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UNIVERSIDAD DEL CAUCA Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS GENERALES Ejercicios Números naturales Nota. Algunos de los ejercicios siguientes aparecen titulados como Definición, Observación, Comentario, Ejemplo, Recomendación, etc. “Hacer” un ejercicio de estos consiste en leer cuidadosamente, y asegurarse de entender muy bien, la respectiva definición, observación, comentario, ejemplo, recomendación, etc., que allí se presente. 1. Definición. El símbolo 2 representa el producto y se llama el cuadrado de . 2. Mediante un contraejemplo, demuestre que la siguiente identidad, conocida como el teorema del primíparo, es falsa: ( + )2 = 2 + 2 3. La identidad correcta en todos los casos es ( + )2 = 2 + 2 + 2 ¿Puede explicar por qué es correcta en todos los casos? 4. Calcule de dos maneras diferentes el cuadrado (2 + 3)2 5. Otra identidad correcta en todos los casos es ()2 = 2 2 ¿Puede dar una explicación de por qué esta identidad es en efecto correcta en todos los casos? 6. Calcule de dos maneras diferentes el cuadrado (2 · 3)2 Ejercicios 7. Mediante un contraejemplo, demuestre que la identidad ()2 = 2 es falsa. 8. Definición. Se dice que es un cuadrado perfecto si = 2 para algún 9. ¿Cuales de los naturales siguientes son cuadrados perfectos y por qué? 0 1 2 3 4 5 9 10 169 10. Determine si la afirmación La suma de dos cuadrados perfectos es un cuadrado perfecto es verdadera o falsa. 11. La afirmación El producto de dos cuadrados perfectos es un cuadrado perfecto es verdadera. Explique por qué. 12. Definición: El símbolo 3 representa el producto y se llama el cubo de 13. Mediante un contraejemplo, muestre que la identidad ( + )3 = 3 + 3 es falsa 14. Definición. Se dice que es un cubo perfecto si = 3 para algún 15. ¿Cuales de los naturales siguientes son cubos perfectos y por qué? 0 1 2 3 4 8 9 27 16. Mediante un contraejemplo, compruebe que la siguiente afirmación es falsa: La suma de dos cubos perfectos es un cubo perfecto 17. La afirmación El producto de dos cubos perfectos es un cubo perfecto es verdadera. Explique por qué. Página 2 de 8 1000 Números naturales 18. Definición. Se dice que es par si = 2 para algún . Se dice que es impar si = 2 + 1 para algún . 19. Para cada uno de los naturales siguientes determine si es par o impar. a) 0 b) 1 c) e) f ) 4500 g) 4000003 11 d) 3 2 h) 99999999 20. La afirmación Si y son pares entonces + es par es verdadera. ¿Puede explicar por qué? 21. Mediante un contraejemplo, convenza al mundo de que el enunciado S i + es par entonces y son pares es falso. 22. Definición. Se dice que divide a , y se escribe | si existe tal que = . (Asegúrese de entender muy bien esta definición.) 23. Explique por qué son verdaderas las cuatro afirmaciones siguientes: a) 2 | 4 b) 5 | 5 c) 7 | 0 d) 0 | 0 24. Explique por qué es falsa la siguiente afirmación: 4|2 25. Investigue si la afirmación siguiente es verdadera o falsa y explique su respuesta: (2 · 6) + 1 | 3 + (2 · 18) 26. Explique por qué las tres afirmaciones siguientes son verdaderas (por no decir obvias): a) | 0 b) 1 | c) | 27. Superman, que es bueno en matemáticas, dio una explicación de que la implicación Si | y | entonces | + es verdadera. ¿Cuál pudo haber sido esa explicación? Página 3 de 8 Ejercicios 28. Batman, que es negado en matemáticas, jura que la implícación recíproca de la anterior Si | + entonces | y | también es verdadera. Muéstrele un contraejemplo a Batman para que acepte que es falsa. 29. Definición. Sea un natural. Un divisor propio de es un natural que satisface las tres condiciones siguientes | 6= 0 6= 30. Para cada uno de los naturales siguientes, determine si posee o no divisores propios y, en caso afirmativo, encuéntrelos. (Tenga cuidado en el caso del cero ya que se trata de un caso especial.) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) h) 12 6 i) 30 31. Definición. Un natural diferente de cero se llama perfecto si él es igual a la suma de todos sus divisores propios. 32. Determine cuáles de los naturales siguientes son perfectos y cuáles no: a) 4 b) 6 c) 12 d) 22 e) 28 f ) 32 33. En la pequeña lista del ejercicio anterior usted debió encontrar exactamente dos números perfectos. En orden creciente, el tercer número perfecto que se conoce es 496, el cuarto es 8 128 y el quinto es 33 550 336. Los números perfectos que siguen a estos son aún más grandes. Hasta agosto de 2015 se han descubierto exactamente 48 números perfectos. El 48—ésimo número perfecto conocido es un verdadero monstruo numérico: 257 885 160 × (257 885 161 − 1) ¡Consta de más de 34 millones de dígitos! Fue descubierto el 25 de enero de 2013. Los 48 números perfectos descubiertos son todos pares. Aún no se sabe si existe o no algún número perfecto impar. Sin embargo, se sabe que, en caso de que exista alguno, deberá tener por lo menos 300 cifras. Tampoco se sabe si hay una cantidad finita o infinita de números perfectos. 34. Atención: La que sigue es una de las definiciones más importantes en matemáticas. Dedique un tiempo razonable para comprenderla perfectamente. Definición. Se dice que es primo si 1 y los únicos divisores de son 1 y Página 4 de 8 Números naturales 35. Comentarios: Algunas personas se preguntan por qué el natural 1 no se incluye como un número primo. Más adelante, en el presente grupo de ejercicios, podrá ver una razón que tienen los matemáticos para excluirlo. Los primeros 10 números primos son 2 3 5 7 11 13 17 19 23 () 29 Se puede demostrar que existen infinitos primos. La primera demostración conocida de este hecho se realizó hacia el siglo III a. C. y se atribuye a Euclides. El primo más grande conocido actualmente (agosto de 2015) fue descubierto el 25 de enero de 2013 como resultado del trabajo intensivo y en paralelo de un gran número de computadoras. Se trata de 257 885 161 − 1 Este número es ciertamente grande. Consta de un poco más de 17 millones de dígitos. (Exactamente 17 425 170 dígitos.) Obviamente, no es posible escribir aquí todos los dígitos de ese número pero sí se puede mostrar el “aspecto” que tiene: 58188726623224644217 · · · 46141988071724285951 donde la elipsis intermedia representa varios millones de dígitos omitidos. 36. Extienda la lista () hasta los primeros 30 primos. 37. Compruebe que cada uno de los naturales desde 2 hasta 50 es primo o producto de primos. 38. Exprese los siguientes naturales como producto de primos. a) 86 b) 120 c) 13 475 d) 29 172 39. Comentario: Es posible demostrar el siguiente resultado (no intente demostrarlo, no es fácil): Cada natural mayor que 1 es primo o producto de primos y, además, en forma única () “En forma única” significa “salvo el orden de los factores”. Por ejemplo, 12 puede expresarse como 2 · 2 · 3 y esta es la única forma de expresarlo como producto de primos, salvo que se escriba como 2 · 3 · 2 o como 3 · 2 · 2. El resultado () es uno de los más importantes en matemáticas y se conoce como el teorema fundamental de la aritmética. Observe que si el 1 fuese un primo entonces el teorema fundamental Página 5 de 8 Ejercicios de la aritmética no sería cierto en lo que respecta a la unicidad. Por ejemplo, 12 podría representarse de dos maneras distintas: 2 · 2 · 3 y 1 · 2 · 2 · 3. La unicidad de la descomposición en factores primos juega un papel de gran importancia en matemáticas. Esta es una razón por la cual los matemáticos excluyen al natural 1 de la definición de número primo. 40. Definición. Una pareja de primos gemelos es una pareja ( + 2) de naturales donde ambos, y + 2, son primos 41. Ejemplo. (3 5) y (5 7) son dos parejas de primos gemelos. 42. Revise la lista de los primeros 51 naturales y encuentre todas las parejas de primos gemelos que ocurran en esta lista. Deberá encontrar exactamente 6 de ellas. 43. Comentario: En la actualidad se conoce un gran número de parejas de primos gemelos. Con ayuda de supercomputadoras se han encontrado parejas de primos gemelos muy grandes. La más grande que se conoce hoy, descubierta el 25 de diciembre de 2011, es ( + 2) donde es el primo ¡ ¢ (3756801695685) 2666669 − 1 el cual consta de 200700 dígitos. La evidencia experimental parece sugerir que existe una cantidad infinita de parejas de primos gemelos pero hasta la fecha nadie ha podido hacer una demostración matemática de este hecho. La afirmación de que existen infinitas parejas de primos gemelos es actualmente un problema abierto en matemáticas y se conoce como la conjetura de los primos gemelos. 44. Demuestre que si en la expresión 22 + 11 se sustituye sucesivamente por los valores 0, 1, 2, . . . , 10 entonces los resultados son todos primos distintos entre sí. 45. Comentario. Un caso sorprendente es el de la expresión 2 + + 41. Si en esta expresión usted sustituye sucesivamente por los valores 0, 1, 2, . . . , 40, los resultados ¡son todos primos distintos! (Tranquilo, no le estoy pidiendo que verifique esta afirmación, pero si siente curiosidad y desea satisfacerla, dedique algo de tiempo y paciencia para ello. Este tipo de labores son frecuentes en matemáticas y, aunque usted no lo crea, muchas veces resultan bastante instructivas.) 46. Compruebe que cada natural par entre 4 y 50 puede expresarse como suma de dos primos. (Algunos de estos pares pueden expresarse como suma de dos primos de dos o más maneras distintas. Su misión es comprobar que, en cada caso, al menos una manera existe.) 47. Comentario. Si usted continúa examinando pares mayores que 50 seguirá comprobando que cada uno de ellos también puede expresarse como suma de dos primos. Pero no es necesario que se tome esa molestia. Los ingenieros electrónicos ya lo han hecho por usted. El 4 de abril de 2012, usando supercomputadoras, el portugués Página 6 de 8 Números naturales Tomás António Mendes Oliveira e Silva completó la verificación de que todos los pares con 4 ≤ ≤ 4 000 000 000 000 000 000 son expresables como suma de dos primos. En otras palabras, el enunciado Todo par mayor que 2 es suma de dos primos ( ) ha sido verificado prácticamente para los primeros ¡dos trillones de casos! Aunque esta es una fuerte evidencia experimental de que ( ) es cierto, los matemáticos aun no pueden afirmar que en efecto ( ) sea cierto. ¡Podría haber un contraejemplo más adelante! El hecho es que hasta la fecha (agosto de 2015) nadie ha logrado hacer una demostración matemática legítima de ( ). Este enunciado se conoce actualmente como la conjetura de Goldbach. Resulta muy intrigante el hecho de que un enunciado extremadamente sencillo de formular como la conjetura de Goldbach sea, al mismo tiempo, uno de los desafíos más difíciles de la matemática contemporánea. 48. Batman dijo que la identidad = es verdadera. Esto le produjo un ataque de risa a Superman. Batman, muy enojado, quiere saber a qué se debe la risita de Superman. Explíquele a Batman lo que ocurre. 49. Tres días después del incidente anterior, Batman se presenta sorpresivamente donde Superman, lo toma por el cuello y le dice: “Qué tal Superbobo. Quiero verle su sonrisita otra vez. Gracias a Robincito, estoy en capacidad de demostrarle que la identidad = + es verdadera siempre que no se involucre la ‘potencia’ 00 que, como sabemos, no se define. Voy a hacerlo en el caso en que y son ambos positivos, porque en los demás casos es juego de niños.” Después de que Batman le explicó la demostración, Superman quedó boquiabierto y no tuvo más remedio que felicitar a Batman. ¿Cuál sería dicha demostración? Página 7 de 8 Ejercicios Respuestas 9. 0, 1, 4, 9, 169 19. a) Par 10. Falsa b) Impar f ) Par g) Impar 15. 0, 1, 8, 27, 1000 c) Par d) Impar e) Impar h) Impar 25. Verdadera 30. a) Todos los naturales diferentes de 0 son divisores propios de 0. divisores propios. c) 2 posee un único divisor propio que es 1. único divisor propio que es 1. d) 3 posee un e) 4 posee dos divisores propios que son 1 y 2. 5 posee un único divisor propio que es 1. 1, 2 y 3. b) 1 no posee f) g) 6 posee tres divisores propios que son h) 12 posee cinco divisores propios que son 1, 2, 3, 4 y 6. i) 30 posee siete divisores propios que son 1, 2, 3, 5, 6, 10 y 15. 32. Los únicos números perfectos en la lista son 6 y 28. 36. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 37. 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2 · 2, 5 = 5, 6 = 2 · 3, 7 = 7, 8 = 2 · 2 · 2, 9 = 3 · 3 · 3, 10 = 2 · 5, 11 = 11, 12 = 2 · 2 · 3, 13 = 13, 14 = 2 · 7, 15 = 3 · 5, 16 = 2 · 2 · 2 · 2, 18 = 2 · 3 · 3, 20 = 2 · 2 · 5, 21 = 3 · 7, 22 = 2 · 11, 23 = 23, 24 = 2 · 2 · 2 · 3, 25 = 5 · 5, 26 = 2 · 13, 27 = 3 · 3 · 3, 28 = 2 · 2 · 7, 29 = 29, 30 = 2 · 3 · 5, 31 = 31, 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2, 33 = 3 · 11, 34 = 2 · 17, 35 = 5 · 7, 36 = 2 · 2 · 3 · 3, 38 = 2 · 19, 39 = 3 · 13, 40 = 2 · 2 · 2 · 5, 41 = 41, 42 = 2 · 3 · 7, 43 = 43, 44 = 2 · 2 · 11, 46 = 2 · 23, 47 = 47, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 49 = 7 · 7, 50 = 2 · 5 · 5 38. a) 2 · 43 b) 2 · 2 · 2 · 3 · 5 c) 5 · 5 · 7 · 7 · 11 42. (3 5), (5 7), (11 13), (17 19), (29 31), (41 43) Página 8 de 8 d) 2 · 2 · 3 · 11 · 13 · 17