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Datos y
factores
Números
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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios.
Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center for
Education Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad de
Educación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute
(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo del
subsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional par
alas Ciencias).
Esta unidad es nueva y ha sido preparada como parte de la revisión curricular que se
realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidio n.º ESI0137414 de la
National Science Foundation.
National Science Foundation
Las opiniones expresadas pertenecen a los autores
y no reflejan necesariamente las de la Fundación.
Abels, M., de Lange, J. y Pligge, M. A. (2006). Datos y factores. Wisconsin Center
For Education Research y Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en
contexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.
Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.
Reservados todos los derechos.
Impreso en los Estados Unidos de América.
Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedad intelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables.
Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual de
los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, que incluye, aunque
no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medios
o procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba a
Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.
ISBN 0-03-093046-4
1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06
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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto
Desarrollo 2003–2005
Meike Abels y Jan de Lange desarrollaron Datos y factores. La adaptación para su uso en las escuelas
estadounidenses es de Margaret A. Pligge.
Wisconsin Center for Education
Personal del Freudenthal Institute
Personal de investigación
Thomas A. Romberg
David C. Webb
Jan de Lange
Truus Dekker
Director
Coordinador
Director
Coordinador
Gail Burrill
Margaret A. Pligge
Mieke Abels
Monica Wijers
Coordinadora editorial
Coordinadora editorial
Coordinadora
del contenido
Coordinadora
del contenido
Margaret R. Meyer
Anne Park
Bryna Rappaport
Kathleen A. Steele
Ana C. Stephens
Candace Ulmer
Jill Vettrus
Arthur Bakker
Peter Boon
Els Feijs
Dédé de Haan
Martin Kindt
Nathalie Kuijpers
Huub Nilwik
Sonia Palha
Nanda Querelle
Martin van Reeuwijk
Personal del proyecto
Sarah Ailts
Beth R. Cole
Erin Hazlett
Teri Hedges
Karen Hoiberg
Carrie Johnson
Jean Krusi
Elaine McGrath
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(c) 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en
contexto y el logotipo de Las matemáticas en contexto son marcas
registradas de Encyclopædia Britannica, Inc.
Créditos de las fotografías de la portada: (todas) © Getty Images
Ilustraciones
1 (arriba) Michael Nutter/© Encyclopædia Britannica, Inc.; (abajo)
Holly Cooper-Olds; 2, 3, 4, 13 Christine McCabe/© Encyclopædia
Britannica, Inc.; 18, 24 (izquierda), 25, 27, 34 (izquierda), 36 Holly
Cooper-Olds; 38 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica,
Inc.; 45, 50 (arriba) Holly Cooper-Olds; 51, 56 Christine McCabe/©
Encyclopædia Britannica, Inc.
Fotografías
3 Sam Dudgeon/HRW Photo; 6 © Richard T. Nowitz/Corbis; 8, 9
(arriba) Victoria Smith/HRW; (abajo) R. Stockli, A. Nelson, F. Hasler,
NASA/GSFC/NOAA/USGS; 12 Victoria Smith/HRW; 13 (arriba) Sam
Dudgeon/HRW Photo; (abajo) PhotoDisc/Getty Images; 14 (arriba
izquierda) PhotoDisc/ Getty Images; (arriba derecha) G. K. & Vikki
Hart/ PhotoDisc/Getty Images; 15 © ImageState; 30 © Corbis; 37 Sam
Dudgeon/HRW Photo; 38, 39 Victoria Smith/HRW; 40 Stephanie
Friedman/HRW; 41 © PhotoDisc/Getty Images; 44 Don Couch/ HRW
Photo; 49 Sam Dudgeon/HRW Photo; 55 Archives Acad_mie des
Sciences, photo Suzanne Nagy; 56 Lisa Woods/HRW
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Contenido
Carta al alumno
Sección A
Base diez
Jeroglíficos
Por diez
Números grandes
Notación exponencial
Notación científica
Resumen
Verifica tu trabajo
Sección B
24
2
12
6
2
24
27
29
30
32
33
2
3
Cuadrado y raíz cuadrada
Cuadrado
Raíz cuadrada
Doblar las esquinas
de un cuadrado
No tan cuadrado
Resumen
Verifica tu trabajo
Sección E
13
17
17
21
22
23
Números primos
Árboles invertidos
Números primos
Factores primos
Cubos y cajas
Resumen
Verifica tu trabajo
Sección D
1
3
6
7
8
10
11
Factores
Píxeles
Datos
Factores
Cambios de posición
Resumen
Verifica tu trabajo
Sección C
VI
35
37
37
40
42
43
Más potencias
La leyenda del tablero de ajedrez
Potencias de base dos
Potencias de base tres
Bases diferentes
De regreso a los egipcios
Resumen
Verifica tu trabajo
44
46
48
48
50
52
53
Práctica adicional
54
Respuestas para verificar
tu trabajo
60
Contenido V
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Querido alumno:
Los números que usamos hoy son
los que, habitualmente, usan todas
las personas del mundo. Esto puede
sorprenderte, ya que existen aproximadamente 190 países independientes
en el mundo, ¡donde se hablan 5,000 idiomas diferentes! Esto no siempre
fue así. En la unidad Datos y factores, investigarás el modo en que las
civilizaciones antiguas escribían los números y realizaban cálculos
numéricos. Analizar el pasado te
ayudará a tomar mayor conciencia
del modo en que escribes y
calculas los números. Observarás
otros sistemas numéricos que se
usan actualmente.
Investigarás algunas propiedades de las fotografías digitales. Al hacerlo,
aprenderás más acerca de las propiedades de los números. ¿Cuántos pares
diferentes de números puedes multiplicar para hallar un producto de 36 y
un producto de 51 o 53? Ampliarás tus conocimientos sobre todos los
números reales.
Esperamos que disfrutes de esta unidad.
Atentamente.
El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto
VI
Datos y factores
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A
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Base diez
Jeroglíficos
MAR MEDITERRÁNEO
Alejandría
N
Rosetta
O
S
SINAÍ
DE
SI
ER
EGIPTO
E
Heliópolis
El Cairo
Río Nilo
Tell
El-Amarna
Tebas
Karnak
Abidos
Valle de
ALTO los Reyes Luxor
EGIPTO a Edfú Asuán
1. Catarata
Philae
TO
Retrocede en el tiempo hasta un mundo sin
computadoras, calculadoras, ni televisores:
a Egipto alrededor del año 3000 a de C.
ÓN
SI RA
Giza
RE TTA Menfis
P
DE QA
DE BAJO
M
IG
Trópico de Cáncer
LIB
Abu Simbel
a
2. Catarata
Rí
IA
Nilo
Este jeroglífico
JO
O
DE
0
0
RO
ÁB
RTO
Este es su último trabajo. Los jeroglíficos en
la piedra representan el número 1,333,331.
AR
AR
SIE
Esculpía figuras pequeñas llamadas
jeroglíficos para registrar la información.
DE
En esa época, Horus era el mejor escultor
en piedra de su pueblo.
o
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100
NUBIA
200 mi
100 200 300 km
es un hombre asombrado. Quizás esté asombrado
porque representa un número muy grande.
1. ¿Qué número representa
el hombre asombrado?
Sección A: Base diez 1
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A Base diez
Este es el número 3,544 escrito en jeroglíficos.
2. ¿Cómo escribiría Horus tu edad y 1,234?
Hoy, usamos el sistema arábigo y los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
para representar cualquier número.
3. Completa la tabla de la Hoja de actividad del estudiante 1 para
comparar los jeroglíficos egipcios con los numerales arábigos que
usamos hoy.
Jeroglífico
egipcio
Descripción
egipcia
trazo vertical
Numeral
arábigo
Palabra
española
1
uno
hueso de talón
espiral o cuerda
flor de loto
dedo que señala
renacuajo
un hombre
asombrado
4. ¿Qué número representa este dibujo?
5. ¿Cómo escribiría Horus 420 y 402?
6. ¿Cuántos jeroglíficos egipcios necesitas para escribir el número 999?
2 Datos y factores
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Base diez A
Encontraste estos tres pedazos de una piedra que contienen
jeroglíficos egipcios.
7. ¿Qué número representan cuando se colocan todos juntos?
Hoy, Pedro encontró estas tres baldosas en
el piso de una casa abandonada.
8. ¿Puedes deducir la dirección de esta
casa? Sí o no ¿Por qué?
9. ¿Cuáles son las diferencias entre
nuestro sistema arábigo de escritura y
uso de números y el sistema egipcio?
Por diez
10. a. Dibuja el número egipcio que
es diez veces más grande que este.
b. Describe lo que harían los
egipcios antiguos para multiplicar
un número por diez.
En nuestro sistema arábigo, las cifras de un número se llaman dígitos. Los
dígitos tienen un valor especial en cada número.
Por ejemplo, en el número 379:
El dígito 3 tiene un valor de 3 centenas.
El dígito 7 tiene un valor de 7 decenas.
El dígito 9 tiene un valor de 9 unidades.
Sección A: Base diez 3
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A Base diez
Puedes desarrollar el número 379 con palabras como 3 centenas, 7 decenas
y 9 unidades o como 3 100 7 10 9 1.
11. Desarrolla los siguientes números de la misma manera.
a. 628
b. 2,306
c. 256
d. 2,560
12. Compara tu respuesta a 11c y d. ¿Qué observas?
Estas figuras comparan el modo de multiplicar un número por 10 en ambos
sistemas numéricos.
Jeroglíficos egipcios antiguos VS. Sistema de números arábigos
537
10
10
5370
Sasha mira el jeroglífico y observa: “Cuando multiplicas un número
por 10, sólo debes convertir cada jeroglífico en un jeroglífico de un
valor superior”.
13. a. Explica qué es lo que Sasha quiere decir.
Usa un ejemplo en tu explicación.
b. ¿Cuál es el valor de 7 en 537 y en 5,370?
c. ¿Cuál es el valor de 3 en 537 y en 5,370?
d. Explica lo que le sucede al valor de los dígitos cuando multiplicas
por diez.
e. Calcula 26 10 y 2.6 10.
f. La explicación que presentaste en d ¿es válida para el problema e?
Si no es así, revisa tu explicación.
4 Datos y factores
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Base diez A
El sistema de números egipcios no era muy apropiado para la notación
decimal o fraccionaria. La notación decimal que usamos hoy fue
desarrollada aproximadamente 4,000 años después. El matemático
holandés, Simón Stevin, inventó el punto decimal.
14. a. Explica el valor de cada dígito en el número 12.574.
1
1
᎑᎑᎑᎑᎑᎑
como un
b. Escribe 7 100 6 1 4 ᎑᎑᎑
10 5 1000
solo número.
Si multiplicas un número decimal por 10, se multiplica el valor de cada
dígito por 10.
unidades
décimas
centésimas
Ten en cuenta el producto de 57.38 10.
decenas
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centenas
tenas
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5
7
3
8
7
3
8
10
5
57.38 10 573.8
᎑1᎑᎑ 8 100
᎑᎑1᎑᎑
57.38 5 10 7 1 3 10
᎑1᎑᎑
573.8 5 100 7 10 3 1 8 10
10
15. Calcula cada uno de los productos sin usar una calculadora.
a. 4.8 10
b. 4.8 10 10
c. 6.37 10 10
d. 9.8 10 10 10
e. 1.25 1,000
f. 0.57892 1,000
Sección A: Base diez 5
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A Base diez
Números grandes
Numerales
1
10
100
1,000
10,000
100,000
1,000,000
10,000,000
100,000,000
1,000,000,000
10,000,000,000
100,000,000,000
1,000,000,000,000
Palabras
uno
diez
cien
mil
diez mil
cien mil
un millón
diez millones
cien millones
mil millones
diez mil millones
cien mil millones
un billón
En el 2004, la población de los Estados Unidos era, aproximadamente, 292
millones y la población mundial era, aproximadamente, 6 mil millones.
16. Escribe estas poblaciones usando únicamente numerales.
Observa que las comas separan cada grupo de tres dígitos. Esto facilita la
lectura de los números. Lees el número 2,638,577 como “dos millones,
seiscientos treinta y ocho mil quinientos setenta y siete”.
17. ¿Cómo lees 4,370,000 y 1,500,000,000?
Existen maneras diferentes de leer y escribir números grandes. Por
ejemplo, puedes leer 3,200,000 como: “tres millones, doscientos mil” o
simplemente como “3.2 millones”.
18. Escribe como mínimo dos maneras diferentes de leer cada número.
a. 6,500,000
b. 500 millones
c. 1.2 mil
d. 750,000
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Base diez A
19. Halla los productos y escribe tus respuestas usando sólo palabras.
a. Un millón por diez
b. Cien por cien
c. Mil por mil
20. a. ¿Cuántos millares hay en un millón?
b. ¿Cuántos millares hay en mil millones?
c. ¿Cuántos millones hay en mil millones?
d. Usa números tales como 10, 100, 1,000, y así sucesivamente, para
escribir cinco problemas diferentes de multiplicación para los que la
respuesta sea 1,000,000.
21. Supón que contaste desde uno hasta un millón y cada cuenta debía
durar un segundo? ¿Cuánto tiempo tomaría esto?
Notación exponencial
Para ahorrar tiempo en la escritura y cuenta de los ceros, los científicos
inventaron una notación especial llamada notación exponencial.
El número 1,000 escrito en notación exponencial es 103 (léelo como “diez
elevado a la tercera potencia” o “diez al cubo”).
1,000 103 porque 1,000 10 10 10
10
3
exponente
base
En 103, el 10 es la base y el 3 es el exponente.
22. Escribe cada uno de los números en notación exponencial.
a. 100
b. 1,000,000,000
c. 10,000,000,000
23. Escribe cada uno de los números en numerales y en palabras.
a. 104
b. 101
c. 106
Sección A: Base diez 7
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A Base diez
Notación científica
¿Cómo muestra tu calculadora los números grandes? Para averiguarlo,
responde lo siguiente:
24. a. Ingresa en una calculadora todos los 9 necesarios hasta que todos
los lugares de la pantalla estén ocupados. En tu cuaderno, registra
el número que muestra la pantalla.
b. Sin usar la calculadora, ¿qué ocurre cuando sumas 1 a este
número? Calcula la respuesta en tu cuaderno. Escribe tu respuesta
en notación exponencial. Identifica la base y el exponente.
c. Ahora, usa tu calculadora para sumar 1 al número grande que
aparece en la pantalla (el formado por todos los números 9). Anota
el nuevo número que muestra la pantalla.
d. Explica lo que representa cada parte del número de la pantalla.
e. En tu cuaderno, calcula el producto de 2,000,000,000 3,000,000,000. Verifica tu cálculo usando tu calculadora. Si fuera
necesario revisa tu respuesta correspondiente a la parte d.
Para los números muy grandes la mayoría de las calculadoras adoptan el
modo (Sci) de notación científica. La pantalla muestra un número positivo
entre 1 y 10 y una potencia de diez.
Las calculadoras muestran la notación científica de diferentes maneras. Acá
se ven dos formas diferentes en que una calculadora muestra la población
mundial de 6,400,000,000 de personas para el 2004.
6.4
09
6.4 E 09
El número que aparece es el producto: 6.4 109.
8 Datos y factores
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Base diez A
25. a. Escribe 6.4 109 en numerales y en palabras.
b. ¿Qué números aparecen en la pantalla?
4
06
3.8
04
La distancia desde la Tierra hasta la Luna es de aproximadamente
240 mil millas.
26. ¿Cómo debería mostrar tu calculadora esta distancia en
notación científica?
Sección A: Base diez 9
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Puedes desarrollar el número 79.54 como:
1
1
᎑᎑᎑᎑
7 10 9 1 5 ᎑᎑᎑
10 4 100
unidades
décimas
centésimas
El Sistema numérico arábigo que usas
actualmente es un sistema posicional que usa
los numerales del 0 al 9. La posición de cada
dígito en un número determina su valor.
Puedes leer el número 79.54 como “setenta y
nueve y 54 centésimos”.
decenas
A Base diez
7
9 . 5
4
4 centésimas
5 décimas
9 unidades
7 decenas
5
4
᎑᎑᎑᎑
o 70 9 ᎑᎑᎑
.
10 100
Multiplica por diez
Si multiplicas un número decimal por 10, el valor de cada dígito se multiplica
por 10.
decenas
unidades
décimas
centésimas
centenas
Por ejemplo: 79.54 10
7
9
5
4
9
5
4
10
7
79.54 10 795.4
79.54
795.4
10 Datos y factores
᎑1᎑᎑ 4 100
᎑᎑1᎑᎑
7 10 9 1 5 10
᎑1᎑᎑
7 100 9 10 5 1 4 10
10
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Notación exponencial
La notación exponencial es una manera más corta de escribir
multiplicaciones repetidas.
Por ejemplo: 10 10 10 10 10 10 10 107.
Puedes leer 107 como “diez a la séptima potencia” o “diez a la séptima”.
En 107, el 10 es la base y el 7 es
el exponente.
10
7
exponente
base
Notación científica
Las calculadoras usan la notación científica para mostrar números muy
grandes. El número aparece en la pantalla como un producto de un
número entre el 1 y el 10 y una potencia de diez.
Una calculadora que muestra
4.5 07
representa
el producto 4.5 107 4.5 10,000,000
45,000,000
1. Realiza los siguientes cálculos sin usar una calculadora.
a. 1,000 10 10
d. 63.7 100
b. 1,000 1,000
e. 0.58 1,000
c. 63.7 10
2. a. Usa números tales como 10, 100, 1,000 y así sucesivamente para
escribir cinco problemas diferentes de multiplicación para los que la
respuesta sea mil millones.
b. Escribe otros cinco problemas diferentes de multiplicación similares
a los de la parte a, pero para los que la respuesta es 2,270,000.
Sección A: Base diez 11
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A Base diez
3. Calcula lo siguiente y escribe tus respuestas de tres maneras
diferentes: en notación exponencial, como un solo número y
en palabras.
a. 104 103
b. 1,000,000 10,000
c. diez cien mil
d. mil un millón
4. a. Completa los exponentes que faltan y luego escribe la respuesta
como un solo número.
2.25 104 ______
22.5 10? ______
225 10? ______
b. Inventa un problema similar al a. Pídele a un compañero de clase
que resuelva tu problema.
Estas son dos maneras diferentes de mostrar
un mismo número en una calculadora.
5.1
06
5.1 E 06
5. a. Explica lo que aparece en pantalla.
b. Escribe este número como
un solo número.
Escribe, para un boletín de la escuela, un párrafo breve que describa los
beneficios de usar la notación científica tanto para los números muy
pequeños como para los números muy grandes.
12 Datos y factores
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B
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Factores
Píxeles
Jacqui y Nikki son amigos. Antes eran vecinos, pero Nikki
se mudó a Cleveland. Ahora mantienen su amistad a
través de Internet. Se envían correos electrónicos y
conversan en línea una vez al día como mínimo.
Hoy, después de la escuela, Jacqui revisó su correo
electrónico. Luego de aproximadamente tres minutos se
dio cuenta de que el mensaje de Nikki estaba tardando
más tiempo que el habitual en descargarse. Luego de
esperar impacientemente durante diez minutos, Jacqui le
pregunta a su hermano:
—Dave, ¿qué puedo hacer? ¡Mira la barra en la pantalla
de la computadora!
Esto es lo que muestra la barra de la computadora de Jacqui luego de
12 minutos.
1. Calcula cuántos minutos más deberá esperar Jacqui para descargar
por completo este mensaje. Muestra cómo hallaste tu respuesta.
El correo electrónico de Nikki incluía una foto de su
cachorro nuevo.
—Es una linda foto, pero el tamaño del archivo es
demasiado grande. Envíale un correo electrónico y
dile que debe reducir el tamaño de los archivos antes
de enviarlos —comenta Dave.
—Dave, ¿cómo puede ella hacer eso? Ni siquiera
yo conozco el modo de hacer eso —dice Jacqui.
Dave comparte lo que sabe acerca de las fotos
digitales.
SecciónB: Factores 13
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B Factores
Una fotografía digital está compuesta de muchos cuadrados pequeños de
colores. Estos cuadrados pequeños son elementos de la fotografía o píxeles.
La cantidad de píxeles determina el tamaño del
archivo; a mayor cantidad de píxeles, mayor
tamaño del archivo.
Este es un archivo más pequeño de Nikki y su
perro. La cantidad de píxeles disminuyó
muchísimo; ahora ya puedes ver los píxeles.
Ahora, investigarás el efecto de modificar la
cantidad de píxeles por pulgada (ppi).
Las Fotografias 1, 2 y 3 son la misma fotografía.
Los lados de la Fotografía 1 tienen una longitud
de dos pulgadas.
2. a. ¿Cuántos píxeles cuentas a lo largo de una pulgada?
b. ¿Cuál es el número total de píxeles en la Fotografía 1?
La Fotografía 2 muestra el mismo patrón de píxeles, pero usa
más píxeles por pulgada (ppi).
Fotografía 1
3. a. ¿Cuántos píxeles por pulgada hay en la Fotografía 2?
b. Sin contar, ¿qué puedes decir acerca del número de
píxeles por pulgada en la Fotografía 3?
Compara las Fotografías 1, 2 y 3.
4. Describe el modo en que las fotografías se parecen y
se diferencian.
Fotografía 2
Fotografía 3
4. Probablemente, no hallaste el número total de
píxeles contando todos los cuadrados pequeños.
Para contar los píxeles de la Fotografía 1 es probable
que hayas multiplicado 12 12. Siempre que multiplicas
un número por sí mismo, estás elevando al cuadrado
un número.
5. ¿Por qué crees que se usa la expresión “elevar al
cuadrado un número”?
14 Datos y factores
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Factores B
Dos maneras de indicar el número 12 elevado al cuadrado son 122 o 12^2.
Ambas representan 12 12, lo que da por resultado 144.
La Fotografía 1 tiene 12 píxeles a lo largo de cada lado, para un total de 122
o un total de 144 píxeles.
Los números como 144 que se obtienen de elevar al cuadrado un número,
se llaman números cuadrados o números cuadrados perfectos.
6. Halla, como mínimo, cinco números diferentes que sean cuadrados
perfectos. Comparte tu lista con un compañero. Observa si cada
uno de ustedes puede adivinar el número antes de que fuera elevado
al cuadrado.
Anteriormente, habías comparado el mismo patrón de píxeles para tres
fotografías de diferentes tamaños. Las fotografías se redujeron, pero el
número total de píxeles no se modificó.
Por lo tanto, si deseas reducir el tamaño de un archivo de
fotografía, debes reducir el número total de píxeles. Ahora,
investigarás las maneras de reducir el número de píxeles
modificando el número de píxeles por pulgada (ppi).
Los lados de esta fotografía cuadrada de una rosa de color rosa tienen
1 pulgada.
7. a. ¿Cuál es el número total de píxeles si hay 200 ppi?
b. ¿Cuál es el número total de píxeles si hay 100 ppi?
Observa que los lados de la fotografía siguen siendo de 1 pulgada.
Y ¿50 ppi? Y ¿25 ppi?
c. Copia esta tabla y escribe tus respuestas del punto b en la
columna 2. Describe el modo en que los píxeles por pulgada (ppi)
en la columna 1 varían de una fila a la otra.
ppi
Número total de píxeles
Tiempo de descarga
200
100
50
25
d. ¿Cómo disminuye el número total de píxeles cuando el número de
píxeles por pulgada se reduce a la mitad?
e. El tiempo de descarga disminuye a medida que se reduce el
número total de píxeles. El tiempo de descarga para una fotografía
de 200 ppi es 16 segundos. Usa esta información para completar la
última columna de tu tabla.
Sección B: Factores 15
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B Factores
La fotografía que Nikki incluyó en su correo electrónico tenía 400 ppi y su
tamaño era de 3 in por 4 in.
8. ¿Cuántos píxeles en total tenía la fotografía que Nikki envió por correo
electrónico? Muestra tus cálculos.
En la unidad Expresiones y fórmulas, usaste árboles aritméticos para
facilitar la organización de tus cálculos.
4
400
3
?
______
400
400
?
______
400
3
?
______
?
______
4
?
______
?
______
9. Explica el modo en que cada árbol aritmético se relaciona con el
problema 8.
10. a. Sin modificar el tamaño de su fotografía (3 in por 4 in), Nikki redujo
el número de píxeles a 200 ppi. ¿Cuántos píxeles en total componen
la nueva fotografía de Nikki?
b. Usa la información de la fotografía de Nikki para copiar y completar
esta tabla.
ppi
Número total de píxeles
400
200
100
c. En la tabla, el número de ppi se reduce a la mitad. ¿Qué ocurre con
el número total de píxeles?
Jacqui esperó aproximadamente 48 minutos para la descarga de la fotografía
original de Nikki.
11. a. ¿Cuál hubiera sido el tiempo de descarga si la fotografía hubiera
tenido 200 ppi en lugar de 400 ppi?
b. ¿Y si la fotografía hubiera tenido 100 ppi?
16 Datos y factores
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Factores B
Datos
Esta es la fotografía de Nikki demasiado
reducida: sólo tiene cinco píxeles por pulgada.
Las imágenes aparecen bastante bien en una
pantalla de computadora cuando tienen 72
píxeles por pulgada como mínimo.
Factores
En el problema anterior, podrías haber calculado el número total de píxeles
usando la división: 480,000 4 ___ , o la multiplicación: 4 ___ 480,000.
Las operaciones de división y multiplicación se relacionan mutuamente
de esta manera. Usando cualquiera de las dos operaciones, hallaste
que el número total de píxeles se redujo de 480,000 a 120,000. Dos
oraciones númericas para este contexto son 480,000 4 120,000
y 4 120,000 480,000.
Los números enteros 4 y 120,000 se llaman factores de 480,000.
12. a. Halla cuatro factores diferentes de 48.
b. ¿Puedes hallar un factor de 45 sin realizar cálculos? Explícalo.
c. ¿Cómo sabes que 2 no es un factor de 45?
Puede ser que recuerdes algunas reglas de divisibilidad. Las reglas de
divisibilidad involucran la división de números enteros sin residuo. Estas
son tres reglas de divisibilidad:
• Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.
• Un número es divisible por 4 si los últimos dos dígitos forman un
número que es divisible por 4.
• Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9.
13. a. ¿Es 2,520 divisible por 3? ¿Por 4? ¿Por 9?
b. ¿Es 2,520 divisible por 5? Escribe una regla para la divisibilidad por 5.
c. ¿Cómo puedes verificar si 2,520 es o no es divisible por 6?
d. ¿Qué otras reglas de divisibilidad conoces?
Sección B: Factores 17
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B Factores
Jacqui imprime 24 fotografías cuadradas. Ella desea usar todas las 24
fotografías para armar un cuadro rectangular en su habitación.
Ella comienza a investigar todos los posibles arreglos de modo tal que
pueda elegir el que quiera. Primero, diseña un arreglo rectangular.
Luego, decide hacer una lista de todos los arreglos posibles.
Las 24 fotografías de Jacqui:
Un posible arreglo rectangular de 24 fotografías; 6 horizontales
y 4 verticales:
Lista de todos los arreglos rectangulares posibles:
1 por 24
2 por 12
3 por 8
4 por 6
6 por 4
8 por 3
12 por 2
24 por 1
Ella le pregunta a Dave si esos son todos. Dave ve la lista y dice: “Creo que
1 por 24 es lo mismo que 24 por 1”.
14. ¿Estás de acuerdo con Dave? Sí o no, ¿por qué?
18 Datos y factores
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Factores B
24
Jacqui decide dibujar uno de los
arreglos de sus fotografías en un
papel cuadriculado.
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
24
4
2
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Esta es una gráfica que muestra
todos los arreglos rectangulares
de la lista de Jacqui.
(1, 24)
22
20
15. a. Explica lo que muestra
la gráfica.
18
b. ¿Cómo rotularías
los ejes?
16
14
c. Describe lo que tiene en
común cada par de
coordenadas.
(2, 12)
12
10
Como 3 8 24, 3 y 8 son
factores de 24.
(3, 8)
8
(4, 6)
6
16. Haz una lista de todos los
factores de 24 posibles.
(6, 4)
4
(8, 3)
(12, 2)
2
(24, 1)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
¿Cómo puedes tener
la seguridad de que
los tienes todos?
24
Sección B: Factores 19
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B Factores
17. a. Crea una gráfica que muestre todos los puntos que representan
factores de 25. ¿Cuántos puntos hay en esta gráfica?
b. Crea una gráfica que muestre todos los puntos que son factores
de 23. ¿Cuántos puntos hay en esta gráfica?
c. Describe una relación entre el número de puntos en la gráfica
y el número de factores.
18. a. ¿Qué números tendrán, siempre, un número impar de factores?
b. ¿Qué números tendrán, siempre, un número par de factores?
c. ¿Exactamente para qué número tiene la gráfica de factores
un punto?
19. a. Halla, como mínimo, cinco números que tengan exactamente
dos factores.
b. ¿Qué observas con respecto a los cinco números que hallaste en la
parte a?
Los números que hallaste en el problema 19a se denominan números
primos. Tienen exactamente dos factores: el número uno y el número
mismo. Seguirás investigando los números primos en la siguiente sección.
Puede que hayas descubierto una manera sencilla para hacer una lista de
todos los factores de un número.
Rosa, Lloyd y Raquel están hallando todos los factores de 36.
Este es su trabajo.
Lloyd:
Todos los factores de
36 son 1, 36, 2, 18, 3, 12, …
Rosa:
1 y 36
2 y 18
3 y 12 . . .??
Raquel
1
2
3
12
18
36
20. a. Si continuas la lista de Rosa, ¿cómo sabrás cuándo detenerte?
b. Termina el trabajo de Raquel para hallar todos los factores de 36.
c. Usa una de estas estrategias para hallar todos los factores de 96.
20 Datos y factores
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Actividad
Cambios de posición
En esta actividad, cada uno de los estudiantes que están de pie sostendrá
una tarjeta con un número de un conjunto especial.
Necesitarás tarjetas numeradas desde el 1 hasta el número total de
estudiantes de la clase.
Sigue estos pasos:
Paso I.
Cada alumno recibe una tarjeta y se pone de pie.
Paso II. ¿Cabe el número 2 en el número de tu tarjeta?
Si la respuesta es SÍ, el alumno debe sentarse; de lo
contrario, el alumno debe permanecer de pie.
Paso III. ¿Cabe el número 3 en el número de tu tarjeta?
Si la respuesta es SÍ, debes cambiar de posición.
Si estás de pie, siéntate; si estás sentado, ponte de pie.
Verifica si estás llevando a cabo el juego correctamente considerando estas
preguntas:
●
●
Luego del Paso III, ¿el alumno con el número 5 está de pie
o está sentado?
¿El alumno con el número 12 está de pie o está sentado?
Si todos están de acuerdo, continúa preguntando ¿El número ___ cabe
en el número de tu tarjeta? No olvides cambiar tu posición cada vez que tu
respuesta sea SÍ.
Paso IV. ¿Cabe el número 4 en el número de tu tarjeta?
Si tu respuesta es SÍ, cambia tu posición.
Si estás de pie, siéntate; si estás sentado, ponte de pie.
Continúa estos pasos preguntando si el número de la tarjeta es divisible
por 5, luego por 6, luego por 7, y así sucesivamente, hasta llegar al número
total de alumnos de la clase.
21. a. ¿Qué números pertenecen a los alumnos que están parados al
final? ¿Qué tienen en común estos números?
b. Si realizas esta actividad con 100 alumnos, ¿qué números deberán
sostener los estudiantes que estén de pie al final?
Sección B: Factores 21
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B Factores
Elevar al cuadrado
Multiplicar un número por sí mismo es elevar al cuadrado un número.
Las dos maneras de indicar que un número, por ejemplo 3, está elevado
al cuadrado son 32 y 3^2. Ambas representan 3 3, lo que da por
resultado 9.
Los números que se obtienen al elevar al cuadrado un número se llaman
números cuadrados o números cuadrados perfectos.
Factores
5 es un factor de 30 porque 30 dividido 5 es un número entero.
30 5 6 y 5 6 30, por lo tanto, 6 es otro factor de 30. Todos los
factores de 30 son:
1
2
3
5
6
10
15
30
Divisibilidad
Para averiguar si un número es divisible por un número determinado,
puedes seguir algunas de las reglas de divisibilidad.
Un número es divisible:
por 2 si el último dígito es es par;
por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por tres;
por 5 si el último dígito es un cero o un cinco;
por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por nueve.
Número primo
Un número es primo si tiene exactamente dos factores: el número
mismo y el número uno.
22 Datos y factores
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1. En la Escuela Intermedia Green, hay 945 alumnos. ¿Es posible dividir a
todos los alumnos en grupos de a tres? ¿En grupos de a seis?
2. Halla todos los factores de:
a. 15
c. 53
b. 32
d. 17
3. a. Da un ejemplo de un número que tenga un número par de factores.
b. Da un ejemplo de un número que tenga un número impar
de factores.
c. ¿Cómo denominas a los números que tienen un número impar
de factores?
4. Enumera todos los números del 1 al 100 que son números
cuadrados perfectos.
Considera estos enunciados.
“El número 2 es factor de todos los números pares. Por lo tanto,
no hay números primos pares.”
“Todo número par dividido por un número par es par.”
Indica si cada uno de los enunciados es verdadero o falso.
Justifica tu razonamiento.
Sección B: Factores 23
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C
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Números primos
Árboles invertidos
Mientras iba a St. Ives, me encontré
con un hombre con siete esposas.
Cada esposa tenía siete bolsas,
Cada bolsa tenía siete gatos,
Cada gato tenía siete gatitos.
Gatitos, gatos, bolsas y esposas.
¿Cuántos iban a St. Ives?
7
7
7
?
______
7
?
______
?
______
En la Sección B, usaste árboles aritméticos para organizar tus cálculos.
1. Usa un árbol aritmético para calcular 2 5 7 7.
Estos son dos árboles aritméticos diferentes para calcular 5 5 2 6 3.
5
5
2
?
______
6
?
______
3
5
5
6
2
?
______
?
______
?
______
?
______
?
______
?
______
2. a. ¿Darán ambos el mismo resultado? Sí o no, ¿por qué?
b. ¿Qué árbol aritmético preferirías usar? ¿Por qué?
24 Datos y factores
3
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Números primos C
Puedes escribir 150 como un producto de
dos factores.
150 3 50
Ambos números, 3 y 50, son factores de 150.
un producto de cuatro factores
3. a. Explica por qué 10 es un factor de 150.
b. ¿Qué es un factor? Usa tus propias palabras
para describir “factor”.
Un árbol aritmético invertido puede ayudarte a
escribir un número como producto de factores.
24
4. a. ¿Qué información te da el árbol aritmético
invertido?
2
12
b. Usa los “números finales” (los números
que se encuentran al final del árbol) para
escribir 24 como un producto de factores.
6
2
2
3
Estos árboles aritméticos especiales se denominan árboles de factores. En
estos árboles de factores, sólo verás los signos de multiplicación. Este es el
comienzo de un árbol de factores para el número 1,560.
1,560
10
2
156
5
5. a. Copia y completa el árbol de factores para el número 1,560.
Extiende las ramas lo más lejos posible.
b. ¿Cómo sabrás cuándo has terminado el árbol por completo?
c. Usa los números finales para escribir 1,560 como un producto
de factores.
d. ¿Usarías el número 1 como número final? Sí o no, ¿por qué?
Sección C: Números primos 25
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C Números primos
Cuando has extendido el árbol de factores lo más posible, has
descompuesto en factores completamente el número original. El número 1
es un factor de todos los números pero no es necesario incluir los números
1 en un árbol de factores.
6. Descompone cada número en la mayor cantidad de factores posibles.
Usa un árbol de factores para escribir cada número como un producto
de los números finales.
a. 56
c. 420
b. 285
d. 3,432
Tanto Hackan como Alberta han comenzado, cada uno, un árbol de factores
para descomponer 1,092 en todos los factores posibles.
Hakan se da cuenta de que
1,092 es par de manera que
comienza su árbol así:
Alberta se da cuenta de que 1,092 es
divisible tanto por 2 como por 3, de
manera que es divisible por 6. Ella
comienza su árbol así:
1,092
1,092
2
546
6
182
7. a. En tu cuaderno, completa los árboles de factores de Hakan
y de Alberta.
b. ¿Obtienes los mismos factores al final de las ramas de cada uno
de los árboles?
8. a. Regresa a todos los árboles de factores que has hecho hasta ahora
y compila una lista de todos los números finales.
b. Has aprendido otro nombre para estos números finales en la
Sección B. ¿Cuál es?
c. Halla al menos otros tres números finales posibles que no estén en
la lista que hiciste para la parte a.
26 Datos y factores
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Números primos C
Números primos
Los números finales de todos los árboles de factores son números primos.
En la Sección B, descubriste que los números primos tienen exactamente
dos factores, el número uno y el número mismo.
Los números que no son números primos se llaman números compuestos.
El número 1 no es ni un número primo, ni un número compuesto.
En la antigüedad, los griegos usaban los números primos. Eratóstenes
descubrió un método para extraer todos los números primos del 1 al 100.
Comenzó con una lista de 100 números de los cuales seleccionó los
números primos tachando los múltiplos de los números.
Los múltiplos de 2 son 2, 4, 6, 8, 10 y así sucesivamente.
9. a. ¿Cuál es el siguiente múltiplo de 2?
b. Enumera los primeros cinco múltiplos de 3.
c. ¿Tienen ambas listas números en común? Explícalo.
Sección C: Números primos 27
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Actividad
Usa la Hoja de actividad del estudiante 2 y los problemas del 10 al 15 para
volver a crear el método de Eratóstenes para extraer los números primos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
10. a. Encierra en un círculo el número 2 y coloca una X sobre todos los
otros múltiplos de 2.
b. Los números con una X no son primos. ¿Por qué no?
11. a. Encierra en un círculo el 3 y coloca una X sobre todos los otros
múltiplos de 3.
b. Explica por qué no necesitas poner una X sobre todos los
múltiplos de 4.
c. ¿Necesitas tachar los múltiplos de 6? Explica por qué.
d. Pablo siguió estos pasos y dijo: “No puedo encontrar ningún
número divisible por 12 que no haya sido tachado”. ¿Tiene razón
Pablo? Explica tu respuesta.
e. Marisa sostiene que incluso si extendieras la tabla hasta el número
1,000, todos los números de la tabla que son divisibles por 24 ya
estarían tachados. ¿Estás de acuerdo? Explícalo.
28 Datos y factores
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12. a. Encierra en un círculo el 5 y coloca una X sobre todos los otros
múltiplos de 5 que no han sido tachados.
b. ¿Cuál es el primer número sobre el que pusiste una X?
c. Encierra el 7 en un círculo. Sin mirar la tabla, menciona el primer
múltiplo de 7 sobre el que deberías colocar una X. Explica cómo
pudiste determinar este número. Ahora, tacha los otros
múltiplos de 7.
d. ¿Por qué es necesario tachar todos los múltiplos de 8, 9 y 10?
13. a. Encierra el 11 en un círculo. ¿Sobre qué múltiplo de 11 pondrás
una X primero?
b. Encierra en un círculo todos números que no han
sido tachadados.
c. ¿Que número encerraste en el círculo?
d. ¿En qué columnas aparecen estos números encerrados
en un círculo?
14. a. Explica por qué tachaste sólo los múltiplos de los
números primos.
b. Explica por qué tuviste que tachar los múltiplos de los números
primos únicamente hasta el número 11.
Factores primos
El número 8 se puede descomponer en todos los factores posibles como
un producto de números primos: 8 2 2 2.
15. a. Escribe cada número compuesto entre el 2 y el 10 como un
producto de números primos.
b. ¿Piensas que es posible escribir todos los números usando sólo
los números primos y la multiplicación?
Por medio de los árboles de factores puedes hallar todos los factores
primos de un número.
16. a. Usa el método de árbol de factores para hallar todos los factores
primos de 156.
b. Escribe 156 como un producto de factores primos.
Sección C: Números primos 29
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C Números primos
Este es otro método que puedes usar para hallar todos los factores
primos de un número.
156 2
——
78
——
2
39
—— 3
13
——
13
1
17. a. Compara este método con el método del árbol.
b. Usa este método para hallar todos los factores primos de 72.
Cubos y cajas
Helena administra el departamento de
expedición de Learning Is Fun, Inc., una
empresa que fabrica cubos de un centímetro
para las escuelas.
18. a. Un tipo de caja contiene 24 cubos.
¿Cuáles son las posibles dimensiones
de esta caja?
b. Otro tipo de caja contiene 45 cubos.
¿Puede esta caja tener la misma altura
que una caja que contiene sólo 24
cubos? Explica, sí o no, ¿por qué?
Para poder apilar las cajas con facilidad, Learning Is Fun quisiera que las
cajas tuvieran la misma longitud y el mismo ancho. Cada caja que se envía
está totalmente llena de cubos de un centímetro.
19. ¿Es posible que los dos tipos de caja del problema 18 tengan la misma
longitud y el mismo ancho? Explica y da la longitud, el ancho y la
altura de ambos tipos de caja.
30 Datos y factores
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Números primos C
Learning Is Fun también empaca cubos en dos cajas diferentes de gran
tamaño. Una caja contiene 210 cubos y la otra 315 cubos. Las cajas grandes
deben estar totalmente llenas de cubos de un centímetro.
20. a. ¿Es posible que estas dos cajas tengan la misma altura?
Explica tu respuesta.
b. Helena quiere que las bases de las cajas tengan las mismas
dimensiones para poder apilarlas con más facilidad. ¿Es esto
posible? Si es así, ¿cuáles son las dimensiones posibles para
la base?
c. ¿Qué información necesitas conocer acerca de los números 210 y
315 para poder contestar las partes a y b anteriores?
Learning Is Fun ahora quiere fabricar una caja grande adicional que
contenga 525 cubos.
21. a. ¿Cuáles son las posibles dimensiones de esta caja? Nombra tres
posibilidades como mínimo.
b. ¿Es posible fabricar cajas para 210, 315 y 525 cubos con bases
de dimensiones iguales? Explica tu respuesta.
c. ¿Cómo puede ayudarte a resolver este problema la descomposición
en factores primos?
Sección C: Números primos 31
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C Números primos
En esta sección, usaste los árboles de factores y otros métodos para
descomponer números compuestos en todos los factores posibles como
producto de factores primos. Los números finales de los árboles son
números primos.
Números primos
Los números primos tienen exactamente dos factores, el número uno y el
número mismo.
Números compuestos
Los números que no son primos se llaman números compuestos.
El número 1 no es ni un número primo, ni un número compuesto.
Producto de factores
Puedes escribir 150 como un producto de cuatro factores:
150 2 3 5 5
Los números 2, 3, y 5 son factores de 150.
También puedes escribir 150 como un producto de dos factores.
150 3 50
Otro factor de 150 es 50.
Todos los factores de 150 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 y 150.
Los factores primos de 150 son 2, 3 y 5.
32 Datos y factores
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Hallar los factores primos
Has aprendido dos métodos para hallar todos los factores primos de un
número.
Por medio de los árboles de factores puedes hallar todos los factores
primos de un número.
140
2
70
2
35
5
7
Este es otro método que puedes usar para hallar todos los factores primos
de un número.
140 2
——
70
——
2
35
——
5
7
—— 7
1
Puedes usar todos los números finales para descomponer 140 en todos los
factores posibles como un producto de números primos.
140 2 2 5 7
Los factores primos de 140 son 2, 5 y 7.
1. Usa un árbol aritmético para calcular 5 7 4 5 2.
2. ¿Cuáles de estos números son números compuestos? Explica
tu respuesta.
12
19
39
51
Sección C: Números primos 33
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C Números primos
3. Usa el método que quieras para descomponer cada número en todos
los factores posibles como un producto de números primos.
a. 99
b. 750
c. 264
4. a. ¿Cuáles son las dimensiones posibles de una caja que puede
llenarse completamente con ocho cubos de un centímetro. Nombra
tres posibilidades como mínimo.
b. ¿Cuáles son las dimensiones posibles de una caja para 50 cubos de
un centímetro? Nombra tres posibilidades como mínimo.
Siete casas contienen siete gatos.
Cada gato mata siete ratones.
Cada ratón había comido siete
espigas de cereal.
Cada espiga de cereal debería
haber producido siete hekats
de trigo.
¿Cuál es el total de todos estos
elementos?
Escribe un relato de cinco oraciones similar al anterior que comience así:
“Cinco estudiantes tienen cinco amigos. Cada amigo tenía…”. En la
conclusión, halla el número total de las cosas que mencionaste en
el relato.
34 Datos y factores
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D
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Cuadrado y raíz cuadrada
Cuadrado
Recuerda la Sección B en la cual elevaste números al cuadrado. En esta
sección, seguirás elevando números al cuadrado usando el contexto
del área.
1. a. Dibuja un cuadrado que mida 3 cm por 3 cm.
b. ¿Cuántos cuadrados (1 cm por 1 cm) cubren totalmente el
cuadrado que acabas de dibujar?
c. Explica el modo en que la operación de elevar al cuadrado se
relaciona con el área del cuadrado que dibujaste en a.
2. a. Copia y completa esta tabla colocando en el área del cuadrado
longitudes de lados comprendidas entre 1 cm y 10 cm.
1
Longitud del lado
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Área del cuadrado (en cm2)
b. ¿Es esta tabla una tabla de razones? Explica, sí o no, ¿por qué?
c. Usa la cuadrícula de la Hoja de actividad del estudiante 3 para
hacer una gráfica de la información incluida en tu tabla. Une todos
los puntos con una curva uniforme.
d. Describe la curva de tu gráfica. Explica lo que te indica esta curva.
Guarda estas gráficas. Las usarás nuevamente en el problema 7.
Para los problemas del 3 al 7, usa papel cuadriculado en centímetros.
3. a. Dibuja un cuadrado que mida 1 cm por 1 cm.
b. ¿Cuál es el área de este cuadrado?
c. Dibuja un cuadrado de –1– cm por –1– cm.
2
2
d. Usa tus dos dibujos para explicar que –1– –1– –1– .
2
2
4
Ahora, observarás cuadrados más grandes.
4. a. Dibuja una cuadrado de 1 –1– cm por 1 –1– cm.
2
2
b. Usa este dibujo para calcular el área del cuadrado. (Recuerda
la unidad Redistribución.)
Sección D: Cuadrado y raíz cuadrada 35
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D Cuadrado y raíz cuadrada
El número 1 –1– se llama número mixto. Es una combinación de un número
2
entero y una fracción.
5. a. Usa un dibujo para calcular el área de un cuadrado cuyos lados
tienen 2 –1– cm de longitud.
2
b. Usa un dibujo para calcular 3 –1– 3 –1– .
2
2
c. ¿Qué significa (4 –1– )2? Calcula (4 –1– )2.
2
2
d. Calcula (5 –1– )2.
2
6. Usa los resultados de los problemas 4 y 5 para sumar cinco puntos
más a tu gráfica del problema 2c.
Nicole usa el patrón de sus respuestas
en el problema 5 para afirmar: “¡Hay
un patrón para elevar al cuadrado
estas mitades! Mira, si quiero calcular
6 –1– 6 –1– , simplemente calculo 6 7
2
2
y luego sumo –1– ”.
4
7. a. Muestra cómo puedes usar tu gráfica para comprobar si la idea
de Nicole tiene sentido.
b. Usa un dibujo de un cuadrado cuyos lados tienen 6 –1– cm de
2
longitud para demostrar que Nicole tiene razón. ¿Funcionará
siempre la idea de Nicole? ¿Cómo lo sabes?
c. Usa la idea de Nicole para calcular 9 –1– 9 –1– .
2
2
d. Usa tu gráfica del problema 2 para verificar si tu respuesta a c es
o no razonable.
e. Usa la misma gráfica para estimar el área de un cuadrado cuyos
lados tienen 3.8 cm de longitud.
36 Datos y factores
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Cuadrado y raíz cuadrada D
Raíz cuadrada
Actividad
Doblar las esquinas de un cuadrado
•
Usa la Hoja de actividad del estudiante 4. Recorta la
cuadrícula de 8 cm por 8 cm. ¿Cuál es el área de
esta figura?
•
Dobla las cuatro esquinas de manera tal que se junten en
el centro. ¿Cuál es la forma de este papel doblado? ¿Cuál
es su área? Mide la longitud de cada lado de la figura con
una regla. (Pista: tal vez quieras mirar el reverso
de la figura.)
•
Dobla las cuatro esquinas nuevas de manera tal que se
junten en el centro. Repite este proceso hasta que hayas
observado un total de cinco figuras. Cada vez que dobles
las cuatro esquinas, escribe el nombre de la figura, el área
de la figura y la longitud de uno de sus lados.
•
¿Cómo cambia el área cada vez que doblas las esquinas
para hacer una figura nueva?
En la actividad, mediste la longitud de un lado de un cuadrado de 32
centímetros cuadrados (cm2) de área. Mina realizó la misma actividad y
midió una longitud de 5.6 cm. Cuando Justin realizó la actividad, midió una
longitud de 5.7 cm.
8. a. ¿Se parecen tus mediciones a las de Mina y Justin?
b. Cuando Vance observó las respuestas de Mina y de Justin, comentó
que se aproximaban a la respuesta correcta pero no eran exactas.
¿Cómo lo supo?
Sección D: Cuadrado y raíz cuadrada 37
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D Cuadrado y raíz cuadrada
Kay, Juanita y Rick están conversando sobre la longitud del lado
del cuadrado que tiene un area de 32 cm2.
5.6568542
—Juanita —dijo Kay—, no creo que 5.6 cm o 5.7 cm sea
suficientemente preciso. Si extendemos el número a más
cifras decimales, obtendremos la longitud exacta. Probemos
con 5.65, porque está justo en el medio de 5.6 y 5.7.
—Kay, no creo que eso ayude —respondió Juanita—.
Un número con decimales multiplicados por sí mismo nunca
dará como resultado un número entero.
—Lo calculé con mi calculadora y obtuve 5.6568542 —agregó
Rick—. Esa tiene que ser la respuesta exacta.
—¡Muy buen trabajo, Rick! —concluyó Kay—. Verifiquémoslo.
9. a. Al principio de la conversación, Kay y Juanita no están de acuerdo.
¿Quién crees que tiene la razón? Explícalo.
b. ¿Cómo halló Rick el número 5.6568542 con su calculadora?
Juanita olvidó su calculadora y escribe 5.6568542 en un pedazo de papel.
Comienza a analizar si el número de Rick es la longitud exacta del lado del
cuadrado. Rick usa su calculadora para verificar el número que halló.
10. a. ¿Cómo puede Juanita verificar el número sin una calculadora?
Basándote en el cálculo de Juanita, ¿es el número de Rick la
longitud exacta del lado del cuadrado?
b. ¿Cómo pudo Rick verificar el número en su calculadora? Haz
lo mismo en tu calculadora. Escribe las teclas que pulsaste y
el resultado.
38 Datos y factores
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Cuadrado y raíz cuadrada D
Ahora, usarás una calculadora para hallar la longitud del lado de
un cuadrado que tiene un área de 52 cm2. La longitud de este
lado (o la longitud del lado de cualquier cuadrado) puede
hallarse sacando la raíz cuadrada del área.
冑苳苳
52
11. ¿Cómo funciona la tecla de la raíz cuadrada?
12. Usa la Hoja de actividad del estudiante 5 para investigar la
raíz cuadrada de 52. Describe en un párrafo los resultados
que hallaste y lo que piensas acerca del valor exacto de 冑苳苳苳
52.
13. Dibuja un cuadrado que tenga un área de 20 cm2. Explica la
estrategia que usaste.
14. a. ¿Para cuáles de los siguientes números resultará más sencillo hallar
la raíz cuadrada? Escribe las raíces cuadradas de los números que
seleccionaste.
24
49
121
120
81
72
1
64
2.5
0.25
225
525
b. Ten en cuenta los números que no seleccionaste en la parte a.
Usa tu calculadora para aproximar las raíces cuadradas de
estos números.
15. ¿Cómo puedes saber si puedes obtener un número exacto para
una raíz cuadrada?
16. a. ¿Cómo puedes hallar el número entero que más se aproxima a
冑苳苳
24? Explica esto sin usar una calculadora.
b. Dibuja una recta numérica desde –6 hasta 6 y ubica los siguientes
números en la recta númerica.
冑苳苳
36
5
5
冑苳苳
5
冑苳苳
5
冑苳苳
6
冑苳苳
17 un medio de 冑苳苳
50
Sección D: Cuadrado y raíz cuadrada 39
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D Cuadrado y raíz cuadrada
No tan cuadrado
El piso de la habitación de Nathan es de 2 –1– m por 4 –1– m. Su habitación se
2
2
renovará y el piso se hará nuevamente. Para estimar el costo del nuevo
piso, Nathan estima que su área será aproximadamente de 8 –1– m2.
4
17. a. ¿Cómo llegó Nathan a esta respuesta?
b. Demuestra que esta respuesta no puede ser correcta.
c. En papel cuadriculado, traza un dibujo a escala del piso de la
habitación de Nathan. Usa el dibujo a escala para calcular el área
del piso.
40 Datos y factores
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Cuadrado y raíz cuadrada D
Durante el otoño, Nathan gana dinero adicional trabajando en el manzanar.
En una hora, llena 3 –1– fanegas de manzanas. ¿Cuántas fanegas habrá
2
llenado luego de trabajar 6 –1– horas?
2
Una solución a este problema implica calcular 3 –1– 6 –1– . A pesar de
2
2
que entran en juego las fanegas de manzanas y las horas, puedes usar
el modelo del área para hacer el cálculo. En este caso, el área tiene
3 –1– 6 –1– , y el rectángulo tiene 3 –1– por 6 –1– .
2
2
2
2
1
2
6
3
18
1
2
18. a. Copia el modelo del área anterior y usalo para
hallar el número de fanegas de manzanas que
Nathan habrá llenado luego de trabajar durante
6 –1– horas.
2
b. Usa el modelo del área para calcular
3 –1– 4 –1– .
2
2
c. Usa el modelo del área para calcular
5 –1– 11 –1– .
2
2
Sección D: Cuadrado y raíz cuadrada 41
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D Cuadrado y raíz cuadrada
Cuadrado
Para hallar el área de un cuadrado puedes elevar al cuadrado las longitudes
de sus lados. Por ejemplo, si la longitud del lado de un cuadrado es 5 cm,
entonces el área es 5 cm 5 cm, o 52 cm2, o 25 cm2.
Raíz cuadrada
Si conoces el área de un cuadrado puedes hallar la longitud del lado del
cuadrado “sacando la raíz cuadrada” del área. “Sacar la raíz cuadrada” del
área y “hallar la raíz cuadrada” del área son dos maneras diferentes de
expresar el mismo concepto.
Por ejemplo:
Si el área es 52 m2, entonces la longitud del lado
es 冑苳苳
52 m. Por medio de la 冑苳苳 tecla de tu
calculadora, hallas que 冑苳苳
52 ≈7.211.
Puedes escribir la longitud del lado ≈ 7.2 m.
¡Piensa cómo puedes redondear tu respuesta!
52 m2
Números mixtos
Un número mixto es un número que resulta de la suma de un número
entero y una fracción.
Por ejemplo, 3 –1– es un número mixto porque 3 –1– 3 –1– .
2
2
2
Puedes usar el modelo del área para multiplicar números mixtos.
3 –1– 8 –1–
2
2
1
2
8
3
24
1
2
4
1 12
1
4
Las cuatro partes dan un total de 29 –3– (24 4 1 –1– –1– ).
4
Por lo tanto 3 –1– 8 –1– 29 –3– .
2
42 Datos y factores
2
4
2
4
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1. a. ¿Cuál es la base en 25?
b. ¿Cuál es el exponente en 25?
c. Calcula 25.
2. ¿Cuáles son las longitudes de los lados de los cuadrados de cada área dada?
a. 1200 in2
b. 120 in2
d. 1.2 in2
e. 0.12 in2
c. 12 in2
f. Compara tus respuestas de la a a la e. ¿Qué observas?
3. En Springville las calles y avenidas forman las
manzanas de la ciudad. Las manzanas son muy
regulares y se parecen mucho a una cuadrícula.
Cada manzana de Springville tiene, por lo
general, –1– de milla de largo.
–1– milla
8
8
a. ¿Cuál es el área de una manzana de la ciudad?
b. Calcula –3– 1 –1–.
8
2
4. Calcula 3 –1– 2 –1– .
2
3
En este patrón puedes ver cuatro
cuadrados. Sin hacer mediciones
o cálculos, ¿qué relación
observas entre los
cuadrados rojos?
Halla el área y las
longitudes de los lados
de cada uno de los cuatro
cuadrados. Compara el área y
la longitud de los lados.
¿Qué otras relaciones observas?
Sección D: Cuadrado y raíz cuadrada 43
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Más potencias
La leyenda del tablero de ajedrez
Sissa inventó el juego de ajedrez en la India durante el siglo VI.
El soberano de Sissa estaba tan satisfecho con el nuevo juego que le
ofreció a Sissa una recompensa en oro.
Sissa solicitó una recompensa en arroz y sugirió que se le diera arroz
durante 64 días (el número de cuadrados en el tablero de ajedrez). Sissa
adoraba los patrones y pidió:
un grano de arroz durante el primer día,
dos granos de arroz durante el segundo día,
cuatro granos de arroz durante el tercer día,
ocho granos de arroz durante el cuarto día,
y así sucesivamente, duplicando el número de granos
de arroz cada vez.
¡El soberano estaba satisfecho de que Sissa solicitara una recompensa
tan pequeña!
1. a. Estima ¿cuántos granos de arroz recibirá Sissa el día número 64?
b. ¿Qué deberías hacer para calcular el monto total de arroz que Sissa
espera recolectar?
c. ¿Qué opinas sobre esta recompensa?
44 Datos y factores
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Más potencias E
Al principio de esta unidad trabajaste con potencias de diez. Escribiste
factores repetidos de diez en notación exponencial:
10 10 10 10 está escrito como 104. Puedes escribir números con
bases distintas de 10 usando la notación exponencial. Por ejemplo, 125 es
5 5 5, de manera que 125 53.
2. Descompone estos números en todos sus factores como producto de
números primos. Escribe la descomposición en factores primos usando
la notación exponencial.
a. 8
b. 81
c. 1,024
3. a. Calcula 35.
b. ¿Qué número es mayor, 32 o 23? Explica por qué.
c. ¿Qué número es mayor, 42 o 24? Explica por qué.
Sección E: Más potencias 45
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Más potencias
Potencias de base dos
Puedes resolver el problema usando potencias de base dos. Se ha creado
esta tabla para los primeros diez días de los 64 durante los cuales Sissa
recibirá arroz.
Número de granos de arroz
Día
Cada día
1
Suma parcial
Total parcial
1
1
2
21
2
12
3
3
22
4
34
7
4
23
8
78
15
5
24
16
6
25
32
7
26
64
8
27
128
9
28
256
10
29
512
4. a. Describe un patrón para las primeras dos columnas.
b. Puedes escribir el número de granos de arroz para el primer día
como una potencia de dos. ¿Cómo? Explica tu razonamiento.
5. Explica el modo en que puedes hallar la respuesta al problema
del arroz en 1a si usas la notación exponencial.
Usa el patrón de las últimas tres columnas como ayuda para contestar
estas preguntas:
6. a. ¿Cuál es el número total de granos después de cinco días?, y,
¿luego de seis días?
b. ¿Cuántos granos recibirá Sissa el día 11?
c. ¿Cuántos granos recibirá Sissa en total el día 11? Explica tu trabajo.
d. ¿Cuál es la relación entre el número de granos por día y el número
total de granos?
46 Datos y factores
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Más potencias E
El día 19, Sissa tendrá 262,144 granos.
7. a. Escribe este número como una potencia de dos.
b. ¿Cuántos granos en total tendrá el día 19? Explícalo.
c. Escribe tu respuesta a b usando potencias de base dos.
Cinco alumnos usaron potencias de base dos para escribir el número total
de granos luego de 64 días.
Esto es su trabajo.
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + ...... + 263
Ali
263 – 1 + 263
264
Bea
Cici
2 263 – 1
264 – 1
Deron
Eva
8. Para cada alumno, explica si el trabajo está bien o mal.
Sección E: Más potencias 47
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Más potencias
E
Potencias de base tres
Potencias de base tres
31
3
32
9
33
27
34
81
35
243
3
729
7
3
2,187
38
6,561
3
19,683
10
3
59,049
311
177,147
312
531,441
313
1,594,323
314
4,782,969
6
9
3
14,348,907
16
3
43,046,721
317
129,140,163
15
Esta tabla se puede usar para hallar productos de
potencias de base 3.
243 729 177,147
33333
333333
9. Explica la manera como puedes usar esta tabla para
verificar que el producto de 243 729 es 177,147.
10. Usa la tabla para calcular:
a. 9 243
b. 6,561 6,561
c. 3 19,683
11. a. Escribe una regla para multiplicar con potencias de
base tres.
b. ¿Se puede aplicar tu regla a potencias de base
diez? Ilustra esto con un ejemplo.
c. Calcula 52 103. ¿Funciona tu regla en este caso?
Sí o no, ¿por qué?
318
319
320
Bases diferentes
En la sección C, usaste dos métodos diferentes para
descomponer un número en todos los factores posibles
como producto de factores primos.
324
2
162
2
...
324
12. a. Escribe la descomposición en factores primos
de 324.
b. ¿Cuáles son los dos factores primos diferentes
de 324?
c. Kathie halla los factores primos de 288 y escribe
288 25 32. Explica qué fue lo que hizo.
d. Escribe tu respuesta como un producto de
potencias usando dos factores primos diferentes.
48 Datos y factores
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Más potencias E
La descomposición en factores primos de 400 es 2 5 2 5 2 2.
Puedes escribir la descomposición en factores primos de 400 como un
producto de potencias. Usando los factores primos 2 y 5, la
descomposición en factores primos de 400 es 24 52.
13. Escribe la descomposición en factores primos de cada número. Si es
posible, usa la notación exponencial para escribir cada
descomposición en factores como un producto de potencias.
a. 216
b. 6,125
c. 1,000
Joshua, Brenda, Verónica y Pete calcularon 10 23. Esto es su trabajo.
10 x 23 =
10 x 2 3 =
10 X 23 =
101 x 23 =
20 3 =
10 x 6 = 60
10 X 8 = 80
20 4 = 160,000
Brenda
Verónica
Pete
8,000
Joshua
14. Para cada alumno, explica si el trabajo está bien o mal.
Kian tiene diez cubos y cada uno de ellos mide 2 cm por 2 cm por 2 cm.
15. a. ¿Cuál es el volumen total de los diez cubos de Kian?
b. ¿Cómo se relaciona el problema 15a con el problema 14?
16. a. Calcula 5 43.
b. Calcula 32 103.
c. Escribe una regla para multiplicar con potencias de
bases diferentes.
Sección E: Más potencias 49
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Más potencias
De regreso a los egipcios
Al comenzar esta unidad, investigaste
el sistema numérico egipcio. Ahora,
investigarás cálculos que ellos
inventaron hace años y que nosotros
aún usamos hoy en nuestro mundo
con calculadoras, computadoras y CD.
Osiris es un granjero egipcio. Es capaz
de cosechar 75 kg de arroz por día.
17. a. Usa una tabla de razones para hallar cuánto habrá cosechado
después de 12 días.
b. Escribe una operación de multiplicación que podría resolver este
problema. Realiza el cálculo.
Los egipcios usaban un método especial
de duplicación para multiplicar.
Esta es una estrategia similar que
probablemente reconozcas.
Ejemplo de la tabla de razones:
13 51
1✓
51
2
102
4✓
204
8✓
408
1
2
4
8
13
51
102
204
408
663
663
18. a. Describe cada paso realizado en la tabla de razones.
b. Compara y contrasta ambas estrategias.
c. ¿Cómo puedes hallar 11 51 usando los cálculos anteriores?
d. Usa el método de duplicación egipcio para calcular 18 51.
50 Datos y factores
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Más potencias E
Tanto el método egipcio como el método de la tabla de razones muestran
cómo puedes escribir el número 13 como una suma de diferentes
potencias de base dos. Como 13 1 4 8, puedes escribir 13 como una
suma de potencias de base dos: 13 20 22 23.
19. a. Usa la respuesta al problema 18c para escribir el número 11 como
una suma de potencias de base dos.
b. Usa la respuesta al problema 18d para escribir el número 18 como
una suma de potencias de base dos.
Puedes escribir cualquier número entero como una suma de potencias de
base dos. Para hallar estas potencias de base dos, puedes usar una tabla.
Toda potencia de base dos no se usa más de una vez. El número meta se
ubica en la posición izquierda superior de la tabla.
12
5
4
3
2
1
0
24
23
22
21
20
2
2
2
2
2
1
1
0
0
1
0
1
20. a. Explica la información que muestran estos dos esquemas.
b. Usa la Hoja de actividad del estudiante 6 para escribir todos los
números enteros del 1 al 15 como una suma de potencias de
base dos.
Acabas de volver a escribir quince números del sistema decimal (base 10)
en el sistema binario (base 2).
El número 5 en el sistema binario es 101 y se lee como “uno, cero, uno”. El
número 12 en el sistema binario es 1100. El sistema binario usa sólo dos
dígitos: 0 y 1. El prefijo “bi” en binario significa dos.
Este es un reloj binario especial con luces azules
pequeñas que brillan para mostrar la hora actual.
Cada luz está prendida (1) o apagada (0).
21. a. La tercera columna muestra el número 4.
¿Cómo podrías explicar esto a alguien?
b. ¿Qué hora muestra el reloj ahora? Muestra
tu trabajo.
Sección E: Más potencias 51
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E Más potencias
Productos de potencias
Puedes descomponer cualquier número en todos los factores posibles
como un producto de factores primos. A veces, cuando los factores se
repiten, puedes escribir este número como un producto de potencias.
Por ejemplo:
5,625 3 3 5 5 5 5
32 54
Puedes combinar un producto de potencias con la misma base en una base
y una potencia. Por ejemplo:
32
33
35
3 3 3 3 3 35
23
Si quieres calcular un producto de potencias con bases diferentes, entonces
debes calcular primero las potencias y luego realizar la multiplicación. No
hay métodos abreviados porque las bases son diferentes. Por ejemplo:
53 102
125 100, que es 12,500
El sistema binario
El sistema binario se basa en las potencias de base dos. Existen
únicamente dos dígitos en el sistema binario, 0 y 1. Para escribir un número
en el sistema binario sólo necesitas escribir el número como una suma de
potencias de 2. Por ejemplo:
5
24
23
22
1
21
0
20
1
5
4 1
20
22 22 0
20
2
1
1 2 + 0 2 + 1 20
En el sistema binario puedes escribir 5 como 1012 (se lee como “uno, cero,
uno, base 2”).
52 Datos y factores
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Page 53
1. Escribe 10,000 como un producto de potencias.
2. Escribe la descomposición en factores primos de cada número.
Si es posible, usa la notación exponencial para escribir cada
descomposición en factores como un producto de potencias.
a. 288
b. 900
c. 1764
3. Calcula 23 52.
4. Usa la tabla con potencias de base
tres para calcular:
Potencias de base tres
31
3
a. 27 81
32
9
b. 2187 3
33
27
c. 1 3 9 27 81
34
81
d. 94
35
243
36
729
37
2,187
38
6,561
39
19,683
310
59,049
Compara nuestros números decimales con los números binarios. ¿Por
qué piensas que usamos la base diez en lugar de la base dos? Da una
respuesta específica.
Sección E: Más potencias 53
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Práctica adicional
Sección A
Base diez
1. a. ¿Aproximadamente cuántos años tiene una persona que tiene
un millón de segundos de edad?
b. Aproximadamente, ¿cuántos años tiene una persona que tiene mil
millones de segundos de edad? Explica la estrategia que usaste
para calcular la respuesta.
c. ¿Qué sucedió hace aproximadamente un millón de días? Explica
cómo hallaste la respuesta.
En un vuelo transatlántico, la velocidad de un avión es aproximadamente
1,000 km por hora. Si fuera posible, un avión que viajara a esta velocidad
necesitaría 16 días para llegar a la luna.
2. Usa esta información para calcular la distancia de la Tierra a la Luna.
La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente 400 veces la
distancia de la Tierra a la Luna.
3. a. ¿Cuántos días necesitaría el mismo avión para volar desde la Tierra
hasta el Sol?
b. ¿Cuál es la distancia (en km) entre la Tierra y el Sol? Escribe tu
respuesta en notación científica y como un solo número.
4. ¿Cuál es el mayor de los siguientes números? Explica tu razonamiento.
0.4 1011
Sección B
40 108
400 106
Factores
1. ¿Cuál es el menor número natural que tiene exactamente cinco
factores? Explica cómo lo hallaste.
54 Datos y factores
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No puedes ver el el último dígito de este número de 11 digitos.
84 355 216 015
2. ¿Qué dígito puedes colocar en la posición abierta para obtener
un número:
a. divisible por 5?
b. divisible por 2 y por 5?
c. divisible por 9 pero no por 2?
d. divisible por 2 y por 3?
Puedes escribir el número 10,000 como un producto de dos números
en muchas formas diferentes. Estas son dos maneras diferentes:
10,000 1,000 10 y 10,000 400 25.
3. Escribe 10,000 como un producto de tres números, de modo que
ninguno de ellos sea divisible por diez. Halla dos posibilidades.
En 1845, Bertrand llegó a la siguiente conjetura:
“Para cada número entero mayor que tres, existe por lo menos un
número primo entre ese número y su doble”.
1822–1900
Joseph Bertrand fue un matemático
francés que se interesó por los
números primos, la geometría y la
probabilidad. En 1855, tradujo al
francés el trabajo de Gauss sobre el
análisis de errores. En 1856, fue
designado profesor de la École
Polytechnique. Luego, fue también
nombrado profesor del Collège de
France. Desde 1874 hasta el final de
su vida, se distinguió como miembro
de la Academia de Ciencias de París.
4. Comprueba la conjetura de
Bertrand verificando todos los
números correspondientes
menores que 21. Organiza tu
trabajo de forma tal que alguien
más pueda comprender la
conjetura de Bertrand.
Práctica adicional 55
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Práctica adicional
Sección C
Números primos
En 1742, el matemático ruso Christian Goldbach llegó a la siguiente
conjetura:
“Todo número entero par mayor que dos puede escribirse como
la suma de dos números primos”.
Por ejemplo, 8 = 5 + 3.
¡La conjetura de Goldbach ha sido verificada para todos los valores hasta
1014, pero aún nadie ha podido probarla!
1. a. Puedes escribir el número par 6 como 3 3 o 6 1 5. Una de
estas sumas no verifica la conjetura de Goldbach. ¿Cuál? ¿Por qué?
b. Puedes verificar la conjetura de Goldbach para 28 con la suma
28 23 5. ¿Es ésta la única posibilidad? Investiga otras
posibilidades.
c. Verifica la conjetura de Goldbach controlando todos los números
pares menores que 21. Organiza tu trabajo de manera tal que
alguien más pueda comprender la conjetura de Goldbach.
2. Coloca los ocho números, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 en los
ocho vértices de la figura en tres dimensiones de modo
que la suma de dos vértices adyacentes cualesquiera
sea un número primo. Los vértices adyacentes están
conectados físicamente.
Un día primo es aquel en el que tanto el mes
como el día son números primos. Por ejemplo,
23 de mayo es un día primo porque (5 y 23)
son números primos.
3. a. ¿Cuál es el primero y el último día
primo del año?
b. ¿Cuántos días primos hay en un año?
4. Descompone cada uno de los siguientes números en todos sus factores
como un producto de números primos.
a. 900
56 Datos y factores
b. 2,079
c. 12,121
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Práctica adicional
Cuadrado y raíz cuadrada
Sección D
1
2
7
1. a. Explica cómo puedes usar el modelo del área en
este dibujo para calcular (7 –1– )2.
2
b. Usa papel cuadriculado para copiar este dibujo
y completar toda la información faltante.
?
7
?
c. Calcula (7 –1– )2.
2
2. Elige una estrategia para calcular:
a. (12 –1– )2
2
1
b. (21 –– )2
2
1
2
?
?
Estos son dos cuadrados y dos rectángulos. El número
en cada figura indica el área de esa figura. Puedes usar
las cuatro figuras para formar un cuadrado más grande.
64 cm2
24 cm2
3. a. ¿Cuál es la longitud de los lados del cuadrado
grande? Muestra tu trabajo y haz un esquema
del cuadrado grande.
b. Supón que puedes modificar compensadamente
dos rectángulos idénticos para formar un
cuadrado grande. ¿Cuál es el área de este
cuadrado? ¿Cuál es la longitud de un lado?
9 cm2
24
cm2
En este dibujo, las figuras de color amarillo oscuro
son cuadrados.
El área de cada cuadrado está indicada.
4. Explica cómo el área total de
todas estas figuras es el cuadrado
de un número.
121 cm2
16 cm2
9
cm2
Práctica adicional 57
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Práctica adicional
Sección E
Más potencias
Tres de los siguientes enunciados son verdaderos y tres son falsos.
a. 43 82 4 4 4 8 8
b. (6 –1– )2 36 –1–
2
2
c. (11 –1– )2 (11 –1– )3 (11 –1– )5
2
2
2
d.
e. 54 24 108
f. 34 9 36
26 25
230
1. Trata de decidir cuáles son verdaderos y cuáles son falsos sin realizar
cálculos. Explica tu razonamiento.
2. Descompone los siguientes números en todos sus factores como un
producto de números primos.
a. 10
b. 26
c. 77
d. 50
Durante la clase de matemáticas, el señor Shawn le preguntó a Pedro:
“¿Cuántos rectángulos diferentes de 26 pulgadas cuadradas
puedes dibujar?”
Pedro respondió rápidamente: “Si los lados son números naturales,
entonces hay cuatro posibilidades”.
3. a. ¿En qué posibilidades pensó Pedro? ¿Puedes explicar cómo hizo
Pedro para contestar tan rápido?
b. ¿Cuántos rectángulos posibles puedes dibujar respectivamente con
áreas de 10 in2 y 77 in2? Explica cómo puedes hallar rápidamente
todas las posibilidades.
c. Considera todos los rectángulos posibles con un área de 50 in2.
¿Hallaste todos los rectángulos posibles rápidamente? Explica, sí o
no, ¿por qué?
En comunicaciones, electrónica y física, un kilo significa 103.
Por ejemplo, 1 kilómetro = 103 metros o 1,000 metros.
En Tecnología de la Información (TI) y en el almacenamiento de datos, un
kilo significa 210. Por ejemplo, 1 kilobyte = 210 bytes.
58 Datos y factores
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Práctica adicional
Esta tabla explica los prefijos kilo, mega y giga.
Terminología de la TI
un kilobyte
1 kB 210 bytes
un megabyte
1 mB 220 bytes
un gigabyte
1 gB ..... bytes
4. a. Calcula cuántos bytes hay en un kilobyte. Estima tu respuesta
usando una potencia de base diez.
b. ¿Cuántos bytes hay en un megabyte? Escribe tu respuesta en
notación científica. Estima tu respuesta usando una potencia de
base diez. (Puedes usar una calculadora para esto si lo deseas.)
c. ¿Cuántos kilobytes hay en un megabyte? ¿Cómo lo sabes?
La relación entre kilobytes y megabytes se cumple para megabytes y
gigabytes. Un gigabyte es mayor que 1,000 veces un megabyte.
d. ¿Cuántos bytes hay en un gigabyte? Escribe tu respuesta como
una potencia de base dos.
5. En el problema 21 de la Sección E, aprendiste cómo leer un reloj
binario. Haz un esquema de un reloj binario y colorea las luces de
modo que la hora que se muestre sea 3:12 p.m.
Práctica adicional 59
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Respuestas para verificar tu trabajo
Sección A
Base diez
1. a. 1,000 10 10 100,000
b. 1,000 1,000 1,000,000
c. 63.7 10 637
d. 63.7 100 6,370
e. 0.58 1,000 580
2. a. Estos son cinco ejemplos de productos cuyo resultado
es mil millones.
1,000 100,000
1,000 1,000 1,000
10 10 10 10 10 10 10 10 10
10 100,000,000
100 10,000,000
Podrías tener otros; verifica con un compañero para asegurarte
de que el producto es 1,000,000,000.
b. Estos son cinco ejemplos de productos cuyo resultado es 2,270,000.
Podrías tener otros; verifica con un compañero para asegurarte de
que el producto es 2,270,000.
2,270 1,000
22.7 100,000
227 10,000
227 100 100
227 10 1,000
7
3. a. 10 o 10,000,000, o diez millones
10
b. 10 o 10,000,000,000 o diez mil millones
6
c. 10 o 1,000,000 o un millón
(10 100 1,000 101 102 103)
9
d. 10 o 1,000,000,000 o mil millones
(1,000,000 10,000 106 104)
(1,000 1,000,000 103 106)
4. a. 2.25104 ➞ 22.5103 ➞ 225102 ➞ 2,25010 ➞ 22,500
b. Verifica el trabajo del compañero que resolvió tu problema.
60 Datos y factores
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Respuestas para verificar tu trabajo
5. a. Ambas calculadoras muestran 5.1 y 06; 5.1 es el primer factor entre
1 y 10; 06 es el exponente de 10. La diferencia en la segunda
pantalla es que usa una E para designar el exponente de diez; la
primera muestra el exponente de diez como un número pequeño
en la esquina derecha superior.
b. 5.1 10 o 5.1 millones o 5,100,000
6
Sección B
Factores
1. Sí, los grupos de tres, pero los grupos de seis no funcionan porque la
suma de los dígitos de 945 es 18:
9 4 5 18 y 18 es divisible por 3.
No, los grupos de seis no funcionan. “Divisible por 6” significa que el
número 945 tiene que ser divisible por 3 y por 2. Como 945 no es un
número par, no es divisible por 2 y, por lo tanto, no es divisible por 6.
2. a. 1, 3, 5 y 15
b. 1, 2, 4, 8, 16 y 32
c. 1 y 53
d. 1 y 17
3. a. El número que escribiste puede ser par o impar pero no debe
ser un número cuadrado perfecto. Un ejemplo de número
que tiene un número par de factores es 20; los factores de 20
son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
b. El número que escribiste debe ser cualquier número cuadrado
perfecto. Ejemplos de números con un número impar de factores
son 25 o 100.
c. Un número cuadrado perfecto tendrá siempre un número impar
de factores.
4. Hay 10 números cuadrados perfectos del 1 al 100: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
64, 81 y 100.
Respuestas para verificar tu trabajo 61
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Respuestas para verificar tu trabajo
Sección C
Números primos
1. Hay muchas maneras para estimar con un árbol aritmético. En todos
los casos, tu respuesta final es 1,400.
Estas son dos maneras diferentes:
5
4
7
35
5
20
2
5
7
4
2
10
20
700
1,400
5
200
1,400
2. Los números 12, 19, 39 y 51 son todos números compuestos.
Ejemplo de razonamiento:
Los números primos tienen exactamente dos factores: 1 y el número
mismo. Los números compuestos son números mayores que uno que
no son primos. Una manera de averiguar si un número es un número
compuesto es usar las reglas de divisibilidad.
12 es un número par, por lo tanto, es divisible por 2 y tiene más
factores que 1 y 12.
19 1 19; 19 no tiene ningún otro factor más que 1 y 19,
por lo tanto, 19 es primo.
39 3 13; de manera que 39 tiene más factores que 1 y 39.
51 es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos es 6, y 6 es
divisible por 3; por lo tanto, 51 tiene más factores que 1 y 51.
62 Datos y factores
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Respuestas para verificar tu trabajo
3. a. 99 3 3 11
99 b. 750 2 3 5 5 5
750
11
9
(3 3) 11
10
3 3 11
2
5
75
3
25
5
5
c. 264 2 2 2 3 11
264
2
132
2
66
2
33
3
11
11
1
4. Una estrategia para resolver estos problemas es hallar, en primer
lugar, todos los factores del número de centímetros cúbicos.
a. Los factores de 8 son: 1, 2, 4 y 8.
Las tres dimensiones posibles son:
1 cm por 1 cm por 8 cm,
1 cm por 2 cm por 4 cm y
2 cm por 2 cm por 2 cm.
b. Los factores de 50 son: 1, 2, 5, 25 y 50.
Las tres dimensiones posibles son:
1 cm por 2 cm por 25 cm,
1 cm por 5 cm por 10 cm y
2 cm por 5 cm por 5 cm.
Respuestas para verificar tu trabajo 63
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Respuestas para verificar tu trabajo
Sección D
Cuadrado y raíz cuadrada
1. a. La base es 2.
b. El exponente es 5.
c. 25 2 2 2 2 2 32
苳苳 ≈ 34.64 in.
2. a. La longitud del lado es 冑苳苳
1200
苳苳 ≈ 10.95 in.
b. La longitud del lado es 冑苳苳
120
c. La longitud del lado es 冑苳苳
12 ≈ 3.46 in.
d. La longitud del lado es 冑苳苳
1.2 ≈ 1.095 in o 1.10 in.
苳苳 ≈ 0.316 in o 0.32 in.
e. La longitud del lado es 冑苳苳
0.12
f. Si el área es 100 veces tan pequeña, entonces la longitud del lado
es diez veces tan pequeña. Compara, por ejemplo, a y c o c y e.
una manzana de la ciudad
3. a. El área de una manzana de la ciudad
1 milla cuadrada.
es ––
64
Ejemplo de razonamiento:
Una manzana de la ciudad tiene
–1– milla por –1– milla.
1 milla cuadrada
8
1 milla
8
En una milla cuadrada (ver dibujo), puedes colocar
ocho filas de ocho manzanas de la ciudad. Esto
hace 8 filas 8 manzanas o 64 manzanas.
Si 64 manzanas de la ciudad entran en una milla
cuadrada, entonces el área de una manzana de la
1 de una milla cuadrada.
ciudad es ––
1 milla
64
36
b. –3– 1 –1– –––
8
1
1
2
2
64
Esta es una manera para calcular –3– 1 –1– usando
8
2
manzanas de la ciudad.
milla
3
8
–3– de milla es equivalente a 3 manzanas de la ciudad.
8
milla
1 –1– de milla son 12 manzanas de la ciudad (8 4).
2
–3–
8
1 –1– es igual a 3 manzanas 12 manzanas o
2
a 36 manzanas.
1 milla cuadrada,
Como 1 manzana de la ciudad tiene ––
64
36 de milla cuadrada.
36 manzanas de la ciudad es –––
64
64 Datos y factores
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Respuestas para verificar tu trabajo
4. 3 –1– 2 –1– 8 –1–
2
3
2
1
3
3
6
1
1
2
1
1
6
6
Un ejemplo de estrategia que usa el modelo
del área:
Las cuatro partes dan un total de 8 –1– , (6 1 1 –1– ).
6
Sección E
6
Más potencias
1. Existen muchas respuestas posibles. Estos son tres ejemplos:
10,000 24 54
10,000 102 102
10,000 22 52 102
Asegúrate de usar un producto de potencias; 10,000 104 es
una potencia y no un producto de potencias.
2. a. 288
2 2 2 2 2 3 3
25 32
b. 900 2 2 3 3 5 5
22 32 52
c. 1764 2 2 3 3 7 7
22 32 72
3. 23 52 2 2 2 5 5
200
4. a. 27 81 2,187
Explicación:
Puedes usar la tabla para hallar 27 33 y 81 34
27 81 33 34
37
En la tabla, 37 2,187.
Respuestas para verificar tu trabajo 65
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Respuestas para verificar tu trabajo
b. 2,187 3 6,561
Explicación:
Puedes usar la tabla para hallar 2,187 37 y 3 31.
2,187 3 37 31
38
En la tabla, 38 6,561.
c. 1 3 9 27 81 59,049
Explicación:
Puedes usar la tabla para hallar
1 30; 3 31; 9 32; 27 33 y 81 34.
1 3 9 27 81 30 31 32 33 34
310
En la tabla, 310 59,049.
d. 38 6,561
Explicación:
94 9 9 9 9
32 32 32 32
38
En la tabla, 38 6,561.
66 Datos y factores