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ISFD Nº 19
FISICA
Trabajo y Energía
A - Conceptos claves y fórmulas utilizados en esta unidad:
Trabajo (W) de una Fuerza constante que se desplaza desde A hasta B en una cierta
distancia d.
F
Lo indicamos así:

WF = F.d.cos .
A
B
A
o
d
B
W es una magnitud escalar:
F y d son los módulos de la fuerza y el desplazamiento respectivamente; y  es el
ángulo comprendido entre ambos vectores.
Unidades: CGS
 dina.cm = ergio
MKS
 N.m = joule (J)
Técnico:  kgr.m
Veamos algunas situaciones particulares que se presentan según las direcciones y
sentidos relativos entre el desplazamiento y la Fuerza:
Si el desplazamiento es en la misma dirección y sentido que la Fuerza:
W = + F.d
(1)
Si el desplazamiento es en la misma dirección pero con sentido opuesto a F:
W = – F.d
(2)
Si el desplazamiento y la fuerza tienen direcciones perpendiculares entre sí:
W= 0
(3)
En general, el trabajo de las fuerzas al desplazarse de un punto a otro, depende de la
trayectoria seguida.
Hay algunas fuerzas especiales, cuyo trabajo tiene características particulares

Fuerzas de rozamiento: Pertenecen al caso (2). El trabajo es siempre negativo.

Fuerzas de guía o de vínculo (como la normal que ejerce el plano o la fuerza
centrípeta durante un movimiento circular): Pertenecen al tipo (3). No realizan
trabajo.

Fuerzas conservativas: Su trabajo es independiente de la trayectoria seguida. Sólo
depende de las posiciones inicial y final. Es el caso de la fuerza peso y de las
fuerzas elásticas (resortes ).
WPeso =  P.h =  m.g.h
siendo h el desnivel entre los puntos de partida y llegada. Si el peso asciende, su
trabajo es negativo; si desciende, es positivo.
Energía de una partícula: Puede pensarse en la energía como en algo que se puede
-1
convertir en trabajo. Cuando decimos que un objeto tiene energía, eso significa que es
capaz de ejercer una fuerza sobre otro objeto para realizar un trabajo sobre él. Por el
contrario, si realizamos un trabajo sobre algún objeto le hemos proporcionado a éste
una cantidad de energía igual al trabajo realizado.
Las unidades de energía son las mismas que las del trabajo.
Según cómo ha obtenido esa partícula (o cuerpo) esa capacidad, se tiene:
a) Energía Cinética (EC): Energía que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento. La
expresión para su calculo es:
EC = ½ m.v2 .
siendo:
m = masa de la partícula
v = velocidad de la partícula.
a) Energía Potencial (EP): Es energía que se considera “acumulada” por la partícula
como consecuencia de que sobre ella ha actuado una determinada fuerza
conservativa (FC).
Se la define en un determinado punto (A) con referencia a un cierto origen (O) donde
se considera que allí la EP = 0 con la siguiente expresión matemática:
(EPFC)A = - WFC
OA
En el caso particular del peso: Cuando una partícula ha sido elevada - p.ej.- desde el
piso, donde decimos que no tiene EP, hasta un punto B que se encuentra por
encima del piso en una cierta altura h, el peso ha realizado un cierto trabajo
(negativo!). La partícula, ahora posee, respecto del piso, una EP que es,
siguiendo la definición:
(EPPESO) B = - ( - m.g.h) = + m.g.h
Como el trabajo del peso al ascender fue negativo, la EP acumulada resultó positiva.
Esta energía es la que le permitirá a la partícula, si es liberada precisamente a la
acción gravitatoria, comenzar a caer aceleradamente. Y precisamente al caer, la
fuerza peso irá realizando trabajo y la partícula adquirirá velocidad creciente, es decir
energía cinética, la que irá en aumento.
Por el contrario, cuando la partícula “baja” de nivel, el trabajo del peso resulta positivo,
y por lo tanto, la energía potencial de la partícula disminuye.
a) Energía Mecánica (EM): Es simplemente, la suma de su EC y su EP.
EM = EC + EP
Teorema del Trabajo y la Energía: (TTyE):
Sabemos que cuando sobre una partícula de masa m actúa una fuerza F,ésta produce
una aceleración (a), lo que equivale a decir que ha variado su velocidad, digamos de
v1 a v2. Por lo tanto, ha variado su EC, de ½.m.v12 a ½.m.v22. Precisamente, este
Teorema se enuncia así:
“El trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de la
“energía cinética experimentada por la partícula”
WF = EC2 - EC1 = EC
12
-2
Si en lugar de una sola fuerza, fueran varias (lo que admite una resultante R), el
teorema sigue siendo válido con esta forma:
“La suma de los trabajos realizados por todas las fuerzas
“(o sea el trabajo de la resultante) es igual a la variación de la
“energía cinética experimentada por la partícula”
WFi = WR = EC = EC2 - EC1
.
12
12
Una situación especial se produce cuando las fuerzas que intervienen son todas
conservativas. En tal caso, el Teorema toma una nueva forma, muy simple:
“Bajo la acción exclusiva de fuerzas conservativas, la energía
“mecánica de la partícula es constante”
Si sólo actúan F.Conservativas:
EM = EC + EP = cte .
A modo de resumen
-3
B - Ejercicios Desarrollados
1.- Primer Ejercicio Desarrollado de Trabajo y Energía
Enunciado:
Una fuerza F de 20 N, que forma un ángulo de 60º con la horizontal se aplica sobre un
bloque de 4 kg, desplazándolo linealmente sobre una superficie, precisamente
horizontal, desde un punto B hasta otro C, distante 12 m.
a) ¿Qué trabajo efectúa la fuerza F?
b) ¿Si el cuerpo está inicialmente en reposo, que energía cinética adquiere dicho
cuerpo al llegar al punto C, si no hay fuerza de roce?
c) Si existe una fuerza de rozamiento entre piso y bloque, con μ = 0,20, ¿Cuál es
la energía cinética al llegar al punto C?
d) ¿En el caso anterior cual es la velocidad final del cuerpo al llegar al punto C?
Consideraciones referidas a conceptos claves para resolver este ejercicio:
El trabajo que efectúa una fuerza a lo largo de un cierto desplazamiento, podemos
definirlo como el producto de la componente de la fuerza en la dirección del
movimiento por la distancia que se desplaza. Esta es una simplificación del concepto
estricto de trabajo que nos va a ser de utilidad.
Por otra parte, la energía cinética de un cuerpo se define como la mitad del producto
de su masa por su rapidez (módulo de la velocidad) al cuadrado. En fórmulas
tenemos:
-4
W = F. d
----------------
EC = ½ .m. v2 .
En el sistema MKS, consideramos como unidad de trabajo el correspondiente a una
fuerza de 1N que se desplaza 1m y la llamamos joule y lo simbolizamos con J..
Eje y
Por último digamos que el teorema Trabajo–Energía
establece que “el trabajo realizado por la fuerza resultante
que actúa sobre una partícula en la dirección del
movimiento, es igual a la variación (aumento o diferencia)
de energía cinética que experimenta la partícula entre los
instantes inicial y final correspondientes a ese desplazamiento.
Matemáticamente lo expresamos:
Fy
F
N
Fx
Fr
Eje x
P
W =  EC = ECfinal – EC inicial
Veamos el diagrama de cuerpo aislado.(DCA) ubicado al pie de la página anterior.
Las fuerzas no están en escala. Se visualiza la fuerza de rozamiento (Fr)que
corresponde a los incisos c) y d).
Sobre el semi-eje Y positivo se encuentran N y Fy.
Considerado los ejes y signos del modo habitual: positivos a la derecha y hacia arriba.
a) Tenemos que considerar la componente Fx de la fuerza, entonces:
W = Fx . d = F. cos 60º . d = 20 N . 0,5 . 12 m = 120 J
b) Esta parte del problema puede resolverse mediante dos enfoques distintos: el
primero que usaremos (b1) será empleando los conceptos ya estudiados en dinámica y
en cinemática que nos permiten hallar la velocidad final al llegar al punto C, para luego
con ese dato y la masa, hallar la energía cinética. Este será el camino largo, en el otro
(b2) usaremos conceptos de trabajo y energía.
b1) Para obtener la energía cinética mediante su propia definición, necesitamos
hallar la velocidad final (en el punto C).
En este primer enfoque, se requiere hallar la aceleración del móvil, para lo cual
usamos el segundo principio de Newton : F = m.a, y considerando que la fuerza
efectiva se ejerce sobre el plano (componente Fx), tendremos:
Fx = m. a
a = Fx / m = 20 N . cos 60º / 4kg = 2,5 m/s2
Ahora consideremos las ecuaciones horarias de un móvil MRUV,
1) v = v0 + a.t
2) x = x0 + v0.t + ½ .a.t2
donde x0 = 0
y
v0 = 0
En nuestro caso no conocemos x, pero sí el desplazamiento (x-x0) que es de
12 m; ya hemos hallado la aceleración usando el segundo principio; pero
desconocemos el tiempo que tardó en recorrer ese desplazamiento y la
velocidad adquirida al final del mismo. Pero como tenemos dos ecuaciones con
dos incógnitas, el problema matemático puede ser resuelto:
Despejando t en 1)
y reemplazando en 2)
despejando v2:
t=v/a
x = ½ .a . t2 = ½ . a . (v/a)2 = ½ .a.v2 /a2 = ½ .v2 /a
v2 = 2.a.x
resolviendo numéricamente, obtenemos dos valores : v1 y v2
v1 = + 7, 7456 m/s
-5
y
v2 = -7,7456 m/s
Dado que comenzamos a tomar el tiempo en el instante en que el móvil estaba
en reposo en el punto B, descartamos la segunda respuesta. Aplicamos
entonces la primera opción a la definición de energía cinética y así obtenemos:
EC = ½. 4 kg . (7, 7456 m/s)2 = 120 J
Notamos que el resultado es el mismo hallado para el trabajo de la fuerza F.
b2) Ahora usaremos el teorema de trabajo - energía que nos dice: el trabajo de
la fuerza resultante en la dirección del desplazamiento es igual a la variación
de energía cinética del cuerpo.
Cómo la fuerza resultante en la dirección del movimiento es solamente Fx
(recordar que en este inciso no hay fuerza de rozamiento), por lo ya visto en a):
W = 120 j
Y como además el cuerpo estaba inicialmente en reposo (EC inicial = ECB = 0)
ECC – ECB = ECC – 0 = ECC
resulta:
ECC = 120 J
c) Este inciso podrá resolverse fácilmente usando el teorema trabajo - energía, (¿o
quieren volver a usar el camino complicado del inciso b1?), para lo cual necesitamos
hallar la fuerza resultante que actúa en la dirección del desplazamiento (es decir sobre
la horizontal), que en este caso será la resta entre Fx y la fuerza de roce Fr. No
obstante la única dificultad, donde vale la pena no equivocarse es en el cálculo de la
fuerza de roce.
Recordemos (repasar la GTP Nº4) que Fr = μ. N donde N es el módulo de la fuerza
normal (la que el piso ejerce sobre el cuerpo). Pero tengamos en cuenta que N, no
será igual (en intensidad!) al peso, como en otros casos en que el cuerpo está sobre
un plano horizontal y que también lo fuera la fuerza actuante F, ya que ahora la fuerza
F (oblicua) tendrá una componente sobre el eje Y, que tenderá a levantar el cuerpo
haciendo que éste apoye más “suavemente” sobre el piso. Como el cuerpo no se
eleva ni se entierra en el piso consideraremos que hay equilibrio en el sentido vertical,
es decir la suma de fuerzas verticales es cero.
Del DCA se deduce que:
En el Eje y:
Σ FY = N + Fy - P = Ry = 0
(volvemos a decirlo: puesto que hay equilibrio en el sentido vertical, ya que el cuerpo
no se acelera en esa dirección, sino que lo hace solamente en la horizontal)
N = P – Fy = 4kg.10 m/s2 – 20 N. sen 60º = 40 N – 17,32 N = 22, 68 N
(no confundir N como fuerza con N de newtons)
Ahora calculamos la fuerza de roce
Fr = μ. N = 0,20 . 22,68 N = 4,536 N
En la dirección horizontal: Σ FX = Fx – Fr = Rx
W = FR.d = (F.cos 60º – Fr). d = 5,464 N . 12 m = 65,568 J
Aplicando el teorema trabajo – energía reesulta finalmente:
ECc = 65,568 J
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d) Sabiendo que EC = ½ m.v2 y conociendo la energía cinética que hallamos en el
inciso anterior, que es de = 65,568 J , podemos despejar v, lo cual nos dá:
v2 = 2 Ec/m = 2. 65,568 J / 4 kg = 32,784 J/kg (Ocupémonos ahora de las unidades)
v 2 = 32,784 N.m/kg = 32,784 kg.(m/s2). m/ kg, donde se simplifican los kg y se
multiplican los metros, obteniendo
v 2 = 32,784 m2/s2 , de donde v será la raíz cuadrada positiva de este valor (igual que
en el caso anterior descartaremos la negativa por las mismas razones).
v = 5,726 m/s
(observar que es menor que la velocidad final hallada en el inciso b 1, donde no había
rozamiento!).
Ejercicios Propuestos
1.- Beto empuja una caja hacia el Norte con una fuerza de 800 N, mientras Guille lo
hace hacia el Sur con otra fuerza de 130 kgr, logrando entre ambos que la caja se
desplace sobre el piso horizontal liso en una longitud de 6 metros. Se quiere saber:
a) Qué tipo de movimiento lleva la caja y con qué dirección y sentido lo hace.
b) Aplicando su definición, qué trabajo (W) ha realizado cada uno de los dos
hombres. Expresar las cantidades en los tres sistemas de unidades
conocidos.
2.- Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre un
bloque de 4 kg cuando es arrastrado (de izq. a der.) una distancia L = 5 m medida
sobre un plano que forma un ángulo  con la horizontal, mediante una fuerza F de
intensidad constante de 60 N que forma un ángulo , también referido a la horizontal,
en los siguientes casos:
a) Plano horizontal rugoso (=0,4) y  = 30º
b) Plano inclinado ( = 20º) liso y  = 150º
3.- Un avión cuyo peso es de 7,4 toneladas, vuela a razón de 850 km/h y a 3000 m
de altura. Calcular - aplicando su definición - la Energía Cinética (EC) que posee ese
avión:
a) Si el vuelo es horizontal a la altura indicada.
b) Si volara también horizontalmente pero a 1000 m .
c) Si volara de manera ascendente a 37º por sobre la horizontal.
4) Una fuerza de 80 N mueve un bloque de 5 kg hacia arriba por un plano
inclinado a 30 grados, respecto del eje X positivo. El coeficiente de roce es de
0,25 y la longitud del plano de 20 m. Calcular el trabajo realizado por cada una
de las fuerzas que actúan sobre el bloque. Calcular el trabajo que realizó la
fuerza resultante.
5) Un auto de 3000 kg se mueve a 60 km/h y una bala de 15 g lo hace a 400
m/seg. Comparar sus energías cinéticas.
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