuanto es igual a la frecuencia de la radiación multiplicada por la constante universal
E
E = h ⋅ν : ν =
h
2'09 × 10 −18 J
ν=
= 3'15 × 1015 s −1
6'63 × 10 −34 J ⋅ s
La frecuencia se relaciona con la longitud de onda mediante la velocidad de la luz.
c
c 3 × 10 8 m ⋅ s −1
ν=
= 9'5 ⋅10 −8 m
λ= =
λ
ν 3'15 × 1015 s −1
d.
Para calcular la energía necesaria para promocionar todos los electrones de un átomo-gramo de
hidrógeno hasta la órbita de n = 5, basta multiplicar la energía necesaria para un átomo por el número de
Avogadro.
E = 2'09 × 10 −18 J
⋅ 6'02 × 10 23 átom
⋅10 −3 kJ = 1258'2 kJ
átomo
at − g
J
at − g
3. Para ionizar el átomo de Na se necesitan 49·105 J/mol. Si esta energía es de procedencia luminosa
¿Cuál es la frecuencia más baja del haz luminoso que sería necesario para efectuar la ionización?, ¿y su
longitud de onda? Datos: NA = 6,023×1023 átomos · mol−1; h = 6’63×10−34 J·s; c = 3×108 m/s
Solución.
Lo primero es cambiar la energía de ionización de J/mol a J/átomo.
J
1
E Ionización = 49 ⋅10 5
⋅
= 8'14 ⋅10 −18 J
átomo
mol
23 átomos
6'02 ⋅10
mol
Conocida la energía, la frecuencia de la radiación se calcula mediante la ley de Planck que establece
que la energía de cada cuanto es igual a la frecuencia de la radiación multiplicada por la constante universal.
E
E = h ⋅ν : ν =
h
8'14 × 10 −18 J
ν=
= 1'23 × 1016 s −1
6'63 × 10 −34 J ⋅ s
Toda radiación luminosa cuya frecuencia sea mayor o igual a 1’23×1016 s−1, producirá la ionización
de sodio.
La frecuencia se relaciona con la longitud de onda mediante la velocidad de la luz.
c
c 3 × 10 8 m ⋅ s −1
ν=
λ= =
= 2'44 ⋅10 −8 m
λ
ν 1'23 × 1016 s −1
Teniendo en cuenta que la energía es inversamente proporcional a la longitud de onda, toda
radiación luminosa cuya longitud de onda sea menor o igual a 2’44×10−8 m, producirá la ionización de sodio.
-2-
4. Calcular en Julios y en eV la diferencia de energía entre los subniveles 1s y 2p del átomo de cobre,
sabiendo que la longitud de onda de la radiación emitida por el electrón en dicho transito es 1’54×10−10m.
Datos: h = 6’63×10−34J·s, c = 3×108 m/s, q(e−) = 1’6×10−19 C.
Solución. 1’29×10−15 J, 8072 eV
La energía y longitud de onda se relacionan mediante las ecuaciones:
E = h ⋅ ν 
3 × 10 8 m
c
s = 1'29 × 10 −15 J
c  : E = h ⋅ = 6'63 × 10 −34 J ⋅ s
−10
ν=
λ
1'54 × 10 m
λ 
Para calcular la energía en electrón-voltio, basta dividir la energía en julios entre la carga del electrón
en culombios.
E(J )
1'29 × 10 −15 J
=
= 8072eV
E(eV ) =
q e−
1'6 × 10 −19 J
eV
( )
5. Las energías para la 2º y 3º órbitas del modelo atómico de Bohr para el átomo de hidrógeno son
E2=−3’4 eV y E3= −1’51 eV.
a) Determinar en Amstrong la longitud de onda de una línea de la serie Balmer cuando n = 3.
b) A que zona del espectro corresponde esa radiación.
c) Si la longitud de onda calculada correspondiera a la onda asociada a un electrón, ¿cuál sería la
velocidad de dicho e-.
Datos. h = 6’63×10−34J·s, c = 3×108 m/s, q(e−) = 1’6×10−19 C, m(e−) = 9’1×10−31 Kg.
Solución.
a.
La longitud de onda correspondiente a un salto entre dos niveles energéticos está relacionada con el
incremento de energía entre esos niveles.
∆E = h ⋅ ν 
c
c :λ = h⋅
ν=
E
∆
λ 
Donde ∆E es el incremento de energía entre los dos niveles. Por tratarse de la serie de Balmer, será del nivel
tres al nivel dos.
∆E = E 2 − E 3 = −3'4 − (−1'51) = −1'89eV
El signo negativo indica que la energía es desprendida por el electrón, solo tiene carácter físico.
∆E = 1'89eV ⋅1'6 × 10 −19 eV = 3'02 × 10 −19 J
J
8 m
3 × 10
c
s = 6'586 × 10 −7 m = 6586Å
λ = h⋅
= 6'63 × 10 −34 J ⋅ s ⋅
∆E
3'02 × 10 −19 J
b.
Al ultravioleta λ = 6’6×10−5 cm
c.
Según la teoría de De Broglie, cualquier partícula material lleva asociada una onda cuya longitud de
onda viene expresada por:
h
λ=
m⋅v
-3-
En el caso de un electrón
λ=
h
m e− ⋅ v e−
Expresión de la que se puede despejar la velocidad.
h
6'63 × 10 −34 J ⋅ s
= 1106 m
v e− =
=
s
m e − ⋅ λ 9'1× 10 −31 kg ⋅ 6586 ⋅10 −10 m
6. Sabiendo que la energía que posee él e- de un átomo de H en su estado normal es 2’18·10−18 J.
Calcular:
a) Potencial de ionización del H en eV.
b) Longitud de onda y frecuencia de la radiación emitida cuando el electrón pasa del nivel
n = 4 al n = 2.
Datos. h = 6’63×10−34J·s, c = 3×108 m/s, q(e−) = 1’6×10−19 C, RH = 109740 cm−1.
Solución.
a.
El potencial de ionización es igual a la energía que posee el electrón en su estado fundamental.
1
E = 2'18 × 10 −18 J = 2'18 × 10 −18 J ⋅
= 13'6eV
1'6 × 10 −19 J
eV
b.
El inverso de la longitud de onda de la radiación luminosa al saltar el electrón desde el nivel n = 4 al
n = 2, viene expresada por:
 1
1
1 
= R H ⋅ 2 − 2 


λ
 n1 n 2 
Aplicando al salto pedido:
1
1
 1
= 109740cm −1 ⋅  2 − 4
λ
4
2

 = 20576cm −1 ⇒ λ = 4'86 × 10 −7 m

Conocida la longitud de onda de la radiación luminosa emitida, se calcula la frecuencia.
3 × 10 8 m
c
s = 6'17 × 1014 s −1
ν= =
λ 4'86 × 10 −7 m
7. La lámpara de Hg emite una luz azul verdosa, este color procede de la radiación cuya longitud de
onda esta comprendida entre 4348 Å y 5461 Å. Calcular la energía de fotón en cada una de estas radiaciones.
Datos. h = 6’63×10−34J·s, c = 3×108 m/s.
Solución.
Utilizando la ecuación de Planck y la relación entre la frecuencia y la longitud de onda, se obtiene
una relación entre la energía y la longitud de onda.
E = h ⋅ ν 
c
c :E = h⋅
ν= 
λ
λ 
3 × 10 8 m
c
s = 3'64 × 10 −19 J
E1 = h ⋅
= 6'63 × 10 −34 J ⋅ s ⋅
λ1
5461× 10 −10 m
3 × 10 8 m
c
s = 4'46 × 10 −19 J
− 34
E2 = h ⋅
= 6'63 × 10 J ⋅ s ⋅
−10
λ2
4461× 10 m
-4-
8. Los rayos X tienen una longitud de onda comprendida entre 1 Å y 10 Å. Calcular las energías
correspondientes a los extremos del espectro de rayos X.
Datos. h = 6’63×10−34J·s, c = 3×108 m/s.
Solución. 1’99×10−15 J, 1’99×10−16 J
Utilizando la ecuación de Planck y la relación entre la frecuencia y la longitud de onda, se obtiene
una relación entre la energía y la longitud de onda.
E = h ⋅ ν 
c
c :E = h⋅
ν= 
λ
λ 
3 × 10 8 m
c
s = 1'99 × 10 −15 J
−10
−34
λ 1 = 1Å = 10 m → E 1 = h ⋅
= 6'63 × 10 J ⋅ s ⋅
λ1
1× 10 −10 m
3 × 10 8 m
c
s = 1'99 × 10 −16 J
λ 2 = 10Å = 10 × 10 −10 m → E 2 = h ⋅
= 6'63 × 10 −34 J ⋅ s ⋅
λ2
10 × 10 −10 m
9. Calcular en eV, la energía de los fotones de una onda de radio de 5 MHz de frecuencia.
Datos: h = 6’63×10−34 J·s.
Solución.
E = h ⋅ ν = 6'63 ⋅10 −34 J·s ⋅ 5 ⋅10 6 s −1 = 3'31⋅10 −27 J
Teniendo en cuenta que un eV equivale a 1’6×10−19 J.
3'31 ⋅10 −27 J
E=
= 2'07 ⋅10 −8 eV
1'6 ⋅10 −19 J
eV
10. Un electrón tiene una energía cinética de 102 eV, calcular la longitud de onda asociada a esa
partícula material.
Datos. h = 6’63×10−34J·s, q(e−) = 1’6×10−19 C, m(e−) = 9’1×10−31 Kg.
Solución.
Según el principio de dualidad onda-corpúsculo de De Broglie:
h
λ=
m⋅v
El producto m·v (cantidad de movimiento) se puede obtener de la energía cinética que tiene el
electrón.
1
mv 2
2
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por la masa (m) y despejando el producto m·v, se obtiene la
cantidad de movimiento en función de la energía cinética y la masa de la partícula.
1
m 2 v 2 = 2m ⋅ E c
m⋅Ec = m2v2
m ⋅ v = 2m ⋅ E c
2
Sustituyendo en la longitud de onda de De Broglie aplicada para un electrón:
h
λ=
2m e − ⋅ E c
Ec =
La energía cinética del electrón expresada en eV se transforma en julios multiplicando por la carga
del electrón.
E c = 102eV ⋅1'6 × 10 −19 J
= 1'63 × 10 −17 J
eV
λ=
h
2m e − ⋅ E c
=
6'63 × 10 −34 J ⋅ s
2 ⋅ 9'1× 10
− 31
kg ⋅1'63 × 10
-5-
−17
= 1'21× 10 −10 m = 1'21Å
J
11. Calcula la longitud de onda en Amstrong de un electrón que es acelerado con una diferencia de
potencial de 10000 voltios.
Datos. h = 6’63×10−34J·s, q(e−) = 1’6×10−19 C, m(e−) = 9’1×10−31 Kg.
Solución.
El electrón al ser acelerado por un campo eléctrico adquiere una energía cinética que viene expresada
por:
E c = q e− ⋅ V
donde V es la diferencia de potencial y Ec la energía cinética del electrón.
1
m − ⋅ v e2− = q e − ⋅ V
2 e
De esta igualdad, multiplicando ambos miembros por la masa del electrón se puede despejar el
producto m·v, y conocida la cantidad de movimiento se puede calcular la longitud de onda de De Broglie.
1 2
m − ⋅ v e2− = m e − ⋅ q e − ⋅ V
m e − ⋅ v e − = 2m e − ⋅ q e − ⋅ V
2 e
h
h
6'63 × 10 −34 J ⋅ s
λ=
=
=
= 1'23 × 10 −11 m = 0'123Å
−31
−19
m e− ⋅ v e−
2m − ⋅ q − ⋅ V
2 ⋅ 9'1× 10 kg ⋅1'6 × 10 C ⋅10000 v
e
e
12. ¿Qué energía posee un electrón arrancado al aluminio por una luz de frecuencia 8×1014 s−1?
Calcular el potencial de ionización del aluminio expresado en kJ/mol.
Datos: Frecuencia umbral del aluminio = 6×1014 s−1, h = 6’63×10−34 J·s.
Solución.
La energía que adquiere el electrón, será la diferencia entre la energía comunicada (E) y la energía de
extracción del metal (φ).
E e− = E − φ
Aplicando la ecuación de Planck
E e − = h ⋅ ν Radiación − h ⋅ ν Umbral = h ⋅ (ν Radiación − ν Umbral )
Sustituyendo
(
)
E e − = h ⋅ (ν Radiación − ν Umbral ) = 6'63 ⋅10 −34 J ⋅ s 8 ⋅1014 − 6 ⋅1014 s −1 = 1'33 ⋅10 −19 J
El potencial de ionización es la energía necesaria para arrancar un extraer un electrón de su estado
fundamental un átomo en estado gaseoso. Conocida la frecuencia umbral de extracción, y mediante la
ecuación de Planck, se obtiene la energía de ionización por átomo.
E i = h ⋅ ν Umbral = 6'63 ⋅10 −34 J ⋅ s ⋅ 6 ⋅1014 s −1 átomo −1 = 3'98 ⋅10 −19 J
at
Multiplicando por el número de Avogadro y dividiendo por mil se obtiene el potencial de ionización
en kJ/mol.
E i = 3'98 ⋅10 −19 J ⋅ 6'02 ⋅10 23 at
⋅10 −3 kJ = 239'48 kJ
at
mol
J
mol
13. Calcula la cantidad de movimiento de un fotón de luz roja cuya frecuencia es 4’4×1014 s−1.
Datos. h = 6’63×10−34J·s, c = 3×108 m/s.
Solución.
Según la teoría onda-corpúsculo de De Broglie toda onda lleva asociada una masa y entre ellas existe
la relación:
h
λ=
p
Por otro lado, la longitud de onda y la frecuencia de un fotón se relacionan por:
c
λ=
ν
-6-
Igualando ambas expresiones se puede despejar la cantidad de movimiento asociada al fotón.
h c
=
p ν
h ⋅ ν 6'63 ⋅10 −34 J·s ⋅ 4'4 × 1014 s −1
=
= 9'72 ⋅10 − 28 kg ⋅ m / s
8 m
c
3 ⋅10
s
p=
14. La frecuencia umbral de cierto metal es 8,8 ⋅1014 s −1 . Calcula la velocidad máxima de los
electrones emitidos por ese metal, cuando se ilumina con luz, cuya longitud de onda es 2536 Å. ¿Qué energía
cinética poseen esos electrones?
Datos. h = 6’63×10−34J·s, c = 3×108 m/s, m(e−) = 9’1×10−31 Kg.
Solución.
Según el fotoeléctrico, la diferencia de energía entre la comunicada a un átomo y la energía umbral
de extracción es la energía que adquieren los electrones extraídos. En el caso de que esta energía se emplee en
variar su cantidad de movimiento, será energía cinética.
Ec e− = E − φ
Aplicando la ecuación de Planck, la energía cinética se puede poner en función de las frecuencias.
E c e − = E − φ
−
 : E c e = h ⋅ ν Luz − h ⋅ ν Umbral = h ⋅ (ν Luz − ν Umbral )
E = h ⋅ ν 
( )
( )
( )
La frecuencia de la luz se puede expresar en función de su longitud de onda, quedando la expresión
anterior de la siguiente forma:
E c e − = h ⋅ (ν Luz − ν Umbral )

 c

−
c
− ν Umbral 
 : E c e = h ⋅ 
ν Luz =

 λ Luz

λ Luz

Sustituyendo valores
 3 ⋅10 8 m

 c


s − 8'8 ⋅1014 s −1  = 2'01 ⋅10 −19 J
E c e − = h ⋅ 
− ν Umbral  = 6'63 ⋅10 −34 J·s

 2536 ⋅10 −10 m
 λ Luz



( )
( )
( )
Conocida la energía cinética del electrón se calcula su velocidad.
Ec =
1
m − v 2− → v e − =
2 e e
2E c
=
m e−
2 ⋅ 2'01 ⋅10 −19 J
9'1 ⋅10 −31 kg
= 6'64 ⋅10 5 m
s
15. Una superficie de cierto metal emite electrones cuya energía cinética equivale a 3 eV cuando se
la ilumina con luz monocromática de longitud de onda 1500 Å. ¿Cuál es el valor de la frecuencia umbral de
ese metal?
Datos. h = 6’63×10−34J·s, q(e−) = 1’6×10−19 C, c = 3×108 m/s.
Solución.
Según el fotoeléctrico, la diferencia de energía entre la comunicada a un átomo metálico y la energía
umbral de extracción es la energía que adquieren los electrones extraídos. En el caso de que esta energía se
emplee en variar su cantidad de movimiento, será energía cinética.
Ec e− = E − φ
( )
La energía cinética está expresada en eV/át, multiplicándola por la carga del electrón se transforma a
J/át.
E c = 3 eV
at
⋅1'6 ⋅10 −19 J
-7-
eV
= 4'8 ⋅10 −19 J
at
La energía asociada a la radiación monocromática se calcula mediante la ecuación de Planck y la
relación entre la frecuencia y la longitud de onda.
E = h ⋅ ν 
3 ⋅10 8 m
c
s = 1'33 ⋅10 −18 J
c  : E = h ⋅ = 6'63 ⋅10 −34 J·s
−10
ν=
λ
1500
⋅
10
m

λ 
Sustituyendo en la ecuación del efecto fotoeléctrico se obtiene la energía umbral (φ)
φ = E − E c e − = 1'33 ⋅10 −18 J − 4'8 ⋅10 −18 J = 8'5 ⋅10 −19 J
( )
Conocida la energía umbral de extracción, y mediante la ecuación de Planck de nuevo se calcula la
frecuencia umbral.
φ 8'5 ⋅10 −19
h
ν Umbral = =
= 1'28 ⋅1015 s −1
E=
h 6'63 ⋅10 −34
ν
16. La longitud de onda de la onda asociada a un electrón que a sido acelerado con una determinada
diferencia de potencial es 0’129 Å. ¿Cuál es el valor de esa diferencia de potencial?
Se supone que no hay variación en la masa del electrón.
Datos. h = 6’63×10−34J·s, q(e−) = 1’6×10−19 C, m(e−) = 9’1×10−31 Kg.
Solución.
De la hipótesis de De Broglie aplicada a un electrón que ha sido acelerado
h
λ=
m e− v
se puede obtener la energía cinética que ha adquirido dicho electrón. Se despeja el producto m·v
h
m e− v =
λ
Se elevan los dos miembros de la ecuación al cuadrado
h2
m e2− v 2 = 2
λ
Se dividen ambos miembros de la ecuación por la masa del electrón
h2
m e− v 2 =
m e − λ2
Se multiplican ambos miembro de la igualada por ½
1
h2
m e− v 2 =
2
2m − λ2
e
convirtiéndose el primer miembro de la igualdad en la energía cinética
Ec =
h2
2m e − λ2
Como la energía ha sido adquirida por la presencia de una diferencia de potencial
E = q e− V
Igualando ambas expresiones
-8-
E = q e− V 
h2
h2

h 2  : q e− V =
V
→
=
Ec =
2m e − q e − λ2
2m e − λ2
2m e − λ2 
Sustituyendo los valores
V=
(6'63 ⋅10
)
C ⋅ (0'129 ⋅10
−34
2 ⋅ 9'1 ⋅10 −34 kg ⋅1'6 ⋅10 −19
J·s
2
−10
m
)
2
= 9071v
17. Al iluminar potasio con luz amarilla de sodio de λ = 5890 Å se liberan electrones con una energía
de 0’577×10−19 J. Al iluminar el potasio con luz ultravioleta de una lámpara de mercurio de λ = 2537 Å se
liberan electrones con una energía de 5’036×10−19 J. Deducir:
a) Valor de la constante de Planck.
b) El trabajo de extracción φ ó potencial de ionización del potasio en eV y en kJ/mol.
Solución.
Se dispone de dos radiaciones de diferente longitud de onda que inciden sobre un mismo metal
arrancando electrones con diferente contenido energético.
c
3 ⋅10 8 m
ν=
s = 5'09 ⋅1014 s −1 :
λ
Luz amarilla de Na : λ 1 = 5890 Å → ν =
E 1 e − = 0'577 ⋅10 −19 J
−10
5890 ⋅10 m
Å
c
3 ⋅10 8 m
ν=
s = 1'18 ⋅1015 s −1 :
λ→ν =
λ 2 = 2537 Å 
E 2 e − = 5'036 ⋅10 −19 J
Lampara de Hg :
2537 ⋅10 −10 m
( )
( )
Según el efecto fotoeléctrico, la diferencia entre la energía comunicada al metal (E) y el trabajo de
extracción del metal (φ) es la energía que ganan los electrones.
E e− = E − φ
Teniendo en cuenta que E = h ⋅ ν , y φ = h ⋅ ν o
( )
( )
E e − = h ⋅ ν − h ⋅ ν o = h ⋅ (ν − ν o )
donde ν y νo son respectivamente las frecuencias de la radiación luminosa y la frecuencia de la radiación
umbral del metal.
Aplicando esta ecuación a cada una de las radiaciones propuestas y dividiendo para eliminar la
constante de Planck se obtiene una relación donde poder calcular la frecuencia de la radiación umbral del
potasio.
E 1 = h ⋅ (ν 1 − ν o )  E 1 ν 1 − ν o
=
:
E 2 = h ⋅ (ν 2 − ν o ) E 2 ν 2 − ν o
Despejando la frecuencia umbral
E ⋅ ν − E 1 ⋅ ν 2 5'036 ⋅10 −19 ⋅ 5'09 ⋅1014 − 0'577 ⋅10 −19 ⋅1'18 ⋅1015
=
= 4'22 ⋅1014 s −1
νo = 2 1
E 2 − E1
5'036 ⋅10 −19 − 0'577 ⋅10 −19
Conocida la frecuencia umbral, se calcula la constante de Planck con la expresión:
E
E e − = h ⋅ (ν − ν o ) → h =
ν − νo
aplicada a una cualquiera de las radiaciones, por ejemplo la de la luz de sodio (1)
E1
0'577 ⋅10 −19 J
h=
=
= 6'63 ⋅10 −34 J·s
ν 1 − ν o 5'09 ⋅1014 − 4'22 ⋅1014 s −1
( )
-9-
La frecuencia umbral y la constante de Planck permiten calcula el trabajo de extracción o potencial
de ionización por átomo
1
φ = h ⋅ ν o = 6'63 ⋅10 −34 J·s ⋅ 4'22 ⋅1014 s −1 = 2'80 ⋅10 −19 J ⋅
= 1'75 eV
−19 J
1'6 ⋅10
eV
−19 J
23 at
−3 kJ
P.I.(K ) = 2'80 ⋅10
⋅ 6'02 ⋅10
⋅10
= 168'56 kJ
at
mol
J
mol
18.
a) Enunciar el principio de exclusión de Pauli. ¿Cuál es el número máximo de electrones en los
orbitales 3d? ¿Y en los 5p? Escribir los números cuánticos representativos del electrón.
b) Enuncia el principio de Hund y aplícalo a los siguientes átomos: 14Si, 15P, 16S, 17Cl.
Solución.
a.
Principio de exclusión de Pauli. “En un átomo cualquiera no pueden existir dos electrones
en el mismo nivel cuántico ó lo que es lo mismo, en un átomo cualquiera no pueden existir
dos electrones con los cuatro números cuánticos”.
Un orbital 3d puede venir representado por los números cuánticos:
(3, 2, −2); (3, 2, −1); (3, 2, 0); (3, 2, 1); (3, 2, 2)
según la orientación que tengan, y cada orbital a su vez puede albergar dos electrones con spines diferentes
(± ½ ), por lo tanto podrá albergar un total de 10 e−.
Un orbital 5p puede venir representado por los números cuánticos:
(5, 1, −1); (3, 1, 0); (5, 1, 1)
según la orientación que tengan, y cada orbital a su vez puede albergar dos electrones con spines diferentes
(± ½ ), por lo tanto podrá albergar un total de 6 e−.
Principio de máxima multiplicidad de Hund. “Los electrones, al ocupar un subnivel,
b.
deberán distribuirse en el mayor número de orbitales posible y de forma que sus spines sean
paralelos”.
2
2s 2 2p 6 3s 2 3p1x 3p1y
•
14 Si : 1s
•
15 P : 1s
2
2s 2 2p 6 3s 2 3p1x 3p1y 3p1z
•
16 S : 1s
2
2s 2 2p 6 3s 2 3p 2x 3p1y 3p1z
•
17 Cl : 1s
2
2s 2 2p 6 3s 2 3p 2x 3p 2y 3p1z
19. Aportaciones de Sommerfeld y Zeeman al conocimiento de la estructura atómica. Explícalo.
Solución.
Las aportaciones de Sommerfeld y Zeeman son lo que se conoce como las correcciones al átomo de
Bohr.
• Las órbitas descritas por los electrones, dentro de cada nivel energético definidas por el número
cuántico principal n, pueden ser circulares ó elípticas, lo cual supone pequeñas diferencias
energéticas en el estado de los electrones originando subniveles energéticos. La excentricidad de la
elipse se cuantifica con el número cuántico secundario ó azimutal l, que a su vez, sirve para
identificar el subnivel energético (s, p, d,…).
El número de subniveles energéticos existentes en cada nivel es igual al número cuántico principal,
•
n.
• Los valores que puede tomar el número cuántico secundario van desde 0 hasta n − 1.
• La orientación en el espacio de las distintas órbitas y su inclinación respecto a un plano de referencia
no puede ser cualquiera, por lo que se introduce el número cuántico magnético, ml, que toma valores
desde −l hasta +l incluido el 0.
- 10 -
20. Expresar el significado de los cuatro números cuánticos según la teoría de Bohr-Sommerfeld, y
los valores que pueden adoptar, poniendo algún ejemplo.
Solución.
n ≡ Número cuántico principal. Cuantifica el tamaño de la órbita, toma valores enteros positivos
desde n = 1.
l ≡ Número cuántico secundario ó azimutal. Cuantifica los subniveles energéticos dentro de cada
nivel, identificando las distintas formas (circulares, elípticas, nodales,…), toma tantos valores como indique n
empezando en 0 y acabando en n−1. l = 0 subnivel s; l = 1 subnivel p; l = 2 subnivel d;…
ml ≡ Número cuántico magnético. Cuantifica la orientación de la órbita, toma valores desde −l hasta
+l incluido el 0.
s ≡ Número cuántico de spin. Cuantifica la rotación del electrón, admitiéndose aunque no sea cierto,
que el electrón puede girar sobre si mismo en dos sentido diferentes y adjudicando a cada sentido de giro un
valor distinto de −½ y +½.
Ejemplo
21. Escribir las configuraciones electrónicas de todos los estados de oxidación que pueden presentar
el nitrógeno y el cloro en sus combinaciones con otros elementos, teniendo en cuenta el principio de máxima
multiplicidad de Hund.
Solución.
N: 1s2; 2s2 p3
N2
Cl: 1s2; 2s2p6; 3s2p5
Cl2
3−
2
2 6
N : 1s ; 2s p NH3
Cl−: 1s2; 2s2p6; 3s2p6
NaCl
Cl+: 1s2; 2s2p6; 3s0p6
Cl2O
N+: 1s2; 2s1 p3 N2O
3+
2
2 0
Cl3+: 1s2; 2s2p6; 3s1p3
HClO2
N : 1s ; 2s p NaNO2
N5+: 1s2; 2s0 p0 HNO3
Cl5+: 1s2; 2s2p6; 3s2p0
KClO3
Cl7+: 1s2; 2s2p6; 3s0p0
NaClO4
N2+: 1s2; 2s0 p3 NO
N4+: 1s2; 2s1 p0 NO2
22. Defina el concepto de electrones de valencia de un elemento y su relación con la posición de los
elementos de la Tabla Periódica, tomando como ejemplo B, C, N, O, F, y Ne.
Solución.
Se denominan electrones de valencia a aquellos que se encuentran situados en la capa más externa
del átomo.
La estructura electrónica de la capa de valencia de los elementos pertenecientes a un mismo grupo es
igual, diferenciándose únicamente en el nivel.
ns2p1
• Terreos ó grupo del boro.
ns2p2
• Carbonoideos. C
• Nitrogenoideos. N
ns2p3
• Anfígenos.
O
ns2p4
F
ns2p5
• Halógenos
• Gases nobles
Ne
1s2 ó para gases nobles con número atómico superior ns2p6
- 11 -
23. Los principios de Hund y de Pauli regulan las configuraciones electrónicas, expresar estos
principios y aplicarlos a los casos de oxigeno (Z = 8) y del ión óxido.
Solución.
Principio de exclusión de Pauli. “En un átomo cualquiera no pueden existir dos electrones en el
mismo nivel cuántico ó lo que es lo mismo, en un átomo cualquiera no pueden existir dos electrones con los
cuatro números cuánticos”.
Principio de máxima multiplicidad de Hund. “Los electrones, al ocupar un subnivel, deberán
distribuirse en el mayor número de orbitales posible y de forma que sus spines sean paralelos”.
•
O: 1s2; 2s2 p 2x p 1y p 1z
•
O2−: 1s2; 2s2 p 2x p 2y p 2z
24. Explicar qué se entiende por estado estacionario, estado fundamental y estados excitados para los
electrones en un átomo, según el modelo de Bohr, y la relación que hay entre estos estados y los espectros
atómicos.
Solución.
• Estado estacionario: El electrón situado en un estado u órbita estacionaria, no emite energía.
• Estado fundamental: Es el estado de mínima energía para los electrones de un átomo.
• Estado excitado: Es el estado de los electrones de un átomo que ha absorbido energía,
promocionando sus electrones exteriores a niveles superiores de energía.
El salto de un electrón desde una órbita estacionaria a otra órbita estacionaria de diferente energía da
lugar a la emisión o absorción de una radiación electromagnética (luz) que es proporcional al salto.
− Si Ei > Ef Emite energía, el electrón pasa de un nivel superior a otro inferior
− Si Ei < Ef Absorbe energía, el electrón pasa de un nivel inferior a otro superior
El análisis de la luz absorbida o emitida en el proceso da lugar a los espectros y permite cuantificar el
salto. Si el haz de luz, se hace pasar por una rendija y un prisma óptico, se descompone en tantos rayos de
luces monocromáticas como colores tenga la luz compleja inicial. Recogiendo en una pantalla o placa
fotográfica los rayos monocromáticos que salen del prisma se obtiene un conjunto de rayas o bandas
coloreadas que se denominan rayas o bandas espectrales, al conjunto de todas ellas se le llama espectro.
25. Escriba la configuración electrónica del estado fundamental de los tomos e iones siguientes: N3−,
Mg , Cl−, K y Fe. ¿Cuáles de ellos son isoelectrónicos? ¿Hay algún caso en el que existan electrones
desapareados?
Datos: Números atómicos: N = 7; Mg = 12; Cl = 17; K = 19; Fe = 26
Solución.
• N3−: 1s2; 2s2 p6
• Mg2+: 1s2; 2s2 p6;3s0
• Cl−: 1s2; 2s2p6; 3s2p6
• K: 1s2; 2s2p6; 3s2p6; 4s1
• Fe: 1s2; 2s2p6; 3s2p6; 4s2; 3d6
2+
Son isoelectrónicos aquellos que tengan igual número de electrones. N3− y el Mg2+
Tienen electrones desapareados (diamagnéticos) el K y el Fe
K: 1s2; 2s2p6; 3s2p6; 4s1
Fe: 1s2; 2s2p6; 3s2p6; 4s2; 3d2, 3d1, 3d1, 3d1, 3d1
- 12 -
26. Razone si las configuraciones electrónicas siguientes representan la fundamental, una excitada o
una imposible para el átomo o anión propuesto:
a) Li = 1s2 2p1
b) C+ = 1s2 2s1 2p1 2d1
c) He = 1p1
d) O+ = 1s2 2s2 2p3
e) H = 1s2
Solución.
a) Li = 1s2 2p1. Excitada. El electrón del subnivel 2s ha promocionado al subnivel 2p
b) C+ = 1s2 2s1 2p1 2d1. Imposible. En el nivel 2 no existen subniveles d
c) He = 1p1. Falsa. Imposible. En el vivel 1 no existen subniveles p y además el He tiene dos
electrones.
d) O+ = 1s2 2s2 2p3. Fundamental.
e) H = 1s2. Imposible. Le sobra un electrón.
27. Defina los conceptos de órbita electrónica y orbital atómico. ¿Por qué la Mecánica Cuántica no
puede admitir las órbitas de Bohr en la explicación teórica del átomo de hidrógeno?
Solución.
Orbita electrónica. Representa la trayectoria del electrón entorno al núcleo.
Orbital atómico. Es la región del espacio donde existe una probabilidad de 99% de encontrar al
electrón.
La mecánica cuántica no puede aceptar el concepto de órbita debido al principio de incertidumbre de
Heisenberg.
∆x · ∆px ≥ h
Si se conoce la orbita, la imprecisión en la posición (∆x)sería cero y por tanto la imprecisión en la
cantidad de movimiento (∆px ) seria infinita.
28. Escriba los valores de los números cuánticos que definen los orbitales del subnivel 2p. Razone
las analogías y diferencias que presentan los citados orbitales en su energía, tamaño, forma y orientación
espacial.
Solución.
m = −1 2p x = (2, 1, − 1)

2p : n = 2 : l = 1 :  m = 0 ⇒ 2p y = (2, 1, 0 )
 m =1
2p z = (2, 1, 1)

Tamaño: Asociado al número cuántico principal (n = 2), por lo tanto los tres son de igual tamaño.
Energía: Asociada a la suma de los números cuánticos principal y secundario ó azimutal (n + l). En
este caso igual para los tres subniveles (2 + 1).
Orientación. Asociada al número cuántico magnético (m). Cada subnivel tiene una orientación
diferente.
29. Razone si serían posibles cada uno de los grupos de números cuánticos para un electrón y
denomine el correspondiente orbital atómico:
a) n = 1; l = 0; m = 0; s = +½;
b) n = 1; l = 3; m = 3; s = +½
c) n = 2; l = 1; m = −1; s = −½
d) n = 5; l = 2; m = 2; s = −½
Solución.
Reglas que siguen los números cuánticos: n = 1, 2, 3,…
l = 0, 1, 2,…, n−1
m = −l,…,−1, 0, 1,…,+l
s=±½
- 13 -
a.
b.
c.
d.
(1, 0, 0, +½) Posible. Representa al subnivel 2s.
(1, 3, 3, +½) Imposible. Incumple las reglas en el valor de l.
(2, 1, −1, −½) Posible. Representa un subnivel 2p.
(5, 2, 2, −½) Posible. Representa un subnivel 5d.
30. Insuficiencias del modelo atómico de Bohr. Teoría de Bohr-Sommerfeld.
Solución.
• Supone que las órbitas descritas por el electrón son circulares
• Considera infinita la masa del núcleo respecto del electrón, cuando en realidad es 1840 veces mayor.
• Supone que el núcleo está fijo, y en realidad se está moviendo.
• No incorpora la teoría de la relatividad a los fenómenos atómicos.
• Hace suponer que las series espectrales de los elementos complicados, pueden expresarse por
deferencia de términos espectrales.
31. Dadas las siguientes configuraciones electrónicas más externas:
a) ns1
b) ns2 np1
c) ns2 np3
d) ns2 np6
Identifique dos elementos de cada uno de los Grupos anteriores y razone Cuáles serán los estados de
oxidación más estables de esos elementos.
Solución.
a) ns1: Metales alcalinos. Li, Na, K,… . Estado de oxidación: +1
b) ns2 np1: Grupo de los terreos. B, Al, Ga,… . Estado de oxidación más estable: +3, también pueden
presentar +1.
c) ns2 np3. Grupo de lo nitrogeoideos. N, P. As,… . Estado de oxidación más estable: −3, también puede
presentar +1, +3, +5
d) ns2 np6. Gases nobles. Ne, Ar, Kr,… . Estado de oxidación: 0
32. Los números cuánticos de cuatro electrones de cierto tomo son:
a) (4,0,0,½)
b) (3,1,1,½)
c) (3,2,−2,−½)
d) (4,1,1,−½)
Identifique los correspondientes orbitales de cada electrón, ordénelos según su energía creciente y enuncie el
principio de Pauli.
Solución.
Nº Cuánticos
Orbital
n
l
n+l
(4,0,0,½)
4s
4
0
4
(3,1,1,½)
3p
3
1
4
3d
3
2
5
(3,2,−2,−½)
4p
4
1
5
(4,1,1,−½)
Criterios de energía:
1. A menor suma n + l, menor energía.
2. A igualdad de suma n + l, es de menor energía el de menor n.
E(3p) < E(4s) < E(3d) < E(4p)
- 14 -
33. Identifique las siguientes configuraciones electrónicas con los correspondientes elementos:
a) 1s22s2p3
b) 1s22s22p2
c) 1s22s22p63s23p3
d) 1s22s22p4
Razone los estados de oxidación más estables de dichos elementos.
Solución.
El estado de oxidación más estable que puede adquirir un elemento es el que le permite obtener
configuración de gas noble, teniendo en cuenta que no puede ganar más electrones que los que tenga en su
última capa, en el caso de que esto ocurra, tenderá a perder.
- 1s22s2p3. Nitrógeno (N). Estado de oxidación más estable: −3
- 1s22s22p2. Carbono (C). Estado de oxidación más estable: −4
- 1s22s22p63s23p3. Fósforo (P). Estado de oxidación más estable: −3
- 1s22s22p4. Oxígeno (O). Estado de oxidación más estable: −2
34. Describa el significado físico de los tres números cuánticos que definen un orbital y razone si son
o no posibles valores (n, l, m) de los siguientes orbitales: (2, 2, 1); (3, −1, 1); (4, 2, 2); (2, 0, −1).
Solución.
n ≡ Número cuántico principal. Cuantifica el tamaño de la órbita, toma valores enteros positivos
desde n = 1.
l ≡ Número cuántico secundario ó azimutal. Cuantifica los subniveles energéticos dentro de cada
nivel, identificando las distintas formas (circulares, elípticas, nodales,…), toma tantos valores como indique n
empezando en 0 y acabando en n−1. l = 0 subnivel s; l = 1 subnivel p; l = 2 subnivel d;…
ml ≡ Número cuántico magnético. Cuantifica la orientación de la órbita, toma valores desde −l hasta
+l incluido el 0.
-
(2, 2, 1). Imposible. Si n = 2 ⇒ L ≤ 1
(3, −1, 1). Imposible. L ≥ o
(4, 2, 2). Posible. Representa el orbital 4d
(2, 0, −1). Imposible. Si L = 0 ⇒ m = 0.
35. Concepto de números cuánticos en los orbitales atómicos y valores que pueden adoptar. Comente
la secuencia de energía creciente de los orbitales atómicos en átomos polielectrónicos, dada por la suma n + 1,
aplicándola a los orbitales de menor energía (desde 1s hasta 5s)
Solución.
n ≡ Número cuántico principal. Cuantifica el tamaño de la órbita, toma valores enteros positivos
desde n = 1.
l ≡ Número cuántico secundario ó azimutal. Cuantifica los subniveles energéticos dentro de cada
nivel, identificando las distintas formas (circulares, elípticas, nodales,…), toma tantos valores como indique n
empezando en 0 y acabando en n−1. l = 0 subnivel s; l = 1 subnivel p; l = 2 subnivel d;…
ml ≡ Número cuántico magnético. Cuantifica la orientación de la órbita, toma valores desde −l hasta
+l incluido el 0.
Nº Cuánticos
(1,0,0)
(2,0,0)
(2, 1, −1)
(2, 1, 0)
(2, 1, 1)
(3,0,0)
Orbital
1s
2s
n
1
2
l
0
0
n+l
1
2
2p
2
1
3
3s
3
0
3
- 15 -
Nº Cuánticos
(3, 1, −1)
(3, 1, 0)
(3, 1, 1)
(3, 2, −2)
(3, 2, −1)
(3, 2, 0)
(3, 2, 1)
(3, 2, 2)
(4,0,0)
(4, 1, −1)
(4, 1, 0)
(4, 1, 1)
(4, 2, −2)
(4, 2, −1)
(4, 2, 0)
(4, 2, 1)
(4, 2, 2)
(4, 3, −3)
(4, 3, −2)
(4, 3, −1)
(4, 3, 0)
(4, 3, 1)
(4, 3, 2)
(4, 3, 3)
(5,0,0)
Orbital
n
l
n+l
3p
3
1
4
3d
3
2
5
4s
4
0
4
4p
4
1
5
4d
4
2
6
4f
4
3
7
5s
5
0
Criterios de energía:
3. A menor suma n + l, menor energía.
4. A igualdad de suma n + l, es de menor energía el de menor n.
5
En orden creciente:
1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 4s < 3d < 4p < 5s < 4d < 4f
36 En la siguiente tabla se indica el número de particular subatómicas de diferentes elementos.
Explique a partir de ella:
a) Cuáles de esas especies son átomos neutros.
b) Cuáles son iones, su carga y si ésta es la más habitual de tales elementos.
c) Cuáles son isótopos y en que se diferencian.
Elementos
Número de electrones
Número de protones
Numero de neutrones
I
5
5
5
II
5
5
6
III
10
7
7
IV
10
12
13
V
13
13
14
Solución.
a. Son átomos neutros aquellos que tengan igual número de electrones que de protones. El I, el II y el
V.
b. Son iones los que tengan distinto número de electrones y protones. Si tienen más protones son
cationes, si tienen más electrones son aniones. El III es un anión de carga −3 y el IV es un catión de
carga +2.
c. Son isótopos aquellos que tengan igual numero de protones pero diferente número de neutrones. El I
y el II. Tienen igual número atómico pero diferente número másico.
- 16 -
37. Escriba la configuración electrónica en estado fundamental de los siguientes átomos o iones:
Be2+(Z = 4)
N3−(Z = 7) F(Z = 9)
En estas configuraciones establezca:
− Cuántos electrones posee con 1 = 0
− Cuántos electrones posee con m = −1
Solución.
Elemento ó ión
Configuración
electrónica
Nº de electrones
con l = 0
Be2+
N3−
F
1s2; 2s0
1s2; 2s2 p6
1s2; 2s2 p5
Nº de electrones
con m = −1
2
4
4
0
2
2
38.
¿ Qué valores puede adoptar el número cuántico magnético m1 para los orbitales 2s, 3d y 4p ?
Enuncie los principios de Pauli y de Hund. Aplíquelos para deducir razonadamente la configuración
electrónica fundamental del elemento Z = 33 señalando, su nombre, su símbolo, el grupo al que
pertenece, los números cuánticos de su electrón diferenciado y los estados de oxidación que puede
adoptar.
Solución.
a. 2s: ml = 0.
3d: ml = −2, −1, 0, 1, 2.
4p: ml = −1, 0, 1.
a.
b.
b.
Principio de exclusión de Pauli. “En un átomo cualquiera no pueden existir dos electrones en el
mismo nivel cuántico ó lo que es lo mismo, en un átomo cualquiera no pueden existir dos electrones
con los cuatro números cuánticos”. Principio de máxima multiplicidad de Hund. “Los electrones,
al ocupar un subnivel, deberán distribuirse en el mayor número de orbitales posible y de forma que
sus spines sean paralelos”.
Z = 33:
•
•
•
•
•
•
Configuración electrónica:1s2; 2s2 p6; 3s2 p6; 4s2; 3d10; 4p3
Nombre: Arsénico
Símbolo: As
Grupo: Nitrogenoideos ó grupo XV ó V B
Nº cuánticos de su e− diferenciador: (4, 1, 1, −½)
Estados de oxidación: ±3, +5
39. El uranio de Z = 92 tiene tres isótopos de los que sus respectivos números másicos (A) son 234,
235 y 238 respectivamente. Si la abundancia relativa de cada uno es 95 %, 4,7 % y 0,3 % respectivamente,
calcular el peso atómico del uranio. Definición de isótopo.
Solución.
La masa atómica de los elementos es la media ponderada del número másico de los isótopos que lo
forman en función de su abundancia.
95
4'7
0'3
M(U ) =
⋅ 234 +
⋅ 235 +
⋅ 238 = 234'059 g
at - g
100
100
100
40. Suponiendo que el C esta formado por una mezcla de dos isótopos cuyos nº másicos son 12 y 13
y que el C tiene un peso atómico de 12,45. Calcular la abundancia relativa de cada isótopo.
Solución.
Teniendo en cuenta la forma de calcular la masa natural de los elementos: Media de los números
másicos de sus isótopos ponderada a su abundancia. Sea x la abundancia del 12C e y la del 13C
y
x

x = 55%
12
+ 13
= 12'45
: Re solviendo
 100
100
 y = 45%

x + y = 100
- 17 -