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MATEMÁTICA BÁSICA (Ing)
Solucionario del Simulacro I
Ciclo 2010 - I
1. Un cultivo de bacterias crece de acuerdo al modelo de crecimiento exponencial n(t )  n0 e ,
rt
donde n o es el número inicial de bacterias y r es la tasa relativa de crecimiento. La cuenta
en dicho cultivo de bacterias fue de 400 después de dos horas y 25 600 después de seis
horas respectivamente.
a.
b.
c.
¿Cuál es la tasa relativa de crecimiento de dicha población de bacterias?
¿Cuál fue el tamaño inicial del cultivo?
Encuentre una función que modele el número de bacterias n(t ) después de t horas.
Solución:
Datos: n(2)  400 y n(6)  25 600
a. Usando estos datos tenemos: n0 e 2r  400 y n0 e 6r  25 600 , despejando en cada
ecuación n0 e igualando se tiene:
400 25 600
 6r
e 2r
e
e 4 r  64
r
ln( 64)
 1,03972...
4
Conclusión: La tasa relativa de crecimiento es de 104% aproximadamente.
b. Usando n(2)  n0 e 2r  400  n0 
400
ln( 64)
e 2
, luego mediante el uso de la calculadora
tenemos n0  50 .
Conclusión: El tamaño inicial es de 50 bacterias.
c. Piden: n(t )  50e1,03972t ; t  0;  con n(t ) : número de bacterias en el instante t .
2. Se vacía agua en un recipiente que tiene forma de cono circular recto con radio de 50 cm. y una
altura de 2 m. Exprese el volumen V del agua en el cono como una función de la altura h del
agua.
Solución:
De la figura podemos obtener el siguiente esquema:
0,5
r
2
h
Luego,
r 0,5

h
2
h
r  … (*)
4
1
2m
h
Sea h : la altura del cono, se pide el volumen en función de la altura, se sabe que el volumen de un
cono es
V 
 r 2h
3
Entonces usando la relación (*) se tiene: V (h) 

48
h 3 con h  0; 2
3. Determine el C.S: x  4x  8  5  0
Solución:
C.V.A.= x / 4x  8  0  2;  luego
4x  8  5  x
4 x  8  5  x 2
4 x  8  25  10 x  x 2
0  x 2  14 x  33
0   x  3( x  11)
x  3 ; x  11
Comprobando:
Para x  3  3  4(3)  8  5  0 (Si)
Para x  11  11  4(11)  8  5  12  5 (No)
 C.S. = 3
4. Determine el C.S:
2  3x
3

5
4
Solución:
C.V.A. =  luego
3 2  3x 3


4
5
4
 15  4(2  3 x)  15

 15  8  12 x  15
 23  12 x  7
 7  12 x  23

7
23
x
12
12
 7 23 
 C.S.  ; 
 12 12 
5. Dada la función con regla de correspondencia f ( x) 
( x  5)( x 2  9)
, determine, su
(2 x  3) 2 ( x  1) 3
dominio, los ceros y los intervalos donde es negativa.
Solución:
Restricciones: 2 x  3  0  x  1  0  x  
3
 3 
 x  1  Dom f =    ; 1
2
 2 
2


Ceros: Piden x tal que f ( x)  0  x  5 x 2  9  0 
Luego los ceros de f son cuando x  3 , x  3 y x  5 .
x  5x  3x  3  0
Signo de f: Puntos críticos: -3, -3/2, 1, 3 y 5
-
+
-3
1
-3/2

3
-
+
3
+
5
 3 
Luego f es negativa en   3;   ,   ;1 , 3; 5
2  2 

6. Se tienen las siguientes funciones f x   1  x 3 , g x   1 

a. Analice la simetría de cada una de las funciones.
b. Determine  f / h x  y  g  h  x  y su respectivo dominio.
Solución:
a. Analicemos si las funciones son par o impar:

f ( x)  1  ( x) 3  1  x 3   f ( x)
 f no es par ni impar, es decir no es simétrica ni respecto al eje Y ni al origen.

g ( x)  1 
1
e x  2
  g ( x)
 g no es par ni impar, es decir no es simétrica ni respecto al eje Y ni al origen.

 

h( x)  ln ( x) 2  3  ln x 2  3  h( x)
 h es par, es decir es simétrica respecto al eje Y.

b. Para  f / h x 
Dom f =  .
Dom h = x / x 2  3  0   ;  3  3; 



 
 

h( x)  0  ln x  3  0  x  2
2
Luego,
 Dom(f / h) = Dom f  Dom g - x / h( x)  0

 

  ;  3  3;    2; 2

 f / h( x) 
Para  g  h  x 

1  x3


ln x 2  3
g  h x   g ln x 2  3  1 

e ln x
1
2
3 
2
… (*)
  ;  3  3; 
Entonces el dom (g  h) = x / x 2  3  0 =
Luego simplificando en (*) se tiene g  h x   1 
Nota: Revisar propiedades de logaritmo.
3

1
y hx   ln x 2  3 . .
e 2
x
1
x 1
2
7. Sea f la función, con regla de correspondencia f x   3  log 3(1  x) .
Trace la gráfica
de f usando las técnicas, indique las coordenadas de los puntos de corte con los ejes
coordenados, así como la ecuación de su asíntota.
b. Determine los intervalos donde la función f es positiva y donde es negativa.
a.
c. Verifique que f es uno a uno, además determine f
1
y su dominio.
Solución:
a. Usar las técnicas nos lleva a realizar los siguientes pasos:
1. y  log 3 ( x)
2. y  log 3 ( x)
3. y  log 3 ( x  1)
4. y  log 3 ( x  1)  3
1°
2°
3°
La figura muestra la gráfica de las tres primeras
Finalmente obtenemos la grafica pedida:
Intersectos con los ejes:
Con el eje X: f x   0  3  log 3 (1  x)  0  3 3  1  x  x 
Con el eje Y: x  0  y  3  0; 3
Ecuación de su asíntota vertical x  1.
4
26
27
 26 
  ;0
 27 
b.
f es positiva en  ; 26 / 27
f es negativa en 26 / 27; 1
c. Por el criterio de la recta horizontal podemos afirmar que f es uno a uno, por lo tanto f 1
existe, luego
y  3  log 3 (1  x)
y  3  log 3 1  x 
3 y 3  1  x
x  1  3 y 3
 f 1 ( x)  1  3 x3
Con Dom f 1  Ran f   .
8. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique su respuesta.
a. El diámetro de la ecuación de la circunferencia determinada
x 2  y 2  2 x  8 y  9  0 , es 10.
b. Una cota superior de la parábola determinada por la ecuación y   x 2  6 x  1 , es 9.
por
Solución:
a. Justificación: Completando cuadrados se tiene:
x  12   y  42  8
De donde el radio es r  2 2 , por lo tanto el diámetro d  2r  4 2  10 .
Respuesta: La proposición es FALSA.
b. Justificación: El coeficiente principal es  1 esto implica que la grafica se abre hacia abajo,
además el vértice de la parábola es  3;10 pues:
 (6)
h
 3
2(1)
k  f (3)  (3) 2  6(3)  1  10
Esto implique que el rango sea  ; 10
 9 NO puede ser una cota superior.
Respuesta: La proposición es FALSA.
9. Determine sec  y csc , si cot  =
3
y sec   0
7
Solución:
Usando el círculo unitario (ver figura).
Como cot   0 y sec   0 entonces   III C ,
3
3 x
además cot    entonces x  y
7
7 y
Por Pitágoras:
x

2
7
3 
2
 y  y  1  y  
58
7 
3
 x
58
1
y
5
3

Luego x; y    
;
58

1
Respuesta: sec    
x
7 

58 
58
1
58
y csc    
.
3
y
7
10. Dada la función f , cuya regla de correspondencia es f ( x)  2  3 sen( 3x  ) ; trace
su gráfica, determine el valor de la A , T y desfase.
Solución:
Amplitud: 3  3
Periodo: T 
Desfase:  
2
3

3
hacia la derecha.
Traslación vertical: 2 unidades hacia abajo.
Trazamos su grafica en un intervalo adecuado:

3

2
Paso 1: Graficamos y  3sen 3x   
6
2
3
5
6

Paso 2: Graficamos y  3sen3x     2
ASP/DL
7