Download La quinta operación matemático

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«HayHal)
ciencia popular
Y. Perelman
Algebra
Recreativa
T raducido del r uso por
C. P ét ez y F. P etrov
Qui nta edición
Editorial -Mir · Moscú
Impreso en la URSS. 1978
Jla
·
ucnanc1:0J.t R.SbHte
© Traducción al español. Editorial Mir. 1978
Indice
Del prefacio del autor a la tercera edición rusa
10
Capítulo primero
La quinta operación matemática
11
Le quinta operación
11
Cifras astronómicas 13
¿Cu6nto pesa el aire? 14
Combustión sin llame ni calor 16
Las variaciones del tiempo 17
La cerradura secreta 19
Ciclista supersticioso 20
Resultados de la duplicación consecuentiva 22
Millones de veces más rápido 23
1O 000 operaciones por segundo 28
Cantidad posible de partidas de ajedrez 3f
El secreto de la m'quina de jugar al ajedrez 3 3
Los tres doses 38
Los tres freses 39
Los tres cuelros 39
Con tres ciíras íguales 40
Los cuatro unos 4t
L.os cuatro doses 41
5
Capítulo segundo
El idioma del álgebra
44
EJ arfe de plantear ecuaciones 44
La vida de Oiofanto 46
El caballo y el mulo 47
Los cuatro hermanos 48
Las aves de la orilla 50
El paseo 52
El artel de segadores 53
Las v acos en el prado SB
El problema de Newton 60
El cambio de las manecillas del reloj 63
Coincidencia de las saetas 66
El arte de edivinar números
67
Un supuesto absurdo 72
La ecuación piensa por nosotros 73
Curiosidades y sorpresas 73
En la peluquería 77
El tranvía y el peatón 78
El barco y la balsa 80
Dos botes de calé 81
Velada 82
Exploración marina 83
En el velódromo 85
Carrera de motocicletas 86
Velocidad media 88
Máquinas de cálculo rápido
90
Capfturo tercero
En ayuda de la aritmética
102
Multipltcaci6n abreviada 102
Las cifras 1, 5 y 6 10S
6
los números 25 y 76 106
"Números" infinitos 106
Comprensación 110
Divisibilidad por 11 112
El número del autom6 vil 114
Divisibilidad por 19 116
Teorema de Sofía Germeín 117
Números compuestos 118
Acerca de los números p rimos 120
él mayor número primo conocido 121
Un cálculo muy laborioso 122
En ocasiones es preferible no recurrir al álgebra
126
Capítulo cuarto
~s ecuaciones de Diofanto
128
Compra de una bufanda 128
Una revisión en la tionda 133
Compra de sellos de correos 136
Compra de frutas 137
Adivinl!lr el día de naci miento 139
Venta de pollos 141
Dos números y cuatro operaciones 144
Cómo será el rectángulo 145
Dos números de dos cifras 146
Los números de Pitágoras 148
Ecuación indeterminada de tercer grado 153
Cien mil marcos por la demostración de un teoremo
Capffulo quinto
La sexta operación matemática
160
Sexta operación 160
¡Qué raíz es mayor? 162
7
157
Resuélvase al primer golpe de vista
Comedias algebraicas
163
t 64
Capítulo sexto
Ecuaciones de segundo grado
168
El apretón de manos
El enjambre de obejas
168
169
la ITHll'lada de monos 171
Previsión de los ecuaciones 171
El problema de Euler 174
Los eltavoces 176
El álgebra del vuelo a la Luna 178
"Ejercicio complicado" 182
¿Qué números sonr
185
Capitulo séptimo
La magnitud mayor y la menor
187
Dos trenes 187
¿Dónde construir el apeadero~ 19 f
¿Cómo trazar la carretera al emberc adero1 193
¿Cuándo alcanza el producto su máximo valor1 195
¡Oué suma serli la menor? 200
El tronco de mayor volumen 200
Dos parcelas de tierra 201
la cometa 202
La construc ción de una casa 204
La parcela 206
El canalón de sección máxima 207
El embudo de mayor capacidad 21 O
La iluminación más intense 212
s
Capitulo octavo
Progresiones
215
le progresión m's antigua 2t 5
Algebra en papel c uadriculado 217
Et riego de la huerta 220
La comida paro las gallinas 221
Brigada de cavadores 222
Las menzenos 223
La compra del caballo 225
La recompensa del soldodo 226
Capítulo noveno
La séptima operación matemática
227
La séptima operación 227
Los rivales de los logaritmos 229
Evolución de fas tablas de logaritmos 230
Curiosidades logarítmicas 231
Los logoritmos en escena 233
Los logaritmos en el corral 236
Los logaritmos en la música 237
Las estrellas, el ruido y los logarifmos 240
Los logaritmo s y el alumbrado eléctrico 242
Legados a largo plazo 244
Interés continuo
246
El número "e"
247
Comedia logarítmica 250
Expresor cualquier número tan s61o con tres doses
251
DEL PREFACIO DEL AUTOR A LA TERCERA
EDJC10N RUSA
El presente libro no es un manual clernonlal
de álgebra para principiantes. Algebra Recrea-
tiva , al igual que otras obras mías a·e la misma
serie, es, ante todo, un Jihro de estudio libre
y no nn texto. El lector al que destinamos el
presente volumen debe poseer ciertos conocimientos de álgebra , aunque l os baya asimilado superficialmente o los tenga scmiolvidados. A lgebra
.Recreativa se pt"opone refrescar y afianzar estos
conocimientos dispersos e inconsistentes, pero cm
primer lugar, pretende despertar en el lectol' el
interés por l os ejorcicios de álgebra y el clc~co
do cubrh-, con ayuda ele los manuales, las lagunas
de que adolezca.
A fin de hacer más atrayente el tema y elevar
el interés por él, me valgo de métodos diversos:
problemas a base de temas originales que despiertan la curiosidad, entretenidas excu 1·siones
por la historia de la~ matemáticas, inesperadas
aplicaciones del álgebra a cuestiones de la vida
práctica, etc.
CAPITULO PRIMERO
La quinta operación matemático
nnnn
la quinta operación
Con frecuencia ~e d enom i nn al álgebra Ja «a ritmética de las siet.c operacíonos», queriendo
s ubT·ayar con ello que a las cua tro operaciones
mntem:Hicas conocio:1s po1: todos, el i\lgebr.a
añade tres mñs: Je elcvar..ión n potencfos y s us
dos inversas .
Comencem o~ nuestras p1át. icaf't nlgebraicas por
Ja «quinta oper ación»: la clcv:1c ión :l pot enc.ias.
¿Res ponde esta operación a una exigencia de
ln vida práctica? Indudnhlcment.e.
Con ella tropezamos a menudo en Ja vida. Recordcmo8 los innumerables casos r.' ll q110 para calcular
superficies y volúmenes se p-recisa elevar los
números a la segunda o tercera potencia.
Otro ejempl o: la fuerza de gravitación universal ,
la acción recíproca electrost;át.ica y magnética, la
ln z y el sonido son inversamente proporciona1e~
al c·uadrado de las d istflncias.
La continuidad de la traslación de los
planetas
alrededor
del
Sol (o de
los
s atélites alrededor de los planetas) viene
expresada tamb ién en fot'ma de una pote ncia dependiente de la rlista.ncia q11e les separa
de su centro de traslación: la relación entl"e los
cuadrados de los tiempos de traslación es igual
a la relación entre los eubos de las distancias.
11
Es un error pensa.r que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras potencias,
y que no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de álgebra.
cuando un ingeniero busca el grado de solidez
de un cuerpo se ve obligado a operar a cada
iostante con cuartas potencias; y·en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo conducto
de vapor, por ejemplo) llega a operar incluso
con l a sexta potencia. Asimismo, los técnicos
hidráulicos se valen de las sextas potencias
cuando tratan de nveriguar Ja fuerza con que
son arrastradas las piedras por el agua: si la
corriente de un río es cuatro veces más rápida
que la de otro , el primeTo es ca paz de arrastrar
por su lecho piedras '1 6 , es decir, 4 096 veces
más pesadas que e) segundo río*.
Al estudiar la relación que existe entre la
luminos idad ele un cuerpo incandescente - el
fila mento de una 1ámpara, por ejemplo- y s u
t~mper aturn , se opora con potencias aún mayores.
Cua ndo la incandescencia es blanca, su luminosidad general aument~ en relación a la d écímosegunda potencia de su temperatura; cuando es
roj f\, en relación a la trigésima potencia de su
temperatur<l (s iendo ésta «absoluta», es decir,
a partir de -273º) . Esto s ignifica que si calentamos un cuerpo de 2 000° a 4 000° absolutos,
por ejemplo, o sea, si elevamos sn temperatura
al doble, la luminosidad de dicho cuerpo aumeutará en 2 1 z, es dec ir, en más de 4 000 veces.
En otro lugar nos ocuparemos de la importancia
qu e tienen para Ja técni ca de fab;ricación de l ámpAra! eléctricas estas proporciones tan singulares.
• En mi libro Mecánica Recreativa, eapftulo I X,
trat• e&n mb detalle de e&ta cueetitSn.
12
Cifras astronómicas
Es probable que nadie haga tanto uso de la
«quinta operación matemática~ como los astrónomos. Los exploradores del firmamento manejan sin cesar cantidades formadas por una o dos
cifras signiffoativas seguidas de una larga fila
de ceros. SerÍá muy incómodo expresar con los
medios ordinarios tales cantidades, llamadas con
razón castron6micas» y, sobre todo, operar con
ellas. Los kilómetros que nos separan de la
nebulosa de Andrómeda se representan con la
siguiente cifra:
95 000 000 000 000 000 000.
Por añadidm:at al efectuar cálculos astronómicos, muchas veces hay que operar no con
kilómetros u otras uni.dades aún mayores, sino
con centímetros. En este caso, la distancia antes
referida lleva cinco ceros m ás:
9 500 000 000 000 000 000 000 000.
La masa de las estrellas viene ex presa da en
cifras todavía más considerables, sobre todo si
hemos de registrarla en gramos, como exigen
muchos cálculos. La masa del Sol, en gramos,
es igual -a:
1. 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Huelga ocuparse de los inconvenientes que
representaría Qperar con números tan desmesurados y de lo fácil que sería incurrir en error en
tales c~sos. Además, las cantidades referidas
están muy lejos de ser las mayores en la astronom ía .
13
. ta quinta operadon matem~hica aligera 1os
cálculos. La unidad seguida de varios ceros se
.expresa con el número 10 elevado a 'Una determinada potencia
100 = 102;
t 000 = 1os;
10 000 = tO';
etc.
Los enormes números citados anteriormente
pueden representarse como sigue:
el primero
. . • • • • , . 950.1022
el segundo
• • .1 983 . fQSO
Se expresan así no sólo para economizar
espacio, sino también para facilitar los cálculos.
Si hubiera, por ejemplo, que multiplicar ambos
números entre sí, bastaría hallar el producto de
950 ·1 983 = 1 883 850 y tras él colocar el factor
1022 +3 o = 10f>2 de la forma siguiente:
Es evidente que esto resulta más cómodo que
escribir un número seguido <le 22 ceros, otro de
30 ceros y, por último, un tercero acompañado
de 53 ceros. Y no sólo más soncillo, sino también
más seguro, por cuanto al escribir tal fila de
ceros puede ser omitido alguno, obteniendo un
resultado erróneo.
¡Cuánto pesa el airel
Para comprobar hasta qué punto se facilitan
los cálculos al ropresentar los números en forma
de potencias, pongamos el siguiente ejemplo:
hallemos cuántas veces la masa del globo terrestre
es mayor que la del aire que lo rodea.
14
~1 aire pres(ona sohre cada centhnetro cuadra·
do de sup~rficie terrestre con la fuerza de un
kilogramo aproximadamonte. Esto quiere decir
que el peso de la columna de aire que se apoya
en 1 cm 2 es igual a 1 kg. La capa atmosférica
de la Tierra se forma, por decirlo así, del conjunto de dichas columnas de aire, que son tantas
como centímetros cuadrados forman la superficie de nuestro planeta, y como cantidad de kilos
pesa la atmósfera en su conjunto. Si consultamos
los índices correspondientes, averiguaremos que
la superficie t errestre mide 510 millones de kilómetros cuadrados, es decir, 51 ·107 km 2 •
Veamos cuántos centímetros cuadrados hay
en un kilómetro cuadrado. El kilómetro lineal
se forma de 1 000 metros y cada uno de éstos
tiene 100 centímetros, o sea, un total de 106 ero,
por lo cual, el kilómetro cuadrado lo formarán
(106 ) 2 = 10 1º cm 2 • De aqu í que la superficie del
globo torrostre será igual a
Sf .107 . 1010 = 51. .1011 cm 2 •
Esta cifra representa también la cantidad de
kilogramos quo pesa la atmósfera de la Tierra.
Transformando los kilogramos en toneladas resultarán:
51.1017 : 1 000 = 51 -1017 : 10' =
=51 · 1017-3
51 ·1014
=
mientras que la masH dol globo terrestre es de
6 · 102 ' toneladas.
Para conocer cuántas veces es más pesado
nuestro planeta 'que la capa de aire que Jo rodea,
efectuemos la siguiente división:
G·i0 21
:
5t ·1014
:::::;
108 ,
16
de donde se deduce que la masa atmosférica es,
aproximadamente, la millonésima·~ parte de la
del globo terrestre*.
Combustión sin llama ni calor
Si se pregunta a un químico por qué la leña
o el carbón arden únicamente a elevada temperatura, contestará que la combinación del carbono y el oxígeno tiene lugar a e u a J q u i e r
temperatura, pero que cuando ésta es baja,
dicho proceso transcurre con excesiva lentitud
(es decir, en la reacción toma parte un número
insignificante de moléculas), y por ello escapa
a nuestra observación. La ley que rige la velocidad de las reacciones químicas enseña que al
descender la temperatura en 10°, la velocidad
de la reacción (el número de moléculas que toma
parte en ella) se red u e e a l a m i ta d.
Apliquemos dicha ley a la reacción que se
produce al oxigenarse la madera, esto ~s, al
proceso de combustión de la madera. Supongamos
que un gramo de madera sometido a una temperatura de 600º se consume en un segundo. ¿Cuánto
tardará en consumirse 1 gm de leña a la temperatura de 20º? Es sabido que con uua temperatura 580 = 58 ·10 grados menor, su reacción será
268 veces más lenta,
o lo que es lo mismo, un grnmo de leña se con~umirá en 2ª8 segundos.
¿A cuántos años equivale este lapso de tiem. po? Podemos calcularlo sin efectuar 57 multiplicaciones consecutivas en las que el multipli• El signo ::::: significa la igualdad aproximada.
16
cador sea 2, y sin re&urrir a la tabla de logarit·
10.0.s. Es noLorfo que
210
=
i 024
~
103 ,
de lo que se deduce que
258= 2110-2= 2ºº:
1
i
1
<
22=4 .2,60 = ¡;·(210)6 ~ 4·1011,
es decir, aproxirµadamente la cuarta parte de u~
trillón de segundos. El año tiene cerca de ~O ~i­
llonos de segundos, o, lo que es igual, 3 ·107 segundos; por esto
{! ·
1018 ) : (3. 107) =
1~ .fQ11 ~ 1010.
¡Diez mil {O.iliones de años! EsLe es aproximadamente el tie~po que tardada en consumirse
un gramo de madera sin llama ni calor.
Asi, pues, la madera y el carbón arden a la
tomperatura ordinaria , sin encenderlos. La invención de instrumentos para obtener el fuego
aceleró este proceso, de enorme lentitud, on miles
de millones de voces.
Las variaciones
del tiempo
Problema
Fijemos nuestra atención sólo en un elemento:
si ol tiempo es nublado o despejado; es declr,
distinguimos los días por el hecho de sí en el
cielo hay nubes o no. ¿·Qué piensa el lector? En
estas condiciones, ¿habrá muchas semanas cou
diferente combinación de días nublados y despejados?
'· Puede parecernos que éstas serán pocas y .que
p·a sados unos dos meses se· agotarán todas .las
combinaciones de días nublados y despejado~,
2-ouo
17
f'epitiéndose entonces a la fuerza alguna de las·
combinaciones ya observadas.
Mas, probemos a calcular exactamente el
número posible de combinaciones que pueden
darse en estas condiciones. Este es uno de los
problemas que nos conducen inesperadamente
a la quinta operación matemática.
En fin, ¿do cuánLas formas diversas pueden
combinarse los días nublados y despejados en
una misma semana?
Solución
El primer día de la semana puede ser despejado o nublado ; lo que quiere decir que por
el momento se tienen dos «combinaciones».
En el transcurso de dos días son posibles las
siguientes combinaciones de días nublados y despejados:
Despejado y despejado
despejado y nublado
nublado y despejado
nublado y nublado.
En dos días se tienen ya 2 2 combinaciones
diferentes. Al tomar tres días , a cada una do las
cuatro combinaciones cor.respondientes a los dos
primeros días, se une alguna de las dos combinaciones del tercer día; de esta forma obtenemos
un total de variantes igual a
22 2 = 2 3•
0
En cuatro d-ías, el número de combinaciones
será de
23 ·2 = 2.'.
Al llegar al quinto día se producirán 2 6 combinaciones¡ al sexto, 2°, y, por último, en la
semana habrá 2 7 = 128 combinaciones.
18
be todo esto se dcciuco que Jrny 128 semanas
con diferentes v aria.o.les de días despejados y nublados. Al cabo de 128 ·7 = 896 días se repetirá
inevitablemente una de las combinaciones anteriores , aunque dicha repetición puede '.s urgir
antes, pero 896 días constituyen el período a partir del cual esta repetición es completamente
inevitable. Y, por el contrario, pueden transc.urrir dos años e incluso más (dos años y 166 días),
sin que el estado atmosférico de una seman~ se
parezca al de lns otras.
La cerradura secreta
Problema
En cierta institución s oviética fue hallada una
caja fuerte de tiempos anterfores a la revolución.
Hallóse la llave de la misma, mas para poder
abrirla se precisaba conocer el secreto de la
cerradura: ésta se componía de cinco rodillos,
en torno a los cuales había un alfabeto con 36 letra.s; los rodillos debían combinarse de tal manera
que formasen una determinada palabra desconocida. Para evitar forzar la caja dccidi6se probar
con dichas letras todas las combinaciones posibles.
En cada una de estas combinaciones se invertían
tres segundos. ¿Podía abrirse la cerradura en
10 jornadas?
Sofudón
Calculemos el uúmero total de combinnciones
posibles.
Cada una de las 36 letras del primer rodillo
puede unirse a cada una de Jas 36 letras del
segundo rodillo. Así pues, el número de combi19
naciones posibies con dos 1etras de Íos
llos será:
dos rodi-
3(3.31} = 3611•
A cada una de esta combinaciones podemos
añadir cualquietn do las 36 letras del tercer
rodillo, con lo cual, el total de variantes con
tres letras <le los tres rodillos equi vald'rá a:
362 .36 = 3ül.
De esta m ismn manera hallemos l a cantidad
de combinaciones posibles con cuatro letras de
los cuatro. rodillos, que llegarán a 36'; y con
cinco letras de los cinco rodillos tendremos 366 ,
o sea, 130 tJ.66 176. Para practicar estás 60 millones y pico de combinaciones, dedicando t.res
segundos a cnda. una, se necesitarán
3 ·60 466 1 í6 = 181 398 528
segundos , es decir., más de 50 000 horas, lo que
equival e a casi 6 300 jornadas de trabajo de
ocho horas, ¡más de 20 años!
Esto quiere decir que existen 10 casos favorables entre 6 300, o 1 ontre 630, de que la caja
sea abierta en 10 jornadas de trabajo. Por l o
tanto, la probabilidad es muy reducida.
Ciclista supersticioso
Problema
Hasta hace poco cada bicicleta debía tener
una matricula igual que el automóvil. Esta
matrícula tenía seis guarismos.
Cierta persona muy superticiosa adquirió una
bicicleta con el propósito de aprender . a manejarla. Cuando supo que a cierta avería, propia
de é~tas máquinas, se le denomina ·((ocho•, se
creyó condenado a al gún contratiempo si en el
20
número de su matrícula figuraba a.lgún ocho.
Al ir por ésta, le tr~nquilizó la siguiente reflexión: cualquiera que s ea el número de la matrícula, debe ·formarse con guarismos del O al 9.
De éstos, tan sólo el 8 es «aciago», por lo cua.l,
de cada 10 casos existe uno en que la matrícula
resulte «infausta».
¿Es acertada esta deducción?
Solución
El numero de las matrículas se compone de
seis guarismos. Por lo tanto , habrá 999 999 diferentes, desde el 000 001 ,000 002, ehc. hasta el
999 999. Calculemos ahora cuántos números
«afortunados» podríamos encontrar. El lugar de
las unidades del número puede ser ocupado por
alguna de las nueve cifras <(felices)>: O, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 9. En el segundo lugar también puede
encontt"arse una de estas cifras. De ahí que las
dos primeras cifras den l ugar a 9 .9 = 9 2 combinaciones «favora.hles». A cada una de es tas
ccmbinacione.~ puede agregarse una tercera cifra
de l as nueve ((bienhadadas~; por Jo tanto las combinaciones «felices» de tres cifras llegan a 9' · 9 =
= 9'.
esta misma manera !'le deduce que el número de combin9.ciones «satisfactorias», compuestas
de seis cifras, es igual a 9°. No obstante, hay que
toner en cuenta que Cf>te número c.om prende la
combinación 000 000, quo no sirve -para matrícula. Por consiguienle, la cant,idarl de matr.ículas
«afortunadas» es de 9° - 1 = 531 '140, lo que
cpnstítuye algo más del .53 % del total de números posibles, y no el 90%, como suponfa el ciclis-
·ne
ta en cuestión.
El lector se convencerá de que en la serie
d e números con siete cifra.s, hay más «infaustos})
que ((bienhadad<;>s».
21
Resultados de la duplicación consecutiva
En la famosa leyénda en la que se habla de
la recompensa concedida nl inventor del ajedrez*
puede encontrarse lm ejemplo demostrativo del
rápido increm ento qoe. se obtiene al duplicar
repetidamente un número por pequeño que sea.
Sin detenerm e en este paradigma clá.s ico , me
remitiré a otros roo.nos conocidos.
Problema
Cada 27 hornsl como t érmino medio, el infusorio paramecio se parte en do.s. Si todos los
infusorios surgidos de esta suerte quedaran
v ivos, ¿cuánto t.i empo sería necesario para que
los descendientes de un paramecio llegaran a tener
el voJ umen del Sol?
Los datos necesarios para este cálculo sou:
la 40t\ genoraci6n, si se conservan todas des de
l a primera, ocupa después ele su desdoblamiento,
un volumen igual a un metro cúbico. El volumen
del Sol es de 10 27 ms.
Solucfdn
La tarea cons iste en determinar cuántas veces
1 m 8 debe multiplicarse por dos para llegar
a 10 27 m 3 •
.1on
=
(10ª)'
~
c210)9 =
211...
puesto que 2 10 ~ 1 000 .
· De - e,~ta: forma , la cuadragésima generac1011
<\ebe ·sufrir ·90 nuevas di vis iones sucesivas para
ai canza·r eI volumen del Sol. El número total
de gen~racio_n~s , incluyendo la primera, es de
40
90 = 130. No ofrec·e dificultad alguna
precisar q.u e Qst.o. tiene lugar el día 147.
+·
• Véase rui libro M a·temáticas Recreat ivas, cap. VII .
22
El microbiólogo Metálnikov observ6 8 061. di•
visiones sucesivas del paramecio. Que calcule ·el
propio lector el colosal volumen que tendría la
últim·a generación si no hubiera muerto ni uno
solo de estos infusorios ...
La cuo.stión examinada en este problema
puede ser presentada., como si dijéramos, desde
el lado opuesto.
Imaginémonos que se ha dividido el Sol en
dos mitades, que 11na de estas mitades también
ge ha dividido en dos. etc. ¿Cuántas operaciones
semejantes serían precisas para que resultara el
tamaño de un infusorio?
Aunque el lector conoce ya la contestación130, no por eso deja ele asombrar lo reducido de
e..o;te número. A mí me fue planteado este problema en la siguiente forma~
Una hoja de papel es dividida en dos. y una
de las mitades obtenidas es, a su vez, dividida
-por la mitad, etc. ¿Cuántas dh•isiones serían
precisas par.a llegar a la dimensión del átomo?
Su-pongamos que la hola de papel pesa 1 gramo
i
y qne tomamos 1011, de gramo como peso del
átomo. Como quiera que 1.0u puede sustituirse
por 2SD, de valor apl'oximado, se hace evidente
que, so necesitan tan sólo ·u nos 80 desdob lamientos, y no millones, como se contesta con
frecuencia cuando se da a conocer este problema.
Miilones de v~ces más rápido
El aparato eléctrico. llamado basculador.
contiene dos lámparas electrónicas*. La corriente
• Si en vez de las lámparas electrónicas uno va
a utilizar trnnsistores o, los nsí llamados, circuitos
sólidos {de capas) no so cambiMá 0l resultado.
23
.pued·e entrar en el ba:sculador sólo a través de
'Úna lámpara: bien por la de la «izquierda ~ o por
la de la «derecha». El aparato ·ti~ne . dos cont.acto:r, á. los que puede enviarse desd_e afuera una
señal eléctrica instantánea (impulso) y dos
contactos a través de los cuales transmite el
ba.sculador la señal de respuesta 1. En el momento
en que llega el impulso eléctrico. exterior, el
basculador cambia el contacto: la _lámpara por
Ja cual ·h a pasado la corriente se desconecta y la
corriente comienza a pasar por la otra Jámpara .
El hasculador envía el impulso de respuesta al
desconectar la lá.m para de la derecha y conectar
la de la izquierda.
Veamos ahora ~ómo funcionará el basculador
si le enviamos varios impulsos consecutivos.
Fijemos la situación del bascu:ladoi: basándonos
en l a lámpara de la derecha: si la corriente no
pasa por ella convengamos en ·que el basculador
se encuentrá en la «posición 0»; y si la corriente
pasa por ella. (la derecha), .el aparato se halla en
la «posición 1».
Supongamos que el basculador se encuentra
en la posición O, es decir, que la corriente pasa
por l~_ lámpara izquierda (/ig. 1). Después del
prim~i' impulso la corriente entra por la lámpara
derecha, es decir, el hasculador· pasa a la posición. ·1.. Entre tanto 1 el aparato no emite el
impulso de respuesta, por cuanto ésta se produce
s6lo cuando se desconecta la lámpara....,derec.ha
(no la izquierda).'"'
Después· del segundo impulso, la corriente
entra ya por la lámpara izquierda, es decir, el
basculador toma de nuevo la posíción O. Mas
e·n e~~ · instante, el hasculador l anza la señal de
respuesta (impulso).
A continuación (después de los dós impulsos),
el aparato torna de nuevo a su ,posición inicial.
Por eso, después del tercer impulso, el basculador.
vu.e1ve ~ la posición 1, como lo hizo después
del primero; después del cuarto vuelve .(como
después del segundo) a la posición O, enviando
1.i
¡..
¡.
f<j •u'"'~''
D-E8PvtS c.l~I PRitt'l:R 111Pvlgo:PoSícióNÍ
JHP.ilsodE
tt~Pv~g~A-i ~
~
Q
z1M~ulg0
l>t:gP11°'t'S q i:I S~qv Ncj() 1M ryJSo PC\S1c,101'10
" TAAN ~ " ' ¡g•C"N de IA Sel'AI dt: ~'SP11t:S r..+
Fig. 1.
al mismo tiempo la señal de respuesta, y así
sucesivamente. Cada dos impulsos se repite la
situación del 'basculador.
Supongamos ahora que tenemos varios basculadores , y que los impulsos del exterior se
envían s6Jo al primero de ellos, los impulsos de
respu esta del primer hasculador ~o trarn~miten
al segundo, ]os del segundo al tercero, etc. (en la
fig. 2 se presentan Jos aparatos conectad·os en
serie de dereclla a izquierrla). Veamos cómo
funcionará esa cadena de ba.sculadores.
Supongamos que en el momento inicial , todos
los hasculadores se. hallan en la posición O. Por
ejemplo , para la- serio de cinco basculadores
tendremos la combinación 00000. Después del
25
primer impulso ol priJ:ner basculador (el del
extremo ·<le la derecha) toma lá posición 1, mas
como eri-este ca.so no se da el impulso do contostación, todos los demás áparatos permanecen en la
posición O, es decfr, la combinación se caracterizará por Ja posición 00001. Después del segundo
impulso. el pl'imer b~sculador so desconecta
~~
~
3u.bAic11l'\qOR.
H
~
~ f• ' ~
~· bASc11ll\dOR.
~ J~ •~Pvl&o¡
~!!-bA~cu!Ado~
Fíg. 2.
(vuelve a 1a pos1c1on O), pero óste da 1a seña 1
de respuesta, en vi·rtud de la cual se conecta el
seguuc\o bnsculador sin producir cambios en el
resto de los aparatos, es decir, obtenemos Ja
posición 00010. Después del tercer impulso se
conecta el primer basculador; los demás no
cambian de posición. Tendremos la combinación
00011. Con el cuarto impulso se desconecta el
primer basculador; éste da la señal de respuesta
que sirve de impulso desconectador del segundo
basculador que también da el ipipulso de r~­
puesta; finalmente, con este último impulso se
conecta el te1·cer basculado-r. El resultado de todo
esto será la combinación 00100.
Si se continúan estos razornimientos result~rá:
1cr impulso, comhinuci6n 00001
20
»
~
000'10
30
»
))
00011
40
))
~
00100
50
~
,,
00101
60
•
»
00110
70
)}
))
0011.1
so
»
»
01000
26
Se aprecia cómo esta serie de basculadores
«cuenta» el número de señales recibidas del exterior y lo «anota» a su maneJ'a. No es difícil advertir
qu e la «a notación» del número de impulsos recibos no se produce de acuerdo con el sistoma de
base diez, sino con el sistema binario.
E n este sistema, la num eración se ~orina
mediAnLe unos y ceros. La unidild del segundo
lugar n o es diez veces mayor que la del primero,
sino s6l o dos vece.s. La uni dad que en el sistema
binario ocupa el últim o puesto (el de la derecl1a)
es una unidad ordinaria. Ln unidad del siguiente
orden {la que ocupa el segundo lugar con tando
desde la derecha) representa un dos; la siguiente
unidad, un cuatro; la otra , un ocho, etc.
Por ejemplo , el número 19 = 16
2
1 se
regis tra en el sistema de base dos en forma de
10011.
Quedamos pues en que la serie de bHsculadores
«cuen ta» el número de señales recibidas y l as
«anot a» con el sistema de numeración binario.
Obsérvese que el cambio de posición del basculador, es decir, el registro de uno de los impulsos
llegados , dura en total ¡a 1 g u n a s e i e n m i l l o n é s i m a s d e s e g u n d o! Los contad ores de basculador modernos pueden «contar»
d ecenas de millones de impulsos -por segundo, l o
q ue abrevia la oporaci6n \mns 100 000 do veces
en relación con dicho cálculo hecho por una
persona que no disponga de aparato alguno: Ja
vista humana puedo distinguir con clari dad
señal es que se sucedan con una frecuencia que
no sea superiol' a 0.1. segundo.
Si se forma una serie de veinte baseul adores,
es decir 1 si se registra la cantidad de señales
dadas en números que no tengan más de veinte
cifras del sistema de base dos, entonces se puede
«contan hasta 2zo - 1, o sea, más de un millón .
+ +
Y ··5t· se forma una serie de 64. bascnladores, se
· p·ue.d.e r~gistrar la famosa «cifra :del ajedre·z».
La posibilidad de contar centenares de miles
de señales en un segundo reviSte gran importancia
para·los trabajos experimenta.les relacionados con
1~..física nuclear. Puede ser registrado, por
ejelitplo, el númoro de partículas de u no u otro
ti-p.o que salgan despedidas en la desintegraGión
del átomo.
10 000 operaciones por segundo
Merece destacar que los esquemas de basculadores permiten también realizar o p e r a e iones con cifras. Veamos, por ejemplo, cómo
se efectúa la adición de dos números.
Supongamos que tres series de basculadoTes
~e cncucntrn.n l111i<las como se indica en la fig. 3.
o
o
I
· -~~c.ul.1'c1o ,tr°h•1$cv1Ado~~p,t$1>!1/"-ch>R r~.-\SculP,doR
Flg1. 3.
La serie superior sirve para registrar el primer
la segunda serie, para . el segundo
sumando, y lu inferior, para la suma. En el
mom.e nto de conectar el aparato, ·ª los basculad ores- de la sel'ie inferior llegan impulsos de los
~umando;
28
pnscuia:dores ele 1a serie superior y de la media
que se encuentran en la posición 1.
Admitamos que, como se señala en la fig. 18,
las dos primeras series presentan los suI11andos
101y111 (con el sistema de numeración binario).
En este caso, cuando conectemos el aparat.o
llegarán al primer ba~culador d~ la serie inferior
(el del extremo de la derecha) dos impul$os: Jos
del primer baseulador de cada uno de los suma-ndos. Es sabido que al recibir dos impulsos, el
primer bascmlador queda en la posición O, p~ro
rosponde con un impulso que envía al ségµndo
basculador. A é_ste llega, además, una señal del
segundo sumando. De esta forma, al segundo
basculador llegan d_os impulsos; con esto q_u eda
en la posición O y envía el impulso de respuesta
al tercer basculador. Asimismo 1 al tercero llegan
otros dos impulsos de cada uno do los sumandos.
En consecuencia, a cada una de las tres señales,
el tercer baseulador pasa a la posición 1 y despide
un impulso de respuesta. Este último impulso
traslada el cuartó basculador a la posición 1
(al cuarto no ll~gan más señales). Así es cómo
en el aparato representado en la fig. 3 se ha realizado, mediante el sistema de numeración binario, una suma de dos números «en columna~:
101
+ 111
1 fOO
o, según la suma del sistema decimal, 5 + 7 =
= 12. Al darse la señal de respuesta en la serie
inferior de basculadores parece como si el aparato «llevara una unidad~ de la columna anterior
y la pasara a la siguiente, es decir, hace lo mismo
.que cuando sumamos en «columna».
Si en cada serie hubiera en lugar de cuatro,
20 basculadores, por ejemplo. podríamos reali ..
29
zar sumas <le m~meros inferiores a un mil16n y,
si se aumentara todavía más el número de bas~uladores, sería posible sumar cantidades ma·yoros.
Debemos advertir que en la práctica, el
esquema de este mecanismo debe ser mucho más
complicado de Jo que aparece en la fig. 3 . Entre
otras co~as, la máquina debe tenor un apnrato
especial que ai:;egnre el «retardo» de las señales.
En efecto: en la máquina representada en el
esquema, Jas ~eña les de los dos sumnndos llegan
s i m u 1 t ti n e a rn e n t e (en e1 instante en que
se conecta la má<.1u.ina) nl primer basculador de
la serie inferior. Por ello ambas señales se fundirán en una soJa, siendo registradas por el basculador, no como dos, sino coDlo una señal única.
Para evitar esto es preciso que las señales de los
sumandos no lleguen a la vez, sino unas más
«t~rde» que las otras. La presencia de este «retardador» determina qne en la suma se emplee más
tiempo del necesario para el registro de una
señal en el contador: de los basculadoros.
Si so cambia el esquema de la máquina cabe
efectual' la sustracción en luga:r de la adición.
Puede emplearse también para la multiplicación
(que consiste en ln adición consecutiva ele sumandos, lo que exige más tiempo), la divis ión
y otras operaciones.
Los aparatos a que nos hemos referido se
emplean en lns máquinas modernas de cálculo.
Estas pueden realizar en un segundo ¡decenas
e incluso centenares de miles de operaciones
numéricas! Esta vertiginosa rapidez operativa
puede parecernos superflua. ¿Qué diferencia
puede haber, por ejemplo, en que la m áquina
eleve un número de 15 cifras al cuadrado en una
diezmilésima. de segundo o, supongamos, en un
cuarto de segundo? Lo uno y lo otro nos parece1·án
soluciones «instantáneas» del ejercicio ...
30
Sin embargo , no hny que aptesütarse en l as
conclusiones. Tomemos el siguiente ejemplo:
Un buen ajedrecista, antes de mover una pieza
analiza decenas e incluso centenares de variantes
posibles. Si suponemos que el análisis de. una
v.ariante le ocupa algunos segundos, para el
examen de ccmtenar·es de ellas precisará min"Qtos
y decenas de minlltoH-. No es raro que en las
partidas complicadas, los jugadores resuJ~n en
«zeitnot», es decir, se vean obligados a rea,li zar
las úhimas jugadas apresuraclamente porque a l
meditar los lances anteriores han agota9,o casi
todo el tiempo destinado a l a. partida. ¿Y si
encargamos a la máquina. el examen de las variantes de jugada en la. partida de ajedrez? La máquina, como sabemos, no puede caer nunca en ueilnot», ya que hace miles do operaciones por segundo y puede analizar todas las variantes «instantáneamente» ...
Podrá objetarse quo una cosa es efectuar
operaciones por complicadas que sean, y otra,
jugar al ajedrez: ¡la máquina no puede hacer
esto! ¡Al analizar las variantes, el ajedrecista
no opera, sino que pi en sa l l\.fas no djvaguemos ahora; volveremos a esto más adelante.
Canffdad posible de partidas de ajedrez
Hagamos el cálculo más o menos exacto del
número de partidas de ajedrez posibles. Como
carece de senti do la determ.inación precisa,
ofreceremos al l ector un it1tento de determinar
aproximadamente el número de partidas de
ajedrez posibles. En el libro La. matemática de los
juegos y distracciones matemáticas, de M. Kraitchik, matemático belga, encontramos el siguiente
cálculo:
31
«Al 111óver la primera pieza, las blancas tienen
20, jugadas a elegir (16 jugadas con los ocho peones·, cada' uno de los cuales puede avanzar un
escaque o dos; y dos jugadas de cada caballo).
A .cada jugada de las blancas, las negras pueden
contestar con cualquiera de esas variantes.
Combinando cada movimiento de las blancas con
cada nuo de las negras tendromos 20 ·20 = 400
varinntes despuós de la pdmera jugada por
am has partes.
Después del primer movimiento, el número
de jugadas posiblos es aún mayo.r. Si las blancas
han movido, por ejemplo, e2 - e4, para la
segunda jugada, tienen ya 29 variantes a elegir.
En lo sucesivo, el número de jugadas posibles
es todavía mayor. Tan sólo la reina, encontrándose, por ejemplo, en el escaque d5, puede hacer
27 movimientos (suponiendo que todas las casillas
donde puede ir estén libres). Sin embargo, para
simplificar el cálculo, nos atendremos a las siguientes cifras medias:
20 variantes para cada una de las partes en las
.p rimeras cinco jugadas;
30 variantes para cada parte en todas las
demás jugadas.
Admitamos, además, que el total de jugadas
en una partida normal, como término medio,
sea 40.· Partiendo de este supuesto, las partidas
·pqsjbles serán:
(20. 20)6. (30. 30)3 11».
Para determinar la magnitud aproximada de
e_sta expresión nos valdremos de las siguientes
transfonn aciones y simplificaciones:
. · (~0·20)&·(30°30) 8~ = 2010.3070 = 210.370.to•o.
Sustituyamos 2 10 por 1 000, ·que es una magnitud parecida, es decir, por 10 3 •
32
PresentamO$ la potenci.n 370 en la forma qu.e
sigue:
(34)'-: ~ 10·8017 = 10.sn.1017 =
2u.1oia = 2 (21º)"·1018 ~ 2.1ou.101 s = 2 ·1033
310=3es_.3o¿~10
=
por consiguiente,
(20·20)r; ·(30·30)ª~ ~ 10s.2 .1oss.1010 = 2.1oús.
Este número deja muy atrás a la consab'i.da
cantidad de granos de trigo pedida como _premio
·P or l a invención del ajedrez (2 64 - 1 ~ 18 ·10 18 ).
Si toda la pohláción del globo terrestre jugara
al ajedrez el día entero, moviendo una pieza
cada segundo, p3¡1'.a agotar todas las posibles
partidas de ajedrez, ese juego general y permanente duraría ¡no menos de 101ºº siglos!
El secreto de ~ máquina de iugar al ajedrez
Sin duda asombrará al lect.or enterarse de
que en cierta época existían m áquinas automáticas de ajedrez. En efecto, ¿c6mo concebir semejantes aparatos si el número de combinaciones
de las piezas en el tablero de ajedrez es prácticamente infinito·~
Su exp_licación. es muy sencilla. No era una
máquina lo que existía, sino la fe en ella. Un
aparato que gozó de gran popularidad fue el del
mecánico húngaro Wolfgang von Kem pelen
(1734-1804), que lo pres~ntó en las cortes austriaca y rusa y después hizo con él exhibiciones
públicas en París y Londres. Napoleón I jugó
con esta máquina creyendo que se enfrenta.h a de
verdad con ella. A mediados del pasado $iglo
el célebre aparato fue a. parar a América, destruyéndolo un incendio en Filadelfia.
S-0580
33
La lama de las dem.ás mnq:µin·as fue meno~
ruidosa. No obstante, ni aún en tiempos posteriores se perdió la fo en la existencia de tales
aparatos. ·
En realidad, ni una sola máquina··de ajedrez
actuaba automáticamente. E n su interior se
ocultaba un adiestrado ajodrecista que movía las
piezas. Este psendoautomátíco lo formaba un
voluminoso cajón en cuyo interior había un
oom plejo mecanismo . El cajón tenía también un
tablero de a jedrez con sus piezas que movía l a
mano de un gran muñeco. Antes ·ele empezar e]
juego se permitía al público que se cerciorara de
que en el cajón no había m ás qµe las piezas del
mecanismo. Sin embargo, en dicho cajón quedaba·
sitio suficiente para ocultar a un hombre de baja
ostatura (ese pa.pol fue desempeñado en su tiempo
por los célebres aj cdreCl3tas J ohnnu AJlgaier· y
WilHam Lewis). Es probable que mientras se
iban mostrando ~uccsivamenle al público diferontes departamentos del cajón, la perso1ia cscoüdida pasara con sigilo de un lugar a otro sin ser
vista. El mecanismo de por sí no tomaba ¡>arte
en el funcionamiento del aparato, sirviend~ tan
sólo para velar la presencia del jugador de carne
y hueso .
De lo dicho puedo concluirse lo siguiente: el
número de partidas de ajedrez es prácticamente
infinito, por lo cual sólo en la imaginación de
personas cándidas pueden existir máquinas indicadoras del movimiento más acertado. De ahí
que no ·deba temerse crisis alguna en el jt1ego del
ajedrez.
No obstante, en los últimos años se han
producido acontocimientos que ponen en duda
la veracidad de tal afirmación. Y a.. o x i s t o n
máquinas que «juegan» al ajedrez. Nos referin)os
a las complicadas máquinas de cálculo que
34
Fig.
4.
permiL·e n efeét.ul\r miles d·e 01)eracíon~s ·por se:..
gundo. De olla~ hem~s hablado .más ,arfi~a. Mas;
¿~.ó~o pueden «jug.a r» al ajedre~ estas má"<¡uinas?·
Cláro es que ninguna máquina de pálcufo
·.p uede hacer ot1·a cosa que operar con números-.
.Mas el apnrato efectúa las operaciones siguiendo
un esquema pre vio y de acuerdo con un pro gr a m a elaborado do antemano.
El «programa» ele ajedrez lo· confeccionan los
mnternát.ico.s u base de una determinada t á e t i e a de juego; entondiend.o por táctica el
s is tema de reglas que permite elegir, en cada
posición, la salida más efectiva (la «mejor»
desde el punto d e vista d e l a táctica dada).
He aquí uno de los ejemplos de la misma.
/\ cada trebejo se ]e ac..ljudicn; un determinado
trúmero de puntos, que delermina su valor.
El i-ey
La reina
Ln lorr~
E l alfil
El caballo
+20u
+9
-J-5
+3
+3
puntos
»
»
&
»
+1 punto
Un peón
atrasado
-0 ,5 ~
Un peón ni~lado
- 0,5 »
Un pe6n doblado
-0,5 »
B I peóu
Además se fija una determinada valoración
a las posiciones más favorables (movilidad de
las figuras, colocación de éstas más cerca del
centro que de los costados, etc.) que son expresadas en décimas de punto. Del número global
de puntos que tienen las blancas, se descuenta
la suma de puntos de l as negras. La diferencia
refle jará, hasta cierto punto, la superioridad
material y de posición que tienen las blancas
sobre las negras. Si esta diferencia es positiva,
36
la situación. de las blancas será más ventajosa
que la de las negras; si es negativa, será menos
ventajosa.
Ln máquina de calcular señala cómo puede
cambiar en el curso de tres jugadas la diferenpia
registrada. Indica la combinación de tres lances
más ventajosa y la registra en una t~rjeta espe""
cial; con ello, la • jugadai> está hecha*. Para ello
la máquina emplea muy poco tiempo (d·epen.,.
diendo éste del programn y do la velocidad..operativa de Ja máquina), de forma que no hay
motivo para temer el «zeitnob.
. Es cierto que el hecho de «prever» una partfd~
s6lo con tres jugadas por anticiparlo caracteriza
a la máquina como «jugador»lrnstantemediocre"'*.
Pero podemos estar seguros de que con el rápido
p erfeccionamiento actual de lo. técnica de calcular , las máquinas «a prenclerán» a «jugar» al
ajedrez mucho mejor.
Nos sería difícil exponer con más det alle la
compo~ición de programas de ajedrez para la
máquina de cálculo. Algunos tipos sencillos de
programas serán examinados esquemáticamente
en el pr6ximo capitulo.
• Existen tnmbién otros tipos de «táctica• de ajedrez. Por cjomplo, en el cálculo 1meden tenerse en cu.enta
no todas las jugadas con qoe f'1edc replicar el adversario,
sino sólo las más «serias• (e jnque, 1a toma de alguna
pieza, el ataque, la defeJlsa, etc) . En otros cnsos, cuando
Jos jugadas del advorimrlo sean muy peligrosas, puedo
practicarse el cálculo no sólo de tres, sino de un numero
mayor de lances por adelant~do. Tambilin es posible el
empleo de otra escala distinta para Jos valores de las
piezas. En dependencia de iina u otra tác.tica Cl\mbia el
«estilo de juego• de la ro6quina .
•• En las partidas de Jos míljores maest.ros de ajedrez
S? calculan combinaciones de 10 o más jugadas por anticipado.
31
Los tres doses
Con seguridad que todos sabrán cómo deben
escr.ibirso tres cífrns pnra que se al.canee con
ellas su máximo valo l'. Deben tomarso tres
nneves y c.o loc ~rlo~ así:
9
99
es qecir, escrihiendo la potencia do una potencia.
Este número ü~ l;an enormemente grande que
es imposib.Lo encontrar con qué compararlo. El
númel'o de electrones qHe forman todo el Universo visible es una insignificancia respecLo a este
número, En mis !vfa,temáticas Recreativas (cap. X)
rile oc11pé del ¡H1.rticHlar. He insistido en este
ejemplo porque mo propongo ofrecer aquí otro
ejercicio del mismo ti.po:
VéélSC la formn de alcanzar el número más
nlt.o con trt-s dos (:'~ sin emplear signo a.lgu no.
Solución
El ejem plo anterior inducirá sin duda a colocar los doses del mi~mo modo. es decir:
222
Sin embargo. en este caso no se logra el
efecto deseado. EJ resulta do es incluso menor
que 222. En efecto, hemos escrito tan sólo 24 ;
es decir., 16.
E~ número mayor, cutre lo.s que pueden formar
tres doses> no es 222 ni 222 (es decir, 484), sino
222=4 194 304.
El ejemplo es muy aleccionador, y enseña que
en matemáticas resulta peligroso servirse de
analog.ías : éstas pueden conducirnos fácilmente
a conclusiones erróneas.
38
Los tres freses
Problema
Después de esto, quizá se proceda con mayor
precaución al resol ver el si guion te pro}?lema :Escríbanse tres trescs de forma que adquiera11
su máximo valor sin emplear ningúu signo.
Solución
La potencia de potencia no ofrece aquí el
efecto deseado porquo
3 33 , es decir, 321 es me11or que 388 •
La última disposición de los treses es la que
responde a la pregunta formulada.
Los tres cuatros
Problema
Escríbanse tres cuatros de forma que adquie-
ran su máxiino valor sin recurrir a ·signos.
Soluci6n
Si se sigue el ejemplo de los dos ejercicios
anteriores, es decir,
4u.
no se obtiene la solución más favorable, puesto
que en
e~te
caso, la potencia de potencia,
44•
i>roporciona el valor máximo }>Osible. Ya
= 256, y 4.2M' es mayor que 4H.
44
39
q~o
Con fres cifras iguales
Procuremos profundizar en este intrigante
fen6meno y aclarar por qué, cuando con las
cifras se eststblec.e una potencia de potencia,
unas veces se obtienen números enormemente
l!tltos y otras, no. Examinemos el caso general.
Obténgase el número más elevado posible dado
por t r. e s e i f r a s i g u a l e s prescindiendo
de todo signo.
Representemos Ja cifra con la letra a. A la
distrib-oci ón
229 , 333 1
4u
corresponde la exprcsi ón
a1 oa+a, es decir, a. 11 ª.
La potencia de potencia, en su aspecto general,
se presenta así:
Determinemos cuál ha de ser el valor de a para
que la última Vllriante sen de mayor magnitud
que la primera. Como quiera que ambas potencias tjenen idéntica hase entera, a mayor exponente corresponderá mayor vaJor. ¿En quó ca8o
ªº>tia?
Dividamos ambos miembros dé la desigualdad
·por a, y tendremos
ao-1
>
H.
:E s fácil determinar que aª- 1 es mayor que 11
sólo en el caso en que a sea mayor que 3, puesto
que
4'..J.
>
H,
40
en tanto que las potencias
3'* y
2,1
son menores que 11.
Quedan, pues, explicadas las sorpresas con
que hemos tropezado al resolver los problemas
precedentes: para 1os doses y los treses había que
servirse de potencias con oxponentes de .dos cifras, para Jos cuatros y cifras mayores tiene que
emplearse la potencia de potencia.
Los cuatro unos
Problema
Ohténgase la cantidad más elevada posible
con cuatro unos sin emplear. ningún signo.
Sotuclón
El número 1 111. no :responde a las exigencias
del problema, por ser mucho más pequeño que
1 {lJ.
Sería muy laborioso encontrar este número
mediante 11 multiplicaciones consecutivas por 11.
Sín embargo, puede hacerse el cálculo con mucl1a
mayor rapidez utilizando las tablas do logaritmos.
Este número rebasa los 285 000 millones y,
por Jo tanto, es más de 25 millones de veces
mayor que 1 111.
Los cuatro doses
Problem•
Resolvamos este problema tratándose de clo.ses.
¿Cómo deben disponerse cuatro doses para qne
adquieran su máximo valor?
41
Solución
Las combinaciones posibles son 8:
2222, 2222 , 2223 ,
2~n,
¿Cuál do estos valores os el mayor'?
Examinemos fo primera fila .
El primer número, 2 222 , es a todas luces
menor que las t.res potencias que le siguen. Para
est.4\hlecer una comparación cnt.rc las dos s iguientes
2222 y 2222,
transformemos Ja i=;cgu nda de e llas:
222 -:. = 222 .11
=
(22 2 ) 11
481111.
=
Estn úJtima es mayor <[Ue 222 2 , ya que tanto
la base como el ex¡wnentc son mayores que los
de 2222 •
Comparemos nhora 2222 con 2 22z. Sustituya mos 22i2 por otra magnitud siiperior, 32 22 , y veremos que incluso ésta es menor que 2 222 •
En efecto,
3229
=
(21)32
=
zuo
que es menor que 2 222 •
Quedamos, puos, en que el va lor más elevado
do la primera filn es 2 232 • Comparemos ahora la
mayor potencia de la primera fila y las cuatro
de la segunda :
')
'> -
22 - .
La última potencia es sólo igual u 2 16 , por
lo qµe queda eliminada . P1osigamos. La primera
d.e ·esta fila equfvale a 22', y és menol' qne 324
·o~quo .22º, por cnya razón es inferior a las dos que
-1 o siguen. Quedan sólo tres potencias a compara.1...,
42
todas de base 2. Es evidente que será mayor
aquella que tenga mayor exponente. De los tres
222, 484 y 22o+a (= 2.lo .2 ·2ª
~
10ª .4)
e) úJt.imo es el mayor.
Por eso, el valor más ülevado que pueden
tornar los cuatro closos ·ven drá expresado como
sigue:
Sin recurrir a la tabla ele logaritmos podemos
imaginarnos aproximadamento la magnitud de
esta potencia valiénclono~ do un número aproximado:
210:;;:::: 1 000.
Y así es, en efecto :
222
=
2 "'
220.22 ~
;¿2 - ~
4 ·10ª
24000000>101200000,
Este númer.o com;la de más do un mjllón tic cifras.
CA PITULO SEGUNDO
El idioma del algebra
E& arte de plantear ecuaciones
El idioma del álgebra es la ecuación. «P ara r esol\'Cr un problema referente n números o rel aciones
abs tractas de can t idades, basta con tra duch'
dicho problema , del inglés u otra l eng ua al
idioma algebra ico», escribió el gran Newton en
su manual de ~ l gcb ra ti tulado A ritmética Un iversal. Isaac Newton m ostró con ejemplos cómo
debía efectu arse Ja traducción . He aquí uno de
ellos:
En Ja Jenaua
vcrnác11fa:
En
•~l
idioma del á lgebra:
Un comerciante
tenía una determinada suma de di-
nero
El primer año se
gastó 100 l ibras
Aumentó el rest o
tercio do
éste
con un
.r -100
(x-toO} +
44
x-1.00
3
4% - 400
3
En la lengua
verulicula
Al níío siguiente
volvió a gastur
100 libras
y 11umo11tú h1 s uma
i·estant.e en un ter-
cio de ella
EJ torcer aii c: gas tó
do nuevo 100 libras
Des pués dt" que
hnbo agl'Cgado ~u
t<»rcera
En el Jdiomu del ú lll'tbra
4.:t - 400
:J
4:r: - 70\l
,,~
+
1'10=
4.2: - 3 700
\. .
4:t ··- 700
1{),:¡: - 2 800
q
=
9
.
16x-; 2800 _
rnx-
purte
3 7(h)
9
100
·t
=16x - 3 700
9
16.:r -- 3 700
27
-
G4:r. - 14 son
li4.:r -
el capi l al l lrgí> al
doble del inicial
27
14 80U
2í
~
=..:.x
Para determinar cu ál e~ el c;apit.al inicial del
comerciante no queda más que resol ver la última ecuación.
La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, pln.ntear la ecuación
a base de los datos de un problema suele ser más
difícil. Hemos visto que ei ai;te de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir da
lengua vernácula a la algebraica». Pero el idi.oma
del álgebra es lacónico en extremo, por eso no
todos los giros del idioma materno son de .fácil
traducción. Las traducciones pueden ser muy
45
distiiit as por el grado de su dificuitad, como puede
convencerse el lectol' a la vist.a de los ejemplos
de ecuación de primer grado expuestos.
La vida de Diofanto
Problema
La historin l1a eo11servado pocos rusgos bio-
gráficos de DioJanto . not.able matemático rle la
nnUgüedad. Todo lo que se conoce acerca de él
ha .sido toma<lo de hl decl i ca Loria que fig ura en
su ~epu Lcro, i Hscri pci ó n compuesta en forma de
ejercicio matemático. Reproducimos esta inscriJ)ción:
E.n e l idio ma 1fol JI 11-tf'.'hra :
¡Caminante! Aquí fuoscpu lt~1do~
los
rou
restos de Diofanto.
Y los uú.me!'Os )J11l)uN1
mostrar , ¡oh, 111 Ua tol, cuán 111.l'ga fuo s u
vida,
X
cuya soxta parte constituyó su hermosa
infancia
:'.;Había tr.anscu1·rido
."'.además una duodécima
.-:-!'p~i:'te do su vida, cuan.~'do~· ae vello c ubrióso su
·b~rbilla.
l •
.'
Y "la, séptima parle
de· s·u ·existenciA transcui"rí6 en un matrimonio est~ril.
X
7
46
1'~n
la lengua
~n
v~ruácu la:
el ídiomll del álgebre
r
Pasó un quinquenio
más
le hizo dichoso e nacimiento de
su procio1'o primogé-
5
llito,
quo entregó su cuerpo,
su hermosa existencia,
a la tiorra, que duró
ta n s ólo la mitad du
la de su padre
Y con profunda pena
descen<li6 a la sepul-
tura, habiendo sohrcvivido cuatro años al
deceso Jo su hijo.
Dimo cu áut.os años hahía
l lt~gó li, muerto.
vi vid o Diofonto cua1ulo h1
Soluclón
.l\.1 r.·osol \"Cl' la cc11ación y haJlar ol valor cin
}:i
incógni~a,
84, couoctrnwfS los siguientes da to~
biográficos de Diofanto : !-\O e.as<) a los 2:l nños ,
fue padre a los 38, perdió a SH hijo a los 80 y
murió a los 84.
El caballo y el mulo
Problema
H e aquí un. antiguo ejerc icio muy sencillo
y fácil. de trach1cir al idioma del álgebra.
«Un caballo y u11 mulo caminaban juntos
llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamen.t.ábase el jamelgo do su onojosa carga, a lo que
el mulo le dijo: «~.Do qué te quc.1jas!1 Si yo te
47
tomar~ un saco , mi carga sería ef doble que la
tuya. En cambio, s i te doy un saco, tu carga se
ig1~.Sl l ará a Ja mía».
¿Decidme, doctos matemáticos, cuántos sacos
llevaba el caballo. y cuántos el mulo?».
Solución
x-1
y+i
y +1=2(x - 1)
y-i
Si yo te t.omara un saco
mi carga
soría el doble que la tuya
Y si t-0 doy un saco,
t.u carga
s~ igualará a la mía
x+1
y-1=x+i
H ero os planteado el problema m ediante un
sistema de ecuaciones con dos incógniLas :
y
Una voz res11elto el sistema vemos que x = 5,
= 7. El caballo llevaba 5 sacos, y el mulo, 7.
Los cuatro hermanos
Problema
Cuatro hermanos tienen 45 rublos. Si el dinero del primero es aumenta do en 2 rublos, el del
segundo reducido en 2 rublos, se duplica el del
tercoro y el del cuarto se reduce a l a mitad,
todos los hermanos tendrán la misma cantidad
de rublos. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
48
Solución
x+y+z+t=45
l.-os cuatro hermanos tionen 45 rublos.
Si al dinero del primero
se le agregan 2 rublós,
a.l del segundo se .restan
2 rublos,
el del torcero se duplica,
y el del cuarto se divide
por dos,
a todos los hermanos les
quedará la misma cantidad de rublos.
x+2
y-2
.,
2z
t
T
t
:r+2=y-2=2z= T
La última ecuación nos permite plantear tres
ec uaciones independientes:
X+
X+
x+2
2 =y - 2,
2 = 2.z,
t
=z,
de donde
y=
X + .~,
x+2
z=~,
t = 2:t
+
4.
Colocando estos valores on la ptimera ecuación, t.e11dromos:
:r.+2
:r.+x-1-4+--r-+ 2x+4=45,
de donde x = 8. A cont1nuació11 hulJamos que
y = ·J 2, z = 5, t = 20. Por lo tanto, los hermanos t,enían:
8, 12, 5 y 20 rublos.
4-05$0
49
Las aves de la ori11a
Problema
Bn Jas obras do un mat.emát.ico .irn be del
siglo X l haf Jamo ~ ul 8 i g ui<:mte prnb.lornn:
A arn bas orilla~ {le 11 n río crecen do~ pa]rneras,
uua freute a la otra. Ln altura d e mw es de :~ o co<I os, y la de lu otrn, de 20 . La d ísLuncin cm t.ec sus
tr·oncos, 50 codos. En la copa de cada pa1mel'a
hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren lJil per, que a parece en In superficie ncl ngun,
e11tr.e las 1los palmeras. ·.Los pájaros se lnnzaron
y n.lca.nz;.iron el poz al mismo t.icrnpo.
(.A <pu~ dist.nncia dt~l t ronco d e la vnlrnera
mHyor apan!ció til pezí\
Soluc:íón
\-1.ediaute la fíg. /5 y nplkando ol
Pi tcígoras, e~tah lec.emos:
A
lP
=
30~
-l-
:t::i,
..4 C:!.-=
~{.JZ
+
(50 -
t~o1·cmn
de
~: ):: .
Pern AB = AC, po!' c uanto los p:'ijaros cubren
esta distancia en 1111 rni::;mo licmpo. Pol' eso,
•.¿()"
_J
.,
·~ - -,X :.i = ,'>O"
. , ~ ·!-. {"<..
,) ) - .. ,T )".
Al qui t<ir los paréntt'~is simplifica udo Ja fórnos cncon trnmos con llJIN ee11ación ()e
mul~
ptinH~r
100.:.i::
grndo:
= 2 ººº·
de donde
X=
20.
El pez aµarec.10 a 20 co<los de la palmera qHe
tenía 30 codos de altura.
50
Fig. 5.
El paseo
Problema
Pase usted mañana por ·mi casa - dijo el
viejo doctor a un conocido.
- Muy agr-adecído. Saldré m·a ñana a las tres.
Quizá desee usted da,r ta,I:Q.bién u.n paseo. En este
caso salga a la misma hora y n<.>s encontraremos
a la mitad del camino .
.- Usted olvida que soy ya ·viejo y ando tan
s6lo tres kilómetr_o s por hora, en tanto que usted,
jovenzuelo, cuando más despacio va, hace 4 kilómetro~ por hora. No sería ningún delito que rp.e
concediera alguna ventaja.
- Tiene razón - contestó el joven - . Comoquiera que yo recorro un kilón;a.etro a la hora más
que usted, le doy este kilómetro de ventaja, es ,
decir, saldré de casa un cu~rto de hora antes
¿le será suficiente?
- Es usted muy amabJe - aprobó al instant.e
el anciano.
El joven cumpli6 lo prometido y salió de su
casa a las tres roe~os cuarto, ma~chando a 4 kilómetros por hora. El doctor salió a la calle .a las
tres en punto y anduvo a tres 'kilómetros por hora.
Cuando se encontraron, el anciano dio la vuelta.
yendo juntos a s u domicilio.
Tan sólo cuando el joven regresó a su casa
comprendió que debido a la vento.ja concedida
tuvo que caminar, no el doble, sino el cuádruple
de lo que anduvo el doctor.
¿A qué distancia de la caso del doctor estaba
la de su joven conocido?
Solución
E xpresemos la distancia que separa las casas
con la x (km). El joven anduvo en total 2x,
52
y el doctor,. Ja cuarta irnrte, es decir , ~ . Desde
que salió de casa hasta que se encontraron, el
doctor recordó la mitad de cuanto anduvo en
total, es decir, : , y el joven hizo el resto, es
·
. ó z , y e1 Joven,
.
· 3x . El anciano
dec11::,
camm
4
12
3zh
oras;
16
.< sab emos que es
' te camu10
.. t
a d em.,.s,
4
<le hora m·á s que el doctor.
Establezcamos la siguiente ecuaci6n
3x
X
i
TS-12=4,
de donde x = 2,4 km.
Entre las dos casas mediaba una distancia
de 2,4 km.
Er artel de segadores
En los recuerdos acerca de L. Tolstói, el
conocido físico A. Ts ínguer refiere el siguiente
problema que agradaba en ox.tremo al eminente
escritor:
«Un artel ele seg11dores debía segar dos prados,
uno tenia doble superficie que otro. Durante
m edio día trabajó todo el perflonal del nrtel en el
prado grande; después do .la comida, una mitad
de la gente quedó en el prado grande; y la otra
mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde
fueron terminados los dos tajos, a excepción de
un reducido sector del prado pequeño, cuya siega
ocupó el dia siguiente completo a un solo segador.
¿Con cuántos segadores contaba el artel?».
Solución
En este ojercicio , además de la incógnita
fundamental - número de segadoros - que expresamos con la x, es conveniente introducir otra
incógnita complementaria: fa superficie del sector
gegado por un tl'abajndor cm un solo dfo, que
oxpresamos con Ja y.
i, Aunque ~l probloma no oxige que 8C halle
S\I valor, contribuye a encontrar la Taíz de la x .
Represe11t.emos la s uperficie del prado grande
con a; e y. Este ·prndo lo gognron durante mo<lio
día x trabajadores ~ que segaron x · ~ •y =
Durante la segnnd~ parte del día trabajó alll
la mitarl <le] artcl, es decir, ; , y ~egaron
i.
X
1
Xf/
2·2·v=4 .
Comoquiora que al .final de la jornnda había
sido segado t.odo el pra<lo, su. área será:
..!1!...+
2
.r.y =3xy
4
4 .
Expros~mos nhora In gupcrficie dHl prado
merior mediant(.' x t.' y . Dunmt.c medio día se
oc.uparon en é] ~ trab:ljndores y segaron una
superficio de
1
;t:lj
:!!
2' 2·Y=T·
Agreguemos a es to el sector que quedó sin segar .
que es igual a y (superficie segada por un trabajador en una jornada), y hallaremos la superficie
del prarlo menor:
xy
4
-¡... y-
.r.y+4y
4.
f54
Fig. ó
No no~ queda más que traducir al idioma del
álgebra la frase «el primer prado tiene .doble
s~perficie que el segundo», y- l a· ecuaeión quedará
establecida como sig ue:
3:zy. x11+4y
4 ·
4
=
2•
6
3J:y
xy+4y = 2 ·
Dividiendo por y el numeraQ.or y denominador
del quebrado de la sogunda :igualdad , se elimina.
la incógnita auxiliar, r~sultand o la siguiente
ecuación:
3x
x+
4 =2,
ó 3x=2x+8,
de donde x = 8.
En el arte) había 8 ~ega dores.
Después de haber ·sido publ~cada la primera
edición del..Algebra Recreativa, el profesor A. Tsínguer me. envió una información detallada y muy
interesante, rolacionada con este problema. El
efecto esencial _d el prob.l.ema, a su juicio, reside
en que «no es a]gebraico en absoluto sino aritmético , y aun que es muy sencillo se tropieza con
ciertas di,ficult.ades en su resolución debido a que
no es de tipo corriente».
.
«La historia del presente problema es la
· siguiente - continúa el profesor A. Tsfoguer -.
En la facultad de matemáticas de la Uni versida d
de M.oscú, cuando c.sludiaban en ella mi padre
e l. Ra'ievski, mi t.ío, (amigo intimo de L . Tolstói), en trc olrns 1li!'>ciplinns se enseñab<~ <llgo
semejante a la pedagogía. A este fin, los est.u ·
diantes debían ir a una escue]a pública urbana,
puesta a disposición de la nni versiclad , y en
colaboración con expertos y venerables maestros,
hacían prácticas poclagógicas. E ntre l os compañeros de estudios de Tsínguer y Rnievski había
un tal Pet rov, que, según cuen tan , era persona
muy inteligente y original en extremo. Este
66
Petro v (fa llecido on su ju ventud, creo que de
tisis) nfirma ba que en Jns clases d e arHmética
embrutecían a lbs escolares con problemas y métodos ester eotipados. Para poner de evidencia su
punto de vista., Petrov ingeniaba problemas que
por salirse de las normas corrientes embarazaban
a los «expertos y venerable~ maestros», pero que
Jos alumnos más lúcidos , todavía no embotados
por el estudio rutinario , r esolvinn con facilidad.
Entre dichos problemas (Petrov discurrió varios)
estaba el de los segadores. Los maestros con experiencin, claro, podían resol ver) o con facilidad
1¡3
113
'16
1
1/3
/3
Fig. 7.
med iante ecuaciones, pero no daban con su
sencilla resolución aritm éti ca. Sin embargo , el
p roblema es tan fácil que pílrFI resolverlo en
absoluto no m erece l a Jlena servirse del álgebra.
Si el prado ma yor fu e segado por todo el
per~onal del artel en medio <i í ~ , y por la mi ta d
de ln gent e en el resto rle In jornada, es natural
que med io artel segó en m edio día ~ d el prado.
Por consiguiente, en el prado menor quedaba
.
. d or siega
.
sm
segar 2i - 3t = 61 . s·1 un tra b ªJª
57
1
6
en un día T;' del imulo, y ~i fue segado Ti
=
~
+ -¡¡z =
, esto quiere decir que había 8 segndol'es.
Tolstói, aficionado de siempre a los JJroblem.as que se resuel YEm utilizando algún subterfugio
y ofrecen cierta dificultad, conocía desde Ja ju-
ventud é~te, de los segadore~. gracias a mi padre.
Cuando tuve ocasión de hablar de dicho problema con Tolstói, ya anciano, le a.gradalrn., sobre
todo, el hecho <le qne el problema se hace rná~
comprensible si. al re-sol vorlo, se em plen este
~oncillo dfagramn (fig. 7)».
Ofrecemos a <~ontinuae.iór• algm10s problemas
c¡uc, con cierta imag inación, son más fáciles de
resolver por mecli o no fo. ari t mética que vnliéndo-
so del álgehn1.
las vacas en el pra.do
Problema
«Al estu<I i ar l a.8 e ieHcíns , los eje1·cicios son
má s útiles que .las reglns», - csc.rihia Newton en
sn Aritméticrr l.I niversal, y ncompafü\ha las indi c;neione~ tcóri<'ns con 1111n 8Cri~ de ejemplos.
f i~J1t1·e ellos li~dlélmos ol r1._, los toros fJ 1.10 pai-::t:rn
en el prado, que genel'6 un tipo específico de
problemas semejantes a éste:
«La. hierba creco en todo el lirado con igual
rapidez y espesu1·n . Se scibo que 70 v;ica~ se Ja
comcrfon en 24 días, y 3(), e11 ()0 díus. <~C11fu1tai-;
vac.ns se c.omcrfon l:oda Jn hierba on !Hi día~?».
E~t<.~ problema sirvió de argumento para un
cuento humorístico, que recuerda el lvfaestro
particular de Chéj<:nr. Do!"! ndulto~, 'familiares rlel
escolar a quien hahian e11car:gado reso] ver este
problema, se ei'forzah::in inútilmente por hnllRr
su solución y so asombraban.:
58
-- ¡Qué extraño e~ d rnsulLatlo! -rl ijo uno-,
Si en 24 días 70 vacas se comon la hierba, enlonees, ¿cuántas vacas se la comerán en 96 días?
Claro que
de 70, es decir, 17 ~ vacas . .. ¡Ei:::tc
!
os el primer absurdo! El sognndo todavfa ro<Í:5
extraño, es que si 30 vacas se comen Ja hierba
en 60 días, en 9() se Ja comorrin :18 vacas. Además, si 70 vacas se comen la liiorlH1 en 24 día~.
!
30 vacas emplean en ello ;i() día::;, y no (l0 1 como
afirma el problema.
- ~.Pero tiene usted en cue nta que la hiNhn
crece sin cesar? - preguntú olro.
La observación era razonablo; Ja hierba e.rece
incesantemente, circunstancia que no puede
ccl1arse cm olvido, pues en ese caso no sólo no
puede resolverse el problema, sino quo sus misma s condiciones par.ecerán contradictorias.
¿,Cómo debe reHolvcrse pues , el problema?
Solución
In troduzcamos también aquí una segunda
incógnita , que rcpresent.flrii ol c1·edmienl o ilinrio
de l a hiorlrn ~ oxpres:1clo en pi:u·t.e~ <Le ln~ reserva~
de 1:.i misma on el 1n·a1fo. En 1.111n jo.mnda liny
un crecimionto de y; en 24 días stmí 24.y. Si tomamos todo el pasto como 1, entonces, en 24 d.ías
las vacas se comorán
1+24y.
En u11a jorrrndtl Jm.; 70 vt1cas c.orrwr<Íu
1+24y
24
y una vaca (de las 70) comerá
t+24y
24·70 .
69
Siguiendo el mismo razonamiento: si 30 vacas
acaban con toda la hierba del prado en 60 días,
una vaca comerá en un día
1+60y
30-60 •
Pero la cantidad de hierba comida por una
vaca en un solo día es iguaJ para los dos rebaños.
Por eso
r1+24y
24 . 70
1+60y
30 . (je)
'
de donde
1
y=480.
Cuando so halla y (medida de crecimiento)
es ya fácil determinar qué parte de la reserva
inicial se come una vaca al dta
i
+ 24y
24. 70
1
=
1
+ 24 ~485
24. 70
1
1600 •
Pol' último establecemos la ecunc1on para la
solución definiti va del problema: si el número
de vnc.as es x, entonces,
1
1+96· 480
96.x
11
1600 1
de donde x = 20. :
20 vacas se comerían toda la hierbR en 9() días.
El problema de Newton
Examinemos ahora un problema del mismo
tipo que el anterior: el problema de Newton
acerca de los toros.
60
El problema, en realidad , no fue ideado por
Newton, sino que es .:de origo11 popular.
«Tres prados cubiertos de hierba de una mi~ma
espesura y con el mismo grado de crecimiento,
tienen un área de 3 ~ Ha, 10 Ha y 24 Ha. La
hierba del primero es comida por 12 toros durante
4 semanas; la del segundo, por 21 toros durante
9 semanas. ¿Cuántos toros comerán la hierba del
tercero durante 18 semanas?»
Solución
Introducimos la incógnita auxiliar y, que
significa la parte de la reserva inicial de hierba
que crece en 1 Ha durante nna semana. En el
primer prado crece durante la primera semana
una cantidad de hierba igual a 3 ~ y; durante
!
4 semanas, 3 y ·4 = ~y de la reserva rle hi er ba
que había inicialmente en 1 H.a . .Esto equivale
a un crecimiento del área inicial d~l prado igual a:
(3~+~Y)
hectáreas. En o tras palabras: los toros comen
tanta hierba como se precisa para cubrir un prado
de 3
~o y hectá.reas. En una semana 12 toros
se comen un cuarto de esta canLidad, y un toro
!+
come en una semana
is, es decir, Ja reserva de
hierba que hay en un área de
.!.
( .3 3
+ 4.0y
)
3
. 48 =
.
10
+
40y
14/i
hectáreas.
Do esa misma manera, co11 ]os datos del
segundo j)rado, hallamos el área de éste que ali61
i:nent:a un ~oio toro ch1r:nd.e
111w
semána:
<:rccimie11t.ó <le fo hiorba cm ·1 Ha <l\Jrantc -1 semana =
!J,
=
erocimicnto de ln hierba eu t Ha durante 9 sema11as = 9y,
<.~l'ocimie 11 t.o
ma uo:ci.
~-"'.
<.In Ja hi<~rba nn 10 Ha duraul:e tl so\llly.
La supel'fícíc del
se:r.t.111· <1ue c.ont.ione l1iel'f>a
sufic.íe11 l.e para n l irneol.M' :.21 toros (h1t·:rnto \}
rn a 11as tl~ igual a
i O ·1 fJO!f.
l~ J :ír<rn 1t<lct·~:il'i;1 Jl;H·a
1l111·nn1·c u11a ::.ernnna SCl'(1:
l:W -
mant.u11or 1111 t.oro
.l1eclárna8. AmlJn~ nonnas •I <· a lim ont.ació11 dobcn
~er
id~n l. icas:
·t•.l-rW'!J
10 + 40!f
'144
Al
·1 ~n
-
de~pt~jHJ·
·
ln 'iucóg11il:H cncon t.t·arnos que
1
'J b o se r el ;arca
,
<i
cua' 1 <e
<1<~ l
'º"ª
'l . .\ ~, earuo s
!/= 12
J>radn COJl liit\rb;\ ::-11ficiti11 t.o para manC.01w1· un
to1:0 dm·r111lc H1w ~emana:
11) ·-j-4Üy
t
10 +40 ·-¡y
H/t
1/i4
he<.~ táre:as.
f>
M.
Ücll pémonos. por último , de la pre-
g11ntH del probl ema. Si representamos e1 número
desconocido de
t.01·0¡.;
24 -1.. 24 . 18 . ....!...
'
12
IX.r
de donde
;i~
con 1.n
;i:,
tendremos:
5
[14 •
=
ao.
El tercer p 1 ·~do puede. mantener 3() toros
dura nt+~ 18 scm a ruJ~.
62
El cambio de las manecillas del reloj
Problema
A. 1\:loshlrnvski, hi6gr<lfo y arn igo del .famoso
físico i\ lhurt. Einst.oiu, 011 ~u do~<:o de distraer
a ést.e dunrnl.e 1-;11 onl'tH·rnodad . 1(\ propu::;o resolver
el problema siguiente (fig. 8):
«To memos un reloj - dijo ]\:]<)~hkov~ki- que
t.t•ng-;1 Jas ~netni;: en l:is 12. Si Bll osl.n po~dc.ión
._ ..
'
Fig. 8.
el müi1LLcro y l~l horario cambtman de función,
la hora marcada soría la mism:1; pero a otras
horaH, por ejemplo, n 1as G et:a porrnuta de lns
saeht8 <l<irfo h1gnr a un absnrdo , a m1a situ<lción
que, Oll tlll reloj qun rna1·c.l1an1 11ormalmente HO
podl'ía producirse; el minul.e i·o 110 puorle hallarso
on ]as 6 cuando el horario ~e CTJcuentra en las ·1 2.
Dl~ aquí surge la siguiente pregunta: ¿Cuáudo
y cada cuánto tiempo ocupm1 lns m<\m~ci .IJas <fo
un reloj Lal l)Osición e.n 1a cua l al cambiar ésLas
de función entre sí se producen nu evas situaciones
posib1os en un reloj normal?
63
-
Sí -conto.-,tó Einstein-, este problema
es muy a propiado para un hombre obligado po1·
su enfermedad a pormauecer 11ostrado en el l echo:
despierta bastante intel·és y no es muy fácil.
Me temo, siu embargo, que la distracción dure
poco tiempo: he dado ya con la forma de tesolverlo.
Se incorporó en el lecho y cou unos cuantos
trazos dibujó cm uu papel un esquema que reflejaba las condiciones del vroblema. Einst.ein no
necesitó _p ara resol vedo m ás tiempo que el que
ho empleado yo en for.mula-rl o ... »
¿Cómo se resuelve?
Soludón
Midamos la distancia qu~ recorren las mnnecillas , valiéndonos de 60 divisiones de la esfora,
a partir de las 12.
Supongamos que en una de las posiciones
buscadas, el horario se encuentra a x fraccionos
a partir del número 12, y el minutero, a y d ivisiones. Como l as 60 fraccion es son reeorl'idas por
el horario en 12 horas, es decir, a 5 divisiones
por hora, entonces, x pnl'tcs do la esfera serán
recorridas por ol horario en ~ horas. Dicho con
otras palabras, habrán pasado ~ horas desde
que el reloj dio las 12. ·l4-;l minutero recorre y
fracciones en
minutos , es decir, on
horas.
Expresado de otro modo: el minutero ha pa~ado
la cifra 12 hace
hoeas, o al cabo de
y
io
io
X
y
5-60
horas después dt? <rue a m b a s ~ acta~ so t!Jlcontraban en laf; docH. t!~~te número es entero (desde
64
el cero al 11), ya que mueslra cuántas horas
e o m p 1 e ta s han pasado desde las doce.
Al cambiar las manecillas de función encontraremos por analogía que a partir de las, doce
habrán pasado
·
y
X
5-60
nú~~ro lambién .es entero
(desde el cero hasta el f1).
Planteamos el siguiente sistema de ecuaci'o nes:
horas ·completas. Este
;{
!/
6~ =m,
X
5-iju=n,
donde m y n son números enteros comprendidos
entre el O y el t1. En este sistema despejaremos
las incógnitas
·
.,
···.
tiü {i2m.+ n)
x= . 11.t.3
a
· _ 60 (12n.+m)
Y143
•
A~ignando a m y n un valor comprendido
entre O y 11 determinaremos todas las posiciones
requeridas de las saetas. Como cada uno de los
12 valores que tíene m, puedo ser confrontado con
cada uno de los 12 de n, quizás parezca que el
número de soluciones posibles puedo ser 12 ·12 =
= 14~; pero en realidad es igual a 143, porque
cuando '.m = O, n = O, y si m = 11, n = 11.,
ls manecillas ocupan la misma. posición.
Cuando m = 11, n = 11 teJHJmos:
x=60,
y=60,
es decir, las manecillas están en las 12., como en
el caso de m = O; 'n = O.
No nos· detendremos a examinar todas las
posiciones posibles; ocupémonos de dos casos:
5-058 0
65
Primer caso;
m=i,
11 = 1;
60·13 r: 5
z== t43 = v 1T'
5
es decir, señala 1 hora 5 1 1 mi n utos; en este
momento las manecillas están en el mismo sitio
por lo que pueclen cambiar de función (como
siempl'e que coincidan).
Segundo caso :
m=B, 1i=5;
. _ no(&+12.a) ,..,.,¿ .. ns
14::1
,..., 1 "''.J '
X-
no(s+12.5) ,.._, •\ s~·.1
143
~ w ,.>,,.
Los momentos rcspec.t.i vos serán: las 8 horas
y 28,53 minutos y las 5 horas y 42,38 minutos .
.El número de soluciones, como se indicó ya,
es de 143. Para llegar a los puntos de la esfera
donde se encuentran las posiciones requeridas de
las saetas, hay que dividir la circunferencia de la
esfera en 143 partes iguales, obteniendo 143 puntos que son los que buscamos. En los espacios
intermedios no hay otras posiciones semejantes
de las manecillas.
Coincidencia de las saetas
Problema
¿En cuántas posiciones pueden coincidir el
horario y el minute'l'o de un reloj que marche
normalmente?
Solución
Podemos valernos de las ecuaciones del problema anterior, y(que si las dos maneci llas coin~
ciden, pueden cambiar entre sí de función sin
66
que se produzca a1toración nlgunn. En este caso,
ambas saetas habrán recorrido el mismo número
<le di visiones, a partir del número 12; es decir,
x = y. Por esta causa, los razonamientos del
problema precedente nos brindan la siguiente
expresión:
X
X
5 - ou=m,
donde m es un entero comprendi<lo entre O y 11.
Aquí podemos desp~jar la incógnita
60m
X=tt·
De los <loco valores de m (del O al H) obtenemos
en lugar de 12, sólo 1 t posicioJtes di versas de las
manocillas, toda vez que siendo m = 11 vemos
que x = GO; es decir, ambas saetas han recorrido
60 divisiones y se hallan en la cifra 12; esto mismo
sucede ·c uando m = O.
El arte de adivinar números
Cada uno de Uds se encoutraba indudablemente con «prestidigitadores» que pueden adivinar números. Como regla uu _prestidigitador
propone l'ealizar operaciones del siguiente carácter; pensar un número cualquiera, adicionar 2,
multiplicar el resultado por 3, restar 5, restar
el número pensado etc., ea total cinco o una
decena de operaciones. ~uego el prestidigitador
pido que le comuniquen el resultado y, al obtener
.la respuesta, en seguida comunica el número
pensado.
Claro está que el secreto de la «prestidigitación» es muy fácil y se basa en las mismas ecua~ionea.
67
5•
Supongamos que el prestidigitador le haya
propuesto a Ud. realízar un programa de operaciQnes indicado en la columna izquierda de la
tabla ·s igúiente:
piense un n úmero
adicione .2
X
:i:+2
el resultado muHip l íquelo por 3
reste 5
reste el núnwro pensado
mullípliqw.~ p01' 2
reste 1
3x+ 6
3x+1
2x+1
4x+2
4x+i
le
Luego el pres tidigitador pide que
comurí.iqueu el resultado final y, al obtenerlo, 'dice al
instante el número pensad.o. ¿Cói:µo lo hace? '
Para comprendor esto, hay que mirar la
columna derecha de la tabla, donde las indicaciones del prestidigitador están traducidas al
idioma del álgebra. Mirando esta columna se
puede comprender, que si Ud. ha pensado cualquier número x, entonces realizadas todas las
operaciones se oblendrá 4.x
1. Conociendo este
resultado no · es difícil «adivinar» el númoro.
Supongamos, por ejemplo, que U d. haya
dicho al prestidigitador que el resultado es 33.
Entonces el prestid igita dor resuelve mentalmente muy rápido la ,e cuación 4x + 1 == 33
y obtiene la respuesta: x = 8. Es decir, hace
talta restar 1 del resultado final (33 - 1 = 32)
y luego ol número obtenido se di vide entre 4
(32 : 4 = 8), el resultado de esta di visión es el
;;P:Wtiero pBnsado (8). Si el resultado final es 25,
:eplonces el ·prestidigitador hace mentalmente las
sigúientts operaciones 25 - 1 = 24, 24 : 4 = 6
'Y le comunica que Ud. ha pensado el número G.
+
68
Como se ve todo es muy fácil. El prestidigi~
tador sabe de antemano qué hace falta hacer.
con el resultado para obtener el número pensado.
Despué.s de comprender esto Ud. pued·e asombrar y descof)certar aún más a sug amigos- pro.:poniéndoles a ellos mismos escoger según su _propio parecer, el c.arácter de operaciones so.br.e un
númeto pensado. Ud. propone a su amigo pensar
un número y realizar. en cualq uicr orden operacione..~ del carácter siguiente: sumar o restar µn
número conocido (por ejemplo: sumar 2, .restar
5, etc.) , multiplicar* por un número conocido
(por 2, por 3, etc.) , sumar o restar el número
pensado. Su amigo, para embrollarle, va a amonlonar una serie de operaciones. Por ejemplo,
él ha pensado el número 5 (el número pensado
no se le comunica a Ud .) y realizando ope.racionos
le dice:
- ho pens~do un númel'o, Jo he multiplicado
por 2, al resultado he sumado 3, luego he sumarlo
número pensado, al resu1tado he sumado 1.
todo lo he multiplicado por 2, ho resta.do el
número pensado , luego he restado 3, una vez
más he restado el númoro pensado, ho restado 2.
Por fin, el resultado lo he ntnltiplic.ado por 2 y he
el
sumado 3.
Al decidit quo él le ha embrollado por completo é1 comunica n U d . con el a.~pccto triunfante:
- el resultado finnl es '19.
Para su asombro Ud. le comunica inmediatamente que él ha pensado el número 5.
¿Cómo lo hace Ud? Ahora todo eso es bast.ante
claro. Cuando su amigo le comunica las o·peraciones que él está realizando con el número
pensado, Ud. a la vez actúa mentalmente c.o n
• Mejor q_ue no le permita d.i"Yidír, pues la. divisi6n
complica mucho la «praatitligitación•.
69
la incógnita :r¡. El ]e dice: «He pensado un número .... », Ud. repite mentalmente: «entonces tenemos x» . El dico: «.. .lo he multiplicado por 2 ... »
(él de veras realiza la multiplicación de números),
Ud. prosigue mentalmente:«... ahora tenemos 2.'l:».
El dice: «... aJ resultado ho sumado 3 .. . », Ud. le
·sigue inm~diatamcnle: 2.x + 3, etc.. Cuando él le
«ha embrollado» comp.lctamente y ha realizado
todas las operaciones me.ncionadas arriba, Ud. ha
lleg~do al resultado indicado en la tab la siguiente (en la columnn izquiur da está escrito todo
lo dicho en voz alln por su amigo y en la rlerechaJas operaciones q ne Ud . ha hecho r.nontalmcnte):
He pensado un número
lo he multiplicado por 2
al rosultado h<l !;Umndo 3
luego he s umado e l nú mero pensatlo
ahora he s uma1lo 1
ol resultado l o he multiplicarlo por 2
he rostado ol mímero pl•nsado
ho restado 3
más ho restado ol uúmoro pensado
he restado 2
por fin, el resultado Jo he multiplicado por 2
y he sumado 3
X
2x
Za-+3
3x+3
3x+4
6x+8
5.x -1- 8
ñx+s
4x+s
4x+3
Ud. h a pensado por último: el resultado final
+ 9. Ahora él dice: «El resultad o final
es 49». Ud. tieno ya l a ecuación hecha: 8.x + 9 =
= 49. Resolverla es una futilidad y Ud. le
comunica en el acto que él ha pensado el número 5. Esta prestidigitación es particularmente
!mpresion,ante porque las operacíones que hace
falta realizar co.n el número pensado no las propone Ud., sino su amigo las «inventa)).
es 8x
70
Sin embargo, hay un ca.~o cuando la prestidigitación no ti~ne éxito. Si Ud. después de realizar (contando mentalmente) una serie de operaciones ha obtenido, por ejemplo, x
14, y su
amigo dice luego: «... ahora he restado el número
pensado y el l'esultado final es 14)>. Ud . le sigue
(x
14) - x = 14 ~ de verdad resulta 14, pero
no hay ninguna ecuación y por eso Url. no puede
adivinar el número pensado. ¿,Qué es necesario
hacer en este caso~ Obre así: tan pronto Ud.
t enga el resultado que no contiene la incógnita x ,
interrumpa a su amigo, rlicióndole: «¡Pare!
A.llOra puedo sin preguntar n~ da comunicart.e
el resultado que tienes. Es 14». Esto de veras
va a desconcertar a sn 11.migo, pues él no le ha
rlicho completamente nad~. A pesar de que Ud.
no supo adivinar el número pensRdo, la prestidigitación ha resultado esplénrlida.
He aquí un ejemplo más {como antes en Ja
columna izquierda so encuentra lo dicho por su
amigo):
+
+
FQ ponsado un número
a esta número he s umado 2
<.'I resultado lo ho mulLiplicndo por 2
a hora he sumado 3
he rest.ado el número pl\n s1ulo
ho sumado 5
luego he res~ado <:'l rn'1mero po11sr11lo
X
x+2
2x+4
2x+7
x+7
x+ 12.
12
En el momento cuando el re~ult.ado ha sido
12, es decir, es una fórmula que no tiene más la
incógnita x, Ud. interrumpe al amigo comunicándol e que ahora el re~niltado es 12.
Después de practicar un poco Ud. podr~
facilmeu te mostrat a sus nmígos semejantes «presti~
digitaciones».
71
Un supuesto a~sur~o
PJ'Oblema
He aquí un problema que puedeTparécer
incóngx:uentc:
~.Cuá l es la equivalencia de 84 si 8 ·8 = 54?
.E sta .insólita pregunta está muy lejos de
carecer ·de sentido, y puede ser resuelta m ecl iante
ecuaciones.
Prnebe a descifrarla.
Solud6n
Probablemente habrán comprendido que los
datos del problema no pertenecen a l sistema decimal, pues en caso contrario, Ja pregunta «¿Cuál
es l a equ ivalencia de 84?» sería u n absurdo.
Supongam os que la hase del sistema dosconocido de numeración es · :r. El número «84» eqn ivnle entonces a 8 unidades de segundo orden
y 4 unidades del primero , es decir,
«84~
=
8.x + ¡.4.
El número «<G1» equivale a 5x + 4.
Tenemos, p,:or lo tanto, la ecuación
8·8 = 5x
+ ,lt,
es decir,. en el s istema do numeración decima l
sería
64 = 5.r
+ 4,
de donde x = 12.
Este numero e~tá. expTesaclo on el sistema de base
12, ·y «84»
8 ·12
4 = 100. Por lo tanto, si
-8 ·8 = «54», «84» será igual a füd.
De asta mfamR manera se resuelve otro de
~os problemas de este tipo:
· ¿Cuál es el e·q uiv:alente de .100·, si 5 ·6 _: 33?
Respuesta: 81 (sistema de base 9).=· ..
=
+
72
Lc!i ecuadón piensa por nosotros
..
Si no cree que las ecuaciones son a veces más
previsoras que nosotros mismos resuelva este
problema:
El padre tiene 32 años; el hijo, 5 . ¿Al cabo
de ·cuánt~os año·s será la edad del padro diez veces
mayor que la del }lijo?
Expresemos el tiempo buscado con x. Al cabo
de x años el padro tendrá 32 + x años; y el
hijo, 5
x años. Y como el padre debe tener
10 veces roás años que el hijo, se establece la ecuación
+
32
+ :e =
fO (5
+ x).
Al resolverla hallamos que x = - 2.
«Al cabo de 'menos 2 años» significa «hace
dos años». Al plantear la ecuación no pensábamos
que en el f u t u 1· o la edad ilel padre no sería
nunca 10 veées superior a la del hijo; esa CQrrelación pudó tener lugar sólo en el p a s a d o.
La ecuación ha sido más reflexiva que nosotros,
y nos ha rocordado nnestro closcnirlo.
Curiosidades y sorpresas
Hay ocasi-Ones en las que a] resolver las
ecuaciones tropezamos con soluciones que pueden
descon~ertar a un matemático poco ducho. Véamos
algunos ejemplos:
I. ·Hallar un riúmero de dos cifras que tenga
las siguientes propiedades: La cifra de las decenas
debe ser 4 unidades inferior a la cifra de las
unidades. Si ese mismo número se escribe "invirtiendo el lugar de sus cifras y se le sustrae el
número buscado, se obtiene 27.
73
Expresando el guarismo de ias decenas con
la x, y el de las unidades con la y, formaremos
fácilmente el siguiente sistema de ecuaciones para
est.e problema:
X=
{
(10y
y -
+ x)
4,
-
(10.x
+ y) =
27.
Si el valor que tiene x en la primern ecuación
se coloca en la segunda, i;esultará quo
10y +y -
4 [1.0 (y -
4) +y]= 27,
nl operar tendremos que
36 = 27.
No se ha hallado el valor de fas incógnitas 1
pero se ha visto que :~6 = 27 ... ¿qué quiere decir
esto?
Esto significa que no existo ningl).n número
c.ompuesto de dos cifras que responda a las condiciones del problema, y que lf}s ecuaciones planteadas se contradicen mutuamente.
En efecto, multipliquemos ambos miembros
de la primera igualdad por 9 y t.ondrcmos:
Üy -
9:c = 36,
y de la segunda ecuación (despué~ do abrir los
paréntesis y reducir los términos semejantes)
r{)sulta:
9y -
9x = 2i'.
Según la primern ec.uuc10n Oy - 9x es igua]
a 36 y de acuerdo con la segunda e qui vale a 27 .
..Esto es a todas luces imposible, por cuanto 36 =fo
#.:27.
· Una .confusión análoga espera a quien resuelva
el siguiente sistema de ecuaciones:
,x2y2
xy
= 8,
= 4.
74
Al dividir la primera ecuación por la segunda
obtendremos:
xy
= 2
y s i confrontamos la ecuación obtenida con la
segunda del sistema veremos que
xy
xy
=
=
4,
2,
es decir, que 4 = 2. No ha y cifras t¡ue satisfagan
las condiciones de estu sistema.
(Sistemas de ecuaciones, semcjnntes a los que
acabamos de examinar que no pueden ser resuel~
tos, so llaman no combinarlos.)
II. Si cambiamos un tnnto lus condiciones
del problema anteriol" recibiremos otra sorpresa.
Supongamos que la cifra de las decenas es menor
en 3 unidades que la cifra de las 11nidR des. Las
dem ás condiciones del problema permanecen
invariables ¿Cuál será este número?
Planteemos la ecuación. Si ex presamos la
cifra de 1as decenas con la x , la rle la~ unidades
será x + 3. Traduzcamos el problema al idioma
del álgebra:
10 (.x -f- 3)
+
X -
[10x
+ (.x
-!...
3)) =
27.
Al reducir se obtiene:
27 = 27.
Esta igualdad es inc11estionable, pero nada
nos dice de la raíz de x ¿Significa esto que no
existo ningún valor que responda a las cond iciones del problema?
Por el contrario. Esto se debe a que la igualdad dada es una: identidad, es decir, que es
cierta cualquiera que sea la magnitud de la
incógnita x. En ofecto, las coudiciorics del problema son válidas para lodo número compuesto
de dos cifras siempre que el guarismo d'e las
75
unidades sea mayor en 3 unidades que el de las
decenas:
14 + 27
25
27
36 + 27
+
= 4i,
= 52,
= 63,
47
58
69
+ 27 =
74,
+ 27 = 85,
+ 27 = 96.
III. Hallar "lm número de tres cifras que responda a las siguientes condiciones:
1) la cifrn rle las rlecenas sea 7;
2) Ja cifra de las centenas sea inferior en
4 unidades a la cifra de las unidades;
::J) si las cifra .~ del migmo ::.e colocan en orden
inverso, el nuovo número sorá 396 unidades
mayor que el buscado.
Formemos la ecuación sustituyendo la cifra
de las unidades con la x:
100.x
+
70 +X -
4 -
r10Q (X -4)
+ 70+ .X)= 396
Después de rEH.h1cida esta ecuación se llega
a ln igualdad
396 = 396.
Los lectores conocen ya cómo Jiay que interpretar Jos resulLados de este t.ipo. Esto s ignifica que un número de tres cifras, en el que la
primera es menor qu e Ja tercera* en 4 unidadeti.,
aumenta en 396 si se le coloca en orden inverso.
Ha~ta ahora hemos e xamin ado pl'oblemas que
tienen un carácter más o menos artificioso y teórico; su misión consiste en contribuir a que se
adquiera hábito en el planteamiento y la solución de ecuaciones. Ahora , pertrechados teóricamente, ofreceremos algunos ejem.p los relacionados con la producción , la vida c9tidiana, y la
actividad militar y deportiva.
• La cifra de las decenas no juega ningún papel.
76
En la peluquería
Problema
¿Puede ol álgebra toner alguna aplicaci6n en
la peluquería? Resulta que [>Uede darse.. es.a
circunstancia. Me con vencí de ello en cierta
ocasión, cuando encontrándome en un estahlecímiento de esa clase, se dirigió a mí un oficial
con una inesperada petición:
- ¿No podrá resolvernos usted un problema
quo no sabemos cómo liacerlo?
- ¡No se imagina cuánta agua oxigenad·a
hemos echado a perder por esa causa !-agtegó
otro .
- ;,De qué se trat.a?-pregunté.
- Tenemos dos soluciones de agua ox.igenada:
al 30% una, y al 3% la olra. Debemos mezclarlas
de tal forma que obtengamos una solución al
12 % . Pero no podemos ha] lnr 1as proporciones
correspondientes ...
Me dieron un papol y encontré la proporción
que buscaban.
RGsultó ser un problema muy fácil.
Solución
El problema ,puede ser resuelto t.nmbién por
vía aritmética, · pero medianle el álgobra se
obtiene el resultado con más sencillez y prontitud. Supongamos que para formar la mezcla al
12% hay que tomar x gramos de solúción al
3 % e y gramos nl 30 %. Siendo así, la primera
porción contendrá 0,03 x gramos de a.gua oxigenada pura y, la segundo., 0,3 y; en total habrá
0,03x + 0,3y.
Con esto resultará (x
ción, en la que el
0,:12 (x
+ y).
~gua
77
+ y)
gramos de soluoxiienada pura será
Tenemos la ocuación
0 ,03x
+ o,::ly =
o, 12 (.x
+ y).
De esta ecuación hallamos: x = 2y, es decil',
que deberá tomarse doble cantidad de solución
al 3% que la empleada del 30%.
El tranvía y el peatón
Problema
Cuando marchaba a lo largo de la línea del
tranvía observé que cada 12 minutos me alcanzaba uno de esos vehículos, y cada 4 minutos
otro de ellos pasaba on dirección contraría.
Tanto los vehículos como yo nos desplazábamos
con vcfocidnd constante
¿Cada cuánLos minutos salían los t.rnnvías do
las estaciones terminales?
Solución
Si los tranvías salían cada .x minutos, eso
quiere decir q u~ por aquel lugar donde yo me
encontraba con un tranvía tenía que pasar el
i:;igµiente después de x minutos. Si el vehículo
iba en mi dirocción, ontonces en 12 - x minutos
deQía recorrer el camino que yo hacía en 12 minutos. Eso significa que el camino que yo andaba
.
, l o l iac1a
, en 12-.i: mtnu·
•
en un minuto
el t ranvrn
12
tos.
Si el tranvía iba en dirección contraria nos
cruzaríamos 4 minutos después de haberme
encontrado con el anterior, y en el tiempo restante (x - 4) miuutos debía recorrer el camino
hecho por mí en esos 4 minutos. Por lo tanto.
el camino que yo andaba en 1 minuto lo hacía
el tranvía en x 4 minutos.
4
78
Tenemos lrnes, la ec.nación
12 -:r
x- 4
--u-=-4-·
De clonde se deduce que x = (i. Cada 6 minutos iniciaban Jos tranvías su itinerario.
P uede proponerse la siguiente resolución (en
esencia es una solución aritmética). Expresemo~
la distancia que separaba a los tranvías entre
sí con la letra a . Entonces la distancia que mediaba entl'e el tranvía que iba a mi encuentro .Y yo
disminuía en ~ cada minuto (por cuanto la
distancia en tre el tranvía que acababa de pasar
y el siguient.e, igu al a a, ln recorríamos en 4 minutos). Si al tranvía iba en mi direccíó11, Ja dist ancia en tre nosotros se red ucía cacla minuto
en ; 2 . Supongamos que yo marchara hacia adelante durante un minuto y, después, anduviera
otro minuto hacia atrás (es decir, regresara al
punto de partida). En esto caso la distancia que
mediaba entre el tranvía -que iba a mi en·
cuentro- disminufa durante el primer minuto
en : , y en el segundo minuto, en ; 2 . En consecuencia , en el lapso de 2 minutos, la distancia
a
I..o
, en ª+ª = 3.
entre nosotros se re d uc1a
4
12
m ismo habría ocurrido si yo hubiera permanecido
inm óvil en el sitio, ya que, en fin de cuentas,
volvería hacia atrás. De esta m anera , si yo no
hubj era avan zado, en un minuto (no en dos) el
tranvía se hubiese acercado hacia mí ; : 2 = : ,
y toda la distancia a la habría recorrido en 6 minutos. Por ello, para un observador inmóvil,
los tranvías pasaban con intervalos de 6 minutos.
79
El barco y la balsa
Problema
Un barco se desplaza 5 horas sin interrupción
río abajo desde la ciudad A a la ciudad B . Do
vuelta avanza contra la corriente (con su marcha
ordinaria y s in detenerse) durante 7 horas.
~.Cuántas horas necesitará. una balsa para desplazarse de la ci uc1ad A a la B, yendo a la misma
velocidad de la corriente?
Solución
Expresemos con x el tiempo (en horas) que
necesita el barco para recorrer la distancia que
sepnra A de B en el agua estancada (es decir, con
la velocidad del barco) y con y, el tiempo que
se desliza la balsa. Siendo así, en una hora el
barco recorre ; de la distancia AB , y la. :P.o..lsa
!
(al igual que la corriente)
de esta dislauci_~.
Por esta razón , ol barco, marchando impulsado
1
i
por la corriente, en una llora recorre - + X
'JI
de la distancia AB 1 y hacia arriba (contra la
i
1
Por las condiciones del
corriente) -X - -y
problema se deduce que hacia abajo el barco
hace en una hora
de la distancia, y, hacia arri-
!
ba, ~ . De aquí el sistema:
!+!=!.
{ ---=1
1
X
Y
t
7 •
Observamos que para solucionar este sistema no
debemos hacer desaparecer los de:pominadores:
80
es suficien t e con r cstaT ln ·s eguuda ecuación de
la primera. Operan do resu llaní:
2
2
-y = 35
.
de donde y = 35. Las balsos se desli zarán desde A
hasta B en
as
horas.
Dos botes de café
Problema
Dos botes llenos de café tienen la mism a
forma y están hechos de la misma hojalata. E l
pl'imero pesa 2 kg y tiene .12 cm de altura; el
segundo pesa '1 kg y mide 9,5 cm de altura. ¿Cuál
es el peso neto del café en l os dos botes?
Solución
Ex pte~.emos el _ peso
gran~e . con x, y el del
del contenido del bo_te
pequeño con y. El peso
de los botes lo expresaremos con z y t respectivamen te. De donde se obtienen las s iguien tes ecuaciones:
x+ z = 2,
{ y+t= L
T eniendo en cuenta que los pesos del contenic;io d e ambos bot es repletos se relacionan entre
~í co~o sus propios v o l ú m e n e s es decir ,
como el ,.cubc> .1 de-sus álturas* , · resulta qu e
"
f 23 '. .
= g 53 ~ 2,02
y
)
.
X - '
-
•
ó x = 2,02y.
* Esta proporción pue'de.. eér aplicada sólo on el caso
en que los lados do los botes no seno demasiado gruesos,
JtQr ,. ~uanto 14; ~µ.p~rfi<?i~s, ·-l{\, intcrnq. y la extor~a del
p~te," :p.iV.s<?~ .semeja,ntes, y lo. altu~11 dé su parte interno
tiorl1f =cierta .. Oiferencia con la . altura ae·· la .. propia caja.
6-0580
81
El peso de los botes vados se relaciona entre
si como se rnla.cionan sus s u p e r f i e i e s
completas, e8 decir, como los cuadrados de sus
alturas. Por ello
z
122
-t =~ ,5•¿
- ~ 1 1Gu ó u=1,"0t.
V
Sustituyendo los valores de x y de z en la
primera ecuación c·esu ltnrá el sistema
2 ,02y +1 ,()(lt=l,
{ y+t=1.
Al resol verlo tendremos:
y=;~
=0 ,95,
t=0,05.
Pol' lo tanto,
X=
1,92,
S
=
0,08.
El peso del café sin el on vase será: el del bote
grande, 1,92 kg; el del pequeño, 0,9~ kg.
Velada
Problein•
A una velada asistieron 20 personas. María
bailó con siete muchachos; Olga, con ocho; Vera ,
con nueve, y as1 hasta llegar a Nina, que bailó
con todos ellos. ¿Cuántos muchachos había en l a
velada?
Soluc16n
La solución del problema es muy sencilla si
se elige con acierto la incógnita. Busquemos el
82
uúmero de las jó ve11es, q 110 ex presai:.emos co n
la x:
1a, Mal'ía buitó cou
2a Oiga
l)
»
l)
3a, Ve1·a
»
1
() + ·1 mtwh achos
6+
:.:!
(} + :1
»
»
.
. . .
,xa Ni na
),\
»
G-f-x
»
'
Establezcamos la siguiente ecuación:
X
+ {6 + x) =
20,
do donde
.X=
7,
por lo Lanto, el número t.lo muchachos cm
20 - 7 = 13.
Exploración marina
Primer problema
El expl.o rador (la nave de reconocimiento),
que m archaba con el resto de l a escua dra, recibió
1a. tarea de explorar el mar en una zona de 70
m illas en la dirección en que marchaba la escu adra. La velocidad de ésta era de 35 millas JJOr
hora; la del barco ex_p lorador, de 70 millas pot
hora. ¿Cuánto tiempo tardará éste en incorporarse
de nuevo a la escuadra?
Solución
Designemos el número de horas buscadas con
la x. D urante ~ste tiempo la escuadra recorrió
35x millas; y l a nave de reconocimiento, 70x.
Esta navegó 70 millas hacia adelante y una
parte de esta ru~a al regreso; la otra parte fue
hecha por el resto de la escuadra. Todos juntos
recorrieron 70x + 35x, lo que es igual a 2 ·70 mi83
llas. De
a<[llÍ
Ja ecuación
de donde
140
1
x=105 ·= 1 3
horas. La embarcación exploradora ~e incorporó
a la escuadra, aproximadamenle, al cabo de 1
hora 20 minuto.s.
Segundo problema
El barco explorador recibió la orden de hacer
el reconocimicn Lo en la dirección que llevaba la
escuadra. Tres horas después, la na ve debía
incorporarse a la escuadra. ¿Al cabo de cuánto
tiempo, a partir del momento en que se distancia
de la escuadra, debe iniciar el barco explorador
el regreso, si su velocidad es de 60 nudos, y la
de la escuadra de 40 nudos?
Solución
Supongamos que la na ve de reconocimiento
debía volver al cabo rle x horas; eso significa
que se alejó de la escuadra x horas, y marchó
de vuelta, a su encuentro, 3 - x horas. Mientras
todos los barcos marchaban en una misma dirección, en x horas pudo la embarcación exploradora
alejarse a una distancia igual a la diferencia
entre las distancias recorridas por cada uno, es
decir, en
60.z -
40x = 20x.
Cuando regresó el explorador h~Ma cubierto , en
dirección a la escuadra, una distancia de 60 (3-x),
en tanto que la escuadra había recorrido 40 (3-x).
Uno y otra recorrieron juntos 10x. Por lo tanto
60 (3 -
.x)
+
40 (3 -
.i:) ..... 20.x,
84
de donde
i
x=2y
El explorador tuvo que modificar el rumbo,
iniciando el regreso, al cabo de 2 horas y 30 minutos a partir del momento en que abandonó la
escuadra.
En el vel6dromo
Problema
Dos ciclistas corren po1' el vel ódromo a velocidades constant es. Al lJevar direcciones opuestas se encuentran cada 1 O segundos; cuando van
en la misma dirección , un ciclista al canza al
otro cada 170 segundos. ¿Cuál es la velocidad que
desarrolla cada cícJista si la longitud de ]a pista
es de 170 m?
So1uct6n
Si la vel ocidad del primer ciclista es x, en
1 O segundos habrá recorrido 1Ox metros. El segundo (yendo al encuentro) recorre el resto de la
vuelta en el intervalo que media entre dos cruces,
es decir. 170-10x metros. Si la velocidad del
segundo es y, esto constitu ye 1.0y metros; por lo
tanto
170 -
iO:r = 10y.
Si los ciclistas marchan uno tras otro, en
170 segundos el primoro recorre 170x metros, y el
segundo, 170y metros. Si el primero marcha más
de prisa que el segundo, de un encuentro al otro
corre una vuelta más que el segundo, es decir,
1702: -
170y
=s
170.
85
Al simp1ificar estas ecuaciones, tenemos:
.%
+ r/ =
17,
X -
!/
=
i,
de donde
:e = 9, y = 8 (metros por segundo).
Carrera
de motocicletas
Problema
En una carrera rle motocicletas, tre.q máquina~
salieron simultánea.mente.. La segunda hace 15 km
por hora menos que la primera, y 3 km más que
la tercera y llega a la meta 12 minutos despué~
que la primera y 3 minutos antes que la tercera .
Durante el recorrido no se registraron paradas.
Hay que d.e t.erminar:
a) Ja-dist.ancia dP. Ja carrera,
b) la velocidad. de c-ada motocicleta y
-'e) el tiempo omple.ado por cada máquina.
Soluclón
Aunque IaR inc.ógnitas llegan a siet.e, se
emplean s61o dos para resolver el ptoblema.
Formemos un ~istomn rle dos ecuaciones con dos
inc6gnitas.
Expresando la v e l o e i d a d de la segunda
moto con l n x, la. velocidad de Ja primera será
x 4- 15, y ln de fa tercer~ x - ~.
La distancia se expresn con Ja y. En est.e
caso la duración <le In carrera fue:
para Ja primera mot.ocicleta
,,
,.
,,
,.
~guncla
te.rc~rR
,,
,,
86
.i:! 15 ,
y
x'
!I
:r.-3'•
La segunda máquina
hizo el recorrido en
.,,....
12 minutos ( ~ de hora) má.s que la pl'imel'a.
Por ello
.!__
X
1
y
x+15=5 .
La tercera empleó en la carrera 3 minutos
( ~ de hora) más quo la segunda. Pol' consiguiente ,
y
i
y
x-3-7= 20 •
Multiplicando por 4 esta ecuación y restándola de la anterior, se obtiene:
.J!..... _ _Y_ _ 4
x+15
:t
(-1L-JL)
=0.
:t-3
X
Dividimos todos los términos por y (y +O)
y quitamos los denominador.es, con lo que se
obtiene:
(:i;
+ 15} (x - 3) - z (x - 3) + 4 (z + 15) (;i- - 3) = O,
4x (x
+
15}
+
y al abrir paréntesis y reducir los términos semejantes, resultará:
ax - 22s =o.
de donde
X=
75.
Conociendo la x se obtiene el valor de la y en la
primera ecuaci6n
y
y
75 -90
1
=5'
de donde
y= 90.
87
De aqu_í r¡ue Ja velocidad d.e las, motocicletas
sea:
90, 75 y 72 km por hora .
La distancia será de 90 km.
Dividicn<lo In d istanci a ¡>0r la velocidad de
c.a da motoc.icleta s e obtiene el tiem-po invertido
por cada m •iquin a:
la primero
1 ·hora
la roguncln
IA torcN·a
1 h ora y 12 111inu'tQs
1 horn y 15 minutos
..
De es t a formR i:;e hn c- nco ntra,do el va lor de
las siete i ncógn i l.ns .
Velocidad .media
Problema
Un automó vil cubrió Ja distan~ia e ntre dos
ciudades a 60 k m por hora e hizo e.l viaje de
regreso ~ 40 km por hora. ¿Cuál fue la velocidad
media de su reconido?
Solución
La aparente sen cillez rlel pt:~blema confunde
a muchos . Sin pensar detenidamente en él,
hallan la media nrit mética de 60· y 40, es decir,
la semisuma
60t40 = 50.
Esta «simple» solución ~er. ia cie't'ta si la ida
y la vuelta hu hi era n d·n rado el mismo ti~m po.
P ero es ev inen tc qno el reconido de vuelta (a· menos velocidad ) requiere mñs tiempo quo la ida.
Si tenerno~ esto en cu en tn, veremos que la respuesta de 50 km os erróne.n.
88
Y así es, en efecto .. La ecuación nos da otl'a
soluci6n. No resulta difícil establecer la ecuación
si introducimos una incógnita auxiliar: la magnitud l, distancia ontre las dos ciudades. Expresomos con x la velocidad media buscada y formemos la ecuación
2l
l
l
+ 40'
7= GO
Comoquiera que l =I= O, podemos dividir la
ecuación por l, obteniendo,
2
--;; =
1
60
1
+ 40 ·'
ele rlon<lc
2
1
X=
48.
1
GO
+ 40
De estn forma vemos que la respuesta acertada
no es 50, sino 48 km por hora.
Si resolviéramos este mismo problema con
letras (en la ida, el automóvil marchaba a una
velocidad de a por hora , y de vuel ta, a b por
hora) obtendríamos la ecuación
2l -
l
x--a-
+
l
b'
de donde al despejar la x rei::t1ltará
2
1
1 •
-a+T .
Esto se denomina m e d i a
de las ·magnitudes a y b.
ha r m ó n i e a
r
Por lo tanto, la velocídaci media del recorrido se expresa, no con la media arit.mética,
sino con IR merlia harmónica clo la~ velocidades.
Para a y b, positivas, la media harmónica será
89
siempre
m en o r
que la
media aritmét.ica
a+b
~·
como se ha vist.o en el ejemplo numérico (48< 50) .
Máquinas de cálcuro r6pido
A.l. tratar de las e.cuacione$i 1 A lgebra Recreativa
no puede desentenderse de la solución de ecuaciones en máquí·nas de calcular. Ya se ha diclio
qué las calcuJ;idoral:l pueden <cjugar» al ajedrez
(o a las clamas). Aílemfís pueden realizar también
otras fnncionHs; por f~jcmplo, la traducción, la
orquestación de melodías, etc . .Basta con elaborar
el «programa» corre~pondien te, con arreglo al
cual debe act.uar fa máquina.
Claro que no vamos a examinar aquí «programas» para el ajodroz o p::trn la tr.adi.1cción, que
son difíciles 0 11 extremo. Examina1·emos tan sólo
dos «programas» sencillos. ~las en principio hay
q uo decir algunas palabra~ sobre Ja const1·ucr.ión de Ja m fiqnin n de r. á lcu lo.
En el ca})Ítulo primero se ha traLado de di spo~invos que J)ermiten hacer miles y decenas de
miles de operaciones por segundo. La parte de
la máquina que sirve para Ja ejecución directa
de operaciones se 1Jama a r i t m ó m e t, ro.
Además, la máquina tiene un d i s p o s i t i v o
d .e_ d ir e e e i ó n {que regula el trabajo de
toda la máquina) y el d i s p o s i t i v o d e
_m. e m o r fa. La «memoria», es un depósilo de
. ri:úmeros y signos convencionales. Por. último,
Ja.:., m·áquína está equipada con dispositivos de
e'nttarla y de sali<ln rlcst.inndos a introducir
· ni,ievos dnt.os numéricos v ofrecer loR r~.cmJt:ulos
· d·ór.Hiil.i vos. Ln m:í<p.1iu~ ~egist.ru estos resultados
90
(ahora ya en el s istema decimal) en tarjotas
especia les.
Es notorio que el sonido puede .ser registrarlo
en discos o en cinta, y des pués reproducido.
Pero la grabación del soni<lo en un disco puede
l•acerse tan sólo ·una vez: para reaUzar nna JlUeva
grabación se precisa otro disco. La impresión
de s(>nidos en m agnetófon o tiene lugar d e forma
u n tanto el istinta , merHanle el irn ant.ado de una
cinta especiaJ. El sonid·o r egistrado ¡med () re-._
prod ucir!-\e lns veces qu e sean procis~ s y, s'i 1á
im _p resión t·esult.a y a inn ecesaria, puede «des im a ntarse» y efectuar en ella unn nueva gra bación. Una m ism a cin la pu ede grnbar:;e varias
vece~, con fo pnrtic.ularidnd do qm~ carla nueva
grabación «lrnrra» la anteriol'.
F,] fonc.i onamient.o ci o l n «mmnoria» se b asa
en un principio aiuí.logo. Los n 1:imcro~ y s ignos
convencionaJes se regi~tra11 cl óc trica , m agn ét,.ica
o mecánicamen te cm un tambor. 111\Cl c.inta u otr o
rlispos i l,i vo . El número g-rfl b cH1o p 11ccie set· «lefrlo»
en el moment.o oportuno; si no se neces ita más
puede ser boJ.'ra do , grahánrlose ot.r.o en su lugar.
L n «cxlracción.» y la «lectura» <fol r1úmoro o el
s igno convencio nal durn sólo algu nas millonés imas d e segund o.
La «.memo'fia» puede constar d e al gunos mi.le~
rle. e e l n R s y, cada cclds:1 . ele v ari n!.'- decenas
de elementos m ag nético~ , por ojNnpJo. Convengamo8 en que 1)ara regi s Lrn r los números por
medio dol sb~tema de hll ~e dos, c;ada elemento
imantado ex presa el 1 . y los no iman l.f!rlos, el O.
Supongamos, por ejem plo. q\l e cndn celda rete11t.iv:l contiene 25 elemc n t.o~ (o rom o dicen 25
órrlenes rlel s is t.ema de base clo.s) y, además, el
prim er elemento rfo l;:i celda s irve pnrn expr.esar
ol .'~i{!1H> del n (í m c.wo ( + /i - ) , l 08 s ig11 ientes
1/i
cl omcn toi; s irvell
pnrn
91
im1n·imir In
part.c
entera del número y, los últimos 10, para rew
gistrar la parte docimal. En la fig. 9 se presentan
esquemáticamente dos celdas de memoria, con
25 elementos en cada una, los imantados se expresan con el signo +; los desimantados, con el - .
Examinemos la celda super ior (la coma indica
el lugar donde empieza la parte decimaJ, y la
Fig. y,
línea puntcadn separa el primer elemento - que
sir.ve para fijar el signo - de los demás). En esa
celda hay escrito (en el sistema de base dos) el
número +1011,01, equivalente en el sistema
decimal , al que estamos acostumbrados, al H ,25.
Ademús de los números, en las celdas retentivas se conservan las ó r d en es que componen
el «programa». Veamo~ en qué consiste el sistema
de órdenes a t r e s d i r e e e i o n e s. En este
caso, al escribir l~ or<lcn, la celda retentiva se
divide on 4 11artes (lns líneas do punlos en la
celda inferior, fig . .9). La primera pa1·te f;irve
para indicar el signo de o_p eración, que va cifrado.
Por ejemplo:
1,
Suma
- operaci<Ín
))
sustrncci<'rn
11 ,
))
muJti pi icucióafl [ , Gte.
92
Las órrlenes se descifran asf: la primera par Le
de- la celda es el númern de la operación; Ja
segund a y la tercera , Jos núm eros de Jas celdas
(d i r e e e i o n es), de la cuales Jrny que extraer
las cifras para las operaciones ; ln parte cuarta
es ül número de la celda ( el i r e e e i ó n) adonde
debe enviarse el resultado obt.eni<lo. Por ejemplo,
en la fig. 9 (fila inferior) hay escritos por el
sistema binario los números 11, 1.1 , 111, 1011.,
en el sistema decimal, 3, 3, 7, 11, lo que significa Ja siguiente orden: la operación III (multiplicación) debe efectuarse con los números de las
celdas t e r e e r a y s é p t i m a y almacenar
el resultado (os decir , regi str~ rlo) en In celdf'\
un dé e i m a.
En lo sucesivo -inscl'ibirnmos númcl'Os y órdenes, no con signos convencionales, como en la
fig. !J, sino directamente en el sistema decimal.
Por ejemplo, la orden expuesta en la serie inferior de la fig. 9, se esc.1· ibe así:
m ul ti plicación 3 7 11
Examinemos ahora dos se.nciHos ojemplos de
programa.
Programa 1°
1) suma 4 5 4
2) multiplicación 4 4-+
OD* 1
3)
4)
5)
o
1
Veamos cómo funciona una máquina en cuyas
cinco primeras celdas están almacenado.~ ·ios
siguientes datos:
1ª o r d e n: sumar Jos números de las celdas
4 y 5 y enviar el resultado a la celda 4 (eil -s.u stitución de lo que figuraba anteriormente)'. Por
• OD-operación de dirección.
93
consiguiente, la rnáquh1a escribe e1 número
O + 1 = 1 en la celda 4. Después · ele cumplida
la 1° ordon, en la!:l celdas 4 y5 se encontrarán los
siguientes números:
4) 1,
5) 1.
2rt o r d e n: multiplicar el número de la
celda 4 por sí mismo (esto ~s. elevarlo al cua<lra~
do) y registrar en la tarjeta el resultado, es decir.,
12 (la flecha significa la salida de un resultado
obtenido).
3ª o r d e n: o .P e r a e i ó n d e d i r e e e i ó n a la celda 1. En otras pa1abras, la orden
OD significa la repetición de todas las órdene::;,
empezando desde la primera. De forma que se
ejecuta la primera orden.
1ª o r d e n: sumar los números de las celdas
4 y 5, y fijar la suma do nuevo en la ce1da 4 .
En consecuencia, en la celda 4 estará el número
1+1
= 2:
4) 2,
5) 1.
2ª o r d e n: elevar al cuadrado el número
de la celda 4 y el resu!Lado, 2\ registrarlo en
la tarjeta (la flecha indica la salida del resultad.o).
3ª o r d e n: o p e r a e í ó n d e d i r e e ~
e i ó n a la celda 1 (es docir, volver de nuevo
a la primera orden).
\1ª o r d en: el número 2
:t = 3 enviarlo
+
a la celda 4:
4) s.
5) 1.
\2ª o r d e n: registrar en la tarjeta el valor
de 32•
94
3ª o r d e n: operación de dirección D. la celda
1, etc.
Hemos visto cómo la máquina calcula sucesivamente los e u a d r a el o s el e n ú m e r· o s
e n t o ro s y los registra en l a tarjeta. Obsérve,..
se que no es preciso elegir cnda vez el nuevo
número: la máquina miRma escoge uno tras ot1'.o
los números enteros y los eleva al cua9r.a do.
Actuando de acuerdo con este programa la máquina obtiene el cuadrado de todos los números
enteros desde 1 hasta el f O 000, en algunos
segundos (o en partes de segundo).
D ebe hacerse notar que, en realidad,. el
programa para el cálculo de los cuadrados de
números enteros debe ser algo más complejo que
el mencionado más arriba. Esto se refiere, en
particular, a la 2ª orden. Para registrar el resultado en tarjeta se requiere mucho más tiempo
que el que precisa la máquina para ejecutar una
operación. Por eso, los resultados se almacenan
primero en las celdas libres de la «memoria,,,
y sólo después (•sin precipitarse») se registran
en las tarjetas. De esta suerte, el primer resultado definitivo se· almacena en la celda 1° de la
unemoriai> que se encuentra libre; el segundo en
la celda 2'\; el tercero, en la 3ª, etc. En el programa simplificado expuesto anteriormente, todo
ello había :sido omitido.
Por añadidura, la maquina no puede dedicarse durante largo tiempo al cálculo de cuadrados pues no bastan las celdas de la tmeJ:'1oria•,
y es imposible cadivinar» cuando ha obtenido
la máquina los cuadrados ·que necesitamos, a fin
de desconectarla, (ya que la máquina ejecuta
miles de operaciones por segundo). Por esa razón
se prevén órdenes especiales para detener la máquina en el momento oportuno . Por ejemplo, el
programa puede· ser compuesto de tal manera
95
que la máquina cn.Jcule los cuadrados rle: todos
los números enteros, d fi.1 1 'l al 10 000, y después
se pare automáticamente.
Hay también otra clase de órdenes más complicadas, de las cunlos no nos ocuparemos.
He aquí qué aspecto tiene el programa para
el cálcu]o de cuadrados del 1 al 10 000:
Programa l. a
1) suma
2) multiplicación
3) suma
4) oc•
5) stop
6)
8 9
8 8
2 (j
8
8
iO
2
7
1
o o
1
7) 10 000
8) o
9) 1
10)
11)
12)
o
o
o
Las dos primet'as órdcne~ se diferencian poco
de las que se han expuesto en el program:i s implificado . Después de cumplir estas dos órdenes,
en las celdas 8 , 9 y ·10 habrá los siguientes números:
8) 1
9) 1
10) 12
La t e r e e r a o r el e n es muy ',intere~
sante: hay que sumar el contenidó de las celdas· ~
y '6, regfatrar otra vez el r~st.!Tta'.db . eit ]a ..CQlda ~t;
d~spués· de lo cual, ofrecerá ~l .sigÚiente ·aspecto':
2)., mul~i.plicación
8
8
~ 1.
De :lQ~í . que, después de cumplida la W' Ol'den ,
c. a-m. b i a · la s ·e g un da o r "d en, mejoF
* ·oc-operación de compa·raeion .
·96
dicho, cambia una de las d ir e e é i o. n es
de la 2ª orden. A continuación aclararemos las
razones a que obedece esto.
La e u a r t a es ln o p e r a e i 6 n d e
e o m p a r a e i ó 11 (en sustitución de la tercera orden del programa ax-aminado ant~rior­
mento). Esta se cumple así: si el número alma~
cenado en la celda 8 es m e n o r que el de la 7,
la operación de dirección la transmite a la celda 1;
en caso contrario , se efectúa la orden siguiente ,
(la 5). En nuestro caso como 1 < 10 000, la
operación de dirección se le encarga a la celda 1.
Por consiguiente, volvemos otra vez a la
orden primera. Una vez cumplida ésta en la
celda 8 se encontrará el número 2.
La segunda orden, que M proscntará como
2) multiplicación
8
8
H,
consisto en que 2 2 se envía a la cel<la 11. Ahora
queda claro 1>ara qué fue cumplida anteriormente la 3ª orden: el nuevo 2 2 no puede ir a parar
u la celda 10 que ya está ocllpada, sino n la
siguiente. Una vez cumpliclM l:ts órdenes 1 ª y
2 1-, t.cn<lremos los sig11ientes númerns :
8) 2
9) 1
10) 12
1.1) 22
Después de ejecutada la orden a·"J., la celda 2,
aparecerá así:
2) mu1tiplicaci6n
8
8 · :12
es decir, la máquina «~e preparó» }Jara anotar. el
nuevo resultado on la cel<la 12. Y como en la
celda 8 sigue habiendo un número menor que
en ln 9, la 4 11 orden sjgnifica qne se encarga a la
celda 1 la operaci6n de dirección.
7-05~0
97
Ahora 1 cumplidas ya las óedenes 1ª y 2ª,
oh tendremos:
8) 3
H) 1
10) 1:i
H)V
12) 32
¿Hasta cu<i11do e-011t.iuuará Ja .macruina calcu lando los cuadrados ~mgún el programa? Has t~
que en la celd a 8 aparezca el número '10 000,
es decir:, mientnis no ha yan siclo obtenidos los
cuadrarlos de los 11úmero8 com1>ren<l iaof': entre el
fa.r+l1=e.
ld.z + cv=.r.
faz +IÍ¡=c'
tdz+,,,_~,
Fig. 10.
1 y el 10 000. Después, la 4\ordcn ya no ti·ansmite Ja operación de dirección a la celd:i 1 (por
.c uanto en Ja celda 8 lrnhrá un número no menor,
sino igua.l al almacenado en In celda 7), es decir,
después do la 4ª orden , la máquina cumple la
5ª orden: cesa de funcionar (se desconecta.).
"Examinemos ahora un proceso más complicado de programación para resolver sistemas de
ecuaciQnes. Veamos un programa simplificado.
Si se desea puedo imaginarse el aspecto completo
del programa.
98
Supongamos eí siguiente $Í~tcrna «ie ecuaciones:
ax+ by= e,
{ dx + ey =f.
Este sistema es fácil de resolver:
X=
a/-rd
ce -bf
a i:-bd '
y= ae. -hd '
EsLe sistema (con los valorns 1111méric()s de los
coeficientes a, b, e, d, e, /) podría 1·esol verse en
memos de un minuto. La máquina, en cambio.,
puedE:.~ ciar en un segundo la solución do m i 1 es
de tales sistema~ de ecuaciones.
Examinemos el programa correspondiente.
Consirleremos que him sido cl~clos simultáneamente varios sistemas: con valores numérico~
para los coeficientes a, b, c1 d, e, f, a', b' , ...
He aquí el correspondicnLc programa:
1) X 28 30 20
2) X 2.7 31 2.1
3) X 26 30 22
4) X 27
5) X26
fl) X 28
7) - 20
29
31
29
21
23
24
25
20
8) -22 23 21
9) -24 25 22
1.0)
11)
12)
: 20 2.1 : 22. 2t -
+t
13) + 2
19
19
1
Programa TI
11.i:) +3 Hl 3
15) -+· 4 1!) 11
1~) +5 19 5
L) + 6 H1 6
t
18) OD
19)
6
o
20)
21)
22)
23)
o
o
o
o
o
24)
25)
2
(.i
o
:W) a
27) b
28) e
29) d
30) e
31)
32)
33)
34)
35)
t
a'
b'
e'
d'
3(;) e'
37) J'
38) a"
1ª o r d en: planlear la multiplicación do
Jos números almacenados en las ceJdas 28 y 30,
y enviar c1 resultado a la ce lifa 20. Dicho en
otras palabras: en la celda 20 se almacenará el
número ce.
De manora análoga serón realizadas lú.s órde·
ncs desde la 21) hasta la 6ª. Después rle ejecut:w99
7*
las, desde Ja celda .20 has-LA la ~5 encontraremos
los sig.u ientes números:
20} ce
21)
b/
22) ae
23) bd
24) aj
25) cd
7ª o r d e n: del número de la celda 20. restar
el de l a 21, y el rosuJtndo, (es clecfr, ce - bf),
volver n almacenru:lo en Ja celda 20.
De la misma forma se cum plen las órden es
8ª y 9!1 . En consecuencia, 1m las celdas 20, 21
y 22 aparecerán los siguientes números:
20) ce 2'1) ae 22) a/ -
bf
bd
cd
O r d e ne s, 10ª y 11 ª : se forma11 los i:iiguientes
quebrados:
ce - bf
ae- bd
'J
af-<'d
ae- ba
que se regisl1·au en la tarjeta (e~ decir, se prosentan como resuha<los definitivos). Est.os so n
los valores de las incógnitas obtenidas del primer
sistema do ecuaciones.
Como vemos, el primer sistema ha sido resl;lelto. ¿Para qué hacen falta nuevas órdenesi,
La parte siguiente del programa (desde In celda
t2 hasta la 19) está destinada n obligar a la máquina a «pasar» al seguHd o sistema de ecuaciones. Veamos su proceso.
Las órden~s desde la 10 hasta 1 i consisten
el) agregar al contenido dasde Ja celda 1 has ta
la G lo almacenado en la cele.la 19 1 y los rosultados vuelven otra voz a las celdas desde la 1 h asta
le 6. De ~al manera, después de cumplir la oruon
100
17ª, las primeras seis celdas tendrán el siguiente
contenido:
1) X 34 36 20
2) X33 37 21
3) X32 36 22
4) X33 35 23
5} X32 37 24
6) X 34 35 25
O r d e n 18"': operación de dirección a la
primera celda.
¿En qué so diferencian la.R nuovas anotaciones
de las primeras seis celdas de las a~teriores?
En que las dos direcciones primeras tienon en
estas celdas los números que van del .12 al 37 y no
del 26 al 31, como antes. En otras palabras
la máq1iina realizará de nuevo las mismas operaciones, pero las cifras no serán tomadas, de las
celdas 26 a la 31, sino de la 32 a l~ 37 donde
están los coeficiente!; del s~gundo sistema de
ecuaciones. Después de re~o]ve» éste, la m áquina
pasa al tercero, etc.
Lo dicho hasla aquí p~tcntiza la import::.rnc.ia
de «programar» con acierto. Ln máquina, «de por
sí», no «sabe» hacer nada. Súlo puede cumplir
el programa que se la cncomfondo. Hay programas parn calcular raíces, logaritmos y senos,
para resol ver ecuaciones de grados superiores, etc.
Se ha indicado ya qnc existen programRs para
jugar al aje<lrez, para la tradnc.c.ión de un idioma
a otro, et.e. Es claro que cua.nto más difícil sea
el problema a resol ver, tan to múfl. complejo será
el programa c01·respondiente.
Añadamos, como conclusión, que existe la
pro gr a m a e i ó n de p r o g i· a m as, es
decir, aquélla con ;.ryuda t.le la cual la misma
máquina puede ,componer el progrnmn para
resoh•er el problema. Esto facilita en gran medida la programación, q·ne con frecuencia es bastante lftboriosa.
CAPITULO TERCERO
En ayuda de la aritmética
Ln aritmélica es n menudo iu~apaz de rl e mo~trar
categóricamente, con :;; us propios medios, la
venlcidad de Algunas do sus :i.fírmacioncs. En
t:iJes casos tierw <1 ue remitirse a los métodos
si utetizadores del álgebr:i . A este género de tesis
.nritmét.icns, Íll1Hlamc11ta<l<tS en el á]gebra, pertcrnecen, por ejcm1>Jo. ml1chns de las reg1as
empleadas en las operaciones abrevfadas, las
curiosas pl'OTJ icd ndes do algunos números, los
caraclel'es •fo fo di visibilidad, etc. Este c1;1pítulo
lo dedfoarnos al examen de cuestiones de este
tipo.
Mu11iplicacl6n abreviada
Las personas con grandes hábitos calcolatorios
facilit.an con frecuencia 1as operaciones median te
transformaciones algebraicas poco complejas. Por
ejemplo, fo op~raciórl 0882 se efectúa con10 sigue:
+
%8 -988 = (088
12)-(988 - 12) + 122 =
= ·1 ooo.91t> + 144 = ~n6 144.
Es fácil comp1·ende1· que en os te caso se recune
« la sigui~n le t ransformací{m algebraica:
a2 = az -
b'l
+ b'J =
(a+ b) (a -
102
b)
+
b2.
En Ja pr;ictica pod emos npHc~r esta fórmula
para los cálculos mentalos. Por ejemplo:
27 2
+
=
(27
3) (27 - 3) ..¡. . 3z = 729,
()6 -60
3:1 = 3 g()!),
i 82 = 20 -16
22 = 32/i.
3í 2 = 40 .34
3 2 = 1 ;369,
482 = 50·46
22 = 2 304 ,
542 = 58-50
42 = 2 M6.
6:~2
=
+
+
+
+
+
L~l mult.í1lli c~ c ióu 986 ·9D7
986 .997 = (986 -
3) · ·1 000
+
$e realiza asi:
3 ·i4
=
983 092.
;.En qué se b:lsa esto método? Supongamos
a los fac.tores Em forma ele:
(1 000 -
14) ·(i 000 -- ~~)
y rn111Lipliqucmos estos fa c.t.o res según l as reglai:;
de 1 á lgel>ra:
1 000·1 000 -
1 000·"11• -
A C()nt.inuHci ón
t 000 .3
+
11• •3.
~iguen In ~ fran ~form ac i ones:
+
1 000 (1 000 - 14) - 1 000. 3
19 . 3 =
= 1 OOQ .!)86 - 1 000 ·3
14 .3 =
= 1 000 (986 - 3)
14·3.
+
+
La última línen es la que expresn el métorlo
de dicho cálculo.
OhecB interés e.·1 prnced imicnto p ar a mul\.i ·plicar d os números com pu~~los d e tres cifras,
cuando e1 guarismo de Jas dcco1rns es ol mismo,
y la smnn de l as 1ini11udos, 10. Por cjem1>lo, la
m ult ipJicac:.ión.
783-787
se ofectmu:í rl e esta m a nera:
78-79
y
~u
=
6 t ú2;
3.7 = 2 1;
r esultado os
616 221.
103
Este método se deduce de las siguiontes transformaciones:
(780
+ 3) (i80 + 7) = 780·780 + 780·3 + 780·7 +
+ 3.7 = 780·780 + 780-tO + 3.7 =
= 780 (780 + iO) + 3.7 = 780-790 + 21
= 616 200 + 21.
;a
Existe otro medio, todavía más sencillo, para
realizar mnltiplicaciones a nálogas:
783· 787
+
= {785 -
=
2) (í85
2) = 7852
616 225 - 4 = 6i6 22'1 .
-
4 =
.En este ejempl o h omos to11ic10 c¡ue elevar. al cuadrado el nú.mero 785.
Para clcv:.ir rápid~mcnte al cuadrado un
número ar,aba<lo en 5 > es rn\Jy cómodo el siguient.e
m6todo:
35 2 ; 3 ·4 = i 2. Rosultado 1 225,
65Z; 6 • 7 = 42.
•
4 225.
i5'l; 7 ·8 = 56.
•
5 625.
Se efectúa la operación multiplicando la
cifra de las decenas por otra mayor que ésta
en una unidad, y escribiendo 25 a continuación
del resultado.
El método se basa en lo siguiente: si el número de decenas es a> todo el númel'o puede ser
expresado así:
toa +
5.
El cuadrado do este número, como cuad rado de
un binomio s~rá igual a
i00a2
+ 100a + 25 =
100a (a+ i)
+
25.
La expres.ión a (a + 1) es e.J resultado de multiplicar la cifra do las dcctmas por ella misma
aumentada en una unidad . .Multiplicar el númoro
por 100 y afiadh-le 25 es lo mi ~mo q uc e o 1 o e a r
25 a la derecha del J>rod11cl.o.
'De este mis mo método se de ~. fH'enrle el sencillo mcclio de (.'lhw ar al c;11adr:ulo los número$
104
1
mixtos en los que la parte fraccionaria es: .
2
Por ejemplo :
( 3+
)2 =3,5
2
!.
=12,25=12
1 ) 2 =56t
( 7 -2
4 .
1
~ t
~ 12 T, eLc.
(8 T
)2
Las cifras 1, S y 6
¿Qui én no ha advertido que ni multiplicar
por sí misma una serie de númeroi:; terminados
on uno o cinco, el producto nc.nba en la misma
cjfra? Sin duda será menos c.onorido quo lo
expresado se refie~e también nl (í. Por es l a 1:ar.ón,
entre otras, la potencia de todo nümero t orm ina<lo en sois, termina asimismo en gci ~.
Por ejemplo:
462 = 2 116;
4& = 97 336.
Esta curiosa propiedad de las cifras 1., 5 y 6 puede
.ser fundamontada por vía algelirRica. Exnminémosla en el caso dol seis.
Todo número terminado t?n so is se descom pone de esta forma:
10a
+
13,
tOb
+
t'tc.;
fi,
donde u. y b son números enteros.
La multiplicación de dos enteros como éstos
es igual a
100ab
+ 60b + 60a + 36 =
= 10 (10ab
= 10 (10ab
+
+
Gb
Gb
+
+
Ga)
6a.
+ :~ o+ 6
3) + 6.
+
z::
El rcsnltado debe constar, pues , de nlgnnas
decenas y Ja cifra 6 on las unidades, la cual ,
ni que decir tiene, debe reaparecer al final.
lOQ
Este mismo método de demostración pnede
sor empleado para ol 1 y el 5.
Lo expuesto permite afirmar que, por ejemplo,
3862661 termina cu 6,
815723
»
)) 5,
4!H 17 ~ 2
»
» 1 , ete..
Los números lS y 76
Hay números de! dos cifras que también tienen
la misma propiedad que las cifras 1, 5 y G: nos
referimos a los números 2:'» y - Jo más sorprcndent.e-~l 7(i. F.l producto <le dos númel'os L~r­
minados en 76 acn ha ta m hién en 76. Demostrémoslo. L::i P.X pre.'-lión com úu para tales números
es como sigue:
moa+
76, 100b
+ 76,
~te..
Mnlt.ipliquernos dos números de C$t<; tipo entre
sí y obtendremos:
+
+
10 OOOab
7 600b
7 fiOOa. -!- 5 776 =
= 10 OOOab
7 f\OOb
7 OOOa
5 IOO
= 100 (100ab
76b
76a -1- 57)
7íl.
+
+
·+
+
+
+
+
76=
El principio ha s ido demostrndo : el r·esultado
terminará en 7fi.
De esto se dcsprerHle que toda ]l o t e n e i a
de un número acabado en 70 , termina en el
rn ismo número:
3762 = 141 371.i, 57fP ·= 1!H 102 976, etc.
"Números" infinitos
Existen también gn1pos de número~ con
mayor cantidad de cifras que, a] figurar al fina 1
de los migmoi::;, se conservan también on multiplicación. El número de tales grupos de cifras
es infinitamente grande.
106
Conocemos ya clos grupo101 compuestos d~ dos
cifras, que poseen propiedad análoga: el 25 y el
76. Para encontrar grupos semejantes con tres
cifras hay quo e o l o e a r d ü l a n t o del 25
o del 76 una cifra Lal qno nos iló ·u n grupo de
treR gu:trísmos con la mü~ma propiedad.
¿Qué cifra se debe colocar ante el 76? E":tpl'esémos]a con k. En este caso , el número buscado
de tres cifras será:
1.00k
+ 76 .
La expresión común para todo número que termine en esto grupo do cifr~~ dobcr·á sel':
1 OOOa -1- 1007• + 76, 1 OOOb + tOOk + 76, etc.
i\,fult.ipliquemos dos números de est.e tipo entre
sí y tendremos:
1 000 OOOab + iOO OOOak + too OOObk + 76 OOOa +
+ 76 OOOb + 1O 000k
2
---!-·· 15 200k
+
5 776.
Todos los sumandos, menos los dos últimos,
ter.minan, por lo menos, en tres ceros. Por esLo,
el resultado acaba en 1 oo~~ + 7{) ~j la ,]iferencia
15 200k+ 5 776 - (100k + 76) = 15100k -j- 5 i00=
= 15 OOOk
5 000
-JOO (Ir.+ i)
+
+
se divide por 1000. Eslo, evidonl.omonte, ocurrirá
cuando le sea igual a :·t
Así pues, el grupo de cifras buscado es 37f).
A esto se rlebe que tocia potencia de 376 termine
en oicho número. Por ejemplo:
3752 = 141 376.
Si nos interesa hn Hor un grupo de cuatro
cifras <p1e tenga la rnisma propiedad. tfobemos
colocar del ante de 370 una cifra más. Si expresamos esta cifra con l. se nos -planteal'á el siguiente prohlcm::i: ¿,cuál debo ser .l a cifra l para que
la mnltivlicndón
(10 OOOa -1- 1 OOOl + 3i6) (10 OOOb + 1 OOOl + 376)
l07
termine en 1.000Z
+ 376?
Si abrimos los
parént.e~
sis de esta mu l tiplicación y prescindi mos do
todos los factores que terminan en cuatro, ceros
o m ás, nos quedará
752 OOOl
+ 141 3í6.
La multiplicación ter.ro ina con 1OOOl
fa dHorencia
752 OOOl -1- 141 376 - (i OOOl -1- 376) =
= 751 OOOl
= (750 OOOl
+ 376
si
+ 141 000 =
+ 140 000) + 1 000 (l +· 1)
E sto, s in duda , tendrii lugar
sea igual a 9.
E l gru po ele cu atro c.,ifrns bu~ca <lo ::ier á 9376.
El grupo ol>tcnido rucrlc sor completado con
uri a cifra mil ~, para lo c11al es preciso seguir
idéntico razonnrnien to. Obtendremos 09 376. Si
d am o!' un p aso más hallarem os el gru po de d fras
109 , 376 y, ne8Jmés, 7 109 376, etc.
Una tal nd ición de cifras a ]a i1quierda del
nómcro puedo ser efectuad a infinita cantidad de
veces. En consecuencia obtendremos un «número»
con i n f i n i d a d de cifras :
Sü divide _por 1O 000.
~· o lamcn1 c c.ua11 do l
.•. 7 1.09 376.
Tales 4cifras» pul'den ser sumadas y mu ltiplicadas de acuerdo con las reglas comunes: como
.se sabe., escrí})ense de d e r e e h a a i z q n j e rd a, y ·en este mismo sentido se suman y multiplican los núm eros «en columna»; por lo cual
en l a sum a y en la multiplicación de dos de e~tos
·ilÚmeros se puede operar sucesivamente con todas
'las cifr ~s que se quieran.
Y lo más interesante, por muy raro que parezca, es que e~e número infinito sati¡;;face a ]a
ecuación
.:r~ =
X.
106
Y así es, en electo; el cuadrado ele este «mimeroi>
(os decir, el resultad.o de mulliplicarse· por .sí
mismo) termina en 76 ya que ca.da uno de lo·s
factores termina en 76; por esa misma causa, el
cuadrado del «número» ~scrito acaba en 376, en
9376, etc. E s decir, operando succsi vamente cqn
cada una de l as cifras del «número» x'-, donde
x = ... 7 109 376, obteuclremos las mjsmas cifras
que teníamos con el número x, por lo cual, xi = x.
Hemos examinado grupos de cifras que termi~
nan en 76*. Si se aplica el mismo razonamiento
para grupos de cifras terminados en 5 obtendremos los siguientes grupos de cifras:
5, 25, 625, O 625, 90 625, 890 625, 2 890 625, etc.
Por ello podemos escribir otro «número» infinito:
.... 2 890 625,
que tambjén satisface la ecuac10n x 2 = x.
Podríamos demostrar que este «n úmero» infinito
es «igual)) a
(((52)2)2)2·
El interesanto resu1ta.do obl.onido en el idioma de los «números» infiuitos se formula de esta
manera: la ecuación x2 = x tiene (;idemás de
x = O, x = 1), otras <los raícc~ «infinitas»
:r: = ... 7 109 376 y :r: = ... 2
8~)0
(\25;
"' Observemos quo el grupo de dos cifras 7li puede ser
hallado con razonamientos análogos n los cfecl.uados más
arriba. Basta c11n resol ver la cuostión <lo qué cifra debe
ser colocada dolanto del 6 para ohtencr un grupo de dos
cifras que te_nga, la propiedad seTialada. Por eso, el «número)) ... 7 109 3W puede set' coui;!!guido agregando sucesivamente cifras anto el ó.
·
1Q9
sin ninguna otra so1ucion (en el sistema de basé
diez)*.
Compensación
Antiguo problema
En tiempos remotos ocurrió el siguiente
hecho. Dos me1·<~ adm·os vendieron una partida de
t.oros, recibienrlo por cada animal lanlos rublos
e.orno toros hahíci en Ja patrida. Con el dinero
recibido comprnrn11 un rehaño de ovejas, pagando
10 rublos por cncta oveja, y un corderito . Al repartir.so el rehafio <m <1os rnit.a,1es , uno recibió una
oveja más, y otro, el corrlcrillo. El que recibió
éste fue compensado por su socio con una suma
com plemcn ta ria corrospoI1Clionte. Sie11 rlo dicho
pago complemcJJ1nrio una cantidad entera de
rublos, lde cuántos rublos constará?
Solución
E ste prolJlemn no :=;e presta a la traducción
directa al «idioma algebrnico», pues no puede
construirse la ecuación necesal'ia. Es preciso
resolverlo mediante un procedimiento es¡.:eciuJ,
el llamado razonamient.o matemático libre. l\:las
también aquí ol álgebra presta a la aritmética
una b,1ena ayuda.
El valor en ruh.los de lodo el rebaño es un
cuadrado exactot po·r cuan Lo dicho rebaño ha
sido adquirido con el dinero recibido por la venta
de n toros, a n rublos por cabeza. Uno de los
socios recibió uoa oveja más, por lo tanto, el
• Loa n(nr1eros infinitos pueclon ser examinados, no
sólo en el sistema de hase diez, sino también en otros
sistemas de numeración. Estos «números» examinados
on el sistema de numel'ación de base p se llaman números
de base p.
110
númoro de oveja~. es impar. También es impar,
por lo mismo, el número de decenas en la cantidad
n 2 • ¿Cuál es la cifra de las unidades?
Podemos demostrar que si en un cuadrado
exacto, la cifra de las decenas es impar, la de las
unidades <fobo ser sólo 6.
Efectivamente. EL Clrndrado de todo número
compuesto de a decenas y lJ unidades, es decir,
(10a + b) 2 , será igual a
f00a 2
+
20ab
+b
2
= (taa:i
+ 2.ab) .tQ + b
2•
El número de decenas en esta cantidad es
10a2 + 2ab más algunas decenas comprendidas
en l/1·• Pero 10a 2
2ab es divisible por dos,
luego es un número par. Por eso, el número de
decenas comprendidas en (10a + b) 2 resultará
impar sóJo cuando en el núrnel'O b2 haya un
número impar de decenas . Recordemos lo que
representa b 2 • Este número os el cuadrado de la
cifra de las unidades, es decir. u na de las cifras
siguientes:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
+
º·
Entre ellas, sólo 16 y 36, tienen d e e e n a s
impares, y ambos terminan en ti. Esto cpiicrc
decir que el cnadrndo exacto
100a2
+ 20ab + b2
puede tener un número im pnr de decenas sólo
en e1 e.aso en que termine en G.
Ahora es ya fácil hallar ln respue~ta a la
pregunta formulada en el problema. Es evidente
que el corderito costó () rublos . .El socio a quien
correspondió 6sto, recibió 4 rublos menos que
el compañero. Para que el reparto sea equitativo,
el poseedor del cordero debe ser compensadO' por
su socio con 2 rublos.
La compensación es igual a 2 rublos.
111
Divisibilidad por f f
El álgebra faci lita en gran med id a la búsqu eda
de indicios que permiten prever, sin recurrir a la
división, 8i dcterm.inndo número es di visiblo por
uno u otro di visot'. La ni visibilidad por 2, 3, 4,
5, H, 8, 9 y 10 es ampliamente conocida. El caso
del 11 es muy senciJJo y J>ráctico.
S upongam os qu e en un número de varias
cifras, N, la cifra ele las uu\<lades es a, ln ele las
<lecenas , b; la de las cen tenas, e; la do l as unid ades de miUa·r d, etc. , es decir,
N = a
+
= a
10b ·; 1.00c
+
10 (h
+
+
1Oc
1 OOOa + .. . =
+ 1OOd + . . .),
don de los punlos suspensivos represen ta n l a suma
de l as cifras siguiont.es. Hestcmos de N el número
11 (b
10c
100d + . . .), múltip lo de 11. La
d iforoncia <~s igunl a
+
+
10 (c. + tOd + ... ),
que dará el 1ni:-mo residuo que N al di vi clid:t
11or 11. Si n esta di fcrnncia le ngrcgcirnos
a -
b -
H (e+ 10d
+· . .. ),
múlti pl o de 11 , oh tcmdl'e-
mo ~
a -
b
+ e + 10 (ti + . ..).
q ue dividi do pol' '!1. , ti a e l m ismo resi duo que el
·número N . A l s11~tra<:\r H (d+ . . . ), múltiplo
el e 11 , r osll ltarú
a -
ú
~-
-
(l1
e-
+d
d
! . • . = (fl
. .. . ),
qut~ ,
+ e+ ...) -
di vid id o 11(.>r 11 da e l mismo resl-o qw~ el
número N.
De aquí se des.prendo la s igu ien te r egla d e
divisib ilidncl poi' 'l:l: de In sum a de fas cifras
q tw oc\1pnn los lugares impares se resta l a suma
1 12
de las cifras que· ocupan los lugares pares;
·si .Za
diferencia es cero o múltiplo de 11 (negativo
o positivo), el número que probamos será múltiplo de 11. En ca·so contrario no será divisible
por 11.
·
Probemos, por cjem1,lo, al número 87 H35 064 :
8
7
+ 6+ 5+ 6=
+ 3 + o+ 4 =
25 - 14
=
25,
14,
11.
En consecuencia , el número dado es divisible
por 11.
Existo otro crit.erio de divisibilidad por 11,
cómodo para números relativamente pequeños.
Consiste en que el número que prob.µ mos se
separa de derecha a izquierda en grupos dé dos
cifras y se suman estos grupos. Si la suma se
divide por 11 sin residuo, el número J'robado será
múltiplo de 11, eJl caso contrario, no lo será.
Por ejemplo, .necesitamos probar el número 528.
Separamos el número en dos grupos (5 y 28) y los
sumamos:
5
+ 28 =
33.
Como 33 se divide o.xactMom1 te por 11, el
número 528 es múltiplo do H :
528: 11 = 48.
Demostremos este criterio de divisibiliuaci.
Di vid amos en grupos el número N, que tiene
varias cifras. Obtondremos grupo de dos (o de
una cifra* que designaremos de derecha n izquierda con a, b, e, etc., de forma que el número N
• Si el número N tuviera una cantidad impar de
cifras, el último grupo (eJ extremo de la izquierda) tendría una sola cifra. Adomás, los grupos como 03 ta.mbién
dobcn ser considerados como do una solo. cifra, cual si 1>0
tratara sólo del guarismo 3.
8-0580
113
puede s.er. expresado de la forma siguient e:
N
= a + iOOb + 10 OOOc + ... =
= a+ 100 (b + 100c ••. ).
+
Restemos de N el número 99 (b
100c
múltiplo de 11. El número obtenido
a+ (b
+ . ..),
+ 100c + .. .) =a + b + 100 (e+
.. .)
dará , al dividirlo por 11 , el mismo .residuo quo
el número N. De ,este número descontemos el
número 99 (e+ ... ), múltiplo de 11, cte.
Por todo ello vemos que el número N da el
mismo resto al dividirlo pol' 11 que ol núm ero
a+b+c+ ...
El número del automóvil
Problema
Cuando pa::;E:Jab a n por la ciuda d tres estudfontos de matemáticas , observaron que el conductor
de un automóvil infringió el reglam ento ele tráfico. Ninguno de l os estudiantes recordal>a el
número (de cuatro c ifras) de l a matrfoula, pero
como los tres eran matemáticos, cada uno de ellos
advirtió alguna particularidad de dicho número.
Uno de ellos advirtió que las dos primeras cifras
eran iguales. El segundo se dio cuenta de que
también coincid\an las dos últimas cifras. Y t por
último, el terceto aseguraba que todo el número
de cuatro cifras era un cuadrado exacto. ¿Puede
determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose t a n sólo de estos datos?
Solucidn
Expresemos 1a primera y la segunda cifra del
n úmern buscado con la a., y la tercera y la cuarta
114
con 1a b. Entonces el nómero será igua1 a
1 OOOa
+ 100a +
= 1 iOOa
10b
+
+ Hb =
b =
t1 (iOOa
+
b).
Este número es divisible por H y, por. eso, (siendo
un cuadrado exncto) se divide también por 11 2 •
Con otras palabras, el número 100a + ·b se
divide por 11 . Al emplear cualquier de los criterios de rli visibilídad e:x puestos, deduciremos que
el número a + b es divisible por 11 . Pero esto
significa que
a+
b =
1t,
por cuanto cada una de las cifras a, b es menor
que diez.
La última cifra b que es un cuadrado exacto,
puede tomar los siguientes valores:
O, 1, 4, 5, 6, 9.
Por eso, para la cifra a, que es igual a 11 -
b,
se .encuentran los siguientes valores posibles:
11, 10, 7, 6, 5, 2.
Los dos primeros valores son inaceptables, quedando, pues, los siguientes:
b = 4,
b = 5,
a= 7;
a= 6;
b = t:i,
a= 5;
9,
a.= 2.
b
=
Vemos, en eonseeuencia, que el número de la
matrícula debe ser alguno ele éstos:
7 744, 6 655, 5 5G6, 2 299.
Pero como los tres últimos no son cuadrados -el
número Uü55 es divisible por 5 , pero no por 25;
el 5566 se :d ivide por 2, pero no por 4, y 2299
(producto de 121 ·19) tampoco es cuadrado- no
queda más que 7744, segunda potencia de 88,
que nos ofrece la solución del problema.
116
8*
Divisibilidad por i 9
Ocupémonos del siguiente criterio de di visibilidad por 19.
Un número es múltiplo de 19 sólo en el caso
en que sus decenas más ol doble de sus unidades
forme un múltiplo de H).
Solución
Todo número N puede ser presontado como
N
=
10:c
+y,
donde x es el n ú m e r o de decenas (no la e i f r a que ocu1rn las decenas, sino la cantidad de
decenas del número); y es Ja cifra <le las nnirladcs.
Tenemos q11c demostrar que l\' es múltiplo de
19 tan sólo cuando
N'
=X+
2y
e.s múltiplo de 1.9. Para esto multipliquemos N'
por 10, y del prollucto restemos N de donde
iON' -
N = 10 (.x
+ 2y)
-
(10x
+
y) = 19y.
Con esto se demuestra que si N' es múltiplo
de 19, entonces
N
= 10N' -
19y
se dividirá oxactamente pol' 19 y al contrario,
si N se divide por 19, entonces
iON' = N
+ 19y
será múltiplo de 19, y eo ese caso también N'
será múltiplo de 19.
Supongamos que se precisa saber si el núruero
47 045 881 se divide por 19.
116
Apliquemos sucesivamente nuestro criterio de
divisibilidad
4704588 J t
+2
47045 r 90
+18
4706, 3
+s
47112
+4
47 j 5
+tO
19.
Como 19 se divide exactamente por 19, los núme·
ros 57, q75, 4 712, 47 OG3, li70 lt59, 4. 704 590,
47 045 881 son múltiplos de 19.
Por lo tanto, también se divide el número
propuesto por 19.
Teorema de Sofía Germain
He aqt1í un -problema propuesto por Sofía
Germain , conocida matemática francesa:
Demuéstrese que los números del tipo a'
4
son compuestos, (con la condición de que a no sea
igual a 1 ).
+
Soludón
La demostración se desprende de las siguientes transformaciones:
a'
+ 4 = a' + 4a2 + 4 - 4a2 = (a2 + 2)ll .= (a~ + 2)1l - (2a)~ = (a~ + 2. - 2a) X
X (a!
+
2 +~2a).
117
4a2
=
De aquí se desprende que, el número a 4
+4
puede sor expresado en forma de dos factores que
no sean iguales a él ni a la unidad*, es decir,
es un número compuesto.
Números compuestos
Lo¡;:. númerog primo!'l, es decir, aquellos que
son mayores que 1 y no ~e dividen exactamente
más que por sí mismo y la 1midad, son infinitos.
A partir. de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 1.7, 19 , 23, 29,
31. . .. , su serie es interminable. Intercalados
entre lo~ número!'! compuestos, dividen ]a serie
de número~ nat11rales en sedes más o menos
prolongarlas rle números compuestos. ¿Cuál es la
continuidad <lo estas series? ¿ Puede encontrarse
alguna que abarque, por ejomplo, hnsta mil
números compuestos sucesivos?
Puede. demost.rarRe, i:nmqne parezca inverosímil, que las series de n{1meros compuestos, situadas entre Jos primos, pueden ser de e u a l q u i e r
ex t e ns i ó n. No hay límites pa.ra la prolongación de tales grupos, ya que pueden estar
fonn:ldos por miles, millones, trillone!'l, etc., de
números compuestos.
Para mnyor facilidao. no~ serviremos del signo
convencional ri!, que representará el -producto d0 .
todos los números consecutivos, del 1. a n inelusive. Por ejemplo, 5! = 1 ·2 .3 .4 ·5. Demostremos como l n serie
+
+ 1) ! + 31, [(n + 1)! + 4). ••
+ 1) inclusive
í{n
1)! -f... 21. [(n
basta [(n + 1)1 + n.
• Esto último, debido a que
2 - 2a = (a1 - 2a
1)
1=
= {a - 1)~
1 ::/.= 1,
si
a::/.= 1.
a2
+
+
+ +
118
está formada por n números compuestos consecutivos.
Estos números van sucediéndose uno tras otro
en serie natural, por cuanto cada uno es superior
en una unidad al que le antecede. Queda tan
solo por demostrar que todos ello~ son compuestos.
El primero
(n
+ 1)! + 2 =
1.2.3 .4.5.(\. 7 ... (n
+ 1) + 2
es par, ya qHe en sus clos sumandos contiene el
factor 2. Y todo n\1mcro par mayor que 2 es
compuesto.
El segundo
(n
+ 1)! + 3 = 1.2.3.1,.5 ... (n + 1) + 3
con.st(l de rlo.~ sum;tndos, cada uno de los cuales
es múltip1o de 3. Por lo tanto , este número también es compuesto.
El tercero
(n
+
1)1
+ 4 = 1 ·2 .3 .4.r; . . . (n + 1) +
4
es divisible por 4, ya que se compone ele sumandos múltiplos de 4.
De manera análoga establecemos que el número
(n
+ 1)1 + 5
es múltiplo de 5, etc. En otras palabras, cada
uno de estos númerM contiene un factor , además
del mi.$mO número y de la unidn d, por lo tanto
será compuesto.
Si se desea obtener 5 números compuestos
consecutivos hasta sustituir la n por el 5 en la
serie anterior. De este modo resultará
722, 723, 724. 725, 726.
Pero ésta no es la única serie de cinco números
compuestos consecutivos. Existen también, como
por ejemplo:
62, 63, 64, 65, 66.
119
O números todavía menores:
24, 25, 26, 27' 28.
Intentemos resolver ahora un problema:
Escdhil' d i e z números compuestos consecutivos.
Solución
En virturl <f e In exp11ost.o, el primero de Jos
<Hez
número~
b11scado~
1.2.3.4 . . . . ·( (1. 11
Por consiguiente, para la
da , nos sirve
39 816 802,
puede ser
+2=
39 8'16 803,
3Q 816 802.
~crie
de números busca-
39 816 804, etc.
Sin embargo, existen series de diez números compuestos consecutivos considerablemente más., pequeños. Incluso puede señalarse una serie no de
diez, sino rle trece númer.os, comprendidos entre
la primera y Jn segunda centena ~
114, 115, 116 1 117, etc.
hasta el 126, inclusive,
Acerca de los números.prímos
El hecho <l~ que existan infinitas series muy
prolongªilas de números e o m p u e s t o 8 consecutivos puede frldncir a Ja creencia de que las
s_erjes da números p r i m o 8 son limitadas. Por
ello, .no será de más demostra-r. que la car1tidad.
de dichas serfos dr. números primos e~ infinita.
Esta demostración se cicbe al matemático
Euclides, de Ja antigua Grecia, figura en sns
cé1ebres Principios. Pertenece a la categoría de
d.e mostraciones por reducc.ión al ·a hsurdo. Supongamos que la serie de números primos es limitada
y que representamos con la N el último número
120,
de ella. Desarrollemos la factorial de N
t ·2 ·3·4 ·5 ·6· 7 . .. ·N =N I
Al sumarle la unidad, resultará
NI+ f
Este número, al ser ontero, debe contener por lo
menos un factor :primo, es decir, riebe ·s er divisible, aunqué no sea más que ·por un. número
primo. Pero todos los números primos, <le acuerdo
con e1 supúesto no superan el número N; mientras
que el número NI + 1 no es múltiplo de ninguno
de los números menores o iguales a N, pues su
división .:iempre da un resto equivalente a la
unidad.
Por lo tanto, no puede aceptarse que la ·serie
de números primos sea limitada: tal suposición
conduce al absurdo. Por consiguiente, por nrny
considera.ble que sea el grupo de núm eros consecutivos compuestos que nos encontremos en la
serie rle números natlJrales, puede tenerse 1a
seguridad de que al remontarse por ella se encontrarán infinitos números primos.
El mayor número primo conocido
Una cosa es estar convencido do que e x i s ten números primos tan gran.des corno se quíera t
y otra saber cuáles son esos números. Cuanto
mayor sea el número natural, tanto más operaciones hay que realizar para conocer si es primo
o no. He aquí el número primo más grande de
cuantos se conocen:
2'll281 -
1.
Este número. tiene ·cerca de setecientas cifras del
sistema decimal.' .Los cálculo$ que sírviero.n .P~re,.
d.~m.o::¡tr~~.. VJ.e ,~s~,e. número ;es prb;no Juer~n. r~ali12.1-.
za dos en las máquinas modernas de calcular.
(Véanse Jos capítulos I y II).
Un cátculo muy laborioso
En la r>ráct.ica del cálculo se enc\1ent.ran
operacione~ mntom~ticas
cuya. realización sería
extraordin nrfamente difícil si para ello no ~e
aplicaran los métodos simpJifimtdores <le1 Al ge h r~.
Supongamos quo soa nece::;ario efectuar las siguientes operaciones:
2
1
1
+ go ooh ooo ()()<)
(Este cá)m1 lo
•
e~ neces~ri o
para est.A bJ ecer s\
1n técnica relacionada c.on l as velocidades efe los
movimientos de Jo8 cuerpos -pequeñ as en com paración con la vel onirlad de la rlünsi6n ele las
ondas el ectromngnétfoas- mrecle valerse de bs
antiguas loyes q'ie regulan la suma de vel oci dad es, sin tener en cuenta aquellos cambios que la
teoria. de l a rel atividad ha int-roducido en la
mecán ica. De ncnerdo con la mecánica anUgna,
el cuerpo sometido a d o.~ movimientos, efcctua<los
en llna misma dirección. con velocidades de v,
y v 2 kilómetros por segundo, tiene una velocidad
de (v1 + v 2 ) kilómetros por segu ndo. La nue va
teor.fa aplica l n ~iguien t e fór.mi.1la para la velocidad de Jos cuerpos
ui +"2
kilómetros por segundo
1+ ~
e'
donde e es la velocidad de difusión de Ja lu z en
el vacío, aproximadamente igual a 300 000 ki-16metros por segundo. Un cuerpo sometido a dos
122
movimientos, efectuados en una misma dirección, y a una velocidad de kilómetro por segundo
cada uno, según la antigua mecánica desarrollaba 2 kilómetros de velocidad por segundo y,
i:;egún la nueva,
2
- - - -- - -- kil6m{ltros por segundo.
1
1
+ 90 000 000 000
;.Cuál es la diferencia entre esas dos fórmul~s?
¿Es perceptible esa diferencia para los aparatos
más sensibles de medición? A fin de aclarar esta
important,e cuestión es preciso realizar el cálculo
indicado).
Empleemos dos métodos: primero, el aritmético, y rlespués, mostremos cómo se pu~de efectuar mediante el álgebrn. Basta con echar un
vistazo a la largn serie de cifras que figuran más
abajo para convencerse de la indiscl1tible superioridad del ptocedimient-0 algebraico.
En primer lugar transfonnemos el quebrado
1
+
2
i
90000000000
180 000
=>
ººº 000
90 000 000 001 •
Efectuamos ahora Ja divisi ón rlel numerador por.
el denominador:
180 000 000
ººº
1 90 000 000 001
90 000 000 OOt
1.()99 999 999 97i . ..
899 999 999 990
ººº
810
000 009
899 999 999 810
810 000 000 009
89!=1 999 998 01 o
810 000 000 009
899 999 980 010
ººº
810 000
009
899 999 800 010
810 000 000 009
123
ººº
ººº
899 980 000 01 o
899 800 ººº 01 o
Sto 000 000 0-09
899 998
010
8i0
000 009
810 000 000 009
898 ooo ooo oi o
810 000 000 009
880 000 000 010
810 000 000 009
700 000 000 01 o
630 000
007
--10 000
003
ººº
ººº
Esta operación resu1ta agotadora .y laboriosa,
siendo muy fácil confundirse e incurrir' en en-or,
en tanto que para la solución del problema tiene
mucha importancia saber con exactitud dónde
termina el perfodo del nueve y comienza el de
otra cifra.
Compárese ahora con qué brevedad cumple
su tarea el álgebra, valiéndose del siguiente
planteamiento: si a es un quebrado muy pequeño,
entonces
1
--~1- a
t+a
'
donde el signo ~ signífica «aproximadamente
iguab.
Es muy fácil convencerse de 1a veracidad de
este aserto: comparemos el dividendo 1 con el
producto del divisor por el cociente:
f = (1
+ a) (t -
a),
es deeu,
1=1 - a 2 •
Como a es una fracción muy pequeña (por ejem.
plo 0,001), el valor de a2- será todavía inferior
(0.000001), pudiendo ser despreciado.
124
Apliquemos io expuesto a nuestro cálculo•:
2
1
2
- - - - 1 - - :z:s
+
1
90 000 000 000
+ Ü·10 1 º
~ 2 (1-0,111 ... 10-10) =2-0,0i.10:>000000222. '.
= 1,999 999 999 9777 ..•
1
=
Se llega, pues, al mismo resultado, pero el
procedimiento es mucho más corto.
(Quizás tenga interés el lector en conocer la
importancia que reviste el resultado del proble-.
ma. Por él se deduce que en virtud de la escasa
magnitud de l as velocidades examinadas -en
comparación con Ja de la luz- , no se observa
en la práctica ninguna desviación de la antigua
ley dti la suma de velocidades: esa desviación
se pone de manifiesto sólo en J:t cifra undécima
del número hallado, en tanto que las mediciones
de longitud más exactas no rebasan 1a novena
cifra, y en la práctica, Ja técnica se. limita a 4 o ü
cifras. En consecuencia, podemos afirmar sin
ninguna reserva que la nueva mecánica, la de
Einstein, no altera los cálculos técnicos relativos
al movimiento <dento» de los cuerpos en el espacio (en comparación con la velocidad de difusión
lumínica).
Pero existe una rama <le la vida actual, donde
esta conclusión incondicional hace falta tomarla
con cuidado. Se trata de la cosmonáutica. Ahora
hemos alcanzado ya las ve1ocidados de 10 km
por _ segundo . (durante los
vu elos de sputniks
y cohetes). En este caso la divergencia de 1a
mecánica clásica y de !a de Einstein se pone de
* Nos valemos a c.ouLíuu1.tcióu de la siguiente a pro~
x.imación:
A
t+a~A(1-a).
12ó
manifiesto ya en la cifra novena. Hay que tener
en cuenta que velocidades mayores no están tan
lejos.
En ocasiones es preferible
no recurrir al álgebra
Junto a los casos en los que el álgebra presta
un gran servicio a la aritmé.l.ica, ha.y otros en que
su aplicación da lugar a complicaciones innecesarias. El verdadero conocimiento de las matemáticas consiste en saber emplear los recursos matemáticos de tal suerte que sirvan ¡Jara encontrar
el camino más corto y seguro, sin reparar en que
el método de solución pertenezca a la aritmética,
al álgebra, a la. geometría, etc. Por eso será útil
examinar un caso en que el empleo del álgebra
tan so]o embaraza la solución. Como ejemplo
aleccionndor puede servirnos el siguien le proble-
ma;
Encontrar el número más pequeño entre los
que divididos
2
» 3
» 4
» 5
J.iOr
• e
t
7
.. 8
» 9
dan de resíd 110 ·l ,
»
»
..
»
»
))
l)
»
»
J>
»
»
»
»
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8.
Solución
Propusiéronme este problema acompañándolo
con las siguientes palabras: «¿Cómo lo resolvería
usted? Aquí hay demasiadas ecuaciones y resulta
muy lioso».
La cosa es sencilla. Para la solución del
problema no hacen falta ni ecuaciones ni álgebra.
126
Se ·resuelve con un sencillo razonamiento aritmético.
Agreguemos una unidad al númerG buscado.
¿Cuál será el residuo de este número si lo dividimos por dos? Será 1
+
1 = 2;
e~
decir, el número
se divide por 2 sin residuo. De esta misma manera
se divide sin residuo por 3, -1, 5, 6, 7, 8 y 9.
El menor de estos números será 9 ·8 ·7 ·5 = 2 520,
y el número buscado, 2 519, lo que es fácil comprobar.
tAPt:tL.JLÓ .CUAfltO
Las ecuaciones de Diofanto
Compra de una bufanda
Problema
Una bufanda cuesl.a 19 rublos, pero el comprador
no tiene más que biJ letes de tres rublos; y Ja
cajera, sólo de cinco. ¿Puede en esta~ condiciones
<lhon~rse el imporle de la compra, y córoo hacerlo'?
La misión flc esl.1~ prob],~m u se reduce a saber
cuántos billete~ de trtis J'ublos deben entregarse
a la cajorn para que ella dé las vucltns con billetes de cinco, cohra11do los rn rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes
de tres rublos (x) y el número de billetes de
cinco (y). Sólo puede p1antearse una ecuación:
3x - 5y =
rn.
Aun.que una ecuacwn cou el.os incógnilas
tiene infinidad de soluciones, esto no quiere
decir que entre ellas haya alguna on las que x
e y sean númoros en toros y positivos (recordemos
que se t.ratn cft•l núme1·0 de billetes do banco).
He aquí por q\1é ül álgebra ha elal>or<1do el mélodo
do 5olución de estas ecuaciones «indetel'mínadas».
El mérito de haberlas introducido en el álgebra
pertenece al pdme.r: sabio europeo que cultivó esta
ciencia, a Dioíanto, célebre matemático de la
antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman
con frecuencia «ecuaciones de Diofanto».
128
Solución
En el ejemplo citado mostremos cómo deben
resolverse tales ecuaciones.
Hay que hallar ol valor de x y de y en la ecuación
3x - 5y = rn,
sin olvidar que tnnto x cómo y son números
e n t e r os
y
p o s i t i v o s.
Despejando la incógnita cuyo coeficiente es
menor, es decir, 3x tendremos:
3x = 19
+ 5y,
de donde
X
_ 19+5y -G+
3
y
+ 1 +2u
3
'
Corno :e, 6 e y son números enteros, la ecuac1on
1 2
puede ser acertada .sólo en el caso de que ~ Y
sea también un número entero. Expresémoslo eon
Iu Jctra t. Entonces
X=
6
+ !/ +
t,
don ele
t-
1+2v
3
•
y, por tanto,
3t = 1 + 211, . 2y
=
3t - L
De la última ecuación despejaremos la y
!! =
3t-1
2
t-1
=t+-;r--.
t-1
.
,
eomoquier.a
que y ·y t son numeros enteros, -'T
debe ser un número entero t 1 • Por consiguiente,
y= t
9-0580
+ t1,
129
y. aderrui.s,
l- t
1.,=-2- ·
de dond.e
2t1 = t -
1 y l
= 2t1.
+ 1.
S ustituya mos el valor de t = 2t 1
igualdades RTit.edorcs:
y = t
6
= 8
X=
+
1 en las
+ tl = (2t1 + 1) + '1 = 3t1 + 1,
+y+ t = G + (3t1 + 1) + (2t¡ +
+ 5li·
1) =
De osta forma hornos encontrado la e:qwesió n
para x y para y*
+ 5t¡ ,
y= 1 + 3t1·
X=
8
Es sabido qno x e y son enteros y además
positivos, es decir, mayores que O; por lo tan fo,
8
'l
+ 5tJ > º·
+ 3t1 >o.
De estas tlesigualdailes resul l.a que
5tt > - 8
3t1
>
- 1
8
>-r:
'
·>
11
lt
y
t-; > -1f·
1
Con esto el valor t 1 eslií acotado.
• En realidad. sólo hemos demostrado que toda solución entera para ln ecuación 3x - 5y
1.n so presenta
como x = 8
5t1 , y = 1
3t1 de donde t 1 representa
un número entero. Mas no hemos demostrado lo contrario, que siendo t 1 un número ontero e u a l q u i ora
obtendremos cierta soluci6n entera. Sin embargo, es fácil
convencerse de ello cuando invertimos el orden de nuestros rai.onamiontos o éuando colocamos el valor de x
y de y en la ecnaciún inicial.
+
+
130
=
D~ aqu·í
(y,
qúe la magnitud t 1 es lllllyor
claro, mucho mayor que -
que-~
~). l\.fas como t 1
es un número entero, se deduce que puede tener
tan sólo los siguientes valores:
t1 =
o,
1, 2, 3, 4, ...
Los valores correspondientes de x y de y son:
X=
8
y = 1
+ 5t1 =
+ 3t1 =
8, t3, 18, 23, .. ,
1, 4, 7' 10, ...
Veamos ahora de qué manera- puede efectuarse
el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos,
recibiend·o de vuelt'a' unú de cinco:
8·3 -
5 = 19,
o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo
de vuelta 4 billetes de 5 rublos:
·1 3·3 -
4 .5 = 19,
etc.
Teóricamente, este problema tiene infinidad
de soluciones, pero en la práclica su número
es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la
cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes
de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de
10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de una
forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo
uno de 5. Como vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas.
Volviendo a nuestro problema, proponemos al
lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por
su cuenta una de las variantes: concretamente,
examinar el caso en que el comprador no tenga
más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo
131
9*
de :3. E11 este caso aparece11 las siguientes soluciones:
:e= 5, 8, 1'1,
y= 2, 7, 12,
Eu efeclo,
5 .5 - 2·3 = 19,
8-5 - 7·3 = HI,
H ,5 - 12 .3 = Hl,
Podríamos obtener también estos resultados
al tomar las soluciones del problema central
mediante un sencillo procedimiento algebraico.
Puesto que e n t r e g a r billetes de cinco
rublos y re e i b i r de tres rublos equivale a
«r e c i b i r billetes negativos de cinco rublos»
y «d a r billetes negativos de 3 rublos», fa nueva
variante del problema se l'esuelve con la ecuació n
planteada en el probloma central:
3x - Sy = 19,
pero con la cou<lición de que x o y sean números
e g a t i v o s. Por eso. rle las igualdades
z = 8 + 5t¡ ,
ri
y= 1
~abiendo
8
t
+
3t1
que x <O
+ 5t
+ 3t1
1
~
y <O, deducimos:
<O,
<o
y., por consiguiente.
8
t, ~
-5.
Tomando t 1 = -2, -3, - 4, etc., obtenemos de
lás fórmulas anteriores, los siguientes valores
par~ x e y
'.r.=
• = -2
-2
11 =
- 5
- 3
- 7
-8
-4
-12
-H
132
El primer par de soluciones, x = -2, y = -5,
significa que el comprador «paga m.eno~ dos
bill~tes de tres rublos» y «recibe menos. cinco
b illétes de cinco», es decir, traducido al idionia
común, quiere decir que paga con cinco billetes
de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes
de a tres. De esta misma manera interpretaremos
también las demás so]uciones.
Una revisión en la tienda
Problema
Al revisar los libros de contabilidad de la
tienda, uno de ellos apareció con borrones rle
tjnta, pre8entando este aspecto:
No era posible descifrar el número de metros
vendido~, pero no cabía duda <le que este no er,a
~,~
e:& /uvr?/uL
a 49-t. .J61e
d-
~
Fig. l 1.
un decimal. En el importe de 1a venta podían
distinguirse sólo las tres últimas cifras y establecer que, delante de éstas t había otras t.res.
¿Podía la comisión revisora averiguar q'u é
cifras eran las del libro auxiliar, valiéndose tan
sólo de estos <latos?
133
So luc\6n
Hepresenlemos el número ct~ metros con la x
y ol importe de Ja v~ntn, expresado en kopeks,
con .el núm ero
4 936x.
Las tres cifras cubiertas por el borrón las
expresamos con una y. Esto, sio duda, expresa
la cantidad de millares de kopeks; y toda ln suma
de kopcks será:
1 OOOy
+ 72~.
Tenemos la ecuación
4 936z
=
+ í28.
1 OOOy
Después de dividir los dos miembros do 13 igualdad por 8, resulta
617.J: - 125y = 91.
En esta ecuación, los números x e y son enteros y, además, y no es superior a 999, por cuanto
no puede tener más de tres cifras. Resol vamos
l a ecuación como indicamos antes:
125y = 617.z -
y
91,
=5 -1+ 34-& = 5 -t+ 2(17-4%) X
125
X
125
-
=5x- 1+2t.
M7
{Aqui hemos tomado 125
=
8
5 - 125 , y~ que nos
conviene que haya el menor residuo-posible.
El quebrado
2 (17 - 4.x)
125
es un iiúmero entero, y como 2 no se divide por
d b
,
125 , 17-4x
~ e e ser un numer.o .entero, que repre-
sentaremos con la
t).
134
Después, de la ecuación
17- 4.x
125 =t
se obtiene
17 -
4x
=
125t,
1-t
x =4- 31t+--¡-- =4-31 t+ t t.
donde
1-t
t1=--.
4
por lo tanto
4t1 = 1 - t;
z = 125t1 -
l
27 ,
=
!I =
1 - 4 t1:
6•(7t 1 - ·f34*,
Se sabe que
100
~y
<
1 000.
Por consiguiente
100
~
617t1 -
134
< 1 00(1,
de donde
234
ti~ 61.7
y
1134
l1=617 ·
Es evidente que }lara tt existe soJamente un
valor entero:
ti=
1,
• Obsérvese que los cooíicicnlcs do t 1 son iguales a l os
de x o y en ln ocuaci6n inicial 61 i x - 125y = 91, ade-
más, uno do los coeficientes do t 1 tiene el signo contrario.
Esto no es fortuito: p,nede demostrarse que debe suceder
ttsí s iempre qno l os c.oefic.iont.Gs de :r y
untre sí.
135
c{C)
y !::ean pl'imos
<le donde x = 98, y = 483; es decir, .fueron
vend·i dos 98 metros por una snma ~ota~ de
4 837 rublos 28 kopeks. El libro auxiliar, ·1mes,
ha sido restablecido.
Compra de se\los de correos
Problema
Se dispone ele 1 rubJo pnra comprar 40 sellos
de correos: de 1 , li y 12 kopek~. ¿Cuán tos sclfos
de cada uno de estos precios deberán comprarse?
Solución
En este Ca!;o tenemos d o s ecuac;ione,._ con
incógnitas:
t r es
X+ 4y + 12z = 100.
X+ y+ = 40,
Z
donde :r. e~ el número de sellos de 1 kopch;
y, el de 4 kopeks, y z, el de 12 kopeks.
Restando do la primera ecuación la segunda,
obtendremos una ecuación con dos incógnitas:
3y
+ 11% =
60,
.Despejemos la y:
z
Y =20- H·3 ·
Es evidente que ; es un número entero. Tndiquémoslo con la t.
Tenemos:
y= 20 -
z
=
-11 t,
3t.
Sustitnyamos Ja y y Ja z en la segunda de las
ecuaciones iniciales:
:r
+ 20 -
1it
+ 3t =
40;
136
de aquí que
20 + ·81.
Como x ~ O,
X =
est~b]ecer
y > O y z ~
los límites de t:
·(lt
no es d'ifícil
9
O~t~ 1Tí ,
de donde se deduce que ¡>ara t son posiblis sólo
dos valores enteros.
t=O
y
t=1.
Los valores correspondientes de x, y y z son:
l=
o
1
X=
28
20
i-> l'U l'há
u·=·
2P
\)
z '"'-·
o
3
20 · ·1 • 1- 20 · 4 + O· i2 = fOO,
28 ....l. 9 . 4 -1- 3 . 12. = 100.
En la compra d e sellos , como vemos, so n
posibles dos variantes (si van a exigir que se
compre a u n q u e s e a u n so 1 o s e l lo
de cada valor, - es posible una sola variante).
Pasemos al segundo problema:_de este mismo
tipo.
Compra de frutas
Problema
Por 5 rublos se compraron 100 unidades de
diforcntos frutas. Sus precios ~on los siguientes:
sandías . . . . . . . . . . . . .
50 kopeks en.da una
»
»
,.
1
»
•
»
.. manzanas . . . . . . . . . . . . 10
cirnolM . . . . . .
. . . . .
¿Cuántn fruta de cada clase fue coµiprada?
137
Solucl6n
Indicando el número de sandías con la x,
el .de las manzanas con la y y el de las cir.uelas
con la:z, establezcamos dos ecuaciones:
{
50;i;
:r.
+ 10 y + 1z = 500,
+y + z = 100.
Restando do Ja primera ecuac10n la segunda,
obtendremos una ecuación con dos incógnitas
-49.x
+ 9y =
400 .
El ulterior desarrollo del problema será el siguiente:
u=
400- 4!)x
4 (1-.t:)
~
!l
= lt4 - 5:r.+
= 44-;:ix + 4t,
9
-- ·J -9
;¡;
'
'
~ . ·1- <)¡
..,_
..
s (1
y = 44 -
-
9t)
+ 4t =
3!J
+ 49t.
De las desigualdades
1-
9t
;,~
O y
3H
+ 49t
.;,. O
se deduce que
t
lf~t~ -
39
49
por consiguiente , t
X=
1,
=
O. Por eso
y= 39.
Sustituyendo los valores de x y de y en ]a
segunda ecuación, rleduciremos que z = 60.
Se compraron 1 snnciíi:i , 39 manzanas y HO cir\Jelas.
Sólo c~b e est.a combinación .
138
Adivinar et dia de nacimiento
Problema
Las ecuaciones indeterminadas permiten efectuar el ~iguiente truco matem~tico.
Se propone a una persona que multiplique la
fecha del día de su nacimiento por 12, y el número del mes, por 3f. Con Ja suma de lo~ productos
de esos da.tos puede calcularse la fecha del nacimiento de la persona <lada.
Si por ejemplo :nació el 9 de fehrero, se efectuarán las siguientes operaciones:
9 ·12 = 108,
2·31 = 62.
t08
+ 6Z =
170.
¿,Cómo .se deducirá el oía del nacimiento
conociendo esa suma?
Soluclón
reduc.~
La tarea se
indeterminada
12x
+ 3ty =
a resol ver la ecuación
170
en la que los v~lores de las incógnitas deben ser
enteros y positivos; además, la fecha del mes,
~, no es superior a 31, y el número del mes, y,
no pasa de 12
_170-31y_14-"
x-
2
+
12
5y
-
=
-2+12t
5
i -
t
11 =
2 (1 -
;r
,-,y
+ 2+125y
14-3y+t.
12t,
y=
=
.
5t1,
21-2· 1 - t =21-211.
5
t = 1-
5t1) -
5t¡,
2t1 =
= 14 - 3 (2 - 12t1)
2 -
+1 -
139
12t1.
5t1 = 9
+ 3tt1.
Se sabe que 31
~
x >O y i2
~
y> O,
por
Jo que los límites para t 1 :
9
- 31
t
< 11 <6 ·
Por lo tanto 1
t, =O,
X=
9,
y= 2.
La fecha ele nacimiento es el día 9 del segundo
mes, es decir, el 9 de febrero.
Se puede proponer otro solución quo no exige
el empleo de ecuaciones. Nos han dicho la cifra
a = 12x
31y. P uesto que 12x + 24y se divide
entre 12, en este c·aso los números 7 y y a, después
do ser divididos entre 12, tienen restas iguales.
Al mult.ipJicar por 7 resulta que 49y y 7a, después
de ser divididos enlre 12, tienen restas iguales.
P ero49 y= 48y+y, y48ysedivideentre12. Resulta
que y y 7a al ser divididos entre 12 tienen restas
iguales. Con otras palabras, si a no se di vide
entre 12, en este caso y es igual a la resta de la
división del número 7a. entre 12; pero si a se divide
úntre 12, entonces y = 12. Es te núm oro y (número ctel mes) se determina enteramente. Sabiendo
y ya es muy 'fácil deten::µínar x.
Un pequeño consejo: antes de determinar la
·resta de la división del número 1a entre 12,
cambie el mismo núméro a ·p or · su resta de la
división entre 12-será m ás fácil calcu.)(1r. Por
ejemplo, si a= 170, Ud. tiene que efectuar
mentalmente 1os siguientes cálculos:
+
+
t70 = 12 -1 4
2 (entonces la resta .-~B 2)
2·7 = t4; 14 = 12·1
2 (entonces y= 2)
170-31y 170-31 ·2 180 .
· =
z=
1'2=9 (entonces :r = 9),
12
+
12
Ahora Ud . puede comunicar que la fecha del
nacimiento es el 9 de febrero. Demostr emos que
el truco nunca faHa, es decir, que la ecuación
\4 0
tiene siem·pre una sola solución, siendo s us
valores enteros y positivos. Represeutemos por ·a
el número que se nos comunica. En este caso,
la ·focha del nacimiento ven<lrú expresada. por la
ecuación
1 2x
+ 3iy = a.
Razonemos
~por
reducció11 a l absurdo». Supon-;
gamos que esta ecuación tiene d o s soluciones
diferentes enteras y positivas, concretamente: la
solución x 1 1 Y• y la. solución x 2 , y 2 ; además, tanto
x1 como x 2 no son superiores a 3t; Y1 y y, ·t ampoco
son mayores que· 12. T enem os:
12x1
12:r3
+ 31y
1
=a,
+ 31y1 = a.
Restando la segunda ecuación de Ja pripiera,
tendremos:
(12 (x1
-
x 2)
+ 31 (g1 -
Y1)
= O.
De osta igualdad se desprende que el número
12 (x1 - x 2 ) es divisible por 31 . Como x 1 y x 2 ,
son números posit ivos que no superan 31, su
diferencia, x 1 - x 2 , es una magnitud menor
que 31 . Por eso, el número 12 (x1 - x2) puede
dividirse por 3f · sólo cuando x 1 = x 2 , es decir ,
si la primera sol ución coincide con la segunda .
De esta m ancra, la suposición do que oxisten dos
soluciones d i f e r e n t e s conduce a unsi contradicción.
Venta de pollos
Antiguo problema
Tres h ermnnas fueron a vender pollos al m ercado. UI!a Jlevó 10 pollos; otra, 16, y la tercera ,
2G. Hasta el mediodía, l as tres habían vendido
al mismo precio una parte <l e los 1wllos. Des pués
141
del me::diodia , temieuclo que uo pudiera·n· despreilderse de todos los pollos, bajaron el precio, vendiendo los que les quedaban al mismo precio.
Las tres hermanas regresaron a. casa con igual
cantidad de dinero , obtenida de Ja venta de las
aves, con 35 r ublos cada una.
¿A qué precio vendieron los pollos an t es
y después del mediodfa?
Soluci6n
Representemos el número de pollos vendidos
por cada una do las laermanas hasta el mediodía
con x, y y z. Después del mediodía vendieron
10 - x, 16 - y y 26 - z pollos. El precio que
rigió por la mañana lo expresamos con m, y el
de la tarde, con n. Para mayor claridad confrorttemos estas expresiones:
Número de pollos vend idos
Hasta· el med iodía
x
11
Dospués del inediodín 10- x 16- y
Precio
m
n
2
2t> - ~
La primera hermana obtu vo:
m:i:
+
+
n (10 - x); por consjguiente, mx
n (10 - x) = 35;
la segunda:
my + n (16 - y); por lo
n (16 - y) = 35;
tanto, my
+
+
+
la tercera:
mz
+ n (26 -
X (2() -
z);
tle aquí que,
z) = 35.
142
mz
+nX
Tr<l11sfo1·m<Hnos estas tres ecuacioues:
+ 10n == 35,
+ Hin = 35,
n) z + 26n = 35.
(m {
n) x
n) y
(m· (rn -
Restando de la tercera ecuación la J>riméra,
y después fo segunda, obtendremos sucesivamente:
+
= O,
(m { (m -
n) (z n.) (z -
x)
y)
(m { (m -
n) (x n) (y -
z) = i6n,
z) = 10n.
16n
+ 10n =
O,
Dividimos ]a primora po.r la segunda:
8
x -z
y=z-5
,
{¡
:z:-z
y-z
--s=-r·
Como x, y, z son números enteros, las diferencias
x - z, y - z son también númerós enteros. Por
e!$t.a razón, para que se produzca la igualdad
y-z
~-z
-s-=---ges preciso que x - z se divida por 8, e y - z,
por 5. Por lo tanto,
:r -z
y-z
-s-=t =-s-·
de donde
X= Z
y= z
+
8t,
+ 5t.
OhRervemos que el número t, además de
entero, es también positivo, por cuanto x > z
(en caso contrario, la primera hermana no hubiera
podido conseguir tanto dinero como la tercera).
Como x < 10,
z + 8t
< 10.
AJ ser z y t números enteros y positivos, la última desigualdad puede ser satisfecha sólo en el
143
caso en que z = 1 y l = 1. Sustituyendo estos
valores en
r
=z+
8t
y = z
y
+ 5t,
resulta que x = 9, y =
Si en las ocu aciones
+ n (10 my + n (16 mz + n (2.6 mx
o.
:r} = 35,
y) = 35,
z) =
35
sustituimos los valores de x, y, y z, ya conocidos,
tend1·emos el precio por ol que han sido vendidos
Jos polluelos:
m=
. 3
J4'
ruh.,
11
= ·1
T1
mi.> .
Hasta el mediodía, los polluelos fueron vendidos, como hemos visto, a 3 rublos 75 kopeks;
después del mediodía, a 1 rublo 25 kopeks.
Dos números y cuatro operaciones
Problema
El problema anterior, resu~lto m ediante un
sistema de tres ecuaciones con cinco incógnitas,
no se ha desal'rollado por los procedimientos
ordinarios, sino por un razonamiento matemático lipre. De esto. misma forma resolveremos los
siguientes problemas, que se reducen a ecuaciones
indeterminadas de segundo grado.
He aquí el primero de ellos.
Con dos números enteros y posití vos fueron
realizadas las cuatro operaciones siguientes:
t) los sumaron,
2) restaron el menor del mayor,
3) los multiplicaron,
4) dividieron el 1nayor por el monor.
144
La suma de los resultados obtenidos fue 243.
Hállense esos dos números.
Solución
Si el número mayor es x, y el menor y,
X
(x+yH-(x-y) + xy + - =243,
y
Si se multiplica esla ecuación por y, se ab.r en
los paréntesis y se reducen los términos semejantes, tendremos:
X (2y + tP + i) = 2113y.
Pero 2y
y?.+ 1 = (y
1) 2 . Por eso
+
+
243y
X=
(Y+ 1)2 •
Para que el número x sea entero, es preciso
que el denominador (y + 1)2 sea uno de los
divisores de 243 (por cuanto y no puede tener
factores comunes con y + 1 ). Sabiendo que 243 =
= 36 , se deduce que 243 es di visible sólo por
los números siguienles, que son cuadrados:
1, 32 , 9 2 • Así pues, (y+ 1)ª debe ser igual a 1, 3 2
o 9 2 • Puesto que y debe ser un número p os i t i v o, resulta que y es 8 ó 2.
Entonces x será igual a
243·8
,
243 ·2
---si o - 9 - ·
Los números buscados, por lo l.anl.o, serán 24
y 8 ó 54 y 2.
Cómo será el redángulo
Problema
Los lados de un rectángulo vienen dados por
números enteros. ¿Cuál será la longitud de dichos
lados para que el perímetro y la superficie de esta
figura se expresen con los mismos números?
t 0-0580
146
Solución
Hepresentando los la.dos de] rectángulo con :r.
e y tendremos la ecuación
2x
+
2y = XJJ,
de donde
2y
;t::-:-.y-.c.i
--.-,
.
Como ;i,: l\ y debon ser números posith•os, también
lo será el número y - 2, os decir, y debe ser
mayor q uo 2.
Fijémonos ahora en que
X=
-.Y:..!!._= 2 (!J - 2~ + ~
y-2
y-2
= 2.+-4-
y-2 ·
Como x tiene que ser un número entero, __i._
y- 2
también lo ~orá. Pero como y > 2, sólo se satisfacen las condicío 11es clel problema si y es igual
a 3, 4 ó ü. (~l va lor c.orrespondienle de x será 6,
4 ó 3.
Vemos , pues, que la figura buscada será un
rectángulo cuyos lados equivaldrán a 3 y G1
o un cuadrado de lado 4.
Dos números de dos cifras
Problema
Los número~ 4fi y 9fi tienen una curiosa p-ropiedad: -" su producto no ~·se altera aunque las
ci~1·as que los componen cambien de lugar. En
efecto,
~6
·96 = 4 41ü
= 64 ·Ü9.
¿Cómo podrá averiguarse si existen otros.
números cfo dos cifras con idéntica propierl::id?
146
Solu~ión
Rep1·esentando las cifras de los números .büs- · .
cados con x , y, z, t, tendremos la ecuaoiéio
(tO:c
+ y) (10z + t) = (10y + x) (10t + is) .
Abriendo los paréntes is y reduciendo los térm.i.., .
nos sem ejantes, se oht.iene
xz
=
yt,
donde x, y , z y t son números enteros menor~s
que 10. Para buscar la solución se form·a n coir
las nueve cifras significantes todas las parej~s
que dan lln mismo resulL~ do:
·
1 ·'• = 2.2
1-6=2·3
1 ·8 = 2 .4
1 ·9 = 3.3
2°fi=3 ·4
2 ·8 = 4.4
2·9=3·6
3 .s = 4 ·6
1, .9 = 6·(\
Las igualdades son en Lol.al B. De cada unad e ellas puede formarse uno o dos grupos de las
cifras buscadas. Por ejemp lo, de la iguaJdad
1 ·'~ = 2 ·2 se obtiene
12 ·42
=
21 ·24.
De la igualdad 1 .()
cicmes:
=
2 . .J haHamos dos solu-
12·63 = 21 · 36,
Siguiendo eJ mismo procedimiünto encontraremos las s iguientes 14 soluciom!:;:
12 .,42 = 2i ·24
12·63 = 2i .36
12·84 = 21.48
13 ·62
13.93
14·82
= 31 ·26
= 31-39
= 41 ·28
23 ·64 = 32 °46
23 ·9t> = :-;2 .n9
24.63 = ~2 ·3G
24 ·84 = 112·1'8
26 · 93 = G2 • 39
34 ·8G
43·68
=
36 ·84 = ()3 ·48
'•li .91~ =
l47
()4 · 69
Los números de Pitágoras
E l fácil y exacto método que los agrimensores
emplean para trazar líneas perpendiculares sobre
el terreno consiste en lo siguiente.
Supongamos que por el punto A hay · que
traiar una perpendicular a la recta MN (jig. 12).
En dirección AM, desde el punto A se señala
tres veces una distancia cualquiera (a). Después,
en una cuerda so hacen tres nudos separados por
una distancia igua l a i.ía y 5a. Colocando los
nudos extremos eu los pu u tos A y B , se tira
del nudo del mccHo. Con el Jo se forma un triángulo cu el quo el 8.ngulo A es recto.
Este antiguo método, empleado ya hace mi le.c;
de años por lo~ con8tructores de l as pirámides
egipcias, se basa en que Jos triángulos, en Jos
que la relación do sus Jados sea 3 : 4 : 5, de acuerdo con el conocido teorema de Pi tágoras során
rectángulos por cuanto
31
+4
1
= 5:i.
Además de Jo$ números 3, 4 y 5 existe, como
se sabe, infinidad de númoros enteros y positivos
a, b, e que satisfacen la correlación
a9
+
b2
=e',
y recibon la denominación de n ú mero s do
P i t ágora s. De acuerdo con el teorema de
P itágoras, estos números pueden expresar la
longitud de los lados de un triángulo rectángulo.
Los lados a y b során dos «catetos» y e la «hipotenusa».
Es evideute que si a, b, e son un trío de números de Pitágoras, los números pa , pb, pe (donde
p os un factor e.otero) serán también números de
Pitágoras. Y a.l co ntrario , ~i los números de P itágoras tienen un fact.or común, pueden ser simpli148
Fig. 12.
.f icados por éstet obteniéndose dé. nuevo el grupo·
de ilÚI)'.teros de Pitágoras. Por eso, para empezar.
analicemos tres números pitagóricos que sean
primos entre sí (los demás se hallan multiplicándolos por el factor entero p).
Mostremos que uno de los «catetos» de los
números a, b, e debe ser número par, y el otro.
impar. Razonemos parti end o de la reducción al
cabsurdo». Si los dos «catetos» a y b son pares,
también lo será la sum a a 2
b2 y, por lo tanto,
lo mismo s ucederá con la «hipotenusa». Sin em-
+
bargo, esto contrad ic.e el hecho de q ue l os núm eros a, b, e no tienen un factor común ya que
2 d i vide exactamente a tros números pares. Por
con.siguiento, por lo menos uno de los «catetos» ,
at b tiene que ser impar.
Puede ofrecerse otra variante, que ambos
«catetos» sean impares y la «hipotenusa», par. No
es difícil demostrar que esto es imposible. En
efecto. Si los «ca tetos» t.ienen l a forma
2z
+t
y
2y
+ t,
la suma do sus cuadrados será igual a
4z9
+ 4x + 1 + 4g + 4y + t =
11
=
4 (zZ
+ Z + y11 + y) +
2,
es decir, se trata de un número que al ser divid o
por 4 da de residuo 2. E n tanto que el cuadrado
de cualquier núm ero par debe dividirse por 4
sin residuo. Por consiguiente, la suma de los
cuadrados do dos números impares no puede ser
el cuadrado de un número par; en otras palabras:
nuestros tms númoros no son pitagóricos.
Así, pues, de los «ca tetos» a, b uno es par
y otro impar. Por eso, el número a2
b2 es
+
impar y, en consecuencia, también lo será la
«hipotenusa» c.
1150
Supongamos, para m ~' yor prev1s1on, que a e.s
el «cateto» impar y b el par. De la jgualdad
a2
+ b2 =
&
obtenemos fácilmente:
ali =
bª =
e-¿ -
(e
+
+ b) (e -
b)
Los factores e
b y e - b son primos entre sí .
Efcct i.vamente. Si estos números tuvieran algún
factor común primo, excepción hoc.ha ele la unidad, entonces también so di vid iría por dicho
factor su suma
b) = 2c,
(e+ b) + (e -
su diferencia
(e
+
b) -
(e -
b) = :!.ú ,
y su producto
(e+ b) (e - b) = az,
es decir, los números 2c, 2/J y a. tendr ían un factor
común. Como a es impar este factor no puede
ser 2 1 ·y por eso, los números a, b y e tienen este
factor común, lo que, sin embargo, es imposible.
La contradicción obtenida demuestra que los
números e
b y e - b son pl'Ímos entre sí.
Pero si el producto de dos números primos
entre sí es un cuadrado, entonces, carla uno de
ellos será un cuadrado, es decir,
+
c + b = m;i
{ e - b = n2 •
Al resol ver este sistemn hallamos
C=
a1
mz+n:1
=
2
1
b=
mi-n:.1
::?,
b) =
(e+ b) (e -
1
m2 n~ .
a = mn .
De aquí que los números de PiLágoras examinados
se representen así:
a=mn.,
b=
m"'-n2
2
161
donde m y n son números impares primos entre sí.
El lector puede convencerse fácilmente de lo
contrario: las fórmulas citadas, con cualesquiera
números m y n impares, dan los números pitagóricos a, b, c.
He aquí alguno~ grupos de número~ pitagóricos, obtenidos con diforentes valores de m y n:
cuando
»
»
))
))
))
»
l>
»
1)
))
»
))
))
»
»
1lt
= ;),
n= 1
5t
n = 1
,,.,. ==;:
,.,
= '.
m = 9,
m = 11,
I n = 1.),
ni
n=
n=
n =
n=
1
1
1
1
=
f), · n= i>
rn= i i n = 3
rn = H, n = ,)
m = 13, n= 3
..,
rt = 5
"' = 1,
m = H, n. = 5
ni= 11, TI= 5
m = 13, n=5
m = 9, r 1 = 7
m = 1 t, n = 7
m
+ 42 = 52
+ 12 = 13
7 + 21,2 = 252
!):! + 40 = 4:1 2
H2 + 602 =- ()13
13 + 842 = 352
152 + 8 = 17
21 + 20 = 29
33 + 56 = 65
39 + 80 = 89
35 + 122::::::. 37
32
52
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
452
2
+ 28
2
-=- 53 2
+ 48 = 73
65Z + 72'J "'"' 97:.:
552
632
772
2
2
+ 1f>2 652
+ 36ª = 852
=
(Todos los demás grupos de tres números pitagóricos, o tienen factores comunes, o contienen
números mayores de 100).
Los números de Pitágoras tienen, en general,
propiedados curiosas, quo enumeraremos a continuación sin demostraciones:
1) Uno de Jos «catcloB» debe ser múltiplo de
t r e s.
2) Uno de los «catetos>) debe ser múltiplo de
e u a t ro.
3) Uno de los nó.mcros de Pitágoras debe ser
múltiplo de e í n e o.
152
El lector puede convencerse de la existencia
de estas propiedades al examinar los ejemplos de
gr upos de c ifras pitagóricas que figuran más
arriba.
Ecuación indeterminada de tercer grado
La suma de los cubos de tres números enteros
puerlc..:+ ser el c.ubo de lm c1rnrto número. Por
ejemplo,
3s
+ 4s + 53 = 5:1.
Esto sig11üica, entre otras cosas, q ue el cubo,
cuya urista es igual a 6 cm, equivale a l a suma
Fig. 13.
de los volúmenes de tres cubos, en los que sus
aristas sean 3, 4 y 5 cm (jig. 13). Según cuentan,
esta correlación interesó vivamente a Platón.
Intentemos hallar otras correlaciones del mismo género, es decir, resolvamos la siguiente
tar ea: encontrar soluciones a la ecuación
x3
+y +
8
z3 = u 8 •
Es más cómodo, sin embargo, expresar l a incógnita u con- t. Entonces la ecuación ofrecerá una
forma más sencilla:
x3
+
y3
+ z3 + t3 =
O.
Veamos un método qu.e nos permita hallar
multitud de soluciones a esta ecuación, en números enteros (positivos y negativos). Supongamos
que a, b, e, d y ex, ~ . y, 6 son dos grupos de
153
cuatro números que satiSfacen .la ecuación. Sumemos a los · números del primer grupo de cuatro
los del segundo, multiplicados por un cierto
número k, y bnsquomos ést.e· de forma que los
números obtenidos
a
+ ka, b + k.fj, e + ky, d + kf>,
satisfagan también la ecuación. En otras palabras:
elijamos k de tal forma que sea satisfecha la
igualdad
(a
+ ka)3 + {b + k~)3 + {e + ky)3 +
+ (d + kf>) = o.
3
Al abrir los paréntesis, sin olvidar que a, b, e, d
y a, ~. y, ~ satisfacen las exigencias de nuestra
ecuación, es decir, que tienen lugar las igualdades
+ b + eª + d = O,
a,3 + p3 + yS + ()3 = 0'
3
a.l l
8
obtenemos :
+ 3bk'¿ ~~ + 3c /..-y +
+ 3ck y2 + 3ct'J.ko + 3dk26 = o,
3k f (a cx + b~~ + c. y + c:l*6) +
+ k (aa + b ~ + cy + d6;¿)1 = ú.
3a2ka
+ 3a2k a
2
2
2
·i· 3b 2k~
2
2
2
2
2
2
El producto será cero sólo en el caso eu que !o
sea uno de sus factores. Equiparando cada uno
de los factores a cero obtenemos dos· valores para k.
El primero de ellos k = O, no nos satisface; ello
significa que si a los números a, b, e y d no
se le~ agrega no.da, los números obtenidos satisfacen nuestra ecuación. Por eso tomaremos solamente el segundo valor de k:
k=
a2a. +b2~ + c'J.1 +a2&
aa~ + b~2 +cv 2 +d6:1
·
D~ .aquí que, conociendo dos grupos de cuatro
n:úmerps que satisfagan Ja ecuación. de pal'Lida 1
puede ser hallado un nuevo grupo: para esto hay
154
que sumar a los números del primer cuarteto los
del segúndo multiplicados por k, donde k tiene
el valor indicado más arriba.
Para aplicar este método es preciso encontrar
d o s grupos de cuatro números que satisfagan
las condiciones de la ecuación inicial. Uno de
ellos (3, 4 , 5,-6) es ya conocido. ~D ~ dón~e
sacar otro? No es difícil encontrar salida a esta
situación; el grupo pueden formado los números
r, -r, s, -s, que responden, sin duda., a las
condiciones de la ecuación iuic.i.al. En otras
palabras, supongamos que
a
·".1.
=
3,
= r,
=
4, e = 5, d = - 6,
= - r, 1' = s, () = - s.
b
~
F.:ntonces k, tomará la sigtticnto formo :
k= -
-1r-Hs
7r~ - s 1
=
1r+Hs
71·~- !f'Z
+
y los números a
ka, b + k B, e
serán respectivamente iguales a
28r'~
+ 11rs -::is:.:
7r 1 - s 2
35r'J
+ 7 + 6.tl
r$
+ ky,
d
+
kó
2Ir2-11rs-4$:.:
1ri-s2
-42r ll-7r s-5s't
7r 2 - s2
7r2 -s"
De acuerdo con lo expuesto estas cuatro expresiones satisfacen las exigencias de la ecuación
de partida
;r,'S
+yª+
z8
+ t3 = o.
Comoquiera que esos quebrados tienen el mismo
denominador, puede prescindirse de éste. (En
consecuencia, los numerarlorcs de estos quebrado·s
también satisfacen las exigencias de In ecuación
e~aminada.} Se ha visto, pues, que la ecuación
indicada es satisfecha (cualquiera que sea el
156
significado do r y s) por los siguientes números:
x = 28r\) + 11rs - 3s2, z = 85r2 + 7rs + 6s2 ,
y= 21r2 - f1rs -
4s2 ,
t
=
-42r11
-
7rs -
5s11 ,
lo cual puedo comprobarse elevando estas expresiones al cubo y sumándolas. Atribuyendo a r
y s diversos valores enteros podemos obtener toda
una serie do soluciones a la ecuación exuresadas
en números enteros. Si en estas circunstañcias los
números obtenidos tienen un factor común, podemos dividir por él todos estos números. Por
ejemplo, cua11do r = 1, s = 1, las incógnitas
x, y, z, t equivaldrán a 36, 6, 48, -54, o, que
al dividirlos por o, darán 6 , 1, 8,-9. Por consiguiente,
63 + t 3 + ss = 9s.
He aquí una serie más do igualdades del
mismo tipo (obtenidas después de simplificadas
al ser divididas por un divisor común):
cuando r = i,
~
r = 1,
11
r = 1,
»
r = 1,
»
r = 1,
•
r = 1,
•
r = 2,
=2
s = 3
s
s = 5
s = 4
s
-t
=
s=
-2
s = -t
383
t 73
48
83
+
+
+
+
+
+
+
73s = 17ª
763,
8
55 = 24ª + 54ª,
1103 = 673
10F',
533 = 293
50ll,
+ 14 + i 7s = :W3,
+ 16 = 9 + 15s,
293 + 34 + 44ª = 53ª.
í;J
3
23
3
3
3
Observemos que si en el grupo inicial 3, 4, 5,
-6, o en alguno de los obtenidos después, se
cambian de sitio los números y se aplica el mismo
método, obtendremos una nueva serie de soluciones. Por ejemplo, tomando el grupo 3, 5, 4,
-6 (es decir, suponiendo que a = 3, b = 5,
e = 4, d = -fi) obtendremos para x, y, z, t,
los valores
= 20r2 + iOrs - 3s2,
= 12r 10rs - 5s2,
z = 16~ + 8r.s + 6s
x
y
t =
2 -
2
-24r~
- 8rs -
,
4s2,
De aquí que aJ variar los valores de r y s obtengamos una serie de nuevas correlaciones:
cuando r = 1,
»
r = i,
»
,. = 1 '
»
r = 1,
»
r = 2,
»
r = J,
s = 1
99
s= 3
238
s = 5
5R
s = 6
7ª
s
1
23ª
s = -3 33
=
+ 103 = i3 + 123,
+ 94ª = 63 + 84
+ rn:v + f 64S = 206S'
3
8
,
1
+ 54ª + 573 = 70ª,
97 + ses = 1163,
+ 363 + 37 = · 463
+
3
3
etc.
De esta manera puede obtenerse un número
infinito de solncionos de la ecuación data .
Cien mil marcos por la demostración
de un teorema
Cierto problema do ecunci<>nes indeterminadas adquirió en sus tiempos enorme popularidad
debido a que al afortunado que lo resolviera
con aciorto se le ofrecía todo un capital ¡100 000
marcos alemanes!
El ejercicio consiste en demostrar la siguiente
tesis llamada teorema o «gran proposición» de
Fermat.
La suma de pot~ucius de idéntico grado de
dos núme1·os enteros no puede ~et· potencia de un
tercer. número entero. Se excluye sólo la segunda
potencia. para la que os posi ble.
En otras palabras, hay que demostrar que la
ecuación
:z;n
+ .l{n =
.zn
no tiene solución, tratándose d~ base entera,
para n > 2.
. Aclaremos lo dicho. Hemos visto que las
ecuaciones
z2
X~
+
+
y2
= z:i,
y~+
z3 =
tª
167
lienen, Lratándose de números enteros, cuautas
soluciones se deseen. Sin embargo será imposible
encontrar tres números enteros positivos que
satisfagan la igualdad x3
y3 = z8 •
Idéntico fracaso acompaña cuando se trata
de las potencias de cuarto, quinto, sexto grados,
cte. Esto es lo que afirma la «gran proposición
de Fermat».
¿Qué se exige de los aspirantes al premio?
Deben demostrar esta tesjs para todas las potencias que cumplen las condiciones dadas. El caso
es que el teorema de Fermat no está aún demostr.ado y pende> por decirlo así, en el aire.
Han transcurl'i<lo treR siglos desde que fue
formulado, sín ernhal'go, los matemáticos no han
logrado hasta ahora hallar su dcmostradón.
Las figuras más eximias de esta ciencia se
han ocupado del problema, mas, en el mejor de
los casos, consiguieron demostrar el teorema para
algnnos exponentes o para ciertos grupos de ellos;
pero de lo que se trata es de hallar la demostra·
ción ge ne r a l, para t o d o exponente entero.
Lo interesante del caso es que esta inacc.8sible
demost.r ación del teorema de Fermat, por lo
visto, fue descubierta cm cierta ocasión, y después
se extravió. El autor del teorema, el genial
matemático de] siglo XVII, Pierre de Format*,
afirmaba que conocía la demostración. Su «gran
proposición», fue escrita por él (lo mismo que
+
• Fermat ('1603-1665) no era matemático prof*'sional.
Era jurista y consejero del parlamento; se dedicaba a las
investigaciones matemáticas sólo en los momentos libres.
No obstante, hizo una serie de doseuhrimientos extraordinarios, los cuales, <lígn~ de paso, no publicaba, sino
que, como se acostumbraba hacer en esa época, los daba
a conocer en su corrcspondc11cia a los hombres de ciencia,
amigos suyos:
Pa scal, Descartes, Huygens, Roberval
y otros.
158
~oda una serie p.e teoremas acerca de la teoría
de los números) en forma de observación en los
márgenes de una obra de Diofanto, · acompnñ'ándola de las siguientes palabras:
«He encontrado una demostración verdaderamente asombrosa para esta J>roposición, pero
aquí ha y poco .sitio para desar rollarla».
En ningún sitío, ni en los documentos del
gran matemático ni en s u conespondencia, ha
sido posi.ble hallar lrncllas de esta demostración.
Los discípulos ele Fermat han tenido que
marchar por su propio camino. He aqui los
resultados de estos esfuerzos: Euler (1797) demostró el teorema de li'ermat para potencias de tercero y cuarto gr.ados, para las de quinto fue
demostrado por Legend.re (1823); para las de
séptimo*, por Lamó y Lebesgue (1840). En 1849,
Kommer demostró el teorema para una serie
muy amplia de potencins y, entre otras, para
todos los exponentes menores de ciento. Estos
últimos traba j9s reb nsan con mucho la esfera de
las matemá ticas conocidas por Fermat, y empieza
a ser problemático el hecho de que este último
pudiera hallar la domostraciún general ele su
~gra n pl"oposición». Ad emás es posible que él se
equivocó.
Quien sienta curiosidad por la historia y el
estado actual del problema de Format, puede
leer el folleto de A. J inchin El gran teorema de
Fermat. Estn publicación, obra de un especialista,
está dedicada a lectores que sólo tienen conocimientos elementales de matemáticas.
• Para los expoucntcs compuestos (a excepción del 4)
hace falta ninguna demostración especial: estos casos
:;e reducen o los ca¡;os con ox ponentos primos.
110
169
CAPITULO QUlt-tTO
La sexta operación matemático
Sexta operación
La suma y la multiplicación tiene cada una su
operación in. versa, la sustracción y la di visión.
La quinta operación al'itmética, la potenciaci6n
o elevación a potencias, tiene d o s operaciones
inversas: la que tiene por objeto encontrar la
base y la dedicada a hallar el exponente. C11ando
la incógnita es Ja base, denemos la s e x. ta
operación matemática, denominada radie.ación;
si se trata rlol e:x ponente, efecLuamos Ja s é p t i m a operación, llamada cálculo log arítmico .
Es fácil compn\nder por qué la potenciación
tiene dos operaciones inversas, en tanto que la
suma y la multiplicación no tienen más que una.
Los sumandos (el primero y el segundo) pueden
alterar su orden entre sí. Otro tant.o sucede con
la multiplicación. En cambio, los elementos de
la potenciación, es decir, la base y el exponente,
no gozan de esa propiedad por lo que no pueden
invertirse sus fnnciones (por ejemplo, 3 5
58 ) .
De. ahí que para hallar cada uno de los lérm inos
de la s uma o la multiplicación se empleen los
mismos procedimientos en tanto que la hase de
la potencia se halla por un procedimiento distinlo
al utilizado para encontrar su exponente.
La sexta operación, la radicación, se ex presa
con el signo V . No todos conocen que este
signo es una variante de Ja letra latina r , primera
*
160
de la palabra latina radix, que significa «raíz»•··
gn otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de
miz, no era la r minúscula, sino la mafüscul.a,
fa R, y junto a ella se escribía la primera letra
de las palabras latinas quadratus, la q, o la primera de cubus, la e, señalando con ello que la
raíz n extraer era cuadraíta o cúbica*.
Escribían, por . ejompl ,
R. q. 4352
en lugar de la moderna expresión
-V 4352.
Si a esto añadimos que a l a sazón no eran
empleados en general los signos actua les de más
y menos, y en su lugar so colocaban las letras p.
(de plus) y rn. (de minus), y que los paréntesis
eran expresados con Jos signos L _J, comprenderemos el extraño aspecto que las expresiones
algebraicas ofrecerían al lector contemporáneo.
Véase una de ellas tomada, por ejemplo, de
un líb.ro del antiguo matemático Bombelly
(año 1572):
R. c. L . R.q.ll 352p.1ü ..J m.R.c. L l?.q.4 352m.16 _J
Lo que nosotros escribiríamos como sigue:
~·v 4852 + rn
-V ll ~352-w-.
Para la operación ;Y"'a, además de csLa expresión,
1
empléase la de an, muy cómoda para generalizar gráficamente la idea de que toda raíz no es
otra cosa que una potencia con un exponente
• En el manual do matemáticas escrito por Maguitski
quo era libro de texto en Rusi(l du~ante la primera mitad
dol siglo XVIII no existe en absoluto un signo especial
para la operación de la extraci6n do raíces. ·
11 -0580
fraccionario. Esta segunda variante fue propuesta
por Stevin, notable matemático holandés del
siglo XVI.
¡Qué raíz es mayór1
Primer problema
f.Quó es m<lyor
V5 ó
tf2?
Resuélvase 6~lc y los prob1emas que le !-liguen
a condición de que n o s o h a l 1 e n l a s
r a í e e s.
Soluc:lón
Elevando ambas expresiones a Ja décima
potencia, obtendremos;
(Vs> 1 º = s = 2.5, <V2) 1º =
como 32 > 2fl, entonces
1
y
lf2>
26 = 32;
vs.
Segundo problema
¿Qué raíz es mayor:
V4 6 V7?
Solución
Elevemos ambas expresiones a la potencia de
grado 28 y tendremos:
(V4) 2 ª=41 =2u=21.27 =-128'¿,
CV7)u = 14 =7'-72 =492 •
Como 128
>
49, resultará que
V4>V7·
162
Tercer problemd
¿Qué l'aíz
e~
l 1 7+ lí 10 6
mayor:
V :i-~
l·' 1~1?
Solu~ión
EJé vcnse ambas ox pr~~s iones al. cuadrad<> y
re.sultarú:
(i/7 + V 10) 2 =11 + 2 1,'" w,
(V g+ -~1 rn)z = 22+ 211 57 .
De ambos t érminos rt:'st em os -17 y tendrc·mos2 1/ 10 y 5 + 2 }Í 57.
Si d espués clcvamoH a rn l>ns
c x pr<.~siones
n
cuadrado, obtendremos
480 y 253+20 vs1 .
Hestando 253 p odre.m oR compa rar los resultados
21 y 20
>
vs1.
·v
Como 57 es mnyur q ne 2 , ento11ce.-; 20 ·}/ 57
li O; por cons iguicrntc
v 3+ rn > v7+ t/ 10.
>
v
Resuélvase al primer golpe de vista
Problema
Obsét'Ycsc la ecuaci ón x-''ª
= 3
atcnlarn eutc
y dígase cuál es el Vl\ lor ele x.
Soluc.i6n
Todo el que esté familiarizado con los sím-
bolos algebraicos deducirá que
163
En efectó,
x3 =
(V3) 3 = 3 1
por consiguiente
xxª =x 3 =3,
que era lo que se buscaba.
Aquell o~ a quienes esta solución «al primer
golpe de vista» les resulte difícil, pueden valerse,
para despeja l' con más .sencillez la incógnita, del
siguiente razonamiento:
Admitimos que
.x:i= y.
Entonces
y-
x =y y.
por lo que la ocuación presentará esta forma
CVY) 11 =a,
elevando la expresión al cubo
yV=3ª.
Es pues evidente que y
=
3, y, por consiguiente,
y=,..:J .··-::l.
~r..
x=y
Comedias algebraicas
La sexta operación aritmética permite repre·
sentar auténticas comedias y farsas algebraicas
co11 los siguientes argumentos: 2 ·2 = 5; 2 = 3,
etc. La gracia de tales representaciones algebraicas reside en un error, harto elemental , pero que,
por hallarse muy oculto, tarda en ser descubierto.
Mostremos dos piezas de este repertorio cómico
del álgebra.
1 64
Primer problema
3.
2 =
En primer lugar aparece en e1;cena una igutildad indiscuitible:
4-
iO
=o -
15.
En el siguiente «cuadro» se suma a ambos
miembros de esta igualdad una misma cn.ntidacl,
1
64:
q-10+6 ..!..=
4 9-15+6 ..!..
4 •
El ulterior desarrollo de Ja comedia se reduce
a transformaciones:
2
5 2
2
2 - 2 ·2·~+
(
2
(
5 2
2-~)
=
(
2
) ·1 =32 - 2.3.~...:.
(~)
2
2
1
3....25 r."
'
Extraída l a raíz cuadrada de ambos mi embros
de la igualdad, rosu1ta:
5
5
2-2=3 - 2.
5
Sumando 2 n uno y otro miembro, llegamos
a l a igualdad absurda:
2=3.
¿En qué consiste el er.ror?
Solución
El error consiste en que de l a expresión
(2-~ ) 2 :::s( 3 -~
se dedujo que
5
5
2--=3-2
2.
)2,
Aunque los c.uadrados sean iguales, no por eso
son idénticas las primeras potencias, pues (-5) 2 =
= 52 , pero -5 no es igual a 5. Los cuadrados
pueden sor igunle~ euando ln~ primera.s potencias
tienen distiul.o f; ig-1 10 . En nuestro ejemplo se
ofrece precisamente e~f.e caso:
( __ ..!_ ) z= ( ~ ) z
2
pero -
1
2
2
'
.
110 os 1gua l a 1 .
2
Segundo problema
N ucva farsa algebraica (fig. 14)
2-2 = :>
La acción so rle ~a rrolla en forma semejante al
caso a1üerior v se basa on el mismo truco. En
escena aparec.l; una igualdad que no despierta
ninguna desconf i anzn
16 - 36 =· 2.5 -·· 45.
Se snma a r.nda miembro una mi['ma cantidad:
Hi - RG ....! . 20
~
= 25 - /i 5
~o
A c.ontinuadún
siguientes:
+2íl !~ ,
hnccn las trarn::Iormaciones
()
9 ,,
9
42-2.4· ..::_ _L ( - )- = 52-2. 5 · 2 '
2
2
H)2
(4 - -9)2-(r:
2
2
.
-1- ( -9
2
)2
'
,> - -
Después, mediante el absurdo razonamiento
anterior so llega a
4- ; '=5- ;'
4=5 ,
2 ·2 =5.
Estos divertidos ejemplos deben prevenir a los
matemáticos con poca e:x:periencia contra toda
actitud descuidada hacia las ecuaciones que
tengan su iricógnita on el radical.
166
Fig. 14.
CAPITU.LO SEXTO
·l:cuaciones .dé seg.undo grado ..
17, 18, 19
El apretón de manos
Problema •
Las personas que a.s istieron a una reunion se
estrecharon la mano. Uno de el.los advirtió .que
los apretones de mano fueron.. 66. ¿Cuántas perso-.
nas concurrieron a In reunión?
Soluc16n
' La cuestión se resuelve con facilidad si recurrimos al álgebra. Cada una de las x personas dio
la mano a las otras x - 1. Por tarito, el total
d~ a·pretones de manos debe ser x (x - 1). Adem·ás
ha·y q4~ iener en cuenta que cuando 1vanov da la
mano a Pétrov, Petrov estrecha la mano de I vanov; estos dos npretones de manos deben ser
considerados como uno solo. Por eso, el número
de apertones de manos contados es dos voces
menor que x {:t - 1). En consecuencia surge la
ecuación
X
(x -1.)
2
6ti
o sea, que después de la:.; correspondienLcs transformaciones se tendrá
z2-z - 132,.- O,
166
de clonde
1
,'f.=
:r 1 =12,
±
v1+528
2
'
.r. 2
= -H.
Comoquiera que la rafa negativa (-11 personas) carece de todo sentido, la rechazamos, conserva ndo únic.amcnt.e la primera: l~ Tl la reunión
estuvieron 12 personas.
El enjambre de abejas
Problema
En la antigüedad estaba muy extendida en la
India una diversión singu1ar: la solución de
rompecabezas en competiciones públicos. Los
manuales de matemáticas de ese país contribuían
a fo celebración de tales campeonatos de cálculo
mental. «Aplicando las reglas aquí expuestasescrihía el autor de uno de dichos libros -,
un hombre inteligente puede idear miles1 de
problemas semejantes. Así como el Sol hace
paliclecer la!-l estrellas con sus deste11os, un hombre
discreto ccHpsa la gloria do ot.ro bomLre en los
concursos populares, proponiendo y resolviendo
problemas algebraico~'>. En el original , estas
palabras presentan un aspecto más poético, por
cuanto el libro está e~crito en verso. Los problemas también aparecen versificados. Enunciemos
en prosa uno de estos rompecabezas.
Un gruJlO de abejas, cuyo número era igual
a la raíz cu adrada. de la mitad de todo su enj ambre, se posó sobre un jazmín, habiendo dejado
muy atrás a ~ del enjambre; sól o una abeja del
mismo enjambre revoloteaba en torno a un loto,
atraída por el zumbido de una de sus amigas que
169
cayó iruprudenl.emonte en la trampa de la flor ocilla, de dulce fragancia .
¿Cuántas abejas formaban el enjambre?
Solución
Si expresamos el número buscado <le abejas
del enjambre con la letra x , tenemos la ecuución
Pue de simplificarse la ecuación introduciendo
una incógnitn :rnxiliar:
Y=
Y
-z ·
;c
Entonces x :-:;;;; 2y2 , por lo que resullará la sigu icmle ecuación:
16y'
2
..
Y+s--i_J
.,
:!
L.!/ •
La ecuación liene dos raíces para y:
Y1= 6•
3
Yz=-2
y otras dos para x
J;l
= 72, .xi= 4,5.
Mas, como el número de abejas debe ser entero
y positivo, es v{tlida sólo la ·primera L'aÍZ: el
e nj~r.nJ:>re constaba, pues, de 72 abejas. Compro·
bémoslo:
.,,V/n + 8 . 12+2 =6 +M +
2 9
170
2=12.
La mf;lnada de monos
Problema
Otro de los problemas indios puede ser. pre·
sentado en verso tal y como foe traducido por
Lébedev, autor del excelente libro
¿ Quíén inventó el álgebra?
Regocíjan...<ie los monos
divididos en dos bandos.:
su octava parte al cuadrado
en el bosque so sola.za.
Con alegres gritos, doce
atronand<l el campo están.
¿Sabes cuántos monos hay
en la manada, en total?
Solución
Si el número total de la:manacla os x , entonces:
(
8.:r.
)2 +i2=.r,
de dondo
~
xl =48, x2 = 16.
E l p-roblema. tiene dos solucione~ positi·v as:
en la manada puede haber 48 y 16 monos. Las
dos soluciones satisfacen por las condiciones del
problom.a.
Previsión de fas ecuaciones
En los casos examinados y en dependencia
de las condiciones del problema, hemos hecho
diferente uso de las dos raíces obtenidas. En el
primer caso hemos desechado la raíz negativa
por no res11onder al contenido del problema; en
el segundo, hemos renunciado a 1a raíz fraccionaria y negativa y, en el tercero, por el contrario 1
171
Fig. 15.
hemos acept.ado las dos raíces. La presencia ele
~na segunda solución es, a veces, completamente
inesperada no sólo para quien resuelve el problema, sino también para. su autor; pongamos un
ejemplo de cómo la ecuación resulta más previsora que el mismo que l a establece.
U na pelota ha sido lanzada al aire a una
velocidad de 25 m por segundo. ¿Al cabo de cuántos segundos se encontrará la pelota a 20 m de
altura?
$olucl6n
Para los cuerpos lanzados al alto, y libres
en su ascensión de toda resistencia, la mecánica
establece las siguientes proporciones entre la
altura a la que sube el cuerpo sobre la tierra (h),
su velocidad inicial (v), el aceleramiento de la
fuerza de graved<!d (g) y el tiempo (t):
gt'l
h = vt - z -
En este ejemplo concreto podomos hacer caso
omiso de la resistencia. aérea, por cuanto es muy
pequeña cuando ia velocidad no es de consideración. A fin de simplificar la operación, demos a g,
el valor 10 m, en lugar de 9,8 m (el error es tan
sólo del 2 %) . Sustituyendo h, v, g por sus val ores
en la fórmula indicada, tendremos la siguiente
ecuación:
20 = 25t- 10tll
2
~
t
después de quitar denominadores y simplificar
t~ -
St
+
4 =O.
Resultan las raíces:
t1
=1
y
t 2 = 4.
173
La pelota ostar-á dos veces a la altura de
20 m: al primer segundo y después de cuatro
segundos de hnber sido lanzada.
Acaso parezca inve rosímil y, al no
reflexionar~
puede rechazarse el segundo resultado. Sin
em haT'go , esto sería orróneo. Bl segundo resultado es completa.monte Jógjco: Ja pelota puedo
encontrarse do~ Yeco~ a la altura de 20 m: una,
al ascender, y otrn, nl do8c.onder.
Se deduce eou facilidad que la pelota puede
ascender durante 2,5 ~egundos con la velocidad
inicial dü 25 m , llega ndo a una nltura de 31 125 m.
Dc~pués de alcanzar: Ja altura de 20 m, (al segundo
de ascenso) Ja pelota seguirá elevándose durante
1 ,5 segundos má~. al cabo de lo cual descenderá
durante 1,5 segundos basLa la altura de 20 m,
llegando al suelo un segundo después.
El problema de Euler
Al refcdrse Stendhal en su Autobiografía
a sus años de estudiante, escribe lo siguiente:
«En su casa (la de s u maestro de matcmátic~s)
encontré a Euler con su in·obléma acerca dC! los
huevos que la campesina 1lcvaba al mercado ...
Esto fue para mí un descubrimiento. Comprendí
lo que significvba ,•alerse de un arma como el
álgebra. Pero ¡demonios!, nadie me lo había
explicado antes ... »
He aquí el problema de la .Tntroducctón al
á lgebra, de .E u ler que tan fuerte impresión produjera en Stendhal.
Dos campesinas llevaron en total 100 huevos
al mercado. Una de ellas tenía más mercancía
que la otra. pero r ecibió por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos
to(los, la primera campesina dijo a la segunda:
174
«si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que tú, habrfo recibido 15 cruceros». La
segunda contestó: «Y si yo hu hiera vendido los
huevos que ten.fas tú habría .sacado de ellos 52/ 3
cruceros».
<~Cuántos huevos llevó cada una?
Supongamos que la primera campesina tcmfa x
huevos. La segunda tendría 100 - x. Si la
primera hubiera tenido 100 - x habría sacado
de ellos 15 cruceros. Eso quiere decir que Ja
.
.
l os louevos a
15 ~
prune•·a
campesina
ven d"ó
t
100
cada uno.
De esta manera vemos que la segunda campe20
.
. , 1os b uevos a 6 2 : x = Sx
sina ven d io
ca d a uno.
3
Hallemos ahora la cantidad oblenida por cada
campesina:
fo primera:
X•
15
100-X -
15x
100-:z:?
la segunda:
(iOO-x) . 20 = 20i(100-x)
3x
&!;
•
Y c-omo ambas recibiel'on lo m i~mo, entonces
15.x _
100-x -
20 (100-x)
3x
que después de las correspondientes transformaciones resultará
z2
+
1.60.x - 8 000 =O,
de donde
X¡
= 40,
X2
= -200.
La raíz negativa carece de sentido en el
presente caso. El problero~ no tiene más que un
175
resultado: la primera campesina llevó al mercado
40 huevos y la segunda 60.
El problema puede resol verse con más brevedad. El ·p rocedimiento es m ás ingenioso, aunque
m ás difícil.
Supongamos que la segunda campesina llevó
al mercado k huevos ·más que la primera. Ambas
recibieron por su mercancía la misma suma de
dinero. Esto significa que la primera vendió los
huevos Te veces más caros que la segunda. Si
hubieran cambiad o la mercancía, la primera
campesina hubiera tenido k veces más h uevos que
la segunda y los habr ía vendido k' veces m ás
caros, recibiendo k't más dinero que aquélla. Por
lo tanto tendremos:
•2
45
9
k'J= 15: 63= 20 =4:
de donde resulta que
3
k= 2·
Ahora no nos queda más que dividir· los
100 hue vos JH'oporcionalmente a 3 y a 2. La
·primera campesi na lle vó 40 huevos y la segun-
da, 60.
Los altavoces
Problema
E n la i>laza hay instal ados 5 alta voces distribuidos en dos grupos: uno de ellos consta de
2 u1laratos, y e.1 otro, <le 3. La d istancia que
separa los dos grupos es de 50 m. ¿Dónde ha brá
que colocarse para que el so nido de ambos grupos
se oiga con la misma intensidad'?
176
Indudablemente. El signo menos significa que
el segundo punto de idéntica audición se encuentra
dirección o p u e sta al punto positivo
que se tomó al establecer la ecuación.
ParUendo del lugar ocupado por los dos
reproduc.t.ores y en fa dirección con venient.e llegamos a los 222,5 m, punto en el que el sonido
de ambos grupos de altavoces se oye con la misma
intensidad. }~ste punto dista 222 ,5 + 50 = 272,5 m
del gr.upo de tres aparatos.
Así pues se han encontrado dos puntos de
igual audición colocados en la línea formarla por
las fuentes de sonido. En esta línea no hay más
puntos donde coincida la intensidad de sonidos,
pero fuera de ella, sí. Puede demostrarse q\10 el
lugar geométrico de ]os puntos que responden a las
condiciones del problema es la circunferencia que
pasa por. los dos puntos hallados, cual si fueran
los ex.tremo::; de su diámc.tro. Esta circunferencia,
como vemos, limita un egpacio bastante ex Lenso
(la parte rayada en la figura) dentro del cual
la intensidad auditiva del grupo formado por
dos altavoces supera la audición del grupo de
tres aparatos; fuora del espacio indicado se
observa el fenómeno o1mesto.
en
El álgebra del vuelo a la Luna
Del mismo modo como se han encontrado Jos
puntos de igual audición de dos tipos de altavoces, se puede encontrar también puntos de igual
atracción del cohete cósmico por dos cuerpos
celestes-la Tierra y la Luna. Busquemos estos
puntos.
De acuerdo con la ley do Newton, la fuerza
de atracción recíproca de dos cuerpos es directamente propot'cionaJ al producto de las masas que
178
M atraen, e inversamente propord.onal al cuadra·
do de la distancia entre ellos. Si designamos con M
la masa de la Tierra y con x la distancia entre
ella y el cohete, la fuerza con que la Tierra atrae
cada gramo ele masa de la nave aérea se expresará
mediante
Mk
donde k es la fuerza de atracción recíproca de un
gramo po.r un gramo a la distancia de 1 cm.
La fuerza con que la Luna atrae cada gramo
del cohete en ese mismo punto será:
mk
(1-x) 2
'
donde m es la masa do 1a .Luua y l la distancia
que la separa de la Tierra (se presupone que el
cohete se halla en la recta que une Jos centros
de la Tierra y de la Lu1rn). E] problema exige que
riuk
mk
x2
(l-x) 2
=
es decir
.M
xi
-m- =-l2.,...~2-i,x_+
_x,,_
2 •
., M , segun
, l a As trouomia,
' cqu1va
. le
L a re l ac1on
m
aproximadamonte a 81,5. Aplicándola tendremos
.,t'2
z2-2zx+x2
81,5,
por lo cual
80,5xZ -
163,0kt:
+
8f ,5l2 = Ü.
Al despojar la incógnita x resulta:
X¡= O,~l.
::r2 = 1,121.
Al igual que en el problema de los altavoces,
se llega a la conclusión de que en la línea que
une la Tierra y la Luna existen dos puntos buscados donde la atracción. de ambos planetas
179
actua sobre ei cohete con idéntica intensidad:
uno a 0,9 de lu dist;ancia que separa. los planetas
partiendo del centro de Ja Tierra; el otro, a 1, 12
de esta misma distancia. Como quiora que la
distancia l entre los <.'entros de la Tierra y la
_. .....
1
.l'
_
-.. .......
./ ::\'f0tP'1 d,¡tr~'
/...,
/
--
...
.
\
·--,----- - · . -1
(
1111111 ¡
l
3SOOA'/#f0!
1
'¡\
l
'
~\
\
\
1
.
.
1
.l''. . . _____,, , ,/
\
I
-- -- . B"8Ull1111
Fig . 17.
Luna ~ 384 Oüú km, uno do los puntos buscados
se encuenLra a 34li 000 km de la Tierra; el otro,
a 430 000 km.
Sabemos ya por el problema anterior que esa
misma propiedad caracteriza a todos los puntos
de la circunferencia c¡ue pasa por los dos puntos
liallados, tomados como los dos extremos del
diámetro. Si hacemos girnr esa circunferencia
tomando como eje la línea que une los centros
de la Tierra y la Luna describirá una esfera
cuyos puntos responden a Jas exigencias del
problema.
El diámetro de esa esfera llamada «esfera de
atracción» de la Luna Uig. 17) será igual a:
1,12l - 0,9l = 0,22l,:::;: 84 000 km.
Mucha gente pic11sa errónemante que para acertar con un cohete en la Luna es bastante hacerle
alcanzar la csfora de atracción de ésta.
180
/¡
_¡
A primera vista parece que si el cohete se
halla dentro de la esfera de atracción (y su velocidad no es muy grande) él debe oaer for zosamonto
en la superficie de la Luna, por c.uanto la fuerza
de atracción de la Luna «supera» a la de la Tierra.
Si fuera así entonces l a tarea del vuelo a la
Luna sería mucho m ás fácil , puos no ha.ría fa1ta
acertar a la Luna cuyo diámetro se ve en ol cielo
b ajo un ángulo de 1/2º, si.no a un globo de
84 000 km de diámetro, la el irnonsión del cual
equivale a 12º.
Pero no es d ifícil demos t.rar ol cr.ror de razones parecidas. Supongamos q ue un cohotc lanzado
desde la Tierra hacia la Luna, perdiendo su velocidad por causa de la atracción terrestl'e, llegue
a la esfera de la atracción lunar Lenicndo la velocidad cero. ¿Va a caer éste en In Luna·? ¡De ningún
modo!
En primer lugnr, dentro de la e~fora de atracción lunar hay también Ja nlrn<~ ci<)n terrestre.
Por eso al lado de Ja línea de Tierra - Luna la
fuerza de atracción de la Lunn no va s<ílo a «snperar)) a la terrestre, sino éstas se sumarán de
acuerdo con la regla del paralológramo de fuerzas
y obtendremos una fu er.za resul~nnLc no dirigida
directam ente a ] a Luna (sólo en la línea de Tierr a- Luna esta fuerza resu ltante ~cría dirigida
directamente al cent.ro de la Lnna).
En segundo lugar (y esto es lo princ.ipfl l ),
l a m isma Luna no os un hlanco inmóvil y si
nosotros queremos saber cómo vn a moverse co n
relación a é~t~ el cohete (si va :. <ccaer» en elJ a),
hace falta t ener en cuenta ·l a velocidad del coheto
respecto a la Luno,. l\fas:esta
vt.~1ocidad no
equi-
vale a cero, puos la misma L una se mueve alrlldedor de la Tierra con nnn ve1ocid R<l de 1 km/seg.
Por eso la velocidad riel movimiento del cohele
con relación a la Luna es demasiado grande para
181
que ésta pueda atraer el cohete o por lo menos
detenerlo en la esfera de su atracción como un
satélite artificial. En realidad la atracción de la
Luna empieza a ejercer influencia considerable
en el movimiento del cohete antes de acercarse
éste n la esfera de at.raeción do la Luna. En la
balística colest.0 hay que tener en cuenta la
atracción de la Lulla desde el momento cuando
el cohete llegm~ n la e s f e r a d e i n f 1 u e n e i a de la Luna que tiene el radio de 66 000 km.
En este caso ya M pnede considerar el movimiento
del cohete con rHlación a la Luna al olvidar por
completo la atro.ccíón terrestre , pero ha~e falta
tener en consideración la velocidad exac.ta (respecto a la Luna) con c¡uo el cohete entro. en la
esfera do influene.ia dC"1 Ja Luna. Por eso es natural que el cohet.o <lehe ~er 1anzado a la Lnna por
una trayectoria que puede asegurar que .la velocidad (con relación a la Luna) de entrada en la
esfera de influenc.ia de la Luna esté dirigida
clirectamcnt.e a la Luna . Para eso la e~fera de influencia de Ja. Luna debe chocar con el cohete
que se mueve a ~u encuentro. Como se ve no es
una cosa tan fácil acertar a la Luna como a un
globo de 84 000 km ds diámetro.
"Eiercicio complicado"
Son muchos los que conocen el cuadro E_iercicio
complicado, (año 1895) de Bogdánov-Belski,
pero muy pocos se percatan del contenido del
«ejercicio complicado» al contemplar dicho cuadro
Trátase de resolver rápida y mentalmente el
siguiente ejercicio:
10 2
+ u2 + 122 + rn2 + ·142
365
•
182
El ejerc1c10 1 efectivamente, no es fácil. Sin
embargo, los alu;m.nos del cuadro lo resuelven
con facilidad. En -la figura del maestro, ~l pintor
reprodujo a S. Rachinski, prQfesor de Ciencias
Naturales, que abandonó la. cátedra d~ la universidad para convertirse en
sencillo maestr9
rural. El inteligente pedagogo cultivaba en su
escuela el cálculo mental, basado en el hábil
empleo de las propiedades de los númer9s. Los
números 10, 11, 12, 13 y 14 tienen una curiosa
propiedad: 102 + 1P + 12 2 = 132 + 142 •
Comoquiera· que 100 + 121 + 144 = 365, es
fácil hallar roen.talmente que la expresión reproducida en el cQadro es igual a 2.
El álgebra nos ofrece los medios necesarios
para plantear con más amplitud la cuestión de
esta interesante particularidad de las series de
números. ¿Es acaso ésta la única serie de cinco
números consecutivos, en la que la suma de los
cuadrados de los tres primeros es igual a la suma
de los cuadrados de los otros aos?
un
Sotuci6n
Si expresamos el primero de los números buscados con x, tendremos la siguiente ecuación:
x~
+
(z
+
1)2
+
(.x
+ 2):1 =
(x
+ 3)i + {.x + 4)1.
Sin embargo, es más cómodo expresar con x,
no el primer número de los buscados, sino el
s e g u n d o. Entoces la ecuación tendrá un
aspecto más sencillo:
(.x- 1)2
+ z2 +
{x
+ 1)2 =
(x
+ 2)2 + (a:+ 3)2.
Al abrir los paréntesis y reducir los términos
semejantes, resultará:
.:z:11 - tox - t1 = O.
de donde
z=:>±lf25+H, :e1 =11, x2= -1.
183
Fio 18._ _ _ _ _ __
Existen por consiguiente, dos serles de números que tienen las propiedades exigid as: In serio
de Rachinski
10, 11, 12, 13, 14
y la serie
o,
- 2, - 1,
1, 2.
Así es, en efecto,
(-2)2
+
( -1 )2
+ 02 =
f2
+ 22.
¡Qué números son1
Problema
H úllense tres números consecutivos en los que
el cuadrado del número del medio sea mayor en
una unidad al producto de los dos restantes.
Solución
Si la primera cifra es x, tendremos la ecuacjón;
(x
+ -1)
2
= x (x
+ 2) +
1.
Abriendo los paréntef:lis resultará la siguiente
ecuación:
x?.
+ 2.x +
1. = x 2
+ 2.x +
1
de la cual no puodc dcrlnc.irso la m:tgnitud de x .
Esto muestra qno la igualdad formulada por
nosotros es una i d e n t. i d a d: y Ja identidad
es efecti va, no sólo cuando sus letra8 encierran
un valor de ter m í n ad o , como ocurre en
la ecuación, sino para e u a 1 q u i e r va1or de
las mi~mas. Por ello, lre~ números consec11tivos.
sean los que fueren, poseen dicha propiedad.
En efecto, tomemos tres cifras al azar:
17, 18, 19
186
y nos convenceremos de que
182 - i 7 • i 9 = 324 - 323 = 1.
Lo inevitable de esta correlación salta más
a la vista si ox presamos la
con la letra x, con lo que
x2 -
i = (.1:
+ 1) (x -
s e g u n d a cifra
1).
Es decir, se trnt.a dn una identidad evidenLc.
CAPITULO SEPTIMO
La magnitud mayor y la menor
Lo~ problemas presentado~ en est.e capítulo pertenecen a una clase muy interesante; con ellos
8e propone hallar el vnlor mayor o el menor de
cierta magnitud. Estos prnblcmns pueden ser
resueltos por diferentes procedimientos, uno de
los cuales exponemos a continuación.
P. Chebyf'hey, matP-mát.ico ruso, en su obra
«Delineación de los mapas geográficos» e~cribfo
qnc Jos métodos , qun ayudaban a resolvor un
problema común parn toda ln actividad práctica
de1 hombre - cómo disponer de sus medios para
obtener, en la medida de lo posible, mayor prop
vecho- tienen una importanci.a especial.
Dos trenes
Problema
Dos líneas férreas se cruzan formando un ángulo recto. Lo~ tl'enes se acercan a gran velocidad
haci a el cruce. Uno parte el e cierta e~tación situad::t a 40 km del cruce; el otro, de una estación
que dista 50 km rlel cruce. El primero mnrcha
a una velocidad de 800 m por minuto, el segundo
a 600 m.
¿Cuántos minutos transcurrirán desde eJ momento de la partida para que las locomotoras se
hallen a la menor distancia entre sí, y cuál será
esa distancia?
18?
Soluc:lón
Dibujemos el esquema de la marcha de los
trenes. Supongamos que las líneas rectas AB
y CD son do~ líneaF-( férreas que se cruzan (fig. 19).
La e~tación B se encuentra a 40 km del cruce O,
y la estación, D a 50 km. Admitamos que al cabo
A.
Fíg. 19.
de x minutos los trenes se encuentran a la <li1'tancia más próxima entre sí: (M N = m). El tren
que sale de B hace el recorrido BM = 0,8x, ya
que en un minuto recorre 800 m = 0,8 km. Por
consiguiente, OM = 40 - 0,8.x. Del mismo modo
hallaremos que ON = 50 - 0,6x. Según el teore.N
ma de Pitágoras
,\fN=m= VOM'i+ON'=
4Q-0,8:r)2+(50-0,6z)Z.
=-V
188
Elevemos al cuadrado am has partes
m ==: 'Y,. (40-0,8)2 + (S~l - 0,fu:)~
y operando tendremos
x2
124.:r
-
+ 4 100 -
m2
de la ecuación
= O.
Resolviendo la ecuación para hallar el valor
de x, resultará
.z=62
±Vm.'L .....;256.
Ya que x, el número que expresa los minutos
no puede ser una raíz imaginal"ía,
tra n~curridos,
e
Fig. 20.
entonces m2 -256 debe ser una magnitud positiva o, <t lo sumo, equivalen te a cero. El último
es el que corresponde al valor m í n i m o de m;
189
de aquí qué!
m~
= 256, o sea, m = Hl.
Es evidente que m no puede ser menor que 1.6,
de lo contrario x se convertiría en una raíz imaginaria. Y si mz - 256 = O, e.ntonces x = 62.
l
/e~r.r:::~··:·:~:z::
!
-:=}!1.!tJ~.llJM~..:i!'.~:~·=·=· ·===~-=~
c.
A
X
D
Fig, 2t.
De esta forma las locomotor~s ll€gan a su
punto de mayor aproximación al cabo de 62 minutos, y la distancia que las separa será de 16 km.
Determinemos dónde se encontrará cada una
en el momento de mayor aproximación. Al buscar la distancia OJY!, tendremos que es igual a
40 -
62·0,8
=
- ~).6.
El signo negativo indica que la primera locomotora habrá rebasado el cruce en 9 ,6 km. La
distancia ON sorá:
50 -
62 -0,6 = 12,8.
Es decir, que u In segunda locomotora le fa harán
12,8 km para Jlegar al c.ruce. En la fig. 20 se ve
la posíción que ocupan las locomotoras en el
momento dado. Se puede apreciar que ésta no es
tal y como nos la imaginábamos al principio.
La ecuación ha resultado ser tan tolerante que,
190
a pesar de lo erróneo del esquema, nos da uti
resultado acertado. No es difícil averiguar de
dónde proviene esa tolerancia, que está condici onada por las reglas a1gebraicas de los signos.
¡Dónde construir el apeadero!
Problema
A 20 km del ferrocarril, cuya línea es recta,
se enc·uentra el punto poblado B (fig. 21). ¿Dónde
hay que construir el apeadero e para que en el
viaje de A a B por 1a línea f érrca A C, y por la
carretera CB se invierta el menor tiempo posible?
La velocidad por ferrocarril es de 0,8 y por carretera de 0,2 kilómetros por minuto.
Solución
Expresemos la distancia AD (de~de A hasta
la base de la perpendíc,1lar BD n la horizontal
AD) con la a; y CD, con la x. l.·~ntonces
AC= AD-CD=a- x, y CB= Y l'D'.l.-f-BD2 =
= Y x2+202.
El tiempo empleado por el tren para cubrir el
trayecto AC será igual a
AC
0,8
a- x
=
0,8
•
El tiempo necesa rio para recorrer· fa distancia l'B
de la carretera equivale a
CB
0,2
Vx2 +202
0,2
El vrnJe desde A hasta B ocupará, en total,
a-x
ú,8
+
vx2+202
0,2
191
~sta suma, q:,1e expr.esatnós con m, debe ser la
menor.
Ln ecunción
tt ·· · ·· X
+-
0,8
1/
;i·3
··/- 2,1_\Z
0.2-···--·· =JI/
preséntase así:
X
-
ü'
)8
+
-Vx~ + 20..:
')
?
l ! .....
=
a
111. -
o8
.
Multiplicando por ú,8 tendremos
-x+4
Y x:i+2u"1. =l),8m-a,
Y cuando ex prosamofl O,Bm-a, con la k,
haciendo desapart•cer el radical, tendremos la
ecuación de segundo grado
15a.~-2kx
+ 6 /ittO -
k 2 =O,
de dollde
x=
" ± v 1111,:¿ - rn¡ ooo
15
Y como k = 0,8m-a, al alcanzar m la nuruma
magnitud sucedo lo mismo con la k, y viceversa*.
Mas para que x resulte real es necesario que 16k~
no sea menor que 96 000. Por lo tanto, el valor
mínimo para 16k2 será 96 000. Por esa razón,
m será la magnitud menor cuando
16k2 = 96 000,
de donde
k=
ytfOOO,
y por consiguiente
-
k
+
o-
X-~ -
l/ ~
- .: ·1''
·{5 -,..._,<>,u.
• Debe tcncrs1~ en cuontll que k > O, por cuanto
0,8m=a-x-j-4 l / xz+2o'l. > a-x+x=a.
192
El apeadero debe const.i·ufrse aproximadam·ent~
a 5 km del punto D e u a l q u i e r a q u e
s e a l a 1 o n g i t u d a = AD.
No obstante, es evideu le que nuestra solución
t iene sentido sól o en el caso de x <a, pues al
formular la ecuación hemos considerado que la
expresión a - .~ era un valor positivo.
Si x = a :::::::: 5, 1() uo hace fnlta ningún apeadero y debe llevac·se la carretera hasta la est~c~ó.n.
De m anera idéntica ha y que operar on los casos
en que la distancia a soa inferior a 5;1p km:
Esta voz somos nosotros Jos quo hemos ób.rado
con mayor prudencia que la t?cuación. Si hubiera- .
mos confiado ciegamente en Ja ecuación, ha1fría-mos tenido que construir el aJ>f)adero más allá
de la estación, cosa totalmente absnrda: en este
caso x > a, por eso, ~l ti cm po
a-x
-U:S·
durante el cual teníamos 4ue viaja1· eu ferrocarril, seda negativo. El caso as aleccionador
y muestra que, al valerse de recursos mate:ináticos l1ay que mantener una actitud prudente
hacia los resultados obLenidos, recordando siempre que si no se cumplen las cond iciones en las
quo so fundamenta el empleo del recurso matemático, el resultado puede perder todo sentido.
¡Cómo trazar la carretera al embarcaderol
Problema
Desde la ciudad ribereña A h ay que trasladar
cargam ento al punto B , situado a a km más
abajo, y a d km de la orilla del l'ÍO (Jig. 22).
¿Cómo debe trazarse la carretera d c8cic B a1 río
13-058 0
193
.Para que el t.rnnsport.e de ~argas .desde A hast.á
B resulte lo miis ba1·aLo posible, consi deran do que
r
Fig. 22.
el ('.rnnspol'te de
1111 : 1
l.one1ncla-k iJ<'.irnelrn po r río
c11ost.a .la mi t:u) qu e por c:·11·re!crni1
Solución
Expresaremos la distancia AD con Ja x , y la
longitud de In carretera DB con la y. Como
hemos supne~to, la 1ongitnd AC = a, y ]a BC =
=d.
Puesto que el t1·ansporto por carretorn cuest a
ol doble que por río, la s 11tna
' x+2y
debe ser, r espondiendo a las exigenc.ias del
problema, la m ás pequeña. Exprnsémosla con
fa m. De aquí fa ccuaciún
z + 2y = m, .
·v
Pero x = a - DC, y DC =
y"' la . ecuación se presenf.al'ti. nsí:
a - lf.11~-d~+'21¡=m,
194
d"'; cnloncos
y, al l1acer desaparecer el 1·aci ica i, l'esulta :
;{!1 2 -
4 (m -
He~ 1.1J v:1111 os
2
.11 -
::S (m -
a) !I
+ (m
-
11)t
+d
2
= O.
a liorn la nr..nnci611:
.
ab:
·v (11t
--· a)!! -- i)tl:!
;)
,
Para que y respon(b.1 a las co ndiciones, (m - a.) 2
n o o~bo ser inferior o 3d 2 • Ln magni Lud más
pequeña de (m - a) 2 os igunl n 3d2 y entonces
rn --·a =- d
V 3,~
!1=
2(m - a) + ·º
3
2dV3
-
-
3
sen L BDC=d:y, es docir,
!!(.IDL
d
.2dV3 lf3
BDC, =-¡¡=d. - - =T·
3
3
Mas e1 ánguJo cuyo seno os igual a · ~ equiva1c a 00°. Esto significa que Ja c.orrctcra debe
ser trazada formando \Jn á ngulo de 60º con el
río , independiente de Ja distanc.ia A C.
Aquí vue1ve a aparecer fa misma particularidad que en el prob1ema ar1terior. El resul tado
tiene sentido sólo en determinadas conrlicíones.
Si el punto poblado está s ilu~do de tal manera
que la carretera (cuya línea forma un ángulo
de 60º con la del rfo) pasC1 J)(.ir c1 lado opuei;;t.o
de ]a ciudad A , entonces la so lu ción dada os
inaplicable¡ on este cai:::o hay que unir direct.amente el punto B con JR ciudad A por carrotera
sin emplear en absoluto el río 1>ara el transporte.
¡Cuándo alcanza el producto su málimo valort
Para resolver muchos problemas relacionados
con «el máximo y el mínimo», es decir, para
buscar el valor mayor y el menor de una magnit.u d va·riable, puede emplearse un teorema alge195
l>raico que i!xundnarcmos u continuación. Veamos
el probfoma siguiente:
¿En c¡ué dos pnrtes clebC\ dh•i<lirse un l1úmero
porn q1w su pro d11 c:.l.o n l 1 ~.;111c<~ ol m;h:irno va lor?
Solución
Supongamos que el núm ero dado sea a. Las
partes en que se di\•id o a. sou
a.
u.
2+ :c
y
y -· :c.
E l número x indjca la diferencia de estas partes
con la mitad do a. El producto de ellas es igual a
l~s evidente que el producto de las partes t omadas aumentará en la medida en que disminuya x,
os decir, en In mcclida en que disminuya Ja diferencia ent.re l as mismas. El res ultado ma yor será
cuando x = O, os decir, cua ndo ambas partes
.
l es a 2a .
sean 1gua
Quedamos, pues, en que el número debe dividirse por la m i l. a d. El producto de el.os números , cuya s um a sea constante al canzará su
máximo valor cuando estos números sean iguales
en tre sí.
Examinemos este mismo ejemplo con tres
números.
¿Én qué tres parles debe dividirse un número
para que su ¡>ro<lucto alcance el máx imo va lorí'
Solución
Para t•esol ver aste problema nos apoyaremos
en el anterio r.
Tomemos un número a dividido en tres partes.
Supongamos previamente q11e ninguna de las
196
tres parles es igual <l : • Entre ollas haln·á una
a
3 (las tres no puerlen ser menores que :.., ) . Dicha parte la expresa remos así:
parte mayor que
a
'rambién habrá otra parte menor que
3 , que
represontarcmos con
a
3 -Y·
Los números x e y son posiUvos. La parte tercera
será indudablemente igual a
a
a
Los números a y 3 + X - y represe ntan una
suma igual a la de lns dos primeras partes del
número a, pero la diferencia entre ellas (es d~~cir,
x - y) es menor que la diferencia entre las dos
primeras partes, que era cqui va lente a x + y.
Como hemos visto en el problema ant.orior, el
producto de
: (;+:e-y)
es mayor que el producto de Jas dos primeras
partes del número a.
De esta forma, si las dos primeras partes del
número a son sustituidas por los números
a
3
y
a
3+x-y,
dejando la tercera intacta, el producto aumentará.
Supongamos ahora que una de las partes es
igual ::i ~ • Entonces las oteas <los partes se.
197
presentarán
a
3 +z
RSÍ
a
y ]'" - z.
Si hacemos q,1e 1~R tas dos part.es sean igua les a ~
(cuya suma, 1>or ollo , no so altera), varemos que
su producto :rnrnentn, siendo igual ¿l:
a
3 .
a a.
3 .
a.:~
::r = 27
.
Así p ues, si d núm ero a se d i vide en tres
part.es desiguales , el producto de éstas será mc n o 1~
a3
•
que 27 , e.s docir, menor qu e <:•l produ cto ne tres
facto res i g 11 ~ 1 e ~ quo sum en a..
Por e l rnil'.lmo procedimien t o puede dem ostrnrse este t.oorema parn e u a t r o facto res,
pAra e i n e o, ele.
Examinemos a h orn un ca~o m~ís gc11era1.
Hálle~e el valor de x y de y para quo la e.xpl'osióo :illf alcance h mnyor magnitu d si z + y =
= a.
Solución
Busqu emos l'I va.lor d<.! x mediante el cual
la expresión
xP
(a-$)q
alca nce s u má.xi nw rnag 11 it11d .
Multipliq uemos osLa expresión
obtend remos )fl ~ igu ienl.ü:
por
1
pPr¡q
y
xP (a- .c.)Q
pP
q<l
q ue alcanza 1·~ s 11 rna x 1m a magnitud cu nndo fa
ad quiera la expres ió n i nicín l .
198
Heprcsont.emos así a la
a-x
u.xpn.~sión
1i-x
oI:1t.'enHfa
a-x
p veces
La suma do todos Jos factores será igua) a
_=.. + ..=..+.!..+ ... +
p
]>
p
-.,-
1'
__________-
a-:r.
...._q
+ ~+
r¡
V~CCS
px
=p- 1
. .. -
1/ VCCf•S
, q (a-x)
q
x+a-x = ti,
es decir, será una magnitud coDsln nlc.
Si nos b ~lsa mos en lo dcmoslrndo nnloriormeHt.e (¡>úgs. 1 n4- H.l:J) deduciremos que ol pro,ducto
:r,
X
;;,
-p ·-·--p p
,
,
•
l t - :1;
ll
-.r
ll - :t:
--· - --·--q
q
(]
alcm1z<1 ol nuiximo vaJor al ser ig11all!S i; ui; fact.o 1'08, us docir, c1rnndo
,r
a-
:r.
p = - q- Sa bem os que a - x ·~ 11; :-rnslitnyeudo <~)
nntecedente do la scg\111da i•ttzún y a l 1.c1·a n rlo d
orden de Jos medios, rcs11 lt.nrá
X
p
iY =-q
e~ta
forma, el proch1cto de a.3 -'yq nlca11za
su máxímo vnlor, l'i la gumri :r + y (I~ const.ante,
De
cuando
.% :
y= p : q.
Siguiendo i;emejante rn1.on11micnto puede
moslrar~e
que los produdos
199
de~
Uegan a su valor máximo, si las sumas x + y + z,
x
y + z + t, cte. son constantes, cuando
:e : v : r: = p : q : r, :e : !! : .s : t = p : q : r : u, etc.
+
¡Qué suma será Ja menorl
El lector que deseo abordar la demostración
de teoremas nlgebrnicos de valor práctico, puede
demostrar por. sí mismo el siguiente principio:
1. La suma do dos núm eros, cuyo producto
es consl.ante, alcanza el v a 1 o r m í n i m o
cuando dichos uúmeros son iguales.
Por ojemplo, J>nra el producto 36: 4 + 9 =
= 13, R + 12 r-c 15, 2 + 18 = 20. 1 + 36 = 37
y, por último, 6 + ti = 12.
2. La s uma de varios números, cuyo producto
es invariable, será la menor cuando l as magnitudes de l os números dados sean idénticas.
Por ejemplo, para 2H3: 3 + 12 + 6 = 21,
2
18
6 = 26, ü + 6 + 4 = 19 , mientras
que 6 + 6 + 6 = 18.
Mostremos en una serie de ejemplos cómo son
aplicados en la práctica estos teoremas.
+
+
El tronco de mayor volumen
Problemas
De un tronc() cilJndrico d ebe sacar.se una viga
rectangular dcJ máximo volumen. ¿Qué forma
ha de tener su sección? (fig. 23).
Fi9. 23.
~ºº
Soh.tci6n
De acuerdo con el teorema de Pitágoras, s1
los lados do la i;ección rectangular son x e y,
tendremos
x2
+ y'l. =
ai.
Donde d es el diámetro del tronco. El volumen
de la viga scril el máximo cuando la superficie
de su sección sea también Ja mayor, es decir,
cuando xy alcance la mayor magnitud. Mas si xy
tiene su máximo va lor, también lo alcanzará x 2 y 2•
Y corno la s uma x 2
y2 es constante, e] producto
2 2
x y será el mayor, como dcmoio::tri:imos ant.e$,
cuando
+
x'l.
= y'.! 1
Ó
X
=
!I ·
Por lo tanto, la sección
e u a d r a d a.
dl!
la viga debe
~er
Dos parcelas de tierra
Problema
1. ¿Qué forma ha de tener una parcela rectangular de un área dada, para que la Jongitud
de su cerca sea Ja menor posible?
2. ¿,Qué forma debe tener una JHl,rcela r.ectangular para que, .con una longitud fija de su
cercado, teuga aquélla la mayor área posible?
Soluclón
1. La forma de la parcela rectangular se determina pot· la relación entre s11s lados x e y. El
área de una parcela cuyos lados sean x e y es
igual a xy, y la longitud de Ja cerca 2x + 2y.
Esta última será 1a monor si :r: + y t1ene el
m1rnor
valor.
201
+
Si el producLo x y es constante, la s uma x
y
~onor si x = y. Por lo tanto, el rcclángulo
quo bu~camo~ debe ser un cuadrado.
2. Si x e y son los Jarlos de nnH parcela rectangular, la longit.nd de su cerca sorá 2;c
2y,
y su áren, xy. E ste prodttct.o es el mayor c111rn<l.o
lo es también el prodnc.t.o 4xy, o Süíl, 2x ·2y ;
este último alc.auza :-;u m;íximo valor (s i 1a suma
de sus faclores 2x
2y es constante) cuando
2x = 2y, es decir , ~i la ¡1arcela es un cuadrado.
A la~ pro_piedl-ldes del cuadrado, conocidas por
la geomet.rfa podemos agregar una más: El cua·
es la
+
+
drado es, entre Ios reet.<l11g11los, el que co n un úrea
dada tiene menor ·perímetro; y con un perímetro
dado, mayor úrea.
La cometa
Problema
Búl'q11ose ln formn de unn cometa con 11n
sccl.or circulnr que Lengn Ja .mayor ~u¡u)rficiet
parLicndo <lt' un perímetro prnviamente <iu<lo.
Solución
Precisadas las condiciones <lel prohlenrn, rlebcmos hallar la relación entre la Jongitud deJ arco
ri el sect.or y su radio que nos dé la mnyor ~upcr ­
ficie posi-ble, sin nlt.erar el perímetro dado.
Si el radio de un sector es x y el arco y, el
perímetro l y 1a su pcrficic S, se expresarán ~1 $ Í
(fig. 24).
l= Z:t+ !1.
:t y
s = T=
:1
(/. -2:t·)
2
La magnHud rle S llegti a su máximo valor, con
los valores de ;l: que lo 1>roporcionen tnrnbión a In
ex presión 2:r. (l - 2x), o ~ea , ol cuádruplo de la
202
superfide. Y como la sumn 2x
+
(l -
2x) = l
es una magnitud constanfo, ~u pl'oducto será ol
mayor cuando 2x = l - 2x, de donde
l
x=T,
l
l
Y=l-2·4=2·
De esta forma, un sector con perímetro dado
tiene In mayor superficie cuando su radio representa la mitad del arco (es decir, l a longitud
Fig. 24.
de
~u
nrr·o es igual a l a suma de .los radios; o la
Jongit.ud d<~ l~ línea cur\.'a de s11 perfrnetro l'!S
igua.l a la longitud de' fa. quclrra.rfo.). l~ l ángulo
rlcl sector os 1.1pr:dma1iamcHt.C <le 115°, o sea,
dos l't1<lia11es. L as cunlidl'ules di) vuelo <le ta l
cometa ya o~ 111rn cuc:-:;ti6n ajena a <!ste probJoni41.
203
La construcción de una casa
Problema
En el sola¡ de una casa derruída, donde queda
en pie tan sólo una pared de 12 m de largo, se
pro yecta la constrncci ún de un nuevo edificio
aprovechnndo el muro cxistent.o. La superficie
de Ja nueva casa debe ser de 112 m 2 • Las condiciones económic.as para la obra son:
1. La l'eparació1t <le un metro lineal de pared
vieja equivale al 25 % de lo que cue~ta le va ntar
11
na nueva.
2. El derriho de?- un metro lineal de la pared
vieja y la consl.rncción de una nocva con ladrillo
recobrado alca11z.a el !50% de lo que costaría
levanLarla con material de fábrica.
En tales conrliciones. ¿cómo sería más ventajoso aprnveclrnr la pared vieja?
Solución
S111>011gamo::; quo ::;e conservan x mctl'o8 de
pared y Jos dcmús 12-x se derriban para , con el
material recuperado, levantar una parte de la
pared de la fntura c~sa (fig. 25). Si el valor de
cada metro lineal levanl.ado con ladrillo nuevo
es igual a a, la reparación de x metros de pared
vieja costará
la edificación de los 12 - x roetros do pared costara, al12-t x) ¡ e l resto d e l a
pared, a (y - (1 2 - x)J, es decir, a (y + x - 12);
la tercera pnrte de 1a pared, ax, y la cuarta, ay.
Todo el ti·abajo equivalch·á a
ªZ ;
ax
1.+
=
a (12- x)
2
+a(y +x -
a ( 7.r ···I 8!1)
l.
,
- ·· h(l .
1
204
12) + a..i:+ ay=
La última expres.ió11 llegur!t a su iníuima
maguitud cuando la suma 7x
8y alcance s u
va lol' m tnlmo.
+
Fig. 25.
Sabemos que el área
a H 2; por lo tanto,
no
esta cRsa xy es igual
7x ·By = 56 ·H2.
Si el producto os constante, fa suma 7x
tomará el menor valor cuando
+ By
7:& = 8y,
de donde
7
8 x.
Sustituyendo el vaJor <le y e n la ecuación
Y=
xy =
112
tendremos:
~
zS=H2,
X=
Vi'28 ~ 11,3.
Y siendo la longitud de la antigua pared de
12 m debe desmontarse tan sólo 0,7 m de dicha
pared.
205
la parcela
Problema
Con el
fí11
<lo
con~trnil'
nnn
C.llBil
dü mm po se
pr:Hci.s:iba cc l'car Jn ·¡Hn'e'l <l cstiunda a o~ L e fin .
Co nláha'!',H con .r11 a\'.eriHL para l metros linealc~s
de va lla. A cl emiís, en uno d.e Jos l ados dn la
pamela podía cm pJearse 11nn corca cot1 ~truí da
c.o n a 11 leriorid a d .
En es tas coudicionc.s, ¿cómo lt11l>c> que 0crctll'
In J>fü't.ela rect.nr1g nfo r. pura abarcar fo .rn.riyor
superficie
p o~i Ll o!1
Solución
Supongamos qllc. In Jo11gi L11 d rl e la parcela (según
l a cercn) es igu<d a :i; , y el ancho (es decir, Ja
Fig. 26.
dimensión de la parcela en ]A dirección perpendiC\1lnr a la cerca) equivale a y (jig. 26). En este
caso, para corca r esta parcela fueron precisos
x
2y metros de cerca, de forma que
+
X+
2y =l.
206
El área de )a JHH'c.ela será
s = :rt/ = y (l - 2.y),
que n lc;i nzal'á u11 v.n lor m ii ximo sim 11.1tá1wnnw1üc
r..o n d
va 1or
2y ( l -
2y)
(duplo rlel área), producto do dos factoros, F-iendo l
constante. Por eso, par·a conseg uir Ja nwyol' úrea
de la par.·ccla 1 debe tenor Jugar la signienl.e igua ldad
'2.y = l -
2y,
de donde
t
Y = 4- '
l
:t =l-2y=2.
En o tras Jrnlabras : x = 2y , o¡.:; <h~ci r, fa Jo11git.11d
rle la pnrc.el a d ebe ~~1· el •lollle <le l a é111cliurn.
El canalón de sección máxima
Problema
Hemos el.e doblar on forma •Je canalón una
hoj<i rectangular de chapa (fil( . 27). Su sección
debe tener forma de trapecio isóscele8, lo que
puede conseguirse por <li ver~o~ p.roce<limientoi::,
según se indica en la f ig. 28. ;,C11:íl ha de ser la
a nchura de los costados y qué ángulo d eben for~
mar para que la sección del canalón tenga la
m áxima superficie? (fig. 2fJ).
Soluci6n
Be presentemos por l la a nchurn de la hoja;
por x, la de los costados dob1ados, y por y ]a
del fondo del cana1ón. I nlroduzc.amos mm medida
más, la incógnita z, cuyo valor aparece con toda
claridad en. In fig. HO.
207
La su ~crficie de 1 tt·a µcc.iu que re i1re8trn.ta la
secció n del canalón será
l,a tarea consiste en determinar cuáles han
de ser 1os valores de x, y, z parn qm:1 S alcance
fig. 27.
la mayor magnitud admitiendo qu o la suma 2x-¡- y
(anchura de la hoja) es unn constante l. Pasomos
a las transformaciones:
sz =
(y
+ z) 2 (.t + z) (.x -
z).
8 2 alcanzará S U mflxima magnitud COll los
valores de x, y y z que la proporcionen t.am bién
a 3S 9 •
3S:l puede prcscrntarse eu forma de r>1·oducto
(y
+ z) (y+
z) (x
+ z) (3.x -
3:z).
La suma de estos factores será:
y
+ Z + y + Z + X + Z + :ü = 2y
+ 4.:r =
2l,
208
3:z
=
es .d~cir , es in vorialJie. .Por l\SO, of prQcl.uctoi: de
nu estros cuatro factores llega al máximo cuari4~...
éstos so1l igual~s c:>.n tre. sí, es der,ir
..
y
+z=x+z
y
x
+ z = 3x -
3z.
Por la primera ecuación sabernos que
y= ::e
~
1 A"
Fig. 28.
Fig . 30.
Fig. 29.
+ 2x =
l, entone.o:; :r =JI
De la segunda ec uad ón, rc~ulta
y como y
X
l
= 3·
l
z=2=u·
Como el cat eto z es igual a Ja mi tad de la
hipotenusa X (jig. 30), el ángulo opuesto a.este
cateto será igua'l a 30", y el á ngulo d~ illclinación
de Jos costados equivaldrá H 90º
30° -di' 120º .
+
14 - 05~0
209
En fin, el caunlóu alcanzará le. mayor sección cuando sus doblecos tengan la forma de
3 lados contiguos de un hexágono regular. :~
El embudo de mayor capacidad
Problema
Debemos construir la parte cónica de un
embudo valléndonos de un círculo de hojalata.
Para ello se corta un sector en dicho círculo y,
con el resto , se construye el cono Uig. 31) .
~. Cuántos grados debe tener el arco del sector que
se ha cortado para qn e el embudo alcance Ja
mayor capacida <l posiblo?
Solución
La longitud del arco de aquella parte que se
aprovecha para el cono se rcprosonta con la .x
(en unidades lineales). Por lo tanto, la generatriz
sel'á el radio, R , rlel círculo de hojalata, y la
circunferencia de la base será igual ax. El r·adio r,
de la hase rlel cono , !'C rlet.erminará en la ig un]dad
2nr = ;r,
de donde
X
r ==-
.; 2n ·
La altur.a
g oras, será
·d,~l
cono, según el teorema de Pitá-
H =V u2- r2=
·Vn2- 4~z
(fig. 31). El v olumen de este cono equi valdl'á a
210
Y esta cxprcs10n alcanzu su mayor valor
simul tñneamente con lt\ e.x prcsióu
y con su cuadrado
(
;~ ) 4 L~R2 ~ ( ;1t )2
J
y como
2
2
+ R2 -(_..::...)
=R'.l
(2-)
2n
2n
es un valor constante, el 1Jltimo producto (como
se demuestra en las páginas 195-196) llega a RU
Fig. 31.
m6.ximo valor cuando x tiene una magnitud ta.J,
que
(:n )
2 : [
R2 - (
2: ) J
2 = 2 : 1,
de donde
211
14*
El arco x tieue alrededor de 2956 y, en consécuencia, el arco ctel sector cortado equivaldrá:
aproximadamente a 65 grados.
La iluminación más intensa
Problema
¿A. qué ull.lH'a de l a mesa debe hallarse la
ll ama de u na voJa para que ilumine con la mayor
intensidad <1 una moneda col ocada sobre die.ha
mesa?
Solución
·Puede paroeor quo pnra conseguir el objet.i vo
pror>ue:;to deba colocarse Ja Barna lo má!'> haja
posibfo. Eslo es falso. En esas condiciones , los
-,., e
BH
Fig. 3 2.
rayos de luz cneu muy oblicnos. :rvta.s si se ele.va
l a vela para que los rayos caigan más vertical es,
el foco de luz se al<>ja. Por eso, Ja ilnm inación
más venlajosa es, si n duda, la que se 1·ealiza
desde \m a alt.urn media. Denominemos a e!;t.a
altura con la fo1.1·a x (jig. 32) . La dis tnnc.i a BC,
que media e nt.ro l n moneda 13 y la base
de la
perpend icuJ ar que pasa por la ll ama A, l a desigoa rern <>s con Ja k t.l'él a. Si la claridad de fo ll nma
e
2 12
es i, de acuerdo con las leyes de la óptica, la
lumino~ída.d ser.á expresada así:
i
-=AH'l.
~OSCT-=
i cos a
i
(l' a2 + x~)2
cos «
= --,,.-......,,..
11.2+ x z '
donde a es el ángulo de caída de los
Y como
X
rayo~
A.B.
:1:
cosa = r.os A= AB = -1"""".ír:,"=2=
+:::::x=2=-'
ta lurnino!-\i<la<l serit
i :r:
:l'
3 •
(a2 1 :1: 2) ~
'
E~ta ex1n·esión alcanza su miiximo valor
cuando sin variar la x, :.tdquicra también su
mayor magnitud el cuadrado d~ aquélla
(a2 + x2)3
·
Omitamos el valor del factor i 2 por su magnitud constante y trnnsforrnemos el resto de la
expresión analizada como s igrn~:
x2
1
-
(a2+x2.)3 -- (xi+a2)2
2
)
( 1-
= ( xZ~a~
(1- xll -¡az.az )--
x2~a2) ·
La expresión transformada alcanza su mayor
magnitud cuando la alcanza la expresión
x2~a2
2 (
ll
(
)
1
•¿
-
:t2~a2
) '
por cuanto el factor constante íntroducido, a4, no
influye en el valor do x con el cual el producto
llega a su más elevada magnitud,
213
Partiendo de que la suma de las primeras
potencias de est os factores
ali
x 11 +a2
+ (1-
at
x2+a 2
}-1
-
es \ma magnitud constante, se deduce que el
p rod ucto examinado alcanza su más alto valor
en ando
x2~a2
: { 1-
xz~a2) =2: 1
(véanse las pági::. 195-196).
Tenemos u un ecuació 11:
a2
= 2z2 +
2al -
2a2t
que al resolvorla resultará.
a
x== , ,.-
y .2
~
0,7ia .
La moneda es ilnmin nda con la ma yor intensidad cuando el foco de luz se encuentra a una
altura de 0,71 de la distancia desde la proyección
del foco hasta la moneda . El conocimien to de
esta correlación ayuda a instal ar con la mayor
acierto el alumbrado en los lugares de trabajo.
CAPITULO OCT A YO
Progresiones
..
La progresión .más antig"(a
Problema
El problema de progre8iones .m,.ás antiguo 'Iw ~"~
el de la recom1>ensa al inventor del ajedrez 1 qu~
t iene ya m ás de dos mi) años, sino otro mu~ho
más viejo , rop·artición del pan, registrado en el
célebre papiro egipcio de Rincl. Este papiro,
hallado por Rincl a finos del siglo ·pa::;ado, fue
escrito unos 2 000 años a1ltcs de nuestra · erl:l
y consti.tuye una .copfa de otra obra matcr.nática
aún má~ remota .q ue dat.a seguramente dol tercer
milenio a.ntcs de nuestra era. :t~n tre los problemas
nritmótícos, a.lgebraicos y geométricos que íigu1·an en dicho documento aparece el que trousmitimos en traducción libre.
Entre cinco personas se r~partie1·011 cien
medidas de trigo, de tal suerte que la segunda
recibió m ás que l a primera tanto como le corres. · .. pondió a la tercera más que a l a segunda, a l a
cuarta máR que a la tercera y a Ja quinta .roá~
que a Jn cunrta .. Adem~\~. 1ui; dos prírncras obt.uvicron .<siotc veces rn e nos q uo Jal-' trns 1·esl11 n l..c~.
¿Cuánto correspondió a cada una?
So\uci6n
Es evidente que las cantidades de trigo distribuidas entre los cinco participantes en el reparto
constituyen una progresión aritmética crecien te.
216
Fig. 33.
Supongamos que eJ primer miembro sea x, y la
difer~ncía, y ..
En ese caso tendr~mos:
Parte de ln 1a. .
))
» » 2a .
~
~
1)
3n
~
»
&
4a
»
» )} 5a .
X
:r.+y
x + 2Y
x+3Y
x+4y
De acuerdo con las premisas deJ prob1ema
e·!':.tas dos ecuaciones:
~stahlecemos
+
·,
x+ (x + y) +(x+ 2y) (x + 3y) + (x+ 4y) = 100,
{ 7 [x+{x+ y))= (:c+2y)+-(x+3y) (x+4y).
+
Después de su simplificación, la primera ecuación
será:
~
+
2y = 20,
y la segunda:
1tz = 2y.
Al resolver este sistema resultará
. 2
1
x=13t Y=9lf.
Por consiguiente, ol trigo debe ser repartido
en las siguientes proporciones:
2
5
t
13, 106' 20, 29-g-.
t
383 .
.Algebra en papel cuadriculado
Á pesar de que este problema de progresiones
tiene ya 50 siglos .de antigüedad, en la práctka
escolar, Ja progresión apareció hace relativa.mente
poco tiempo. Aunque en el mam.rnl de Magnitski.
publicado hace doscientos años y empleado en
Rusia durante medio siglo como texto en las
eseuelas 1 se trata de progresiones, no se dan
217
fórmulas gener~les que liguen las magnitudes Q'Ue
figuran en las mismas. Por esa razón, el propio
autor sale airoso de esos problemas sólo a costa
¡ ;
+--1 -·- -...¡ -.. ¡ ··-T-1-
...
!
..!.
:
.!--1--.~-
Fig. 34.
de grandes csluorzo~. Y, sin embargo, la fórmulá.
de la suma oe los miembros de la progresión
artimética puede deducirse por un medio sel)cillo
y gráfico, em pleando para ello el pa-p el cuadri·
culado. En éste, cualquier progresión aritmética
puede expresarse con una figura escalonada. Por
ejemplo, la figuro ABDC, de la fig. 34 ·r epresento
la progresión:
2; 5; 8; H; 14.
Para determinar la suma de los miembros
com.pleta.mos el diseño hasta formar el rectángulo
ABGE y obtendremos dos figuras iguaJes: ABDC
y DGEC. Lo su perficie de cada 1ma represent.a
ln suml\ de Jo~ mi4;)mbros de nuestrn progresión.
~hí que ln doble suma de los miembros es
igual a la superficie del rectángulo ABGE, es
decir:
·ne
(A C
+ CE) ·AB.
Pero AC + CE expresa la Sttma de los miem bros
1'0 y 5° de la progresión; AB representa el número
218
.....
__
.
- -=e -~
Fig. 35.
de miembros de Ja progresión, por eso, el duplo
de la suma:
2S = (surna del primero y el último térmíno) X
X (números de términos) o
._
S-
(primer término + último tét'mino} X
x (número ele términos)
2
El riego de la huerta
Problema
En una huerta hay 30 caballones; cada uno
de ellos tiene 16 m do largo y 2,5 m de ancho.
Durante el riego , el hortelano lleva los eubos
de agua desde el pozo situado a 14 metros del
ex.tremo de la huerta (fig. 35) y da la vuelta al
caballón por el surco. EJ agua que carga. cada
vez le sirve para regar un solo c:,¡ballón.
..
¿Cuál es la longitud del camino que recorre
el hortelano par.a regar toda la huerta? El camino
comienza y termina junto al pozó.
Para regar el primer caballón, el ho_rt~lano
ha de recorrer un camino igual a
14
+
16
+
2 ,5
+
1.6
+
2,5
+ 14 = 65m.
Para regar el segundo recorre
14
+ 2)5 +
= 65
16
+ 2,5 + 1G + 2,5 + 2,5 + 14 =
+ 5=
70m.
Cada nuevo caballón exige andar 5 metros más
que para ir ol anterior. Por ello tendremos la
siguiente progresión:
65; 70; 75; .. . : ()5
+
5. 29.
La suma de sus miembros será
(65+65-t29 ·5) 30 = 4125 m.
220
Para regar toda la l1 uert.a, e l hortelano necesita
recorrur 4, 125 km.
La comida para las gallinas
Problema
Para 31 ga llinas se hn preparado Lllla cantidad
de .reservas de comida o baso de un decalitro
semanal para cada una. Esto se }iacía en el
supuesto de que el núrnorn de gall inas permaneciera invariabl e. Pero, debido a que cada semana
disminuía en una el número de aves, la comida
pre.parada duró doble tiom¡>o del proyect.ado.
¿Qué cantidad de coro ida p repararon como
reserva y para cuánto tiempo fue ca lculadaí1
Solución
St1pongamos que la reserva f1rn de x decalitros
de comida ¡)ara y semanas. Como el alimento
se calculó para 31 galJinas a raz6n de 1 d ccu lit 1·0
por cabeza a la sem<lna, resultn que
:X
= 31y.
En l u primera semana fueron c.on~umidos e l
31 DI; en la segunda, .30; on la tPrcern, 2!), y así
sucesiva.mente hasta 1a ú ltimn
doble, cuando se consumiú
(31 -
2y
+
8f.' 111ana
del plazo
1) 01•.
* El consumo oe comida fue.:
111 somuna = 31 Dl,
2a
»
= 31 - 1 DI,
Ja
»
= 31 - 2 l)J,
= 31 -
(211 -
221
1)
=
.'H -
2y
+
1 DI.
La reservn, por consiguiente, sería de
:r
=
.~o+ 29
3 fy = :lt -
+ . .. +· (31
-
'2!1 + 1) .
La s uma de 2y miembros de la progresión,
el primero do la cual es 31, y el último 21 - 2y+
1, se1·á igual a
+
31y= (31 +31-;2.y-1-1 ) 2y
(63-2y) y,
Y como y no puede ser igual a cero, entonces
tenemos derecho a dividir por y ambos miembros
de la ignalclan , con lo que tendremos
31
= 63 -
2y
e
y
=
16
•le <fondo
X=
3f y = 49G.
Fnero n p roparados 496 DI <le comida pa ra
1{-) sero anns.
Brigada de cavadores
Problema
Un grupo de alwnnos de l a secundaria so hizo
cargo de construir una zanja en la huerta de la
escuela y para eso formaron una brigada. Si
hubiera trabaj ado toda la brigada, la zanja habría
sido cavada en 24 horas. Mas el trabajo fue
comenzado por .\In solo miembro de la brigada.
Poco después se le \mió otro y más tarde un
t.ercero, al cabo del mismo tiempo se incorp oró
un cuarto, y a.si sucesivamente, hasta el último.
Cuando se hizo el balance del trabajo efeotuudo,
resultó que el primero había invertido en el
trabajo H veces más de Líempo que el último.
¿Cuá nto tr abajó oJ úJtiroo?
222
Solución
Supongamos que el último mi(~mLrn de ln
bdga<la tr·al>ajó x horas; siomlo así, el J)dmero
habrá trabajado 11 x horas. .Prosigamos . Si eJ
número de miembros de la brigada es y, el número global de horas de trabajo se determina como
la suma de y miembros de una progresión decreciente, cuyo primer tél'mino es 11a::, y el ú1 Limo,
x, es decir,
'• (11.x + .x) g
1
6xy.
2
Sabemos también que la brigada, compuesLa
por y personas, trabajando simultánea.mente
hubiera terminado la zanja en 24 horas, lo que
quiere decir que para realizar ese trabajo hacen
falta 24y horas de trabajo. Por tanto
Gxv
=
24y.
Como y no es igual a O, la ecuación puede ser
simplificada por ese factor, <lcspués de Jo cual
obtendremos:
($.x z=
_:¿4
y
X
= 4.
Por lo tanto, el último miembro de Ja brigada
trabajó 4 horas.
Hemos contestado a la pregunta ueJ problew
ma, mas si quisiéramos saber el J)Úmero de ollreros con que cuenta Ja brigada no podríamos determinarlo, aunque en la ecuación figuraba este
último con la y. Para tesolver esta cuestión no
se cuenta con dalos suficicnlés.
Las manzanas
Problema
Un hortelano vendió al prim~ro de sus compradores la mitad de las manzflnas do su jnrdín mfü)
223
media manzana; al segundo, la mitad de las
restantes más media; al tercero, la mitad de
cuantas quedaron más media, etc. El séptim.o
comprador ndquidó la mitad de las manzanas
que quedaban más media, agota~do con ello la
mercancía ¿Cuántas manzanas tenía el jardinero·?
Solución
Si el número inicial de manzanas era x, el
primer comprodor adquirió
~ + ..!._= x+i
2
2
2
t
el seguHdo
_!_
(~2 ...
) -!- ~= :r.+ 1
x+1
2.
2
22.
1
el tercero
~
2
( ·- x+1 _ _.r+1 ) + !_:!___
4
2
X
2-
:c+1
2ll
1
el séptil.Uo
x -!-1
~
Tenemos la ccuacióu
x +1
2
+
x+i
2·¿
1_
l
;t:-1-1
23
+
6
1
(;¡;+ 1) ( ·2+
1
22
+ 2ª1 + ...
1 )
+21
= J:,
Hallada la s uma de los miembros de la progr:esión
geométrica comprendida en los parént.esis, rnsuJtará:
X
1
1- 27
y
:1· -=
V - 1 = 127.
EJ hortela no tenía ·127 manzanas.
224
La compra del caballo
Problema
En la aritm~tica d e Magnitski encontramos
un divcl'tido problema que damos n conocer sin
sujetarnos al lenguaje del original:
CierLa persona vendió su caballo por 156 rubios. Mas el comprador se arrepintió de haberlo
adquirido y devolvió el caballo diciendo:
- No me inlerosa comprar el caballo por
ose 'Precio, pues no lo morece.
El vendedor le propuso nuevas condiciones:
- Si te parece elevado ese precio, compra
sólo los clavos de las herraduras y conseguirás
de balrle el caballo. En cada herradura hay 6 clavos; por el primer cl3vo me pagas tan sólo ~
1
de kopek; por el segundo, 2 ; por el tercero,
1 kopek, ele.
El comprador, deslumbrado por las nuevas
condiciones, en su afán do tener gratis un caballo,
aceptó la propuesta, creyendo ·que tendría fJUC
pagar por los clavos no más ele 10 rublos.
¿Cuál fue el importe de fo cocnprai)
Solución
Por los 24 clavos hubo de pagar:
! + ~ +1+2 +2i +2L~ .. .
+224-a kop.
cuya suma será igual a
1
2~.l .2-4
2- t
Es decir 1 cerca de 42 000 rublos. En tales condiciones no da peno. e ntregar el caballo de balde.
15-0580
225
La recompensa del soldado
Problema
De otro antiguo manual ruso de matemáticas,
que lleva el ampuloso título de
Curso completo de m.a temáticas puras elaborado
por Efirn Vottiajovski , cadete de a.rtillerfa y profesor
particular, para uso; y provecho de la j1wentud y
cuantos se e;ercitan en:matemáticas (1795), copio
el siguiente problema.
«Un-sol dado veterano recibe corno recompensa
1 kopek por la J..H'imera horida sufrida; 2, por la
segunda; 4, por la tercera, cLc. Cuando se hizo
el recuento, el soldado resu ltó recompeu[-(a.do con
655 rublos 35 ko pcks. D eséasc saber el número
ele heridas».
Solución
Planteamos la ec1rnci6n
65 535 = 1
+ 2 + 2 + 2ª -12
•,•+
2x- l
ó
65535=
2:x:- 1 .2-1
2
_
1
2X-1 ,
de donde obtend remos :
65 535
= 2X
y
X
= f6
resultado que obtenemos fácilmente por tanteo.
Con este generoso sistema de recompensa, el
soldado debía sel' heri do 10 veces, quedando
además vivo, para ol>tener ()55 rublos y 35 kopeks.
CAPlfULO NOVENÓ
La séptima operación motemó.tica
La séptima operación
Hemos recordado que Ja quinta operación - elevación a potencias- t iene dos operaciones inversas. Si
ab =e,
la búsqueda de a será una de las operaciones
inversas: la extracción de raíz. Para hallar la b
se recurre a la otra: l a logarit.mación. Supongo
que el lector conoce las nociones de logaritmos
correspondjentes a un curso escolar. Para él no
representará ninguna llificultacl encontrar , por
ejemplo, a qué es igual
alog ab.
Es fácil comprender que si la hase del logar itmo a se eleva a la p otencia del logaritmo del
número b se obtendrá el número b.
Los logaritmos fueron descubiertos para acelerar y simplificar el cálculo. Neper, in ventor de
las prim eras tablas de logaritmos, refiere así el
propósito que le a1ümaba:
«En la medida de mis capacidades, me proponía evitar las difíciles y .aburridas operaciones
de cálculo, cu.yo fastidio constituye una pesa227
dilla para mu chos que se d1~dican al ostu<lio dt~ las
matemáticasl}.
En efecto, los logaritmos facilitan y acele!'au
en grado sumo los cálculos, sin hablar ya de que
permiten realizar operacíonos que serían en extremo complejas sí n o los aplicáramos (extracción.
de raíces de cualquier índice).
Laplace escri bió con tod o fundamento que «con
la roducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos dfos, el in ven to de los logari tmos parece haber duplicado l a vida de los astrónomos». El famoso matemático se refería a Jos
astrónomos por cua nto se ven obligados a hacer
cálculos agotadores y de singular complejidad.
Mas sus palabras pueden sor aplicadas con pleno
derecho a todos aquellos que operan con números.
A nosotros, acostumbrados al empleo de logaritmos y al alivio que proporcionan, nos es difícil comprender el asombro y la admiración que
ocasionó su aparición. Briggs, contemporáneo de
Neper, célebre más tarde por su invención de los
logaritmos decimales, escribió al recibir la obra
de aquél: «Con sus nuevos y asombrosos logaritmos, Neper, me ha obligado a trabajar intensamente con la cabeza y las manos. Confío verle
este verano , pues jamás he leído un libro que
tanto me agradara y asombrara como éste».
Briggs realizó su deseo, dirigiéndose a Escocia
para visitar al i o ventor de los logar.itmos. Cuando
se encontraron, Bríggs le djjo:
«He emprendido este prolongado viajo con
el f.in exclusivo de verle a usted y conocer con
ayuda de qué ingenioso 1>rocedimiento y de qué
arte se ha valido -para concebir ese admirable
recurso para los astrónomos: los logaritmos.
Y, por cierto, que lo que ahora más me asombra
es que nadie los hallara antes; hasta tal punto
parecen sencillos después de conocerlos».
228
Los rivales de los logaritmos
Antes de haberse inventado los logaritmos,
la necesidad de acelerar las opeTacioncs determinó
la aparición de unas tablas de otro género, mediante las cuales la multiplicación se suplía por la
resta y no por la suma . Dichas tablas se basaban
en la identidad:
ªb =
(a+b) 2
4
-
(a-b) 2
4
•
cuya veracidad es fácil de comprobar abriendo
los paréntesis.
Disponiendo de cuartos de1 cuadrado, puerle
hallarse el producto de dos sin multiplicarlos .
Basta restar de un cuarto del cuadrado de Ja
suma de estos números el cuarto del cuadrado
rlc su diferencia. Esas mismas tablas alivian
1a elevación al cuadrado y la extracción de la
raíz cuadrada. La tabla de cifrM inversas simplifica también la división.
La superioridad de estas tablas sobre las de
logaritmos estriba en que gracias a ellas se
obtienen resultados e x a et os y no aproximados. Sin embargo ceden ante ellas en lo referente a muchas propiedades, que prácticamente
son de mayor tra.s cendencia. Si las tablas de las
cuartas partes de los cuadrados permiten la
multiplicación de d os cifras, los logaritmos,
en cambio, hacen posible enc,ontrar a 1 m i s m o
t i e m p o el producto de cuantos factores se
quieran y , por añadidura, la potenciación de
e u a l q n i e r grado y puede extraer las raíces
de e u a l q u i e r índice (entero o quebrado) .
Los problemas de interés compuesto no pueden
resolverse con la8 tablas de cumtos del cuadrado.
A pesar de eso siguiernn publicándose Jas
tablas de ct1a'rtos del cuadrado aún rl espnés de
229
aparecer Jas do logaritmos de todas clases. En
1856 se editaron en Francia unas tablas tituladas:
Tabla de los cuadrados de números del 1 al
1 000 millones, con ayuda de la cual se' halla el
producto exacto de números mediante un $ístema.
sencillo en extremo y más cómodo que el de logaritmos. Compue.<;ta por .Alejandro Cos..~ar.
Esta idea !';C les ocurre a muchos que ni sosvechan que está ya superada. Se me. han dirigido
dos veces inv.mtores de .semejantes tnb1aR creyendo se trataba de una novedad, enterándose con
asombro que su invención data de hace tres
siglos.
Otro de Jos rivaJes de los logarit.mos, aunque
más joven, son las tablas de cálculo que figuran
en muchos manuales de consulta técnicos. Se
trata de tablas generales que contienen las siguientes columnas: cuadrados y cubos, :raíces cuadradas
y cúbicas, números in versos, la longitud da la
circunferencia y la suporficie de círculos para
números del 2 al 1 000. Estas tablas, a menudo
muy cómodas para una serie de cálculos técnicos,
son insuficientes¡ las de logaritmos tienen una
esfera de aplicación considerablemente más extensa.
Evolución de las tablas de logaritmos
Hasta hace poco tiempo, en nuestras escuelas
se. empleaban tablas de logaritmos de cinco
cifras. Actualmente se ha pasado a las de cuatro,
por cuanto cubren las necesidades de los cálculos
.técnicos. Mas para la mayoría de las necesidades
prácticas son más que suficientes las mantisas
de 3 cifras, ya que las mediciones comunes raramente se realizan con más de tres cifras.
El empleo de mantisas con pocas cifras es
bastant~ recie11tc. Hecuerdo los tiempos en los
230
que en nuestras escuc1as ~e empleaban voluminosas tablas de logaritmos ele 7 cifras, que füerE>n
su~tit.uidos por los de 5 sólo despu·és de duro
forcejeo. Al aparecer en 1794 las tab1as de logaritmos de 7 cifras fueron tachadas de novedad
inadmi.~ ible. Las primeras tablas de logaritmos
decimales, confecciona das por el matemátfoo
ing1é~ H enr y Bl'iggs, e,n 1G24, tenían 14 cifras.
U no~ nños después Andt•ia n Vlncq, matemático
holandés, redujo si.is tablas n ·1 O cifrM.
Como vemos, la evolución de las tablas corrientes de logaritmos hn sido on sentido r~sfricti­
vo, pasando de las mantisas de cifras num·e rosas
a otras más cortas, proceso que no ha terminado
aún en nuestros días, porque todavía l1ay quien
no comprende que la precisión en los cálculo~
no p1wde superar la exactit.\Hl de las mediciones.
La reducción do las mantisas acarrea dos
impol'tRntes consecuencias prácticas; 1) la sensible disminución del volumen de las tablas v
2) la correspondiente simplificación de su empleo-.
y, por lo tanto, la aceleración de los cálculos
que ~e efectúan con ellas. Lns tablas de siete
clfras ocupan cerca de 200 páginas de gran forJil<lto; las d e 5, 30 páginas, la mitad de formato
que las anteriores; las de 4 decimales ocupan un
espacio diez veces menor, reduciéndose a dos
páginas cuando se imprimon en formato grande,
y, las de 3 pueden lim it.arsc a una sola página.
En cuanto a. rapidez en fas operaciones, los
cálculos con las tablas de 5 cifras requieren la
tercera parte de tiempo que nl operar con l as de 7.
Curiosidades logarifmicas
Si las tablas de 3 ó 4 cifras sa tisfacen completamentü las necesidades lognrít.micns <le 1a vid~
231
pn\ctica y los cálculo~ técnico~ . en c.am.bio los
investiga.do1·es te6ricos se ven obligados a manejar
ta.blas mayores incl uso que las de 14 cifrn~ de
Briggs. En realidad, Jos logarit mos son, en Jn
mayoría de los casos! uu número irraci onal que
.no puede ser expre~ado exactamente por mu chos
gua rismos qne lo formeu: los logaritmos de la
mayoría de los números, por muchas cifras que
tengan se expresan s<)lo apro:x ünadamento, aumentando su exactitud a medid a que so toman m ás
cifras para fa manLisa. En los cálculos cie11tíficos, 11ay ocas iones on que resultan insuficientes
las t ablas de 14 cif1·as*, pero entre los 500 ti pos
de
tablas
]ogarít.mícas, publicadas dosde
que éstas fuero11 in.ventad::is, ol invcst.igador
puede encontrar s iempre aquel1 as que le
satisfacen.
Recordemos, por ejempl o, las tablas de 20 cifras
para números <lel 2 al 1 200> publicadas en
Francia por Callet (1795). Para un g1·u1)0 de
números todavía máH limitado hay tablas con
enorme cantidad de cifras, es un verdadero milagro logarítmico cuya exisl.enda , como he podido
comprobar, era desconocida por muchos matemáticos.
He ·aquí estas tablas gigantes, todas ellas de
logaritmos neperianos**.
Las tablas ele 4.8 cifras de Wolfram, par.a
nú~eros inferiores a 10 000;
las tablas do 61 cifras> de Sharp;
• Por cierto quo lns t.ahlas de logaritmos do 14 cifras,
de Briggs, s6lo comprond<in del número 1 ni 20 000 y del
90 000 al 101 000.
•• Se llam an nepor'u1nos o nflturalos l os logaritmos
que a diforencia de los dccimfllcs, cu ya basa es 1O, tienen
como base el niíme.ro 2;i18 ... u los que n os refcr iromos
m ás adolanle.
232
Jns La bias de 102 c·.ifra8, de Parkhmst, y por
úl1.imo, la nltracurio~icl<id log-arHmica:
las tablas de 200 cifras, de Adams.
Por cforlo que en éstas, tN1emos, no unas
la hla.s, sí no los logar.ítmos naturales de cinco
números: 2, 3, 5, 7 y 10, y fo recíproca (260 cifras) para transformarlos a decimales. Mas no es
di.íícíl comprender que disponfo11do ya de Jos
logaritmos de estos cinco uúmeros , con una
simple adición o multiplicación, se puede obtener
el logaritmo de multitud de números compuestos:
por ejemplo, el logaritmo de 12 es igual a 13
su ma de los logaritmos de 2, 2 y 3, etc.
Como curiosidad logarítmica podría hacerse
referencia a la regla de cálculo. «logaritmos de
marlcra», si no se hubiera transformado, por su
comod.idad, en un inslrumento de cálculo habitual
entre los técnicos, como los áhaco1-1 docimafos para
Los contables.
Debido a la costumbre ya no af:ombra ese
instrumento, basado en el principio de los
logaritmos, annque los que lo manejan pueden
dosco nocer los.
Los logaritmos en escena
.El trnco más sorpl'endente de cuantos han
shlo present.;idos ante el púh1ico por calculadores
profesionales es, sin duda, el siguiente:
Enterarlo por Jas C.:\rteler<1s do que un notable
calculador se disponía a extraC\1' de memoria las
raíces de elevados índices de números muy grande.e; , propara usted en casa, pacientemente, la 31ª
potencia f1e nn númoro cunlqufora y se dispone
a hacer fracasar al cale u li~t.a con su gran número
de 35 cifr::H;. En e] momento oportuno ge dirige
233
al cnlc.ulador con las siguientes palabras:
- E~o estú hien, ¡pero pruebe a e.:draer
la raíz, cu yo índice es 31, del siguiente
número de 35 cifras! Tome nota, se Ias voy
a dictar.
El calculador toma la tizo., pero ya antes de
quo pronuncie usl;ed la primera cifra, él ya ha
encontrado el resuJtado: 13.
EJ ca1cu1ad or sin saber el número , ha extraído
su rnh, siendo, ndemás, de grado 31; lo ha hecho
de memoria y. por añadidura, ¡con rapidez de
relámpago! ...
Usted so maravilla y descorazona, aunque no
ha sucedido naila extraordinario. El secreto
resírle en que no existe más que un número ,
precisamente el 13, que elevado a unu potencia
cuyo ex.ponente sea 31, dó un resultado de 35 cifras. Los númoros menores a 13 dan menos de
3G cifras, y los mél yo res, más.
(,De dónde sabía. eso el calculador? ¿Cómo
halló la cifra 13? Se sirvió de los logaritmos, de
logaritmos con d o s e i f r a s de mantisa , que
recuerda de menioria, para los primeros 15 ó
20 números. Aprendérselos no es tan difícil
como parece, sobre todo si se tiene en cuenta que
el logaritmo de un número compuesto es igual
a la suma de los logaritmos de sus factores primos.
Recordando bien los Iogal'itmos de 2, 3 y 7* se
conocen ya los logadtmos correspondientes a los
10 primeros números; para saber los de la 2(1 decena (del 10 al 20) hay que acordarse de lo::; .logaritmos de otro~ cuatro números.
A cualquier calculador profesional le es fácil
conservar en la memoria la siguiente tabla de
• Recordemos que log 5
=
234
log
~O
= 1 -
log 2.
logal'itmo1:' do dos
c.Hrn ~:
CiíP s
r.•og.
0,30
0;48
11
12
1,04
0,60
1.3
1,11
1,15
1,18
1,20
Log.
Cifras
2
3
4
5
O,iO
()
7
8
~)
·14
0,78
0,81)
15
0,90
17
18
19
rn
0,95
1 ,08
1,23
1,26
1,28
El truco matemático que los ha llenado de
nsombro consiste en lo siguiente:
.
l og 31/(35
·v . c1frits)
= 34 ..•.
31
1rncd~ erwontrarso
El logaritmo buscado
34
3f
y
31
34 99
e11tre
o entro i ,09 y J ,13.
En este intervalo sólo se encuentra el logaritmo de un número entero 1, 11, que es el logaritmo
de 13. De esa manera es como se halla el resultado
que los ha deja.do perplejos. Clal'o que para lrncer
todo esto mental y rápidamente hay que disponer del ingenio y la destreza de un profesionaJ,
pero en esencia, la cuestión es bastante sencilla.
Cualquiera puede realizar traeos análogos, s i
no de memoria, al menos, por escrito.
Supongamos que le proponen resolver d
tliguient.o pl'oblema: ox tracr la raíz dt~ índice ()/¡
de un número de 20 cifrns.
Sin indagar de qué númern se trata puede
usted ofrecer el r esultado: la rníz es igual a 2.
En efecto
log 6·~/(2.ü
cih·as) =
19
•
6
4· ·
235
por lo tanto debe estar cornprendiclo entre
y
1
~¡ 9 , es docir, entre 0,29
!~
y 0,32. Tal logaritm.o
para número entoro no puede ser más que uno;
0,30 . .. , o seu, el logaritmo del número 2.
Ustell podría desconcertar definiti vament.e al
que Je planteara el problema, anticipándole el
número que él se disponía a dictarle: el famoso
número del «ajedrez~
264
= 18 446 744 073 709 551
616.
Los logaritmos en el corral
Problema
La llamad a t·ación alimenticia de «sostén»,
(es decir, el alimento mínimo que cubre exclusivamente las calorías, que consume el funcionamiento de los órgRnos internos, el restablecimiento
de las celulas qi.1e perecen, etc.)* es proporcional
a la superficie externa del cuerpo animal. Conociendo esto hallar las calorías necesarias para la
ración alimenticia de sostén de un buey que
pesa 420 kg. Se sabe que en esas condiciones, un
buey que pesa 360 kg necesita 13 500 calorías.
Solución
Para resol ver es Le 11robJema prácticoir de la
esfera de la ganadería, además do recu';rir al
álgebra debe utilizarse la geometría. De acuerdo
con las condiciones del problema, las calorías
buscadas (x) son proporcionales a la superficie
• A diforencia de la ra.ción ele producción, es decir,
el alimento destinado a la producción ganadera , debido al
cual se rnuntiene el ganado.
236
exte rna (s) dol cuer po d(!l nn imal , es decir,
:e:
$
13 500
=-:;;-
donde S1 es l a superfício exte rna del buey, que
pesa 630 kg. La geometría enseñn que las superficies (s) de cuerpos semejantes son proporcionales
al cuadrado de s us m edid as lineales (l), y Jos
volúmenes (y, poL' consiguiente, el peso) son
proporcionales al cubo de las medidas linea los .
Por eso
o sen,
de donde
x
13 500
=
x = 1:!500
3V (
·V4202
420 ) ~ =
Voao~
3v;
()30
ªV,,r ( T2 )
2
,
.
.Empleando las f.aulas de logari tmos se encuen tra que:
X=
10 300.
E l buey necesita 10 300 calorías.
Los logaritmos en la música
A los músicos raramente las atraen las mat,emáticas. Aunque en su mayoría, sienten respeto
por esa ciencia, prefieren mantenerse alejados de
ella. Sin embargo, los músicos, incluso los que
como el Sallerí de Pushkin menosprecian el álgebra en l a armonía , se l as tienen que ver con
l as matemáticas más a men udo do lo que ellos
mismos suponep. y, por añadidura, con cosas tan
tcrri.bles como los logaritmos.
237
·' '
'
. prnposll.o
este
me pe.rm1to
transcJ'I'L'11' e1
fragmento de un al'lículo de Huestro difunto
profesor de Jísica, A. Eihen vald *.
«A mi comvaíiero de gimnasio le gustaba
tocar. el piano, pero no le agradaban las matemáticas; incluso manifestaba en tono despectivo que
la música y las matemáticas no tienen nada de
común: «Es cierto quo Pitágoras halló ciertas
correlaciones {!ni.re las vil.naciones del sonido;
pero precisamente la gama de Pitágoras resultó
innplic.able J>ara nuestra música».
Imagínense lo desagradable de la sorpresa de
mi compañero al demostrarle que al tocar sobre
las teclas dol piano moderno, se toca, hablando
con rigor , sobre logaritmos.. . Efectivamente: los
llamados «grados» da tonalidad de la escala cromática no son equidistantes ni por el número de
vibraciones ni por la longHud do las ondas de los
sonidos respectivos, sino que representan los
1 o g ar i t m os de estas magnitudes. La base
de estos logaritmos es 2, y no 10, como se admite
en otros casos.
Supongamos que Ja nota do de la octava ruás
baja -la r.eprcsento.mos con el e e ro- está
d.eterminada por n vibraciones por segundo. En
este caso, el do de la primera octava producirá
al segundo 2n vibraciones; ol do de la m octava
p1:oducfrá n .2m vibraciones, etc. Expresemos
todas las notas de la escala cromática del piano
con los números p 1 tomando el do de cada octava
como nota cero; entonces, la nota sol será la
nota 7ª, el la, la 9ª, e Le.; la 12ª será do nuevo
el do, aunque <le una octava más alta. Y como
en la escala cromática, cada nota siguiente tiene
1\ .
* Fue publicado on al C<ilendario astron6mico ruso
de 191O bajo el título de A cerca de las pequeñas y grandes
distancias.
238
y ·2
1
más vihrnciones que 1n anterior, ent.ont.es
el número de éstas de cualquier tono puede ser
expresado cou la fórrm1la
N11m=it·2711 (l-if2)P.
Aplicando
los logaritmos a esta f órmul<1 ,
obt,enrlremos :
.
.
log 2
Jog Npm = )og n+m iog 2+p~
o
log N pm= log 11
+ ( 111+ f, ) log 2,
al tomar el riúmero de vihracioues del do más
bajo como unidad (n = 1) y pasando los logaritmos al sistema de baso 2 (o siroplemento tomando
log 2 == 1), tenemos:
1011
"
N prn =m+L
12 .
De aquí vemos que los números do teclas del
piano constituyen logaritmos do la cantidad de
vibraciones de cada uno de Jos sonidos correspondientes*. Podemos incluso decir que ol número
de la octava forma la e ar a e ter í s t i e a,
y el número del sonido en la octava dada** es
la m a u t i s a de este logar itmo ».
Por ejemplo, en el tono sol de la torcera octa7
va, es decir, en el número 3
(~3,583), el
12
número 3 es la caracteristica del loga·ri tmo del
7
número de vibraciones de este tono y
(~0,583) ,
12
la mantisa del mismo logaritmo de base 2; po1·
consiguiente el número de vibrnr.ioncs es 2ª·6 83 ,
+
0
* Multiplicados
por 12.
Dividido por 12.
239
o sea, es 11 ,98 veces mayor c¡uo el número de
vibraciones <lel tono do de la primera octava.
Las estrellas, el ruido y los logaritmos
Este título, <1uc trala rle e.osas a J>rimcra vista
t.a n heterogéneas, no pnreco Sl:!l' eJ más Üldicado
para una irn1oclia de las ohras de Kuzmá Prut-
kov*, mas, en r·ealidad, se ocupa de las esLre llas
y del ruido en estrecha conexión con l o:-; log~rit­
mos.
E l ruido y las est.rollas aparecen aquí juntos
porque tanto Jn intensidad del sonido como la
luminosidad de las est.rollas se calculan de la
misma manera: mediante la escala logar~tmica.
Los at;trónomos dividen las esLrellas, según
el grado de luminosidad visible, en a~tros de
primera magn ih1cl, do segunda, tercera, etc. Las
magnitudes con!:>ec.uti vns de las estrellas son
rnprescntadas corno miembros do una progresión
aritmética. Mas la luminosidad física de las
estrellas varía de acuerdo con otra ley, la luminosidad objetiva constituye una progresión geométrica, con una razón igual a 2,5. Es fácil comprender que la «magnitud» de una estrella no es
otra cosa que el logaritmo de su luminosidad
física. Por ejemplo. una estrella de tercera es
2,ss-1 (es decir, f> ,25) vece8 más luminosa que una
estrella de primern magnitud. En pocas palabras:
al establecer la luminosidad visible de una estrnlla, el astr6nomo opern con las tablas de logaritmos de base 2 ,5. No me d etengo con máR detalle en estas interesaute~ correlaciones por cuanto
• Kuzmá Prutkov es el nombro de un imaginario
autor de fogeniosos a foriswos. El stiudóniuio corresponde
~ los escritores l'Uso~ hcrmanns Zhemch úzhn\kov y a
A. Tolstoi.
240
en otro de mis libros , A stronomta Recreatt11a, se
dedican a ello suficientes páginas.
De la misma fo rma se calcula intensidad del
sonido. La influencia nociva de los ruidos industriales en la salud del obrero y en su productividad
incitó a elab orar un método para precisar exactamente l a intensidad numérica del ruido. La unidad de esa intensidad es el bel (prácticamente se
em plea el decibel, décima parte del b el). Los
siguientes escalones de sonoridad: 1 bel, 2 beles,
otc. , (en la práctica, 10 decibeles, 20 decibeles,
etc.), constituyen para nues tro oido una progresión aritmética. La duerza» física de estos sonidos
(energía, más exactamente) constituye una progresión geométrica cuya r azón es 10. A la diferencia de intensidad de un bel corresponde la
relación de f uerza de sonido 10. Por lo tanto, la
in tensidad del son ido expresada en bel es será
igual al logaritmo decim al de su intensidad
física.
Esto aparecerá más claro si examinamos algunos ejemplos.
El tenue rumor de l as hojas se considera como
de 1 bel; la conversacl.ón en voz alta, 6 ,5 beles;
el rugido del león , 8, 7 beles. De aquí so deduce
que, por la fuerza dal sonido, la conversación
supera al susurro de las hojas en
1.06 •5 - 1 =i.05 •5 .....:316 000 veco.s.
El rugido del le6n es superior a la con versaci6n
en voz al ta en
108 • 7 - 6 •6 =102 • 2 = 158 veoos.
El ruido cuya- intensidad es superior a 8 beles
se considera perjudicial para el organismo hwnano. Este margen es rebasado en ·muchas fábricas,
donde se producen ruidos de 10 beles y más;
el golpe de martillo sobre láminas de .aoero
jll-0!116
241
ocasiona un ruid.o de 11 beles. Estos ruidos son
100 y 1 000 veces más fuertes que la norm a 1>ermitida y de 10 a 100 veces más intensos c1ue los más
estrepitosos de las cataratas del Niágara (9 beles).
¿Es forLuito que al calcular l a luminosidad
visible de las estrellas y al medir la intensidad
del sonido nos refiramos a l a dependencia logarítmica existente ontre la magnitud de l as sensaciones y l n irritación que éstf),s ocasionau?
No. Ta nto l o uno como l o otro son efectos de
una misma ley (llamada d ey psicofísica de
Fechner») que d ice así: la m agnitud de l a sensación es proporcional al logaritmo de la intensidad
de ir.l'itac ión.
Vemos, puC:\s, cómo los logaritmos van inva<.l iendo el campo de la psicología.
Los logaritmos y el alumbrado eléctrico
Problema
La causa de que las l ámp aras d e gas (con
frecuencia se les llama erróneamente « de m edio
vatio») alumbren más qlle las de vacio, a un
teniendo filam ento metálico del mismo m a terial ,
consiste en l a diferente tem pera tura del fi )amento. Según una regla do física, la cantidad
general de luz proyectada con la incandescencia
blanca aumenta en proporción a la potencia de
exponente 12 de la temperatura absoluta. E n
consecuencia hagamos el s iguiente cálculo: det erminar cuántas veces u na lámpara, «de m edio
vatio», ·cuya temperatura de filamento es de
2-500° por la escala absoluta (a partir de -273º)
·despide más Juz q 110 otra de vacfo, cuyo fi ln· mento .•llega hasta 2 200º de temperatura.
242
Solución
Representando con la :x la relación buscada,
tenemos la siguiente ecuación;
.:
:.t:=
( 2500 )
2200
12
(
=
25 )
22
12
,
·de .donde
iog :x
= 12 (log 25 -
log 22)¡ x
= 4,6.
La lámpara de gas despide 4,6 veces más Juz
qun la de vacío. De ahí que si esta última equivale a 50 bujías, la primera, en las mismas condiciones, produce 230 bujías.
Hagamos otro cákulo: ¿Cuál será la elevación
de temperatura absoluta (en tanto por ciento)
necesaria para d u p l i e a r la luminosidad de
la lámpara?
Soluci6n
Planteemos la ecuación:
a:
( 1+100
)12 =2,
de donde
log(1+1~0)=1~~2
Y .x=6% .
Veamos ahora en qué proporción (en tanto
por ciento) aumentará la luminosidad de una
lámpara si la temperatura absoluta de su filamento so eleva en el 1 %•
Soluclón
Si resolvemos la e.<mación por medio de logaritmos, tendremos:
X=
f,0f 111 ,
de donde
z=í,13.
.243
J...a luminosidad crece en el 13% .
.AJ calcular la elevación de la temperatura
en el 2% veremos que el aumento de ]a lumínosidad es del 27 %, y con una elevación de temperatura en un 3 %, aumentará la luminosidad en
el 43 %.
Esto explica por qué la industria de lámparas
eléctricas se preocupa tanto de la elevación de
la temperatura del filamento, siéndole de gran
valor cada grado que logra superar.
Legados a largo plazo
¿Quién no ha oído hablar del consabido
número de granos de trígo que, según las leyendas,
pidió como recompensa el inventor d@l ajedrez?
Esta cantidad se forma duplicando sucesivamente cada uno de los números obtenidos; para
el primer escaque del tablero, el inventor pidió
un grano; para el segu ndo, dos; etc. A cada uno
de los escaques le corresponde el doble que al
anterior, hasta llegar al 64 escaque.
Mas crecimiento tan vertiginoso se da, no s6lo
duplicando sin cesar la cifra anterior, sino con
una norma de crecimiento notablemente más
moderada. Un capital que produce el 5 % anual
a interés compuesto, aumenta cada año 1,05 veces.
Parece éste un crecimiento de poca consideración,
mas al cabo de cierto tiempo el capital llega
a alcanzar grandes proporciones. Esto explica
que después de transcurridos muchos años de ser
legada una herencia crezca de forma insólita.
Parece extraño que dejando el finado una suma
harto modesta se convierta ésta en un enorme
capital. Es bien conocido el testamento de Franklin, famoso estadista norteamericano. Fue publi244
ca do en Recopilaci6n ck diversas obras ile Benjamin
Franklin. He aquí un fragmento de él:
«Dono mil libras esterlinas a los habitantes
de Bostón. Si las aceptan, estas mil libras, deben
ser administradas por los vecinos niás distinguidos
de l a ciudad, que las concederán en préstamo
al 5%, a los artesanos jóvenes*. Al cahQ
cien
años esta suma se elevará a 131 000 libras estér~
linas. Deseo que entonces sean empleadas, "fQO :OOO
libras en la construcción de edificios públicos,
y las 31 000 restantes concedidas en crédito por
un plazo de 100 años. Al cabo de este tiempo la
suma habrá llegado a IÍ 061 000 libras esterlinas,
de lai:- cuales 1 060 000 dejo a disposición de los
vecinos de Bostón y 3 000 000, al municipio de
Massachusettes. En lo sucesivo no me atrevo
a seguir extendiéndome con más disposiciones».
Franklin ,J que dejó una herencia de 1 000 li ~
bras, distribuyó millones de ell as. Y no se trata
de ningún malentendido. El cálcul o matemático
confirma que las disposiciones del testador son
ciertas. Las 1000 libras aumentaron cada año
en 1. ,05 veces y, al cabo de 100 afios se con virtio~
.ae·
ro en
~
= 1 000 · i ,05100 libras.
Esta expresión puede caleularse mediante l os
logaritmos:
log x
=
log 1 000
+
100 log 1,05 = 5,11893,
de donde
:&
=
131 000
de acuerdo con el testamento. En el segundo siglo
las 31 000 llegaran a
y= 31 000-1.,051
ºº·
• Por entonces no había en América instituciones de
crédito.
24ó
<la donde, al aplicar los logaritmos resultará:
y= 4 076 500
suma· que se diferencia muy poco de la señalada
en el testamento.
D ~jemos a juicio del lector la solución del
sigµiente problema, qu.e aparece en la obra Los
señores Golovliov, de Saltikov~Schedrín:
«Porfíri . Vladímirovich está en su despacho
es((ribiendo cantidades en hojas de papel. Trata
de saber cuánto dinero tendría si los cien rublos
que Je regaló .su abuelo al nacer, en lugar de ser
gastados por su nrnclre, hubieran sido depositados
cm la caja de Ahorros. Sin embargo, el resultado
no es muy elevado: ochocientos rublos».
Si su ponemos que Porfiri tiene a la sazón
50 años y, admitiendo que hubiera hecho bien
el , cálculo (poco probable, pues sin duda alguna
desconocía Jos logaritmos, 1>or lo que no podría
resolver problemas de interés compuest.o) hay
que establecer qué tanto por ciento concedía en
aquellos tiempos la Caja de Ahorros.
Interés continuo
En las Cajas de Ahorro, el interés del capital
suma al depósito. Si la adición ~e hace con
más frecuencia. el capiLal crece más de prisa por
cuanto forma el rédito una suma mayor. Tomemos
un sencillo ejemplo puramente teórico. Admitamos que se depositan 100 rublos en la Caj a de
Ahorros al 100 % anual. Si se acumul a el interés
al depósito, al cabo del año sumarán 200 rublos.
Veamos ahora qué ocurre si el _porcentaj e se va
~umando al capital inicial cada medio año. Al
finalizar el primer semestre llegará a
!;C
100 mblos ·1,5 = 150 rublos.
246
Al segu n do semestre:
1.50 rublos .i.,5 = 225 rublos.
Si la adición se realiza cada 1/3 de año , serán:
1.00 rubl os ( t
!) ~
3
237 l'\tblos 03 kopcks.
Hagamos m ás frecuentes los plazos de acumul ación del rédito al capital depositado: a O,1 ·
ele año; 0,01 de año; 0,00'1 de año, etc., y veremos que los 100 rublos, al cabo del año se transforman en
100 rublos .f, 11º
~ 259 rublos 37 kopeks
100
»
t ,01100
~ 270
»
48 kopeks
100
1>
·i,00i1ºººº ~ 27i
»
69 kopeks
Las matemáticas su¡>eriores demuestran que
re duciendo indefinidamente los plazos de acumulación del rédito devengado al depósito , éste no
crece infinitamente, si no que se aproxima a un
cierto límite, que equi vale más o m eno·s* a 271
ru blol'i 83 kopeks.
Un capital depositado al 100 % no puede crecer en un año más Allá de 2, 7183 veces, aunque
fuera acumulándose el interés al capital cada
segundo .
El número "e"
El 2, 7t 8 ... obtonido, n úmero que desempeña
én las matemáticas su periores un papel trascendental (qllizás tan impor.tanto como el famoso n)
tiene un signo especial de expresíón: l a e. Es un
número irracional que no puede ser expresado
con n ¡nguna cifra ex acta**, pero se calc11l a c.on
"' Tomando l os kopeks por aproximación .
Además, lo mism o que d uúmcro n, es trascen~
<lente , es dech-, no 1rnecle ser oht.e nido com o result~1<lo de
1a 80luci6n de ninguua ocuació 11 algdira ica con coefi-
**
cientes entfJros .
247
la aproximación deseada, mediante lu siguiente
serie:
1+ : + /z + 1.!.a+ 1.2\.4+1.2.! .4.s+ · · ·
Por el ejemplo de capitalización expuesto
puede verse que el número e es el límite de la
expresión
(1+{- )n
para un incrcmonto ilimitado de n.
Por numerosas razones, que no procede expli-
car aquí, es de suma conveniencia tomar el número e como base del sistema de logaritmos.
Tales tablas (de dogaritmos naturales») existen
y se aplican en gran escala en la ciencia y la
técnica. Aquellas grandes tablas de 48, 61, 102
y 260 cifras, a las que nos hemos referido más
arriba, tienen precisamente como base el número e.
Con frecuencia el número e aparece allí donde
menos se sospecha. Supongamos, por ejemplo,
el siguiente problema:
¿En qué partes debe dividirse el número a
para que el producto de todas ellas sea el mayor?
Ya sabemos que cuando la suma de factores
es invariable, su producto será el mayor cuando
los factores sean iguales entre sí. Pero, ¿en
cuántas partes 110.y que dividir a? ¿En dos, en
tres, en diez? Las matemáticas superiores cnseiían.
que se obtiene el producto mayor cuando los
factores adquieren valores lo más cercanos posibles al del número e. Por ejemplo: 10 debe dividirse
en tal cantidad de partes iguales que cada una
de ellas se aproxime cuanto pueda a 2,718 ...
Para ello hay que encontrar el cocien~o
2,71~ ... =3,678 ...
248
Mas, como no es posible dividir eh 3,678...
partes iguales ha y quo l1acerlo por la cifra entera
más próxima, por 4, y obtendremos el producto
mayor de los sumandos de 10, si éstos son iguales
a ~ , es decir, 2,5.
Quiere decirse que:
(2,5)' = 39,0625
es el producto mayor que puede obtenerse multiplicando los sumandos iguales del número 10.
En efecto, dividiendo 10 en 3 ó en 5 partesiguales,
los productos de éstas son menores:
(
i~
)3 =37,
10 )()
=32.
(5
Para conseguir el producto mayor de las
partes iguales del número 20, éste debe dividirse
en 7 partes, puesto que
20: 2,7t8 ...
=
7,36
~
7.
Para obtener el producto m ayor de las partes
iguales del número 50, éste debe dividirse en
18 partes, y 100, en 37, puesto que
50: 2,718 ...
=
100 : 2., 716 ...
=
18,4,
36,8.
El número e desempeña un enorme papel en
las matemáticas, la física, la astronomía y en
otras ciencias. Veamos algunas de las cue.stiones
para cuyo análisis matemático hay que valerse
de este número (la cantidad de tales cuestiones
podría ampliarse indefinidamente):
la fórmula barométrica (la disminución de la
presión con la altura):
la fórmula de Euler;
la ley del enfriamiento de los cuerpos;
!249
la <lesintogr<lción radiactiva y la edad de la
Tierra;
las oscilaciones libres del péndulo;
la fórmula de Tsiolkovski para la velocidad
del cohete;
los fenómenos oscilatorios en un circuito
radiofónico;
el c.rocimiento do Ja~ células.
Comedia 'ogarítmica
Problema
Como complement.o a las comedias mnternáUcas, que el lector tuvo ocasión de conocer en el
capftnlo V, vrnsontamos un e.aso má!-; del mismo
género: la «<lcmostrnción» de la desigual clad
2 > 3. Esta vez inte1·viene la logaritmaci6n. La
«comodín» empieza con In ctcsigualdad
1
1
4>8,
eme es completamente cierta. Después s,igucn las
trn nsformacioncs
qno tampoco inspira de8confiam~a. A un Húmero
mayor Je corresponde un logaritmo también
mayor; por 1o t~nt.o
· 2 log 10 (
~) >3log10(; ).
Después de clividir ambos miembros de la designaldad por log 10 ( ~ ) , tenemos 2 > il. ¿ D6nde
está el error de es t.a d.emostración?
2t>O
•
Solución
El error reside en que al simplificar por
log10 ( ~) el signo > no fue sustituido por <;
entre tanto, era necesario hacerlo, por cuanto
log10 ( ~ ) es u n número negativo. [Si no se hubieran ap1icado los logarit.mos vulgares, sino
otros menores que (
el log1 0 ( ~ ) hubiera sido
positi vo, aunque entonces no habríamos podido
afirmar que a un número mayor coITesponrle un
logaritmo también mayor.!
i ),
Expresar cuaJquier número tan sóro
con tres doses
Problema
Termi nemos el Hhro con 1111 ingenioso rornpecabozas algebraico q110 distnijo n los doJegados
de un congreso físico celobra<lo c11 Odcs:i. Proponemos el siguiente problema: ex presar cualquier
número, enLero y positivo, medianl.e tres dosos
y signos matemáticos.
•
Soluctón
Mostremos en un ejemplo la solución de est.o
probl ema. Supongamo::1 que el níimero nado e~
el 3. En este caso el probl ema se rflsuel ve H1'Í:
3 = - log 2 log2
·v.,
r-;r-::-
r ·., 2.
Es fácil convencerse do l a veracid ad rle tal
igualdad.
En efecto:
vv
1
'V2=l(21 /2)l/~ ¡ l/Al=2:!'
log 22 2-• = 2- :1, - log22.-a = 3.
261
=:. 22- •
Si el número dado fuera 5, resolveríamos el
problema por los mismos procedimientos:
5= -logz lo¡:z
V VV V1/2.
Se tiene presente que siendo la raíz cuadrada,
se omite el índice de la mjsma.
La solución general del problema es como
sigue: si el número dado es N, entonces
N=-log2 log2
-i/V ··· Vv2.
N veces
Además, el número de radicales es igual al
número de unidades del número dado.
A nuest ros lectores:
"Mir" edita libros soviéticos
traducidos al español, inglés, francés,
árabe y ofros idiomas extranjeros.
Entre ellos figuran las mejores obros
de las distintas ramas de la ciencia
y la técnica: manuales pera los centros
de enseñanze superior y escuelas tecnológicas;
literatura sobre ciencias naturales y médicas.
También se incluyen monografías,
libros de divulgación científica
y ciencía-fícci6n.
Dirijan sus opiniones a la Editoriel "Mir",
1 Rizhsk.i per., 2, 129820,
Moscú, 1-110, GSP, URSS.
P.\' Hl78 MIn PUBLICARA:
\'. Rídnik
Loyes del mundo atómico
Vlta1i Híduik , ca11dida1.o a Doctor en Ciencias Físico··
1oatcmiil.icas, es d iwLor <le este Iibl'O . Hídnik tiene puJili cados roás de GO tr{1bajos científicos; en la actualicla<l
se ocupa del esludio de la física del estado sólido. A él
le porle1locn11 vario~ trabajos de divulgación científicn,
como son: "l:~ n el mundo de objetos simples" (1960),
"El cuarto eslatlo do la materia" (1962) y "Desdo la
manzanillu h:lsl-a el 11ntünundo" (1971). Colabora también en difei·ont.cs l'evis1as uo d ivulgación científica.
El libro quo oirncemos al lector es la roedición corregida y acl.uaJizatla de su Lrabajo "¿Qué es lu mecánica
cuáuLica?" apurecido l111ce L-íempo y traducido u vD.rios
idíoruas.
A principios del siglo XX la física penetró en el asombroso mundo de lo invisible, ul mundo atómico; nuclear
y de las partículus clementalos. Simultáneamente surgió
una teoría que durante más de 70 años ha servido de
guía en este campo a los físicos, la mecánica cuántica.
El aspecto dol mun<lo invisiblo se diforenciu notoriamente del mundo al que estarnos acostumbrados. En ol
mundo nuevo dejan de ser válidas la ~ leyes, las partí<:ulas pierden su~ d imensiones y adquierol.I. las propio<lades do ondas. A su vez estas últimas empiezan a parocorse a las partículas. Los electrones y otras partículas
del m.icromundo puooen ser capaces de atravesar las
barreras inacc.esihfos o desaparncer quedando en su lugar
los cuantos.
'l'odos esl.os fonóuieuos Jos supo explicar brillantomente
In mecánica cuánLica, a. cuyo surgimiunto y de~arrollo
está dedicada esta obra. El autor nos habla sobre los
priucipios ínndamont.alüs de la mecánica cuántica. El
lec l.or podrá saber dimo Ílll'-l'oi1 <foscubierlos los socrctos do la estmétura do los átomo.s, moléculas, núcleos
atómicos y cómo osta cie.ncía va i·osolviendo el p1·oblema
rcfcrenLe a ]a propiedad más fundamental de la materia,
fo de Jn inl.eracción de las part.íeulas entre la materia
y el campo.
Esta obl·a est¡í dosl.in adn al autplio círculo do lectores
que so intcrn.su u por Jos (:xit.os tle 1a física moderna. Se
rcc1m1ienda como libro 110 consullu para Jos estudi_¡mtes ·'
de facultades de Física de los contras .Jo enseñanza
s uperior.