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La figura muestra una barra rígida, con masa despreciable, que tiene tres masas iguales (M) unidas a
ella. La barra tiene libertad de girar alrededor de un eje sin fricción perpendicular a ella que pasa por el
punto “Q”. La barra se suelta desde el reposo en la posición horizontal (t = 0 s). Suponiendo que M y D
son datos, encontrar:
a) El momento de inercia del sistema (barra + masas) alrededor del pivote.
b) Calcular el torque o momento de las fuerzas respecto de “Q” (en t = 0 s)
c) Calcular la fuerza de vínculo que realiza el pivote en ese instante.
d) La velocidad de la masa 3 cuando la barra está en posición vertical.
¾D
Q
2
1
3
g
D
D
El momento de inercia del sistema (barra + masas) alrededor del pivote.
Sabiendo que el momento de inercia para partículas se define como: I Q 
m  r
i
2
iQ
donde riQ es la
distancia de la masa i hasta el punto Q, podemos calcular:
2
2
2
35
5 
1 
3 
I Q  m   D   m D   m D  
mD 2 (Resultado a)
16
4 
4 
4 
Observación: Esta era la forma más rápida, pero se podía calcular el momento de inercia respecto el
centro de masa: I CM 
1 
2
y luego, usando teorema de Steiner calcular I Q  I CM  3m D 
 mi  riCM
4 
2
Calcular el torque o momento de las fuerzas respecto de “Q” (en t = 0 s)
El diagrama de cuerpo libre de la barra es:
Fv
Q
2
1
y
3
x
Ptot=3mg
Fv
O, lo que es lo mismo:
¾D
2
1
3
D
D
P1=mg
Q
P2=mg
P3=mg
Por lo tanto, el torque de la fuerza de vínculo respecto Q es cero porque la distancia es cero. Sólo
queda el torque del peso total (ó calcular el torque del peso de cada masa por separado), por lo tanto
nos queda esta ecuación en el eje K:
Para quien hizo el 1º DCL
T
Q
3
3

 TQPeso TQFvinculo   mgD  0  k  mgDk (Resultado b)
4
4

Para quien hizo el 2º DCL
T
Q
1
3
3
5

 TQPeso1  TQPeso 2  TQPeso3  TQFvinculo   mgD  mgD  mgD  0  k  mgDk
4
4
4
4

Calcular la fuerza de vínculo que realiza el pivote en ese instante.
Usando la segunda ley de Newton:
F  m
tot
a cm
Por lo tanto, en el eje x tenemos que:
P1  P2  P3  Fvinculox  3macmx
3mg  Fvinculox  3macmx
Fvinculox  3m  g  acmx  (Ecuación 1)
Y en el eje y tenemos:
Fvinculoy  3macmy (Ecuación 2)
Para calcular las componentes de la Fvínculo, sólo falta conocer la aceleración del centro de masa en
ese instante.
Utilizando la relación entre aceleraciones de un rígido, podemos escribir:
acm  aQ    rQ / cm    v
Sabemos que:
1- la aceleración del punto Q es cero (está y se mantiene en reposo).
2- el segundo término corresponde a la aceleración tangencial (tangente al movimiento) del cm, por lo
tanto es lo que llamamos componente x de la aceleración. Para obtener el valor de  usamos que
3
12 g
mgDk  I Q  y con los resultados de los puntos a y b obtienen que  
k y cuando
4
35 D
3
gi
hacen el producto vectorial, obtienen que acmx    rQ / cm 
35
T
Q

3- el tercer término corresponde a la aceleración normal (normal a la trayectoria) del cm, por lo tanto ese
término corresponde a la componente y de la aceleración. Éste término también se anula porque en
ese instante el sistema esta en reposo (y por lo tanto, las velocidades son cero).
Según el punto 2 y la ecuación 1 se obtiene que:
Fvinculox 
36
mg (Respuesta c)
95
Y del punto 3 y la ecuación 2 se obtiene que:
Fvinculoy  0 (Respuesta c)
La velocidad de la masa 3 cuando la barra está en posición vertical.
Planteo el teorema de conservación de la energía mecánica. Como la única fuerza no conservativa que
actúa en el sistema es la fuerza de vínculo (cuyo trabajo es nulo porque el desplazamiento de Q es
cero) obtenemos que:
EM  W Fnocons  W Fvínculo  0
EMinicial  EMfinal
Donde el inicial es cuando el sistema está horizontal y final cuando está vertical. Considerando h=0 de
energía potencial en la masa 2 (o sea en el CM) cuando está vertical, nos queda que:
IQ 2
1
D

4
2
24 g

35 D
3mg
(Se podría considerar el término de energía cinética como
I
3m 2
vcm  cm 2 y relacionar Vcm con 
2
2
utilizando la relación de velocidades de un rígido… pero eran muchas cuentas más, descontando que
tendría que calcular también Icm)
Luego, a partir de la relación de velocidades de un rígido calculamos la velocidad de 3 (Importante, por
energía calculamos el módulo de , su dirección y sentido sabemos que es en k positivos por el
movimiento que va a tener)
Entonces:
v3  vQ    rQ / 3
v3  
(Resultado d)
24 g 3
Dj
35D 4
Cualquier cosa, lo charlamos en los foros o consulten mañana en clase!
Saludos,
Laura.