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Generalidades Biomecánica de cuerpo elástico
Docente: Dra Patricia Pérez S.
Alumno: Andrés Viveros C.
Introducción
En el presente trabajo se abordarán algunos conceptos básicos de
la mecánica necesarios para comprender posteriormente el
comportamiento de algunos de los componentes del cuerpo
humano como el comportamiento biomecanico de tejidos blandos
tales como el hueso, los cartílagos articulares y los tendones del
aparato locomotor. Además se abordarán algunas de las
aplicaciones que tienen estos principios cómo también se darán
algunos ejercicios propuestos.
Elasticidad
Elasticidad es la propiedad de un objeto o material que provoca su
restauración a su forma original después de la distorsión. Mientras más
elástico es un objeto, se restaura más precisamente a su configuración
original.
Una banda de goma es fácil de elongar, y vuelve más o menos a su longitud
original cuando es liberada pero no es tan elástica como una cuerda de
piano. La cuerda de piano es difícil de elongar, pero podría decirse que es
más elástica que la banda de goma porque tiene más precisión en el retorno
a su forma original.
Un resorte es un ejemplo de un objeto elástico, cuando se elonga, ejerce
una fuerza restauradora que tiende a volverlo a su longitud original. Esta
fuerza restauradora es generalmente proporcional a la cantidad de
elongación, como es descrito por la ley de Hooke.
Para alambres o columnas, la elasticidad es generalmente descrita en
términos de cantidad de deformación (strain) resultando un stress dado
(Módulo de Young). Las propiedades de volumen elástico de materiales
describen la respuesta de los materiales a los cambios de presión
Ley de Hooke
La ley de Hooke describe fenómenos elásticos como los que exhiben los
resortes. Esta ley afirma que la deformación elástica que sufre un cuerpo es
proporcional a la fuerza que produce tal deformación, siempre y cuando no
se sobrepase el limite de elasticidad.
En esta práctica se estudian simultáneamente la ley de Hooke y el
movimiento armónico simple. Se mide la constante de fuerza de un resorte
y se halla experimentalmente la relación funcional entre el periodo de
oscilación y la masa, en un sistema masa – resorte.
La fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la elongación y de
signo contrario (la fuerza de deformación se ejerce hacia la derecha y la
recuperadora hacia la izquierda). La expresión de la ley es:
F=- F=Kx
F y x son vectores de la misma dirección y sentido opuesto
La fuerza que ejerce para estirarlo es: F=Kx
La 2ª ley de Newton nos dice que toda aceleración tiene su origen en una
fuerza. Esto lo expresamos con la conocida:
F=m·a
Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la
aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas
arriba, son iguales. Luego:
F=- K· x
F=ma=- 2x
Igualando obtenemos
w 
V_
V m
Luego el periodo natural de oscilación estará dado por :
Problema Propuesto:
*Para un resorte que cumple la ley de Hooke y que presenta como
constante clásica de elasticidad el valor de 19.62 N/cm. Se le
cuelga un objeto que causa una deformación de 58.86 cm. ¿Cuál es
la masa del objeto?
K=19.62 N/cm
x=58.86
g=9.81 m/s2
F=kx
W=mg
Kx =mg
m=Kx/g
m=(19.62 N/cm)(58.86 cm)/9.81
m/s2= 1154.83N/9.81 m/s2=
117.72 Kg
m=117.72 Kg
Aplicaciones:
Una de las características más relevantes del músculo en reposo es su comportamiento
elástico, como podemos observar en el gráfico, éstos no siguen la ley de Hooke, esto es
dado por que la mayoría de los músculos, en el organismo ejercen cierta fuerza de
tracción, en virtud de su elasticidad. El gràfico de la figura 4.5 nos ilustra la relación
entre la tensión y la longitud del músculo. En ella el punto A representa la longitud del
músculo aislado en reposo cuando no se le aplica ninguna fuerza. Pero ésta no es la
longitud que tiene( también en reposo) en el organismo, donde el músculo se encuentra
sometido a una pequeña tensión. La longitud en reposo en el organismo está dada en la
gráfica por la abcisa Io . Por esto la figura muestra que el músculo no sigue la Ley de
Hooke, pues los incrementos de tensión necesarios para producir iguales variaciones de
longitud se tornan mayores a medida que la longitud aumenta.
Cuando se estira un músculo en reposo se puede observar que las bandas A no
modifican sus dimensiones; en cambio, se alargan( en el sentido de la orientación de las
fibras) los discos I así como la banda H.
Si nosotros consideramos la biomecánica del hueso, notaremos que en primer lugar que
este posee un comportamiento anisotrópico, es decir que posee distintos
comportamientos elásticos dependiendo del eje en donde se analice.
Y desde el punto de vista de la ley de Hooke nosotros podemos señalar que el hueso
cumple la ley de Hooke hasta cierto punto, es decir en el alcance de su región elástica
esto se puede observar en un grafico que se encuentra mas adelante. Esta naturaleza del
hueso esta dada por el componente mineral del mismo y que le da su carácter de rigidez
Movimiento
En mecánica el movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de
posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con
respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia. Todo
cuerpo en movimiento describe una trayectoria.
La parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas
es la cinemática. La parte de la física que se encarga del estudio de las causas del
movimiento es la dinámica.
Movimiento circular
Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una
vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las
siguientes magnitudes.
Posición angular, 
En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por
el ángulo q, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos
O.
El ángulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r,
q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene
dimensiones.
Velocidad angular, 
En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo  '. El móvil
se habrá desplazado = ' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.
La velocidad angular ω (también conocida como frecuencia angular o pulsación) es una
medida de la velocidad de rotación. Se mide en radianes por segundo (o simplemente s1 porque los radianes son adimensionales).
La razón de ello es que una revolución completa es igual a 2π radianes:
cuando T es el período y f es la frecuencia
El empleo de la velocidad angular en lugar de frecuencia ordinaria es práctica en
numerosas aplicaciones, porque evita la aparición excesiva de π. En realidad, se emplea
en aquellos campos de física en los que intervienen fenómenos periódicos, por ejemplo
en mecánica cuántica y electromagnetismo.
También hacer notar que:
Por lo tanto,
Considerando que T es el período y v es la velocidad tangencial de un punto respecto al
eje de rotación
Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo
según la siguiente formula:
Problema propuesto:
Aceleración angular, 

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es  y en el instante t' la velocidad
angular del móvil es '. La velocidad angular del móvil ha cambiado =' - en el
intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.
Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad
angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio
Así un caso particular de esto seria el
Movimiento circular uniforme
El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se
desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia,
de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la
velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y
sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento
pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la
trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este
caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.
Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular  es constante, por
tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular  del móvil en el instante t lo
podemos calcular integrando
 -0=(t-t0)
o gráficamente, en la representación de  en función de t. como se observa arriba.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento
circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme
Desplazamiento angular
Es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo
que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián.
Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y
la circunferencia completa tiene 2π radianes
Movimiento armónico simple
Es un movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que se
originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio. Un cuerpo oscila
cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. Se llama
armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno
Responde a la siguiente ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
En donde:
A es la amplitud.
 la frecuencia angular.
 t+ la fase. (posición)
 la fase inicial. ( posiciòn en t= 0)
Las características de un M.A.S. son:
Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se
realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.
La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite
cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2, es decir, cuando transcurre
un tiempo P tal que (t+P)+= t++2 .
P=2π/ω
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la
ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Stress
Carga o fuerza por unidad de área que se desarrolla sobre una superficie
plana dentro de un estructura en respuesta a las cargas aplicadas
externamente. N/cm2, N/m2, PA.

F
[ N / m2 ]
S
Strain
Porcentaje de cambio respecto al tamaño inicial (cambio en dimensión)
que se desarrolla dentro de una estructura en respuesta a las cargas
externamente aplicadas. Esta magnitud es adimensional y también es
llamada deformación unitaria
Tipos de Strain.
Strain linear : Este se relaciona en un solo eje concerniendo solo el largo del
cuerpo estudiado este puede ser ya sea de traccion o compresion
Strain de cizalle: Se desarolla tanto en el eje x como en el eje y a la vez se mide
en cambio angular en radianes



Aplicaciones:
Ambas magnitudes, Stress y Strain , pueden ser directamente relacionadas en el llamado
Modulo de elasticidad
El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el
comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una
fuerza. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo
valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente
del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y
es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, no
disminuye. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés
Thomas Young.
Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos
materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite
elástico, puede encontrarse empíricamente con base al ensayo de tracción del material.
Para los objetivos de el presente trabajo se estudiarán los comportamientos para un
material lineal y para uno anisotropo
Materiales lineales
Como se ha explicado para un material elástico lineal el módulo de elasticidad
longitudinal es una constante (para valores de tensión dentro del rango de reversibilidad
completa de deformaciones). En este caso su valor se define mediante el coeficiente de
la tensión y de la deformación que aparecen en una barra recta estirada que esté
fabricada en el material para el cual pretendemos estimar el módulo de elasticidad:
En donde:
es el módulo de elasticidad longitudinal.
es la tensión sobre la barra usada para determinar el módulo de elasticidad.
es la deformación unitaria en cualquier punto de la barra.
Esta ecuación además de su utilidad para los cálculos de deformación unitaria y del
esfuerzo, puede ser utilizada para comparar la rigidez de 2 cuerpos al ser sometidos a la
misma deformación
Por lo que dadas dos barras o prismas mecánicos geometrícamente idénticos pero de
materiales elásticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idénticas, se
inducirán mayores tensiones cuanto mayor sea el módulo de elasticidad. De modo
análogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuación anterior rescrita como
lo que nos dice que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor módulo
de elasticidad. En este caso, se dice que el material es más rígido.
Para establecer comparaciones entre distintos materiales se pueden confeccionar tablas
como la siguiente:
Materiales anisótropos
Existen varias "extensiones" no-excluyentes del concepto. Para materiales elásticos noisótropos el módulo de Young medido según el procedimiento anterior no da valores
constantes. Sin embargo, puede probarse que existen tres constantes elásticas Ex, Ey y
Ez tales que el módulo de Young en cualquier dirección viene dado por:
y donde lx, ly y lz son los cosenos directores de la dirección en que medimos el módulo
de Young respecto a tres direcciones ortogonales dadas.
Es así como para el hueso el grafico presentaria la siguiente forma :
Se desprende del gráfico:
La carga de la estructura antes de fallar : Fuerza máxima
La deformación que puede resistir antes de fallar.
La energía que puede almacenar antes de fallar: Área bajo la curva.
La rigidez de la estructura está dada por la inclinación de la curva en la región elástica,
es decir que a partir de la pendiente de la curva en la región elástica nosotros podemos
conocer el modulo de elasticidad de un determinado material
Coeficiente de Poisson
El coeficiente de Poisson (v), nombrado en honor a Simeón Poisson, es una constante
elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de
material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en
las direcciones perpendiculares a la de estiramiento.
Ensanchamiento por efecto Poisson del plano longitudinal medio de un prisma
comprimido a lo largo de su eje, el grado de ensanchamiento depende del coeficiente de
Poisson, en este caso se ha usado
Materiales isótropos
Si se toma un prisma mecánico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson
pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de tracción aplicada sobre sus
bases superior e inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la razón entre
el alargamiento longitudinal producido divido por el acortamiento de una longitud
situada en un plano perpendicular a la dirección de la carga aplicada. Este valor
coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho la fórmula usual para el
Coeficiente de Poisson es:
Para un material isótropo elástico perfectamente incompresible, este es igual a 0.5. La
mayor parte de los materiales prácticos en la ingeniería rondan entre 0.0 y 0.5, aunque
existen algunos materiales compuestos llamados materiales augéticos que tienen
coeficiente de Poisson negativo. Termodinámicamente puede probarse que todo
material tiene coeficientes de Poisson en el intervalo [-1, 0.5).
Ley de Hooke generalizada
Conociendo lo anterior se puede concluir que al deformarse un material en una
dirección producirá deformaciones sobre los demás ejes, lo que a su vez producirá
esfuerzos en todos lo ejes. Por lo que es posible generalizar la ley de Hooke como
Materiales ortotrópicos
Para materiales ortotrópicos como la madera el cociente entre la deformación unitaria de
estiramiento y las deformaciones transversales a estas depende de la dirección de
estiramiento, puede comprobarse que para un material ortotrópico el coeficiente de
Poisson aparente puede expresarse en función de los coeficientes de Poisson asociados a
tres direcciones mutuamente perpendiculares. De hecho entre las 12 constantes elásticas
habituales que definen el comportamiento de un material elástico ortotrópico, sólo 9 de
ellas son independientes ya que deben cumplirse las restricciones entre los coeficientes
de Poisson principales y los módulos de Young principales:
Bibliografía
1 Física Principios con Aplicaciones 4 ª ed ,Douglas C. Giancoli Ed
Prentice Hall
2 Biofísica 3ª Ed , A.S. Frumento Ed Mosby Doyma libros
3 Física para las ciencias de la vida , Alan H. Cromer Ed Reverte
4 Dra. Patricia Pérez , Clases del curso Biofisica Medica UCSC
5 http://usuarios.lycos.es/pefeco/mas/mas1.htm
6 www.wikipedia.com
7 http://www.uia.mx/campus/publicaciones/fisica/pdf/8MAS-MCU.pdf
8 http://www.rwc.uc.edu/koehler/biophys/2f.html
9 ww.rinconsolidario.org/ciencias/biblioteca/asignaturas/fisicabach/mas.ht