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e números decimales Cuando la gente abandona la galería, el crítico de arte aprovecha para examinar los cuadros tranquilamente ante la expectante mirada de Ester, su autora, y el oído atento del traductor. — Guarda che bello! — musita el crítico ante un lienzo. — ¿Qué dice de guardar qué? — pregunta nerviosa la pintora. — No te preocupes, le gusta mucho — le tranquiliza el traductor. Diccionario De pronto el crítico enmudece. Se detiene ante un lienzo y lo repa sa minuciosamente. La joven pintora traga saliva. Y luego se queda boquiabierta. El crítico acaba de sacar un objeto de su carte ra y se dispone a medir. ¡Es un compás áureo! 0 expectante: que espera con curiosidad. minuciosamente: con mucho detalle. artilugio: mecanismo de cierta complicación. desconcertada: sorprendida. — ¿Qué extraño artilugio utiliza? — pregunta esta vez el traductor. — Comprueba si he utilizado el Número de Oro en las proporciones de los objetos que aparecen en el cuadro — responde Ester — . En lugar de medir el largo de cada rectángulo y dividirlo entre el ancho para comprobar si obtiene el Número de Oro, solo tiene que abrir el compás y ver si todo encaja. — Leonardo da Vinci, Dalí, Durero, Michdangeb, Velázquez! — exclama el crítico italiano mientras mide y mide, habla y habla. — Dice que es una obra maestra. Bella y perfecta, como la de todos esos grandes artistas. Que has sabido utilizar el Número de Oro creando figuras de gran armonía — aclara el traductor— . Propone comprar toda tu obra y pagarte tantos millones de euros como el Número de Oro con sus tres primeras cifras decimales. La pintora acepta desconcertada y estrecha la mano del crítico. — No sé si he hecho un buen trato — confiesa Ester al traductor, que no recuerda las cifras del número en cuestión. Pero su cara se ilumi na cuando mira el cheque que le acaban de entregar— . ¡Sí! P O N T E EN M A R C H A ¿Cuántas personas hablan italiano en la historia? • Investiga y averigua cuál es el Número de Oro y calcula la cantidad del cheque. • La mayoría de los rectángulos que nos rodean guardan una propor ción que se conoce como “proporción divina”. Compruébalo midiendo un DNI o una tarjeta de crédito. ¿Crees que a todos nos parecen bonitas las mismas cosas? Explica las ven tajas de que tengamos diferentes gustos. EMBÁRCATE en la unidad Dividirás con números decimales. ¡visiones con cociente ■ Para repartir 5 € entre 4 personas, dividimos 5 : 4. Q Dividimos 5 unidades entre 4. Q Escribimos una coma en el cociente, y dividimos 10 décimas entre 4. U Q Como sobran 20 centésimas, dividimos 20 entre 4. d U d c [ u 5 1 4 5 1 1 1 / , 0 , 5 I 4 1 , 2 0 1 2 Sobran 2 décimas, que son 20 centésimas. 0 1 , 2 5 0 Como el resto es 0, la división ha terminado. m ¿Podemos repartir 6 € entre 9 personas de manera exacta? Q Como no podemos repartir 6 entre 9, escribimos un 0 en el cociente. | 4 0 2 Sobra 1 unidad que son 10 décimas. 0 C Escribimos una coma en el cociente, y dividimos 60 décimas entre 9. U d P£ h @ Como sobran 60 centésimas, dividimos 60 entre 9. U d [ u 6 l , 6 1 9 0 | 9 6 0 6 , 6 Sobran 6 décimas que son 60 centésimas. No se pueden repartir 6 € entre 9 personas de manera exacta. Actividades Divide hasta que el resto sea cero. Í38 • » • • • : 2 1 3 4 : 5 : 5 3 5 0 6 , 0 66 / 0 Sobran 6 unidades que son 60 décimas. 1 , 4 : 1 4 : 2 0 3 3 9 : 4 : 4 3 8 : 1 6 Podemos continuar dividiendo, pero el resto siempre es 6. 3 Expresa estas fracciones como divisiones y calcula el número decimal que representa cada una. CALCULO MENTAL ^ = 2 4 : 5 = 4,8 5 _3_ 8 15 Sumar dos números próximos 8 5 _3_ 15 + 16 20 / \ 15 + 15 + 1 Resuelve estas divisiones exactas, y realiza la prueba para com probar que están bien hechas. 3 :8 11 : 4 18 : 12 V (2 x 15) + 1 V30 + 1 39 : 26 V 31 Observa la división. Si siguieras dividiendo, ¿cuál sería el resto final? 10 D U 3 4 4 d 0 4 c 5 5, 6 6 + 11 36 + 35 52 + 53 73 + 74 46 + 45 65 + 66 0 Divide hasta obtener 4 cifras decimales en el cociente. • Observa los restos que vas obteniendo en cada caso. ¿Podrá alguna de las divisiones ser exacta? Explica por qué. Problemas Germán y 4 amigos tienen 7 kg de setas, y las reparten a partes ¡guales. ¿Cuántos kilos le tocan a cada uno? 7 . Belén forró 12 libros de una colección con 6 m de plástico. Si todos los libros son del mismo tamaño, ¿cuántos metros utilizó para cada ¡BIEN HECHO! Antón reparte 4 I de leche en 8 jarras iguales. ¿Cuánta leche hay en cada jarra? 4, 0 [8_ 0 8. Un entrenador reparte 3 I de agua entre los 12 jugadores del equipo. ¿Qué cantidad de agua bebe cada jugador? 0,5 >En cada jarra hay medio litro de leche. Dividir un número decimal entre un número natura 1 Para repartir 25,75 kg de patatas en 5 sacos, dividimos 25,75 entre 5. Q Dividimos 25 unidades entre 5. D U d c 2 5, 7 0 5 Q |5, 5, Dividimos las 7 décimas que tenemos entre 5. D U d c 2 5, 7 0 7 5 |5 5,1 Escribimos una coma en el cociente. Sobran 2 décimas, que son 20 centésimas. Q Añadimos las 20 centésimas a las 5 que teníamos en el divi dendo. Dividimos 25 entre 5. D U d c 2 5, 7 0 7 2 5 5, 1 5 5 0 \ Como el resto es 0, la división ha terminado. Para dividir un número decimal entre un número natural, dividimos como si los dos números fueran naturales, pero al bajar la cifra de las décimas, escribimos una coma en el cociente. Para dividir un número decimal entre 10,100,1.000... desplazamos la coma hacia la izquierda tantas posi ciones como ceros hay en 10, 100, 1.000... 42,5 : 10 = 4,25 42,5 : 100 = 0,425 42,5 : 1.000 = 0,0425 Para dividir un número decimal entre 10,100 ó 1.000, se desplaza la coma a la izquierda 1, 2 ó 3 posiciones, es decir, tantas como ceros acompañan a la unidad. Actividades Divide. 34,3 : 7 10,8 : 9 96,5 : 5 57,2 : 4 80,3 : 11 171,2 : 16 10 Calcula estos cocientes. 1.701,25:5 189,48:12 18,768:6 164,128:23 Realiza estas divisiones y comprueba que están bien hechas. 826,2 : 9 23,64 : 12 456,4 : 14 3 12. Observa el ejemplo. Halla los términos de estas divisiones y rea* liza la prueba. D U ( 8 ) HUELLAS MATEMÁTICAS 7, 3 2 3 5 5,2 D = 47,3 c = 5,2 d=9 r = 5 décimas = 0,5 En muchos objetos rectangula res como el DNI, al dividir el largo del rectángulo entre el ancho se obtiene un número muy próximo a 1,618. Esta proporción hace que las obras de arte sean bellas y armóni cas. Leonardo da Vinci bautizó a este número como el Número de Oro. D = d x c + r = (9 x 5,2) + 0,5 = 46,8 + 0,5 = 47,3 r ,: 9£ 7 :j P | ^34,22 : 1 l] 13 Averigua el divisor. FO 93,7 : ... = 9,37 5.632 : ... =0,5632 Investiga más en: : - 651,3 : . . . = 6,513 12,69 : ... =0,01269 C? 4,6 : ... = 0,46 r 74,8 : ... =0,748 I www.e-sm.net/3MAT6 14 Resuelve las divisiones aproximando el dividendo antes de dividir, como en el ejemplo. 5,76 : 3 —► 6 : 3 = 2 18,21:6 25,08:5 14,15:2 15,89:4 44,87:9 Calcula los cocientes hasta que obtengas tres cifras decimales. Aproxímalos a las décimas. 16,3 : 3 7 „ ________ [ 280,2 : 9 f i ------------- ■ j 728,8 : 6 1 18 Problemas 16 Si 3 kg de sepia cuestan 20,85 € , ¿cuánto cuesta un kilo? Fran fue con 20 alumnos a ver una obra de teatro. Todas las entradas costaron 201,60 € . ¿Cuánto costó cada una? Observa las tarifas de esta fotocopiadora. ¿Cuál es el precio de una copia en cada caso? ¿Cuál es más barato? 10 copias: y 7 0,50 €■ 1.000 copias:i 20 v x , 100 copias: 4 € , ¡BIEN HECHO! I Un billete de tren de 10 viajes cuesta 24,30 € . ¿Cuánto cues ta cada viaje? € 24,30: 10 = 2,430 = 2,43 ► Cada viaje cuesta 2,43 € . A ’ 41* •• V • iones equivalentes Si repartimos 4 1de agua en 16 vasos iguales, en cada vaso hay 0,25 I de agua. U 4, 0 8 0 0 L IA 0,2 5 ¿Qué ocurre si ahora queremos repartir el doble de agua? ¿Y la mitad? ^ Para el doble de agua necesitamos el doble de vasos. Para la mitad de agua necesitamos la mitad de vasos. 4 x 2 = 8 I de agua 4 : 2 = 2 I de agua 16 x 2 = 32 vasos 1 6 :2 = 8 vasos U U 8, 0 1 6 0 0 3 2 0,2 5 2, 0 4 En cada vaso hay 0,25 I de agua. 0 0 8 0,2 5 En cada vaso hay 0,25 I de agua. Observa que en las tres divisiones el cociente es el mismo. Decimos que son divisiones equivalentes. Dos divisiones equivalentes tienen el mismo cociente. Para obtener divisiones equivalentes, multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por el mismo número. Actividades Sin resolver las divisiones, agrupa las que tienen el mismo cociente. 36 :12 28 :7 0 3.600:1.200 14:35 12:4 140:350 20 Escribe una división equivalente en cada caso. 12:35 120:64 27:36 1 Halla los cocientes de estas divisiones. ¿Cómo son? Completa este esquema en tu cuaderno. 1 5 :1 0 42 • • • • X " » 75 : 50 X " » 7,5 : 5 3 Copia y completa para que todas las divisiones sean equivalentes. (s _36: 12 _ / PARA PENSAR 1 4 4 : 7 3 2 : : 3 ° Escribe en tu cuaderno el término que falta, en cada caso, para que todas las divisiones sean equivalentes. 13 6 ° 2’5 Continúa la serie con dos tér minos más. 480 : 64 118 — « |7 2 0 2, 5 ° 2’5 240 : 32 VTN 5| 0 2, 5 60 : 8 120 : 16 2 Calcula los cocientes de estas divisiones. ¿Son iguales? Indica qué operaciones hay que hacer para transformar una en otra. 26: 10 i 1 Problemas Observa el precio de estas dos piscinas. ¿Podrías decir, sin dividir, si un baño cuesta lo mismo en ambas piscinas? Explica por qué. Piscina Olimpia Abono de 10 baños 25 € Piscina Neptuno Abono de 30 baños 75 € Para pintar 72 m2 de fachada se emplean 18 botes de pintura. ¿Cuántos metros cuadrados se pintan con un bote? Transforma la división en otra más sencilla antes de resolverla. ¿Se ahorra dinero si se compran los abalorios en grandes canti dades? Resuelve el problema sin realizar divisiones. 500 cuentas 115 € , ¡BIEN HECHO! Sonia reparte 1,5 I de zumo en 6 vasos y Chema 3 I en 12 va sos. ¿Tienen todos los vasos la misma cantidad de zumo? Sonia —► 1,5 : 6 Chema En un centro cultural pagaron 150 € por entradas de cine y 300 € por entradas de teatro. Cada entrada de cine costaba 6 € y cada entrada de teatro 12 €. ¿Fue el mismo número de personas a las dos actividades? Averigúalo sin realizar operaciones. 3 : 12 ) X 2 • Sí, porque las divisiones son equivalentes. - • • • ividir entre números decimales Para una carrera de relevos, se van a cortar piezas de cartón de 0,25 m, de una barra de 10,5 m. ¿Cuántas piezas se pueden hacer? Para calcularlo, dividimos 10,5 : 0,25. Q Escribimos una división equivalente sin decimales en el divisor. 0 Resolvemos la división equi valente. i— 10,5:0,25 — i (xlO O) (xl OO) 1.050 : 25 10 5 0 125 50 42 0 Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor. 1.050 : 25 = 42 e yEscribimos la operación inicial el resultado. 1.050 : 25 = 42 100 10,5 : 0,25 = 42 El resultado es el mismo por que las divisiones equivalen tes tienen el mismo cociente. Se pueden hacer 42 piezas. Para dividir números decimales, transformamos la división en otra equivalente sin decimales en el divisor. Desplazamos la coma en el dividendo tanto lugares como decimales tiene el divisor. Actividades Escribe la división equivalente necesaria para resolver estas divi siones. r 3 : 0,2 r ~'r ” 1 30 Divide. 144 : 2,4 72 : 0,18 18 : 0,03 3,1 : 0,05 12,07 : 1,7 0,025 : 1,25 Completa en tu cuaderno. 16,8:0,12 = ... : 12 = ... 4,302:0,9=... : 9= ... j 37,5:2,5 = 375:... = ... Q |j,0 0 1 : 0,011 =1.001 : 11 = .. j 3 Copia y completa la tabla. división división equivalente cociente PARA PENSAR 9 : 0,06 Transforma el número 5 en el número 10 con una sola ope ración, de dos maneras dis tintas. 46 : 2,3 1,05 : 1,5 4,38 : 0,002 Observa el ejemplo y completa. . & r 39,1 : 0,01 =3.910 5 10 = 3^910 1 6,9 : 0,1 7,426 : 0,01 12,004 : 0,001 4,23 : 0,1 3 : 0,01 6,28 : 0,001 34 . Escribe con tus palabras una regla sencilla para calcular las divi siones de la actividad anterior. Compárala con la que ha escrito tu compañero. Problemas Un carpintero necesita listones de 0,75 m para las patas de una mesa. ¿Cuántos listones puede cortar de una pieza de 4,5 m? 36 En un paseo de 1.300 m se planta un árbol cada 6,5 m. ¿Cuántos árboles habrá en todo el paseo? Belinda visita un museo con sus alumnos. Si paga 158,60 € por todas las entradas, ¿cuántos alumnos son en total? Entrada 13 € Entrada estudiante 10,40 € ■¡BIEN HECHO! Alfonso reparte castañas en paquetes de 0,3 kg. ¿Cuántos paquetes podrá formar con 1,5 kg de castañas? 1,5 : 0,3 —► 15 : 3 = 5 Una carretilla con latas de 3,2 kg de pintura pesa 67,15 kg. ¿Cuántos latas hay si la carretilla vacía pesa 12,75 kg? Podrá formar 5 paquetes. i« í ACTIVIDADES Resuelve problemas C alcu lar el valo r d e la unidad En el polideportivo se organiza una competición de tenis de mesa. Antes de comprar las pelotas, comparan distintos pre cios. ¿Qué formato es el más económico? 60 pelotas 27,60 € Com prende el enunciado Resuelve Copia las frases que son verdaderas en tu cuaderno. - En el envase mayor hay 10 pelotas más que en el menor. - Siempre tiene mejor precio el envase más grande. - Tiene mejor precio el envase en el que se paga menos por cada pelota. ¿Qué hay que averiguar para resolver este problema? Calculamos el precio de una pelota. 2,88 : 6 = 0,48 € 11,25 : 25 = 0,45 € 27,60 : 60 = 0,46 € Comparamos los tres precios: 0,45 < 0,46 < 0,48. La pelota más barata es la del envase de 25 unidades Solución Comprueba la solución El paquete de 25 pelotas es el más económico. Podemos utilizar la calculadora para comprobar si hemos realizado correctamente las operaciones. ✓ Practica También se comprarán refrescos. Se pueden comprar por uni dades, o en paquetes de 4, 6 ó 12 latas. ¿Qué envase es más económico? ¿Cuánto costarán 300 latas con la mejor oferta? 40 Una marca de leche vende los dos tipos de envases del dibujo. ¿Cuál es el envase más económico? ¿Cuánto se ahorrará Ricardo si compra 12 I con la mejor oferta? 1,5 I - ► 0,90 € 6 I - ► 3,48 € A prende a aprender Organiza la información Copia y completa en tu cuaderno. c I cociente decimal - U LA P/V/S/ÓN PE NÚMEROS PEC/MALES dividir un húmero decimal ^ ehtre uh húmero hatural / - d 5 D i ----------- 14 D U 2 d c 5 ,7 5 15 i divisiones ^equivalentes J dividir números decimales /*■ 2 :8 = ... : < I -------i 4 : 16 =0,25 X o{ V 8 : 32 = ... 0,63 : 0,7 C x 6,3 : 7 = 0,9 Repasa Inventa una frase con estas palabras. Calcula. VOCABULARIO aproximar: obtener un resultado cercano al exacto. 647: 100 103:10 49:1.000 0,3 : 0,001 0,27:0,1 12,6:0,01 Resuelve. estimar: valorar algo, (7,3 + 2,51) : 9 transformar: cambiar de forma. ¡T ___ ___ _ * 4,6 : 0,05 - 75 Divide hasta que el resto sea cero. * 34 : 16 3 :6 * ' 3,74 : (7 - 4,8) 59 : 5 ' Halla los cocientes y realiza la prueba para com probar los resultados. 5,04:7 28,6:13 2,809:46 Copia estas divisiones en tu cuaderno y rodea las que son equivalentes. Ramiro utiliza 2,25 kg de masa para hacer 3 biz cochos ¡guales. ¿Cuánta masa emplea para cada uno? ¿Cuánta utilizaría si tuviera el doble de ma sa para hacer el doble de bizcochos? 50 ¿Cuánto cuesta cada yogur? 1,60 | 5 :8 H 30: 42 H 4 S : 7 2 I I 1 5 : 2 4 j Divide. I6 04|l 10,5 : 0,021 JL 2,002 : 0,13 ... . € . Sofía y sus amigos fueron a patinar y pagaron 14,40 € en total. Si cada entrada costó 3,60 €, ¿cuántas personas fueron a patinar? ¿ fe ’ ---------------------------------------------0 5 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Recuerda lo anterior Calcula. 60 Realiza estas divisiones. 32.572 - (57.239 - 41.512) 15:25 2:16 3 : 12 80 : 25 21 : 6 18 : 8 (95.602 + 173.015) - 220.893 Ordena los cocientes de menor a mayor. Resuelve estas multiplicaciones y nombra sus tér minos. 72.347 63 X 623.205 X 181,95:15 §- 301,76:23 667,59 : 51 §■• 86,03 : 7 ra 702 54 Copia y coloca paréntesis donde sea necesario para que se cumplan estas igualdades. 6 + 32 : 2 = 19 13 + 18 : 2 - 7 = 15 2 4 - 3 x 8 - 4 = 12 En un centro de salud recibieron 1.432 cajas con 25 vacunas cada una, para prevenir la gripe. ¿Cuántas vacunas recibieron en total? Para repoblar un monte se tienen 384 encinas y 221 alcornoques. Si se plantan 55 árboles al día, ¿cuántos días se tardará en plantarlos todos? Calcúlalo con una sola expresión. Descompon estos números decimales en sus órdenes de unidades. 517,32 6,247 15,089 0,04 56 Copia y escribe una cifra, en cada caso, para que se cumplan estas expresiones. 36, 154 < 36,245 9,273 > 9 , 2 1 3 37,28 < 37,2 0,12 > 0,1 2 ¿Cuánto paga Rubén por 7 bolígrafos y 3 cua dernos? Si no tiene ninguna moneda, ¿cuántos euros tiene que dar como mínimo? 3,20 € Redondea a la décima y a la unidad. 27,09 6,33 0,99 92,75 50,49 0,72 € 3,82 Paola corta 3 m de cordón en trozos de 0,1 m. ¿Cuántos trozos obtiene? Resuelve. 43,34 - 7,209 + 24,37 Si Julián pagó 7,80 € , ¿cuántas horas estuvo estacionado el coche en el aparcamiento? 78,5 - (12,376 + 55,019) Coloca y calcula. 48,16 X 7,3 1,51 X 0,37 primera hora —► 2,40 € 691,12 X 2,2 75,434 X 8,05 siguientes —► 1,80 € Pon a prueba tus competencias O ARCILLA Y PLASTILINA Jorge va a clases de manualidades. La próxima semana realizarán un trabajo con arcilla y con plastilina. Esta vez, él es el encargado de comprar el material. Cada alumno necesita 1,4 kg de arcilla y 0,7 kg de plastilina. O O Comprende Si son 6 alumnos en clase, ¿cuántos kilos de arcilla se necesitan en total? ¿Y de plastilina? o Relaciona Tanto la arcilla como la plastilina se compran al peso. Observa lo que cuesta un kilo de arcilla y uno de plastilina, y calcula cuánto dinero costará todo el material. O ¿Cuánto dinero debe pagar cada alumno? ¿Cuánto dinero tiene que recibir Jorge? Razona 4 . Piensa en otra forma de calcular la cantidad de dinero que debe pagar cada persona. r Autoevaluación de la unidad 3