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PROPIEDADES ELECTRICAS DE LA MATERIA
Para el estudio de los fenómenos eléctricos interactuando con la materia, se hace necesario diferenciar a los
medios materiales en dos tipos fundamentales:
-
Dieléctricos.
-
Conductores.
Aún cuando en la realidad ningún material puede describirse como dieléctrico perfecto, ni como conductor
perfecto.
Los materiales dieléctricos son aquellos que pueden describirse como materiales en los cuales no hay
portadores libres de carga, o su número por unidad de volumen es muy pequeño.
Por el contrario, los materiales conductores son los que presentan un gran número de portadores de carga
libres por unidad de volumen.
Los primeros materiales que estudiaremos son los dieléctricos, el modelo físico que utilizaremos es un
MODELO SEMICLASICO.
Este modelo contempla para la descripción de los materiales dieléctricos, dos tipos de ellos:
-
Materiales dieléctricos polares.
-
Materiales dieléctricos no polares.
Los materiales dieléctricos polares presentan moléculas en las cuales, su configuración geométrica en sus
enlaces atómicos, son tales que el centro de gravedad de las cargas positivas, y el centro de gravedad de las
cargas negativas están desplazados de manera fija sin que exista campo eléctrico.
Se dice que este tipo de material presenta ya, a nivel molecular, la estructura de un dipolo eléctrico. Entre los
materiales dieléctricos polares podemos encontrar el agua y la parafina.
El otro tipo de material, son los no-polares. Estos materiales cuando no existen campos eléctricos externos, no
tienen desplazados entre sí los centros de gravedad de la carga positiva y negativa.
En la naturaleza, los segundos materiales son más numerosos y de interés.
Los materiales que nos interesarán en este curso son los materiales no-polares.
¿Cómo interactúa un campo eléctrico externo con un material no- polar?
En las siguientes páginas describiremos la forma de interacción entre campos eléctricos externos y un material
dieléctrico no-polar, el modelo que estamos estudiando nos dará la respuesta.
DESCRIPCION DEL MODELO SEMICLASICO DE UN DIELECTRICO NO-POLAR.
El material no-polar, lo consideraremos inicialmente como una especie de "balón de americano", en forma de
elipsoide de revolución, en el cual la zona externa es la región donde aparece la "nube electrónica", y en el
centro del elipsoide, aparecerá el centro de gravedad de la carga positiva, es decir, será el centro de gravedad
de los núcleos de los átomos que componen la molécula.
Al principio, este modelo parecerá demasiado burdo, pero para nuestros fines, lo consideramos adecuado.
En la figura anterior vemos un esquema de este modelo, en él hemos supuesto que no existe campo eléctrico
externo.
r
r
E . El vector de intensidad de campo eléctrico E , "empuja" a las cargas positivas en la misma
Pensemos ahora en la aplicación de un campo eléctrico externo uniforme de vector de intensidad de campo
eléctrico
dirección de ese vector , y con su mismo sentido, sin embargo, la nube electrónica en su conjunto, es "jalada"
en sentido opuesto a las cargas positivas que forman los núcleos, pero con misma dirección.
El resultado es un desplazamiento neto del centro de gravedad de la nube electrónica respecto al centro de
gravedad de los núcleos.
Supondremos razonablemente que los núcleos son empujados como un sólo conjunto, porque la fuerza que
ejerce el campo eléctrico sobre los núcleos es muy pequeña comparada con las fuerzas de cohesión entre los
átomos que componen la molécula.
El resultado se esquematiza en la siguiente figura, donde vemos que los centros de gravedad de las cargas
eléctricas positiva y negativa, se separan una distancia "d". Si la carga total positiva en la molécula es Q,
evidentemente que la carga negativa es -Q.
En consecuencia se genera la presencia de un dipolo eléctrico, cuyo "momento de dipolo" es p = Q d .
La distancia "d", es proporcional a la magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico, porque un
aumento de este último, genera un aumento de la distancia de separación entre los centros de gravedad de las
cargas eléctricas positiva y negativa de la molécula, ya que la fuerza eléctrica sobre las cargas se ve
incrementada.
El momento de dipolo eléctrico es proporcional directamente a la magnitud de la carga eléctrica y a la
distancia de separación de los centros de gravedad ya mencionados.
Es pertinente en este momento realizar el análisis del campo eléctrico alrededor de un dipolo eléctrico.
Un dipolo eléctrico es un arreglo de dos cargas eléctricas puntuales de signos contrarios y misma magnitud,
separadas una distancia "d". Nos preguntaremos por el vector de intensidad de campo eléctrico en un punto
"P", a una distancia "x" del punto medio entre las dos cargas y en dirección perpendicular a la línea que une
las cargas del sistema.
El vector de intensidad de campo eléctrico en el punto P, es dado por:
r
r
r r
r
1 Q r+
1 Q r−
E = E + + E− =
−
2
4πε 0 r+ r+ 4πε 0 r− 2 r−
sustituyendo los vectores de posición desde cada carga del punto P, tenemos:
d
r
r+ = x iˆ − ˆj
2
d2
∴ r+ = x +
4
d
r
r− = x iˆ + ˆj
2
d
r
∴r− = x 2 +
4
2
2
expresiones que conducen al resultado:
⎧
⎫
⎪ x iˆ − d ˆj
x iˆ + d ˆj ⎪⎪
r r
r
1
⎪
2
2
−
=
E = E+ + E− =
Q⎨
3 ⎬
3
4πε 0 ⎪ ⎡ 2
2⎤ 2
2⎤ 2
2
⎡
⎪
d
d
x +
x +
2 ⎥⎦
2 ⎥⎦ ⎪⎭
⎢⎣
⎪⎩ ⎢⎣
( )
( )
( )
( )
reduciendo términos semejantes tenemos:
r
E = − 4πε1
Q d ˆj
0
( )
3
2⎤ 2
⎡x + d
2 ⎥⎦
⎢⎣
2
que es la expresión exacta del vector de intensidad de campo eléctrico en el punto "P". No obstante, para
nuestros fines, es necesario encontrar ese resultado cuando el dipolo tiene una separación entre cargas muy
pequeña comparada con la distancia a "x" al punto "P".
La figura siguiente nos presenta la situación:
Desde luego esto es aplicable a nivel atómico, ya que los ordenes de dimensión para las moléculas pueden
llegar a 10 Armstrongs, que comparados con las dimensiones del sistema laboratorio son muy pequeñas.
La condición anterior, se expresa matemáticamente :
d << x
relación de orden que se puede expresar de la forma:
d2
<<< 1
x2
la expresión precisa de la magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico en el punto P es
E = − 4πε1
Qd
0
( )
3
2⎤ 2
⎡x 2 + d
2 ⎥⎦
⎢⎣
el denominador de esa expresión es dado por:
( )
⎡x 2 + d 2 ⎤
2 ⎥⎦
⎢⎣
3
2
la cual podemos convertir algebraicamente en:
⎡ 2
⎢x
⎢⎣
⎛ d ⎞⎤
⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎥
⎝ x ⎠ ⎥⎦
2
3
2
y debido a que
d2
<<< 1
x2
el radical puede desarrollarse por expansión en serie de potencias, que en primera aproximación da:
⎛ d2
⎜⎜1 + 2
⎝ x
⎞
d2
⎟⎟ = 1 + 2 ≅ 1
x
⎠
es por ello que podemos escribir como denominador:
⎡ 2
⎢x
⎢⎣
3
⎛ d ⎞⎤
⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎥ → x 3
⎝ x ⎠ ⎥⎦
2
2
de tal manera que el campo eléctrico puede expresarse como:
r
E = − 4πε1
Q d ˆj
0
[x ]
2
3
2
= − 4πε1
0
Q d ˆj
x3
Destacamos de esta expresión, los siguientes resultados:
-
El vector de intensidad de campo eléctrico tiene su dirección paralela a la línea que une los
centros de las cargas.
-
El vector de intensidad de campo eléctrico tiene su sentido de la carga positiva hacia la carga
negativa..
-
La magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico es inversamente proporcional al cubo
de la distancia desde el punto medio del dipolo. Generando un decaimiento muy rápido del
vector de campo eléctrico con la distancia.
-
La magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico es proporcional al producto Q d, al cual
se le puede denominar "momento de dipolo eléctrico".
-
, que tiene la magnitud Q d, y tiene su
Se define como Vector de dipolo eléctrico al vector
dirección paralela a la línea que une los centros del dipolo, con su sentido yendo de la carga
negativa a la carga positiva.
-
r
p
El vector
de dipolo
r
Er de intensidad de campo eléctrico generado por el dipolo, y el vector de momento
p
tienen la misma dirección pero sentidos contrarios.
La figura muestra la relación entre el vector de momento de dipolo (o momento dipolar) y el vector de
intensidad de campo eléctrico generado por el dipolo.
Es necesario en este punto analizar que sucede con un arreglo dipolar cuando éste se hunde en un campo
eléctrico de vector de intensidad de campo eléctrico uniforme.
Este análisis es útil cuando se quiere investigar que sucede con un medio dieléctrico polar.
UN DIPOLO ELECTRICO DE MOMENTO DIPOLAR
r
p
DENTRO
DE UN CAMPO ELECTRICO UNIFORME DE INTENSIDAD
r
E.
r
E
colocamos un dipolo eléctrico
Supongamos que dentro de un Campo Eléctrico Uniforme de Intensidad
de cargas +Q y -Q, separadas una distancia "d" constante que no se permite cambiar.
Inicialmente supondremos que la dirección del vector de momento dipolar hace un ángulo θ con la dirección
del vector de intensidad de campo eléctrico, como se muestra en la figura:
Podemos tratar nuestro dipolo como si se tratase de un cuerpo rígido de una sola pieza, generando que el
momento de dipolo no cambie en magnitud, sólo en dirección.
Al ser las cargas puntuales idénticas, el dipolo girará naturalmente alrededor del centro de la distancia entre
ellas.
Desde este centro, ahora centro de rotación, supondremos que los vectores de posición de la carga negativa y
r
positiva, son respectivamente: r1
r
y r2 .
Debido a la existencia del campo eléctrico uniforme, se genera sobre las cargas negativa y positiva, las
fuerzas eléctricas:
r
r
F− = − Q E
r
r
F+ = Q E
que existen en todo momento sobre las cargas cuando están dentro del campo.
Estas fuerzas generan un "par de fuerzas" mecánico que obliga al dipolo a girar bajo su acción. Este giro es
originado por el momento de fuerzas total que aparece por la suma de los momentos de fuerza
τr
1
y
τr2
que obran respectivamente, sobre la carga negativa y positiva.
Esos momentos de fuerza son dados por:
r r
τ 1 = r1 × F−
r
de tal manera que el momento total es dado por:
y
r r
τ 2 = r2 × F+
r
r
r
τr = τr1 + τr2 = rr1 × F− + rr2 × F
r r
son paralelos porque el producto vectorial al que son equivalentes
claramente, los dos vectores τ y τ
2
1
cada uno de ellos, da un vector en dirección perpendicular al plano de la figura con el mismo sentido.
Por lo tanto, la magnitud del vector de momento total es:
⎛d ⎞
⎝2⎠
= Q d E sin(θ )
⎛d ⎞
⎝2⎠
τ = ⎜ ⎟ Q E sin (θ ) + ⎜ ⎟ Q E sin (θ )
porque las magnitudes de los vectores que intervienen en los productos son dadas por :
r1 = r2 = d
2
y
F− = F+ = Q E
.
El valor del vector total de momento, puede también obtenerse por el producto de los vectores
r r r r
p × E = p E sin(θ ) = Q d E sin(θ )
r
p
y
r
E:
r
E , la cual se obtiene viendo la figura, la cual también tiene el sentido
que es la magnitud del vector, mientras que su dirección y sentido es el dado por la aplicación de la regla del
tornillo de rosca derecha, entre
r
p
y
y dirección del vector total de momento, es decir la dirección perpendicular al plano de la figura y con el
mismo sentido de los momentos de fuerza individuales sobre las cargas.
Es preferible entonces indicar que el momento de fuerza total sobre el dipolo eléctrico es dado por:
r
τr = pr × E .
El vector de momento de par de fuerzas sobre el dipolo tiene valor nulo cuando los vectores
r
p
y
r
E
son
paralelos, en cuyo caso, el momento de fuerzas deja de obrar y el dipolo detiene su rotación.
En consecuencia, si se introduce un dipolo eléctrico en un campo uniforme, el campo hará que el dipolo se
alinie con la dirección de las líneas de fuerza del campo eléctrico.
Después del análisis total de un dipolo eléctrico, estamos en disposición de efectuar una descripción mas
amplia de los materiales dieléctricos.