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Decimales. Al escribir un número decimal se les da a los dígitos un ordenamiento de izquierda a derecha contados a partir del punto decimal. 7.125, 2.5, 5.25 Los números decimales se les llama también fracciones decimales, ya que al expresarse como racionales (fracciones), su denominador es la unidad seguida de ceros. Ejemplo: 0.5 = 0.0034 = 5 10 0.12 = 34 10 000 0.00056 = 12 100 0.102 = 56 100 000 102 1 000 0.000209 = 209 1 000 000 Lectura y escritura de números decimales. La parte que está a la izquierda del punto decimal se llama parte entera, y la parte que se encuentra a la derecha se llama parte decimal. 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 1 10 1 100 1 1000 1 10000 1 100000 1 1000000 Ejemplo: 2.4 Dos enteros punto cuatro decimos 0.05 Cero enteros punto cinco centésimos 13.407 Trece enteros punto cuatrocientos siete milésimos Ejercicio: Escribe como deben leerse cada uno de los siguientes números. Nuero Lectura 0.7 Cero enteros punto siete decimos 0.15 Cero enteros punto quince centésimos 7.3 Siete enteros punto tres decimos 3.015 Tres enteros punto quince milésimos 5.750 Cinco enteros punto setecientos cincuenta milésimos 0.007 Cero punto siete milésimos 13.407 Trece enteros punto cuatrocientos siete milésimos 6.666 Seis enteros punto seiscientos sesenta y seis milésimos 21.0005 Veintiún enteros punto cinco diezmilésimos 0.125 Cero enteros punto ciento veinticinco milésimos 4.005 Cuatro enteros punto cinco milésimos 0.000103 Cero enteros punto ciento trece millonésimos 9.725 Nueve enteros punto setecientos veinticinco milésimos 0.000006 Cero enteros punto seis millonésimos Ejercicio: Escribe en notación decimal las siguientes cantidades. Lectura Tres enteros punto doce centésimos. Numero 3.012 Cero enteros punto ocho decimos. 0.8 Cuatro enteros punto un décimo. 4.1 Trece enteros punto doscientos cinco milésimos. Dos enteros punto cinco millonésimos. 13.215 2.000001 Doce enteros punto cuatrocientos ocho milésimos. 12.408 Diez enteros punto catorce diezmilésimos. 10.0010 Un entero un milésimo. Cinco enteros mil tres millonésimos. 1.001 5.001003 Equivalencia entre decimales. 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 0.2 = 0.20 𝑑𝑜𝑠 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠 Si continuamos fraccionando tendremos que: 0.2 = 0.20 = 0.200 = 0.2000 … Hay equivalencia porque el valor relativo de la cifra significativa (diferente de 0) es el mismo en todos los casos. Por la misma razón: 0.64 = 0.640 ; 0.03 = 0.030 ; … Ejercicio: Para cada una de las siguientes cantidades, escribe un equivalente. 1. 0.2 = 0.20 2. 3.4 = 3.40 3. 10.1 = 10.10 4. 4.9 = 4.90 5. 0.84 = 0.840 6. 13.31 = 13.310 7. 0.004 = 0.0040 8. 6.72 = 6.720 9. 2.39 = 2.390 10. 0.995 = 0.9950 11. 20.9 = 20.90 12. 6.80 = 6.8 13. 0.91 = 0.910 14. 30.11 = 30.110 15. 6.80 = 6.8 16. 23.70 = 23.7 17. 7.07 = 7.070 18. 19.10 = 19.1 19. 6.50 = 6.5 20. 13.70 = 13.7 Pasar de decimal exacto a fracción decimal. Para hallar la fracción decimal de un número decimal exacto, se pone como numerador el número dado sin el punto decimal, y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. Ejemplo: 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 1. 13 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 113 1 00 = 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 0. 1769 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 1769 1 0000 = 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 Ejercicio: Para cada una de las siguientes cantidades, escribe un equivalente. 1. 0.6 = 3 5 1 3. 0.05 = 5. 0.075 = 20 3 40 7. 0.0204 = 9. 0.0124 = 11. 0.084 = 13. 14.06 = 17. 0.0024 = 19. 1.25 = 4 10000 3 1250 4. 0.0086 = 6. 0.00346 = 5 0.066 = 10. 0.96 = = 50000 16. 4.36 = 18. 6.72 = 20. 41.6 = 5000 173 50000 500 24 25 14. 5.0428 = 32143 43 33 12. 0.0024 = 250 703 50 64286 0.8 = 8. 2500 31 2500 21 15. 6.4286 = 5 51 4 2. 3 1250 12607 109 25 168 25 208 5 2500 Ubicación de los números decimales en la recta numérica. Si observas una regla, puedes notar que la unidad se encuentra dividida en 10 partes iguales, tal como lo vemos en la siguiente recta: 0 1 2 3 Para poder ubicar un número decimal hacemos lo siguiente: Ejemplo: Ubicar el número 2.7 1.- Ubicamos cual es la parte entera del número decimal, en este caso nuestra parte entera es 2, entonces ubicamos el número 2 en la recta numérica. 2 0 1 2 3 7 2.- Ahora vamos ubicar la parte decimal, en este caso es 7 decimos ( ), entonces como la 10 fracción nos indica la unidad está dividida en 10 pedazos y vamos a tomar 7 pedazos. 2.7 0 1 2 3 Ejemplo: Ubicar el número 5.65 1.- Ubicamos cual es la parte entera del número decimal, en este caso nuestra parte entera es 5, entonces ubicamos el número 5 en la recta numérica. 5 4 5 6 6 2.- Ahora vamos ubicar la parte decimal, en este caso es 6 decimos ( ), entonces como la 10 fracción nos indica que la unidad está dividida en 10 partes y vamos a tomar 6 partes. 5.6 4 5 6 3.- Ahora vamos ubicar el siguiente número decimal, en este caso es 5 centésimos ( 5 100 ), entonces como la fracción nos indica la unidad está dividida en 100 partes y vamos a tomar 5 partes a partir del número en el que ya está ubicado. 5.6 5 4 6 5.65 5.60 5.70 Ejercicio: Indica en la siguiente recta numérica la posición de los siguientes números decimales. 1. 5.2, 5.9 𝑦 5.5 2. 6.4, 7.3 𝑦 7.8 3. 4.28, 4.34 𝑦 4.39 4. 5.65, 5.72 𝑦 5.79 5. 7.2, 7.7 𝑦 8.6 6. 3.5, 4.7 𝑦 5.3 7. 2.036, 2.039 𝑦 2.042 8. 15.78, 15.81 𝑦 15.85 9. 0.095, 0.102 𝑦 0.105 10. 2.05, 2.18 𝑦 2.21 11. 0.75, 1.2 𝑦 1.83 Conversión de fracciones a números decimales. Se divide el numerador entre el denominador, aproximando la división hasta que de cociente exacto o hasta que se repita en el cociente indefinidamente una cifra o un grupo de cifras. 7 = 0.875 8 4 = 0.8 5 0.8 5 4 0 − 4 0 0 0 .8 7 5 8 −7 0 6 4 60 − 56 40 − 40 0 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 2 = 0.666 3 0. 6 6 6 3 −2 0 1 8 − 2 0 1 8 − 2 0 1 8 2 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 Ejercicio: Escribe de forma de numero decimal las siguientes fracciones. 1. 3. 5. 7. 9. 7 = 1.75 4 13 8 23 = 1.625 4. = 1.15 6. 20 111 20 285 50 2. = 5.55 8. = 5.7 10. 31 5 11 16 48 = 6.2 = 0.6875 = 1.92 25 146 = 9.125 16 1583 10 = 158.3 Suma con números decimales. Para sumar números decimales se les ubica de manera que los puntos queden todos en una columna, se suman de manera normal y al termina al resultado se le agrega el punto alineado al de los sumando. Ejemplo: 1 1 701.85 + 56.25 758.10 Ejercicio: Realiza las siguientes sumas de decimales. + 38.45 2.456 68.4 +21.7 86.76 29.1 40.906 42.6 3.25 + + 45.85 + 48.37 5.74 2.38 47.9 + + 107.2 48.35 + 1.09 0.08 89.3 + 19.2 6.76 7.897 33.857 5.6 32.8 38.4 + 96.981 3.465 100.446 7.29 32.41 39.7 90.47 Resta con números decimales. + 43.86 155.55 + 57.14 28.34 12.6 35.26 8.6 52.64 4.5 + 40.94 50.29 + 23.25 2.8 26.05 54.11 + 7.4 + 18.36 + 4.03 27.3 31.33 + 50.789 6.7 45 102.489 Para restar números decimales se ubica el minuendo debajo del sustraendo de tal forma que los puntos queden alineados. Si los dos números no tienen igual número de cifras decimales, se completan con ceros las cifras que falten. Luego se realiza la resta y al resultado se le coloca el punto en la misma columna que los anteriores. Ejemplo: 6 1 7.01 6.90 0.11 − Ejercicio: Realiza las siguientes restas de decimales. 9.75 − 6.74 − 3.01 − 72.84 13.26 0.684 90.54 − 23.79 0.857 0.649 − 7.234 9 226.9 43.51 183.39 Multiplicación de números decimales. 15.95 − 8.276 8 7.5 4.51 18.7 6.58 12.12 − 9.056 0.78 − 3.49 − 0.072 50.09 34.14 − 1.5 6.464 − − 0.208 − 0.77 0.15 30.93 66.75 0.465 − 0.078 33.86 2.93 − 10.89 59.58 −0.219 15.78 4.89 774 61.71 712.29 − 95.7 78.34 17.36 5.4 −1.3996 40.0004 Para multiplicar números decimales se multiplican como si fueran números enteros y al resultado de la operación se le agrega el punto. Para ubicar en donde colocar el punto, sumamos el número de cifras decimales que tengan los dos factores dados y se ubica en el resultado contando de derecha a izquierda. Ejemplo: + 6.815 × 3.8 54520 20445 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 1 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 25.8970 4 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de decimales. × 431.4 3.5 × 32.43 2.4 × 1509.9 77.832 13.2192 × 27.54 3.2 × 31.3 × 2.14 88.128 797.837 106.2082 85.32 4.131 3.2 25.49 49.63 153.9 289.1 × 1.01 × 0.98 × 2.13 86.1732 150.822 615.783 535.02 75.2 × 40233.504 División de números decimales. En este caso encontramos 3 casos son los siguientes: 89.351 5.2 × 464.6252 Número decimal dividido por un número entero. 1.- Comenzamos dividiendo como si el punto no existiese. 2.- Al llegar a la coma se baja el primer decimal, colocando el punto al cociente y seguimos con la división. 1 6. 2 4 6 −9 7 . 4 4 6 37 − 36 1 4 − 1 2 −2 4 24 0 Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero decimal entre numero entero. 2 7.36 3 3.68 7 4 4.326 6.975 1.442 6 9.45 73.8 32 12.3 1.35 42 237.55 78 4.0262 2 .6 568.72 7.2912 Número decimal dividido por otro número decimal. Tenemos esta división: 682.112 14.513 3.2495 59 59.01 1.844 47 136.48 27.9 3 9. 5 2 1.- Agregamos un cero para que ambos números tengan la misma cantidad de decimales. 2 . 60 3 9. 5 2 2.- Para resolver este tipo de divisiones suprimimos los puntos decimales, teniendo en cuenta que ambos números deben tener la misma cantidad de cifras decimales para poder cancelarlas. 2 60 3 9 5 2 3.- Ahora ya resolvemos de manera normal como cualquier división. 15. 2 2 6 0 −3 9 5 2 260 1352 − 1300 520 520 0 Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero decimal entre numero decimal. 9.2 1.45 6 4 2.4 73.8 12.3 36.8 3.8 20.88 8.7 12 21.66 0.7 5.7 0.046 0.9 19.5652 17.4 12.25 17.5 1.42 799.46 563 21.3 958.5 2.3 45 29.095 12.65 Número entero dividido por un número decimal. Tenemos la siguiente división: 4 .8 563 1.- Se quita el punto del divisor, colocando en el dividendo tantos ceros como lugares de decimales tenga el divisor. De este modo estamos multiplicando el dividendo y el divisor por 10, 100, 1000, etc. 4 .8 5630 𝑈𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑈𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 2.- Ahora se realiza la división de manera normal. 1 1 7. 2 9 4 8 −5 6 3 0 48 −8 1 48 −3 5 0 336 14 0 − 96 440 − 432 8 Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero entero entre número decimal. 1.3 585 1000 2.5 450 2.3 1.2 400 2875 0.78 1250 980 1.25 24 7749 1.22 6300 2.31 12936 6500 2000 1600 30.7692 1.23 1176 5490 4500 2.23 25442 11408.9686