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L. 19 (Ciencias)
COMBINATORIA
1. VARIACIONES SIN REPETICIÓN de m elementos tomados n a n (n < m) son los distintos grupos
que se pueden formar con los m elementos, de manera que:
? En cada grupo entren n elementos distintos
? Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de
estos.
El número de variaciones ordinarias de m elementos tomados n a n se representa por Vm,n o Vm
Ej: Números que se pueden formar con el 1, 2, 3
2
12
1
3
13
1
21
V3,2 = 3·2 = 6
2
3
23
1
31
3
2
32
Vm,n = m (m-1) (m-2) ..... (m-n+1)
2. VARIACIONES CON REPETICIÓN de m elementos tomados n a n son los distintos grupos que se pueden
formar con los m elementos, de manera que:
? En cada grupo entren n elementos, repetidos o no.
? Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de los
mismos.
El número de variaciones con repetición de m elementos tomados n a n se representa por VRm,n o VRm
Ejemplo anterior
1
11
1
2
12
3
13
1
21
VR3,2 = 32 = 9
2
2
22
3
23
VR m,n = mn
1
31
3
2
32
3
33
3. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de
manera que:
? En cada grupo están los n elementos
? Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.
El número de permutaciones ordinarias de n elementos se representa Pn = n!
P n = Vn,n = n (n-1) (n-2) ... (n – n +1) = n (n – 1) (n – 2) ... 3 . 2 . 1;
Pn = n!
4. PERMUTACIONES CIRCULARES : Hay que tener en cuenta queso trasladamos a todos un lugar para la
izquierda es igual que la posición anterior, por eso se deja uno fijo. PC8 = P7
5. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el
segundo b veces, ... (a + b + .... = n), son los distintos grupos que se pueden formar, de manera que:
? En cada grupo de n elementos el primer elemento está a veces; el segundo b veces ...
? Un grupo se diferencia de otro únicamente por el orden de colocación de sus elementos.
El número de permutaciones con repetición, se representa por Pa, b,..
Ej: Tenemos dos 1 y tres 2. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar?
Si fueran cinco números distintos se formaría P5 = 5! = 120
Pero por ejemplo el
1112313233
1112323331 no se distinguen, luego
(1) FACTORIAL DE UN NÚMERO:
V73 ? 7·6·5 ?
7·6·5·4·3·2·1 7!
m!
?
?
4·3·2·1
4! ?m ? n ?!
P52 ,3 ?
5! 120
?
? 10
2!3! 12
P 5 = 5·4·3·2·1 = 5!
Pma ,b ?
m!
a! b!
6. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN
Ej: Tenemos zumos de 5 frutas y hacemos mezcla de dos sabores. Nos dará los siguientes sabores:
AB
BC
CD
DE
AC
BD
CE
C52 ? 10
AD
BE
V52 ? 5·4 ? 20
pero habría que quitar permutaciones de 2 (AB, BA)
AE
??
V
V52 5·4
C mn ? m ,n ? mn
?
? 10
Pn
P2
2
Combinaciones de m elementos tomados n a n (n < m) son los distintos grupos que se pueden formar con
m elementos, de manera que.
? En cada grupo entren n elementos distintos.
? Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento, pero no en el orden de colocación.
El número de combinaciones de m elementos tomados n a n se representa por Cm, n o Cn
C 52 ?
7. NÚMEROS COMBINATORIOS. PROPIEDADES
El número Cm, n se llama número combinatorio y se representa por
m
n y se lee
los
“m sobre n”
Comprobamos que el llamado triángulo de Pascal, se puede escribir con números combinatorios
1
1
1
1
0
0
2
2
2
1
2
1
0
1
2
3
3
3
3
1
3
3
1
0
1
2
3
4
4
4
4
4
1
4
6
4
1
0
1
2
3
4
PROPIEDADES DE LOS NÚMERO COMBINATORIOS:
m
m
1. Todas las filas empiezan y acaban en 1: 0
=1 y
m
? ? ? ?m ?m0!?!·0! ? mm!·!1 ? 1
m
0
=1
2. Todas las filas son simétricas
m = m
n
m-n
3. Cada número se obtiene sumando los dos que tiene encima, excepto los extremos, que son 1:
m + m = m+1
n –1
n
n
4. La suma de todos los números de la fila n es 2n
8. POTENCIA DE UN BINOMIO. BINOMIO DE NEWTON.
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Como vemos los coeficientes son los números combinatorios del triangulo de Pascal, y los exponentes de a
empiezan por la potencia y van bajando. Por el contrario los de b empiezan por 0 y van subiendo. Por lo
tanto para desarrollar un binomio elevado a una potencia se hace de la forma siguiente:
n
n
n
n
n
n
n-1
n-2 2
(a + b) = 0 a + 1 a b + 2 a b + ... + n bn
Binomio de Newton
Análogamente
n
n
n
n
(a – b)n = 0 an - 1 an-1b + 2 an-2b2 - .... + (-1)n n bn
PROBLEMAS DE COMBINATORIA
9¿Cuántas parejas distintas se pueden formar con las cinco vocales de manera que no se puedan repetir? Formar un diagrama
de árbol.
10 ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar con las cinco vocales de manera que se puedan repetir? Formar un diagrama de
árbol.
11 ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario y tesorero de un club de baloncesto
sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
12 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita ninguna cifra?
13 ¿Cuántos números de tres cifras significativas se pueden formar con los dígitos 1,2, 3, 4,5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita
ninguna cifra?
14 Con las cifras 1,2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números distintos de cuatro cifras distintas se pueden formar de modo que la cifra 2
ocupe siempre el lugar de las unidades?
15 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras pares 2, 4, 6 y 8 sin que se repita ninguna? ¿Cuántos
terminan en 64? ¿Cuántos habrá que sean mayores de 500? ¿Cuánto suman todos los números de tres cifras que se pueden
obtener?
16 Si se escriben en orden creciente las variaciones de cuarto orden sin repetición que se pueden formar con las nueve cifras
significativas, es decir, 1, 2, 3, 4,5, 6,7, 8 y 9, ¿qué lugar ocupa la variación 3 254?
17 ¿De cuántas formas se pueden colocar 10 cantores de un coro si dos de ellos tienen que estar siempre en los extremos?
18 ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?
19 Suponiendo ordenadas en orden creciente las permutaciones del ejercicio anterior, ¿qué lugar ocupará la permutación 6
248?
20 Consideramos escritas en orden alfabético las permutaciones de las letras a, b, c, d y e. ¿Qué lugar ocupará la permutación
bdace? ¿Cuál es la permutación que ocupa el lugar 50?
21 ¿Cuántos números distintos de cinco cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6? ¿Cuántos son
menores de
65 000?
22 Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede
hacerse?
23 Permutando de todos los modos posibles las cifras del número 111223, ¿cuántos números resultan?
24 ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas, que sean múltiplos de tres, se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 6?
25 Al unir cinco vértices de un heptágono, ¿cuántos pentágonos se obtienen?
26 En cada programa de radio de una emisora intervienen cuatro locutores. Si una cadena de radio dispone de 20 locutores,
¿de cuántas formas distintas se puede presentar un programa?
27 ¿Cuántas rectas se pueden trazar con 20 puntos situados en un plano de tal forma que no hay tres puntos alineados?
28 A una reunión acuden 30 personas. Se decide constituir comisiones de seis personas para estudiar un cierto plan. ¿Cuántas
comisiones diferentes se pueden formar
29 ¿Cuántas jugadas diferentes se pueden obtener si se sacan ocho cartas de una baraja de 40 cartas?
30 ¿En cuántos puntos se cortan ocho rectas si tres de ellas son paralelas entre sí?
31 ¿De cuántas formas pueden combinarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
32 A una reunión asisten 17 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se intercambiarán?
33 Una bolsa contiene 12 bolas de distinto tamaño, de las cuales cinco son negras, cuatro blancas y tres rojas. ¿De cuántos
modos se puede sacar un grupo de seis bolas que contenga, al menos, una de cada color?
34 Las matrículas de los coches de un país están formadas por dos letras diferentes seguidas de tres números repetidos o no.
¿Cuántos coches se podrán matricular sin cambiar el sistema? Se supone que el alfabeto del idioma del citado país tiene 26
letras.
35 Hallar el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?