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Curso de Competencias: Matemáticas
Tema 1: Números Naturales
Números naturales
El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos
conjunto (número cardinal).
los
elementos
de
un
Los números cardinales indican el número de elementos que tiene
un conjunto:
1
uno
11
once
10 diez
100
2
dos
12
doce
20
veinte
200 doscientos
3
tres
13
trece
30
treinta
300
trescientos
4
cuatro
14
catorce
40
cuarenta
400
cuatrocientos
5
cinco
15
quince
50
cincuenta
500
quinientos
6
seis
16
dieciséis
60
sesenta
600
seiscientos
7
siete
17
diecisiete
70
setenta
700
setecientos
8
ocho
18
dieciocho
80
ochenta
800
ochocientos
9
nueve
19
diecinueve
90
noventa
900
novecientos
1 000 mil
10 000 diez mil
100 000 cien mil
cien
1000 000 millón
1.000.000.000 millardo
1.000.000.000.000 billón
1.000.000.000.000.000.000
1.000.000.000.000.000.000.000.000
trillón
cuatrillón
O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento
en un conjunto (ordinal).
Los números ordinales indican la posición u orden que ocupa un
elemento en un conjunto:
1°
primero
11°
undécimo
10° décimo
100°
centésimo
2°
segundo
12°
duodécimo
20°
vigésimo
200°
ducentésimo
3°
tercero
13°
decimoter cer o
30°
trigésimo
300°
tricentésimo
4°
cuarto
14°
decimocuarto
40°
cuadragésimo
400°
cuadrigentésimo
5°
quinto
15°
decimoquinto
50°
quincuagésimo
500°
quingentésimo
6°
sexto
16°
decimosexto
60°
sexagésimo
600°
sexcentésimo
7°
séptimo
17°
decimoséptimo
70°
septuagésimo
700°
septingentésimo
8°
octavo
18°
decimoctavo
80°
octogésimo
800°
octingentésimo
9°
noveno
19°
decimonoveno
90°
nonagésimo
900°
noningentésimo
1
Zarela Losada
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Tema 1: Números Naturales
1000°
10000°
100000°
milésimo
diezmilésimo
cienmilésimo
1000000°
millonésimo
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite
comparar dos números naturales:
5 > 3;
5 es mayor que 3.
3 < 5;
3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural
le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
•
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en una recta
ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el
número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones,
situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2,
3...
1. Descomponer un número
Un número está determinado por el lugar que ocupan sus cifras:
-
-
Así en el número 4.305 tenemos que: el 5 ocupa el lugar de las
UNIDADES, el 0 el lugar de las DECENAS, el 3 de las
CENTENAS y el 4 el de las UNIDADES DE MILLAR.
En el número 27,106 tenemos que: el 7 ocupa el lugar de las
UNIDADES, el 2 ocupa el lugar de las DECENAS, el 1 ocupa el
lugar de las DÉCIMAS, el 0 el de las CENTÉSIMAS y el 6 el de
las MILÉSIMAS.
Partiendo de la unidad obtendremos los siguientes múltiplos y
submúltiplos que es necesario recordar:
1 DIEZMILLONÉSIMA= 0,00000001 unidades
1 MILLONÉSIMA= 0,000001 unidades
1 CIENMILÉSIMA= 0,00001unidades
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1 DIEZMILÉSIMA= 0,0001 unidades
1 MILÉSIMA= 0,001 unidades
1 CENTÉSIMA= 0,01 unidades
1 DÉCIMA= 0,1 unidades
1 UNIDAD= 1 unidad
1 DECENA= 10 unidades
1 CENTENA= 100 unidades
1 UNIDAD DE MILLAR= 1.000 unidades
1 DECENA DE MILLAR= 10.000 unidades
1 CENTENA DE MILLAR= 100.000 unidades
1 UNIDAD DE MILLÓN= 1.000.000 unidades
1 DECENA DE MILLÓN= 10.000.000 unidades
1 CENTENA DE MILLÓN= 100.000.000 unidades
2. Operaciones aritméticas
Es hallar un número mediante otros conocidos. Las operaciones
aritméticas fundamentales son: SUMA o ADICIÓN, RESTA o
SUSTRACIÓN, MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN.
2.1.
Suma o Adición
Consiste en reunir en un solo número las unidades de varios números
dados.
Los datos de la suma se llaman sumandos y el resultado suma o
total. El signo es una cruz (+) y se lee más.
Para sumar números enteros se colocan los sumandos uno debajo de
otro de modo que formen columna las unidades del mismo orden: se traza
una raya horizontal a partir del último sumando para separar el resultado y
se suman separadamente cada columna empezando por las unidades,
teniendo en cuenta que si alguna columna contiene decenas, se escriben
sólo las unidades y las decenas se añaden a la columna siguiente.
Ejemplo:
58.723
26.410
+ 9.352
247
86
________________
94.818
3
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1ª Columna: 3+0+2+7+6 = 18. Escribo el 8 y llevo una unidad a la
segunda columna.
2ª Columna: 1 de la primera columna +2+1+5+4+8= 21. Escribo 1 y llevo
2 a la tercera columna.
3ª Columna: 2 de la segunda columna + 7+4+3+2=18. Escribo el 8 y llevo
1 a la cuarta columna.
4ª Columna: 1 de la tercera columna+8+6+9=24. Escribo 4 y llevo 2 a la
quinta columna.
5ª Columna: 2 de la cuarta columna+5+2=9. Escribo el 9 y habré formado
el número 94.818 que es la suma o total.
En la suma de números enteros cuando los encontremos una serie
encadenada de sumas se procede igual que hemos visto anteriormente.
Ejemplo:
5 + 3 + 2 + 7 + 4= 21
La suma de número decimales se hace lo mismo que con números
enteros teniendo en cuenta que las unidades de cualquier orden, tanto en
los enteros como en los decimales, han de corresponderse unas debajo de
otras y que por tanto, las comas de separación deben estar en la misma
columna.
Ejemplo:
427,6538
33,204
8,12
+ 5,9
____________
474,8778
2.2.
Resta o Sustracc
Sustracción
Restar es la operación aritmética que consiste en quitar de un
número mayor, otro menor.
Los datos de la resta se llaman: minuendo el número mayor,
sustraendo el menor y el resultado, resto o diferencia. El signo es una
rayita horizontal (-) que se lee, menos.
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Para restar números enteros se escribe el minuendo y debajo el
sustraendo procurando que se correspondan las unidades del mismo orden
(unidades debajo de las unidades, decenas debajo de las decenas, centenas
debajo de las centenas, etc…), se traza una raya horizontal debajo del
sustrato para separar el resultado, se resta cada unidad del sustraendo de
la correspondiente al minuendo empezando por la derecha y se coloca el
resultado debajo de la raya de separación.
Si alguna cifra del sustraendo fuera mayor que la correspondiente del
minuendo, se agregan a ésta diez unidades de su orden y se resta. Al hacer
la resta de la siguiente se añade al sustraendo una unidad de su orden para
que el resto no varíe.
Ejemplo:
43.321
-
12.275
_________
31.046
1ª Columna: el 5 no puede restarse del 1, para poder efectuarlo añado diez
unidades de su orden al 1 y entonces resto: 10+1=11 menos 5=6 que
coloco debajo de la raya.
2ª Columna: para que el resto no varíe, tengo que añadir al sustraendo las
10 unidades que he sumado al minuendo, o lo que es igual una decena y
entonces tendré: 7+1=8 en el sustraendo y 2 en el minuendo. Como no
puedo restar 8 de 2, se produce de la misma forma que se indica en la 1ª
columna, restando 8 del 12, cuyo resto, 4, se coloca en el lugar debajo de
la raya de separación.
3ª Columna: siguiendo la misma técnica explicada, a la cifra 2 del
sustraendo se le agregan 10 decenas, o lo que es igual, 1 centena y
tendremos: 2+1= 3 que restada del 3 del minuendo, da como resultado 0.
4ª Columna: 3 en el minuendo menos 2 del sustraendo, resulta 1, que se
coloca en el lugar correspondiente.
5ª Columna: Igualmente restamos 1 del sustraendo de las 4 del minuendo,
resultando 3.
Para comprobar si el resultado de la resta es correcto, se suma, como
prueba, el sustraendo como el resto y tiene que dar el minuendo o bien se
resta del minuendo el resto y dará el sustraendo.
5
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2.3.
Tema 1: Números Naturales
Multiplicación
Multiplicar es hacer un número tantas veces mayor como indica otro.
Los términos de la multiplicación son: multiplicando, el número que
se repite y multiplicador, el número de veces que se ha de repetir. Los
términos, multiplicando y multiplicador, se llaman factores de la
multiplicación y el resultado se denomina producto.
El signo de la multiplicación es una cruz en forma de aspa (x) o un
punto (•) y se lee: multiplicado por.
Al multiplicar números enteros pueden darse los siguientes casos:
A. Multiplicar números por una sola cifra:
Se resuelve por medio de la tabla de multiplicar.
B. Multiplicar un número de varias cifras por otro de una:
Se coloca el multiplicando (el número de varias cifras), debajo el
multiplicador (el de una sola cifra) y se separa con una raya
6
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horizontal el resultado. Se va multiplicando el multiplicador, por cada
una de las cifras del multiplicando comenzando por las unidades,
escribiendo debajo las unidades de cada producto parcial y las
decenas que resulten se añaden al producto parcial siguiente. El
último producto se escribe íntegro.
Ejemplo:
5423
x 6
_____________
Sigamos cada uno de los pasos:
a) 6 x 3 = 18, pongo el 8 y sobra una decena que se agrega al
producto siguiente.
b) 6 x 2 = 12, más la decena sobrante de la multiplicación de la cifra
anterior da 13. Se pone el 3 y la decena sobrante se agregará al
producto siguiente.
c) 6 x 4 = 24, más la decena sobrante anterior, 25. Se pone el cinco
y sobran 2 decenas.
d) 6 x 5 = 30, más las 2 decenas sobrantes, 32, que como es el
último se escribe íntegro.
5423
x 6
_____________
32538
Resultado: 5426 x 6= 32.538
C. Multiplicar por la unidad seguida de ceros:
Para multiplicar un número entero, por otro formado por la unidad
seguida de ceros (10, 100, 1000, 10000, etc…) se añaden a la
derecha del número, tantos ceros como los que siguen a la unidad del
otro número.
Ejemplos:
25 x 10 = 250
310 x 100 = 31.000
1000 x 1045 = 1.045.000
Si la unidad seguida de ceros en lugar de multiplicarla por un número
entero la multiplicamos por un número decimal, se procederá desplazando
la coma a la derecha tantos lugares como ceros haya. Si detrás de la coma
no hubiera cifras suficientes para desplazar la coma al sitio correspondiente
se suplirá la deficiencia añadiendo los ceros necesarios.
Ejemplos:
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3,14 x 10= 31,4
25,3 x 100 = 2530
0,03 x 1000 = 30
D. Multiplicar dos números de varias cifras:
Se coloca el multiplicando debajo del multiplicador y se traza una
raya para separarlos de los productos parciales.
Se multiplica todo el multiplicando por cada una de las cifras del
multiplicador, colocando los productos unos debajo de otros y cuidando que
la primera cifra de cada producto parcial se escriba debajo de la del
multiplicador que la produce, se traza otra raya a continuación del último
producto parcial y se suman éstos para hallar el producto total.
Ejemplo:
3.427.256
x 325
_________________
17136280
6854512
10281768
__________________
1113858200
La razón de que al multiplicar no se coloque, aparentemente, cada
cifra en columna con las de su mismo orden, es la siguiente:
Si nos fijamos en el ejemplo, el multiplicador 325 se compone de: 5
unidades, 2 decenas y 3 centenas.
Por lo tanto, al multiplicar el 5, el 2 y el 3 obtenemos,
respectivamente, unidades, decenas y centenas: 17.136.280 unidades,
6.854.512 decenas y 10.281.768 centenas.
Para poder sumar estas cantidades y obtener el resultado final es
necesario que estén expresadas en el mismo rango. Por norma habitual se
expresa siempre en unidades; así tendremos: 17.136.280 unidades,
68.545.120 unidades y 1.028.176.800 unidades.
Estas conversiones vienen de multiplicar la cantidad de las decenas
por 10, ya que cada decena tiene 10 unidades, y la cantidad de las centenas
por 100; una centena es igual a 100unidades.
Las propiedades de la multiplicación son:
a) Cualquier número multiplicado por la unidad, es el mismo número.
b) El orden de los factores no altera el producto.
c) Si el multiplicador es mayor que la unidad, el producto es mayor que
el multiplicando.
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d) Si el multiplicador es menor que la unidad, el producto es menor que
el multiplicando.
e) Si uno de los factores es cero, el producto es cero.
2.4.
División
Dividir es hallar las veces que un número contiene a otro, o bien,
dado el producto de dos factores y uno de ellos, hallar el otro.
Los términos de la división son: dividendo que es el producto dado,
divisor que es el factor conocido y cociente que es el resultado.
El signo de la división son los puntos (:) que se lee dividido por:
D:d=c
En la división se ha de cumplir que:
(Divisor x Cociente) + Resto = Dividendo
Si el dividendo contiene un número exacto de veces al divisor, la
división es exacta; si por el contrario no la contiene exactamente, se dice
que la división es inexacta y en este caso el exceso del dividendo sobre el
producto se llama resto.
De esta definición se deducen las siguientes propiedades:
a) Si el divisor es la unidad, el cociente es igual al dividendo.
b) Si el divisor es mayor que la unidad, el cociente es menor
dividendo.
c) Si el divisor es menor que la unidad, el cociente es mayor
dividendo.
d) Si el dividendo es igual al divisor, el cociente es la unidad.
e) Si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor
unidad.
f) Si el dividendo es menor que el divisor, el cociente es menor
unidad.
que el
que el
que la
que la
Al igual que en la multiplicación, en la división de números enteros
pueden presentarse varios casos:
A. Que el cociente y el divisor tengan una sola cifra y el divisor
varias:
Se resuelve mentalmente buscando un número que multiplicado por
el divisor, nos dé el dividendo que más se aproxime al dividendo por
defecto (sin sobrepasarlo).
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Ejemplo:
Tema 1: Números Naturales
48: 8 = 6
1÷1=1
2÷2=1
3÷3=1
4÷4=1
5÷5=1
6÷6=1
7÷7=1
8÷8=1
9÷9=1
2÷1=2
4÷2=2
6÷3=2
8÷4=2
10 ÷ 5 = 2
12 ÷ 6 = 2
14 ÷ 7 = 2
16 ÷ 8 = 2
3÷1=3
6÷2=3
9÷3=3
12 ÷ 4 = 3
15 ÷ 5 = 3
18 ÷ 6 = 3
21 ÷ 7 = 3
24 ÷ 8 = 3
4÷1=4
8÷2=4
12 ÷ 3 = 4
16 ÷ 4 = 4
20 ÷ 5 = 4
24 ÷ 6 = 4
28 ÷ 7 = 4
32 ÷ 8 = 4
5÷1=5
10 ÷ 2 =
5
12 ÷ 2 =
6
14 ÷ 2 =
7
16 ÷ 2 =
8
18 ÷ 2 =
9
15 ÷ 3 = 5
20 ÷ 4 = 5
25 ÷ 5 = 5
30 ÷ 6 = 5
35 ÷ 7 = 5
40 ÷ 8 = 5
18 ÷ 3 = 6
24 ÷ 4 = 6
30 ÷ 5 = 6
36 ÷ 6 = 6
42 ÷ 7 = 6
48 ÷ 8 = 6
21 ÷ 3 = 7
28 ÷ 4 = 7
35 ÷ 5 = 7
42 ÷ 6 = 7
49 ÷ 7 = 7
56 ÷ 8 = 7
24 ÷ 3 = 8
32 ÷ 4 = 8
40 ÷ 5 = 8
48 ÷ 6 = 8
56 ÷ 7 = 8
64 ÷ 8 = 8
27 ÷ 3 = 9
36 ÷ 4 = 9
45 ÷ 5 = 9
54 ÷ 6 = 9
63 ÷ 7 = 9
72 ÷ 8 = 9
18 ÷ 9 =
2
27 ÷ 9 =
3
36 ÷ 9 =
4
45 ÷ 9 =
5
54 ÷ 9 =
6
63 ÷ 9 =
7
72 ÷ 9 =
8
81 ÷ 9 =
9
6÷1=6
7÷1=7
8÷1=8
9÷1=9
B. Que el cociente entero, o sea, sin decimales, tenga una sola
cifra y el divisor varias:
Se resuelve buscando un número que multiplicado por el divisor nos
dé el dividendo y se procede como en el siguiente ejemplo:
795 : 132
Para efectuar esta división comienzo por dividir la primera cifra del
dividendo por la primera del divisor: 7 : 1 = 7
Al resultado lo multiplicamos por el divisor para luego restárselo al
dividendo: 132 x 7= 924
921 no se puede restar de 795, por lo que tendremos que buscar otra
cifra inferior para el cociente; vamos a probar con el 6: 132 x 6 =
792
Esta cifra sí se puede restar del dividendo. Así que colocamos el 6 en
el lugar correspondiente del cociente, y efectuamos la resta indicada,
cuyo resultado será el resto de la división: 795 – 792 = 003
Cumpliéndose que: 795 = (132 x 6) +3
C. Que el cociente entero tenga varias cifras:
Este caso se producirá siempre que el dividendo sea 10 veces mayor,
o más, que el divisor. Es decir, si añadiendo un cero a la derecha del
divisor, éste sigue siendo menor al dividendo.
Ejemplo:
10
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32806
52
Separamos tantas cifras del dividendo, a partir de la izquierda,
como cifras tiene el divisor. En este caso, el divisor tiene dos
cifras, así que separamos las dos primeras por la izquierda del
dividendo; 32.
Si estas dos cifras representan un número menor que el
divisor, tomaremos una cifra más del dividendo;
32 es menor que 52; entonces, tomamos 328.
Seguidamente, buscamos el mayor número que multiplicado
por 52, el divisor, se aproxime por defecto a 328.
Se divide la primer cifra, 3, entre la primera del divisor; 5.
No se puede dividir 3 entre 5, por lo que tomamos una cifra
más en el dividendo, 32.
32 : 5 = 6 (porque 5 x 6 = 30; que no excede de 32).
Y comprobamos si este 6 multiplicado por el divisor, 52, no
excede del valor del número que hemos separado del
dividendo, 328, para poder restarlos: 52 x 6 = 312.
312 es menor, luego, podemos restar y el 6 sirve como cifra
del cociente: 328 – 312 = 016
Hasta ahora la división está así:
32806
52
-312
6
016
Hasta ahora hemos tratado con una parte del dividendo, debemos
proseguir hasta haber agotado sus cifras.
En el siguiente paso a tomar consideramos el resto obtenido, 16, que
ha de ser menor que el divisor, y le añadiremos tantas cifras como precise
para ser mayor o igual al divisor, de las que aún no han sido tomadas del
dividendo, a partir de la izquierda. Si hay que añadir más de una cifra, al
cociente también habrá que añadirle ceros como cifras haya que añadir al
resto, hasta que éste, el resto, sea igual o mayor al divisor.
La cifra a añadir al resto es el 0, con lo que el resto queda: 160, que
es mayor que el divisor, 52.
Entonces, dividimos estos dos números como antes: 160 : 52
1 no se puede dividir entre 5; tomamos 16;
16 : 5 = 3 (porque 3 x 5= 15; sin sobrepasar al 16)
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Tomamos este 3; y lo multiplicamos por 52 para ver si el resultado se
puede restar de 160.
52 x 3 = 156
Sí se puede restar, así que nos vale el 3 y lo añadimos a la derecha
del número que teníamos en el cociente.
La división hasta ahora va así:
32806
-312
_____
0160
-156
_____
004
52
63
Seguimos avanzando y añadimos al resto, 4, la siguiente cifra, 6, del
dividendo que ya es la última.
46 es inferior a 52; y ya no tenemos más cifras para añadir al resto, luego
por añadir una cifra al resto y no poder dividir, añadiremos un cero al
cociente, y el 46 quedará como resto de la división.
En definitiva, la división ha quedado:
32806
-312
_____
0160
-156
_____
0046
52
630
La división estará bien efectuada si se comprueba que:
32806 = (52 x 630) + 46
Cuando se trata de dividir por la unidad seguida de ceros (10, 100,
1000,….) basta con separar con una coma (,) de la derecha del dividendo,
tantas cifras como ceros tenga el divisor. El número decimal resultante será
el cociente.
Ejemplo:
473.405 : 1000 = 473,405
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Si el dividendo es decimal, se corre la coma hacia la izquierda tantos
lugares como ceros tenga el divisor.
Ejemplo:
6904,73 : 100 = 69,0473
Boletín de Números Naturales
1. Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes
operaciones:
a) 327+…………=1208
b) ………..-4121=626
c) 321 x …………=32100
d) 28035:………….=623
2. Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes
operaciones:
a) 4 x (5+………)=36
b) ( 30 -……….):5+4=8
c) 18 x ………+ 4 x……..=56
d) 30 - ……….:8 =25
3. ¿Cuál de las siguientes sumas es correcta?
a) 35+27+29 = 91
b) 10+10+11 = 101
c) 5+4+7 = 17
4. ¿Cuál es la suma total de 2.223.529+110.99+1.300+439?
5. Tres amigos han juntado 40 € para comprar un regalo a otro amigo.
El primero puso 12 € y el segundo, 3 € más que el primero. ¿Cuánto
puso el tercero?
6. Isaac Newton nació en 1.642 y murió en 1.727. ¿Con que edad
murió?
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Tema 1: Números Naturales
7. En una granja había 630 animales entre gallinas, patos y pavos. El
número de gallinas era de 250 y el de patos, 75 unidades menor que
el de gallinas.
a) ¿Cuántos pavos había en la granja?
b) Si se vendieron 100 gallinas, 32 patos y 65 pavos. ¿Cuántos
animales de cada tipo quedan en la granja?. ¿Cuántos en total?
8. ¿Por qué número hay que multiplicar 18 para obtener 648?
9. Efectúa:
a) 6 x 5=
b) 24x 10=
c) 235 x 100=
d) 31.784 x 39=
e) 25.747 x 467=
10. Efectúa:
a) 18: 3=
b) 150 : 3=
c) 31.572 : 47=
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Zarela Losada