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Francisco José Ortiz Campos
primera edición ebook 2014
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Renacimiento 180,
Col. San Juan Tlihuaca,
Azcapotzalco, 02400,
México, D.F.
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Grupo Editorial Patria®
División Bachillerato, Universitario y Profesional
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Juan Castro Salgado
Ilustraciones: Carlos Enrique León Chávez y José Luis Mendoza Monroy
Fotografías: Thinkstock
Matemáticas 1.
Serie integral por competencias
Derechos reservados:
©2014, Francisco José Ortiz Campos
©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
ISBN ebook: 978-607-438-980-7
Fax pedidos:
(0155) 5354 9109 • 5354 9102
sitio web:
www.editorialpatria.com.mx
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en
cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
teléfono:
(0155) 53 54 91 00
Primera edición ebook: 2014
Grupo Editorial Patria®
Contenido
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1
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2
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3
BLOQUE
4
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5
Introducción a la asignatura y a tu libro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
Competencias genéricas del Bachillerato General. . . . . . . . . . . . . VIII
Competencias disciplinares básicas del campo
de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
Las secciones de tu libro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
Resuelves problemas
aritméticos y algebraicos
Utilizas magnitudes
y números reales
Realizas sumas y sucesiones
de números
Realizas transformaciones
algebraicas I
Realizas transformaciones
algebraicas II
1.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 8
1.2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Números reales: representación y operaciones .. . . . . . . . . . 35
2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones .. . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 60
3.2 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 82
4.2 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 102
5.2 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
III
Contenido
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6
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7
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8
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9
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10
Resuelves ecuaciones
lineales I
Resuelves ecuaciones
lineales II
Resuelves ecuaciones
lineales III
6.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 124
6.2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora. . 129
6.3 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1 Representación de relaciones entre magnitudes.. . . . . . . . . 158
7.2 Modelos aritméticos o algebraicos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 174
8.2 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . . 195
9.2 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Resuelves ecuaciones
cuadráticas I
Resuelves ecuaciones
cuadráticas II
10.1 Representación de relaciones entre magnitudes .. . . . . . . . 217
10.2 Modelos aritméticos o algebraicos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Vínculos en Internet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
IV
Grupo Editorial Patria®
Introducción
a la asignatura y a tu libro
Francisco José
Ortiz Campos
El contenido temático de esta segunda edición de Matemáticas 1 se ha modificado y enriquecido para adecuarlo
al programa vigente de la asignatura.
Esta obra se desarrolla en diez bloques que son:
Bloque 1
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Inicia con el planteamiento y resolución de problemas aritméticos. A través del lenguaje algebraico se busca generalizar la aritmética. Se proponen algunos problemas para cuya resolución se puede recurrir a su representación
por medio de figuras geométricas o dibujos.
Bloque 2
Utilizas magnitudes y números reales
El concepto de valor absoluto se utiliza como antecedente de las operaciones con enteros. Se revisan las operaciones con racionales. Incluye múltiplos y divisores, mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Las razones y proporciones aparecen como antecedente de la variación proporcional directa e inversa.
Bloque 3
Realizas sumas y sucesiones de números
Se trata lo relacionado con las sucesiones lineales y geométricas así como la determinación de la suma de sus series
correspondientes.
Bloque 4
Realizas transformaciones algebraicas I
Trata lo relacionado con las operaciones de polinomios con una variable, algunos productos notables y su factorización, triángulo de Pascal y binomio de Newton.
Bloque 5
Realizas transformaciones algebraicas II
Trata lo relacionado con la factorización de trinomios de la forma x2 1 mx 1 n y ax2 1 bx 1 c
V
Introducción a la asignatura y a tu libro
Para terminar el bloque, se desarrolla el tema de simplificación de fracciones algebraicas en la que tienen aplicación los conceptos antes estudiados.
Bloque 6
Resuelves ecuaciones lineales I
Aborda ecuaciones de primer grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de primer grado y
la función lineal; se hace la interpretación gráfica de la función lineal y su relación con la ecuación de primer grado.
Bloque 7
Resuelves ecuaciones lineales II
Los sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas son resueltos por métodos algebraicos, también se utiliza el método gráfico y se hace una interpretación de los casos que se presentan.
Bloque 8
Resuelves ecuaciones lineales III
Los sistemas de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelven por reducción y con la
regla de Cramer y se hace una interpretación de los casos en que es posible o no una solución.
Bloque 9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I
Inicia con el planteamiento de problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática con una incógnita como modelo matemático, se revisan los métodos algebraico y gráfico para resolverlos, así como la fórmula general y se analiza
la naturaleza de las raíces de la ecuación.
Bloque 10
Resuelves ecuaciones cuadráticas II
Aborda ecuaciones de segundo grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de segundo
grado y la función cuadrática; se hace la interpretación gráfica de la función cuadrática y su relación con la ecuación de segundo grado.
Cada bloque inicia con su nombre e incluye: objetos de aprendizaje, las competencias a desarrollar y los desempeños por alcanzar; una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como
propuestas de situaciones didácticas.
En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuerdo al enfoque por competencias. Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las
partes que integran la propuesta. A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos. El enfoque por competencias
considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas. En ese proceso entran en juego las
habilidades, capacidades, valores, etc., de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica.
La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe
para consolidar y aplicar su conocimiento. La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas
concretos a resolver por el alumno. En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le
apoyará con teoría y ejemplos resueltos. Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado.
Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades.
Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias. Al inicio de cada
bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:
VI
Grupo Editorial Patria®
Competencia
Es la competencia a desarrollar de acuerdo al programa.
Situación didáctica
Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades,
habilidades, destrezas, valores, etc.
Secuencia
Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo.
Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar para resolver la situación didáctica.
En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar. Estas acciones
tendrán un peso en la evaluación.
Evaluación por producto
Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de
avance del alumno en el desarrollo de una competencia.
Rúbrica de evaluación
Incluye los elementos considerados para la evaluación. Se trata de hacer transparente los citerios de evaluación de
manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación.
Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente,
debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el
y la estudiante la autoevaluación.
Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la
comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas.
Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito
los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos
resueltos. Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo
que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya
solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen,
así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva.
A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para
introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior.
Esperamos que esta segunda edición de Matemáticas 1 sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla.
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
VII
Competencias genéricas del Bachillerato General
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres
deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los
estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-
vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc.
por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludable.
4.Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de modelos, códigos y herramientas
apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6.Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10.Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables.
VIII
Grupo Editorial Patria®
Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas
Competencias disciplinares básicas
Bloques de aprendizaje
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación
de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y
variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2.Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes
enfoques.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3.Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4.Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos
numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje
verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la
comunicación.
5.Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social
o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6.Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente
las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos
que lo rodean.
7.Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un
proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.
8.Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.
IX
Las
Secciones deTu libro
Conoce tu libro
w
Inicio de bloque
Realizas sumas y sucesiones de números
Realizas sumas y sucesiones de números
Objetos de aprendizaje
3.1 Representación de relaciones entre magnitudes.
3.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
„
„
„
2.
Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . .
3.
Calcula el enésimo término y la suma de los términos de la progresión aritmética: 3, 7, 11, . . . (15 términos).
3. Calcula el enésimo término y la suma de los términos de la progresión aritmética: 3, 7, 11, . . . (15 términos).
Dados 3 de los 5 elementos de la progresión aritmética a1 5 23, d 5 22, an
5 5 encuentra los otros 2.
4. Dados 3 de los 5 elementos de la progresión aritmética a1 5 23, d 5 22, an
5 5 encuentra los otros 2.
5.
Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33.
5.
Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33.
7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo
término.
7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo
término.
8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25.
8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25.
Objetos de
aprendizaje
3.1 Representación de relaciones entre magnitudes.
9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5
3, n 5 5, encuentra an y Sn.
9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5
3, n 5 5, encuentra an y Sn.
10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1,
1/2, 1/4, . . .
10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1,
1/2, 1/4, . . .
3.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Desempeños por alcanzar
Desempeños por alcanzar
Competencias a desarrollar
Estos desempeños son los
que se espera que logres
al finalizar cada bloque, te
posibilitan poner en práctica
tus conocimientos, habilidades
y actitudes al realizar cada una
de las actividades propuestas
en este libro.
Desempeños por alcanzar
Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades.
de términos de las sucesiones.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
„ Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales,
la
científicos. mediante la aplicación de
y sucesiones
asíelcomo
sus propiedades.
de términos
de lasensucesiones.
„ para
Construye
e interpreta modelosy matemáticos
„ Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas
y textos
símbolosnuméricas
matemáticos
Clasifica
lascon
sucesiones
en aritméticas y geométricas. Identifica y diferencia las series
Realiza
cálculosnuméricas
obteniendo
enésimo
término y el valor de cualquier
término
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la
y científicos.
sucesión
aritmética yygeométricas.
geométrica tanto finita como infinita mediante
fórmulas
„ Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
Clasifica las sucesiones numéricas
en aritméticas
Realizalas
cálculos
obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en
Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas.
comprensión y análisis de situaciones
reales, hipotéticas o formales.
correspondientes.
reflexiva.
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas
„ Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
Determina
patronesy de senos y sucesiones aritméticas y geométricas.
Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones
aritméticas
correspondientes.
reflexiva.
„ Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
Soluciona
problemas
aritméticos
y
algebraicos
usando
series
y
sucesiones
aritméticas
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
„ Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y
geométricas.
Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y
y algebraicas.
geométricas.
Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos
de obtención
Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones
habilidades
los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo.
„ reales.
Explica e interpreta los resultados
obtenidoscon
mediante
procedimientos
„ Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y
„
Esta sección constituye una
propuesta de evaluación
diagnóstica que te permitirá
establecer las competencias
y conocimientos con los que
cuentas, para así iniciar la
obtención de conocimientos y
capacidades nuevas.
Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . .
6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término.
6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término.
Competencias por desarrollar
Se trata de una conjunción de competencias
disciplinares a lograr en cada bloque, que te
permiten demostrar la capacidad Competencias
que tienesa desarrollar
para aplicar tus conocimientos en situaciones
de la vida personal o social, ya que al mismo
tiempo pondrás en práctica tus destrezas,
habilidades y actitudes.
Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea
5 y la diferencia sea 3.
1. Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea
5 y la diferencia sea 3.
4.
B LO Q U E
¿Qué sabes hacer ahora?
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
2.
3 3
En los objetos de aprendizaje encontrarás
los contenidos estructurados, integrados y
B LO Q U E
contextualizados con una secuencia lógica
y disciplinar, y que son de gran relevancia
y
Objetos de
aprendizaje
pertinencia para el nivel educativo en el que
te encuentras.
w
¿Qué sabes hacer ahora?
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„ Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas
y algebraicas.
para determinar o estimar su comportamiento.
Situación didáctica
Rúbrica
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede
ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una
investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video,
un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que
adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a
través de un reto.
Secuencia didáctica
¿Cómo lo resolverías?
¿Cómo sabes que
lo hiciste bien?
Un jardinero debe depositar una carretilla de tierra al pie de cada
uno de los 30 árboles que están a un lado de una calzada. Los árboles están a intervalos de 6 metros y el montón de tierra está a
10 metros del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y regresado la carretilla al montón de tierra?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cuál es el primer término de la sucesión?
Las rúbricas son métodos
prácticos y concretos que te
permiten autoevaluarte y así poder
emprender un mejor desempeño.
Puedes encontrar tanto actitudinales
como de conocimientos.
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo se determina el n-ésimo término?
Producto a elaborar
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?
Determinación del primer término de la sucesión.
¿Cómo se determina la suma de los n términos?
¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?
Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo
término.
Trabajo individual
Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los
n términos.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
¿Qué tienes que hacer?
Rúbrica
La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los
conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología
que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que
por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
57
1
BLOQUE
Glosario
Bibliografía
Glosario
Ejercicios
Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y
consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o
hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción,
seguridad y soltura durante tu aprendizaje.
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar
dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada.
Abscisa
al origen.
Abscisa del punto en que una recta corta al eje x.
c) Cuando un polinomio se puede expresar como
una
diferencia
Baricentro.
de cuadrados reordenando sus términos, como
en: Punto de intersección de las medianas de un triángulo. También se le conoce como gravicentro o centroide.
x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z 2 5 (x 1 y )2 2 25z 2Coordenadas. Distancias de un punto P a los ejes vertical y horizontal en un sistema coordenado rectangular.
5 [(x 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ]
Actividad de aprendizaje
5 (x 1 y 1 5z )(x
2
2
Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás
diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar
y facilitar tu aprendizaje.
2
2
2
2
2
x
Ecuación simétrica de la recta. También llamada forma de las
8 x y 1 4 x2 y 2 2
5 (x 1 y ) 2 x 2y 2 intersecciones. Aparece en los denominadores y corresponde a los
segmentos que determina sobre los ejes, es decir, sus coordenadas
4x2 y 2
al origen.
5 (x 1 y 2 1 xy )(x 2 1
y 2 2 xy )
1 1
Ejes coordenados. Dos rectas perpendiculares entre sí que diviPor tanto:
den al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.
4 2
Elipse.
1 Lugar
y 2) geométrico de un punto del plano que se mueve
x 4 1 x 2y 2 1 y145 (x 2 1 xy 1 y 2)(x 2 2 xy
de manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una
constante. Los puntos fijos se llaman focos.
 2 
9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )
A continuación se describe otra forma de determinar los binomios conjugados.
2
Factorización de la suma
diferencia
x 2 1 xy 1
1  x 1de1 cubos
5

El cociente de a3 1 b3 entre
4 a 1 b es: 2 
Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráticos:
1 9 x 2 5 3x
16 y 2 9 x 2 1 16 y 2 5 4y
Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las
raíces, es decir:
(3x 1 4y ) y (3x 2 4y )
entonces:
9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )
Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadrados son:
3
8
8
Así, en la factorización de x 2 y se obtiene:
a 1b
5 a2 2 ab 1 b2
a 1b
De manera semejante:
a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2)
Ejemplos
Factoriza 27x 3 1 y 3
2.
Factoriza 27x 3 2 8y 3
27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3
5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2)
27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3
5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2)
5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2)
5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y )
x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )]
2
2
5 (x 1 m 2 n )(x 2 m 1 n )
3
a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2)
1.
3.
Factoriza x 6 1 y 6
x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3
5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4)
4.
Forma general de la ecuación de la parábola:
y 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0
2
donde:
D = −4 a E = −2k y F = k 2 + 4 ah
Forma general de la ecuación de una recta. La ecuación Ax 1
By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta
ecuación los coeficientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero
A y B no pueden ser cero simultáneamente.
Forma normal de la ecuación de una recta. x cos a 1 y sen a
2 p 5 0 es la expresión que corresponde a la ecuación de una recta
en la forma normal.
Forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia:
( x − h) + ( y − k ) = r
2
2
Fuller, Gordon, Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Company, 1993.
Kindle, Joseph H., Geometría analítica plana y del espacio, McGraw-Hill, México, 1984.
Lehmann, Charles H., Geometría analítica, Limusa, México, 2005.
Leithold, Louis, El cálculo con geometría analítica, Harper & Row, 1986.
Middlemiss, Ross R., Marks, James R. John L. Smart, Geometría analítica, McGraw-Hill, México, 1990.
Rees, Paul, Geometría Analítica, Reverté, España, 2008.
Rider, Paul R., Geometría analítica, Montaner y Simon, Barcelona, 1966.
Swokowski, Earl W., Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 11th edition, Brooks Cole, 2007.
Wexler, Charles, Geometría analítica un enfoque vectorial, Montaner y Simon, Barcelona, 1968.
Woods, Federico S. y Bailey, Federico H. Geometría analítica y cálculo infinitesimal, Unión tipográfica Editorial
Hispano Americana (UTEHA), México, 1972.
2
Intersecciones con los ejes. Son los puntos (x, 0) y (0, y) en que
una gráfica corta a los ejes coordenados.
Lado recto. Cuerda focal que es perpendicular al eje de la parábola.
Lugar geométrico. Conjunto de puntos que satisfacen una condición o condiciones dadas. También se le considera como la trayectoria descrita por un punto que se mueve de acuerdo con una o
más condiciones establecidas.
Mediana. Segmento de recta que une el punto medio de un lado
de un triángulo con el vértice opuesto.
Otras herramientas
Vínculos en Internet
Mediatriz. Recta perpendicular a un segmento de recta en su punto medio.
http://www.mathworks.com
Ordenada. Distancia de un punto P al eje horizontal en un sistema
coordenado rectangular.
http://www.wolframresearch.com
http://www.geoan.com
Ordenada al origen. La ordenada del punto en que una recta corta al eje y se llama ordenada al origen de la recta.
Tu libro cuenta también con
glosario, bibliografía, vínculos
en Internet, líneas de tiempo,
diagramas, mapas
conceptuales, además de
atractivas imágenes y otras
muchas secciones y
herramientas que te resultarán
muy útiles y complementarán
tu aprendizaje.
156
entonces
x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4)
b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2
n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de
la siguiente forma:
Extensión. Conjunto de números reales en el que está definida
una variable.
154
Factoriza x 9 2 y 12
x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3
5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8)
91
X
2
2
x 4 1 x 2y 2 13y 42 5 x 4 21 2x 2y 2 1 y 4 2tipox 2dey ésta.
Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cuadrado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se
buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y,
términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan.
a) Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de
cuadrados es necesario continuar la factorización.
Ejemplos
Diagonal. Segmento de recta que une dos vértices no consecuti1vosyde2un polígono.
5z )
Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor
d) Cuando un polinomio se puede expresar como
una diferencia
coincidente con el eje x.
de cuadrados mediante el artificio de sumar y restar el mismox y
+ =1
término. Por ejemplo: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa que si ela b
Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor
segundo término fuera 2x 2y 2 se tendría un trinomio
coincidente cuadrado
con el eje y.
2
22
perfecto factorizado por (x 1 y ) . Si se agrega y se quita alx + y = 1
ax
bx
1
2 2
b
a
y a, 1
se bobtiene:
polinomio el término x 5
Ecuación de una recta. Expresión algebraica de la recta según el
Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos binomios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es
_________________ de las raíces.
Por tanto:
La experiencia que logres a través de los talleres, actividades
experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarrollar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en
situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendizaje cooperativo durante el trabajo en equipo.
Forma general de la ecuación de la circunferencia:
Abscisa. Distancia de un punto P al eje vertical en un sistema
coordenado rectangular.
a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)
Ejemplos
Taller y actividad experimental
Bibliografía
Grupo Editorial Patria®
Aplica lo que sabes
4
BLOQUE
Realizas transformaciones algebraicas I
Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas…
Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de
Arquímedes que en la de Homero.
Voltaire
Introducción
La terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la
adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con
una variable.
Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respectiva factorización.
Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton donde se utiliza el triángulo de Pascal.
4.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Operaciones de suma, resta
y multiplicación de polinomios
en una variable
Un polinomio es una expresión algebraica que se forma con variables y números reales que se relacionan mediante las operaciones
de adición, sustracción y multiplicación.
Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un polinomio.
A los polinomios compuestos por un solo término se les llama monomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen
tres, trinomios.
Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar
de acuerdo con el exponente de su término de mayor grado, así:
2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio de quinto grado.
Para tu reflexión
Anécdota de Albert Einstein
(1879-1955)
El joven Einstein esperaba en la antesala del director de la famosa Academia
Politécnica de Zurich, Suiza. Fue recibido cordialmente y el presidente le dijo
que la Academia se honraría si aceptaba el puesto de profesor. Einstein recordó
cuando fue rechazado por dicha
Academia como estudiante, años
atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindaba la oportunidad de
continuar sus investigaciones científicas y aceptó.
Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva para los temas que le
interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula de su padre y
no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente un estudiante de
medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó sus libros de ciencias
naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubrió
que había encontrado lo que le interesaba.
Grupo Editorial Patria®
El negocio de su padre no prosperaba y a Einstein no le interesaban
los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito, para entonces ya
se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudo obtener el puesto
de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era muy
tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribir algunos ensayos
científicos.
Aplica lo que sabes
Ejemplos
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente:
En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su
primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein descubrió que la
velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene constante, lo
demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se
encuentra en movimiento constante.
Investiga cuándo se fundó la comunidad donde
vives.
Para Newton, el tiempo era constante e invariable. Einstein demostró
que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión que debía agregarse a las tres dimensiones aceptadas del espacio. Al acercarse uno
a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende
del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta Júpiter es más
largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita más tiempo para
girar alrededor del Sol.
¿Cuántos años transcurrieron para que la población se duplicara?
Diez años más tarde, en una segunda obra sobre los aspectos de la relatividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró
que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objetos,
como había sostenido Newton, sino que toda masa tiene dentro de sí
una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los objetos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en
las órbitas de los cuerpos celestes.
Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía?
2
2
Suma 5 x − 3x + 5 y 2 x + x − 3
Solución:
(5 x 2 23x 1 5) 1 (2 x 2 1 x 23)5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1
(5 2 3)
2
5 (5 + 2)x + (− 3 + 1)x + 2
¿Cuánta población tenía
en ese entonces?
5 7x 2 − 2x + 2
Como se puede observar, la operación de adición se realizó asociando términos semejantes y operando con sus coeficientes numéricos.
¿En cuánto tiempo se volvió a duplicar?
Compara resultados con tus compañeros del salón de clases.
El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polinomio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma
columna los términos semejantes.
Investiga:
¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente?
Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900.
1
5 x 2 − 3x + 5
2x 2 + x − 3
Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000.
Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro
país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se
ilustre el crecimiento, con
intervalos de 10 años en
el eje horizontal y de 10
millones de habitantes en
el eje vertical.
A los 30 años de edad era famoso mundialmente.
Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar a Alemania en
su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es una depravación y un
crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes que participar
en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un
puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados de Princeton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente Roosevelt
advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica.
La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente destructora.
Elabora en una cartulina
o papel bond los resultados de tu investigación y
compártelo, con tus compañeros.
Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del
tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuando
la reina le preguntó por qué no había usado la limusina que le aguardaba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar majestad”.
Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists
Dado que la variable del polinomio representa a un número real,
se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos números.
82
7x 2 − 2x + 2
Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que
a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale
a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo.
Actividad de aprendizaje
Actividad de aprendizaje
A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y
competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.
Ejemplos
(6x
(6x
Adición y sustracción de polinomios
con una sola variable
Grupo
Patria® a
Está diseñada para que puedas aplicar
tusEditorial
conocimientos
situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas
en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para
hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.
3
3
+ 3x 2 − 7 x + 1) − ( 2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 ) =
Para tu reflexión
+ 3x 2 − 7 x + 1) + ( − 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5 )
5 ( 6 − 2 ) x 3 + ( 3 + 2 ) x 2 + ( − 7 − 3 ) x + (1 + 5 )
5 4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6
Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y colocamos en la misma columna términos semejantes.
2
6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1
2 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5
Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta.
En una sustracción, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al
minuendo
1
6 x 3 + 3x 2 − 7 x + 1
− 2 x 3 + 2 x 2 − 3x + 5
4 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 6
del sustraendo.
83
Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo
con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante
para el tema que estás considerando. Esta información además de ser
útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma
información.
Instrumentos de evaluación
7Lista de cotejo
BLOQUE
Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que
realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a
obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a).
Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre el techo elipsoidal de un edificio que se encuentra en “Aplica lo que sabes” de la página 146.
Nombre del alumno:
cumple
Criterio
Grupo Editorial Patria®
Apellido paterno
Apellido materno
Portafolio de evidencias
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Determina P (x ) 2 Q (x )
es
5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.
P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6
El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:
r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos,
cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de
aprendizaje en este curso.
2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.
6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.
1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste
de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.
2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.
3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.
2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.
3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o
las condiciones del problema.
Asignatura
Número de bloques
del libro.
Nombre del alumno:
Criterios de reflexión sobre las evidencias
Es una poderosa herramienta de análisis que te
posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar
tus conocimientos, si has conseguido realizar
un procedimiento de manera adecuada o si has
obtenido soluciones correctas a un problema
planteado.
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar
la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser
breves y con la referencia de la fuente.
Semestre
Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente
que te permita el uso óptimo de la información recopilada.
7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Instrucciones para seleccionar las evidencias
1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el
periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre,
semestre).
Propósito del portafolio de evidencias
3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la
operación.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
los más significativos en el proceso de aprendizaje.
Etapas para realizar tu portafolio de evidencias
Comentarios del estudiante:
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?
¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?
¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?
8. Factoriza la expresión x 3 1 x 2y 1 x 1 y.
#
Título
Fecha de elaboración
Grupo Editorial Patria®
12. Conoce el sólido de revolución llamado elipsoide.
13. Conoce las propiedades de la elipse y sus aplicaciones en la elipsoide.
15. Conoce las propiedades de la elipse, en particular, de sus focos.
Instrucciones para el llenado de la rúbrica.
Rúbrica
evaluar
el conocimiento
16. para
Conoce
y explica
el fenómeno queadquirido
consiste en que una persona habla
¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?
4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación.
11. Conoce la elipse y sus elementos.
14. Rúbrica
Representa gráficamente a la elipse y sus elementos.
Conclusiones
¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el
curso?
Monitoreo de evidencias
Observaciones
no
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son
r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.
Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3
Presentación
Realizas transformaciones algebraicas I
Desarrollo
4
Instrumentos de evaluación
Dominio
del tema
BLOQUE
sí
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
Comentarios del profesor(a):
en un foco de un recinto de forma elipsoidal y solamente puede ser
Indicaciones:
por la persona
que se encuentra
colocada entanto
el otroenfoco.
Esta rúbricaescuchada
es para valorar
el desempeño
de los estudiantes
forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la
participación de cada uno de los integrantes del grupo en el desarrollo de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelente,
3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada.
1
2
3
4
5
Nombre del estudiante::
152
Criterios
19
92
En el libro encontrarás diferentes sugerencias y
actividades que, una vez realizadas, te permitirán
construir un gran número de evidencias, algunas
escritas otras a través de la exposición de temas
o presentación de productos. Es importante que
recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el
nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo.
Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor
esfuerzo.
Rúbrica
Éstas te ayudan a verificar el desempeño
logrado al realizar algún trabajo, producto
o evidencia solicitados en cada bloque del
libro. En general, es un listado de criterios o
aspectos que te permiten valorar el nivel de
aprendizaje, los conocimientos, habilidades,
actitudes y/o desempeños alcanzados sobre
un trabajo en particular. Puedes realizarlas de
manera personal o como coevaluación.
Bueno
(3)
Satisfactorio
(2)
Deficiente
(1)
Identifica los elementos
asociados a una elipse.
Obtiene la ecuación de
una elipse con centro en el
origen y ejes coincidentes
con los ejes coordenados.
Obtiene los elementos de
una elipse con centro en el
origen y ejes coincidentes
con los ejes coordenados, a
partir de su ecuación.
Identifica los elementos
asociados a una elipse. En
la mayoría de los casos,
obtiene la ecuación de una
elipse con centro en el
origen y ejes coincidentes
con los ejes coordenados.
En la mayoría de los casos,
obtiene los elementos de
una elipse con centro en el
origen y ejes coincidentes
con los ejes coordenados, a
partir de su ecuación.
Identifica los elementos
asociados a una elipse.
En algunos casos, obtiene
la ecuación de una elipse
con centro en el origen
y ejes coincidentes con
los ejes coordenados. En
algunos casos, obtiene los
elementos de una elipse con
centro en el origen y ejes
coincidentes con los ejes
coordenados, a partir de su
ecuación.
No identifica los elementos
asociados a una elipse.
No obtiene la ecuación de
una elipse con centro en el
origen y ejes coincidentes
con los ejes coordenados.
No obtiene los elementos de
una elipse con centro en el
origen y ejes coincidentes
con los ejes coordenados, a
partir de su ecuación.
www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx
Ecuación de una
elipse con centro
fuera del origen y
ejes coincidentes con
los ejes coordenados
Obtiene la ecuación
ordinaria de una elipse con
centro fuera del origen
y ejes coincidentes con los
ejes coordenados. Obtiene
los elementos de una elipse
con centro fuera del origen
y ejes coincidentes con los
ejes coordenados.
En la mayoría de los
casos, obtiene la ecuación
ordinaria de una elipse
con centro fuera del origen
y ejes coincidentes con
los ejes coordenados. En
la mayoría de los casos,
obtiene los elementos
de una elipse con centro
fuera del origen y ejes
coincidentes con los ejes
coordenados.
En algunos casos, obtiene
la ecuación ordinaria de una
elipse con centro fuera del
origen y ejes coincidentes
con los ejes coordenados.
En algunos casos, obtiene
los elementos de una elipse
con centro fuera del origen
y ejes coincidentes con los
ejes coordenados.
No obtiene la ecuación
ordinaria de una elipse
con centro fuera del origen
y ejes coincidentes con
los ejes coordenados. No
obtiene los elementos
de una elipse con centro
fuera del origen y ejes
coincidentes con los ejes
coordenados.
Ecuaciones general
y ordinaria de una
elipse con centro
fuera del origen y
ejes coincidentes con
los ejes coordenados
Convierte una ecuación
de una elipse con centro
fuera del origen y ejes
coincidentes con los ejes
coordenados, de su forma
ordinaria a la forma general
y viceversa.
En la mayoría de los casos,
convierte una ecuación
de una elipse con centro
fuera del origen y ejes
coincidentes con los ejes
coordenados, de su forma
ordinaria a la forma general
y viceversa.
En algunos casos, convierte
una ecuación de una elipse
con centro fuera del origen
y ejes coincidentes con los
ejes coordenados, de su
forma ordinaria a la forma
general y viceversa.
No convierte una ecuación
de una elipse con centro
fuera del origen y ejes
coincidentes con los ejes
coordenados, de su forma
ordinaria a la forma general
ni viceversa.
Al haber elegido este libro tienes acceso a
nuestro sitio web, donde encontrarás material
extra como videos, animaciones, audios y
documentos que tienen el objetivo de ampliar
tus conocimientos, dejar más claros algunos
procesos complejos y actualizar de forma
rápida y dinámica la información de todos los
temas del plan de estudios de la DGB.
XI
Aspecto a evaluar
Portafolio de evidencias
Ecuación de una
elipse con centro
en el origen y ejes
coincidentes con los
ejes coordenados
Excelente
(4)
153
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
1
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
1.1 Representación de relaciones
entre magnitudes.
1.2 Modelos aritméticos
o algebraicos.
Competencias a desarrollar
nConstruye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
nFormula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
nExplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
nAnaliza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
nEstablece la relación entre diversas magnitudes expresando ideas y conceptos
mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
nInterpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
nElabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones o
fenómenos sociales, naturales, económicos y administrativos asumiendo una
actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que
cuenta dentro de su entorno social y/o natural.
w
¿Qué sabes hacer ahora?
nAporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
nResuelve problemas aritméticos o algebraicos proponiendo la manera de
solucionar dicho problema, utilizando las tecnologías de la información y
comunicación para procesar e interpretar información.
Si n es un número natural, ¿2n es un número par?
2.
Una cartulina mide 45 centímetros de ancho por 64 centímetros de largo.
Calcula su área en pulgadas cuadradas. Considera que una pulgada es igual a
2.54 centímetros.
3.
Expresa la fracción decimal 0.125 como fracción común e identifica el
subconjunto de los números reales al que pertenece.
4.
En la expresión 3 3 (4 1 5), ¿qué operación se ejecuta primero?, ¿cuál viene
luego?, ¿cuál es el resultado?, ¿cuál es el valor de 3 3 4 1 5?
5.
Efectúa las operaciones indicadas y obtén el resultado
6.
Si por el consumo de 50 metros cúbicos de agua se cobra una cuota fija de
$127.48 y por cada metro cúbico adicional se cobra $4.41, calcula el número
de metros cúbicos consumidos si se debe pagar $189.00.
7.
Efectúa la siguiente sustracción: (29) 2 (24) 5 y determina a qué
subconjunto de los números reales pertenece la diferencia.
8.
Escribe la expresión algebraica del perímetro de un triángulo isósceles en el
que la base mide a y sus lados iguales miden b.
9.
Expresa algebraicamente el cuadrado de la suma de dos números.
10.
¿Cómo se lee la expresión a2 1 b2?
2(2 2)2
5
12(2 3)
Desempeños por alcanzar
reflexiva.
1.
nAsume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en
distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.
Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.
Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.
Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.
Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de
resultados.
Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas
situaciones.
Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En una refinería uno de sus depósitos tiene forma cilíndrica. Sus dimensiones son: 42 m de diámetro y 20 m de altura. Sus paredes interiores
requieren ser cubiertas con una capa de pintura especial de 2 mm de grueso. Investiga cuántos litros de pintura se necesitan.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se puede calcular la superficie total del interior del depósito?
¿Cómo se puede calcular el volumen de pintura a partir del valor de
la superficie que se quiere pintar?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
¿Cuántos litros de pintura se necesitan, considerando que un litro
equivale a un decímetro cúbico?
Presenta un modelo a escala del cilindro.
Trabajo individual
Modelo a escala del cilindro.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Fórmulas y cálculos realizados para determinar el valor de la superficie a pintar y el volumen de pintura que se requiere, en litros
Producto a elaborar
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar el número de litros de pintura que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en
clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
4
¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
El volumen de un cilindro recto es igual al producto de la base por
la altura. Dos recipientes cilíndricos tienen, respectivamente, 75 y
100 mm de diámetro y 125 y 150 de altura. Un tercer recipiente
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
cilíndrico de 175 mm de altura contiene la suma de los volúmenes
de los dos primeros, determinar su radio.
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro recto?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cuál es la fórmula?
¿Cuáles son los datos con los que se cuenta?
¿Cómo se puede determinar el valor de los datos que faltan?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
¿Cómo lo resolverías?
Rúbrica
En este ejemplo:
Presenta modelos a escala de los tres cilindros.
Producto a elaborar
Presentación de las fórmulas utilizadas, cálculos realizados y obtención del valor buscado
¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar el radio de la base del cilindro que se pide debes
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase,
2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello
suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
5
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Calcula el valor del polinomio 3x5 1 2x4 2 8x3 – 2x2 1 x 2 9 para x 5 1, x 5 21, x 5 4.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cuáles son las leyes de los signos en la multiplicación?
¿Qué tienes que hacer?
tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cuál es el orden en las operaciones.
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
Trabajo individual
En este ejemplo:
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Producto a elaborar
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-
Rúbrica
Para determinar el valor numérico que se pide debes anexar los
conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un
valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos
de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un
total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
6
Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Grupo Editorial Patria®
Propuestas de diseño
para situaciones didácticas
Parte I
1. Una tabla que mide 3 m se coloca verticalmente y proyecta
sobre el suelo una sombra que mide 4 m. En ese mismo momento y lugar un edificio proyecta una sombra de 60 m, ¿cuál
es la altura del edificio?
2. Considera que la distancia media de la Tierra al Sol es de
150 000 000 de km y la velocidad de la luz es de 300 000
km/s. ¿Cuánto tiempo, en minutos, tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra?
3. ¿Cuántos minutos tiene un año?
4. Una hoja de papel mide 8 pulgadas de ancho por 11 de largo.
Calcula su área en centímetros cuadrados.
5. Un atleta recorre los 100 metros planos en un tiempo de
9.8 segundos, ¿cuál es su velocidad promedio en km por hora?
6. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 400 m/s, ¿a
cuánto equivale esta velocidad en pies por s? 1 pie 5 30.48 cm.
7. Cuando un automóvil de carreras alcanza una velocidad
de 300 km/h, ¿a qué velocidad equivale en millas por hora?
1 milla 5 1 609 m.
8. En un dibujo, ¿qué dimensión representan 5.6 cm a la escala
1:500?
9. En un mapa que tiene una escala de 1:400 000, ¿qué distancia
en centímetros se debe utilizar para representar 100 kilómetros?
10. ¿Cuál es la medida real de un objeto que se representa por
5 cm en un dibujo hecho a la escala de 50:1?
11. Expresa como decimal cada uno de los siguientes números
racionales:
5 2 7 3 55 2 7 3 5 5 2 7 3 5
a) b) c) 8 9 12 7 6 8 9 12 7 6 8 9 12 7 6
5 2 7 3 55 2 7 3 5
d) 3 e) 8 9 12 7 86 9 12 7 6
12. Expresa como cociente de dos enteros cada uno de los siguientes números decimales:
b) 1.7
c) 1.26
a) 0.5
d) 2.345
e) 3.26
Parte II
A) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales:
1. La suma de dos números.
2. La diferencia de dos números.
3. El producto de dos números.
4. El producto de tres números disminuido en cinco unidades.
5. El triple de un número.
6. El producto de dos factores iguales.
7. El cociente de dos números.
8. El cociente de la suma de dos números entre otro número.
9. El cociente de la diferencia de dos números entre otro
número.
10. La suma de dos números dividida entre su diferencia.
11. El cuadrado de un número aumentado en 13 unidades.
12. El cubo de un número disminuido en seis unidades.
13. El triple del cuadrado de un número.
14. El doble del cubo de un número.
15. La raíz del producto de dos números.
16. El cuadrado de la suma de dos números.
17. La suma de los cuadrados de dos números.
18. El cuadrado de la diferencia de dos números.
19. La diferencia de los cuadrados de dos números.
20. El cubo de la suma de dos números.
21. La suma de los cubos de dos números.
22. El cubo de la diferencia de dos números.
23. La diferencia de los cubos de dos números.
24. La mitad del cuadrado de un número.
25. El cuadrado de la mitad de un número.
26. La tercera parte del cubo de un número.
27. El cubo de la tercera parte de un número.
28. El perímetro p de un triángulo cuyos lados son a, b, y c.
29. La distancia d que recorre un móvil con movimiento rectilíneo uniforme es igual al producto de la velocidad v por
el tiempo t.
30. El área A de un rectángulo es igual al producto de la base
b por la altura h.
31. El área A de un trapecio es igual al producto de la semisuma de las bases B y b por la altura h.
32. ¿Cuál es el número que agregado a 3 da por suma 8?
33. ¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13?
34. ¿Cuál es el número que aumentado en 4 es igual a 10 disminuido del mismo número?
35. El triple de un número es igual al doble del otro
7
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Parte III
B) Escribe en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas:
Cualquiera que sobresale del nivel medio ha recibido dos educaciones:
la primera, de sus maestros, la segunda,
más personal e importante, de sí mismo.
Edward Gibbon
1. 2a 1 b
Introducción
2. abc
3. a 2 (b 1 c)
En este bloque se proponen problemas para cuya resolución se
puede recurrir a figuras geométricas o dibujos.
4. 3(a 2 b)
5. (a 1 b) (a 2 b)
a 1b ab (a 1b)(a 2b) (a 1b)2 d
6.
ab
10 a 1b
2
v
2
a 1b ab (a 1b)(a 2b) (a 1b)
7.
ab
10 a 1b
2
2
a 1b ab (a 1b)(a 2b) (a 1b)
8.
ab
10 a 1b
2
d
v
Se hace una introducción al lenguaje algebraico, terminología y
notación.
1.1 Representación de
relaciones entre magnitudes
Representación de números positivos
9. 3a2
2
ab (a 1b)(a 2b) (a 1b)
10.
a 1b
ab
2
3
11. a 2 b3
d
v
12. P 5 3a
P 5 perímetro
a 5 lado de un triángulo equilátero
(a 1b)(a 2b) (a 1b)2 d
13. t 5
ab
2
v
t 5 tiempo
d 5 distancia
v 5 velocidad
14. P 5 2(a 1 b)
P 5 perímetro
a y b 5 lados de un rectángulo
15. A 5 a2
A 5 área
a 5 lado de un cuadrado
8
d
v
Se utilizan distintas formas de representación de números enteros
positivos así como de números decimales.
Al resolver un problema aritmético se utiliza el sistema de numeración decimal que recibe este nombre porque tiene como base el
número diez. En él se emplea el principio de posición y el cero.
Los números positivos empleados en aritmética se representan en
forma decimal.
Para tu reflexión
Anécdota de Arquímedes 287-212 (a.C.)
De los que se reunieron en el muelle, nadie creía que cumpliría su promesa el joven y presuntuoso Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo
y moveré el mundo”. Con ello quería explicar que una pequeña fuerza,
si se aplica apropiadamente como una palanca o con el uso de poleas,
movería un objeto inmenso.
¿Cómo era posible que un mortal, sin ayuda de otro, levantara un
buque completamente cargado, que pesaba miles de kilos? –se preguntaban todos. El rey tomó el extremo de la
cuerda que colgaba de las poleas construidas por Arquímedes. El otro extremo de la
cuerda estaba atado a un pesado buque
mercante que flotaba en el muelle. Con
poquísimo esfuerzo, el rey tiró de la cuerda.
No sucedió nada. “Tirad de nuevo majestad” –le pidió Arquímedes. Una
vez más el rey tomó la cuerda,
y la proa del barco, como por
arte de magia, se empezó a
levantar del agua.
Grupo Editorial Patria®
“Has triunfado una vez más Arquímedes, las maravillas de la ciencia,
en verdad, no tienen límite” –el rey felicitó al hombre de ciencia.
Hierón, rey de Siracusa y pariente de Arquímedes, pidió en cierta ocasión que le hicieran una corona de oro, y sospechando que el orfebre
no era honrado le pidió a Arquímedes que encontrara la manera de
determinar si la corona estaba hecha totalmente de oro. Durante algún
tiempo Arquímedes no supo qué hacer, pero un día, al meterse en una
bañera el agua se desbordó, gritó ¡Eureka! Y olvidando su desnudez
corrió hacia su casa por las calles de Siracusa; pensó en sumergir una
cantidad de oro puro, cuyo peso fuera igual al de la corona, en un recipiente lleno de agua y luego medir el desbordamiento de ésta. Después
sumergiría la corona de oro en el recipiente con agua y compararía el
peso del segundo desbordamiento con el primero y finalmente encontró
que la corona no estaba hecha de oro puro.
Por órdenes del rey Hierón, Arquímedes inventó unos cuarenta aparatos distintos. Como un tornillo para desaguar las tierras bajas pantanosas, para sacar el agua de las calas de los barcos y para irrigar los
campos áridos de Egipto. Gracias a sus inventos prolongó tres años
el asedio romano. Construyó, por ejemplo, espejos cóncavos de metal
y prendió fuego a algunos de los buques de madera de los romanos,
provocando pánico entre los tripulantes de los demás y creó ganchos
y grúas para quitar pesadas torres de guerra que habían puesto los
romanos sobre las murallas de Siracusa.
Entre sus principales contribuciones a las matemáticas se encuentran:
el cálculo que demuestra que la relación que existe entre la circunfe1
7
10
71
1
7
3 3
rencia de un círculo y su diámetro es menor que 3 y3 mayor que
10
.
71
Sus trabajos para encontrar las superficies de los segmentos parabólicos equivalen a un cálculo integral de nuestros días. Escribió un tratado
de 32 proposiciones sobre los conoides y los esferoides, entre otros,
y sus fórmulas y ecuaciones teóricas se convirtieron en la base para
descubrimientos e inventos que por mortíferos que fueran en la guerra,
enriquecieron la vida humana en la paz.
Las fracciones comunes que tienen como denominador 10 o una
potencia de 10 se llaman fracciones decimales, es decir, las fracciones decimales resultan de dividir una unidad entre 10, 100, 1 000,
etc., partes iguales.
Las unidades decimales son: 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, etc., y se leen:
un décimo, un centésimo, un milésimo, un diezmilésimo, etc., respectivamente.
Conversión de fracciones comunes
en fracciones decimales
Toda fracción común expresa un cociente de dos enteros; para
convertir una fracción común en fracción decimal basta con efectuar la división indicada, con lo cual obtenemos un cociente exacto
o aproximado de sus términos.
0.5
0.5
1
1
Ejemplos
2 1.0
2 1.0
2
0
2
0
.
0
0.75
3 0.575
3
00.5.5 4 3.0
1
11 4 003..550
14 5
..00520 porque 1 122 11.40.00.5 0.520
22 1100.5 22 21010.0
1222 2 1.000 0
0
0
2 0.7502 1.0
2 010...125
75
.
0
125
.
0
75
33
210.75 0
0
1233
3 844 10.75 344 33.0.00.87510..075
30...00075
porque 4 330..20
075
.0 20
4
320
4
8443 5
20
4 4 8320
4 4 3.020
20
4 3.040
0020
40
00
4
4125 0 200
2000
.
0
.
0
125
.125
11 0.0125
0
0
11 000.3
533
0.05.3333
188111.10.0.125
88 110...3125
00125
11 5
.
0
125
.
8
1
0
0.125 porque .
8
1
0
88
818 32 1.020
20
1202 31.10.0
832 8 1.10
8 2 3 20
20
02040
8 10.010
4040
40
40
8
8
20
0040.752010
10
0
0
0.75400
3
0 401
3
1
330
.3333.033
4.3
3.0 0
11 00.33.3
333
33
11 4 0003.3
.3
33
0
3
33
4 33 11..0020
120
1.8181
133141.020
.8181
.10.0 020
33
.330133
0310
3 110
3porque 0.0
1333 35
1110..31.8181… 20
11
20
10
3
10
3 111010
10
3 1.0 .090
10
11 3 1.010
10
125
.125
010
1019020
13 0.10
3
10
1
1
8 1.01011 90
8 11.10 10 2090
1
.
8181
820
8181
20
20 1 20
1 20 2020 8 1.18181
111...8181
8181
20
40
20 11
40
2011112020.0..08181
..00 9
11 20
20
1
.
8181
11
20
.
0
090
.0 10.8181 9
1111 11
9090
11
20
20 20
11
90
11
90
11
110.3
20
11
20.0
2090
.38333
.8333
33.0 20
20
33
5
5 0.33020
111
20 90
9020
90 porque 1 113 61.0590
90
.
0
.0 2090
36 150.333… 5
90
2090 20
20
20 9020
36
10
3 6 102020
20
920 90
20 20999
10
10209 9 20
20
1
20 9
1
0.8333
0.83332 9 5
8333
555 6 500...08333
.8333 2
5 56 50.0.08333
1
.
8181
.8181
6 5.0
.50.0 01.8333
655220
66 620
662520 651150.508333
20
5 20
5 .0 1
20.01
20
11
611 5
20
6
20
6 50.8333… .020
6
5
.
0
porque 20
20
90
1163 20
2020
63 6 120
20120
220
7
20
620
2 907
20222090
2020
2220 202090
2 20
202
22 55 55 112 209 22 55 55 11
2 209
2 5 5 1
2 5 5 1
33 66 12122 577 5 1
323 665 011.58333
2 7
35 6 122 177
3 56 120.8333
7
3 6 51.02 7
3 6 65.012 7
6
20
6
20
20
En los ejemplos
anteriores se observa
que no siempre se obtiene
20
20
20 fracción común en fracción
un cociente2 exacto al convertir una
2
decimal.
2 5 5 1
2 5 5 1
En
ejemplos
3 los
6 primeros
12 7
3 el6cociente
12 7 es exacto, por eso se dice que
su expansión decimal es finita. En los tres últimos el cociente no es
exacto, pues ciertas cifras se repiten periódicamente, esto se debe a
que el residuo es menor que el divisor y al suceder esto se limita el
número posible de residuos distintos; de tal manera que al repetirse un residuo, también se repite la operación y en consecuencia las
cifras del cociente.
En los ejemplos anteriores 0.333…, 1.8181…, 0.8333…, son
fracciones decimales periódicas; a la cifra o cifras que se repiten
se les llama periodo. Cuando el periodo empieza a partir del punto
decimal, a la fracción se le llama periódica pura; pero si entre el
primer periodo y el punto decimal hay una o más cifras, a la fracción se le llama periódica mixta.
En las fracciones decimales periódicas usualmente se indica un periodo, el cual se denota con un arco o una raya arriba de éste.
9
0 10
41 3.80 1.0
1
.3
0
3
33
8 20
10 20
.0 1.8181
320140
3
010
1 0.12511 111020.0
8 11.0 0.3333 1 90
20
8
20
3 1.0
40 10 1.8181 90
3 20
0BLOQUE
111020.0 20
9
Resuelves
problemas aritméticos
1 90
11
.3
0
3
33
1
20
0.8333
3 1.0 1.8181
3 20 10115206.0 5.0 90
20
11 106 90 20 9
1
20
Ejemplos
20
90 20
51.81810.8333
20
20 2
6
5
.
0
11 20.0
9
6
20
11
90
2 5 5 1
205 20
0.666… 5 0.6 5 0.6
.
0
8333
5
3 6 120
2 7
6 5.0 9020 2
6
20 9
2 5 205 1
0.8333 5200.8333… 5 0.83 5 0.83
5
3 6 122 7
6 5.0
6 2 20
5 5 1
20 5 0.41666… 5 0.416 5 0.416
3 6 20
12 7
2
2 5 5 1
5 0.142857142857142857… 5 0. 142857
3 6 12 7
4
1
y algebraicos
De las fracciones decimales finitas se dice que su periodo es cero
pues al dividir el último residuo (cero) entre el divisor, se obtiene la
cifra cero y así sucesivamente.
Ejemplos
5 51 1
51 1
0.5 5 55 55
512 5112 1
10 10
10 102 2
10
10
210
7510
3 2232
75
75 75
3 3
75
75
0.75 5100100
5343 3
754375
1001004 4
100
100
8 100
844 444 4
8 8100
4 4
8
45 8445 4
885
0.8 5 101010
105 5
10
10
510155 15
125
125
10
125
1251 1
125
125
18 181 1
125
125
1000
1000
1000
100085 8
0.125 5
1000
1000
8 88 8
1000
1000
Para convertir una fracción decimal periódica en fracción común
se procede de la siguiente forma:
Ejemplos
 
6 3 0142857
.
1. 0.444… 5 0. 4 2. 453 9
Designa con x a la fracción decimal periódica:
Actividad de aprendizaje
x 5 0.444…
¿Por qué se dice que
como el periodo consta de una sola cifra, se multiplica por 10 a los
dos miembros de la igualdad para obtener otra equivalente:
1
5 0.25?
4
10x 5 4.444…
¿Qué se debe hacer para representar 0.25 como porcentaje?
¿Cómo se representa 75% en forma decimal?
¿Cómo se representa 75% en forma de fracción común?
¿Cuándo se dice que una fracción decimal es periódica?
¿Cuándo es pura una fracción decimal periódica?
¿Cuándo es mixta una fracción decimal periódica?
Números decimales en distintas formas
(enteros, fracciones, porcentaje)
Para convertir una fracción decimal en fracción común se escribe
como numerador el decimal sin el punto y como denominador la
unidad fraccionaria que corresponda a la fracción decimal dada, si
es posible se simplifica la fracción obtenida.
10
a esta igualdad le restamos la primera, miembro a miembro:
10x 5 4.444…
2
x 5 0.444…
9x 5 4
2 451 81
4
despejando: x 5
x5
9
999 90
0.444
Comprobación: 9 4.0
40
  40
6 3 40142857
.
4 2. 453 9
2. 2.453453453… 5
x 5 2.453453453
1 000x 5 2453.453453…
Se multiplicó a los dos miembros de la igualdad por 1 000 porque
el periodo tiene tres cifras; en general, se multiplica por la potencia
positiva de 10 que tenga tantos ceros como cifras tenga el periodo.
Restando miembro a miembro la primera igualdad de la segunda
se tiene:
1 000x 5 2453.453453…
2
x 5 2.453453…
999x 5 2 451
Grupo Editorial Patria®
Geometría
2 451 81
4
despejando: x x5
5
9
999 90
 
6 3 0142857
. se deja al lector.
La comprobación
4 25
. 453
3. 0.8999…
0.8 9
x 5 0.8999…
Puesto que en este caso se trata de una fracción periódica mixta,
primero se transforma en una fracción decimal periódica pura; para
hacer esto basta con recorrer el punto decimal un lugar a la derecha, lo que equivale a multiplicar la igualdad por 10, y después se
sigue el procedimiento ya descrito.
10x 5 8.999…
100x 5 89.999…
100x 5 89.999…
Actividad de aprendizaje
Expresa las 24 horas del día en segundos.
Ejemplos
Determina la longitud del segmento AB como la suma de las partes
que lo integran.
2
10x 5 8.999…
90x 5 81
2 451 81
4
x5 x 5
9
999 90
75 3
La expresión 75% se puede escribir en la forma
, si esta frac100 4
75 3
ción se simplifica queda como . También se puede partir de la
100 4
75 3
fracción y al realizar la división indicada se obtiene como co100 4
ciente 0.75 que se lee “setenta y cinco centésimos”. Si se desea expresar 0.75 como porcentaje se le multiplica por 100 y se le pone el
signo %: 75%.
1 1 1 1
2 4 8 16
1 1 1 1
2 4 8 16
1 1 11 11 11 11 1 1
2 4 82 164 82 164 8 16
Solución:
Para obtener la longitud del segmento AB, se requiere sumar las fracciones que corresponden a cada uno de los segmentos que lo integran,
y para esto es necesario que cada una de ellas se exprese como una
fracción equivalente, de manera que todas tengan la misma unidad fraccionaria, es decir, que todas tengan un denominador común.
1 1 1 1 1
AB5 1 1 1 1
2 4 8 16 16
81 4 121111
5
16
16
5
16
51
Operaciones numéricas
De esta manera: 2 3 3 1 4 5 10 porque 2 3 3 5 6 y 6 1 4 5 10
1 cm 3
10 cm
El orden en que se ejecutan las operaciones es el siguiente: potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones (en el orden en que se
indican) y sumas y restas.
Mientras que: 2 3 (3 1 4) 5 14 porque 2 3 3 1 2 3 4 5 6 1 8
5 14 o bien 2 3 7 5 14.
Problemas aritméticos
10
cm
La resolución de algunos problemas se puede lograr a partir de la
aplicación de las propiedades de la igualdad así como de las propiedades de las operaciones con números reales. A continuación
se presentan algunos conocimientos que se irán ampliando de manera gradual.
10 cm
Un decímetro cúbico es un cubo que mide 10 cm de arista.
11
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
3
Si cada uno de los cm que lo forman se colocara uno encima de otro
formando una columna, ¿cuál sería la altura de la columna?
Solución:
Observa que la capa frontal del cubo tiene 10 columnas de 10 cm3
cada una, de manera que si se colocara cada columna encima de otra,
se formaría una columna de 1 m de altura. Si se hiciera lo mismo con
cada una de las capas posteriores y se colocara cada columna sobre
la columna anterior, se podría formar una columna de 10 m de altura.
Como puedes ver, se han representado las equivalencias como
cocientes, de manera que las unidades a eliminar aparezcan como
factores, tanto en el numerador como en el denominador, pues al
dividir una cantidad entre sí misma el cociente es 1, por lo que de
manera más simple se dice que los factores se cancelan.
Es conveniente hacer notar que esto sólo se puede hacer cuando
las cantidades, tanto del numerador como del denominador, se expresan como el producto de sus factores.
Actividad de aprendizaje
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para
realizar lo siguiente.
Investiga cuáles son las medidas reglamentarias de una cancha de fútbol, de básquetbol y de un campo de béisbol. Verifica si esas medidas
corresponden a las de la cancha o campo que hay en tu comunidad o
en tu escuela.
Al realizar una conversión de unidades de medida, ¿por qué se representan las equivalencias como cocientes?
km m
h s
Expón tu trabajo frente al grupo y menciona la importancia que tiene el
1h
km
km 1 000 m
respetar y hacer uso correcto de las medidas establecidas.
108
5108
3
3
h
h
1 km
3600 s
km m
km m
108 .
Expresa
108 en la velocidad de un avión que vuela a 1 000
108 0 00 m
h s
h s
5
1h
km
km 1 000 m
1
000
m
1
h
3600
s
km
km
Solución:
Física
108
5108
3
3
108
5108
3
3
h
h
1 km
360
h las equivalencias
h
1 km
m 3600 s
Utilizando
530 1 km 5 1 000 m y 1 hora 5 3 600 s, se
En física se utiliza, de manera frecuente, la conversión de unidades
00
108
0
m
s
tiene
108 0 00 m
5
de medida, veamos algunos ejemplos.
5
1h
km
km 1 000 m
3600 s
1 3600
000 s 51 000
3
3
0
0
s
h
h
1
km
36
m
m
530
530
1 000 000 m
s
Ejemplos
s
5
km
km 1 000 m
1
000
m
1
h
3
600
s
km
km
1 000
51 000
3
3
1 000
51 000
3
3
h
h
1 km
3
h
h
1 kmm 36 0 0 s
km m
5 277 . 7
Un móvil se desplaza a una velocidad de 108 , expresar la veloci1
000
000
m
s
1 000 000 m
h s
km m
5
5
dad en .
108
1
000
m
1
h
3 600 s
km
km
3
600
s
h s
108
5108
3
3
Solución:
h
h
1 km
3600 s
1h
m
km
km 1 000 m
m
5 277 . 7
108
5108
3
3
5 277 . 7
s
00
108
0
m
1
3600
h
h
km
s
s
Para resolver este problema es necesario utilizar equivalencias como
5
Números reales y variables algebraicas
1 km 5 1 000
m,m1 hora5 60 min 5 60 3 60 s 5 3 600
3600s.s
108 0 00
5
m la multipliLos números decimales son los números reales.
También se3600
debesrecordar que 1 es el elemento neutro de
530
cación, puesmal multiplicar
una
cantidad
por
1,
la
cantidad
queda
fija,
s
km
m
Los números decimales periódicos corresponden a los números
530entonces
108 km m
no cambia,
1h
km
km 1 000 m racionales
s 108 h ss
que se pueden expresar como el cociente de dos núme1 000
51 000
3
3
0
0
h
h
1
km
36
s
1
000
m
1
h
km
kmkm
ros enteros.
m m 1 h1 h
000
km
km
km
1 000
51 000
3331 1000
108h 3 5
33
108
108
51108
1
000
000
m
0
0
s
h
km
36
h
h
1
km
3600
s
h
h
1 km
3600
Los números decimales no periódicos corresponden a los núme5 s
3 600 s
1 000 000 m 108 0 00 m
ros irracionales que no se pueden expresar como el cociente de dos
108 0 00 m
5
5 3600 s
m
3 600 s 5
números enteros.
5 277 . 7
3600 s
s
m
m
5 277 . 7
530 m
s
530 s
s km 1 000 m
1h
km
1 000 km 51 000 km3 1 000 3
m
1h
1 000 h 51 000 h 3 1 km 36
3 00 s
h 1 000 000
h m 1 km
36 0 0 s
12
5
1 000
000
3 600
s m
5
3 600
m s
5 277 . 7
s
Ejemplos
108
Grupo Editorial Patria®
1.2 Modelos aritméticos o
algebraicos
De la aritmética al álgebra
En la aritmética generalmente los números se representan con cifras, mientras que las relaciones, leyes y reglas se expresan con palabras. De esta manera se dice que: el área de un triángulo es igual a la
mitad del producto de la base por la altura.
Utilizando el álgebra, el enunciado anterior se puede expresar:
base 3 altura
2
b
3
h las letras A, b, y h respecsi el área, base y altura se representan por
A 53 altura
base
tivamente, nos queda:
2
2
bh
A 5b 3 h
Abase
5 23 altura
2 altura
base 13
A 5bh b2h
como en álgebra no se utilizaAel5signo
2b 23dehmultiplicación entre facto5b2 3 h se reduce a:
res representados por letras, laAexpresión
A 51 2
A 5 bh
b2h
A 52bh
A5 2
o bien
21
A 51 b h
A 5 2b h
2
área 5
Observa los siguientes enunciados con sus respectivas formas de
expresión aritmética y algebraica.
Actividad de aprendizaje
¿Qué diferencia observas entre las formas aritmética y algebraica para
plantear y resolver un problema?
Si una moneda tiene un valor nominal de cinco unidades de dinero, entonces 6 monedas iguales tendrán un valor de 6 3 5 5 30
unidades de dinero.
Representando por m el valor de las n monedas de u unidades de
dinero cada una, se tendrá:
m5nu
Si un avión viaja a una velocidad de k km por hora, en h horas recorrerá kh km.
Representando por d la distancia total se tendrá d 5 k h.
El volumen de una caja se obtiene multiplicando el largo por el ancho por la altura (o profundidad). Si el volumen se representa por
V y las tres dimensiones por l, a y p se obtiene la expresión:
V5lap
El valor numérico de esta expresión algebraica se obtiene sustituyendo las letras por los valores que representan y efectuando las
operaciones indicadas. Si las dimensiones de l, a y p son 30, 20 y 10
unidades, respectivamente, entonces
V 5 30 3 20 3 10
V 5 6 000 unidades3
de manera que si la unidad está dada en centímetros entonces el
resultado serán centímetros cúbicos.
Aplica lo que sabes
Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros del grupo para
realizar la siguiente actividad.
Consideren esta situación: Un automóvil, que está en buenas condiciones de uso, es sometido a una prueba de frenado sobre un tramo
recto de carretera bien pavimentada. Para la prueba sólo se considera
la velocidad a la que se desplaza el automóvil y la distancia necesaria
para detenerlo. Después de varios intentos se obtiene como promedio,
que para una velocidad de 56 km/h se necesitan 61 m para detenerlo.
a )Hagan una tabla parcial de valores, para la distancia de frenado,
cuando la velocidad varía desde 50 hasta 120 km/h (utilicen intervalos de 10 km/h).
b ) Tracen la gráfica velocidad-distancia de frenado.
c )Investiguen, de acuerdo con el reglamento de tránsito, ¿cuál es la
velocidad máxima permitida en zona urbana?
d )Si tú manejaras este automóvil a la velocidad máxima permitida,
¿cuál sería la distancia que necesitarías para detenerlo?
El valor de un cierto número de monedas de igual denominación
es igual al de una de ellas multiplicado por el número de monedas.
Si un avión va a una velocidad de 700 km por hora, en tres horas
recorrerá 700 km por tres, o sea, 2 100 km. Es decir, la distancia recorrida se obtiene multiplicando la distancia recorrida en una hora
por el número de horas.
Si una moneda tiene un valor nominal de u unidades de dinero,
entonces n monedas tendrán un valor de nu unidades de dinero.
Ejemplos
1. El enunciado aritmético “el doble de un número aumentado en
7 unidades”, algebraicamente se expresa:
2x 1 7
13
1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
2. A continuación se resuelven dos problemas en forma aritmética y
en forma algebraica.
a) Problema
Si al doble de un número se agregan 7 el resultado es 3. Halla
el número.
Resolución aritmética:
Como el doble del número aumentado en 7 da 33 significa que
si a 33 se le resta 7 se obtiene el doble del número. Por tanto, el
doble del número es 26 y en consecuencia el número buscado
es 13, es decir, la mitad de 26.
Resolución algebraica:
Sea x el número. El doble del número es 2x.
El enunciado del problema se expresa por 2x 1 7 5 33.
Restando 7 a los dos miembros de la igualdad se obtiene
2x 5 26.
dividiendo entre 2 a los dos miembros de la igualdad, se obtiene
x 5 13.
Comprobación:
2(13) 1 7 5 333 5 3 2
12 5 2 5
5 5 5 5
b) Problema
3 3
La diferencia entre un número y los del3número
es 250. Halla
625 5375
5 5
el número.
3
x 2 x 5250
3 5 3 2
Resolución aritmética:
5
12 5 2 5
5
5
5
5
3
Considerando que el número representa
625la unidad, entonces la
3 3
5
fracción es de3uno.
625 5375
5 5
La diferencia es 3
x 2 x 5250
3 5 3 2
5
12 5 2 5
3
5 5 5 5
625
3 3
3 5 3 2
5
3625 5375
12 5 2 5 está representando a 250
5 5
5 5 5 5
3
3 3
3625 53751 es la mitad de 250 x 2 x 5250
5
5 5
5
3
3
625
250 5
x 2 x 5250
es decir, 5 125 5
5
2 5
3
625
250 5
5
y , o sea la unidad, es un número
2
5
5 veces mayor: 5 3 125 5 625
14
Comprobación:
3 5 3 2
12 5 2 5
Número:
5 56255 5
3 3
de3625
625son
5375
5 5
3
x 2 x 5250
5
3
625
5
3 5 3 2
12 5 2 5
5 5 5 5
3 3
3
5375
3625
625
5 375
5 5
3
x 2La xdiferencia
5250 es 625 2 375 53 250.
5 3 2
5
12 5 2 5
5 5 5 5
3 Resolución algebraica:
625
3 53 33 2
.5625 5375
5 2 3
5 Sea x el número y 1la2fracción
5 55 55 5
3 3
3
5375
La diferencia es x 2 3
x 625
5
250.
x2
x 5250
5 5
5
3 3
Multiplicando la igualdad
por250
5 nos queda así
x2 x5
625
5 5
5x 2 3x 5 1 250
3
625
Efectuando la operación
indicada
5
2x 5 1 250
3 5 3 2
Dividiendo entre 2
12 5 2 5
5 5 5 5
x 5 625
3 3
3
625 5375
Comprobación:
5 5
3
3x 2 5 x 53 2502
1
2
5
52 5
5 5 5 5
3
3 3 625
6255375
625 2 53
(625)
250
5 5
3
625
5 250
x 22x375
5250
5
Para estar en condiciones de
3 pasar de la aritmética al álgebra
625 previos para su comprensión
se requiere establecer conceptos
5
y, después de asimilados, poder construir modelos algebraicos
aplicados a la resolución de problemas.
Como se puede observar, una de las ventajas del álgebra es la brevedad y sencillez con que se pueden generalizar enunciados utilizando números y letras para establecer las relaciones.
Es por ello que en esta obra se revisan y afirman conceptos de la
aritmética que sirven para introducir y desarrollar los que corresponden al álgebra.
Lenguaje algebraico
El uso de símbolos para simplificar el lenguaje es de gran importancia en las matemáticas.
El álgebra es la parte de las matemáticas que trata del cálculo de
cantidades representándolas por medio de letras.
La obra más antigua que se conserva sobre álgebra es la de Diofanto de Alejandría (s. iv d.C.).
En Europa, esta ciencia fue introducida por los árabes en el siglo x.
Grupo Editorial Patria®
Las letras o literales se utilizan para representar números y cantidades cualesquiera.
Ejemplos
Para el cálculo del área de un triángulo se utiliza la fórmula:
Expresión verbal
b 3 h bh 1
A5
2
2 2
en la que A representa el área, b la base y h la altura. A, b y h varían
según el triángulo de que se trate y por eso se les llama variables.
El 2 no cambia; cantidades como ésta cuyo valor no cambia, ya sea
que se representen por números o por letras, se llaman constantes.
La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia conociendo su radio es:
C 5 2pr
en la cual r y C son las variables, mientras que 2 y p son las constantes, ya que su valor no cambia.
En las fórmulas anteriores se observa que bh indica “b multiplicado por h” y 2pr indica “2p multiplicado por r”, pues se ha convenido que entre factores literales o entre un factor numérico y
uno literal, se suprima el signo de la multiplicación. En cambio,
“3 multiplicado por 4” ha de expresarse: 3 3 4, 3 · 4, (3)4, pero
nunca 34.
Expresión algebraica
Un número cualquiera
x
La suma de dos números
x1y
La diferencia de dos números
x2y
El producto de dos números
xy
3
x x1 y x3  x 
 
y x2 y 3  3 
El cociente de dos números
3
x x1 y x3  x 
 
y x2 y 3  3 
La suma de dos números dividida
entre su diferencia
El cubo de un número
x 3
El doble del cubo de un número
2x 3
La suma de los cuadrados de dos números
x 2 1 y 2
El cuadrado de la suma de dos números
(x 1 y )2
La tercera parte del cubo de un número
3
x x1 y x3  x 
 
y x2 y 3  3 
En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones
verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico.
3
x x1 y x3  x 
El cubo de la tercera parte de un número
 
y x2 y 3  3 
Recordemos el nombre del resultado de cada una de las cuatro
operaciones fundamentales.
¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8? x 1 3 5 8
De la adición, es suma; de la sustracción, es resta o diferencia; de la
multiplicación, es producto; y de la división, es cociente. Algunas
palabras que indican adición son:
suma
aumentar
mayor que
más
incrementar
más grande que
Algunas palabras que indican sustracción son:
¿Cuál es el número que disminuido en 5 da
por diferencia 13?
x 2 5 5 13
¿Cuál es el número que disminuido de 20 da
por diferencia 7?
20 2 x 5 7
Las expresiones algebraicas pueden enunciarse empleando el lenguaje común y es conveniente ejercitarlo para su correcta traducción.
resta
menos
menor que
diferencia
disminuir
perder
Ejemplos
veces
triple
doble
cuádruple
x2 y
,puede expresarse como: “la mitad de la diferencia de
2
dos números cualesquiera”, o “la semidiferencia de dos
Algunas palabras que indican multiplicación son:
producto
multiplicado
números cualesquiera”.
3
Algunas palabras que indican división son:
cociente
mitad
razón
dividido
entre
tercera
(x 1 y ) ,se puede enunciar como: “el cubo de la suma de dos
números cualesquiera”.
x 3 2 y 3,se puede expresar como sigue: “la suma de los cubos de
dos números cualesquiera”.
3(x 2 y ),puede leerse así: “tres veces la diferencia de dos
números cualesquiera”, o “el triple de la diferencia de
dos números cualesquiera”.
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1
BLOQUE
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
(x 1 y) (x 2 y),se puede expresar como: “el producto de
la suma por la diferencia de dos números
cualesquiera”.
En la expresión 2x, ¿qué expresa el 2?
En la expresión x 2, ¿qué nombre recibe el 2?
Terminología y notación
En la expresión x 2, ¿qué expresa el 2?
Un término algebraico o monomio es un número o un producto
de dos o más números.
3
Por ejemplo 7, 2x, mn, 5xy y xyz son monomios.
4
Cada uno de los números que al multiplicarse forman el término
se llaman factores.
Ejemplos
Cualquier factor o grupo de factores de un término es coeficiente
del producto de los factores restantes.
Término
Así, en 3xy, 3 es el coeficiente numérico de xy, mientras que xy
es el coeficiente literal de 3. Si hacemos referencia al coeficiente
de un término, generalmente consideramos al factor numérico que
nos indica el número de sumandos iguales que han de tomarse en
cuenta.
Ejemplos
Coeficiente
Descomposición en
sumandos
3x
3
3x 5 x 1 x 1 x
2x 3
2
2x 3 5 x 3 1 x 3
2(x 1 y )
2
2(x 1 y ) 5 (x 1 y ) 1 (x 1 y )
El resultado de multiplicar la base tantas veces como lo indica el
exponente se llama potencia; así, 23 5 (2)(2)(2) 5 8, por eso se
dice que 8 es la tercera potencia de 2, o bien, que dos al cubo es
igual a ocho.
Actividad de aprendizaje
En la expresión 2x, ¿qué nombre recibe el 2?
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x 3
3
x 3 5 (x ) (x ) (x )
4x 2
2
4x 2 5 (4) (x ) (x )
En un triángulo equilátero de lado a, su perímetro (P ) se puede
expresar así:
P = a + a + a, o bien P = 3a, ¿qué representa el 3?
Término
Descomposición en
factores
Actividad de aprendizaje
Cuando un factor se multiplica repetidamente por sí mismo, se
puede expresar abreviadamente. Por ejemplo, (2)(2)(2) 5 23,
donde el número 2 recibe el nombre de base y el 3 recibe el nombre de exponente.
Exponente
En un cubo de arista a, su volumen (V ) se puede expresar así:
V = a ? a ? a, o bien, V = a 3, ¿qué representa el 3?
Expresión algebraica
Cuando dos o más términos (monomios) se relacionan por los signos más (1) o menos (2) se forma una expresión algebraica que
recibe el nombre de polinomio.
Al polinomio de dos términos se le llama binomio, y al de tres, trinomio. Los monomios pueden considerarse como polinomios de
un solo término.
El grado de un término o monomio lo determina la suma de los
exponentes de las literales que intervienen en él.
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formal de las propiedades de campo del conjunto de los números
reales. Dichas propiedades, como producto de la generalización de
la experiencia, son susceptibles de ser demostradas a partir de ciertos axiomas, pero para efectos de este curso se considera suficiente
que el lector conozca las propiedades y las sepa aplicar.
Ejemplos
Término
Grado
3a 2
2
4a
1
xy
2
x 2y 3
5
Término
Grado
respecto
de x
Grado
respecto
de y
Grado
del
término
2x 3y
3
1
4
5x 3y 2
3
2
5
x4 y
2
Números naturales (N)
Si un punto P representa a un número n, a P se le llama gráfica de n
y se dice que n es la coordenada de P. Se denota al punto cuya coordenada es n por P (n), que se lee “el punto P de n”. Tracemos una
recta y localicemos en ella un punto al que asociaremos el cero y
llamaremos origen (gráfica de 0), a partir de éste localicemos hacia
su derecha un punto al que asociaremos el número 1 (gráfica de
1); al segmento cuyos extremos son 0 y 1 y le llamaremos unidad
o segmento unitario.
0
1
2
3
4
5
6
Figura 1.1
4
1
5
El grado de un polinomio es el del término que tenga mayor grado,
así:
5m3 2 2m2 1 m 1 1 es de tercer grado
x 1 x2y 2 xy4 es de quinto grado
El grado de un polinomio también puede considerarse respecto de una variable determinada, siendo entonces
el mayor exponente de la misma. 3x3y 2 5x2y2 1 7 es de tercer
grado respecto de x y de segundo grado respecto de y.
Representación de números reales
El conjunto de números reales lo empleamos de manera frecuente, sin embargo, cuando al lector se le pide que mencione cuáles
son los números reales surge lo que para él es un obstáculo insalvable. Si a continuación se le muestra una representación geométrica
de la recta real tiene dificultad para distinguir los números que son
naturales, enteros, racionales o irracionales; a pesar de que son números conocidos y utilizados por él.
La dificultad es aún mayor cuando se le pide que señale diferencias
específicas entre los conjuntos señalados, ya sea de sus propiedades o de las relaciones que tienen entre sí.
Este tema en particular será desarrollado a partir de los conjuntos
de números naturales, enteros, racionales e irracionales; primero
en forma intuitiva y después se dará una introducción al estudio
Tomando con el compás la medida del segmento unitario y apoyándonos en la gráfica de 1, tracemos a su derecha una marca a la
que asociaremos el número 2 (gráfica de 2), al repetir este proceso
a partir del 2, obtendremos el punto asociado al número 3 (gráfica
de 3), y así sucesivamente hasta donde nos lo permitan las dimensiones del papel (ver figura 1.1). Posteriormente lo haremos en
nuestra mente, pensando que a partir del 1 obtenemos cada número sumando la unidad al anterior, lo cual constituye la ley de formación del conjunto de los números naturales; este proceso no
termina nunca pues por grande que sea el número que pensemos,
al agregarle la unidad obtendremos un número mayor.
De esta manera, para verificar que los números naturales poseen
una determinada propiedad, se puede utilizar el hecho de que cualquier número natural es una suma de unos, tantos como lo indique
el número, ejemplos:
3 5 1 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)
Los números naturales se denotan con el símbolo N y se definen
así:
N 5 {1, 2, 3, . . .}
(2)
donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”.
(1) Al escribir estas expresiones, se ha utilizado la propiedad asociativa
de la adición de los números reales, pues 1 1 1 1 1 5 (1 1 1)
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(2) En este libro no se considera al cero como número natural.
En algunos libros sí se incluye en el conjunto de los números
naturales por lo que se hace necesario saber cuál es la convención en cada caso.
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