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Curso 2001-2002
Propiedades Nucleares.
1. El radio nuclear
• Distribución de carga eléctrica
• Distribución de materia nuclear
2. Las masas de los núcleos
3. Energía de enlace nuclear
4. Espín y paridad de los núcleos
5. Momentos electromagnéticos de los núcleos
6. Estados excitados nucleares
Física Nuclear y de Partículas
Propiedades nucleares
1
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El radio nuclear. Dispersión de electrones
• La difusión de partículas por un blanco nos permite conocer su
forma y tamaño.
• Las dimensiones de la estructura nuclear observada depende de
!
T = 250 MeV → ! = 0.79 fm
T = 500 MeV → ! = 0.39 fm
Difusión de electrones por 16O y 12C . La forma de la sección eficaz es similar a los patrones de
difracción de luz.
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El radio nuclear. Dispersión de electrones
• La sección eficaz diferencial para la dispersión elástica de
electrones relativistas fue obtenida por Mott
2
 E = m 2 β 2 + m 2
 Zα 
1 
2
2θ 
e
e
σ Mott (θ ) = 
1 − β sin   1

2 
2   β : velocidad del e −
 2 E1 β  sin 4 θ 
2
• Hipótesis supuestas: La carga eléctrica nuclear es puntual
El espín nuclear es cero
No existe retroceso nuclear
• Para núcleos no puntuales y con ρ( r) con simetría
"# "esférica:
#
σ (θ ) = σ Mott (θ ) [ F ( q) ]



4π ∞
F (q) =
r
r
qr
dr
ρ
(
)
sin(
)

q ∫0

2
∫ ρ (r ) 4π r dr = 1
# pi − p f
q=
$
θ
2
q = sin
2
!
2
•
•
1
! % R → qr & 1 → sin(qr ) ' qr − (qr )3
6

4π ∞
1

3
F (q) =
r
qr
qr
rdr
ρ
−
=
(
)
(
)



q ∫0
6



 solo es posible
1 2
2
2
= ∫ ρ (r ) 4π r dr − ∫ r ρ (r ) 4π r dr =  ⇒
2
conoc
er
r
6

1 2 2

= 1− q r

6

Si
Si ! & R → qr % 1 → F(q) es sensible a la superficie
nuclear
ρ (r ) =
1 ∞
F (q )q sin(qr )dq
2π 2 r ∫0
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El radio nuclear. Dispersión de electrones
Resultados:
! El número de nucleones por unidad de volumen es constante
A
4 3
πR
3
1
≈ cte. ⇒ R = R0 A 3 , R0 ' 1.2 fm
! La densidad de carga nuclear es prácticamente la misma para
todos los núcleos
! La corteza superficial es constante : t ≈ 2.3 fm
Distribución radial de la carga de varios núcleos obtenida a partir de la difusión de electrones
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El radio nuclear. Dispersión de electrones
Radio cuadrático medio (rms) de diferentes núcleos obtenidos a partir de experimentos de
dispersión de electrones. La pendiente de la recta R = R0 A
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1
3
es R0 = 1, 23 fm .
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El radio nuclear. Transiciones atómicas
!
Transiciones en átomos:
El tamaño del núcleo afecta a las órbitas internas de los electrones
→ sienten menos carga dentro del núcleo.
a) Átomos electrónicos
Corrimiento isotópico:
∆E de rayos X de transiciones particulares, entre isótopos
vecinos .
Para rayos X de la capa K ( 2 p → 1s ):
(
2
2
2 Z 4 e2 1
3
3
Ek ( A) − EK ( A´) =−
R
A
A
−
´
0
3
5 4πε 0 a0
radio de Bohr ↵
)
Efecto del orden de ≈ 10−4 − 10−6 veces las energías de
transición (unos pocos KeV).
b) Átomos muónicos
Atomos que capturan muones ( mµ ' 207me )
Energías de las transiciones son 207 veces mayores ( a0 ∝ 1 ),
m
(unos pocos MeV).
Los efectos del tamaño nuclear son mayores, porque las órbitas
interiores son muy profundas.
Resultados:
1
R ' 1.25 A 3 fm
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El radio nuclear. Transiciones atómicas
Espectro de rayos X K muónicos procedentes de a) Ti y b) de Nd
Energías de las transiciones muónicas 2 p 3 → 1s correspondientes a la línea Kα 1 del espectro
2
derayos X de electrones. Las líneas continuas representan los valores calculados para R0 = 0 y
R0 = 1,3 fm
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El radio nuclear. Núcleos espejo
! Diferencias en la energía coulombiana entre núcleos espejo
39
K 20 )
( 13 H 2 − 23 He1 , 137 N 6 − 136 C7 , 2039Ca19 − 19
⇒ tamaño del núcleo
Como la energía coulombiana de una esfera de radio R , y carga
Q ,uniformemente cargada, es:
3 1 Q2
Ec =
5 4πε 0 R
la diferencia de energía coulombiana entre núcleos espejos es:
2
3 e2
3 e
2
2
 Z − ( Z − 1)  =
∆Ec =
( 2Z − 1)
5 4πε 0 R 
5 4πε 0 R
1
Haciendo A = 2Z − 1 y R = R0 A 3 tenemos
2
3 e2
A3
∆Ec =
5 4πε 0 R0
¿Cómo medir ∆Ec ?
( midiendo la energía máxima de los e+ en los procesos β + :
+
A
A
Z X N → Z −1 YN +1 + e + ν e
( midiendo la energía umbral en reacciones nucleares del
p + 11B → 11C + n
tipo:
El cambio de un protón por un neutrón no afecta a la energía nuclear
del sistema de n nucleones (la fuerza nuclear no distingue p de n)
por lo que los cambios energéticos de estos procesos son únicamente
coulombianos.
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Resultados: R0 = 1, 22 fm
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El radio nuclear. Materia nuclear
Distribución de la materia nuclear
Se extrae la información de experimentos en los que interviene la
fuerza nuclear entre dos núcleos, y no la coulombiana. Por ejemplo:
1.- Difusión α + 197 Au :
La difusión coulombiana predice una dependencia con la energía T
de la partícula α
2
dσ  Zze 2 
4θ
=
ec
cos

d Ω  16πε 0T 
2
Si T ↑ , los núcleos se aproximan e interaccionan además
fuertemente ⇒ ruptura de la dependencia con T −2
Desviación de la fórmula de Rutherford para la difusión α − Pb
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El radio nuclear. Materia nuclear
2.- Estudio de la desintegración α de distintos emisores: el cálculo
mecano-cuántico de las probabilidades de desintegración de un
emisor dependen del tamaño de la barrera de potencial. La
comparación con las probabilidades medidas nos da información del
radio nuclear.
3.-Medida de la energía de rayos X en átomos piónicos:
Son átomos que capturan piones (el pion es una partícula algo más
pesada que el muón ( mπ ' 1.3mµ ) pero que siente la interacción
nuclear además de la coulombiana).
Comparando los rayos X emitidos por átomos piónicos con los
calculados usando solo la interacción coulombiana, se extrae
información sobre el efecto de la extensión del núcleo.
Además los piones pueden ser absorbidos por el núcleo, sobre todo
en las órbitas profundas, dejando un defecto de rayos X, que también
proporciona información del tamaño de la materia nuclear.
Resultados: Los radios de carga y materia nucleares son iguales,
sorprendentemente, pues en principio el radio de la carga (protones)
debería ser menor al radio de la materia nuclear (protones más
neutrones).
1
R ' 1.2 A 3 fm
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Las masas de los núcleos
Espectrometría de masas: técnica utilizada para determinar las
masas nucleares y las abundancias relativas de una muestra.
Fuente de iones: de la que se obtiene un haz de átomos o moléculas
ionizadas, con diferentes velocidades.
Selector de velocidad: campo eléctrico E y magnético B
perpendiculares, que deflectan en sentidos contrarios a los iones, de
modo que los iones no deflectados cumplen
E
qE = qvB ⇒ v =
B
Selector de momentos: campo magnético uniforme que deflecta a los
iones en una trayectoria circular de radio:
r=
mv
qB
Esquema de un espectrógrafo de masas
Midiendo r,v y B podemos conocer m, que en la práctica se
determina a través de medidas relativas a la del 12C que se toma
exactamente como 12 u. (1u = 931, 49432MeV )
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Las masas de los núcleos
Ejemplo: Método del doblete de masas
Seleccionamos el espectrómetro para una masa de 128 y medimos la
diferencia entre las masas moleculares de las moléculas C9 H 20 y
C10 H 8 : ∆ = 0,09390032 ± 0,00000012u .
Despreciando las energías de enlace molecular:
∆ = m (C9 H 20 ) − m (C10 H 8 ) = 12m ( 1H ) − m ( 12C )
con lo que
m ( 1H ) =
1
 m( 12C ) + ∆  = 1,00782503 ± 0,00000001u
12
Otro método para determinar pequeñas diferencias de masas es a
través de la medida de las energías de las partículas en reacciones
nucleares.
1
H + 14 N → 12 N + 3 H , tenemos para el
Ejemplo: En la reacción
isótopo inestable 12 N , su masa en función de las masa de isótopos
estables conocidas por el método del doblete de masas y del valor Q
de la reacción
m ( 12 N ) = m ( 1H ) + m ( 14 N ) − m ( 3 H ) − Q
= 12,018613 ± 0,000001u
La incertidumbre proviene fundamentalmente del error en el valor Q
de la reacción.
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Las masas de los núcleos
Abundancias isotópicas:
La espectroscopía de masas permite medir las abundancias realativas
de los distintos isótopos de un elemento.
Haciendo un tuning de los campos E y B, se obtiene un espectro de
masas con diferentes picos cuyas áreas relativas nos dan las
proporciones de cada isótopo.
Por ejemplo, los isótopos estables del kripton y sus abundancias
relativas son:
78
Kr
0,356%
80
Kr
2,27%
82
Kr
11,6%
83
Kr
11,5%
84
Kr
57,0%
86
Kr
17,3%
Las masas que no aparecen corresponden a isótopos radiactivos y no
están presentes en el kripton natural.
Cuando se habla de la masa de un elemento, se habla de la masa
atómica promediada con sus correspondientes pesos relativos.
Para el caso del kripton:
m = 0,00356m( 78 Kr ) + 0,0227m( 80 Kr ) + ...
Espectro de masas del Kripton
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Energía de ligadura.
Energía de enlace de un núcleo:
{
}
B = Zm p + Nmn −  m ( A X ) − Zme  =  Zm ( 1H ) + Nmn − m ( A X )
Defecto de masa de un núcleo:
A
∆ = m( A X ) − A
Energía de separación neutrónica:
Sn = B ( ZA X N ) − B ( A−Z1 X N −1 ) =  m ( A−Z1 X N −1 ) − m ( ZA X N ) + mn 
Energía de separación protónica:
S p = B ( ZA X N ) − B ( ZA−−11 X N ) =  m ( ZA−−11 X N ) − m ( ZA X N ) + m ( 1H )
∆( MeV )
Sn ( MeV )
16
8
-4,737
15,66
17
8
O9
-0,810
4,14
13,78
17
9 8
F
+1,952
16,81
0,60
40
20
Ca20
-34,847
15,64
8,33
41
20
-35,138
8,36
8,89
-28,644
16,19
1,09
Núclido
O8
Ca21
41
21
Sc20
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S p ( MeV )
12,13
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Energía de ligadura.
Energía de enlace por nucleón
Energía de enlace por nucleón obtenida a partir de las masas de los núcleos
≈ 8MeV / nucleon salvo para núcleos ligeros
A
! Máximimo alrededor de A=60
! B
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Energía de ligadura.
Modelo preliminar: Fórmula semiempírica de la masa
2
B = av A − as A − ac Z ( Z − 1) A
3
−1
3
( A − 2Z )2
− asym
+δ
A
! av A → término de volumen→ saturación de la fuerza nuclear
2
! −as A 3 → término de superficie
−1
! −ac Z ( Z − 1) A 3 → repulsión coulombiana entre protones
( A − 2Z )2
! −asym
→simetría entre el número de p y n
A
−a A− 3 4 → impar − impar
 p
! δ →término de apareamiento 
−3
 + a p A 4 → par − par
Ajuste de los parámetros con los datos experimentales de B/A
av
15,5 MeV
as
16,8 MeV
ac
0,72 MeV
asym
23 MeV
ap
34 MeV
Contribución de los diferentes términos en la fórmula semiempírica de la masa
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Energía de ligadura.
Parábola de masas
M ( Z , A) = Zm( 1H ) + Nmn − B( Z , A) → parábola M vs. Z a A cte.
−1
Z min
 mn − m( 1H )  + ac A 3 + 4asym
=
−1
2ac A 3 + 8asym A−1
Despreciando los dos primeros términos:
 A ↓⇒ Z min ' A / 2
A
→
Z min '
 1 2 a 
 A ↑⇒ Z min < A / 2
2 1 + A 3 c 
asym 
 4
Parábolas de masa para núcleos con A=125 y A=128
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Espín y paridad de los núcleos.
Espín nuclear: momento angular suma de los momentos angulares
de los A nucleones del núcleo.
! Símbolo: I
#
I 2 = $ 2 I ( I + 1)
I z = m$ con m = − I , − I + 1,..., I − 1, I
! I es un buen número cuántico: el núcleo se comporta como una
entidad única con ese momento angular intrínseco.
Diferentes estados excitados pueden tener espines diferentes
! Restricción al espín nuclear
Como cada nucleón tiene un momento angular total j semientero:
Núcleos con A impar:
I semientero
Núcleos con A par:
I entero
! La medida de los espines nucleares → estructura nuclear
Ejemplo:
I( par X par ) = 0 en el estado fundamental →
Fuerzas de apareamiento
Paridad de los núcleos:
!
!
!
!
Buen número cuántico para describir a los estados nucleares
Símbolo π
Puede tomar el valor + o el valor −
Diferentes estados excitados del mismo núcleo pueden tener
paridades distintas
! No hay ninguna relación entre I y π
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Multipolos electromagnéticos
• Las propiedades de los núcleos se pueden estudiar considerando
su interacción con campos electromagnéticos externos
• Interacción con un campo electrostático:
Z
"#
E = e ψ IM (1,..., A) ∑V ( ri ) ψ IM (1,..., A)
i =1
∞ +l
"#
V (ri ) = ∑ ∑ Vlm (ri )Ylm (θ ,φ )
l =0 m =− l
"#
Vlm (r ) = ∫ Ylm (θ ,φ ) V (r ) d (cosθ ) dφ
Vlm (r ) ' r lVlm
∞
+l
E = ∑ ∑ Vlm ⋅ Qlm
l =0 m =− l
Z
Qlm = e ψ IM (1,..., A) ∑ rilYlm (θ ,φ ) ψ IM (1,..., A)
i =1
• Qlm son los momentos multipolares estáticos eléctricos del núcleo
• La paridad de los armónicos esféricos es (-1)l. Por tanto como el
estado Iπ tiene una paridad definida
Qlm = 0 para l impar
m ≠ 0
⇒ Qlm = 0
• Como IM Ylm IM = 0 si 
l
I
2
>

Los núcleos con I=0 y I=1/2 tienen momentos cuadripolares nulos
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Momentos eléctricos
• El momento Q00 es proporcional a la carga nuclear
Q00 =
Ze
4π
• El momento cuadrupolar, por razones históricas, se define
como:
16π Q20
Q=
5 e
= IM = I
M =I
16π
5
Z
∑r Y
2
i =1
i
20
(θ i , φi ) IM = I
16π 2
r Y20 (θ , φ ) = r 2 (3cos 2 θ − 1) = 3 z 2 − r 2
5
Q = Z  3 z 2 − r 2 
Suponiendo simetría axial:
Q = 2Z  z 2 − x 2 
z 2 > x 2 → Q > 0 núcleo "oblongo" ("prolate")
z 2 < x 2 → Q < 0 núcleo "achatado" ("oblate")
z 2 = x 2 → Q = 0 núcleo esferico
Se mide en barn (1 b= 10-28 m2)
Los valores experimentales varían entre –1 y 8 b
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Momentos magnéticos
• Miden la interacción de un núcleo con un campo magnético
externo
• Tiene dos componentes:
• Una
debida
al
""#
#
e$ #
l = µN l
µl =
2M p c
momento
angular
orbital
• Otra debida al dipolo intrínseco de los nucleones
""#
µs = g ( s )
#  g (ps ) = 5.58556948
e$ #
(s)
s = g µN s  (s)
2M p c
 g n = −3.8260856
El operador momento dipolar magnético:
"# A (l ) #
"#
(s)
µ = ∑ gi li + gi si µ N
i =1
(
)
 g (pl ) = 1
 (l )
 gn = 0
• Momento magnético de un sistema ψ ( IM ) es
µ = I , M = I µz I , M = I
e$
= 5, 788382 × 10−5 eV ⋅ T −1
2me c
e$
= 3,152451 × 10−14 MeV ⋅ T −1
Magnetón Nuclear µ N =
2M p c
Magnetón de Bohr µ B =
Para los núcleos, experimentalmente µ < 6 µ N
Explicación: los nucleones se
Núclido
aparean cancelando sus momentos
y
sólo
contribuyen
los
n
desapareados.
p
2
H
16
O
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17
O
57
Co
µ (µN )
-1,9130428
+2,79284739
+0,8574376
0
22
-1,89379
+4,733
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Multipolos electromagnéticos
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Estados excitados nucleares
! Espectroscopía nuclear:
!
!
!
!
!
Energías de excitación
Vidas medias
Modos de desintegración
Espín y paridad
Momentos dipolar magnético y cuadrupolar eléctrico
⇓
estructura nuclear
Ejemplos de diagramas de niveles mostrando los estados excitados por debajo de 2 MeV
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