Download σ ε ε

Problemas de Física Estadística – Grupo 5
Tema 1
PROBLEMA 5
Según un informe elaborado por un equipo de economistas, la renta per cápita (es
decir, media) de un determinado país es de 5000 $, con una desviación estándar de
2000 $. El informe también afirma que el 20% de la población posee una renta
inferior a 1000 $, mientras que el 10% tiene una renta superior a 10000 $. Un
estudiante de Física de la UEx asegura, basándose en la desigualdad de Chebyshev,
que los datos del informe no pueden ser correctos. ¿Está en lo cierto?
SOLUCIÓN:
Gracias al estudio realizado por los economistas de los que nos habla el problema,
podemos conocer los datos más significativos que caracterizan a la distribución de la
renta en una población. En este caso, son la media y la desviación estándar. También
nos dicen que el 20% de la población tiene una renta menor de 1000$ y que el 10% de
la misma tiene una renta mayor de 10000$.
Pero parece ser, que un estudiante de Física, utilizando la desigualdad de Chebyshev,
llega a conclusiones que contradicen los resultados del informe. Nuestro objetivo será
comprobar esto último.
La desigualdad de Chebyshev responde a una expresión como la siguiente:
σ x2
P x− x >ε ≤ 2
ε
(
)
Esta desigualdad nos sirve para estimar probabilidades cuando disponemos de una
distribución de probabilidad de una variable aleatoria, discreta y cuyos valores estén
ordenados de forma creciente. En nuestro caso, la renta es la variable,
-
-
-
Es aleatoria: y como puede verse al recordar la definición de variable aleatoria,
N
lo es, ya que existe el límite lim x1
que permite el cálculo de probabilidades
N
N →∞
“a posteriori”.
Es discreta porque en el caso del dinero existe una unidad mínima (dólar o
céntimo de dólar, según queramos considerar) y todas las demás cantidades
(valores que puede adquirir nuestra variable) son múltiplos de la unidad mínima.
Está ordenada de menor a mayor.
Vamos a matizar un poco la utilidad de la desigualdad de Chebyshev. Decíamos que nos
estima probabilidades y debe tenerse claro que no las proporciona en el sentido de dar
un valor concreto sino que nos acota superiormente dicho valor, dándonos el valor
máximo que puede alcanzar la probabilidad de que la variable de la distribución
adquiera valores separados más de un cierto ε del valor medio. Para que realmente sea
útil la desigualdad de Chebyshev, éste ε debe ser mayor que la desviación estándar de
la distribución.
Podemos decir entonces que la desigualdad de Chebyshev nos da el valor máximo de la
probabilidad de que ocurran sucesos “raros”, ya que la probabilidad capaz de estimarnos
es la correspondiente a sucesos incluidos en zonas alejadas del valor medio en una
cantidad mayor que la desviación estándar.
Estudiemos en caso que nos concierne.
Como no podemos calcular simplemente la probabilidad en un intervalo concreto, se
nos ocurre que con la ayuda de la desigualdad de Chebyshev, podemos calcular qué
probabilidad hay, como máximo, de encontrar una persona en la población estudiada
con una renta que diste más de 4000 $ del valor medio, es decir, según la notación
utilizada, ε = 4000$ . ¿Por qué hemos elegido este ε ? La respuesta se irá conformando
según avance el problema, pero el motivo principal es que tomando ε = 4000$ ,
siendo x = 5000$ , podremos calcular con la desigualdad, la probabilidad de que la
variable renta (que denotaremos por x ) tome valores menores de 1000 $ y mayores que
9000 $,
(
)
P x − x > 4000 = P ( x < 1000 ) + P ( x > 9000 ) ≤
σ x2
ε2
siendo el intervalo estudiado muy parecido al que se menciona en el enunciado del
problema (que es valores menores de 1000 $ y mayores de 10000$)
Vayamos entonces a calcular dicha probabilidad, sabiendo por los datos proporcionados
que:
ε = 4000$
x = 5000$
σ x = 2000$
entonces:
P ( x − 5000 > 4000 ) ≤
20002 1
= = 0, 25
40002 4
Es decir, según la desigualdad de Chebyshev, la probabilidad de tener una renta
inferior a 1000 $ y mayor a 9000 $ no puede superar en ningún momento el 25%.
Ahora, simplemente razonaremos comparando nuestro resultado con la suma de las
probabilidades correspondientes a rentas menores de 1000 $ y mayores de 10000 $ que
se comentaban en el propio enunciado del problema, como resultado del estudio de los
economistas.
Según la desigualdad de Chebyshev, obtenemos la relación:
P ( x < 1000 ) + P ( x > 9000 ) ≤ 0, 25
(1)
Según el estudio de los economistas, el 10% de la población tiene una renta mayor que
10000 $ y el 20% menor que 1000$. La suma de las probabilidades de estos sucesos
permite ser expresada así:
P ( x < 1000 ) + P ( x > 10000 ) = 0,30
(2)
Despejando P ( x < 1000 ) de (2) y sustituyéndolo en (1), obtenemos:
0,30 − P ( x > 10000 ) + P ( x > 9000 ) ≤ 0, 25
0, 05 ≤ P ( x > 10000 ) − P ( x > 9000 )
La cantidad P ( x > 10000 ) − P ( x > 9000 ) siempre va a ser menor que cero, ya que,
independientemente de la forma de la distribución, P ( x > 9000 ) > P ( x > 10000 ) por
englobar más sucesos y a la propia P ( x > 10000 ) . Matemáticamente, llegamos a la
contradicción:
0, 05 < 0
Como hemos partido de suponer que los datos del estudio eran correctos y hemos
llegado a un resultado erróneo mediante operaciones válidas, deducimos que las
consideraciones de partida no eran verdaderas y que por lo tanto, el estudio de los
economistas no está en lo cierto, fallando bien en los estadísticos especificados o en
las probabilidades concretas que se nos proporcionan, tal y como afirmaba el estudiante
de Física.
Realizado por el Grupo 5:
José Antonio Bogeat Sánchez-Piqueras
Ana Álvarez Piedehierro