Download PROBLEMA 1 – XIII

Secretaría Regional de OMA
Provincia de Formosa
PRIMER NIVEL
ZONAL
XII CERTAMEN 1995
1. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se forman tres números A, B, C, de tres dígitos distintos cada uno, usándose los
nueve dígitos. ¿Se puede lograr que ninguno sea múltiplo de 3?
2. Sea ABC un triángulo con <B=35o, <C=28o. Se traza por A una paralela r al lado BC. La mediatriz de AC corta a r en D
y la mediatriz de AB corta a r en E. Queda formado el cuadrilátero BCDE. Hallar sus ángulos interiores.
3. El árbol genealógico de una familia se inicia en el matrimonio de Eduardo y Cecilia que tienen tres hijos: Orlando,
Luís y Manuel. De estos tres hijos, Orlando y Luís se casan y Manuel queda soltero. Para cada uno de los siguientes
matrimonios se repite la misma situación (ellos tienen tres hijos de los cuales dos se casan y uno queda soltero).
Determinar el número de personas incluidas en el árbol genealógico hasta la décima generación (incluir todos los
esposos/as).
ACLARACION: Orlando, Luís y Manuel son de la primera generación.
XIII CERTAMEN 1996
1. ¿Cuántos números naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de 36?
2. En el romboide ABCD las diagonales se cortan en el punto F (los lados iguales son AB = BC y CD = DA). Sobre la
prolongación del lado BC se marca un punto E de modo que CF = CE y el cuadrilátero FCED es romboide. ¿Si ABC = 122
grados, cuanto mide el ángulo ADE?
3. Colocar en cada casilla vacía un dígito distinto de cero de modo tal que a partir de la segunda fila, el número de
cada casilla sea igual a la resta de los dos números ubicados en las casillas vecinas de la fila anterior.
XIV CERTAMEN 1997
1. Hallar todos los números naturales de cuatro cifras "abcd" tales que
"ab" + "cd" = "bc" y b - c = d
Aclaración: "ab" es un número de dos cifras, la primera es a y la segunda b.
2. Ana, Beatriz, Carlos, Dora y Eduardo compiten en una Maratón Matemática. Por cada problema se obtiene un
punto si está bien resuelto y cero punto en cualquier otro caso. Entre los cinco sumaron 73 puntos. Hay 9 puntos de
diferencia entre Ana y Beatriz, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 7 puntos de diferencia entre
Beatriz y Carlos, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 6 puntos de diferencia entre Carlos y Dora,
pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 13 puntos de diferencia entre Dora y Eduardo, pero no se
sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 23 puntos de diferencia entre Eduardo y Ana, pero no se sabe cuál de las
dos tiene mejor puntaje. ¿Cuántos puntos obtuvo cada participante?
3. Una hoja de papel rectangular se divide mediante un solo corte en un triángulo y un pentágono. Las longitudes de
los lados del pentágono son 17, 25, 28, 33 y 43, en algún orden. Calcular el área del pentágono.
XV CERTAMEN 1998
1. Andrea, Belén y Claudia rindieron exámenes de las mismas materias. En la primera materia sus notas fueron tres
números naturales distintos y Belén fue la que obtuvo la nota más alta; luego en cada una de las demás materias las
chicas se sacaron esas mismas tres notas en algún orden. Si Andrea sumó entre todas las materias 18 puntos, Belén
sumó 12 y Claudia sumó 9, ¿cuántas materias rindieron y qué nota se sacó cada chica en cada examen?
2. En el triángulo isósceles ABC, con AB=AC, P es el punto del lado AB tal que AP=PC. Si la bisectriz del ángulo ABC
corta a PC en O de modo que PO=BO, hallar los ángulos del triángulo ABC.
Profesor Carlos Dellagnolo y Profesor Rey Zarza
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PRIMER NIVEL
ZONAL
3. De los 999 números:
mcd(1;1998), mcd(2;1998), mcd(3;1998), mcd(4;1998), ..., mcd(997;1998),mcd(998;1998), mcd(999;1998),¿cuántos
son números mayores que 19?
ACLARACION: mcd denota máximo común divisor. Por ejemplo, mcd(54;36)=18.
XVI CERTAMEN 1999
1. Seis personas tratan de adivinar el número de piedras que hay en una caja. Ana dice que hay 52 piedras, Beatriz
dice 59, Carla dice 62, Daniel 65, Enrique 49 y Federico 42. Todos se equivocaron, algunos dijeron de más y otros
dijeron de menos, y sus errores fueron de 1, 4, 6, 9, 11 y 12, en algún orden, pero no se sabe quién cometió cada
error.
Determinar cuántas piedras hay en una caja y qué error cometió cada persona.
2. En un programa de computadora:
al apretar la tecla A se eleva al cuadrado el número que está en pantalla, por ejemplo, si el número que está en
pantalla es 23, lo reemplaza por 529;
al apretar la tecla B se invierte el orden de las cifras del número que está en pantalla, por ejemplo, si el número que
está en pantalla es 10224, lo reemplaza por 42201.
Lucas ingresó un número de tres cifras, primero apretó una vez la tecla A, luego apretó una vez la tecla B, y obtuvo un
número de cinco cifras.
Emiliano ingresó el mismo número de tres cifras que Lucas, apretó primero una vez la tecla B, luego apretó una vez la
tecla A, y obtuvo el mismo número de cinco cifras que Lucas.Determinar todos los números de tres cifras que pudo
haber ingresado Lucas.
3. Un parque tiene forma de hexágono regular de 2 km de lado. Alicia caminó 5km, comenzando en un vértice y
siguiendo el perímetro del parque. ¿A cuántos kilómetros, medidos en línea recta, está del punto de partida?
XVII CERTAMEN 2000
1. La distancia de Liniers a Luján es de 60 km. Juani e Inés caminan desde Liniers hasta Luján a velocidad constante de
5km/h. Cada 10 minutos sale un tren de Liniers a Luján, que viaja a velocidad constante de 80km/h. ¿Cuántos trenes
que viajan de Liniers a Luján ven pasar Juani e Inés durante su caminata si salen de Liniers al mismo tiempo que sale
un tren?
2. Sean ABC un triángulo tal que AB = 6, BC = 9, CA = 4, y M, N, P los puntos medios de los lados AB, BC, CA
respectivamente. Sobre la prolongación de NP se considera E tal que EP = PN. Sobre la prolongación de CM se
considera D tal que DM = CM. Hallar la longitud del segmento DE. NO VALE MEDIR.
3. De los números naturales A y B se sabe que B = (A2 - 1) / 8 y que el mínimo común múltiplo entre A y B es igual a
3720. Hallar A y B.
XVIII CERTAMEN 2001
1. Reemplazar cada una de las cinco letras por un dígito distinto, para que la siguiente multiplicación sea correcta.
DAÑOS
x4
SOÑAD
2. Sea ABC un triángulo con C = 85°. Se considera un punto P en el lado AB, un punto Q en el lado BC y un punto R en
el lado AC tales que AP = AR y BP = BQ. Calcular la medida del ángulo QPR.
Aclaración: No vale medir.
3. Los números fraccionarios y positivos a, b, c, d y e satisfacen las siguientes relaciones:
a.b=1
b.c=4
c.d=9
d . e = 16
e . a = 25
Hallar a, b, c, d y e.
XIX CERTAMEN 2002
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PRIMER NIVEL
ZONAL
1. Un edificio tiene sus pisos numerados del O al 25. El ascensor del edificio tiene sólo dos botones, uno amarillo y uno
verde. Al apretar el botón amarillo, asciende 7 pisos, y al apretar el botón verde, desciende 9 pisos. Si se aprieta el
botón amarillo cuando no hay suficientes pisos por encima, el ascensor se rompe, y lo mismo ocurre cuando se aprieta
el botón verde y no hay suficientes pisos por debajo.
Dar una secuencia de botones que le permita a una persona subir del piso 0 al 11 utilizando el ascensor.
2. Ximena y Yanina son promotoras de una marca de bombones y convidan a los clientes de un supermercado. El
último domingo, Ximena repartió 440 bombones, de los cuales 153 eran dietéticos. De los bombones que ese día
repartió Yanina, las 2/5 partes eran dietéticos. Del total de bombones que repartieron Ximena y Yanina ese domingo,
el 37,5% eran dietéticos. Determinar cuántos bombones repartió Yanina.
3. Sea ABCD un trapecio isósceles de bases, AB = 51 y CD = 12 . Los puntos P y Q de la base AB (con P más cera de A y
Q más cerca de B) son tales que el triángulo APD, el triángulo BQC y el cuadrilátero DPQC tienen áreas iguales. Calcular
la medida del segmento
XX CERTAMEN 2003
1. En una circunferencia están marcados, en sentido horario, los puntos A, B, C, D, E y F, de modo que ABCDEF es un
hexágono regular. En la misma circunferencia, a partir del punto A se marcan, en sentido horario, los puntos P, Q, R y
S, de modo que APQRS es un pentágono regular.
gCalcular la medida del ángulo BÂP.
2. En el pizarrón estaban escritos todos los números naturales de cuatro cifras que son simultáneamente múltiplos de
9
y
de
15.
Julián
borró
los
que
son
múltiplos
de
25.
Hallar cuántos números quedaron escritos en el pizarrón.
3. Se tienen cuatro objetos a, b, c y d, que pesan, en conjunto, 303kg. Se sabe que a pesa 10kg más que c, y d pesa 5kg
más que b. Además, el más pesado de los cuatro objetos más el más liviano pesan, en conjunto, 3kg menos que los
otros dos objetos juntos.
Hallar el peso de cada uno de los cuatro objetos.
XXI CERTAMEN 2004
1. Se hace la lista de todos los números de 5 cifras distintas que se forman con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. En esta lista los
números
están
ordenados
de
menor
a
mayor.
Hallar el número que ocupa la posición número 100 de la lista.
2. En una caja hay $96,50 en monedas de 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, 50 centavos y $1. Si se le agregaran a
la caja una moneda de 5 centavos, dos de 10 centavos, tres de 25 centavos, cuatro de 50 centavos y cinco de $1, la
caja tendría la misma cantidad de monedas de cada clase.
Calcular cuántas monedas de cada clase tiene la caja.
3. En el triángulo acutángulo ABC, sea D en el lado AC tal que BD es perpendicular a AC y sea E en el lado AB tal que CE
es
perpendicular
a
AB.
Si se sabe que ^CBD = 2.^ABD y ^ACE = 3.^BCE, calcular las medidas de los ángulos del triángulo ABC.
XXII CERTAMEN 2005
1. Se escriben los números enteros positivos desde 1 hasta 1000, uno a continuación del otro, sin espacios
intermedios. Queda así una larga secuencia de dígitos (el primero es 1 y el último es 0):
123456789101112...9989991000.
Determinar cuántos dígitos se han escrito hasta que se escriben por primera vez tres 9 seguidos.
2. Nico viaja de A hacia B y, por la misma ruta rectilínea, Gonzalo viaja de B hacia A. Salen a la misma hora y los dos
van a velocidades constantes. Cuando se cruzan, la distancia recorrida por Nico es igual a la distancia recorrida por
Gonzalo más 1/7 de la distancia entre A y B. Desde que se cruzan hasta llegar a B Nico tardó 9 minutos. Calcular
cuánto tiempo utilizó Gonzalo para ir desde B hasta A.
3. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD y lados no paralelos BC y AD, tal que
ABC = 65º y ADC = 130º. Se traza la
bisectriz del ángulo ADC que corta a la base AB en E. Se sabe que AD = 12 y BE = 15. Calcular las medidas de las bases
del trapecio.
XXIII CERTAMEN 2006
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PRIMER NIVEL
ZONAL
1. En el pizarrón se escriben los números enteros positivos impares desde 1 hasta 47, uno a continuación del otro, sin
espacios intermedios. Queda así una larga secuencia de 43 dígitos (el primero es 1 y el último es 7):
135791113...4547.
Hay que borrar 33 dígitos de modo que los 10 dígitos que queden escritos, leídos de izquierda a derecha, formen el
mayor
número
de
10
dígitos
posible.
Determinar cuál es el número de 10 dígitos que quedará escrito en el pizarrón.
2. Un auto viaja de A a B a velocidad constante. A las 8 de la mañana ha recorrido exactamente la tercera parte del
camino entre A y B, y a las 12 del mediodía lleva recorrido, en total, las 3/5 partes del camino entre A y B. Determinar
a qué hora ha recorrido exactamente la mitad del camino entre A y B.
3. Se tiene un triángulo ABC y un punto interior P tal que AP = BC, los ángulos:
PBC = PCB y PAC = PCA = 20º.
Calcular los ángulos del triángulo ABC.
XXIV CERTAMEN 2007
1. Se tienen 100 tarjetas, cada una con un número entero distinto desde el 1 hasta el 100. Hay que formar grupos de
tres tarjetas cada uno de modo que en cada grupo el número de una de las tarjetas sea igual a la multiplicación de los
números de las otras dos. Por ejemplo, se podría formar el grupo 3, 31, 93, porque 93=3 × 31. Cada tarjeta se usa
como mucho una vez y puede haber tarjetas que no se usan
Formar la mayor cantidad posible de estos grupos y justificar por qué es imposible formar más.
2. En un barco pirata hay un cofre con monedas de oro. Cinco de los piratas reciben su parte con el siguiente
procedimiento: primero Abel recibe 1/8del total; luego Beto recibe 1/6 de lo que queda en el cofre. Más tarde, Carlos
recibe 1/7 de lo que quedaba después de que les dieran a los dos primeros. A continuación, Dany recibe 1/5 de lo que
queda y finalmente a Eze le dan 1/4 de lo que resta.
Hay tres piratas que recibieron igual cantidad de monedas. Determinar cuáles son.
3. Sea ABC un triángulo con AB = 13, BC = 15 y AC = 9. Sea r la recta paralela a BC trazada por A . La bisectriz del ángulo
ABC corta a r en E y la bisectriz del ángulo ACB corta a r en F . Calcular la medida del segmento EF .
XXV CERTAMEN 2008
1. Ale escribió todos los números enteros positivos de cuatro cifras que comienzan con 8 y tienen por lo menos tres
dígitos iguales, ¿Cuántos números escribió Ale?
2. En un programa de preguntas y respuestas se hacen 30 preguntas. Se suman 8 puntos por cada respuesta correcta,
se restan 5 puntos por cada respuesta errónea, y por las preguntas sin contestar no se suman ni se restan puntos.
Un participante obtuvo 13 puntos. Calcular la cantidad de respuestas correctas y de respuestas erróneas que pudo
tener ese participante. Dar todas las posibilidades.
3. Sea ABC un triángulo con AB = 17, BC = 13 y AC = 23. Sea P el punto del lado BC tal que
BP = BC/3. La bisectriz del ángulo B corta al lado AC en D y la bisectriz del ángulo C corta al lado AB en E. La recta
perpendicular a BD que pasa por P corta al lado AB en Q y la recta perpendicular a CE que pasa por P corta al lado AC
en R.
Calcular AQ + AR
XXVI CERTAMEN 2009
1. Fernando sumó cinco números naturales consecutivos y el resultado que obtuvo es un número de cinco cifras con el
dígito de las unidades igual al de las unidades de mil 1x84x, donde x representa un dígito. Determinar los cinco
números que sumó Fernando. Dar todas las posibilidades.
2. Un tren viaja de A a D, con dos paradas intermedias, primero B y después C. Cuando se detiene en B, la cantidad de
pasajeros
que
sube
es
igual
a
3/4 de
los
pasajeros
que
viajaron de A hasta B, y bajan 39 pasajeros. En la estación C, la cantidad de pasajeros que sube es igual a 3/4 de los
pasajeros que viajaron de B hasta C, y bajan 39 pasajeros. La cantidad de pasajeros que llegaron a D es igual a la
cantidad de pasajeros que salieron de A. Hallar cuántos pasajeros salieron de A.
3. Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB, BC, CD y DA tal que ABC = 90°, ACD ^= 90 ° y
BC
^ = CD. Las diagonales AC y
^
^
BD se cortan en O. Si AOD = 110°, calcular BAC.
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PRIMER NIVEL
ZONAL
XXVII CERTAMEN 2010
1. En una máquina expendedora de café cada vaso de café cuesta $ 1. La máquina acepta monedas de 1 peso, de 50
centavos, de 25 centavos, de 10 centavos y de 5 centavos, pero no entrega vuelto.
Alex, Beto y Ceci y tienen cada uno $1,15; Alex tiene más monedas que Beto y Beto tiene más monedas que Ceci.
Además ninguno de los tres puede comprarse un café pagando exactamente $1.
Dar los posibles conjuntos de monedas que tienen cada uno de los tres amigos.
2. Una escuela tiene 688 alumnos de los cuales exactamente la mitad son mujeres. El día del primer partido de
Argentina en el mundial de futbol muchos alumnos faltaron a la escuela. Si la diferencia entre el numero de varones
que faltaron y el número de mujeres que fueron a la escuela es 123, calcular la cantidad de alumnos que faltaron ese
día.
3. Sea ABC un triángulo equilátero y D el punto exterior al triángulo tal que CÂD=30° y ADC=90°. Sea E en el lado BC tal
que CÂE=15°. Las Rectas DC y AE se cortan en F. Si AB=4, calcular la longitud del segmento AF.
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