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INDAGACIÓN EN LA EC. IRRACIONAL PARA EL DLLO. DE HAB. MAT.
Pedro Vidal S., Domingo Aravena J., Claudio Gaete P.
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso (PUCV)
[email protected]
Investigación en Educación Matemática, Educación Secundaria
Resumen: La habilidad para analizar un ejercicio o problema en Matemática, ha sido un desafío
en todos los niveles del Sistema Educativo en los últimos años en Chile.
Este trabajo ha surgido como una inquietud de los autores por analizar la capacidad que poseen
los estudiantes del Sistema Educativo actual, a la hora de enfrentar una situación en Matemática.
En este contexto, se lleva a cabo un estudio acerca de la capacidad de análisis, por parte de los
alumnos, en el desarrollo de ecuaciones irracionales, es decir, ecuaciones en donde la variable o
incógnita aparecen dentro de un radical. La instrumentalización de la matemática escolar otorga
un sesgo paradigmático que enfatiza el quehacer de la enseñanza priorizando la técnica en desmedro de la teoría que incluye aspectos de análisis del mismo objeto matemático en cuestión y
que apunta al desarrollo de habilidades de orden superior.
Indagamos en la complejidad sistémica y cognitiva de estudiantes y profesores, mediante estudios
de caso y un análisis comparativo de textos escolares, además de elaborar una propuesta para
comprender la naturaleza de la Ecuación Irracional, bajo una apropiación significativa del objeto en
cuestión. Bajo esa mirada, se explora las ideas ancladas en la estructura cognitiva del sujeto,
mediante la narrativa que emerge en las entrevistas-tarea del estudio de caso realizadas.
INTRODUCCIÓN
La habilidad para analizar un ejercicio o problema en Matemática ha sido un desafío en todos los
niveles del Sistema Educativo en los últimos años en Chile, ya que existe un predominio de la
técnica por sobre cuestiones teóricas de la disciplina matemática en lo referente a ecuaciones.
Este trabajo ha surgido como una inquietud de los autores por indagar en la capacidad de análisis
y argumentación de estudiantes sobre la resolución de una ecuación irracional en particular.
Detrás de esta resolución, emergen diversos conceptos interrelacionados, como el de la función
raíz cuadrada, junto con su dominio, recorrido, gráfica y variaciones de esta a medida que la
función es trasladada.
Con el fin de estudiar el nivel de análisis y argumentación en la resolución de este tipo de
ecuaciones, hemos realizado un estudio en diferentes estudiantes, tanto de educación superior,
secundaria y profesionales del área, que consistía en que resolvieran y luego argumentaran sus
procedimientos respecto a la siguiente ecuación irracional:
Encontrar la(s) solución(es) de la siguiente ecuación irracional:
Respecto de los datos arrojados por la tarea presentada, se establecieron diversos discursos que
contrastamos entre sí y con los textos usados en Chile, para tratar esta temática presente en el
Currículum del país.
PROBLEMA DE ESTUDIO
En relación a los obstáculos que presenta el Objeto Matemático, a saber, el estudio de la ecuación
irracional y su conjunto solución, desde la epistemología, acontece la pregunta de investigación:
¿Qué ideas y conocimientos posee el sujeto frente a la relación de pertenencia entre el valor para
la incógnita y el conjunto solución de una ecuación irracional?
Para dar respuesta a lo anterior, se establecen algunas interrogantes que encauzan el trabajo,
desde las perspectivas:
- Del estudiante: ¿Cuáles son los procedimientos que emprende frente a la búsqueda del conjunto
solución en una ecuación irracional?
- Del profesor: ¿Qué podría promover en sus estudiantes para una apropiación significativa de la
ecuación irracional junto a un tratamiento efectivo de la misma?
- Del saber matemático: ¿Qué justificaciones se dan en la explicación del procedimiento y la
pertinencia de los valores de la incógnita encontrados en el conjunto solución?
En relación a lo anterior, se plantea que existe un abuso de la técnica en desmedro del análisis
que aporta la teoría misma, debido en parte, a la formación matemática que los alumnos reciben,
la cual prioriza el desarrollo algebraico por sobre el análisis teórico, como supuesto de partida.
OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
Para dar respuesta a la problemática, se fija como objetivo general analizar diversos obstáculos
presentes en el proceso de resolución para encontrar el conjunto solución de una ecuación
irracional.
Para ello, se indaga en la complejidad sistémica y cognitiva de estudiantes y profesores, mediante
estudios de caso y un análisis comparativo de textos escolares. Y por último, se elabora una
propuesta para comprender la naturaleza de la ecuación irracional, bajo una apropiación
significativa del objeto en cuestión.
CONTEXTOS Y HABLA SITUADA
El equipo se situó en la concepción interpretativa, ya que las ideas previas de los sujetos frente a
la resolución de una ecuación irracional es una interacción simbólica dada en el proceso de
enseñanza-aprendizaje como uno en que los significados son producto de la interacción
comunicacional, subyacente a aspectos ontológicos y hermenéuticos. Bajo esa mirada, se explora
en las ideas ancladas a la estructura cognitiva del sujeto, mediante la narrativa que emerge en las
entrevistas-tarea del estudio de caso realizadas.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Etimológicamente, según la RAE, la palabra ecuación es una igualdad que contiene una o más
incógnitas; mientras que la palabra irracional la define como “Dicho de una raíz o de una cantidad
radical: que no puede expresarse exactamente con números enteros ni fraccionarios”.
Por otro lado, J. Sullivan (Sullivan, 2006) propone la ecuación irracional como una ecuación
radical, en que define y advierte algunas consecuencias producto del tratamiento algebraico que
se aplica para encontrar el conjunto solución:
“Cuando la variable en una ecuación está dentro de una raíz cuadrada, cúbica, etcétera, es decir,
cuando ocurre en un radical, la ecuación se llama ecuación radical. En ocasiones, una operación
convertirá una ecuación radical en una ecuación lineal o cuadrática. Un procedimiento común es
aislar el radical más complejo en un lado de la ecuación y luego, eliminarlo elevando a una
potencia igual al índice del radical. Sin embargo, debe tenerse cuidado, ya que podrían obtenerse
soluciones aparentes de la ecuación original que en realidad no lo son. Éstas se llaman soluciones
extrañas. Por lo tanto, es necesario verificar todas las respuestas cuando se trabaja con
ecuaciones radicales” (p.118).
RELEVANCIA DE LAS ECUACIONES IRRACIONALES
Las nuevas Bases curriculares establecidas por el Ministerio de Educación del Gobierno de Chile
(Ministerio de Educación Chile, 2013) diseñadas el 16 de Diciembre de 2013 y que empezarán a
regir a partir del año 2015, espera que los estudiantes adquieran la capacidad de emplear e
interpretar las matemáticas en diversos contextos. Esto implica que deben aprender a aplicar el
razonamiento matemático y a utilizar conceptos, procedimientos, datos y herramientas para
entender, describir, explicar y predecir fenómenos. Para lograrlo, es necesario que desarrollen el
pensamiento matemático, uno de los principales focos a los cuales se orienta el currículum de la
asignatura de Matemática. Esto implica formar un alumno que perciba la matemática en su
entorno y que se valga de los conocimientos adquiridos como una herramienta útil para describir el
mundo y para manejarse efectivamente en él; que reconozca las aplicaciones de la matemática en
diversos ámbitos y que la use para comprender situaciones y resolver problemas.
Para esto, en Segundo año medio, se establece dentro del eje temático de Álgebra y Funciones, la
importancia de comprender funciones cuadráticas, tanto en situaciones de la vida diaria, como en
su representación en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo, al igual que
con el concepto de inversa de una función , junto con el uso la reflexión de la función representada
en el gráfico en un plano cartesiano, además del cálculo de la inversa de algunos tipos de
funciones cuadráticas. El estudio de las ecuaciones irracionales abarca de manera muy amplia
esta temática, puesto que un estudio en profundidad de los objetos matemáticos de función
inversa y función cuadrática, están en directa relación con la función raíz cuadrada y sus
diferentes traslaciones.
CONTEXTUALIZACIÓN DEL OBJETO DENTRO DEL CURRÍCULUM
Las Ecuaciones Irracionales son un objeto que está implícito dentro del Currículum Nacional
actual, pues no se menciona explícitamente, sino que lo hace de la siguiente forma: “Resolver
problemas en contextos diversos relativos a números reales, raíces…” dentro de la Unidad de
números de 2° Medio, establecidos en el currículum otorgado por el Ministerio de Educación
ANÁLISIS DOCUMENTAL DESDE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA EN EL ABORDAJE DE
LAS ECUACIONES IRRACIONALES
Chevallard (Chevallard, Marianna, & Josep, 1997) menciona un problema didáctico importante: la
dificultad de hallar o construir una situación en la que el alumno actúe, además de como alumno,
como un verdadero matemático, responsabilizándose de las respuestas que da a las cuestiones
que se le plantean.
La formulación de este problema didáctico parte de la constatación de un hecho que se repite en
todos los niveles educativos: los alumnos tienden a delegar al profesor la responsabilidad de la
validez de sus respuestas, como si no les importara el que éstas sean verdaderas o falsas; como
si el único objetivo de su actuación fuera contestar a las preguntas del profesor y en nada les
comprometiera la coherencia o validez de su respuesta.
Además de ser un fenómeno didáctico, la no-verificación de la solución obtenida algebraicamente
se tilda, según este autor, como una "irresponsabilidad matemática” por parte de los alumnos.
RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
Nuestros sujetos de investigación fueron quince estudiantes de 3° Medio de un colegio
perteneciente a la Corporación Municipal de Las Condes de Santiago de Chile, diecinueve
estudiantes de Ingeniería Comercial y treinta estudiantes de la carrera de Pedagogía en
Matemática de diferentes universidades tradicionales y privadas del país.
La información fue recogida por medio de evidencia escrita. Además, se trabajó con estudiantes
de secundaria con talento académico demostrable, en una escuela de Verano realizada en la
ciudad de Valparaíso, durante Enero de 2014, en donde, por medio de evidencia en video, se
recolectó información para su posterior análisis.
Además, se realizaron dos entrevistas, registradas en video, la primera a un alumno de secundaria
y la segunda a un profesor con grado de Magíster en Matemáticas, en donde se realizaron análisis
de discursos e interpretaciones de estos.
Por último, se recogió información de un grupo de estudiantes del programa Beta de la Pontificia
Universidad Católica de Valparaíso, en que cada cual realizó de manera individual la tarea, y
luego, en equipo la discutieron e hicieron una puesta en escena en común.
La selección de estudiantes que fueron objeto de estudio para esta investigación, fue realizada
bajo el criterio de alcanzar, según los programas de matemática establecidos por el Ministerio de
Educación del Gobierno de Chile, el nivel de estudio y conocimientos necesarios para poder
resolver una ecuación irracional. Bajo éste supuesto, se les pide encontrar la(s) solución(es) de la
Ecuación Irracional establecida en nuestra Introducción, la cual fue base de nuestro análisis.
Cabe mencionar que durante el proceso de toma de muestra se procuró que en el desarrollo del
test, cada estudiante trabajara individualmente el ejercicio.
CATEGORÍAS CONCEPTUALES
DEFINICIÓN DE LAS CATEGORÍAS CONCEPTUALES QUE SOSTIENEN A LA PROBLEMÁTICA
Figura 1: Árbol Categorial
Comprender la naturaleza de la Ecuación Irracional es entrar en la esencia de la misma, en cuanto
a la epistemología referente y como fruto del interaccionismo simbólico que ello trae a la
socialización del objeto matemático.
Los discursos que se levantan, mediante el estudio de las entrevistas-tarea, logró el hecho de
abastecer un sustento léxico y discursos que se relacionan con el objeto matemático estudiado y
su respectiva apropiación inferida en el proceder de la tarea planteada.
Para ello, se realizaron las entrevistas-tarea a dos personas, a saber, un estudiante de 2º Medio
del Liceo José Victorino Lastarria que llamaremos Sujeto 1 (S1), y a un profesor que cursó el
postgrado de Magíster en Matemática que denominaremos Sujeto 2 (S2)
Algunos de los antecedentes discursivos de los mismos, relevantes para la investigación,
destacan:
Categoría-madre: Ecuación Irracional;
Se rompe la asociación directa e inmediata entre el valor de la incógnita y su pertinencia con el
conjunto solución. En S1 estaba automatizado el hecho de verificar o comprobar el valor de la
incógnita en la ecuación irracional, mientras que en el S2, en primera instancia, se conforma con el
valor de la incógnita, aunque luego concluye que no satisface la igualdad, esto le genera un
conflicto que le hace enunciar que “hubo, tal vez, un error en el desarrollo algebraico”.
(Subcategoría: Registro Algebraico)
En ambos casos, hubo una carencia de explicaciones consistentes en el registro algebraico que
permita comprender lo anterior. En S1 el proceso estaba automatizado e incorporado el hecho de
reemplazar el valor encontrado para la incógnita con el fin de verificar si era o no perteneciente al
conjunto solución. Mientras en S2 el proceso también estaba automatizado, más no hubo una
explicación robusta del que ocurría respecto de la inconsistencia aparente entre la técnica para
encontrar el valor de la incógnita y la eficiencia de la misma para hallar la solución al problema, si
es que existía, que para la tarea elegida el conjunto solución es el conjunto vacío, vale decir, no
existe solución que logre cumplir la igualdad. (Subcategoría: Técnica)
En ninguno de los casos se utiliza el registro geométrico de este objeto matemático. En el S1, se
le lleva al GeoGebra intencionalmente para comprobar desde el álgebra lo que había ocurrido en
su procedimiento lo cual calzó con sus resultados, y a pesar de que éste sabía graficar funciones,
en ningún momento tuvo la ocurrencia de hacerlo para encontrar otro camino de explicación frente
a lo ocurrido. Ello trae a colación que el registro geométrico no es tan usado como podremos ver
en adelante con el análisis de los textos de apoyo para estudiantes y profesores. (Subcategoría:
Registro Geométrico)
En ambos casos hubo una ausencia del sentido sociocultural del objeto en cuestión, se le asocia
más bien a ejercicios rutinarios con la particularidad de verificación o comprobación o que sólo
viven en la matemática como ciencia. (Subcategoría: Aplicación)
En el caso del S1, lo irracional se le asocia a algo sin sentido o algo subjetivo por lo poco fidedigno
en la pertinencia del conjunto solución de los valores de la incógnita, percibe que existe algo
extraño en la técnica que no le permite de manera inmediata asociar el valor de la incógnita con el
conjunto solución de la ecuación irracional, como sí ocurría en las ecuaciones de primer grado que
antes resolvió. En el caso del S2, no hubo comentarios al respecto. (Subcategoría: Irracional)
PROSPECTIVAS
Analizando el objeto matemático estudiado en el presente trabajo, podemos decir que no se
realiza una asociación entre el desarrollo algebraico y el análisis gráfico respectivo de las
soluciones pertinentes a una Ecuación Irracional. Incluso en los libros sólo se trabaja con el
registro algebraico para el tratamiento de la ecuación. En general, estos libros dan énfasis a la
verificación de la solución, pero no dan un argumento mayor del por qué es necesario hacerlo y
ello afirma que no existe una conversión entre los distintos tipos de registro con los que se puede
estudiar este objeto para ampliar la comprensión del mismo. Además, no todos afirman que las
soluciones obtenidas deben verificarse mediante la comprobación de la igualdad planteada o
mediante algún otro método que permita comprobar los candidatos a ser solución en una Ecuación
Irracional. Por otra parte, el objeto matemático sólo lo trabajan de manera analítica-algebraica y no
de forma gráfica-geométrica.
De lo anterior, cabe preguntarse ¿Qué rol debe tener el estudiante frente a la búsqueda del
Conjunto Solución en una Ecuación Irracional? Éste debe ser uno en que pensamiento analítico y
crítico sean protagonistas, así se podrían desarrollar habilidades como: “Interpretar y reconocer los
Conjunto Solución de Ecuaciones Irracionales, trabajando en sus distintas formas de expresión.”
Además, el profesor puede promover espacios de trabajo con este objeto matemático, donde se
logre “Pensar y Razonar”, “Argumentar y Justificar”, “Representar”, “Utilizar Lenguaje Simbólico,
formal y técnico y la Operaciones” y “Emplear Soportes y Herramientas Tecnológicas”, que son
algunas de las ocho Competencias Matemáticas PISA.
En la investigación se aprecia un arraigo a la Técnica en el Registro Algebraico para tratar las
Ecuaciones Irracionales en la Matemática Escolar.
Por otro lado, existe un desapego a la aplicación de las ecuaciones irracionales en contextos
sociales. Esto, contradice aspectos propios de las necesidades educativas que se enmarcan en el
propósito formativo del Sector Matemática del Currículum Escolar.
La instrumentalización de la matemática escolar otorga un sesgo paradigmático que enfatiza el
quehacer de la enseñanza priorizando la técnica en desmedro de la teoría que incluye aspectos de
análisis del mismo objeto matemático en cuestión y que apunta al desarrollo de habilidades de
orden superior.
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