Download Números naturales

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS GENERALES
Ejercicios
Números naturales
Nota. Algunos de los ejercicios siguientes aparecen titulados como Definición, Observación, Comentario, Ejemplo, Recomendación, etc. “Hacer” un ejercicio de
estos consiste en leer cuidadosamente, y asegurarse de entender muy bien, la respectiva
definición, observación, comentario, ejemplo, recomendación, etc., que allí se presente.
1. Definición. El símbolo 2 representa el producto  y se llama el cuadrado de .
2. Mediante un contraejemplo, demuestre que la siguiente identidad, conocida como
el teorema del primíparo, es falsa:
( + )2 = 2 + 2
3. La identidad correcta en todos los casos es
( + )2 = 2 + 2 + 2
¿Puede explicar por qué es correcta en todos los casos?
4. Calcule de dos maneras diferentes el cuadrado
(2 + 3)2
5. Otra identidad correcta en todos los casos es
()2 = 2 2
¿Puede dar una explicación de por qué esta identidad es en efecto correcta en todos
los casos?
6. Calcule de dos maneras diferentes el cuadrado
(2 · 3)2
Ejercicios
7. Mediante un contraejemplo, demuestre que la identidad
()2 = 2 
es falsa.
8. Definición. Se dice que  es un cuadrado perfecto si  = 2 para algún 
9. ¿Cuales de los naturales siguientes son cuadrados perfectos y por qué?
0
1
2
3
4
5
9
10
169
10. Determine si la afirmación
La suma de dos cuadrados perfectos es un cuadrado perfecto
es verdadera o falsa.
11. La afirmación
El producto de dos cuadrados perfectos es un cuadrado perfecto
es verdadera. Explique por qué.
12. Definición: El símbolo 3 representa el producto  y se llama el cubo de 
13. Mediante un contraejemplo, muestre que la identidad
( + )3 = 3 + 3
es falsa
14. Definición. Se dice que  es un cubo perfecto si  = 3 para algún 
15. ¿Cuales de los naturales siguientes son cubos perfectos y por qué?
0
1
2
3
4
8
9
27
16. Mediante un contraejemplo, compruebe que la siguiente afirmación es falsa:
La suma de dos cubos perfectos es un cubo perfecto
17. La afirmación
El producto de dos cubos perfectos es un cubo perfecto
es verdadera. Explique por qué.
Página 2 de 8
1000
Números naturales
18. Definición. Se dice que  es par si  = 2 para algún . Se dice que  es impar
si  = 2 + 1 para algún .
19. Para cada uno de los naturales siguientes determine si es par o impar.
a) 0
b) 1
c)
e)
f ) 4500
g) 4000003
11
d) 3
2
h)
99999999
20. La afirmación
Si  y  son pares entonces  +  es par
es verdadera. ¿Puede explicar por qué?
21. Mediante un contraejemplo, convenza al mundo de que el enunciado
S i  +  es par entonces  y  son pares
es falso.
22. Definición. Se dice que  divide a , y se escribe
|
si existe  tal que  = . (Asegúrese de entender muy bien esta definición.)
23. Explique por qué son verdaderas las cuatro afirmaciones siguientes:
a) 2 | 4
b) 5 | 5
c) 7 | 0
d) 0 | 0
24. Explique por qué es falsa la siguiente afirmación:
4|2
25. Investigue si la afirmación siguiente es verdadera o falsa y explique su respuesta:
(2 · 6) + 1 | 3 + (2 · 18)
26. Explique por qué las tres afirmaciones siguientes son verdaderas (por no decir obvias):
a)  | 0
b) 1 | 
c)  | 
27. Superman, que es bueno en matemáticas, dio una explicación de que la implicación
Si  |  y  |  entonces  |  + 
es verdadera. ¿Cuál pudo haber sido esa explicación?
Página 3 de 8
Ejercicios
28. Batman, que es negado en matemáticas, jura que la implícación recíproca de la
anterior
Si  |  +  entonces  |  y  | 
también es verdadera. Muéstrele un contraejemplo a Batman para que acepte que
es falsa.
29. Definición. Sea  un natural. Un divisor propio de  es un natural  que satisface las tres condiciones siguientes
|
 6= 0
 6= 
30. Para cada uno de los naturales siguientes, determine si posee o no divisores propios
y, en caso afirmativo, encuéntrelos. (Tenga cuidado en el caso del cero ya que se
trata de un caso especial.)
a) 0
b)
1
c) 2
d) 3
e)
4
f) 5
g)
h) 12
6
i)
30
31. Definición. Un natural diferente de cero se llama perfecto si él es igual a la suma
de todos sus divisores propios.
32. Determine cuáles de los naturales siguientes son perfectos y cuáles no:
a) 4
b) 6
c) 12
d) 22
e) 28
f ) 32
33. En la pequeña lista del ejercicio anterior usted debió encontrar exactamente dos
números perfectos. En orden creciente, el tercer número perfecto que se conoce es
496, el cuarto es 8 128 y el quinto es 33 550 336. Los números perfectos que siguen a
estos son aún más grandes. Hasta agosto de 2015 se han descubierto exactamente 48
números perfectos. El 48—ésimo número perfecto conocido es un verdadero monstruo
numérico:
257 885 160 × (257 885 161 − 1)
¡Consta de más de 34 millones de dígitos! Fue descubierto el 25 de enero de 2013.
Los 48 números perfectos descubiertos son todos pares. Aún no se sabe si existe o
no algún número perfecto impar. Sin embargo, se sabe que, en caso de que exista
alguno, deberá tener por lo menos 300 cifras. Tampoco se sabe si hay una cantidad
finita o infinita de números perfectos.
34. Atención: La que sigue es una de las definiciones más importantes en matemáticas.
Dedique un tiempo razonable para comprenderla perfectamente.
Definición. Se dice que  es primo si   1 y los únicos divisores
de  son 1 y 
Página 4 de 8
Números naturales
35. Comentarios:
Algunas personas se preguntan por qué el natural 1 no se incluye como un
número primo. Más adelante, en el presente grupo de ejercicios, podrá ver una
razón que tienen los matemáticos para excluirlo.
Los primeros 10 números primos son
2
3
5
7
11
13
17
19
23
()
29
Se puede demostrar que existen infinitos primos. La primera demostración
conocida de este hecho se realizó hacia el siglo III a. C. y se atribuye a Euclides.
El primo más grande conocido actualmente (agosto de 2015) fue descubierto
el 25 de enero de 2013 como resultado del trabajo intensivo y en paralelo de
un gran número de computadoras. Se trata de
257 885 161 − 1
Este número es ciertamente grande. Consta de un poco más de 17 millones de
dígitos. (Exactamente 17 425 170 dígitos.) Obviamente, no es posible escribir
aquí todos los dígitos de ese número pero sí se puede mostrar el “aspecto”
que tiene:
58188726623224644217 · · · 46141988071724285951
donde la elipsis intermedia representa varios millones de dígitos omitidos.
36. Extienda la lista () hasta los primeros 30 primos.
37. Compruebe que cada uno de los naturales desde 2 hasta 50 es primo o producto de
primos.
38. Exprese los siguientes naturales como producto de primos.
a) 86
b) 120
c) 13 475
d) 29 172
39. Comentario: Es posible demostrar el siguiente resultado (no intente demostrarlo,
no es fácil):
Cada natural mayor que 1 es primo o producto de primos
y, además, en forma única
()
“En forma única” significa “salvo el orden de los factores”. Por ejemplo, 12 puede
expresarse como 2 · 2 · 3 y esta es la única forma de expresarlo como producto de
primos, salvo que se escriba como 2 · 3 · 2 o como 3 · 2 · 2. El resultado () es uno de
los más importantes en matemáticas y se conoce como el teorema fundamental de
la aritmética. Observe que si el 1 fuese un primo entonces el teorema fundamental
Página 5 de 8
Ejercicios
de la aritmética no sería cierto en lo que respecta a la unicidad. Por ejemplo, 12
podría representarse de dos maneras distintas: 2 · 2 · 3 y 1 · 2 · 2 · 3. La unicidad
de la descomposición en factores primos juega un papel de gran importancia en
matemáticas. Esta es una razón por la cual los matemáticos excluyen al natural 1
de la definición de número primo.
40. Definición. Una pareja de primos gemelos es una pareja (  + 2) de naturales
donde ambos,  y  + 2, son primos
41. Ejemplo. (3 5) y (5 7) son dos parejas de primos gemelos.
42. Revise la lista de los primeros 51 naturales y encuentre todas las parejas de primos
gemelos que ocurran en esta lista. Deberá encontrar exactamente 6 de ellas.
43. Comentario: En la actualidad se conoce un gran número de parejas de primos
gemelos. Con ayuda de supercomputadoras se han encontrado parejas de primos
gemelos muy grandes. La más grande que se conoce hoy, descubierta el 25 de diciembre de 2011, es (  + 2) donde  es el primo
¡
¢
(3756801695685) 2666669 − 1
el cual consta de 200700 dígitos. La evidencia experimental parece sugerir que existe
una cantidad infinita de parejas de primos gemelos pero hasta la fecha nadie ha
podido hacer una demostración matemática de este hecho. La afirmación de que
existen infinitas parejas de primos gemelos es actualmente un problema abierto en
matemáticas y se conoce como la conjetura de los primos gemelos.
44. Demuestre que si en la expresión 22 + 11 se sustituye  sucesivamente por los
valores 0, 1, 2, . . . , 10 entonces los resultados son todos primos distintos entre sí.
45. Comentario. Un caso sorprendente es el de la expresión 2 +  + 41. Si en esta
expresión usted sustituye  sucesivamente por los valores 0, 1, 2, . . . , 40, los
resultados ¡son todos primos distintos! (Tranquilo, no le estoy pidiendo que verifique
esta afirmación, pero si siente curiosidad y desea satisfacerla, dedique algo de tiempo
y paciencia para ello. Este tipo de labores son frecuentes en matemáticas y, aunque
usted no lo crea, muchas veces resultan bastante instructivas.)
46. Compruebe que cada natural par entre 4 y 50 puede expresarse como suma de dos
primos. (Algunos de estos pares pueden expresarse como suma de dos primos de
dos o más maneras distintas. Su misión es comprobar que, en cada caso, al menos
una manera existe.)
47. Comentario. Si usted continúa examinando pares mayores que 50 seguirá comprobando que cada uno de ellos también puede expresarse como suma de dos primos.
Pero no es necesario que se tome esa molestia. Los ingenieros electrónicos ya lo han
hecho por usted. El 4 de abril de 2012, usando supercomputadoras, el portugués
Página 6 de 8
Números naturales
Tomás António Mendes Oliveira e Silva completó la verificación de que todos los
pares  con
4 ≤  ≤ 4 000 000 000 000 000 000
son expresables como suma de dos primos. En otras palabras, el enunciado
Todo par mayor que 2 es suma de dos primos
(  )
ha sido verificado prácticamente para los primeros ¡dos trillones de casos! Aunque
esta es una fuerte evidencia experimental de que (  ) es cierto, los matemáticos
aun no pueden afirmar que en efecto (  ) sea cierto. ¡Podría haber un contraejemplo más adelante! El hecho es que hasta la fecha (agosto de 2015) nadie ha
logrado hacer una demostración matemática legítima de (  ). Este enunciado se
conoce actualmente como la conjetura de Goldbach. Resulta muy intrigante el hecho de que un enunciado extremadamente sencillo de formular como la conjetura de
Goldbach sea, al mismo tiempo, uno de los desafíos más difíciles de la matemática
contemporánea.
48. Batman dijo que la identidad
  = 
es verdadera. Esto le produjo un ataque de risa a Superman. Batman, muy enojado,
quiere saber a qué se debe la risita de Superman. Explíquele a Batman lo que ocurre.
49. Tres días después del incidente anterior, Batman se presenta sorpresivamente donde
Superman, lo toma por el cuello y le dice: “Qué tal Superbobo. Quiero verle su
sonrisita otra vez. Gracias a Robincito, estoy en capacidad de demostrarle que la
identidad
  = +
es verdadera siempre que no se involucre la ‘potencia’ 00 que, como sabemos, no se
define. Voy a hacerlo en el caso en que  y  son ambos positivos, porque en los
demás casos es juego de niños.” Después de que Batman le explicó la demostración,
Superman quedó boquiabierto y no tuvo más remedio que felicitar a Batman. ¿Cuál
sería dicha demostración?
Página 7 de 8
Ejercicios
Respuestas
9. 0, 1, 4, 9, 169
19. a) Par
10. Falsa
b) Impar
f ) Par
g) Impar
15. 0, 1, 8, 27, 1000
c) Par
d) Impar
e) Impar
h) Impar
25. Verdadera
30. a) Todos los naturales diferentes de 0 son divisores propios de 0.
divisores propios.
c) 2 posee un único divisor propio que es 1.
único divisor propio que es 1.
d) 3 posee un
e) 4 posee dos divisores propios que son 1 y 2.
5 posee un único divisor propio que es 1.
1, 2 y 3.
b) 1 no posee
f)
g) 6 posee tres divisores propios que son
h) 12 posee cinco divisores propios que son 1, 2, 3, 4 y 6.
i) 30 posee
siete divisores propios que son 1, 2, 3, 5, 6, 10 y 15.
32. Los únicos números perfectos en la lista son 6 y 28.
36. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97, 101, 103, 107, 109, 113
37. 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2 · 2, 5 = 5, 6 = 2 · 3, 7 = 7, 8 = 2 · 2 · 2, 9 = 3 · 3 · 3, 10 = 2 · 5,
11 = 11, 12 = 2 · 2 · 3, 13 = 13, 14 = 2 · 7, 15 = 3 · 5, 16 = 2 · 2 · 2 · 2, 18 = 2 · 3 · 3,
20 = 2 · 2 · 5, 21 = 3 · 7, 22 = 2 · 11, 23 = 23, 24 = 2 · 2 · 2 · 3, 25 = 5 · 5, 26 = 2 · 13,
27 = 3 · 3 · 3, 28 = 2 · 2 · 7, 29 = 29, 30 = 2 · 3 · 5, 31 = 31, 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2, 33 = 3 · 11,
34 = 2 · 17, 35 = 5 · 7, 36 = 2 · 2 · 3 · 3, 38 = 2 · 19, 39 = 3 · 13, 40 = 2 · 2 · 2 · 5, 41 = 41,
42 = 2 · 3 · 7, 43 = 43, 44 = 2 · 2 · 11, 46 = 2 · 23, 47 = 47, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 49 = 7 · 7,
50 = 2 · 5 · 5
38. a) 2 · 43
b) 2 · 2 · 2 · 3 · 5
c) 5 · 5 · 7 · 7 · 11
42. (3 5), (5 7), (11 13), (17 19), (29 31), (41 43)
Página 8 de 8
d) 2 · 2 · 3 · 11 · 13 · 17