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Álgebra y Geometría Analítica
Vectores
Introducción al uso del Mathematica
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V ECTORES
Como ingresar vectores
Mathematica trabaja con listas ordenadas o simplemente lista. Si bien el concepto de lista es
más general, para nuestro trabajo, igualaremos las listas de longitud fija a los vectores. Las
listas se indican por valores encerrados entre llaves y separados por comas, que es el
equivalente a la notación de vector que encierra las componentes entre paréntesis y las
separa con comas o punto y coma.Para ingresar un vector procedemos así:
{4,-9,8,3/2}
3
{4, -9, 8, -}
2
{a^2,4c}
2
{a , 4 c}
Para declarar un vector como constante hacemos:
a={1/2,Sqrt[2]}
1
{-, Sqrt[2]}
2
También se puede ingresar un vector dando una cierta ley de conformación, usando el
comando
Table,
por ejemplo:
Table[i a,{i,0,3}]
{0, a, 2 a, 3 a}
En este caso indicamos que se genere una lista cuyas componentes serán las que se obtengan
al multiplicar las componentes del vector a por i, donde i toma los valores 0, 1, 2 y 3.Table[(2i+1)a,{i,0,3}]
{a, 3 a, 5 a, 7 a}
En el segundo caso se obtiene una lista en la que se habrán de multiplicar las componentes
de a por 2i+1 con i variando entre 0 y 3.Table[3^i-5i,{i,-1,8}]
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{--, 1, -2, -1, 12, 61, 218, 699, 2152, 6521}
3
Y finalmente en el tercero, el vector será el que tiene por componentes los valores que se
obtengan al resolver 3i - 5i haciendo variar i entre -1 y 8.Este comando es útil cuando se quieren generar listas a partir de funciones. Por ejemplo para
obtener un vector cuyas componentes sean los 6 primeros valores de factorial de n se pondrá
Table[n!,{n,6}]
{1, 2, 6, 24, 120, 720}
En este caso podemos no poner el 1 en la expresión ya que es el "default" como valor
inicial.Table[n!,{n,3,6}]
{6, 24, 120, 720}
Nos muestra un vector cuyas componentes son los valores de la función n! variando entre 3
y 6.Si se pretende hacer una tabla de valores de f(x) = cos x entre 0° y 90°, en incrementos de
30°
Table[{x, Cos[x]},{x,0 Degree,90 Degree,30 Degree}]//N
{{0, 1.}, {0.523599, 0.866025}, {1.0472, 0.5},
{1.5708, 6.12574 10
-17
}}
Table[{x, Cos[x]},{x,0,Pi/2,30 Degree}]//N
{{0, 1.}, {0.523599, 0.866025}, {1.0472, 0.5},
{1.5708, 6.12574 10
-17
}}
Table[{x, Cos[x]},{x,0,Pi/2,30 Degree}]//N// TableForm
0
1.
0.523599
0.866025
1.0472
0.5
1.5708
-17
6.12574 10
Salida que nos muestra el mismo resultado anterior en forma de tabla por el uso del comando
//TableForm
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Otro comando que podemos emplear es
Range
Si queremos construir un vector cuya primera componente sea 18, la última 42 y la
diferencia entre cada una sea 4, procedemos así:
Range[18,42,3]
{18, 22, 26, 30, 34, 38, 42}
El comando Array construye vectores simbólicos y lo empleamos de la siguiente forma:
Array[c,5]
{c[1], c[2], c[3], c[4], c[5]}
La misma salida la obtenemos empleando el comando anterior Table
Table[c[i], {i,1,5}]
{c[1], c[2], c[3], c[4], c[5]}
Para obtener la dimensión de un vector empleamos los comandos
Length
y
Dimensions
Ejemplos:
Length[a]
2
Dimensions[a]
{2}
Para introducir un vector columna procedemos así:
ColumnForm[{2,-6,8,0}]
2
-6
8
0
O también:
p={2,9,-10};
p//ColumnForm
2
9
-10
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Es posible preguntar si un elemento pertenece al vector
MemberQ[p, 9]
True
MemberQ[p, 5]
False
Para tener acceso a las distintas componentes de un vector usamos [[ ]], por ejemplo la
primera componente de p es
p[[1]]
2
Para encontrar la posición de un determinado elemento
Position[p, -10]
{{3}}
Ejercicios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Propone un vector de dos componentes.Ingresa un vector de dimensión tres.Carga un vector de dimensión mayor que dos tal que la suma de sus componentes sea
nula.Considera el vector (-1,3,-4).q Calcula los cosenos directores.
q Halla su versor asociado.
q Calcula su módulo.
q Determina el ángulo que forma con el vector (2,-7,-3).Antes de pasar al trabajo siguiente practica cargando vectores fila y columna de
distintas dimensiones según las técnicas vistas.Verifica la dimensión de los vectores que has cargado.Practica los distintos comandos visto en esta sección.-
Manipulando listas y conjuntos
En lo que sigue veremos algunos comandos que nos permiten modificar listas.v1={a,b,c,d}; v2={1,2,3,4};
v3=Join[v1,v2]
{a, b, c, d, 1, 2, 3, 4}
Append[v1,e]
{a, b, c, d, e}
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Prepend[v2,5]
{5, 1, 2, 3, 4}
v3[[6]]=f;v3
{a, b, c, d, 1, f, 3, 4}
Insert[v3,m,4]
{a, b, c, m, d, 1, f, 3, 4}
Drop[v3,3]
{d, 1, f, 3, 4}
Drop[v3,-4]
{a, b, c, d}
Drop[v3,{3,5}]
{a, b, f, 3, 4}
Take[v3,5]
{a, b, c, d, 1}
First[v3]
a
Rest[v3]
{b, c, d, 1, f, 3, 4}
Es importante no confundir una lista con un conjunto, pero nos podemos valer de ellas para
realizar las operaciones unión, intersección y complemento de un conjunto con respecto a
otro.a1={x,y,z}; a2={u,v,w,x,y}; Union[a1,a2]
{u, v, w, x, y, z}
Aplica Join a estas listas y compara las salidas.Intersection[a1,a2]
{x, y}
Complement[a1,a2]
{z}
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Complement[a2,a1]
{u, v, w}
Ejercicios
1.
Da una interpretación de los resultados obtenidos al aplicar los comandos empleados
en esta sección.-
2.
Averigua que hacen los comandos Delete, Reverse, RotateLeft, RotateRight,
Permutatio ns y Partition, da ejemplos.-
Operaciones con vectores
Suma o adición:
La suma de vectores se denota con el operador " + ":
{6,2,5}+{5,-12,-6}
{11, -10, -1}
Si hemos declarado los vectores como constantes, será suficiente indicar la suma empleando
los nombres asignados a los mismos
b={4,2,7}; s={c,6,d}; b + s
{4 + c, 8, 7 + d}
Resta
Para restar dos vectores el operador es " - ".b - s
{4 - c, -4, 7 - d}
Multiplicación por escalar
Esta multiplicación se realiza empleando el operador " ∗ ":
4 * {2,c,f}
{8, 4 c, 4 f}
La salida es el múltiplo escalar del vector.Si pretendemos obtener una combinación lineal de dos vectores solo debemos indicarla
2*{m,n,t} + 3*{x,y,z}
{2 m + 3 x, 2 n + 3 y, 2 t + 3 z}
Vectores
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O también
2{m,n,t}+3{x,y,z}
{2 m + 3 x, 2 n + 3 y, 2 t + 3 z}
En donde hemos suprimido los *, signos de multiplicación.--
Operaciones componente por componente
En ocasiones es conveniente poder efectuar el producto de listas componente a componente
(Análisis Discreto de Fourier). Para efectuar esta multiplicación usamos el operador " ∗ ".
También suele emplearse otro tipo de operaciones con distintas aplicaciones, por ejemplo la
construcción de gráficos. Algunos ejemplos de éstas son:
c={2,-3,6};
d={-2,5,1};
c*d
c/d
c^d
{-4, -15, 6}
3
{-1, -(-), 6}
5
1
{-, -243, 6}
4
CUIDADO: ESTAS SON OPERACIONES ENTRE LISTAS NO EXISTEN COMO
OPERACIONES ENTRE VECTORES.Clear[a,b,c,d,p,s,v1,v2,v3,a1,a2]
Empleando este comando logramos "borrar" las asignaciones anteriores hechas a las
variables colocadas dentro del corchete.-
Vectores
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Ejercicios
Introduce tres vectores de dimensión seis y llámalos p, q, r, y dos escalares x e y.1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Estudia la validez de las siguientes propiedades analizando los ejemplos e indica el
nombre de cada una.q p+q=q+p
q p + (q + r) = (p + q) + r
r
r
q p + 0 = p, siendo 0 el vector nulo correspondiente.
r
q p + (-p) = -p + p = 0
q x ∗ (y ∗ p) = (x ∗ y) ∗ p = y ∗ (x ∗ p)
q
(x + y) ∗ p = x ∗ p + y ∗ p
q x ∗ (p + q) = x ∗ p + x ∗ q
q 1 ∗ p = p.Prueba las propiedades del punto anterior simbólicamente.Calcula el módulo de los vectores del punto 1).Ingresa v1 = (1,1), v2 = (1,3), v3 = (4,-2) y calcula:
a) 2v1 + 3v2 - 1/2v3 ,
b) sus módulos,
c) los versores asociados a cada uno de los vectores dados y al vector obtenido en a),
d) el módulo de los versores.Estudia la validez de las rpropiedades
que siguen analizando ejemplos:
r
q v = 0 si y solo sí v = 0 ( 0 vector nulo correspondiente),
q x.v = x v,
q |v + w| < |v| +|w|.Aplica la definición de dirección de un vector y calcula las direcciones de los
vectores del ejercicio 4).Propone varios vectores e indica el módulo y la dirección de cada uno.Propone ejercicios combinando las operaciones que has aprend ido.-
Multiplicación de vectores
Producto escalar
Para efectuar el producto escalar o interno usamos el operador " g ":
{2,3,4}.{-1,0,-3}
-14
Producto vectorial
Para evaluar el producto vectorial entre dos vectores debemos emplear el comando
"CrossProduct" que se encuentra definido en uno de los paquetes externos y cuya sintaxis es
la siguiente:
CrossProduct[{v , w}]
La salida correspondiente es el producto vectorial entre los vectores v y w.Vectores
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Para poder hacer uso de esta función es necesario primeramente cargar el paquete
"LinearAlgebra",
tarea que efectuamos de esta manera:
Needs["LinearAlgebra`CrossProduct`"]
Una vez cargado el paquete podemos efectuar el producto vectorial.Cross[{1,2,0},{-3,1,2}]
{4, -2, 7}
Observación: de la versión 3.0 en adelante, no se carga el paquete. Simplemente se ejecuta
el comando Cross.-
Producto mixto
Si nuestro propósito ahora es encontrar el producto mixto entre tres vectores sólo debemos
combinar los dos productos anteriores así:
Cross[{-2,3,1},{4,-2,3}].{5,1,-2}
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Doble producto vectorial
También podemos obtener el doble producto vectorial. Sólo debemos escribir de manera
conveniente el producto vectorial.Cross[{1,3,0},Cross[{-2,1,-1},{3,-2,1}]]
{3, -1, 2}
Cross[Cross[{1,3,0},{-2,1,-1}],{3,-2,1}]
{15, 24, 3}
Ejercicios
1.
2.
3.
4.
Propone ejercicios de aplicación del producto escalar.Halla el ángulo que forman los vectores que has introducido.Introduce dos vectores de ¡ 2 y halla:
q su producto escalar,
q el ángulo que forma cada uno de ellos con el eje X, ¿cómo se llama ese ángulo?
q el ángulo que determinan,
q un vector de módulo 3 colineal con uno de ellos,
q la proyección de cada uno de ellos sobre el otro.Introduce dos vectores de ¡3 y halla:
q su producto vectorial,
q el versor asociado al producto vectorial,
q un vector de módulo 8 perpendicular a ambos,
Vectores
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la proyección de cada uno de ellos sobre los ejes coordenados,
el área del paralelogramo que los tiene como lados adyacentes.Introduce tres vectores de ¡3 y halla:
q el ángulo que determina cada uno de ellos con los ejes coordenados, ¿cómo se
llaman estos ángulos?
q el ángulo que determinan tomándolos dos a dos,
q el volumen del paralelepípedo que los tiene como aristas.Dados a = (1,3,0), b = (-2,1,-1) y c = (-4,2,-1) calcula:
q su producto mixto,
q a ∧ (b ∧ c) y (a ∧ b) ∧ c,
q el volumen del tetraedro del que los vectores son aristas.Introduce tres vectores m, n y p de tres componentes y dos escalares x e y arbitrarios.
Prueba simbólicamente la posible validez de las siguientes propiedades:
q m. n = n . m
q m . (n + p) = m . n + m . p
r
r
q m . 0 = 0 ( 0 : vector nulo correspondiente)
2
q m . m = |m|
q (x ∗ m) .n = x ∗ (m . n) = m . (x ∗ n)
r r
r
q m ∧ 0 = 0 ∧ m= 0
q m ∧ n = - (n ∧ m)
q (x ∗ m) ∧ n = x ∗ (m ∧ n) = m ∧ (x ∗ n)
q m ∧ (n + p) = (m ∧ n) + (m ∧ p)
q (m ∧ n) .p = m . (n ∧ p)
q m . (m ∧ n) = n . (m ∧ n) = 0. Justifica.q m ∧ (n ∧ p) = (m . p) .n - (m . n) .p.Verifica las propiedades el punto anterior por medio de ejemplos.Toma tu guía de ejercicios con vectores y verifica los resultados que has obtenido al
resolverla empleando papel y lápiz. Suerte.q
q
5.
6.
7.
8.
9.
Vectores
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C OMO GRAFICAR UN VECTO R
Para graficar un vector tenemos que cargar el siguiente paquete
<<Graphics`Arrow`
Show[Graphics[{Arrow[{0,0},{2,1}]}],Axes->True];
Show[{Graphics[{Arrow[{0,0},{2,1}]}],
Graphics[{Arrow[{0,0},{2,3}]}]},Axes->True];
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