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Modulo de Desigualdades e Inecuaciones .
3º Medio
TEMA ¡ : Orden, Valor Absoluto y sus propiedades
Definición 1 : La desigualdad a < b es una relación de orden en el universo de
los números reales. Por lo tanto todos los elementos del Conjunto de los Números
Reales se pueden comparar.. Luego :
Para todo elemento a , b que pertenece a los Reales , se tiene que :
a < b
a > b
a = b
si
si
si
y solo si
y solo si
y solo si
a - b
a - b
a - b
<
>
=
0
0
0
donde < significa menor que
donde > significa mayor que
También se puede expresar con la igualdad y se obtienen :  y  .
Propiedades de las Desigualdades .
1.)
La desigualdad se mantiene en su orden si
cada lado de la desigualdad .
a < b
2.)
4.)
a + c
< b + c
La desigualdad se mantiene en su orden si restamos la misma cantidad en
cada lado de la desigualdad .
a < b
3.)

sumamos la misma cantidad en

a
- c
<
b
- c
La desigualdad se mantiene si multiplicamos o dividimos por una cantidad
mayor que cero .
a < b

a < b

a  c
a
c
<
b
<
 c
b
c
La desigualdad se invierte si multiplicamos o dividimos por una
cantidad negativa .
a < b

a < b

a  c
a
c
>
>
b  c
b
c
5.) La desigualdad se invierte si se toman los valores recíprocos de los
miembros o lados de la desigualdad .
0 < a < b
6.)
1
a
>
1
b
La desigualdad se mantiene si elevamos a potencia los lados .
0 < a < b
5.)


an
<
bn
Al sumar miembro a miembro desigualdades del mismo signo , la
desigualdad se mantiene .
Si a < b y

c < d
a + c
<
b +
d
GLOSA : todas estas propiedades se deben aplicar cuidadosamente en las
inecuaciones , afortunadamente las alumnas del Liceo 1 saben seguir las
indicaciones de sus profesores .
TEMA 2
: VALOR ABSOLUTO .
DEFINICION 2 :
El Valor Absoluto es un número real x que
representa la distancia que marca el número con respecto al orígen de la
coordenada. En simbolos matemáticos se define :
=
x
si x  0
x
o bién es
-x
si x < 0
Propiedades de la Función Valor Absoluto .
El asignar a cada número real su valor absoluto representa una función.
Prop. 1
x
 0
Para todo el universo real .
Prop. 2
x
=
si x = 0
Prop. 3
x
0
2
=
x2
Para todo el universo real
Prop. 4
x2
=
x
Para todo número real .
Prop. 5
- x

x

x
para todo real .
A continuación los 2 teoremas más importantes del Valor Absoluto porque
se aplican en la resolución de las inecuaciones absolutas .
Teorema 1 . Si se tienen x , a pertenecientes a los números reales
donde a es un real positivo , entonces se cumple que :

x

a
- a

x

a
La demostración del teorema es la siguiente :
Tenemos que , si
También
si x
,
< 0
x  0
entonces
entonces
x
x
= x  a
= -x  a , luego x  -a
Por lo tanto con las dos conclusiones anteriores queda demostrado.
Teorema 2.
Si se tienen x , a pertenecientes a los números reales
donde a es un número real positivo, entonces se cumple que :
x

a

x  a
o bién
Nótese que el o es excluyente.
Demostración
TEMA 3 .
.
Para ustedes .
INECUACIONES DE UNA INCOGNITA.
x  -a
En las inecuaciones se deben aplicar las propiedades dadas anteriormente.
Por ejemplo .
Determinar el conjunto solución de la inecuación
x
+ 3
2
Desarrollo: Aplico las propiedades resolviendo los paréntesis :
( x - 1 )2

x2 -

x2 - 2 x + 1
luego
x
2
+ 3

-x + 6
-3x

4
x

-
-4x + 2
Entonces
x2 -
Aplico la propiedad :
tiene multiplicador negativo
4
3
La solución es el conjunto de los números reales mayores o iguales que -
La solución se escribe como intervalo que comienza en -
4
3
4
hasta el infinito
3
 4 
positivo .  ,   . Este intervalo se llama cerrado por la izquierda y abierto por
 3 
la derecha por ser el infinito.
EJERCITACION : Ahora debes obtener el conjunto e intervalo solución de las
siguientes 4 inecuaciones . Te entrego el resultado de cada una para que
compruebes tu aprendizaje .
1.)
5
(x–3) +4 
7
3.)
2x  1
2
5.)
5
( x – 3 ) + 10 
7
7.)
2x  1
2
>
>
7x 
22
4x +
7
 3x
+4
5
2.)

7x 
6.)
4
1
3

x  -
9
23
1
- 3x
2
1
1
- 9x
2
8.) ( 3x – 2 ) 2 - ( 3x + 3 ) 2  9 (1 – x )
Las soluciones son las siguientes :
Solución 1 ;
1
4.) ( x – 2 ) 2 - ( x + 3 ) 2  9 (1 – x )
22
4x +
7
 3x
+9
5
4
1
3
;
Intervalo
9

  , 23 


17
15

;
17 
15 ,  


Solución 2 ;
x
Solución 3 ;
x <
Solución 4
;
x 
- 14
, Intervalo
Solución 5
;
x 
33
23
, Intervalo
33 

  , 23 


Solución 6
;
x 
, Intervalo
17 

  , 87 


Solución 7
;
x
Solución 8
;
x 
TEMA 4
SISTEMAS DE INECUACIONES.
 35
4
35 

  , 4 


; Intervalo
17
87
<
Intervalo
 85
4
,
2
3
,
 14, 
Intervalo
Intervalo
 85 

  , 4 


 2 
 3 , 


En los sistemas de inecuaciones con una incógnita se resuelve cada inecuación y
luego se determina la solución común a todo el sistema , si existe una inecuación
no pertenece a las otras soluciones entonces se señala que el sistema no tiene
solución. La solución común se ll ama Intersección.
Veamos tu aprendizaje con los siguientes sistemas :
1..)
3.)
5.)
6 ( x + 2 ) - 3 < 7x + 4
4 ( 2 – x ) < 2x - 6
3x - 1
3x - 7
-7x + 5
>
<
<
6x - 4
-4
12
5( x + 2) < 7x + 1
3( 2 - x ) < 2x + 1
2.)
4.)
6.)
5x – 1 > 6 x - 4
2x - 7 < -4
2x + 5 < 12
-5( x + 2 ) - 3 < 8x +4
6( 2 - x ) < 2x - 6
3x - 1 > x - 4
x - 2
< -4
2x + 5 < 6
Las soluciones de los sistemas presentados corresponden al intervalo común de todas
las soluciones parciales de las inecuaciones del sistema dado :
Solución 1
:
La solución común para el sistema es ;
x > 5
;
Intervalo :
5, 
Solución 2
:
x
3
2
;
Intervalo :
3

  , 2 


Solución 3
:
-1 < x < 1
;
Intervalo :
 1,1
Solución 4
:
x >
9
4
;
Intervalo :
9 
 4 , 


Solución 5
:
x > 3
;
intervalo :
3, 
<
Solución 6
:
La solución de este sistema es el conjunto vacío porque las
soluciones parciales del sistema no tienen ningún intervalo o punto común .
TEMA 5 : INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO .
En las inecuaciones con Valor Absoluto se aplican los 2
vistos en el TEMA 2 .
Por ejemplo :
x3
Resolver
<
X - 3
5
Aplico el teorema 1 y me queda que :
< 5 y también
X < 8
y también
Luego la solución común es
teoremas importantes
x - 3
> - 5 Por lo tanto ,
x > -2
-2 < x < 8
eso es un intervalo
 2,8
En el siguiente ejemplo aplicaremos el teorema 2.
x3 > 5
Resolver
Puede ser que
Luego
Entonces por ser mayor que aplico el teo. 2
x - 3 < - 5
x < - 2
o bien que
o bién
x - 3 > 5
x > 8
Cuando se tiene un o excluyente se trata de una Unión de conjuntos .
Luego es la Unión de 2 conjuntos disjuntos .
Entonces el intervalo solución es :
EJERCITACION :
V
 ,2
U
8, 
Quiero ver tu aprendizaje en las siguientes inecuaciones con
Valor Absoluto :
Determina el intervalo solución de las siguientes inecuaciones :
1.)
4  2x
 16
2.)
2x  9
3.)
4  2x
 -12
4.)
3 x
5
5.)
2x  9

11
6.)
4 3x

5 10
0,3
 7
14
- 3
3
<

12
7.)
3 x
5
<
14
3
+ 2
Las soluciones son los siguientes intervalos :
Solución 1
:
 6,10
Solución 2
:
 ,1
Solución 3
.
Solución 4
:
  16 34 
 3 , 3


Solución 5
:
 ,1
Solución 6
.
 28 

 44 
  , 3  U  3 ,  




Solución
:
  91 109 
 3 , 3 


7
U
8, 
Conjunto vacío no puede ser negativo el valor absoluto
Este tipo de ejercicio se llama Cazabobo.
FIN
U
10, 