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SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL
ESTUDIOS GENERALES
MANUAL DE APRENDIZAJE
MATEMÁTICA – PARTE I
CÓDIGO: 89001295
PROFESIONAL TÉCNICO
MATEMÁTICA
UNIDADES
Unidad I
:
NÚMEROS NATURALES
Unidad II
:
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO Y MÁXIMO COMUN DIVISOR
Unidad III
:
NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES.
Unidad IV
:
FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN.
Unidad V
:
NÚMEROS DECIMALES
Unidad VI
:
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Unidad VII
:
TRIGONOMETRÍA BÁSICA
Unidad VIII
:
MEDIDAS DE LONGITUD
Unidad IX
:
MEDIDA DE TIEMPO
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
3
MATEMÁTICA
INDICE
Unidad I
: NÚMEROS NATURALES
1.1
Número Natural: Numeral
1.2
Lectura y escritura de números naturales
1.3
Operaciones en el conjunto de Números Naturales
1.3.1
Adición: - Sumas Notables
1.3.2
Sustracción: Propiedades
1.3.3
Multiplicación y potenciación
1.3.4
División: Elementos; Tipos de división entera; Algoritmo de la división;
Propiedades
1.3.5
Radicación
1.3.6
Operaciones combinadas.
1.4
Planteo de Ecuaciones.
 Ecuaciones de 1er grado.
 Ecuación de 2do grado
Unidad II
: MÍNIMO COMÚN MULTIPLO Y MÁXIMO COMUN DIVISOR
2.1
Divisibilidad – propiedades. – Criterios de Divisibilidad
2.2
Clasificación de los números enteros.
2.3
Procedimiento para determinar si un número es primo.
2.4
Número primo entre sí (PESÍ)
2.5
Descomposición de un número en sus factores primos.
2.6
Cantidad de divisores de un número.
2.7
MCD y MCM: Métodos para calcular el MCM y el MCD
 Propiedades
Unidad III
: NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES.
3.1
Fracción : Elementos
3.2
Clasificación de Fracciones
3.3
Conversión de Fracción impropia a numero mixto y de número mixto a fracción
impropia
3.4
MCD Y MCM de fracciones
3.5
Simplificación de fracciones. Propiedades.
3.6
Fracciones equivalentes
3.7
Homogenización de denominadores o numeradores, de fracciones.
3.8
Comparación de fracciones
Unidad IV
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
: FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN.
Adición y sustracción de Fracciones
Operaciones combinadas de adición y sustracción.
Multiplicación y Potenciación de Fracciones
División de Fracciones.
Radicación de fracciones.
Operaciones combinadas.
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4
MATEMÁTICA
Unidad V
: NÚMEROS DECIMALES
5.1
Numero decimal
5.2
Tablero posicional de cifras de un número decimal.
5.3
Lectura y escritura de números decimales
5.4
Propiedades de números decimales.
5.5
Comparación de números decimales
5.6
Clasificación de números decimales
5.7
Generatriz de un número decimal
5.8
Adición y sustracción de números decimales
5.9
Multiplicación y potenciación de números decimales
5.10
División de números decimales.
5.11
Radicación de números decimales
Unidad VI
: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
6.1
Potenciación
6.2
Signos de la Potenciación
6.2.1
Propiedades de la potenciación
6.3
Radicación
6.3.1
Signos de la Radicación
6.3.2
Propiedades de la Radicación
6.3.3
Definición: Radicales Homogéneos, y Radicales Semejantes.
6.3.4
Simplificación de radicales
6.3.5
Operaciones con radicales: Adición, Sustracción, Multiplicación y
División de radicales.
6.3.6
Racionalización
Unidad VII
: TRIGONOMETRÍA BÁSICA
7.1
Sistema de medidas angulares: sexagesimal, Centesimal, radial o Circular Equivalencias
7.2
Razones Trigonométricas.
7.3
Razones Trigonométricas de ángulos cuadrantales.
7.4
Resolución de triángulos rectángulos
7.5
Resolución de triángulos oblicuángulos – Ley de senos
7.6
Resolución de triángulos oblicuángulos – Ley de coseno
Unidad VIII : MEDIDAS DE LONGITUD
8.1
Sistema Métrico
8.1.1
Unidad fundamental (El metro)
8.1.2
Prefijos en el S.I.
8.1.3
Múltiplos y Submúltiplos del metro
8.1.4
Conversión de unidades.
8.2
Sistema Inglés
8.2.1
Pulgada
8.2.2
Equivalencias de pulgadas
8.2.3
Transformación de pulgadas a milímetros
8.2.4
Transformación de milímetros a pulgadas
Unidad IX
: MEDIDA DE TIEMPO
9.1
Medida de tiempo
 Unidad fundamental : el segundo
9.2
Múltiplos del segundo
9.3
Equivalencias de unidades de tiempo
9.4
Operaciones con medida de tiempo
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MATEMÁTICA
UNIDAD 01
NÚMEROS NATURALES
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MATEMÁTICA
Unidad I : NÚMEROS NATURALES
1.1 Número Natural
Definición.- Un número natural es
cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3...
que se pueden usar para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese
nombre porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar
objetos de la naturaleza.
Numeral.- Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,
..." son numerales arábicos, diferentes
de los numerales romanos "I, II, III, IV, V, ..." pero ambos representan los mismos
números.
Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11 es
el tres binario pero el once decimal.
1.2 Lectura y Escritura de Números Naturales
4º Período
3º Período
6º Clase
2º Período
E
N
T
E
R
O
S
8º Clase
4º Clase
1º Período
En la escritura de un número natural debemos tener en cuenta que la cifra forma
un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases, forman un
período.
2º Clase
7º Clase
5º Clase
3º Clase
1º Clase
24º Orden
23º Orden
22º Orden
21º Orden
20º Orden
19º Orden
18º Orden
17º Orden
16º Orden
15º Orden
14º Orden
13º Orden
12º Orden
11º Orden
10º Orden
9º Orden
8º Orden
7º Orden
6º Orden
5º Orden
4º Orden
3º Orden
2º Orden
1º Orden
Centenas de millar de trillón
Decenas de millar de trillón
Unidades de millar de trillón
Centenas de trillón
Decenas de trillón
Unidades de trillón
Centenas de millar de billón
Decenas de millar de billón
Unidades de millar de billón
Centenas de billón
Decenas de billón
Unidades de billón
Centenas de millar de millón
Decenas de millar de millón
Unidades de millar de millón
Centenas de millón
Decenas de millón
Unidades de millón
Centenas de millar
Decenas de millar
Unidades de millar
Centenas simples
Decenas simples
Unidades simples
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7
MATEMÁTICA
Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a partir
de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin usar ningún
otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:
79 142 031 789 358.
TRILLONES
BILLONES
MILLONES
UNIDADES
MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD
C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U
24º23º22º 21º 20º19º 18º17º 16º15º14º13º12º11º10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º
7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8
Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un millones,
setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho unidades.”
Aplicación 1 : Aún recordando, usted realizará los ejercicios siguientes :
Escriba como se lee cada número:
a) 4 121 ...............................................................................................
b) 20 305 ...............................................................................................
c) 2 000 000 ................................................................................................
d) 5 001 008 .................................................................................................
Aplicación 2: Lea y escriba con cifras cada número:
a) Tres mil cinco .....................................................................
b) Cien mil cuarenta y dos.....................................................
c) Un millón trescientos mil ..........................................................................
d) Dieciocho millones tres mil uno ..................................................................
e) Seis millones quince mil .............................................................................
f) Doscientos tres millones cuatro mil uno .....................................................
Aplicación 3:
Qué número esta formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM
a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014
Aplicación 4:
Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es:
a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763
Aplicación 5:
Cuantas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM
a) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560
Aplicación 6 :
Cuántas Decenas forman Dos Millares
a)20
b)200
c)2000
d)2
e)0,2
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MATEMÁTICA
Aplicación 7:
Como se puede escribir el producto de: 345x11
a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA
1 .3 Operaciones en el Conjunto de Números Naturales
1.3.1 Adición
Definición.- Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cual
se denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S.
Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de
números naturales (a ; b) su suma a + b.
Ejemplo 1 :
15
+
17
=
32
7
+
8
+
13
Ejemplo 2 :
Aplicación 1:
Si:
Sumandos
a + b + c = 15,
=
28
Suma
hallar:
abc + bca + cab
Rpta: 1665
Aplicación 2:
Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal
Rpta: 494550
Suma notables:
I)
Suma de los “n” primeros números naturales.
S = 1+2+3+4+ ....+n
Ejemplo :
S
n (n  1)
2
S
2525  1
 325
2
n = 25
1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25
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MATEMÁTICA
II) Suma de los “ n “ primeros impares
 n 1
S

 2 
S = 1 + 3 + 5 + …….... + n
Ejemplo :
2
n = 39
 39  1 
S
  400
 2 
2
1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39
III) Suma de los “n” primeros pares
S  n n  1
S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n
n = 10
Ejemplo :
S  1010  1  110
2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20
1.3.2 Sustracción
Definición.- Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la
cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D.
Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales (a ; b) su diferencia a - b.
DIFERENCIA ( D )
Ejemplo 1:
235
-
140
=
95
SUSTRAENDO ( S )
MINUENDO ( M )
Aplicación 1:
Si:
a4b - 3c5 = 418 ; Hallar:
a+b–c
Rpta: 6
Propiedades de la Sustracción :
1. Si sumamos o restamos un mismo número natural al MINUENDO y al
SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.
2. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO,
la DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
10
MATEMÁTICA
3. Sí sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO AL
SUSTRAENDO, la DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa
misma cantidad.
4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.
S
+
D
=
M
5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL
MINUENDO.
M
+
S
+
D
=
2M
Aplicación 1 :
La diferencia de dos números es 305, si al menor le quitamos 20 y al mayor le
aumentamos 85 ¿Cuál es la nueva diferencia?
Rpta: 410
Aplicación 2 :
La diferencia de dos números es 157, si al menor le aumentamos 48 y al mayor le
quitamos 31 ¿Cuál es la nueva diferencia?.
Rpta: 78
Aplicación 3 :
La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?
Rpta : 239
1.3.3 Multiplicación
Definición.- Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la
cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.
Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales (a ; b) su producto a.b.
Ejemplo 1 :
18
x
15
=
270
Multiplicando
Ejemplo 2 :
Multiplicador
Producto
7
multiplicando
multiplicador
productos
parciales
producto final
3
4
4
6
4
4
4
0
2
9
3
6
3
3
7
6
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x
734 x 6
734 x 4
4
11
MATEMÁTICA
Aplicación 1 :
El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al
multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de
cifras del multiplicador?
Rpta. 7
Aplicación 2 :
El producto de dos factores es 74495, si aumentamos en 23 unidades al
multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del
multiplicador?
Rpta. 11
Potenciación
Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por si mismo
varias veces.
an = a x a x a x .………a = P
Elementos de la
Potenciación Donde:
“n” veces a
a : es la base
n : es el exponente
P : es la potencia
perfecta de grado n.
Potencia de exponente cero:
a0 = 1 siempre que a ≠ 0
Nota:
00 = no esta definido
Ejercicio mental: resuelve las siguientes operaciones mentalmente.
= …..
34
= …..
112
= …..
162
= …..
23
33
= …..
54
3
= …..
2
5
53
= …..
24
= …..
4
= …..
172
= …..
2
= …..
18
2
= …..
(14+17)0 = …..
142
= …..
192
= …..
(2X3 – 6)0 = ….
152
= …..
202
= …..
= …..
= …..
122
13
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
12
MATEMÁTICA
1.3.4 División
Definición.- Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,
se denota
a
, al número natural c, si existe, tal que a = b.c.
b
Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de
a
.
b
números naturales (a ; b) su cociente
Elementos de una división:
Divida 104 entre 11
divisor (d)
Dividendo (D)
104
11
99
9
Cociente (q)
5
residuo (r)
Además:
104
=
11.(9)
+
5
Algoritmo de la división
Clases de división:
 Exacta ( residuo = 0 )
28
0
7
4
D
0
28 = 7.(4)
d
q
D = d.q

Inexacta ( residuo ≠ 0 )
Defecto :
75
residuo por defecto
9
75 = 11.(6) +

En donde :
9
+
r(defecto)
Exceso :
11
6
residuo por exceso
9
75
2
11
7
75 = 11.(7) -
2
=
+
r(exceso)
2
11
=
divisor
En general:
Exceso :
Defecto :
D
r
d
q
D = d.(q) +
D
r*
r
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d
q+1
D = d.(q + 1) -
r*
13
MATEMÁTICA
Propiedades de la división:
 Si : r = 0 , la división es exacta

Algoritmo de la división:

Residuo máximo :
r(máx)
=
(d - 1)

Residuo mínimo :
r(min)
=
1

r(defecto)

residuo < divisor

Si multiplicamos o dividimos el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un
D
= d. (q) +
r
+ r(exceso) = divisor
mismo número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA,
pero el RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número
natural.
D
r
d
q
D.k
r.k
d.k
q
Aplicación 1 :
El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800
unidades al dividendo y se repite la división, siendo el
cociente 50 más que el anterior y sin alterar el residuo ¿Cuál
es el divisor de la división?
Rpta: 16
Aplicación 2 :
El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo y
se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo
disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?
Rpta: 6
1.3.5 Radicación
Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que
dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número
llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así
tenemos:
n
K  R  Rn  K
TÉRMINOS
DE LA
RADICACIÓN
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
14
MATEMÁTICA
Resuelve los siguientes ejercicios:
64 
3
8
4
16 
1600 
81 
3
64 
4
81 
3
27000 
144 
3
125 
4
625 
4
810000 
169 
3
1000 
4
1012 
3
8  27 
1.3.6 OPERACIONES COMBINADAS

Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta
los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves , etc..)
Ejemplo:
8  3   3  3  
= 5  3  3   6
= 15  3   6
=
=

6
18  6
3
Si una operación combinada no tiene signos de
agrupación se resolverá en el siguiente orden :
o Primero:
La potenciación o radicación
o Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que
aparecen) “de izquierda a derecha”
o Tercero:
Adición o Sustracción.
Ejemplo:
32 : 8 + 6 x 5
4
+
34
30
=
=
=
Observe, con atención, las operaciones
indicadas
Fueron efectuados : la división ( 32 : 8 ) y la
multiplicación (6 x 5)
Finalmente, fue efectuada la suma ( 4 + 30 )
Resuelva la expresión:
45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =
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15
MATEMÁTICA
Su respuesta debe haber sido 231; sino , corrija lo que hizo. No se olvide
que cero veces cualquier numeral es cero.
7
= 7 + 3 x ( 40 – 36 )
– 23 =
=7 + 3 x
4
– 23 =
=7 +3 x
4
– 8 =
=7 +
=
=
Observe paréntesis
+ 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 =
12
19
Fue
efectuada
la
multiplicación
contenida en los paréntesis ( 9 x4)
También fue hecha la resta
(40 – 36)
Fue efectuada la potencia 23
Fue realizada la multiplicación
(3 x 4)
Se realizó la suma ( 7 + 12 )
Finalmente, fue hecha la resta
(19 – 8)
– 8 =
–
8
=
11
EJERCICOS
Resuelva las siguientes operaciones combinadas:
OPERACIÓN COMBINADA
( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =
6 x 8 + 13 - 9
RESPUESTA
=
250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 =
12 x 22 + 32 x 42 + 52
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=
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MATEMÁTICA
PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS
partes 
Longitud Total
Longitud unitaria
Ejemplo:
Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de 5
m se podrán obtener?
Nº de pedazos 
100 m
 20 pedazos de 5 m c/u
5m
Número de cortes
LÍNEA
ABIERTA
Nº cortes =
LÍNEA
CERRADA
Longitud total
1
Longitud unitaria
Nº cortes =
Longitud total
Longitud unitaria
Número de estacas
Nº estacas =
Longitud total
1
Longitud unitaria
Nº estacas =
Longitud total
Longitud unitaria
Ejemplo: (LINEA ABIERTA):
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud,
si cada árbol están separados 50 m?
Nº árboles
=
(estacas)
50 m
50 m
50 m
50 m
200
1
50
= 4 + 1
= 5 árboles
200 m
2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios
realizar para obtener trozos de 50 m?
CORTES
50 m
1º
50 m
2º
50 m
Nº cortes
3º
50 m
=
200
1
50
= 4 - 1
= 3 cortes
200 m
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
17
MATEMÁTICA
Ejemplo: (LINEA CERRADA):
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro
es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m?
Perímetro
= 200 m
(Longitud total)
50 m
50 m
Nº de árboles =
(estacas)
50 m
50 m
200
= 4 árboles
50
2.Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán
necesarios
realizar, para obtener trozos de 5 m?
2º
5m
5m
Nº de cortes =
3º
1º
5m
20
= 4 cortes
5
5m
cortes
4º
LÍNEA ABIERTA
Número de = Número
Cortes
de partes
1
Número de = Número
espacios
de puntos
1
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
-
18
MATEMÁTICA
PROBLEMAS:
1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde
cada corte pierde 1 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?
64
a) 193
b) 235
c) 195
2. Divida una barra de Hierro 10
d) 425
e) 194
1"
en 5 partes iguales perdiendo en cada
8
1
“¿Qué longitud tendrá cada parte?
32
a) 3”
b) 5”
c) 2”
d) 4”
corte
e) 1”
3. Divida una barra de bronce de 120m en trozos iguales de 35 cm.,
perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto
material sobra?
a) 342; 30cm
b) 142; 30cm
c) 342; 20cm
d) 352; 30cm
e) 12; 30cm
1"
en trozos iguales de 2”, se pierde en
8
”. ¿Cuántos cortes se obtiene?
4. Divida una barra de cobre 10
cada corte 1
32
a) 3
b) 5
1.4
c) 2
d) 4
e) 1
PLANTEO DE ECUACIONES
Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje
común a lenguaje matemático, por ello es que debemos
detenernos a reflexionar sobre algunos aspectos de
este lenguaje.
El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es
además, un lenguaje conciso, preciso, con reglas que
no sufren excepciones.
El lenguaje matemático esta conformado por diversos
símbolos. A través de la combinación de estos podemos representar diversidad
de situaciones SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; esto
quiere decir que no todo aquello que nos pasa diariamente puede ser
representado en forma matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda esta
alegre, no puede representarse de la manera mencionada; en cambio la
expresión: El dinero de Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana,
sí es susceptible de ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje
matemático es para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea
MEDIBLE y CUANTIFICABLE.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
19
MATEMÁTICA
Ejemplo :
¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18, y
dividir dicha suma entre 19 obtendremos 2 como resultado?
¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre
x
si al multiplicarlo por cuatro
4x
añadirle 18
4x + 18
4 x  18
19
4 x  18

19
4 x  18
2
19
y dividir dicha suma entre 19
obtendremos
2 como resultado?
Resolviendo la ecuación:
4 x  18
2
19
4 x  18  2.(19)
4 x  38  18
4 x  20
x5
TEORÍA ADICIONAL
Operaciones fundamentales con fracciones:
a. Conversión de un número mixto a Fracción:
E
N ED N

D
D
=
b. Suma de Fracciones:
x
p r t M  q  p  M  s r  M  u t
  
q s u
M  MCM q, s, u 
÷
c. Número natural.
Ejemplos : 2 y 5 son números naturales.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
20
MATEMÁTICA
Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o
partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las
operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.
Se completa con ceros la parte decimal
Ejemplo 1
Exponente +1
Parte variable
Signo +
+
2+1,000 x a0
El denominador es +1
+1
Ejemplo 2
+ 5+1,000 x b0
=2
La coma divide la parte entera de la parte decimal.
=5
+1
NOTA- Si nos damos cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas
estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que
representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo, a
la derecha de la coma redondee con CEROS y al último parte variable elevado a
la potencia CERO que equivale a uno.
En está época siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar
sumas, restas, multiplicar y/o dividir.
d. Reducción de fracción de fracciones :
a
b
c
d

Es importante esta teoría base para hacer
las 4 operaciones de fracciones.
( ,,, )
a  d
b  c
Ejemplos:
a.
3 3
4  4  3 1  1  1
6 6 4 6 4 2 8
1
c.
3
2  3  20  15  7 1  7,5
4
2 4
2
2
20
b.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
3
1
3 1 3 6 9
 
  4  4,5
4 4 1 4 2
2
6 6
21
MATEMÁTICA
Problemas que tengan relación Parte – Todo :
Qué Fracción
o
Qué Parte
Cantidad de partes iguales
que se han tomado.
f =
Cantidad de partes iguales
en que se han dividido a la unidad
Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras?
*¿Qué parte de 27 es 9?
9 / 27 <> 1 / 3
*¿Qué fracción de b es c?
c/b
*¿M representa que fracción de N?
M/N
*¿Q que fracción representa respecto de P?
Q/P
*¿Qué fracción es 24 respecto de 60?
24 / 60
*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”?
a / b
*¿Qué fracción de “b” respecto de “a”?
b / a
*¿Qué parte de representa 11 de 33?
11 / 32
<> 2 / 5
<> 1 / 3
ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA :
Enunciados
Forma verbal
Expresión Matemática
Forma Simbólica
1)
la suma de 2 números consecutivos más 3
x   x  1  3
2)
Yo tengo 20 más que tú
Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes
3)
A es el doble de B
A es 2 veces B
B es la mitad de A
A tiene una vez más de lo que posee B
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
Yo: 20 + x
Tu: x
A = 2B
A = 2K
B=K
B = K ; A = 2K
22
MATEMÁTICA
4)
5)
A es 2 veces más que B ó
A es 2 veces mayor que B
A = 3B A = 3X
B=X
A es a B como 3 es a 5 ó
La relación entre A y B es 3/5 ó
A 3

B 5
A = 3k
A y B están en la razón de 3 a 5 ó
B = 5k
A es a 3 como B es a 5
6)
El cuadrado de la suma de 2 números
x  y 2
7)
La suma de los cuadrados de 2 números
x2  y2
8)
El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20
Tengo : y
4 y  20
9)
El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20
Tengo : y
10) A excede a B en 4 ó
A es mayor que B en 4 ó
4 y  20 
A B  4
A x4
El exceso de A sobre B es 4
Bx
11) Tres menos 2 veces un número X
3  2x
12) Tres menos de 2 veces un número X
2x  3
13) El producto de 5 números consecutivos es m.
x x  1x  2x  4  m
ó
a  2a  1a a  1a  2  m
14) Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules.
R 3

A 4
R  3k
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;
A4k
23
MATEMÁTICA
1.4.1 ECUACIONES DE 1ER GRADO
Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se
verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas.
Propiedades de las ecuaciones:
1. Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuación una cantidad
constante, la ecuación que obtenemos es EQUIVALENTE a la primera.
2. Si multiplicamos o dividimos a los dos miembros de una ecuación por una
cantidad constante diferente de cero, la ecuación que obtenemos es
EQUIVALENTE a la primera.
Ejemplo :
Resolver la siguiente ecuación:
Solución :
2X + 3X + 20 = 140 – 1X
2X + 3X + 20 = 140 – 1X
2X + 3X + 1X = 140 – 20
6X = 120
X = 120 / 6
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X = 20
24
MATEMÁTICA
Ejemplos de aplicación:
Resuelva las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:
1. 4 x  1 
x 
2. 40 x  97
 120
4
x  63
3. 3 ( x  1 )  4 ( 2 x  1 )  5 ( x  5 )  2 ( x  3 )
4. 1 
5.
1
4
x
1

 x
2
2

2
5
x 
3
4

x
2
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
25
MATEMÁTICA
Problemas de Aplicación:
Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de
primer grado. Es importante que leas el problema 2 o 3 veces hasta que lo
comprendas, luego haz el planteamiento y lo resuelves.
¡¡Anímate y haz los problemas !!
1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para
seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno
habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó
S/. 13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?
El autobús tenía
asientos.
2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Halla esos números.
Los números son:
,
y
3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro
en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en
alcanzarle?
El tiempo que tardara es
horas y
minutos
Comprueba tus respuestas
1. El autobús tenía 39 asientos
2. Los números son 18, 20 y 22
3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos
SISTEMAS DE ECUACIONES
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar
un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del
sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que
reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema
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26
MATEMÁTICA
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Método de Sustitución :
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a
continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la
hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una
incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método
reiteradamente.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita
por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos,
obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita
en la otra
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
, y si ahora sustituimos esta
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado
,
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos
con lo que el sistema queda ya resuelto.
Método de Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método
de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,
si despejamos la incógnita
en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente
manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda,
por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
27
MATEMÁTICA
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el
valor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las
ecuaciones originales, obtener el valor de la , que además ya se encuentra
despejada.
Método de Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo
pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El
procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste
en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de
manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita
aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman
ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha
incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método
de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por
para poder cancelar
la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una
nueva ecuación donde la incógnita
ha sido reducida y que, en este caso, nos
da directamente el valor de la incógnita :
-4x - 6y
= -10
5x + 6y
=
x
4
+
= -6
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
en
cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así
es igual a 17 / 3.
que el valor de
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28
MATEMÁTICA
Ejercicios de Aplicación:
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres
métodos.
1)
3)
5)
7)
x  2 y
 15
x  2 y

a  14
 5
 5b
2 a  3 b  11
x  5  3 y
7 x  39  9 y
7 y
2 y
 x   2  x  1    25
 x   7  y  1    32
x  y  4
3 x  4 y 
2)
7 m  2 n  34  0
5 m  3 n  11  0
4)
( x  2 y )  (2 x  y )  8
6)
8)
68
x  1  y  2 x    1
3x  4 y   72 x  y   10,5
14 x  3 y  4
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
29
MATEMÁTICA
1.4.2 ECUACIONES DE 2DO GRADO
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma
. Donde no se anula a
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se
anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Número de soluciones:
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o
valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una
identidad.
, en función del signo del discriminante
Llamamos discriminante
conoceremos el número de soluciones de la ecuación, así:



Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
Si el discriminante es 0 hay una solución.
Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.
Ejemplo de Aplicación 1:
?
¿Cuantas raíces tiene la ecuación
a) Ninguna solución
b) Una solución: x =
c) Dos soluciones : x1 =
;
x2 =
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.
Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0 , despejando se llega:
Ejemplos:


Ejemplo de Aplicación 1:
La ecuación
a) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
b) Tiene una solución
x1 =
;
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
x =
x2 =
30
MATEMÁTICA
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0
Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.
Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0 ;
ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.
Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las
soluciones es x=0
Ejemplo:


Ejemplo de Aplicación 1:
Resuelve la ecuación
Soluciones x1=
x2=
Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos.
Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula
Ejemplo:
Ejemplo de Aplicación 1:
La ecuación
a) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
b) Tiene una solución
x1 =
;
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
x =
x2 =
31
MATEMÁTICA
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO
1. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m
y su área es 286m2.
El lado mayor mide
m y el menor
m
2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y
el hijo?
La edad del padre es
años y la del hijo
años
3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese
caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la
misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?
El deportista ha caminado
horas
4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y
el hijo?
La edad del padre es
años y la del hijo
años
5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber
comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos.
¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?
Compró
objetos a un precio de
euros
6. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m
y su área es 144m2.
El lado mayor mide
m y el menor
m
Comprueba tus respuestas:
1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m
2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años
3) Ha estado caminando 8 horas
4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años
5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros
6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m
Para terminar con la Unidad 1, usted hará algunos problemas para que su
raciocinio se torne más ágil. ¡Es un desafió!, se anima...
¡Vamos adelante!
1.
José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y
un par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía
S/ 1 000?.
Rpta. S/. 232
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
32
MATEMÁTICA
2.
Gaste S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún
tengo el doble de la cantidad que gasté ?
Rpta. S/. 579
3.
En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos
decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás?
Rpta. 5 cajas
4.
Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial
de S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el
valor de cada letra?
Rpta. S/. 540
5.
Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació?
Rpta. 1922
6.
En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el
triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo?
Rpta. 416
7.
Si una docena de cuadernos cuesta S/. 177. ¿Cuántos cuadernos podré
comprar con S/ 78?
Rpta. 8 cuadernos
8.
Di un cheque de S/. 200, para pagar 9 metro de alambre, recibí de
vuelto S/ 20. ¿Cuánto pagué por el metro de alambre?
Rpta. S/. 20
9.
María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los
75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones
recibió cada uno si aún sobran 15 bombones?
Rpta. 3 bombones
10. Con S/. 2 340 podré comprar 4 casacas o 9 camisas . ¿Cuál es la
diferencia de precio entre una casaca y una camisa ?
Rpta. S/. 325
11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los
pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia
la pérdida de corte).
Rpta. 172 mm
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Si reparto mis S/250 entre mis hijos, sólo me queda S/2; pero si
accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/ 126; ¿Cuántos
hijos tengo?
A) 10
B)1
C)6
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D)4
E)8
33
MATEMÁTICA
2) Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144
contiene a dicho número. Calcular el doble del número.
A) 96
B) 48
C) 24
D) 12
E) 192
3) Andrés sube hasta el 5to piso de un edificio, luego baja al 2do y vuelve
a subir al 4to piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12 peldaños
¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés?
A)60
B)90
C)72
D)84
E)108
4) Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar frente
a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la longitud del
túnel.
A)5 000 m
B)6 000 m
C)5 800 m
D)3 800 m
E)4 500m
5) En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo
que debía , costándole así cada articulo S/.2 más de lo normal.¿Cuántos
artículos compro?
A)10
B)8
C)12
D)16
E)20
6) Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar un
túnel de 500 m?
A)35 s
B)14 s
C)10 s
D)16 s
E)12 s
7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132 cabezas
y 420 patas.¿Cuántos animales hay de cada clase?
A)10y 25
B)54 y 78
C)98 y 34
D)13 y 22
E)200 y 32
8) Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar cada
uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el segundo
S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor ganado?
A)S/.11
B)S/13
C)S/.5
D)S/.12
E)S/.8
9) Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54
monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
34
MATEMÁTICA
intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones adquieran
el mismo peso.
A)14
B)15
C)16
D)17
E)18
10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene como
residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar como
respuesta la suma de cifras de dicho número.
A)9
B)10
C)8
D)7
E)6
SOLUCIÓN
1)
C/U : S/ .x
Sobrarían :
S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126
 4x  2  126  x  31
N º de hijos 
2)
250  2
8
31
Clave : E
Sea “ x” el numero , entonces :
x
144
2
 x 2  2 304
x
8
x  48
 El doble del número es : 2(48)  96
Clave : A
3) * Cuando asciende al 5to piso sube :
12 x 4 = 48 peldaños
* Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 4 = 36 peldaños
* Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños
* Finalmente , lo que ha subido en total será :
48 + 24 = 72 peldaños
4)
5)
2s
60s
Sea
a
 200
 x  200  600
 X  5 800 m
x
n : lo
Clave : C
Clave : C
que debía pagar
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35
MATEMÁTICA
Costo por
cada artículo
Nº de artículos
Luego a x n + 24 lo que pagó
a n  24
lo que costó cada artículo
n
an 24


 a  2  n  12
n
n

 Compro 12 artículos
Clave : C
6) túnel + tren = para que pase por el túnel
500 + 200 =700
t
700 m
 14 s
50 m
s
Clave : B
7) Nº de cabezas = 132
Suponiendo que los 132 son conejos  132 x4  528 patas
Se observa un exceso de patas de 108
 108  2  54 veces ,para convertir ese exceso en gallinas
Finalmente :
Número de gallinas : 54
Número de conejos : 132 – 54 = 78
8) 1er obrero = S/.143
2do obrero = S/. 88
Clave : B
 recibe S/.55 más que el 2do
Nº de días trabajados será : S/.55  S/.5 = 11
1er obrero
= S/.143  11 = S/.13
2do obrero = S/. 88
 11 = S/.8
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
Clave : E
36
MATEMÁTICA
9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g
Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g
 Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g
Al intercambiar el mismo número de monedas , cada montón
debe pesar :
2190  2 = 1095g
Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en :
25 – 10 = 15g
Luego , para qué aumente : 1095- 840 = 255g
Se debe intercambiar : 255  15 = 17 monedas
Clave : D
10) Sea N el número , entonces :
N
3q
83
q
 N  83q  3q  3q  83
N  86 q
 q  27,6
El mayor número N se obtiene para
" q "  27  N  86 x27
N = 2322
 Suma de cifras  2  3  2  2  9
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
Clave : A
37
MATEMÁTICA
1. Calcular :
116  32  10  5 x100  25  4 x8
A)2
B)3
C)4
D)8
Solución :
E)10
2. El producto de 2 factores es 29 016;si
se aumenta 112 unidades al
multiplicando, el producto total
aumenta en 13 888 unidades Hallar la
suma de cifras del multiplicador.
A)5
B)6
C)7
D)10
E)11
Solución :
3. Hallar la suma de las cifras del
producto abc x 27 .Si los productos
parciales suman 4 851.
A)18 B)20 C) 22 D) 23 E)24
Solución :
4. El cociente de dos números es 45,su Solución :
resta es 3 435 y el residuo de su
división es 3 ,Calcular la suma de
los dígitos de los dos números .
A) 20
B)23
C)25 D)27 E)29
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
38
MATEMÁTICA
5. Si la diferencia entre el dividendo y el
residuo de una división es 3
510.Calcular el divisor si el cociente
es 45.
A)45 B)65
C)68
D)47 E)78
Solución
6. La suma del dividendo y el divisor de
una división inexacta es 31 veces el
resto, y la diferencia de los mismos
es 21 veces dicho resto.¿Cuál es el
cociente de dicha división?
A)26
B)15 C)5 D)10 E)20
Solución
7. El cociente de una división inexacta
es 61 .Se suman 800 unidades al
dividendo y se repite la división ,
siendo el cociente 50 mas que el
anterior y sin alterarse el residuo
¿Cuál es el divisor de la división?
A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32
Solución
8. Un señor quiso dar limosna a un grupo Solución
de ancianos , si les daba S/.5 a cada
uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3
a cada uno , le sobraría S/.70.¿Con
cuánto de dinero contaba esa
persona?
A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280
E)S/.310
9. Entre cierto número de personas
Solución
compran una computadora que cuesta
S/.1200.El dinero que paga cada
persona excede en 194 al número de
personas .¿Cuántos participaron en la
compra?
A)18 personas
B)36 personas
C)6 personas
D) 12 personas
E)20 personas
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
39
MATEMÁTICA
10. Un padre compra entradas para sus
hijos, si paga las entradas de 14 soles
le falta para tres de ellos , pero si
paga las de 7 soles le alcanza para
todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos
hijos tiene?
A)5
B)6
C)7
D) 8
E)9
Solución
11. Esmeralda gasta cada día la mitad
Solución
de lo que tiene , más 2 soles .Si luego
de cuatro días se quedó sin
dinero.¿Cuánto tenia al inicio?
A)S/30
B)S/28
C)S/60
D)S/40
E)S/50
12. Un recipiente lleno de vino cuesta S/
700, si se saca 80 litros , vale
solamente S/140,¿Cuál es la
capacidad del recipiente?
A)1 401 B)1 081 C)1 001 E)2 001
Solución
13. Un espectáculo público cubre sus
gastos con las entradas de 30
adultos más 70 niños o de 42 adultos
más 18 niños .Si entraron solo niños
.¿Con cuántas entradas cubrirá sus
gastos?
A)216 B) 200 C)160 D)178 E)232
Solución
14. En SENATI existe un santo que hace
el milagro de duplicar el dinero; pero
con la condición que deje 8 soles de
limosna .Si al cabo de 3 milagros
Rossmery salió sin dinero.¿Cuánto
dinero tuvo al ingresar?
A)S/.8
B)S/.9
C)S/.7
D)S/.14
E)S/.10
Solución
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
40
MATEMÁTICA
UNIDAD 02
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Y
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
41
MATEMÁTICA
NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros se pueden clasificar en :
Números enteros negativos Z - = ......  3;2;1
El cero y
Números enteros positivos
Z+ = 1;2;3;4;.........
2.1 DIVISIBILIDAD
Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si al
dividirlos , el cociente resulta exacto .
Si
A
0
B
k
entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además ,
por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un
número entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “
Ejm.
*
*
1) ¿ 20 es divisible por 4 ?
Si , porque :
20
*
*
4
0 5
luego , se cumple que :
*
*
*
*
20 es divisible por 4
4 es un divisor de 20
4 es un factor de 20
20 es un múltiplo de 4
3
0
luego , se cumple que :
3 es un factor de 0
0 es un múltiplo de 3
3) ¿ - 42 es divisible por 7 ?
Si es , porque :
- 42
7
0
-6
luego , se cumple que :
* - 42 es divisible por 7
*
7 es un divisor de - 42
*
7 es un factor de - 42
* - 42 es un múltiplo de 7
2) ¿ 0 es divisible por 3 ?
Si es , porque :
0
0
0 es divisible por 3
3 es un divisor de 0
4) 15 no es divisible por 0
(V)
(F)
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
42
MATEMÁTICA
Verdadero , porque por definición
el divisor debe ser diferente de
cero.
5) 36 no es divisible por - 9
(V)
(F)
Verdadero, porque
debe ser positivo .
el
divisor
Ejm. Hallar todos los divisores de : 8 y 18
D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8
D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18
MULTIPLICIDAD
Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B , si se
cumple que A = B . K donde K es un número entero .
Ejm. Responder las siguientes preguntas.
1) ¿ 15 es múltiplo de 3 ?
Si , porque 15 = 3  5 y 5 es un número entero.
2) ¿ - 12 es múltiplo de 4 ?
Si , porque - 12 = 4  - 3 y - 3 es un número entero.
3) ¿Cero es múltiplo de 5 ?
Si, porque 0 = 5  0 y 0 es un entero.
4) ¿ 5 es múltiplo de cero ?
No, porque 5 = 0  K , no hay ningún número entero que multiplicado por
cero nos de 5.
5) ¿ 8 es múltiplo de - 2 ?
No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un
entero negativo.
Si un número A es múltiplo de B , su notación será :
A = B . K donde K es un número entero
múltiplo de B “.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
ó
0
A = B y se leerá “ A es
43
MATEMÁTICA
Ejm.
0
1) 20 = 5
0
2) 18 = 3
0
3) 0 = 2
ó
20 = 5 . K
ó
18 = 3 . K
ó
0=2.K
donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..
Ejm. Hallar los múltiplos de 3 y de 5 .
Eso se escribirá 3K y 5K , entonces :
M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ……..
M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………
Relación entre un múltiplo y un divisor
Ejm. Entre 24 y 6
múltiplo
24
6
divisor
Ejm. Entre 9 y 27.
divisor
9
27
múltiplo
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
44
MATEMÁTICA
Cuando un número no es divisible por otro
Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B ,
entonces , eso se puede expresar de dos maneras :
0
A = B + rd
ó
0
A = B - re
Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de
la división de A entre B , además , recordar que :
rd + re = divisor
Ejemplo:
1)
15 no es divisible por 2 porque
3) 26 no es divisible por 7 porque
15
2
26
7
1
7
5
3
Entonces:
Entonces:
0
0
26 = 7
15 = 2 + 1
ó
ó
1 + 1 = 2
5 + 2 = 7
0
0
15 = 7 - 2
15 = 2 - 1
2) 23 no es divisible por 5 porque
4) 526 no es divisible por 12 porque
23
5
520
3
4
4
Entonces:
0
+ 4
ó
3 + 2 = 5
15 = 5 - 2
43
520 = 12
23 = 5 + 3
ó
12
Entonces:
0
0
+ 5
4 + 8 = 12
0
520 = 12 - 8
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
45
MATEMÁTICA
PROPIEDADES :
1)
La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.
2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.
3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor , el mismo número.
4) El cero es divisible por todo número entero positivo.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Divisibilidad por 2n
Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número
debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 21 = 2
Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser
divisible por 2, o terminar en un cero.
Ejemplos.
a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es
divisible por 2.
b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.
c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.
Divisibilidad por 22 = 4
Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe
ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.
Ejemplos.
a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y
24 es divisible por 4.
b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es
divisible por 4 .
c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible
por 4.
Divisibilidad por 23 = 8
Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número
debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
46
MATEMÁTICA
Ejemplos.
a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y
136 es divisible por 8.
b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero es
divisible por 8.
c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es divisible
por 8.
Divisibilidad por 5n
Para que un número sea divisible por 5n , las “n” ultimas cifras del número
debe de ser múltiplo de 5n ,o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 51 = 5
Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser
múltiplo de 5, o terminar en un cero.
Ejemplos.
a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es
divisible por 5.
b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.
c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5,
0
además 7 = 5 + 2 , entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como
residuo 2.
Divisibilidad por 52 = 25
Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número
debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.
Ejemplos.
a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son
ceros.
b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es
divisible por 25.
c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es
0
divisible por 25, además 88 = 25 + 13 , entonces al dividir 257 088 entre
25, obtendremos como residuo 13.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
47
MATEMÁTICA
Divisibilidad por 3
Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número nos
dé un número que es divisible por 3.
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.
1) 2 358
0
2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 3 por lo tanto , si es divisible por 3.
2) 283
0
2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3 , además 13 = 3 + 1 lo que
significa que al dividir 283 entre 3 el residuo debe ser 1.
3) 57 014
0
5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3 , además , 17 = 3 + 2 lo que
significa que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como residuo 2.
Divisibilidad por 9
Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos
dé un número que es divisible por 9.
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.
1) 9 558
0
9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 =
9 por lo tanto , si es divisible por 9.
2) 283
0
2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9 , además 13 = 9 + 4 lo que
significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.
3) 57 014
0
5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9 , además , 17 = 9 + 8 lo que
significa que al dividir 57 014 entre 9 , se obtiene como residuo 8.
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48
MATEMÁTICA
Divisibilidad por 7
Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la
derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego
realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)
0
abcdefg = 7

0
g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a = 7
1231231
+
+
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso
contrario hallar su residuo.1)
3) 99 148
1) 3 738
8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14
8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y
0
28 = 7 , si es.
y
2) 35 266
0
-14 = 7 , si es .
4) 264
6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y
0
14 = 7 , si es.
0
4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 7 + 5
no es , y su residuo es igual a 5
Divisibilidad por 11
Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de
las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un
número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33; …)
Lugares pares
0
Para el número :
a
b c d e f g
( g + e + c + a ) – ( f + d + b ) = 11
Lugares impares
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
49
MATEMÁTICA
Ejemplos:
1)
Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.
4)
539
8 074
0
4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 11 , entonces
0
9 + 5 – 3 = 11 = 11 , entonces
8 074 es divisible por 11.
539 es divisible por 11
5)
7 364
0
2)
4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 11 , entonces
5379
0
9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 11 , entonces
5 379 es divisible por 11
7 364 no es divisible por 11 ya
que al dividir 7 364 entre 11 dejará
como residuo por exceso 6 y por
defecto será 5
0
0
7 364 = 11 - 6 = 11 + 5
3)
381 909
6) 579
0
9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 11 ,
0
Entonces 381 909 es 11
0
9 + 5 – 7 = 7 ≠ 11 entonces 579 no
es divisible por 11. El residuo por
defecto es 7 y por exceso es 4.
Divisibilidad por 6
Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez
Ejemplos.
a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.
b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible
por 6.
Divisibilidad por 12
Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez
Ejemplos.
a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.
b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible
por 12.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
50
MATEMÁTICA
Divisibilidad por 10
Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.
Ejemplos.
a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero.
b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero.
PRÁCTICA
Marcar con un aspa ( X ), si el número N de la columna izquierda es divisible
por alguno de los números de la fila horizontal superior
Número N
2
3
4
324
X
X
X
5
6
7
X
8
9
10
X
11
12
X
570
1 120
3 240
1 540
20 310
1 120
8 690
9 372 189
2.2
OTRA FORMA DE CLASIFICAR
LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros , también se pueden clasificar según la
de divisores que tenga el número como :
a)
cantidad
NÚMEROS SIMPLES
Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.
Ejm. Son números simples :
1) 1 , D ( 1 ) : 1
2) 5 , D ( 5 ) : 1 y 5
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
51
MATEMÁTICA
3) 11 , D ( 11 ) : 1 y 11
b)
NÚMEROS PRIMOS
Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad
y el mismo número .
Ejm.
1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo
2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo
NOTA: “El menor número primo es 2”
c)
NÚMEROS COMPUESTOS
Son aquellos que tienen dos o más divisores .
Ejm.
1) D ( 6 ) : 1 , 2 , 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.
2) D ( 9 ) : 1 , 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.
NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 123, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157,
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . .
Ejm.
1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50 ?
Están los : 31 ; 37 ; 41 ; 43 y 47 . Hay 5.
2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen ?
Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8.
3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77.
(V)
( F)
La suma de los números primos menores a 19 es : 2+3+5+7+11+13+17 =
58
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
52
MATEMÁTICA
2.3
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO
ES PRIMO O NO
1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número .
2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la
raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el
número será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto
entonces el número no será primo .
Ejm. Verificar si 97 es primo.
Solución
Paso 1 :
97  9, …. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera
y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer
la raíz cuadrada en forma aproximada “.
Paso 2 : dividimos a 97 entre los números primos menores a la
raíz hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisiones
son inexactas por lo que concluimos que 97 es primo .
Ejm. Verificar si 163 es primo
Solución
Paso 1 : 163  12,… es 12 y algo más, trabajamos solo con 12.
Paso 2 : dividimos a 163 entre todos los números primos menores a 12 ,
que son : 2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es
inexacto por lo que concluimos que 163 es primo .
Ejm. 91 no es primo.
(V) (F)
Solución
Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9.
Paso 2 : Números primos menores a 9 : 2 ; 3 ; 5 y 7.
91 es divisible por 7 por lo tanto , no es primo.
Ejm. 247 es primo
(V) (F)
Solución
Paso 1 : 247 en forma aproximada es 15.
Paso 2 : Números primos menores a 15 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 y 13.
247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero si es divisible por
13, entonces 247 no es primo.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
53
MATEMÁTICA
2.4
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ ( PESI )
Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común
la unidad.
Ejm. Verificar si 4 y 9 son PESI
Solución
D(4): 1 ; 2 y 4
D(9): 1 ; 3 y 9
como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad,
por lo tanto , concluimos que 4 y 9 son PESI.
Ejm. Verificar si 6 ; 14 y 25 son PESI.
Solución
D ( 6 ) : 1 ; 2 ; 3 y 6.
D (14 ) : 1 :; 2 ; 7 y 14.
D ( 25 ) : 1 ; 5 y 25
se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números
es la unidad, por lo que concluimos que los 3 números son PESI .
Ejm. 15 ; 12 y 18 son PESI.
(V) (F)
Solución
D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15.
D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12.
D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18.
Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI.
2.5
DESCOMPOSICIÓN
DE
UN NÚMERO
EN SUS
FACTORES PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
Todo número se puede descomponer como producto de sus factores
primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos .
Para un número N , descompuesto en sus factores primos , se tiene :
N = Aa x Bb x Cc x Dd
Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c
y d , son los exponentes de los factores primos .
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
54
MATEMÁTICA
Ejm. Descomponer en sus factores primos los números :
1) 90
2) 120
90 2
120 2
45 3
60
2
15 3
30
2
5 5
15
3
5
5
1
1
2
3
90 = 2  3  5
120 = 2  3  5
2.6 CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N ( CD(N) )
Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la
descomposición del número en sus factores primos .
a
b
c
Para la descomposición del número N = A  B  C  D
la cantidad de divisores de N será :
d
se cumple, que
CD ( N ) = a  1b  1c  1d  1
donde : a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número.
También la cantidad de divisores lo podemos calcular utilizando las
siguientes fórmulas :
CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos
ó
CD = CDsimples + CDcompuestos
Ejm. ¿ Cuántos divisores tiene 60 ?
Solución
2
Como 60 = 2 3  5
entonces CD ( 60 ) = 2  11  11  1 = 12.
Ejm. Hallar la cantidad de divisores de 1 008.
Solución
4
2
Como 1 008 = 2  3  7 entonces CD(1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
55
MATEMÁTICA
SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N ( SD (N) )
Dada la descomposición de un número N en sus factores primos:
N = Aa  Bb  Cc  Dd , entonces :
b1
c1
d1
1 B 1 C 1 D 1



B 1
C 1
A1
D1
a1
SD (N) = A
Ejm. Hallar la suma de todos los divisores de 60 .
Solución
2
Como 60 = 2  3  5 entonces
3
SD (60) =
2
2
2 1 3 1 5 1
= 7  4  6 = 168.

x
2 1
3 1
5 1
Ejm. Hallar la suma de todos los divisores de 504.
Solución
3
2
Como 504 = 2  3  7 entonces
4
SD(504) =
3
2
2 1 3 1 7 1
= 15  13  7 = 1 365.


2 1
3 1
7 1
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
¿Cuántos divisores primos tiene 700?
Solución
2
2
Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 2  5  7
y sus divisores primos serán : 2 ; 5 y 7 por lo que tendrá 3 .
Problema 2
Hallar la suma de todos los divisores primos de 644.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
56
MATEMÁTICA
Solución
2
Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =2  7 
23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32.
Problema 3
¿ Cuántos divisores pares tiene 252 ?
Solución
Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto
,de la descomposición del número en sus factores primos , extraeremos el
factor 2 .
2

2

2
252 = 2 3  7 = 2 2  3  7 entonces
CD pares = 1  12  11  1 = 12
Problema 4
¿Cuántos divisores impares tiene 360?
Solución
Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces
de la descomposición de 360 en sus factores primos , vamos a eliminar el
factor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que
resulte serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .
3
2
360 = 2 3 3 2  5 = 2 ( 3  5)
entonces la cantidad
de divisores
impares será igual a la cantidad de divisores del número que está entre
paréntesis .
CD( 360 )impares = (2+1)(1+1) = 6 .
Problema 5
¿ Cuántos divisores impares tiene 1404 ?
Solución
2
3
2
3
1404 = 2  3  13 = 2 ( 3  13 ) entonces CDimpares = (3+1)(1+1) = 8.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
57
MATEMÁTICA
Problemas Propuestos
1. De las sgts afirmaciones :
I
3 es divisor de - 18
II - 4 es un divisor de 12
III 20 es un divisor de 5
IV 72 es un múltiplo de 9
V 4 es un múltiplo de 12
VI 8 no es múltiplo de cero
¿ Cuáles son falsas ?
A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V
D) II y III
E) III , V y VI
2. Del sgt grupo de números :
53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71
¿Cuál es la diferencia entre el mayor
y el menor número primo?
A) 118 B) 134 C) 72 D)110
3. Calcular la suma de todos
los
numeros primos comprendidos
entre 40 y 50.
A)84 B)90 C)93 D)131 E)120
4. Calcular la suma de todos
divisores primos de 120.
A) 3 B) 16 C) 10 D) 8 E)12
los
5. ¿Cuántos divisores no primos tiene
24?
A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4
2.7
MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( MCD )
De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de
los divisores comunes.
Ejm. Hallar el MCD de 12 y 18 .
D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
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58
MATEMÁTICA
El mayor de los divisores comunes es 6 , por lo tanto , el MCD = 6.
Si hallamos los divisores del MCD , D(6): 1;2;3;6 , y justamente éstos
son los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes
de un grupo de números son los divisores del MCD.
Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del
MCD de dichos números.
Propiedades
1) El MCD está contenido en los números.
2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD.
2.8
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( MCM )
De un grupo de números , el MCM , es el menor de los múltiplos comunes.
Ejm. Hallar el MCM de 4 y 6
M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;…..
M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,………….
Vemos que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 ,
por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .
Si hallamos los múltiplos del MCM , tendremos , M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , …
que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos
comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos
números .
Métodos para calcular el MCD y MCM
1) Por descomposición simultanea.
Ejm. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24
18 - 24
9 12
3
4
2
3
mcd = 2  3= 6
18 - 24 2
9 12 3
3 4 3
1 4 4
1 1
mcm = 2  3  3  4= 72
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59
MATEMÁTICA
2) Por descomposición de los números en sus factores primos.
El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados
a su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los
factores primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente.
Ejm. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60.
Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene : 18 =
2
2
2x3
y 60 = 2 3  5 . Luego aplicamos la propiedad.
MCD = 2x3 = 6 y
2 2
MCM = 2 3  5 = 180.
3) Por divisiones sucesivas
Este método solo se aplicará para calcular el MCD de dos números.
Ejm. Calcular el MCD de 144 y 56
Cocientes
2
1
1
3
144
56
32
24
8
32
24
8
0
residuos
MCD=8
Ejm. Calcular el MCD de 480 y 572 .
cocientes
572
1
5
4
1
1
2
480
92
20
12
8
4
92
20
12
8
4
0
MCD = 4.
residuos
Propiedades
1) El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su MCD .
Ejm.
Para los números
6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces se
cumple que 6  9 es igual que 3 x 18.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
60
MATEMÁTICA
2) Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual
al producto de dichos números .
Ejm.
Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su
MCM = 4 x 9 = 36.
3) Si un número esta contenido dentro de otro entonces el MCD de
dichos números será el menor de los números.
Ejm.
Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menor
de los números.
4) Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidad
entonces su MCD ó MCM también quedará multiplicado o dividido
por esta misma cantidad .
Ejm.
Para los números 8 ; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120 . Si a
los números los dividimos entre 2 tendremos 4 ; 6 y 10 y su nuevo
MCD será igual a 2 y su MCM = 60.
5) Si un número N es :
0
a
N
0
b
0
c
entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si :
0
a
N
0
b
0
c
 r
 r
 r
entonces N = mcm( a ; b ; c )  r
Ejm.
Si un número N es divisible por 2 ; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es divisible?
Solución
Por propiedad ,
0
0
N = MCM (2;3;4) = 12
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
61
MATEMÁTICA
Ejm.
0
0
0
¿Cuál es el menor número que es : 3 +2 ; 7 - 5 y 6 - 4 ?
Solución
Ese número N que buscamos, debe de ser :
0
3+ 2
0
0
0
0
7 -5= 7 +2
N
6 -4= 6 +2
Por lo tanto, por propiedad sabemos que :
0
0
N = mcm3;7;6 + 2 = 42 + 2 , como nos piden el menor valor, es que de
todos los múltiplos de 42 , elegimos a 42, por lo tanto, el menor número
sería 44.
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
¿Cuántos divisores comunes tienen : 14 , 28 y 42 ?
Solución
Por teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupo
de números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos
números .
Por lo tanto ,
MCD ( 14 ; 28 ; 42 ) = 14
D ( 14 ) : 1 , 2 , 7 y 14
Entonces tendrán 4 divisores comunes .
Problema 2
¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se
desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ?
Solución
La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos
para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos
comunes queremos el menor .
Longitud del tubo = MCM( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.
Problema 3
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
62
MATEMÁTICA
¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para
construir un cuadrado ?
Solución
Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado.
X
X
34cm
18 cm
De la figura, se observar que la medida de x debe ser un múltiplo común
de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes necesitamos el menor
de todos porque queremos emplear la menor cantidad de losetas, por eso es
que :
X = mcm(34 ; 18) = 306
La cantidad de losetas es igual a:
306 306
x
= 153
34
18
Problema 4
De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho ,se desea
obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada , sin que sobre
material . ¿Cuántos pedazos se obtendrán ?
Solución
Sea X : longitud del lado del pedazo de forma cuadrada.
96 cm
72 cm
X
X
Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe
de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad
de pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por
esto que :
X = MCD(96;72) = 24 cm
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
63
MATEMÁTICA
El número de pedazos que se obtendrán será :
# pedazos =
96
72
x
= 4 x 3 = 12
24
24
Problema 5
Tres ciclistas A , B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista
circular con velocidades constantes . A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y
medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente , ¿Cuántas
vueltas habrá dado el ciclista A ?
Solución
PARTIDA
Transformando las medidas a
segundos
A : 3 min
= 180 s
B : 3 min y medio = 210 s
C : 4 min
= 240 s
El tiempo que debe transcurrir
para que un ciclista vuelva a pasar
nuevamente
por el punto de
partida será un múltiplo de los
tiempos empleado en dar una
vuelta . Para que los tres ciclistas
vuelvan a pasar por el punto de
partida , el tiempo a transcurrir
será un múltiplo común de los 3
tiempos dados .
# vueltas que habrá dado el
5040
ciclista A =
= 28.
180
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
64
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I
1. A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y mujeres. De las
mujeres, se conoce que la sexta parte tiene cabello largo, los 3/8 usan
aretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión?
a) 118
b) 132
c) 136
d) 164
e) 220
2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 180 y 300?
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M. sea
5148.
a) 143
b) 396
c) 468
d) 684
e) 639
4. Si N  3 2x .5 x , tiene 15 divisores, hallar N.
a) 2000
b) 2075
c) 3196
5. Si A  12.45 n
divisores.
a) 5
y
d) 2025
e) 2184
B  12 n.45 , hallar “n” para que su MCM
b) 2
c) 8
d) 6
presente 90
e) 3
6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero
más de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en
12, siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno.
¿Cuántos alumnos eran?
a) 600
b) 605
c) 660
d) 671
e) 796
7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y
de noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en
12 o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18
no sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche?
a) 20
b) 24
c) 32
d) 126
e) 36
8. El número de páginas de un libro esta comprendido entre 400 y 500. Si se
cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7
en 7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?
a) 417
b) 419
c) 420
d) 463
e) 472
9. ¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar con tres
caños que vierten 24; 42 y 15 litros por minuto?
a) 420 l
b) 480 l
c) 640 l
d) 840 l
e) 960 l
10. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener dividiendo 3
varillas de medidas: 540 cm; 480 cm y 360 cm, sin desperdiciar material?
a) 60
b) 23
c) 24
d) 12
e) 30
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65
MATEMÁTICA
11. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados de igual medida en que
podemos dividir un terreno de forma rectangular cuyo largo mide 1680 m y
su ancho 700 m?
a) 20
b) 40
c) 60
d) 80
e) 90
12. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencia de 42 s y 54 s. Si a
las 20 h 15 min se encienden simultáneamente, ¿A qué hora volverán a
encenderse nuevamente juntos?
a) 21 h
b) 20 h 21 s
c) 21h 18 s
d) 22 h
e) 20 h 21 min 18s
13. Si tenemos que llenar 4 cilindros de 72; 24; 56 y 120 litros de capacidad,
¿Cuál es la máxima capacidad de un balde que permite llenarlos
exactamente?
a) 8 l
b) 15 l
c) 17 l
d) 4,5 l
e) 9 l
14. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 24 cm de largo, 12 cm de
ancho y 10 cm de altura. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formar
el menor cubo compacto?
a) 600
b) 400
c) 550
d) 580
e) 500
15. Una caja mide 82 cm de largo, 46 cm de ancho y 32 cm de alto; esta caja
se quiere llenar de cajitas cúbicas y de la mayor arista posible, ¿Cuántas
cajitas cúbicas entrarían?
a) 30 176
b) 15 088
c) 16 745
d) 13 272
e) 15 176
16. ¿Cuál es la menor cantidad de losetas cuadradas, sin partir ninguna, se
necesita para cubrir un patio cuyo largo mide 744 cm y el ancho 528 cm?
a) 745
b) 826
c) 682
d) 724
e) 842
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II
1. Hallar la suma de las cifras del Solución:
menor número que tenga como
divisores : 4 ; 9 y 12 .
A) 6 B) 8 C) 10 D)9
E) 5
2. El MCM de dos números es 48 Solución:
. Si el producto de los mismos es
864. ¿ Cuál es su MCD ?
A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 9
3. Un número A es el triple de otro Solución:
B y su MCD es igual a 27 . Hallar
la suma de A mas B .
A)27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
66
MATEMÁTICA
4. El MCD de los números 36K ; 54K Solución:
y 90K es 1620 . Hallar el menor de
los números .
A) 900
B) 720
C)3 600
D)3 240
E) 2 400
5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyas Solución:
longitudes son 3 780 ; 3 360 y 2
520 cm .
Se quiere dividirlas en trozos de
igual medida y de la mayor
longitud posible , ¿Cuántos cortes
fueron necesarios hacer en la
varilla de menor longitud
A) 6 B) 5 C) 4 D) 420 E) 8
6. Calcular el menor número de Solución:
cuadrados iguales en las que se
puede dividir una plancha de
madera
rectangular
de
dimensiones 360 cm por 210 cm.
A) 30 B)19
C) 84
D) 48 E) 30
7. Se quiere llenar 4 cilindros de
capacidades : 50 ; 75 ; 100 y 80 Solución:
litros respectivamente . ¿Cuál
será la mayor capacidad que
puede tener un balde de tal
manera que pueda llenar los
cilindros
en
una cantidad
exacta de veces ?
A)10 lt
B)5 lt
C)8 lt
D)25lt
E) 12 lt
8. Un
terreno
rectangular
de Solución:
medidas 255m por 225 m se
quiere dividir en el menor número
de parcelas cuadradas e iguales .
Si se va a colocar una estaca en
cada vértice de las parcelas ,
¿Cuántas estacas se necesitarán?
A) 255
B) 288 C) 300
D) 260
E) 280
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
67
MATEMÁTICA
9. Se
tiene
90
galletas,
54 Solución:
chocolates y 150 bombones. Se
desea envasarlas en la menor
cantidad de bolsas y que
contengan la misma cantidad de
cada artículo. ¿Cuántas bolsas
más habrá de bombones que de
chocolates?
A) 16 B) 6 C) 9 D) 25 E) 34
10. En un taller de carpintería, el total Solución:
de los salarios es S/ 525 y en otro
S/ 810, recibiendo cada trabajador
el mismo salario. ¿Cuantos
trabajadores hay en cada taller si
el salario es el mayor posible?
A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35
D) 54 y 35 E) 30 y 40
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68
MATEMÁTICA
UNIDAD 03
NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
69
MATEMÁTICA
3.0
FRACCION
3.1
FRACCIÓN: Elementos
Se llama fracción a un número racional a/b donde: a  Z, b  Z, b  0, å  b
Fracción =
a
b
Numerador
Denominador
-
Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente
de dos números enteros con denominador diferente de cero.
-
Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o
fracción.
-
Toda fracción tiene 3 signos.
A
A

B
B
A
A

B
B
A
A

B
B
A
A

B
B
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES
 El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad
 El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad
S=¼
S = 1/12
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S=
3
10
S=
5
4
70
MATEMÁTICA
Ejemplos Aplicativo:
Del Grafico que se muestra:
k
k
k
k
k
k
k
Parte sombreada = 3k
Parte no sombrada = 5k
Total = 8k
k
a) ¿Que fracción es la parte sombreada?
Fsombrada=
Parte.sombrada
Total
Fsombrada=
3k
3
=
8k
8
b) ¿Que fracción es la parte no sombreada?
Fno sombrada=
Parte.no.sombrada
Total
Fno sombrada=
5k
5
=
8k
8
c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?
denominador
Fsombrada de la no sombrada =
Parte.sombrada
Parte.no.sombrada
Fsombrada=
3k
3
=
5k
5
d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?
denominador
Fno sombrada de la sombrada =
3.2
Parte.no.sombrada
Parte.sombrada
Fsombrada=
5k
5
=
3k
3
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
1) POR COMPARACION DE SUS TERMINOS.
 Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador.
El valor de una fracción propia es menor que la unidad.
1 5 17
2
a
,
,
,
 1  a  b
Ejemplos:
,...
b
3 7 23
3

Fracción Impropia:. El numerador es mayor de que el
denominador.
El valor de una fracción propia es mayor que la unidad.
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71
MATEMÁTICA
a
 1 
b
a  b
Ejemplos:
7 4 14 11
,
,
,
,...
2 3
9
3
2) POR SUS DENOMINADORES.
 Fracción Ordinaria ó común :: Es aquella cuyo denominador es
diferente a una potencia de 10.
a
1
5
17
52
= es ordinaria, si: b  10 n
,
,
,
,...
5
7
25
23
b

Fracción Decimal :Es aquella cuyo denominador es una potencia
de 10.
a
= es decimal, si: b = 10 n
b
1
5
12
,
,
10 100 1000
,
57
10000
,...
3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE
VARIAS FRACCIONES.
 Fracciones Homogéneas: Igual denominador.
2
1
5
17
,
,
,
,...
3
3
3
3

Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.
7
4
4
1
,
,
,
,...
5
9
3
2
4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.
 Fracción irreductible.
a
= es irreducible, si a y b son PESI
b

Fracción reductible.
a
= es reductible, si a y b tiene divisores comunes a parte de la
b
unidad.
5) Fracción Equivalente
Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor pero su términos son
diferentes.
Su representación gráfica es por ejemplo:
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72
MATEMÁTICA
1
2
3.3
2
4
3
6
4
8
CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y
DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA

De Fracción a número mixto:
p
a
= n
;
donde ; p < b
b
b
Ejemplo: convertir
17
5
a número mixto
Primero Dividimos 17 entre 5
numerador

n
5
denominador
2
3
Parte Entera
3
2
5
De un número mixto a fracción:
p
n .b  p

b
b
Ejemplo:
17
=
a
 (Fracción Impropia) ; p < b
b
convertir
3
2
5
a fracción.
=
+
3
x
2
5
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
17
5
73
MATEMÁTICA
3.4
MCM y MCD de fracciones
 a c e  MCD(a; c; e)
MCD  ; ;  
 b d f  MCM (b; d ; f )
 a c e  MCM (a; c; e)
MCM  ; ;  
 b d f  MCD(b; d ; f )
a c e
Nota: donde las fracciones  ; ;  , deben ser fracciones irreductible “si
b d f 
no lo son, se tienen que simplificar”.
Ejemplo:
Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20
1º Simplificamos 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles,
obtenemos 2/7 y 3/4.
2º
Hallamos el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:
MCD ( 2 ; 3 )
1
2 3
MCD  ;  

MCM ( 7 ; 4 )
28
7 4
MCM ( 2 ; 3 )
6
 2 3 
MCM  ;  

 6
MCD ( 7 ; 4 )
1
 7 4 
3.5
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a
la vez, IRREDUCTIBLE.
Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus
términos (numerador y denominador) se dividen entre su MCD.
Ejemplo:
¿Simplificar la fracción 24 / 180?
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74
MATEMÁTICA
Solución:
1º Forma: Dividimos sucesivamente los términos de la fracción por los
divisores comunes hasta lograr una fracción irreducible.
Pasos.- Dividimos ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.
2
6
12
24
180
=
2
15
90
45
15
2º Forma: Dividimos al numerador y denominador entre su MCD:
24
24  MCD ( 24 ;180 )
24  12
2



180
180  MCD ( 24 ;180 ) 180  12
15
3.5.1 PROPIEDADES
Propiedad 1:
aaa
a

bbb
b
Ejemplo:
Simplificar:
Porque:
333
777
3
333
=
777
7
333 3  111
3
=
=
777 7  111
7
Propiedad 2 :
abab
ab

cdcd
cd
Ejemplo:
Simplificar:
1212
3737
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
1212
12
=
3737
37
75
MATEMÁTICA
Porque:
12  101
1212
12
; se elimina 101 y queda
=
3737
37
37  101
3.6 FRACCIONES EQUIVALENTES
Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.
3.7
2
4

5
10

a
b
ak
bk

12
30

,
8
20
 ....
donde
k
 1 , 2 , 3 ....
HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DE FRACCIONES
Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:
1.- Se reducen a su más simple expresión.
2.- Se calcula el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.
3.- Se divide el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente
obtenido se multiplica con cada numerador correspondiente.
Ejemplo:
Homogenizar los denominadores de las fracciones:
4
6
;
5
6
;
10
8
Solución:
Para homogenizarlos, reducimos dichas fracciones a su más simple expresión,
veamos:
4 5 6
2 1 3
;
;
; <>
;
;
6 10 8
3 2 4
Ahora, calculamos el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12.
Luego, dividimos el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado
de cada uno lo multiplicamos por sus numeradores correspondiente,
obteniendo:
8
6
9
;
;
12 12 12
Esquemáticamente:


2 1 3
;
;
3 2 4

8
6
9
;
;
12 12 12

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MCM (3, 2, 4 ) = 12
76
MATEMÁTICA
3.8
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
 Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción
positiva y menor la fracción negativa.
3
2
> 
Ejemplo:
7
2
 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será
mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor
numerador.
2 7 8 1
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: ; ; ;
3 3 3 3
1 2 7
8
Solución: Ordenando de menor a mayor obtenemos:
; ; ;
3 3 3
3
 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será
mayor el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor
denominador.
7 7 7 7
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: ; ; ;
3 2 9 13
7 7 7 7
Solución: Ordenando de menor a mayor obtenemos:
; ; ;
13 9 3 2
 Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se
procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como
en el caso anterior.
Ejemplo : Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
7 3 1 5
; ; ;
3 2 9 6
Solución: Primero Homogenizamos denominadores (MCM)
MCM (3, 2, 9, 6) = 18


7
3
;
42
18
;

3
2
27
18
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1
9
;
;
;
5
6
81
15
;
18
18
Fracciones
Equivalentes
Fracciones
Homogéneas
77
MATEMÁTICA
Ordenando de menor a mayor obtenemos:
15
27
42
81
;
;
;
que son las fracciones equivalentes a
18
18
18
18
5
6
;
3
2
7
3
;
;
1
9
respectivamente.
 Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá
realizando el producto cruzado. Y se compara los productos obtenidos.
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
Solución:
56
>
45
7
9
Entonces
5
8
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
Solución:
25
<
7 5
y
9 8
7
9
>
5
8
5
8
<
4
5
5
4
y
8
5
32
5
8
Entonces
4
5
EJERCICIOS nivel I
Vamos a efectuar algunos ejercicios sobre lo que aprendió de fracciones
1. Complete
a.
3
4

e.
5
8

12
16
b.
128
f.
5

8
32
3
16

8
1

8
c.
12
g.
1

4
32
d.
3
16
h.

64
3
24

8
2. Reduzca a un mismo denominador (homogenizar denominadores)
1
5
;
4
8
1
3
b.
;
2
4
3
5
c.
;
8
16
a.
;
1
4
Respuesta

Respuesta

Respuesta

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2
5
;
8
8
78
MATEMÁTICA
3. Complete los espacios vacíos adecuadamente:
a) Dadas varias fracciones de igual denominador es mayor la que
tiene…...................... …......... numerador
b) Dadas varias fracciones de igual numerador, es mayor la que
tiene…........................ …......denominador
4. Coloque los signos > ó < como en los ejemplos:
a. 5/8 < 7/8
b. 3/8
1/ 8
c. 3/4
5/4
e. 3/7 < 3/5
f. 1/2
1/3
g. 2/5
> 2/7
d. 1/4
5/4
h. 4/5
4/6
5. Reduzca a un mismo denominador las siguientes fracciones; y las coloca
en el orden solicitado:
3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8  --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente)
4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4  --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)
6. Complete los espacios en blanco:
a. Simplificar
una
fracción
es
encontrar
otra
cuyos
términos
sean…................................. que los de la primera.
b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo
número
diferente
de
cero
y
diferente
de
….................................................................
c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción
…...................... ser simplificada
d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador
posible …...........................................
e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número,
son llamadas fracciones …............................................
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79
MATEMÁTICA
A continuación puede comparar sus respuestas, no copie por favor, trate de
hacer sus ejercicios por si solo. De esto depende mucho el éxito de
aprendizaje.
4.
5.
b. >
c<
d. <
a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16
f. <
h. >
R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4
b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60
R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12
6.
a.
b.
c.
d.
e.
más simples
uno.
no puede
63
equivalentes
¿Vamos a trabajar un poco más? ¡Avance!
7. Reduzca a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):
2
=
4
96
=
128
48
=
64
8
=
16
12
=
15
120
=
128
24
=
32
15
=
20
6
=
9
100
=
128
4
=
32
15
=
18
40
=
8
60
=
64
25
=
100
8. Coloque falso (F) o verdadero (V)
a. 4/5 > 3/5 ( )
b. 3 > 15/3
(
)
c. 2/5 < 3/7 ( )
d 1/3 < 34/72 ( )
e. 2/5 > 2/7
(
)
d. 7/8 > 6/7 (
)
9. Complete las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos
(cinco fracciones equivalentes):
a. 1/2 = 2/4
= 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12
b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----
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80
MATEMÁTICA
Trata de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes:
7.
=1/2
= 3/4
= 3/4
=1/2
= 4/5
=60/64
=3/4
= 3/4
= 2/3
=25/32
= 1/8
=5/6
=5
= 15/16
=¼
8.
a. (V)
b. (F)
c. (V)
d. (V)
e . (V)
9.
a) 1/2 = 2/4
= 3/6
=
4/8
=
5/10
=
6/12
b) 2/3 = 4/6
= 6/9
=
8/12
=
10/15
=
12/18
c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32
=
15/40
=
18/48
d) 3/4 = 6/8
=
15/20
=
18/24
= 9/12 = 12/16
Continúe, siga adelante
10. Marque con (X) las fracciones irreductibles:
2/3
(X)
3/5 (
)
4/8 ( )
4/6 ( )
7/8 (
)
5/6
( X )
1/3 (
)
6/2 ( )
4/12 ( )
9/10(
)
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81
MATEMÁTICA
EJERCICIOS PROPUESTOS nivel II
1.
Distribuya en el cuadro
fracciones en orden creciente:
las solución
a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64
b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16
c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128
a
b
c
solución
2.
Al
simplificar
una
fracción
obtuvimos 1/7. Sabiendo que la suma
de los términos es 40, Calcular la
diferencia de los mismos.
A.30
B.15
C.8
D.1
E.13
3.
¿Cuántas
fracciones
propias solución
tienen denominador 32 y son mayores
que 1/6 ¿
A.3
B.15
C2
D. 4
E.13
4. ¿Cuántas son las fracciones solución
irreductibles con denominador 10
comprendidos entre 1/2 y 4/3 ¿
A.30
B.5
C8
D. 4
E.13
5. ¿Cuántas fracciones propias y solución
irreductibles de denominador 720
existen?
A.192 B.13
C.24
D.15 E.2
6. ¿Qué fracción representa el área no solución
sombreada ¿
A. 5/7
B.3/4
C.4/7
D.3
E.1/4
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82
MATEMÁTICA
7. Simplificar las fracciones:
9240 / 6930 y 4158 / 43 68
solución
Rpta: 4/3
99/104
8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 solución
de las cartas que llevaba; en un
banco; 2/9 del resto y todavía tiene 70
cartas para repartir. ¡ Cuántas cartas
le dieron para repartir ?
A. 10 B.108
C.23
D.25 E.19
9. Una piscina está llena hasta sus solución
2/3 partes. Si sacara 2100 litros
quedará llena hasta sus 3/8 ¿Cuánto
falta para llenarla?
A. 2400
B.2700
C.234
D.1235
E. 1300
10. Un depósito contiene 36 litros de solución
leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros
de mezcla ¿Cuántos litros de leche
salen?
A.13 B. 15 C. 10 D.14 E.5
11. ¿Qué fracción representa el área solución
sombreada en el cuadrado?
A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
83
MATEMÁTICA
12. En el cuadrado hallar la fracción
que representa el área no sombreada
A. 2/7 B. 3/4
solución
C. 1/2 D. 2/5 E. 2/3
13. ¿Cuántas fracciones irreductibles solución
de denominador 77 hay entre 4/7 y
5/11?
A. 7 B. 8
C.0
D. 5
E.3
14. Hallar un número tal que solución
aumentado en sus 3/8, se obtenga
440. Dar como respuesta los 5/8 del
número.
A. 23 B. 200 C. 26 D. 62 E, 12
15. En la siguiente figura ABCD es un solución
cuadrado ¿Qué fracción de ABCD
representa la región sombreada?
A. 3/16
D.3/17
B. 3/15
E.1/5
C.2/7
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
84
MATEMÁTICA
UNIDAD 04
FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
85
MATEMÁTICA
4.1
A)
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA
Observa el siguiente gráfico:
3
6
La parte sombreada es:
1 3 4
 
6 6 6
1
6
 Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los
numeradores y se escribe el mismo denominador:
a
b
Ejemplo:
Efectuar :

c
b

d
b

a  c  d
b
8
5
2
7
3
85 2  7 3
9






13
13
13
13
13
13
13
 Si son números mixtos operamos la parte entera y después la parte fraccionaria.
a
Ejemplo:
Efectuar :
B)
3
b
e
g
 d
 f
 a  d  f
c
c
c
b
 e  g
c
1
7
2
5
1 7  2  5
1
7
8

4
 3  8  4 
13
13 13
13
13
13
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS
Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca
transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo
denominador y se procede de la forma anteriormente vista.
Consideraremos los siguientes casos:
1.- DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS.
Ejemplo 1: Efectuar
3
1
3
3
1 4
3 2
3
4
6
3  4  6
1










8
2
4
8
2  4
4  2
8
8
8
8
8
Multiplicar por un factor a ambos términos de la
fracción, tal que los denominadores sean iguales.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
86
MATEMÁTICA
Ejemplo 2: Efectuar
5
1
7
5  3
1
7  2
15
1
14
15  1  14
28










4
12
6
4  3
12
6  2
12
12
12
12
12
¡Fracciones Equivalentes!
2.- MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Seguiremos el siguiente procedimiento:
Primero: Hallamos el mcm de los denominadores y lo escribimos como
DENOMINADOR del resultado.
Segundo: dividimos el mcm por cada denominador y el cociente se multiplica por
cada numerador; luego efectuamos la suma de estos resultados.
Ejemplo 1: Efectuar

=
2
3
7


5
8
30

 90
240
96

 56
130
240

13
24

MCM(5;8;30) = 240
3.- REGLA DE PRODUCTO CRUZADO.
Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños.
3
5
3 8  5 5
24  25



5
8
5 8
40
Ejemplo 1: Efectuar
34
Ejemplo 2:
Efectuar
21
2
7
2 3

7 17
3
17
13
119
EJERCICIO
Es necesario que ejercites lo aprendido hasta este momento, para ello tendrás que
resolver estos ejercicios que se te muestra, asume este reto, tú si eres capaz de
resolverlos correctamente, ¡Vamos!, continuemos…
I. Resuelve con el método de “Denominadores múltiplos de otros”
a)
c)
7
5


6
12
41
2


45
5
b)
1
3

d)
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
7
3

60
10
1
3


2
4

5
7

8
16

87
MATEMÁTICA
II. Resuelve con el método de “Mínimo Común Múltiplo”
a)
b)
c)
3 1 1 4
   
10 2 4 5
1 1 1 1
   
2 3 4 5
3 5 7
  
4 6 8
II. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”
5 2
 
9 3
1 1
d)
 
2 3
a)
5 3
 
3 5
3 1
e)  
8 2
b)
5 9
 
7 2
1 1
f)


13 12
c)
4.2 OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION Y SUSTRACCION
DE FRACCIONES:
Se tiene que tener en cuenta que primero resolveremos las operaciones que se
encuentran al interior de los signos de agrupación.
Ejemplo: resolver la siguiente operación:
 1
2
1 
1 
2
1
1 
2
47
 1
 1
 



 
 

 
 
 
3
5 
3 
3
20
3 
3
60
 2
 4
 2

87
60
También podemos resolver eliminando primero los signos de agrupación.
 1
2
1 
1 
2
1
1
1
 1
 1
 
 

 



 
 
3
5 
3 
3
4
5
3
 4
 2
 2
2
1
1
1
1
40  30  15  12  20






3
2
4
5
3
60
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO




87
60
88
MATEMÁTICA
EJERCICIO
Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.
1 2 1 1 1
1.         =
6 7 5  2 5
1 2  2
 1
2.  3  2    1 
6 3  5
 5
3
=
2
1
 1  1 1  5
3. 1     2      1  =
7
 7   2 3  2
1 5 3   3  1 5 
4.            =
 3 6 8   4  2 6 
1  5
  5 3  
5.     2       2 =
  7 4  
2  7
4.3 MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACION DE FRACCIONES:
 Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí.
a c ac
 
b d bd
Ejemplos:
5 2 5  2 10
 

a)
9 7 9  7 63
3
2 6 3
263
2
b)

 

9 10 7 9  10  7 35
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
3
5
89
MATEMÁTICA
 Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los términos
de la fracción, al exponente indicado.
n
an
a
   n
b
b
Ejemplos:
2
4
22
4
2
a)    2 
7
49
7
14
1
1
b)    4 
3
81
3
EJERCICIO
1. Escriba en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican
x
3
1
7
6
1
5
5
4
2
7
4
3
9
2
5
4
7
7
21
2. Multiplicar:
1
7
35
a) 2  5 =  5 
3
3
3
d)
2
1
5 
3
4
2

3
1
1
c) 3  1 
4
5
3
1
2 
5
2
1 1
f) 1  1 
2
3
b) 4  5
e)
3. Escribe en los casilleros en blanco las potencias indicadas
a
 
b
1
2
3
2
2
5
3

5
n
Al cuadrado
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
Al cubo
A la cuarta
1
8
90
MATEMÁTICA
4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que nos indica que debemos
multiplicar, teniendo en cuenta este criterio resuelva UD. Los siguientes problemas
a) Hallar los 3/5 de 20
b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?
c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 de d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45 kg?.
400 soles?
e) ¿Los 3/5 de que número es 120?
f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3
de que número?
4.4 DIVISIÓN DE FRACCIONES
 Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción divisor
invertida.
a c a d ad
   
b d b c bc
Fracción inversa
Ejemplo:
2 3 2 4 2 4 8
   

a)
5 4 3 3 3 3 9
1 14 7 3
73 1

b) 2    
3 3 3 14 3  14 2
 Una división de fracciones también se puede presenta como una fracción de
fracción:
Producto de Producto de
medios
extremos
a
b
c
d

a  d
b  c
Ejemplo:
7
73
7

a) 24 
2
24  2 16
3
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
7
b)
20  7  4  7
1
20  1
5
4
91
MATEMÁTICA
EJERCICIO
1. Escriba en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican

3
1
7
6
5
1
5
4
2
7
3
4
9
2
5
9
7
7
2. Escriba la expresión más simple equivalente a:
1 1
1 1


5
4  14 
2
3
b)
=
a)
3 2 23
1

4 5
4
1 1 1

4  2 3 
c)

1
24
2 10 3 19
  
1
e) 5 7 7 5 
=
3
6
28
35
2 1 1
 
d) 5 3 2 =
7
30
1 1 


1 2
7 2     3=
1
1 1
 1 

14
3 2
f)
4.5 RADICACIÓN DE FRACCIONES:
Para extraer una raíz a una fracción, se le extrae la raíz indicada a cada término de
la fracción.
n
a

b
n
n
a
b
Ejemplo:
a)
3
3
1
1
1
3

125
125 5
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
b)
64
64
8


121
121 11
92
MATEMÁTICA
EJERCICIO
1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas
fracciones dadas.
2
 
1
b)   
9
 
2
 
4
e)   
81
 
2
 
16
h)   
81
 
 
16
a)   
25
 
 
49
d)   
64
 
 
1
g)   
  100
2. Hallar la raíz en cada caso:
27
a) 3

b)
8
2
 
36
c)   
25
 
2
2
 
100
f)   
49
 
2
i)
 
25
   121
 
2
2
3
1

8
c)
3
8

1000
d)
16

25
e)
5
32

243
f)
4
16

625
g)
36

49
h)
3
27

125
i)
4
81

1000
4.6 OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
1.
6
1

5
6 
7
3

3
10
 61 
 41 


2
=


 1  1  1 
 1
1
1 
2
3
 9
2.
=
1
1

3
1
1
5
3
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
93
MATEMÁTICA
1  1
 1
2
3  8
8
1  1
2 1
6
12
2 =
5  11
13
14
1
3.
7
1
1

1
3 =
 2
1
1
1

8
4
6
4.
5.
7 1
1

3 4   93  =
1 1  56 

6 2
3 1

4 2 
3
4



6. 




1

2
5
1

3
5
7.
16 7 
81 7 
1
2
3
1
3
7








5
=
1
 25 1 

 
 36 9 
1 2
Comprueba tus respuestas:
Pregunta Nº
1
2
3
4
5
6
7
Respuesta
1
-4
1
4
1
1
5
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
8
94
MATEMÁTICA
PROBLEMAS APLICATIVOS
Muy bien ahora PRESTE ATENCIÓN!
La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que equivalía a
la longitud de un pulgar.
1” representa una PULGADA
Equivalencia:
1´ representa un PIE
1 pulgada = 2,54 cm.
1 pulgada = 25,4 mm
1 pie = 12 pulgadas
1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas
Ejemplo:
 3
7"
Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.
8
Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie.
 2 3 Representa dos pies y 3 pulgadas
La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro
país principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso
industrial.
GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS
Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8;
16; … 2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128
divisiones (27= 128)
Si dividimos a la una pulgada
en dos partes iguales, cada
parte es 1/2 pulgada
Si dividimos a la una pulgada
en cuatro partes iguales, cada
parte es 1/4 pulgada
Si dividimos a la una pulgada
en ocho partes iguales, cada
parte es 1/8 pulgada
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
95
MATEMÁTICA
Si dividimos a la una pulgada
en dieciséis partes iguales, cada
parte es 1/16 pulgada
Si dividimos a la una pulgada
en treinta y dos partes iguales,
cada parte es 1/32 pulgada
A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la
pulgada, pie, yarda.
Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla
esta graduada en pulgadas.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
96
MATEMÁTICA
7
1
8
01

08
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Escriba UD en el siguiente cuadro las lecturas realizadas
02
03
04
05
06
07
09
10
11
12
13
14
Realice UD. Las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:
a)
01
+
02
b)
07
x
10
-
03
=
=
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
97
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I-A
Continuemos con los ejercicios:
1.
Determine la cota “Y” en la pieza representada.
a)
49 ”
17
b)
17 ”
16
c) 3
d)
2.
3.
1
16
“
14
”
46
Calcule “X” en la pieza.
a) 4
31 ”
32
b) 3
31 ”
32
c)
12 ”
64
d) 3
13 ”
32
Determine la longitud C del tornillo, dibujado.
a) 6 11 ”
16
b) 5 1 ”
32
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
c)
3 ”
16
d)
6”
98
MATEMÁTICA
4.
¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela?
a) 1 5 ”
8
b) 1 3 ”
7
c) 2 3 ”
5
d) 1”
5.
Complete el cuadro conforme las indicaciones del dibujo.
d
c
D
5"
8
15"
32
35"
64
1”
3"
4

31
1
32

9
64
1"
16
6.
Un agujero de diámetro
7"
5"
debe ser agrandado en
más. ¿Cuál será el
8
32
nuevo diámetro?
b) 1 1 ”
a) 1 4 ”
32
32
c) 2”
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
d) 2 1 64 ”
e) 3/4”
99
MATEMÁTICA
7.
8.
1"
de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden,
2
9"
1"
13"
1"
, 10
y 5 . Despreciando por pérdida de corte,
respectivamente 6 , 8
16
2
16
4
¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado?
1
2
1
1
1”
b) 31 ”
c) 31 ”
d) 3 ”
e)
a) 31 ”
8
5
16
8
8
Una barra de bronce tiene 32
Una barra de hierro mide 26
perdemos en cada corte
material?
a) 10
9.
b) 12
25"
1"
, si lo dividimos en partes iguales de 2
y
32
32
1"
¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta
32
c) 14
d) 15
e) 18
Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾” , se necesita obtener 18
trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de
cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)
a) 1¾” b) 1½”
c) 22½” d) 2”
e) 1¼”
Calcule la medida del diámetro interno de la arandela, representada.
”
a)
1
b)
1 ”
3
c)
2
d)
1/2”
4
”
7
10. Determine las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C - D
a) 3”
b) 2”
c) 1”
d) 4”
e) 5”
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
100
MATEMÁTICA
11. Una barra de cobre mide 26
perdemos en cada corte
material?
a) 10
b) 12
25"
1"
, si lo dividimos en partes iguales de 2
y
32
32
1"
¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta
32
c) 14
d) 15
e) 18
12. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾” , se necesita obtener 18
trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de
cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)
a) 1¾” b) 1½”
c) 2½”
d) 2”
e) 1¼”
13. Divida una barra de aluminio 10
1"
en 5 partes iguales perdiendo en cada corte
8
1
“¿Qué longitud tendrá cada parte?
32
a) 1 7 ”
b) 1”
c) 2 5 ”
32
32
d) 7 ”
16
e) 3
”
4
14. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha:
a) 12 1
b) 13 1
c) 12 1
”
4
”
4
”
2
d) 12 1 ”
8
Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas, etc.,
los agujeros son equidistantes y simétricos.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
101
MATEMÁTICA
15. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes:
a) 19 ½”
b) 13”
c) 14”
d) 13 ¼”
e) 7 1/8”
16.
Calcular “a” en la siguiente placa
a) 2 1/64”
b) 2 1/32”
c) 2 3/64”
d) 3 ½”
e) 3 1/64”
17. La longitud de la circunferencia puede se calculada, aproximadamente,
1
multiplicando su diámetro por  ( = 3.14 = 3 ). Siendo así, complete el cuadro
7
de la página siguiente, conforme el ejemplo.
Lc = D  
Donde:
 r : radio de la circunferencia
 D : Diámetro de la circunferencia
Lc = 2.r

 
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
22
 3,14
7
102
MATEMÁTICA
DIÁMETRO
1"
2
1"
1
8
3
3
CÁLCULOS
LONGITUD
DE CIRCUNFERENCIA
1"
1 7 22
3  
 11
2
7 2 7
11”
6
7
7

1pie 2pulg
La circunferencia ha girado una vuelta completa
D
LC
“Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14
veces la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.”
18. Complete el cuadro, usando:
Lc = D  
LC = Longitud de
circunferencia
3"
5
4
1"
2
2
5"
15
6
D = 2.r
Cálculos
5
3" 1 23 7 161
73
x

1
:3 
4 7
4 22 88
88
D = diámetro
r = radio
73"
88
161"
176
1
3"
4
1"
4
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
103
MATEMÁTICA
19. ¿cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el radio
de la rueda es de 21 cm?
Fórmula:
Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 5
20. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12
ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcule la resistencia total.
a) 3
29

47
b) 3
39

47
c) 1
d)
1
1
1
1
1



. . .
R t R1 R 2 R 3
Rn
Fórmula:
39

47
e) 4
39

47
Donde:
Rt: Resistencia Total
R1 = 15 
R1 = 12 
A
B
R1 = 9 
21. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le iba
quedando, ¿Con cuánto se queda?
Solución:
3 21
  120
4 3 2
 


3  2  120
 30
43 2
Se tiene al inicio
Se pierde 1/2 queda 1/2
Se pierde 1/3 queda 2/3
Se pierde 1/4 queda 3/4
La respuesta se quedó con S/. 30
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
104
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
I-B
105
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II
1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los
instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son
casados. ¿Cuál es el número de docentes?
a)70
b) 120
c) 60
d) 56
e) 90
2. Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le confió.
¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido?
a)1/8
b) 1/3
c)1/6
d)1/7
e)1/9
3. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco más
dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18 hojas en
blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona?
a)56
b)57
c) 55
d) 54
e) 75
4. Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que posee y 8
hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se queda con 61 hojas,
¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al primer salón?
a)800
b)500
c)600
d)400
e)700
5. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6 horas, y
el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a la vez, estando
el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque?
a)3 1/7 h
b)3 2/7 h
c)3 3/7 h
d) 2 ½ h
e) 1 ¾ h
6. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12 horas
y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6 horas, ¿En
cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren las tres llaves a
la vez?
a)8h
b) 7h
c) 6h
d) 5h
e) 4h
7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja caer
desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer rebote?
a)50cm
b)64 cm
c)24cm
d)62cm
e)72 cm
8. Si dejamos caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura, sabiendo
que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada rebote se eleva 2/3
de la altura anterior?
a)81cm
b)162cm
c)324cm
d)62cm
e)72cm
9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3?
a)5 1/5
b)5 7/9
c)5 2/5
d)5 1/9
e)5 1/3
10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me deben?
a)S/80
b)S/100
c)S/120
d)S/140
e)S/125
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
106
MATEMÁTICA
11. Se llena un recipiente de 3 litros con 2 litros de alcohol y el resto con agua. Se
utiliza una tercera parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se utiliza la
cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuánto de alcohol queda
en el recipiente?
a)7/12 litro
b)1
c)2/3
d)nada
e)1/2
12. En una mezcla alcohólica de 20 litros de alcohol con 10 litros de agua, se extrae
15 litros de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae 6 litros de la
nueva mezcla y se vuelve a reemplazar por agua. ¿Cuántos litros de alcohol
queda al final?
a)8
b)10
c)9
d)5
e)6
13. Un comerciante compró un cierto número de computadoras y el precio que pagó
por c/u era la cuarta parte del número de computadoras que compró. Si gastó S/
30976.00 ¿Cuántos computadoras compró?
a)176
b) 88
c) 253
d) 352
e) 264
14. Una barril con cal pesa 3720 kg, cuando contiene 5/8 de su capacidad pesa
95/124 del peso anterior. Hallar el peso de la barril vacía?
a)2100
b) 1400
c)1000
d)7000
e)2400
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
107
MATEMÁTICA
UNIDAD 05
NÚMEROS DECIMALES
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
108
MATEMÁTICA
5.1 NÚMERO DECIMAL
Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se obtiene al
dividir el numerador por el denominador.
Ejemplos:
(1)
3
 0,375  Resulta de Dividir 3 entre 8
8
(2)
4
 0,444.....  Resulta de Dividir 4 entre 9
9
(3)
7
 0,233....  Resulta de Dividir 7 entre 30
30
5.2 TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO DECIMAL
,
Millonésimo
o cienmilésimos
3
Centésimos de milésimos
7
o diezmilésimos
0
Décimos de milésimos
milésimos
1
centésimos
7
décimos
Unidades
PARTE DECIMAL
Decenas
Centenas
Unidades de Millar
Decenas de Millar
Centenas de Millar
PARTE ENTERA
9
La parte decimal tiene las siguientes ordenes, contadas de izquierda a derecha a
partir del coma decimal:
1° Orden decimal  décimos
2° Orden decimal  centésimos
3° Orden decimal  milésimos
etc.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
109
MATEMÁTICA
5.3
LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES
La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Usted lee la
parte entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte
decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.
Los ejemplos siguientes esclarecerán como hacer la lectura de un número
decimal. Complételos:
a) 12,7
doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos
b) 3,125
tres ......................... y ciento veinticinco .......................................
c) 0,000 4
........................ diez milésimos
d) 3,1416
..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos
e) 8,30
ocho ......................... y....................................................................
f) 12,005 ...........................................................................................................
5.3.1
ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL
Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte
decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde.
Observemos los ejemplos:
(1) Quince enteros y veintiséis milésimos :
15,26
(2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos :
6,002 3
Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0).
(1) 12 milésimos
:
0,012
(2) 50 millonésimo
:
0,000 050
Complete:
(1)
Quince enteros y seis centésimos : .............................................
(2)
Cuatro centésimos
(3)
Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................
(4)
Veinticinco milésimos
: .............................................
: ..............................................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
110
MATEMÁTICA
Escriba como se lee, observando el ejemplo y asocie las UNIDADES.
(1)
3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas)
(2)
0,50 soles ........................................................................
(3)
5,4 metros ........................................................................
(4)
2,5 pulgadas ....................................................................
(5)
3,175 centímetros ............................................................
(6)
8,0025 segundos .............................................................
Observe como se puede resolver los siguientes problemas:
(1)
¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos ?
Representación
Literaria
x
1000
54
100
=
Representación
matemática
Despejando “x” :
(2)
x = 540
“Rpta: hay 540 milésimos en 54 centésimos”
¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de
centésimos?
x
100
.
1
10
=
20000
1
.
10000
100
x
=
20
Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de
centésimos.
(3)
¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
111
MATEMÁTICA
(4)
¿Cuántos cienmillonésimos de centésimos hay en 4,52
diezmilésimos?
(5)
¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000
diezmillonésimos de milésimo?
5.4
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES
1º.
Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS
A SU DERECHA
..
Ejemplos:4,8 = 4,80
2º.
(1)
4,8 = 4,800 000 0
(2)
312,240 000 00 = 312,24
(3)
7,500 0 = 7,50
Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o más
lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida
de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal.
Ejemplos:
(1)
0,253 
0,253 
25,3
100
0,253 
25,3
10 2
2 lugares
2 lugares
0,253  25,3  10 2
Potencia de 10 con
exponente negativo
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
112
MATEMÁTICA
(2)
0,000002 
0,000002 
0,02
10000
0,000002 
0,02
10 4
4 lugares
4 lugares
0,000002  0,02  10 4
Potencia de 10
4 lugares
(3)
0,0075 = 75  10 4
4 lugares
Potencia de 10
Ahora tú puedes convertir a simple vista, cualquier número decimal en un número
entero multiplicado por una potencia de diez con exponente negativo: ¡Demuestra
completando lo siguientes ejercicios!:
(1)
0,007 = 7 x 10.....
(2)
0,00016 = 16 x 10.....
(3)
0,000064 = 64 x 10.....
(4)
0,0025 = 250 x 10.....
(5)
0,06 = 6000 x 10.....
3º.
Si a un número decimal, le corremos el coma decimal a la izquierda uno o
más lugares, para que su valor no se altere, debemos multiplicar por la unidad
seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.
Ejemplos:
(1)
70002,5 = 7,00025  10000
4 lugares
4 lugares
=
7,00025  10 4
Potencia de 10 con
exponente positivo
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
113
MATEMÁTICA
(2)
2000
= 2  1000
3 lugares
3 lugares
=
2  10 3
Potencia de 10 con
exponente positivo
(3)
50000000
= 50  10 6
6 lugares
Ahora practica completando los siguientes ejercicios a simple vista:
(1)
8302,5 = 83,025 x 10.....
(2)
160,5 = 0,1605 x 10.....
(3)
6400000000= 6,4 x 10.....
(4)
25000000000 = 25 x 10.....
(5)
3200000000000 = 32 x 10.....
5.5
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo
negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica.
Ejemplo:
Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser negativo.
2º. Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente modo:
se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma decimal y
comparar como si fueran números enteros.
Ejemplos:
(1)
Comparar 3,2 con 3,574
 Como el primer número tiene solo un decimal, le agregamos DOS CEROS
para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno:
3,200
3,574
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
114
114
MATEMÁTICA
 Ahora eliminamos la coma decimal en ambos números:
3 200
3 574
 Como 3200 es menor que 3574, entonces:
3,2
(2)

3,574
Comparar -2,31 con - 2,310 000
 Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la derecha
del segundo número dado:
 Entonces ambos números quedarán así:
-2,31 =
5.6
-2,31
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
NÚMERO DECIMAL
EXACTO
PERIÓDICO
PURO
NÚMERO DECIMAL
RACIONAL
NÚMERO
DECIMAL
(Se pueden escribir como
Fracción; tienen Generatriz)
NÚMERO DECIMAL
INEXACTO
(tienen Período)
PERIÓDICO
MIXTO
NÚMERO DECIMAL Números decimales inexactos que no tienen período; resultan
de las raíces inexactas.
IRRACIONAL .-
2
Ejemplo :
= 1,414213562373095 . . . .
 = 3,1415926535897932 . . .
 NÚMERO DECIMAL EXACTO:
Es aquel número que tiene una cantidad limitada de cifras decimales.
Ejemplos:
0,25
;
2,75
;
1,2
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
115
MATEMÁTICA
Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el
-
denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2 ó de 5
ó de ambos (la fracción tiene que ser irreductible)
Ejemplos:
(1)
La fracción
La fracción debe ser irreductible
17
32
Descomponemos el denominador :
17 17

32 25
Entonces
(2)
17
¿Equivale a un número decimal exacto?
32
17
17
da origen a un número decimal exacto:
= 0,53125
32
32
La fracción
24
¿Equivale a un número decimal exacto?
375
La fracción debe ser irreductible
Descomponemos el denominador :
Entonces
Potencia de 2
24
8

375 125
8
8
 3
125 5
Potencia de 5
24
da origen a un número decimal exacto:
375
24
= 0,064
375
(3)
La fracción
13
¿Equivale a un número decimal exacto?
80
La fracción debe ser irreductible
Descomponemos el denominador :
Entonces
13
80
13
13
 4
80 2  5
Potencia de 2 y 5
13
13
da origen a un número decimal exacto:
= 0,1625
80
80
 ¿Podemos saber cuántas cifras decimales tendrá el número
decimal resultante antes de efectuar la división?
Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5 en el
denominador de la fracción irreductible.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
116
MATEMÁTICA
Ejemplo:
Descomponemos el denominador :
Entonces
Potencia de 2 y 5
El mayor
exponente es 4
13
13
 4
80 2  5
13
al convertirlo en número decimal, tendrá solamente 4
80
cifras decimales. ¡Ahora tú comprueba la siguiente Fracción
2071
!
500
¿Y bien .... Sí cumple?
 NÚMERO DECIMAL INEXACTO:
Es aquel número que tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales.
A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO :
Es aquel en cuya parte decimal aparece una o un grupo de cifras llamado
período que se repite indefinidamente a partir de la coma decimal.
Ejemplo : 0,27272...... = 0,27
PERIODO
(2 cifras)
 ¿Cómo podemos saber si una fracción puede ser representada por un
DECIMAL PERIÓDICO PURO?
1º. Simplificamos la fracción hasta que sea Irreductible.
2º. Descomponemos el denominador en sus factores primos.
3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los factores
del denominador son distintos a 2 y 5.
Por Ejemplo: 1/7 ; 2/3
; 5/63
B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO :
Es aquel cuyo período empieza luego de una cifra o grupo de cifras después
del coma decimal. A esta cifra o grupo de cifras le llamamos parte no
periódica.
Ejemplo:
0,7312512512........ = 0,73125
Parte No Periódica
Parte Periódica
 ¿Cómo podemos saber si una fracción puede ser representada
por un
DECIMAL PERIÓDICO PURO?
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
117
MATEMÁTICA
1º.
Simplificamos la fracción hasta que sea Irreductible.
2º.
Descomponemos el denominador en sus factores primos.
3º.
El número decimal correspondiente será periódico mixto si los factores
del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros factores primos
distintos de 2 y 5.
Por Ejemplo: 2/15 ;
5.7
6/35
;
5/24
GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL
Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La
fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.
A. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO :
1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal.
2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros
como cifras tenga la parte decimal
Ejemplos:
a) 0,75 =
75
100
2 ceros
2 cifras decimales
b) 2,058 =
2058
1000
3 ceros
3 cifras decimales
B. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO :
 CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA
PARTE ENTERA NULA :
1º. En el numerador escribimos el período
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
118
MATEMÁTICA
2º. En el denominador escribimos tantos nueves como cifras tenga
el período.
Ejemplo:
a) 0,54
=
54
99
2 CIFRAS
b) 0,1 =
6
11
=
2 NUEVES
1
9
 CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA
PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO:
1º. Desdoblamos la parte entera de la decimal, así:
3,54 = 3 + 0,54
2º. Escribimos la fracción generatriz de la parte decimal :
3,54 = 3 +
54
99
3º. Finalmente, volvemos a sumar, pero ahora como una suma de
fracciones:
3,54
= 3 +
54
99
= 3 +
6
11
=
39
11
C. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO :
 CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA
NULA:
1º.
En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el
número decimal sin el coma y se resta la PARTE NO
PERIÓDICA.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
119
MATEMÁTICA
2º.
En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras
tenga el PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga
la PARTE NO PERIÓDICA.
Ejemplos:
(1)
0,235
=
235  2
990
2 cifras
2 nueves
1 cifra
1 cero
(2)
0,235
=
233
990
0,372
=
372  37
900
0,372
=
. . . ¡Completa!
 CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO
NULA :
Procedemos a desdoblar la parte entera de la decimal.
Ejemplo:
3,254 = 3 +
3,254 =
3 +
254  25
900
3,254 =
3 +
229
900
3,254 =
5.8
0,254
2999
900
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Si se trata de decimales exactos, buscamos que tenga la misma cantidad de
cifras en la parte decimal completando con ceros.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
120
MATEMÁTICA
Al sumar o restar, escribimos un número bajo el otro cuidando que la coma
decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se tratara de
números enteros.
En el resultado, volvemos a escribir la coma decimal en la misma línea vertical
que las demás.
Ejemplos:
(1) Efectuar: 0,3  12,78  3,2057


Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:
Efectuamos como si fueran
enteros :
0,3000

12,7800
3,2057
La coma conserva el
lugar de los demás
16,2857
(2) Efectuar: 78,13  9,087

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

Efectuando como si fueran
enteros :
78,130
9,087
La coma conserva el
lugar de los demás
69,043
Si se trata de decimales inexactos, operamos con sus fracciones generatrices:
Ejemplos:
(1) Efectuar: 0,3 
2,5  1,6
Solución:
Vamos a reemplazar los decimales periódicos puros por sus fracciones
generatrices:
=
3
5
6
 2   1
9
9
9
=
3
14
9
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
121
MATEMÁTICA
41
 4,555....
9
=
Respuesta: : 0,3 
(2) Efectuar:
2,5  1,6 = 4,5
31,62 -
7,36
Solución:
Reemplacemos los decimales periódicos mixtos por sus fracciones generatrices:
Suprimimos los paréntesis 
5.8.1
=
62  6  
36  3 

 31 
  7 

90
90 

 
=
31 
56
33
7
90
90
=
24 
23
90
=
2183
90
=
24,25 =24,2555…
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE
DECIMALES
Veamos un ejemplo:
Efectuar:
1, 25  0 , 5  13 ,1  0 ,1  0 , 025  2 , 2 
Eliminamos paréntesis  =
1,25  0,5  13,1  0,1  0,025  2,2
Suprimimos corchetes  =
1,25  0,5  13,1  0,1  0,025  2,2
Suprimimos llaves 
1,25  0,5  13,1  0,1  0,025  2,2
=
Sumamos los positivos y negativos por separado:
=
1,25  13,1  0,1  2,2  0,5  0,025 
=
16,65 – 0,525
=
16,125
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
122
MATEMÁTICA
Ahora resuelve los siguientes ejercicios de reforzamiento:
(1) 18 , 5  5 , 2  6 , 7  0 , 4  25 ,15
A) 41,75
B) 31,75

C) 41,57
D) 75,41
E) 75,31
(2) 0 , 08  0 , 032  0 , 4  0 , 75  2 ,1 
A) 2,75
B) 3,50
C) 1,578
D) 2,498
E) 5,310
(3) 0 ,1  0 , 2  0 , 85  3 , 2  0 , 85  0 , 2   0 ,1 
A) 4,6
(4) 0 , 22 ... 
A) 2/9
B) 3,50
0 ,11
C) - 1,5
D) 2,4
...  1 , 22 ...  0 , 33 ...
B) –11/9
C) –5/9
E) - 3,2

D) 1
E) 2
(5) 0 , 25  0 ,33 ...  0 ,5   0 , 22 ...  0 ,75  0 , 44 ...
A) 11/18
B) –11/18
C) 7/9
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
D) 12/7
E) 1
123
MATEMÁTICA
(6)
3 décimos  85 milésimos + 458 centésimos
A) 4,965 centésimos
B) 496,5 milésimos
D) 496,5 centésimos
E) 49,65 milésimos
C) 49,65 centésimos
(7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos
A) 7363 centésimos
D) 73,63 centésimos
B) 7363 milésimos
C) 736,3 décimos
E) 736,3 milésimos
(8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos
A) 0,24
B) 2,4
C) 1,5
D) 4,24
E) 3,2
(9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma
cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene
Oswaldo?
A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50
¡Comprueba tus respuestas!
1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C
Clave de Respuetas
:
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
124
MATEMÁTICA
5.9
MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
5.9.1 Multiplicación y División Por Potencias De 10
Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la
derecha tantas ordenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr
la coma decimal para la izquierda.
Observe que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó
aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el
valor:
Ejemplo 1:
Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102. Basta correr la coma decimal
dos ordenes hacia la derecha.
Entonces:
47,235 x 100 = 4723,5
 El valor relativo de 7 pasó ser 700
Corre 2 espacios a la derecha
Además:
38,31152 x 1000 = 38311,52
 8 pasa a ser 8000
Corre 3 espacios a la derecha
Complete a simple vista:
a) 0,2356 x 1000 = _______
b) 0,7568565 x 100000 = ______
c) 0,012021 x 100000 = ______
d) 1,2 x 1000 = ________
e) 0,26 x 102 = ________
f) 0,000005 x 105 = ________
g) 2,58 x 104 = ________
h) 10,3 x 103 = ________
i) 0,5 x 105 = ___________
Verifique sus resultados y corrija si es necesario:
a) 235,6
b) 75685,65
c) 1202,1
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
d) 1200
e) 26
f) 0,5
125
MATEMÁTICA
g) 25800
h) 10300
i)
50000
Ejemplo 2:
Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres
ordenes hacia la izquierda.
Así:
13,235  1000 = 0,013235  El valor relativo de 13 enteros pasa a ser
0,013 (trece milésimos)
“Corre 3 espacios a la izquierda”
O también: 352,7  100 = 3,527  El valor relativo de 300 pasa a ser 3
“Corre 2 espacios a la izquierda”
Complete a simple vista según el ejemplo
a) 385,2  100 = 3,852
b) 2500  10000 =
c) 2335,8  100000 =
d) 25000000 105 =
e) 3,20  104 =
f) 3002,4  107 =
g) 30000000  109 =
Verifica la respuesta de las divisiones que has realizado, si es necesario tienes
que corregir:
b)
c)
d)
e)
f)
g)
0,25
0,023358
250
0,00032
0,00030024
0,03
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
126
MATEMÁTICA
5.9.2
Multiplicación Por Números Diferentes de Potencias de 10
Recuerde usted que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales,
entonces 3 3,6 puede efectuarse como sigue:
3,6 +
3,6
3,6
Complete el ejercicio:

10,8
3,6 x
3
0,175 +
0,175 
x
10,8
Por tanto, para multiplicar números decimales:
Multiplicamos los números como si fuesen números
enteros, y en el producto se separan tantos decimales,
como tengan los factores.
Ejemplos:
a) 5 x 1,41 = 7,05
b) 1,732 x 5 = 8,660

8,66

1,75
c) 0,012 x 1,2 = 0,0144
d) 1,25 x 1,4 = 1,750
Observe como se forman los resultados en los dos últimos ejemplos:
0,012 
1,2 
3 órdenes decimales
1 orden decimal
1,25
1,4
24
12
0,0144


2 órdenes decimales
1 ..........................
500
125

4 ordenes decimales
1,750
 ...............................
Si ha comprendido los ejemplos anteriores, resuelva las siguientes
multiplicaciones:
23,12 x
0,14
Rpta: 3,2368
24,786 x
2,5
Rpta : 61,965
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
0,0048 x
3,9
Rpta : 0,01872
127
MATEMÁTICA
Observe el primer ejemplo y escriba la respuesta (a simple vista) de los ejercicios
de reforzamiento que continúan ¡Ejercicio mental!
0,35 x 0,2 x 0,0006 =
420
¡Se multiplica como si fuesen números enteros!
¡Se completa con ceros, las cifras decimales que
2 cd + 1 cd + 4 cd = 7 cd
faltan!
= 0,0000420
= 0,000042
a) 0,005 x 0,06 =
g) 3,4 x 0, 11 =
b) 0,15 x 0,05 =
h) 2,5 x 1,1
c) 5 x 0,0054 =
i) 0,071 x 0,011
d) 2,48 x 0,005 =
j) 1,2 x 1,1 x 0,01 =
e) 0,5 x 0,624 =
k) 0,03 x 0,002 x 0,1 =
f) 3,20 x 0,5 =
l) 4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 =
Comprueba tus respuestas:
a) 0,00030
b) 0,0075
c) 0,0270
d) 0,01240
e) 0,3120
f) 1,60
g)
h)
i)
j)
k)
l)
5.9.3
0,374
2,75
0,000781
0,0132
0,000006
0,00040
Potenciación de Números Decimales
Por definición de potenciación, sabemos que:
(0.2)3 = (0.2)  (0.2)  (0.2) = 0.008
Podemos hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una
forma práctica, por ejemplo:
(0,03)4 = 0.00000081

Multiplicamos la cantidad de cifras
decimales por el exponente.
=
8 cifras decimales
(0,03)4 = 0.00000081
2 cifras decimales
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
Hallamos la potencia de la cifra
4
significativa: 3 = 81
128
MATEMÁTICA
Ahora, resuelva mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro
siguiente ¡ UD. SI PUEDE !
1. (0.003)2 =
2. (0.07)2 =
3. (0.2)5 =
4. (0.05)3 =
5. (0.012)2 =
6. (0.13)2 =
5.10 DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10
Vamos a suponer que usted tiene 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El
cálculo será:
13
5
2
3
caramelos para cada niño
sobrando 3 caramelos
Propiedad:
Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K” , y se
repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el
verdadero residuo varia quedando multiplicado por el número “K”.
¡Comprobemos! , multipliquemos al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por
4 y volvamos a dividir :
52
20
2
12
El cociente no varia
el residuo quedo multiplicado por 4
Comprobemos otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por
100, y volvemos a dividir:
1300
500
2
300
El cociente no varia
el residuo quedo multiplicado por 100
Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones con
números decimales.
Tome por ejemplo, la división 39,276  0,5 Observe que el divisor lo
convertiremos en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al
dividendo y al divisor (recuerda que al multiplicar por una potencia de diez a un
número decimal, se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
129
MATEMÁTICA
392,76
5
042
002 7
00 025
78,55
000,01
Cociente
0,01 es el Residuo falso (quedo multiplicado
por 10)
El verdadero residuo es 0,01 10 = 0,001
Respuesta: Al dividir 39,276  0,5 se obtiene
Cociente: 78,55
Residuo: 0,001
Comprobemos, utilizando el Algoritmo de la división:
Dividendo = divisor x cociente + residuo
39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001
Desarrolle estos cálculos abajo para que confirme usted esto:
78,55 x
0,5
+
¿Todo cierto?
Luego llegamos a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en
el divisor, se sigue la siguiente regla:
Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10.
Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número
(Potencia de 10).
El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el
mismo número (Potencia de 10).
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
130
MATEMÁTICA
Haga ahora usted solo, la división de 38,49 entre 0,6 y confirme el resultado como
hicimos con el ejemplo anterior.
Usted hará una serie de ejercicios, no se olvide sin embargo, de corregir las
respuestas. Esto es muy importante para un mejor aprendizaje.
1. Convierta en enteros los divisores, como el ejemplo:
a) 4,6  0,02
460
e) 1,2  4,325
2
b) 1,45  0,5
f)
4,82  1,4
c) 8  0,001
g) 6,247  21,34
d) 4  1,25
2. Divida Ud. Los siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en
milésimos y además indicar cual es el verdadero residuo.
0,32  0,13 =
32,
13
06 0
2,461
Cociente
00 80
000 20899
00,007
Falso residuo = 0,007
Verdadero Residuo = 0,007  100
= 0,00007
a) 0,17  15 =
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
131
MATEMÁTICA
b) 0,1  0,03 =
c) 0,325  0,19 =
d) 25,0087  3,02 =
Corrija los ejercicios 1 y 2 :
1.
2.
b) 14,5
5
c) 8000
1
d) 400
25
e) 1200
4325
f) 48,2
14
g) 624,7
21,34
a)
b)
c)
d)
Cociente = 0,011
Residuo = 0,005
Cociente = 3,333
Residuo = 0,00001
Cociente = 1,710
Residuo = 0,0001
Cociente = 8,281
Residuo = 0,00008
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
132
MATEMÁTICA
Continúe resolviendo los ejercicios y después corríjalos:
3. Calcular la distancia “x” de la pieza.
x
5,7 m
x
4. Halla la medida de la distancia de “x”.
x
x
2,15 m
3,015 m
5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente.
Calcular el valor de “x”.
6,24
7,02
P
C
A
D
O
B
x
15,6
Comprueba tu respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5 :
3. 1,9
4. 0,865
5. 1,95
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
133
MATEMÁTICA
5.11 RADICACIÓN DE NUMEROS DECIMALES
Definición de un radicación:
n
a  b  b  a
n
n : índice radical
a : radicando
b : raíz
n
Bien, ahora vamos a reconocer que números decimales tienen raíz exacta a
simple vista. ¡Presta atención! …
Por ejemplo vamos a hallar la raíz cúbica de 0,000064 :
 Primero analizamos si la cifra significativa
del número decimal tiene raíz exacta.
3
3
0,000064
0,000064
3
 Bien ahora tenemos que contar la cantidad
de cifras decimales, esta cantidad debe ser
múltiplo o divisible por el índice radical.
3
64  4
0,000064
6 cifras decimales y es divisible
por el índice radical que es 3
Si cumple estas dos condiciones, entonces
podemos afirmar con seguridad que el número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta.
Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera:
 Hallamos la raíz de la parte significativa.
 Dividimos la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este
cociente nos indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la
raíz.

3

0,000064
2 cifras decimales

0,04
6 cifras decimales
Veamos un último ejemplo, vamos a hallar
4

64  4
0,00000000 0625

4
3
3 cifras decimales
0,000000000625  0,005
12 cifras decimales
4
625  5
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
134
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
I. Complete el siguiente cuadro a simple vista, no uses calculadora, ¡Tú si puedes!
1,44
¿Tiene raíz
exacta?
Si tiene raíz
exacta, ¿Cuál
es?
sí
1,2
¿Tiene raíz
exacta?
3
0,000008
0,0625
3
0,125
0,000049
3
0,027
1,21
3
0,00000036
4
0,00009
Si tiene raíz
exacta, ¿Cuál
es?
0,0001
0,00000081
5
0,00001
II. Resuelva las siguientes operaciones combinadas con números decimales
1.

0,09  3 0,027  0,36

8

Rpta: 0
3
2.
0,008  3 0,125  5 0,00001

0,5
Rpta: 1,2
3.

6

0,000064  3 0,027 - 4 0,00000001  0,95  400
Rpta: 2
4.
0,000004  0,00000025 - 0,0001
Rpta: 0,2
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
135
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una rueda de 0,12 m de longitud
¿Cuántas vueltas dará al recorrer
1,80 m?
Solución:
Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia)
Distancia recorrida = # vueltas x Lc.
1,80 m = # vueltas.(0,12 m)
15 = # de vueltas
2. Para comprar 20 tornillos me faltaría Solución:
8 céntimos de sol y si compro 15 Tengo : T
tornillos, me sobraría S/. 0,12. Precio de cada tornillo : P
¿Cuánto vale cada tornillo en soles?
20P = T + 0,08
15P = T - 0,12
Restamos miembro a
miembro
5P = 0,20
P = 0,04
3. ¿En cuántos ochentavos es mayor Solución:
0,32 que 0,1325?
x
 0,32 - 0,1325
80
x  80.(0,1875)
x  15
4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y Solución:
el aceite vale S/. 3,75 más que el Frasco : F
frasco; entonces el precio del frasco Perfume : P
es:
F + P = 4,75
P - F = 3,75
Restamos miembro a
miembro
2F = 1
F = 0,50
5. Efectuar:
924,3555...  24,3555...
E
97,666...  2,333
Solución:
E
900
100
= 3
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
136
MATEMÁTICA
6. En el dibujo hallar a - b + c
Solución:
R
c
3,25 mm
R
19,50 mm
3R = 19,50
R = 6,50
b
 a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 = 8,75
 b = 2R = 13
a
21,75 mm
 c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 = 16,25

a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25
a - b + c = 12 mm
7. Guido da a un mendigo tantas veces Solución:
15 centavos como soles llevaba en Soles que llevaba en la billetera : x
la billetera. Si aun le
queda
S/. 170.00 ¿Cuánto llevaba en la
x - 0,15 x = 170
billetera?
0,85x = 170
x = 200
8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el Solución:
ciento; se echan a perder 20 y los Quedan por vender 180 alfileres que es
180/12 = 15 docenas
restantes los vendo a S/. 0,84 la igual a :
Se vendió:
docena. ¿Cuánto se gana?
15 Docenas x 0,84 = S/ 12,60
Se Invirtió:
S/ 10 por los dos cientos
La Ganancia :
S/ 12,60 - S/ 10,00 = S/ 2,60
9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas
por S/.160,72 sabiendo que en los
40 primeros kg ha ganado S/. 0,60
por kg y en los restantes ha perdido
S/.0,35 por kg ¿Cuál fue el precio de
compra?
Solución:
En los 40 kg , ganó
Ganacia = 40.(0,60) = S/. 24
En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg
perdío
Pérdida = 20,80.(0,35) = 7,28
Obtuvo una ganancia liquida de :
24 – 7,28 = S/. 16,72
P. de Compra = P. de Venta - Ganancia
P. de Compra = 160,72 - 16,72 = S/.144
10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205?
Solución:
Fracción =
1,205
= 1/5
6,025
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
137
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I
01. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de un
terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?
a) 60,254 m b) 62,558 m
c) 54,058 m
d) 56,915 m
e) 52,128 m
02. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro
cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?
a) S/. 70,20
b) S/. 72,28
c)S/.73
d) S/. 71,20
e) S/. 70
03. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la
recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió,
subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
04. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?
a) 0,6
b) 60
c) 600
d) 0,06
e) 6000
05. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para
comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada uno le
sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos?
a) S/. 125
b) S/. 100
c) S/. 75
d) S/. 150
e) S/. 162
6. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/.
0,6. ¿Cuántos lápices tengo?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
7. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de
pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto
sobrará de la barra en cm?
a) 4
b) 4,52
c) 3,75
d) 4,25
e) 2,28
8. Calcule la suma de cifras de M.
Si:
a) 14



0,4  0,25  0,12 225
M

1,16
b) 11
c) 10
d) 19
e) 9
9. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su capacidad
es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos litros de vino se
extrajo?
a) 50
b) 65
c) 70
d) 50
e) 60
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
138
MATEMÁTICA
10. En el gráfico, halle “L”, si r = 2,6 m
L
a) 12,40 m
b) 14,20 m
c) 11,84 m
d) 15,30 m
e) 13,64 m
R
r
8,4 m
13,6m
10A. Efectuar la siguiente operación.
0,0062  0,0025
0,0000042
a) 72  10 2
d) 3,6  10 4
c) 36  10 4
b) 1
e) 18  10 2
11. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, halle la raíz cuadrada de “M”
T  8,3521
a) 1, 3
b) 1,2
c) 1,7
d) 1,01
e) 1,4
12. Hallar el valor de “E”



E  2,3  0,375  0,83  1,3
a) 0,72
b) 0,50
c) 0,60
d) 0,55
e) 0,333…
13. Hallar el decimal equivalente a:

a) 6,4
b) 12


 2
0,916  3,6
c) 8
d) 8,25
e) 5,444…
14. Pierdo s/.19 al vender 95 pelotas a s/.9,65 cada una.¿Cual es el precio de
compra de una gruesa de pelotas?
a) S/.1418,40
b) S/.1400
c) S/. 985
d) S/.1280
e) S/. 1346
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
139
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II
1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se Solución:
venden 4 pernos por S/0,50
¿Cuántas docenas de pernos hay
que vender para ganar S/. 2,40?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 18
E) 24
2. Efectuar :
Solución:
 8,3144...  0,31414 ... 
B

 1,444...  0,555... 
A) 1/2
D) 1/4
B) 2/3
E) 2
1
C) 4
3. ¿Cuántas
de
las
siguientes Solución:
fracciones
generan
números
decimales
inexactos
periódicos
mixtos?
23 9 17 301 5 43
;
; ;
; ;
60 900 41 30 16 47
A) 1/2
B) 2
C) 4
D) 3
E) 1
4. Hallar
R
, si:
3
Solución:
(0,028)(0,00005)(2,25)
(0,002)(0,15)(0,007)
A) 1,20
B) 2,50
C) 1,50
D) 0,80
E) 0,50
R
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
140
MATEMÁTICA
UNIDAD 06
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
141
MATEMÁTICA
6.1 POTENCIACIÓN
Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como
factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta
operación potencia.
b : base
n : exponente
n
b P
P : potencia
bn  b  b  b  .... b  P
“n” veces
Ejemplos:
a. 54  5  5  5  5  625
b. 33  3  3  3  27
c. 71  7  7
d. 25  2  2  2  2  2  32
3
2 2 2 2 8
e.      
 3  3 3 3 27
0,53  0,5  0,5  0,5  0,125
f.
6.2 SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN
El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.
a.
b.
c.
Positivo Par o impar  Positivo
NegativoPar  Positivo
NegativoImpar  Negativo
Ejemplos:
a. (+2)4 = +16
b. (+2)5 = +32
c. (-2)4 = +16
d. (-3)2 = +9
e. (-2)5 = -32
f. (-3)3 = -27
4
16
 2
g.     
81
 3
3
1
 1
h.     
64
 4
NOTA: ¡Cuidado!, observa el siguiente ejemplo:
- 3 4  - 3  3  3  3  - 81 “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que:
- 3 4  - 3   3    3   3    81 “El exponente afecta al signo y al número 3”
Por lo tanto : -34 ≠ (-3)4
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
142
MATEMÁTICA
6.2.1 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
PROPIEDAD
NOTACIÓN
a0 = 1; (a ≠ 0)
Exponente
cero
EJEMPLO
a)
00 = Indeterminado
b)
Producto de potencias
de igual base
an x am = an+m
Cociente de potencias
de igual base
an
 a n -m
m
a
0
7

70  1
3  7  210  Indeterminado
5
3
2 x 2  2
53
 2
8
 28   283   25
 23
n
a
n
1
1
   n
a
a
Exponente negativo
a
 
b
n
n
bn
b
   n
a
a
3
 
4

2
4
 
3

2
Potencia de un
producto
a  b n  a n  b n
Potencia de un
cociente
an
a
   n
b
b
 3
3


 4   42


Potencia de una
potencia
a 
2
Exponente de
exponente
c
c
a b  a b 
n
Potencia de la unidad
b c
 a bc
n
1 =1
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
4
5 x2
4

2
3 5

5 4 x2
4
4
2
2
3 x5

2
15
2 3  2 3 x3  2 9
2
a) 18 = 1
b) 115 = 1
143
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
Completar el número que falta en el casillero correspondiente:
1)
(-5)3 =
2)
(+7)2 =
3)
(-1)715 =
4)
(-10)3 =
5)
(-9)2 =
6)
(-4)3 =
7)
(+5)3 =
8)
(+1)17 =
9)
(-7)3 =
10)
(-4)4 =
11)
(-1)13 =
12)
-113 =
13)
(-1)80 =
14)
-180 =
15)
(-5+5)3 ─ 3 =
16)
 2
  =
 5
17)
2
  =
5
18)

19)
 2
  =
 5
20)
2
  =
5
21)
2
 =
3
3
3
4
3
4
2
=
3
4
Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades
1)
 7 7  7 2  7 3  7    7 
2)
 17 250  17 125
 17 373
3)
 27 3  98  27 5  38   3
4)
 7 2  13 8  8  
5)
  13  
  19  


69

  17 
 13 
 19 
6)
.. 13      13 
7)
 3   2   5  
8)
 253      19    
9)
 515  159  315  156   15
.5
.2 .3
4
6
. 57
. 20 . 7  7
5 .3
  3 .  . 2 .  . 5 
.3
. 58 . 0
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
144
MATEMÁTICA
10)
 517   
11)
 3  5   3
12)
  2 .3  8 
  
  7
  7       2 
 
 
13)
 3
 
 5
14)
13  2
15)
  3    5    7    11 

 
 
 
 =
 5   7   11   3 
. 87
.9 .........
. 9 .3
.4
11
  9 
99
.27
 5.12  15 
2


11
11
11
Escribe en los casilleros en blanco las potencias indicadas:
 a 
 
 b 
n
Al cuadrado
Al cubo
A la cuarta
1
2
2
3
1
2
3
2
2
5
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
145
MATEMÁTICA
6.3 RADICACIÓN
La RADICACION es una operación inversa de la potenciación.
En la potenciación vimos que:
23 = 2 x 2 x 2 = 8.
Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente
tenemos:
3
8 = 3 2 3 =2
Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
decimos que 2 es la raíz ………………de 16.
La notación será:
4
16  ........  ............
O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2.
 Al trabajo de sacar raíz llamamos RADICACION, que es una operación inversa
de la POTENCIACION.
OBSERVACIONES:
A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CUBICA.
A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA.
Asimismo:
23 = 8 
3
15 = 1 
5
= 1 (se lee RAIZ……………………………………………… )
32 = 9 
2
= 3 ( se lee……………………………………………………)
51 = 5 
…...= 5 (se lee RAIZ PRIMERA DE CINCO RAIZ……………
8 = 2 (se lee RAIZ CUBICA DE OCHO)
Vea los nombres de los términos de la radicación
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
 
146
MATEMÁTICA
Luego:
La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b  |R y n 
|N, un número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota
n
b
Radicación: |R x |N*  |R
(b, n) 
n
b = a  an = b
Donde:

Si b> 0, entonces a > 0

Si b >0 entonces a< 0 (si existe)
Ejemplos:
a)
b)
3
 0,027  0,3
 36 = no existe en el conjunto de números reales (R)
ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA
Vamos a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar como se hace
Supongamos que queremos hallar la raíz cuadrada de 59074
En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a
izquierda así
5.90.74
Buscamos un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2
Escribimos el 2 en la caja de la derecha
Elevamos 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1
Bajamos las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la
derecha, o sea el cero.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
147
MATEMÁTICA
Ponemos el doble de 2 debajo, o sea un 4
Y dividimos 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se
multiplica por 4 el 44
Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la
derecha del 2.
Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la
derecha
Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48
Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483
por 3
Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
148
MATEMÁTICA
De tal forma que:
radicación.”
2432  25  59074
“Donde 25 es el residuo de la
Si el número del que queremos hallar la raíz es decimal la separación de las cifras
de dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda.
Si en la raíz cuadrada anterior queremos sacar decimales, se bajan dos ceros a la
derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo
procedimiento.
EJERCICIOS
Calcule la raíz cuadrada de los siguientes números e indique su raíz cuadrada, el
residuo y realizar su comprobación.
Número
58708
Raíz cuadrada
Residuo
Comprobación
242
144
58708  242 2  144
99500
734449
1522756
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
149
MATEMÁTICA
RAIZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES
PRIMOS
Vamos a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método
descomposición en sus factores primos.
Primero.- descomponemos en sus factores primos el número 435600
435600  2 4  3 2  5 2  11 2
Segundo.- Extraemos la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de
radicales (Raíz de una multiplicación indicada)
435600  24  32  52  112  24  32  52  112  22  3  5  11  660
Entonces
435600  660
Veamos otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000
3

216000
3
2 6  3 3  5 3  2 2  3  5  60
EJERCICIOS
Calcule la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilice le método de
descomposición de factores primos.
Número
3
2744
3
2744

3
Procedimiento
Respuesta
2 3  7 3  2  7  14
14
7744
4
50625
18225
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
150
MATEMÁTICA
6.3.1
SIGNOS DE LA RADICACIÓN
SIGNOS DE LA RADICACIÓN
EJEMPLOS
1)
a)
Par o Impar
2)
 
3)
4)
1)
Impar
  -
b)
2)
c)
Par
  No existe en el conjunto
1)
de números reales (R)
2)
4
 81   3
5
 32   2
724
1   1
725
 1  1
3
 64   4
547
4
1  1
16 
No existe en R.
1 
No existe en R.
540
6.3.2. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
PROPIEDAD
Raíz de un
Producto
Raíz de un
Cociente
NOTACIÓN
n
n
ab  a . b
n
a

b
n
n
EJEMPLOS
1)
3
27 x 64  3 27  3 64  3  4  12
2)
4
810000  4 81 10000  4 81  4 1000  3  10  30
1)
4
4
256
256
16
4

10000
10000 10
n
a
.
b
2)
25  36
25  36
5  6 30



49  121
49  121 7  11 77
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
151
MATEMÁTICA
1)
2)
Raíz de una
Potencia
Raíz de una
raíz
n
ab  n a  a 
b
n m
b
82 
3
105
n
15
4)
6
218  7 3

56
6
6
7  20 7
2)
8 4
7 32  32 7 32  71  7
am b  n a nm b
2 3  2 49 8  7 56


5
5
5
120 120
3120  8 40
3  120 8 40 31  3 8


120
13 240
13 2
13 240
3 2
6

169 169
8
3

56
4 5
1)
¡Se simplifica el exponente
fraccionario!
218  6 49 3
1)

an b  a b
 33  27
¡ Se simplifica el
índice radical con el exponente!
3)
Consecuencia
de las
propiedades
anteriormente
mencionadas
35
2
a  n.m a.
n
 (2 )2  4
125 10  3 125 2  3 125  5 2  25
3 5 8
n
2
3
3105  3
35
3)
 8
5 
3
83
2
2)
81  16 
 3 2  6
1)
5 3  5 2  3  75
2)
23 10  3 2 3  10  3 80
5  2
81 
6
5
16  4 81  4 16
n
x
n
x a .m x
bp
xc  x
3
2 2
+
x
+
( a . m  b ).p  c
n .m.p
Ejemplo:
8. 8 4 
3
2
33
2
2
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
( 3 3  3 )  2  2
2  3 2
2
26
12
2
13
6
152
MATEMÁTICA
6.3.3 RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES
SEMEJANTES:
Radicales Homogéneos.- Son aquellos radicales que tiene el mismo índice
radical.
Ejemplos:
3 2
a) 7 ; 8 ; 5 6 ;
“Todos son raíces cuadradas”
5
3
3 3
b)  53 2 ;
; 7 ; 3 5 “Todos son raíces cúbicas”
5
Radicales semejantes.- Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical
y la misma cantidad subradical.
Ejemplos:
3 7
a) 7 ;
;  2 7 “Todos son raíces cuadradas de siete”
5
3
2 3
b)  53 2 ;
; 2 ; 43 2 “Todos son raíces cúbicas de dos”
5
6.3.4 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES :
Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener
factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz.
Ejemplos:
1) Simplificar
720
Descomponemos 720 en sus
factores primos
Algunos factores tienen
exponentes divisibles por el índice
radical; procedemos a extraer esos
factores.
2) Simplificar
3
720  2 4  32  5
720  24  32  5  22 3 5  12 5
17280
Descomponemos 8640 en sus
factores primos
17280  2 7  3 3  5
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
153
MATEMÁTICA
3
Algunos factores tienen
exponentes mayores que el índice
radical, los descomponemos de tal
forma que tengan exponentes
divisibles por el índice radical.
3) Simplificar
17280  3 2 6  2  3 3  5
 3 2 6  3 33  3 2  5
 22  3 3 2  5
 12 3 10
50
Podemos simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de
su habilidad, observe con cuidado:
50 
25  2 
25  2  5 2
Buscamos 2 números cuyo producto sea 50 y
uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta
3) Simplificar 7 32
7 32  7 16  2  7  16  2  7  4  2  28 2
EJERCICIOS
Simplifica los siguientes radicales
a)
3
77  2
b)
3
875
c)
3
54
d)
5
12500
e)
5
1080
f)
7
 3 7 6  7  2  3 7 6  3 7  3 2  7 2 3 7  2  493 14
1920
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
154
MATEMÁTICA
6.3.5 OPERACIONES CON RADICALES :
ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES
Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes, veamos algunos
ejemplos:
1) Efectuar: 3 2 
2 8 2 4 2
3 2  2 8 2 4 2
 3  1  8  4  2  6 2
Súmanos y restamos solo los coeficientes.
2) Efectuar:
23 5  8 6  3 5  3 6
23 5  8 6  3 5  3 6
 23 5  3 5  8 6  3 6
 3 5  11 6
Se suman y restan solo los radicales semejantes.
2) Efectuar:
3 2  2 50  32
Tenemos que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales
semejantes)
3 2  2 50  32  3 2  10 2  4 2  9 2
MULTIPLICACION DE RADICALES
Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos.
an b  cn d  a  c n b  d
Ejemplos:
1) Multiplicar :
23 5  33 2  43 7
23 5  33 2  43 7  2  3  4  3 5  2  7  243 70
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
155
MATEMÁTICA
2) Multiplicar:
35
3
4 5 3
5
7
35
3
3 3
9
4  5 3    5 4  3  5 12
5
7
5 7
35
DIVISIÓN DE RADICALES
Si los radicales son homogéneos dividimos los coeficientes y dividimos los
radicándos.
a n b  c n d  a  c . n b  d 
Ejemplos:
1) Dividir: 12 6  3 3
6  3 3  12  3  6  3  4 2
12
2) Dividir:
243 72
723 36
24 3 72
24 3 72
1


 3 2
3
72
36
3
72 36
6.3.6 RACIONALIZACIÓN DE RADICALES :
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener
fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este
proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el
denominador, el proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
CASO I:
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada.
En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz
cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción
multiplicaremos numerador y denominador por
5
,
2
2 .
5
5 2
5 2 5 2



2
2
2 2
22
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
156
MATEMÁTICA
2 3
18
Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del
denominador, tenemos:
Otro ejemplo. Racionalizar
2 3
2 3
2 3


18
2.32 3 2
2 para eliminar la raíz del
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por
denominador:
2 3 2 3 2 2 6
6



3
3 2 3 2  2 3 2
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 18
2 3 2 3. 18 2 54
54



18
9
18
18. 18
Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
54

9
2  33 3 2  3
6


, como vemos da el mismo resultado.
9
9
3
CASO II:
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en
los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y
viceversa.
Por ejemplo
7
, multiplicamos numerador y denominador por
5 3
7

5 3
7


5 3
5 3


5 3
5 3

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una
diferencia, o sea una expresión del tipo a  b a  b   a  b
2
7

5 3
7


5 3
5 3


5

3  5   3

7

5 3
2
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
2

7

2
5 3
53
  7
5 3

2
157
MATEMÁTICA
Otro ejemplo:
2
ahora multiplicamos numerador y denominador por 3  7
3 7






2 3 7
2 3 7
2 3 7
2



 3 7
97
2
3 7
3 7 3 7



CASO III:
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se
multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una
potencia de exponente “n”.
Por ejemplo:
3
1
25
Factorizamos el radicando del denominador:
a multiplicar numerador y denominador por
1

3
25
1
3
52

3
3
3
5
52 3 5
1
1
y como 3 5 3  5 , vamos

25 3 5 2
5 para completar la potencia de 5
3

3
3
5
53

3
5
5
2
2
Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego
Otro ejemplo:
4
basta multiplicar por
4
23
2
2 4 23
2 4 23
2 4 23




4
4
4
2
2
2 4 23
24
4
23
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO NIVEL I
1. Valor de potencias
b) (-2)2 + 24 =
a) (-3)2 =
c) (-4)2 - (-3)2 =
2. Suma y resta de potencias
a) 2. 32 + 4.32 = b) 4.33 – 2.33 =
c) 2. (-4)2 - 52 =
3. Multiplicación de potencias con bases iguales
b) 3.33 . 3.33 =
c) 4. 42 . 42 =
a) 2. 22 .22.2 2 =
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
d) (-4)3 -2(-4)3 =
d) (-4)3 +33 -2(-4)3 =
d) 2b.23 .2 3 .2b3 =
158
MATEMÁTICA
4. Multiplicación de potencias con exponentes iguales
a) 42 .32.5 2 =
b) 23. (0,3)3 =
c) 2. 33. 43 =
d) 2b3.3b3 .5b 3 =
5. Potencias con exponentes negativos
b) 2-3. 3-2=
c) 2-3. 3-2. 4-3 =
a) 5 -2 =
d) -2-3 +( -3)-3 =
6. División de potencias con bases iguales
b) 33 : 31 =
c) 46 : 42 =
a) 25 :22 =
d) 6n4x5 : 2n4 x3 =
7. División de potencias con exponentes iguales
b) 63 : 33 =
c) 166 : 46 =
a) 45 :25 =
8. Multiplicación y división de potencias
2.42.5
4.6.5
2b5 .3b.5b
b) 2
c)
a)
2.3.5
2 .3.5
3b.4b3.6b
9. Potencia de potencias
b) (3-4)-2
a) 23.5
10.
Potencia de sumas
a) (2+3).(2+3)
b) (1+6).(1+6)
c) (-2-3)-2
c) (3a-1)2 =
11.
Conversión en factores de potencias
b) 25 + 30b +9b2
c) x2 +8x + 15
a) 4-4a+a2
d) 6n5x3 : 2n5 x3 =
d)
80b.7 b.6d
16.5b 2 .9d
d) (2-2.2-4.32.5-3)-2
d) (3-2b).(3+2b) =
d) (25-c2)/ (5+c)
EXTRACIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I-A
1.
Extraiga la raíz de:
a)
b)
c)
d)
e)
2916
45796
8,2944
4,53
2401
f)
g)
h)
i)
j)
88,36
6,3504
7,569
63,845
0,8436
2.
Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de
15,9 cm2 ¿Qué longitud tienen los lados?
3.
La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9
cm2, Calcule el diámetro de la cadena.
4.
La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un
12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de
émbolo?
5.
La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6
cm2. ¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo?
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
159
MATEMÁTICA
PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA nivel I-B
Problema 1.-
FIGURA 2- 4
Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2 de
superficie. Calcule la longitud de los lados
a) 45 mm
b) 17 mm
c) 15 mm
d) 24 mm
e) 35 mm
Problema 2.La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2
Calcule el diámetro de la cadena.
a) 5 mm
b) 7 mm
c) 15 mm
d) 12 mm
e) 13 mm
Problema 3.FIGURA 10
La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o
es de 16 mm2. Calcule la longitud de los catetos.
a) 5,65 mm
b) 7,1 mm
c) 1,5 mm
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
d) 1,25 mm
e) 1,36 mm
160
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel
II
1. Determine la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres
cuartas partes se obtenga un cubo perfecto.
a) 1
b) 16
c) 8
d) 27
e) 25
2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878?
a) 10
b) 87
c) 98
d) 27
e) 55
3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si
se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261
árboles más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m.
¿Hallar el lado del terreno?
a) 36
b) 17
c) 48
d) 27
e) 39
4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha
construido un almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m2 con las
esquinas de los límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de
361 m2. ¿Cuál es el área de toda la propiedad?
a) 1089 m2
b) 1024 m2
c) 2420 m2
d) 1280 m2
e) 1325 m2
5. Un terreno esta sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en
el interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en
total?
a) 625
b) 676
c) 576
d) 729
e) 616
6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742
a) 318
b) 0,1
c) 0,318
d) 0,0318
e) 4,5742
2 50  3 8  32
7. Reducir:
98  18  3 2
b) 6/7
a) 12
c) 12/7
d) 5/7
e) 6
8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones:
I.
x  .x 
II.
- 2 5 . 8
III.
2n
IV.
n 2
2 n
2
 1; x  0
1
5
 2
3 n.27 n 
 x 2n 




2n
1
9
x
a) VVFV
9. Efectuar: E  5 4 3 
a) 5 3
b) FVVF
3  1 .5 4 3 
b)
10
3
c) VVVV
d) VFVV
e) FFFV
d) 1
e) -1
3 1
c)
5
9
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
161
MATEMÁTICA
3  1
3
2  2



2  7
7  2
7
10. Efectuar:
a) 9/7
b) 7
11. Efectuar:


 2 3  2 3 


a) 16
12.
108 
a)
d) 2/7
e) 8
c) 8
d) 128
e) 256
6
b) 64
2
c) 1
equivale a :
3  27
19 3  1
3
b)
c) –2
33 3
d)
6  2 27
e)
4 108
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel III
1. El cuadrado de la raíz cúbica de :

a )0,1

b)0,2

c )0,3

d )0,4
0,296296... es:

e)0,5
2. ¿A que es igual la diferencia de 2 números consecutivos elevados al cubo ?
a) 3n+1
b) 3n² + 1
c) 3n² + 3n
d)3n(n+1 )+ 1
e) 3
3. Al multiplicar un número por 3, 5 y 7 se obtienen tres números cuyo producto es
230 685.
Calcule dicho número.
a)11
b)13
c)15
d)17
e)19
4. ¿ Cuál de las expresiones es Mayor ?
a)
0 , 027
b)
4
5
0 ,16
c)
1
3
d)
5. Resuelva la siguiente expresión
6. Resolver
a ) 15
b ) 25
7. Resolver
a) 5
13
e ) ( 0 ,1 ) 3
( 0,2  0,05 )²
( 0, 2  0,05 )²
458.7511.225 7
315.518
c ) 125
3

2
3

2
b) 3
3
10
d ) 250
e ) 225
2
3
2
3
c)
2
d )1
e)2
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
162
MATEMÁTICA
3
8.
1
2
2 
2
a )2
2
b )5
d )7
b ) 2 ,7
c ) 3 ,6
10.  20  80  245  (
a ) 10
e )1
1
1
1
)( 2  )( 5  )
10
2
5
9. ( 10 
a )1 , 5
c )6
5 b )8
3 c)
11. P  0.0063
a)P  2Q
e ) 4 ,5
3 96
)
2 19,2
15
2
7
2
3 e )3
d)P  Q
e)Q  5 P
5 d )
6
Q  0,0082  0,0062
b)P  Q
12 . A  9 2
d )4
c)Q  P
B  5 2 . Hallar A 2 .B 2
a ) 810 b ) 270 c ) 8100 d ) 2700 e ) 450
13. (1 
a)1  2
1
1
)  (2 
)
2
2
b)2  3
c) 3  2
d)3 2
e) 2
2 3
2 3
.
2 3
2 3
a)1 b)4 c)6 d )8 e)10
14 .
3
15 . (
2
a) 2
) (
2
3 1
b) 3
16. Hallar
x :
a )1 / 8
b )1
1
c) 6
81 3
c)2
2
)
1
3
d) 6 1
2x
 27
d )1 / 2
e )1
42x
e )3
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
163
MATEMÁTICA
UNIDAD 07
TRIGONOMETRÍA BÁSICA
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
164
MATEMÁTICA
TRIGONOMETRÍA BÁSICA
7.1. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida
alguna fracción del ángulo de una vuelta.
Principales sistema de medidas angulares:
*
Sistema Sexagesimal (inglés) :
Sº
*
Sistema Centesimal (francés) :
Cg
*
Sistema Radial o Circular
R rad
7.1.1.
:
SISTEMA SEXAGESIMAL ( S )
La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte
del ángulo de una vuelta.
El ángulo de una vuelta mide 360º
Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1) y el
Segundo Sexagesimal (1), donde:
1º equivale a 60
180
1 equivale a 60
1º equilave a (60x60) ó 3600
90
7.1.2.
SISTEMA CENTESIMAL ( C )
La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del
ángulo de una vuelta.
El ángulo de una vuelta mide 400g
Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el
Segundo Centesimal (1s), donde:
1g equivale a 100m
200g
1m equivale a 100s
1g equilave a (100x100)s ó 10000s
100g
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
165
MATEMÁTICA
7.1.3.
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR ( R )
La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de
un ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud
del arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.
L

R
“Si L  R entonces la medida del  , es igual
a un radián o simplemente   1 rad.”
El ángulo de una vuelta mide 2 rad.
 rad
7.1.4.

rad
2
RELACION ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ANGULOS
Sea  un angulo donde:
S representa la medida de  en grados Sexagesimales.
C representa la medida de  en grados Centesimales.
R representa la medida de  en Radianes.
Donde la fórmula de Conversión es:
S
180

C
200

R

Observaciones:
 S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos).
 Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa empleamos
S
C
S
C
solo:

; simplificando obtenemos:

180 200
9
10
Donde:
S
9.C
10
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
C
10.S
9
166
MATEMÁTICA
 Otras equivalencias importantes:
9 = 10g
27 = 50m
180 =  rad
200g =  rad
81 = 250s
Ejemplos:
1) Convertir 30 a grados centesimales.
Como S = 30, remplazamos en la siguiente fórmula:
10.45º 
10.S
 C
 50 g
C
9
9
2) Convertir 125g a radianes
Como C = 125g, remplazamos en la siguiente fórmula:
R
C
R 125
5



 R
rad
 200
 200
8
3
radianes a grados sexagesimales
5
3) Convertir
Como R =
S
R

180 
3
rad, remplazamos en la siguiente fórmula:
5
3
1803
S

 5  S
 S  108º
5

180
OTRA FORMA:
Multiplicamos la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que esta
conformado por una fracción equivalente a la unidad.
En el denominador de tal fracción escribimos la unidad a eliminar y en el
numerador la unidad que buscamos.
Por ejemplo para convertir
siguiente manera:
3
rad a grados sexagesimales lo haremos de la
5
3.rad
3.rad 180º
1 

5
5
.rad
Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION)
sabiendo que: 180 =  rad.
Luego :
3
3.rad 180º 3  180º
rad 


 108º
.rad
5
5
5
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
167
MATEMÁTICA
4) Convertir 0,621 a segundos centesimales
Solución:
Vamos a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN
No debemos de olvidar que:
1g=100m
1m=100s
9=10g
10 g 100 m 100 s
0,621º  0,621º
 g  m  6900 s
9º
1
1
5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales
Recordar que:
7500s  7500s 
"
81
1´
 "  40,5´
s
250 60
81” = 250s
1´ = 60”
EJERCICIOS
1.
Complete el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido:
N
SEXAGESIMAL ( Sº )
1
30º
2
60º
3
90º
4
45º
5
27º
6
53º
7
16º
8
74º
9
8º
CENTESIMAL ( Cg )
10
91 1/9g
11
16 2/3g
12
83 1/3g
13
25g
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
RADIAL ( R rad )
168
MATEMÁTICA
14
75g
15
20 5/9g
16
79 4/9g
17
29 4/9g
127 
360
2
3
5
4
18
19
20
27 
36
21
1.
SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES
N
SEXAGESIMAL ( Sº )
CENTESIMAL ( Cg )
1
30º
33 1/3g
2
60º
66 2/3g
3
90º
100g
4
45º
50g
5
27º
41 219g
6
53º
58 8/9g
7
16º
17 7/9g
8
74º
82 2/9g
9
8º
8 8/9g
10
82º
91 1/9g
11
15º
16 2/3g
12
75º
83 1/3g
13
22,5º
25g
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
RADIAL ( R rad )
1  rad
6
1  rad
3
1  rad
2
1  rad
4
37  rad
180
53  rad
180
4  rad
45
37  rad
90
2  rad
45
41  rad
90
1  rad
12
5  rad
12
1  rad
8
169
MATEMÁTICA
7.2.
14
67,5º
75g
15
18,5º
20 5/9g
16
71,5º
79 4/9g
17
26,5º
29 4/9g
18
63,5º
70 5/9g
19
120º
133 1/3g
20
225º
250g
21
135º
150g
3  rad
8
37  rad
360
143  rad
360
53  rad
360
127  rad
360
2  rad
3
5  rad
4
3  rad
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo respecto a un ángulo agudo.
En el triángulo rectángulo que se muestra, los
catetos son los lados a y b; la hipotenusa es c,
además:

c
a

Cateto opuesto de  es “a”
Cateto adyacente de  es “b”
b
Cateto opuesto de  es “b”
Cateto adyacente de  es “a”
Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “” serian:
Seno  
a
Cateto opuesto

c
Hipotenusa
Coseno  
b Cateto adyacente

c
Hipotenusa
Tangente  
a
Cateto opuesto

b Cateto adyacente
Cotangente  
Secante  
c
Hipotenusa

b Cateto adyacente
Cosecante  
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
b Cateto adyacente

a
Cateto opuesto
c
Hipotenusa

a Cateto opuesto
170
MATEMÁTICA
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
60º
2k
53º
5k
k
30º
k
4k
74º
82º
10k
8º
10 k
5k
k
3k
k
k
53º
2
37º
2
( 6  2 )k
15º
( 6  2 )k
7 2k
24k
75º
4k
k 2
7k
16º
k
45º
37º
k 3
25k
45º
k 2
3k
15
75
4k
2k
TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
F.T.
8º
15º
16º
Sen
2
10
6 2
4
7
25
Cos
7 2
10
6 2
4
24
25
Tng
1
7
6 2
6 2
Ctg
7
1
Sec
Csc
37/2º 53/2º
30º
37º
45º
53º
60º
1
5
1
2
3
5
1
2
4
5
3
2
3
10
2
5
3
2
4
5
1
2
3
5
1
2
7
24
1
3
1
2
1
3
3
4
1
1
4
3
3
1
6 2
6 2
24
7
3
1
2
1
3
1
4
3
1
1
3
4
1
3
10
7 2
4
6 2
25
24
10
3
5
2
2
3
5
4
2
1
5
3
2
1
10
2
4
6 2
25
7
10
1
5
1
2
1
5
3
2
1
5
4
2
3
1
10
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
171
MATEMÁTICA
7.3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los
semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL.
Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º;360º. Las razones
trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente
tabla:
90
sen cos
tg
cotg sec cosec
0º ó 360º
0
1
0
ND
1
ND
90º
1
0
ND
0
ND
1
180º
0
-1
0
ND
-1
ND
270º
-1
0
ND
0
ND
-1
0
180
360
ND: “No definido”
Ejemplos de aplicación
Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones
2
1.
2.
2 cos 2 45º  6 cos16º
cos 53º
3
5ctg 2


 3 sec 2
6
3
24
 1 
2    6
25
 2
=
3
5
12
17
1
5
5 =
=
=
3
3
5
5
=
3
5ctg 2 30º 3 sec 2 60º
= 3 5 3  3 4
= 3
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
144
1
2   
25
2
=
3
5
17
3
=
3
5
=
3
27
 3
2
 3  2 
2
172
MATEMÁTICA
7.4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a
partir de dos datos, uno de los cuales debe ser lado.
Para resolver triángulos rectángulos se nos puede presentar dos casos:
I. Los datos conocidos son: dos lados.
II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.
Ejemplos:
1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Solución:
Como datos tenemos la medida de dos lados,
“este problema corresponde al caso I.”
Para hallar el tercer lado “a”, aplicamos el
Teorema de Pitágoras.
a 2  28 2  35 2
β
35 m
a

28 m
a 2  35 2  28 2
a 2  441
a  441
a  21
El ángulo  lo hallamos estableciendo una razón trigonométrica que
relacione lados conocidos.
28 4
4
Cosα 
 ;
Pero el Cos53 o  ;
Entonces :
α  53º
35 5
5
" " es el complement o de " " , por lo tanto :
  90º - 53º
β  37 º
2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Solución:
Como datos tenemos la medida de un ángulo
agudo y un lado, “este problema corresponde al
caso II.”
Hallamos β, que el complemento de 16
β = 90 - 16
β = 74
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
50cm
β
a
16
b
173
MATEMÁTICA
Calculamos “a” : tomemos una razón trigonométrica de 16, que relacione
el dato con la incógnita.
Lado desconocid o
 RT ( )
Lado conocido
Razón Trigonométrica de 
a
 sen 16º
50 cm
β
50cm
a
7

50 cm 25
a
16
b
a  14 cm
Calculamos “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez
conviene trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16.
b
 Cos 16º
50 cm
50cm
a
24

50 cm 25
β
a
16
b
a  48 cm
7.5 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS
“En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos”
b

a

β
a
b
c


Sen  Sen  Sen 
c
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
174
MATEMÁTICA
Ejemplo:
1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Solución:
Resolver el triángulo consiste en hallar
la medida de sus lados y sus ángulos
internos. Entonces tenemos que hallar
las medidas de “L”, “β” y “” .
37º
L
70 m
β

84 m
Primero hallamos el valor de “”
aplicando la ley de senos :
84m
70m

Sen 37º Sen θ
Sen  
70  Sen 37º
84
3
70   
5
Sen  
84
1
Sen   ; Entonces :
2
37º
L
70 m
  30º
113
30
84 m
Ahora hallamos el valor de “β”:
37º + 30º + β = 180º
β = 113º
Aplicamos la Ley de senos para calcular el valor de “L”:
L
70m

Sen 113º Sen 30º
L
70 m  Sen 113º
Sen 30º
Pero :
Sen 113º  Sen67º (Reducción I Cuadrante)
70 m  Sen 67º 70 m  0,9205
;

1
Sen 30º
2
Entonces :
L  128,87 m
L
Sen 67º  0,9205 (Por Tablas)
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
175
MATEMÁTICA
7.6 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es
igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el
doble producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre
ellos”
c
a
c 2  a 2  b 2  2ab.Cosθ

b
Ejemplo:
1. Hallar la medida del lado “x”
Solución:
x 2  12 2  20 2  21220 cos37º
4
x 2  144  400  480  
5
2
x  544  384
x  160  4 10 m.
x
20 m
37º
12 m
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I
MEDIDAS TRIGOMETRICAS
1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 10 N hacia arriba, una fuerza hacia la
izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal?
a)
b)
c)
d)
e)
18,1°
33,7°
25°
27,5°
20,8°
2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar la normal en
N?
a)
b)
c)
d)
e)
298
537
706
593
785
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
176
MATEMÁTICA
3. Convertir 5° a radiantes.
a)
b)
c)
d)
e)





8
7
6
3
36
4. Convertir 0.5 radiantes a grados sexagesimales:
a)
b)
c)
d)
e)
35°
44,1°
50°
28,64°
39°
5. Hallar el valor de 2 radiantes en grados:
a) 77° 47´ 45 ´´
b) 57° 37´ 45 ´´
c) 27° 17´ 25 ´´
d) 114° 35´ 29 ´´
e) 58° 17´ 45 ´´
6. Encuentre el valor del cos , si el sen  0.5
a) 0.78
b) 0.86
c) 0.5
d) 0.63
e) 0.83
7. Hallar el valor de la tan  , si la sec  4 .
a) 0.31
b) 0.20
c) 0,25
d) 0.34
e) 0.60
8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de 53° ¿Cuál
es la altura del árbol?
a)
b)
c)
d)
e)
85m
33m
125m
37m
29m
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
177
MATEMÁTICA
9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo de
depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de 15m/seg ¿A qué
distancia del edificio se encontrará el auto en 2 segundos?
a)
b)
c)
d)
e)
75m
57m
115m
50m
250m
10. ¿A qué es equivalente
a)
b)
c)
d)
e)
4
rad ?
5
130°
124°
136°
124°
164°
11. Expresar 150° en radianes.
a)
b)
c)
d)
e)
4 5 rad
5 4 rad
4 3 rad
5 6 rad
 6 rad
12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es igual a 90 cm y el coseno de uno de los
ángulos agudos es 12/13.
Hallar la longitud de la hipotenusa de dicho triangulo.
a)
b)
c)
d)
e)
13
26
39
52
65
13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la
tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 2
3 2
2
4
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
178
MATEMÁTICA
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:
5
cot A  .CalcularM  senA.SenC
12
a) 3/13
b) 5/13
c) 7/13
d) 9/13
e) 11/13
15. Si Tg  = Sen 45° + Cos60°
Hallar. Sen 
(  Es un ángulo agudo)
2
3 2
a)
b)
2
2
c)
2
4
d)
2
8
e)
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel
1. Halle “ x”
a) 4
b) 4 2
c) 4 3
d) 4 6
e) 6
2
II
2. Hallar AF si AM= 2 5
3.873
7.746
c)
5
5
d)
3
e)
10
a)
b)
2 5
3. Hallar (X + Y):
4. Hallar R:
a)
b)
c)
d)
e)
35
30
40
20
25
a)
b)
c)
d)
e)
11
12
13
14
15
5. Hallar R:
a)
b)
c)
d)
e)
70,0
43,6
28,2
35,0
90,0
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
179
MATEMÁTICA
UNIDAD 08
MEDIDAS DE LONGITUD
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
180
MATEMÁTICA
8.1 SISTEMA MÉTRICO
Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como
unidad de medida
Cientos de años atrás, la gente media el largo de objetos usando partes del
cuerpo. Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el
ancho de un pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la
punta de un dedo hasta la punta del otro), eran 6 pies.
Cuando los Británicos comenzaron a establecerse en Norteamérica las colonias
usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. Aún había
confusión entre medidas que llegaron hacerse hasta más confusas después de la
Revolución Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar
una norma uniforme de pesas y medidas.
También los Franceses, Españoles y Holandeses tenían sus propias normas y
nadie estaba de acuerdo. Es así que en el año 1832, el Departamento de
Tesorería dispuso que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de
medida y masas, y en el año 1836, el Congreso oficialmente creó la Oficina de
Pesos y Medidas. Hassler escogió el Sistema Imperial de Inglaterra sobre el
sistema métrico. Sin embargo, el Sistema Internacional (SI) de Unidades
(Sistema Métrico), es aceptado como la norma de medidas.
8.1.1
Unidad Fundamental (EL METRO)
Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad
fundamental de la magnitud longitud es el METRO.
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD
Longitud del trayecto recorrido en el vacío,
por un rayo de luz en el tiempo de
Longitud
metro
m
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
1
s
299 792 458
181
MATEMÁTICA
8.1.2 PREFIJOS EN EL S.I.
Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y
submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades
básicas o derivadas
PREFIJO
Para formar
múltiplos
decimales
SÍMBOLO
FACTOR
exa
E
trillón
peta
P
10 18
10 15
T
10 12
billón
G
10 9
mil millones
mega
M
10 6
millón
kilo
k
mil
hecto
h
10 3
10 2
deca
da
10
diez
deci
d
Décima
centi
c
10 -1
10 -2
mili
m
milésima
micro

10 -3
10 -6
n
10 -9
mil millonésima
p
10 -12
billonésima
femto
f
10 -15
mil billonésima
atto
a
10 -18
trillonésima
tera
giga
Para formar
submúltiplos
decimales
nano
pico
NOMBRE DEL VALOR
NUMÉRICO
mil billones
cien
centécima
millonésima
En el caso de la medida de longitud
Múltiplos
Submúltiplos
kilómetro hectómetro decámetro
X 1000
X 100
X10
1000 m
100 m
10 m
1 km
1 hm
1 dam
metro
decímetro centímetro milímetro
: 10
: 100
: 1000
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
1m
1 dm
1cm
1 mm
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
182
MATEMÁTICA
Aplique este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo.
Anote estos datos, usando como unidades de medida el centímetro y el milímetro.
Largo
.......................
cm
... ........................
mm
Ancho
......................
cm
...........................
mm
Alto
...........................
cm
...........................
mm
Sin embargo, el centímetro y el milímetro, no son las únicas unidades de medida,
si tomamos 10cm, tenemos 1 decímetro.
1 decímetro = 10 centímetros
Y si tomamos 10 decímetros, tenemos 1 metro (1 m) que es la unidad principal de
medida de longitud.
Como ejercicio, tome las medidas de longitud de los objetos indicados abajo,
anotando sus resultados.
a) Un libro

b) Un salón de clase

c) Un lápiz

Continuemos multiplicando cada unidad por 10 y tenemos:
10 m
forman 1 decámetro

dam
10 dam
forman 1 hectómetro

hm
Observe, con atención, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los
cuerpos reciben, en geometría, el nombre de segmento de recta.
Midamos algunos de ellos, recordando que medir un segmento de recta es
verificar cuantas veces una unidad está contenida en él.
Largo = …………unidades
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
183
MATEMÁTICA
Ancho = ……. Unidades
Altura = ……. Unidades
Muy Importante
El número es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA
Subraye, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida.
Ejemplo:
 La longitud de la regla es de seis pulgadas.
 La broca de tres cuartos está sobre la bancada.
 Compré mil milímetros de alambre de cobre.
 Esta caja contiene doce docenas de pernos.
 La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos.
En los dibujos de la página anterior, los segmentos medidos representan: Largo,
ancho y altura. La unidad (u), tomada como medida, fue el centímetro (cm).
Note que cada centímetro está dividido en partes iguales, cada una de las cuales
se llama milímetro (mm).
En la medición de la longitud: tenemos: 6 u = 6 cm = 60 mm.
Usted puede comprobar que:
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
184
MATEMÁTICA
10 veces 1 milímetro es igual a 1 centímetro
10 x 1 mm = ........ mm = 1 .......
Complete Usted
Ancho = 2,5 u =
2,5 cm = .......... mm
alto
1 cm
=1
u=
= .......... mm
Por consiguiente, acabamos de formar un conjunto (Sistema Internacional) de
unidades de medidas de longitud. Observe el cuadro:
8.1.3 MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS DEL METRO
MÚLTIPLOS
km
hm
UNIDAD
dam
kilómetro hectómetro decámetro
1000 m
100 m
10 m
m
metro
1m
SUBMÚLTIPLOS
dm
cm
mm
decímetro centímetro milímetro
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Observación:
Es preciso aclarar que:

Existen múltiplos mayores que el kilómetro.

Existe submúltiplos menores que el milímetro.
Por ejemplo:
En mecánica de precisión y en trabajos científicos, se usan otros submúltiplos
del metro, como por ejemplo la millonésima parte ( micra) del metro que se
denomina micra ( m).
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
185
MATEMÁTICA
Resumiendo tenemos:
Medidas mayores que el metro, o sea, múltiplos del metro:
decámetro
dam
1 dam = 10 m
hectómetro
hm
1 ....... = 100 ........
kilómetro
km
1 .........= ……........
1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m
Medidas menores que el metro, o sea submúltiplos del metro:
decímetro
dm
1 dm = 0,1 m
centímetro
cm
1 ....... = ......... m
milímetro
mm
1 ....... = .............
1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m
EJERCICIOS
Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente, procuremos
ejercitarnos:
1.
Complete:
a)
5 dam = cinco decámetros
b)
18 mm = ...................................................
c)
........................... = doce kilómetros
d)
........................... = nueve hectómetros
e)
35 cm = .....................................................
f) .
.....................dm = siete ..........................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
186
MATEMÁTICA
2.
Complete:
a)
9,082 km
b)
13,052 km
c)
............dam = 19 dam, 5m y 3dm
d)
9,5 ..............= 9 m y 5 dm
e)
8,25 dm
3.
= 9 km, 8 dam y 2 m
= ......... km, ........ hm, ...... dam y ...…. m
= ............. y .............
Usted ya sabe que:
1 dam = 10 m
Entonces, complete:
4.
a)
8 dam = 8 x 10 = 80 m
b)
28 dam = ............................ = .......................... m
c)
3,4 dam = ........................... = …………………. m
d)
53 m = 53  10 = 5,3 dam
e)
156 m = ……………………. = …………………. dam
f)
,90 m = ……….……………. = ……………….… dam
Usted también ya sabe que:
1 hm = 10 dam
Complete entonces:
a)
5 hm = 5 x 10 = 50 dam
b)
0,8 hm = ......................... = ........................ dam
c)
58 hm = ......................... = ….……………. dam
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
187
MATEMÁTICA
= 30  10 = ………. hm
d)
30 dam
e)
48 dam = …………..…… = ……..………….. hm
f)
0,08 dam = …………… .. = …….………...… hm
5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades,
complete:
a)
2 km = 2 x 10 = 20 hm
b)
72 km = ........................... = …………………. hm
c)
0,8 km = ……………….… = …………………. hm
d)
5 m = 5 x 10 = 50 dm
e)
3,8 m = ..………………….. = …………………. dm
f)
4 dm = 4 x 10 = 40 cm
g)
52 dm = …………………... = ….………..……. cm
8.1.4 CONVERSIÓN DE UNIDADES
La unidad escrita se refiere a la cifra que está a la izquierda de la coma decimal,
que usted debe haber observado.
Ejemplo: En 45,87dm, tenemos 5 que corresponde al casillero de dm.
Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeración decimal. Por
consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, tenemos:
M
dm
cm
mm
4
5
8
7
4,587 m
que se lee, 4 metros y 587 milímetros
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
188
MATEMÁTICA
Observe con atención, la escalinata con sus “carteles”.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Pues bien:
Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha.
Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda.
Realice ahora los ejercicios que siguen:
6.
7.
De las equivalencias:
1 dam = ........... m
1dm
= ….............. m
1 hm = ………….m
1cm
= ..…………..m
1 km
1mm
= ….……….. m
= .…………m
Siga el Ejemplo, no olvide que la unidad indicada se refiere al orden
colocado inmediatamente antes de la coma decimal.
8.
Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm
2,5 mm
= .....................................
802,7cm = ...................................
1,520 km = ....................................
7,28 dm = ....................................
0,85 m
= ....................................
Complete, observando el ejemplo:
a) Nueve metros y treinta centímetros = 9,30 m
b) Doce centímetros y doce milímetros = .............................................
c) Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = ...........................
d) Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = ..........................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
189
MATEMÁTICA
9.
Complete el cuadro de abajo, observando los ejemplos:
Ejemplo:
m
a)
7 mm
a
b)
14,5 dm
b
c)
4,5 m
c
d)
20,1 cm
d
e)
0,2 m
e
f)
12,5 cm
f
g)
3m
g
h)
0,8 dm
h
dm
cm
mm
7
1
4
5
10. Responda:
a) ¿ Cuál es mayor? ¿5cm ó 25 mm? .............................................
b) ¿Cuál es menor? ¿2dm ó 12 cm? ...............................................
c) ¿Cuántos dm hay en 1 metro? ....................................................
d) ¿Cuántos cm hay en 1 metro? ....................................................
e) ¿Cuántos mm hay en 1 metro? ...................................................
11.
Complete:
a) En 1 km hay ........................................ metros
b) En 1 hm hay ........................................ metros
c) En 1 dam hay ...................................... metros
d) En 3 m hay ...........................................decímetros
e) En 5 m hay ...........................................centímetros
f) En 10 m hay ........................................ milímetros
12. Complete:
6m = .................................. dm
23 dm = ......................... m
9,7m = …………………….. dm
80 dm = ………………… m
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
190
MATEMÁTICA
88,53 m = ……………….… dm
8,2 dm = ……...………… m
0,44 m = ………………….. dm
33,4 dm = ..……..…..….. m
13. Coloque convenientemente los símbolos en las siguientes conversiones:
a) 45,67 m = 456,7 ................
g) 289,05 km=28 905 .............……
b) 45,67 m = 4567 ……….….
h) 300,7 mm = 3,007 …..………….
c) 45,67 m = 45 670………….
i) 0,7 km = 0,007 ………………….
d) 45,67 m = 4,567 ………….
j) 10 hm = 100 000 …………………
e) 45,67 m = 0,4567 ………...
l) 9,47 cm = 94,7 ............................
f) 45,67 m = 0,04567 ............
m) 4000 dm = 4 …………………….
14. Escriba en los puntos, los valores correspondientes:
a) 8 m = ........................ cm
g) 4 cm = ......…...........…..... dam
b) 17 m = ………………. mm
h) 38 cm = .….………….….. m
c) 9,5 m = ……………… cm
i) 680 cm = …………….…. m
d) 0,16 m = ………….… dm
j) 77,5 cm = ………………… hm
e) 0,007 m = ………….. km
l) 6,91 cm = ......................... dm
f) 2800 m = .................... cm
m) 0,25 cm = ……………….. mm
15. Efectúe, haciendo la conversión de unidades conveniente:
80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m
4,8 dam – 1 000 mm + 85 cm = …………………………………… cm
274,6 m – 1,360 dam = …………………...………………………… m
Solucionario:
1. b) Dieciocho milímetros
c) 12 km
d) 9 hm
e) Treinta y cinco milímetros
f) 7 dm = siete decímetros
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
191
MATEMÁTICA
2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m
c) 19,53 dam
d) 9,5 m
e) 8 dm, 2 cm y 5 mm
3. b) 28 x 10 = 280 m
c) 3,4 x 10 = 34 m
d) 156 : 10 = 15,6 dam
e) 90 : 10 = 9 dam
4. b) 0,8 x 10 = 8 dam
c) 58 x 10 = 580 dam
d) 30 : 10 = 3 hm
e) 48 : 10 = 4,8 hm
f) 0,08 : 10 = 0,008 hm
5 b) 72 x 10 720 hm
c) 0,8 x 10 8 hm
d) 3,8 x 10 38 dm
c) 52 x 10 = 520 cm
6. 1 dam = 10m
1 hm = 100 m
1 km = 1000 m
1 dm = 0,1 m
1 cm = 0,01 m
1 mm = 0,001 m
7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm
7,28 dm = 7dm y 28 mm
2,5 mm = 2 mm y 5 décimos de mm
1,520Km = 1 Km y 520 m
0,85 m = 85 cm
8. Doce centímetros y doce milímetros = 12,12 dm
Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = 48,7cm
Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = 32,8 mm
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
192
MATEMÁTICA
9.
m
........
4
..........
c
d
e
f
g
h
b) 12 cm
0
dm
..........
5
2
2
1
Cm
............
mm
..........
0
1
2
5
0
8
3
10.
a) 5 cm
c) 10 dm
d) 100 cm
11.
a)
1000 m
d)
30 dm
b)
100 m
e)
500 cm
c)
10 m
f)
10 000 mm
e) 1000 mm
12.
6m = 60 dm
9,7 m = 97 dm
88,53 m = 885,3 dm
0,44 m = 4,4 dm
23 dm = 2,3 m
80 dm = 8 m
8,2 dm = 0,82 m
33,4 dm = 3,34 m
13.
a) ………………. = 456,7 dm
g) ……………. = 29 905 dam
b) ………………. = 4567 cm
h) ……………. = 3,007 dm
c) ………………. = 45 670 mm
i) ………….…. = 0,007 km
d) ………………. = 4,567 dam
j) …………….. = 100 000 cm
e) ………………. = 0,4567 hm
l) …………….. = 94,7 mm
f) ........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm
14.
15.
a) ……………….. = 800 cm
g) …………….. = 0,004 dam
b) ……………….. = 17 000 mm
h) …………….. = 0,38 m
c) ……………….. = 950 cm
i) ……………… = 6,80 m
d) ……………….. = 1,6 dm
j) ……………… = 0,00775 hm
e) ……………….. = 0,000 007 km
l) ……………… = 0,691 dm
f) ………………… = 280 000 cm
m) ……………. = 2,5 mm
0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m
4800 cm – 100 cm + 85 cm = 4785 cm
27,6 m – 13,6 m = 14 m
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
193
MATEMÁTICA
Observación
Unidades que permiten medir a seres microscópicos o distancias
inapreciables por los seres humanos:
1 micra

0,001 milímetros.
1 nanómetro

0,000 001 milímetros.
1 angstron (A°)  
0,000 000 1 milímetros.
Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia de
los planetas:
1 año luz

9,461 mil millones de kilómetros.
(distancia que recorre la luz en un año)
1 unidad astronómica

149 600 000 km de longitud.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
194
MATEMÁTICA
8.2
SISTEMA INGLÉS
Ahora vamos a pasar de una a otra unidad (pulgada) que además se emplea en
las especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la
pulgada.
Usted ya vio algo sobre pulgadas en la unidad 4 ¿recuerda?
Pues bien, en nuestra industria, las medidas de máquinas, herramientas,
instrumentos e instalaciones, se utiliza también otra unidad de medida,
denominada PULGADA.
8.2.1
PULGADA
La pulgada se representa simbólicamente por dos comillas (“) colocadas a la
derecha y un poco encima de un número.
Vea:
Dos pulgadas se abrevia
2”
Tres pulgadas se abrevia
3”
La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe
con atención:
La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en inglés significa
“pulgadas”
1”
25,4 mm
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
195
MATEMÁTICA
8.2.2
EQUIVALENCIAS DE PULGADAS
Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milímetros y cuatro
décimos, aproximadamente.
Además:
1pulgada = 1” = 25,4 mm
1pie = 1 = 12 pulgadas
1yarda = 3 pies = 3 = 36
1 pie = 0,3048 m
1 yarda = 0,9144 m
1 m = 3,28 pies
1 pie = 1
Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas:
En NÚMEROS ENTEROS
Ejm: 1” ; 2” ; 17”
1
En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.
1"
2'
Ejm:
;
3"
;
4
5"
8
3”
4
En NÚMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendrá, también, como
denominador 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.
Ejm:
2
1"
2'
; 1
3"
4
;
7
13"
64
1
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
3”
4
196
MATEMÁTICA
OBSERVACIÓN
Encontramos algunas veces pulgadas escritas en forma decimal
Ejm:
1"
0,5"
2
1"
0,25"
4"
1"
 0,125"
8
3"
 0,75"
4"
Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que usted observe las
divisiones de la regla. Vea:
1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto
cada división es 1/8” (un octavo de pulgada).
2. Cada pulgada fue además dividida en 16 partes iguales (la menor división es
1
1
); excepto una parte de 1” cuya menor división es
(de 1” a 32”)
16
32
3. ¿Comprendió? Continúe que no queden dudas, tenga seguridad
Vea la medida de la longitud AB
La regla indica:
4. La pulgada está dividida en 8 partes iguales.
De A hasta B tenemos.......... partes iguales. Muy bien, 5 partes.
Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y estamos tomando 5
partes, luego:
La medida de A hasta B es ……
Su respuesta probablemente fue 5/8”.
Observe finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que
siguen, comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
197
MATEMÁTICA
Medida A = 2”
Medida D = 3
3"
4
Medida B = 1
Medida E =
5"
8
1"
16
Medida C = 2
Medida F =
1"
2
13"
16
¿Comprendió las mediciones? No siga adelante si tiene dudas...
Ejercicio:
1"
2
Medida H =
7"
8
Medida I = 3
17"
32
Medida L =
15"
16
Medida M = 1
Medida G = 2
Medida J =
1"
4
7"
32
Efectúe las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo:
8.2.3
TRANSFORMACIÓN DE PULGADAS EN MILÍMETROS
Para transformar pulgadas en milímetros, usted debe multiplicar el número
presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fácil llegar a esta conclusión, veamos:
1. Si 1” es igual a 25,4 mm
5” será igual a 5 veces 25,4 mm ¿Cierto?
5” = 5 x 25,4 mm = ........................................... mm
2.
3" 3
3x
 x 25,4 
4 4
4
 ………………………….. mm
3. 0,8” = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm
4. 1
3" 11
 x .............  ......................
8
8
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
198
MATEMÁTICA
Observe los ejemplos del cuadro y complételo convenientemente.
Pulgada
Número x 25,4 mm
mm
1”
1 x 25,4 mm
25,4 mm
3”
3 x 25,4 mm
76,2 mm
5”
5 x 25,4 mm
.............
10”
10 x .................................
.............
1"
2
1 25,4 mm 25,4 mm
x

2
1
2
12,7mm
3"
4
3 25,4 mm
25,4
x
 3x
mm
4
1
4
19,05
23 25,4 mm
25,4mm
x
 23 x
8
1
8
..............
11"
x..........  ..........
16
..............
2
7"
8
11"
16
Usted ahora vera como se hace el problema inverso, esto es.
8.2.4 TRANSFORMACIÓN DE MILÍMETROS A PULGADAS
Para transformar milímetros en pulgadas, usted debe dividir el número presentado
en milímetros entre 25,4 y después multiplicar el resultado por 1” o fracción
equivalente, es decir:
2" 4" 8" 16" 32" 64" 128"
ó
; ; ;
;
;
2 4 8 16 32 64
128
Usted hará esta multiplicación para obtener la fracción de pulgada
Observe con atención los ejemplos y complete:
1.
Transformar 50,8 mm a pulgadas:
1"

25,4mm
x

50,8mm
50,8mm
2
25,4mm
2.1” = 2”
Rpta. = 50,8 mm = .......................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
199
MATEMÁTICA
2.
Transformar 12,7 mm a pulgadas:
12,7mm
 0,5
25,4mm
0,5 . 1” = 0,5” =
0,5 .
1"
2
128" 64 64 1"


:
128 128 64 2
Rpta. = 12,7 mm = ...........................
3.
Transformar 10 mm a pulgadas:
10 mm
 ....................
25,4 mm
....................... x 1” = .......................
ó ................................ x x
Rpta. = 10 mm =
128" 50"

 _________
128 ......
25"
64
Resuelva ahora los ejercicios siguientes:
Transforme:
a) 21,2 mm a fracción irreductible de pulgada.
21,2 mm
 ................ x 1” = ............................
25,4 mm
ó
............... x
128"
 ...................
128
Rpta. = 21,2 mm = .............
b) 2 mm a fracción irreductible de pulgada:
Rpta. = 2mm = ....................
Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRACTICAS vea:
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
200
MATEMÁTICA
TRANSFORMAR MILÍMETROS A PULGADAS (NÚMERO DECIMAL)
En este caso usted vio que tendrá que dividir el número de milímetros entre.........
Pues bien, dividir entre 25,4 mm es lo mismo que multiplicar por
1
, ¿De
25,4
acuerdo?
Como:
1
 0,03937 , podemos escribir la primera regla práctica:
25,4
Para transformar milímetros a pulgadas representadas por
números
decimales,
.........................
se
multiplica
obteniéndose
el
los
resultado
milímetros
en
por
pulgadas
(decimales).
Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en número decimales.
10 x 0,03937 = 0,3937”
Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fracción decimal de pulgada.
Rpta. .......................
TRANSFORMAR MILÍMETROS A FRACCIÓN ORDINARIA DE PULGADA
Usted ahora multiplicará por
128
1 128
x
 5,04 tiene usted la
, pero como
25,4
25,4 128
segunda regla práctica. Luego:
Para transformar milímetros a fracción ordinaria de pulgada,
se multiplica los milímetros por 5,04 (numerador), y se coloca
el resultado sobre el denominador 128.
Observe el ejemplo con atención, que entenderá mejor la segunda regla práctica.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
201
MATEMÁTICA
Ejemplo: Transformar 10 mm a fracción de pulgada:
10 x 5,04 50" 25"


128
128 64
“Primero se multiplica y se
redondea la parte entera”
Rpta. .....................
Resuelva ahora aplicando la regla práctica.
1.
Transformar 21,2 mm a fracción ordinaria de pulgada
21,2 x 5,04

128
2.

107"
128
Transformar 2 mm a fracción de pulgada:
Rpta. ...................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
202
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una
carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. ¿Cuántos
hectómetros de carretera se han asfaltado en los tres meses?
km
3
hm
0
3
1
dam
m
0
4
3
8
dm
4
Es decir 34,82 hm
2. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de
madera de 5 m 6dm?
hm
0,
dam
0
m
5
dm
0
6
cm
0
0
Es decir 560 cm, luego el número de varillas =
560 cm
 20
28 cm
3. Una lámina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales.
¿Cuál es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del
material?
Para obtener 12 partes se deberá hacer 11 cortes, pero en cada
corte se pierde 0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se
perderá:
0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm.
Entonces quedará: 29,343 cm – 1,023 cm = 28,32 cm
Por lo tanto, la longitud de cada parte será:
28,32 cm
 2,36 cm
12
4. ¿Cuántos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas
medidas son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho?
Largo 20 cm = 200 mm
Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm
Área de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
203
MATEMÁTICA
Área del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2
2
Por lo tanto, el número de cuadraditos será = 20 000 mm
 800
25 mm 2
5. El perímetro de un rectángulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, ¿Cuánto
mide el largo del rectángulo, expresar la respuesta en dm?
Perímetro del rectángulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm
Como el ancho mide 250 mm, el largo medirá:
750 mm – 250 mm = 500 mm.
6. Convertir a fracción de pulgada 92,075 mm.
Aplicando la regla de conversión:
29
5
92,075  5,04 464


  3 pulgadas.
128
128
8
8
7. Una cinta metálica esta graduada en pies, pero en forma errónea, de tal
manera que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18
pies. ¿Cuál es la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies?
Si
6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg
15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg
18 pies = 18 x 12 pulg =
216 pulg
Aplicando regla de tres simple directa, tendremos:
180 pulg ________ 216 pulg
75pulg
_______
x
Luego: x = 90 pulg
3
8. A qué es equivalente 7 pulgadas en metros.
4
3
3
7  7   7  0,75  7,75 pu lg , que convertidos a mm dará:
4
4
7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
204
MATEMÁTICA
9. Por la compra de 3 pies 9 pulgadas de un tubo de latón se pagó S/. 43.
¿Cuántos metros se podrá comprar con S/. 130?
Se tiene que 3 pies 9 pulg = 3 x 12 pulg + 9 pulg = 45 pulg
Convirtiendo 45 pulg a mm: 45 x 25,4 mm = 1143 mm ó 1,143 m
Aplicando regla de tres simple directa, tendremos:
1,143 m ________ S/. 43
X
________ S/. 130
Luego: x = 3,45 m
10. Hallar el perímetro de la siguiente figura:
3,5 yd
2’ 3”
2’ 3”
3,5 yd
3,5 yd = 3,5 x 36 pulg = 126 pulg
2 pies 3 pulg = 2 x 12 pulg + 3 pulg = 27 pulg
Perímetro del rectángulo = 2 (l + a) = 2 (126 + 27) = 306 pulg
Convirtiendo a cm, se tendrá: 306 x 2,54 cm = 777,24 cm
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
205
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I
CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD
1. Convierta en cm:
0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm;
0,68 dm
2. Convierta en dm:
3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm ; 8,6 cm ; 7,88 mm ; 32, 08 m
; 7,85 cm
3. Convierta en mm:
2,84 dm;
6,82 m ; 5,8 dm;
0,3 m;
6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm
4. Convierta en m:
2,84 dm ; 7621 cm
; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm
5. Sume en mm:
3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm
6. Sume en cm:
3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm
7. Reste en m:
86, 4m – 8,2 cm – 3,45 cm – 0,87 dm – 0,0034m – 0,082 dm
8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. ¿Qué
longitud tiene la pieza restante (en m)?
9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a
tope entre sí. Calcule la longitud del tubo soldado en cm.
10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de diámetros
respectivos es de 318,5 mm. ¿Cuánto material queda entre las perforaciones?
11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres
distancias iguales ¿Qué longitud tienen los espacios?
12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a
igual distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
206
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS
nivel II
1. Efectuar y expresar en metros la
respuesta:
Solución:
1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm
A) 52,554 m
B) 16,554 m
C) 46,56 m
D) 26,45 m
E) 12,954 m
2. Efectuar y expresar en milímetros la
respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm +
0,0057 m – 240 mm
Solución:
A) 367 mm
B) 20,5 mm
C) 2040 mm
D) 205 mm
E) 248 mm
3. ¿Cuántas varillas de 2,8 dm de
longitud, se podrán obtener de una
varilla de 5m 6 dm?
Solución:
A) 36
B) 18
C) 20
D) 40
E) 48
4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm
y se corta los 3/8 de ella, ¿Qué
longitud queda?
Solución:
A) 7,8 m
B) 0,078 8 m
C) 780 dm
D) 7800 mm
E) 78,8 dm
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
207
MATEMÁTICA
5. Cierta persona compró 123,45 dam
de cable eléctrico, de los cuales
vende 0,004 km, utiliza 1246 cm y
dona 340 dm. ¿Cuánto le queda?
Solución:
A) 116,5 dam
B) 1184,04 m
C) 11,84 dm
D) 1184 cm
E) 116,52 m
6. La medida de la arista de un cubo
es 0,52 m, ¿Cuál será la suma de
las medidas de todas sus aristas?
Solución:
A) 31,2 dm
B) 20,8 dm
C) 41,6 dm
D) 42,7 dm
E) 62,4 dm
7. El perímetro de un hexágono
regular mide 450 cm, ¿Cuánto mide
cada lado?
Solución:
A) 0,75 cm
B) 0,007 5 m
C) 0,075 m
D) 75 dm
E) 0,75 m
8. Convertir 15 cm a pulgadas.
Solución:
A) 6”
B) 4 29/64
”
C) 5 29/32 ”
D) 5,7”
E) 4 29/32 ”
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
208
MATEMÁTICA
9. Convertir 1502,5 pies a hm.
Solución:
A) 3,048 hm
B) 18 030 hm
C) 4,579 62 hm
D) 1,803 hm
E) 30,48 hm
10. Un milímetro a pulgada representa:
Solución:
A) 7/32 ”
B) 5/64 ”
C) 3/64 ”
D) 3/128 ”
E) 5/128 ”
11. Convertir 4 ¾ de pulgada a mm.
Solución:
A) 120,6 mm
B) 103,5 mm
C) 120 mm
D) 114,3 mm
E) 107,9 mm
12. Efectuar en pulgadas:
Solución:
12 yardas 45 pies 23 pulgadas
A) 1018”
B) 599”
C) 995”
D) 870”
E) 1095”
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
209
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel III
1. ¿A cuántos centímetros equivale 3
a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm
1"
?
4
d) 6,72cm
e) 9,28cm
2. El equivalente de 127mm a pulgadas es:
a) 4”
b) 5”
c) 6”
d) 8”
e) 3”
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones.
I) 13,56dm < > 1m 35cm 6mm
II) 31,67m < > 3Dm 16dm 7cm
III) 5,608Hm < > 56Dm 8m
IV) 2,24dm < > 0,2m 24cm
a) VVFF
b) VVFV
c) VVVF
d) VVVV
e) FVVF
4. ¿Cuántas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de
14,696dm de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que
sobre material?
a) 8
b) 79
c) 80
d) 75
e) 87
5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm – 0,025m – 4,269dm
a) 2,048dm b) 10,2dm c) 0,25dm d) 0,553dm e) 1,248dm
6. Convertir a fracción de pulgada 92,075mm.
a) 3 1
"
b)
4
7. Si:
C=
3
1"
16
c) 3 5
"
8
d)
2
1"
8
e)
4
1"
8
A = 45,8cm – 0,0428m;
B = 0,82dm + 14, 3cm
2
A  B  ; halle el exceso de A sobre C
3
a) 28,84cm
b) 10,2cm
c) 48,24cm
d) 2,16cm
e) 24,12cm
8. En un dibujo a escala una línea de 12mm de longitud representa 54 cm. En el
mismo dibujo. ¿Qué longitud representa 153cm.
a) 28mm
b) 24mm
c) 32mm
d) 34mm
e) 36mm
9. Una sala de 4,5 m de largo y 2,8 m de ancho, ¿cuántas losetas de 30cm de
lado necesitarán para ponerle el piso?
a) 140
b) 128
c) 180
d) 152
e) 120
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
210
MATEMÁTICA
10. Una cinta metálica está graduada en pies, pero en forma errónea de tal
manera que cuando “mide” 22 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies 4
pulgadas. ¿Cuál es la verdadera longitud de una distancia que medida con esta
cinta da 6 2 yardas.
3
a) 8pies 6pulg b) 12pies 8pulg c) 16pies 8pulg. d) 15 pies 4pulg e) 9 pies 2pulg
11. ¿Cuántos milímetros existen en 3 decímetros y 12 centímetros?
a) 410
b) 440
c) 424
d) 428
e) 420
12. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de ésta ha
disminuido en 124cm. ¿Cuál era la longitud de la varilla en centímetros?
a) 140
b) 120
c) 160
d) 144
e) 158
13. ¿Cuántos centésimos de milímetro están contenidos en cuatro décimos de
metro?
a) 200
b) 2 000
c) 20 000
d) 200 000
e) 20
14. Al dividir un listón de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el
trozo menor mida los ¾ de la longitud del mayor. Dar la medida, en centímetros,
del trozo mayor.
a) 36,57 b) 36,576 c) 36, 574
d) 36, 5
e) 43
15. Hallar el perímetro de la figura en fracción de pulgadas.   3,14
a)
53
128
"
0,24 mm
0,24 mm
"
53
b)
32
"
1
c)
8
"
25
d)
128
2,34 mm
21
e)
32
"
2,34 mm
16. Convertir 2,04mm a fracción ordinaria de pulgada.
"
"
"
"
"
1
1
7
5
3
a)
b)
c)
d)
e)
8
16
64
64
8
17 Halle el perímetro de la región sombreada. Si
R = 2,4 mm   3,14
a) 31/64”
b) 25/64”
R
c) 29/32”
r
d) 43/64”
r
e) 19/32”
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
211
MATEMÁTICA
18. Halle la longitud del contorno de la figura.
a) 370,44mm.
b) 342,32mm.
c) 387,35mm.
d) 328,52mm.
e) 387,24mm.
3
1
8
19. Halle el radio de la circunferencia:
a) 1/32”
b) 19/128”
c) 7/16”
d) 11/64”
e) 7/32”
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO

1
4
2

212
MATEMÁTICA
UNIDAD 09
MEDIDAS DE TIEMPO
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
213
MATEMÁTICA
9.1.
MEDIDA DE TIEMPO
En la antigüedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de
agua o de arena, carecían de divisiones especiales para contar los minutos.
Hasta principios del siglo XVIII los relojes no tenían minutero, pero a comienzos
del siglo XIX aparece ya hasta el segundo.
¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Es verdad
que, en este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros,
pero el sonido recorre ya 33 centímetros; un avión cerca de medio metro, la
Tierra, en este intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su órbita alrededor del
sol, y la luz, 300 kilómetros.
En la actividad laboral y académica, por lo general, establecemos un registro
del tiempo empleado en la confección de un artículo, en los trabajos de taller,
para la investigación, la elaboración de un informe, la atención al cliente, etc.
En Informática hablamos de tiempo de acceso; en fotografía, tiempo de
exposición; en el deporte, tiempo muerto; en astronomía, tiempo sideral; en
religión, tiempo litúrgico; en lingüística, tiempo compuesto como forma verbal,
entre otros. Y tal como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden
medirse.
Unidad Fundamental
Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad
fundamental de la magnitud tiempo es el SEGUNDO.
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD
Es la duración de 9 192 631 770 períodos
Tiempo
segundo
s
de la radiación correspondiente a la
transición entre los dos niveles hiperfinos
del estado fundamental del átomo de
cesio 133
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
214
MATEMÁTICA
9.2.
MULTIPLOS DEL SEGUNDO
Se tiene al MINUTO y a la HORA.
El instrumento para medir el tiempo se llama .......................................
El tiempo es la única magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la
hora local utilizando el segundo y sus múltiplos (minuto y hora) se recomienda
lo siguiente:
1. En la representación numérica del tiempo se emplearán las cifras
arábigas (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearán únicamente los
siguientes símbolos:
h
hora
min minuto
s segundo
2. El tiempo se expresará utilizando dos cifras para indicar los valores
numéricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de
los símbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de
acuerdo al siguiente orden:
Primero: HORA
Segundo: MINUTO
y
Tercero: SEGUNDO
Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 18 h 54 min 27 s
3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas
y minutos, puede omitirse el último símbolo respectivo.
Ejemplo: 05 h 11 min 20 s  05 h 11 min 20
00 h 39 min 08 s  00 h 39 min 08
23 h 42 min
 18 h 42
15 h
 15 h
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
215
MATEMÁTICA
4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del día siguiente.
Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del día martes.
5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda
usar el modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua.
Ejemplo:
Denominación recomendada
Denominación antigua
08 horas
8 a.m.
15 h 30 min ó 15:30 h
15:30 p.m. ó 3 p.m.
12 h
12 m
23 h 42 ó 23:42 h
11:30 p.m.
24 h
12 p.m.
6. Cuando se escriba una cantidad acompañada de una unidad del SI, se
recomienda escribir la cantidad seguida del símbolo de la unidad y no
del nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos
técnicos.
Ejemplo:
Correcto
Incorrecto
47 s
cuarenta y siete s
27 min
veintisiete min
RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA
NUMÉRICA
a) En la representación numérica de fechas se utilizarán las cifras arábigas,
es decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
216
MATEMÁTICA
b) Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en
bloque. Cuando no exista riesgo de confusión podrá utilizarse sólo dos
cifras.
Ejemplo:
2007
ó 07
1998
ó 98
Para expresar el mes se utilizarán dos cifras, desde 01 hasta 12. Para
expresar el día se empleará dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la
fecha completa, se respetará el orden siguiente:
Primero: AÑO
Segundo: MES
y
Tercero: DÍA
Además se usará preferentemente un guión para separarlos, también se
puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusión.
Ejemplo:
2005-03-17
ó
2005 03 17
98-09-23
ó
98 09 23
c) Ejemplos de escritura de fechas numéricas
Correcto
Incorrecto
20 de marzo del 2007
2007-03-20
20-3-2007
25 de diciembre de 1998
1998-12-25
25 / 12 / 98
28 de julio de 1821
1821-07-28
28 / VII / 1821
30 de abril de 2007
2007-04-30
2,007-04-30
15 octubre de 2003
9.3.
2003-10-15
15 de octubre de 2003
EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO
El tiempo se mide de la unidad más grande a la más pequeña en:
Milenio
  1000 años.
Siglo

100 años.
Década

10 años.
Lustro

5 años.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
217
MATEMÁTICA

Año
12 meses, 365 días o 366 en los años bisiestos.
(una vez cada 4 años el mes de febrero tiene 29 días)
Semestre  
6 meses.
Trimestre  
3 meses.
Bimestre

2 meses.
Mes

30 días (abril, junio, septiembre y noviembre).
31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y
diciembre).
Quincena  
15 días.
Día

24 h
Hora

60 min   3600 s
Minuto

60 segundos
9.4.
  1440 min
  86 400 s
OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO
ADICIÓN
Operar: 07 h 45 min +
07 h 15 min +
02 h 14 min
04 h 50 min
09 h 59 min
11 h 65 min   12 h 05 min
Ahora sume usted: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min
Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min
Ahora sume usted: 23d 18 h 20 min + 36 h 48 min
El resultado será: ……………………..
Pasemos a otra operación.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
218
MATEMÁTICA
SUSTRACCIÓN
Operar: 16 h 50 min - 18 h 30 min -   17 h 90 min 12 h 30 min
17 h 45 min
04 h 20 min
17 h 45 min
00 h 45 min
Observe que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usamos el artificio
de “pedir prestado” una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1
h.
Observación
05 h 30 min es diferente de 5,30 h
Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min
Ahora bien, pasemos a otra operación.
MULTIPLICACIÓN
Operar: 06 h 14 min 29 s 
5__
30 h 70 min 145 s   31 h 12 min 25 s
03 h 12 min 25 s 
______
18__
54 h 216 min 450 s   57 h 43 min 30 s
Ahora multiplique usted: 5d 08h 20min 24s  12
Muy bien, el resultado es: ........................................................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
219
MATEMÁTICA
Pasemos a otra operación.
DIVISIÓN
Operar: 57 h
43 min
30 s
54 h
180 min
420 s
03 h 
60
180
223 min
18
43
36
7
60
420
450 s
36
90
00
18
03h 12min 25
s
Ahora divida usted: 28d 09h 35min  7
Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s
Ha entendido …… , siga dividiendo:
4d 13h 30min 20s  5
Muy bien, el resultado es: .................................................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
220
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
Ponga atención y marque las respuestas correctas
1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min
2. Restar 17 h de 12 h 30 min
3. Utilice los símbolos de acuerdo al ejemplo:
Ejemplo: Diez horas y cincuenta y cinco minutos  10 h 55 min
a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos 
b) Dieciocho horas y cinco minutos 
c) Treces horas y media
d) Doce horas y media


4. Escriba conforme al ejemplo:
Ejemplo: 07 h 15 min  siete horas y quince minutos.
a) 05 h 45 min 
b) 18 h 30 min 
5. Indique los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo:
Ejemplo: 08 h
 480 min  28 800 s
a) 05 h 30 min  330 min 
b) 04 h 10 min 

c) 02 h 50 min 

d) 09 h 15 min 

6. Desarrolle:
a) 05 h 40 min + 03 h 35 min

b) 03h 35 min + 02 h 40 min

ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
221
MATEMÁTICA
c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min

d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min

e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min

f) 55 min 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s

7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h
30 min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza.
Rpta. El tiempo será de …....................
8. Realice las siguientes sustracciones:
a) 18 h 30 min – 13 h 15 min

b) 12 h 45 min – 07 h 30 min

c) 04 h 15 min – 30 min

d) 03 h 20 min – 50 min

e) 12 h – 07 h 30 min

9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 17 h 15 min. Un trabajador
pudo hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y
desde las 12 h 45 min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el
tiempo empleado y el tiempo previsto.
Rpta. La diferencia es de ........................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
222
MATEMÁTICA
10. Complete el cuadro:
01 min
……………… s
01h
……………… s
01h
……………… min
1d
..................... h
1 semana
..................... d
1 año
..................... d
1 década
..................... años
11. Coloque el signo igual (=) o diferente ()
a) 07 h 45 min .................. 07,45 h
b) 07, 45 h
c) 12,30 h
………..…. 07 h 27 min
……………. 12 h 18 min
d) 12 h 30 min ……………. 12,30 h
e) 17,15
……………. 17 h 15 min
f) 17 h 15 min ……………. 17,25 h
12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h.
Calcule el total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en días y horas.
(cada funcionario trabaja 8 horas diarias)
Rpta. ........................................................
13. Una pieza fue fabricada en 4 períodos iguales. Si cada período fue de 06 h
50 min, ¿Cuál es el tiempo empleado en la pieza?
Rpta. ........................................................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
223
MATEMÁTICA
14. Un instalador hidráulico trabaja desde las 17 h hasta las 11 h 30 min, y
desde las 13 h hasta las 15 h. Después de 6 días de trabajo. ¿Cuánto debe
recibir, si por hora cobra S/. 6?
Rpta. ........................................................
15. Calcule los 3/5 de 2 d 05 h 20 min
Rpta. ........................................................
16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha
trabajado la tercera parte de este período, ¿Qué tiempo ha trabajado el
segundo obrero? (trabajan 8 horas diarias)
Rpta. ........................................................
17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demoró 15 d 6 h 30 min.
¿Qué tiempo emplearán en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias?
Rpta. ........................................................
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
224
MATEMÁTICA
Muy Importante
Sería necesario que memorice las equivalencias de los múltiplos del tiempo,
según esto, numere la segunda columna de acuerdo a la primera:
(1) 1 año
( ) 30 minutos
(2) media hora
( ) 100 años
(3) 3 minutos
( ) 3 meses
(4) 1 siglo
( ) 180 segundos
(5) 1 bimestre
( ) 365 días
(6) 1 trimestre
Escriba los meses que tienen 31 días:
Rpta.
........................................................................................................................
Escriba (V) ó (F), si es verdadero o falso:
Febrero tiene 31 días
(
)
Un trimestre tiene 3 años
(
)
Un día tiene 24 horas
(
)
Una hora tiene 3600 segundos
(
)
Un día tiene 1440 segundos
(
)
Una semana tiene156 horas
(
)
Un año tiene 4 trimestres
(
)
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
225
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es
igual al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?
horas transcurridas x
Día = 24 h 
horas que faltan transcurrir 24  x
Luego:
3
(24  x)  x  72  3 x  5 x  x  8
5
 Es las 9 de la mañana
2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte
de este periodo. ¿Qué tiempo trabaja Palmira?
15d

16h
30 min
3
1h
5d 5h 30 min
 60mi  90 min

 Palmira trabaja 5d 5 h 30 min
3. Un ómnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40
min. ¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo?
2h 40 min = 160 min
120 km = 120 000 m
 Recorre por minuto 
120 000 m
 750 m / min
160 min
4. ¿A qué es igual 121 207 segundos?
121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto
2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto
33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto
 9 h 40 min 7 s
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
226
MATEMÁTICA
5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son:
Pedro:
15 años 5 meses 6 días, Marisol: 7 años 4 meses 8 días
Roberto: 4 años 18 días, ¿Cuánto suman las tres edades?
15 años 5 meses 6 días
7 años 4 meses 8 días
4 años
18 días
 26 años 9 meses 32 días = 26 años 10 meses 2 días
6. Un mecanógrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. ¿Cuánto
necesitará para hacer 7 veces más el mismo trabajo?
3h
16 min
18 s x
8
24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 )
 1 d 2 h 10 min 24 s
7. En una fábrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos laboró 25 d 4 h 35
min. ¿Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h?
25 d
4h
35 min x
14
350 d 56 h
490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)
 358 d 10 min
8. Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, después de 6 d de trabajo
se retiran 2 de ellos. ¿Con qué atraso se entregará la obra?
6 obr
6 obr
15 d 6 h
9 d 6 h  78h (como trascurren 6 d)
4 obr
x
x
6 obr  78 h
 117 h   14 d 5 h
4 obr
 14 d 5 h – 9 d 6 h = 4 d 7 h
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
227
MATEMÁTICA
9. Una persona nació el 15 de setiembre de 1986. ¿En qué fecha cumplirá 36
años 8 meses y 20 días de edad?
1986 años 9 meses
15 d +
36 años 8 meses 20 d

2022 años 17 meses 35 d
= 2023 años 6 meses 5 d
10. Una obra esta programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador.
Este empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para
refrigerar. Si prosigue su labor a las 15 h 17 min , ¿A qué hora deberá acabar
su trabajo?
15 h
17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio
Hora de inicio
8 h 20 min +
Duración del trabajo
Refrigerio
12 h 18 min
37 min

20 h 75 min
= 21 h 15 min
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
228
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I
1) Convierta en:
a) horas : 312min; 6374 s;
3,2min;
6800min; 22850 s;
415min
b) minutos : 32h; 4350h; 6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h
c) segundos: 21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h
d) decimales: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s
e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h
f) reste: 143h 36min 18 s - 45h 39min 26 s
2) Convierta en:
a) grados: 240' ;35' ; 4200”; 31,2' ; 0,68' ; 0,42” ; 425'
b) minutos: 360” ;38 ;4600” ; 38,6 ; 0,64 ; 172” ; 86”
c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2” ; 0,45 ; 0,012; 15
d) decimales: 64' ; 28”; 12627'42” ; 3638'18” ; 42 12' 48”
e)  , ' , “ : 14,38 ; 6,3 ; 12,7 ; 0.38 ; 18,75
f) sume: 1446'+18134”+378' + 9 12' 32”
3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Redusca el
tiempo a decimales.
4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo
para una pieza de trabajo.
5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. ¿Cuánto tiempo fue
necesario para dar una vuelta?
6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12' 56” . Para
el ajuste se requiere el ángulo en decimales.
7) La suma de los dos ángulos de un triangulo es de 139 37' 4”. Calcule el
tercer ángulo.
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
229
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RROPUESTOS
1. Me desperté a las 7 h 32 min 14 s
e
ingresé a la Nivelación
Académica 12 432 segundos
después. ¿A qué hora ingresé a
estudiar?
nivel II
Solución:
A) 9 h 59 min 27s
B) 7 h 32 min 43 s
C) 3 h 29 min 50 s
D) 10 h 59 min 26s
E) 13 h 2 min 59 s
2. Cada día de lunes a viernes, gané
S/. 6 más de lo que gané el día
anterior. Si el viernes gané el
quintuple de lo que gané el lunes,
¿Cuánto gané el jueves?
A) 30
B) 25
D) 27
E) 24
C) 28
3. La bajada de una montaña se hace
ordinariamente en los 4/5 del
tiempo empleado en la subida. Si
una persona bajó desde la cúspide
en 1 h 56 min y subió a razón de
50 m cada 5 min, ¿Calcular la
altura de la montaña?
A) 860 m
B) 1160 m
D) 950 m
E) 1830 m
B) 06-26
D) 04-26
E) 07-25
Solución:
C) 1450 m
4. Una cuadrilla de trabajadores
empieza a asfaltar una avenida el 4
de enero. Si asfaltan una cuadra en
4 días, ¿En qué fecha se acaba la
obra, si la avenida tiene 43
cuadras?
A) 05-26
Solución:
Solución:
C) 07-26
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
230
MATEMÁTICA
5. Expresar en días, horas, minutos y
segundos: 31 183 625 s
Solución:
A) 114 d 22 h 07 min
B) 360 d 22 h 07 min
C) 360 d 20 h 07 min 05 s
D) 866 d 20 h 07 min 05 s
E) 368 d 22 h 07 min
6. Si a la mitad de los días
transcurridos en el año, se le
agrega 1/3 de los que falta para
acabarse, se obtiene el número de
días transcurridos. ¿En qué fecha
estamos?. Considerar año no
bisiesto.
Solución:
A) 05-25
B) 05-26
C) 05-27
D) 04-26
E) 04-27
7. En una oficina trabajan 14
empleados y cada uno de ellos
laboró 25 d 04 h 35 min. Calcular el
tiempo total de trabajo de dichos
empleados. Considerar
1 d: 08
horas de trabajo.
Solución:
A) 357 d 05 h
B) 358 d 40 min
C) 358 d 10 min
D) 357 d 49 min
E) 358 d 06 h
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
231
MATEMÁTICA
8. Un tornero fabrica una matriz en 8
h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace
en 20 h 45 min 15 s. Si cada uno
debe fabricar 10 matrices en el
taller, ¿Cuánto tiempo de ventaja le
lleva el tornero al aprendiz?
Solución:
A) 3 d 02 h 15 min
B) 5 d 01h 40 min
C) 3 d 04 h 40 min
D) 4 d 02 h 50 min
E) 5 d 01 h 50 min
9. Para construir un barco trabajan
120 soldadores; cada uno suelda 2
m2 en 05 h 30 min. Si el barco
tiene una superficie total de
347
2
760 m , ¿En cuánto tiempo estará
Solución:
listo el barco?
A) 11 meses 2 d 01 h 30 min
B) 11 meses 15 d 03 h 25 min
C) 11 meses 04 d 15 min
D) 10 meses 3 d 02 h 10 min
E) 11 meses 28 d 10 h 15 min
10. Alfredo acepta terminar una obra
en 08 h 30 min. Al cabo de 03 h 48
min 45 s, se da cuenta que sólo
hizo la mitad de la obra, por lo que
decide trabajar lo más rápido
haciendo 1/3 de la obra en 02 h 30
min 20 s. Si sigue trabajando lo
más rápido posible, el trabajador
terminará la obra en:
Solución:
A) 35 min 45 s después de lo
previsto
B) 55min 45s después de lo
previsto
C) 35 min 45 s antes de lo previsto
D) 55 min 45 s antes de lo previsto
E) 45 min 45 s después de lo
previsto
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
232
MATEMÁTICA
11. La edad de Alberto es de 60 años y
la de sus tres hijos es de 14 años 7
meses 3 días, 12 años 8 días y 10
años 8 meses. ¿Cuánto falta a la
suma de las edades de los hijos
para igualar a la del padre?
Solución:
A) 22 años 8 meses 16 días
B) 22 años 9 meses 15 días
C) 22 años 7 meses 16 días
D) 22 años 8 meses 18 días
E) 22 años 7 meses 18 días
12. Un trabajo lo hicieron 4 personas y
por etapas. El primero le tomó 04h
48 min; el segundo empleó 3/5 del
tiempo del primero; el tercero 2/3
del tiempo del segundo y el cuarto
¾ del tiempo del primero. ¿En qué
tiempo se concluye el trabajo?
Solución:
A) 03 h 12 min
B) 11 h 52 min
C) 12 h 13 min
D) 11 h 32 min
E) 12 h 12 min
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
233
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS nivel III
Medida de tiempo
1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500
Km. ; lo que efectúa en 16 horas y 40 minutos. ¿Qué velocidad debe llevar
un segundo tren, que parte 2 horas y 58 minutos después que el primero,
para que alcance a éste en una estación situada a 156Km. Del punto de
partida?
a) 20Km/h b) 30Km/h
c) 40Km/h d) 50Km/h e) 60Km/h
2. Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero
cada noche baja 600 mm. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto de la pared
que mide 10m de altura?
a) 22 días b) 23 días
c) 24 días
d) 25 días
e) 26 días
3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar
las 12, en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la última
campanada. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma, si además el reloj
tarda 6 segundos en dar las 6?
a) 10 seg b) 12 seg c) 13 seg
d) 13,2 seg e) 15 seg
4. ¿A que hora entre las 2 y las 3, el horario y el minutero estarán en
direcciones opuestas?
a) 2h 43min 38s
b) 2h 23min 38s
c) 2h 33min 38s
d) 2h 43min 28s
e) 2h 43min 18s
5. ¿Qué tiempo tardará un auto en recorrer 1626 Hm con una velocidad
de 60 Km/h?
a)2,69h
b)2h 42min 30s c)2,72h d)2h 44min 36s e)2h 42min 36s
6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio
¿ Cuánto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio?
a)18min
b)36min
c)15min d)27min
e)24min
7. Rosa ,Chabela, Margarita demora 15 minutos en limpiar ½,1/3y 1/4 de su
casa respectivamente. Si juntas se ponen a limpiar todo su casa ¿En
que tiempo lo harían?
a)12/13 min b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min e)13 11/13 min
8. Un ladrón arrebata una cartera a una señora escapándose con una
velocidad de 8 m/s y la señora la persigue a 3 m/s . Cuando el
ladrón ha sacado 120 m de ventaja, lo atrapa un policía ¿Qué tiempo
demoró la fuga del ladrón?
a)32s
b)15s
c)24s
d)18s
e)30s
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
234
MATEMÁTICA
9. 9)En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un
pantalón y
3 camisas,o dos pantalones y una camisa ¿En cuanto
tiempo
puede confeccionar un pantalón y una camisa?
a)3h
b) 3h 30min
c) 4h
d) 4h 30min
e) 5h
10. 10) A cuánto equivale 3,5 trimestres:
a) 3m
b) 2m 1d
c) 40d
d) 1m 15d
e) 6m 2d
11. Un padre tiene 30 años y su hija 3 ¿Dentro de cuántos años la edad de
padre será el cuádruple de la edad de su hija?
a)15años
b)3años
c)5ños
d)6años
e)10años
12. ¿En que tiempo cruzará un tren de 40 m de longitud a un puente de
200m de
largo, si el tren tiene una velocidad de 30m/s?
a)7s
b)6s
c)8s
d)9s
e)10s
13. Tres aviones A, B y C parten de una base a las 8 horas .Si A regresa
cada hora y cuarto, B cada ¾ hora y C cada 50 minutos, se
reencontrarán por primera vez en la base a las :
a)17h 20min b)18h 20min c)15h 30min d)17h 30min
e)16h 30 min
14. Un reloj se retrasa 8 minutos cada 24 horas .Si éste marca la hora
correcta 7am el 2 de Marzo ¿Qué hora marcara a la 1pm del 7 de
Mayo?
a)11h 28 min b)12h 8min c)11h 18min
d)12h 42min
e)12h 18min
15. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos.si ahora marca las 5h
2min y hace 4 horas que se adelanta,la hora correcta sería:
a)4h 48min
b)4h 28min
c)4h 30min
d)4h 32min e)4h 52min
16. Un trabajador ha laborado 18d 21h 20s si su compañera ha laborado
de ese tiempo .¿ Cuál es el tiempo de labor efectuado por esta
persona?(1d=8h de trabajo)
a)15d 4h 35min 20s
b)16d 2h 10min 12s
c)15d 3h 45min15s
d)14d 5h 25min 40s
e)15d 4h 15min 10s
3/4
17. Si Fuera 3 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día los
5/7 de lo que faltaría si es que fuera 3 horas mas temprano .¿Qué
hora es?
a)6:00 am
b)7:00am
c)7:20am
d)8:45am
e)7:45am
18. A cuánto equivale 25,13 meses:
a) 4a5m7h b) 2a1m3d22h c) 5a2m7h
ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
d) 3a6m15h
e) 7a34m
235
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