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POTENCIAS
Potencias
Para todo número real a y natural n, se define la n-ésima potencia de a, que se escribe an y se lee “a
elevado a n”, como la multiplicación iterada (repetida) del número a por si mismo n veces, es decir:
an = |a · a · {z
a · ... · a}
(1)
n veces
el número a se llama base y n se llama exponente.
Ejemplo
La escritura como potencia de:
(−7) · (−7) · (−7) · (−7) · (−7) · (−7) = (−7)6
Propiedades y operatoria
Sea m, n ∈ N y a, b ∈ R se tiene:
1. Multiplicación de potencias de igual base: se conserva la base y se suman los exponentes.
an · am = an+m
2. División de potencias de igual base: se conserva la base y se resta al exponente del
dividendo el exponente del divisor.
an
= an−m
am
3. Multiplicacion de potencias de igual exponente: se multiplican las bases y se conserva
el exponente.
an · bn = (a · b)n
4. División de potencias de igual exponente: se dividen las bases y se conserva el exponente.
an a n
=
bn
b
5. Potencia de potencias: se conserva la base y se multiplican los exponentes.
(an )m = an·m
6. Potencia de exponente 1: toda potencia de exponente 1 es igual a la base.
a1 = a
7. Potencia de exponente cero: todo real no nulo elevado a cero, da como resultado 1.
a0 = 1,
a 6= 0
8. Potencia de exponente negativo: la expresión equivalente a una potencia con exponente
negativo es el recı́proco de la base elevado al inverso aditivo del exponente original.
n
1
1
−n
a =
= n , a 6= 0
a
a
9. Igualdad de potencias con misma base: si se tiene una igualdad de potencias de igual
base, entonces los exponentes son iguales.
an = am ⇒ n = m,
a 6= 0, a 6= 1
Demostremos las propiedades 1, 3, 5 y 7
Potencias de base 10
Algunos ejemplos de potencias de base 10 son:
100 = 1
10−1 =
1
= 0, 1
10
101 = 10
10−2 =
1
= 0, 01
100
102 = 100
10−3 =
1
= 0, 001
1000
103 = 1000
Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:
1. Un número está escrito en notación cientı́fica si se escribe de la forma k · 10n , en que
1 ≤ k < 10 y n ∈ Z.
2. Un número está escrito en forma abreviada si se escribe de la forma p · 10n , en que p es el
menor entero y n ∈ Z.
3. Un número esta escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma
de las cantidades que resulten de multiplicar cada dı́gito de dicho número por la potencia
de diez correspondiente a su posicion (..., centena, decena, unidad, décima, centésima,...), es
decir:
abc, de = a · 102 + b · 101 + c · 100 + d · 10−1 + e · 10−2
Ejercicios
1.
3−1 + 4−1
=
5−1
a)
b)
c)
d)
e)
2.
12
35
35
12
7
5
5
7
5
12
0, 0009 · 0, 0000002
=
6 · 0, 0003
a) 10−15
b) 10−12
c) 10−7
d ) 10−6
e) Otro valor
3. El orden de los numeros: M = 4, 51 · 10−6 ; N = 45, 1 · 10−5 y P = 451 · 10−7 , de menor a
mayor, es:
a) M,N,P
b) P,M,N
c) N,M,P
d ) P,N,M
e) M,P,N
−3
1 −2
4.
a
=
2
a) 8a6
b) 8a−5
1
c) a−5
2
1
d ) a−6
8
1 6
e) a
2
5. Si 22x = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?
a) 6
9
b)
2
c) 3
3
d)
2
e) Otro valor
6. 4−2 + 2−3 − 2−4 =
1
8
1
b)
4
1
c)
6
d ) −8
a)
e) −6
7. (2a)3 · (3a)2 =
a) 72a2
b) 72a5
c) 6a5
d ) 36a6
e) 36a5
8. ¿Cuál es la mitad de 26 ?
a) 25
b) 23
c) 16
3
1
d)
2
6
1
e)
2
9. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?
a) Solo I
b) Solo II
I) an · an = a2n
c) Solo III
II) a2n − an = an
d ) Solo I y III
e) Solo II y III
III) (2an )2 = 2a2n
10. ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?
a) Solo I y II
I) 24 + 52
b) Solo I y III
II) 6 · 7 − 60 · 70
c) Solo II y III
III) 72 − 23
d ) I, II y III
e) Ninguna de ellas
11. El valor de la expresión
4 · 18n
es:
3−1 · 62n+1 · 2−n
a) 2n
b) 4 · 2n
c) 2
d) 6
e) 36
3, 6 · 106 · 0, 00006
=
12.
20000000
a) 1, 08 · 10−4
b) 1, 08 · 10−5
c) 1, 08 · 10−6
d ) 1, 08 · 10−7
e) 1, 08 · 10−15
13. En la igualdad 4n + 4n + 4n + 4n = 244 , el valor n es:
11
2
b) 11
a)
c) 21
d ) 22
e) Ninguno de los anteriores
14. (0, 2)−2 =
a) 5
b) 10
c) 25
1
d)
25
e) 5
15.
a6 · b−15
=
a−2 · b−5
9
7
8
b) a · b−10
a) −
c) a4 · b−20
d ) a−3 · b3
e) −9
16. Si 9 · 9 = 3x . Entonces x =
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 27
17. Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5000 de ellas, el
número de bacterias que hay al término de 3 horas es:
a) 5000 · 33 bacterias
b) 5000 · 34 bacterias
c) 5000 · 39 bacterias
d ) 5000 · 360 bacterias
e) 5000 · 3180 bacterias
18. ¿Cuál de las siguientes igualdades es(son) correcta(s) cuando x = −3?
a) Solo III
b) Solo I y II
I) 4x =
1
64
c) Solo I y III
II) 4x · 43 = 1
d ) Solo II y III
III) (4−1 )x = 64
e) I, II y III
19. Si p = 5, 2 · 10−3 y q = 2 · 10−3 ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)?
a) Solo I
b) Solo II
I) p + q = 7, 2 · 10−3
c) Solo III
II) p · q = 1, 04 · 10−5
d ) Solo I y II
e) Solo I y III
III) p − q = 3, 2
20. Si 3x + 3−x = P , entonces 9x + 9−x es igual a:
a) P 2
b) P 2 + 2
c) P 2 − 2
d) P 2 − 1
e) 3P
21. Ordenados de mayor a menor los números P = 2444 ; Q = 3333 y R = 5222 son:
a) Q, R, P
b) Q, P, R
c) P, R, Q
d ) R, P, Q
e) P, Q, R
22. ¿Cuál es el valor de la expresión 15 + 22 + 70
a) 5
b) 6
c) 10
d ) 12
e) 16
23. (2t · 3s3 )2 =
a) 36ts3
b) 36t2 s6
c) 6ts5
d ) 6t2 s6
e) 24t2 s6
24. ¿Por que factor hay que multiplicar x−2 para obtener x2 ?
a) Por x−4
b) Por −1
c) Por x−1
d ) Por x4
e) N.A.
25. ¿Qué valor tiene x en la ecuación 25
a)
b)
c)
17
2
15
2
9
2
d) 8
e)
7
2
x−3
3
= 5?