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Ejemplos adicionales del Tema 1. L
Lagrangiana.
i
(Ver los problemas resueltos de los Apuntes de Mecánica Analítica)
(M A GIA) (Mec. Ana. GIA) ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONAUTICOS
Ejercicio de clase. Mecánica Analítica 3º
2.12.2011
El test consta de 10 apartados, cada uno tiene 5 respuestas. Sólo una es correcta; márquenla en la plantilla adjunta.
P) La Lagrangiana L de un sistema con dos grados de libertad es L= T − U , donde=
T
U=
k
2
1
2
(q12 + q22 ) y
( q22 q1 + q12 q2 ) + V ( q1 ) es un potencial generalizado del que se derivan las componentes de las fuerzas
generalizadas ( Q j ) que actúan en el sistema. La función V = V ( q1 ) tiene derivada V ' = V '( q1 ) continua y k es
una constante. Si no se imponen ligaduras al sistema:
P1) Las fuerzas generalizadas satisfacen:
A) Q1 =
k q 2 ( q2 − q1 ) − V ' , Q2 =
− k q2 ( q2 − q1 )
B) Q1 =
−V ' , Q2 =
0
C) Q1 =
k q2 ( q2 − q1 ) − q1V ' , Q2 =
− k q2 ( q2 − q1 )
D) Q1 =
− k q1 ( q2 − q1 ) + V ' , Q2 =
k q 2 ( q2 − q1 )
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P2) La función de energía H = H (q, q ) asociada a la Lagrangiana es
A)
B)
C)
D)
E)
2T − U
T +U
T +V
T
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P3) Los momentos canónicos generalizados correspondientes a cada coordenada q j son:
A) p1 q=
=
y p2 q2
1
p1 =
q1 + k2 q22 y p2 =
q2 + k2 q12
C) p1 =
q1 + k q2 q1 y p2 =
q2 + k q1 q2
B)
q1 + k2 q12 y p2 =
q2 + k2 q22
D) p1 =
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P4) Puede afirmarse que:
A) T es una constante del movimiento.
B) V es una constante del movimiento.
C) T + V es una constante del movimiento.
D) p2 es una constante del movimiento.
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
0 , se puede afirmar que:
P5) Si se incorpora ahora al sistema la ligadura q22 q1 + q12 q 2 =
A) La ligadura es holónoma.
B) p2 es una constante del movimiento.
C) La función de energía H = H (q, q ) es una constante del movimiento.
D) T es constante del movimiento.
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.


P6) Una partícula se mueve en el plano horizontal xy por acción de una única fuerza F = − γ v , donde γ es una
constante positiva. Usando como variables generalizadas las coordenadas polares planas (r , θ ) , las
componentes generalizadas de la fuerza sobre la partícula son:
A) Q =
−γ r y Q =
−γ r θ
θ
r
B) Qr =
−γ r y Qθ =
−γ r 2 θ
C) Q =
−γ (r + r θ) y Q =
0
θ
r
D) Qr =
−γ θ r y Qθ =
−γ r θ 2
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P7) Para la función dinámica u (q, p, t ) con respecto a un sistema de N grados de libertad con Hamiltoniano
H = H (q, p, t ) , puede asegurarse que:
A) ∂u ∂pk =
[qk , u ]
B) ∂u ∂qk =
[ pk , u ]
C) du dt = [u , H ]
D) d [u , H=
] d t [ H , u ] + [ H , u ]
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P8) Para un sistema hamiltoniano de un grado de libertad, la transformación de contacto (q, p ) → (Q, P ) dada por
ωt a
las relaciones Q e=
=
q cos(b p ) , P e − ωt q a sen(b p ) (los parámetros a, b y ω son constantes distintas de
cero):
A) Es canónica si b a = 1 para todo valor de ω
B) Es canónica=
si b 1=
2, a 2 , para todo valor de ω
C) Es canónica si=
b 2,
=
a 1 2 , para todo valor de ω
D) No es canónica, cualesquiera que sean los parámetros.
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P9) El Hamiltoniano asociado a un sistema lagrangiano de un grado de libertad es H ( q, p ) =p 2 2 + A( q ) p + B ( q ) ,
donde A y B son funciones conocidas. Puede asegurarse que
A) p B es una constante del movimiento.
B) L( q, q ) ( q 2 + A2 ) 2 + q A − B
=
C)
=
L( q, q ) q 2 2 − q A − B
D)
=
L( q, q ) (q − A) 2 2 − B
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
P10) El potencial generalizado de un sistema lagrangiano holónomo natural correspondiente a una partícula de


 
  
constante. Las variables generalizadas se corresponden según (q, q , p ) → (r , v , p ) . Puede asegurarse que:
 
A) La función de energía es H (r , v ) = T

B) dT dt = − ω0 T

 
C) La fuerza asociada a U es =
Q mω0 × r


D) p = m v


 
masa m , posición r y energía cinética T = m v / 2 , es U (r , v )= mω0 ⋅ (v × r ) 2 , donde ω0 es un vector
2
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
Ejemplos:
j p
1)
Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una partícula
de masa M moviéndose en un triedro inercial y sometida al peso.
Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas
de un triedro que se mueve
 paralelamente al anterior y su origen (O’)
se desplaza con una ley rO ' (t ) arbitraria.
x3
q3
P
Mg
O’
q1
q2
x2
x1
Solución:
1) x3
q3
P
Mg
O’
q1
q2
x2
x1
T
 0,
q j




ro ' (t )  xo ' (t )e1  yo ' (t )e2  zo ' (t )e3 ,



 
r  ro ' (t )  q1e1  q2 e2  q3e3 ,

r 
 
 
a1 
 e1 , a2  e2 , a3  e3 ,
q1
 



v  vo '  q1e1  q 2 e2  q3e3 ,


T  12 M v 2  12 M  vo2  q12  q2 2  q32 
 
 
 
2 q1 ( vo '  e1 )  2 q2 ( vo '  e2 )  2 q3 ( vo '  e3 )  ,
T
 
 M  q j  ( vo '  e j )  ,
q j
d T
 
 M  qj  ( ao '  e j )  ,
d q j
dt

 
 
 

F   Mge3 , Q1  F  a1  0, Q2  F  a2  0, Q3  F  a3   Mg ,
M  q1  
xo ' (t )   0,
M  q2  
yo ' (t )   0, M  q3  
zo ' (t )    Mg ,
Ejemplos:
j p
2)
Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una péndulo
ideal: partícula de masa M moviéndose en un plano vertical y sujeta
j
por un hilo ideal. Usar como coordenada generalizada el ángulo que
forma el hilo con la vertical descendente.
z

R
P
Mg
x
Solución:
2) z

R
N
Mg



r  R (sin  e1  (1  cos  )e3 ),

r



a 
 R (cos  e1  sin  e3 ),





v  R (cos  e1  sin  e3 ),




x F   Mge3  N (  sin  e1  cos  e3 ),
T  12 Mv 2  12 MR 2 2 ,
 
d T T

 F  a ,

dt    
M R 2   M gR sin 
Ejemplos:
j p
3)
Una partícula de masa M se mueve en un triedro (O,x,y,z) bajo la
acción de una fuerza atractiva desde el origen
g
O del triedro y
proporcional a la distancia. Plantear explícitamente las ecuaciones de
Lagrange usando como coordenadas generalizadas las coordenadas
esféricas de la partícula r ,  ,  .

z

r


F  k r
M
y
x

Solución:
3) z
x

Coordenadas
generali adas
generalizadas:
q1 , q2 , q3  r,  , 




r  r  sin  cos  e1  sin  sin  e2  cos  e3  ,


F  k r

 r



M
ar 
 sin  cos  e1  sin  sin  e2  cos  e3 ,
r

r

r



a 
 r  cos  cos  e1  cos  sin  e2  sin  e3  ,

y

r


a 
 r   sin  sin  e1  sin  cos  e2  ,


 r





 r  a  a ,
T  12 M r 2  r 2 2  r 22 sin 2
v
  q j a j  ra
t
j
 
 
 
Q

F
 a  0,
Qr  F  ar  kr, Q  F  a  0,


T 1
 M 2 r 2  2 r2 sin 2 ,
r 2


T 1
 2 M 2 r 22 sin cos  ,



T
 0,



z

r


T  12 M r 2  r 2 2  r 22 sin 2 ,
 
 
 
Qr  F  ar  kr, Q  F  a  0, Q  F  a  0,


F  k r
M
T 1
T 1
 2 M 2r 22 sin cos  ,
 M 2r 2  2r2 sin 2 ,

r 2
y
T
 0,


T 1
T 1
T 1
2 
2
2 
x

M
2
r

sin
 ,
 2 M  2r  ,

M
2
r

,
2
2





r

d T
d T 1
  2 r 2 , d T  1 M 4 rr sin 2  2 r 2sin 2  4 r 2

  sin cos  ,
 M 
r,
M
4
rr


2
2

d 
dt
d r
dt
d 
dt











M 
r  Mr  2  2 sin 2   kr ,
d T T

 Q ,
dt  
  sin cos   0,
Mr 2 r sin 2  r sin 2  2 r
0

Mr 2 r  r  Mr 22 sin cos   0,



d T T

 Qr ,
dt r r
d T T

 Q ,

dt  



Ejemplos:
j p
4)
Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre la parábola
z  a x 2 ((donde a es una constante).
) Plantear la ecuacion de
Lagrange para el movimiento de la partícula usando q  x como
coordenada generalizada.
z
Mg
x
Solución:
4) z
 z  a x2
N
Mg
x
q  x,
 



 r

2
 i  2axk ,
r  xi  ax k , a x 
x



 dr
  2ax xk
 ,
v
 xi
dt

T  12 Mv 2  12 M  x 2  z 2  
 12 M  x 2  4a 2 x 2 x 2   12 Mx 2 1  4a 2 x 2  ,
T
T
 4a 2 M x 2 x,
 Mx 1  4a 2 x 2  ,
x
x
 

F   Mgk  N ,
d T
 Mx 1  4a 2 x 2   8a 2 Mx 2 x,
dt x
 
Qx  F  a x   Mg 2ax,
d T T

 Qx ,
dt x x
Mx 1  4a 2 x 2   8a 2 Mx 2 x  4a 2 M x 2 x   Mg 2ax,

x 1  4a 2 x 2   4a 2 x 2 x   g 2ax,
Ejemplo (ligaduras no holónomas ideales):
Una partícula de peso Mg se mueve en un triedro inercial x,y,z bajo la acción de la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural
la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural despreciable. El vector velocidad de la partícula es paralelo en cada instante al vector




u (t )  (2  sin t )i  (3  cos t ) j  (4  sin t )k ,

siendo una constante conocida. Obtener las ecuaciones de Lagrange
que describen el movimiento de la partícula. z
Mg
y
x
11
Solución (ligaduras no holónomas ideales):
Coordenadas generalizadas x,y,z,

v

paralelo a u (t )




  yj
  zk

v  xi
x
y
z


,
2  sin t 3  cos t 4  sin t
2 ligaduras no holónomas:
g
(1) : (3  cos t ) x  (2  sin t ) y  0,
(2) : (4  sin
i t ) y  (3  cos t ) z  0,
0
B11  (3  cos t )), B12  (2  sin
i t ),
)
B13  B1  0,
B22  (4  sin t ), B23  (3  cos t ),
B21  B2  0,
T  12 M ( x 2  y 2  z 2 ), U  Mgz  12 K ( x 2  y 2  z 2 ), L  T  U ,

 




d L L  CN 

 f  i  1 ( B11i  B12 j  B13 k )   2 ( B21i  B22 j  B23 k )  i ,

dt x x

 




d L L  CN 

 f  j  1 ( B11i  B12 j  B13 k )   2 ( B21i  B22 j  B23 k )  j ,
dt y y

 




d L L  CN 

 f  k  1 ( B11i  B12 j  B13 k )   2 ( B21i  B22 j  B23 k )  k ,
dt z z






12
Solución (ligaduras no holónomas ideales):
Mx  Kx  1 (3  cos t ),
My  Ky   1 (2  sin t )  2 (4  sin t ),
)
Mz  Kz  Mg    2 (3  cos  t ),
(3  cos t ) x  (2  sin
i t ) y  0,
0 (1)
(4  sin t ) y  (3  cos t ) z  0, (2)
Incógnitas:
x (t ), y (t ), z (t ), 1 (t ), 2 (t ),
Condiciones iniciales:
x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ),
x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ), Compatibles con (1) y (2) !!
13
Más ejemplos!
j p
1) Determinar la lagrangiana de un péndulo simple (partícula de peso Mg) de longitud R cuando además sobre el péndulo actúa la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K . Usar el ángulo como coordenada generalizada y escribir 
la ecuación del movimiento a partir de la lagrangiana.
z

R
P
Mg
x
14
Solución:
1) z




a
r  R (sin  e1  (1  cos  )e3 ),    ,
T  1 Mv 2  1 MR 2 2 ,
2

R
N
2
 2
U  Mgz  K OP 
1
2
P
Mg

v  ,
x
 MgR (1  cos  )  KR 2 1  cos   
 R ( Mg  KR ) 1  cos   ,
L  T  U  12 MR 2 2  R ( Mg  KR ) 1  cos   ,
d L L

 0,

dt    
M R 2  R ( M g  K R ) sin   0
2) Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre el paraboloide, de eje vertical, . Sobre la partícula actúa además un muelle ideal de z  ax 2  b y 2
constante elástica K, cuyo extremo está fijo al origen de coordenadas. Determinar la lagrangiana de la partícula y sus ecuaciones del movimiento usando x, y, como coordenadas generalizadas.
z
P
Mg
x
y
16







2
2
r  xi  y j  zk  xi  y j  ( a x  b y )k ,







  y j  zk
  y j  2( a xx  b yy ) k ,
  xi
v  xi
2) Solución.
z
z  ax 2  b y 2

T  12 Mv 2  12 M  x 2  y 2  4( a xx  b yy ) 2  ,
 2
1
U  Mgz
g  2 K OP 
P
Mg
x
 Mg ( a x 2  b y 2 )  12 K  x 2  y 2  ( a x 2  b y 2 ) 2  ,
y
L  T U 
 12 M  x 2  y 2  4(a xx  b yy ) 2   Mg ( a x 2  b y 2 )  12 K  x 2  y 2  ( a x 2  b y 2 ) 2  ,
L
 M  x  4a x ( a xx  b yy )  ,
x
L 1
 2 M  8( axx  byy ) ax   2 Mg ax  12 K  2 x  y 2  4ax ( a x 2  b y 2 ) 
x
17
L
 M  y  4b y ( a xx  b yy )  ,
y
L 1
 2 M  8(axx  byy ) ay   2 Mgby  12 K  2 y  x 2  4by ( a x 2  b y 2 ) 
y
d L
 ,
dt x
d L
 ,
dt y
d L L

 0,
dt x x
M (1  4a 2 x 2 ) 
x  x  2agM  K   2a 2 Kx 3 
d L L

 0,
dt y y
M (1  4b 2 y 2 ) 
y  (2bgM  K ) y  2b 2 Ky 3 
 x  2abKy 2  4aM ( ax 2  by 2 )  4abMyy   0,
0
 y  2abKx 2  4bM ( ax 2  byy 2 )  4abMxx  0,,
18
Ejemplos de sistemas con leyes de conservación “triviales”
1)
z

R
P
Mg
x
L  T  U  12 MR 2 2  R ( Mg  KR ) 1  cos   ,
L

E ( ,  )    L 

T  12 MR 2 2 ,
L( , )
constante
E  T  U  12 MR 2 2  R( Mg  KR ) 1  cos    constante
Ejemplos de sistemas con leyes de conservación “triviales”

z
2)

r


F  k r
M
Mg
y
x
q  r, , 

U  12 kr 2  Mg r cos  ,

L  T  U  L( r ,  ,  , r, , , t ),
E  T  U  const
p 

T  12 M r 2  r 2 2  r 22 sin 2 ,
L
2 
2

Mr

sin
  const.


2 leyes de conservación
3)
Una partícula de masa M se mueve respecto de un triedro inercial
sometida al peso.
Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas
de un triedro que se mueve paralelamente al anterior y su origen (O’)

se desplaza con una ley r (t ) arbitraria.
O'
x3
q3
P
Mg
O’
q1
q2
x2
x1
x3
q3
P
Mg
O’
q1
q2
x2
x1




ro ' (t )  xo ' (t )e1  yo ' (t )e2  zo ' (t )e3 ,
 



v  vo '  q1e1  q 2 e2  q3e3 ,
2 1
T  M v  2 M ( q3  zo ' ) 2 
1
2

 12 M ( q1  xo ' ) 2  ( q2  y o ' ) 2  ,
U  Mgx3  Mgq3  Mg zo ' (t ),
L  T U,
L
L
 0,  p1 
 M ( q1  xo )  const  c1 ,
q1
q1
L
L
 0,  p2 
 M ( q2  y o )  const  c2 ,

q2
q2

N
No existe la ley de conservación para arbitrario!
it l l d
ió E ( q, q )
ro ' (t ) bit i !
d
M ( q3  zo ' )  Mg  0,
M ( q3  zo ' )  Mgt  const
dt
d
Equivalente a:
( q3  zo ' ) M ( q3  zo ' )  Mg ( q3  zo ' )  0,
dt
1
2
M ( q3  zo ' ) 2  Mg ( q3  zo ' )  const
4)
Una partícula de peso Mg se mueve en un triedro inercial x,y,z bajo la acción de la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural
la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural despreciable. El vector velocidad de la partícula es paralelo en cada instante al vector




u (t )  (2  sin t )i  (3  cos t ) j  (4  sin t )k ,
siendo una constante conocida. Obtener las ecuaciones de Lagrange
que 
describen el movimiento de la partícula. 2
2
2
L  T U,
z
Mg
T  12 M ( x  y  z ),
U  Mgz  12 K ( x 2  y 2  z 2 ),
En las coordenadas x,y,z
y
x
L
 0,, B1  0
t
E  T  U  const.
23
• a) Ejercicio. ) Ej i i ( xB , y B )
Encontrar la curva plana y ( x) que une los puntos ( x A , y A ) y , teniendo
g
la longitud
más corta.
B
s AB   ds 
A
xB

1  y( x )2 dx , con

y ( xB )  y B ,
xA
F  1  y( x)
d 
y

dx  1  y 2
y( xA )  y A ,

2

  0, 


y
1  y
2
d F F

 0,,
d y y
dx
 const 
y ( x )  const. 
y  c2  c1 x,
 y  y A   yB  y A 
y  y A  xA  B

x
 xB  x A   xB  x A 
24
1) Ejercicio. Dinámica relativista.

Un electrón relativista se mueve en el seno de un potencial
. La
U (r , t )
lagrangiana
g g
de dicha ppartícula es L  mc 2 1  v 2 / c 2  U ( r, t ), siendo m y c la masa
del electrón y la velocidad de la luz en el vacío. Determinar a partir del Principio de
Hamilton las ecuaciones del movimiento de dicha partícula.
25
Ejemplo 1 (ejercicio nº2 de apuntes).
Dos partículas de masas M1 y M2 están unidas a través de un hilo ideal que pasa por un agujero taladrado en el plano horizontal (sin rozamiento) de la figura. Determinar: Variedad de configuración fuerzas generalizadas ecuaciones de Lagrange etc
de configuración, fuerzas generalizadas, ecuaciones de Lagrange, etc.
z
y
g
2

1

x
z
y
g

Partícula 1: ( x , y )
Th

x
 x , x , x    x , y , z
1
Th
2
 
e ; e2 
M1
M1  M 2
 
e2 ; e3 
M2
M1  M 2


e3 ; e 1 



 
 3  CH
r  xe1  ye2  ze3 ; f   M 2 ge  f1  Th
 CH
f1
x
m  M1  M 2;
 2
e ; e 
M1  M 2
1
M1
x
x2  y2

e 1  Th
M1  M 2
M1
y
x2  y2
 3
e2 ; e 
M1  M 2
M2

e1 
y


e 2 x2  y2  e 3,
x2  y2
x2  y2

x
y
1
 2 Th  3 
 Th 
e 
e 
e ;
2
2
 x2  y2

T
x y
h



e3 ;


e 2  (Th  M 2 g )e 3 ;
1  x 2  y 2  z    x 2  y 2  z    0,
Ecuación de ligadura:
1 
3



e1  1,0,0, e2  0,1,0, e3  0,0,1,
Espacio vect. de config:
M2g
M1
M1  M 2 1
z
Espacio de config. Cartesiano:
m1 , m2 , m3   M 1 , M 1 , M 2 ;
2

e1 
Partícula 2:
1
Li d
Ligadura ideal:
id l
 CH
f1  11 ;  Th  Th ;
z
y
g

1

x
(no usamos la ligadura en la parametrización de la variedad de configuración)

 dr




 1  ye
 2  ze
 3 ; T  12 mv 2  12 M 1 ( x 2  y 2 )  12 M 2 z 2
v
 xe
dt

 r 
 
 
a1 
 e1 , a2  e2 , a3  e3 ,
x
Th
2
M2g
 
Q1  f  e1  Th
x
x y
 
Q3  f  e3  Th  M 2 g ;
d
dt
d
dt
d
dt
q  ( x, y, z )
 Coordenadas generalizadas:
Th
T T

 Q1 ,
x x
T T

 Q2 ,

y y
T T

 Q3 ,
z z
2
2
 
; Q2  f  e2  Th
M 1
x  Th
M 1 
y  Th
y
x y
2
x
x y
2
2
y
x y
2
2
,
,
M 2 
z  Th  M 2 g ,
1  x 2  y 2  z    0,
2
;
z
y
g

Th
2
q  (  , )
 Coordenadas generalizadas:
Th
1

x
(usamos la ligadura en la parametrización de la variedad de configuración!!!!)
x   cos  ,
y   sin  ,
z    ,




r (  , )   (cos  e1  sin  e2 )  (    )e3 ;


r
r


 



a 
 cos  e1  sin  e2  e3 , a 
  (  sin  e1  cos  e2 ),


M2g

2 1
 dr


2
2 2
2
2
2 2
1
1
1
1
v
  a   a , T  2 mv  2 M 1 (     )  2 M 2   2 ( M 1  M 2 )   2 M 2   ,
dt
 





Q  f  a   Th cos  e 1  Th sin  e 2  (Th  M 2 g )e 3    (  sin  e1  cos  e2 )  0,
 


 
Q  f  a   f  (cos
(  e1  sin
i  e2  e3 )   M 2 g ,
d T T

 Q ,
dt  
d T T

 Q ,
dt  
d (  2)
M2
 0,
0
dt
( M1  M 2 )  M 2 2   M 2 g ,
z
y
g

Th
Th
 Obtened la lagrangiana usando y 2 q  (  , )
leyes de conservación.
1

x
U  M 2 g z  M 2 g (   ),
L  T  U  12 ( M 1  M 2 )  2  12 M 2  2 2  M 2 g (    )
2
M2g
L
 0, 
t
L
 0, 

L
L
E ( q, q )     
 L  T  U  const.



p 
L
2 

M

  const.
2


• Sólido rígido: Es un sistema partículas con seis grados de libertad (dimensión de
la variedad de configuración) y como coordenadas generalizadas pueden
usarse,por ejemplo, las tres coordenadas cartesianas, ( x A , y A , z A ), de un punto A
del sólido junto con otros tres parámetros, ( , ,  ) , que determinan su
orientación y que usualmente son los tres ángulos de Euler
Euler.
 Sólido sin punto fijo (6 grados de libertad): A=CM
z
z
z

y


x


2
2
2
T  12 M ( xCM
 y CM
 zCM
)  12   I CM   ,




Velocidad angular:   ( sin  sin   cos )i 



 ( sin  cos   sin ) j 


 ( cos    )k ,
 Sólido con punto fijo: conviene tomar A=punto fijo.
y


T  12   I A   ,
x
Aplicación al sólido rígido (Sección I.1.8 de los apuntes, ver como ejemplo).
31
Componentes generalizadas de las fuerzas
q  x A , y A , z A , ,  , .
  
rn  rA   n ;




rA  x Ai  y A j  z Ak ;
z
z

Fn
z

n
y


rn
n


x
Q
 
 r
 rn
 Fn 
,
Q  f  a  f 
q
q


 rA   n
Q  Fn 
 Fn 
.
q
q



QxA , Q yA , QzA   ( Fn ) x ,( Fn ) y ,( Fn ) z ;
 n
 n
 n
Q  Fn 
, Q  Fn 
, Q  Fn 
,





Q d  Q d  Q d  Fn  d  n







d  n  ( dt )   n  ( d   d    d )   n
A

rA
y



  cos i   sin j ,




  sin  sin i   sin  cos j   cos  k ,


  k ,
x
32
Componentes generalizadas de las fuerzas
Q


Q d  Q d  Q d  Fn  d  n








 Fn   (dt )   n   ( d   d   d )   n  Fn





 ( d   d    d )   n  Fn




z
 ( d   d    d )  M A






 (  M A )d  (  M A )d   (  M A )d ;



z

Fn
z

n

y


rn
n


x
A

rA
y
 
Q  M A   ,
 
Q  M A   ,
 
Q  M A   ,
x
33
1 Ejemplo Obtened la lagrangiana de la peonza simétrica y 3 leyes de conservación a partir Obtened la lagrangiana
de la peonza simétrica y 3 leyes de conservación a partir
de su lagrangiana.


T  12   I A   ,
z


0
0 ;

I 3 
U  Mgz  Mg  cos ; L  T  U .
y

0
I1
0
T  12 I1 ( 2  2 sin 2 )  12 I 3 (   cos  ) 2 ,
z
z  x3
 I1
IA   0

 0
x2  y 
L
 0,
0 
t
L  L
L
E  

 
 L  T  U  cte.



L
 0, 
2)

L
p    I1 sin
i 2  I 3 (   cos  ) cos   cte
t

L
L
 0,  p 
 I 3 (   cos  )  cte


1)
x

g
y
A


x1  x 
x
3)
34
APLICACIÓN AL SÓLIDO RÍGIDO
(Ver Sección I.1.8)
SISTEMA CON 6 GRADOS DE LIBERTAD
EN ESPACIO DE CONFIGURACIÓN 3N DIMENSIONAL
Sólido libre
Sólido tiene un punto fijo
LIGADURAS HOLÓNOMAS REDUCEN LOS PARÁMETROS < 6
Ecuaciones independientes de q
f  q1 , q2 , , qn , t   0
FUERZAS GENERALIZADAS
Componente generalizada de la fuerza
Matriz ortogonal
D Vector en componentes sobre ejes
ligados al cuerpo
momento de la fuerza
Como
es lineal en
y con
encontramos
Componentes generalizadas
DISCO RODANDO SIN DESLIZAR
y
Disco
rodando



La velocidad angular del disco   xi   y j   z k 
   sen cos  sen
y
La coordenada z del centro de masas,
   cos 
z
   sen sen  cos
x

zc  Rsen
zc  Rsen
El punto “B” del disco no desliza
  
v  vc    CB  0 , 
B
dy
tan  B 
dx
B
y  x tan  0
B B
dx 2  dy 2  R d  0,  xB  R cos  0
B
B
Usamos como coordenadas generalizadas:
( xB , yB ,  ,  ,  )
y
y las coordenadas del CM:
xc  x  R cos sen
B
yc  y  R cos cos
B
L


m
( x B  R cos  cos   R sen  sen  ) 2  ( y B  R cos  sen   R sen  cos  ) 2  R 2 2 cos 2  
2
0   x 
1 / 4 0
1
 mR 2  x  y  z    0 1 / 4 0    y   mgRsen

  
2
 0
0 1 / 2   z 
(Sistema de referencia unido al disco)
Considerando la Lagrangiana
Los multiplicadores
y
de la fuerza de rozamiento.
están relacionados con las componentes
Componentes generalizadas de la fuerza de ligadura no holónoma
y
Expresando
Para las otras componentes tenemos
Dos discos en un plano inclinado
b
Sean las coordenadas
No deslizamiento
b
Ecuación de ligadura integrable:
Con
Tomamos como coordenadas generalizadas
Con
El potencial es
El lagrangiano es
Componentes generalizadas
Para obtener todas las componentes de la fuerza de rozamiento
Se utiliza la ligadura añadiendo un multiplicador más
como ligadura cinemática no integrable
Encontrando los multiplicadores
y las componentes físicas de las fuerzas de rozamiento (proyecciones sobre el plano de las ruedas)
¿Qué pasaría si la barra tuviera una masa no despreciable?
FUERZAS DE INERCIA
Potencial generalizado
Fuerza de inercia
aceleración del origen
centrípeta
tangencial
Coriolis
PROBLEMA DE 3 CUERPOS
•La lagrangiana de la partícula de masa m.
M102 R1 
M
 2
M1
L
GM1 M 2
 R1  R2 
0
2
 M 202 R2
M1
R1   R2
02 
GM1
R23  1   
2
M
M 
1
1
2
mv 2  mv    r   m   r   Gm  1  2 
r2 
2
2
 r1
CM
R1
M2
R2
Leyes de conservación
L
0 
t
 M1 M 2 
1
1
2
2
L
 v  v  L  cte  2 mv  2 m   r   Gm  r1  r2   cte
L
  mv  m   r 
v
y
m
    1
M
M
L
2
  mv  (  r )  m   r   Gm  1 ` 2
2
r2
r
 r1




r1
r2
x
M2
CM
M1
Ecuaciones de Lagrange
adimensionalizaciones:
t;
d
L
mv  m   r   
0
r
dt
r /( R1  R2 )  r
1  1  
 1 2
2
x  2 y    x  y  
    0
x  2
1    1 2  
y  2 x 
donde
0t 
1  1  
 1 2
2
 x  y  
    0
y  2
1    1 2  

r1
 
1 
 y2   x 
1   
R1  R2

2

r2
1 
2 
 y2   x 
R1  R2
1   

2
Ejercicio (péndulo doble de masas iguales, caso particular del problema 6)
las ecuaciones de Lagrange y una ley de conservación
q  1 ,  2 , T 
z




u1  cos 1i  sin
i 1k , u2  cos  2 i  sin
i 2k ,
x
g
1


M 2 2 2
2 2 




v


u


u
v
v

,

v


,

2
1 1
2 2,
1
2 
1
1
2


u1
1
2 2
d L L

 0,
0

dt 1 1
d L L

 0,
0

dt  2  2
M 2 2 2
T
21   2  212 cos(1   2 ) ,
2
U  Mg ( z1  z2 )   Mg (2cos 1  cos  2 ),


u2

L  T U;
2 g sin 1  2 2 sin(1   2 )  21  2 cos(1   2 )  0,
g sin    2 sin(   )     cos(   ))  0
2
1
2
1
2
1
1
2
T  U  const
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Ejm. Problemas. 1: La tensión es el multiplicador de Lagrange
z2=